Anillos

´ CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 2 Anillos

Jos´e Oswaldo Lezama Serrano

Departamento de Matem´aticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogot´a

30 de junio de 2018

ii

Cuaderno dedicado a Lukas, mi hijo.

Contenido Pr´ ologo

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1. Anillos y subanillos 1 1.1. Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Subanillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Ideales 13 2.1. Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Operaciones con ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Anillo cociente y homomorfismos 3.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 26 30 35

4. Producto de anillos 4.1. Definici´on y propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Teorema chino de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 39 41

5. Ideales primos y maximales 42 5.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2. Comportamiento a trav´es de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6. Dominios de integridad 50 6.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.2. Dominios gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 iii

iv

CONTENIDO

7. Anillos de fracciones: caso conmutativo 59 7.1. Construcci´on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8. Polinomios y series 8.1. El anillo de series . . . . 8.2. El anillo de polinomios . 8.3. Propiedades elementales 8.4. Teorema de Gauss . . . 8.5. Ejercicios . . . . . . . . Bibliograf´ıa

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68 68 70 72 76 81 83

Pr´ ologo La colecci´on Cuadernos de ´algebra consta de 10 publicaciones sobre los principales temas de esta rama de las matem´aticas, y pretende servir de material para preparar los ex´amenes de admisi´on y de candidatura de los programas colombianos de doctorado en matem´aticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´asico de los cursos de estructuras algebraicas y ´algebra lineal de los programas de maestr´ıa; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los ex´amenes de candidatura, a saber: anillos y m´odulos; categor´ıas; ´algebra homol´ogica; ´algebra no conmutativa; ´algebra conmutativa y geometr´ıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los u ´ltimos 25 a˜ nos, y est´an basados en las fuentes bibliogr´aficas consignadas en cada uno de ellos, como tambi´en en el libro Anillos, M´ odulos y Categor´ıas, publicado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edici´on est´a totalmente agotada (v´ease [12]). Un material similar, pero mucho m´as completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang, Algebra, cuya tercera edici´on revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (v´ease [10]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de ´ algebra sea su presentaci´on ordenada y did´actica, as´ı como la inclusi´on de muchas pruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teor´ıa. Los cuadernos son: 1. 2. 3. 4. 5.

Grupos Anillos M´odulos ´ Algebra lineal Cuerpos

6. Anillos y m´odulos 7. Categor´ıas ´ 8. Algebra homol´ogica ´ 9. Algebra no conmutativa 10. Geometr´ıa algebraica

Los cuadernos est´an divididos en cap´ıtulos, los cuales a su vez se dividen en secciones. Para cada cap´ıtulo se a˜ nade al final una lista de ejercicios que deber´ıa ser complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que incluyen las principales monograf´ıas relacionadas con el respectivo tema. Cuaderno de anillos. El presente cuaderno da una introducci´on a la teor´ıa general de anillos. Los anillos, junto con los grupos, son posiblemente los objetos algebraicos m´as importantes. En efecto, la teor´ıa general de anillos es el lenguaje fundamental para la mayor´ıa de las corrientes contempor´aneas del ´algebra, entre v

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´ PROLOGO

las cuales podemos mencionar la teor´ıa algebraica de n´ umeros, la teor´ıa de representaci´on de grupos y ´algebras, el ´algebra homol´ogica y el ´algebra conmutativa con sus aplicaciones. Estudiaremos en este cuaderno los conceptos y propiedades b´asicas de los anillos; este estudio comprende tres partes fundamentales: en primer lugar, se introducen las nociones de anillo, subanillo, ideal, anillo cociente y homomorfismo, las cuales se relacionan estructuralmente por medio de los teoremas de homomorfismo, isomorfismo y correspondencia. En segundo lugar, se realizan las construcciones cl´asicas de un anillo a partir de otro dado, como por ejemplo, los anillos de matrices, los anillos de polinomios y los anillos de fracciones (incluido el proceso de localizaci´on por ideales primos). La tercera parte consiste en un estudio introductorio de los tres tipos de dominios de integridad m´as importantes, a saber: los dominios euclidianos, los dominios de ideales principales y los dominios de factorizaci´on u ´nica. Estas tres partes se conjugan en el teorema de Gauss el cual establece que el anillo de polinomios R [x] es un dominio de factorizaci´on u ´nica, si y s´olo si, R es un domio de factorizaci´on u ´nica. Los anillos aqu´ı considerados son asociativos, con unidad, pero no necesariamente conmutativos. Si f es un homomorfismo de anillos, entonces f (1) = 1. Salvo que se advierta lo contrario, un anillo arbitrario ser´a denotado con la letra A, un anillo conmutativo por R y un dominio de integridad mediante la letra D. Para una mejor comprensi´on de los temas tratados en el presente cuaderno asumimos que el lector est´a familiarizado con las nociones b´asicas de la teor´ıa de grupos y el ´algebra lineal elemental (v´eanse por ejemplo [10] y [13]). El autor desea expresar su agradecimiento a Sandra Patricia Barrag´an Moreno, colega y amiga, por la digitalizaci´on del material del presente cuaderno, y a Claudia Milena Gallego Joya, disc´ıpula y amiga, por la revisi´on cuidadosa de todo el contenido. Finalmente, el autor desea expresar su agradecimiento a Fabio Alejandro Calder´on Mateus por la lectura cuidadosa y las correcciones finales introducidas al presente cuaderno. Oswaldo Lezama Departamento de Matem´aticas Universidad Nacional de Colombia Bogot´a, Colombia [email protected]

Cap´ıtulo 1 Anillos y subanillos Posiblemente junto con los grupos y los espacios vectoriales, los anillos son los objetos algebraicos m´as importantes. En este cap´ıtulo presentamos su definici´on, como tambi´en algunos de los ejemplos m´as conocidos de tal estructura.

1.1.

Definici´ on y ejemplos

Definici´ on 1.1.1. Sea A un conjunto no vac´ıo. Se dice que A tiene estructura de anillo, o simplemente que A es un anillo, si en A han sido definidas dos operaciones binarias internas notadas + y · tales que: (i) (A, +) es un grupo abeliano. (ii) (A, ·) es un semigrupo con elemento identidad 1. (iii) La multiplicaci´on es distributiva con respecto a la adici´ on, es decir, para cualesquiera a, b, c, d ∈ A, a · (b + c) = a · b + a · c, (b + c) · d = b · d + c · d. Si adem´as la multiplicaci´on es conmutativa, es decir, para cualesquiera a, b ∈ A, a · b = b · a, se dice entonces que (A, +, ·) es un anillo conmutativo. Observaci´ on 1.1.2. En adelante A denotar´a un anillo no necesariamente conmutativo, R un anillo conmutativo, 0 el elemento nulo de la adici´on, tambi´en denominado el cero de A, −a el opuesto aditivo de a ∈ A. Salvo en casos necesarios, omitiremos el punto de la multiplicaci´on. El elemento identidad 1 tambi´en se denomina el uno de A. 1

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CAP´ITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

Los siguientes ejemplos ponen de manifiesto la gran variedad de anillos (conmutativos y no conmutativos) que podemos encontrar. Ejemplo 1.1.3. Anillos num´ ericos: los n´ umeros enteros Z, los racionales Q, los reales R y los complejos C, con sus operaciones habituales de adici´on y multiplicaci´on, constituyen ejemplos de anillos. Los denotaremos por (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·). Ejemplo 1.1.4. Anillo de endomorfismos de un grupo abeliano: dado un grupo abeliano (G, +), denotamos por End (G) a su conjunto de endomorfismos: End (G) := {f : G −→ G|f (a + b) = f (a) + f (b)}. Consideremos en End (G) las siguientes operaciones: Adici´on: f, g ∈ End (G) f + g : G −→ G a 7−→ (f + g) (a) := f (a) + g (a) . Multiplicaci´on: f, g ∈ End (G) f ◦ g : G −→ G a 7−→ (f ◦ g) (a) := f (g (a)) . Es f´acil comprobar que End (G) bajo estas operaciones constituye un anillo en el cual su elemento nulo es el endomorfismo nulo, 0 : G −→ G , a 7−→ 0 y su elemento identidad es la funci´on id´entica de G, iG : G −→ G a 7−→ a. El siguiente ejemplo muestra que en general End (G) no es conmutativo. Basta considerar el grupo V definido por V := {e, a, b, ab} ,

a2 = b2 = e,

ab = ba

y las funciones G e a b ab

f

−→ G 7−→ e 7−→ a 7−→ ab 7−→ b

G e a b ab

g

−→ G 7−→ e 7−→ b 7−→ a 7−→ ab

´ Y EJEMPLOS 1.1. DEFINICION

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que resultan ser endomorfismos para los cuales se tiene f ◦ g 6= g ◦ f . Ejemplo 1.1.5. Anillo de matrices de orden n ≥ 1 sobre un anillo A: denotaremos por Mn (A) al conjunto de todas las matrices cuadradas de tama˜ no n × n, n ≥ 1, con elementos en un anillo A, Mn (A) := {A = [aij ]|aij ∈ A, 1 ≤ i, j ≤ n}. Definimos en Mn (A) la adici´on y multiplicaci´on de la manera habitual: dadas H = [hij ] y B = [bij ] en Mn (A), se define H + B = C = [cij ], donde cij := hij + bij , P HB = D = [dij ], donde dij := nk=1 hik bkj . Notemos que tanto la suma hij + bij como el producto hik bkj son operaciones en A. Veamos que (Mn (A) , +, ·) es un anillo. La asociatividad de la adici´on de matrices se deduce de la propiedad asociativa de la adici´on en A. El elemento neutro para la adici´on en Mn (A) es la matriz nula notada por 0 y definida por 0 = [oij ] donde oij := 0 para cada 1 ≤ i, j ≤ n , es decir, los elementos de la matriz nula son todos iguales al cero en el anillo A. Cada matriz H = [hij ] tiene su opuesta aditiva denotada por −H y definida por −H := [−hij ], donde −hij es el opuesto del elemento hij en A. La conmutatividad de la adici´on de matrices se deduce de la conmutatividad de la adici´on en A. Demostraremos que la multiplicaci´on de matrices es una operaci´on asociativa, es decir, dadas H = [hij ], B = [bij ], C = [cij ] ∈ Mn (A) se cumple que (HB) C = H (BC). En efecto, sea D = [dij ] = HB y F = [fij ] = DC, entonces fij =

n X

dik ckj

k=1

=

n X n X

n X n n X n X X = ( him bmk )ckj = (him bmk )ckj k=1 m=1

him (bmk ckj ) =

m=1 k=1

k=1 m=1 n X m=1

n X him ( bmk ckj ). k=1

La suma del u ´ltimo par´entesis representa el t´ermino (m, j) de la matriz BC, y la suma n n X X bmk ckj ) him ( m=1

k=1

representa el t´ermino (i, j) de la matriz H (BC), lo cual demuestra la igualdad de las matrices (HB) C = H (BC). La matriz denotada por E := [eij ], donde eij := 1 si i = j, y eij := 0 si i 6= j, es el elemento identidad para la multiplicaci´on en Mn (A) y se conoce como la matriz id´ entica. Las propiedades distributivas de la multiplicaci´on respecto a la adici´on en Mn (A) se deducen de las respectivas propiedades distributivas en el anillo A. El anillo Mn (A) es no conmutativo salvo cuando A es un anillo conmutativo y n = 1.

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CAP´ITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

Ejemplo 1.1.6. Aplicaciones de un conjunto no vac´ıo en un anillo: sea (A, +, ·, 1) un anillo y sea X un conjunto no vac´ıo cualquiera. Denotemos por AX el conjunto de todas las funciones con dominio X y codominio A. Las operaciones siguientes dan a AX estructura de anillo: sean f : X −→ A, g : X −→ A funciones de X en A; entonces se definen: Adici´on: f + g : X −→ A x 7−→ (f + g) (x) := f (x) + g(x). Multiplicaci´on: f · g : X −→ A x 7−→ (f · g) (x) := f (x) · g(x). El cero de AX es la funci´on denotada por 0 y que asigna a cada elemento de X el cero del anillo A; el elemento identidad denotado por 1 es la funci´on que asigna a cada elemento de X el 1 del anillo A. Notemos que AX es conmutativo si, y s´olo si, A es un anillo conmutativo. Cuando X = N y A = R, RN es el anillo de sucesiones reales. Ejemplo 1.1.7. Anillo de los enteros m´ odulo n ≥ 2: consideremos el grupo  abeliano (Zn , +) de enteros m´odulo n, donde Zn = Z/ hni := 0, 1, 2, . . . n − 1 . En Zn se define la multiplicaci´on de clases por r s := rs, r, s ∈ Z, es decir, en t´erminos del producto del anillo Z; esta operaci´on est´a bien definida, pues si r = r0 y s = s0 , entonces rs = r0 s0 . Es inmediato que (Zn , ·, 1) es un semigrupo con elemento identidad 1. La distributividad de la multiplicaci´on respecto de la adici´on en Zn es consecuencia directa de la distributividad de la multiplicaci´on respecto de la adici´on en el anillo Z; lo mismo podemos decir para la conmutatividad de la multiplicaci´on. As´ı, (Zn , +, ·) es un anillo conmutativo. Si n = 0, entonces Z0 = Z/ h0i = {r = {r} |r ∈ Z} y podemos considerar  que Z0 es el mismo anillo Z; cuando n = 1, entonces Z1 = Z/ h1i = Z/Z = 0 . En este u ´ltimo caso el anillo Z1 consta de un solo elemento: la clase cero. Obs´ervese que en este anillo el elemento neutro de la adici´on coincide con el elemento identidad de la multiplicaci´on. Observaci´ on 1.1.8. Un anillo A se dice que es trivial, o tambi´en que es nulo, si posee un solo elemento. Una condici´on necesaria y suficiente para que un anillo sea trivial es que su elemento nulo coincida con su elemento identidad. En adelante, si no se advierte lo contrario, la palabra anillo indicar´a anillo no nulo.

´ Y EJEMPLOS 1.1. DEFINICION

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Definici´ on 1.1.9. Sea A un anillo, y sea a ∈ A. Se dice que a es un elemento invertible del anillo A, si existe en A un elemento (´ unico) denotado por a−1 tal −1 −1 que aa = 1 = a a. El conjunto de todos los elementos invertibles de un anillo A se denota A∗ , es decir, A∗ := {a ∈ A|a es invertible}. Proposici´ on 1.1.10. Si (A, +, ·) es un anillo, (A∗ , ·) es un grupo, denominado el grupo multiplicativo del anillo A, o tambi´en, el grupo de los elementos invertibles de A. Demostraci´on. Se deja como ejercicio al lector. Definici´ on 1.1.11. Sea A un anillo no nulo. Se dice que A es un anillo de divisi´ on, si todos los elementos no nulos de A son invertibles, es decir, si A∗ = A − {0}. Un cuerpo es un anillo de divisi´ on conmutativo. Ejemplo 1.1.12. Para los anillos considerados en los ejemplos anteriores se tiene lo siguiente: (i) Grupos multiplicativos: Z∗ = {1, −1}; Q∗ = Q− {0}; R∗ = R− {0}; ∗ ∗ C = C− {0}; Zn = {x|m.c.d.(x, n) = 1} ; End (G)∗ = Aut (G) := grupo de automorfismos de G; Mn (A)∗ = GLn (A)
∗ := grupo lineal de orden n sobre A; AX = {f : X −→ A|f (X) ⊆ A∗ }. (ii) Anillos de la parte (i) que son cuerpos. (a) Z no es un cuerpo. (b) Q es cuerpo. (c) R es cuerpo. (d) C es cuerpo. (e) Zn es cuerpo si, y s´olo si, n es un n´ umero primo. (f) End (G) no es cuerpo por no ser conmutativo, en general, tampoco es un anillo de divisi´on, pues por ejemplo para el grupo abeliano Z la funci´on h : Z −→ Z definida por h (k) = 2k es un elemento de End (Z), h 6= 0, pero h ∈ / Aut (G). (g) Mn (A) no es un cuerpo por no ser conmutativo; tampoco es anillo de divisi´on a menos que A lo sea y n = 1. (h) Si |X| ≥ 2, AX no es un anillo de divisi´on.

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CAP´ITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

Si (A, +, ·) es un anillo podemos utilizar todas las propiedades del grupo aditivo (A, +) y las del semigrupo (A, ·). En particular utilizaremos la potenciaci´on de este u ´ltimo. Sea a un elemento de A, definimos inductivamente las potencias enteras de a como sigue: a1 := a, an := an−1 a, n ≥ 2. Para a 6= 0, a0 := 1. n Para a ∈ A∗ , a−n := (a−1 ) , n ≥ 1. Recordemos adem´as c´omo se definen los m´ ultiplos enteros en el grupo (A, +): 1 · a := a, k · a := (k − 1)a + a, k ≥ 2, 0 · a := 0 ∀a ∈ A, ∀k ∈ Z+ . (−k) · a := − (ka) Proposici´ on 1.1.13. Dado (A, +, ·, 1) un anillo y a, b, c elementos cualesquiera de A, entonces (i) a · 0 = 0. (ii) a (−b) = (−a) b = − (ab). (iii) (−a) (−b) = ab. (iv) a (b − c) = ab − ac. (v) (b − c) a = ba − ca. (vi) Si m y n son enteros ≥ 1, entonces (an )m = amn . (vii) Si A = R es conmutativo, entonces para cada n ≥ 1. (ab)n = an bn . Demostraci´on. Ejercicio para el lector. Existen anillos en los cuales el producto de elementos no nulos es nulo. As´ı por ejemplo, en Z6 , 2 · 3 = 0 con 2 6= 0 y 3 6= 0. Definici´ on 1.1.14. Se dice que un anillo A es un anillo sin divisores de cero, si para cualesquiera elementos a, b ∈ A se cumple ab = 0 ⇔ a = 0, o, b = 0.

1.2. SUBANILLOS

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El elemento a ∈ A es un divisor de cero a la derecha si existe b 6= 0, b ∈ A, tal que ba = 0. De manera an´aloga se define un divisor de cero a izquierda. a ∈ A es un divisor de cero si a es divisor de cero a la izquierda o a la derecha. Un anillo sin divisores de cero se denomina dominio, si adem´ as es conmutativo se conoce como dominio de integridad (DI). Definici´ on 1.1.15. Sea A un anillo no nulo. Se dice que A cumple la ley cancelativa a derecha, si para cualesquiera b, c ∈ A y cualquier a 6= 0 en A se cumple ba = ca ⇔ b = c. De manera an´aloga se define la ley cancelativa a izquierda. Proposici´ on 1.1.16. Sea A un anillo. (i) A es un dominio si, y s´olo si, A cumple las dos propiedades cancelativas. (ii) Todo anillo de divisi´on es un dominio. (iii) Todo dominio finito es un anillo de divisi´ on. (iv) Zn es dominio de integridad si, y s´ olo si, n es primo. Demostraci´on. Las dos primeras propiedades son evidentes. (iii) Sea D un dominio finito. Veamos que D∗ = D − {0}. Puesto que D es finito, D est´a constituido por n elementos distintos, a1 , a2 , . . . , an . Dado a no nulo en D se puede afirmar que los siguientes elementos de D son distintos: a1 · a, a2 · a, . . . , an · a, pues, si ai · a = aj · a para i 6= j, entonces (ai − aj ) · a = 0 y como D es un dominio, se tendr´a que ai = aj . Entonces, todo elemento de D debe ser de la forma ai · a para alg´ un ai ; en particular 1 = ai · a para alg´ un ai y as´ı a tiene inverso a izquierda. De manera similar se prueba que a tiene inverso a derecha, luego a ∈ D∗ . (iv) Consecuencia de (i) y (ii).

1.2.

Subanillos

Definici´ on 1.2.1. Dado (A, +, ·, 1) un anillo y S ⊆ A, S 6= ∅, se dice que S es subanillo de A, si (S, +, ·, 1) tiene estructura de anillo. Un subanillo S de A tal que S 6= A se denomina subanillo propio de A. Es f´acil comprobar que S es subanillo de A si 1 ∈ S, y para cualesquiera a, b ∈ S, se cumple que a − b, ab ∈ S. El anillo A tiene como subanillo trivial al mismo anillo A. Ejemplo 1.2.2.

(a) Z no tiene subanillos propios.

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CAP´ITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

(b) Z es subanillo propio de Q, R y C. (c) Q es un subanillo propio de R y C. (d) R es subanillo propio de C. Ejemplo 1.2.3. Sean End (G) el anillo de endomorfismos de un grupo abeliano G y H un subgrupo de G. El conjunto S de endomorfismos f de G tales que f (H) ⊆ H, es un subanillo de End (G). Ejemplo 1.2.4. Sea Mn (A) el anillo de matrices de orden n sobre un anillo A; si denotamos por D (A) al conjunto de las matrices diagonales en Mn (A), es decir, D (A) := {D = [dij ] ∈ Mn (A) |dij = 0, para i 6= j}, entonces D (A) es un subanillo de Mn (A). El grupo de elementos invertibles del anillo D(A) se denota por Dn (A). Ejemplo 1.2.5. Dado un anillo cualquiera, el conjunto C (A) de elementos de A que conmutan (respecto al producto) con todos los elementos de A, es decir, C (A) := {a ∈ A|ab = ba, para todo b ∈ A} es un subanillo de A y se denomina el centro de A. N´otese que A es conmutativo si, y s´olo si, C (A) = A. Ejemplo 1.2.6. Sea AX el anillo de funciones del conjunto X en el anillo A, y sea S un subanillo de A. Entonces S 0 := {f ∈ A|f (X) ⊆ S} es un subanillo de AX . Ejemplo 1.2.7. Cuaterniones de Hamilton: consideremos en el anillo de las matrices de orden 2 sobre el cuerpo de los n´ umeros complejos el subconjunto    z w H := |z, w ∈ C ⊆ M2 (C), −w z donde z = a − bi denota el conjugado del complejo z = a + bi, a, b ∈ R. H es un subanillo de M2 (C):       z1 w1 z2 w2 z1 − z2 w1 − w2 − = ∈ H, −w1 z1 −w2 z2 −w1 − w2 z1 − z2 

z1 w1 −w1 z1



z2 w2 −w2 z2



 =



z1 z2 − w1 w2 z1 w2 + w1 z2 −z1 w2 + w1 z2 z1 z2 − w1 w2

1 0 0 1

 ∈ H.

 ∈ H,

1.2. SUBANILLOS

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N´otese que H no es conmutativo:       i 0 0 i 0 i i 0 6= . 0 −i i 0 i 0 0 −i Cada elemento no nulo de H es invertible y su inverso est´a en H, con lo cual H resulta ser anillo de divisi´on. En efecto, sea   z w A= , z = a1 + b1 i, w = a2 + b2 i −w z una matriz no nula en H. Entonces, al menos uno de los n´ umeros reales a1 , b1 , a2 , b2 es no nulo. Esto hace que el determinante de la matriz A sea no nulo: d = det A = a21 + b21 + a22 + b22 6= 0. A

−1

 =

z d w d

−w d z d

 ∈ H.

Ejemplo 1.2.8. Dominio de enteros gaussianos: el anillo de los enteros es un ejemplo de dominio de integridad que no es un cuerpo. Presentamos aqu´ı otro ejemplo. El conjunto Z [i] de los n´ umeros complejos definido por Z [i] := {a + bi|a, b ∈ Z} es un subanillo de C; por tal raz´on Z [i] es conmutativo y no posee divisores de cero. Sin embargo, Z [i] no es cuerpo ya que 2 ∈ Z [i], pero 2−1 = 21 ∈ / Z [i]. Ejemplo 1.2.9. Si A es un anillo, es claro que la intersecci´on de cualquier colecci´on no vac´ıa de subanillos de A es un subanillo de A. Sea a ∈ A. La intersecci´on de todos los subanillos de A que contienen a se denomina subanillo generado por a, el cual denotamos por Z[a], y es el subanillo m´as peque˜ no de A que contiene a a. Queremos presentar los elementos de Z[a] de una manera expl´ıcita. Supongamos inicialmente que a 6= 0. Puesto que 0, 1 ∈ Z[a], entonces en el grupo (Z[a], +, 0) se tiene  k · 1 = |1 + 1 +{z· · · + 1} := k ∈ Z[a]    k-veces k ∈ Z+ , 1, 0 ∈ A. (1.2.1) 0 · 1 = 0 := 0 ∈ Z[a]; 0 ∈ Z   (−k) · 1 = − (k · 1) := −k ∈ Z[a]  Adem´as, como las potencias enteras no negativas de a est´an en Z[a], entonces estar´an las combinaciones enteras de estas potencias, es decir, el conjunto P S := { ni=0 ki ai |ki ∈ Z, n ≥ 1} ⊆ Z[a].

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CAP´ITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

De otra parte, S es un subanillo de A que contiene a. En efecto, la suma de dos elementos de S est´a en S, 1 = 1 · 1 ∈ S, y la propiedad distributiva en A junto con la relaci´on (ki ai ) (kj aj ) = ki kj ai+j da que el producto de dos elementos de S est´a en S. Obviamente a ∈ S. De lo anterior se desprende que n X Z[a] = { ki ai |ki ∈ Z, n ≥ 1}, a 6= 0,

(1.2.2)

i=0

Z[0] = Z[1] = {k · 1 = k|k ∈ Z} .

(1.2.3)

y se denomina subanillo primo de A. Ejemplo 1.2.10. El ejemplo anterior puede ser ampliado a dos o m´as elementos a1 , . . . , an de tal forma que Z[a1 , . . . , an ] es el menor subanillo de A que contiene a los elementos a1 , . . . , an , y consta de todas las sumas finitas con sumandos de la forma kai111 ai212 · · · ain1n ai121 ai222 · · · ain2n · · · ai1r1 ai2r2 · · · ainrn , con k ∈ Z, r ≥ 1 e iuv ≥ 0. Notemos que los elementos a1 , . . . , an no necesariamente conmutan ya que A no es conmutativo. De otra parte, si B es un subanillo de A y a1 , . . . , an ∈ A, entonces podemos repetir las ideas expuestas anteriormente y construir el menor subanillo de A que contenga al subanillo B y a los elementos a1 , . . . , an ; este anillo se denota por B[a1 , . . . , an ] y consta de todas las sumas finitas con sumandos de la forma k1 ai111 ai212 · · · ain1n k2 ai121 ai222 · · · ain2n · · · kr ai1r1 ai2r2 · · · ainrn , con kj ∈ B, 1 ≤ j ≤ r. Este subanillo se denomina el subanillo de A generado por B y a1 , . . . , an . Notemos que si kai = ai k y ai aj = aj ai , para 1 ≤ i, j ≤ n y todo k ∈ B, entonces cada elemento de B[a1 , . . . , an ] es una suma finita de sumandos de la forma kai11 ai22 · · · ainn , con k ∈ B e iu ≥ 0, es decir, expresiones polin´omicas en a1 , . . . , an con coeficientes en B.

1.3.

Ejercicios

1. Demuestre la proposici´on 1.1.10. 2. Demuestre que Zn es cuerpo, si y s´olo si, n es un n´ umero primo.

11

1.3. EJERCICIOS

3. Sea A un anillo. Demuestre que si |X| ≥ 2, entonces AX no es un anillo de divisi´on. 4. Demuestre la proposici´on 1.1.13. 5. Sean X un conjunto finito no vac´ıo y 2X su conjunto de partes. Sea ∆ la diferencia sim´etrica de conjuntos y ∩ la intersecci´on. Demuestre que (2X , ∆, ∩) es un anillo conmutativo. 6. Sea  √ √ Q[ −3] := a + b −3 | a, b ∈ Q , √ donde Q es el anillo de los n´ umeros racionales. Consid´erense en Q[ −3] las operaciones habituales de √ suma y multiplicaci´on de complejos. Demuestre que bajo estas operaciones Q[ −3] es un cuerpo. 7. Si R es un anillo conmutativo, demuestre que para cada n ≥ 1    n  X n! n n k n−k (a + b) = a b , = , a, b ∈ R. k k (n − k)!k! k=0 n

8. Sea p ∈ Z no nulo. Demuestre que Qp := { pak |a ∈ Z, k ≥ 0} es un subanillo de Q y coincide con Z[ p1 ]. 9. Sean (A, +, ·, 1) un anillo y Q el anillo de endomorfismos del grupo abeliano (A, +). Para cada x ∈ A se define la funci´on fx :

A a

−→ 7−→

A xa

Compruebe que para cada x ∈ A, fx ∈ Q. Si F := {fx | x ∈ A}, pruebe adem´as que F es un subanillo de Q isomorfo a A (v´ease el cap´ıtulo 3). 10. Calcule el centro del anillo de cuaterniones. 11. Sea A un anillo y n ≥ 2. Calcule el centro del anillo de matrices Mn (A). 12. Sean X un conjunto no vac´ıo, A un anillo y f : X → A una funci´on biyectiva. Demuestre que las siguientes operaciones convierten a X en un anillo:

12

CAP´ITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

x + y := f −1 (f (x) + f (y)), xy := f −1 (f (x)f (y)). 13. Sea A un anillo que satisface la siguiente condici´on: dado a ∈ A no nulo existe un u ´nico b ∈ A tal que aba = a. Demuestre que: (i) bab = b. (ii) A es un anillo de divisi´on.

Cap´ıtulo 2 Ideales En teor´ıa de anillos se tiene un concepto correspondiente al de subgrupo normal de la teor´ıa de grupos, y es el de ideal bil´atero. Con ideales bil´ateros se construyen los anillos cociente de manera similar a como se hace en grupos con subgrupos normales. La definici´on y las operaciones entre ideales son presentadas en este cap´ıtulo.

2.1.

Definici´ on y ejemplos

Definici´ on 2.1.1. Dados A un anillo e I un subconjunto no vac´ıo de A, se dice que: (i) I es un ideal izquierdo de A, si x + y ∈ I para todo x, y ∈ I, y adem´ as ax ∈ I para todo a ∈ A y todo x ∈ I. (ii) I es un ideal derecho de A, si x + y ∈ I para todo x, y ∈ I, y adem´ as xa ∈ I para todo x ∈ I y todo a ∈ A. (iii) I es un ideal bil´ atero de A, o simplemente ideal de A, si I es un ideal izquierdo y derecho de A. Observaci´ on 2.1.2. (i) En un anillo conmutativo R los conceptos anteriores coinciden y diremos simplemente que I es un ideal de R. (ii) En un anillo A, tanto A como el conjunto 0 := {0} son ideales bil´ateros de A, denominados los ideales bil´ ateros triviales del anillo A. Proposici´ on 2.1.3. Sea A un anillo e I un ideal derecho (izquierdo, bil´ atero) que contiene un elemento invertible de A, entonces I = A. Demostraci´on. Sea x ∈ A∗ ∩ I, entonces xx−1 = 1 ∈ I; de aqu´ı se obtiene que para todo y ∈ A, 1y = y ∈ I, es decir, A ⊆ I y por lo tanto I = A. 13

14

CAP´ITULO 2. IDEALES

Corolario 2.1.4. Si A es un anillo de divisi´ on, entonces los u ´nicos ideales derechos (izquierdos, bil´ateros) de A son los triviales. Rec´ıprocamente, si un anillo A posee s´ olo dos ideales derechos (o tambi´en, s´ olo dos ideales izquierdos), entonces A es un anillo de divisi´on. Demostraci´on. Sea I un ideal derecho no nulo del anillo de divisi´on A, entonces existe x ∈ I ⊆ A, x 6= 0; esto indica que x ∈ I es invertible y, por la proposici´on 2.1.3, I = A. La demostraci´on para ideales izquierdos es id´entica. La afirmaci´on para ideales bil´ateros es consecuencia de lo anterior. Sea ahora A un anillo cuyos u ´nicos ideales derechos son los triviales. Para x 6= 0 en A, el conjunto xA : = {xa | a ∈ A} es un ideal derecho de A; adem´as este ideal es no nulo y, por lo tanto, xA = A; se obtiene que 1 ∈ A ⊆ xA; esto significa que existe x0 ∈ A tal que xx0 = 1. Obs´ervese que x0 es no nulo y adem´as x0 A = A. Existe pues x00 ∈ A tal que x0 x00 = 1 y xx0 x00 = x, lo cual implica que x00 = x, es decir, x ∈ A∗ . Se ha probado que cada elemento no nulo de A es invertible, es decir, A es un anillo de divisi´on. La demostraci´on para ideales izquierdos es an´aloga. Observaci´ on 2.1.5. Si un anillo A tiene s´olo dos ideales bil´ateros no se puede afirmar que A sea un anillo de divisi´on, como se ver´a a continuaci´on. Ejemplo 2.1.6. Ideales del anillo de matrices Mn (A): sean A un anillo y Mn (A) su anillo de matrices de orden n. Para I un ideal bil´atero de A, el conjunto denotado por Mn (I) := {F = [aij ] | aij ∈ I} es un ideal bil´atero de Mn (A). En efecto, Mn (I) 6= ∅ pues 0 ∈ Mn (I); dadas H = [hij ], B = [bij ] ∈ Mn (I), entonces H + B = C = [cij ] ∈ Mn (I), ya que cij = hij + bij est´a en I, para todo i, j, 1 ≤ i, j ≤ n. Adem´as, para H ∈ Mn (I) y D = [dij ] ∈ Mn (A) se cumple que HD = F = [fij ] ∈ Mn (I). En efecto, fij =

n X

hik dkj ∈ I,

k=1

pues I es un ideal derecho y entonces hik dkj ∈ I para cada k, 1 ≤ k ≤ n; por tanto, la suma fij ∈ I. An´alogamente, DH ∈ Mn (I). Se ha probado que cada ideal bil´atero I del anillo A determina en Mn (A) el ideal bil´atero Mn (I). Probemos ahora el rec´ıproco, es decir, que cada ideal bil´atero J de Mn (A) determina en A un ideal bil´atero I tal que J es precisamente Mn (I). En efecto, consideremos el conjunto Iij := {a ∈ A| Eij a ∈ J },

´ Y EJEMPLOS 2.1. DEFINICION

15

donde Eij a denota la matriz de orden n cuya u ´nica entrada no nula es la correspondiente a la intersecci´on de la fila i y la columna j, en la cual est´a el elemento a. Si a = 1, dicha matriz se denota simplemente por Eij . Para este tipo de matrices es f´acil demostrar que  0, si j 6= l Eij aElk b = Eik ab, si j = l. Veamos que Iij es un ideal bil´atero de A. Iij 6= ∅ ya que 0 ∈ J; dados x, y ∈ Iij entonces Eij x, Eij y ∈ J, y como J es ideal bil´atero, entonces Eij x + Eij y = Eij (x + y) ∈ J, de donde x + y ∈ Iij . De otra parte, para a ∈ A y x ∈ Iij , se tiene que Eij x ∈ J, Ejj a, Eii a ∈ Mn (A), y por lo tanto, Eij xEjj a = Eij xa ∈ J; tambi´en, Eii aEij x = Eij ax ∈ J, de donde xa, ax ∈ Iij . Probemos ahora que J = {H = [hij ] | aij ∈ Iij }. Sea H = [hij ] tal que hij ∈ Iij para cada par de ´ındices 1 ≤ i, j ≤ n, H puede escribirse de la forma n X H= Eij hij , i,j=1

donde se tiene que Eij hij ∈ J, luego H ∈ J. De otro lado, dada H = [hij ] ∈ J, mostraremos que una entrada cualquiera hlk de H est´a en Ilk . En efecto, Ell HEkk = Elk hlk ∈ J, de donde hlk ∈ Ilk . Se desea mostrar finalmente que todos los ideales Iij , 1 ≤ i, j ≤ n, coinciden. Fijemos dos ´ındices i, j y probemos que Iij = Iir para todo r. Dado x ∈ Iij se cumple que Eij x ∈ J, y por lo tanto, Eij xEjr = Eir x ∈ J, luego x ∈ Iir , es decir, Iij ⊆ Iir . Sim´etricamente, Iir ⊆ Iij . En forma an´aloga, Isj = Iij para 1 ≤ s ≤ n. Resulta pues que Iij = I y J = {H = [hij ] | hij ∈ Iij } = Mn (I). Se ha demostrado as´ı que los ideales bil´ateros de Mn (A) son de la forma Mn (I), donde I es un ideal bil´atero de A. Ejemplo 2.1.7. Ideales bil´ateros del anillo de matrices sobre un anillo de divisi´on A: para n ≥ 2, sea Mn (A) el anillo de matrices sobre un anillo de divisi´on A. Seg´ un el ejemplo 2.1.6 , Mn (A) tiene s´olo dos ideales bil´ateros: los triviales Mn (0) = 0 y Mn (A). Sin embargo, Mn (A) no es un anillo de divisi´on ya que la matriz E11 es no nula y no es invertible.

16

CAP´ITULO 2. IDEALES

Definici´ on 2.1.8. Un anillo A se dice simple si los u ´nicos ideales bil´ ateros de A son los triviales, 0 y A. Corolario 2.1.9. Sea R un anillo conmutativo. R es un cuerpo si, y s´ olo si, R es simple. Demostraci´on. Consecuencia directa del corolario 2.1.4. Ejemplo 2.1.10. Ideales del anillo Z: si I es un ideal de Z, entonces I es un subgrupo de (Z, +, 0) y, por lo tanto, est´a conformado por los m´ ultiplos de alg´ un entero no negativo n, es decir, I es de la forma nZ. Es claro que cada uno de estos conjuntos es un ideal de Z. Ejemplo 2.1.11. Ideales de los anillos Q, R y C: puesto que Q, R y C son cuerpos, sus u ´nicos ideales son los triviales. Ejemplo 2.1.12. Sean A un anillo, Mn (A) su anillo de matrices y J := {H = [hij ] | hij = 0, para j 6= 1}. Entonces J es un ideal izquierdo no derecho de Mn (A). Con i 6= 1 se construye en forma similar un ideal derecho no izquierdo. Ejemplo 2.1.13. Sean AX el anillo de funciones de X en un anillo A e I un ideal bil´atero (izquierdo, derecho) de A. Entonces  I X := f ∈ AX | f (X) ⊆ I es un ideal bil´atero (izquierdo, derecho) de AX .

2.2.

Operaciones con ideales

An´alogamente a como se hace con los subgrupos de un grupo, es posible definir operaciones entre los ideales de un anillo. Definici´ on 2.2.1. SiTA es un anillo e {Ii }i∈I es una familia de ideales izquierdos de A, la intersecci´on i∈I Ii es un ideal izquierdo de A, el cual se denomina ideal intersecci´ on. De manera an´aloga se define la intersecci´ on de ideales derechos y bil´ ateros. Proposici´ on 2.2.2. Sean A un anillo, S ⊆ A, S 6= ∅. El ideal izquierdo m´ as peque˜ no de A que contiene al subconjunto S es la intersecci´ on de todos los ideales izquierdos de A que contienen a S, y se denota por hS}, es decir, \ hS} := I. S⊆I I es ideal izquierdo de A

17

2.2. OPERACIONES CON IDEALES

Demostraci´on. Evidente a partir de la noci´on de intersecci´on. Definici´ on 2.2.3. Dados A un anillo, S ⊆ A, S 6= ∅, al ideal hS} se le denomina el ideal izquierdo generado por S. El ideal izquierdo I de A se dice que es finitamente generado, si existe un subconjunto finito S en A tal que hS} = I. Adem´ as, h∅} := 0. De manera an´aloga se define el ideal derecho generado por S, el ideal bil´atero generado por S, denotados por {Si y hSi, respectivamente. Proposici´ on 2.2.4. Sean A un anillo, S ⊆ A, S 6= ∅. El ideal izquierdo generado por S coincide con el conjunto de sumas finitas de productos de elementos de A con elementos de S. Demostraci´on. Denotemos por B al conjunto de las sumas finitas de productos de elementos de A con elementos de S, ( n ) X B= ak sk | ak ∈ A, sk ∈ S, n ≥ 1 ; k=1

probemos pues que hS} = B. En efecto, es inmediato que si x, y ∈ B entonces x + y ∈ B, y que si a ∈ A entonces ax ∈ B; es decir, B es un ideal izquierdo de A. Adem´as, n´otese que S ⊆ B, de donde se deduce que hS} ⊆ B. Sea ahora I un idealP izquierdo de A que contiene a S; entonces I debe contener cada suma de la forma nk=1 ak sk , ak ∈ A, sk ∈ S, n ≥ 1, es decir, B ⊆ I. Como esto es v´alido para todo ideal izquierdo que contenga a S, entonces \ B⊆ I = hS} . S⊆I I es ideal izquierdo de A

Proposici´ on 2.2.5.

(i) Sea A un anillo y S ⊆ A, S 6= ∅, entonces ( n ) X {Si = sk ak | ak ∈ A, sk ∈ S, n ≥ 1 , k=1

hSi =

( n X

) ak sk a0k | a0k , ak ∈ A, sk ∈ S, n ≥ 1 .

k=1

(ii) Si R un anillo conmutativo, entonces hS} = {Si = hSi .

18

CAP´ITULO 2. IDEALES

Demostraci´on. La demostraci´on de estas afirmaciones es completamente an´aloga a la de la proposici´on 2.2.4. Corolario 2.2.6. Dados A un anillo y S = {s1 , . . . , sn } ⊆ A entonces ( n ) X hs1 , . . . , sn } = ak s k | ak ∈ A , k=1

{s1 , . . . , sn i =

( n X

) s k ak | ak ∈ A ,

k=1

hs1 , . . . , sn i =

( m X

) ak sik a0k | a0k , ak ∈ A, sik ∈ S, m ≥ 1 .

k=1

En particular, hx} = Ax = {ax | a ∈ A}, {xi = xA = {xa | a ∈ A}, hxi =

( n X

) ak xa0k | a0k , ak ∈ A, n ≥ 1 .

k=1

los cuales se denominan ideal principal izquierdo, derecho y bil´ atero, respectivamente. Cuando A es un anillo conmutativo estos ideales coinciden. Definici´ on 2.2.7. Se dice que A es un anillo de ideales principales derechos si todos los ideales derechos de A son principales. De manera similar se definen los anillos de ideales principales izquierdos y de ideales principales bil´ ateros. Sea D un dominio de integridad. Se dice que D es un dominio de ideales principales, si cada ideal de D es principal. Ejemplo 2.2.8. Z es un dominio de ideales principales. Ejemplo 2.2.9. Todo cuerpo es dominio de ideales principales. Podemos ahora definir una segunda operaci´on entre ideales izquierdos, derechos y bil´ateros. Definici´ on 2.2.10. Sea A un anillo e {Ii }i∈C una familia de Pideales izquierdos de A, se define la suma de la familia {I } , y se simboliza por i i∈C i∈C Ii , al ideal generado S por el conjunto i∈C Ii .

19

2.2. OPERACIONES CON IDEALES

Seg´ un la proposici´on 2.2.4, X

Ii =

i∈C

( n X

) ak | ak ∈

[

Ii , n ≥ 1 .

i∈C

k=1

En particular, I1 + · · · + In =

( n X

) ak | ak ∈ Ik

.

k=1

Observaci´ on 2.2.11. (i) N´otese que si s1 , . . . , sn ∈ A, entonces, hs1 , . . . , sn } = As1 + · · · + Asn . (ii) La suma de una familia de ideales derechos se define en forma an´aloga, as´ı como tambi´enP la suma de ideales bil´ateros. (iii) i∈C Ii es el ideal izquierdo (derecho, bil´atero) m´as peque˜ no de A que contiene a cada uno de los ideales izquierdos (derechos, bil´ateros) de la familia {Ii }i∈C . Definici´ on 2.2.12. Si {I1 , . . . , In } es una familia finita de ideales izquierdos de un anillo A, se define su producto, y se denota por I1 I2 · · · In , al ideal izquierdo generado por el conjunto {x1 · · · xn | xi ∈ Ii , 1 ≤ i ≤ n}. De acuerdo con la proposici´on 2.2.4, ( m ) X I1 I2 · · · In = x1k · · · xnk | xik ∈ Ii , 1 ≤ i ≤ n, m ≥ 1 . k=1

Observaci´ on 2.2.13. (i) El producto de una familia de ideales derechos o bil´ateros se define de manera an´aloga. (ii) N´otese que cuando I1 , . . . , In son ideales izquierdos entonces el producto I1 · · · In est´a contenido en In ; cuando I1 , . . . , In son ideales derechos el producto I1 · · · In est´a contenido en I1 , cuando I1 , . . . , In son ideales bil´ateros el producto I1 · · · In est´a contenido en cada ideal Ii , i = 1, 2, . . . , n. Definici´ on 2.2.14. Sea A un anillo e I un ideal izquierdo no nulo de A, se define I 0 := A I 1 := I .. . I n := I n−1 I, n ≥ 2.

20

CAP´ITULO 2. IDEALES

Observaci´ on 2.2.15. La definici´on anterior es aplicable tambi´en a ideales derechos y bil´ateros no nulos de A. Si I = 0, entonces 0n = 0, para cada n ≥ 1. Proposici´ on 2.2.16. Sea A un anillo. (i) Dados I y J ideales izquierdos de A, el conjunto definido por (I : J) := {a ∈ A | aJ ⊆ I} es un ideal bil´atero de A y se denomina el cociente de I por J. (ii) Dados I y J ideales derechos del anillo A, el conjunto definido por (I : J) := {a ∈ A | Ja ⊆ I} es un ideal bil´atero de A, y se denomina el cociente de I por J. (iii) En particular, si I es un ideal izquierdo (derecho, bil´ atero) de A, Ann(I) := (0 : I) es un ideal bil´atero de A y se denomina el anulador de I. Demostraci´on. Realizamos s´olo la prueba de (i). La prueba de las otras dos afirmaciones quedan como ejercicio para el lector. (I : J) 6= ∅ ya que 0J = 0 ⊆ I. Si a, a0 ∈ (I : J) y x ∈ A, entonces (a + a0 ) J ⊆ aJ + a0 J ⊆ I xaJ ⊆ xI ⊆ I axJ ⊆ aJ ⊆ I.

Proposici´ on 2.2.17. Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R. Se define el radical de I por √ I := {r ∈ R|rn ∈ I para alg´ un n ≥ 1}. √ Entonces, I es un ideal de R. Demostraci´on. La prueba la dejamos al lector. Presentamos a continuaci´on algunas propiedades de las operaciones definidas anteriormente. Proposici´ on 2.2.18. Sean J, I1 , . . . , In ideales derechos (izquierdos, bil´ ateros) de A. Entonces,

2.2. OPERACIONES CON IDEALES

21

J (I1 + · · · + In ) = JI1 + · · · + JIn (I1 + · · · + In ) J = I1 J + · · · + In J. Demostraci´on. Probamos s´olo la primera identidad. Sea x ∈ J (I1 + · · · + In ), entonces x es de la forma x= =

m X k=1 m X

bk (a1k + · · · + ank ) bk a1k + · · · + bk ank ,

k=1

lo cual significa que x pertenece a JI1 + · · · + JIn , es decir, J (I1 + · · · + In ) ⊆ JI1 + · · · + JIn . De otra parte, puesto que para cada 1 ≤ j ≤ n, Ij ⊆ I1 + · · · + In entonces JIj ⊆ J (I1 + · · · + In ) de donde, n X

JIj ⊆ J (I1 + · · · + In ) .

j=1

Proposici´ on 2.2.19. Sea R un anillo conmutativo y sean I, J ideales de R. Entonces, √ (i) I ⊆ I. p√ √ I = I. (ii) √ √ (iii) Si I ⊆ J, entonces I ⊆ J. √ √ √ √ (iv) IJ = I ∩ J = I ∩ J. √ (v) I = R ⇔ I = R. p√ √ √ I + J. (vi) I + J = √ √ (vii) I n = I, para cada entero n ≥ 1. √ √ (viii) I + J = R ⇔ I + J = R.

22

CAP´ITULO 2. IDEALES

Demostraci´on. La prueba se plantea como ejercicio al lector. El siguiente ejemplo ilustra en el anillo Z las operaciones definidas en la presente secci´on. Ejemplo 2.2.20. Sean m y n enteros, entonces: (i) hmi∩hni = hm.c.m. (m, n)i, en donde m.c.m. denota el m´ınimo com´ un m´ ultiplo. En efecto, si x ∈ hmi ∩ hni, entonces x es m´ ultiplo de m y n simult´aneamente; por lo tanto, x es m´ ultiplo del m´ınimo com´ un m´ ultiplo de ellos, es decir, x ∈ hm.c.m. (m, n)i. Rec´ıprocamente, si x ∈ hm.c.m. (m, n)i, x ∈ hmi y x ∈ hni, de donde x ∈ hmi ∩ hni. (ii) hmi+hni = hm.c.d. (m, n)i, en donde m.c.d. denota el m´aximo com´ un divisor. Dado x ∈ hmi + hni entonces x = a + b, a ∈ hmi y b ∈ hni, es decir, x = km + pn, con k, p ∈ Z. Sea d := m.c.d. (m, n), entonces d | m y d | n, de donde, d | x, y as´ı, x = ds, con s ∈ Z, es decir, x ∈ hdi. Rec´ıprocamente, sea x = ds, como d es combinaci´on lineal de m y n, digamos d = wm + zn, con w, z ∈ Z, entonces x = wms + zns ∈ hmi + hni. (iii) hmi hni = hmni: sea x ∈ hmi hni; entonces x = a1 b1 + · · · + at bt , donde ai ∈ hmi y bi ∈ hni con i = 1, 2, . . . , t. Entonces, x = k1 ms1 n + · · · + kt mst n, con ki , si ∈ Z y por lo tanto, x ∈ hmni. Rec´ıprocamente, si x ∈ hmni, entonces x = kmn, con k ∈ Z, de donde

 x = kmn ∈ hmi hni. (iv) hmik = mk , m 6= 0, k ≥ 0. Esto es consecuencia directa de (iii). (v) (hmi : hni): si n = 0, entonces evidentemente (hmi : 0) = Z. Sea entonces n 6= 0. Si m = 0, entonces claramente (0 : hni) = 0. Consid´ D m eErese entonces que tambi´en m 6= 0. En este caso probaremos que (hmi : hni) = , donde d = m.c.d. (m, n). d Sabemos que d es combinaci´on entera de m y n, es decir, existen k1 , k2 ∈ Z tales que d = k1 m + k2 n. Sea x ∈ (hmi : hni); entonces xn ∈ hmi y existe t ∈ Z, tal que xn = tm. Resulta pues que dx = k1 mx + k2 nx = m (k1 x + k2 t), DmE m y de aqu´ı, x = (k1 x + k2 t) ∈ . De otra parte, d d DmE D mn E DnE hni = = hmi ⊆ hmi. d d d DmE Hemos entonces probado la igualdad (hmi : hni) = . d p √ √ (vi) hni: si n = 0, entonces 0 = 0; si n = 1, entonces Z = Z. Sea n ≥ 2, entonces p sea n = pr11 · · p · prt t la descomposici´on de n en factores primos; se tiene que p hni = hp1 i ∩ · · · ∩ hpt i = hp1 i ∩ · · · ∩ hpt i = hp1 · · · pt i.

2.3. EJERCICIOS

23

Ejemplo 2.2.21. Sea A = Mn (Z) el anillo de matrices de orden n ≥ 2 sobre Z. A es un anillo no conmutativo con divisores de cero cuyos ideales bil´ateros son todos principales: para la notaci´on que utilizaremos en la prueba de estas afirmaciones remitimos al lector al ejemplo 2.1.6. E11 6= 0, E12 6= 0, E11 E12 = E12 6= E12 E11 = 0. Sea J un ideal bil´atero de A. Sabemos que J = Mn (I), donde I es un ideal de Z; seg´ un el ejemplo 2.1.10, I = hmi, para alg´ un entero m ≥ 0. N´otese que J es el ideal generado por la matriz   m 0 ··· 0  0 0 ··· 0    E11 m =  .. .. ..  .  . . .  0 0 ··· 0 En efecto, puesto que E11 m ∈ J, entoncesPhE11 mi ⊆ J. Sea B = [bij ] una matriz de J; B se puede escribir en la forma B = ni,j=1 Eij bij , con bij ∈ hmi, 1 ≤ i, j ≤ n. Para B se tiene entonces que B=

n X

Eij kij m,

i,j=1

P con kij ∈ Z, luego B = ni,j=1 (Ei1 kij ) (E11 m) E1j , y seg´ un el corolario 2.2.6, B ∈ hE11 mi. En resumen, J = hE11 mi y J es principal.

2.3.

Ejercicios

1. Demuestre la afirmaci´on del ejemplo 2.1.12. 2. Demuestre la proposici´on 2.2.5. 3. Complete la demostraci´on de la proposici´on 2.2.16. 4. Demuestre la proposici´on 2.2.19. 5. En el anillo Z de los n´ umeros enteros calcule (hmi + hni)(hmi : hni). 6. Sean X un conjunto finito no vac´ıo y 2X su anillo de partes (v´ease la secci´on de ejercicios del cap´ıtulo anterior). Determine un ideal propio y un subanillo propio de 2X . ¿Cu´al es su grupo de invertibles? ¿Es 2X un anillo de ideales principales? 7. Sea A un anillo y S = {x1 , . . . , xn } un subconjunto finito no vac´ıo de A. Demuestre que:

24

CAP´ITULO 2. IDEALES

hx1 , . . . , xn } = hx1 } + . . . + hxn }, {x1 , . . . , xn i = {x1 i + . . . + {xn i, hx1 , . . . , xn i = hx1 i + . . . + hxn i. Generalice estos resultados para un conjunto no vac´ıo cualquiera S de A. 8. Sean A un anillo e I1 , I2 , I3 ideales izquierdos (derechos, bil´ateros) de A. Demuestre que: (i) I1 ∩ I1 = I1 . (ii) I1 ∩ I2 = I2 ∩ I1 . (iii) (I1 ∩ I2 ) ∩ I3 = I1 ∩ (I2 ∩ I3 ). (iv) I1 + I1 = I1 . (v) I1 + I2 = I2 + I1 . (vi) (I1 + I2 ) + I3 = I1 + (I2 + I3 ). (vii) I1 + (I1 ∩ I2 ) = I1 . (viii) I1 ∩ (I1 + I2 ) = I1 . 9. D´e un ejemplo de anillo A y elemento x ∈ A tales que Ax ( xA. 10. En el anillo de matrices M3 (Z) calcule: (i) M3 (h4i) ∩ M3 (h6i). (ii) M3 (h5i) + M3 (h7i). (iii) M3 (h2i) M3 (h9i). (iv) M3 (h11i)2 . (v) (M3 (h4i) : M3 (h6i)) . Generalice los resultados anteriores al anillo Mn (Z), n ≥ 2. 11. Sea R = RN el anillo de sucesiones reales. ¿Son las sucesiones convergentes un subanillo de R? ¿Son las sucesiones convergentes un ideal de R? 12. Demuestre que el conjunto  A :=

a b 0 c



 | a, b, c ∈ Z

de las matrices triangulares superiores es un subanillo de M2 (Z). Describa los ideales bil´ateros de A y generalice los resultados obtenidos a Mn (R), donde R es un anillo conmutativo cualquiera, n ≥ 2.

2.3. EJERCICIOS

25

13. Sea R un anillo conmutativo y sean I, J ideales de R tales que I + J = R. Demuestre que IJ = I ∩ J. 14. Sea A el conjunto de todas las funciones reales infinitamente diferenciables definidas sobre el intervalo −1 < t < 1. Demuestre que A es un anillo y que para cada n ≥ 1 el conjunto Jn := {f ∈ A|Dk (f )(0) = 0, 0 ≤ k ≤ n} es un ideal bil´atero de A, donde Dk denota la derivada k-´esima.

Cap´ıtulo 3 Anillo cociente y homomorfismos Este cap´ıtulo est´a dedicado a los teoremas b´asicos de estructura de la teor´ıa de anillos: el teorema fundamental de homomorfismo, el teorema de correspondencia y los dos teoremas de isomorfismo.

3.1.

Definiciones y ejemplos

Sean A un anillo e I un ideal bil´atero propio de A. Las estructuras aditivas de estos dos conjuntos permiten definir el grupo cociente A/I, cuyos elementos son las clases a := a + I := {a + x | x ∈ I}, a ∈ A las cuales operan con la siguiente regla: a1 + a2 := a1 + a2 ,

a1 , a2 ∈ A.

Se define a continuaci´on sobre A/I una segunda operaci´on de tal forma que sea un anillo. Proposici´ on 3.1.1. Dados A un anillo e I un ideal bil´ atero propio de A, las operaciones + y · definidas a continuaci´ on dotan al conjunto cociente A/I de estructura de anillo, esto es, para cualesquiera a1 , a2 ∈ A, a1 + a2 := a1 + a2 , a1 · a2 := a1 · a2 . Adem´ as, si A = R es un anillo conmutativo, entonces R/I es un anillo conmutativo. El anillo (A/I, +, ·) se denomina anillo cociente de A por I. Demostraci´on. Sabemos que la adici´on definida en el enunciado de la proposici´on establece en el conjunto cociente una estructura de grupo abeliano con elemento nulo 0 = 0 + I, 0 ∈ A. Verifiquemos que el producto est´a correctamente definido: si a1 = a2 y b1 = b2 , entonces a1 − a2 ∈ I y b1 − b2 ∈ I, de donde (b1 − b2 ) a2 ∈ I y b1 (a2 − a1 ) ∈ I. Resulta 26

3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS

27

b2 a2 − b1 a2 + b1 a2 − b1 a1 = b2 a2 − b1 a1 ∈ I, es decir, b2 a2 = b1 a1 , y por lo tanto b2 a2 = b1 a1 . No es dif´ıcil verificar que 1 = 1 + I es el elemento identidad de A/I (como I 6= A entonces 1 6= 0). La propiedad asociativa y la distributiva se siguen de las correspondientes propiedades del producto en A. Ejemplo 3.1.2. El anillo Zn de los enteros m´odulo n corresponde al cociente de Z por el ideal principal hni (v´ease el ejemplo 1.1.7). Definici´ on 3.1.3. Sean A1 y A2 dos anillos. Una funci´ on f : A1 −→ A2 se dice que es un homomorfismo del anillo A1 en el anillo A2 , si se cumplen las siguientes condiciones: (i) f (a1 + a2 ) = f (a1 ) + f (a2 ), (ii) f (a1 a2 ) = f (a1 ) f (a2 ), (iii) f (1) = 1, para cualesquiera a1 , a2 ∈ A1 . Proposici´ on 3.1.4. Para todo homomorfismo de anillos f : A1 −→ A2 se cumplen las siguientes propiedades: (i) f (0) = 0. (ii) f (−a) = −f (a), ∀a ∈ A1 . (iii) f (a1 − a2 ) = f (a1 ) − f (a2 ), ∀a1 , a2 ∈ A1 . (iv) Si a ∈ A∗1 entonces f (a) ∈ A∗2 , y adem´ as f (a−1 ) = f (a)−1 . Demostraci´on. Ejercicio para el lector. Ejemplo 3.1.5. El homomorfismo id´entico: sea A un anillo, la funci´on iA : A −→ A a 7−→ a es un homomorfismo de anillos. Ejemplo 3.1.6. El homomorfismo can´ onico: dados A un anillo, I un ideal bil´atero propio y A/I el anillo cociente de A por I, la funci´on definida por j : A −→ A/I, j (a) := a = a + I, a ∈ A, es un homomorfismo de anillos.

28

CAP´ITULO 3. ANILLO COCIENTE Y HOMOMORFISMOS

Ejemplo 3.1.7. Dados A un anillo y Mn (A) su anillo de matrices, se tiene el homomorfismo f : A −→ Mn (A), f (a) = H = [hij ], donde hii = a, para i = 1, 2, . . . , n, y hij = 0 si i 6= j. Ejemplo 3.1.8. La inclusi´ on can´ onica: dado A0 un subanillo de A, la funci´on definida por ι : A0 −→ A , ι (a) = a, para cada a ∈ A0 , es un homomorfismo de anillos. Ejemplo 3.1.9. Homomorfismos de Zm en Zn : consideremos los diferentes casos posibles. (i) Homomorfismos de Z en Z, (m = 0, n = 0): si f : Z −→ Z es un homomorfismo de anillos, entonces f (1) = 1, con lo cual f (k) = k, para k ∈ Z+ ; f (0) = 0, f (−k) = −k, para k ∈ Z+ . Por lo tanto, el u ´nico homomorfismo de anillos de Z en Z es el id´entico. (ii) Homomorfismos de Z en Zn , (m = 0, n ≥ 2): si f : Z −→ Zn es un homomorfismo de anillos, entonces f (1) = 1; dado k ∈ Z+ existen enteros q, r, tales que k = q · n + r, 0 ≤ r < n; por lo tanto f (k) = f (q · n + r) = f (q) · f (n) + f (r) = f (q) · 0 + f (r) = f (r) = r = k; adem´as, f (0) = 0; y, dado k ∈ Z+ , f (−k) = −f (k) = −k = −k. Por lo tanto, el u ´nico homomorfismo de Z en Zn es el can´onico: j : Z −→ Zn , j (k) = k. (iii) Homomorfismos de Zm en Z,
(m ≥ 2, n = 0): si
f : Zm −→ Z es un
homomorfismo de anillos, entonces f 1 = 1, f (m) = f 0 = 0 = f 1 + · · · + 1 = 1 + · · · + 1 = m; esta contradicci´on conduce a que no existe ning´ un homomorfismo de anillos de Zm en Z. (iv) Homomorfismos de Zm en Zn ,
(m ≥ 2, n ≥ 2): si f : Zm −→ Z
n es un homomorfismo de anillos, entonces f 1 = 1, f (m) = 0 = f 1 + · · · + 1 = 1 + · · ·+1 = m; esto implica que n debe dividir a m. Es decir, si existe un homomorfismo
de Zm en Zn , entonces n | m. El homomorfismo f es u ´nico y definido por f k = k. Definici´ on 3.1.10. Sea f : A1 −→ A2 un homomorfismo de anillos. (i) El subconjunto de A1 definido por ker (f ) := {a ∈ A1 | f (a) = 0} se denomina el n´ ucleo del homomorfismo f . (ii) El subconjunto de A2 definido por Im (f ) := {f (a) | a ∈ A1 }

3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS

29

se denomina la imagen del homomorfismo f . (iii) Si X ⊆ A1 , entonces f (X) := {f (x) | x ∈ X} se denomina la imagen de X mediante f . (iv) Si Y ⊆ A2 , entonces f −1 (Y ) := {a ∈ A1 | f (a) ∈ Y } se denomina la imagen inversa de Y mediante f . (v) Se dice que un homomorfismo es inyectivo si se cumple f (a1 ) = f (a2 ) ⇔ a1 = a2 , para cualesquiera a1 , a2 ∈ A1 . (vi) Se dice que un homomorfismo es sobreyectivo si Im (f ) = A2 . (vii) Se dice que f es un isomorfismo de anillos si f es un homomorfismo inyectivo y sobreyectivo. En tal caso se dice que A1 es isomorfo a A2 , lo cual se escribe A1 ∼ = A2 . Las siguientes afirmaciones son consecuencia directa de la definici´on anterior. Proposici´ on 3.1.11. Sea f : A1 −→ A2 un homomorfismo de anillos. Entonces, (i) ker (f ) = f −1 (0) es un ideal bil´ atero de A1 . (ii) Im (f ) = f (A1 ) es un subanillo de A2 . (iii) f es inyectivo ⇔ ker (f ) = 0. (iv) Si g : A2 −→ A3 es un homomorfismo de anillos, entonces la funci´ on compuesta gf : A1 −→ A3 es tambi´en un homomorfismo de anillos. (v) f es un isomorfismo si, y s´ olo si, existe g : A2 −→ A1 tal que gf = iA1 y f g = iA2 . Adem´as, g es u ´nico para f y es tambi´en un isomorfismo; g es el isomorfismo inverso de f y se denota por f −1 . Demostraci´on. Ejercicio para el lector.

30

CAP´ITULO 3. ANILLO COCIENTE Y HOMOMORFISMOS

Ejemplo 3.1.12. No existe ning´ un homomorfismo de R en Z. Probemos algo m´as general: todo homomorfismo de anillos f : K −→ A, donde K es un anillo de divisi´on y A es un anillo, debe ser inyectivo. En efecto, seg´ un la proposici´on 3.1.11, ker (f ) es un ideal de K y como f (1) = 1 6= 0, entonces ker (f ) = 0, con lo cual f es inyectivo. En particular si f : R −→ Z es un homomorfismo, entonces Im (f ) es un subanillo de Z, pero como Z no tiene subanillos propios, luego f es un isomorfismo, en contradicci´on con el hecho de que Z no es un cuerpo. Observaci´ on 3.1.13. El concepto de isomorfismo en ´algebra, y en particular en teor´ıa de anillos, es fundamental. Su importancia radica en que si A1 y A2 son dos anillos isomorfos, entonces todas las propiedades del anillo A1 que dependen de sus operaciones son v´alidas en A2 . Dos anillos isomorfos ser´an entonces considerados como iguales; la funci´on que establece el isomorfismo se podr´a considerar como un duplicador de propiedades. Obs´ervese adem´as que la relaci´on ser isomorfo es una relaci´on de equivalencia.

3.2.

Teoremas de homomorfismo e isomorfismo

Definici´ on 3.2.1. Se dice que el anillo A2 es una imagen homomorfa del anillo A1 , si existe un homomorfismo sobreyectivo de A1 en A2 . El siguiente teorema permite caraterizar las im´agenes homomorfas de un anillo. Teorema 3.2.2 (Teorema fundamental de homomorfismo). Sean A un anillo y A0 una imagen homomorfa de A. Entonces, existe un ideal bil´ atero propio I de A tal que A0 ∼ = A/I. Rec´ıprocamente, para cada ideal bil´ atero propio I de A el cociente A/I es una imagen homomorfa de A. Demostraci´on. Sea f : A −→ A0 un homomorfismo sobreyectivo, y sea I = ker (f ) su n´ ucleo. Entonces, la correspondencia f:

A/I a=a+I

−→ 7−→

A0 f (a)

es un isomorfismo de anillos. En efecto, f es una funci´on ya que si a y b son elementos de A tales que a = b entonces (a − b) ∈ I =
ker (f ), con lo
cual f
(a) = f (b). f
es un homomorfismo de anillos ya que f a + b = f (a) + f b , f ab = f (a) f b y
f 1 = 1, para cualesquiera a, b ∈ A. f resulta sobreyectivo ya que f lo es. N´otese
finalmente que a ∈ ker f sii f (a) = 0 sii f (a) = 0 si, y s´olo si, a ∈ ker (f ) si,

3.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO

31


 y s´olo si, a = 0. Tenemos pues que ker f = 0 = 0. La segunda afirmaci´on es consecuencia del hecho que el homomorfismo can´onico j definido en el ejemplo 3.1.6 es sobreyectivo. Ejemplo 3.2.3. Im´agenes homomorfas de Z: como los ideales de Z son de la forma hni con n ≥ 0, entonces las im´agenes homomorfas de Z, salvo isomorfismos, son Z y Zn , con n ≥ 2. Ejemplo 3.2.4. Im´agenes homomorfas del anillo de matrices Mn (A), n ≥ 2: seg´ un el teorema fundamental de homomorfismo, las im´agenes homomorfas de Mn (A) son de la forma Mn (A) /J, donde J es un ideal bil´atero propio de Mn (A); pero tales ideales son de la forma Mn (I), con I ideal bil´atero propio de A. Probaremos ahora que Mn (A) /Mn (I) ∼ = Mn (A/I). La funci´on f:

Mn (A) F = [fij ]

−→ 7−→

Mn (A/I)   , F = fij

donde fij := fij + I, 1 ≤ i, j ≤ n, es claramente un homomorfismo sobreyectivo de anillos. Adem´as, la matriz F = [fij ] est´a en el n´ ucleo de f si, y s´olo si, fij = 0 para cualesquiera ´ındices i, j; es decir, solamente cuando fij ∈ I, 1 ≤ i, j ≤ n. Esto muestra que ker (f ) = Mn (I). Resta aplicar el teorema fundamental de homomorfismo. En la prueba del teorema de correspondencia haremos uso del punto (ii) de la siguiente proposici´on. Proposici´ on 3.2.5. Sea f : A1 −→ A2 un homomorfismo de anillos. (i) Si A01 es un subanillo de A1 , entonces f (A01 ) es un subanillo de A2 . Tambi´en, si A02 es un subanillo de A2 , entonces f −1 (A02 ) es un subanillo de A1 . (ii) Si I es un ideal bil´atero de A1 , f (I) es un ideal bil´ atero de Im (f ). Tambi´en, −1 si J es un ideal bil´atero de A2 , entonces f (J) es un ideal bil´ atero de A1 que contiene el n´ ucleo ker (f ) . (iii) Si I es un ideal bil´atero de A1 que contiene al n´ ucleo ker (f ), entonces I = f −1 (f (I)) . (iv) Las afirmaciones de los puntos (ii) y (iii) son v´ alidas para los ideales izquierdos y derechos.

32

CAP´ITULO 3. ANILLO COCIENTE Y HOMOMORFISMOS

Demostraci´on. Realizamos s´olo la prueba de la primera parte de (ii) y (iii); las otras aseveraciones est´an a cargo del lector. (ii) Como f (0) = 0, entonces f (I) no es vac´ıo. Sean x, y ∈ f (I) y z ∈ Im (f ). Entonces, x = f (a), y = f (b), z = f (k) con a, b ∈ I, k ∈ A1 ; de aqu´ı resulta x + y = f (a + b), zx = f (ka), xz = f (ak), con lo cual x + y, zx, xz ∈ f (I). (iii) Veamos solamente que f −1 (f (I)) ⊆ I, ya que la otra contenencia siempre se tiene. Sea a ∈ f −1 (f (I)), entonces f (a) ∈ f (I), es decir, existe b ∈ I tal que f (a) = f (b), de donde f (a − b) = 0, lo cual significa que a − b ∈ ker (f ) ⊆ I, es decir, a − b ∈ I con b ∈ I , de donde a ∈ I. Ejemplo 3.2.6. Consideremos la inclusi´on can´onica de Z en Q: ι:

Z m

−→ 7−→

Q m

Z es ideal en Z pero ι (Z) = Z no es ideal en Q. Seg´ un (ii) de la afirmaci´on anterior, la cuesti´on radica en que Q 6= Im (f ). Teorema 3.2.7 (Teorema de correspondencia). Sean A un anillo y f : A −→ A0 una imagen homomorfa de A; entonces, existe una correspondencia biyectiva entre los ideales bil´ateros del anillo A que contienen al n´ ucleo de f y los ideales bil´ ateros del anillo A0 . Demostraci´on. Sean f : A −→ A0 un homomorfismo sobreyectivo, I la colecci´on de todos los ideales bil´ateros de A que contienen al n´ ucleo e I0 la colecci´on de todos los ideales bil´ateros de A0 , es decir, I := {I | I es un ideal bil´atero de A, ker(f ) ⊆ I} I0 := {J | J es un ideal bil´atero de A0 }, entonces la correspondencia fe :

I I

−→ I0 7−→ fe(I)

:= f (I)

es una biyecci´on. En efecto, sean I1 e I2 ideales bil´ateros de A tales que ker (f ) ⊆ I1 , ker (f ) ⊆ I2 y fe(I1 ) = fe(I2 ), entonces I1 = f −1 (f (I1 )) = f −1 (f (I2 )) = I2 . fe es sobreyectiva, pues dado J ideal bil´atero de A0 , f −1 (J) es un ideal de A que contiene a ker (f ); adem´as como f es sobreyectivo f (f −1 (J)) = J, es decir, fe(f −1 (J)) = J. Una u ´ltima observaci´on: si I1 , I2 ∈ I, entonces I1 ⊆ I2 ⇔ f (I1 ) ⊆ f (I2 ). Esto completa la prueba del teorema.

3.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO

33

Corolario 3.2.8. Sean A un anillo e I un ideal bil´ atero propio de A. Entonces existe una correspondencia biyectiva entre los ideales bil´ ateros del anillo A que contienen al ideal I y los ideales bil´ateros del anillo cociente A/I. Demostraci´on. Sea j : A −→ A/I el homomorfismo can´onico. Por el teorema de correspondencia, existe una biyecci´on entre la colecci´on I de bil´ateros ideales de A que contienen al ideal I, y la colecci´on I0 de ideales bil´ateros del cociente A/I, dada por e j:

I I1

−→ I0 7−→ e j (I1 )

con e j (I1 ) := j (I1 ) = {a | a ∈ I1 }. Este ideal bil´atero tambi´en se denota por I1 /I. Teorema 3.2.9 (Primer teorema de isomorfismo). Sean A un anillo y f : A −→ A0 una imagen homomorfa de A. Si J es un ideal bil´ atero propio de A0 e I = f −1 (J), entonces A/I ∼ = A0 /J. Demostraci´on. Sean f : A −→ A0 un homomorfismo sobreyectivo y j : A0 −→ A0 /J el homomorfismo
can´onico. Consid´erese el homomorfismo compuesto f = j ◦ f ; n´otese que ker f = ker (j ◦ f ) = I; adem´as como f es sobreyectivo, entonces por el teorema fundamental de homomorfismo se tiene que A/I ∼ = A0 /J.

Corolario 3.2.10. Sea A un anillo y sean I y J ideales bil´ ateros de A tales que I ⊆ J 6= A, entonces A/J ∼ = (A/I) / (J/I). Demostraci´on. Sea j : A −→ A/I el homomorfismo can´onico, entonces j (J) = J/I es un ideal propio de A/I, y adem´as J = j −1 (J/I). Seg´ un el teorema anterior A/J ∼ = (A/I) / (J/I).

Ejemplo 3.2.11. Im´agenes homomorfas de Zm (m ≥ 2): de acuerdo con el teorema fundamental de homomorfismo, las im´agenes homomorfas de Zm son de la forma Zm /I, donde I es un ideal propio de Zm = Z/ hmi. Seg´ un el teorema de correspondencia, I = hni / hmi, donde hni ⊇ hmi, n 6= 1, es decir, I = hni, donde n 6= 1 divide a m. El primer teorema de isomorfismo da entonces la forma final de las im´agenes homomorfas

34

CAP´ITULO 3. ANILLO COCIENTE Y HOMOMORFISMOS

Zm /I = (Z/ hmi) / (hni / hmi) ∼ = Z/ hni = Zn , donde n es un divisor de m, n 6= 1. Ilustremos el resultado para m = 6. Divisores de 6: 1, 2, 3, 6; ideales de Z6 :

 h1i / h6i =  Z/ h6i =

1 h2i / h6i = 0, 2, 4 = 2 h3i / h6i = 0, 3 =

3 h6i / h6i = 0 = 0 . Im´agenes homomorfas de Z6 : (Z/ h6i) / (h2i / h6i) ∼ = Z2 , (Z/ h6i) / (h3i / h6i) ∼ = Z3 , ∼ (Z/ h6i) / (h6i / h6i) = Z6 . Por lo expuesto al principio se observa que Zm es un anillo conmutativo, eventualmente con divisores de cero, y cuyos ideales son todos principales. Teorema 3.2.12 (Segundo teorema de isomorfismo). Sean A un anillo, S un subanillo de A e I un ideal bil´atero propio de A. Entonces, (i) S ∩ I es un ideal bil´atero propio de S. (ii) S + I := {s + a | s ∈ S, a ∈ I} es un subanillo de A que contiene a I como ideal bil´atero propio. (iii) S/ (S ∩ I) ∼ = (S + I) /I. Demostraci´on. (i) y (ii) son verificables de manera inmediata. (iii) Consideremos el homomorfismo f:

S s

−→ 7−→

(S + I) /I f (s) := s = s + I.

Se puede comprobar que f es sobreyectivo y que ker (f ) = S ∩ I, de donde, por el teorema fundamental de homomorfismos, se concluye que S/ (S ∩ I) ∼ = (S + I) /I.

Cerramos este cap´ıtulo con el concepto de caracter´ıstica de un anillo. Ejemplo 3.2.13. Caracter´ıstica de un anillo: sea A un anillo cualquiera y Z[1] = {k · 1 | k ∈ Z, 1 ∈ A} el subanillo primo de A. La funci´on

3.3. EJERCICIOS

f:

Z −→ k 7−→

35

A k·1

es un homomorfismo de anillos con imagen Z[1]. Se dice que A es de caracter´ıstica cero si ker (f ) = 0, es decir, k · 1 = 0 si, y s´olo si, k = 0. En otras palabras, A es de caracter´ıstica 0 si, y s´olo si, el subanillo primo de A es isomorfo a Z. Si ker (f ) = hni, n ≥ 2, entonces se dice que A es de caracter´ıstica n, es decir, k · 1 = 0 si, y s´olo si, n | k. As´ı, A es de caracter´ıstica n si, y s´olo si, el subanillo primo de A es isomorfo a Zn . N´otese que Z, Q, R, C son de caracter´ıstica cero, y Zm es de caracter´ıstica m, m ≥ 2. La caracter´ıstica de un anillo A se denota por char(A).

3.3.

Ejercicios

1. Demuestre la proposici´on 3.1.4. 2. Demuestre la proposici´on 3.1.11. 3. Sea f : A1 −→ A2 un homomorfismo de anillos y sean {Ii }i∈C , {Jj }j∈D familias de ideales izquierdos (derechos, bil´ateros) de A1 y A2 , respectivamente. Demuestre que: P  P −1 −1 (i) f (J ) ⊆ f J . Si Jj ⊆ Im (f ) para cada j ∈ D, la j j j∈D j∈D igualdad se cumple.
P P (ii) i∈C f (Ii ) = f i∈C Ii . T  T (iii) f −1 J = j∈D f −1 (Jj ). j j∈D
T T (iv) f i∈C Ii ⊆ i∈C f (Ii ). Si ker(f ) ⊆ Ii para cada i ∈ C, se tiene la igualdad. 4. Sean R y S anillos conmutativos y sea f : R −→ S un homomorfismo de anillos: Sean I1 , I2 ideales de R y sean J1 , J2 ideales de S. La imagen de I1 a trav´es de f no es siempre un ideal de S, sea I1e = hf (I1 )i = Sf (I1 ) el ideal en S generado por f (I1 ), se dice que I1e es la extensi´ on del ideal I1 en S. De otra parte, sabemos que f −1 (J1 ) es un ideal de R, y se denomina la contracci´ on de J1 en R. La contracci´on del ideal J1 se denota por J1c . Demuestre las siguientes propiedades: (a) I1ec ⊇ I1 , J1ce ⊆ J1 . (b) I1ece = I1e , J1cec = J1c . (c) (I1 + I2 )e = I1e + I2e , (J1 + J2 )c ⊇ J1c + J2c . (d) (I1 ∩ I2 )e ⊆ I1e ∩ I2e , (J1 ∩ J2 )c = J1c ∩ J2c .

36

CAP´ITULO 3. ANILLO COCIENTE Y HOMOMORFISMOS

(e) (I1 I2 )e = I1e I2e , (J1 J2 )c ⊇ J1c J2c . (f) (I1 : I2 )e ⊆ (I1e : I2e ), (J1 : J2 )c ⊆ (J1c : J2c ). √
e p e √
c p c (g) I1 ⊆ I1 , J1 = J1 . 5. Determine (si existen!) todos los homomorfismos de anillo de: (i) Z en Q, R, C, H. (ii) Q en Z, Q, R, C, H, Zn , n ≥ 2. (iii) R en Z, Q, Zn , n ≥ 2. (iv) C en Z, Q, R, Zn , n ≥ 2. (v) H en Z, Q, R, C, Zn , n ≥ 2. (vi) Zn , n ≥ 2, en Q, R, C, H. 6. Demuestre que si A es un anillo sin divisores de cero, entonces char(A) es cero o un primo p. 7. Si B es un subanillo de A demuestre que ambos tienen la misma caracter´ıstica.
8. Demuestre que char(AX ) = char (A) = char(Mn AX ), para cada anillo A, X 6= ∅ y n ≥ 1. 9. Calcule todas las im´agenes homomorfas de Mn (Zm ), n ≥ 2, con m = 0 ´o m ≥ 2.

Cap´ıtulo 4 Producto de anillos En el cap´ıtulo anterior vimos una de las construcciones m´as elementales de la teor´ıa de anillos, el anillo cociente por un ideal bil´atero propio. Veremos ahora otra de tales construcciones: el producto de una familia finita de anillos. Probaremos adem´as el teorema chino de residuos para anillos arbitrarios.

4.1.

Definici´ on y propiedades elementales

Dada una familia finita de anillos {A1 , . . . , An }, podemos definir sobre el conjunto producto cartesiano A1 ×· · ·×An una estructura de anillo a partir de las estructuras aditiva y multiplicativa de A1 , . . . , An . En efecto, el conjunto A1 × · · · × An consta de n-plas (a1 , . . . , an ) de elementos con ai ∈ Ai , 1 ≤ i ≤ n; dos de tales n-plas (a1 , . . . , an ) y (b1 , . . . , bn ) son iguales si, y s´olo si, ai = bi para cada 1 ≤ i ≤ n. La adici´on y multiplicaci´on se definen por componentes: (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) := (a1 + b1 , . . . , an + bn ), (a1 , . . . , an ) (b1 , . . . , bn ) := (a1 b1 , . . . , an bn ), en donde las sumas y productos de la derecha son en general diferentes y se realizan en los respectivos anillos A1 , . . . , An . Dejamos al lector la comprobaci´on de que las operaciones definidas anteriormente dan alQ producto una estructura de anillo. Este anillo ser´a denotado por A1 ×· · ·×An , o por ni=1 Ai , y se denomina anillo producto de la familia {A1 , . . . , An }, n ≥ 1. Notemos que el elemento cero del anillo producto es la n-pla 0 := (0, . . . , 0). An´alogamente, el uno es la n-pla 1 := (1, . . . , 1). 37

38

CAP´ITULO 4. PRODUCTO DE ANILLOS

Algunas propiedades inmediatas del anillo producto son las siguientes. Proposici´ on 4.1.1. Sea {A1 , . . . , An } una familia finita de anillos arbitrarios, n ≥ 1. Entonces, (i)

Qn

i=1

Ai es conmutativo si, y s´ olo si, Ai es conmutativo, para cada 1 ≤ i ≤ n.

Q ∗ (ii) (a1 , . . . , an ) ∈ ( ni=1 Ai ) si, y s´ olo si, ai ∈ A∗i , para cada 1 ≤ i ≤ n. (iii) Se tiene el isomofismo de grupos Q ∗ ( ni=1 Ai ) ∼ = A∗1 × · · · × A∗n . (iv) Para n ≥ 2, el anillo producto

Qn

i=1

Ai siempre tiene divisores de cero.

Demostraci´on. Ejercicio para el lector. Proposici´ on 4.1.2. Sea {A1 , . . . , An }, n ≥ 1, una familia de anillos. Entonces, (i) Los ideales izquierdos (derechos, bil´ ateros) del anillo producto la forma

Qn

i=1

Ai , son de

I1 × · · · × In := {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ Ii }, donde cada Ii es un ideal izquierdo (derecho, bil´ atero) del anillo Ai . (ii) Si I1 , . . . , In son ideales bil´ ateros propios de A1 , . . . , An respectivamente, entonces (A1 × · · · × An ) /(I1 × · · · × In ) ∼ = (A1 /I1 ) × · · · × (An /In ) . (iii) Si para cada 1 ≤ i ≤ n, Ai Q es un anillo de ideales izquierdos (derechos, bil´ateros) principales, entonces ni=1 Ai es un anillo de ideales izquierdos (derechos, bil´ateros) principales. Demostraci´on. Probaremos solo la parte (iii) para el caso bil´atero, las dem´as pruebas quedan como ejercicio para el lector. Si cada Qn Ai es un anillo de ideales bil´ateros principales, entonces sea I un bil´atero de i=1 Ai , seg´ un (i) I es de la forma I = I1 × · · · × In = ha1 i × · · · × han i, luego I = h(a1 , . . . , an )i.

4.2. TEOREMA CHINO DE RESIDUOS

39

En efecto, cada x ∈ ha1 i × · · · × han i es de la forma ! m1 mn X X (i) (i) (1) (1) (n) (n) x= b k a1 c k , . . . , b k an c k , b k , c k ∈ Ai . k=1

k=1

Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que m1 = m2 = · · · = mn = m, de donde x=

m  X

(1)

(n)

bi , . . . , b i



  (n) (1) ∈ h(a1 , . . . , an )i . (a1 , . . . , an ) ci , . . . , ci

i=1

Observaci´ on 4.1.3. El producto de anillos se puede extender a una familia arbitraria no vac´ıa de anillos definiendo las operaciones por componentes; en particular, n´otese que el anillo producto de una familia de anillos iguales {Ai }i∈C , Ai := A, coincide con el anillo de funciones de C en A, es decir, Q C on}. i∈C Ai = A = {f : C −→ A|f es una funci´

4.2.

Teorema chino de residuos

Para n ≥ 2 y n = pr11 · · · prkk ; pi primo, ri ≥ 1, 1 ≤ i ≤ k, la descomposici´on de n en producto de primos, se tiene el isomorfismo de grupos Zn ∼ = Zpr11 × · · · × Zprkk . Puesto que nosotros estamos considerando a Zn como un anillo, preguntamos si el isomorfismo anterior es v´alido tambi´en considerando los objetos como anillos. Por medio del teorema chino de residuos daremos una respuesta afirmativa a esta pregunta. Teorema 4.2.1 (Teorema chino de residuos). Sea A un anillo y sean I1 , . . . , In , n ≥ 2, ideales bil´ateros de A tales que Ii + Ij = A, para cualesquiera ´ındices i 6= j. Entonces, dada una familia finita de elementos a1 , . . . , an ∈ A, existe un elemento a ∈ A, tal que a − ai ∈ Ii para cada 1 ≤ i ≤ n. Demostraci´on. Sean I1 , I2 ideales de A tales que I1 + I2 = A, y sean a1 , a2 elementos cualesquiera de A. Existen elementos b1 ∈ I1 , b2 ∈ I2 tales que 1 = b1 + b2 . El elemento a := a2 b1 + a1 b2 satisface la condici´on pedida. En efecto,

40

CAP´ITULO 4. PRODUCTO DE ANILLOS

a − a1 = a2 b1 + a1 (b2 − 1) = a2 b1 + a1 (−b1 ) = (a2 − a1 ) b1 ∈ I1 . An´alogamente, a − a2 ∈ I2 . Sean I1 , . . . , In y a1 , . . . , an ideales y elementos de A que satisfacen las hip´otesis del teorema. Para i ≥ 2 existen xi ∈ I1 , bi ∈ Ii tales que Qn xi + bQ = 1. Resulta entonces que (x a en el ideal i i + bi ) = 1, y este producto est´ i=2 n I1 + i=2QIi . Por lo demostrado Qn para dos ideales, existe z1 ∈ A tal que z1 − 1 ∈ I1 y n z1 − 0 ∈ i=2 Ii . Pero como i=2 Ii ⊆ Ii para cada 2 ≤ i ≤ n, entonces resulta z1 − 1 ∈ I1 y z1 ∈ Ii , para i ≥ 2. Q Q Podemos repetir la prueba para las parejas de ideales (I2 , i6=2 Ii ), . . . , (In , i6=n Ii ), y encontramos elementos z2 , . . . , zn ∈ A tales que zj − 1 ∈ Ij y zj ∈ Ii , para i 6= j. Comprobemos que el elemento a := a1 z1 + · · · + an zn satisface la condici´on exigida: a − ai = a1 z1 + · · · + ai−1 zi−1 + ai (zi − 1) + ai+1 zi+1 + · · · + an zn . Como zj ∈ Ii para i 6= j y zi − 1 ∈ Ii , entonces a − ai ∈ Ii , para 1 ≤ i ≤ n. Corolario 4.2.2. Sean A e I1 , . . . , In bil´ ateros propios con las condiciones del enunciado del teorema anterior. Entonces, (i) La funci´on definida por f:

−→ 7−→

A a

Qn

A/Ii f (a) := (a, . . . , a) , i=1

con a := a + Ii

es un homomorfismo sobreyectivo de anillos. T (ii) ker (f ) = ni=1 Ii . T Qn (iii) A/ ni=1 Ii ∼ = i=1 A/Ii . Demostraci´on. Ejercicio para el lector. Ejemplo 4.2.3. Sea n = pr11 · · · prkk , pi primo, ri ≥ 1, 1 ≤ i ≤ k, se tiene entonces el isomorfismo de anillos Zn ∼ = Zpr11 × · · · × Zprkk . En efecto, basta considerar en el corolario anterior, Ii := hpri i i, 1 ≤ i ≤ k, y entonces Tn

i=1 Ii

= hm.c.m. {pri i }ki=1 i = hni.

4.3. EJERCICIOS

4.3.

41

Ejercicios

1. Demuestre la proposici´on 4.1.1. 2. Demuestre el corolario 4.2.2. 3. Si A1 y A2 son anillos de caracter´ıstica n1 6= 0 y n2 6= 0, respectivamente, entonces char (A1 × A2 ) es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de n1 y n2 . De otra parte, si n1 = 0 o n2 = 0, entonces la caracter´ıstica del anillo producto es cero. 4. Sean A, A1 , . . . , Ak anillos tales que A∼ = A1 × · · · × Ak . Pruebe el isomorfismo Mn (A) ∼ = Mn (A1 ) × · · · × Mn (Ak ), n ≥ 1. 5. Determine todos los ideales de Q × Zn , n ≥ 2.

Cap´ıtulo 5 Ideales primos y maximales En la colecci´on de ideales bil´ateros de un anillo se destacan los ideales maximales y los primos. Veremos en el presente cap´ıtulo su definici´on y comportamiento a trav´es de homomorfismos.

5.1.

Definiciones y ejemplos

Aunque los conceptos que se introducen a continuaci´on se estudian por lo general para anillos conmutativos, aqu´ı se analizar´an en el caso general no conmutativo. Definici´ on 5.1.1. Sean A un anillo e I un ideal bil´ atero propio de A. (i) Se dice que I es un ideal maximal de A si para cada ideal bil´ atero J de A se tiene que I ⊆ J ⇔ J = I, ´ o, J = A. (ii) Se dice que I es un ideal completamente primo de A si para cualesquiera a, b ∈ A se cumple que ab ∈ I ⇔ a ∈ I, o, b ∈ I. (iii) Se dice que I es un ideal primo de A si para cualesquiera I1 e I2 ideales bil´ateros de A se tiene que I1 I2 ⊆ I ⇔ I1 ⊆ I, o, I2 ⊆ I. Proposici´ on 5.1.2. Sean A un anillo e I un ideal bil´ atero propio de A. (i) Si I es completamente primo, entonces I es primo. Adem´ as, si A = R es conmutativo, la afirmaci´on rec´ıproca es v´ alida. 42

5.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS

43

(ii) I es completamente primo si, y s´ olo si, A/I no posee divisores de cero. Si A = R es conmutativo, se cumple que I es primo si, y s´ olo si, R/I es un dominio de integridad. (iii) I es maximal si, y s´olo si, A/I es un anillo simple. Si A = R es conmutativo, se cumple que I es maximal si, y s´ olo si, R/I es un cuerpo. (iv) El ideal nulo 0 es completamente primo si, y s´ olo si, A es anillo sin divisores de cero. En el caso conmutativo, 0 es primo si, y s´ olo si, R es un dominio de integridad. (v) El ideal nulo es maximal si, y s´ olo si, A es un anillo simple. En el caso conmutativo se tiene que 0 es maximal si, y s´ olo si, R es un cuerpo. (vi) Si I es un ideal maximal de A, entonces I es primo. (vii) En un dominio de ideales principales todo ideal primo no nulo es maximal. Demostraci´on. (i) Sean I completamente primo en A y I1 , I2 ideales de A tales que I1 I2 ⊆ I, sup´ongase que I1 no est´a contenido en I, es decir, existe a ∈ I1 , a ∈ / I. Sea b un elemento cualquiera de I2 , puesto que ab ∈ I1 I2 ⊆ I, entonces b ∈ I. De aqu´ı obtenemos que I2 ⊆ I. Sea ahora R un anillo conmutativo y sean a, b ∈ R tales que ab ∈ I. Entonces, habi = hai hbi ⊆ I, con lo cual hai ⊆ I, o, hbi ⊆ I, es decir, a ∈ I, o, b ∈ I. (ii) Sean a = a + I, b = b + I en A/I. Entonces, ab = 0 implica que ab ∈ I, con lo cual, a ∈ I, o, b ∈ I, es decir, a = 0, o, b = 0. Rec´ıprocamente, si a, b ∈ A son tales que ab ∈ I, entonces ab = 0, o equivalentemente, ab = 0. Resulta entonces que a ∈ I, o, b ∈ I. El caso conmutativo es consecuencia directa de que R/I es conmutativo. (iii) Se obtiene del teorema de correspondencia (v´ease el teorema 3.2.7). En el caso conmutativo, anillo simple y cuerpo son conceptos equivalentes. (iv) Es consecuencia directa de (ii). (v) Se obtiene de (iii). (vi) Sea L un ideal maximal de A y sean I, J ideales bil´ateros de A tales que IJ ⊆ L. Supongamos que I * L, entonces existe x ∈ I tal que x ∈ / L. El ideal bil´atero L + hxi contiene propiamente a L, luego A = L + hxi. Existen y ∈ L y z ∈ hxi tales que 1 = y + z. Sea w ∈ J, entonces w = yw + zw, con yw ∈ L y zw ∈ IJ ⊆ L, por tanto w ∈ L. Esto prueba que J ⊆ L, con lo cual L es primo.

44

CAP´ITULO 5. IDEALES PRIMOS Y MAXIMALES

(vii) Sea I un ideal primo no nulo de R. Existe a 6= 0 en R tal que I = hai . Sea J un ideal de R tal que I ⊆ J; J es tambi´en de la forma J = hbi, b ∈ R, b 6= 0. Resulta entonces que a = bc, con c ∈ R, es decir, bc ∈ hai. De aqu´ı obtenemos que b ∈ hai, o, c ∈ hai, con lo cual hbi = hai, o, c = aa0 , a0 ∈ R. En la segunda posibilidad, c = bca0 , es decir, c (1 − ba0 ) = 0. Como c 6= 0, entonces b ∈ R∗ y hbi = R. As´ı pues, J = I, o, J = R, e I resulta maximal. Ejemplo 5.1.3. En Z los ideales primos no nulos y los maximales coinciden. Ellos son de la forma hpi, con p primo. 0 es ideal primo en Z, pero no es maximal. Ejemplo 5.1.4. Sea m ≥ 2 no primo. Seg´ un el ejemplo 3.2.11, los ideales de Zm son de la forma hni con n | m. Del punto (iii) de la proposici´on anterior resulta que los ideales maximales de Zm son de la forma hpi, p | m, p primo, y seg´ un (ii) de la misma proposici´on, ´estos son tambi´en los ideales primos. Si m es primo, 0 es el u ´nico ideal maximal y el u ´nico ideal primo de Zm . Ejemplo 5.1.5. Los ideales maximales del anillo de matrices Mn (A), n ≥ 2, son de la forma Mn (I) , donde I es un ideal maximal de A. Esto es consecuencia del ejemplo 2.1.6. Ejemplo 5.1.6. Ideales maximales y primos de Mn (Z) , n ≥ 2: de los ejemplos 5.1.3 y 5.1.5 obtenemos que los ideales maximales de Mn (Z) son de la forma Mn (hpi), con p primo. Obs´ervese que el ideal nulo de Mn (Z) es primo y, sin embargo, no es maximal. En efecto, sean Mn (hri) , Mn (hsi) ideales bil´ateros de Mn (Z) tales que Mn (hri) Mn (hsi) ⊆ 0. Teniendo en cuenta que Mn (hri) Mn (hsi) = Mn (hrsi), resulta hrsi = 0, con lo cual hri = 0, o, hsi = 0. Mostremos ahora que los ideales primos no nulos coinciden con los maximales: sabemos ya que todo maximal es primo; de otra parte, si p no es primo, existen r, s ∈ Z+ , con 1 < r, s < p, tales que p = rs. Se tiene entonces que Mn (hri) Mn (hsi) = Mn (hpi); pero ni Mn (hri), ni Mn (hsi) est´an contenidos en Mn (hpi) . En efecto, rE11 ∈ Mn (hri), pero rE11 ∈ / Mn (hpi); sE11 ∈ Mn (hsi) y sE11 ∈ / Mn (hpi). Resulta entonces que Mn (hpi) no es primo. Ejemplo 5.1.7. Ideales maximales y primos de Mn (Zm ) , n, m ≥ 2: supongamos inicialmente que m no es primo. De los ejemplos 5.1.4 y 5.1.5 obtenemos que los ideales maximales de Mn (Zm ) son de la forma Mn (hpi), p | m, p primo. Estos ideales coinciden con los primos. En efecto, como todo maximal


es primo, veamos que ´estos son los u ´nicos ideales primos de Mn (Zm ): sea Mn k un ideal de Mn (Zm ), con k no primo. Existen entonces 1 < r, s < k tales que k = rs; n´otese que 
Mn (hri) Mn (hsi) = Mn k , y sin embargo ni Mn (hri), ni Mn (hsi) est´an con 






/ Mn k y sE11 ∈ / Mn k tenidos en Mn k . En efecto, notemos que rE11 ∈ (en caso contrario r = t · k, 0 ≤ t ≤ m − 1, con lo cual m | (rst − r), y como k | m,

´ DE HOMOMORFISMOS 5.2. COMPORTAMIENTO A TRAVES

45

existir´ıa w ∈ Z, tal que rst − r = wrs; de aqu´ı resultar´ıa que

s
| 1, lo cual es contradictorio. De manera an´aloga se establece que sE11 ∈ / Mn k ). Esto demuestra


que Mn k no es primo. Resta observar que el ideal nulo no es primo ya que m no es primo. Si m es primo, 0 es el u ´nico ideal primo y el u ´nico ideal maximal en Mn (Zm ). Comp´arense estos resultados con el ejemplo 5.1.4. Ejemplo 5.1.8. Ideal primo no completamente primo: sean A un anillo y Mn (A) su anillo de matrices de orden n ≥ 2. N´otese que Mn (A) no posee ideales completamente primos. En efecto, si I 6= A es un ideal bil´atero de A tal que Mn (I) es completamente primo, entonces Mn (A) /Mn (I) ∼ = Mn (A/I) no posee divisores de cero; pero cualquier anillo de matrices de orden n ≥ 2 posee divisores de cero. Considerando en particular A = Z, resulta que 0 es primo en Mn (Z), pero no es completamente primo. Ejemplo 5.1.9. Ideal maximal no complementamente primo: sean n ≥ 2 y p un primo cualquiera. Seg´ un el ejemplo 5.1.6, Mn (hpi) es maximal de Mn (Z), sin embargo, como acabamos de ver, no es completamente primo.

5.2.

Comportamiento a trav´ es de homomorfismos

Queremos estudiar ahora el comportamiento de los ideales completamente primos, primos y maximales a trav´es de homomorfismos. Proposici´ on 5.2.1. Sea f : A1 −→ A2 un homomorfismo de anillos, y sean I y J ideales bil´ateros propios de A1 y A2 , respectivamente. (i) Si f es sobreyectivo, entonces J es maximal ⇒ f −1 (J) es maximal. (ii) Si f es sobreyectivo y ker (f ) ⊆ I entonces I es maximal ⇒ f (I) es maximal. (iii) J es completamente primo, entonces f −1 (J) es completamente primo. (iv) Si f es sobreyectivo y ker (f ) ⊆ I entonces I es completamente primo ⇒ f (I) es completamente primo. (v) Si f es sobreyectivo, entonces

46

CAP´ITULO 5. IDEALES PRIMOS Y MAXIMALES

J es primo ⇒ f −1 (J) es primo. (vi) Si f es sobreyectivo y ker (f ) ⊆ I entonces I es primo ⇒ f (I) es primo. Demostraci´on. N´otese inicialmente que f −1 (J) y f (I) son propios. (i) Consid´erese el homomorfismo compuesto jf : A1

f

−→

A2

j

−→

A2 /J,

donde j es el homomorfismo can´onico, jf es sobreyectivo y con n´ ucleo f −1 (J). El isomorfismo A2 /J ∼ = A1 /f −1 (J) garantiza que A1 /f −1 (J) es simple y, en consecuencia, f −1 (J) es maximal. (ii) El homomorfismo sobreyectivo jf tiene por n´ ucleo I: A1

f

−→

A2

j

−→

A2 /f (I) ,

De esto obtenemos que A1 /I ∼ = A2 /f (I), y as´ı f (I) es maximal. (iii) Si ab ∈ f −1 (J) entonces f (a) f (b) ∈ J; esto es, f (a) ∈ J, o, f (b) ∈ J, y por tanto, a ∈ f −1 (J), o, b ∈ f −1 (J). (iv) An´alogo al punto (ii). (v) Sean I1 , I2 ideales bil´ateros de A1 , tales que I1 I2 ⊆ f −1 (J). Entonces por la sobreyectividad de f se tiene que f (I1 ) f (I2 ) ⊆ J, y f (I1 ) , f (I2 ) son ideales bil´ateros de A2 . Como J es primo, f (I1 ) ⊆ J, o, f (I2 ) ⊆ J. De aqu´ı resulta I1 ⊆ f −1 (f (I1 )) ⊆ f −1 (J), o, I2 ⊆ f −1 (f (I2 )) ⊆ f −1 (J) . (vi) Sean J1 , J2 ideales bil´ateros de A2 tales que J1 J2 ⊆ f (I), entonces f −1 (J1 J2 ) ⊆ f −1 (f (I)). Pero f −1 (f (I)) = I. Adem´as, f −1 (J1 ) f −1 (J2 ) ⊆ f −1 (J1 J2 ) ⊆ I, y como I es primo, entonces f −1 (J1 ) ⊆ I, o, f −1 (J2 ) ⊆ I. Nuevamente, por la sobreyectividad de f se tiene que J1 ⊆ f (I), o, J2 ⊆ f (I). Esto completa la prueba del punto (vi) y de la proposici´on. Ejemplo 5.2.2. Las restricciones de la proposici´on anterior sobre sobreyectividad y contenencia del n´ ucleo son sustanciales: consideremos la inclusi´on can´onica de ι:

Z −→ k 7−→

Q k,

0 es maximal en Q, pero ι−1 (0) = 0 no es maximal en Z. De otra parte, n´otese que para el homomorfismo can´onico

´ DE HOMOMORFISMOS 5.2. COMPORTAMIENTO A TRAVES

ι:

Z −→ k 7−→

47

Z8 k = k + h8i

h7i es maximal en Z, pero ι (h7i) = Z8 . Obs´ervese que ker (ι) = h8i no est´a contenido en h7i. El ejemplo 5.1.8 pone de manifiesto que no todo anillo posee ideales completamente primos; no ocurre as´ı con los maximales. La prueba de este importante hecho se apoya en uno de los supuestos de la teor´ıa de conjuntos conocido como el lema de Zorn. Lema 5.2.3 (Lema de Zorn). Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. Si cada subconjunto no vac´ıo y totalmente ordenado de P tiene cota superior, entonces en P existe al menos un elemento maximal. Teorema 5.2.4. Cada anillo posee al menos un ideal maximal. Demostraci´on. Sean A un anillo y P el conjunto de ideales bil´ateros propios de A; n´otese que P = 6 ∅ ya que 0 ∈ P. Respecto a la relaci´on de inclusi´on ⊆, P es un conjunto parcialmente ordenado. Sean S un subconjunto totalmente ordenado de P e S I0 := J∈S J la reuni´on de los ideales de S. I0 es un ideal bil´atero propio de A. En efecto, si a, b ∈ I0 entonces existen ideales bil´ateros J1 , J2 ∈ S tales que a ∈ J1 , b ∈ J2 , por el orden total podemos suponer por ejemplo que J1 ⊆ J2 , con lo cual a + b ∈ J2 ⊆ I0 . An´alogamente, si a ∈ I0 y x ∈ A, existe J ∈ S tal que a ∈ J, de aqu´ı obtenemos que ax, xa ∈ J ⊆ I0 . I0 es propio debido a la escogencia de los elementos de P. Evidentemente I0 es cota superior de S. De acuerdo con el lema de Zorn, existe un ideal bil´atero I en P que es elemento maximal respecto a la inclusi´on. Puesto que la maximalidad se defini´o en t´erminos de la relaci´on de inclusi´on, entonces I es ideal maximal de A. Corolario 5.2.5. Sea A un anillo. Entonces, (i) Cada ideal bil´atero propio de A est´ a contenido en un ideal maximal. (ii) Cada elemento no invertible de R est´ a contenido en un ideal maximal (R es un anillo conmutativo). Demostraci´on. (i) Sea I un ideal bil´atero propio de A y A/I el anillo cociente determinado por I. Sea J un ideal maximal de A/I. De acuerdo con la proposici´on 3.2.5 y la proposici´on 5.2.1, j −1 (J) es un ideal maximal de A que contiene a I, donde j : A −→ A/J es el homomorfismo can´onico. (ii) Sea x un elemento no invertible de R; entonces hxi = 6 R, y por el numeral anterior, hxi est´a contenido en un ideal maximal de R.

48

CAP´ITULO 5. IDEALES PRIMOS Y MAXIMALES

Ejemplo 5.2.6. El anillo de matrices Mn (K) de orden n ≥ 2 sobre un cuerpo K muestra que el punto (ii) del corolario anterior no es v´alido para anillos no conmutativos. En efecto, la matriz E11 no es invertible y el u ´nico ideal maximal de Mn (K) es el nulo. Ejemplo 5.2.7. Anillos conmutativos locales: un anillo conmutativo R se dice que es local si tiene exactamente un ideal maximal. Sea J dicho ideal. Entonces se cumple que J = R − R∗ , donde R∗ es el grupo de elementos invertibles del anillo R. La igualdad anterior caracteriza a los anillos locales. M´as exactamente, sea R un anillo conmutativo, R es local si, y s´olo si, R − R∗ es un ideal. En efecto, sea J el maximal de R y sea x ∈ J, entonces x ∈ / R∗ luego x ∈ R − R∗ ; rec´ıprocamente, si x ∈ R − R∗ , entonces x ∈ / R∗ y en consecuencia x pertenece a alg´ un ideal maximal, pero el u ´nico es J, luego x ∈ J. Hemos probado que J = R − R∗ . Supongamos ahora que R − R∗ es un ideal y veamos que R es local: sea I un maximal de R, entonces I ⊆ R − R∗ , pero como R − R∗ es un ideal propio, entonces I = R − R∗ , es decir, R − R∗ es el u ´nico maximal de R. Ejemplo 5.2.8. De los ejemplos 5.1.4 y 5.2.7 obtenemos que Zm , m ≥ 2, es local si, y s´olo si,, m es de la forma m = pk , k ≥ 1, con p primo. El ideal maximal es J = hpi. Ilustremos estos resultados con p = 2, k = 3:    Z∗8 = 1, 3, 5, 7 , Z − Z∗8 = 0, 2, 4, 6 = 2 . Ejemplo 5.2.9. Ideales Qn maximales del anillo producto: sea {A1 , . . . , An } una familia finita de anillos y i=1 Ai su anillo producto. Para cada 1 ≤ i ≤ n, la proyecci´on πi :

Qn

Ai −→ (a1 , . . . , an ) 7−→ i=1

Ai ai

es un homomorfismo sobreyectivo de anillos. Fijemos el ´ındice i y sea Ii un ideal maximal de Ai . Entonces πi−1 (Ii ) = A1 × · · · × Ii × · · Q · × An , y seg´ un la proposici´on n 5.2.1, este u ´ltimo producto Qn es un ideal maximal de i=1 Ai . Rec´ıprocamente, sea J un ideal maximal de i=1 Ai . Seg´ un la proposici´on 4.1.2, J es de la forma J = I1 × · · · × In , donde Ii es un ideal bil´atero de Ai , 1 ≤ i ≤ n. Existe alg´ un i, 1 ≤ i ≤ n, tal que Ii 6= Ai , ya que en caso contrario J no ser´ıa propio. N´otese que necesariamente Ij = Aj para cada j 6= i, es decir, J = A1 × · · · × Ii × · · · × An . En efecto, si para alg´ un j 6= i, Ij 6= Aj , entonces, Qn J A1 × · · · × Ai × · · · × Ij × · · · × An i=1 Ai y J no ser´ıa maximal. Por u ´ltimo, J ⊇ ker (πi ) = A1 × · · · × 0 × · · · × An y, seg´ un la proposici´on 5.2.1, πi (J) = Ii es maximal en Ai . Esto completa la prueba de la descripci´on de los ideales maximales del anillo producto. Obs´ervese que

5.3. EJERCICIOS

49

A1 × · · · × An /A1 × · · · × Ii × · · · × An ∼ = Ai /Ii , para cada ideal propio Ii de Ai , 1 ≤ i ≤ n. Qn Si tomamos en particular una colecci´on finita de cuerpos T1 , . . . , Tn , entonces i=1 Ti tiene n ideales maximales: 0×T2 ×· · ·×Tn , T1 ×0×· · ·×Tn , T1 ×T2 ×· · ·×0; la intersecci´on de los cuales es nula. Un anillo A es semilocal si su colecci´on de ideales maximales es finita.

5.3.

Ejercicios

1. Sean A un anillo y P un ideal bil´atero propio de A. Demuestre que P es primo si, y s´olo si, para cada par de elementos a, b ∈ A se cumple aAb ⊆ P ⇔ a ∈ P o b ∈ P . 2. Sean A un anillo y P un ideal bil´atero propio de A. Demuestre que P es primo si, y s´olo si, para cada par de ideales derechos I, J de A se tiene que IJ ⊆ P ⇔ I ⊆ P o J ⊆ P . Demuestre esta misma propiedad para ideales izquierdos. 3. Sean A un anillo y P un ideal bil´atero propio de A. P es primo si, y s´olo si, para cada par de ideales bil´ateros I, J de A que contengan propiamente a P se tiene que IJ * P . 4. Un anillo A es primo si el ideal nulo es primo. Sea I un ideal propio de A. Demuestre que I es primo si, y s´olo si, A/I es un anillo primo. 5. Sea R un anillo conmutativo y sean P1 , . . . , Pn ideales primos de R. (i) Suponga que I es un ideal de R contenido en ∪ni=1 Pi . Pruebe que existe i tal que I ⊆ Pi . (ii) Sean I1 , . . . , It ideales de R y sea P un ideal primo de P que contiene a ∩tj=1 Ij . Pruebe que existe j tal que P ⊇ Ij . (iii) Si P = ∩tj=1 Ij , entonces pruebe que existe j tal que P = Ij . 6. Sea R un anillo conmutativo en el que cada elemento x satisface la condici´on xn = x, para alg´ un n > 1 (dependiente de x). Demuestre que todo ideal primo de R es maximal. 7. Sea R un anillo conmutativo. El radical primo de R es la intersecci´on de todos los ideales primos de R, y se denota por rad(R). Demuestre que rad(R) coincide con la colecci´on de elementos nilpotentes de R (r ∈ R es nilpotente si existe n ≥ 1 tal que rn = 0). √ 8. Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R. Demuestre que I coincide con la intersecci´on de todos los ideales primos de R que contienen I.

Cap´ıtulo 6 Dominios de integridad Entre los dominios de integridad comunmente encontrados en ´algebra se destacan los dominios euclidianos, los dominios de ideales principales y los dominios gaussianos (tambi´en conocidos como dominios de factorizaci´on u ´nica). Su importancia radica en la aritm´etica que se puede desarrollar sobre ellos, conform´andose as´ı un ´area interesante de estudio. Nosotros nos limitaremos a presentarlos y a estudiar algunas de sus propiedades m´as importantes.

6.1.

Definiciones y ejemplos

Definici´ on 6.1.1. Sea R un dominio de integridad y sean a, b ∈ R con a = 6 0. Se dice que a divide b, o que b es m´ ultiplo de a, lo cual denotaremos por a | b, si existe c ∈ R tal que b = ac. Tambi´en diremos que a es un divisor de b. Ejemplo 6.1.2. En Z, 2 | 6, 2 - 5. En Z7 , 2 | 6 y 2 | 5 ya que 6 = 2 · 3, 5 = 2 · 6. Definici´ on 6.1.3. Sea R un dominio de integridad (DI) y sean a y b elementos de R. Se dice que a y b son asociados, lo cual escribimos como a ∼ b, si existe u ∈ R∗ tal que a = bu. Ejemplo 6.1.4. Divisores triviales. Sea R un DI y a un elemento cualquiera de R. Los elementos invertibles de R y los elementos asociados con a son divisores de a, conocidos como los divisores triviales de a. Definici´ on 6.1.5. Sea R un DI. Un elemento a no nulo y no invertible de R, se dice irreducible si sus u ´nicos divisores son los triviales. Ejemplo 6.1.6. En Z, 2 es irreducible, 6 no es irreducible. En un anillo de divisi´on, por definici´on, no hay elementos irreducibles. As´ı pues, en Q, R y C no hay elementos irreducibles. 50

6.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS

51

Ejemplo 6.1.7. Consideremos el subconjunto de n´ umeros complejos de la forma √   √ Z −3 := a + b −3 | a, b ∈ Z , √  Z −3 es un dominio de integridad con las operaciones usuales de adici´ √ on y multiplicaci´on de complejos. N´otese que 2 es un elemento irreducible de Z −3 , pero √ 7 no lo es. En efecto, si definimos la norma de z = a + b −3 , a, b ∈ Z, por

√ √ N (z) := zz = a + b −3 a − b −3 = a2 + 3b2 podemos observar que N (z1 z2 ) = N (z1 ) N (z2 ), √  para cualesquiera z1 , z2 en Z −3 . Esto permite determinar los elementos inverti√  √ ∗ √ bles de Z −3 : sea z = a + b −3 ∈ Z −3 , entonces N (zz −1 ) = N (1) = 1 = N (z) N (z −1 ); como N √ (z) esun entero no negativo se obtiene que a2 + 3b2 = 1, ∗ con lo cual z = ±1 y Z −3 = {1, −1}. √ Podemos probar las afirmaciones formuladas antes: sea z = a + b
−3 , a,√b ∈ Z,
√ tal que z | 2. Existen entonces a0 , b0 ∈ Z tales que 2 = a + b −3 a0 + b0 −3 . De aqu´ı obtenemos 4 = (a2 + 3b2 ) (a20 + 3b20 ). Se presentan entonces tres casos: (i) a2 + 3b2 = 4, a20 + 3b20 = 1, (ii) a2 + 3b2 = 1, a20 + 3b20 = 4, (iii) a2 + 3b2 = 2, a20 + 3b20 = 2. Los dos primeros casos son an´alogos y veremos s´olo el primero. El tercero no tiene soluciones en Z. Considerando las posibles formas de descomponer 4 y 1 en suma de enteros no negativos, obtenemos que a = ±1, b = ±1, a0 = ±1, b0 = 0; o tambi´en, a = ±2, b = 0, a0 = 1, b0 = 0, a = −2, b = 0, a0 = −1, b0 = 0, es decir, los u ´nicos divisores de 2 son los triviales.

√ √ √ √ N´otese por u ´ltimo que 7 = 2 + −3 2 − −3 , pero 2 + −3 y 2 − −3 no son divisores triviales de 7. Definici´ on 6.1.8. Diremos que el elemento no nulo a de R es primo si hai es un ideal primo. Proposici´ on 6.1.9. Sea R un DI y sea a primo, entonces a es irreducible. Demostraci´on. En efecto, si hai es primo entonces hai = 6 R y as´ı a ∈ / R∗ . Sea m ∈ R un divisor de a; entonces a = mn, n ∈ R, y en el cociente R/ hai resulta 0 = m · n, con lo cual m = 0, o, n = 0, es decir, m ∈ hai, o, n ∈ hai. Se tiene entonces que m = ra, con r ∈ R, o, n = sa, con s ∈ R. En el primer caso a = ran, de donde n ∈ R∗ . En el segundo caso m ∈ R∗ . As´ı pues, a es irreducible.

52

CAP´ITULO 6. DOMINIOS DE INTEGRIDAD

Ejemplo 6.1.10. Obs´ervese que el rec´ıproco de lo afirmado en la proposici´on anterior √ no siempre es cierto, como lo muestra el ejemplo anterior: 2 es irreducible en Z −3 pero h2i no es un ideal primo:



√ √ √ √ 1 + −3 1 − −3 = 4 ∈ h2i, pero 1 + −3 , 1 − −3 ∈ / h2i.

6.2.

Dominios gaussianos

Existen dominios como el de los enteros donde es posible efectuar divisiones con residuo. Este tipo de dominio de integridad conforma una subclase de una clase m´as amplia con propiedades aritm´eticas importantes como es la clase de los dominios gaussianos. Definici´ on 6.2.1. Sea R un DI; se dice que R es un dominio euclidiano (DE) si existe una funci´on d definida sobre los elementos no nulos de R y tomando valores enteros no negativos d:

R − {0}

−→

N ∪ {0}

tal que: (i) Para cualesquiera elementos no nulos a, b ∈ R, d (ab) ≥ d (a). (ii) (Divisi´ on con residuo) Para cada elemento a ∈ R y cada elemento no nulo b ∈ R, existen elementos q, r ∈ R tales que: a = bq + r, donde r = 0, ´ o, d (r) < d (b) . Ejemplo 6.2.2. Los n´ umeros enteros Z con la funci´on valor absoluto d = | | constituyen un dominio euclidiano: sean a, b enteros no nulos. Entonces |b| ≥ 1, |a| |b| ≥ |a| y |a| ≤ |ab|, verific´andose as´ı la primera condici´on de la definici´on anterior. Sean ahora, a, b enteros con b 6= 0. Distinguiremos dos casos: Caso 1. b > 0. Consideremos los conjuntos M := {a − bx | x ∈ Z}, y M + := {z ∈ M | z ≥ 0}. N´otese que M + 6= ∅. En efecto, si a ≥ 0 entonces a ∈ M + . Si a < 0 entonces a ≤ −1, −a ≥ 1, a (−a) ≤ a. Adem´as, como b > 0, entonces −b < 0, (−b) (−a2 ) ≥ −ba, de donde a − b (−a2 ) ≥ a − ba = a (1 − b) ≥ 0 (La u ´ltima desigualdad es cierta ya que b > 0 implica b ≥ 1, 1 − b ≤ 0, a (1 − b) ≥ 0). Tomando x = −a2 resulta que tambi´en en este caso a − b (−a2 ) ∈ M + . Como el conjunto de los enteros no negativos es bien ordenado, concluimos que + M tiene un primer elemento r0 . Sea q0 ∈ Z tal que r0 = a − bq0 . Tenemos entonces que a = bq0 + r0 con r0 ≥ 0. Supongamos que r0 ≥ b. Entonces, a − bq0 ≥ b, es decir, a − b (q0 + 1) ≥ 0 y as´ı a − b (q0 + 1) ∈ M + . Por la condici´on de r0 , a − b (q0 + 1) ≥ r0 = a − bq0 , con lo cual −b ≥ 0 y se obtiene una contradicci´on.

6.2. DOMINIOS GAUSSIANOS

53

a = bq0 + r0 , donde r0 = 0, ´o, 0 < r0 < b. Caso 2. b < 0. Consideremos los conjuntos N := {bx − a | x ∈ Z} y N + := {z ∈ N | z ≥ 0}. Nuevamente N + es un conjunto no vac´ıo: si a < 0 entonces −a > 0 y −a ∈ N + . Sea a ≥ 0; como b < 0, entonces b ≤ −1, b (−a2 ) ≥ (−1) · (−a2 ) = a2 , b (−a2 ) ≥ 0. Tomando x = −a2 encontramos que b (−a2 ) − a ∈ N + . Sea t1 el primer elemento de N + y q1 ∈ Z tal que t1 = bq1 − a. Resulta de aqu´ı que a = bq1 − t1 con −t1 ≤ 0. Sup´ongase que −t1 ≤ b, entonces, t1 ≥ −b, bq1 − a ≥ −b, b (q1 + 1) − a ∈ N + y, por la escogencia de t1 , b (q1 + 1) − a ≥ t1 = bq1 − a, es decir, b ≥ 0 lo cual es una contradicci´on. Se tienen pues en este segundo caso enteros q1 , t1 tales que a = bq1 + (−t1 ), donde −t1 = 0, ´o, b < −t1 < 0. De los dos casos considerados resulta que dados a, b ∈ Z con b 6= 0, existen q, r ∈ Z tales que: a = bq + r, con r = 0, ´o, |r| < |b|, cumpli´endose as´ı la segunda condici´on de la definici´on 6.2.1. Definici´ on 6.2.3. Sea R un DI y sean a, b elementos no nulos de R. El elemento d ∈ R se dice que es un m´ aximo com´ un divisor de los elementos a y b, si: (i) d | a y d | b. (ii) Cada elemento c ∈ R que divida simult´ aneamente a y b es tambi´en un divisor de d. Esta relaci´on se denota por d := m.c.d. (a, b). Un m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a y b es un elemento c ∈ R tal que: (i) a | c y b | c. (ii) Cada elemento f ∈ R tal que a | f y b | f cumple c | f . Esta relaci´on se denota por c := m.c.m. (a, b). Los conceptos de m´aximo com´ un divisor y elemento irreducible cobran especial importancia en los dominios de ideales principales (DIP ). Proposici´ on 6.2.4. Sea R un DIP. Entonces, (i) Cada par de elementos no nulos a, b ∈ R tienen un m´ aximo com´ un divisor d, el cual se puede expresar en la forma

54

CAP´ITULO 6. DOMINIOS DE INTEGRIDAD

d = ra + sb,

r, s ∈ R.

(ii) El elemento a 6= 0 de R es irreducible si, y s´ olo si, hai es maximal. En consecuencia, cada irreducible es primo. (iii) Para cada elemento irreducible p ∈ R y cualesquiera elementos a, b ∈ R se cumple p | ab implica p | a, o, p | b. Demostraci´on. (i) Como R es un DIP , entonces el ideal generado por los elementos a y b es principal y generado por un elemento d ∈ R: ha, bi = hdi. Veamos que d = m.c.d. (a, b). a, b ∈ hdi implica que d | a, d | b. Como d ∈ ha, bi, existen r, s ∈ R tales que d = ra + sb. Si c ∈ R es tal que c | a, c | b, entonces claramente c | d. (ii) ⇒): Por definici´on de irreducible, a ∈ / R∗ , con lo cual hai = 6 R. Sea I un ideal de R que contiene a hai; existe entonces b ∈ R tal que I = hbi ⊇ hai. Resulta entonces que b | a y, por ser a irreducible, b ∈ R∗ o bien b ∼ a. En el primer caso hbi = R y en el segundo caso hbi = hai. Esto prueba que a es maximal. ⇐): Sea a 6= 0 tal que hai es maximal. Entonces, a ∈ / R∗ ; si c ∈ R es tal que c | a, entonces hci ⊇ hai. La maximalidad de hai implica que hci = R, ´o, hci = hai. En el primer caso c ∈ R∗ , y en el segundo c ∼ a. Esto garantiza que a es irreducible. (iii) Sean p un irreducible de R y a, b ∈ R tales que p | ab; seg´ un (ii), hpi es primo con hai hbi = habi ⊆ hpi, es decir, p | a, o, p | b. Definici´ on 6.2.5. Sea R un DI. Se dice que R es un dominio gaussiano (DG) si cada elemento no nulo y no invertible a ∈ R cumple las siguientes condiciones: (i) a tiene una descomposici´on en producto de elementos irreducibles de R: a = p1 · · · pn , pi irreducible de R, 1 ≤ i ≤ n. (ii) Si a posee otra descomposici´ on en irreducibles a = q1 · · · qm , qi irreducible de R, 1 ≤ i ≤ m, entonces m = n y, despu´es de una reordenaci´ on de ´ındices, pi ∼ qi , 1 ≤ i ≤ n. Observaci´ on 6.2.6. De la definici´on anterior se desprende que en un DG dos descomposiciones del elemento a s´olo difieren en un factor invertible. En efecto, seg´ un (i) y (ii) de la definici´on, qi = pi ui , ui ∈ R∗ , 1 ≤ i ≤ n;

6.2. DOMINIOS GAUSSIANOS

55

de aqu´ı resulta entonces que a = q1 · · · qm = p1 u1 · · · pn un = (p1 · · · pn ) u, donde u = u 1 · · · un ∈ R ∗ . Proposici´ on 6.2.7. Sea R un DI en el cual se cumplen la condici´ on (i) de la definici´ on anterior y la condici´on (iii) de la proposici´ on 6.2.4. Entonces, R es un DG. Rec´ıprocamente, en todo DG se cumple la propiedad (iii) de la proposici´ on mencionada. Demostraci´on. La prueba de la primera parte la realizamos por inducci´on sobre el n´ umero n de factores irreducibles que intervienen en la descomposici´on de un elemento a de R, a 6= 0, a ∈ / R∗ . n = 1: sea a = p = q1 · · · qm , donde p, q1 · · · qm son irreducibles de R. Si m ≥ 2, entonces por la irreducibilidad de p se debe tener que q1 = pu con u ∈ R∗ . Ya que R es un DI resulta entonces que 1 = uq2 . . . qm , con lo cual q2 ∈ R∗ . Pero esto es contradictorio, ya que por hip´otesis q2 es irreducible. As´ı pues, m = 1 y p ∼ q1 . Sup´ongase ahora que la condici´on (ii) de la definici´on de DG se cumple para todos los elementos R en cuya descomposici´on aparecen menos de n factores irreducibles, n ≥ 2. Sea a ∈ R descompuesto en dos formas en producto de irreducibles a = p1 · · · pn = q1 · · · qm , pj ,qj irreducibles 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Como p1 | q1 (q2 . . . qm ), entonces p1 | q1 , o, p1 | q2 · · · qm . Resulta entonces que p1 ∼ qi para alg´ un 1 ≤ i ≤ m. Podemos reordenar los irreducibles q1 , . . . , qm y considerar que p1 ∼ q1 . Entonces, p1 · · · pn = (p1 u) q2 · · · qm , p2 · · · pn = (uq2 ) · · · qm , con u ∈ R∗ . Puesto que uq2 , · · · , qm son irreducibles, entonces, aplicando la hip´otesis inductiva, encontramos que n − 1 = m − 1 y p2 ∼ uq2 , . . . , pn ∼ qn . En total p1 ∼ q1 , . . . , pn ∼ qn , y la primera parte de la proposici´on est´a probada. Sea ahora R un DG y sean p, a, b ∈ R tales que p es irreducible y p | ab. Si a = 0, o, b = 0, entonces p | a o p | b y no hay nada m´as que probar. Sean a, b no nulos, podemos asumir tambi´en que a ∈ / R∗ , b ∈ / R∗ . Sean a = p1 . . . pn , b = q1 . . . qm , m, n ≥ 1, las descomposiciones irreducibles de a y b, respectivamente. Entonces, p1 · · · pn q1 · · · qm = pc, c ∈ R. Por la unicidad de las descomposiciones irreducibles existe pi , o, qj tal que p ∼ pi , o, p ∼ qj , es decir, p | a o p | b. Establecemos ahora la relaci´on existente entre los tres tipos de dominios de integridad anteriormente definidos. Teorema 6.2.8. Todo DE es un DIP. Demostraci´on. Sea R un DE con funci´on d y sea I un ideal no nulo de R. Sea d (I) := {d (a) | a ∈ I, a 6= 0}.

56

CAP´ITULO 6. DOMINIOS DE INTEGRIDAD

Puesto que d (I) es un conjunto de enteros no negativos, entonces d (I) tiene un primer elemento d (a0 ) , a0 ∈ I, a0 6= 0. Sea a un elemento cualquiera de I. Entonces, a = ma0 + r, con m, r ∈ R, r = 0, ´o, d (r) < d (a0 ). Por la escogencia de a0 , r debe ser nulo y as´ı, a = ma0 . Esto prueba que I = ha0 i. Si I = 0, entonces I = h0i . Resulta pues que R es un DIP . Teorema 6.2.9. Todo DIP es un DG. Demostraci´on. Teniendo en cuenta las proposiciones 6.2.4 y 6.2.7 probaremos s´olo la parte (i) de la definici´on de DG. N´otese en primer lugar que si R es un DIP entonces cada cadena ascendente de ideales de R ha1 i ⊆ ha2 i ⊆ · · · ⊆ han i ⊆ · · · se detiene, es decir,Sexiste un n natural tal que hak i = han i, para cada k ≥ n. En efecto, la reuni´onS i∈N hai i es un ideal de R y por tanto, generado por un cierto elemento a ∈ R, i∈N hai i = hai . S Existe entonces un n ∈ N tal que a ∈ han i; de aqu´ı resulta que hai ⊆ han i ⊆ hai y i∈N hai i = han i. Para k ≥ n, hak i ⊇ han i ⊇ hak i, es decir, hak i = han i, k ≥ n. Supongamos ahora que existe en R un elemento no nulo y no invertible a que no tiene descomposici´on en producto de elementos irreducibles. L´ogicamente a no es irreducible (en caso contrario se tendr´ıa la descomposici´on trivial a = a). Existen entonces a1 , b1 ∈ R no nulos y no invertibles tales que a = a1 b1 . N´otese que hai est´a contenido propiamente en ha1 i. Al menos uno de a1 , b1 no es producto de elementos irreducibles, sea por ejemplo a1 . Aplicando al elemento a1 el mismo razonamiento que para a resulta una cadena infinita de ideales hai

ha1 i

ha2 i

...

la cual no se detiene, contradiciendo lo probado al principio de esta demostraci´on. La finitud de las cadenas ascendentes de ideales principales introducida en la prueba del teorema 6.2.9 puede ser caracterizada en t´erminos de maximalidad, como veremos a continuaci´on. Proposici´ on 6.2.10. Sea R un anillo conmutativo. Entonces, en R cada cadena ascendente de ideales se detiene si, y s´ olo si, en cada colecci´ on no vac´ıa de ideales de R hay un elemento maximal. Demostraci´on. Sean C una colecci´on no vac´ıa de ideales de R e I1 ∈ C. Si I1 es maximal en C no hay nada que probar. Sea entonces I2 ∈ C tal que I1 ⊂ I2 . Si I2 es maximal en C el proceso de b´ usqueda se detiene. En caso contrario continuamos y obtenemos una cadena ascendente de ideales de R. Seg´ un la hip´otesis, el proceso debe detenerse, y en C hay un elemento maximal. De otra parte, si existe una cadena ascendente de ideales de R que no se detiene

57

6.2. DOMINIOS GAUSSIANOS

I1

I2

···

In

In+1

···

entonces en la colecci´on C := {Ii }i∈N no hay un elemento maximal. Los DG se pueden caracterizar en t´erminos de los elementos primos. Proposici´ on 6.2.11. (i) En un DG cada irreducible p es primo, es decir, primos e irreducibles coinciden. (ii) Si R es un DI, entonces R es un DG si, y s´ olo si, cada elemento no nulo y no invertible de R es producto finito de elementos primos de R. Demostraci´on. (i) Sean a, b ∈ R tales que ab ∈ hpi. Entonces, ab = pm, m ∈ R; descomponiendo a, b, m en factores irreducibles y teniendo en cuenta la unicidad de la descomposici´on encontramos que p | a, o, p | b, en otras palabras, p es primo. (ii) ⇒): Esto es consecuencia directa de (i). ⇐): Puesto que todo primo es irreducible, s´olo se debe probar la unicidad de cada descomposici´on irreducible. Pero de acuerdo con la proposici´on 6.2.7, esto es equivalente a la condici´on (iii) de la prop´osici´on 6.2.4. Sean p irreducible y a, b ∈ R tales que p | ab; si a = 0, o, b = 0 no hay nada que probar. Adem´as, a ∈ / R∗ y b∈ / R∗ . Sea m ∈ R tal que ab = pm. Podemos descomponer a y b en factores primos a1 · · · an b1 · · · bl = pm. Entonces, pm ∈ ha1 i, con lo cual p ∈ ha1 i, o, m ∈ ha1 i. En el primer caso, como p es irreducible, a1 ∼ p y p | a1 . En el segundo existe n1 ∈ R tal que m = a1 n1 , de donde a2 · · · an b1 · · · bl = pn1 . Podemos repetir el razonamiento anterior hasta concluir que p | a, o, p | b. Esto completa la prueba. Ejemplo 6.2.12. Seg´ un los resultados de la presente secci´on se tienen las siguientes relaciones de contenencia: DE

DIP

DG

DI

Anillos conmutativos.

Adem´as, (i) Si n ≥ 2 y n no es primo, entonces Zn es un anillo conmutativo que no es DI. √  (ii) Z −3 es un DI que no es DG: 4=2·2= 1+

√


√
−3 1 − −3 ,

√  √ √ 2, 1+ −3, 1− −3 son irreducibles no asociados de Z −3 (v´ease el ejemplo 6.1.7) (iii) M´as adelante se mostrar´a que el anillo de polinomios con coeficientes enteros, Z [x], es un DG que no es un DIP . (iv) Los ejemplos de DIP que no son euclidianos no son de f´acil construcci´on. Uno de tales ejemplos puede ser consultado en [2].

58

6.3.

CAP´ITULO 6. DOMINIOS DE INTEGRIDAD

Ejercicios

√ 1. Demuestre que Z[ −5] no es un DIP . 2. Un dominio de integridad R se dice que es GCD, si cada par de elementos no nulos tiene m´aximo com´ un divisor. Sea R un dominio GCD y sean a, b elementos no nulos de R tales que m.c.d.(a, b) = 1. Demuestre que m.c.m.(a, b) existe y coincide con ab. 3. Demuestre que en un DG cada par de elementos no nulos tiene m´aximo com´ un divisor y m´ınimo com´ un m´ ultiplo. En consecuencia, todo DG es GCD. 4. Sea R un dominio GCD y sean a, b, d, x, y ∈ R tales que d = m.c.d.(a, b), a = dx, b = dy. Demuestre que m.c.d.(x, y) = 1. 5. Sea R un DI. Demuestre que R es GCD si, y s´olo si, para cada par de elementos a, b ∈ R se tiene que hai ∩ hbi es principal.

Cap´ıtulo 7 Anillos de fracciones: caso conmutativo La construcci´on del cuerpo Q de los n´ umeros racionales por medio de una relaci´on de equivalencia definida sobre el producto cartesiano Z× (Z− {0}) puede ser generalizada a un DI arbitrario R, obteni´endose el llamado cuerpo de fracciones del dominio R. Esta situaci´on puede ser ampliada a anillos conmutativos cualesquiera, no siendo necesariamente el nuevo objeto contru´ıdo un cuerpo. En este cap´ıtulo nos ocuparemos de esta construcci´on.

7.1.

Construcci´ on y propiedades

Definici´ on 7.1.1. Sean R un anillo conmutativo y S un subconjunto no vac´ıo de R. Se dice que S es un subconjunto multiplicativo de R si: (i) Para cualesquiera elementos s, t ∈ S su producto st est´ a en S. (ii) 0 ∈ / S. (iii) 1 ∈ S. Proposici´ on 7.1.2. Sea R un anillo conmutativo y S un subconjunto multiplicativo de R. La relaci´on ≡ definida en el conjunto R × S por (a, s) ≡ (b, t) ⇔ (∃u ∈ S) (atu = bsu)

(7.1.1)

con a, b ∈ R, s, t ∈ S, es de equivalencia. Demostraci´on. Las propiedades reflexiva y sim´etrica de ≡ son evidentes. Sean (a, s), (b, t) , (c, r) ∈ R × S, tales que (a, s) ≡ (b, t) y (b, t) ≡ (c, r). Existen entonces elementos u, v ∈ S tales que atu = bsu y brv = ctv. De estas igualdades resultan 59

60

CAP´ITULO 7. ANILLOS DE FRACCIONES: CASO CONMUTATIVO

aturv = bsurv y brvus = ctvus; en vista de la conmutatividad obtenemos ar (vtu) = cs (vtu), con lo cual (a, s) ≡ (c, r) ya que vtu ∈ S. La relaci´on determina una partici´on del conjunto R×S en clases de equivalencia. Denotemos por as la clase que contiene a la pareja (a, s) y mediante RS −1 al conjunto de todas las clases as´ı conformadas. Teorema 7.1.3. En el conjunto RS −1 las operaciones a b at + bs a b ab + := , := s t st st st

(7.1.2)

definen una estructura de anillo conmutativo, denominado anillo de fracciones de R respecto de S. Demostraci´on. Teniendo en cuenta que estamos trabajando con clases de equivalencia, debemos verificar inicialmente que las operaciones est´an definidas correca1 a2 b 1 b 2 a1 a2 b1 b2 tamente. Sean , , , fracciones tales que = y = . Entonces s1 s2 t1 t2 s1 s2 t1 t2 existen elementos u, v ∈ S tales que a1 s2 u = a2 s1 u, b1 t2 v = b2 t1 v. De aqu´ı resulta va1 s2 ut1 t2 = va2 s1 ut1 t2 y ub1 t2 vs1 s2 = ub2 t1 vs1 s2 ; sumando obtenemos a1 b1 a2 b2 (a1 t1 s2 t2 + b1 t2 s1 s2 ) vu = (a2 s1 t1 t2 + b2 t1 s1 s2 ) vu, con lo cual + = + , s1 t1 s2 t2 a1 b 1 a2 b 2 ya que vu ∈ S. De manera similar se establece que = . De otra parte, s1 t1 s2 t2 las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de las operaciones definidas en (7.1.2), se desprenden de las respectivas propiedades de las operaciones del anillo R. La verificaci´on completa de dichas propiedades queda a cargo del lector. N´otese que el cero y el uno del anillo RS −1 son las fracciones 01 y 11 , respectivamente. Por . u ´ltimo, obs´ervese que − as = −a s De la construcci´on anterior se obtienen las siguientes propiedades. Corolario 7.1.4. La funci´on ψ : R −→ RS −1 a a 7−→ 1 cumple las siguientes propiedades: (i) ψ es un homomorfismo de anillos. ∗

(ii) ψ (S) ⊆ (RS −1 ) . (iii) ψ (a) = 0 ⇔ au = 0, para alg´ un u ∈ S. (iv) Cada elemento de RS −1 tiene la forma

(7.1.3)

´ Y PROPIEDADES 7.1. CONSTRUCCION

61

ψ (a) ψ (s)−1 , a ∈ R, s ∈ S. (v) ψ es inyectiva ⇔ S no posee divisores de cero. (vi) ψ es biyectiva ⇔ S ⊆ R∗ . a+b a b ab ab Demostraci´on. (i) ψ (a + b) = = + = ψ (a) + ψ (b); ψ (ab) = = = 1 1 1 1 11 1 ψ (a) ψ (b); ψ (1) = . 1 s s 1 1 1 ∗ (ii) Sea s ∈ S, ψ (s) = y · = , es decir, ψ (s) ∈ (RS −1 ) con ψ (s)−1 = . 1 1 s 1 s 0 a (iii) ψ (a) = 0 ⇐⇒ = ⇐⇒ au = 01 = 0, para alg´ un u ∈ S. 1 1 a a1 a (iv) Sea ∈ RS −1 ; entonces = = ψ (a) ψ (s)−1 . s s 1s (v) Es equivalente a (iii). (vi) Evidente. Seg´ un el corolario anterior, no se puede considerar en general que R se sumerja en el anillo de fracciones RS −1 . De otra parte, vale la pena preguntarse sobre la unicidad del anillo construido. Respondemos a esta pregunta con las siguientes propiedades. Teorema 7.1.5 (Propiedad universal). Sea g : R −→ R0 un homomorfismo de anillos tal que g (S) ⊆ R0∗ . Entonces, existe un u ´nico homomorfismo −1 h : RS −→ R0 tal que h ◦ ψ = g. Adem´ as, si g es inyectivo, entonces h tambi´en es inyectivo. Demostraci´on. Existencia. Definimos
h as := g (a) g (s)−1 , a ∈ R, s ∈ S. a1 a2 Veamos primero que h est´a bien definida. Si = , entonces existe u ∈ S tal s1 s2 ∗ que a1 s2 u = a2 s1 u, de aqu´ı resulta g (a1 ) g (s2 ) = g (a2 ) g (s1 ), ya que  R0 .  g (u) ∈ Podemos entonces escribir g (a1 ) g (s1 )−1 = g (a2 ) g (s2 )−1 , es decir, h as11 = h as22 . h es un homomorfismo de anillos:  h

a b + s t



 =h

at + bs st



= g (at + bs) g (st)−1

= (g (a) g (t) + g (b) g (s)) g (s)−1 g (t)−1 = g (a) g (s)−1 + g (b) g (t)−1   a b =h +h ; s t

62

CAP´ITULO 7. ANILLOS DE FRACCIONES: CASO CONMUTATIVO

 h

ab st



= g (a) g (b) g (s)−1 g (t)−1 a b =h h ; s t

  1 h = g (1) g (1)−1 = 1. 1
Sea ahora a ∈ R; h ◦ ψ (a) = h a1 = g (a),es decir, h ◦ ψ = g. Unicidad. Sea f : RS −1 −→ R0 un homomorfismo tal que f ◦ ψ = g. Sea x un elemento de RS −1 ; entonces x = ψ (a) ψ (s)−1 , con a ∈ R, s ∈ S. De aqu´ı resulta
f (x) = f (ψ (a)) f ψ (s)−1 = g (a) g (s)−1 = h( as ) = h(x), as´ı, f = h.
Por u ´ltimo notemos que si h as = 0, entonces g (a) g (s)−1 = 0, es decir, g (a) = 0; como g es inyectiva, a = 0 y as = 0. Corolario 7.1.6. Si el anillo R puede sumergirse en el anillo de fracciones RS −1 (es decir, R ⊆ RS −1 ), entonces RS −1 es el menor anillo que contiene R en el cual todos los elementos de S son invertibles. Demostraci´on. Consecuencia directa del teorema anterior. Corolario 7.1.7. Sea R0 un anillo y g : R −→ R0 un homomorfismo tal que g (S) ⊆ R0∗ y R0 tambi´en cumple la propiedad universal del teorema 7.1.5. Entonces, R0 ∼ = RS −1 . Demostraci´on. Como RS −1 tiene la propiedad universal, existe un homomorfismo h : RS −1 → R0 tal que hψ = g (teorema 7.1.5), de igual manera, como R0 tambi´en tiene la propiedad universal, entonces existe un homomorfismo t : R0 → RS −1 tal que tg = ψ. De esta manera se tiene que (ht)g = g y (th)ψ = ψ, luego por la unicidad en la propiedad universal resulta ht = iR0 y th = iRS −1 , es decir, h es un isomorfismo. Observaci´ on 7.1.8. Los anillos de fracciones pueden presentarse en el orden inverso al dado aqu´ı. M´as exactamente, sean R un anillo conmutativo y S un subconjunto multiplicativo de R. Se dice que R tiene un anillo de fracciones respecto de S, si existe un anillo conmutativo B y una funci´on ψ : R −→ B tal que se cumplen las condiciones (i)-(iv) del corolario 7.1.4. En tal caso se dice que B es un anillo de fracciones de R con respecto a S. El teorema 7.1.3 y el siguiente resultado prueban la existencia y unicidad de tales anillos de fracciones. Teorema 7.1.9. Sean R0 un anillo y g : R −→ R0 una funci´on que satisface las condiciones (i)-(iv) del Corolario 7.1.4. Entonces, existe un u ´nico isomorfismo h : RS −1 −→ R0 tal que h ◦ ψ = g, donde ψ es el homomorfismo definido en (7.1.3).

63

7.2. EJEMPLOS

Demostraci´on. Por el teorema 7.1.5, existe un u ´nico homomorfismo h : RS −1 −→ R0 tal que
h ◦ ψ = g. Resta ver que h es un isomorfismo. Sean a ∈ R, s ∈ S tales que h as = 0. Entonces, g (a) g (s)−1 = 0 y as´ı g (a) = 0. Existe entonces u ∈ S tal que au = 0 y as = 01 . Sea ahora x ∈ R0 ; x puede escribirse en la forma x = g (a) g (s)−1 , con a ∈ R, s ∈ S. De aqu´ı resulta


x = h ◦ ψ (a) (h ◦ ψ (s))−1 = h a1 h 1s = h as , con lo cual h es inyectivo y sobreyectivo.

7.2.

Ejemplos

Terminamos este cap´ıtulo ilustrando con suficientes ejemplos la construcci´on realizada. Ejemplo 7.2.1. Anillo total de fracciones: sean R un anillo conmutativo y S0 := {a ∈ R| a no es divisor de cero} ;

(7.2.1)

n´otese que S0 es un subconjunto multiplicativo de R y, seg´ un el corolario 7.1.4, R −1 se puede sumergir en Q(R) := RS0 . Si S0 es como en (7.2.1), Q(R) se denomina el anillo total de fracciones, o tambi´en, anillo cl´ asico de fracciones del anillo R y, seg´ un el corolario 7.1.6, es el menor anillo que contiene a R en el cual todos los elementos de S0 son invertibles. Ejemplo 7.2.2. Cuerpo de fracciones de un DI: si R es un dominio de integridad, entonces el conjunto S0 definido en (7.2.1) es S0 = R − {0}. El anillo cl´asico de fracciones Q(R) en este caso es un cuerpo. N´otese adem´as que Q(R) es el menor cuerpo que contiene a R. Notemos en particular que Q(Z) = Q. Resulta entonces de lo dicho que, salvo isomorfismo, Q es el menor cuerpo que contiene a Z. Por u ´ltimo, obs´ervese que si R es un DI y S0 = R − {0}, entonces en la relaci´on (7.1.1) podemos suprimir u, y escribir sencillamente at = bs. Ejemplo 7.2.3. Lozalizaci´ on por ideales primos: sea R un anillo conmutativo y sea P un ideal primo de R. El conjunto S := R−P es un subconjunto multiplicativo de R y podemos contruir el anillo de fracciones, el cual denotaremos por RP :  RP = as | a ∈ R, s ∈ /P . El anillo de fracciones RP es local (v´ease el ejemplo 5.2.7). En efecto, el conjunto  P RP := as | a ∈ P, s ∈ /P es un ideal de RP que cumple P RP = RP − RP∗ . Como P RP es maximal, RP /P RP es un cuerpo, el cual es isomorfo al cuerpo de fracciones del dominio R/P . En efecto, la funci´on definida por

64

CAP´ITULO 7. ANILLOS DE FRACCIONES: CASO CONMUTATIVO

g : R/P −→ RP /P RP r r 7−→ 1 donde r = r + P ,

r 1

=

r 1

+ P RP , r ∈ R, cumple las condiciones del teorema 7.1.9.

Ejemplo 7.2.4. Ideales de RS −1 : sean R un anillo conmutativo, S un subconjunto multiplicativo de R y RS −1 el anillo de fracciones de R respecto de S. Entonces, los ideales de RS −1 son de la forma na o IS −1 := ∈ RS −1 | a ∈ I, s ∈ S (7.2.2) s donde I es un ideal de R: es evidente que si I es un ideal de R, entonces el conjunto IS −1 es un ideal de RS −1 . De otra parte, si J es un ideal de RS −1 , entonces o n a (7.2.3) I := a ∈ RS −1 | ∈ J 1 es un ideal de R tal que J = IS −1 . En efecto, I es claramente un ideal; sea ab ∈ J, entonces as 1s = a1 ∈ J, con lo cual a ∈ I y as ∈ IS −1 . Rec´ıprocamente, si as ∈ IS −1 con a ∈ I, entonces a1 ∈ J, a1 1s ∈ J, es decir, as ∈ J, y la igualdad T est´a probada. −1 Notemos adicionalmente que IS es propio si, y s´olo si, I S = ∅; adem´as, si I1 ⊆ I2 , entonces I1 S −1 ⊆ I2 S −1 . Tambi´en, si R es un DI, entonces RS −1 es un DI, y si R es un DIP , entonces RS −1 es un DIP :

 IS −1 = hai S −1 = a1 . Ejemplo 7.2.5. Sean R un anillo conmutativo, S un subconjunto multiplicativo de R e I un ideal de R tal que I∩S = ∅. Entonces, IS −1 definido como en (7.2.2) es un ideal propio de RS −1 . N´otese que entonces se tiene el isomorfismo −1 RS −1 /IS −1 ∼ =RS ,

(7.2.4)

donde R := R/I, S := {x = x + I| x ∈ S}. En efecto, obs´ervese que S es un subconjunto multiplicativo de R; adem´as, la correspondencia g : R −→ RS −1 /IS −1 a a 7−→ , 1 donde a = a + I, a1 = a1 + IS −1 , a ∈ R, satisface las hip´otesis del teorema 7.1.9, resultando as´ı el isomorfismo (7.2.4).

7.2. EJEMPLOS

65

Ejemplo 7.2.6. Ideales primos de RS −1 : existe una correspondencia biyectiva entre los ideales primos de RS −1 y los ideales primos de R que tienen intersecci´on vac´ıa con S. En efecto, sea P un ideal primo de R tal que P ∩ S = ∅. Entonces sabemos que P S −1 es propio; adem´as sean ar , sb ∈ RS −1 tales que ar sb ∈ P S −1 , entonces ab = ct con c ∈ P y existe u ∈ S tal que abtu = crsu ∈ P ; de aqu´ı resulta rs ab ∈ P , o, tu ∈ P ; pero como tu ∈ S entonces ab ∈ P , con lo cual a ∈ P , o, b ∈ P , es decir, ar ∈ P S −1 , o, sb ∈ P S −1 . Resulta as´ı que P S −1 es primo. De otra parte, si P1 , P2 son ideales primos de R tales que P1 ∩ S = ∅ = P2 ∩ S con P1 S −1 = P2 S −1 , entonces P1 = P2 . En efecto, si a ∈ P1 , entonces a1 ∈ P1 S −1 = P2 S −1 ; existe pues b ∈ P2 , s ∈ S tales que a1 = sb , de donde asu = bu, para un cierto u ∈ S. Resulta entonces asu ∈ P2 y, por ser este u ´ltimo primo y tener intersecci´on vac´ıa con S, entonces a ∈ P2 y as´ı P1 ⊆ P2 . La otra inclusi´on se prueba de manera an´aloga. Resta demostrar que cada ideal primo de RS −1 es de la forma P S −1 , con P primo de R y P ∩ S = ∅. Sea J un ideal primo de RS −1 ; seg´ un lo establecido en el ejemplo −1 7.2.4, J es de la forma P S , donde P es como en (7.2.3). Notemos que P ∩ S = ∅, ya que en caso contrario J no ser´ıa propio. Sean a, b ∈ R tales que ab ∈ P , entonces ab ∈ J, es decir, a1 ∈ J, o, 1b ∈ J, con lo cual a ∈ P , o, b ∈ P , con lo cual P primo. 1 Esto completa la prueba sobre la correspondencia biyectiva. Ejemplo 7.2.7. Sean R1 , . . . , Rn anillos conmutativos con sistemas multiplicativos S1 , . . . , Sn respectivamente. Entonces, S := S1 ×· · ·×Sn es un sistema multiplicativo de R := R1 × · · · × Rn , y adem´as RS −1 ∼ = R1 S1−1 × · · · × Rn Sn−1 . Consideremos en particular que para cada 1 ≤ i ≤ n, Ri es un DI. Entonces, para Si := Ri − 0, 1 ≤ i ≤ n, se tiene que S1 × · · · × Sn coincide con el conjunto de elementos de R que no son divisores de cero, y por lo tanto, Q (R1 × · · · × Rn ) ∼ = Q(R1 ) × · · · × Q(Rn ), donde Q(Ri ) es el cuerpo de fracciones de Ri , 1 ≤ i ≤ n. As´ı por ejemplo, Q (Z × · · · × Z) ∼ = Q × · · · × Q. Ejemplo 7.2.8. Sean R un anillo conmutativo, X un conjunto no vac´ıo y RX el anillo de funciones definido en el ejemplo 1.1.6. Sea adem´as S un subconjunto multiplicativo de R. Entonces, el conjunto  S X := f ∈ RX | f (X) ⊆ S es un subconjunto multiplicativo de RX tal que
−1 X ∼ RX S X = (RS −1 ) .

66

CAP´ITULO 7. ANILLOS DE FRACCIONES: CASO CONMUTATIVO

La verificaci´on de estas afirmaciones es rutinaria y se deja a cargo del lector. Consideremos en particular el anillo cl´asico de fracciones RX cuando R es un dominio de integridad. Si S0 = R − 0, entonces S0X es el conjunto de los elementos de RX que no son divisores de cero, y por lo tanto,
Q RX ∼ = Q(R)X , donde Q(R) es el cuerpo de fracciones de R. En particular,



Q ZN ∼ = QN , Q QN ∼ = QN , Q RN ∼ = R N , Q CN ∼ = CN . √  √  Ejemplo 7.2.9. Cuerpo de fracciones de Z −3 : el anillo Z −3 fu´e definido en el ejemplo 6.1.7, y se prob´o que es un DI. Su cuerpo de fracciones es el conjunto √   √ Q −3 = x + y −3 | x, y ∈ Q . En efecto, consideremos la funci´on √  g: Z √ −3 −→ a + b −3 7−→

√  Q √ −3 ; a b + 1 −3 1

g es claramente un homomorfismo inyectivo de anillos; adem´as, para cualesquiera √ a b enteros no nulos a, b, el complejo 1 + 1 −3 es no nulo y su inverso satisface a a2 +3b2

+

b a2 +3b2

√

−3 ∈ Q

√

 −3 .

√  √ Por u ´ltimo obs´ervese que cada elemento ar + sb −3 ∈ Q −3 se escribe en la forma √ √
rs rs √
−1 as+br −3 1 + 1 −3 , + sb −3 = as−3·rb + √ √1
1 √

√
−1 a b + s −3 = g as − br −3 + as + br −3 g rs + rs −3 . r √  √  Seg´ un el teorema 7.1.9 Q −3 es isomorfo al cuerpo de fracciones de Z −3 . a r

Ejemplo 7.2.10. Anillo cl´asico de fracciones de Zn , n ≥ 2: n´otese que en Zn el sistema S0 definido en (7.2.1) coincide con Z∗n . En efecto, es claro que si x ∈ Z∗n entonces x ∈ S0 . Rec´ıprocamente, si x ∈ / Z∗n , entonces seg´ un el ejemplo 1.1.12 existe 2 ≤ d ≤ n tal que d divide a x y d divide a n. Sean entonces 1 ≤ r, s ≤ n − 1, / S0 . x = dr, n = ds. Resulta de aqu´ı que xs = 0 y x ∈ La funci´on id´entica iZn :

Zn

−→

Zn

satisface las hip´otesis del teorema 7.1.9, y por lo tanto, Q (Zn ) ' Zn .

7.3. EJERCICIOS

7.3.

67

Ejercicios

1. Sea R un DI y sea K su cuerpo de fracciones. Sea P un ideal primo de R. Demuestre que el cuerpo de fracciones de RP es isomorfo a K. 2. Sean R un anillo conmutativo, Spec(R) la colecci´on de ideales primos de R, denominada el espectro primo de R, S un sistema multiplicativo de R y P ∈ Spec(R) tal que P ∩ S = ∅. Entonces, (RS −1 )P S −1 ∼ = RP . 3. Sean S, T dos sistemas multiplicativos de un DI R. Demuestre que ST := {st|s ∈ S, t ∈ T } es un sistema multiplicativo de R y que adem´as R(ST )−1 ∼ = −1 −1 −1 (RS )T , considerando la imagen natural de T en RS . En particular, si S ⊆ T , entonces (RS −1 )T −1 ∼ = RT −1 . Adem´as, si Q ⊆ P son dos ideales primos de R, entonces RQ ∼ / P } es un = (RP )QRP , donde QRP := { ua |a ∈ Q, u ∈ ideal primo de RP . 4. Sean I, J ideales de un anillo conmutativo R y sea S un sistema multiplicativo de R. Demuestre que: (i) (I + J)S −1 = IS −1 + JS −1 . (ii) (I ∩ J)S −1 = IS −1 ∩ JS −1 . (iii) (IJ)S −1 = IS −1 JS −1 . (iv) Si J es finitamente generado. Demuestre que (I : J)S −1 = (IS −1 : JS −1 ). 5. Sea R un dominio de integridad y sea Q(R) su cuerpo de fracciones. Demuestre que si f : R → R un automorfismo del anillo R, es decir, un isomorfismo de R en R, entonces f se extiende de manera u ´nica a un automorfismo de Q(R). 6. Calcule Q(Zn ) para cada n ≥ 2. 7. Sea R un dominio de integridad y sea Q(R) su cuerpo de fracciones. Demuestre que: (i) Si P es un ideal maximal de R, entonces el anillo local RP se puede sumergir en Q(R). T (ii) P maximal de R RP = R.

Cap´ıtulo 8 Polinomios y series En los cursos elementales de ´algebra los polinomios son considerados como “expresiones algebraicas”en la forma a (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , donde a0 , . . . , an son por ejemplo n´ umeros reales o complejos. Aprendimos a sumar y multiplicar polinomios con reglas sencillas: la suma de dos polinomios p (x) y q (x) da como resultado un tercer polinomio, los coeficientes del cual se determinan sumandos los coeficientes de p (x) y q (x) correspondientes a t´erminos en x con igual exponente. As´ı por ejemplo, p (x) = 5 + 4x + x3 , q (x) = −4 + 3x + x2 + 5x3 p (x) + q(x) = (5 − 4) + (4 + 3) x + (0 + 1) x2 + (1 + 5) x3 = 1 + 7x + x2 + 6x3 . Para la multiplicaci´on es utilizada una propiedad distributiva y una regla simple de exponentes xk xt = xk+t . Adem´as, para efectos de c´alculo se supone que la “indeterminada”x conmuta con los coeficientes: ax = xa. Esta manera de efectuar operaciones con polinomios y de hablar de distributividad, conmutatividad, potenciaci´on, etc., hace pensar sobre la posibilidad de estudiar los polinomios desde un punto de vista estructural.

8.1.

El anillo de series

Proposici´ on 8.1.1. Sean A un anillo y S el conjunto de sucesiones en A, S := {(a0 , a1 , a2 , . . .) := (ai ) | ai ∈ A, i = 0, 1, 2, . . .}. Entonces, las operaciones de adici´ on y multiplicaci´ on definidas en S por: 68

8.1. EL ANILLO DE SERIES

69

a = (ai ), b = (bi ), a + b := c = (ci ) , ciP := ai + bi , i = 0, 1, 2, . . . ab := d = (di ), di := j+k=i aj bk , i = 0, 1, 2, . . . dan a S una estructura de anillo (dos sucesiones son iguales si, y s´ olo si, ai = bi , para cada i = 0, 1, 2, . . .). Demostraci´on. La asociatividad de la adici´on de sucesiones formales es consecuencia de la asociatividad de la adici´on en A. El cero de S es la sucesi´on nula 0 := (0, 0, . . .) la opuesta de a = (ai ) es −a := (−ai ). Sean ahora a = (ai ), b = (bi ), c = (ci ) elementos cualesquiera de S. Entonces P (ab) c = dc = f , dondePf = (fi ), fi = i=j+k dj ck , d = (dj ), dj = P P j=r+s ar bs , es decir, P fi = i=r+s+k (ar bs ) ck = i=r+s+k ar (bs ck ) = i=r+s+k ar bs ck . De otra parte, P a (bc) = ag = h,P donde h = (hi ), hi = i=t+l at gl , es decir, P gl = l=m+n bm cn ,P hi = i=t+m+n at (bm cn ) = i=t+m+n at bm cn . Esto muestra que (ab) c = a (bc). Es f´acil comprobar que el uno de S es la sucesi´on 1 := (1, 0, 0, . . .) y que el producto se distribuye sobre la adici´on. Definici´ on 8.1.2. El anillo S de la proposici´ on anterior se denomina anillo de sucesiones formales en A. N´otese que los elementos del anillo S coinciden con los del anillo AN0 , N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}, definido en el primer cap´ıtulo. Sin embargo, los productos considerados en cada caso son diferentes y dichos anillos son por lo tanto distintos. Corolario 8.1.3. El anillo S de sucesiones formales es conmutativo si, y s´ olo si, A es un anillo conmutativo. Demostraci´on. ⇒): Sean z, y elementos de A. Entonces, (z, 0, 0, . . .) (y, 0, 0, . . .) = (y, 0, 0, . . .) (z, 0, 0, . . .), es decir, (zy, 0, 0, . . .) = (yz, 0, 0, . . .), luego zy = yz. ⇐): Sean a = (ai ), b = (bi ) sucesiones de S. Entonces

70

CAP´ITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

ab = c = (ci ), ci =

P

j+k=i

aj bk =

P

j+k=i bk aj

= di ,

donde d = (di ) = ba ,es decir, ab = ba. La prueba anterior pone de manifiesto que el anillo A puede sumergirse en su anillo de sucesiones formales. Corolario 8.1.4. La funci´on ι:

A a

−→ 7−→

S (a, 0, 0, . . .)

es un homomorfismo inyectivo. Demostraci´on. Evidente.

8.2.

El anillo de polinomios

En el anillo S se destacan de manera especial las sucesiones que tienen un n´ umero finito de t´erminos no nulos. Definici´ on 8.2.1. Se dice que la sucesi´ on a = (a0 , a1 , a2 , . . .) es un polinomio si existe un entero n tal que ai = 0 para i > n. Sea a un polinomio no nulo, se denomina grado del polinomio a al mayor entero n tal que an 6= 0, y se denota por gr (a). Los polinomios de grado 0 se denominan constantes. Observaci´ on 8.2.2. La sucesi´on nula es un polinomio sin grado. Si a es un polinomio de grado n, entonces an+k = 0 para k ≥ 1: a = (a0 , a1 , . . . , an , 0, . . .). Los elementos a0 , a1 , . . . , an se denominan coeficientes del polinomio a; a0 se denomina coeficiente independiente de a. El elemento an se denomina el coeficiente principal de a y se denota por lc(a). Proposici´ on 8.2.3. Sea S el anillo de sucesiones formales en el anillo A. El conjunto P de polinomios de S es un subanillo de S. Demostraci´on. 1 = (1, 0, 0, . . .) ∈ P ; si a = (ai ), b = (bi ) son polinomios, entonces existen enteros m, k tales que ai = 0 para i > m y bi = 0 para i > k. Sean c := a + b y d := ab. Entonces, para i > m´ax {m, k} ci = 0 y di = 0 para i > m + n, es decir, c, d ∈ P . Queremos ahora presentar los polinomios en su forma habitual de sumas finitas. Si x denota la sucesi´on:

8.2. EL ANILLO DE POLINOMIOS

71

x := (0, 1, 0, . . .) entonces x2 = (0, 0, 1, 0, . . .) x3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . .) .. . xn = (0, . . . , 0, 1, 0 . . .) Adem´as, podemos identificar los polinomios constantes en la forma (a0 , 0, . . .) := a0 , a0 ∈ A, y un polinomio de grado n se escribir´a a (x) := (a0 , a1 , . . . , an , 0, . . .) = a0 + a1 x + · · · + an xn . El conjunto P de los polinomios en x con coeficientes en A ser´a denotado por A [x]. Al anillo S de sucesiones lo denotaremos por A [[x]]. Observaci´ on 8.2.4. (i) Las reglas del ´algebra elemental a trav´es de las cuales aprendimos a sumar y a multiplicar polinomios pueden ser ahora plenamente justificadas. Por ejemplo, para cada a ∈ A: ax = (a, 0, . . .) (0, 1, 0, . . .) = (0, a, 0, . . .) = xa. De otra parte, n´otese que el s´ımbolo x para el polinomio (0, 1, 0, . . .) puede ser cambiado por otra letra o signo. La funci´on del corolario 8.1.4 puede redefinirse de A en A [x], es decir, A ,→ A[x] ,→ A[[x]]. Notemos queP cada elemento a = (ai ) ∈ A[[x]] puede escribirse como una serie i a = a((x)) = ∞ i=0 ai x , y las operaciones que hemos definido en A[[x]] corresponden a la suma y producto de series que se estudian en los cursos de c´alculo. Por esta raz´on, el anillo A[[x]] se conoce tambi´en como el anillo de series formales en A. (ii) Los anillos de series y polinomios en varias variables se pueden definir en forma recurrente de la siguiente manera: A[[x, y]] := A[[x]][[y]], A[[x1 , . . . , xn ]] := A[[x1 , . . . , xn−1 ]][[xn ]], A[x, y] := A[x][y], A[x1 , . . . , xn ] := A[x1 , . . . , xn−1 ][xn ].

72

CAP´ITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

8.3.

Propiedades elementales

Proposici´ on 8.3.1. Sea A un anillo cualquiera. Entonces (i) Para cualesquiera polinomios no nulos a (x), b(x) ∈ A [x] tales que a (x) + b(x) 6= 0, se cumple que: gr (a (x) + b(x)) ≤ m´ax {gr (a (x)) , gr (b(x))}. Para a (x) b(x) 6= 0 se tiene tambi´en que gr (a (x) b(x)) ≤ gr (a (x)) + gr (b(x)). Si A no tiene divisores de cero, entonces en la u ´ltima relaci´ on se cumple la igualdad. (ii) A es un dominio si, y s´olo si, A [[x]] es un dominio si, y s´ olo si, A [x] es un dominio. (iii) Si A es un dominio, A [x]∗ = A∗ . (iv) A [[x]]∗ = {a = (a0 , a1 , . . .) | a0 ∈ A∗ }. Demostraci´on. (i) Basta repetir las ideas expuestas en la prueba de la proposici´on 8.2.3. Sea n = gr (a (x)), m = gr (b (x)). Entonces, para i > m´ax {m, n}, ai + bi = 0, con lo cual se establece la primera desigualdad. An´alogamente, para i > m + n, P di = 0, con d = (di ) = ab, di = a b . j+k=i j k Con esto se prueba la segunda desigualdad. N´otese que si A no posee divisores de cero, entonces dn+m = an bm 6= 0, con lo cual queda probado el punto (i). (ii) Sean a = (a0 , a1 , . . .) y b = (b0 , b1 , . . .) sucesiones no nulas de A [[x]]. Sea r el menor entero tal que ar 6= 0 y sea s el menor entero tal que bs 6= 0. Sea c = (ci ) = ab, entonces P cr+s = j+k=r+s aj bk = ar bs 6= 0, es decir, ab 6= 0. Es claro que si A [[x]] no tiene divisores de cero, entonces A [x] tampoco tiene divisores de cero. De igual manera, si A [x] no tiene divisores de cero, entonces A no posee divisores de cero ya que A est´a sumergido en A [x]. (iii) Sea a (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn ∈ A [x]∗ . Entonces, existe un polinomio b (x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm ∈ A [x]

73

8.3. PROPIEDADES ELEMENTALES

tal que a (x) b (x) = 1. Del punto (i) resulta que gr (a (x)) = 0 = gr (b (x)), con lo cual a (x) = a0 , b (x) = b0 , a0 b0 = 1 = b0 a0 , teniendo en cuenta la observaci´on 8.2.4, podemos decir que a (x) ∈ A∗ . Ahora si a ∈ A∗ , entonces a, considerado como polinomio constante, est´a en A [x]∗ . (iv) Sea a = (a0 , a1 , . . .) ∈ A [[x]]∗ ; existe b = (b0 , b1 , . . .) ∈ A [[x]] tal que ab = 1 = (1, 0, 0, . . .) = ba; resulta entonces a0 b0 = 1 = b0 a0 y a0 ∈ A∗ . Rec´ıprocamente, sea a = (a0 , a1 , . . .), con a0 ∈ A∗ . Buscamos un elemento b = (b0 , b1 , . . .) ∈ A [[x]] tal que ab = 1 = (1, 0, 0, . . .) = ba. La condici´on ab = 1 puede expresarse tambi´en en la forma  1, i = 0 a0 bi + a1 bi−1 + · · · + ai b0 = (8.3.1) 0, i ≥ 1. Puesto que a0 ∈ A∗ , definimos b0 := a−1 0 .

(8.3.2)

El elemento b1 debe ser entonces tal que a0 b1 + a1 b0 = 0, de donde b0 a0 b1 + b0 a1 b0 = 0, es decir, b1 = −b0 a1 b0 . Un paso m´as antes de obtener la f´ormula para calcular bi . Para i = 2 tenemos a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 = 0, con lo cual b2 = −b0 (a1 b1 + a2 b0 ) . Teniendo ya definidos todos los bl , l < i, hacemos bi := −b0

i X

aj bi−j , i ≥ 1.

(8.3.3)

j=1

P P Entonces, a0 bi + ij=1 aj bi−j = 0, es decir, ij=1 aj bi−j = 0 para i ≥ 1. Por tanto la sucesi´on definida por (8.3.2) y (8.3.3) cumple (8.3.1), y a tiene inverso a la derecha. En forma similar se puede construir una sucesi´on c tal que ca = 1, y por tanto, a ∈ A [[x]]∗ . Ejemplo 8.3.2. Seg´ un el punto (iii) de la afirmaci´on anterior, el polinomio 2x + 1 ∈ Z [x] no es invertible. Sin embargo, considerado como elemento de Z [[x]], 2x + 1 = (1, 2, 0, . . .) es invertible y su inverso es b = (1, −2, 4, −8, . . .), es decir, bi = (−2)i , i ≥ 0.

74

CAP´ITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

Ejemplo 8.3.3. El polinomio 2x + 1 ∈ Z4 [x] es invertible: (2x + 1) (2x + 1) = 4x2 + 4x + 1 = 1. Es claro que como elemento de Z4 [[x]] su inverso sigue siendo 2x + 1. Ejemplo 8.3.4. El polinomio x + 2 no es invertible en ninguno de los siguientes anillos Z [x] , Z [[x]] , Z4 [x] , Z4 [[x]] . Ejemplo 8.3.5. Sea R un anillo conmutativo. En este ejemplo describiremos todos los ideales maximales del anillo R[[x]] y probaremos que R[[x]] es local si, y s´olo si, R es local. Existe una correspondencia biyectiva entre los ideales maximales de R[[x]] y los maximales de R de tal manera que los ideales maximales de R[[x]] son de la 0 forma P = {(ai ) | a0 ∈ P, P maximal de R} = hP, xi = P + xR[[x]]. En efecto, 0 veamos en primer lugar que si P es maximal de R entonces P es un ideal maximal 0 de R [[x]]. Claramente P es ideal propio de R [[x]] . Sea L un ideal de R [[x]] tal 0 0 que P L, existe (bi ) ∈ L tal que (bi ) ∈ / P ; b0 ∈ / P, ya que de lo contrario 0 (bi ) ∈ P . Entonces P + hb0 i = R luego 1 = p + b0 r, con r ∈ R, p ∈ P , y entonces 0 1 − (bi )r = (1 − b0 r, −b1 r, −b2 r, . . . ) = (p, −b1 r, −b2 r, . . . ) ∈ P ⊆ L, pero como (bi ) r ∈ L, entonces 1 ∈ L, de donde L = R [[x]]. 0 Sea ahora P un ideal maximal de R[[x]]. Definimos P := {a0 ∈ R | a0 es el 0 t´ermino constante de alg´ un (ai ) ∈ P }. P es claramente un ideal de R. P es propio, 0 ya que de lo contrario P contendr´ıa invertibles, en contradicci´on con el hecho de 0 que P es propio. P es maximal: sea Q ideal de R tal que P Q, existe q ∈ Q 0 0 tal que q ∈ / P ; entonces (q, 0, . . . ) ∈ / P , de donde P + h(q, 0, . . . )i = R [[x]], luego 1 = p0 + (q, 0, . . . )(bi ) = (p00 , p01 , . . . ) + (qb0 , qb1 , qb2 , . . . ) = (p00 + qb0 , p01 + qb1 , . . . ); luego 1 = p00 + qb0 , pero p00 ∈ P ( Q, de donde 1 ∈ Q es decir, Q = R. 0 0 Veamos ahora que P = hP, xi. En efecto, si (bi ) ∈ P entonces b0 ∈ P y (bi ) = 0 (b0 , 0, . . . ) + (0, b1 , b2 , . . . ) = b0 + x(b1 , b2 , b3 , . . . ) ∈ hP, xi, es decir, P ⊆ hP, xi, pero 0 0 como P es maximal y hP, xi es propio, entonces P = hP, xi. 0 Hemos ya probado que la correspondencia P 7−→ P es sobreyectiva. Para terminar veamos que esta correspondencia es 1 − 1: si hP1 , xi = hP2 , xi, entonces dado a ∈ P1 se tiene que a = b + (ci ) x, con b ∈ P2 luego a = b y a ∈ P2 es decir, P1 ⊆ P2 . Sim´etricamente, P2 ⊆ P1 . La correspondencia anterior garantiza que R es local si, y s´olo si, R[[x]] es local. Adem´as, notemos que si R es local con ideal maximal J, entonces R/J ∼ = R[[x]]/ hJ, xi.

8.3. PROPIEDADES ELEMENTALES

75

Ejemplo 8.3.6. Z es un DIP pero Z [x] no lo es: sup´ongamos que existe un polinomio p (x) ∈ Z [x] tal que h3, xi = hp (x)i. Entonces 3 = q (x) p (x), para alg´ un polinomio q (x) con coeficientes enteros. Teniendo en cuenta el grado resulta que p (x) = ±1, ±3. Se obtendr´ıa que h3, xi = Z [x], o, h3, xi = h3i. En el primer caso existir´ıan k (x), m (x) ∈ Z [x] tales que: 1 = 3k (x) + xm (x), de donde 1 = 3k0 , k0 ∈ Z, resultando una contradicci´on. En el segundo caso x = 3a (x), a (x) ∈ Z [x], lo cual tambi´en es imposible. En total, el ideal h3, xi no es principal. De lo probado se desprende que aunque Z es un DIP el anillos de polinomios Z [x] no es un DIP . Proposici´ on 8.3.7. Si K es un cuerpo entonces K [x] es un DE. Demostraci´on. Seg´ un la parte (ii) de la proposici´on 8.3.1, K [x] es un DI. Escogemos la funci´on d como la funci´on de grado: gr :

K [x] − {0} −→ p(x) 7 → −

N ∪ {0} gr (p (x)).

Sean a(x), b(x) polinomios no nulos de K [x]. Como gr (b (x)) ≥ 0 entonces gr (a (x)) + gr (b (x)) ≥ gr (a (x)), es decir, gr (a (x) b (x)) ≥ gr (a (x)) y la primera condici´on para la funci´on gr se satisface. Sean ahora a(x), b(x) polinomios cualesquiera con b(x) 6= 0, gr (b (x)) = m. Consideramos dos casos: m = 0. Entonces b(x) es constante no nulo, b(x) = b0 . Si a(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn −1 −1 n entonces hacemos q(x) = a0 b−1 endose 0 + a1 b0 x + · · · + an b0 x y r(x) = 0, obteni´ as´ı la relaci´on a(x) = b(x)q(x) + r(x). (8.3.4)

m > 0. Sea M := {a(x) − b(x)m(x) | m(x) ∈ K [x]}. Si existe m(x) ∈ K [x] tal que a(x) − b(x)m(x) = 0 entonces (8.3.4) se cumple con q(x) = m(x), r(x) = 0. Sup´ongase entonces que para cada m(x) ∈ K [x], a(x)−b(x)m(x) 6= 0. Sea r(x) ∈ M un polinomio que tenga grado m´ınimo t en M , t ≥ 0, y sea q(x) un polinomio a trav´es del cual se obtuvo r(x), es decir, r(x) = a(x) − b(x)q(x). Si t = 0, entonces no hay nada que probar. Sea t > 0 y supongamos que t ≥ m. Sea r(x) = r0 +r1 x+· · ·+rt xt , y sea b(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm . Entonces t−m s(x) = a(x) − b(x) (q(x) + rt b−1 ) ∈ M, m x

donde gr (s (x)) ≤ gr (r (x)) = t. Pero lo anterior contradice la escogencia de r (x), as´ı pues t ≤ m y la proposici´on est´a probada.

76

8.4.

CAP´ITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

Teorema de Gauss

Podemos preguntarnos si el anillo de polinomios sobre un DG tiene tambi´en esta propiedad. La respuesta es afirmativa y nos proponemos demostrarlo siguiendo las elegantes ideas expuestas en [1]. Sea R un anillo conmutativo cualquiera y S un subconjunto multiplicativo de R. N´otese que S puede considerarse tambi´en como un subconjunto multiplicativo de R [x]. Se obtiene entonces el siguiente resultado: Proposici´ on 8.4.1. Sean R un anillo conmutativo y S un subconjunto multiplicativo de R. Entonces R [x] S −1 ∼ = (RS −1 ) [x]. Demostraci´on. Sea a(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn un polinomio cualquiera de R [x] y sea g la funci´on definida por (RS −1 ) [x] a0 + a11 x + · · · + 1

R [x] −→ a(x) 7−→

g:

an n x . 1

Es f´acil verificar que g es un homomorfismo de anillos que satisface las condiciones del teorema 7.1.9, de donde resulta el isomorfismo postulado. Sea ahora R un DI, P el conjunto de todos los elementos primos de R y S definido por S := {1} ∪ {a1 · · · an | ai ∈ P , 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1} , (8.4.1) es decir, S es el subconjunto conformado por 1 y todos los productos finitos de elementos primos de R. N´otese que S es un sistema multiplicativo de R. Proposici´ on 8.4.2. Sean R un DI y S definido como en (8.4.1). Entonces, R es un DG si, y s´ olo si, RS −1 es un cuerpo. Demostraci´on. ⇒): Sea entonces

a s

un elemento no nulo de RS −1 . Entonces a 6= 0. Si a ∈ R∗ a a−1 s s 1

=

1 1

y

a s

∗

∈ (RS −1 ) .

Sup´ongase que a ∈ / R∗ . Entonces a es producto finito de irreducibles de R: a = a1 · · · an , ai irreducible, 1 ≤ i ≤ n. De la proposici´on 6.2.7 se desprende f´acilmente que en un DG cada irreducible es ∗ primo. Por lo tanto, a ∈ S y as as = 11 , con lo cual as ∈ (RS −1 ) . ⇐): Vamos a suponer que R no es un DG, entonces existe un elemento nulo y no invertible a de R, tal que a no es expresable como producto finito de primos, es decir, a ∈ / S. De aqu´ı hai ∩ S = ∅. En efecto, sea ba ∈ hai; si suponemos que ba =

8.4. TEOREMA DE GAUSS

77

p1 · · · pn es producto finito de primos, entonces a ser´ıa tambi´en producto finito de primos, contradiciendo el hecho que a ∈ / S. La prueba de esta afirmaci´on se realiza por inducci´on sobre n: Si p1 es primo y ba = p1 ; entonces por ser p1 irreducible y a∈ / R∗ se tiene que a ∼ p1 , es decir, a es primo. Suponemos el enunciado v´alido para una descomposici´on en n − 1 primos, y sea ba = p1 · · · pn , donde p1 , . . . , pn son primos. Resulta de aqu´ı que ba = hp1 i, con lo cual b ∈ hp1 i, o, a ∈ hp1 i. En el primer caso b = b1 p 1 , b1 ∈ R y b1 a = p 2 . . . p n , de donde por inducci´on a es producto finito de primos. En el segundo caso a = a1 p1 , a1 ∈ R y ba1 = p2 · · · pn , y otra vez por inducci´on a1 es producto finito de primos, con lo cual a es tambi´en producto finito de primos. Podemos ya terminar la prueba de la proposici´on. Teniendo en cuenta que hai ∩

a S = ∅ y que a 6= 0, entonces 1 es un ideal propio no nulo de RS −1 , es decir, RS −1 no es un cuerpo. Sea R un DI, P el conjunto de todos los elementos primos de R, P 0 cualquier subconjunto no vac´ıo de P , y M := {1} ∪ {a1 . . . an | ai ∈ P 0 , 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1}

(8.4.2)

es decir, M es el subconjunto formado por 1 y todos los productos finitos de elementos primos de P 0 . Proposici´ on 8.4.3. Sea R un DI tal que cada cadena ascendente de ideales principales se detiene (v´ease la prueba del teorema 6.2.9). Sea M definido como en (8.4.2). Si RM −1 es un DG, R tambi´en lo es. Demostraci´on. Sea S definido como en (8.4.1) y sea T generado por 11 y todos los primos de RM −1 . Seg´ un la proposici´on 8.4.2 (RM −1 ) T −1 = K es un cuerpo. Si −1 ∼ probamos que RS = K, entonces de la proposici´on 8.4.2 conclu´ımos que R es un DG, y la proposici´on estar´ıa probada. Consideremos pues la funci´on g:

R a

−→ 7−→

K a 1 1 . 1

Evidentemente g es un homomorfismo de anillos. Veamos que g cumple las condiciones del teorema 7.1.9. (i) g (S) ⊆ K ∗ . Sea s ∈ S; si s = 1 no hay que probar; si s incluye s´olo primos ∗ de P 0 , entonces s ∈ M con lo cual 1s ∈ (RM −1 ) y g (s) ∈ K ∗ . Sup´ongase que s es de la forma s = ms0 con m ∈ M y s0 no incluye primos de P 0 . puesto que

78

CAP´ITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

g (s) = g (m) g (s0 ) entonces se debe probar que g (s0 ) ∈ K ∗ . Es suficiente probar que g (p) ∈ K ∗ para cada primo p ∈ / P 0 (ya que s0 es producto finito de tales primos). ∗ Si hpi ∩ M 6= ∅ entonces existe a ∈ R tal que ap ∈ M y ap ∈ (RM −1 ) . De aqu´ı se 1 ∗ ∗ sigue que p1 ∈ (RM −1 ) y g (p) de

p∈  K . Si por el contrario hpi−1∩ M = ∅, entonces acuerdo con el ejemplo 7.2.5 1 es un ideal primo de RM , es decir, p1 ∈ T , con lo cual g (p) ∈ K ∗ . (ii) Sea por otra parte a ∈ R tal que g (a) = 0. Existe m ∈ T tal que a1 m = 01 , n n m −1 de donde amu = 0 para cierto u ∈ M . n es producto de primos de RM : m n

=

r1 s1

· · · srii , con

rj sj

primo de RM −1 , 1 ≤ j ≤ i.

Por la u ´ltima igualdad existe t ∈ M tal que ms1 · · · si t = nr1 . . . ri t. N´otese que u, t, n ∈ M ⊆ S. Obtenemos pues que amus1 · · · si t = a (nr1 · · · ri t) = 0. r

s

∗

Queremos probar que r1 , . . . , ri ∈ S. Como sjj es primo y 1j ∈ (RM −1 ) , entonces rj es primo; reducimos la prueba a la verificaci´on de la siguiente afirmaci´on: 1 Sea r ∈ R tal que 1r es primo en RM −1 ongase contraria r,entonces r ∈ S. Sup´ −1 mente que existe un r ∈ R, r ∈ / S tal que 1 es primo en RM ; sea 

 C := hri ⊆ R| r ∈ / S, 1r es primo en RM −1 Seg´ un lo supuesto, C es una colecci´on no vac´ıa de ideales principales. Por la hip´otesis de la elemento maximal hr0 i. Por on de C,

r  proposici´on, C contiene un

r  la construcci´ −1 −1 0 0 es un ideal primo en RM . Seg´ un el ejemplo 7.2.5, 1 = IM , con I ideal 1 primo de R e I∩M = ∅. Veamos que I = hr0 i. Por el ejemplo 7.2.4

  I = a ∈ R| a1 ∈ r10 . Evidentemente hr0 i ⊆ I. Sea a ∈ I; a1 = mb r10 , donde b ∈ R y m ∈ M . Existe m0 ∈ M tal que amm0 = bm0 r0 . Como R es un DI entonces am = br0 , y as´ı m| br0 . m es un producto finito de primos de P 0 , o, m = 1. En el u ´ltimo caso, a ∈ hr0 i. Consideremos entonces el primer caso: m = p1 · · · pn , pj primo de P 0 , 1 ≤ j ≤ n. br0 = p1 · · · pn l, l ∈ R. Supongamos que alg´ un pj | r0 . Entonces, r0 = pj w, w ∈ R. Obs´ervese que w ∈ / S, ya

w  D r0 E r0  que de lo contrario r0 ∈ S. Tambi´en, 1 = pj = 1 por estar pj ∈ M . As´ı pues,

w es primo. Se sigue entonces que hwi ∈ C y hr0 i ⊆ hwi; por la escogencia de hr0 i 1 se tiene que hr0 i = hwi, es decir, w = r0 v, v ∈ R. Resulta r0 = r0 pj v, 1 = pj v, en contradicci´on con el hecho que pj es primo (r0 6= 0 ya que r10 es primo no nulo de RM −1 ).

8.4. TEOREMA DE GAUSS

79

As´ı pues, pj no divide a r0 , para cada 1 ≤ j ≤ n, con lo cual pj | b para cada 1 ≤ j ≤ n. Esto junto con am = br0 , da que a ∈ hr0 i, completando la prueba de hr0 i = I. Se tiene entonces que r0 es primo de R, contradiciendo el hecho que r0 ∈ / S. Hemos completado la prueba de la condici´on (ii). (iii) Sea xz un elemento cualquiera de K. Entonces, x ∈ RM −1 y z ∈ T ; x, z son pues de la forma r r a x= m , z = sr11 · · · sjj , a ∈ R, m ∈ M ⊆ S, sjj primo de RM −1 , 1 ≤ j ≤ i. x z

= = =

1 a a 1 m m r1 ...rj 1 r1 ...rj 1 s1 ...sj s1 ...sj a 1 1 1 m 1 r1 ...rj 1 1 1 1 s1 ...sj a 1 1 1 1 m 1 1 1 1 r1 ...rj 1 1 1 s1 ...sj 1

=

.

Razonando como en (ii) vemos que r1 · · · rj ∈ S. De aqu´ı resulta x z

= g (a) g (m)−1 g (r1 · · · rj )−1 g (s1 · · · sj ),

Es decir, x z

= g (as1 · · · sj ) g (mr1 · · · rj )−1 ,

con as1 . . . sj ∈ R, mr1 . . . rj ∈ S. En consecuencia, la proposici´on est´a probada. Proposici´ on 8.4.4. Si R es un DI tal que cada cadena ascendente de ideales principales se detiene, entonces R [x] tiene tambi´en de dicha propiedad. Demostraci´on. Consideremos en R [x] la cadena ascendente de ideales principales ha1 (x)i ⊆ ha2 (x)i ⊆ · · · ⊆ han (x)i ⊆ · · · Puesto que para cada ideal i ≥ 1, ai+1 (x)| ai (x), entonces resulta la cadena descendente de enteros no negativos gr (a1 (x)) ≥ gr (a2 (x)) ≥ · · · ≥ gr (an (x)) ≥ · · · la cual necesariamente se detiene. Sea pues n tal que gr (ai (x)) = gr (an (x)), para todo i ≥ n. Denotando por ai el coeficiente principal del polinomio ai (x), entonces resulta en R la cadena ascendente de ideales principales, han i ⊆ han+1 i ⊆ · · · ⊆ han+m i ⊆ · · · Por la hip´otesis de la afirmaci´on existe un entero positivo m tal que han+i i = han+m i, para todo i ≥ m. Sea i ≥ m cualquiera; como

80

CAP´ITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

han+m (x)i ⊆ han+i (x)i, entonces an+m (x) = an+i (x)bi , con bi ∈ R. Resulta pues an+m = an+i bi , lo cual combinado con han+i i = han+m i da que bi ∈ R∗ , de donde han+m (x)i = han+i (x)i, completando la prueba de la proposici´on. Tenemos ya todas las herramientas para probar el siguiente teorema. Teorema 8.4.5 (Teorema de Gauss). R es un DG, si, y s´ olo si, R [x] es un DG. Demostraci´on. ⇒): Mostremos inicialmente que cada primo de R es primo en R [x]. Sea a un elemento primo de R, y sea hai el ideal principal de R generado por a. Entonces, R/ hai es un DI, con lo cual el anillo de polinomios (R/ hai) [x] tambi´en lo es. De otra parte, la correspondencia R [x] a0 + a1 x + · · · + an x n

f

−→ 7−→

(R/ hai) [x] a0 + a1 x + · · · + an xn

con ai = ai + hai, 1 ≤ i ≤ n, es un homomorfismo sobreyectivo de anillos con n´ ucleo {ah(x) | h(x) ∈ R [x]}, es decir, el n´ ucleo de f es el ideal principal de R [x] generado por el elemento a, de lo cual se desprende que este u ´ltimo ideal es primo y a es elemento primo de R [x]. Sea ahora S en R definido como en (8.4.1). Entonces, S es un sistema multiplicativo de R [x]. De otra parte, seg´ un la proposici´on 8.4.2, RS −1 es un cuerpo, −1 con lo cual RS [x] es un DG. Por la proposici´on 8.4.1, R [x] S −1 es un DG. Para aplicar la proposici´on 8.4.3 y concluir la prueba necesitamos mostrar que en R [x] cada cadena ascendente de ideales principales se detiene. Seg´ un la proposici´on 8.4.4 es suficiente probar esto para R. Sea ha1 i ⊆ ha2 i ⊆ · · · ⊆ han i ⊆ · · ·

8.5. EJERCICIOS

81

una cadena de ideales principales de R. Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que ai 6= 0, ai ∈ / R∗ para cada i ≥ 1. Sea n(ai ), i ≥ 1, el n´ umero de factores irreducibles en la descomposici´on de ai . Puesto que ai+1 | ai para cada i ≥ 1, entonces n (a1 ) ≥ n (a2 ) ≥ · · · ≥ n (an ) ≥ · · · es una sucesi´on de enteros positivos que debe por lo tanto detenerse. Existe pues j entero positivo tal que n (aj+1 ) = n (aj ), para cada i ≥ 1. Nuevamente, como aj+1 | aj entonces las descomposiciones irreducibles de aj+1 y aj coinciden salvo un invertible, es decir, haj+1 i = haj i, i ≥ 1. ⇐): Esta implicaci´on es evidente si se tiene en cuenta el grado de los polinomios y que R esta sumergido en R [x]. Ejemplo 8.4.6. Z [x], Q [x] y R [x], C [x] son dominios gaussianos. N´otese que seg´ un el ejemplo 8.3.6, Z [x], es un DG, pero no es un DIP . El teorema 8.4.5 y el presente ejemplo permiten plantear la siguiente pregunta: si R es un DI, bajo qu´e condici´on (necesaria y suficiente) el anillo de polinomios R [x] es un DIP . La proposici´on 8.3.7 da una condici´on suficiente: si K es un cuerpo K [x] es un DE, y por tanto, un DIP . Veamos que ´esta a su vez es una condici´on necesaria. Sea a un elemento no nulo de R. Entonces existe p(x) ∈ R [x] tal que ha, xi = hp (x)i. Por condiciones de grado, p resulta una constante invertible. Existen entonces polinomios b (x) y c (x) tales que 1 = ab (x) + xc (x). Esto implica que a ∈ R∗ . Hemos probado entonces que si R es un DI se tiene que R [x] es un DE si, y s´olo si, R [x] es un DIP si, y s´olo si, R es un cuerpo.

8.5.

Ejercicios

1. Sea A un anillo arbitrario. Calcule el centro del anillo de polinomios A[x]. 2. Sea R un DI con cuerpo de fracciones K. Demuestre que el cuerpo de fracciones de R[x] es isomorfo al cuerpo de fracciones de K[x]. 3. Sea K un cuerpo y f (x) ∈ K[x] un polinomio de grado n ≥ 0. Demuestre que f (x) tiene a lo sumo n ra´ıces en K, es decir, existen a lo sumo n elementos distintos a1 , . . . , an ∈ K tales que f (ai ) = 0, para 1 ≤ i ≤ n. Adem´as, demuestre que para cada ra´ız a ∈ K se tiene que x − a divide f (x). 4. Sea R un anillo conmutativo. En el anillo de polinomios R[x, y], demuestre que hx + y, xi = hx, yi = hx + xy, x2 , y 2 , y + xyi. 5. Sea K un cuerpo y sean a, b ∈ K. Demuestre que hx − a, y − bi es un ideal maximal de K[x, y].

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CAP´ITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

6. Sea R un anillo conmutativo y sean I, J dos ideales de R[x1 , . . . , xn ]. Sea y una nueva variable. Demuestre que I ∩ J = hyI, (1 − y)Ji ∩ R[x1 , . . . , xn ]. 7. Sea A un anillo. Demuestre que A[x1 , . . . , xn ] es un DIP si, y s´olo si, n = 1 y A es un cuerpo. 8. Sea A un anillo. Demuestre que A[[x1 , . . . , xn ]] es un DIP si, y s´olo si, n = 1 y A es un cuerpo. 9. Sean K un cuerpo y f : K[x] → K[x] un automorfismo del anillo de polinomios K[x] tal que la restricci´on de f a K es la id´entica. Demuestre que existen elementos a, b ∈ K, a 6= 0 tales que f (x) = ax + b. 10. Sea A un anillo. Demuestre que Mn (A[x]) ∼ = Mn (A)[x] para cada n ≥ 1. 11. Sea A un anillo. Demuestre que Mn (A[[x]]) ∼ = Mn (A)[[x]] para cada n ≥ 1.

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