Analysis I Mitschrift

Mitschrift zur Analysis I Vorlesung von Prof. Dr. Wittbold im WS07/08 Thomas El Khatib 1. Dezember 2007

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Inhaltsverzeichnis 1

Mengen, Abbildungen und Zahlen 1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Bezeichnungen und Konzepte . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Abbildungen/Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Graphen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Definition über Relationen . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Begriffe/Konzepte für Abbildungen . . . . . . . . . 1.2.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 Inverse Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.10 Komposition von Abbildungen . . . . . . . . . . . . 1.2.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.12 Bild- und Urbildmenge . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.13 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.14 Logik: Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Algebraische Strukturen und Zahlenkörper . . . . . . . . . . 1.3.1 Innere Verknüpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Eigenschaften innerer Verknüpfungen . . . . . . . . 1.3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente . . . . 1.3.6 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.8 Schreibkonventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.9 Sätze über Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Angeordnete Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Regeln für Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.7 Abstandsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.8 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion . 1.4.9 Der Positivbereich der reellen Zahlen . . . . . . . . 1.4.10 Beispiel für einen Körper mit zwei Positivbereichen 1.5 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion . . . . . . . . 1.5.1 Induktive Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt . . . . . . . 1.5.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

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6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 10 11 11 11 11 12 12 12 13 13 13 13 14 14 15 15 15 16 18 18 18 19 19 20 20 21 21 22 23 25 25 25 25 25 25

1.6 1.7

1.8

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1.5.6 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.7 Beweisprinzip der vollständigen Induktion . . . . . . . 1.5.8 Allgemeines Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.10 Variante des Beweisprinzips der vollständigen Induktion 1.5.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.12 Scheinparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.13 Beispiele von Definitionen durch vollständige Induktion 1.5.14 Eigenschaften der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . Die ganzen und rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vollständigkeit; reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Dedekind’sche Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4 Beschränktheit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.5 Maximum und Minimum von Mengen . . . . . . . . . . 1.7.6 Supremum und Infimum von Mengen . . . . . . . . . . 1.7.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.8 Äquivalente Formulierung der Vollständigkeit . . . . . . 1.7.9 Archimedisches Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.10 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.11 Bemerkungen/Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Definition als Paare von reellen Zahlen . . . . . . . . . 1.8.2 Die imaginäre Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Potenzen von i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen . . . . . . 1.8.6 Eigentliche Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.8 Lösungen quadratischer Gleichungen . . . . . . . . . . 1.8.9 Konjugiert-komplexe Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.10 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.11 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.12 Abstandsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.13 Darstellung in der Gauß’schen Zahlenebene . . . . . . .

Folgen und Reihen 2.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Umordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen 2.2 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Nullfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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26 26 26 27 27 28 28 29 29 30 31 31 31 32 32 32 33 33 33 34 35 35 36 40 40 40 40 41 41 41 42 42 42 42 42 42 43

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44 44 44 44 45 45 45 45 46 47 47 47

2.3

2.4

2.2.3 Allgemeine Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Eindeutigkeit des Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Konvergente Zahlenfolgen sind beschränkt . . . . . . . . . . 2.2.7 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8 Rechenregeln für konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . 2.2.9 Konvergenz von Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.10 Konvergenz in metrischen Räumen; „fast alle“ . . . . . . . . 2.2.11 Konvergenz in den komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . 2.2.12 Größenvergleich konvergenter Folgen . . . . . . . . . . . . . 2.2.13 Sandwich-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.14 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.15 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.16 Monotone, beschränkte Folgen konvergieren . . . . . . . . . 2.2.17 Existenz von monotonen Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . 2.2.18 Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.19 Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.20 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen . . . . . . . . 2.2.21 Cauchy-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.22 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.23 Cauchy-Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.24 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren . . . . . . . . . . . . 2.2.25 Erweiterte reelle Zahlengerade . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.26 Supremum und Infimum unbeschränkter Mengen . . . . . . . 2.2.27 Bestimmte Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.28 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.29 Regeln für bestimmt divergente Folgen . . . . . . . . . . . . 2.2.30 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade . . 2.2.31 Monotone, unbeschränkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt 2.2.32 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraß . . . . Häufungspunkte, Limes Superior, Limes Inferior . . . . . . . . . . . 2.3.1 Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Charakteriserung von Häufungspunkten . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraß 2.3.5 Uneigentliche Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6 Limes Superior und Limes inferior . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.8 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior . . . . Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Eigenschaften von unendlichen Reihen . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Cauchy-Kriterium für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 Notwendiges Kriterium für Reihenkonvergenz . . . . . . . . 2.4.7 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.9 Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.10 Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

48 48 48 49 49 50 51 52 53 53 54 55 55 55 56 56 57 57 57 58 61 62 62 62 63 63 63 64 64 64 64 64 64 65 65 65 65 66 66 67 67 68 68 69 70 70 70 71 72 73

3

Bildquellen

73

5

1

Mengen, Abbildungen und Zahlen

1.1

Mengen

1.1.1

Definition

Definition nach Cantor (1845-1918): Definition 1.1. Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens. Die Objekte der Menge heißen Elemente. 1.1.2

Beispiele

M = {1, 3, 5} ,

Nnaiv = {1, 2, 3, . . .} ,

N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} ,   p Qnaiv = | p, q ∈ Z, q 6= 0 , q

Znaiv = N ∪ {0} ∪ (−N) , M = {m | m erfüllt eine Eigenschaft A}

Achtung. Es wird standardmäßig die (west-)deutsche Menge der natürlichen Zahlen verwendet, also 0 6∈ N. 1.1.3

Bezeichnungen und Konzepte

Seien M, M1 , M2 Mengen. • ∅ = {} - leere Menge: Die Menge, die keine Elemente enthält. • p ∈ M - p ist Element von M ; p ist in M enthalten. • p 6∈ M - p ist nicht Element von M ; p ist nicht in M enthalten. • M1 ⊆ M2 (auch: M1 ⊂ M2 ) - M1 ist Teilmenge von M2 ; M1 ist in M2 enthalten. • M1 ⊂ M2 (auch: M1 ( M2 ) - M1 ist echte Teilmenge von M2 . • M1 ∩M2 - Durchschnitt/Schnittmenge: Menge aller Elemente, die sowohl in M1 als auch in M2 enthalten sind. • M1 ∪ M2 - Vereinigung/-smenge: Menge aller Elemente, die in M1 und/oder in M2 enthalten sind. • M1 \ M2 - Differenzmenge / relatives Komplement von M2 in M1 : Menge aller Elemente, die in M1 , aber nicht in M2 enthalten sind. • P(M ) - Potenzmenge von M , d.h. Menge aller Teilmengen von M . • #M - „Anzahl“ der Elemente einer Menge, Kardinalität. Für endliche Mengen ist |M | gebräuchlich.

6

• M1 × M2 (sprich: M1 kreuz M2 ) kartesisches Produkt der Mengen M1 und M2 : {(m1 , m2 ) | m1 ∈ M1 , m2 ∈ M2 } (m1 , m2 ) heißt das aus m1 und m2 gebildete geordnete Paar/Tupel. Achtung. (m1 , m2 ) = (m˜1 , m˜2 ) genau dann, wenn m1 = m˜1 und m2 = m˜2 . 1.1.4

Beispiele

M1 = {1, 2, 3} , M2 = {3, 4, 5} M1 ∪ M2 = {1, 2, 3, 4, 5} M1 \ M2 = {1, 2} M1 ∩ M2 = {3} P(M1 ) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}} #M1 = 3 #P(M1 ) = 8 allgemein: n ∈ N ∧ #M = n ⇒ P(M1 ) = 2n Insbesondere P(∅) = {∅} Kartesisches Produkt M1 = {1, 2} , M2 = {1, 2, 3} M1 × M2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

1.2

Abbildungen/Funktionen

1.2.1

Definition

Seien X, Y Mengen. Definition 1.2. Eine Abbildung von X nach Y ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element aus X genau ein, d.h. ein eindeutig bestimmtes Element aus Y zuordnet. Ist f der Name der Abbildung, dann schreibt man kurz f : X→Y „f ist Abbildung von X nach Y “ x 7→ f (x) „x wird abgebildet auf f (x).“ Oder: „f (x) ist das eindeutige Element aus Y , dass x (von f ) zugeordnet wird“. Weitere Notationen für Abbildungen sind möglich. f : X 3 x 7→ f (x) = y ∈ Y 7

Bezeichne mit A(X, Y ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y . Alternativ wie in Lineare Algebra auch: Abb(X, Y ) bzw. X Y Zwei Abbildungen f, g ∈ A(X, Y ) heißen gleich, d.h. f = g, wenn gilt: f (x) = g(x) für alle x ∈ X. 1.2.2

Beispiele

1. f : N→N n 7→ n2 2. g: N→N ( n 7→

n2 , n3 ,

falls n gerade falls n ungerade

Achtung. Eine Zuordnungsvorschrift, die keine Abbildung ist, ist zum Beispiel die folgende: Seien X = {1, 4, 9, 16, . . .} (Menge der Quadratzahlen der natürlichen Zahlen) Y =Z Zuordnungsvorschrift: Ordne jedem x ∈ X eine Zahl y ∈ Y zu, für die gilt y 2 = x. Problem: 1 7→ −1 und 1 7→ 1, denn (−1)2 = (1)2 = 1. Also ist das Element, das x = 1 zugeordnet wird, nicht eindeutig bestimmt. 1.2.3

Graphen von Funktionen

Weiter bezeichnen wir für ein f ∈ A(X, Y ) mit G(f ) = {(x, f (x)) | x ∈ X} (⊂ X × Y ) den Graphen von f. 1.2.4

Beispiel

f :R→R x 7→ x3  G(f ) = (x, x3 ) | x ∈ R ⊆ R × R

8

Illustration

1.2.5

Definition über Relationen

Bemerkung. Es ist möglich, den Abbildungsbegriff allein mit Hilfe der Mengenlehre zu definieren. Dazu definiert man zunächst sog. Abbildungsrelationen R ⊆ X × Y als Teilmengen von X × Y für die gilt, dass für alle x ∈ X ein y ∈ Y existiert, sodass (x, y) ∈ R. In Formeln: ∀ x ∈ X ∃!y ∈ Y : (x, y) ∈ R Für eine solche Abbildungsrelation R kann dann eine Abbildung f : X → Y definiert werden, durch f (x) := y, wobei y das eindeutige Element y ∈ Y mit der Eigenschaft: (x, y) ∈ R, für alle x ∈ X. 1.2.6

Begriffe/Konzepte für Abbildungen

Definition 1.3. Seien X, Y Mengen, f ∈ A(X, Y ). i) f heißt injektiv (eineindeutig) genau dann, wenn gilt: aus x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 folgt f (x1 ) 6= f (x2 ). In Formeln x1 , x2 ∈ X ∧ x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) oder auch x1 , x2 ∈ X ∧ f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ii) f heißt surjektiv genau dann, wenn gilt: für jedes y ∈ Y existiert ein x ∈ X mit f (x) = y. In Formeln ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X : f (x) = y iii) f heißt bijektiv genau dann, wenn f injektiv und surjektiv ist.

9

Illustration

allgemeine Form einer Abbildung f

f ist injektiv, nicht surjektiv

f ist surjektiv, nicht injektiv

f ist bijektiv 1.2.7

Beispiele

1. f : N→N n 7→ n2 ist injektiv, denn aus n1 , n2 ∈ N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n22 . f ist nicht surjektiv, da nicht jede natürliche Zahl n ∈ N Quadratzahl ist, zum Beispiel gilt dies für n = 3. 2. f : Z → N0 z 7→ z 2 ist nicht surjektiv (Begründung wie in 1)); f ist nicht injektiv, da für alle z ∈ Z \ {0} gilt z 6= −z, aber f (z) = z 2 = (−z)2 = f (−z). 3. f : Z→Z z 7→ z + 1 10

ist bijektiv: y ∈ Z : f (y − 1) = y − 1 + 1 = y Injektivität ist klar. 1.2.8

Inverse Abbildung

Definition 1.4. Seien X, Y Mengen, f ∈ A(X, Y ). Ist f bijektiv, dann können wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit f −1 definieren als die Abbildung von Y nach X, die jedem y ∈ Y das eindeutige Element x ∈ X zuordnet für das gilt f (x) = y. Kurz: f −1 : Y → X

(d.h. f −1 ∈ A(Y, X))

y 7→ x, 1.2.9

Beispiel

Sei f aus Beispiel 3 oben. Dann ist f −1 : Z → Z y 7→ y − 1 die zu f inverse Abbildung. 1.2.10

Komposition von Abbildungen

Definition 1.5. X, Y, Z seien Mengen, f ∈ A(X, Y ), g ∈ A(Y, Z). Dann definieren wir die Komposition (Verknüpfung) der Abbildungen f und g, bezeichnet mit g ◦ f (gesprochen: g nach f , g verknüpft mit f , g „Kringel“ f ), als die Abbildung g◦f : X →Z x 7→ g(f (x)) 1.2.11

Beispiel

f : Z → N,

g : N0 → N

2

z 7→ z ,

n 7→ n + 1

Dann ist g◦f : Z→N z 7→ g(f (z)) = g(z 2 ) = z 2 + 1

11

Illustration

1.2.12

Bild- und Urbildmenge

Definition 1.6. Seien X, Y Mengen, A ⊆ X, B ⊆ Y, f ∈ A(X, Y ). Dann heißt f (A) = {f (a) | a ∈ A} Bild(-menge) von A unter f und f −1 (B) := {x | x ∈ X, f (x) ∈ B} Urbild(-menge) von B unter f . 1.2.13

Beispiel

Sei f : Z→Z x 7→ x2 dann ist f ({1, 2}) = {1, 4} f −1 ({4}) = {−2, 2} f −1 ({2, 3}) = ∅ 1.2.14

Logik: Quantoren

Definition 1.7. A(x) sei eine Aussage, die von einer Variablen x abhängt. • ∀ x ∈ M : A(x) bedeutet: Für alle x ∈ M gilt die Aussage A(x). Gleichbedeutend ist A(x) ∀ x ∈ M gelesen: Die Aussage A(x) gilt für alle x ∈ M . • ∃ x ∈ M : A(x) bedeutet: Es existiert ein x ∈ M , sodass die Aussage A(x) gilt. • ∃! x ∈ M : A(x) bedeutet: Es exisitert genau ein x ∈ M , sodass die Aussage A(x) gilt. 12

1.3

Algebraische Strukturen und Zahlenkörper

1.3.1

Innere Verknüpfung

Sei M 6= ∅ im Folgenden immer eine Menge. Definition. Eine Abbildung von M ×M nach M heißt innere Verknüpfung (Komposition) auf M . Ist „◦“ der Name der inneren Verknüpfung, dann schreibt man an Stelle von ◦((m, n)) kurz m ◦ m für alle m, n ∈ M (Infix-Notation). 1.3.2

Beispiele

1. Sei N eine Menge, M = P(N ), dann ist die Abbildung ∪: M ×M →M (A, B) 7→ A ∪ B eine innere Verknüpfung auf M = P(N ) 2. + : Nnaiv × Nnaiv → Nnaiv (m, n) 7→ m + n ist ebenfalls eine innere Verknüpfung 1.3.3

Eigenschaften innerer Verknüpfungen

Definition. Sei „◦„ innere Verknüpfung auf M . i) ◦ heißt assoziativ, wenn gilt: (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) für alle x, y, z ∈ M ii) ◦ heißt kommutativ, wenn gilt x◦y =y◦x für alle x, y ∈ M . iii) e ∈ M heißt neutral (neutrales Element, Einheit) bezüglich „◦“, wenn gilt x◦e=e◦x=x für alle x ∈ M . iv) Sei e ∈ M eine Einheit bzgl. „◦“, x ∈ M . Ein Element y ∈ M heißt invers (inverses Element) zu x ∈ M bzgl. „◦“, wenn gilt x◦y =y◦x=e

13

1.3.4

Beispiele

1. ∪ : P(N ) × P(N ) → P(N ) (A, B) 7→ A ∪ B ist assoziativ, kommutativ; ∅ ist neutrales Element bezüglich ∪ auf P(N ); ∅ ist das einzige Element, das ein Inverses besitzt (und dies ist ∅ selbst). 2. + : Nnaiv × Nnaiv → Nnaiv (m, n) 7→ m + n „ist“ assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen); es existiert kein neutrales Element (somit besitzt auch kein Element ein Inverses). 3. + : Nnaiv × Znaiv → Znaiv (m, n) 7→ m + n ist assoziativ, kommutativ, 0 ist neutrales Element und für jedes z ∈ Znaiv ist z ein inverses Element (gemäß Schulwissen). 1.3.5

Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente

Satz 1.3.1. Seien ◦ : M × M → M eine innere Verknüpfung auf M , e sei eine Einheit bzgl. „◦“. Dann gilt i) die Einheit e ist eindeutig. ii) wenn „◦“ assoziativ ist und y ∈ M ist ein inverses Element zu x ∈ M , dann ist auch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit x−1 ). Beweis. Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben. i) Demnach ist e eine Einheit bzgl „◦“ auf M . Sei nun e˜ ∈ M eine beliebige Einheit in M . Dann gilt, da e˜ und e Einheiten bzgl. „◦“ sind, e = e ◦ e˜ = e˜ Das heißt aber gerade e˜ = e ii) Sei nun „◦“ assoziativ, y ∈ M ein inverses Element zu x ∈ M . Angenommen nun, y˜ ∈ M sei ebenfalls invers zu x. Dann gilt, da y˜ und y invers zu x bzgl. „◦“, y = y ◦ e = y ◦ (x ◦ y˜) = (y ◦ x) ◦ y˜ = e ◦ y˜ = y˜ Somit gilt: y = y˜, d.h. aber gerade, dass das inverse Element eindeutig ist.

14

1.3.6

Körper

Definition. Sei K 6= ∅ eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen „+“ und „·“. (K, +, ·) heißt Körper, wenn folgende Axiome erfüllt sind: (A1) „+“ ist assoziativ. (A2) „+“ ist kommutativ. (A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl. „+“ (das nach Satz 1.3.1 eindeutig ist), genannt 0. (A4) Für jedes x ∈ K existiert ein inverses Element bzgl. „+“, genannt −x (nach Satz 1.3.1 ist dieses eindeutig) (M1) „◦“ ist assoziativ. (M2) „◦“ ist kommutativ. (M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl. „◦“ (das nach Satz 1.3.1 eindeutig bestimmt ist), genannt 1, und 1 6= 0. (M4) Für jedes x ∈ K existiert ein inverses Element bzgl. „◦“, genannt x−1 (nach Satz Satz 1.3.1 ist dieses eindeutig). (D) Für alle x, y, z ∈ K gilt x · (y + z) = (x · y) + (x · z) 1.3.7

Beispiele

1. (Qnaiv , +, ·) ist ein Körper (gemäß Schulwissen). 2. (Rnaiv , +, ·) ist ebenfalls ein Körper (gemäß Schule). 3. K = {0, 1}. Definiere nun auf K folgende innere Verknüpfungen: + : K × K → K, 0 + 0 := 0, 1 + 0 := 1, 0 + 1 := 1, 1 + 1 := 0 · : K × K → K, 0 · 0 := 0, 1 · 0 := 0, 0 · 1 := 0, 1 · 1 := 1 Man kann nachrechnen, dass (K, +, ·) (in der Literatur auch Galois-Field der Charakteristik 2, GF(2) oder Z2 genannt) ein Körper ist mit Einheit 0 bzgl. „+“ und Einheit 1 bzgl. „·“ ist. 1.3.8

Schreibkonventionen

Schreibe oft einfach • x − y anstelle von x + (−y). • xy anstelle von x · y. •

1 y

anstelle von y −1 .

•

x y

anstelle von x · y −1 .

• xy + xz anstelle von (x · y) + (x · z) („Punkt vor Strich-Regel“). 15

1.3.9

Sätze über Körper

Satz 1.3.2. Sei (K, +, ·) ein Körper. Dann gilt i) Falls x, y ∈ K mit x + y = x, dann folgt y = 0. Falls x, y ∈ K, x 6= 0 mit x · y = x, dann folgt y = 1. ii) 0 · x = 0 für alle x ∈ K. iii) −x (respektive x−1 ) sind eindeutig bestimmt für alle x ∈ K (respektive für alle x ∈ K, x 6= 0). iv) (−1) · x = −x für alle x ∈ K. v) Für alle x 6= 0 ist x−1 6= 0. vi) −(−x) = x für alle x ∈ K. vii) Für alle x 6= 0, y 6= 0 ist auch x · y 6= 0 (Nullteilerfreiheit). viii) Für x, y ∈ K gilt x − y = −(y − x) und falls x, y 6= 0, dann ist

 −1 x y

= xy .

ix) −(x + y) = (−x) + (−y) für alle x, y ∈ K; (x · y)−1 = x−1 · y −1 für alle x, y ∈ K, x, y 6= 0. x) (−x) · (−y) = x · y und (−x) · y = x · (−y) = −(xy) für alle x, y ∈ K. Beweis. Sei (K, +, ·) ein Körper und x, y ∈ K beliebige Elemente mit jeweils zugewiesenen Eigenschaften. i) Es gelte x + y = x. Dann folgt A4

A1

⇔

(−x) + (x + y) = (−x) + x = 0

A4

(−x) + x) + y = 0

⇔

0+y =0

⇔

A3

y=0 Sei nun x · y = y. x hat das multiplikatives Inverses x−1 , d.h. x · x−1 = 1. Damit gilt x·y =x

⇔ M4

M1

x−1 · (x · y) = x−1 · x = 1

⇔

(x−1 · x) · y = 1

⇔

1·y =1

⇔

M4

M3

y=1 ii) Nach i) reicht es zu zeigen, dass x + 0 · x = x ∀x ∈ K Sei x ∈ K, dann gilt M3

D

A3

M3

x + 0 · x = 1 · x + 0 · x = (1 + 0) · x = 1 · x = x 16

iii) Weiter oben in Satz 1.3.1 allgemein bewiesen. iv) Sei x ∈ K, dann gilt M3

D

A4

ii)

x + (−1) · x = 1 · x + (−1) · x = (1 + (−1)) · x = 0 · x = 0 Also ist (−1) · x das additive Inverse von x, also (−1) · x = −x, w.z.b.w. v) Sei x ∈ K mit x 6= 0. Angenommen x−1 = 0, dann würde gelten M3

x=x

⇔

1·x=x

⇔

(x · x−1 ) · x = x

⇔

(x · 0) · x = x

⇔

(0 · x) · x = x

⇔

0·x=x

⇔

M4

M2 ii)

ii)

0=x was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt. vi) Für alle x ∈ K gilt nach A4: x+(−x) = 0. Das heißt aber, dass x das (eindeutig bestimmte) additive Inverse von (−x) ist, also gilt x = −(−x). vii) Angenommen es gilt x · y = 0, dann gilt auch (x · y) · y −1 = 0 · y −1 also nach M1 und ii) x · (y · y −1 ) = 0 d.h. nach M4 x · 1 = 0, und schließlich nach M3 x = 0, was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt. viii) Es gilt M3

x − y = 1 · x + (−y) M4 und ii)

=

((−1) · (−1)) · x + (−1) · y

M1

= (−1) · ((−1) · x) + (−1) · y D

= (−1) · ((−1) · x + y) A2 und ii)

=

−(y − x)

ix) Es gilt nach iv) D

iv)

−(x + y) = (−1) · (x + y) = (−1) · x + (−1) · y = (−x) + (−y)

17

Es gilt auch M2

(x · y) · (x−1 · y −1 ) = (x · y) · (y −1 · x−1 ) M1

= x · (y · y −1 ) · x−1

M4

= x · 1 · x−1

M3

M4

= x · x−1 = 1

x) Es gilt ii)

(−x)·(−y) = ((−1)·x)·((−1)·y)

M1 und M2

=

ii)

((−1)·(−1))·(x·y) = 1·(x·y) = x·y

Es gilt auch ii)

M1

ii)

(−x) · y = ((−1) · x) · y

M1 und M2

x · ((−1) · y) = x · (−y)

(−x) · y = ((−1) · x) · y = (−1) · (x · y) = −(x · y) und

ii)

1.4

Angeordnete Körper

1.4.1

Motivation

=

ii)

Beobachtung. (Q, +, ·), (R, +, ·) sind Körper, aber auch K = {0, 1} mit der in Beispiel 3 beschriebenen Addition und Multiplikation. Welche zusätzlichen Strukturen zeichnen nun R aus? → Ordnungsstruktur: beliebige reelle Zahlen können größenmäßig miteinander verglichen werden. 1.4.2

Definition

Definition 1.8. Sei (K, +, ·) ein Körper. Eine Teilmenge P ⊆ K heißt Positivbereich (positiver Kegel, Menge der positiven Zahlen), wenn gilt (P1) Für alle x ∈ K mit x 6= 0 gilt entweder x ∈ P oder (−x) ∈ P ; außerdem 0 6∈ P . (äquivalent dazu ist ∀ x ∈ K ist entweder x ∈ P oder (−x) ∈ P ). (P2) Für alle x, y ∈ P ist auch x + y ∈ P und x · y ∈ P . Dann heißt (K, +, ·, P ) ein angeordneter Körper. Für x ∈ P schreiben wir kurz: x > 0 und in diesem Fall heißt x positiv. Ist (−x) ∈ P , dann heißt x negativ. Bemerkung. In einem Körper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnung eingeführt werden: Sei x, y ∈ K, dann heißt • x < y, wenn y − x ∈ P , sprich: „x ist (strikt) kleiner als y“; • x ≤ y, wenn x < y oder x = y, sprich: „x ist kleiner oder gleich y“; • x > y, wenn y < x, sprich: „x ist (strikt) größer als y“; • x ≤ y, wenn y < x oder y = x, sprich: „x ist größer oder gleich y“. 18

1.4.3

Beispiele

1) (Rnaiv , +, ·, „P = Menge der positiven Zahlen“) ist ein angeordneter Körper. 2) Der Körper aus Beispiel 3 (({0, 1} , +, −)) besitzt keinen Positivbereich (d.h. er kann nicht angeordnet werden). Beweis. Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6∈ P ist, also kommen als mögliche Kandidaten für einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmengen P = ∅ oder P = {1} von K = {0, 1} in Frage. Es ist aber P = ∅ kein Positivbereich, denn für 1 ∈ K gilt: 1 6∈ P und (−1) = 1 6∈ P ((−1) = 1 wegen 1 + 1 = 0), d.h. für P = ∅ gilt nicht (P1). Aber auch P = {1} ist kein Positivbereich, denn für 1 ∈ K gilt: 1 ∈ P und (−1) = 1 ∈ P d.h. für P = ∅ gilt nicht (P1). 1.4.4

Regeln für Ungleichungen

In angeordneten Körpern gelten folgende Rechenregeln: Satz 1.4.1. Sei (K, +, ·) ein angeordneter Körper. Dann gilt: i) Aus x1 < x2 und y1 < y2 folgt x1 + y1 < x2 + y2 . ii) Aus x < y und z > 0 folgt z · x < z · y. iii) Aus x < y und z ∈ K folgt x + z < y + z. iv) Aus x < y folgt −y < −x. v) Aus x < y und z < 0 folgt x · z > y · z. vi) Für jedes x 6= 0 ist x2 := x · x > 0 (insbesondere gilt 1 > 0). vii) Ist x > 0, so ist auch x−1 > 0. viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch für „≤“ anstelle von „<“. Beweis. Sei (K, +, ·) ein angeordneter Körper. Dann gilt: i) Nach Schreibkonvention gilt jeweils: x1 < x2 ⇒ x2 − x1 ∈ P , y1 < y2 ⇒ y2 − y1 ∈ P . Nach (P2) gilt (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) ∈ P Es gilt aber (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) = (x2 + (−x1 )) + (y2 + (−y1 )) (A1) und (A2)

=

Satz 1.3.2 ix)

=

19

(x2 + y2 ) + ((−x1 ) + (−y1 ))

x2 + y2 − (x1 + y1 )

also nach Vereinbarung x1 + y1 < x2 + y2 ii) Nach Schreibkonvention gilt: x < y, d.h. y − x ∈ P , z > 0, d.h. z = z − 0 ∈ P . Mit (P2) folgt somit z · (y − x) = z · (y + (−1) · x) ∈ P d.h. nach (D) aus K z · y + z · (−x) ∈ P nach Satz 1.3.2 x) z · y + (−z · x) ∈ P also (z · y − z · x) ∈ P Nach Schreibkonvention z·x
1.4.5

Betragsfunktion

Definition 1.9. In jedem angeordneten Körper (K, +, ·, P ) kann die sogenannte Betragsfunktion, genannt |·|, definiert werden durch |·| : K → K   x, x 7→ 0,   −x, 1.4.6

Beispiel

Beispiel in K = Rnaiv

20

falls x > 0 falls x = 0 falls x < 0

1.4.7

Abstandsfunktion

Definition 1.10. Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion, genannt d, wie folgt definiert werden: d: K ×K →K (x, y) 7→ |x − y| Man sagt: d(x, y) = |x − y| ist der Abstand zwischen x und y. Damit folgt: |x| = |x − 0| = d(x, 0), d.h. der Betrag von x ist der Abstand von x zu 0. 1.4.8

Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion

Satz 1.4.2. In einem angeordneten Körper (K, +, ·, P ) gilt i) |x| ≥ 0 für alle x ∈ K; |x| = 0 ⇔ x = 0. ii) |x| = |−x| für alle x ∈ K. iii) |x · y| = |x| · |y| für alle x, y ∈ K. iv) |x + y| ≤ |x| + |y| für alle x, y ∈ K - Dreiecksungleichung. v) d(x, y) = d(y, x) für alle x, y ∈ K. vi) d(x, y) ≥ 0 für alle x, y ∈ K. vii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) für alle x, y, z ∈ K. Illustration

Beweis. Sei der angeordnete Körper wie oben gegeben und x, y, z ∈ K. i) Fallunterscheidung: Def

1. x > 0, dann ist |x| = x > 0 Def

2. x = 0, dann ist |x| = 0 Def

3. x < 0, dann ist |x| = −x > 0

21

D.h. in allen 3 Fällen gilt |x| ≥ 0. Weiter ist per Definition klar, dass x = 0 ⇒ |x| = 0. Bleibt zu zeigen, dass |x| = 0 ⇒ x = 0. Beweis durch Kontraposition: Aus x 6= 0 folgt, dass entweder gilt: x > 0 und dann ist |x| = x > 0, oder aber x < 0, und dann ist |x| = −x > 0, somit folgt in beiden Fällen |x| > 0, insbesondere |x| = 6 0. ii) Fallunterscheidung 1. x > 0, dann ist |x| = x und |−x| = −(−x)

Satz 1.3.2 vi)

=

x, also |x| = |−x|

2. x = 0, dann ist die Behauptung klar, da 0 = −0. 3. x < 0, dann ist −x > 0, und somit |x| = −x und |−x| = −x, also |x| = |−x|. iii) Fallunterscheidung: 1. Wenn x = 0 oder y = 0, dann ist |x · y| = 0 = |x| · |y|. 2. Wenn x, y ∈ K, x > 0, y > 0, dann ist |x · y| = x · y, andererseits |x| = x, |y| = y, also |x| · |y| = x · y, d.h. |x · y| = |x| · |y|. 3. Wenn x, y ∈ K, x > 0, y < 0, dann ist x · y < 0 ⇒ |x · y| = −xy, andererseits |x| · |y| = x · (−y) = −xy, also |xy| = |x| · |y|. Die anderen Fälle folgen analog. iv) Es gilt z ≤ |z| , −z ≤ |z| für alle z ∈ K (dies zeigt man leicht durch Fallunterscheidung). Somit folgt (unter Verwendung Satz 1.4.1): x ≤ |x| und y ≤ |x|, also x + y ≤ |x| + |y|, ebenso −x ≤ |x| und −y ≤ |x|, also −x − y ≤ |x| + |y|. Außerdem gilt: Aus z ≤ w und −z ≤ w folgt |z| ≤ w, für alle z, w ∈ K (nach Definition des Betrags). Zusammen folgt |x + y| ≤ |x| + |y| v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv) ii)

v) d(x, y) = |x − y| = |−(x − y)|

Satz 1.3.2 ix)

=

|y − x| = d(y, x)

vi) d(x, y) = |x − y| ≥ 0 nach i) iv)

v)

vii) d(x, y) = |x − y| = |(x − z) + (z − y)| ≤ |x − z|+|z − y| = d(x, z)+d(y, z)

1.4.9

Der Positivbereich der reellen Zahlen

Satz. R hat nur genau einen Positivbereich. Beweis. R ist ein angeordneter Körper mit Positivbereich P = {x ∈ R | x > 0}. Annahme: Sei P˜ ⊂ R ein weiterer Positivbereich. Wir zeigen a) P ⊂ P˜ und 22

b) P˜ ⊂ P . √ √ a) Sei x ∈ P . Dann folgt x > 0 und damit existiert x ∈ R mit ( x)2 = x. Es gilt √ √ √ x=0⇔ x x=x=0⇔ x=0 √ √ √ Somit ist für unser x ∈ P x 6= 0 und es folgt daher x x = x ∈ P˜ , denn nach 1.4.1 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten. Also folgt aus x ∈ P , dass x ∈ P˜ , d.h. P ⊂ P˜ . b) Sei x ∈ P˜ mit x 6∈ P . Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) −x ∈ P . Ist −x ∈ P , p p 2 dann ist −x > 0 und damit existiert (−x) 6= 0 mit (−x) = −x, daher −x ∈ P˜ . Also ist x ∈ P˜ und −x ∈ P˜ , was einen Widerspruch zu (P1) darstellt. Also muss x ∈ P , wenn x ∈ P˜ , d.h. P˜ ⊂ P . Aus a) und b) zusammen folgt P = P˜ . 1.4.10

Beispiel für einen Körper mit zwei Positivbereichen √  Sei K = a + b · 2 | a, b ∈ Q . a) Zu zeigen ist zunächst: (K, +, ·) mit + und · aus R ist ein Körper. √ √ i) Wohldefiniertheit: K ⊂ R, denn mit a, b ∈ Q, 2 ∈ R folgt a+b· 2 ∈ R. Eindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - wären sie nicht eindeutig darstellbar, so könnte man die Operationen nicht als Abbildungen definieren. √ Lemma. Seien a, b ∈ Q. Dann gilt a + b · 2 = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0. √ √ Beweis. Sei a + b · 2 = 0, dann folgt a = −b · 2 (*). √ 1. b = 0: Dann folgt aus (*): a = − 2 · 0 = 0 √ √ 2. b 6= 0: Aus (*) folgt: − ab = 2, ein Widerspruch, denn 2 6∈ Q. √ √ Sei andererseits a = 0 und b = 0, dann ist a + b · 2 = 0 + 0 · 0 = 0 √ √ Sei x ∈ K und a, a ˜, b, ˜b ∈ Q mit x = a + b · 2 = a ˜ + ˜b · 2. Dann gilt √ (a − a ˜) + (b − ˜b) · 2 = 0 ⇔ a − a ˜ = 0 ∧ b − ˜b = 0 also a = a ˜ und b = ˜b. ii) Wohldefiniertheit von + und · auf K: Mit Hilfe der Körperaxiome für R und Q rechnet man leicht nach, dass x1 + x2 ∈ K und x1 · x2 ∈ K für alle x1 , x2 ∈ K. iii) Körperaxiome 1. Kommutativität und Assoziativität von +/· +/· ist kommutativ und assoziativ auf R. Da K ⊂ R ist +/· auf K ebenso kommutativ und assoziativ. 2. Existenz des neutralen Elements √ für + und für · √ Klar: 0 ∈ R und 0 = 0 + 0 · 2 ∈ K, 1 ∈ R und 1 = 1 + 0 · 2 ∈ K. 3. Existenz von Inversen für + √ √ Wenn x = a+b· 2 ∈ K für a, b ∈ Q, dann ist −x = −a−b· 2 ∈ K.

23

4. Existenz von Inversen √ für · Wenn x = a + b · 2 ∈ K für a, b ∈ Q mit a, b nicht beide 0, dann gilt √ √ 1 a−b· 2 a −b 1 −1 √ = 2 x = = = 2 + 2 · 2 2 2 2 x a − 2b a − 2b a − 2b a+b· 2 5. Distributivgesetz: Gilt auf K, da K ⊂ R. Aus 1.-5. folgt: (K, +·) ist ein Körper. b) n o √ √ P1 = a + b · 2 ∈ K | a + b · 2 > 0 n o √ √ P2 = a + b · 2 ∈ K | a − b · 2 > 0 sind Positivbereiche. Beweis. Wohldefiniertheit: X, da die Darstellung der Element in K eindeutig ist √ und wir eindeutig entscheiden können, ob x = a + b · 2 > 0, < 0 oder = 0 ist. 1. P1 ist Positivbereich, die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus „>“ auf R ableiten. 2. P2 ist Positivbereich

√ (a) Sei x ∈ K ∗ mit x = √ a + b · 2 mit a, b ∈ Q und a 6= 0 oder √ b 6= 0. x ∈ P2 ⇒ a − b · √ 2 > 0 in R. Dann gilt aber −a + b · 2 √ < 0 in R, oder auch −a − (−b 2) < 0. Das heißt aber −x = −a − b · 2 6∈ P2 . √ √ √ (b) Seien x =√a + b · 2 ∈ P2 , y = c + d · 2 ∈ P2 , d.h. a − b · 2 > 0, c − d · 2 > 0 in R. Addiert ergibt sich √ (a + c) − (b + d) · 2 > 0 √ √ √ also (a + c) + (b + d) · 2 = (a + b · 2) + (c + d · 2) = x + y ∈ P2 . Multipliziert ergibt sich √ √ √ a · c − a · d · 2 − b · c · 2 + 2 · b · d = (ac + 2bd) − (ad + bc) · 2 > 0 √ √ √ also (ac + 2bd) + (ad + bc) · 2 = (a + b · 2) · (c + d · 2) ∈ P2 .

P1 und P2 sind verschieden voneinander. √ √ √ Beweis. Aus√ 0 + 1 · √2 ∈ K und 0 + 1 · 2 > √0 in R folgt 0 + 1 · 2 ∈ P1 . Aber 0 − 1 · 2 = − 2 < 0 in R, also 0 + 1 · 2 6∈ P2 . Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K. √ Bemerkung. (K, +, ·) ist der kleinste Körper, der die rationalen Zahlen und 2 enthält. Algebraisch erhält man ihn, indem man aus den rationalen Polynomen das über Q irreduzible Polynom (x2 − 2) herausdividiert, d.h. K∼ = Q[x]/(x2 − 2)Q[x] 24

1.5

Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Sei (K, +, ·, P ) ein angeordneter Körper.

1.5.1

Induktive Mengen

Definition 1.11. Eine Teilmengen M von K heißt induktiv, wenn gilt i) 1 ∈ M ii) Wenn m ∈ M , dann ist auch m + 1 ∈ M . (Alternativ zu i) kann dort auch 0 ∈ M stehen.) 1.5.2

Beispiele

1. M = K ist induktiv. 2. In K = Rnaiv : M = {x ∈ Rnaiv | x ≥ 1} ist induktiv. 3. In K = Rnaiv : M = Nnaiv ist induktiv. 1.5.3

Verallgemeinerter Mengendurchschnitt

Notation: • A, B Mengen: A∩B Durchschnitt von A und B mit A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} Tn • A1 , . . . , An Mengen: i=1 Ai = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An • Sei N eine Menge, dann bezeichnet man M = {M | M TM von M mit einer gewissen Eigenschaft} als Mengensystem. \ \ M= M := {x ∈ N | x ∈ M ∀ M ∈ M} M ∈M

1.5.4

Beispiele

1. N Menge, M = P(N ) = {M | M ⊆ N } Mengensystem, dann ist

T

M = ∅. T 2. N = Nnaiv , M = {M | M ⊆ Nnaiv , 1 ∈ M } Mengensystem, dann ist M = {1}.

1.5.5

Natürliche Zahlen

Definition 1.12. Sei M das Mengensystem, dass aus allen induktiven Teilmengen von K besteht. Dann definiert man \ N := M = {x ∈ K | x ∈ M für jede induktive Teilmenge M ∈ K} und bezeichnet diese Menge als die Menge der natürlichen Zahlen.

25

1.5.6

Eigenschaften

i) 1 ∈ N, da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist. ii) Wenn m ∈ N, dann gilt auch m+1 ∈ N (da diese Eigenschaft in jeder induktiven Teilmenge von K gilt). Somit: 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . . ∈ N | {z } | {z } | {z } =:2

=:3

=:4

und NTist die kleinste induktive Teilmenge von K (denn N ist induktiv nach i)+ii) und N = M). 1.5.7

Beweisprinzip der vollständigen Induktion

Satz 1.5.1. Sei A ⊆ N mit den folgenden Eigenschaften: i) 1 ∈ A ii) Wenn m ∈ A, folgt m + 1 ∈ A. Dann gilt: A = N. Beweis. Nach Voraussetzung gilt • A ⊆ N und • A ist induktiv. Es folgt N=

\

M⊆A

also A=N

1.5.8

Allgemeines Verfahren

Behauptung. ∀ n ∈ N : A(n) Beweis durch vollständige Induktion: Induktionsanfang Zeige, dass A(1) gilt. Induktionsschritt Induktionsvoraussetzung Es gelte A(n) für ein festes n ∈ N. Induktionsbeweis Zeige, dass die Aussage A(n + 1) gilt. Damit ist die Aussage A(n) ∀ n ∈ N bewiesen. Begründung der Richtigkeit des Beweisprinzips: Betrachte E = {n ∈ N : A(n) gilt}. Dann gilt E ⊆ N. Im Induktionsanfang wurde gezeigt: 1 ∈ E. Gemäß Induktionsschritt gilt, dass wenn n ∈ E ⇒ n + 1 ∈ E. Dann folgt aus Satz 1.5.1: E = N, d.h. A(n) ∀ n ∈ N. 26

1.5.9

Beispiel

Behauptung. Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n ∈ N) enthält genau 2n Elemente. Beweis. durch vollständige Induktion: Induktionsanfang Die Aussage gilt für n = 1, denn enthält ein Menge M genau ein Element, d.h. M = {m}, dann ist P(M ) = {∅, {m}}, d.h. #P(M ) = 2. Induktionsschritt Induktionsvoraussetzung Für ein festes n gelte: #M = n ⇒ #P(M ) = 2n Induktionsschluss Sei nun M eine Menge mit n + 1 Elementen. ˜ := M \ {m}. Klar: Sei m ∈ M ein beliebiges Element aus M ; betrachte die Menge M ˜ = n, somit gilt nach Induktionsvoraussetzung: #M ˜ ) = 2n #P(M Es ist aber

n o ˜) ˜ ) ∪ A ∪ {m} | A ∈ P(M P(M ) = P(M | {z } | {z } n #=2

#=2n

n o ˜ und A ∪ {m} | A ∈ P(M ˜ ) disjunkt, folgt und da die Mengensysteme P(M #P(M ) = 2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1

1.5.10

Variante des Beweisprinzips der vollständigen Induktion

Behauptung. A(n) ∀ n ∈ N mit n ≥ n0 , wobei n0 ein festes Element in N. Beweis durch vollständige Induktion: Induktionsanfang Zeige, dass A(n0 ) gilt. Induktionsschritt Induktionsvoraussetzung Es gelte A(n) gelte für ein festes n ≥ n0 , n ∈ N. Induktionsschluss Zeige, dann gilt auch A(n + 1). Damit ist gezeigt, dass A(n) ∀ n ∈ N mit n ≥ n0 . Begründung der Korrektheit: Betrachte: E : {n ∈ N | A(n0 + n − 1) gilt} 27

Gemäß Induktionsanfang gilt 1 ∈ E. Gemäß Induktionsschritt gilt ebenfalls n ∈ E ⇒ (n + 1) ∈ E. Somit folgt aus Satz 1.5.1. E = N, d.h. aber gerade A(n) ∀ n ∈ N mit n ≥ n0 . 1.5.11

Beispiel

Zu zeigen: n2 < 2n ∀ n ∈ N mit n ≥ 5. (Beachte hier: A(1) gilt, A(2) bis A(4) gelten nicht, aber mit vollständiger Induktion kann man zeigen: A(n) gilt ∀ n ≥ 5.) Beweis. durch vollständige Induktion: Induktionsanfang Für n=5 ist die Aussage wahr, denn 52 < 25 ⇔ 25 < 32 ist wahr. Induktionsschritt Induktionsvoraussetzung k 2 < 2k sei wahr für ein k ≥ 5. Induktionsbehauptung (k + 1)2 < 2k+1 soll wahr sein. Induktionsbeweis Nach Induktionsvoraussetzung gilt: k 2 < 2k 2

⇔ k

2·k <2·2

⇔

k 2 + k 2 < 2k+1

⇔

k 2 + 2k + 1 < k 2 + k 2 ≤ 2k+1

⇔

2

(*)

k+1

(k + 1) < 2 was zu zeigen war.

Die Abschätzung (*) benötigt einen Beweis: Es ist k · (k − 2) > 4 · (4 − 2) = 4 · 2 = 10 > 1, also ist k 2 − 2k > 1, d.h. k 2 > 2k + 1. 1.5.12

Scheinparadoxon

Behauptung. Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich. Beweis durch vollständige Induktion: Induktionsanfang n = 1: Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich.

28

Induktionsschritt Induktionsvoraussetzung Für ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich. Induktionsschluss Sei M eine n + 1-elementige Menge. Zeichne ein Element m ∈ M aus und teile M \ {m} in zwei disjunkte, nicht-leere Teilmengen M1 und M2 . M1 ∪ {m} und M2 ∪ {m} haben gewiss weniger als n Elemente, nach Induktionsvoraussetzung sind also alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich. Weil m in beiden Mengen liegt, folgt aus der Transitivität der Gleichheit, dass alle Elemente von M gleich sind. Was zu beweisen war(?). Auflösung des Paradoxons Für den Beweis benötigt man, dass die Behauptung auch für zweielementige Mengen gilt. Aber schon für zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch, weshalb der Induktionsschluss nicht funktioniert. 1.5.13

Beispiele von Definitionen durch vollständige Induktion

1. Fakultät: • „Unmathemathische“ Definition: n! := n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 für alle n ∈ N. • Definition durch vollständige Induktion: 1! := 1 (n + 1)! := (n + 1) · n!

∀n ∈ N

2. Ganzzahlige Potenz: x ∈ K, wobei (K, +, ·) ein Körper ist: x1 := x xn+1 := x · xn 1.5.14

∀n ∈ N

Eigenschaften der natürlichen Zahlen

Satz 1.5.2. Seien m, n ∈ N. i) Es gilt m + n ∈ N, m · n ∈ N. ii) Wenn n > 1, dann ist n − 1 ∈ N (jede natürliche Zahl größer als 1 hat einen Vorgänger). iii) Wenn m − n > 0, dann ist m − n ∈ N und insbesondere gilt dann m − n ≥ 1. iv) Sei n ∈ N. Dann existiert kein x ∈ N mit n < x < n + 1. v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungsprinzip der natürlichen Zahlen). Beweis. Seien m, n ∈ N. 29

i) Sei m ∈ N beliebig, aber fest. Nach 1.5.1 ist m + 1 ∈ N. Sei gezeigt, dass m+k ∈ N für ein k ∈ N. Dann ist wieder nach 1.5.1 auch m+k +1 ∈ N. Damit ist durch vollständige Induktion gezeigt, dass m + n ∈ N für alle m, n ∈ N. Sei m ∈ N beliebig, aber fest. Natürlich ist m · 1 = m ∈ N. Sei gezeigt, dass D m·k ∈ N für ein k ∈ N. Dann ist wie eben gezeigt auch m·(k+1) = m·k+m ∈ N. ii) Wenn n ∈ N mit n > 1, dann ist n 6= 1, d.h. gibt es eine Zahl m ∈ N mit m + 1 = n, also n − 1 = m ∈ N. iii) Sei m − 1 > 0, dann ist m > 1. Aus ii) folgt dann, dass auch m − 1 ∈ N. Sei für ein k ∈ N gezeigt, dass m − k ∈ N, wenn m − k > 0. Wenn m − k − 1 > 0, dann ist m − k > 1, also nach ii) m − k − 1 ∈ N. Damit ist durch vollständige Induktion gezeigt, dass aus m − n > 0 folgt: m − n ∈ N. Für alle natürlichen Zahlen n gilt n ≥ 1, denn 1 ≥ 1, und wenn k ≥ 1 für ein k ∈ N, dann ist k + 1 ≥ 1 + 1 > 1 (weil 1 > 0). iv) Angenommen es gäbe ein x ∈ N mit n < x < n + 1, dann würde auch gelten 0 < x − n < 1, wobei x − n nach iii) eine natürliche Zahl ist. Nach iii) muss aber x − n ≥ 1 gelten, wozu x − n < 1 im Widerspruch steht. Also gibt es kein solches x. v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von N. Beweis durch Widerspruch: Angenommen A besitzt kein kleinstes Element. Betrachte nun die Menge E := {m ∈ N | ∀ n ∈ A : n > m} Dann gilt 1 ∈ E (denn aus 1 6∈ E folgt 1 ∈ A und somit das kleinste Element von A). Sei nun m ∈ E. Dann ist per Definition von E: n > m ∀ n ∈ A. Somit folgt: n − m > 0. Nach iii) folgt n − m ∈ N und insbesondere n − m ≥ 1. D.h. n ≥ m + 1 ∀ n ∈ A. Dann folgt aber, dass m + 1 ∈ E (denn, aus m + 1 6∈ E folgt, dass ein a ∈ A existiert mit a ≤ m + 1. Wegen n ≥ m + 1 ∀ n ∈ A ist dann a = m + 1. Damit ist m + 1 kleinstes Element von A ⇒ Widerspruch!). Nach Satz 1.5.1. folgt E = N. Sei nun a ∈ A, dann ist auch a ∈ E, somit folgt dann aber a > a ⇒ Widerspruch!

1.6

Die ganzen und rationalen Zahlen

Definition 1.13. Sei wieder (K, +, ·, P ) ein angeordneter Körper und N die Menge der natürlichen Zahlen in K. • Z := {m − n | m, n ∈ N} - Menge der ganzen Zahlen  • Q := m n | m ∈ Z, n ∈ N - Menge der rationalen Zahlen • Elemente, die in K \ Q liegen, heißen irrationale Zahlen. Dann gilt: 30

• (Z, +, ·) erfüllt (A1)-(A4), (M1)-(M3) und (D), d.h. algebraisch gesehen ist (Z, +, ·) ein kommutativer Ring mit Einselement.  • (Q, +, ·, PQ ) mit PQ = m n | m, n ∈ N ist ein angeordneter Körper. Hierbei bezeichnen „+“ und „·“ die von (K, +, ·) geerbten inneren Verknüpfungen. 1.6.1

Problem

Q ist zu klein:

Z.B. ist Länge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht in Q. Allgemein gilt: wenn c > 0, c2 = 2, dann c 6∈ Q. Beweis. Angenommen c ∈ Q, dann ist c = Somit 

m n

mit m, n ∈ N (mit m und n teilerfremd).

m 2 m2 = 2 n n also |2 {z · n}2 = m2 , also ist m gerade natürliche Zahl, d.h. m = 2 · k für ein k ∈ N. 2 = c2 =

gerade

Einsetzen ergibt 2 · n2 = (2k)2 = 4k 2 ⇒ n2 = 2 · k 2 d.h. n2 ist eine gerade Zahl, somit ist n gerade. Folglich sind m und n beide durch 2 teilbar, was ein Widerspruch dazu ist, dass m, n teilerfremd sind.

1.7

Vollständigkeit; reelle Zahlen

1.7.1

Dedekind’sche Schnitte

Definition 1.14. Sei (K, +, ·, P ) ein angeordneter Körper. Ein Paar (A, B) zweier Teilmengen von K heißt Dedekind’scher Schnitt, falls gilt: i) A, B 6= ∅ ii) ∀ x ∈ A, y ∈ B : x < y iii) A ∪ B = K Ist (A, B) ein Dedekindscher Schnitt, dann heißt eine Zahl x0 ∈ K Schnittzahl zu (A, B), falls x ≤ x0 ≤ y ∀ x ∈ A, y ∈ B 31

1.7.2

Beispiel

• A = {x ∈ R | x ≤ 2} , B = {x ∈ R | x > 2}

(A, B) ist ein Dedekind’scher Schnitt von R mit der Schnittzahl: x0 = 2. • Betrachte in (Q, +, ·, PQ ), im Körper der rationalen Zahlen, folgende Mengen   A = x ∈ Q | x ≤ 0 ∨ x2 < 2 , B = x ∈ Q | x > 0 ∧ x2 > 2

(A, B) ist ein Dedekind’scher Schnitt, aber (A, B) besitzt Schnittzahl √ keine √ (denn der einzige mögliche Kandidat für eine solche wäre 2, aber 2 6∈ Q). 1.7.3

Reelle Zahlen

Definition 1.15. Ein angeordneter Körper, in dem jeder Dedekind’sche Schnitt eine Schnittzahl besitzt, heißt (Dedekind-)vollständig (bzw. erfüllt das Vollständigkeitsaxiom) (...und ist archimedisch angeordnet, s.u., Satz 1.7.3). Intuitiv sollte gelten: (R, +, ·, P ) ist ein angeordneter, vollständiger Körper. Definition 1.16. Zwei Körper (K, ⊕K , K ) und (L, ⊕L , L ) heißen isomorph, falls es eine bijektive Abbildung f : K → L gibt, für die gilt: 1. f (x ⊕K y) = f (x) ⊕L f (y) ∀ x, y ∈ K 2. f (x K y) = f (x) L f (y) ∀ x, y ∈ K Bemerkung. Isomorphe Körper sind sozusagen „identisch“, d.h. können mittels der Abbildung f miteinander identifiziert werden. Satz 1.7.1. Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten, vollständigen Körper. Diesen bezeichnet man mit R. Äquivalente/alternative Definitionen der Vollständigkeit sind möglich, hier folgt eine Möglichkeit: 1.7.4

Beschränktheit von Mengen

Definition 1.17. Sei (K, +, ·, P ) ein angeordneter Körper, A ⊆ K eine Teilmenge. Dann heißt A

32

• nach oben beschränkt

:| ⇐⇒ {z }

„per Definition genau dann, wenn gilt“

∃s ∈ K : a ≤ s ∀a ∈ A s heißt dann obere Schranke von A • nach unten beschränkt : ⇐⇒ ∃s ∈ K : a ≥ s ∀a ∈ A s heißt dann untere Schranke von A • beschränkt : ⇐⇒ A ist nach oben und unten beschränkt. 1.7.5

Maximum und Minimum von Mengen

Definition 1.18. Sei (K, +, ·, P ) ein angeordneter Körper, A ⊆ K eine Teilmenge. • Ein Element m ∈ K heißt Maximum von A, falls m eine obere Schranke von A ist und m ∈ A. Man schreibt : m = max(A). • Ein Element m ∈ K heißt Minimum von A, falls m eine untere Schranke von A und m ∈ A. Man schreibt : m = min(A) 1.7.6

Supremum und Infimum von Mengen

Definition 1.19. Sei (K, +, ·, P ) ein angeordneter Körper. • Sei A eine nach oben beschränkte Teilmenge von K. Besitzt die Menge aller oberen Schranken von A ein Minimum m, so heißt m Supremum (kleinste obere Schranke von A). Man schreibt dann m = sup(A). • Sei A eine nach unten beschränkte Teilmenge von K. Besitzt die Menge aller unteren Schranken von A ein Maximum m, so heißt m Infimum (größte untere Schranke von A). Man schreibt dann m = inf(A). 1.7.7

Beispiele

1. A = {x ∈ R | x < 2} ist eine nach oben beschränkte Teilmenge von R. 2, 3, 83 , π sind zum Beispiel obere Schranken von A. Behauptung: 2 ist das Supremum von A, d.h. sup(A) = 2. Beweis. Klar ist: 2 ist obere Schranke per Definition der Menge A. Angenommen, es existiert eine kleinere obere Schranke t von A, d.h. a ≤ t ∀ a ∈ A und t < 2, dann wäre t+2 <2 t< 2 t+2 Damit ist t+2 2 ∈ A und es folgt dann aus t < 2 , dass t keine obere Schranke von A ist, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt.   2. A = x ∈ Q | x ≤ 0 ∨ x2 < 2 , B = x ∈ Q | x > 0 ∧ x2 > 2 √ √ Es gilt sup(A) = 2, inf(B) = 2, aber in K = Q besitzt A kein Supremum bzw. B kein Infimum. 33

1.7.8

Äquivalente Formulierung der Vollständigkeit

Satz 1.7.2. Sei (K, +, ·) ein angeordneter Körper. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent: i) Jede nicht-leere nach oben beschränkte Teilmenge von K besitzt ein Supremum in K. ii) Jede nicht-leere nach unten beschränkte Teilmenge von K besitzt ein Infimum in K. iii) K ist vollständig, d.h. jeder Dedekind’sche Schnitt von K besitzt eine Schnittzahl in K. Beweis. Sei (K, +, ·) also ein angeordneter Körper. i) ⇒ ii) : Sei A eine nach unten beschränkte Teilmenge von K. Dann ist B := {−a | a ∈ A} eine nach oben beschränkte Teilmenge von K. Nach i) besitzt B demnach ein Supremum, d.h. ∃ m ∈ K : m = sup(B). Man rechnet leicht nach, dass dann −m = inf(A): −m ist untere Schranke von A, denn es gilt m ≥ b ∀ b ∈ B ⇔ m ≥ −a

∀ a ∈ A ⇔ −m ≤ a

∀a ∈ A

−m ist größte untere Schranke, denn angenommen es gibt eine größere untere Schranke −t, d.h. ∀ a ∈ A : −t ≤ a und −t > −m, also ∀ a ∈ A : t ≥ −a bzw. ∀ b ∈ B : t ≥ b und t < m, womit t eine untere Schranke von B wäre, die kleiner als m ist, was ein Widerspruch dazu ist, dass m das Supremum von B ist. ii) ⇒ iii) : Sei (A, B) ein Dedekind’scher Schnitt von K. Dann ist also B 6= ∅ und a < b ∀ a ∈ A, b ∈ B, d.h. insbesondere ist B nach unten beschränkt. Nach ii) existiert m = inf(B) in K, d.h. zum einen m ist untere Schranke von B: m≤b

∀b ∈ B

Außerdem gilt a ≤ m ∀ a ∈ A, denn angenommen es gäbe ein a0 ∈ A mit a0 > m, dann würde m < a0 < b für alle b ∈ B gelten, was Widerspruch dazu ist, dass m die kleinste untere Schranke von B ist. Dann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (A, B). iii) ⇒ i) : Sei M eine nicht-leere nach oben beschränkte Teilmenge von K. Betrachte dann B = {b ∈ K | b ≥ m ∀ m ∈ M } (Menge aller oberen Schranken von M ) Da M nach oben beschränkt ist, ist B 6= ∅. Betrachte dann A := K \ B. Entweder hat M ein Maximum, dass dann natürlich auch obere Schranke ist und somit in B liegt. Damit ist max(M ) − 1 in K, aber definitiv nicht in B, also max(M ) − 1 ∈ A und folglich ist A nicht-leer. Oder M hat kein Maximum, d.h. B ∩ M = ∅, also M ⊆ A. Wegen M 6= ∅ ist auch A 6= ∅. Weiterhin gilt – a < b ∀ a ∈ A, b ∈ B 34

– A∪B =K d.h. (A, B) ist ein Dedekind’scher Schnitt. Nach iii) besitzt (A, B) eine Schnittzahl x0 in K für die gilt a ≤ x0 ≤ b ∀ a ∈ A, b ∈ B Dann folgt aber sofort: x0 = sup(M )

1.7.9

Archimedisches Axiom

Satz 1.7.3. N ist in R nicht nach oben beschränkt, d.h. für alle x ∈ R existiert ein n ∈ N mit x < n. R heißt deshalb archimedisch angeordnet. Beweis. durch Widerspruch: Angenommen N wäre eine nach oben beschränkte Teilmenge von R. Da R vollständig, existiert dann s = sup(N) in R. Dann ist aber s − 1, da kleiner als s, keine obere Schranke von N, d.h. ∃ n ∈ N, sodass s − 1 < n. Daraus folgt aber unmittelbar s < n + 1 ∈ N, also kann s keine obere Schranke sein, Widerspruch. 1.7.10

Folgerungen

Korollar. (Satz des Eudoxos) Für alle a, b ∈ R mit a, b > 0 existiert ein n ∈ N mit n · a > b . Insbesondere gilt: ∀ a ∈ R : a > 0 ⇒ ∃ n ∈ N : a > n1 (d.h. gegen 0.).

1 n n∈N




konvergiert

Beweis. Den Zusatz erhält man, wenn man b = 1 wählt. Existenz von n im allgemeinen Fall: Angenommen ein solches n existiert nicht, dann würde gelten: n·a≤b d.h. n ≤ ab ∀ n ∈ N, womit eine obere Schranke von N gefunden wäre, was ein Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist. Korollar. Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen. i) Für alle a, b ∈ R mit a < b gibt es ein q ∈ Q mit a < q < b („Q ist dicht in R“). ii) ∀ a, b ∈ R mit a < b ∃ s ∈ R \ Q mit a < s < b. Beweis. Fallunterscheidung: i)

1. Fall: a < 0 < b: trivial, da q = 0 das gewünschte leistet. 2. Fall: 0 < a < b ⇒ b − a > 0 Da R archimedisch angeordnet, ∃ n ∈ N mit b − a > n1 ⇔ b > a + n1 . Archimedische Anordnung von R impliziert auch, dass ∃ k ∈ N mit nk > a. Betrachte nun   k M = k ∈ N | > a ⊆ N, 6= ∅ n

35

Da N wohlgeordnet ist, besitzt M ein kleinstes Element k0 . Nach Definition von M gilt dann kn0 > a, und weil k0 kleinstes Element von M ist k0 − 1 ≤a n also

k0 1 ≤a+
Zusammen also a <

k0 n

< b.

3. Fall: a < b < 0 ⇒ 0 < −b < −a, dann folgt aus 2. Fall ∃ q ∈ Q mit −b < q < −a, also a < −q < b. Somit leistet −q das Gewünschte. • Seien a, b ∈ R mit a < b. Nach i) ∃ q1 , q2 ∈ Q mit a < q1 < q2 < b. Dann 1 1 leistet s := q1 + q2√−q das Gewünschte, denn es gilt 0 < q2√−q < q2 − q1 , also 2 2 a < q1 < q1 +

1.7.11

q2 − q1 √ < q1 + (q2 − q1 ) = q2 < b 2

Bemerkungen/Ergänzungen

Bemerkung. (Q, +, ·, PQ ) ist ein angeordneter Körper, der nicht vollständig ist, aber der sehr wohl archimedisch angeordnet ist (d.h. das Archimedische Axiom (N ist in Q nicht nach oben beschränkt) erfüllt). Beweis. Zu zeigen ist: ∀ q ∈ Q ∃ n ∈ N : n > q. Wenn q ≤ 1, dann leistet n = 1 das Gewünschte. Sei also q > 1. Es ist q = gewisse k, l ∈ N. Dann gilt

k l

für

k k+1 k+1 < ≤ =k+1∈N l l 1

Bemerkung. Es gibt angeordnete Körper, die nicht archimedisch angeordnet sind, zum Beispiel den Körper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum Thema). Definition 1.20. (Konzept der Gleichmächtigkeit von Mengen) Seien M, N Mengen. i) M und N heißen gleichmächtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl), wenn es eine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt. Man schreibt dann: #M = #N . ii) Ist M gleichmächtig zu {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ k} für ein k ∈ N, dann heißt M endlich und es ist #M = k. Man setzt #∅ = 0. iii) Ist M gleichmächtig zu N, dann heißt M abzählbar unendlich. iv) M heißt abzählbar, wenn M endlich oder abzählbar unendlich ist. Ansonsten heißt M überabzählbar unendlich. 36

Satz. Es gelten folgende Tatsachen 1. Teilmengen abzählbarer Mengen sind wieder abzählbar. 2. Falls M und N abzählbare Mengen sind, dann ist auch M × N abzählbar. 3. Abzählbare Vereinigungen von abzählbaren Mengen sind wieder abzählbar. 4. Insbesondere ist Z ist abzählbar unendlich. 5. Q ist abzählbar unendlich. 6. R ist überabzählbar. Beweis. Hier nicht nur exemplarisch: 1. Sei M abzählbar, A ⊆ M . Falls A = ∅ oder A endlich, dann ist nichts zu zeigen. Sei also A unendlich. Dann ist notwendigerweise M abzählbar unendlich, d.h. es existiert eine bijektive Abbildung f : N → M . Sei f −1 : M → N eine Umkehrabbildung von f . Gesucht ist eine bijektive Abbildung g: N→A Konstruiere eine solche Funktion induktiv. Betrachte dazu N1 := {n ∈ N | f (n) ∈ A} ⊆ N, 6= ∅ Nach dem Wohlordnungsprinzip besitzt M ein kleinstes Element n1 . Setze g(1) = f (n1 ). Angenommen g(1), . . . , g(k) für ein k ∈ N sind bereits definiert, betrachte dann  Nk := {n ∈ N | f (n) ∈ A} \ f −1 (g(1)), . . . , f −1 (g(k)) ⊆ N, 6= ∅ Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 . Setze dann g(k + 1) = f (nk+1 ). Damit ist g auf ganz N definiert. g ist außerdem bijektiv: g ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk . g ist surjektiv, denn für alle a ∈ A gibt es ein m ∈ N mit f (m) = a. Spätestens in Nm ist m nicht mehr enthalten, was heißt, dass einer natürlichen Zahl durch g f (m) = a zugeordnet wurde. 2. Es genügt, die Behauptung für abzählbar unendliche Mengen zu zeigen. In Fällen diverser endlichen Mengen kann man dieses durch natürliche Zahlen zu unendlichen Mengen „auffüllen“ und später mit 1. argumentieren, dass die Behauptung auch für diese endlichen Mengen gilt. Weil M und N abzählbar sind, kann man die Element durchnummerieren, d.h. M = {mi | i ∈ N} und N = {nj | j ∈ N}. Dann ist natürlich eine Bijektion f : M × N → N × N ist gegeben durch f ((mi , nj )) = (i, j) Man definiert nun die Abbildung τ : N × N 7→ N,

t(n, m) = 37

1 (n + m + 1) (n + m) + n 2

Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1. Cantor’schen Diagonalarguments:

Im Folgenden wird gezeigt, dass τ bijektiv ist. Für alle a ∈ N liefert τ (0, a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen: a · (a + 1) 1 (0 + a + 1) (0 + a) + 0 = 2 2 Für jede natürliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 , d2 mit d1 ≤ l ≤ d2 . Das heißt, man kann jedem l ein a zuweisen, sodass gilt τ (0, a) ≤ l < τ (0, a + 1) Diese Abbildung heiße d. Nun gilt: τ (l − τ (0, d(l)), d(l) − (l − τ (0, d(l)))) 1 = [l − τ (0, d(l)) + d(l) − (l − τ (0, d(l))) + 1] [l − τ (0, d(l)) + d(l) − (l − τ (0, d(l)))] + l − τ (0, d(l)) 2 d(l) · (d(l) + 1) d(l) · (d(l) + 1) = +l− =l 2 2 Man kann also jede natürliche Zahl l mit τ erzeugen, demnach ist die Abbildung surjektiv. Seien (n1 , m1 ), (n2 , m2 ) mit (n1 , m1 ) 6= (n2 , m2 ). Wenn n1 + m1 6= n2 + m2 , dann sei o.B.d.A. n1 + m1 > n2 + m2 , und es gilt 1 1 (n1 + m1 + 1) (n1 + m1 ) + n1 − (n2 + m2 + 1) (n2 + m2 ) − n2 2 2 1 1 = (n1 + m1 + 1) (n1 + m1 ) − (n2 + m2 + 1) (n2 + m2 ) + n1 − n2 2 2

τ (n1 , m1 ) − τ (n2 , m2 ) =

Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groß wie n1 + m1 , und aus n1 + m1 > n2 + m2 folgt n1 + m1 > n2 − n1 , also τ (n1 , m1 ) − τ (n2 , m2 ) > 0. Also ist im Folgenden n1 +m1 = n2 +m2 . Wenn m1 6= m2 , folgt aus n1 +m1 = n2 + m2 , dass n1 6= n2 . Wenn n1 6= n2 , dann sieht man leicht an 1 (n1 + m1 + 1) (n1 + m1 ) + n1 2 1 τ (n2 , m2 ) = (n1 + m1 + 1) (n1 + m1 ) + n2 2 τ (n1 , m1 ) =

38

dass τ (n1 , m1 ) 6= τ (n2 , m2 ) folgt. Damit ist die Injektivität von τ gezeigt, und zusammen mit dem Surjektivitätsbeweis die Bijektivität. Nun ist τ ◦ f eine Bijektion (τ ◦ f ) : M × N → N, also ist M × N abzählbar. 3. Auch hier genügt es, die Behauptung für abzählbar unendliche Mengen zu zeigen. Seien Mi mit i ∈ I ⊆ N die abzählbaren Mengen, S dann kann man schreiben: Mi := {xij | j ∈ N}. Dann ist eine Bijektion f : i∈I Mi → N × N gegeben durch f (xij ) = (i, j) τ istS dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt. Nun ist τ ◦ f eine Bijektion von i∈I Mi → N, also ist die abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen wieder abzählbar. 4. Z abzählbar unendlich, da f : N→Z ( n 7→

n 2 , falls n gerade n−1 2 , falls n ungerade

eine Bijektion ist. Alternativ: N, {0} und −N sind abzählbar, also ist auch N ∪ {0} ∪ −N = Z abzählbar.  5. Sei Mi = zi | z ∈ Z , also die Menge aller rationalen Zahlen, die sich als Bruch mit Nenner i schreiben lassen, für i ∈ N. Die Mi sind natürlich abzählbar (siehe Punkt 4), also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzählbar (Indexmenge ist abzählbar), siehe Punkt 3. Es ist aber gerade o nz o [ [ nz Mi = |z ∈Z = | z ∈ Z, i ∈ N = Q i i i∈N

i∈N

Also ist Q abzählbar. 6. Angenommen R ist abzählbar unendlich. Dann existiert eine bijektive (insbesondere surjektive) Abbildung f : N → R. Bezeichne mit an ∈ {1, . . . , 9} die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimalentwicklung der Zahl f (n) für jedes n ∈ N. Definiere dann ( 1, falls an 6= 1 bn := 3, falls an = 1 und betrachte dann die reelle Zahl r = 0.b1 b2 b3 . . . bn . . . Angenommen r ∈ f (N), dann existiert k ∈ N mit r = f (k). Die k-te Stelle von f (k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk . Wenn ak = 1, dann bk 6= 1, wenn ak 6= 1, dann bk = 1. f (k) und r unterscheiden sich also an der k-ten Stelle, können also nicht gleich sein. Also ist r 6∈ f (N). Damit ist aber f nicht surjektiv, Widerspruch zur Voraussetzung. 39

1.8

Komplexe Zahlen

1.8.1

Definition als Paare von reellen Zahlen

In den Hausaufgaben zum zweiten Übungsblatt wurde gezeigt, dass R2 = R × R mit den nachfolgend definierten Operationen ⊕ und ein Körper ist. ⊕ : R2 × R2 → R2 ((a, b), (c, d)) 7→ ((a + c), (b + d)) : R2 × R2 → R2 ((a, b), (c, d)) 7→ ((ac − bd), (ad + bc)) Dabei ist (0, 0) die Körper-Null und (1, 0) die Körper-Eins. Man hat außerdem festgestellt, dass   a −b , a2 + b2 a2 + b2 das multiplikative Inverse von (a, b) ist. 1.8.2

Die imaginäre Einheit

Wie in Satz 1.4.1 festgestellt, gilt in jedem angeordneten Körper x2 > 0 und im Besonderen 1 > 0, also −1 < 0. Für (0, 1) ∈ R2 gilt aber (0, 1)2 = (0, 1) (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −(1, 0) Da (1, 0) aber die Körper-Eins ist, und somit in einer Anordnung gleichzeitig −(1, 0) < 0 und (0, 1)2 = −(1, 0) > 0 gelten müsste, kann (R, ⊕, ) nicht angeordnet werden. Diesem speziellen Element (0, 1) gibt man einen spezielle Namen: (0, 1) := i heißt imaginäre Einheit. i macht zwar die Anordnung von R2 unmöglich, ist aber dafür eine Lösung der Gleichung z 2 + 1 = 0 - die andere Lösung ist natürlich −i. Da jede Zahl (a, b) ∈ R2 geschrieben werden kann als a · (1, 0) + (0, 1) ·b schreibt | {z } | {z } 1

man nun a + i · b := (a, b) ∈ R 1.8.3

2

Potenzen von i

Satz. Für alle n ∈ N gilt:  1,    i, in =  −1,    −i,

falls n = 4m falls n = 4m + 1 falls n = 4m + 2 falls n = 4m + 3 40

i

für ein m ∈ N. Beweis. Es gilt i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = i2 · i = (−1) · i = −i Damit folgt i4m = i4


m

= i2 · i2


m

m

= ((−1) · (−1))

= 1m = 1

i4m+1 = i4m · i = 1 · i = i i4m+2 = i4m · i2 = 1 · (−1) = −1 i4m+3 = i4m · i3 = 1 · (−i) = −i

1.8.4

Bezeichnungen

1. {a + i · b | a, b ∈ R} =: C bezeichnet man die „Menge der komplexen Zahlen“. 2. Ist a + i · b ∈ C, so nennen wir a = Re(a + i · b) ∈ R den Realteil und b = Im(a + i · b) ∈ R den Imaginärteil von a + i · b 3. Ist für ein z ∈ C der Imaginärteil Im(z) = 0, so ist z ∈ R. 1.8.5

Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen

Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2 , ⊕, ) wie in R gewohnt rechnen. (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) = (a + c) + i(b + d) = (a + ib) + (c + id) (a, b) (c, d) = (ac−bd, ad+bc) = (ac−bd)+i(ad+bc) = ac+i·ad+i·bc+i2 ·bd = (a+ib)·(c+id) 1.8.6

Eigentliche Definition

Definition 1.21. (C, +, ·) ist der Körper der komplexen Zahlen. In der neuen Schreibweise ist (0, 0) = 0 + i · 0 = 0 das Nullelement, (1, 0) = 1 + i · 0 = 1 das Einselement und 

a −b , 2 2 2 a + b a + b2

 =

das multiplikative Inverse zu a + ib.

41

a2

a −b + 2 ·i 2 +b a + b2

1.8.7

Beispiel

Seien z = 3 + 4i, w = 5 + 2i, dann ist z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6i z · w = (3 + 4i) · (5 + 2i) = 15 − 8 + (6 + 20) · i = 7 + 26i 1.8.8

Lösungen quadratischer Gleichungen

Sei y ∈ R, y > 0, dann folgt √ z2 = y ⇒ z = ± y bzw. p √ √ √ √ z 2 = −y ⇒ z = ± −y = ± (−1) · y = ± −1 · y = ±i · y D.h. jede Gleichung der Form z 2 = y für y ∈ R, y 6= 0 hat genau zwei Lösungen in der Menge der komplexen Zahlen. 1.8.9

Konjugiert-komplexe Zahl

Definition 1.22. Ist z = a + bi, so heißt z = a − bi die zu z konjugiert-komplexe Zahl. 1.8.10

Betrag

Definition 1.23. Sei z = a + bi, dann heißt |·| : C → R p √ |z| = z · z = a2 + b2 Betrag von z. 1.8.11

Eigenschaften

Es gilt 1. |z| = 0 ⇔ z = 0 für z ∈ C. 2. |z · w| = |z| · |w| für z, w ∈ C. 3. |z + w| ≤ |z| + |w| (Dreiecksungleichung) für z, w ∈ C. 1.8.12

Abstandsfunktion

Definition 1.24. Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betrag induzierte Abstandsfunktion d: d: C×C→R d(z, w) = |z − w|

42

1.8.13

Darstellung in der Gauß’schen Zahlenebene

43

2

Folgen und Reihen

2.1

Folgen

2.1.1

Definition

Definition 2.1. Sei M eine nicht-leere Menge. Eine Abbildung f : N→M heißt eine Folge in M . Man schreibt (f (n))n∈N , (fn )n∈N , (fn )n , (fn ) oder auch (f1 , f2 , f3 , . . .). 2.1.2

Beispiele

1. (2, 4, 8, 16, . . .) = (2n )n∈N f : N→N n 7→ 2n = f (n) = fn fn heißt auch n-tes Folgenglied. 2. ((−1)n )n∈IN = (−1, 1, −1, . . . , ) 3. (an )n∈N definiert (induktiv) durch a1 := 1, an+1 :=

1 2

 an +

2 an

 n∈N

dann ist (an ) = (1, 1.5, 1, 416, 1, 414215686274509804). 4. (an )n∈N definiert durch a1 := −1, a2 := 4, an+2 := −2 · (an + an+1 )

n∈N

dann ist (an ) = (−1, 4, −6, 4, 4, −16, 24, . . .). 5. Eine Folge in C:  n  i 1+ = n n∈N



i 1 + i, 1 + 2

! 2  3 i , 1+ ,... 3

a: N→C  n i n 7→ 1 + n 6. Eine Folge von Mengen: f : N → P(R) n 7→ [−n, n] := {x ∈ R | − n ≤ x ≤ n} d.h. (fn )n∈N = ([−n, n])n∈N . 44

7. Eine Folge von Abbildungen. Sei M = A(R, R). f : N→M n 7→ fn , wobei fn : R → R mit x 7→ xn (fn )n∈N ist eine „Funktionenfolge“. Beispiele 1.-4. sind reelle Zahlenfolgen, d.h. Abbildungen von N nach R. 2.1.3

Teilfolgen

Definition 2.2. Seien (an )n∈N , (bk )k∈N zwei Folgen in einer Menge M . Dann heißt (bk )k∈N eine Teilfolge von (an )n∈N , falls eine Abbildung ϕ : N → N existiert, für die gilt: i) ϕ ist strikt monoton wachsend, d.h. ∀ m, n ∈ N, m < n : ϕ(m) < ϕ(n) ii) bk = aϕ(k) für alle k ∈ N Man schreibt oft einfach: (bk )k = (aϕ(k) )k = (ank )k wobei nk = ϕ(k) für alle k ∈ N. 2.1.4

Beispiel
22k−1 k∈N ist Teilfolge von (2n )n∈N (und die Abbildung ϕ : N → N ist definiert durch ϕ(k) = 2k − 1 ∀ k ∈ N). 2.1.5

Umordnung

Definition 2.3. Seien (an )n∈N , (bn )n∈N zwei Folgen in einer Menge M . Dann heißt die Folge (bn ) Umordnung der Folge (an ), falls eine bijektive Abbildung ϕ : N → N existiert mit bn = aϕ(n) für alle n ∈ N. 2.1.6

Beispiel

Sei (an )n∈N = (−1)n )n∈N = (−1, 1, −1, 1, −1, . . .), dann ist (bn )n∈N = (−1, −1, 1, 1, −1, −1, 1, 1, . . .) eine Umordnung von (an ), wobei ϕ: N→N   n, ϕ(n) = n + 1,   n − 1,

wenn n mod 4 = 0 ∨ n mod 4 = 1 wenn n mod 4 = 2 wenn n mod 4 = 3

wie man durch Nachrechnen leicht zeigt, die Umordnungfunktion ist, d.h. es gilt (bn ) = aϕ(n) für alle n ∈ N und ϕ ist bijektiv.

45

2.1.7

Graphische Darstellung von Zahlenfolgen

1. Möglichkeit:
durch Darstellung des Graphen Beispiel: n1 n∈N

2. Möglichkeit:
durch Darstellung des Bildes der Folge Beispiel: n1 n∈N


n Beispiel: 1 + ni )n∈N Sinnvoller Weise wählt man hier die Darstellung des Bildes in der Gauß’schen Zahlenebene:

46

2.2

Konvergenz

Im Folgenden bezeichnet K = R oder C und |·| : K → R bezeichne die Betragsfunktion auf K = R oder C. 2.2.1

Nullfolgen

Definition 2.4. Sei (an )n∈N eine Folge in K. Wir sagen (an )n∈N ist eine Nullfolge (oder auch: (an )n∈N konvergiert gegen Null), wenn gilt ∀  > 0 ∃ n0 ∈ N : |an | <  ∀ n ∈ N, n ≥ n0 2.2.2

Beispiele

1. (an )n∈N =

1 n n∈N




ist eine Nullfolge.

Beweis. Sei  ∈ R,  > 0, dann folgt wegen der archimedischen Anordnung von R die Existenz eines n0 ∈ N mit 1 < n0 Da für n ≥ n0 gilt

1 1 ≤ n n0

folgt damit sofort |an | =

2. (an )n∈N =



√1 n

 n∈N

1 <  ∀ n ≥ n0 n

ist eine Nullfolge.

47

Beweis. Sei  > 0, dann ist 2 > 0. Wegen der archimedischen Anordnung von R existiert ein n0 ∈ N mit n10 < 2 . Somit folgt für alle n ≥ n0 1 1 ≤ < 2 n n0 also

2.2.3

1 |an | = √ <  ∀ n ≥ n0 n

Allgemeine Konvergenz

Definition 2.5. Sei (an )n∈N eine Folge in K, a ∈ K. Man sagt: (an ) konvergiert gegen a, wenn (an − a)n∈N eine Nullfolge ist, d.h. wenn gilt ∀e > 0

∃ n0 ∈ N : |an − a| <  ∀ n ∈ N, n ≥ n0

Definition 2.6. Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limes der Zahlenfolge (an )n∈N . Man schreibt kurz: lim an = a n→∞

n→∞

oder: an → a wenn n → ∞, oder: an −→ a. Definition 2.7. Man sagt, dass eine Zahlenfolge (an )n∈N konvergent ist (bzw. konvergiert), falls ein a ∈ K existiert, sodass an gegen a konvergiert; andernfalls heißt sie divergent. 2.2.4

Beispiele

1. (an )n∈N = (a)n∈N für a ∈ K (konstante Zahlenfolge, d.h. an = a ∀ n ∈ N) konvergiert gegen a.
2. (an )n∈N = (1 + n1 )n∈N , limn→∞ 1 + n1 = 1, denn (an − 1) = ( n1 ) ist eine Nullfolge. 2.2.5

Eindeutigkeit des Limes

Satz 2.2.1. (an )n∈N ⊆ K, a, b ∈ K. Falls an → a und an → b gilt, dann folgt a = b. Mit anderen Worten: Der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt. Beweis. Angenommen a 6= b. Setze  := existieren zu diesem 

|b−a| 2

> 0. Da an → a und an → b,

n0 ∈ N : |an − a| <  ∀ n ≥ n0 n1 ∈ N : |an − b| <  ∀ n ≥ n1 Dann gilt für alle n ∈ N mit n ≥ max {n0 , n1 } |a − b| = |a − an + an − b| ≤ |a − an | + |an − b| <  +  = |b − a| Widerspruch. 48

2.2.6

Konvergente Zahlenfolgen sind beschränkt

Satz 2.2.2. Konvergente Zahlenfolgen sind beschränkt, d.h. ist (an )n∈N ⊆ K eine konvergente Folge, dann existiert ein M ≥ 0, sodass |an | ≤ M für alle n ∈ N. Beweis. Sei (an )n∈N eine konvergente Zahlenfolge, d.h. ∃ a ∈ K mit limn→∞ an = a. Sei  = 1, dann existiert n0 ∈ N, so dass |an − a| < 1 für alle n ≥ n0 . Dann folgt |an | = |an − a + a| ≤ |an − a| + |a| < |a| + 1

∀ n ≥ n0

Wähle M = max {|a1 | , |a2 | , . . . , |an0 −1 | , |a| + 1}, dann gilt |an | ≤ M für alle n ∈ N. Folgerung. Unbeschränkte Folgen, d.h. Folgen, die nicht beschränkt sind, sind divergent. Beispiele: 1. (an )n∈N = (n)n∈N 2. (2n )n∈N Aber die Umkehrung gilt nicht, es gibt auch beschränkte Folgen, die divergent sind, zum Beispiel (an )n∈N = ((−1)n )n∈N 2.2.7

Konvergenzkriterien

Satz 2.2.3. Sei (an )n∈N ⊆ K eine Nullfolge. Dann gilt i) Wenn (bn )n∈N ⊆ K eine weitere Zahlenfolge und |bn | ≤ |an |

∀n ∈ N

dann ist auch (bn )n∈N eine Nullfolge („Majorantenkriterium“). ii) Wenn (bn )n∈N ⊆ K eine beschränkte Zahlenfolge ist, dann ist auch (an · bn )n∈N eine Nullfolge. Beweis. Sei (an )n∈N ⊆ K eine Nullfolge. i) Sei  > 0. Da an → 0, existiert ein n0 ∈ N mit |an | <  für alle n ≥ n0 . Also |bn | ≤ |an | <  ∀ n ≥ n0 . ii) Nach Voraussetzung existiert ein M > 0 : |bn | ≤ M für alle n ∈ N (Fall M = 0 ist trivial, denn dann ist bn = 0, also auch an · bn = 0 für alle n ∈ N).  Sei nun  > 0 gegeben, dann setze ˜ = M > 0. Da an → 0, existiert ein n0 ∈ N: |an | < ˜ ∀ n ≥ n0 . Damit folgt |an · bn | = |an | |bn | < M · ˜ = M · also an · bn → 0

49

 =  ∀ n ≥ n0 M

2.2.8

Rechenregeln für konvergente Folgen

Satz 2.2.4. Seien (an )n∈N , (bn )n∈N konvergente Zahlenfolgen in K, a := lim an , b := lim bn . Dann gilt i) (an + bn )n∈N ist konvergent und lim (an + bn ) = lim an + lim bn = a + b ii) (an · bn )n∈N ist konvergent und lim (an · bn ) = lim an · lim bn = a · b iii) Wenn bn 6= 0 ∀ n ∈ N, b 6= 0, dann ist auch ( abnn )n∈N konvergent und  lim

an bn

 =

lim an a = lim bn b

Beweis. Es wird jeweils gezeigt: i) Sei  > 0. Dann existiert ein n0 ∈ N, sodass |an − a| < alle n ≥ n0 . Dann folgt aber

 2

und |bn − b| <

|(an − bn ) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ≤ |an − a|+|bn − b| <

 2

für

  + = 2 2

für alle n ≥ n0 . Also gilt lim (an + bn ) = (a + b)

n→∞

ii) Da (bn )n∈N konvergent ist, ist (bn )n∈N beschränkt, d.h. es existiert M ≥ 0, so dass |bn | ≤ M für alle n ∈ N.  Sei  > 0. Dann existiert ein n0 ∈ N, so dass |an − a| < M +|a| und |bn − b| <  für alle n ≥ n . Dann folgt 0 M +|a| |an · bn − a · b| = |(an − a) · bn + a · (bn − b)| ≤ |(an − a) · bn | + |a · (bn − b)| = |an − a| · |bn | + |a| · |bn − b| also |an · bn − a · b| <

   · M + |a| · = (M + |a|) · = M + |a| M + |a| M + |a|

für alle n ≥ n0 . Also gilt lim an · bn = a · b

n→∞

Bemerkung. Insbesondere gilt: (c · an )n∈N ist konvergent und limn→∞ c · an = c · a für alle c ∈ K.

50

2

iii) Sei  > 0. Dann existiert ein n0 ∈ N, so dass |bn − b| < |b|2 ·  und |bn − a| < |b| 2 . Es gilt |b| = |b − bn + bn | ≤ |b − bn | + |bn | also |b| − |bn − b| ≤ |bn | und damit |bn | ≥ |b| − |b − bn | > |b| −

|b| |b| = 2 2

Somit folgt 1 − 1 = b − bn bn b bn · b 1 = · |b − bn | |bn | · |b| < =

2

|b| · · |b| 2

1 |b| 2

·

2

2 2

|b|

·

|b| ·= 2

also

1 1 = bn b und zusammen mit an → a und ii) folgt lim

n→∞

lim

n→∞

2.2.9

an a = bn b

Konvergenz von Teilfolgen

Satz 2.2.5. Ist (ank )k∈N Teilfolge einer konvergenten Folge (an )n∈N ⊆ K, dann ist auch (ank )k∈N konvergent und lim ank = lim an n→∞

k→∞

Beweis. Es gelte an → a. Sei  > 0. Dann existiert ein n0 ∈ N mit |an − a| <  ∀ n ≥ n0 Wähle dann k0 ∈ N, so dass nk ≥ nk0 ≥ n0 . Damit folgt |ank − a| <  ∀ k ≥ k0

Satz. Sei (an )n∈N⊆ K eine Folge. Wenn jede Teilfolge (ank )k∈N eine gegen a konvergente Teilfolge ankl besitzt, dann konvergiert auch (an )n∈N gegen a. l∈N

51

Beweis. Angenommen (an )n∈N sei nicht gegen a konvergent, d.h. ∃ > 0

∀n ∈ N

∃ n0 ≥ n : |an0 − a| > 

Definiere dann eine Teilfolge (ank )k∈N wie folgt induktiv an1 := min {n0 ∈ N | n0 ≥ 1 ∧ |an0 − a| > } ank+1 = min {n0 ∈ N | n0 > nk ∧ |an0 − a| > } Für (ank )k∈N gilt dann |ank − a| >  ∀ k ∈ N (I)   Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge ankl mit l∈N

∃ l0 ∈ N

∀ l ≥ l0 : ankl − a < 

d.h. zumindest gilt ankl − a <  0

was (I) widerspricht. 2.2.10

Konvergenz in metrischen Räumen; „fast alle“

1. Der Konvergenzbegriff kann auch für Folgen f : N → M , eingeführt werden, wobei M 6= ∅ eine beliebige Menge ist, vorausgesetzt es existiert eine Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M , d.h. ein Funktion d : M × M → R mit folgenden Eigenschaften: i) d(x, y) = 0 ⇔ x = y - Definitheit, ii) d(x, y) = d(y, x) - Symmetrie und iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ M - Dreiecksungleichung Es folgt dann ii)

iii)

2d(x, y) = d(x, y) + d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≤ d(x, x) = 0 also d(x, y) ≥ 0 für alle x, y ∈ M . Konvergenz einer Folge (an )n∈N ⊆ M gegen ein a ∈ M kann dann definiert werden als: ∀  > 0 ∃ n0 ∈ N : d(an , a) ∀ n ≥ n0 Dann gelten die zu den Sätzen 2.2.1 und 2.2.5 analogen Ergebnisse, ersetzt man in den Sätzen und Beweisen dazu K durch M und |x − y| durch d(x, y). Man kann auch Beschränktheit definieren: |an | ≤ M wird ersetzt durch ∃x ∈ M

∀ n : d(x, an ) ≤ M

52

2. Für das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlich vielen Folgenglieder an. Insbesondere gilt: Ist (an )n∈N ⊂ K eine Folge und (bn )n∈N ⊆ K eine weitere Folge mit der Eigenschaft, dass an = bn für alle n ≥ n0 für ein gewisses n0 ∈ N, dann gilt: (an )n∈N konvergiert ⇐⇒ (bn )n∈N konvergent, und in diesem Fall gilt lim an = lim bn n→∞

n→∞

Folgende Sprechweise ist deshalb praktisch: Eine Aussage A(n) gilt für hinreichend große n ∈ N (oder für fast alle n ∈ N), wenn ein n0 ∈ N existiert mit: A(n) gilt für alle n ≥ n0 . 3. Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2., dass die Bedingung |bn | ≤ |an | ∀ n ∈ N im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwächere Bedingung: |bn | ≤ |an | für alle hinreichend großen n. 2.2.11

Konvergenz in den komplexen Zahlen

Satz 2.2.6. Sei (an )n∈N = (xn + i · yn )n∈N ⊆ C, a = x + i · y ∈ C. Dann gilt: lim an = a

n→∞

genau dann, wenn lim xn = x und

n→∞

lim yn = y

n→∞

in R konvergieren. Beweis. an → a

⇔

|an − a| → 0

⇔

2

⇔

2

⇔

2

⇔

|an − a| → 0 |xn + i · yn − (x + i · y)| → 0 |(xn − x) + i · (yn − y)| → 0 2

2

|xn − x| + |yn − y| → 0 2

⇔ 2

|xn − x| → 0 und |yn − y| → 0

⇔

|xn − x| → 0 und |yn − y| → 0

⇔

xn → x und yn → y

2.2.12

Größenvergleich konvergenter Folgen

Zurück zu R; dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden. Satz 2.2.7. Seien (an )n∈N , (bn )n∈N ⊆ R und es gelte an ≤ bn für alle hinreichend großen n. Wenn an → a und bn → b, dann gilt auch: a ≤ b 53

Achtung. Wenn an < bn für alle hinreichend großen n, dann folgt im Allgemeinen nicht: a < b.

Beispiel: (an )n∈N = − n1 n∈N und (bn )n∈N = n1 n∈N Beweis. Sei  > 0. Dann existiert n0 ∈ N mit |an − a| <  und |bn − b| <  für alle n ≥ n0 . Oder anders geschrieben a −  < an < a +  und b −  < bn < b +  Desweiteren ∃ n1 ∈ N mit an ≤ bn

∀ n ≥ n1

Setze dann n ˜ := max {n0 , n1 }, dann gilt a −  < an ≤ bn < b +  für alle n ≥ n ˜. Also ist a < b + 2 für alle  > 0, also ist a ≤ b. 2.2.13

Sandwich-Lemma

Lemma. Seien (an )n∈N , (bn )n∈N reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a ∈ R und (cn )n∈N ⊆ R mit an ≤ cn ≤ bn für fast alle n ∈ N. Dann ist auch lim cn = a. Beweis. Seien  > 0 und n1 ∈ N, sodass an ≤ cn ≤ bn für fast alle n ≥ n1 . Dann ist 0 ≤ cn − an ≤ bn − an

∀ n ≥ n1

Es gilt dann |cn − a| ≤ |cn − an | + |an − a| ≤ |bn − an | + |an − a| für alle n ≥ n1 . Aus an → a folgt: ∃ n2 ∈ N : |an − a| < 2 ∀ n ≥ n2 . Aus an → a und bn → a folgt bn − an → 0, also: ∃ n3 ∈ N : |an − bn | < n3 . Setze n0 := max {n1 , n2 , n3 }, dann gilt |cn − a| ≤ |bn − an | + |an − a| < für alle n ≥ n0 , also cn → a.

54

  + = 2 2

 2

∀n ≥

2.2.14

Beispiel

Sei

n X

(xn )n∈N :=

√

k=1

!

1 n2 + k

n∈N

Für alle n ∈ N gilt n· √

1 n2 + n

=

n X

√

k=1

1 n2 + n

≤

n X

√

k=1

1 n2 + k

≤

n X 1 1 √ =n· =1 2 n n k=1

Weiterhin gilt √

n n n 1 ≥√ = = 2 n+1 1+ +n n + 2n + 1

n2

Damit gilt für alle n ∈ N

1 1+

1 n

1 n

≤ xn ≤ 1

Mit dem Sandwichlemma folgt lim

n→∞

1 1+

1 n

≤ lim xn ≤ lim 1 n→∞

n→∞

woraus mit Hilfe der Grenzwertsätze folgt 1 ≤ lim xn ≤ 1 n→∞

also lim

n→∞

2.2.15

n X k=1

√

1 n2

+k

=1

Monotonie

Definition 2.8. Eine Folge (an )n∈N ⊆ R heißt monoton wachsend (respektive monoton fallend), wenn an ≤ an+1 ∀ n ∈ N respektive an ≥ an+1

∀n ∈ N

Eine Folge (an )n∈N ⊆ R heißt monoton, wenn sie monoton wachsend oder monoton fallend ist. 2.2.16

Monotone, beschränkte Folgen konvergieren

Satz 2.2.8. Jede monotone und beschränkte Zahlenfolge in R ist konvergent. Beweis. Sei (an )n∈N o.B.d.A. eine monoton wachsend und beschränkt; wenn (an )n∈N monoton fallend ist, betrachte (bn )n∈N = (−an )n∈N . Dann ist {an | n ∈ N} eine nach oben beschränkte Teilmenge von R, und da R vollständig ist, existiert a := sup {an | n ∈ N} ∈ R. Behauptung: an → a. Das ist äquivalent zu ∀ > 0

∃ n0 ∈ N : |an − a| <  ∀ n ≥ n0 55

Es gilt aber an ≤ a ∀n ∈ N. Somit: |an − a| = a − an Da (an )n∈N monoton wachsend, gilt auch a − an ≤ a − an0

∀ n ∈ N.

∀ n ≥ n0

Es folgt: an → a ⇔ ∀  > 0

∃ n0 ∈ N : a − an0 < 

Angenommen (an )n∈N konvergiert nicht gegen a. Dann existiert also ein  > 0, so dass für alle n ∈ N gilt a − an ≥ , d.h. a −  ≥ an

∀n ∈ N

was einen Widerspruch dazu darstellt, dass a kleinste obere Schranke ist ((a − ) wäre dann eine kleinere obere Schranke). Bemerkung. Man kann zeigen, dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollständigkeitsaxiom, also die Vollständigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt. 2.2.17

Existenz von monotonen Teilfolgen

Satz 2.2.9. Jede Folge (an )n∈N besitzt eine monotone Teilfolge. Beweis. Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt, wenn an ≥ aj

∀j ≥ n

Dann gibt es für eine Folge (an )n∈N zwei Möglichkeiten: 1. Fall: (an )n∈N besitzt unendlich viele Gipfelpunkte. In diesem Fall erhält man durch Weglassen aller übrigen Folgenglieder eine monoton fallende Teilfolge (ank )k∈N , die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht. 2. Fall: (an )n∈N besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte, etwa ak1 , ak2 , . . . , akN . Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN +1 , akN +2 , . . . ist Gipfelpunkt, d.h. aber, dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes größeres Folgenglied existiert. So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert werden.

2.2.18

Satz von Bolzano-Weierstraß

Satz 2.2.10. Jede beschränkte Folge (an )n∈N ⊆ R besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis. Sei (an )n∈N ⊆ R beschränkt. Nach Satz 2.2.9 besitzt diese eine monotone Teilfolge (ank )k∈N , diese ist auch beschränkt. Nach Satz 2.2.8 ist sie also konvergent. Korollar. Jede beschränkte Zahlenfolge (an )n∈N ∈ C besitzt eine konvergente Teilfolge.

56

Beweis. Wenn (an )n∈N beschränkt ist, dann sind auch die reellen Zahlenfolgen (xn )n∈N := (Re(an ))n∈N

und

(yn )n∈N := (Im(an ))n∈N

beschränkt. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt (xn )n∈N eine konvergente Teilfolge, etwa (xnk )k∈N , xnk → x in R. Mit (yn )n∈N ist aber auch die Teilfolge (ynk )k∈N beschränkt und somit  folgt  nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß die Existenz einer weiteren Teilfolge ynkl

l∈N

, die in

R konvergiert, also ynkl → y in R. Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren, gilt auch xnkl → x Dann folgt aber sofort ankl = xnkl + ynkl → x + y   d.h. ankl 2.2.19

l∈N

ist konvergente Teilfolge.

Cauchy-Folgen

Definition 2.9. Eine Zahlenfolge (an )n∈N ⊆ K heißt Cauchy-Folge (oder Fundamentalfolge), wenn gilt: ∀ > 0 2.2.20

∃ n0 ∈ N : |an − am | <  ∀ n, m ∈ N, n, m ≥ n0

Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen

Bemerkung. Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen. Beweis. Sei (an )n∈N ∈ K konvergent mit an → a für n → ∞. Sei  > 0. Dann existiert ein n0 ∈ N, sodass |an − a| < 2 für alle n ≥ n0 . Dann ist aber für alle n, m ≥ n0 auch |an − am | = |an − a + a − am | ≤ |an − a| + |a − am | <

  + = 2 2

D.h.: (an )n∈N ist eine Cauchy-Folge. 2.2.21

Cauchy-Kriterium

Satz 2.2.11. Jede Cauchy-Folge (an )n∈N in R ist konvergent. Beweis. Sei (an )n∈N eine Cauchy-Folge. 1. Schritt: (an )n∈N ist dann beschränkt. Sei  = 1, dann existiert ein n0 ∈ N, sodass |an − am | < 1

∀ n, m ≥ n0

insbesondere |an − an0 | < 1

∀ n ≥ n0

Folglich ist |an | ≤ |an − an0 | + |an0 | ≤ 1 + |an0 | 57

∀ n ≥ n0

und somit folgt mit M := max {|a1 | , |a2 | , . . . , an0 −1 , 1 + |an0 |} dass |an | ≤ M

∀ n ∈ N.

2. Schritt: Nach Bolzano-Weierstraß besitzt (an )n∈N eine konvergente Teilfolge (ank )k∈N mit ank → a für k → ∞. Sei  > 0. Da (an )n∈N Cauchy-Folge ist, existiert ein n0 ∈ N mit |an − am | <

 2

∀ n, m ≥ n0

Da ank → a, existiert ein k0 ∈ N mit |ank − a| <

 2

∀ k ≥ k0

Wähle nun k ∈ N, k ≥ k0 mit nk ≥ n0 . Dann gilt für alle n ≥ n0 |an − a| ≤ |an − ank | + |ank − a| <

  + = 2 2

d.h. aber gerade, dass an → a für n → ∞.

2.2.22

Beispiel

Sei (an )n∈N wie folgt induktiv definiert a0 := 1, a1 := Es wird gezeigt:

1 1 , an+1 := 2 1 + an √

lim an =

n→∞

5−1 = 2

n∈N

√ !−1 1+ 5 2

Dazu wird jeweils gezeigt: 1.

1 2

≤ an ≤ 1 für alle n ∈ N. Induktionsanfang: n = 1 1 1 1 ≤ = an = ≤ 1 2 2 2 Sei

1 2

≤ an ≤ 1 für ein n ∈ N gezeigt, dann gilt einerseits an+1 :=

und andererseits an+1 := also

1 2

X

1 1 ≤ =1 1 + an 1

1 1 1 ≥ = 1 + an 1+1 2

≤ an+1 ≤ 1.

58

2. an+k liegt für alle k ∈ N zwischen an und an+1 , d.h. an ≤ an+k ≤ an+1

∨

an+1 ≤ an+k ≤ an

Beweis durch vollständige Induktion (a) Wir zeigen: an+2 liegt zwischen an und an+1 . (b) Wir zeigen: Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt, gilt dasselbe für an+k+1 . (a) wird wiederum per vollständiger Induktion bewiesen: Induktionsanfang: n = 1 a1 =

1 2 3 , a2 = , a3 = ⇒ a1 ≤ a3 ≤ a2 2 3 5

Sei nun an ≤ an+2 ≤ an+1 oder an+1 ≤ an+2 ≤ an für ein n ∈ N. Dann | {z } | {z } I

II

ist zu zeigen an+1 ≤ an+3 ≤ an+2

∨

an+2 ≤ an+3 ≤ an+1

Gilt I, dann folgt an+3 :=

1 1 ≥ = an+2 1 + an+2 1 + an+1

und an+3 :=

1 1 ≤ = an+1 1 + an+2 1 + an

also an+2 ≤ an+3 ≤ an+1 Gilt II, dann folgt mit analoger Argumentation an+1 ≤ an+3 ≤ an+2 (b) wird mit vollständiger Induktion über k bewiesen: Induktionsanfang: k = 1 klar, k = 2 wurde in (a) bewiesen. k = 3: Ist an ≤ an+2 ≤ an+1 , so folgt aus (a) an+2 ≤ an+3 ≤ an+1 Aus beiden Ungleichungen folgt: an ≤ an+2 ≤ an+3 ≤ an+1 . Induktionsschritt: Für k ≥ 3 gelte: an+k und an+k−1 liegen zwischen an und (an+1 . Zu zeigen ist: an ≤ an+k+1 ≤ an+1 oder an+1 ≤ an+k+1 ≤ an . Schreibt man an+k+1 = a(n+k−1)+2 ,

an+k = a(n+k−1)+1

dann folgt aus (a): an+k−1 ≤ a(n+k−1)+2 = an+k+1 ≤ a(n+k−1)+1 = an+k 59

oder an+k ≤ a(n+k−1)+2 = an+k+1 ≤ a(n+k−1)+2 = an+k+1 Angenommen es gilt an ≤ an+k ≤ an+1 und an ≤ an+k−1 ≤ an+1 (die anderen drei Fällen verlaufen analog), dann folgt an ≤ an+k−1 ≤ an+k+1 ≤ an+k ≤ an+1 Aus (a) und (b) folgt: an+k liegt für jedes n ∈ N und k ∈ N zwischen an und an+1 .
n−1 ∀ n ∈ N. 3. Es gilt: |an − an+1 | ≤ 94 Induktionsanfang: n = 1 |a1 − a2 | = 1 −

1 1 = ≤ 2 2

 0 4 =1 9


n−1 Induktionsschritt: Für ein n ∈ N gelte |an − an+1 | ≤ 94 . Es gilt 1 1 |an+1 − an+2 | = − 1 + an 1 + an+1 an − an+1 = (1 + an ) · (1 + an+1 ) an − an+1 ) ≤ 1 1 (1 + 2 ) · (1 + 2  2 2 = |an − an+1 | 3  n−1 4 4 ≤ 9 9  n 4 = 9 4. (an ) ist Cauchy-Folge: Sei  > 0. Dann existiert ein n0 ∈ N, sodass |an − an+1 | <  ∀ n ≥ n0 (nach 3.) Seien m, n ∈ N, m, n ≥ n0 und m > n, also m = n + k für ein k ∈ N. Dann ist am = an+k für geeignetes k ∈ N. Nach 2. liegt am zwischen an und an+1 |am − an | ≤ |an+1 − an | <  ∀ n ≥ n0 also ist (an )n∈N Cauchy-Folge. 5. (an )n∈N ist Cauchy-Folge, also existiert a = lim an . Dann gilt 1 1 = n→∞ 1 + an 1+a

a = lim an+1 = lim n→∞

60

Umgestellt a2 + a − 1 = 0 Daraus erhält man als mögliche Lösungen √ ± 5−1 a1,2 = 2 Die negative Lösung entfällt wegen an ≥ 12 ∀, n ∈ N, also gilt √ 5−1 a= 2 2.2.23

Cauchy-Vollständigkeit

Bemerkung. Man kann zeigen, dass das (Dedekind’sche-)Vollständigkeitsaxiom (in archimedisch angeordneten Körpern) äquivalent zum Cauchy-Kriterium ist. D.h. in einem archimedisch angeordneten Körper (K, +, ·, P ) sind äquivalent i) K ist (Dedekind-)vollständig. ii) Jede nicht-leere nach oben beschränkte Teilmenge M ∈ K besitzt ein Supremum. iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent. iv) Es gilt das Intervallschachtelungsprinzip: Wenn (an )n∈N eine monoton wachsende und (bn )n∈N monoton fallende Zahlenfolgen in K sind mit an ≤ bn ∀ n ∈ N und bn − an → 0 dann existiert genau ein x0 ∈ K mit an ≤ x0 ≤ bn \ [an , bn ] = {x0 }

∀ n ∈ N, d.h. es gilt

n∈N

Beweis. ii) ⇒ iv) Eindeutigkeit: Angenommen, es existiert x0 , x1 ∈ K, x0 6= x1 , o.B.d.A. x0 < x1 , mit an ≤ x0 < x1 ≤ bn ∀ n ∈ N. Dann folgt 0 < x1 − x0 ≤ bn − an ∀ n ∈ N. also folgt x1 − x0 = 0 nach Majorantenkriterium, was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstellt. Existenz: Betrachte die Menge D := {x ∈ K | ∃ n ∈ N : an ≥ x} Dann gilt D 6= ∅, da alle an ∈ D und D ist nach oben durch jedes bn beschränkt. Nach Voraussetzung ii) existiert x0 := sup D. Man überprüft dann leicht: an ≤ x0 ≤ bn

61

∀n ∈ N

2.2.24

Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren

Als Folgerung von Satz 2.2.6 erhält man Korollar. Jede Cauchy-Folge (an )n∈N ⊆ C ist konvergent. Beweis. (an )n∈N ⊆ C Cauchy-Folge impliziert, dass Re(an ) und Im(an ) CauchyFolgen in R sind, denn es gilt |Re(an ) − Re(am )| = |Re(an − am )| ≤ |an − am | <  ∀ n, m ≥ n0 analoges für die Imaginärteile, und somit folgt die Behauptung aus Satz 2.2.6. Bemerkung. Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Räumen Cauchy-Folgen definieren. Konvergieren in einem metrischen Raum alle CauchyFolgen, so ist der Raum vollständig. 2.2.25

Erweiterte reelle Zahlengerade

ˆ wird definiert als R oder auch R R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞} Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R: x ≤ y : ⇐⇒

x, y ∈ R und x ≤ y oder x = −∞ oder x = +∞

Rechenregeln in R • x + (+∞) := (+∞) + x := +∞ ∀ x ∈ R x + (−∞) := (−∞) + x := −∞ ∀ x ∈ R • x · (+∞) := (+∞) · x := +∞ ∀ x > 0 x · (−∞) := (−∞) · x := −∞ ∀ x > 0 • x · (+∞) := (+∞) · x := −∞ ∀ x < 0 x · (−∞) := (−∞) · x := +∞ ∀ x < 0 • (+∞) + (+∞) = +∞ (−∞) + (−∞) = −∞ • (+∞) · (+∞) = +∞ (+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞ (−∞) · (−∞) = +∞ Achtung. 0 · (±∞), (±∞) · 0, (−∞) + (+∞) sind nicht definiert. Insbesondere ist (R, +, ·) keine Körper. 2.2.26

Supremum und Infimum unbeschränkter Mengen

Man setzt nun: • Falls M ⊆ R, die nicht nach oben beschränkt ist, dann sei sup M := +∞. • Falls M ⊆ R, die nicht nach unten beschränkt ist, dann sei inf M := −∞. • Des weiteren: sup ∅ := −∞ und inf ∅ := +∞. 62

2.2.27

Bestimmte Divergenz

Definition 2.10. Eine Zahlenfolge (an )n∈N ⊆ R heißt bestimmt divergent (oder auch uneigentlich konvergent) gegen +∞, respektive −∞, wenn gilt: ∀K ∈ R

∃ n0 ∈ N : an ≥ K

∀ n ≥ n0

∀K ∈ R

∃ n0 ∈ N : an ≤ K

∀ n ≥ n0

bzw. Man schreibt dann lim an = +∞,

n→∞

lim an = −∞

n→∞

oder eben an → +∞,

an → −∞

Man bezeichnet dann +∞ (respektive −∞) auch als uneigentlichen Grenzwert der Folge. 2.2.28

Beispiel
(an )n∈N = n2 n∈N : lim an = +∞ 2.2.29

Regeln für bestimmt divergente Folgen

1. Ist etwa (an )n∈N ⊆ R, an → ∞, dann gilt   +∞, (c · an )n∈N = 0,   −∞,

falls c > 0, falls c = 0, falls c < 0,

2. Wenn (an )n∈N , (bn )n∈N ⊆ R, an → +∞, bn → +∞, dann auch an · bn → +∞, an + bn → +∞ 3. Wenn (an )n∈N , (bn )n∈N ⊆ R, an → +∞, bn → −∞, dann auch an · bn → −∞ Achtung. Über das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn )n∈N kann in diesem Fall nichts ausgesagt werden. Betrachte
• (an )n∈N = n2 n∈N , (bn )n∈N = (−n)n∈N , dann ist an + bn = n2 − n = n · (n − 1) → +∞ • andererseits (an )n∈N = (n)n∈N , (bn )n∈N = −n2


n∈N

, dann ist

an + bn = n − n2 = n · (1 − n) → −∞ • oder gar (an )n∈N = (n)n∈N , (bn )n∈N = (−n)n∈N , dann ist a n + bn = n − n = 0 → 0 63

2.2.30

Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade

Bemerkung. Jede Teilmenge A ⊆ R besitzt ein Supremum und ein Infimum. • A = ∅ ⇒ sup A = −∞ • A = {±∞} ⇒ sup A = ±∞ • Falls +∞ ∈ A oder A ⊆ R ∪ {+∞} nicht nach oben beschränkt durch ein r ∈ R, dann ist sup A = +∞. • wenn A in R nach oben beschränkt, dann sup A ∈ R. • analoges für das Infimum. 2.2.31

Monotone, unbeschränkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt

Bemerkung. Jede monotone, unbeschränkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent. Beweis. Sei (an )n∈N ⊆ R unbeschränkt und o.B.d.A. monoton wachsend. Sei K ∈ R gegeben. Weil (an ) unbeschränkt ist, gibt es ein n0 ∈ N mit an0 ≥ K. Weil (an ) monoton wachsend ist, gilt, wie man induktiv zeigt, an ≥ K für alle n ≥ n0 , also ist (an ) bestimmt divergent gegen +∞. 2.2.32

Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraß

Bemerkung. Jede Zahlenfolge (an )n∈N ⊆ R besitzt eine Teilfolge, die entweder konvergent oder uneigentlich konvergent ist. Beweis. (an )n∈N besitzt eine monotone Teilfogle (ank )n∈N k. Diese ist entweder beschränkt und damit konvergent, oder aber (ank )n∈N k ist unbeschränkt und dann ist (ank )n∈N k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +∞ oder −∞.

2.3

Häufungspunkte, Limes Superior, Limes Inferior

2.3.1

Häufungspunkte

Definition 2.11. Eine Zahl a ∈ K heißt Häufungspunkt (HP) einer Folge (an )n∈N ⊆ K, wenn eine Teilfolge (ank )k∈N existiert mit ank → a. 2.3.2

Beispiele

1. (an )n∈N = ((−1)n )n∈N hat zwei Häufungspunkte, −1 und 1. 2. Ist (an )n∈N eine konvergente Folge, etwa an → a ∈ K, dann besitzt (an )n∈N als einzigen Häufungspunkt a.

64

2.3.3

Charakteriserung von Häufungspunkten

Satz 2.3.1. Sei (an )n∈N ⊆ K, a ∈ K. a ist Häufungspunkt von (an )n∈N : ⇐⇒ ∀ > 0

∀ m ∈ N ∃ n ≥ m : |an − a| < 

Beweis. Sei (an )n∈N ⊆ K, a ∈ K. ⇒ Sei a Häufungspunkt von (an )n∈N , dann existiert eine Teilfolge (ank )k∈N mit ank → a. Sei  > 0. Es existiert dann ein k0 ∈ N mit |ank − a| <  ∀ k ≥ k0 . Sei nun m ∈ N. Da nk → ∞, existiert ein k1 ≥ k0 mit nk1 ≥ m, sodass also gilt an − a <  k1 ⇐ Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank )k∈N , die gegen a konvergiert: Zu  = 21 , m = 2, wähle gemäß der Charakterisierung ein n1 ≥ 2, sodass |an1 − a| < 21 . 1 Wenn nun schon an1 , an2 , . . . , anl konstruiert sind, dann wähle zu  = 2l+1 , 1 m = nl + 1 gemäß der Charakterisierung ein nl+1 ≥ m mit anl+1 − a < 2l+1 . 1 Da 2l+1 → 0 für l → ∞, folgt ank → a.

2.3.4

Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraß

Bemerkung. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (Satz 2.2.10) besitzt jede beschränkte Zahlenfolge (an )n∈N ⊆ R mindestens einen Häufungspunkt (analog für beschränkte Zahlenfolgen in C). 2.3.5

Uneigentliche Häufungspunkte

Definition 2.12. Sei (an )n∈N ⊆ R. +∞ (bzw. −∞) heißt uneigentlicher Häufungspunkt von (an )n∈N , wenn es eine Teilfolge (ank )n∈N k, die gegen +∞ (bzw. −∞) konvergiert. 2.3.6

Limes Superior und Limes inferior

Bemerkung. Jede Zahlenfolge (an )n∈N ⊆ R besitzt mindestens einen, eventuell uneigentlichen Häufungspunkt in R. Mit anderen Worten: Bezeichnet 4(an )n∈N die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Häufungspunkte von (an )n∈N , dann gilt 4(an )n∈N 6= ∅ in R. Definition 2.13. Sei (an )n∈N ⊆ R. Der Limes Superior von (an )n∈N ist definiert als lim sup an = lim an := sup 4(an )n∈N n→∞

n→∞

und der Limes Superior von (an )n∈N als lim inf an = limn→∞ an := inf 4(an )n∈N n→∞

65

2.3.7

Beispiel

(an )n∈N = ((−1)n )n∈N : 4(an )n∈N = {−1, 1}, dann ist lim sup an = +1 n→∞

größter Häufungspunkt und lim inf an = −1 n→∞

kleinster Häufungspunkt von (an )n∈N 2.3.8

Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior

Satz 2.3.2. Sei (an )n∈N ⊆ R. Dann gilt: i) Ist a∗ := lim sup an ∈ R, dann ist a∗ der größte Häufungspunkt von (an )n∈N . ii) Ist a∗ := lim inf an ∈ R, dann ist a∗ der kleinste Häufungspunkt von (an )n∈N . iii) an → a ∈ R ⇐⇒ lim sup an = lim inf an = a. Beweis. Sei (an )n∈N ⊆ R. i) Zu zeigen a∗ ist ein Häufungspunkt von (an )n∈N , denn dann ist a∗ := lim sup an = sup 4(an )n∈N = max 4(an )n∈N Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn )n∈N von (an )n∈N mit akn → a∗ : Zu 1 = 21 gilt: a∗ − 12 ist keine obere Schranke von 4(an )n∈N , d.h. es existiert ein Häufungspunkt d1 von (an )n∈N mit a∗ −

1 1 < d1 < a∗ + 2 2


Da d1 Häufungspunkt ist, existiert eine Teilfolge aϕ1 (n) n∈N von (an )n∈N , sodass aϕ1 (n) → d1 . Insbesondere folgt, dass ein n1 ∈ N existiert, sodass a∗ −

1 1 < aϕ1 (n) < a∗ + 2 2

∀ n ≥ n1

Setze: ak1 = aϕ1 (n1 ) . 1 Wenn bereits ak1 , . . . , akl definiert sind, dann stelle fest, dass zu l+1 = 2l+1 , 1 a∗ − 2l+1 keine obere Schranke von 4(an )n∈N ist. Also existiert ein Häufungspunkt dl+1 von (an )n∈N mit a∗ −

1 1 < dl+1 < a∗ + l+1 2l+1 2


Ist aϕl+1 (n) n∈N eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an )n∈N , dann existiert ein nl+1 ∈ N mit ϕl+1 (nl+1 ) > ϕl (nl ) und a∗ −

1 1 < aϕl+1 (n) < a∗ + l+1 2l+1 2

∀ n ≥ nl+1

Setze dann: kl+1 = ϕl+1 (nl+1 ), d.h. akl+1 := aϕl+1 (nl+1 ) . Es folgt: 1 |akl − a∗ | < l ∀ l ∈ N 2 d.h. akl → a∗ . 66

ii) Folgt analog. iii) Ist an → a ∈ R, dann ist 4(an )n∈N = {a}, da dann auch jede Teilfolge von (an )n∈N gegen a konvergiert. Damit ist lim supn→∞ an = lim inf n→∞ an = a. Ist andererseits lim sup an = a ∈ R, dann folgt an < a +  für fast alle n ∈ N. Und lim inf an = a ∈ R, dann folgt an > a −  für fast alle n ∈ N. Zusammen also a −  < an < a +  oder anders ausgedrückt |an − a| <  für fast alle n ∈ N, also an → a.

2.4

Unendliche Reihen

2.4.1

Definition

Definition 2.14. Sei (an )n∈N ⊆ K ein Folge. Für n ∈ N bezeichne Sn :=

n X

ak = a1 + a2 + . . . + an

k=1

die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe ∞ X

ak

k=1

Die Reihe

∞ P k=1

ak heißt konvergent, falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn )n∈N kon-

vergiert, und in diesem Fall schreibt man ∞ X k=1

und bezeichnet

∞ P

ak := lim Sn n→∞

an als Summe der Reihe.

k=1

Bemerkung. Das Symbol

∞ P

ak hat also zwei Bedeutungen:

k=1

1. der Name der Folge der Partialsummen und 2. der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz. 67

∞ P

Die Reihe

k=1

ak heißt divergent, wenn die Folge der Partialsummen (Sn )n∈N di-

vergiert. Falls lim Sn = +∞

n→∞

dann heißt die Reihe

∞ P

lim Sn = −∞

oder

n→∞

ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man

k=1

schreibt dann auch: ∞ X

∞ X

ak = +∞ bzw.

k=1

ak = −∞

k=1

Im Falle von (an )n≥p = (ap , ap+1 , . . .), p ∈ N0 übertragen sich die entsprechende Begriffe auf die unendliche Reihe ∞ X ak k=p

2.4.2

Beispiel

Die Reihe

∞ X

qk ,

q∈C

k=0

heißt geometrische Reihe. Es gilt Sn =

n X

( k

q =

k=0

für alle n ∈ N. Damit folgt:

∞ X

1−q n+1 1−q ,

n + 1,

falls q = 6 1 falls q = 1

q k konvergent ⇐⇒ |q| < 1

k=0

und in diesem Fall ist

∞ X

qk =

k=0

Für |q| ≥ 1, ist Für q = 1, ist

∞ P k=0 ∞ P

1 1−q

q k divergent. q k bestimmt divergent gegen +∞, für q = −1 entsprechend be-

k=0

stimmt divergent gegen −∞. 2.4.3

Eigenschaften von unendlichen Reihen

Bemerkung. Viele Eigenschaften von Folgen übertragen sich auf unendliche Reihen:

68

1. Die Reihen

∞ P

ak und

k=1

∞ P

ak , p ∈ N, haben das gleiche Konvergenzverhalten

k=p

und im Falle der Konvergenz gilt: ∞ X

ak = (a1 + . . . + ap−1 ) +

k=1

∞ X

ak

k=p

2. Durch das Abändern von endlich vielen Folgengliedern an ändert sich das Kon∞ P vergenzverhalten der Reihe ak nicht, allerdings ändert sich im Falle der Konk=1

vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe. 3. Aus den Rechenregeln für konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregeln für konvergente Reihen: ∞ P

• Sind

ak ,

k=1

∞ P k=1

bk ((ak )n∈N , (bk )n∈N ⊆ K) konvergent, so ist auch ∞ X

(ak + bk )

k=1

konvergent, und es ist ∞ X

(ak + bk ) =

k=1

• Wenn

∞ P

∞ X

ak

+

k=1

k=1

bk

∞ P

(c · ak ) konvergent und

k=1 ∞ X

(c · ak ) = c ·

∞ X

ak

k=1

k=1

2.4.4

!

k=1

ak konvergent, c ∈ K, dann ist auch

es ist

∞ X

!

Cauchy-Kriterium für Reihen

Aus den bekannten Ergebnissen für Folgen folgt auch sofort Satz 2.4.1. Sei (an )n∈N ⊆ K. Dann gilt: ∞ P an konvergiert genau dann, wenn k=1

∀ > 0

n X ∃ n0 ∈ N : ak <  ∀ n ≥ m ≥ n0 k=m

Beweis.

∞ P

ak konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen

k=1

(Sn )n∈N =

n X k=1

eine Cauchy-Folge ist. 69

! ak n∈N

2.4.5

Beispiel

Die unendliche Reihe

∞ X 1 n n=1

heißt harmonische Reihe. (Sn )n∈N =

∞ X 1 n n=1

! = n∈N

  1 1 1 1 + + + ... + 2 3 n n∈N

ist divergent, da für alle n ∈ N gilt 1 > 2n

1 > 2n

1 > 2n

z }| { z }| { z }| { 1 1 1 1 1 1 |S2n − Sn | = ≥n· + +... + + = 2n 2n − 1 n+2 n+1 2n 2 | {z } n Summanden

und somit ist (Sn ) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent. 2.4.6

Notwendiges Kriterium für Reihenkonvergenz

Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe Satz 2.4.2. Sei (an )n∈N ∈ K. Ist

∞ P

ak konvergent, so ist lim an = 0. n→∞

k=1

(Ist (an )n∈N keine Nullfolge, dann ist die Reihe

∞ P

ak divergent.)

k=1

Beweis. Wähle n = m im Cauchy-Kriterium für Reihen. Bemerkung. Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe, wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht. 2.4.7

Konvergenzkriterien für Reihen

Satz 2.4.3. (Majorantenkriterium) Seien (an )n∈N ⊆ K, (bn )n∈N ⊆ R. Gilt |an | ≤ bn ∞ P

und ist

für fast alle n ∈ N

bn konvergent, so konvergieren auch die Reihen

n=1 ∞ X

|an | und

n=1

∞ X

Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reihe ∞ P

an

n=1 ∞ P n=1

an .

n=1

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|an | die Konvergenz der Reihe

Beweis. Nach Voraussetzung existiert ein n0 ∈ N mit |an | ≤ bn . ∞ P Da bn konvergiert, existiert für  > 0 ein n1 ∈ N, sodass n=1

n X bk <  ∀ n ≥ m ≥ n 1 k=m

Folglich gilt für alle n, m ≥ max {n0 , n1 } n n n n n X X X X X ak ≤ |ak | = |ak | ≤ bk = bk <  k=m

∞ P

Somit erfüllen

k=m

an und

n=1

k=m

∞ P

k=m

k=m

|an | das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-

n=1

gent. Der Zusatz folgt mit bn = |an |.

Bemerkung. Aus der Ungleichung n n n X X X ak ≤ |ak | ak ≤ k=1

k=1

∀n ∈ N

k=1

folgt sofort im Falle der Konvergenz ∞ X k=1

∞ ∞ X X ak ≤ |ak | ak ≤ k=1

k=1

und wenn |an | ≤ bn für alle n ∈ N, gilt dann auch ∞ ∞ ∞ X X X bk ak ≤ |ak | ≤ k=1

2.4.8

k=1

k=1

Beispiel ∞ ∞ X X 1 1 =1+ k2 k2

k=1

k=2

konvergiert, da man für k ≥ 2 abschätzt: 1 1 1 1 ≤ = − 2 k k · (k − 1) k−1 k und die Reihe

∞  X k=1

1 1 − k−1 k

71



konvergiert, da Sn = =

n  X k=2 n X k=2

=

n−1 X k=1

1 1 − k−1 k



n

X1 1 − k−1 k k=2

1 − k

n X k=2

1 k ∞

=

X 1 1 1 − →1= 1 n k · (k − 1) k=2

Nach Majorantenkriterium konvergiert

∞ P k=1

1 k2

und es gilt

∞ ∞ X X 1 1 ≤ 1 + 2 k k · (k − 1)

k=1

2.4.9

k=1

Wurzelkriterium

Satz 2.4.4. Sei (an )n∈N ⊆ K. 1. Ist lim sup

p n

|an | < 1, dann ist

n→∞

p n

2. Ist

∞ P

|an | (und somit auch

k=1

|an | ≥ 1 für unendlich viele n ∈ N, dann ist

∞ P

an ) konvergent.

n=1 ∞ P

an (und somit auch

n=1

∞ P

|an |) divergent.

n=1

Beweis. Sei (an )n∈N ⊆ K. p 1. Bemerke: lim sup n |an | < 1 ist äquivalent zu: n→∞

p n |an | < q für fast alle n ∈ N p d.h. es existiert ein n0 ∈ N mit n |an | < q für alle n ≥ n0 . Das ist äquivalent zu |an | < q n ∀ n ≥ n0 ∃0 < q < 1 :

Da

∞ P

q n konvergiert (da 0 < q < 1), folgt die Konvergenz von

P

|an |,

P

an

n=0

mit dem Majorantenkriterium. 2. Aus der Voraussetzung folgt P |an | ≥ 1 für unendlich viele n, also ist (an )n∈N keine Nullfolge, also ist an divergent.

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2.4.10

Quotientenkriterium

Sei (an )n∈N ⊆ K, an 6= 0 ∀ n ∈ N. ∞ ∞ P P 1. Ist lim sup aan+1 < 1, dann ist |a | (somit auch an ) konvergent. n n n→∞

n=1

n=1

∞ ∞ P P ≥ 1 für fast alle n ∈ N, dann ist (also auch |an |) divergent. 2. Gilt aan+1 n n=1

3

n=1

Bildquellen • http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Injektivit%C3%A4t_Mengenwolke.png • http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Surjektivit%C3%A4t_Mengenwolke.png • http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Bijektivit%C3%A4t_Mengenwolke.png • http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Compfun.png • http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Pairing_natural.svg

Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP.

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