Annex B - Four Elements Calculation
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- Words: 7,850
- Pages: 37
B. Cálculo por elementos finitos Desarrollo con cuatro elementos
Características físicas de la viga Propiedades del aluminio 6061 T6: Eal = 70 ∗ 109 H∗Pa∗L; Gal = 26 ∗ 109 H∗Pa∗L;
Dimensiones y propiedades de las secciones de los elementos 1 y 4: h1 = 0.12H∗m∗L; b1 = 0.08H∗m∗L; A1 = h1 ∗ b1; I1 = b1 ∗ h13 ê 12;
Dimensiones de las secciones de los elementos 2 y 3: h2 = 0.15H∗m∗L; b2 = 0.1H∗m∗L; A2 = h2 ∗ b2; I2 = b2 ∗ h23 ê 12;
Factor de corrección de Timoshenko para vigas rectangulares
Cálculo con cuatro elementos.nb
1
k = 5 ê 6;
Planteo de la matriz de interpolación x1 = 0; x2 = 2 ê 3; x3 = 4 ê 3; x4 = 2; L1 = HHx − x2L ∗ Hx − x3L ∗ Hx − x4LL ê HHx1 − x2L ∗ Hx1 − x3L ∗ Hx1 − x4LL; L2 = HHx − x1L ∗ Hx − x3L ∗ Hx − x4LL ê HHx2 − x1L ∗ Hx2 − x3L ∗ Hx2 − x4LL; L3 = HHx − x1L ∗ Hx − x2L ∗ Hx − x4LL ê HHx3 − x1L ∗ Hx3 − x2L ∗ Hx3 − x4LL; L4 = HHx − x1L ∗ Hx − x2L ∗ Hx − x3LL ê HHx4 − x1L ∗ Hx4 − x2L ∗ Hx4 − x3LL;
En función a los grados de libertad definidos, la matriz de interpolación es Ne = J
L1 L2 L3 L4 0 0 0 0 N; 0 0 0 0 L1 L2 L3 L4
Las matrices de interpolación para desplazamientos y giros son New = H L1 L2 L3 L4 0 0 0 0 L; Neβ = H 0 0 0 0 L1 L2 L3 L4 L;
En forma reducida, eliminando los elementos nulos, Nr = H L1 L2 L3 L4 L;
ü Planteo de la matriz B La matriz [B] está definida por B = ∂x Ne;
Análogamente para desplazamientos, giros Bw = ∂x New; Bβ = ∂x Neβ;
Cálculo con cuatro elementos.nb
2
En forma reducida, Br = ∂x Ner;
Discretización Planteamos un modelo de cuatro elementos, dando un total de 26 grados de libertad globales. En la figura A.1 se observa el detalle de la discretización y la numeración de los grados de libertad.
x y
2
1
14
3
15
4
16
5
17
6
18
8
7
19
20
9
21
11
10
22
12
24
23
L/4
L/4
L/4
L/4
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
Elemento 4
13
25
26
Figura B.1
Dentro de cada elemento, la numeración de los grados de libertad locales es según la figura B.2,
Cálculo con cuatro elementos.nb
3
xloc 2
1
yloc
5
3
6
4
8
7
L/4 = le
Figura B.2
Desarrollo de la matriz de rigidez ü Matrices de rigidez local le = 2H∗m∗LH∗Lonitud de cada elemento∗L;
Elemento 1 Kl1 = Eal ∗ I1 ∗ ‡
le
0
3.848 × 108 i j j j j j −4.914 × 108 j j j j j j 1.404 × 108 j j j j j j j −3.38 × 107 j j j j j j 1.04 × 108 j j j j j j 1.482 × 108 j j j j j j −6.24 × 107 j j j j 7 k 1.82 × 10
Transpose@BβD.Bβ x + Gal ∗ A1 ∗ k ∗ ‡
le
0
−4.914 × 108 9
1.1232 × 10
1.404 × 108 8
−7.722 × 10
−3.38 × 107 8
1.404 × 10
−7.722 × 108 1.1232 × 109 −4.914 × 108 8
1.404 × 10
8
8
−4.914 × 10 7
8
3.848 × 10
7
−1.482 × 10
6.24 × 10
−1.82 × 10
0
−2.106 × 108
6.24 × 107
8
Transpose@Bw − NeβD.HBw − NeβL x; MatrixForm@Kl1 D 1.04 × 108
1.482 × 108 8
8
−1.482 × 10
0
6.24 × 107
−2.106 × 108
7
2.106 × 10 0
7
−1.82 × 10
−1.482 × 108
6.24 × 10 7
3.31871 × 10
2.26092 × 107 8
−6.24 × 107
6
7
−8.36997 × 106
1.64812 × 108
−2.30509 × 107
2.26092 × 10
7
2.106 × 10
0
−1.482 × 10
−8.36997 × 10
−2.30509 × 10
1.64812 × 108
−6.24 × 107
1.482 × 108
−1.04 × 108
4.57372 × 106
−8.36997 × 106
2.26092 × 107
1.82 × 107
y z z z z z −6.24 × 10 z z z z z 8 z 1.482 × 10 z z z z z 8 z z −1.04 × 10 z z z 6 z z 4.57372 × 10 z z z z 6 z z −8.36997 × 10 z z z z 7 z z 2.26092 × 10 z z z z z 3.31871 × 107 { 7
Elemento 2
Cálculo con cuatro elementos.nb
4
Kl2 = Eal ∗ I2 ∗ ‡
le
0
Transpose@BβD.Bβ x + Gal ∗ A2 ∗ k ∗ ‡
le
0
6.0125 × 108 −7.67813 × 108 2.19375 × 108 i j j j j j −7.67813 × 108 1.755 × 109 −1.20656 × 109 j j j j j 8 9 j 2.19375 × 10 −1.20656 × 10 1.755 × 109 j j j j j j j −5.28125 × 107 2.19375 × 108 −7.67813 × 108 j j j j j j 1.625 × 108 −2.31563 × 108 9.75 × 107 j j j j j j 2.31563 × 108 0 −3.29063 × 108 j j j j 7 8 j j −9.75 × 10 3.29063 × 10 0 j j j j 7 7 2.84375 × 10 −9.75 × 10 2.31563 × 108 k
Transpose@Bw − NeβD.HBw − NeβL x; MatrixForm@Kl2 D
−5.28125 × 107
1.625 × 108
2.31563 × 108
−9.75 × 107
2.19375 × 108
−2.31563 × 108
0
3.29063 × 108
8
7
−7.67813 × 10 8
8
9.75 × 10
−3.29063 × 10 7
6.0125 × 10
−2.84375 × 10 7
7
−2.84375 × 10
5.3166 × 10
9.75 × 107
3.36524 × 107 8
7
−2.31563 × 108
9.75 × 10
7
−1.25997 × 107
2.61346 × 108
−3.86483 × 107
3.36524 × 10 7
0
7
−2.31563 × 10
−1.25997 × 10
−3.86483 × 10
2.61346 × 108
−1.625 × 108
7.03127 × 106
−1.25997 × 107
3.36524 × 107
−5.28125 × 107
1.625 × 108
2.31563 × 108
−9.75 × 107
2.19375 × 108
−2.31563 × 108
0
3.29063 × 108
2.84375 × 107 y z z z z −9.75 × 107 z z z z 8 z z 2.31563 × 10 z z z z z 8 z z −1.625 × 10 z z z z z z 7.03127 × 106 z z z z 7 z z −1.25997 × 10 z z z z 7 z z 3.36524 × 10 z z z z z 5.3166 × 107 {
Elemento 3 Kl3 = Kl2 ; MatrixForm@Kl3 D 6.0125 × 108 −7.67813 × 108 2.19375 × 108 i j j j j j −7.67813 × 108 1.755 × 109 −1.20656 × 109 j j j j j 2.19375 × 108 −1.20656 × 109 j 1.755 × 109 j j j j j 7 8 j j −5.28125 × 10 2.19375 × 10 −7.67813 × 108 j j j j j j 1.625 × 108 −2.31563 × 108 9.75 × 107 j j j j 8 j j 2.31563 × 10 0 −3.29063 × 108 j j j j 7 j j 3.29063 × 108 0 j j −9.75 × 10 j j 7 7 2.84375 × 10 −9.75 × 10 2.31563 × 108 k
8
7
8
−7.67813 × 10
9.75 × 10
−3.29063 × 10
0
6.0125 × 108
−2.84375 × 107
9.75 × 107
−2.31563 × 108
−2.84375 × 107
5.3166 × 107
3.36524 × 107
−1.25997 × 107
8
−3.86483 × 107
7
7
9.75 × 10
3.36524 × 10
2.61346 × 10
−2.31563 × 108 −1.25997 × 107 −3.86483 × 107 8
−1.625 × 10
6
7.03127 × 10
7
−1.25997 × 10
2.61346 × 108 3.36524 × 107
2.84375 × 107 y z z z z −9.75 × 107 z z z z z 8 z 2.31563 × 10 z z z z z 8 z z −1.625 × 10 z z z z 6 z z 7.03127 × 10 z z z z z z −1.25997 × 107 z z z z 7 z z 3.36524 × 10 z z z z 7 z 5.3166 × 10 {
Elemento 4 Kl4 = Kl1 ; MatrixForm@Kl4 D i 3.848 × 108 j j j j j −4.914 × 108 j j j j j j 1.404 × 108 j j j j j j j −3.38 × 107 j j j j j j 1.04 × 108 j j j j j j 1.482 × 108 j j j j j j −6.24 × 107 j j j j 7 k 1.82 × 10
−4.914 × 108 9
1.1232 × 10
1.404 × 108 8
−7.722 × 10
−3.38 × 107 8
1.404 × 10
−7.722 × 108 1.1232 × 109 −4.914 × 108 8
8
8
1.04 × 108
1.482 × 108 8
−6.24 × 107 8
−1.482 × 10
0
6.24 × 107
−2.106 × 108
0
6.24 × 107
−1.482 × 108
7
2.106 × 10
1.404 × 10
−4.914 × 10
3.848 × 10
−1.82 × 10
−1.482 × 108
6.24 × 107
−1.82 × 107
3.31871 × 107
2.26092 × 107
−8.36997 × 106
7
8
−2.30509 × 107
8
−2.106 × 10
0 2.106 × 108 7
−6.24 × 10
Cálculo con cuatro elementos.nb
7
6.24 × 10
2.26092 × 10
1.64812 × 10
−1.482 × 108 −8.36997 × 106 −2.30509 × 107
0 8
1.482 × 10
8
−1.04 × 10
6
4.57372 × 10
6
−8.36997 × 10
1.64812 × 108 2.26092 × 107
1.82 × 107
y z z z z z z z z z z 8 z 1.482 × 10 z z z z z 8 z z −1.04 × 10 z z z 6 z z 4.57372 × 10 z z z z 6 z z −8.36997 × 10 z z z z z z 2.26092 × 107 z z z z 7 z 3.31871 × 10 { −6.24 × 107
5
ü Matriz de conectividades 1 i j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j 4 j j j j j j 5 j j j j j 6 j j j j j 7 j j j j j 8 j j j j j j 1 j j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j j 4 j j j j j 5 j j j j j 6 j j j j j j 7 j j j j j j8 j conect = j j j 1 j j j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j 4 j j j j j 5 j j j j j j 6 j j j j j 7 j j j j j 8 j j j j j j 1 j j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j j 4 j j j j j 5 j j j j j 6 j j j j j 7 j j j k8
1 y z z z 2 z z z z z 3 z z z z z 4 z z z z z z 14 z z z z z 15 z z z z z 16 z z z z z 17 z z z z z z 4 z z z z z 5 z z z z z 6 z z z z z z 7 z z z z z 17 z z z z z 18 z z z z z z 19 z z z z z 20 z z z z; z 7 z z z z z z 8 z z z z z 9 z z z z z 10 z z z z z 20 z z z z z z 21 z z z z z 22 z z z z z 23 z z z z z z 10 z z z z z 11 z z z z z 12 z z z z z z 13 z z z z z 23 z z z z z 24 z z z z z 25 z z z z 26 {
Cálculo con cuatro elementos.nb
6
ü Ensamble de la matriz de rigidez global ce = 4; H∗número de elementos∗L gl = 88, 8, 8, 8<; H∗grados de libertad de cada elemento∗L n = 26; H∗grados de librertad globales∗L S = 0; H∗Variable auxiliar∗L Kg = Table@0, 8f, 1, n<, 8g, 1, n
jij 3.848µ108 jj jj 8 jj -4.914µ10 jj 8 jj 1.404µ10 jj jj -3.38µ107 jj jj 0 jjj jj jj 0 jj jj 0 jjj jj jj 0 jj jj 0 jj jj jj 0 jj jj 0 jj jj jj 0 jj jj j 0 jj jj jj 1.04µ108 jj jj 8 jj 1.482µ10 jj jj -6.24µ107 jj jj 7 j jj 1.82µ10 jj jj 0 jj jj 0 jj jj j 0 jj jj jj 0 jj jj 0 jjj jj jj 0 jj jj 0 jjj jj jj 0 jj jj 0 k
-4.914µ108
-3.38µ107
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.04µ108
1.482µ108
-6.24µ107
1.82µ107
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.1232µ109 -7.722µ108
1.404µ108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1.482µ108
0
2.106µ108
-6.24µ107
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-7.722µ108 1.1232µ109
-4.914µ108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6.24µ107
-2.106µ108
0
1.482µ108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-4.914µ108
9.8605µ108
-7.67813µ108
2.19375µ108
-5.28125µ107
0
0
0
0
0
0
-1.82µ107
6.24µ107
-1.482µ108
5.85µ107
2.31563µ108
-9.75µ107
2.84375µ107
0
0
0
0
0
0
0
-7.67813µ108
1.755µ109
-1.20656µ109
2.19375µ108
0
-2.31563µ108
0
3.29063µ108
-9.75µ107
0
0
0
0
0
0
0
2.19375µ108
-1.20656µ109
1.755µ109
-7.67813µ108
0
0
0
0
9.75µ107
-3.29063µ108
0
2.31563µ108
0
0
0
0
0
0
0
-5.28125µ107
2.19375µ108
-7.67813µ108
1.2025µ109
-7.67813µ108
2.19375µ108
-5.28125µ107
0
-2.84375µ107
9.75µ107
-2.31563µ108
0.
2.31563µ108
-9.75µ107
2.84375µ107
0
0
0
0
-7.67813µ108
1.755µ109
-1.20656µ109
2.19375µ108
0
-2.31563µ108
0
3.29063µ108
-9.75µ107
0
0
0
-1.20656µ109
1.755µ109
-7.67813µ108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9.75µ107
-3.29063µ108
0
2.31563µ108
0
0
0
2.19375µ108
-7.67813µ108
9.8605µ108
-4.914µ108
1.404µ108
-3.38µ107
0
0
0
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0
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-2.84375µ107
9.75µ107
-2.31563µ108
-5.85µ107
1.482µ108
-6.24µ107
1.82µ107
1.1232µ109 -7.722µ108
-6.24µ107
1.404µ108 0 0 0 0
1.404µ108
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-3.38µ107
1.404µ108
-4.914µ108
-1.482µ108
6.24µ107
-1.82µ107
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6.24µ107
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2.106µ108
0
-1.482µ108
0
0
0
0
0
0
-6.24µ107
1.482µ108
5.85µ107
-2.31563µ108
9.75µ107
-2.84375µ107
0
0
0
0
2.31563µ108
0
-3.29063µ108
9.75µ107
0
0
0
0
-9.75µ107
3.29063µ108
0
-2.31563µ108
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2.84375µ107
-9.75µ107
2.31563µ108
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0
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6.24µ107
-1.482µ108
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2.26092µ107
1.64812µ108
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-8.36997µ106
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2.31563µ108
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-9.75µ107
3.29063µ108
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-2.31563µ108
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-7.722µ108 1.1232µ109 -4.914µ108
-8.36997µ106 -2.30509µ107
1.64812µ108
-1.25997µ107 -3.86483µ107
2.61346µ108
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3.36524µ107
-1.25997µ107
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3.36524µ107
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-3.86483µ107 -1.25997µ107
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0 4.57372µ106
-1.25997µ107 -3.86483µ107
2.61346µ108
3.36524µ107
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2.84375µ107
-9.75µ107
2.31563µ108
-5.85µ107
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0
0
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2.26092µ107
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2.26092µ107
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0
0
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-6.24µ107
2.106µ108
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-1.482µ108
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0
0
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0
0
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1.82µ107
-6.24µ107
1.482µ108
-1.04µ108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Cálculo con cuatro elementos.nb
-8.36997µ106 -2.30509µ107 4.57372µ106
-8.36997µ106
1.64812µ108
2.26092µ107
2.26092µ107
3.31871µ107
zyz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz {
7
Desarrollo del vector de cargas ü Función de la carga distribuida a lo largo de la viga q0 = 5000H∗Nêm∗L; q = 4 ∗ q0 ∗ HHx ê 8L − Hx2 ê 64LL; Plot@q, 8x, 0, 8
2
Cálculo con cuatro elementos.nb
4
6
8
8
ü Desgloce de la carga distribuida en cada elemento q1 = q; Plot@q1, 8x, 0, 2
1
1.5
2
q2 = 4 ∗ q0 ∗ HHHx + 2L ê 8L − HHx + 2L2 ê 64LL; Plot@q2, 8x, 0, 2
Cálculo con cuatro elementos.nb
1
1.5
2
9
q3 = 4 ∗ q0 ∗ HHHx + 4L ê 8L − HHx + 4L2 ê 64LL; Plot@q3, 8x, 0, 2
1
1.5
2
q4 = 4 ∗ q0 ∗ HHHx + 6L ê 8L − HHx + 6L2 ê 64LL; Plot@q4, 8x, 0, 2
Cálculo con cuatro elementos.nb
1
1.5
2
10
ü Vectores de cargas local 2
fq1 = ‡ Transpose@NewD ∗ q1 x; MatrixForm@fq1 D 0
875 6
i y j z j z j z j z j z 750 j z j z j z j z 4875 j z j z j z 2 j z j z j z j 2500 z j z j z j z 3 j z j z j j z 0 z j z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z k 0 { 2
fq2 = ‡ Transpose@NewD ∗ q2 x; MatrixForm@fq2 D 0
i 1000 z y j j j 6375 z j z z j z j z 2 j z j z j z j z 3750 j z j z j z j z j z 7375 j z j z j z 6 j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j j 0 z z j z j z j z 0 k { 2
fq3 = ‡ Transpose@NewD ∗ q3 x; MatrixForm@fq3 D 0
7375 6
i y j z j z j z j z j z 3750 j z j z j z j z 6375 j z j z j z 2 j z j z j z j z j z 1000 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z k 0 {
Cálculo con cuatro elementos.nb
11
2
fq4 = ‡ Transpose@NewD ∗ q4 x; MatrixForm@fq4 D 0
2500 3 4875 2
i y j z j z j z j z j z j z j z j z j z j z j z 750 j z j z j z j z j 875 z j z j z j z 6 j z j z j z j z 0 j z j z j z j j z j z 0 z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z k 0 {
ü Matriz de conectividad (para los grados de libertad cargados) i1 j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j 4 j j j j j j 1 j j j j j 2 j j j j j3 j j j j j j4 j conectfq = j j j j1 j j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j j4 j j j j j 1 j j j j j 2 j j j j j j3 j j j k4
1 y z z z 2 z z z z z 3 z z z z z 4 z z z z z z 4 z z z z z 5 z z z z z 6 z z z z z 7 z z z z ; z z 7 z z z z z 8 z z z z z 9 z z z z z z 10 z z z z z 10 z z z z z 11 z z z z z z 12 z z z z 13 {
Cálculo con cuatro elementos.nb
12
ü Ensamblado del vector de cargas global S = 0; H∗Variable auxiliar∗L Fq = Table@0, 8f, 1, n
3500 y i j 3 z j z j z j z j z 6000 j z j z j z j j z 19500 z j z j z j z j z j z 44000 j z j z j z 3 j z j z j z j z 25500 j z j z j z j z j z 30000 j z j z j z j j 59000 z j z z j z j z 3 j z j z j z j z 30000 j z j z j z j z j 25500 z j z j z j z j z j z 44000 j z j z j z 3 j z j z j z j z 19500 j z j z j z j z j z 6000 j z j z j z j j z 3500 z j z j z j z 3 j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j j z 0 z j z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j j z 0 z j z j z j z j j z j 0 z z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z 0 k {
Cálculo con cuatro elementos.nb
13
Resolución del sistema de ecuaciones
ü Condiciones de contorno Imponemos las condiciones de contorno eliminando los grados de libertad 1, 13, 14 y 26 correspondientes a los desplazamientos y giros en los empotramientos. Kgsin1 = Drop@Kg, 81<, 81
Nos queda la matriz de rigidez global reducida MatrixForm@KgredD jijj 1.1232µ 109 jjj jjj jjj -7.722µ 108 jjj jjj jjj 1.404µ 108 jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 2.106µ 108 jjjjj jjj jjj -6.24µ 107 jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjjjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjjj jjj 0 k
-7.722µ108
1.404µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.106µ 108
-6.24µ 107
0
0
0
0
0
0
0
0
1.1232µ 109
-4.914µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
-2.106µ 108
0
1.482µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
-4.914µ108
9.8605µ 108
-7.67813µ 108
2.19375µ 108
-5.28125µ 107
0
0
0
0
0
6.24µ 107
-1.482µ 108
5.85µ107
2.31563µ 108
-9.75µ107
2.84375µ 107
0
0
0
0
0
0
-7.67813µ 108
1.755µ109
-1.20656µ109
2.19375µ 108
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0
0
0
0
0
0
-2.31563µ 108
0
3.29063µ 108
-9.75µ 107
0
0
0
0
0 0
0
2.19375µ108
-1.20656µ 109
1.755µ 109
-7.67813µ 108
0
0
0
0
0
0
0
9.75µ107
-3.29063µ 108
0
2.31563µ 108
0
0
0
0
0
-5.28125µ 107
2.19375µ 108
-7.67813µ108
1.2025µ 109
-7.67813µ 108
2.19375µ 108
-5.28125µ 107
0
0
0
0
-2.84375µ 107
9.75µ 107
-2.31563µ 108
0.
2.31563µ 108
-9.75µ 107
2.84375µ 107
0
0
0
0
0
0
-7.67813µ 108
1.755µ 109
-1.20656µ 109
2.19375µ 108
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0
0
0
0
0
0
-2.31563µ 108
0
3.29063µ 108
-9.75µ 107
0
0
0
0
0
0
2.19375µ 108
-1.20656µ 109
1.755µ 109
-7.67813µ 108
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0
0
0
0
0
0
9.75µ 107
-3.29063µ 108
0
2.31563µ 108
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0
0
0
0
0
-5.28125µ 107
2.19375µ 108
-7.67813µ 108
9.8605µ 108
-4.914µ108
1.404µ 108
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0
0
0
0
-2.84375µ 107
9.75µ 107
-2.31563µ 108
-5.85µ 107
1.482µ 108
-6.24µ 107
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0
0
0
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0
0
-4.914µ 108
1.1232µ 109 -7.722µ 108
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-1.482µ 108
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2.106µ 108
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0
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1.404µ 108
-7.722µ108 1.1232µ 109
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0
0
0
0
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6.24µ 107
-2.106µ108
0
-2.106µ108
6.24µ 107
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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1.64812µ 108
-2.30509µ 107 -8.36997µ 106
0
-1.482µ 108
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0
0
0
0
0
0
-2.30509µ 107
1.64812µ 108
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0
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1.482µ 108
5.85µ 107
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9.75µ 107
-2.84375µ 107
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0
0
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0
-8.36997µ 106
2.26092µ 107
8.63531µ 107
3.36524µ 107
-1.25997µ 107
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0
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2.31563µ108
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-3.29063µ108
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0
0
0
0
3.36524µ 107
2.61346µ 108
-3.86483µ 107 -1.25997µ 107
0
0
0
0
0
0
-9.75µ 107
3.29063µ 108
0
-2.31563µ 108
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0
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0
0
0
3.36524µ 107
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0
7.03127µ 106
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-9.75µ 107
2.31563µ 108
0.
-2.31563µ 108
9.75µ 107
-2.84375µ 107
0
0
0
0
7.03127µ 106
-1.25997µ 107
3.36524µ 107
1.06332µ 108
3.36524µ 107
-1.25997µ 107
0
0
0
0
2.31563µ 108
0
-3.29063µ 108
9.75µ107
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0
0
0
0
0
0
3.36524µ 107
2.61346µ 108
-3.86483µ 107 -1.25997µ 107
0
0
0
0
-9.75µ 107
3.29063µ 108
0
-2.31563µ 108
0
0
0
0
0
0
0
-1.25997µ 107 -3.86483µ 107
2.61346µ 108
0
0
3.36524µ 107
0
0
0
0
0
0
2.84375µ 107
-9.75µ 107
2.31563µ 108
-5.85µ 107
-1.482µ108
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0
0
0
0
0
7.03127µ 106
-1.25997µ 107
3.36524µ 107
8.63531µ 107
2.26092µ 107
-8.36997µ 106
0
0
0
0
0
0
0
1.482µ 108
0
-2.106µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
2.26092µ 107
1.64812µ 108
-2.30509µ 107
0
0
0
0
0
0
0
-6.24µ 107
2.106µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-8.36997µ 106 -2.30509µ107
1.64812µ 108
zyzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz z {
Hacemos lo mismo con el vector de cargas, Cálculo con cuatro elementos.nb
14
Fqsin1 = Drop@Fq, 81
Nos queda el vector de cargas reducido, MatrixForm@FqredD 6000 y i j z j j z j 19500 z z j z j z j z j z 44000 j z j z j z 3 j z j z j z j z 25500 j z j z j z j j 30000 z z j z j z j z j z j z 59000 j z j z j z 3 j z j z j z j z 30000 j z j z j z j z j z j z 25500 j z j z j z j 44000 z j z j z j z 3 j z j z j j z 19500 z j z j z j z j z j z j z 6000 j z j z j z j j z 0 z j z j z j z j z j 0 z j z j z j z j j z 0 z j z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z k 0 {
Cálculo con cuatro elementos.nb
15
ü Resolución del sistema de ecuaciones en "d" d = LinearSolve@Kgred, FqredD; MatrixForm@dD 0.0321986 y i j z j z j z j 0.104355 z j z j z j z j z j z 0.181174 j z j z j z j z j z 0.240847 j z j z j z j z j z 0.280864 j z j z j z j z j z j z 0.295399 j z j z j z j z j z 0.280864 j z j z j z j z j z 0.240847 j z j z j z j z j z 0.181174 j z j z j z j z j z j z 0.104355 j z j z j z j z j z 0.0321986 j z j z j z j z j z 0.0866663 j z j z j z j z j z 0.120049 j z j z j z j z j z j z 0.100895 j z j z j z j z j z 0.076155 j z j z j z j z j z 0.0421984 j z j z j z j z −15 j z j z 6.54163 × 10 j z j z j z j z j z −0.0421984 j z j z j z j z j z j z −0.076155 j z j z j z j z j z −0.100895 j z j z j z j z j z −0.120049 j z j z j z −0.0866663 k {
Quedándonos el vector de grados de libertad nodales resuelto. Ahora lo particionamos en desplazamientos y giros
Cálculo con cuatro elementos.nb
16
Despd = Take@d, 11D; MatrixForm@DespdD 0.0321986 y i j z j j z j 0.104355 z z j z j z j z j z j z 0.181174 j z j z j z j z j z 0.240847 j z j z j z j z j 0.280864 z j z j z j z j z j z j z 0.295399 j z j z j z j z j z 0.280864 j z j z j z j z j j 0.240847 z z j z j z j z j z 0.181174 j z j z j j z j 0.104355 z z j z j z j z 0.0321986 k { Girosd = Take@d, −11D; MatrixForm@GirosdD 0.0866663 y i j z j z j z j 0.120049 z j z j z j z j z j z 0.100895 j z j z j z j z j z 0.076155 j z j z j z j j z 0.0421984 z j z j z j z j z j z −15 j z 6.54163 × 10 j z j z j z j z j z j z −0.0421984 j z j z j z j z j z −0.076155 j z j z j z j z j z −0.100895 j z j z j z j z j z −0.120049 j z j z j z k −0.0866663 {
Y les agregamos los grados de libertad eliminados (nulos por condicion del empotramiento)
Cálculo con cuatro elementos.nb
17
Desp = Insert@Despd, 80<, 881<, 8−1<
Vamos a graficar ahora los desplazamientos verticales y los ángulos a lo largo de la viga.
Cálculo con cuatro elementos.nb
18
ListPlot@880, 0<, 80.6666666666, 0.032198618616328355<, 81.3333333333, 0.10435485999120411<, 82, 0.1811739879965519<, 82.666666666, 0.24084749958044113<, 83.3333333333, 0.2808637326896931<, 84, 0.2953988069522727<, 84.666666666666, 0.2808637326896986<, 85.333333333333, 0.24084749958045243<, 86, 0.18117398799656678<, 86.66666666666, 0.10435485999121592<, 87.33333333333, 0.032198618616332653<, 88, 0<<, AxesLabel → 8"Longitud de la viga@mD", "Desplazamientos en y @mD"
Desplazamientos en y @mD 0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
Longitud de la viga@mD 2
Cálculo con cuatro elementos.nb
4
6
8
19
ListPlot@880, 0<, 80.6666666666, 0.08666625358152108`<, 81.3333333333, 0.12004929933160005`<, 82, 0.1008954470929975`<, 82.666666666, 0.07615496418812548`<, 83.3333333333, 0.042198448807305194`<, 84, 3.3372091190207323`*^-15<, 84.666666666666, −0.04219844880729611`<, 85.333333333333, −0.07615496418811782`<, 86, −0.10089544709299493`<, 86.66666666666, −0.12004929933160978`<, 87.33333333333, −0.08666625358153174`<, 88, 0<<, AxesLabel → 8"Longitud de la viga@mD", "Giro de la sección @°D"
Giro de la sección @°D
0.1
0.05
Longitud de la viga@mD 2
4
6
8
-0.05
-0.1
Cálculo con cuatro elementos.nb
20
ü Interpolación de desplazamientos y giros dentro de cada elemento Tomamos del vector desplazamiento los valores correspondientes a cada uno de los cuatro elementos y lo interpolamos con las funciones de interpolación a lo largo de cada elemento. Desp1 = Take@Desp, 81, 4
Cálculo con cuatro elementos.nb
21
ü Desplazamientos elemento 1 IDesp1 = Nr.Desp1; Plot@IDesp1, 8x, 0, 2
1
1.5
2
ü Desplazamientos elemento 2 IDesp2 = Nr.Desp2; Plot@IDesp2, 8x, 0, 2
0.28 0.26 0.24 0.22
0.5
1
1.5
2
0.18
Cálculo con cuatro elementos.nb
22
ü Desplazamientos elemento 3 IDesp3 = Nr.Desp3; Plot@IDesp3, 8x, 0, 2
0.28 0.26 0.24 0.22
0.5
1
1.5
2
0.18
ü Desplazamientos elemento 4 IDesp4 = Nr.Desp4; Plot@IDesp4, 8x, 0, 2
1
1.5
2
Hacemos lo mismo con los giros.
Cálculo con cuatro elementos.nb
23
Giros1 = Take@Giros, 81, 4
Cálculo con cuatro elementos.nb
24
ü Giros elemento 1 IGiros1 = Nr.Giros1; Plot@IGiros1, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0.5
1
1.5
2
ü Giros elemento 2 IGiros2 = Nr.Giros2; Plot@IGiros2, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0.5
Cálculo con cuatro elementos.nb
1
1.5
2
25
ü Giros elemento 3 IGiros3 = Nr.Giros3; Plot@IGiros3, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1
ü Giros elemento 4 IGiros4 = Nr.Giros4; Plot@IGiros4, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 -0.12
Cálculo con cuatro elementos.nb
26
Cálculo de deformaciones y tensiones Cálculo de las deformaciones en cada elemento
ü Deformaciones axiales Elemento 1 exx1 = y ∗ Br.Desp1; Expand@exx1D 880.0000409406 + 0.0101591 x − 0.00357359 x2 <<
Elemento 2 exx2 = y ∗ Br.Desp2; Expand@exx2D 880.00608048 − 0.00186751 x − 0.000589668 x2 <<
Elemento 3 exx3 = y ∗ Br.Desp3; Expand@exx3D 880.0000132119 − 0.00422618 x + 0.000589668 x2 <<
Elemento 4 exx4 = y ∗ Br.Desp4; Expand@exx4D 88−0.00606471 − 0.0041353 x + 0.00357359 x2 <<
Las deformaciones axiales máximas serán las mas alejadas del eje neutro. Definimos entonces para cada elemento la distancia y mas alejada (será media altura de la viga) y graficamos para observar su variación a lo largo del eje x. Elemento 1
Cálculo con cuatro elementos.nb
27
y = 0.06; Plot@exx1, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.5
1
1.5
2
Clear@yD;
Elemento 2 y = 0.075; Plot@exx2, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.5
1
1.5
2
Clear@yD;
Elemento 3
Cálculo con cuatro elementos.nb
28
y = 0.075; Plot@exx3, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.001 -0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006
Clear@yD;
Elemento 4 y = 0.06; Plot@exx4, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.001 -0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006 -0.007
Clear@yD;
Cálculo con cuatro elementos.nb
29
ü Deformaciones por corte Calculamos las deformaciones por corte (presupuestas constantes a lo largo de la altura de la viga) y graficamos la variación a lo largo de cada elemento. Elemento 1 1 exy1 = ∗ k2 ∗ HBr.Desp1 + Ner.Giros1L; γ1 = 2 ∗ exy1; Expand@exy1D 2 880.000236925 + 0.117935 x − 0.0417858 x2 + 0.000145764 x3 << Plot@exy1, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.08
0.06
0.04
0.02
0.5
1
1.5
2
Elemento 2 1 exy2 = ∗ k2 ∗ HBr.Desp2 + Ner.Giros2L; γ2 = 2 ∗ exy2; Expand@exy2D 2 880.0702211 − 0.0211239 x − 0.00739295 x2 + 0.000190254 x3 <<
Cálculo con cuatro elementos.nb
30
Plot@exy2, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.5
1
1.5
2
Elemento 3 1 exy3 = ∗ k2 ∗ HBr.Desp3 + Ner.Giros3L; γ3 = 2 ∗ exy3; Expand@exy3D 2 880.0000764576 − 0.0484126 x + 0.00625143 x2 + 0.000190254 x3 << Plot@exy3, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 -0.06 -0.07
Elemento 4 1 exy4 = ∗ k2 ∗ HBr.Desp4 + Ner.Giros4L; γ4 = 2 ∗ exy4; Expand@exy4D 2 88−0.0701298 − 0.047459 x + 0.0409112 x2 + 0.000145764 x3 <<
Cálculo con cuatro elementos.nb
31
Plot@exy4, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
Cálculo de las tensiones en cada elemento
ü Tensiones Axiales Elemento 1 σxx1 = Eal ∗ exx1; Expand@σxx1D 882.86584 × 106 + 7.11135 × 108 x − 2.50151 × 108 x2 <<
Elemento 2 σxx2 = Eal ∗ exx2; Expand@σxx2D 884.25633 × 108 − 1.30726 × 108 x − 4.12768 × 107 x2 <<
Elemento 3 σxx3 = Eal ∗ exx3; Expand@σxx3D 88924831. − 2.95833 × 108 x + 4.12768 × 107 x2 <<
Cálculo con cuatro elementos.nb
32
Elemento 4 σxx4 = Eal ∗ exx4; Expand@σxx4D 88−4.2453 × 108 − 2.89471 × 108 x + 2.50151 × 108 x2 <<
Al igual que las deformaciones, las tensiones máximas serán las mas alejadas del eje neutro. Procedemos a calcular y a graficar las tensiones máximas a lo largo del eje x. Elemento 1 y = 0.06; Plot@σxx1, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 8
5×10
8
4×10
8
3×10
8
2×10
8
1×10
0.5
1
1.5
2
Clear@yD;
Elemento 2
Cálculo con cuatro elementos.nb
33
y = 0.075; Plot@σxx2, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 8
4×10
8
3×10
8
2×10
8
1×10
0.5
1
1.5
2
Clear @yD;
Elemento 3 y = 0.075; Plot@σxx3, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
8
-1×10
8
-2×10
8
-3×10
8
-4×10
Clear@yD;
Elemento 4
Cálculo con cuatro elementos.nb
34
y = 0.06; Plot@σxx4, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
8
-1×10
8
-2×10
8
-3×10
8
-4×10
8
-5×10
ü Tensiones de corte Calculamos las tensiones de corte y graficamos su variación a lo largo de cada elemento. Elemento 1 σxy1 = Gal ∗ γ1; Expand@σxy1D 881.23201 × 107 + 6.13262 × 109 x − 2.17286 × 109 x2 + 7.57971 × 106 x3 << Plot@σxy1, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 9
4×10
9
3×10
9
2×10
9
1×10
0.5
Cálculo con cuatro elementos.nb
1
1.5
2
35
Elemento 2 σxy2 = Gal ∗ γ2; Expand@σxy2D 883.6515 × 109 − 1.09844 × 109 x − 3.84433 × 108 x2 + 9.89319 × 106 x3 << Plot@σxy2, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 9
3.5×10
9
3×10
9
2.5×10
9
2×10
9
1.5×10
9
1×10
8
5×10
0.5
1
1.5
2
Elemento 3 σxy3 = Gal ∗ γ3; Expand@σxy3D 883.9758 × 106 − 2.51746 × 109 x + 3.25074 × 108 x2 + 9.89319 × 106 x3 << Plot@σxy3, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD;
8
0.5
1
1.5
2
-5×10
9
-1×10
9
-1.5×10
9
-2×10
9
-2.5×10
9
-3×10
9
-3.5×10
Cálculo con cuatro elementos.nb
36
Elemento 4 σxy4 = Gal ∗ γ4; Expand@σxy4D 88−3.64675 × 109 − 2.46787 × 109 x + 2.12738 × 109 x2 + 7.57971 × 106 x3 << Plot@σxy4, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
9
-1×10
9
-2×10
9
-3×10
9
-4×10
Cálculo con cuatro elementos.nb
37
Características físicas de la viga Propiedades del aluminio 6061 T6: Eal = 70 ∗ 109 H∗Pa∗L; Gal = 26 ∗ 109 H∗Pa∗L;
Dimensiones y propiedades de las secciones de los elementos 1 y 4: h1 = 0.12H∗m∗L; b1 = 0.08H∗m∗L; A1 = h1 ∗ b1; I1 = b1 ∗ h13 ê 12;
Dimensiones de las secciones de los elementos 2 y 3: h2 = 0.15H∗m∗L; b2 = 0.1H∗m∗L; A2 = h2 ∗ b2; I2 = b2 ∗ h23 ê 12;
Factor de corrección de Timoshenko para vigas rectangulares
Cálculo con cuatro elementos.nb
1
k = 5 ê 6;
Planteo de la matriz de interpolación x1 = 0; x2 = 2 ê 3; x3 = 4 ê 3; x4 = 2; L1 = HHx − x2L ∗ Hx − x3L ∗ Hx − x4LL ê HHx1 − x2L ∗ Hx1 − x3L ∗ Hx1 − x4LL; L2 = HHx − x1L ∗ Hx − x3L ∗ Hx − x4LL ê HHx2 − x1L ∗ Hx2 − x3L ∗ Hx2 − x4LL; L3 = HHx − x1L ∗ Hx − x2L ∗ Hx − x4LL ê HHx3 − x1L ∗ Hx3 − x2L ∗ Hx3 − x4LL; L4 = HHx − x1L ∗ Hx − x2L ∗ Hx − x3LL ê HHx4 − x1L ∗ Hx4 − x2L ∗ Hx4 − x3LL;
En función a los grados de libertad definidos, la matriz de interpolación es Ne = J
L1 L2 L3 L4 0 0 0 0 N; 0 0 0 0 L1 L2 L3 L4
Las matrices de interpolación para desplazamientos y giros son New = H L1 L2 L3 L4 0 0 0 0 L; Neβ = H 0 0 0 0 L1 L2 L3 L4 L;
En forma reducida, eliminando los elementos nulos, Nr = H L1 L2 L3 L4 L;
ü Planteo de la matriz B La matriz [B] está definida por B = ∂x Ne;
Análogamente para desplazamientos, giros Bw = ∂x New; Bβ = ∂x Neβ;
Cálculo con cuatro elementos.nb
2
En forma reducida, Br = ∂x Ner;
Discretización Planteamos un modelo de cuatro elementos, dando un total de 26 grados de libertad globales. En la figura A.1 se observa el detalle de la discretización y la numeración de los grados de libertad.
x y
2
1
14
3
15
4
16
5
17
6
18
8
7
19
20
9
21
11
10
22
12
24
23
L/4
L/4
L/4
L/4
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
Elemento 4
13
25
26
Figura B.1
Dentro de cada elemento, la numeración de los grados de libertad locales es según la figura B.2,
Cálculo con cuatro elementos.nb
3
xloc 2
1
yloc
5
3
6
4
8
7
L/4 = le
Figura B.2
Desarrollo de la matriz de rigidez ü Matrices de rigidez local le = 2H∗m∗LH∗Lonitud de cada elemento∗L;
Elemento 1 Kl1 = Eal ∗ I1 ∗ ‡
le
0
3.848 × 108 i j j j j j −4.914 × 108 j j j j j j 1.404 × 108 j j j j j j j −3.38 × 107 j j j j j j 1.04 × 108 j j j j j j 1.482 × 108 j j j j j j −6.24 × 107 j j j j 7 k 1.82 × 10
Transpose@BβD.Bβ x + Gal ∗ A1 ∗ k ∗ ‡
le
0
−4.914 × 108 9
1.1232 × 10
1.404 × 108 8
−7.722 × 10
−3.38 × 107 8
1.404 × 10
−7.722 × 108 1.1232 × 109 −4.914 × 108 8
1.404 × 10
8
8
−4.914 × 10 7
8
3.848 × 10
7
−1.482 × 10
6.24 × 10
−1.82 × 10
0
−2.106 × 108
6.24 × 107
8
Transpose@Bw − NeβD.HBw − NeβL x; MatrixForm@Kl1 D 1.04 × 108
1.482 × 108 8
8
−1.482 × 10
0
6.24 × 107
−2.106 × 108
7
2.106 × 10 0
7
−1.82 × 10
−1.482 × 108
6.24 × 10 7
3.31871 × 10
2.26092 × 107 8
−6.24 × 107
6
7
−8.36997 × 106
1.64812 × 108
−2.30509 × 107
2.26092 × 10
7
2.106 × 10
0
−1.482 × 10
−8.36997 × 10
−2.30509 × 10
1.64812 × 108
−6.24 × 107
1.482 × 108
−1.04 × 108
4.57372 × 106
−8.36997 × 106
2.26092 × 107
1.82 × 107
y z z z z z −6.24 × 10 z z z z z 8 z 1.482 × 10 z z z z z 8 z z −1.04 × 10 z z z 6 z z 4.57372 × 10 z z z z 6 z z −8.36997 × 10 z z z z 7 z z 2.26092 × 10 z z z z z 3.31871 × 107 { 7
Elemento 2
Cálculo con cuatro elementos.nb
4
Kl2 = Eal ∗ I2 ∗ ‡
le
0
Transpose@BβD.Bβ x + Gal ∗ A2 ∗ k ∗ ‡
le
0
6.0125 × 108 −7.67813 × 108 2.19375 × 108 i j j j j j −7.67813 × 108 1.755 × 109 −1.20656 × 109 j j j j j 8 9 j 2.19375 × 10 −1.20656 × 10 1.755 × 109 j j j j j j j −5.28125 × 107 2.19375 × 108 −7.67813 × 108 j j j j j j 1.625 × 108 −2.31563 × 108 9.75 × 107 j j j j j j 2.31563 × 108 0 −3.29063 × 108 j j j j 7 8 j j −9.75 × 10 3.29063 × 10 0 j j j j 7 7 2.84375 × 10 −9.75 × 10 2.31563 × 108 k
Transpose@Bw − NeβD.HBw − NeβL x; MatrixForm@Kl2 D
−5.28125 × 107
1.625 × 108
2.31563 × 108
−9.75 × 107
2.19375 × 108
−2.31563 × 108
0
3.29063 × 108
8
7
−7.67813 × 10 8
8
9.75 × 10
−3.29063 × 10 7
6.0125 × 10
−2.84375 × 10 7
7
−2.84375 × 10
5.3166 × 10
9.75 × 107
3.36524 × 107 8
7
−2.31563 × 108
9.75 × 10
7
−1.25997 × 107
2.61346 × 108
−3.86483 × 107
3.36524 × 10 7
0
7
−2.31563 × 10
−1.25997 × 10
−3.86483 × 10
2.61346 × 108
−1.625 × 108
7.03127 × 106
−1.25997 × 107
3.36524 × 107
−5.28125 × 107
1.625 × 108
2.31563 × 108
−9.75 × 107
2.19375 × 108
−2.31563 × 108
0
3.29063 × 108
2.84375 × 107 y z z z z −9.75 × 107 z z z z 8 z z 2.31563 × 10 z z z z z 8 z z −1.625 × 10 z z z z z z 7.03127 × 106 z z z z 7 z z −1.25997 × 10 z z z z 7 z z 3.36524 × 10 z z z z z 5.3166 × 107 {
Elemento 3 Kl3 = Kl2 ; MatrixForm@Kl3 D 6.0125 × 108 −7.67813 × 108 2.19375 × 108 i j j j j j −7.67813 × 108 1.755 × 109 −1.20656 × 109 j j j j j 2.19375 × 108 −1.20656 × 109 j 1.755 × 109 j j j j j 7 8 j j −5.28125 × 10 2.19375 × 10 −7.67813 × 108 j j j j j j 1.625 × 108 −2.31563 × 108 9.75 × 107 j j j j 8 j j 2.31563 × 10 0 −3.29063 × 108 j j j j 7 j j 3.29063 × 108 0 j j −9.75 × 10 j j 7 7 2.84375 × 10 −9.75 × 10 2.31563 × 108 k
8
7
8
−7.67813 × 10
9.75 × 10
−3.29063 × 10
0
6.0125 × 108
−2.84375 × 107
9.75 × 107
−2.31563 × 108
−2.84375 × 107
5.3166 × 107
3.36524 × 107
−1.25997 × 107
8
−3.86483 × 107
7
7
9.75 × 10
3.36524 × 10
2.61346 × 10
−2.31563 × 108 −1.25997 × 107 −3.86483 × 107 8
−1.625 × 10
6
7.03127 × 10
7
−1.25997 × 10
2.61346 × 108 3.36524 × 107
2.84375 × 107 y z z z z −9.75 × 107 z z z z z 8 z 2.31563 × 10 z z z z z 8 z z −1.625 × 10 z z z z 6 z z 7.03127 × 10 z z z z z z −1.25997 × 107 z z z z 7 z z 3.36524 × 10 z z z z 7 z 5.3166 × 10 {
Elemento 4 Kl4 = Kl1 ; MatrixForm@Kl4 D i 3.848 × 108 j j j j j −4.914 × 108 j j j j j j 1.404 × 108 j j j j j j j −3.38 × 107 j j j j j j 1.04 × 108 j j j j j j 1.482 × 108 j j j j j j −6.24 × 107 j j j j 7 k 1.82 × 10
−4.914 × 108 9
1.1232 × 10
1.404 × 108 8
−7.722 × 10
−3.38 × 107 8
1.404 × 10
−7.722 × 108 1.1232 × 109 −4.914 × 108 8
8
8
1.04 × 108
1.482 × 108 8
−6.24 × 107 8
−1.482 × 10
0
6.24 × 107
−2.106 × 108
0
6.24 × 107
−1.482 × 108
7
2.106 × 10
1.404 × 10
−4.914 × 10
3.848 × 10
−1.82 × 10
−1.482 × 108
6.24 × 107
−1.82 × 107
3.31871 × 107
2.26092 × 107
−8.36997 × 106
7
8
−2.30509 × 107
8
−2.106 × 10
0 2.106 × 108 7
−6.24 × 10
Cálculo con cuatro elementos.nb
7
6.24 × 10
2.26092 × 10
1.64812 × 10
−1.482 × 108 −8.36997 × 106 −2.30509 × 107
0 8
1.482 × 10
8
−1.04 × 10
6
4.57372 × 10
6
−8.36997 × 10
1.64812 × 108 2.26092 × 107
1.82 × 107
y z z z z z z z z z z 8 z 1.482 × 10 z z z z z 8 z z −1.04 × 10 z z z 6 z z 4.57372 × 10 z z z z 6 z z −8.36997 × 10 z z z z z z 2.26092 × 107 z z z z 7 z 3.31871 × 10 { −6.24 × 107
5
ü Matriz de conectividades 1 i j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j 4 j j j j j j 5 j j j j j 6 j j j j j 7 j j j j j 8 j j j j j j 1 j j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j j 4 j j j j j 5 j j j j j 6 j j j j j j 7 j j j j j j8 j conect = j j j 1 j j j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j 4 j j j j j 5 j j j j j j 6 j j j j j 7 j j j j j 8 j j j j j j 1 j j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j j 4 j j j j j 5 j j j j j 6 j j j j j 7 j j j k8
1 y z z z 2 z z z z z 3 z z z z z 4 z z z z z z 14 z z z z z 15 z z z z z 16 z z z z z 17 z z z z z z 4 z z z z z 5 z z z z z 6 z z z z z z 7 z z z z z 17 z z z z z 18 z z z z z z 19 z z z z z 20 z z z z; z 7 z z z z z z 8 z z z z z 9 z z z z z 10 z z z z z 20 z z z z z z 21 z z z z z 22 z z z z z 23 z z z z z z 10 z z z z z 11 z z z z z 12 z z z z z z 13 z z z z z 23 z z z z z 24 z z z z z 25 z z z z 26 {
Cálculo con cuatro elementos.nb
6
ü Ensamble de la matriz de rigidez global ce = 4; H∗número de elementos∗L gl = 88, 8, 8, 8<; H∗grados de libertad de cada elemento∗L n = 26; H∗grados de librertad globales∗L S = 0; H∗Variable auxiliar∗L Kg = Table@0, 8f, 1, n<, 8g, 1, n
jij 3.848µ108 jj jj 8 jj -4.914µ10 jj 8 jj 1.404µ10 jj jj -3.38µ107 jj jj 0 jjj jj jj 0 jj jj 0 jjj jj jj 0 jj jj 0 jj jj jj 0 jj jj 0 jj jj jj 0 jj jj j 0 jj jj jj 1.04µ108 jj jj 8 jj 1.482µ10 jj jj -6.24µ107 jj jj 7 j jj 1.82µ10 jj jj 0 jj jj 0 jj jj j 0 jj jj jj 0 jj jj 0 jjj jj jj 0 jj jj 0 jjj jj jj 0 jj jj 0 k
-4.914µ108
-3.38µ107
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0
0
0
0
0
0
0
0
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1.482µ108
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1.82µ107
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0
0
0
0
0
0
0
0
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1.404µ108
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0
0
0
0
0
0
0
-1.482µ108
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-7.722µ108 1.1232µ109
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6.24µ107
-2.106µ108
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6.24µ107
-1.482µ108
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-9.75µ107
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-2.31563µ108
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0
-5.28125µ107
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-7.67813µ108
1.2025µ109
-7.67813µ108
2.19375µ108
-5.28125µ107
0
-2.84375µ107
9.75µ107
-2.31563µ108
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2.31563µ108
-9.75µ107
2.84375µ107
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0
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-7.67813µ108
1.755µ109
-1.20656µ109
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-2.31563µ108
0
3.29063µ108
-9.75µ107
0
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0
-1.20656µ109
1.755µ109
-7.67813µ108
0
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0
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0
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9.75µ107
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-7.67813µ108
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-2.31563µ108
-5.85µ107
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-6.24µ107
1.82µ107
1.1232µ109 -7.722µ108
-6.24µ107
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1.482µ108
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3.29063µ108
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-2.31563µ108
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6.24µ107
-1.482µ108
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-9.75µ107
3.29063µ108
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-2.31563µ108
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-7.722µ108 1.1232µ109 -4.914µ108
-8.36997µ106 -2.30509µ107
1.64812µ108
-1.25997µ107 -3.86483µ107
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-1.25997µ107
3.36524µ107
1.06332µ108
3.36524µ107
-1.25997µ107
7.03127µ106
0
0
0
0
0
0
3.36524µ107
2.61346µ108
-3.86483µ107 -1.25997µ107
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0 4.57372µ106
-1.25997µ107 -3.86483µ107
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3.36524µ107
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2.84375µ107
-9.75µ107
2.31563µ108
-5.85µ107
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6.24µ107
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2.26092µ107
1.64812µ108
-2.30509µ107 -8.36997µ106
0
0
0
0
0
0
0
0
-6.24µ107
2.106µ108
0
-1.482µ108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.82µ107
-6.24µ107
1.482µ108
-1.04µ108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Cálculo con cuatro elementos.nb
-8.36997µ106 -2.30509µ107 4.57372µ106
-8.36997µ106
1.64812µ108
2.26092µ107
2.26092µ107
3.31871µ107
zyz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz {
7
Desarrollo del vector de cargas ü Función de la carga distribuida a lo largo de la viga q0 = 5000H∗Nêm∗L; q = 4 ∗ q0 ∗ HHx ê 8L − Hx2 ê 64LL; Plot@q, 8x, 0, 8
2
Cálculo con cuatro elementos.nb
4
6
8
8
ü Desgloce de la carga distribuida en cada elemento q1 = q; Plot@q1, 8x, 0, 2
1
1.5
2
q2 = 4 ∗ q0 ∗ HHHx + 2L ê 8L − HHx + 2L2 ê 64LL; Plot@q2, 8x, 0, 2
Cálculo con cuatro elementos.nb
1
1.5
2
9
q3 = 4 ∗ q0 ∗ HHHx + 4L ê 8L − HHx + 4L2 ê 64LL; Plot@q3, 8x, 0, 2
1
1.5
2
q4 = 4 ∗ q0 ∗ HHHx + 6L ê 8L − HHx + 6L2 ê 64LL; Plot@q4, 8x, 0, 2
Cálculo con cuatro elementos.nb
1
1.5
2
10
ü Vectores de cargas local 2
fq1 = ‡ Transpose@NewD ∗ q1 x; MatrixForm@fq1 D 0
875 6
i y j z j z j z j z j z 750 j z j z j z j z 4875 j z j z j z 2 j z j z j z j 2500 z j z j z j z 3 j z j z j j z 0 z j z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z k 0 { 2
fq2 = ‡ Transpose@NewD ∗ q2 x; MatrixForm@fq2 D 0
i 1000 z y j j j 6375 z j z z j z j z 2 j z j z j z j z 3750 j z j z j z j z j z 7375 j z j z j z 6 j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j j 0 z z j z j z j z 0 k { 2
fq3 = ‡ Transpose@NewD ∗ q3 x; MatrixForm@fq3 D 0
7375 6
i y j z j z j z j z j z 3750 j z j z j z j z 6375 j z j z j z 2 j z j z j z j z j z 1000 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z k 0 {
Cálculo con cuatro elementos.nb
11
2
fq4 = ‡ Transpose@NewD ∗ q4 x; MatrixForm@fq4 D 0
2500 3 4875 2
i y j z j z j z j z j z j z j z j z j z j z j z 750 j z j z j z j z j 875 z j z j z j z 6 j z j z j z j z 0 j z j z j z j j z j z 0 z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z k 0 {
ü Matriz de conectividad (para los grados de libertad cargados) i1 j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j 4 j j j j j j 1 j j j j j 2 j j j j j3 j j j j j j4 j conectfq = j j j j1 j j j j j 2 j j j j j 3 j j j j j j4 j j j j j 1 j j j j j 2 j j j j j j3 j j j k4
1 y z z z 2 z z z z z 3 z z z z z 4 z z z z z z 4 z z z z z 5 z z z z z 6 z z z z z 7 z z z z ; z z 7 z z z z z 8 z z z z z 9 z z z z z z 10 z z z z z 10 z z z z z 11 z z z z z z 12 z z z z 13 {
Cálculo con cuatro elementos.nb
12
ü Ensamblado del vector de cargas global S = 0; H∗Variable auxiliar∗L Fq = Table@0, 8f, 1, n
3500 y i j 3 z j z j z j z j z 6000 j z j z j z j j z 19500 z j z j z j z j z j z 44000 j z j z j z 3 j z j z j z j z 25500 j z j z j z j z j z 30000 j z j z j z j j 59000 z j z z j z j z 3 j z j z j z j z 30000 j z j z j z j z j 25500 z j z j z j z j z j z 44000 j z j z j z 3 j z j z j z j z 19500 j z j z j z j z j z 6000 j z j z j z j j z 3500 z j z j z j z 3 j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j j z 0 z j z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j j z 0 z j z j z j z j j z j 0 z z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z 0 k {
Cálculo con cuatro elementos.nb
13
Resolución del sistema de ecuaciones
ü Condiciones de contorno Imponemos las condiciones de contorno eliminando los grados de libertad 1, 13, 14 y 26 correspondientes a los desplazamientos y giros en los empotramientos. Kgsin1 = Drop@Kg, 81<, 81
Nos queda la matriz de rigidez global reducida MatrixForm@KgredD jijj 1.1232µ 109 jjj jjj jjj -7.722µ 108 jjj jjj jjj 1.404µ 108 jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 2.106µ 108 jjjjj jjj jjj -6.24µ 107 jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjjjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjj jjj jjj 0 jjjj jjj 0 k
-7.722µ108
1.404µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.106µ 108
-6.24µ 107
0
0
0
0
0
0
0
0
1.1232µ 109
-4.914µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
-2.106µ 108
0
1.482µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
-4.914µ108
9.8605µ 108
-7.67813µ 108
2.19375µ 108
-5.28125µ 107
0
0
0
0
0
6.24µ 107
-1.482µ 108
5.85µ107
2.31563µ 108
-9.75µ107
2.84375µ 107
0
0
0
0
0
0
-7.67813µ 108
1.755µ109
-1.20656µ109
2.19375µ 108
0
0
0
0
0
0
0
-2.31563µ 108
0
3.29063µ 108
-9.75µ 107
0
0
0
0
0 0
0
2.19375µ108
-1.20656µ 109
1.755µ 109
-7.67813µ 108
0
0
0
0
0
0
0
9.75µ107
-3.29063µ 108
0
2.31563µ 108
0
0
0
0
0
-5.28125µ 107
2.19375µ 108
-7.67813µ108
1.2025µ 109
-7.67813µ 108
2.19375µ 108
-5.28125µ 107
0
0
0
0
-2.84375µ 107
9.75µ 107
-2.31563µ 108
0.
2.31563µ 108
-9.75µ 107
2.84375µ 107
0
0
0
0
0
0
-7.67813µ 108
1.755µ 109
-1.20656µ 109
2.19375µ 108
0
0
0
0
0
0
0
-2.31563µ 108
0
3.29063µ 108
-9.75µ 107
0
0
0
0
0
0
2.19375µ 108
-1.20656µ 109
1.755µ 109
-7.67813µ 108
0
0
0
0
0
0
0
9.75µ 107
-3.29063µ 108
0
2.31563µ 108
0
0
0
0
0
0
-5.28125µ 107
2.19375µ 108
-7.67813µ 108
9.8605µ 108
-4.914µ108
1.404µ 108
0
0
0
0
0
-2.84375µ 107
9.75µ 107
-2.31563µ 108
-5.85µ 107
1.482µ 108
-6.24µ 107
0
0
0
0
0
0
0
-4.914µ 108
1.1232µ 109 -7.722µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
-1.482µ 108
0
2.106µ 108
0
0
0
0
0
0
0
1.404µ 108
-7.722µ108 1.1232µ 109
0
0
0
0
0
0
0
0
6.24µ 107
-2.106µ108
0
-2.106µ108
6.24µ 107
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.64812µ 108
-2.30509µ 107 -8.36997µ 106
0
-1.482µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
-2.30509µ 107
1.64812µ 108
2.26092µ 107
0
0
0
0
0
0
0
0
1.482µ 108
5.85µ 107
-2.31563µ 108
9.75µ 107
-2.84375µ 107
0
0
0
0
0
-8.36997µ 106
2.26092µ 107
8.63531µ 107
3.36524µ 107
-1.25997µ 107
7.03127µ 106
0
0
0
0
0
0
2.31563µ108
0
-3.29063µ108
9.75µ 107
0
0
0
0
0
0
0
3.36524µ 107
2.61346µ 108
-3.86483µ 107 -1.25997µ 107
0
0
0
0
0
0
-9.75µ 107
3.29063µ 108
0
-2.31563µ 108
0
0
0
0
0
0
0
3.36524µ 107
0
0
0
0
0
7.03127µ 106
0
0
-1.25997µ 107 -3.86483µ 107
2.61346µ 108
0
2.84375µ107
-9.75µ 107
2.31563µ 108
0.
-2.31563µ 108
9.75µ 107
-2.84375µ 107
0
0
0
0
7.03127µ 106
-1.25997µ 107
3.36524µ 107
1.06332µ 108
3.36524µ 107
-1.25997µ 107
0
0
0
0
2.31563µ 108
0
-3.29063µ 108
9.75µ107
0
0
0
0
0
0
0
3.36524µ 107
2.61346µ 108
-3.86483µ 107 -1.25997µ 107
0
0
0
0
-9.75µ 107
3.29063µ 108
0
-2.31563µ 108
0
0
0
0
0
0
0
-1.25997µ 107 -3.86483µ 107
2.61346µ 108
0
0
3.36524µ 107
0
0
0
0
0
0
2.84375µ 107
-9.75µ 107
2.31563µ 108
-5.85µ 107
-1.482µ108
6.24µ 107
0
0
0
0
0
7.03127µ 106
-1.25997µ 107
3.36524µ 107
8.63531µ 107
2.26092µ 107
-8.36997µ 106
0
0
0
0
0
0
0
1.482µ 108
0
-2.106µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
2.26092µ 107
1.64812µ 108
-2.30509µ 107
0
0
0
0
0
0
0
-6.24µ 107
2.106µ 108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-8.36997µ 106 -2.30509µ107
1.64812µ 108
zyzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz z {
Hacemos lo mismo con el vector de cargas, Cálculo con cuatro elementos.nb
14
Fqsin1 = Drop@Fq, 81
Nos queda el vector de cargas reducido, MatrixForm@FqredD 6000 y i j z j j z j 19500 z z j z j z j z j z 44000 j z j z j z 3 j z j z j z j z 25500 j z j z j z j j 30000 z z j z j z j z j z j z 59000 j z j z j z 3 j z j z j z j z 30000 j z j z j z j z j z j z 25500 j z j z j z j 44000 z j z j z j z 3 j z j z j j z 19500 z j z j z j z j z j z j z 6000 j z j z j z j j z 0 z j z j z j z j z j 0 z j z j z j z j j z 0 z j z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z j z j z 0 j z j z j z k 0 {
Cálculo con cuatro elementos.nb
15
ü Resolución del sistema de ecuaciones en "d" d = LinearSolve@Kgred, FqredD; MatrixForm@dD 0.0321986 y i j z j z j z j 0.104355 z j z j z j z j z j z 0.181174 j z j z j z j z j z 0.240847 j z j z j z j z j z 0.280864 j z j z j z j z j z j z 0.295399 j z j z j z j z j z 0.280864 j z j z j z j z j z 0.240847 j z j z j z j z j z 0.181174 j z j z j z j z j z j z 0.104355 j z j z j z j z j z 0.0321986 j z j z j z j z j z 0.0866663 j z j z j z j z j z 0.120049 j z j z j z j z j z j z 0.100895 j z j z j z j z j z 0.076155 j z j z j z j z j z 0.0421984 j z j z j z j z −15 j z j z 6.54163 × 10 j z j z j z j z j z −0.0421984 j z j z j z j z j z j z −0.076155 j z j z j z j z j z −0.100895 j z j z j z j z j z −0.120049 j z j z j z −0.0866663 k {
Quedándonos el vector de grados de libertad nodales resuelto. Ahora lo particionamos en desplazamientos y giros
Cálculo con cuatro elementos.nb
16
Despd = Take@d, 11D; MatrixForm@DespdD 0.0321986 y i j z j j z j 0.104355 z z j z j z j z j z j z 0.181174 j z j z j z j z j z 0.240847 j z j z j z j z j 0.280864 z j z j z j z j z j z j z 0.295399 j z j z j z j z j z 0.280864 j z j z j z j z j j 0.240847 z z j z j z j z j z 0.181174 j z j z j j z j 0.104355 z z j z j z j z 0.0321986 k { Girosd = Take@d, −11D; MatrixForm@GirosdD 0.0866663 y i j z j z j z j 0.120049 z j z j z j z j z j z 0.100895 j z j z j z j z j z 0.076155 j z j z j z j j z 0.0421984 z j z j z j z j z j z −15 j z 6.54163 × 10 j z j z j z j z j z j z −0.0421984 j z j z j z j z j z −0.076155 j z j z j z j z j z −0.100895 j z j z j z j z j z −0.120049 j z j z j z k −0.0866663 {
Y les agregamos los grados de libertad eliminados (nulos por condicion del empotramiento)
Cálculo con cuatro elementos.nb
17
Desp = Insert@Despd, 80<, 881<, 8−1<
Vamos a graficar ahora los desplazamientos verticales y los ángulos a lo largo de la viga.
Cálculo con cuatro elementos.nb
18
ListPlot@880, 0<, 80.6666666666, 0.032198618616328355<, 81.3333333333, 0.10435485999120411<, 82, 0.1811739879965519<, 82.666666666, 0.24084749958044113<, 83.3333333333, 0.2808637326896931<, 84, 0.2953988069522727<, 84.666666666666, 0.2808637326896986<, 85.333333333333, 0.24084749958045243<, 86, 0.18117398799656678<, 86.66666666666, 0.10435485999121592<, 87.33333333333, 0.032198618616332653<, 88, 0<<, AxesLabel → 8"Longitud de la viga@mD", "Desplazamientos en y @mD"
Desplazamientos en y @mD 0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
Longitud de la viga@mD 2
Cálculo con cuatro elementos.nb
4
6
8
19
ListPlot@880, 0<, 80.6666666666, 0.08666625358152108`<, 81.3333333333, 0.12004929933160005`<, 82, 0.1008954470929975`<, 82.666666666, 0.07615496418812548`<, 83.3333333333, 0.042198448807305194`<, 84, 3.3372091190207323`*^-15<, 84.666666666666, −0.04219844880729611`<, 85.333333333333, −0.07615496418811782`<, 86, −0.10089544709299493`<, 86.66666666666, −0.12004929933160978`<, 87.33333333333, −0.08666625358153174`<, 88, 0<<, AxesLabel → 8"Longitud de la viga@mD", "Giro de la sección @°D"
Giro de la sección @°D
0.1
0.05
Longitud de la viga@mD 2
4
6
8
-0.05
-0.1
Cálculo con cuatro elementos.nb
20
ü Interpolación de desplazamientos y giros dentro de cada elemento Tomamos del vector desplazamiento los valores correspondientes a cada uno de los cuatro elementos y lo interpolamos con las funciones de interpolación a lo largo de cada elemento. Desp1 = Take@Desp, 81, 4
Cálculo con cuatro elementos.nb
21
ü Desplazamientos elemento 1 IDesp1 = Nr.Desp1; Plot@IDesp1, 8x, 0, 2
1
1.5
2
ü Desplazamientos elemento 2 IDesp2 = Nr.Desp2; Plot@IDesp2, 8x, 0, 2
0.28 0.26 0.24 0.22
0.5
1
1.5
2
0.18
Cálculo con cuatro elementos.nb
22
ü Desplazamientos elemento 3 IDesp3 = Nr.Desp3; Plot@IDesp3, 8x, 0, 2
0.28 0.26 0.24 0.22
0.5
1
1.5
2
0.18
ü Desplazamientos elemento 4 IDesp4 = Nr.Desp4; Plot@IDesp4, 8x, 0, 2
1
1.5
2
Hacemos lo mismo con los giros.
Cálculo con cuatro elementos.nb
23
Giros1 = Take@Giros, 81, 4
Cálculo con cuatro elementos.nb
24
ü Giros elemento 1 IGiros1 = Nr.Giros1; Plot@IGiros1, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0.5
1
1.5
2
ü Giros elemento 2 IGiros2 = Nr.Giros2; Plot@IGiros2, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0.5
Cálculo con cuatro elementos.nb
1
1.5
2
25
ü Giros elemento 3 IGiros3 = Nr.Giros3; Plot@IGiros3, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1
ü Giros elemento 4 IGiros4 = Nr.Giros4; Plot@IGiros4, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 -0.12
Cálculo con cuatro elementos.nb
26
Cálculo de deformaciones y tensiones Cálculo de las deformaciones en cada elemento
ü Deformaciones axiales Elemento 1 exx1 = y ∗ Br.Desp1; Expand@exx1D 880.0000409406 + 0.0101591 x − 0.00357359 x2 <<
Elemento 2 exx2 = y ∗ Br.Desp2; Expand@exx2D 880.00608048 − 0.00186751 x − 0.000589668 x2 <<
Elemento 3 exx3 = y ∗ Br.Desp3; Expand@exx3D 880.0000132119 − 0.00422618 x + 0.000589668 x2 <<
Elemento 4 exx4 = y ∗ Br.Desp4; Expand@exx4D 88−0.00606471 − 0.0041353 x + 0.00357359 x2 <<
Las deformaciones axiales máximas serán las mas alejadas del eje neutro. Definimos entonces para cada elemento la distancia y mas alejada (será media altura de la viga) y graficamos para observar su variación a lo largo del eje x. Elemento 1
Cálculo con cuatro elementos.nb
27
y = 0.06; Plot@exx1, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.5
1
1.5
2
Clear@yD;
Elemento 2 y = 0.075; Plot@exx2, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.5
1
1.5
2
Clear@yD;
Elemento 3
Cálculo con cuatro elementos.nb
28
y = 0.075; Plot@exx3, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.001 -0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006
Clear@yD;
Elemento 4 y = 0.06; Plot@exx4, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.001 -0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006 -0.007
Clear@yD;
Cálculo con cuatro elementos.nb
29
ü Deformaciones por corte Calculamos las deformaciones por corte (presupuestas constantes a lo largo de la altura de la viga) y graficamos la variación a lo largo de cada elemento. Elemento 1 1 exy1 = ∗ k2 ∗ HBr.Desp1 + Ner.Giros1L; γ1 = 2 ∗ exy1; Expand@exy1D 2 880.000236925 + 0.117935 x − 0.0417858 x2 + 0.000145764 x3 << Plot@exy1, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.08
0.06
0.04
0.02
0.5
1
1.5
2
Elemento 2 1 exy2 = ∗ k2 ∗ HBr.Desp2 + Ner.Giros2L; γ2 = 2 ∗ exy2; Expand@exy2D 2 880.0702211 − 0.0211239 x − 0.00739295 x2 + 0.000190254 x3 <<
Cálculo con cuatro elementos.nb
30
Plot@exy2, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.5
1
1.5
2
Elemento 3 1 exy3 = ∗ k2 ∗ HBr.Desp3 + Ner.Giros3L; γ3 = 2 ∗ exy3; Expand@exy3D 2 880.0000764576 − 0.0484126 x + 0.00625143 x2 + 0.000190254 x3 << Plot@exy3, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 -0.06 -0.07
Elemento 4 1 exy4 = ∗ k2 ∗ HBr.Desp4 + Ner.Giros4L; γ4 = 2 ∗ exy4; Expand@exy4D 2 88−0.0701298 − 0.047459 x + 0.0409112 x2 + 0.000145764 x3 <<
Cálculo con cuatro elementos.nb
31
Plot@exy4, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
Cálculo de las tensiones en cada elemento
ü Tensiones Axiales Elemento 1 σxx1 = Eal ∗ exx1; Expand@σxx1D 882.86584 × 106 + 7.11135 × 108 x − 2.50151 × 108 x2 <<
Elemento 2 σxx2 = Eal ∗ exx2; Expand@σxx2D 884.25633 × 108 − 1.30726 × 108 x − 4.12768 × 107 x2 <<
Elemento 3 σxx3 = Eal ∗ exx3; Expand@σxx3D 88924831. − 2.95833 × 108 x + 4.12768 × 107 x2 <<
Cálculo con cuatro elementos.nb
32
Elemento 4 σxx4 = Eal ∗ exx4; Expand@σxx4D 88−4.2453 × 108 − 2.89471 × 108 x + 2.50151 × 108 x2 <<
Al igual que las deformaciones, las tensiones máximas serán las mas alejadas del eje neutro. Procedemos a calcular y a graficar las tensiones máximas a lo largo del eje x. Elemento 1 y = 0.06; Plot@σxx1, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 8
5×10
8
4×10
8
3×10
8
2×10
8
1×10
0.5
1
1.5
2
Clear@yD;
Elemento 2
Cálculo con cuatro elementos.nb
33
y = 0.075; Plot@σxx2, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 8
4×10
8
3×10
8
2×10
8
1×10
0.5
1
1.5
2
Clear @yD;
Elemento 3 y = 0.075; Plot@σxx3, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
8
-1×10
8
-2×10
8
-3×10
8
-4×10
Clear@yD;
Elemento 4
Cálculo con cuatro elementos.nb
34
y = 0.06; Plot@σxx4, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
8
-1×10
8
-2×10
8
-3×10
8
-4×10
8
-5×10
ü Tensiones de corte Calculamos las tensiones de corte y graficamos su variación a lo largo de cada elemento. Elemento 1 σxy1 = Gal ∗ γ1; Expand@σxy1D 881.23201 × 107 + 6.13262 × 109 x − 2.17286 × 109 x2 + 7.57971 × 106 x3 << Plot@σxy1, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 9
4×10
9
3×10
9
2×10
9
1×10
0.5
Cálculo con cuatro elementos.nb
1
1.5
2
35
Elemento 2 σxy2 = Gal ∗ γ2; Expand@σxy2D 883.6515 × 109 − 1.09844 × 109 x − 3.84433 × 108 x2 + 9.89319 × 106 x3 << Plot@σxy2, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 9
3.5×10
9
3×10
9
2.5×10
9
2×10
9
1.5×10
9
1×10
8
5×10
0.5
1
1.5
2
Elemento 3 σxy3 = Gal ∗ γ3; Expand@σxy3D 883.9758 × 106 − 2.51746 × 109 x + 3.25074 × 108 x2 + 9.89319 × 106 x3 << Plot@σxy3, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD;
8
0.5
1
1.5
2
-5×10
9
-1×10
9
-1.5×10
9
-2×10
9
-2.5×10
9
-3×10
9
-3.5×10
Cálculo con cuatro elementos.nb
36
Elemento 4 σxy4 = Gal ∗ γ4; Expand@σxy4D 88−3.64675 × 109 − 2.46787 × 109 x + 2.12738 × 109 x2 + 7.57971 × 106 x3 << Plot@σxy4, 8x, 0, 2<, PlotRange → AllD; 0.5
1
1.5
2
9
-1×10
9
-2×10
9
-3×10
9
-4×10
Cálculo con cuatro elementos.nb
37
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