Analytic Geometry Ebook

Campus Estado de México Preparatoria

Geometría Analítica

[email protected]

Profesor Profesor Ingeniero Ingeniero Alejandro Alejandro Correa Correa Pérez Pérez Bibliografía: Oteyza de Oteyza, Elena; Lam Osnaya, Emma; Carrillo Hoyo, Angel Manuel. Geometría Analítica. Segunda edición 2005. Editorial Pearson Educación. Trae CD Córdoba Morales, Verónica; Sevilla Díaz, Francisco G. Problemario de Geometría Analítica del TEC de Monterrey.

Bibliografía de la cual también me auxilio y es opcional si los adquieren: Swokowski, Earl W.; Cole, Jeffery A. Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry. Classic Eleventh Edition. Thomson-Brooks/Cole Hay versión en español. Lehmann. Geometría Analítica. Editorial Limusa

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Semestre 2007-11

Sistema de evaluación Evaluación parcial Se compone de sumar el 30% asignado al promedio de las tareas, actividades y proyectos con el 70 % asignado a la calificación en el examen.

Evaluación final Se compone de sumar el 70% asignado al promedio de las evaluaciones parciales con el 25 % asignado a la calificación en el examen final más el 5% asignado a tareas, actividades y proyectos.

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sar u a re a w t f So

Geolab

are del libro Es el softw C. nlo en su P le tá s In . o del curs final jercicios al e s lo n e is Rev a. de cada tem

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1.Sistema de Coordenadas Rectangulares 1.1 Definir Plano Cartesiano, identificar puntos y cuadrantes

René Descartes fue un famoso matemático y filósofo francés (1596-1650) quien es considerado el inventor de la geometría analítica. En honor a Descartes, se nombró al plano cartesiano=plano xy=plano coordenado. Al punto de intersección, se le conoce como origen. Es el 0 (cero).

II

I Los cuadrantes se denotan I, II, III y IV como se muestra en la figura.

III

IV

Eje X es el eje horizontal. Eje Y es el eje vertical.

A las rectas, se les conoce como ejes Coordenados. Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

Semieje positivo Y Semieje negativo X

a

Semieje negativo Y

Semieje positivo X b

P (a,b) A cada punto P en el plano xy se le asigna un par ordenado (a, b). “a” es la coordenada x ó abscisa de P. “b” es la coordenada y u ordenada de P.

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Distancia entre 2 puntos.

P2 (x2,y2) l y2-y1l

Por Teorema de Pitágoras

I P1P2 I2= l x2-x1l2+ l y2-y1l2 P1 (x1,y1)

Las barras de valor absoluto se refieren a longitud.

l x2-x1l

Usando las propiedades del valor absoluto: lal2=a2 para todo número real.

d ( P1 , P2 )  P1P2  Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

x2  x1 2  y2  y1 2

Si P y Q son dos puntos distintos en el plano, el segmento PQ se concibe como el resultado del movimiento de un punto de P hacia Q ó de Q hacia P.

Segmentos rectilíneos dirigidos

En Geometría analítica, se agrega la idea de sentido o dirección al concepto usual de segmento de la geometría elemental.

Se indica con una flecha.

PQ

Indica que P es el extremo inicial y Q es el final.

d P, Q   PQ  QP 

Segmento nulo

x2  x1 2   y2  y1 2

Son aquellos segmentos donde P=Q, al ser la longitud cero.

Cuando resulta claro que se trabaja con segmentos dirigidos, se acostumbra simplificar la escritura suprimiendo las flechas. La dirección del segmento queda determinada por el orden en que se escriben sus extremos. Se escribe PQ en lugar de Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

PQ

Punto medio de un segmento

Y

Q y2

Q ( x2 , y 2 )  x  x y  y2  M ( a , b)  M  1 2 , 1  2 2  

M b

x1  x2 2 y  y2 b 1 2 a

P y1

0

P ( x1 , y1 )

x1

a Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

x2

X

Razón algebraica de segmentos dirigidos.

Para segmentos no dirigidos como PQ y recta, entonces la razón

razón 

RS

están en una misma

PQ RS

se llama razón aritmética de los segmentos. Para dos segmentos dirigidos PQ y RS cualesquiera, contenidos en una misma recta, se define la razón algebraica o razón entre segmentos dirigidos como:

PQ PQ   RS RS RS

PQ

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Se elige el signo positivo, si ambos segmentos dirigidos tienen la misma dirección. Y signo negativo, si tienen dirección opuesta o contraria.

Encontrarlas lassiguientes siguientesrazones razonesalgebraicas algebraicas Encontrar

PQ PQ QP QP , , , RS SR RS SR R

P

Q

S

-1

2

5

7

PQ 52 3   SR  1  7  8 QP 25 3 3    SR  1  7  8 8 3 QP 25   RS 7  ( 1) 8 X

Se resta el valor final menos el valor inicial al tratarse de segmentos dirigidos, independientemente de cual sea mayor. Ejemplo:

PQ q  p 5 2 3    RS s  r 7  ( 1) 8

Valor inicial

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Valor Final

PR depende de cómo se comparan las direcciones de PR y RQ . RQ

El signo de

s o P

es d a li id ib

PR 0 RQ PR 0 RQ PR 0 RQ

División de un segmento en una razón dada.

Cuando el punto R está en el segmento PQ

Sólo cuando el punto R coincide con el punto P.

Cuando R está fuera del segmento PQ Se excluye la razón “r”=-1, por ser contradictoria.

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ento m g e un s dada. e d n n azó isió Div una r en

Teorema

Elúnico únicopunto puntoRRque quedivide divideen enlalarazón razón El segmentodirigido dirigido PQ alalsegmento con r  1 con cuyosextremos extremosson son P( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) cuyos tienecomo comocoordenadas: coordenadas: tiene

PR r  PR : RQ  RQ

 x1  rx2 y1  ry2  R ,  1 r   1 r Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

d ( P , Q )  PQ 

 x2  x1 2   y2  y1 2

 x1  x2 y1  y2  M ,  2   2

Distancia Distanciaentre entredos dospuntos puntos

Coordenadas Coordenadasdel delPunto PuntoMedio MedioMM de deun unsegmento segmentodirigido dirigidoelelcual cual se sedivide dividesiempre siempreen enlalarazón razónr=1. r=1.

Coordenadas Coordenadasdel delpunto puntoRRque que divide a un Segmento dirigido divide a un Segmento dirigido en la en larazón razónr,r,donde donder res esdiferente diferenteaa-1. -1.

 x1  rx2 y1  ry2  R ,  1 r   1 r

Si Sir res espositiva, positiva,RRestá estáentre entreelelpunto puntoinicial inicialyypunto puntofinal finaldel delsegmento segmentodirigido. dirigido. Si r es negativa y diferente a -1, R es colineal a estos puntos y está Si r es negativa y diferente a -1, R es colineal a estos puntos y está fuera fueradel delsegmento segmentodirigido. dirigido. Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

La Lapendiente pendientede deuna unarecta rectahorizontal horizontales escero. cero.

m  tan  

y2  y1 x2  x1

Pendiente Pendientede deuna unalínea línearecta recta



La La pendiente pendiente se se calcula calcula conociendo conociendo 22 puntos puntos de de ella. ella. Alfa Alfaes esel elángulo ángulo de inclinación de inclinaciónde de la lalínea línearecta. recta.

 Una recta vertical no tiene pendiente.

m

Alfa Alfase seobtiene obtienealalgirar girarlalalínea línearecta recta en el sentido contrario a las manecillas en el sentido contrario a las manecillas del delreloj relojrespecto respectoalaleje ejeX. X.

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Formas de la ecuación

y  y1  m( x  x1 )

Forma punto-pendiente

Se conocen las coordenadas de un punto y la pendiente de la línea recta.

Forma pendiente-ordenada

y  mx  b

Se conoce la pendiente “m” y la ordenada “b” por donde la línea recta corta al eje Y.

y2  y1 y  y1   x  x1  x2  x1

(0,b)

Forma 2 puntos Se conocen las coordenadas de 2 puntos. Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

Ax  By  C  0 Formas de la ecuación

Forma General

Forma Simétrica

x y  1 a b Ejemplo del manejo de una fracción.

(a,0)

3x 

x 1 3

(0,b)

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El punto de intersección se obtiene al resolver un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas x, y.

Intersección de rectas

Pueden pasar 3 cosas.

1

Tienen la misma pendiente.

Son paralelas.

2

3

P (x, y)

Son la misma línea recta. Tienen pendiente diferente.

Se cortan en un punto.

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Se recomienda hacer un dibujo o boceto para darse idea de cómo es la trayectoria de las rectas.

Ángulo entre 2 rectas m1 m2

2

1

m2  m1 tan 2  1  m2 m1 m2 es la pendiente de la recta más inclinada a la izquierda.

Si una de las rectas es vertical, se recomienda usar la siguiente fórmula.

A1 B2  A2 B1 tan 2  A1 A2  B1 B2 A2,B2 son de la recta más inclinada a la izquierda.

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Paralelismo

Cuando 2 rectas tienen la misma pendiente.

m2  m1

Perpendicularidad

Cuando 2 rectas se cortan a 90 grados.

1 m1   m2 Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

Distancia de un punto a una recta

d

Se sustituyen las coordenadas del punto y los coeficientes A y B tomados de la forma general de la recta. Las barras son de valor absoluto.

Ax1  By1  C A B 2

2

Para obtener la distancia entre rectas paralelas se usa la misma fórmula.

Se obtienen las coordenadas de un punto cualquiera de una recta y después se obtiene la distancia de ese punto a la otra recta. Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

Laaltura alturade deun untriángulo triángulo La parte de un vértice lado parte de un vértice alallado opuesto,siendo siendoperpendicular perpendicular opuesto, al mismo. al mismo.

La mediatriz es la recta que pasa por el punto medio del lado de un Triángulo o segmento de recta y es perpendicular al mismo, formando un ángulo de 90 grados.

Un triángulo tiene 3 mediatrices, 3 medianas, 3 alturas y 3 bisectrices. Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

La mediana parte del vértice de un triángulo al punto medio del lado opuesto.

La recta como lugar geométrico •

Para resolver problemas sobre lugar geométrico, hay que crear una igualdad con los datos que nos dan. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x ,y), tales que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a 2 puntos A(-2,-1) y B(0,3) sea igual a 16.

x   22   y   12   x  22   y  12  x  02   y  32  x 2   y  32

 x  2   y  1  x 2

y

2

1 5 x 2 2

2

Cuadrado de la distancia de A a P.

Cuadrado de la distancia de B a P.



  y  3  16 2

Igualdad planteada

Ecuación del lugar geométrico planteado

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Ecuación de las

Alturas de un triángulo •

Si nos dan las coordenadas de los vértices, el método más rápido es encontrar las pendientes de los lados del triángulo mediante la fórmula:

m

y2  y1 x2  x1

Una vez obtenidas las pendientes de los lados, calculo la ecuación de cada altura mediante la fórmula punto pendiente. Sustituyo las coordenadas de un vértice y uso la pendiente de la altura que pasa por el mismo. La pendiente de cada altura la obtengo mediante el uso de la fórmula:

1 m1   m2

forma punto  pendiente y  y1  m  x  x1 

El punto de intersección de las alturas de un Triángulo se conoce como ortocentro. Se halla al resolver un sistema con dos de las ecuaciones de las alturas encontradas. Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

Seccionescónicas cónicas Secciones

circunferencia

hipérbola

elipse

parábola

Las secciones cónicas nacen de seccionar un cono circular recto de dos mantos mediante un plano.

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Eselellugar lugargeométrico geométricode deun unpunto punto Es quese semueve mueveen enun unplano, plano,de detal tal que maneraque quese seconserva conservasiempre siempre manera unadistancia distanciaconstante constantede deun unpunto punto aauna fijode deese eseplano. plano. fijo

Circunferencia Circunferencia

El punto fijo se llama Centro de la circunferencia.

Teorema 1

La circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r, tiene por ecuación.

( x  h)   y  k   r 2

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2

2

Circunferencia con centro en el origen.

Si las coordenadas (h, k) son (0,0), esto significa que la circunferencia tiene centro en el origen. Su ecuación es:

x y r 2

2

2 (0,0) r

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PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo sobre el eje de simetría de la parábola llamado foco y de una recta llamada directriz.

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Parábola Horizontal Vértice en Origen Concavidad hacia la derecha

La parábola y sus elementos

y

Extremo del lado recto











Vértice

y 2  4 px





y2  8 x 4p  8





Eje de simetría

Foco



 x 





























































x  p



Directriz









p2

Lado recto o ancho focal



La ecuación de la directriz cambia según el tipo de parábola





=4p









Extremo del lado recto



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En cualquier parábola, la distancia del vértice al foco (p) es igual a la distancia del vértice a la directriz.

p0

Parábola Horizontal Vértice en Origen Concavidad hacia la izquierda y 















y  4 px



2

 x 













































































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y 2  8 x



Parábola Vertical Vértice en Origen Concavidad hacia arriba y 









x 2  4 py









 x 











































































x2  8 y



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

Parábola Vertical Vértice en Origen Concavidad hacia abajo y

x 2  8 y





















x  4 py 2

x 



























 





















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



























Parábola Horizontal Vértice fuera del Origen Concavidad hacia la derecha

 y  k 2  4 p x  h Forma estándar, reducida o canónica de la ecuación de la parábola.

 y  32  16 x  2

Forma general

y 2  6 y  9  16 x  32 y 2  16 x  6 y  41  0

y 2  Dx  Ey  F  0 Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

y  k

2

  4 p  x  h

Parábola Horizontal Vértice fuera del Origen Concavidad hacia la izquierda

 y  22  4 x  5  y 2  4 y  4  4 x  20 y 2  4 x  4 y  24  0 Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

Parábola Vertical Vértice fuera del Origen Concavidad hacia arriba

 x  h2  4 p y  k 

 x  32  8 y  2 x 2  6 x  9  8 y  16 x 2  6 x  8 y  25  0 Forma general parábola vertical

x 2  Dx  Ey  F  0 Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

Parábola Vertical Vértice fuera del Origen Concavidad hacia abajo

 x  h2  4 p y  k 

 x  32  8 y  2 x 2  6 x  9  8 y  16 x 2  6 x  8 y  9  16  0 x2  6 x  8 y  7  0

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ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

d  P , F   d  P , F    2a

Cuida a la naturaleza

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to s n e m Ele

ipse l e a de l

B (0,b)

G

D

c 2  a2  b2 c e a e1

C (0,0) Fl (-c,0)

Vl (-a,0)

F (c,0)

H V Vl =Eje mayor=2a B Bl=Eje menor=2b F Fl=Distancia focal=2c Vl C=VC=semieje mayor=a Bl C=BC=semieje menor=b

Bl (0,-b)

V (a,0)

E

2b 2 GH=DE=lado recto=ancho focal= a

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étrica m i S Forma

Elipse horizontal con centro en el origen

x 2 y2  2 1 2 a b x 2 y2  2 1 2 b a

 x  h

2

Elipse horizontal con centro fuera del origen

a

2

 x  h

2

b

2

Elipse vertical con centro en el origen

 y  k 

2

b

2

y  k  

1

2

a

2

1

Elipse vertical con centro fuera del origen

C (h ,k)= coordenadas de la elipse con centro fuera del origen Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

rm o F

ral e en g a

Solo cuando la elipse tiene sus ejes paralelos a los ejes del plano cartesiano X-Y

Ax  Cy  Dx  Ey  F  0 no g i A0 s o ism m C0 en n tie yC A AC 2

2

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la o rb ipérbola é H p Hi Hipé rbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos tiene un valor constante de 2a

d  P , F   d  P , F    2a

Ayuden A proteger el Medio Ambiente

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t = asíntota no. 2

Eje no Focal

l = asíntota no. 1

Rama 1

c 2  a2  b2 c a e 1

e

B(0,b) H

Eje Focal

Fl (c,0)

T

O Vl(-a,0)

C

V(a,0)

Bl(0,-b)

C=Centro

F(c,0) F (c,0)

P

Rama 2

F Fl =distancia focal=2c V Vl=eje transversal=2a B Bl=eje conjugado=2b Vl C=C V=semieje transversal=a Bl C=C B=semieje conjugado=b

HT=OP=lado recto=ancho focal=

2b 2 a

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de s nto ola e m b Ele hipér

la

Hipérbola horizontal con centro en el origen

asíntotas

x y   1 2 2 a b b y  x a b y   x a

y

15

10

5

x

0 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5

-10

-15

Hipérbola horizontal con centro fuera del origen

 x  h2   y  k 2  1 b2

b y  k   x  h a b y  k    x  h a

asíntotas

a2

6

7

y2 x2  2  1 2 a b a y  x b a y   x b Hipérbola vertical con centro fuera del origen

 y  k 2   x  h2 a

2

b

2

a  x  h b a y  k    x  h b yk 

1 asíntotas

2

asíntotas

2

Hipérbola vertical con centro en el origen

C (h ,k)= coordenadas de la elipse con centro fuera del origen

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rm Fo

a

a ric t é m Si

rm o F

ral e en g a

Solo cuando la hipérbola tiene sus ejes paralelos a los ejes del plano cartesiano X-Y

Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 A0 o ign

C0

Ay

C

ne tie

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te n e r if e d n

s

x  x  h y  y  k Traslación de ejes coordenados

x  x cos   ysen y   xsen  y cos  Rotación de ejes coordenados

x  x cos   ysen y  xsen  y cos  Ing. Alejandro Correa Pérez www.cem.itesm.mx

Fórmula para quitar xy “Cuando en la ecuación de la cónica hay un término en xy, lo que hay que hacer es girar los ejes cartesianos XY en un ángulo



adecuado para escribir la cónica con respecto a un nuevo sistema cartesiano Xl Yl de manera que la nueva ecuación ya no tenga término en xy.” Tomado de geometría analítica por Oteyza, página 367.

A  A cos 2   Bsen cos   Csen2

0º    90º AC B B tan 2  AC Si

C   Asen2  Bsen cos   C cos 2  D  D cos   Esen

cot 2 

AC   45º

E   E cos   Dsen F  F Transformar

Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 en 2 2 A x    C  y   Dx  E y  F   0

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ación u c e e la d e t n mina i r c s i 2 D

B  4 AC

Eldiscriminante discriminante El nocambia cambiacon conlas las no rotaciones. rotaciones.

B 2  4 AC  0

parábola

B 2  4 AC  0

elipse

B  4 AC  0

hipérbola

2

La ecuación del círculo no tiene término con xy, ya que se ve igual desde cualquiera de los dos tipos de sistemas de coordenadas XY y Xl Yl.

x 2  y2  r 2

 x   y 2

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2

 r2