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CAPÍTULO 01 - ANÁLISE COMBINATÓRIA Prof. Augusto Macedo; Prof. Carlos Gomes; Prof. André Curi 1. INTRODUÇÃO – A análise combinatória procura desenvolver técnicas para determinarmos de quantas formas distintas um determinado fato pode ocorrer sem ter que necessariamente descrever quais são essas formas. Além disso, também podemos utilizar as técnicas desenvolvidas em combinatória para garantir a existência de certas configurações, sem necessariamente exibi-las. Por exemplo, a Mega Sena é um jogo popular onde são sorteadas 6 dezenas entre 60 existentes. É possível mostrar que existem 50.063.860 diferentes resultados para a Mega Sena, mas não procurar listá-los.

Para começarmos a discutir alguns problemas de análise combinatória, vamos estabelecer alguns princípios básicos. 2. PRINCÍPIO ADITIVO - Imaginemos que uma garota foi convidada para ir a uma festa. No seu guarda-roupa ela conta com 3 pares de tênis, 5 pares de sapatos e 10 pares de sandálias. Ela escolhe a roupa e deixa para escolher o que calçar por último. Quantas são as maneiras de escolher o que calçar? Ela pode escolher ou um par de tênis ou um par de sapatos ou de um par sandálias, ou seja, ela não pode escolher um par de tênis e um par de sapatos e de um par de sandálias simultaneamente para calçar, os eventos se excluem. Desta forma ele tem 3 escolhas se for escolher um par de tênis, 5 se for escolher um par de sapatos e 10 se for escolher um par de sandálias, totalizando 3+5+10 = 18, escolhas possíveis para o calçado com que irá à festa. O princípio aditivo pode ser enunciado da seguinte forma: Se um determinado evento pode acontecer de p maneiras diferentes e também de q maneiras diferentes e essas maneiras são excludentes, então o evento pode ocorrer de p + q maneiras diferentes. Com os dígitos 2,3,4 e 5 podemos formar 6 números pares de 2 de algarismos distintos. Com efeito, se o número é par, terminará em 2 ou em 4, mas não em ambos. Terminados em 2 teremos 3 possibilidades, 32, 42 e 52 e terminados em 4 teremos

também 3 possibilidades, 24, 34 e 54, logo teremos 3 + 3 = 6 números pares de 2 algarismos. 3.PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (OU PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM) – Vamos discutir um pouco um outro princípio mais geral que o princípio aditivo. Vamos imaginar que você disponha de 5 bermudas, B1, B2, B3, B4 e B5 e de 4 camisetas C1, C2, C3 e C4. Você vai escolher uma camiseta e uma bermuda para se vestir. Se você escolher a bermuda B1, poderá escolher qualquer uma das camisetas, ou seja, você poderá formar os pares: B1C1, B1C2, B1C3, B1C4, ou seja, 4 diferentes possibilidades. A mesma situação ocorrerá se for escolhida outra bermuda, tendo 4 possibilidades para cada bermuda escolhida. Isso mostra que teremos 20 diferentes possibilidades de escolhermos uma dessas bermudas e uma dessa camisetas. B1C1, B1C2, B1C3, B1C4 B2C1, B2C2, B2C3, B2C4 B3C1, B3C2, B3C3, B3C4 B4C1, B4C2, B4C3, B4C4 B5C1, B5C2, B5C3, B5C4 Na bicicleta seguinte, existe uma corrente ligada a coroa (sistema conectado aos pedais) e também à catraca (sistema conectado a roda traseira). A bicicleta é vendida como uma bicicleta de 21 marchas. Por quê?

Na coroa, existem 7 discos onde a corrente pode ser acoplada e na catraca existem 3 discos onde a mesma corrente se encaixa. Para cada um dos discos da coroa, existem 3 possibilidades na catraca, logo teremos 21 diferentes maneiras de agrupar coroa e catraca, por esta razão, a bicicleta é conhecida como uma bicicleta de 21 marchas. Suponhamos que uma decisão D tenha que ser tomada e que tal decisão seja dividida em duas subdecisões D1 e D2, que deverão ser tomadas uma após a outra em uma sequência. Ou seja, para tomarmos a decisão D primeiro uma decisão D1 tem que ser tomada, depois de tomada a decisãoD1, a outra decisão D2é tomada. Suponhamos ainda que cada subdecisão possa ser tomada de uma certa quantidade de maneiras diferentes, por exemplo, que a decisão D1 possa ser tomada de x1 maneiras diferentes.

Tomada a decisão D1, suponhamos que a decisão D2 possa ser tomada dex2 maneiras diferentes. O Princípio Multiplicativo garante que existem x1.x2 maneiras diferentes de se tomar a decisão D. O princípio multiplicativo também se aplica quando o número de subdecisões é superior a 2. Com os dígitos 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? Teremos que fazer 3 escolhas. Para escolher o primeiro dígito, teremos 5 possibilidades, qualquer um dos dígitos. Para o segundo dígito teremos 4 possibilidades, posto que já utilizamos um primeiro dígito. De forma análoga, teremos 3 possibilidades para escolher o terceiro dígito, posto que 2 já foram utilizados. Logo teremos 5.4.3 = 60 diferentes números de 3 algarismos distintos. 567 576 568 586 569 596

578 587 579 597 589 598

657 675 658 685 659 695

678 687 679 697 689 698

756 765 758 785 759 795

768 786 769 796 789 798

856 865 857 875 859 895

867 876 869 896 879 897

956 965 957 975 958 985

967 976 968 986 978 987

O rol acima mostra os 60 números que podem ser formados. Na quase totalidade dos problemas não se faz necessário listar os diferentes resultados possíveis, contudo é importante notar nesse exemplo que os números obtidos se diferenciam pela ordem de seus algarismos, ou seja, 567 ≠ 657 ≠ 765. Esses agrupamentos serão denominados de arranjos. Veremos com mais detalhes a seguir. Nem sempre será desta forma. EXERCÍCIO RESOLVIDO O “passeio ferroviário" é uma viagem de trem entre Campina Grande e Ingá, que acontece todos os anos na época do São João. Esse trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e seis vagões distintos (cada um com o nome de uma música diferente: Asa Branca, Carcará, etc.), sendo um deles um bar. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão bar não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva. De quantos modos diferentes podemos montar está composição? A)200 B) 300 C) 400 D) 500 E) 600

Solução: Para a primeira posição teremos apenas uma possibilidade que será a locomotiva. Para a segunda posição teremos 5 possibilidades, pois o vagão bar não pode vir nessa posição. A partir do terceiro vagão não existe mais restrições e temos 5 composições disponíveis, logo é possível formar 1x5x5x4x3x2x1 = 600 possibilidades, letra E. EXERCÍCIO RESOLVIDO Um fenômeno raro, em termos de data, ocorreu às 20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso, 200220022002 forma uma sequência de algarismos que permanece inalteradas e reescrita de trás para frente. A isso denominamos CAPICUA ou PALÍNDROMO. Desconsiderando as capicuas começadas por zero, qual a quantidade de capicuas formadas com cinco algarismos não necessariamente diferentes? A) 100 B) 900 C) 800 D) 120 E) 150 Solução: Alguns exemplos de capicuas de 5 algarismos são 12321, 45654, 60906 e 22322. Para a 1ª posição teremos 9 possibilidades, pois estamos descartando o 0 (zero) como dígito inicial. Para a 2ª posição teremos 10 possibilidades, pois é possível utilizar o 0 e repetir o primeiro algarismo já utilizado. A mesma situação acontece para a terceira posição, ou seja, 10 possibilidades. Já a 4ª posição repetirá o algarismo da 2ª posição, então teremos apenas 1 possibilidade e a 5ª posição terá o mesmo algarismo da 1ª. Desta forma teremos 9.10.10.1.1 = 900 possibilidades. Letra B.

EXERCÍCIO RESOLVIDO O número de subconjuntos do conjunto A = {a, b, c} é: A)16 B) 4 D) 8 E) 32

C) 2

Resolução: Os subconjuntos do conjunto A são: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} e ∅. Teremos, portanto, 8 subconjuntos. Letra D. Agora seria interessante perguntar porque são exatamente 8 subconjuntos. Fácil. Cada elemento do conjunto pode pertencer ou não aos subconjuntos. Por exemplo, a pertence ao conjunto {a, c}, mas não pertence ao conjunto {b, c}. Temos duas possibilidades para cada um dos três elementos a, b, c, pertencer ou não pertencer aos subconjuntos, então o número de subconjuntos será 2.2.2 = 23 = 8 subconjuntos. Pensando para n elementos, teríamos 2n subconjuntos.

4. FATORIAL–É muito comum encontrarmos produtos formados por números naturais consecutivos do tipo 6x5x4x3 = 360. A partir dessa ideia vamos definir o conceito de fatorial. O fatorial de 5, por exemplo, que será representado na forma 5! (lê-se 5 fatorial) é dado por 5! = 5x4x3x2x1 = 120. Outro exemplo, 4! = 4x3x2x1 = 24. De uma forma geral, temos: 0! = 1 n! = n.(n-1)!, para n natural positivo. 1! = 1.0! = 1 2! = 2.1! = 2.1 = 2 3! = 3.2! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3! = 4.3.2.1 = 24 Observação: alguns textos define o fatorial de um número natural n como sendo: n! = n.(n-1).(n-2). ... . 2.1 Essa definição não é muito boa, apesar de passar a ideia do fatorial, ela não inclui 0! e as reticências tem um significado não muito claro. Por vezes precisaremos realizar simplificações envolvendo fatoriais. Vejamos alguns exemplos: 10! 10.9.8! = = 90 8! 8! 12! 12.11.10! 12.11 = = = 66 10! .2! 10! .2.1 2.1

𝑛𝑛. (𝑛𝑛 − 1). (𝑛𝑛 − 2). (𝑛𝑛 − 3)! 𝑛𝑛! = = 𝑛𝑛3 − 3. 𝑛𝑛2 + 2. 𝑛𝑛, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑛𝑛 ≥ 3 (𝑛𝑛 − 3)! (𝑛𝑛 − 3)! EXERCÍCIO RESOLVIDO 𝑛𝑛!

O valor de n natural tal que (𝑛𝑛−3)! = 210 é um número:

A) par D) divisor de 20 Resolução -

𝑛𝑛! (𝑛𝑛−3)!

B) primo E) irracional

= 210,

então

𝑛𝑛.(𝑛𝑛−1).(𝑛𝑛−2).(𝑛𝑛−3)! (𝑛𝑛−3)!

C) múltiplo de 6

= 210, simplificando teremos

𝑛𝑛. (𝑛𝑛 − 1). (𝑛𝑛 − 2) = 210. Uma possibilidade de solução é decompor 210 em um produto de 3 números naturais consecutivos 7.6.5 = 210. 𝑛𝑛. (𝑛𝑛 − 1). (𝑛𝑛 − 2) = 210 = 7.6.5

Logo n = 7, letra B. 5.ARRANJOS SIMPLES – Vamos retornar ao problema: Com os dígitos 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? Já vimos que a quantidade de números que podemos formar é 5.4.3 = 60. Para os mesmos dígitos utilizados, os números que são formados se diferenciam pela ordem de colocação de seus elementos, ou seja, 567≠675. Quando isso acontece, os agrupamentos formados são denominados de arranjos, no caso, arranjos simples, pois não repetimos um ou mais dígitos em um mesmo agrupamento formado. Como temos 5 dígitos e estamos agrupando-os de 3 em 3, o número total de arranjos simples de 5 elementos tomados 3 a 3, pode ser representado por A5,3 = 60. Perceba que 𝐴𝐴(5,3) = 60 = 5.4.3 =

5.4.3.2.1 2.1

5!

5!

= 2! = (5−3)!

Vamos discutir outra questão: Com 7 estudantes, quantas comissões de 4 pessoas distintas podemos formar, tendo cada uma delas um presidente, um vice, um secretário e um tesoureiro. Para cada 4 estudantes escolhidos, as comissões se diferenciam pela ordem de colocação dos componentes, logo temos arranjos simples de 7 elementos tomados 4 a 4.

𝑛𝑛! (𝑛𝑛−𝑝𝑝)!

Calcula-se 𝐴𝐴(7,4) = 7.6.5.4 = 840 =

7.6.5.4.3.2.1 3.2.1

7!

7!

= 3! = (7−4)!

Observando-se os dois resultados anterior é possível propor que 𝐴𝐴(𝑛𝑛, 𝑝𝑝) =

. O resultado anterior é verdadeiro para n e p naturais com n ≥ p.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 5, 6, 7, 11}, quantas funções injetoras existem de A em B? A)60 B) 90 C) 120 D)150 E) 180 Resolução – Lembrando que uma função é injetora quando cada elemento do seu domínio possui uma imagem que é apenas imagem desse elemento. Desta forma o elemento 1 pode ter 5 possibilidades de imagem {0, 5, 6, 7, 11}. Escolhida uma imagem para o elemento 1, o elemento 2 terá 4 possibilidades de imagem e assim se seguem para os elementos 3 e 4 que terão 3 possibilidades e 2 possibilidades de imagem. O número de funções injetoras de A em B será 5.4.3.2 = 120. Letra C. 5!

5!

Outra solução seria 𝐴𝐴(5,4) = (5−4)! = 1! =

5.4.3.2.1 1

= 120

EXERCÍCIO RESOLVIDO Quantos números ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar com os 10 dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? A) 1.260 B) 1.250 C) 2.500 D) 2.240 E) 3.200 Resolução – na análise combinatória não podemos empurrar o problema para debaixo do tapete. As restrições devem ser enfrentadas de início. Veja, se o nosso número é ímpar, teremos 5 possibilidades para o último algarismo {1, 3, 5, 7, 9}. Para o primeiro algarismo teremos 8 possibilidades, pois ele não poderá ser 0 e nem o algarismo usado na última posição. Já para a segunda posição não há restrição nenhuma, logo teremos 8 possibilidades, já que usamos 2 algarismos para a 1ª posição e a 4ª posição e consequentemente 7 possibilidades para a 3ª posição. O número total de números ímpares será 8.8.7.5 = 2.240. 6. ARRANJOS COM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS – É fácil perceber que com os dígitos 3, 5, 7 e 9 podemos formar 4.3 = 12 números com 2 algarismos distintos. 35 37 39 53 57 59 73 75 79 93 95 97 Se pudéssemos utilizar o mesmo algarismo com repetição teríamos um acréscimo no número total de possibilidades. A quantidade de números passaria a ser 4.4 = 16. 33 35 37 39 55 53 57 59 73 75 77 79 93 95 97 99 Continuamos a ter arranjos de 4 elementos tomados 2 a 2, contudo com a possibilidade de repetirmos os elementos. Representaremos o número de arranjos deste tipo por 𝐴𝐴𝐴𝐴(4,2) = 4.4 = 16 = 42 . Uma prova de 10 questões do tipo V ou F, onde cada questão tem uma e somente uma dessas respostas, apresenta quantos diferentes gabaritos? Ora, teremos 2 possibilidades de resposta para cada questão V ou F. O número total de gabaritos será 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 210 = 1024 = AR(2,10). O número total de arranjos de n elementos agrupados p a p onde é possível repetir os elementos é dado por AR(n,p) = np. EXERCÍCIO RESOLVIDO Quantos diferentes resultados temos para a LOTECA (14 jogos com 3 possibilidades excludentes de resultado: coluna 1, coluna do meio e coluna 2)? A) 133 B) 143 C) 313 D)314 E) 213

Cada jogo pode ter 3 resultados possíveis que se repete 14 vezes, logo o total de resultados é 3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3 = 314 = 4.782.969. Letra D. EXERCÍCIO RESOLVIDO Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 5, 6, 7, 11}, quantas funções existem de A em B? A) 60 B) 90 C) 120 D) 625 E) 180 Resolução – Em uma função cada elemento do seu domínio possui uma imagem no conjunto de chegada. Desta forma o elemento 1 pode ter 5 possibilidades de imagem {0, 5, 6, 7, 11}. O elemento 2 terá 5 possibilidades de imagem, pois é possível repetir a imagem do elemento 1 e assim se seguem para os elementos 3 e 4 que terão 5 possibilidades e 5 possibilidades de imagem. O número de funções de A em B será 5.5.5.5 = 54 = 625. Letra C. 7. PERMUTAÇÃO SIMPLES– Vamos continuar falando de agrupamentos onde é importante a ordem dos elementos. Vejamos as letras da palavra ROMA. Se agrupá-las de 4 em 4, poderemos formar 24 sequências, 4.3.2.1 = 24. ROMA OMAR MROA AOMR ROAM OMRA MRAO AORM RAMO ORAM MORA AROM RAOM ORMA MOAR ARMO RMAO OARM MAOR AMRO RMOA OAMR MARO AMOR Esses arranjos simples são denominados de permutações simples, pois na verdade como usamos todos elementos o que ocorre é uma mudança de posição desses elementos, ou seja, permutações dos mesmos. Quando as permutações são com letras elas são chamadas de anagramas. Existem 24 diferentes anagramas com as letras da palavra ROMA. O número de permutações anteriores pode ser representado por P4 = 24 = 4!. De quantas diferentes maneiras 5 pessoas podem formar uma fila indiana? Ora, as diferentes maneiras são as permutações simples que podemos formar com essas 5 pessoas. P5 = 5.4.3.2.1 = 5! = 120. EXERCÍCIO RESOLVIDO Colocando-se em ordem crescente todas as permutações dos dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, em que posição estará o número 43.251?

A) 50ª D) 88ª

B) 62ª E) 90ª

C) 80ª

Resolução – Vamos construir uma sequência crescente das permutações: * começados por 1 – P4 = 4! = 24 * começados por 2 – P4 = 4! = 24 * começados por 3 – P4 = 4! = 24 * começados por 41 – P3 = 3! = 6 * começados por 42 – P3 = 3! = 6 * começados por 431 – P2 = 2! = 2 * próximo número 43215 – 1 * próximo número 43251 – 1, logo ele estará na posição 88. Letra D. EXERCÍCIO RESOLVIDO Quantos anagramas com as letras da palavra PERNAMBUCO trazem as vogais juntas? A)10! B) 7!.4! C) 6!.4! D) 5!.5! E) 7! Resolução – As vogais juntas funcionam com uma letra só, logo é como se tivéssemos 7 letras para permutar: P R N M B C AEUO. Contudo, podemos permutar as vogais entre si, logo teremos 7!.4!. Letra B. 8. PERMUTAÇÃO DE ELEMENTOS NEM TODOS DISTINTOS–O número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra CALOR é 5! = 120. Se tomarmos uma outra palavra com 5 letras, porém com letras repetidas, o número de anagramas diminui. Por exemplo, a palavra ARARA apesar de ter 5 letras como CALOR, tem apenas 10 anagramas. AAARR AARAR ARAAR AARRA ARARA ARRAA RRAAA RARAA RAARA RAAAR No caso de permutações de elementos nem todos distintos como os anagramas das letras da palavra ARARA, o número de permutações é calculado por: 5! 5.4.3! 𝑃𝑃53,2 = = = 10 3! .2! 3! .2.1 Vamos discutir um pouco esse resultado. Se não houvesse letra repetida como na palavra CALOR, o número de anagramas seria 5! = 120. Mas porque esse valor foi dividido por 3! e por 2!.

As 3 letras AAA geram apenas um agrupamento. Se elas fossem distintas, tipo ABC, gerariam 3! = 6 agrupamentos: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. Por esta razão tivemos que reduzir o número total dividindo por 6. A divisão por 2! = 2 agora é evidente. As letras RR geram um agrupamento, se fossem distintas, tipo RS, gerariam 2 agrupamentos RS e SR. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra BATATA. Fácil: 6! 6.5.4.3! 𝑃𝑃63,2 = = = 20 3! .2! 3! .2.1 Quantas soluções inteiras e não negativas tem a equação x + y = 6? Não é difícil listar as soluções inteiras não negativas dessa equação. São os pares ordenados (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2), (5,1) e (6,0), ou seja, são 7 soluções (cada uma delas é um par ordenado) Vamos ampliar o problema. Quantas soluções inteiras não negativas tem a equação x + y + z = 3? São 10 soluções possíveis: (3, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 3), (2, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 2, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 2) e (1, 1, 1). Mas podemos resolver o problema de outra forma. A cada solução encontrada podemos associar uma sequência de quadrados e barras. Veja: (1, 1, 1) pode ser associada a ∎ | ∎ | ∎ . As barras separam o x do y e o y do z, já os quadrados indicam os valores de x, y e z. (2, 0, 1) seria representado por ∎ ∎| |∎ (0, 3, 0) seria representado por |∎∎∎| Desta forma todas as soluções representam permutações de 5 elementos, onde 2 são as barras e 3 são os quadrados. O número total de permutação seria: 5! 5.4.3! 𝑃𝑃53,2 = = = 10 3! .2! 3! .2.1 EXERCÍCIO RESOLVIDO

O jogo de futebol terminou com o placar Porto 5x3 Rio Ave. Quantas diferentes sequências de gols podem ter acontecido nesta partida? A) 336 B) 56 C) 48 D) 42 E) 124 Resolução – Vamos representar por P um gol do Porto e por R um gol do Rio Ave. Uma possível sequência seria PPPPPRRR. Outra seria PRPRPRPP. Qualquer outra sequência será uma permutação com 8 objetos, sendo 5 do tipo P e 3 do tipo R. Logo: 8! 8.7.6.5! 𝑃𝑃85,3 = = = 56 5! .3! 5! .3.2.1 Letra B

EXERCÍCIO RESOLVIDO Em um torneio de futebol um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas disputadas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido? A) 135.135 B) 270.270 C) 325.325 D) 140.140 E) 205.205 Resolução –Vamos permutar 15 objetos, sendo 8 do tipo V, 5 do tipo E e 2 do tipo D. 15! 15.14.13.12.11.10.9.8! 8,5,2 𝑃𝑃15 = = = 135.135 8! .5! .2! 8! .5.4.3.2.1.2.1 Letra A. EXERCÍCIO RESOLVIDO A figura abaixo mostra um trecho de uma cidade onde as linhas horizontais e verticais representas as ruas. Nesse trecho da cidade o fluxo do trânsito é sempre para cima ou para a direita.

a) quantos caminhos distintos existem para sair da esquina A e chegar na esquina B? b) quantos caminhos distintos existem para sair da esquina A e chegar na esquina B, passando pela a esquina C? Resolução: a) vamos raciocinar da seguinte forma: cada passo na vertical e para cima representaremos por V e cada passo para horizontal e para a direita representaremos por H. Por exemplo, um possível caminho está representado na figura abaixo:

Correspondente ao caminho da figura acima temos a seguinte sequência HHHHHVVV. Se tomássemos um outro caminho, como por exemplo,

Esse novo caminho corresponde a sequência VVHHHVHH. Note que as duas sequências HHHHHVVV e VVHHHVHH possuem as mesmas quantidades de letras H e as mesmas quantidades de letras V; mais precisamente são 5 letras H e 3 letras V. Note que qualquer outro caminho ligando os pontos A e B (caminhando sempre na vertical e para cima ou na horizontal e para a direita) sempre será representado por uma sequência de 8 letras; sendo 5 letras H e 3 letras V. Note que também vale o contrário, isto é, para cada sequência de 8 letras, sendo 5 letras iguais a H e 3 letras iguais a V corresponde a um único caminho ligando os pontos A e B. Diante do exposto, há uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos caminhos ligando A e B e o conjunto das sequências formadas por 8 letras (sendo 5 letras H e 3 letras V). Assim a quantidade de caminhos ligando os pontos A e B é igual a quantidade de permutações P85,3 das letras HHHHHVVV, que é =

8! = 56 . 5!.3!

b)Seguindo as ideias do item anterior, a quantidade de caminhos ligando os pontos A e P52,3 C corresponde a quantidade de permutações das letras VVHHH, que é =

5! = 10 . 2!.3!

Por outro lado a quantidade de caminhos ligando os pontos ligando os pontos C e B é igual a quantidade de permutações das letras VHH, que é = P31,2

3! = 3 . Assim existem 1!.2!

10 caminhos ligando os pontos A e C; e 3 caminhos ligando os pontos C e B, portanto pelo princípio multiplicativo, existem 10x3=30 caminhos ligando os pontos A e B, passando por C. 9. COMBINAÇÕES SIMPLES– Vamos propor 2 problemas aparentemente parecidos.

Problema 1 – Com os dígitos 2, 4, 6 e 8 , quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados? Fácil. Para o primeiro algarismo existem 4 possibilidades, para o segundo algarismo existem 3 possibilidades e para o terceiro, 2 possibilidades, logo 4.3.2 = 24 números. Se você quiser, uma alternativa seria perceber que, por exemplo, 246 ≠ 462, a ordem em que os elementos são escolhidos é relevante. Assim, estamos diante de arranjos 4!

4!

simples e então 𝐴𝐴(4,3) = (4−3)! = 1! =

24 1

= 24.

Problema 2 – Com as frutas laranja (L), uva(U) Banana (B) e maçã (M), quantas diferentes saladas com 3 destas frutas podemos formar (desconsiderar a quantidade utilizada)?

Poderíamos pensar que seriam 24 saladas, pois vamos escolher 3 tipos de frutas a partir de 4 disponíveis, o mesmo que aconteceu na questão anterior. Mas temos uma grande diferença. Veja que ao escolhermos os dígitos 2, 4 e 6, por exemplo, podemos formar 6 diferentes números, ou seja, 246 ≠ 264 ≠ 426 ≠ 462 ≠ 624 ≠ 642, que na verdade são as permutações com 3 objetos. Contudo, quando escolhemos 3 frutas, por exemplo Banana, Laranja e Maçã, não existe diferenciação nas posições ocupadas pelas frutas. Por exemplo, 6 saladas; BLM, BML, LBM, LMB, MBL e MLB são iguais. Esse fato reduz o número de possibilidades em 6, logo teremos apenas 24/6 = 4 saladas quando escolhemos 3 entre as 4 frutas disponíveis. Esses agrupamentos onde a ordem de colocação dos objetos não os diferencia, como no exemplo das saladas, são denominados combinações simples e o cálculo do 𝑛𝑛!

número desses agrupamentos pode ser feito por: 𝐶𝐶(𝑛𝑛, 𝑝𝑝) = (𝑛𝑛−𝑝𝑝)!.𝑝𝑝!. 4!

4!

4.3!

No caso das saladas teríamos 𝐶𝐶(4,3) = (4−3)!.3! = 1!.3! = 1.3! = 4 saladas.

Vamos supor que tenhamos seis pessoas: André (A), Beto (B), Carlos (C), Débora (D), Everaldo (E) e Fábio (F). Quantas comissões podemos formar com 3 pessoas sendo um presidente, um tesoureiro e um secretário? Quantas comissões podemos formar com 3 pessoas? As perguntas se diferenciam pelo fato que no primeiro caso é importante a ordem de colocação das pessoas, por exemplo, se escolhermos André, Beto e Carlos, a comissão André, presidente, Beto, tesoureiro e Carlos secretário é diferente da

comissão André, secretário, Beto, presidente e Carlos tesoureiro. Logo temos arranjos 6!

6!

simples e o número de comissões será 𝐴𝐴(6,3) = (6−3)! = 3! =

6.5.4.3! 3!

= 6.5.4 = 120.

O valor anterior pode ser obtido pela aplicação do princípio multiplicativo, ou seja, 6 possibilidades para presidente, 5 possibilidades para tesoureiro e 4 possibilidades para secretário, então 6.5.4 = 120 comissões. Antes de avançar para a segunda pergunta, perceba que nesta última solução, começamos escolhendo o presidente, mas esta escolha é arbitrária, poderíamos começar com o secretário e o resultado seria o mesmo, haja vista não termos nenhuma restrição no problema. Quanto a segunda pergunta, onde não vamos atribuir aos escolhidos nenhuma função específica, fica claro que não importa a ordem de escolha, André, Beto e Carlos representa a mesma comissão que Carlos, André e Beto. Temos então uma combinação simples de 6 objetos tomados 3 a 3. Neste caso, o número total de 6!

6!

6.5.4.3!

diferentes comissões que podemos formar é 𝐶𝐶(6,3) = (6−3)!.3! = 3!.3! = 3!.3.2.1 = 5.4 =

20.

Para deduzir as já mencionadas fórmulas A ( n, p ) =

n! n! e C ( n, p ) = , ( n − p )! p! ( n − p )!

podemos pensar da seguinte forma: Dados dois números inteiros não negativos n e p tais que p ≤ n , definimos como A(n,p) sendo a número de maneiras distintas de escolhermos p objetos distintos entre n objetos distintos (levando em consideração a ordem das escolhas). Por exemplo, se fossemos escolher “p” alunos para formar uma comissão (levando em consideração a ordem em que eles são escolhidos) numa sala onde existem “n” alunos, de quantas formas distintas essa escolha poderia ser feita, com ( p ≤ n ) ? Para escolher o 1° membro da comissão temos n possibilidades; Para escolher o 2° membro da comissão temos (n-1) possibilidades; Para escolher o 3° membro da comissão temos (n-2) possibilidades; ..... Para escolher o p° membro da comissão temos (n-(p-1)) possibilidades. Como estamos levando em consideração a ordem em que os alunos são escolhidos, o número de maneiras distintas de escolhermos p entre os n alunos disponíveis (com p ≤ n ), pode ser encontrado simplesmente utilizando o princípio multiplicativo: A(n, p)= n. ( n − 1) . ( n − 2 ) . ... ( n − ( p − 1) )

Lembrando que para cada inteiro não negativo n, o seu fatorial é dado por n! = n. ( n − 1 )( n − 2 ) . ... .3.2.1

Podemos escrever:

A(n, p)= n. ( n − 1) . ( n − 2 ) . ... ( n − ( p − 1) ) = n. ( n − 1) . ( n − 2 ) . ... ( n − p + 1 )

( n − p )( n − p − 1) ...3.2.1 ( n − p )( n − p − 1) ...3.2.1 n. ( n − 1) . ( n − 2 ) . ... ( n − p + 1 )( n − p )( n − p − 1) ...3.2.1 = ( n − p )( n − p − 1) ...3.2.1

= n. ( n − 1) . ( n − 2 ) . ... ( n − p + 1 ) .

=

n! ( n − p )!

Por outro lado, definimos dados dois inteiros não negativos n e p tais que p ≤ n , definimos C(n,p) como sendo o número de maneiras distintas de escolhermos p objetos distintos entre os n objetos distintos disponíveis sem levar em consideração a ordem em que as escolhas foram realizadas. Por exemplo, se fossemos escolher “p” alunos para formar uma comissão (não levando em consideração a ordem em que eles são escolhidos) numa sala onde existem “n” alunos, de quantas formas distintas essa escolha poderia ser feita, com ( p ≤ n ) ? Para escolher o 1° membro da comissão temos n possibilidades; Para escolher o 2° membro da comissão temos (n-1) possibilidades; Para escolher o 3° membro da comissão temos (n-2) possibilidades; ..... Para escolher o p° membro da comissão temos (n-(p-1)) possibilidades. Como estamos levando em consideração a ordem em que os alunos são escolhidos, o número de maneiras distintas de escolhermos p entre os n alunos disponíveis (com p ≤ n ), pode ser encontrado utilizando o princípio multiplicativo e dividindo o resultado obtido pelo fatorial do número de escolhas realizadas, isto é, C (n, p) =

n. ( n − 1 ) . ( n − 2 ) . ... ( n − ( p − 1 ) ) p!

Ora, como A(n, p)= n. ( n − 1) . ( n − 2 ) . ... ( n − ( p − 1) ) e A ( n, p ) =

n! , segue que ( n − p )!

n! n. ( n − 1 ) . ( n − 2 ) . ... ( n − ( p − 1 ) ) A ( n, p ) ( n − p )! C (n, p) = = = = p! p! p!

EXERCÍCIO RESOLVIDO Quantas diagonais convexo? A) 80 B) 40

possui

um

octógono

n! n − ( p )!.p!

C) 48 D) 36 E) 60

Resolução – Mesmo olhando para a figura é difícil contarmos as diagonais, mas podemos observar que de cada um dos 8 vértices A, B, C, D, E, F, G, H partem 5 diagonais, ou seja, 8.5 = 40. Mas nessa conta, as diagonais estão contadas duas vezes, logo o número de diagonais é 20. Outra possibilidade é contarmos o número de segmentos que podem ser formados a partir de 2 pontos escolhidos entre o 8, lembrando que o segmento DH é o mesmo que o segmento HD. 8! 8.7.6! 8! = = = 28 𝐶𝐶(8,2) = (8 − 2)! .2! 6! .2! 6! .2.1

Mas não são 20 diagonais. O número 28 representa todos os segmentos que podem ser formados a partir dos 8 pontos, incluindo-se aí os lados AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HÁ, logo são 8 lados e 20 diagonais. Letra B. Observação: Você seria capaz de mostrar que o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é 𝑑𝑑 = EXERCÍCIO RESOLVIDO

𝑛𝑛.(𝑛𝑛−3) 2

?

Quantos são os diferentes resultados para a MEGA SENA? 60!

A) 6! D)

54! 6!

60!

B) 54!

E) 60!

60!

C) 54!.6!

Resolução – Na MEGA SENA existem 60 dezenas que são sorteadas independente da ordem. Se forem sorteadas as dezenas 11, 23, 34, 27, 17 e 54 é o mesmo que 54, 23, 17, 11, 27 e 34, logo o número de diferentes resultados é: 60! 60! 60.59.58.57.56.55.54! 𝐶𝐶(60,6) = = = = 50.063.860 (60 − 6)! .6! 54! .6! 54! .6.5.4.3.2.1 10. PERMUTAÇÕES CIRCULARES

De acordo com o que vimos no estudo das permutações com elementos todos distintos, existem n! modos distintos de organizar n pessoas numa fila.

E se essas n pessoas fossem dispostas em torno de uma mesa circular, quantas configurações distintas existiriam?

Esse número de configurações é chamado de permutações circulares de n elementos distintos e é representado por (PC)n. Nesse caso, duas configurações (permutações) são consideradas iguais quando uma puder ser obtida a partir da outra por um movimento de rotação. Agora vamos deduzir uma fórmula para calcular esse número de configurações. Para isso, vamos iniciar com um caso particular onde n=3, isto é, temos 3 pessoas e queremos saber de quantas formas distintas podemos distribuir essas 3 pessoas em todo de uma mesa circular. Vejamos: Chamaremos as pessoas de Fulana(F), Beltrana(B) e Cicrana(C). Consideremos que na mesa circular temos três posições, 1, 2 e 3, a serem preenchidas por três pessoas:

ou seja, o número de lugares é igual ao número de pessoas que queremos alocar. Como vimos, quando isso acontece, temos um problema de permutação simples, o que nos leva a 3! Configurações possíveis, a saber:

Considere a primeira configuração (entre as 6 configurações acima), ao girá-la, obtemos outras duas configurações, conforme ilustra a figura a seguir:

que, na verdade, representam a mesma configuração inicial, pois em qualquer delas temos a mesma disposição posicional, a saber: •B está entre F e C; • C está entre B e F; • F está entre C e B. Mas essas 3 configurações representam uma mesma permutação circular, visto que uma pode ser obtida partir da outra por um movimento de rotação.

O mesmo ocorre para as três últimas configurações, conforme ilustra a figura abaixo:

Note que as configurações obtidas da figura 1 são distintas das configurações obtidas da figura 4, pois, partindo de qualquer uma das cirandas da Figura 1, por mais que giremos, nunca chegaremos a alguma das configurações da figura 4. Recapitulando, por permutação simples, temos 3! possibilidades, entretanto, cada possibilidade real, no caso, das configurações circulares, está sendo contada 3 vezes no cálculo das permutações circulares. ou seja,

( PC )=3

P3 3! 3.2! = = = 2! 3 3 3

No caso de 4 pessoas, cada configuração poderia ser rotacionada de 4 modos distintos, como mostra a figura a seguir:

Portanto nesse caso teríamos, ( PC )= 4

P4 4! 4.3! = = = 3! modos distintos de dispor 4 3 4 4

pessoas em tono de uma mesa circular. No caso geral, para determinarmos o número de permutações circulares de n objetos distintos, procedemos de modo completamente análogo; nesse caso, cada uma das permutações simples pode ser rotacionada de n modos distintos. Assim,

( PC )=n

Pn n! n. ( n − 1)! = = = n n n

( n − 1)!

EXEMPLO RESOLVIDO Suponha que uma artesã trabalhe fazendo pulseiras de pedrinhas da seguinte maneira: em um elástico, ela coloca 7 pedrinhas de cores distintas e depois amarra as pontas. Pergunta-se: quantas pulseiras distintas ela pode fazer? Resolução: Ao final do trabalho, ela fecha a pulseira amarrando as pontas, formando assim uma roda composta por 7 pedrinhas de cores distintas. Ou seja, estamos com um problema de permutação circular com 7 elementos distintos e, portanto, (7 - 1)! = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Dessa forma, 720 modelos distintos de pulseiras podem ser criados EXEMPLO RESOLVIDO Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?

Resolução: Para que Soninha pinte um cartão ela deve tomar as duas decisões, a saber: • D1: Escolher uma entre as 5 cores disponíveis para pintar o quadradinho central, o

que pode ser feito de 5 modos distintos. • D2: Distribuir as 4 cores restantes nos outros 4 quadradinhos, o que pode ser feito de (4 - 1)! = 3! = 6 modos distintos. Assim, pelo Princípio Multiplicativo, a quantidade de cartões distintos que Soninha pode produzir é 5 × 3! = 30. 11. PERMUTAÇÕES CAÓTICAS Nessa seção vamos introduzir um outro tipo mais específico de permutação de objetos distintos; as permutações caóticas (ou desarranjos), que consistem de permutações de elementos distintos em que nenhum dos elementos ocupa a sua posição original. Para introduzir esse tipo de permutação usaremos a seguinte situação-problema: Imagine que você arrumou seus 3 livros preferidos numa estante no seu quarto. Após uma faxina imagine que alguém arrumou esses 3 livros na mesma estante, mas não deixou nenhum dos 3 livros na posição original em que você tinha deixado. De quantas formas distintas a pessoa que arrumou os livros, poderia arrumá-los sem deixar nenhum deles na sua posição original? Nesse caso, como são apenas 3 livros, digamos A, B e C, poderíamos listar todas as possibilidades. Suponha que a ordem original, que você tinha deixado os livros arrumados na estante foi ABC. Nesse caso, 6 permutações possíveis, a saber: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Perceba que apenas nas duas permutações BCA e CAB não há livros nas suas posições originais. Essas permutações são as chamadas permutações caóticas de ABC. Representamos esse fato escrevendo D3=2. De um modo geral para todo inteiro positivo n, representaremos por Dn o número de permutações caóticas de n objetos distintos. E se fossem 6 livros distintos conforme ilustra a figura a seguir?

Nesse caso, como são 6 livros distintos existem 6!=720. Como a quantidade de permutações já é bastante significativa, torna-se inviável tentar listar todas as permutações em que não existe num dos livros na sua posição original. Diante dessa dificuldade precisamos de um modo eficiente para determinar essa quantidade de permutações sem ter que exibi-las. Para determinar essa quantidade podemos usar o princípio da inclusão e exclusão da seguinte forma: Sejam L1, L2, ...., L6 os 6 livros postos numa certa ordem que vamos considerar como a ordem original. Defina os conjuntos: A1=Conjunto das permutações dos 6 livros em que o livro L1 original; A2=Conjunto das permutações dos 6 livros em que o livro L2 original; A3=Conjunto das permutações dos 6 livros em que o livro L3 original; ... A6=Conjunto das permutações dos 6 livros em que o livro L12 original.

está na sua posição está na sua posição está na sua posição

está na sua posição

Dessa forma o conjunto A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 é o conjunto das permutações em que pelo menos um dos livros ocupa a sua posição original. Para obtermos a quantidade de permutações caóticas dos 6 livros (D6), devemos do total de permutações dos 6 livros (que é 6!) diminuir o número de permutações desses 6 livros distintos em que pelo menos um dos deles ocupa a sua posição original, isto é, D6 = 6!− n ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 )

Pelo princípio da inclusão e exclusão, segue que: n ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A= n ( A1 ) + n ( A2 ) + ... + n ( A6 ) − n ( A1 ∩ A2 ) − ... − n ( A5 ∩ A6 ) + 6) + n ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + .... + n ( A4 ∩ A5 ∩ A6 ) +

− n ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) − .... − n ( A3 ∩ A4 ∩ A5 ∩ A6 ) +

+ n ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ) + ... + n ( A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ∩ A6 ) +

− n ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ∩ A6 )

Ora, A1 é o conjunto das permutações em que o livro L1 está fixado na sua posição original. Assim, n ( A1 ) = 5! (você fixa o primeiro livro e permuta os outros 5 livros). Analogamente, n= ( A4 ) n= ( A5 ) n= ( A6 ) 5! ( A3 ) n= ( A2 ) n=

Por outro lado, n ( A1 ∩ A2 ) = 4! , pois A1 ∩ A2 sendo o conjunto das permutações dos 6 livros em que os livros L1 e L2 permanecem nas suas posições originais, podemos apenas permutar os outros 4 livros distintos, o que pode ser feito de 4! Modos distintos. Por essa razão segue que n ( A1 ∩ A2 ) =... =n ( A5 ∩ A6 ) =4! n ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = .... = n ( A4 ∩ A5 ∩ A6 ) = 3! n ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) = .... = n ( A3 ∩ A4 ∩ A5 ∩ A6 ) = 2! n ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ) =... =n ( A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ∩ A6 ) =1! n ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ∩ A6 ) = 0! = 1

Além disso existem C(6,2) possibilidades de fazer a interseção de 2 dos 6 conjuntos, C(6,3) possibilidades de fazer a interseção de 3 dos 6 conjuntos; C(6,4) possibilidades de fazer a interseção de 4 dos 6 conjuntos; C(6,5) possibilidades de fazer a interseção de 5 dos 6 conjuntos e C(6,6) possibilidades de fazer a interseção de 6 dos 6 conjuntos. Diante do exposto segue que: n ( A1 ∪ A2 ∪ ... = ∪ A6 ) C ( 6,1 ) .5!− C ( 6,2 ) .4!+ C ( 6,3 ) .3!− C ( 6,4 ) .2!+ C ( 6,5 ) .1!− C ( 6,6 ) .0! 6! 6! 6! 6! 6! 6! .5!− .4!+ .3!− .2!+ .1!− .0! 5!.1! 4!.2! 3!.3! 2!.4! 1!.5! 0!.6! 6! 6! 6! 6! 6! 6! = − + − + − 1! 2! 3 4! 5! 6! =

Portanto,

D6 = 6!− n ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 )  6! 6! 6! 6! 6! 6!  =6!−  − + − + −   1! 2! 3! 4! 5! 6!  6!  6! 6! 6! 6! 6! 6!  = − − + − + −  1  1! 2! 3 4! 5! 6!  =

6!  6! 6! 6! 6! 6! 6!  − − + − + −  0!  1! 2! 3! 4! 5! 6! 

1 1 1 1 1 1 1 = 6!  − + − + − +   0! 1! 2! 3! 4! 5! 6!  = 265

Portanto existem 265 maneiras distintas de arrumar os 6 livros (distintos) na estante sem que nenhum livro permaneça na sua posição original. OBSERVAÇÕES: 1) seguindo o mesmo raciocínio que desenvolvemos cima, pode-se mostrar que a quantidade de permutações caóticas de n elementos distintos é dada por: n 1  1 1 1 1 = Dn n!  − + − + ... + ( −1 ) .  n!   0! 1! 2! 3!

2) há uma outra maneira bastante prática de determinarmos a quantidade de permutações caóticas de n elementos distintos. Pode-se provar (mas a demonstração está acima do nível desse texto!) que Dn é o inteiro mais próximo do número

n! , onde e

e ≈ 2,7182 (é o número de Euler). Por exemplo, no caso dos 6 livros, temos que 6! ≈ 264,88 , cujo inteiro mais próximo é 265. 2,7182

EXERCÍCIO RESOLVIDO. No parque de exposições de uma cidade do interior, todos os 10 proprietários mais abastados da região chegavam a cavalo e amarravam seus animais na cocheira. Entretanto, na hora da explosão dos fogos de artifícios, houve um incêndio e uma correria daquelas. Naquele atropelo, cada proprietário pegou um cavalo sem prestar atenção se era mesmo o seu e saiu em disparada. De quantas maneiras pode ter acontecido de nenhum proprietário ter saído com seu próprio cavalo? Resolução: Esse tipo de questão é típica da permutação caótica, ou seja, você tem uma ordem (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10) dos cavalos e quer saber o número de maneiras em que ninguém pegou seu cavalo original; é como se você tivesse ordenado sem que nenhum

elemento ficasse no seu lugar original. Isso pode ser feito de D10 maneiras distintas, ou seja, existem 1  1 1 1 1 = D10 10!  − + − + ... + =  1.334.961 10!   0! 1! 2! 3!

maneiras distintas de nenhum proprietário ter pego o seu próprio cavalo. Uma outra maneira de obter D10 é o inteiro mais próximo do número real 10! ≈ 1.334.960,91 91, ou seja, 1.334.961 . e

12. COMBINAÇÕES COMPLETAS Nessa seção vamos introduzir uma outra importante ferramenta combinatória; as Combinações com elementos repetidos (também conhecidas na literatura do assunto como combinações completas), que nos permite determinar o número de maneiras distintas de escolhermos exatamente p objetos (não levando em consideração a ordem em que os elementos são escolhidos) entre n tipos de objetos disponíveis. Para introduzir esse tipo de contagem usaremos a seguinte situação-problema: Imagine que você entra numa sorveteria que tem disponível 4 sabores de sorvete, a saber: creme, morango, chocolate e doce de leite. De quantas formas distintas você pode comprar (de uma única vez) 5 exatamente sorvetes nessa sorveteria?

Um primeiro impulso para responder essa questão é o seguinte: Para comprar os 5 sorvetes, devemos tomar 5 decisões, a saber: D1 : Escolher o sabor do primeiro sorvete. D2 : Escolher o sabor do segundo sorvete. D3 : Escolher o sabor do terceiro sorvete. D4 : Escolher o sabor do quarto sorvete.

D5 : Escolher o sabor do quinto sorvete. Ora, como para cada uma das 5 decisões acima há 4 possibilidades de escolha do sabor do sorvete, segue, pelo princípio multiplicativo, que existem 4.4.4.4.4=1024 possibilidades de comprar os 5 sorvetes. Mas isso não é verdade, pois essas 1024 possibilidades consideram, por exemplo, distintas as compras CREME, CREME, CREME, MORANGO, CHOCOLATE CREME, CHOCOLATE, MORANGO, CREME, CREME Como sendo distintas, o que não faz sentido pois nas duas compras listadas acima os sorvetes adquiridos foram exatamente os mesmos. Pois a troca da ordem dos sabores não torna a segunda compra distinta da primeira, visto que o que torna uma compra distinta da outra é se ao final das duas compras os sorvetes não fossem os mesmos. Anteriormente já vimos que escolher p ≤ n objetos distintos entre n (sem levar em consideração a ordem em que os elementos são escolhidos) objetos distintos corresponde ao problema das combinações simples, isto é, C ( n, p ) =

n! . Esse ( n − p )! p!

tipo de contagem também não se enquadra no nosso problema do sorvete, visto que apesar da ordem da escolha dos sabores dos sorvetes não ser relevante, podemos, no caso dos sorvetes, repetir o mesmo sabor. Esse tipo de agrupamento, onde queremos escolher p elementos entre n elementos distintos, sem considerar a ordem em que as escolhas foram feitas, mas podendo escolher um mesmo elemento mais que uma vez, é chamado de COMBINAÇÃO COMPLETA (OU COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO). Esse número é representado por CR ( n, p ) . Vamos mostrar que CR ( n, p )= C ( n + p − 1, p ) , ou seja, para obtermos o número de combinações com repetição CR ( n, p ) podemos utilizar a combinação simples C ( n + p − 1, p ) . Para verificar esse fato vamos raciocinar da seguinte forma:

Imagine que queremos escolher p objetos (sem levar em consideração a ordem das escolhas) entre n tipos objetos distintos que são T1,T2,...,Tn. Sejam, x1=Quantidade de objetos do tipo 1 que serão escolhidos; x2=Quantidade de objetos do tipo 2 que serão escolhidos;

..... xn=Quantidade de objetos do tipo n que serão escolhidos Ora, como vamos escolher p objetos, segue que x1 + x2 + ... + xn = p

No caso da nossa situação inicial da sorveteria, queríamos comprar exatamente 5 sorvetes, escolhendo entre 4 sabores distintos; creme, morango, chocolate e doce de leite. Nesse caso, sejam x1= número de sorvetes de creme que serão comprados; x2= número de sorvetes de morango que serão comprados; x3= número de sorvetes de chocolate que serão comprados; x4= número de sorvetes de doce de leite que serão comprados. Ora, como no total vamos comprar exatamente 5 sorvetes, segue que x1 + x2 + x3 + x4 = 5

Como x1, x2, x3 e x4 representam as quantidades de sorvetes que foram comprados de cada um dos 4 sabores disponíveis, segue que x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 e x4 ≥ 0 , isto é, x1, x2, x3 e x4 são inteiros não negativos. Assim por exemplo, se comprarmos 2 sorvetes de creme, nenhum de morango, 1 de chocolate e 2 de doce de leite, teremos x1=2, x2=0, x3=1 e x4=2. Nesse caso, x1 + x2 + x3 + x4 =2 + 0 + 1 + 2 =5

Reciprocamente, para cada solução (nos inteiros não negativos) da equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5 , corresponde a um único modo de realizarmos a compra dos 5 sorvetes nessa sorveteria que disponibiliza 4 sabores. Por exemplo, a quadrupla = x2 2,= x3 1,= x4 1) corresponde a compra de 1 sorvete de creme, 2 de morango, ( x1 1,= 1 de chocolate e 1 de doce de leite. Diante do exposto, perceba que para cada solução (nos inteiros não negativos) da equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5 , corresponde uma única maneira de comprarmos os 5 sorvetes e, reciprocamente, para cada solução (nos inteiros não negativos) da equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5 , temos um modo de comprar os 5 sorvetes. Assim, a quantidade de maneiras distintas de comprarmos exatamente 5 sorvetes nessa sorveteria que

disponibiliza 4 sabores é igual a quantidade de soluções inteiras e não negativas as equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5. Então nos resta responder a seguinte questão: Quantas soluções inteiras e não negativas possui a equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5? Uma maneira de responder essa questão é a seguinte: para cada solução da equação 5 , podemos associar uma configuração de 5 pontos (iguais) separados x1 + x2 + x3 + x4 = por 3 barras verticais (iguais). Por exemplo, para a solução = x2 2,= x3 1,= x4 1 ) , ( x1 1,= associamos a configuração .|

.

.|

.|

.

Na configuração acima, a quantidade de pontos que estão antes da primeira barra corresponde ao valor de x1, a quantidade de pontos entre a primeira e a segunda barras corresponde ao valor de x2, a quantidade de pontos entre a segunda e a terceira barras corresponde ao valor de x3 e por fim, a quantidade de pontos após a terceira barra corresponde ao valor de x4. Por outro lado, para cada configuração dos 5 pontos e das 3 barras também corresponde a uma única solução da equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5 . Por exemplo, a configuração .| |. . . |. Corresponde à solução x1=1, x2=0, x3=3 e x4=1. Diante do exposto, há uma correspondência biunívoca entre o conjunto de soluções inteiras e não negativas da equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5 e o conjunto das possíveis configurações de 5 pontos (iguais) separados por 3 barras (iguais), isto é, esses dois conjuntos possuem a mesmo números de elementos. Mas ocorre que a quantidade de configurações dos 5 pontos (iguais) e das 3 barras (iguais) corresponde aos números de permutações de 8 objetos (5 pontos e 3 barras), onde os 5 pontos são iguais e as 3 barras são iguais. Assim essa quantidade é dada por 5,3 5,3 P5= P8= +3

8! 8! = = 56 ( 8 − 5)!3! 3!.3!

O que revela que a equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5 possui 56 soluções inteiras e não negativas, que correspondem então a 56 modos distintos de comprarmos exatamente 5 sorvetes nessa sorveteria de disponibiliza os sabores creme, morango, chocolate e doce de leite. Esse resultado 56, corresponde ao número de maneiras distintas de

escolhermos 5 objetos entre 4 tipos distintos, sem considerar a ordem em que as escolhas são realizadas e sendo permitida a escolha de objetos do mesmo tipo. Isso corresponde à quantidade de combinações completas (ou combinações com repetição) de 4 objetos tomados de 5 em 5. Denotamos esse fato por CR ( 5,4 )= P85,3=

8! = C ( 8,3)= C ( 5 + 4 − 1,3) ( 8 − 5)!3!

Isto é, podemos calcular o número de combinações com repetição a partir do número de combinações simples. No caso geral, vamos mostrar que CR ( n, p )= C ( n + p − 1, p )

Note que no caso das combinações com repetição CR ( n, p ) não é necessária a restrição p ≤ n , que era necessária no caso das combinações simples.

Para verificar que CR ( n, p )= C ( n + p − 1, p ) , poderíamos pensar no caso mais geral do nosso problema inicial dos sorvetes, a saber: De quantas formas distintas podemos comprar exatamente p sorvetes numa sorveteria que oferece exatamente n sabores? Definindo, x1= número de sorvetes que serão comprados do sabor 1; x2= número de sorvetes que serão comprados do sabor 2; .... xn= número de sorvetes que serão comprados do sabor n;. Ora, como queremos comprar exatamente p sorvetes, segue que x1 + x2 + ... + xn = p. Como já discutimos anteriormente, o número de maneiras distintas de comprarmos exatamente p sorvetes entre os n sabores disponíveis corresponde exatamente a quantidade de soluções inteiras e não negativas da equação x1 + x2 + ... + xn = p e essa quantidade é exatamente o que definimos anteriormente como CR ( n, p ) . Seguindo as mesmas ideias do problema inicial, onde queríamos comprar exatamente 5 sorvetes entre os 4 sabores disponíveis, podemos agora no caso geral considerar p pontos (iguais) separados por n-1 barras (iguais), conforme ilustra a figura abaixo .|

|.

... . . |. p pontos e n-1 barras.

.

.

como já vimos, cada configuração dos n pontos (iguais) e das p-1 barras (iguais) corresponde a uma solução inteira e não negativa da equação e vice-versa, segue que

CR ( n, p )= Pnn+−p1,−p1=

( n + p − 1)!= ( n − 1)!.p!

C ( n + p − 1, p )

Resumindo, A quantidade de maneiras distintas de escolhermos exatamente p objetos entre exatamente n objetos distintos (sem levar em consideração a ordem das escolhas, sem repetir objetos do mesmo tipo) é C ( n, p ) =

n! . ( n − p )!.p!

A quantidade de maneiras distintas de escolhermos exatamente p objetos entre exatamente n objetos distintos (sem levar em consideração a ordem das escolhas, mas repetir objetos do mesmo tipo) é CR ( n, p )= C ( n + p − 1, p ) . EXERCÍCIO RESOLVIDO De quantas formas distintas podemos comprarmos exatamente 5 sorvetes numa sorveteria que disponibiliza exatamente 4 sabores, a saber; creme, morango, chocolate e doce de leite, com a restrição de que devemos comprar pelo menos um sorvete de cada sabor? Resolução: Podemos iniciar esse problema exatamente da mesma forma que fizemos com o problema inicial dessa seção: sejam x1= número de sorvetes de creme que serão comprados; x2= número de sorvetes de morango que serão comprados; x3= número de sorvetes de chocolate que serão comprados; x4= número de sorvetes de doce de leite que serão comprados. Ora, como no total vamos comprar exatamente 5 sorvetes, segue que x1 + x2 + x3 + x4 = 5

Como x1, x2, x3 e x4 representam as quantidades de sorvetes que foram comprados de cada um dos 4 sabores disponíveis. Mas agora queremos comprar pelo menos um sorvete de cada tipo, o que implica que i, x1, x2, x3 e x4 são inteiros não negativos tais que x1 ≥ 1, x2 ≥ 1, x3 ≥ 1 e x4 ≥ 1 .

Diante do exposto, a quantidade de maneiras distintas de comprarmos exatamente 4 sorvetes, sendo pelo menos um da cada sabor, corresponde à quantidade de soluções inteiras e estritamente positivas das equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5 . Mas como podemos achar essa quantidade? Um truque simples, é o seguinte: na equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5 podemos fazer as mudanças de variáveis x1 = y1 + 1, x2 = y2 + 1, x3 = y3 + 1 e x 4 = y4 + 1

obtendo, x1 + x2 + x3 + x4 =5 ⇒

( y1 + 1) + ( y2 + 1) + ( y3 + 1) + ( y4 + 1) =5 ⇒ y1 + y2 + y3 + y4 = 1

Por fim, note que para cada solução inteira e não negativa da equação y1 + y2 + y3 + y4 = 1 , temos uma solução inteira e positiva da equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5 (e reciprocamente). Assim, por exemplo, a solução = y2 0,= y3 0,= y4 0 ) da ( y1 1,= equação y1 + y2 + y3 + y4 = 1 corresponde a solução

( x1 , x2 , x3 , x4 ) =( y1 + 1, y2 + 1, y3 + 1, y4 + 1) =(2,1,1,1) da equação

x1 + x2 + x3 + x4 = 5.

Diante do exposto, a quantidade de soluções inteiras estritamente positivas da equação x1 + x2 + x3 + x4 = 5 é igual a quantidade de soluções inteiras e não negativas da equação y1 + y2 + y3 + y4 = 1 , que pode ser obtido por CR ( 4,1= ) C ( 4 + 1 − 1,1=) C ( 4,1=)

4! 4! = = 4 ( 4 − 1)!1! 3!.1!

O que revela que existem apenas 4 modos distintos de comprarmos exatamente 5 sorvetes numa sorveteria que disponibiliza 4 sabores distintos, com a restrição de comprarmos pelo menos um sorvete de cada sabor.

13. PRINCÍPIO DE DIRICHLET (OU DA CASA DOS POMBOS) Em algumas ocasiões podemos estar interessados em garantir a existência de uma certa configuração entre uma quantidade finita de possibilidades sem necessariamente ter que exibir tal configuração. Por exemplo, numa sala de aula com 13 alunos, podemos garantir a existência de pelo menos dois alunos que fazem aniversário no mesmo mês do ano

De fato, como são 13 alunos, não pode ocorrer de todos eles fazerem aniversário em meses distintos, visto que em cada ano só existem 12 meses. Se 10 pombos voam para 9 casas, então haverá pelo menos uma casa com mais que um pombo, conforme ilustra a figura a seguir:

A mesma situação poderia ser colocada da seguinte forma: Se 10 camisetas são guardadas em 9 gavetas, então haverá pelo menos uma gaveta com mais que uma camiseta Essa ideia foi formalizada em 1834 pelo matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.da seguinte forma: Princípio de Dirichelet - Se n pombos devem ser postos em m casas, e se n > m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo. Outros matemáticos que se destacaram por usarem essa ideia para resolver diversos problemas foram os húngaros Erdös e Szekeres Motivado pelo exemplo dos pombos que vimos acima, esse princípio também é conhecido como princípio da casa dos pombos (ou ainda como princípio das gavetas de Dirichlet), pois supõe-se que o primeiro relato deste princípio feito por Dirichlet, com o nome de Schubfachprinzip ("princípio das gavetas"). Embora se trate de uma evidência extremamente elementar, o princípio é útil para resolver problemas que, pelo menos à primeira vista, não são imediatos. Para aplicá-lo, devemos identificar, na situação dada, quem faz o papel dos objetos e quem faz o papel das gavetas. EXERCÍCIO RESOLVIDO: Uma roleta de cassino possui 50 casas numeradas. A brincadeira é: rodar a roleta e soltar uma bolinha que irá parar em uma das casas. Quantas jogadas são necessárias a fim de garantir que a bolinha cairá mais de uma vez em alguma das casas

Resolução: Temos 50 gavetas, que são as 50 casas numeradas. Queremos saber quantos objetos (cada jogada será considerada como um objeto), ou seja, quantas jogadas serão necessárias para que a bolinha caia mais de uma vez em alguma das casas. De acordo com o princípio das Gavetas de Dirichlet, se tivermos n gavetas e n + 1 objetos então uma gaveta conterá pelo menos 2 objetos. Assim para que tenhamos a garantia que uma casa será visitada mais de uma vez, ou seja, pelo menos 2 vezes, serão necessárias 51 jogadas (50 + 1). EXERCÍCIO RESOLVIDO: Escolhem-se 5 pontos ao acaso sobre a superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que pelo menos dois desses pontos estão em um distância menor que ou igual a 2 . Resolução: Divida o quadrado em quatro quadrados menores como na figura a seguir:

Como temos cinco pontos e quatro quadrados, teremos pelo menos dois pontos no mesmo quadradinho. Como a maior distância entre dois pontos do mesmo quadradinho não o supera a medida de sua diagonal, que é

2 , segue que existem

pelo menos 2 dos 5 pontos cuja distância é menor ou igual a 2 . EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. A turma de espanhol de uma escola é composta por 20 estudantes. Serão formados grupos de três estudantes para uma apresentação cultural. De quantas maneiras se podem formar esses grupos, sabendo-se que dois dos estudantes não podem pertencer a um mesmo grupo? a) 6.840 b) 6.732 c) 4.896 d) 1.836 e) 1.1122

2. Uma família mudou-se da zona rural para uma cidade grande, onde os pais e seus 10 filhos deverão morar numa casa de três quartos. Os dez filhos deverão ocupar dois quartos, sendo 6 filhos num quarto e 4 filhos em outro quarto. De quantos modos os filhos poderão ser separados dessa forma? a) 6!+ 4! d)

b) 6!4!

c)

10! 6!4!

10! 6!

3. O número de ternos (x, y, z) de números inteiros positivos, maiores do que cinco, que cumprem a condição x + y + z = 30 é a) 71 b) 91 c) 61 d) 81 e) 51 4. Uma equipe esportiva composta por 5 jogadoras está disputando uma partida de dois tempos. No intervalo do primeiro para o segundo tempo, podem ser feitas até 3 substituições, e, para isso, o técnico dispõe de 4 jogadoras na reserva. O número de formações distintas que podem iniciar o segundo tempo é: a) 120 b) 121 c) 100 d) 40 e) 36 5. Existe quantidade ilimitada de bolas de três cores diferentes (branca, preta, azul) em um depósito, sendo que as bolas se diferenciam apenas pela cor. Oito dessas bolas serão colocadas em uma caixa. A quantidade de caixas diferentes que podem ser compostas com oito bolas é igual a: a) 38 b) 336 c) 56 d) 45 e) 25 6. Admita que certa cidade brasileira tenha 8 canais de TV aberta, todos com transmissões diárias. Se uma pessoa pretende assistir três dos oito canais em um mesmo dia, ela pode fazer isso de x maneiras diferentes sem levar em consideração a ordem em que assiste os canais, e pode fazer de y maneiras diferentes levando em consideração a ordem em que assiste os canais. Sendo assim, y - x é igual a: a) 112 b) 280 c) 224 d) 56 e) 140 7. Daniela tem 5 pulseiras diferentes e as utiliza necessariamente colocando-as uma após a outra. Ela pode usar todas as pulseiras em apenas um braço ou distribuí-las entre os braços direito e esquerdo. Daniela considera como um arranjo diferente tanto o braço em que as pulseiras são colocadas quanto a ordem como elas são distribuídas. As figuras mostram três arranjos diferentes que Daniela pode fazer:

O número de arranjos diferentes que Daniela pode fazer usando todas essas pulseiras é: a) 240 b) 360 c) 480 d) 600 e) 720 8. Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco. Considerando que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o total de possibilidades de os seis carros ocuparem as dez vagas é igual a: a) 12.600 b) 16.200 c) 21.600 d) 26.100 e) 20.000 9. A senha bancária da dona Maria era 753213 seguida pelas letras D, D e B, nessa ordem. Acontece que ela só se lembrava da parte numérica, esquecendo-se completamente da sequência de letras. A caixa eletrônica apresentou os 4 botões mostrados na figura abaixo, que ela deveria pressionar exatamente 3 vezes, podendo repeti-los, um para cada letra da senha:

Se ela fizer as escolhas aleatoriamente, a probabilidade de acertar a senha será: a)

9 32

b)

5 16

d)

3 8

e)

3 16

c)

1 4

10. O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes expõem seus modelos mais recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inovações em design e tecnologia. Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na região central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete. Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que serão expostos. A posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante. Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos é:

4 a) A10

4 b) C10

d) A 24 × A 26 × 2 × 2

e) C24 × C26

11.

Calcule

c) C24 × C26 × 2 × 2

número de soluções inteiras não negativas de x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x 6 = 20, nas quais pelo menos 3 incógnitas são nulas, e assinale a

opção correta: a) 3.332 d) 3.678

o

b) 3.420 e) 3.711

c) 3.543

12. Um brinquedo infantil caminhãocegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura. No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo. Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir? a) C6, 4 b) C9, 3 c) C10, 4 d) 64

e) 46

13. Uma criança possui 6 blocos de encaixe, sendo 2 amarelos, 2 vermelhos, 1 verde e 1 azul.

Usando essas peças, é possível fazer diferentes pilhas de três blocos. A seguir, são exemplificadas quatro das pilhas possíveis:

Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas diferentes de três blocos, incluindo as exemplificadas, que a criança pode fazer é igual a:

a) 58 d) 36

b) 20 e) 72

c) 42

14. Suponha que nos Jogos Olímpicos de 2016 apenas um representante do Brasil faça parte do grupo de atletas que disputarão a final da prova de natação dos 100 metros livres. Considerando que todos os oito atletas participantes têm a mesma chance de vencer, a probabilidade de que o brasileiro receba uma das medalhas (ouro, prata ou bronze) é de: a) 12,75% b) 25,50% c) 37,50% d) 42,25% e) 51,25% 15. A Câmara de Vereadores de uma cidade é composta por 13 vereadores, sendo que 6 destes são de partidos políticos da situação (aliados ao governo municipal) e os 7 restantes são de partidos da oposição (contrários ao governo municipal). É necessário compor uma comissão especial a ser formada por exatamente 5 vereadores, de forma que haja pelo menos dois representantes de cada um destes blocos políticos. Além disso, foi definido que o líder da situação e o líder da oposição não poderão fazer parte da mesma comissão. Sob essas condições, a quantidade de comissões distintas que pode ser constituída é igual a: a) 945 b) 500 c) 620 d) 810 e) 310 16. Em certo bairro, houve um “troca-troca” de livros usados. João levou 10 livros de romance. Pedro levou 15 de poesia, e Marcelo, 7 de ficção. Marcelo quer levar para casa, em troca de seus livros, 4 de romance e 3 de poesia. Assinale a alternativa que representa o número de formas diferentes com que essa escolha pode ser feita. a) C10,4 ⋅ C15,3 b) C10,4 + C15,3 c) A10,4 ⋅ A15,3 d) A10,3 ⋅ A15,4

e) A10,4 + A15,3

17. A senha de acesso ao cofre de um carro-forte é formada por d algarismos, em que esses algarismos pertencem ao conjunto de inteiros {0, 1, 2, ..., 9}. Um dos guardas observa o colega digitar o último algarismo da senha, concluindo que esta corresponde a um número ímpar. Assuma que esse guarda demore 1,8 segundos para realizar cada tentativa de validação da senha, sem realizar repetições, de maneira que, assim procedendo, no máximo em duas horas e meia terá sucesso na obtenção da senha. Segundo as condições apresentadas, conclui-se que o valor de d é um número: a) quadrado perfeito. b) primo. c) divisível por 3 d) múltiplo de 5 18. Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 verdes numeradas de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores todas distintas e sem

numeração. A quantidade de formas distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas é: a) 8.7! b) 7! c) 5.4! d) 10! e) 6! 19. No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empregando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cruzado e um gancho. Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar será de: a) 180 b) 160 c) 140 d) 120 e) 100 20. Uma urna contém 10 bolas, sendo 3 bolas pretas iguais, 3 bolas brancas iguais, 2 bolas verdes iguais e 2 bolas azuis iguais. Quantas são as maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as 10 bolas da urna, sem reposição? a) 25.200 b) 10! c) 144 d) 3.600 e) 72.000 21. “Genius era um brinquedo muito popular na década de 1980 (...). O brinquedo buscava estimular a memorização de cores e sons. Com formato semelhante a um OVNI, possuía 4 botões de cores distintas que emitiam sons harmônicos e se iluminavam em sequência. Cabia aos jogadores repetir o processo sem errar”. Considerando uma fase do jogo em que 3 luzes irão acender de forma aleatória e em sequência, podendo cada cor acender mais de uma vez. O número máximo de formas que essa sequência de 3 luzes poderá acender é: a) 12 b) 24 c) 36 d) 64 e) 80 22. Observe a tirinha abaixo:

Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por

casquinha, sendo sempre uma de cada sabor. O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a: a) 20 b) 41 c) 120 d) 35 e) 70 23. Um turista queria conhecer três estádios da Copa do Mundo no Brasil não importando a ordem de escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes situações: I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã. II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria que conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não conheceria nenhum dos dois. Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 estádios brasileiros, a razão entre o número de modos distintos de escolher a situação I e o número de maneiras diferentes de escolha para a situação II, nessa ordem, é: a)

11 26

b)

13 25

d)

11 24

e)

3 16

c)

13 24

24. Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por: a) d)

9! 2! 5! × 4! 2!

b)

9! 7!× 2!

e)

5! 4! × 4! 3!

c) 7!

25. Atual tendência alimentar baseada no maior consumo de legumes, verduras e frutas impulsiona o mercado de produtos naturais e frescos sem agrotóxicos e uma diminuição no consumo de produtos que levam glúten, lactose e açúcar. Uma empresa especializada no preparo de refeições, visando a esse novo mercado de consumidores,

disponibiliza aos seus clientes uma “quentinha executiva” que pode ser entregue no local de trabalho na hora do almoço. O cliente pode compor o seu almoço escolhendo entradas, pratos principais e sobremesas. Se essa empresa oferece 8 tipos de entradas, 10 tipos de pratos principais e 5 tipos de sobremesas, o número de possiblidades com que um cliente pode compor seu almoço, escolhendo, dentre os tipos ofertados, duas entradas, um prato principal e uma sobremesa é: a) 400 b) 600 c) 800 d) 1.200 e) 1.400 26. Sejam r e s duas retas distintas e paralelas. Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não colineares, formam-se triângulos. Assinale a opção correspondente ao número de triângulos que podem ser formados. a) 360 b) 380 c) 400 d) 420 27. A figura a seguir apresenta uma planificação do cubo que deverá ser pintada de acordo com as regras abaixo. Os quadrados que possuem um lado em comum, nessa planificação, deverão ser pintados com cores diferentes. Além disso, ao se montar o cubo, as faces opostas deverão ter cores diferentes. De acordo com essas regras, qual o MENOR número de cores necessárias para se pintar o cubo, a partir da planificação apresentada? a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. 28. Paulo possui 709 livros e identificou cada um destes livros com um código formado por três letras do nosso alfabeto, seguindo a “ordem alfabética” assim definida: AAA, AAB, ..., AAZ, ABA, ABB,..., ABZ, ACA,... Então, o primeiro livro foi identificado com AAA, o segundo com AAB,... Nestas condições, considerando o alfabeto com 26 letras, o código associado ao último livro foi: a) BAG. b) BAU. c) BBC. d) BBG. 29. Em uma festa de aniversário estão presentes n famílias com pai, mãe e 2 filhos, além de 2 famílias com pai, mãe e 1 filho. Organiza-se uma brincadeira que envolve esforço físico, na qual uma equipe azul enfrentará uma equipe amarela. Para equilibrar a disputa, uma das equipes terá apenas o pai de uma das famílias, enquanto a outra equipe terá 2 pessoas de uma mesma família, não podendo incluir o pai. É permitido

que o pai enfrente 2 pessoas de sua própria família. Para que se tenha exatamente 2014 formas distintas de se organizar a brincadeira, o valor de n deverá ser: a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 30. Para a escolha de um júri popular formado por 21 pessoas, o juiz-presidente de uma determinada Comarca dispõe de uma listagem com nomes de trinta homens e de vinte mulheres. O número de possibilidades de formar um júri popular composto por exatamente 15 homens é: 6 a) C15 30 ⋅ C20

6 b) A15 30 ⋅ A 20

6 d) A15 30 + A 20

21 e) C50

6 c) C15 30 + C20

31. Oito amigos entraram em um restaurante para jantar e sentaram-se numa mesa retangular, com oito lugares, como mostra a figura a seguir. Dentre todas as configurações possíveis, quantas são as possibilidades de dois desses amigos, Amaro e Danilo, ficarem sentados em frente um do outro? a) 1 440 b) 1 920 c) 2 016 d) 4 032 e) 5 760 32. Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é: a)

626 10

6

d) 62! − 10!

b)

62! 10!

c)

62! 4! 10! 56!

e) 626 − 106

33. As senhas de um cofre eletrônico possuem, sempre, 6 dígitos distintos e devem conter, obrigatoriamente, 1 símbolo, 3 algarismos e 2 letras distintas, nessa ordem, utilizando os seguintes tipos de caracteres:

- símbolos *, #, $, & e @; - algarismos de 0 a 9; - consoantes do alfabeto português, excluindo K, W e Y. Um software especial tem em seu código-fonte o algoritmo de formação das senhas deste cofre. Além disso, possui a capacidade de testar cada combinação de senha possível a cada 0,005 segundos. Assim, para quebrar a segurança do cofre e descobrir a senha, este software demorará, no máximo: a) 7 min e 39 s. b) 18 min e 22 s. c) 36 min e 43 s. d) 91 min e 48 s. e) 135 min. 34. Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo. ABC 1234

ABCD 123

Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modificação em relação ao número máximo de placas em vigor seria: a) inferior ao dobro. b) superior ao dobro e inferior ao triplo. c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo. d) o quádruplo. e) mais que o quádruplo. 35. Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor. Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a: a) 624 b) 676 d) 720 e) 840

c) 715

36. Os clientes de um banco, ao utilizarem seus cartões nos caixas eletrônicos, digitavam uma senha numérica composta por cinco algarismos. Com o intuito de melhorar a segurança da utilização desses cartões, o banco solicitou a seus clientes que cadastrassem senhas numéricas com seis algarismos. Se a segurança for definida pela quantidade de possíveis senhas, em quanto aumentou percentualmente a segurança na utilização dos cartões? a) 10% b) 90% c) 100% d) 900% e) 1900%

37. Um grupo de amigos, ao planejar suas férias coletivas, listou 12 cidades brasileiras que pretendem conhecer juntos, sendo que seis ficam no litoral e seis no interior do país. O critério estabelecido foi de alternar as férias, em cada ano, ora em cidades litorâneas, ora, em interioranas, definindo-se que, nos próximos 12 anos, será visitada uma cidade diferente por ano. Desse modo, a quantidade de maneiras possíveis para atender a esse critério é a) 2.3.11. b) 22.3.11. c) 2.32.11. d) 28.34.52. e) 29.34.52. 38. A tabela abaixo apresenta os critérios adotados por dois países para a formação de placas de automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano. País Descrição Exemplo de placa X

3 letras e 3 algarismos, em qualquer ordem

Y

um bloco de 3 letras, em qualquer ordem, à esquerda de outro bloco de 4 algarismos, também em qualquer ordem

Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y igual a p. A a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

n razão corresponde a: p

c) 3

39. Na versão da série Glee do Safety Dance, um grupo de atores dança no hall de um shopping center, enquanto os demais apenas observam. Suponha que, para a execução da cena, foi necessário escolher, dentre 6 atores e 8 atrizes, um grupo formado por 5 atores e 5 atrizes. Quantos grupos de dançarinos podem ser escolhidos dessa forma? a) 336. b) 168. c) 70. d) 48. e) 25. 40. O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de 6 números distintos entre 1 e 60. Um apostador escolhe 20 números distintos e faz todos os C20,6 jogos possíveis de serem realizados com os 20 números. Se ele acertar os seis números sorteados, entre os vinte

escolhidos, além da aposta sorteada com a sena, quantas apostas premiadas com a quina (cinco números corretos) ele conseguirá? a) 75 apostas b) 84 apostas c) C20,5 apostas d) C6,5 apostas e) 70 apostas 41. Uma fábrica de tintas necessita contratar uma equipe para desenvolver e produzir um novo tipo de produto. A equipe deve ser formada por 4 químicos, 1 engenheiro ambiental e 2 engenheiros de produção. Se no processo final de seleção compareceram 6 químicos, 3 engenheiros ambientais e 4 engenheiros de produção, o número de maneiras que a equipe poderá ser formada é igual a (nos itens abaixo, x denota multiplicação numérica): a) 6!.3 d) 6! ⋅

3 4

b) 6!.18

c) 6! ⋅

3 8

e) 6!.88

42. Veja a tirinha seguinte.

Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 meninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. O maior valor de n é equivalente a: a) 45 b) 56 c) 69 d) 81 e) 95 43. No jogo da Mega Sena, um apostador pode assinalar entre 6 e 15 números, de um total de 60 opções disponíveis. O valor da aposta é igual a R$ 2,00 multiplicado pelo número de sequencias de seis números que são possíveis, a partir daqueles números assinalados pelo apostador. Por exemplo: se o apostador assinala 6 números, tem apenas uma sequência favorável e paga R$ 2,00 pela aposta. Se o apostador assinala 7 números, tem sete sequencias favoráveis, ou seja, é possível formar sete sequencias de seis números a partir dos sete números escolhidos. Neste caso, o valor da aposta é R$ 14,00. Considerando que se trata de uma aplicação de matemática, sem apologia a qualquer tipo de jogo, assinale a única alternativa CORRETA.

a) a aposta máxima custará R$ 5.005,00. b) uma aposta com 14 números assinalados custará entre R$ 3.000,00 e R$ 3.050,00. c) apostar dois cartões com dez números assinalados, ou cinco cartões com nove números assinalados, são opções equivalentes em termos de custo e de chance de ser ganhador do prêmio máximo. d) o custo de uma aposta com 12 números assinalados será inferior a R$ 1.830,00. e) apostar um cartão com 13 números assinalados custará o dobro da aposta de um cartão com 12 números assinalados. 44. Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui três sabores de sorvete: chocolate, morango e uva. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra? a) 4. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15. 45. A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente, a) 1,5 vez menor. b) 2,5vezes menor. c) 4 vezes menor. d) 9 vezes menor. e) 14 vezes menor. 46. Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. d) duas combinações. e) dois arranjos.

47. Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0, 1, 2 e 5. O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas voltadas para baixo. Ao desvirá-las, verificava-se quais delas continham o algarismo na posição correta dos algarismos do número 12,50 que era o valor, em reais, do trio-promoção. Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se R$ 1,00 de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira fosse 5, ele ganharia R$ 2,00 de desconto. Qual é a probabilidade de um consumidor não ganhar qualquer desconto? a) 3/8 d)

1 4

b)

3 24

e)

3 8

c)

1 3

48. Se uma partida de futebol termina com o resultado de 5 gols para o time A e 3 gols para o time B, existem diversas maneiras de o placar evoluir de 0 × 0 a 5 × 3. Por exemplo, uma evolução poderia ser

Quantas maneiras, no total, tem o placar de evoluir de 0 × 0 a 5 × 3? a) 16. b) 24. c) 36. d) 48. e) 56. 49. Um estudante utilizou uma tabela periódica como tabuleiro para um jogo no qual cada elemento químico corresponde a uma casa. Esse jogo consiste no lançamento de um dado de seis faces, numeradas de 1 a 6, para conduzir um peão em um mesmo período da tabela periódica, por uma determinada quantidade de casas, de acordo com o número indicado pelo dado a cada lançamento. Se, por exemplo, um peão estiver na casa onde está localizado o elemento cálcio, e o número indicado pelo dado for 4, ele será conduzido, pelo jogador, até a casa correspondente ao elemento cromo. Considere um peão localizado na casa do metal alcalino do 50 período. Para que esse peão pare na casa do halogênio nesse mesmo período, após três lançamentos do dado, há n sequências possíveis de resultados desses lançamentos. Nesse caso, o valor de n é igual a: a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12

50. Uma bicicleta de marchas tem três engrenagens na coroa, que giram com o pedal, e seis engrenagens no pinhão, que giram com a roda traseira. Observe a bicicleta a seguir e as tabelas que apresentam os números de dentes de cada engrenagem, todos de igual tamanho. Cada marcha é uma ligação, feita pela corrente, entre uma engrenagem da coroa e uma do pinhão.

Um dente da 1ª engrenagem da coroa quebrou. Para que a corrente não se desprenda com a bicicleta em movimento, admita que a engrenagem danificada só deva ser ligada à 1ª ou à 2ª engrenagem do pinhão. Nesse caso, o número máximo de marchas distintas, que podem ser utilizadas para movimentar a bicicleta, é de: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 20 51. Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir. grupos taxonômicos número de espécies Artiodáctilos 4 Carnívoros 18 Cetáceos 2 Quirópteros 103 Lagomorfos 1 Marsupiais 16 Perissodáctilos 1 Primatas 20 Roedores 33 Sirênios 1 Edentados 10 Total 209

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a: a) 1.320 b) 2.090 c) 5.845 d) 6.600 e) 7.245 52. A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por

O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é a) 12 b) 31 c) 36 d) 63 e) 720 53. No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é: a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 54. No desenho a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas, e os quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A e B que passam por C é: a) 12 b) 13 c) 15 d) 24 e) 30

55. Quatro amigos vão ocupar as poltronas a, b, c, d de um ônibus dispostas na mesma fila horizontal, mas em lados diferentes em relação ao corredor, conforme a ilustração. Dois deles desejam sentar-se juntos, seja do mesmo lado do corredor, seja em lados diferentes. Nessas condições, de quantas maneiras distintas os quatro podem ocupar as poltronas referidas, considerando-se distintas as posições em que pelo menos dois dos amigos ocupem poltronas diferentes? a) 24. b) 18. c) 16. d) 12. e) 6. 56. Cada um dos círculos da figura a seguir deverá ser pintado com uma cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é:

a) 74 d) 47

b) 7! . 4! e) 2916

c) 3 . 7!

57. Um grupo de 9 pessoas, dentre elas os irmãos João e Pedro, foi acampar. Na hora de dormir montaram 3 barracas diferentes, sendo que, na primeira, dormiram duas pessoas; na segunda, três pessoas; e, na terceira, as quatro restantes. De quantos modos diferentes eles se podem organizar, sabendo que a única restrição é a de que os irmãos João e Pedro NÃO podem dormir na mesma barraca? a) 1260. b) 1225. c) 1155. d) 1050. e) 910. 58. Para responder a certo questionário, preenche-se o cartão apresentado a seguir, colocando-se um "x" em uma só resposta para cada questão. De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questionário? a) 3 125 b) 120 c) 32 d) 25 e) 10

59. Um "Shopping Center" possui 4 portas de entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento. De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindo de fora do "Shopping Center" pode atingir o segundo pavimento usando os acessos mencionados? a) 12 b) 17 c) 19 d) 23 e) 60 60. A secretária de um médico precisa agendar quatro pacientes, A, B, C e D, para um mesmo dia. Os pacientes A e B não podem ser agendados no período da manhã e o paciente C não pode ser agendado no período da tarde. Sabendo que para esse dia estão disponíveis 3 horários no período da manhã e 4 no período da tarde, o número de maneiras distintas de a secretária agendar esses pacientes é: a) 72 b) 126 c) 138 d) 144 e) 166 61. Desenvolvido em 1835, pelo pintor e inventor Samuel Finley Breese Morse, o Código Morse é um sistema binário de representação a distância de números, letras e sinais gráficos, utilizando-se de sons curtos e longos, além de pontos e traços para transmitir mensagens. Esse sistema é composto por todas as letras do alfabeto e todos os números. Os caracteres são representados por uma combinação específica de pontos e traços [...]. Considerando o exposto no texto e um conjunto de sinais composto de 2 traços e 3 pontos, quantas mensagens podem ser representadas usando todos os elementos do conjunto? a) 120 mensagens b) 10 mensagens c) 20 mensagens d) 200 mensagens e) 30 mensagens 62. Alice, Bia, Cris, Dedé e Elis realizam tarefas diferentes na sequência de fabricação de um produto. Sabe-se que: - a tarefa realizada por Cris deve ser feita depois que já tenha sido concluída a tarefa realizada por Bia; - a tarefa realizada por Elis deve ser feita antes que já tenha sido concluída a tarefa realizada por Bia; - a tarefa realizada por Dedé deve ser feita depois que já tenha sido concluída a tarefa realizada por Alice; - a tarefa realizada por Bia deve ser feita antes que já tenha sido concluída a tarefa realizada por Dedé. Considerando-se apenas essas pessoas, tarefas e condições, o total de ordenações possíveis das cinco tarefas é igual a a) 4 b) 8 c) 7 d) 5 e) 6

63. Para realizar uma venda, uma loja virtual solicita de seus clientes o cadastramento de uma senha pessoal que permitirá acompanhar a entrega de sua compra. Essa senha anteriormente era composta por quatro algarismos e uma letra (minúscula), sem quaisquer restrições de posicionamentos entre letra e algarismos. Com o grande aumento no número de vendas, houve a necessidade de ampliação no número de senhas, as quais passaram a ser compostas por cinco algarismos e uma letra (minúscula). Sabe-se que existem 26 letras no alfabeto e 10 algarismos disponíveis. Se denotarmos por N e M, respectivamente, o número total de senhas possíveis, antes e após a mudança, então, a relação entre N e M é dada por: a) M = 10.N b) M = 5!.N c) M = 6!.N d) M = 12.N e) M = 20.N 64. Um baralho é composto por 52 cartas divididas em 4 naipes distintos (copas, paus, ouros e espadas). Cada naipe é constituído por 13 cartas, das quais 9 são numeradas de 2 a 10, e as outras 4 são 4 valete (J), 1 dama (Q), 1 rei (K) e 1 ás (A). Ao serem retiradas desse baralho duas cartas, uma a uma e sem reposição, a quantidade de sequências que se pode obter em que a primeira carta seja de ouros e a segunda não seja um ás é igual a: a) 612 b) 613 c) 614 d) 615 e) 620 65. De acordo com o DETRAN de uma certa cidade, ainda estão disponíveis os prefixos de placa de automóveis com três letras, conforme modelo a seguir.

Se estiverem disponíveis para o 2º espaço as letras X, Y e Z, e para o 3º espaço as letras A, B, C, D, E, F, G e H, então o número de prefixos disponíveis para emplacamento é: a) 18 b) 24 c) 28 d) 36 e) 60 66. A bandeira a seguir está dividida em 4 regiões. Cada região deverá ser pintada com uma cor, e regiões que fazem fronteira devem ser pintadas com cores diferentes. Sabendo que dispomos de 6 cores, de quantas maneiras distintas podemos pintar essa bandeira? a) 20 b) 24 c) 120 d) 600 e) 720

67. Uma montadora de carros oferece a seus clientes as seguintes opções na montagem de um carro: 2 tipos de motores (1.8 ou 2.0), 2 tipos de câmbios (manual ou automático), 6 cores (branco, preto, vermelho, azul, cinza ou prata) e 3 tipos de acabamento (simples, intermediário ou sofisticado). De quantas maneiras distintas pode-se montar esse carro? a) 4 b) 13 c) 24 d) 36 e) 72 68. Em um programa de televisão que revela novos talentos para a música, cada candidato faz uma breve apresentação para os 4 jurados que, inicialmente, ficam de costas, apenas ouvindo. Durante a apresentação, todos os jurados que gostarem da voz daquele candidato viram-se para ele. Se pelo menos um jurado se virar, o candidato é selecionado. Em certa edição do programa, n candidatos tiveram pelo menos um dos 4 jurados se virando durante sua apresentação. O conjunto de todos os jurados que se viraram, porém, nunca foi o mesmo para dois quaisquer desses n candidatos. Dessa forma, n pode valer, no máximo, a) 4 b) 6 c) 12 d) 15 e) 24 69. A vendedora de roupas está arrumando os cabides da vitrine de uma loja. Ela deve pendurar 5 camisas, 3 bermudas e 2 casacos na vitrine, de modo que cada peça fique uma do lado da outra sem sobreposição. Quantas são as disposições possíveis nessa arrumação, de modo que as peças de um mesmo tipo fiquem sempre juntas, lado a lado na vitrine? a) 30 b) 120 c) 1.440 d) 4.320 e) 8.640 70. Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas? a) 71 b) 75 c) 80 d) 83 e) 87 71. Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual 2007. Um desses grupos está apresentado a seguir. Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a:

a) 24 d) 140

b) 35 e) 220

c) 70

72. Antônio e Bruno são membros atuantes do Grêmio Estudantil e estão se formando numa turma de 28 alunos. Uma comissão de formatura, com 5 membros, deve ser formada para a organização dos festejos. Quantas comissões podem ser formadas de modo que Antônio e Bruno sejam membros? a) 2.600 b) 9.828 c) 9.288 d) 3.276 e) 28 73. Por ocasião da Feira de Ciências, 10 alunos da turma de Susanita foram incumbidos de monitorar as salas Meio Ambiente e Informática. A sala Meio Ambiente deve ter 6 monitores. Como um dos principais objetivos é desenvolver a capacidade de o aluno pensar, refletir e expressar seus conhecimentos perante os visitantes, todos deverão passar pelas duas salas. Assim, o número de maneiras diferentes que esses alunos podem ser distribuídos nas duas salas, sem que nenhum seja excluído é: a) 105 b) 210 c) 420 d) 5.040 e) 151.200 74. Na figura a seguir temos um esboço de parte do centro da cidade do Recife com suas pontes. As setas indicam o sentido do fluxo de tráfego de veículos. De quantas maneiras, utilizando apenas o esboço, poderá uma pessoa ir de carro do ponto A ao ponto B (marco zero) e retornar ao ponto de partida passando exatamente por três pontes distintas? a) 8 b) 13 d) 18 e) 20

c) 17

75. O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras.

De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto? a) 14 b) 18 c) 20 d) 21 e) 23 GABARITO 1.E 7.E 13.C 19.A 25.E 31.E 37.E 43.C 49.B 55.D 61.B 67.E 73.B

2.C 8.A 14.C 20.A 26.D 32.A 38.B 44.E 50.C 56.E 62.C 68.D 74.C

3.B 9.A 15.D 21.D 27.B 33.D 39.A 45.C 51.A 57.E 63.D 69.E 75.C

4.B 10.C 16.A 22.B 28.D 34.A 40.B 46.A 52.D 58.C 64.A 70.A

5.D 11.E 17.A 23.A 29.A 35.A 41.C 47.E 53.B 59.E 65.B 71.B

6.B 12.B 18.A 24.A 30.A 36.D 42.C 48.E 54.E 60.D 66.D 72.A

Resoluções 01: [E] Sejam A e B os estudantes que não podem pertencer a um mesmo grupo. Vamos supor que queiramos calcular quantas são as possibilidades para formarmos  20  3

20! 3! ⋅ 17!

exatamente um grupo. Assim, temos =   = 1140 possibilidades, dentre as 1122. quais A e B estão presentes em 18. A resposta é 1140 − 18 =

02: [C] Devemos considerar o número de maneiras distintas de se colocar 6 filhos no primeiro quarto. Para isto devemos fazer uma combinação de 10 elementos tomados 6 a 6. C10,6 =

10! 6!⋅ 4!

03: [B] Tomando x= a + 6, y= b + 6 e z= c + 6, com a, b, c ∈  , vem x + y + z = 30 ⇔ a + b + c = 12.

Logo, queremos calcular o número de soluções inteiras e não negativas da equação acima. Tal resultado é dado pelo número de combinações completas de 3 objetos tomados 12 a 12, ou seja,

 14  CR12  3 =  12  14! = 12! ⋅ 2! = 91.

04: [B] Como podem ser feitas de zero a 3 substituições, segue que o resultado é dado por 5  4 5  4 5  4 1+   ⋅   +   ⋅   +   ⋅   = 1 + 5 ⋅ 4 + 10 ⋅ 6 + 10 ⋅ 4  1  1  2   2   3   3  = 121.

05: [D] Calculando: * = C3,8 C3* += C= 8 −1,8 10,8

10! 10 ⋅ 9 = = 45 2! ⋅ 8! 2

06: [B] Calculando: 8! = 56 3! ⋅ 5! 8! = = 336 A 8,3 5!

= C8,3

⇒ 336 − 56 = 280

07: [E] Daniela vai colocar x pulseiras no braço esquerdo e y no braço direito. Então, x + y = 5 O total de soluções inteiras não negativas da equação acima é dada por: P65 =

6! 5!

P65 = 6

Em cada distribuição das pulseiras no braço, Daniela pode permuta-las, logo, o número de arranjos diferentes que Daniela pode fazer usando todas essas pulseiras é 6 ⋅ 5! = 720.

08: [A] Considerando que as quatro vagas desocupadas são objetos idênticos, segue que o resultado é dado por

10! 3! ⋅ 2! ⋅ 4! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 3⋅2⋅2 = 12600.

(3, 2, 4) = P10

09: [A] Calculando:

1ª letra ⇒ possibilidades de acerto: BCD; CDE; DEF ⇒ 3 possibilidades 2ª letra ⇒ possibilidades de acerto: BCD; CDE; DEF ⇒ 3 possibilidades 3ª letra ⇒ possibilidades de acerto: ABC; BCD ⇒ 2 possibilidades P(X) =

3⋅3⋅2 18 9 = = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 64 32

10: [C] Em relação aos carros que ficarão na entrada, existem 4 maneiras de escolher o compacto e 6 modos de escolher a caminhonete. Já para o estande da região central, tem-se 3 escolhas para o compacto e 5 para a caminhonete. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o número de possibilidades para compor os estandes é igual a 6 4 4 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ 5=   ⋅ 2 ⋅   ⋅ 2 2 2  4 6 =   ⋅   ⋅ 2 ⋅ 2.  2 2

11: [E] Do enunciado, devemos ter as seguintes situações: 3 incógnitas nulas ou 4 incógnitas nulas ou 5 incógnitas nulas. Com 3 incógnitas nulas C6,3 =

6! = 20 3!⋅ 3!

é o total de maneiras de escolher as três incógnitas nulas.

Analisemos o caso em que x= x= 0. Assim, queremos encontrar o total de 1 x= 2 3 soluções inteiras não negativas e não nulas da equação x 4 + x5 + x 6 = 20. Assim, podemos escrever: x4 = a + 1, x5 = b + 1 e x6 = c + 1.

Então,

a+ 1 + b+ 1 + c + 1 =20 a+ b+ c = 17

O total de soluções inteiras não negativas da equação a+ b+ c =17, é: 2,17 = P19

19! 19 ⋅ 18 ⋅ 17! = = 171 2!⋅ 17! 2 ⋅ 17!

Logo, pelo princípio da multiplicação, há 20 ⋅ 171 = 3420 soluções para a equação x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x 6 = 20 na qual 3 incógnitas são nulas.

Com 4 incógnitas nulas = C6,4

6! = 15 4!⋅ 2!

é o total de maneiras de escolher as quatro incógnitas nulas.

Analisemos o caso em que x= x= x= 0. Assim, queremos encontrar o total de 1 x= 2 3 4 soluções inteiras não negativas e não nulas da equação x5 + x 6 = 20. Assim, podemos escrever: x5= d + 1 e x 6= e + 1. Então, d + 1 + e + 1 =20 d+e = 18

18, é: O total de soluções inteiras não negativas da equação d + e = 18 P= 19

19! 19 ⋅ 18! = = 19 18! 18!

Logo, pelo princípio da multiplicação, há 15 ⋅ 19 = 285 soluções para a equação x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x 6 = 20 na qual 4 incógnitas são nulas. Com 5 incógnitas nulas C = 6,5

6! = 6 5!⋅ 1!

é o total de maneiras de escolher as quatro incógnitas nulas.

Analisemos o caso em que x= x= x= x= 0. Assim, queremos encontrar o total 1 x= 2 3 4 5 de soluções inteiras não negativas e não nulas da equação x 6 = 20. Só há uma solução para esse caso. Logo, pelo princípio da multiplicação, há 6 ⋅ 1 =6 soluções para a equação x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x 6 = 20 na qual 5 incógnitas são nulas. Portanto, o total de soluções inteiras não negativas de x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x 6 = 20, nas quais pelo menos 3 incógnitas são nulas é 3420 + 285 + 6 = 3711. 12: [B] Sabendo-se que cada caminhão cegonha possui 10 carros e que é preciso ao menos um carrinho de cada cor, então restam 6 carrinhos nos quais as cores podem ser permutadas. Sendo a, b, c e d a quantidade de carrinhos brancos, laranjas, amarelos e verdes, além dos 4 já pintados (um de cada cor), tem-se: a+b+c +d = 6

A quantidade de soluções inteiras não negativas dessa equação de quatro variáveis será:  6 + 4 − 1  9  =   =  C9,3  4 −1  3

13: [C] Uma pilha pode ter blocos de duas ou três cores distintas. Para as pilhas de blocos de duas cores existem 2 escolhas para a cor repetida e 3 para a segunda cor. Definidos 3! 2!

os blocos, é possível dispô-los de P3(2)= = 3 maneiras. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, segue que existem 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18 pilhas com blocos de duas cores. Ademais, para as pilhas de blocos de três cores distintas, sabemos que existem 4 modos de escolher a primeira cor, 3 modos de escolher a segunda cor e 2 modos de

escolher a última cor. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que há 4 ⋅ 3 ⋅ 2 =24 pilhas possíveis. Finalmente, pelo Princípio Aditivo, podemos concluir que o resultado é 18 + 24 = 42. 14: [C] Número de maneiras de se escolher três nadadores medalhistas num total de 8. = C8,3

8! = 56 3!⋅ 5!

Número de maneiras de se escolher três medalhistas de modo que um deles seja o brasileiro. C7,2 =

7! = 21 2!⋅ 5!

Portanto, a probabilidade pedida será dada por: P=

21 3 = = 37,50% 56 8

15: [D] Existem 6 7 6! 7! ⋅ = 525   ⋅  = 2 3 2! ⋅ 4! 3! ⋅ 4!    

modos de formar uma comissão com 2 vereadores da situação e 3 da oposição. Dentre essas possibilidades, 5 6 6! 5 = 75   ⋅   =⋅ 1 2 2! ⋅ 4!    

apresentam os dois líderes. Logo, há 525 − 75 = 450 maneiras para esse caso. Por outro lado, há 6 7 6! 7! ⋅ = 420   ⋅  = 3 2 ⋅ ⋅ 5! 3! 3! 2!    

maneiras de formar uma comissão com 3 vereadores da situação e 2 da oposição. Porém, nessas comissões estão incluídas 5 6 5! = ⋅ 6 60   ⋅=  2 1 2! ⋅ 3!    

possibilidades nas quais os dois líderes figuram. Em consequência, há 420 − 60 = 360 comissões possíveis. Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é 450 + 360 = 810. 16: [A] Como os grupos de livros diferenciam-se apenas pela natura de elementos (a ordem dos livros escolhidos não importa), trata-se de combinação. Como Marcelo quer levar 4 livros de romance e 3 livros de poesia, logo deve-se fazer uma multiplicação entre duas combinações, a fim de encontrar o número total de formas diferentes de escolha. Logo, a alternativa correta é a letra [A].

17: [A]

2,5h = 9.000 s

Se d é número de algarismos da senha ímpar, podemos escrever que o número n de senhas será dado por: n= 10d−1 ⋅ 5 ou n= 9000 ÷ 1,8= 5000

Portanto, 10d−1 ⋅ 5 = 5000 ⇒ d − 1 = 3 ⇒ d = 4 Portanto, d é um quadrado perfeito.

18: [A] Pode-se extrair do enunciado que: 3 bolas amarelas → A1, A 2 , A 3 3 bolas verdes → V1, V2 , V3 4 bolas coloridas → C1, C2 , C3 , C4

Importante ressaltar que, embora as 4 bolas coloridas não sejam numeradas, elas são todas distintas entre si. Matematicamente, não importa se estas são distintas por cores ou numeração, motivo pela qual elas foram nomeadas como C1, C2 , C3 e C4 . Os conjuntos de mesmo número devem ficar juntos, porém o enunciado é claro em afirmar a “quantidade de formas distintas” ou seja, a ordem é importante. Pode-se reorganizar as 10 bolas, considerando que as de mesma numeração fiquem juntas, em 7 blocos. Para ilustrar melhor, pode-se identificar a primeira maneira de enfileirar as 10 bolas: A1V1 A 2 V2 A 3 V3 C1 C2 C3 C4

Daí, nota-se que o número de maneiras de enfileirar estes 7 blocos identificados seria permutação de 7, ou seja 7!. Porém, é preciso lembrar que os blocos com elementos de mesma numeração também podem ser permutados, pois como já vimos, a ordem é importante. Assim, o número de maneiras que podemos permutar esses elementos isoladamente será: A1V1 → permutação de 2, ou seja, 2! = 2 ⋅ 1 = 2 A 2 V2 →

permutação de 2, ou seja, 2! = 2 ⋅ 1 = 2

A 3 V3 → permutação de 2, ou seja, 2! = 2 ⋅ 1 = 2

Assim, o número de maneias distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas será: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7! = 8 ⋅ 7!

19: [A] Utilizando a permutação simples com repetição de elementos, pode-se escrever: P62;2 =

6! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2! P62;2 180 = →= 2! ⋅ 2! ⋅ 1! ⋅ 1! 2! ⋅ 2 ⋅ 1

20: [A] Devemos fazer uma permutação de 10 com repetição de 3, com repetição de 3 e com repetição de 2 e com repetição de 2. 3,3,2,2 P= 10

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! = = 25.200 3! ⋅ 3! ⋅ 2! 3! ⋅ 3! ⋅ 2! ⋅ 2!

21: [D] Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64. 22: [B] Como uma casquinha pode ter no máximo 3 bolas e os sabores devem ser distintos, segue-se que o resultado pedido é dado por 6 6 6 6! 6! 6 +   +   +   =+ 1 2 3 2! 4! 3! ⋅ ⋅ 3!       =6 + 15 + 20 = 41.

23: [A]  11

11!

Para a situação I, existem =   = 55 escolhas possíveis. Para a situação II, o  2  2! ⋅ 9!  10 

10!

número de possibilidades é dado por 10 +   = 10 + 130. Em consequência, a = 3! ⋅ 7! 3 resposta é

55 11 . = 130 26

24: [A] O resultado pedido corresponde ao número de arranjos simples de 9 objetos tomados 7

a 7, isto é, A 9, 7 =

9! . 2!

25: [E] 8  2

8! 2! ⋅ 6!

O cliente pode escolher duas entradas de=   = 28 modos, um prato principal de 10 maneiras e uma sobremesa de 5 modos. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 28 ⋅ 10 ⋅ 5 = 1400. 26: [D] 16! 3!(16 − 3)!

= C16,3 = 560 Número de combinações do total de pontos três a três:

10! 3!(10 − 3)! 6! = C6,3 = 20 Número de combinações dos 6 pontos da outra reta três a três: 3!(6 − 3)!

C10,3 = 120 = Número de combinações dos 10 pontos de uma reta três a três:

Portanto, o total de triângulos será dado por: 560 − 120 − 20 = 420. 27: [B]

De acordo com as condições do problema temos no máximo três faces para utilizar a primeira cor, duas faces no máximo para a segunda cor e finalmente 1 face para a terceira cor. Portanto, o menor número de cores necessárias para pinta o cubo é 3. 28: [D] Quantidade de códigos que começam por A: 1⋅ 26 ⋅ 26 = 676 Quantidade de códigos que começam por BA: 1⋅ 1⋅ 26 =26 O restante dos livros começa por BB. Faltam então, 7 livros para obtermos o código do último. (709 − 676 − 26 = 7) Então, a última letra é G (sétima letra do alfabeto). O código associado ao último livro é BBG. 29: [A]

(n + 2) ⋅ (3n + 2) = 1007 (n + 2) ⋅ (3n + 2) = 19 ⋅ 53 n + 2 = 19 ⇒ n = 17

30: [A] Como o júri é formado por 21 pessoas, sendo que exatamente 15 delas são homens, segue-se que o número de mulheres nesse júri é igual a 21 − 15 = 6. Portanto, o  30   20 

resultado é dado por   ⋅   .  15   6  31: [E] Existem 4 escolhas para os acentos em que sentarão Amaro e Danilo. Definidos os assentos que eles ocuparão, ainda podemos permutá-los de 2 maneiras. Além disso, as outras seis pessoas podem ser dispostas de 6! maneiras.

Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue que o resultado pedido é 4 ⋅ 2 ⋅ 6! = 5.760.

32: [A] Sabendo que cada letra maiúscula difere da sua correspondente minúscula, há 2 ⋅ 26 + 10 = 62 possibilidades para cada dígito da senha. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue-se que existem 626 senhas possíveis de seis dígitos. Analogamente, no sistema antigo existiam 106 senhas possíveis de seis dígitos. Em consequência, a razão pedida é

626 106

.

33: Sem resposta. Gabarito Oficial: [D] Existem 5 modos de escolher um símbolo, 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000 modos de escolher três algarismos e 18 ⋅ 18 = 324 modos de escolher duas consoantes. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 5 ⋅ 1000 ⋅ 324 = 1620000 senhas possíveis. Em consequência, o tempo máximo para descobrir a senha é igual a 1620000 ⋅ 0,005 = 8100 segundos, ou seja, 135 minutos. Observações: 1ª) Aparentemente o examinador falhou ao não mencionar no enunciado que os algarismos e as consoantes deveriam ser distintas. Nessas condições, o número total de senhas seria 1101600, e o tempo máximo para descobrir a senha 1101600 ⋅ 0,005 = 5508 segundos, isto é, 91min e 48 s. 2ª) Após o novo acordo ortográfico da Língua Portuguesa, o Y é considerado como vogal e o W é considerado como consoante ou vogal, conforme o uso. 34: [A] Total de placas possíveis no modelo em estudo: 264 ⋅ 103 Total de placas possíveis no modelo atual: 263 ⋅ 104 Razão entre os dois valores:

264.103 263.104

= 2,6.

Portanto, o aumento será de 2,6 – 1 = 1,6 (160%), ou seja, menos que o dobro. 35: [A] Temos 13 conjuntos de quatro valores iguais e para cada um destes conjuntos temos 48 (52 – 4) cartas distintas. Logo, 48 . 13 = 624.

36: [D] O número de senhas com 5 algarismos é 105 e o número de senhas com 6 algarismos é 106. Desse modo, o aumento percentual da segurança foi de 106 − 105 105 ⋅ (10 − 1) 100% ⋅ = ⋅ 100% 105 105 = 900%.

37: [E] Temos duas sequências possíveis (I = interior e L = litoral) I L I L I L I L I L I L ou L I L I L I L I L I L I Em números, temos: 2.6.6.5.5.4.4.3.3.2.2.1.1 = 2.62.52.42.32.22 = 29.34.52. 38: [B] Escolhendo 3 lugares para as letras C6,3 = 20 x = C6,3 .26.26.26.10.10.10 = 20.26.26.26.10.10.10 y = 26.26.26.10.10.10.10 x 20.26.26.26.10.10.10 = = 2. Logo, y 26.26.26.10.10.10.10

39: [A] Escolhendo 5 atores num total de 6: C6,5 = 6. 8! 5!⋅ (8 − 3)!

Escolhendo 5 atrizes num total de= 8: C8,5 = 56. O número de escolhas possível será dado por 6 ⋅ 56 = 336. 40: [B] Escolhendo jogos de 5 números na cartela premiada: C6,5 = 6 . Para cada jogo com exatamente 5 números premiados (quina), temos 14(20 – 6) opções para o sexto número. Logo, 14 ⋅ 6 = 84 . 41: [C] 6

3

6!

Há   = modos de selecionar 4 químicos,   = 3 modos de selecionar 1  4  4!2!  1  4

4!

engenheiro ambiental e   = modos de selecionar 2 engenheiros de produção.  2  2!2! Portanto, pelo PFC, podemos formar uma equipe de maneiras.

6! 4! 3 3 ⋅3⋅ = 6! ⋅ = 6! ⋅ 4!2! 2!2! 2⋅2⋅2 8

42: [C] 8 crianças (4 meninos e 4 meninas) 1

menino e 1 menina → C4, 1 ⋅ C4, 1 = 4 ⋅ 4 = 16

2

meninos e 2 meninas → C4, 2 ⋅ C4, 2 = 6 ⋅ 6 = 36

3

meninos e 3 meninas → C4, 3 ⋅ C4, 3 = 4 ⋅ 4 = 16

4

meninos e 4 meninas → C4, 4 ⋅ C4, 4 = 1⋅ 1 = 1

Somando, temos: 16 + 36 + 16 + 1 =69 43: [C] a) Errada. C15,6 = 5005, logo custará R$10.010,00 b) Errada. C14,6 = 3003, logo custará R$ 6.006,00 c) Correta, 2.C10,6 = 2.210 = 420, e 5.C9,6 = 5.84 = 420 (420.2 = 840,00) d) Errada. C12,6 = 924, logo custará R$1848,00 e) Errada. C13,6 = 1716, logo custará R$3432,00 (3432 ≠ 2 x 1848,00) 44: [E] Considere x o número de bolas de chocolate, y o número de bolas de morango e z o número de bolas de uva. Logo, x + y + z = 4. Agora devemos determinar o número de soluções inteiras da equação. Permutação das bolas vermelhas e barras azuis:

O Número de soluções inteiras da equação é da por

6.5.4.3.2.1 = 15 4.3.2.1.2.1

45: [C] Número de possibilidades de 84 apostas de seis dezenas diferentes. 84.C6,5 = 84. 6 = 504. Número de possibilidades de se obter a quina com uma única aposta de 9 dezenas. C9,5 = 126 126 é a quarta parte de 504 logo a alternativa correta é a letra c. 46: [A] Para o grupo A a ordem dos elementos não importa o que nos leva a pensar numa combinação. Mas no jogo de abertura existe o time que jogará em sua caso, então temos um arranjo. Logo a alternativa A é a correta.

47: Sem resposta. Observe o esquema que nos mostra as possíveis disposições dos algarismos

9 possibilidades Número total de possibilidades: 4! = 24 = P

9 3 = 24 8

Não existe alternativa correta. 48: [E] Considere o diagrama abaixo onde são permitidos apenas deslocamentos para cima ou para a direita. Desse modo, o resultado pedido é equivalente ao número de trajetos possíveis de M até N. Em qualquer trajeto serão percorridos cinco segmentos horizontais e três verticais. 8! 5! ⋅ 3!

(5,3) Portanto, o placar pode evoluir de P8= = 56 modos.

49: [B] 50: [C] 51: [A]  2

 20 

Há   = 2 modos de escolher um espécime do grupo Cetáceos,   = 20 modos de  1  1

 33 

escolher um espécime do grupo Primatas e   = 33 modos de escolher um espécime  1 do grupo Roedores. Portanto, pelo PFC, podemos formar 2 ⋅ 20 ⋅ 33 = 1320 conjuntos distintos. 52: [D] Cada ponto pode ou não se destacar em relação aos demais. Logo, pelo Princípio Fundamental da contagem, há 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =64 conjuntos possíveis, sendo que em um deles nenhum dos pontos se destaca em relação aos demais. Portanto, o número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é 64 − 1 =63. 53: [B] Se o fundo for azul, teremos 2 escolhas para a casa e 2 escolhas para a palmeira. Se o fundo for cinza, teremos 3 escolhas para a casa e 1 escolha para a palmeira. Portanto, existem 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 =7 variações possíveis. 54: [E] 55: [D] 56: [E] 57: [E] 58: [C] 59: [E] 60: [D] Atendendo o paciente D no período da manhã: A 3,2 × A 4,2 =6 × 12 =72 ou Atendendo o paciente D no período da tarde: A 3,1 × A 4,3 =3 × 24 =72 Logo, o número de maneiras distintas de a secretária agendar esses pacientes é: 72 + 72 = 144.

61: [B] A questão não é muito clara no enunciado, pois “mensagens” poderia ser entendido como formação de palavras/números. Assim, seria necessário primeiro verificar quantas letras e/ou números podem ser escritos com 2 traços e 3 pontos. Como não são todas as combinações de símbolos que possuem significado no Código Morse, essa interpretação torna a questão sem resolução. Assim, a solução alternativa seria verificar quantas representações gráficas seria possível fazer com 2 traços e 3 pontos. Trata-se de um problema de permutação com repetição. Calculando: 3,2 P= 5

5! 5⋅4 = = 10 3!⋅ 2! 2

62: [C] Suponhamos que as pessoas são colocadas em fila, de tal sorte que Elis, Bia e Cris ocupam posições fixas, nessa ordem, e Elis é a primeira da fila. Desse modo, se Dedé for a última, então haverá 4 posições possíveis para Alice. Ademais, se Dedé se posicionar entre Bia e Cris, então Alice terá 3 escolhas disponíveis. Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é 4 + 3 = 7. 63: [D] Do enunciado, antes da mudança, temos:

indica um algarismo qualquer. Observe que há 5 possibilidades para se colocar a letra minúscula. Assim, pelo princípio fundamental da contagem, "A"

N =5 ⋅ 26 ⋅ 104

Analogamente, M =6 ⋅ 26 ⋅ 105

Daí,

M =6 ⋅ 26 ⋅ 105 M 6 ⋅ 26 ⋅ 105 = N 5 ⋅ 26 ⋅ 104 M = 12 N M = 12 ⋅ N

64: [A] Calculando: 1. Retira um ás de ouros e não retira um às. 1⋅ 48 = 48

2. Retira uma carta que seja de ouros (exceto ás) e que a segunda não seja um ás. 12 ⋅ 47 = 564

Total =48 + 564 =612 possibilidades

65: [B] Com base no enunciado, pode-se deduzir: M

3 possibilidades

8 possibilidades

Logo, o número total de possibilidades de prefixos será de 3 ⋅ 8 = 24. 66: [D] Há 6 escolhas para a cor do triângulo, 5 para a região compreendida entre a curva e o triângulo, 5 para uma das regiões compreendidas entre o retângulo e a curva, e 4 para a região restante. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 6 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 4 =600. 67: [E] O resultado será o produto do número de opções para cada item. 2 ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ 3 = 72

68: [D] Sabendo que temos duas opções para cada jurado, virar ou não virar sua cadeira. Portanto, o número n de candidatos pedido será dado por: n = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 − 1 = 24 − 1 = 15.

Observação: foi subtraído 1 para desconsiderar a situação em que todos os jurados não viraram as cadeiras. 69: [E] Supondo que as peças de um mesmo grupo (camisas, bermudas e casacos) sejam distinguíveis, há P5= 5!= 120 maneiras de arrumar as camisas, P3= 3!= 6 modos de arrumar as bermudas e P2 = 2! maneiras de arrumar os casacos. Além disso, ainda podemos arrumar os 3 grupos de P3= 3!= 6 modos. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado pedido é 120 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ 6 = 8640.

70: [A] 71: [B] 72: [A] Se Antonio e Bruno devem ser membros da comissão, devemos escolher mais três pessoas entre as 26 restantes. Ou seja devemos realizar uma combinação 26 três a três.

= C26,3

26! 26 ⋅ 25 ⋅ 24 = = 2.600 3!⋅ 23! 6

73: [B] 74: [C] 75: [C] Cores primárias: 3 (vermelho, amarelo e azul). Cores secundárias: 3 (verde, (amarelo e azul), violeta (azul e vermelho) e laranja (amarelo e vermelho)) Cada uma dessas cores terá três tonalidades (normal, clara e escura). Preto e branco: 2. Portanto, o total de cores será 3.(3 + 3) + 2 = 20.