Angulo Doble.pdf

IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD

 Sen22°30' =

Por degradación: 2Sen2

= 1 - Cosx

2Cos2

= 1 + Cosx

Despejando: Sen

= PROPIEDAD

Cos

= *

Tg

=

NOTA: El signo + o - va a depender del cuadrante del ángulo

*

FÓRMULAS RACIONALIZADAS IDENTIDADES DEL ÁNGULO TRIPLE Tg

= Cscx - Ctgx =

Sabemos : Sen(A + B) = SenACosB + SenBCosA Sea : A = 2x; B = x reemplazando :

Ctg

Sen(2x + x) = Sen2xCosx + SenxCos2x 

= Cscx - Ctgx =

2 Sen3x = 2SenxCosx.Cosx  + Senx(1 - 2Sen x)

Ejemplo: Calcular Sen22°30'

Sen3x = 2Senx(1 -Sen2x) + Senx(1 -2Sen2x)

Resolución: Reduciendo :  Sen22°30' = Sen

Sen3x = 3Senx - 4Sen3x En forma análoga :

 Sen22°30'= Cos3x = 4Cos3x - 3Cosx Tg3x =  Sen22°30' =

= FÓRMULAS ESPECIALES Sen3x = Sen(2Cos2x + 1)

1

Cos3x = Cosx(2Cos2x - 1)

PROPIEDADES

Tg3x =

1.

CosxCos(60° -x) Cos(60° + x) =

Ejemplo : Si Sen2x = Cos3x

TgxTg(60° - x)Tg(60° + x) = Tg3x

donde : 0° < x < 90°, calcular : Senx Resolución :

2.

 2SenxCosx = Cosx(2Cos2x - 1)  2Senx = 2(1 - 2Sen2x) - 1  4Sen2x - 2Senx - 1 = 0 Resolviendo : Senx = por s complementarios 2x + 3x = 90°  x = 18°  Sen18° =

7 4 5

1

1

5 4 1

3 5

2

SenxSen(60° - x)Sen(60° + x) =

Tgx + Tg(x - 120°) + Tg(x + 120°) = 3Tg3x

01. Si: 90° < x < 180° y Cos2x = 49/81, calcular el valor de Cos A) -4/7 D) 3/7

B) -3/7 E) 4/7

C) 1/3

02. Si se tiene que θ  III cuadrante y además: Tgθ =

, calcule el valor de:

B) -1 E) Cosx

B) 4 E) 1

C) 3

C) Cscx

08. Simplificar la expresión: E = Cosx(Tgx/2 + 2Csc2x.[1-Cosx]) A) Senx D) Sen2x

E=1+ A) 5 D) 2

A) 1 D) Secx

B) Cosx E) Cos2x

C) Tgx

09. Reducir la expresión:

03. Si se tiene que: Cscx = 3 + Ctgx, calcule un valor de: A) Senx D) Secx

Tg A) D)

-2 +2

B) +4 E) 2 +3

C)

-1

S = Tgx + Csc(1 - Secx) B) Ctg(x/2) C) Ctgx E) Sen2x

E = 2Csc20° + Csc40° + Csc80° - Ctg20° B) Tg10° E) Csc10°

10. Simplificar la expresión:

A) -Senx D) -Ctgx

B) -Cosx E) -Secx

C) -Tgx

11. Determine la sumatoria de los “n” primeros términos de la serie: M = Cscx + Csc2x + Csc4x + ........

05. Reducir la expresión:

A) Tg20° D) Ctg10°

C) Tgx

M = Secx - Tg

04. Reducir la expresión:

A) Tgx D) Tg(x/2)

B) Cosx E) Cscx

C) Ctg20°

06. Simplificar la expresión:

A) Ctg

- Ctg2nx

C) Ctg

- Ctg2n-1x D) Ctg + Ctg2nx

E) Ctg

+ Ctg2n+1x

B) Ctg

- Ctg2n+1x

12. Encontrar las raíces de la ecuación: x2 - 2xCscθ + 1 = 0 A) Sen2x D) Sec2x

07. Simplificar: 1

B) Cos2x E) Csc2x

C) Tg2x

A) Tg ; Ctg

B) Csc ; Ctg

C) 2Csc ; 2Ctg

D) Csc ; 2Csc

E) Sec ; Csc

13. Calcular el valor de:

18. Del gráfico mostrado calcule “x” 8

A) C) E)

B) D)

4 θ θ θ

x

14. Si:

F(x) = (4Cos24x - 3)Sen7xCos7x hallar: F(5) A) 1 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/8 E) 1/16

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

19. Calcule Cos2x de la igualdad:

15. Hallar el mayor valor de x si:

A) 1/3 D) 3/4 A) n D) n/3

B) 2n E) n/2

B) 1/2 E) 3/7

C) 2/3

C) 3n 20. Del gráfico mostrado calcule “27h” D

16. Si: Cosx - Senx = 2/3 calcular: Sen3x A) 21/27 D) 23/27

B) 20/27 E) 7/17

2 C C) 3/8

17. Calcule el valor de: E = Sen35°Sen55°(1 - 4Sen220°) A) 1/2 D) /2

B) 1/3 E) 3/4

O

C) 1/4

h

3 B

E

A

θ θ θ

A) 184 D) 154

B) 164 E) 144

C) 124

A) 1 D) 1/2

B) 2 E) 1/3

C) 3

TAREA 21. Simplificar:

A)

B)

D) Ctg

E)

C) 2Ctg

22. Si se cumple que: Csc2x = Cosx + Ctg2x calcular: E = (1 + Cos2x)(3 + Cos2x) A) +1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

23. Si: CscA + CscB + CscC = CtgA + CtgB + CtgC hallar:

2

24. Si se tiene que: expresión:

A) D) -

2π < x < 3π, reducir la

Senx B) - Cosx C) /2Cosx E) Senx/2

/2Senx

25. Determine “TgθTgΦ” si se tiene que: 2SenθSen2θTg(Φ - θ) = Sen3θ A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

calcule el valor de: E = 2 + a B) +3 E) +9

A) D)

B) E) 1

C)

29. Hallar el valor de m, para que la siguiente igualdad:

26. Dada la igualdad:

A) +1 D) +7

28. Calcular “m”: Ctg18° = mCtg36°

Tg20°

C) +5

sea una identidad

27. Calcule el mínimo valor positivo de:

A) /8 D) 3 /4

B) /4 E) 2 /3

C) 3

30. Calcular el valor de “α” A) 2 D) 5

/3 /3

B) /3 E) 2

C) 4

/3

A) 10° D) 25°

3

B) 15° E) 30°

C) 20°

/2