Anova

Χημικό εργαστήριο (http://chimikoergastirio.blogspot.com/)

1. Στατιστική επεξεργασία Σε ένα σχεδιασμό δύο παραγόντων (two-factor factorial design), οι παράγοντες Α και Β, που επηρεάζουν την εξαρτημένη μεταβλητή, ελέγχονται αν έχουν επίδραση ο ένας πάνω στον άλλον. Με την βοήθεια της ‘’two – way ANOVA’’, υπάρχει η δυνατότητα να διακριβωθεί ποιος από τους δύο παράγοντες επιδρά σημαντικά στην ανεξάρτητη μεταβλητή και επίσης να γίνει έλεγχος αν οι δύο παράγοντες έχουν επίδραση ο ένας στον άλλον (interaction) ή είναι ανεξάρτητοι ο ένας από τον άλλον. Παρακάτω δίνονται οι μαθηματικοί τύποι των απαραίτητων ποσοτήτων: r= o αριθμός των επιπέδων του παράγοντα Α c= ο αριθμός των επιπέδων του παράγοντα Β n= ο αριθμός των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής. n rc

n’ =

Xijk = η κάθε τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής r 

X

c

n'

  Xijk i 1 j 1 k 1

rcn' c



Xi 

  Xijk j 1 k 1

cn' r



Xj 

X ij 

n'

n'

  X ijk i 1 k 1

cn' n'

 k 1

X ijk n'

SSA = άθροισμα τετραγώνων αποκλίσεων μεταξύ των μέσων των r





ομάδων του παράγοντα Α: SSA  cn'  ( X i  X) 2 i 1

SSΒ = άθροισμα τετραγώνων αποκλίσεων μεταξύ των μέσων των c





ομάδων του παράγοντα Β: SSB  rn'  ( X j  X) 2 j 1

124

Χημικό εργαστήριο (http://chimikoergastirio.blogspot.com/)

SSAΒ = άθροισμα τετραγώνων αποκλίσεων της αλληλεπίδρασης μεταξύ του παράγοντα Α και του παράγοντα Β: r

c









SSAB  n'  ( X ij  X i  X j  X) 2 i 1 j 1

SSΕ r

c

=

άθροισμα

n'



τετραγώνων

αποκλίσεων

των

καταλοίπων:

SSE    ( X ijk  X ij ) 2 i 1 j 1 k 1

SSΤ = άθροισμα τετραγώνων των αποκλίσεων : r

c

n'



SST=SSA+SSB+SSAB+SSE και SST    ( X ijk  X) 2 i 1 j 1 k 1

ΜS: το μέσο του αθροίσματος των τετραγώνων αποκλίσεων. F: αν η τιμή του Fπειραματικό > Fθεωρητικό απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση,

ενώ στην αντίθετη

περίπτωση

Fπειραματικό < Fθεωρητικό δεν

απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. p = δείχνει την τιμή πιθανότητας σφάλματος 1ου είδους. Ένας παράγοντας

είναι

σημαντικός

όταν

έχει

p<0,05

σε

επίπεδο

Mέσα αθροίσματος F τετραγώνων MS

p

εμπιστοσύνης 95% Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

παράγοντες

Α

Βαθμοί ελευθερίας df r-1

Άθροισμα τετραγώνων SS SSA

B

c-1

SSB

AB

(r-1)(c-1)

SSAB

Σφάλμα

n - rc

SSE

Total

n-1

SST

SSA r 1 SSB MSB  c 1 SSAB MSAB  (c  1)(r  1) MSA 

MSE 

SSE n  rc

2. Έλεγχος Αλληλεπίδρασης Παραγόντων Γραφικά

125

MSA MSE MSB F MSE MSAB F MSE F

Χημικό εργαστήριο (http://chimikoergastirio.blogspot.com/)

Για να γίνει έλεγχος αν δύο παράγοντες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, μπορεί να διαπιστωθεί γραφικά. Για τη δημιουργία του γραφήματος χρησιμοποιούνται οι μέσες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής για τον κάθε παράγοντα. Αν οι καμπύλες που θα προκύψουν είναι παράλληλες τότε

δεν

υπάρχει αλληλεπίδραση, ενώ όταν δεν είναι παράλληλες, υπάρχει. Παρακάτω δίνεται ένα παράδειγμα: Έστω ότι υπάρχει ένα εργοστάσιο παρασκευής ενός προϊόντος. Το εργοστάσιο αγοράζει πρώτες ύλες από τέσσερις διαφορετικούς προμηθευτές. Τις πρώτες ύλες τις επεξεργάζεται σε δύο διαφορετικά μηχανήματα. Ενδιαφερόμαστε για την αντοχή των υλικών. Η αντοχή (εξαρτημένη μεταβλητή) είναι εξάρτηση των προμηθευτών (παράγοντας Α) και των μηχανημάτων (παράγοντας Β). Τα πειραματικά αποτελέσματα είναι: Προμηθευτές

Μηχάνημα Α

Μηχάνημα Β

1

2

3

4

20,6

22,6

27,7

21,5

18,0

24,6

18,6

20,0

19,0

19,6

20,8

21,1

21,3

23,8

25,1

23,9

13,2

27,1

17,7

16,0

18,5

26,3

20,6

25,4

24,0

25,3

25,2

19,9

17,2

24,0

20,8

22,6

19,9

21,2

24,7

17,5

18,0

24,5

22,9

20,4

126

Χημικό εργαστήριο (http://chimikoergastirio.blogspot.com/)

Αν

γίνει

στατιστική

επεξεργασία

λαμβάνονται

τα

παρακάτω

αποτελέσματα: Depented Variable: αντοχή source μηχανήματα προμηθευτής μηχανημα* προμηθευτής error total

SS

df

6,972 134,349 0,287 275,592 417,2

Από τον πίνακα φαίνεται ότι προμηθευτής

(p<0,05)

και

ότι

MS 1 3 3 32 39

δεν

F

6,972 44,783 9,56E-02 8,612

p 0,81 5,2 0,011

0,375 0,005 0,998

σημαντικός παράγοντας είναι ο υπάρχει

αλληλεπίδραση

μεταξύ

μηχανημάτων και προμηθευτή. Αυτό φαίνεται και σχηματικά χρησιμοποιώντας τις μέσες τιμές για κάθε προμηθευτή:

1 18,42 19,52

μηχάνημα Α μηχάνημα Β

προμηθευτής 2 23,54 24,26

3 21,98 22,84

4 20,58 21,16

40

30

20 μηχαν. Α

10

μηχαν.Β 0 1

2

3

4

προμηθευτές

όπως φαίνεται οι καμπύλες είναι παράλληλες και επομένως δεν υπάρχει αλληλεπίδραση.

127

Χημικό εργαστήριο (http://chimikoergastirio.blogspot.com/)

3.Σύγκριση δύο πειραματικών μέσων τιμών.

Συχνά απαιτείται σύγκριση των τιμών δύο διαφορετικών μεθόδων (με ανάλυση του ίδιου δείγματος) ή σύγκριση δύο δειγμάτων (αναλυόμενων με την ίδια μέθοδο). Η σύγκριση γίνεται για να διαπιστωθεί αν υπάρχει σημαντική διαφορά στα αποτελέσματα μεταξύ των δύο αναλυτικών μεθόδων ή αν τα εξεταζόμενα δείγματα είναι διαφορετικά ή όχι, αντίστοιχα. Γενικά, η στατιστική σύγκριση δύο μέσων τιμών αναφέρεται ως μη κατά ζεύγη δοκιμασία t (unpaired t – test) [36]. H δοκιμασία βασίζεται στον υπολογισμό της πειραματικής texp, που παρέχεται από την σχέση: 



X A  XB t exp  s A ,B

1 1  NA NB

όπου sA,B είναι η συνδυασμένη τυπική απόκλιση (pooled ή combined standard deviation), που υπολογίζεται και από τις δύο ομάδες δεδομένων και παρέχεται από τη σχέση: 2

NA

s A,B 

NB           X  X  X  X A i , A B i,B        i 1  i 1  N A  NB  2



2



όπου x A η μέση τιμή της πρώτης σειράς των μετρήσεων, x B η μέση τιμή της δεύτερης σειράς των μετρήσεων και ΝΑ και ΝΒ ο αριθμός των μετρήσεων αντίστοιχα. Η texp συγκρίνεται με την θεωρητική τιμή ttheor ( για ΝΑ + ΝΒ -2) βαθμούς ελευθερίας) (τιμές από πίνακα βιβλίων στατιστικής) και αν texp  ttheor η μηδενική υπόθεση ισχύει, δηλαδή οι τιμές δεν διαφέρουν σημαντικά ή ότι τα δείγματα είναι ίδια.

128

Χημικό εργαστήριο (http://chimikoergastirio.blogspot.com/)

Βαθμοί ελευθερίας

Στάθμη εμπιστοσύνης

ν = Ν-1

80%

90%

95%

99%

1

3.078

6.314

12.706

63.657

2

1.886

2.920

4.303

9.925

3

1.638

2.353

3.182

5.841

4

1.533

2.132

2.776

4.604

5

1.476

2.015

2.571

4.032

6

1.440

1.943

2.447

3.707

7

1.415

1.895

2.365

3.500

8

1.397

1.860

2.306

3.355

9

1.383

1.833

2.262

3.250

10

1.372

1.812

2.228

3.169

11

1.363

1.796

2.201

3.106

12

1.356

1.782

2.179

3.055

15

1.341

1.753

2.131

2.947

20

1.325

1.725

2.086

2.845

30

1.310

1.697

2.042

2.787



1.282

1.645

1.960

2.576

129