Analyse De Systemes Dynamique

I. Partie 1 : Dans cette partie on fera l’analyse temporelle et fréquentielle du système linéaire suivant :  

Avec :

𝑋 = 𝐴. 𝑋 + 𝐵. 𝑈 𝑌 = 𝐶. 𝑋

𝐴=

0 1 0 0 0 1 𝑎1 𝑎2 𝑎3

0 0 ;

𝐵=

1 0 ; −1 0

𝐶=

1

0

0

0

1

0

;

1.1. Analyse temporelle : l’analyse des systèmes dynamiques linéaires, par les réponses temporelles permet la détermination des principales performances, à savoir : la stabilité, chiffrée par la marge de gain ; la précision statique et la précision dynamique, chiffrés par les valeurs des signaux d’erreurs permanents ; la rapidité chiffrée par la valeur de la duré de réglage et la qualité chiffrée par les indices de performance.

a) La stabilité : la stabilité d’un système est caractérisée par ses pôles ou valeurs propres de la manière suivante :



Si ∀ 𝑖 = 1 … 𝑛 ; 𝑅𝑒𝑎𝑙 ℷ𝑖 < 0

le système est exponentiellement stable.



Si ∀ 𝑖 = 1 … 𝑛 ; 𝑅𝑒𝑎𝑙 ℷ𝑖 ≤ 0

le système est stable au sens de LYAPUNOV.



Si ∃𝑖 ∈ [1, 𝑛]

le système est instable.

; 𝑅𝑒𝑎𝑙 ℷ𝑖 > 0

pour le système présent les valeurs propres dépendent des paramètres 𝑎𝑖 ,d’où à l’aide d’un programme MATLAB on vas étudier comment ces valeurs propres varient quand les paramètres 𝑎𝑖 varient dans l’intervalle [−4, 4] , le graphe suivant montre les variations de ℷ1 , ℷ2 et ℷ3 en fonction d’un paramètre 𝑘 (les paramètres 𝑎𝑖 peuvent êtres calculées à partir de 𝑘) :

Le script MATLAB pour le graphe au dessus : % ce programme permet d'étudier la variation des pole en fonction des % variations des paramètres ai du systeme : dX/dt=A*X+B*U % Y=C*X %avec : A=[0 1 0 % 0 0 1 % a1 a2 a3] %******************************************************************** % MM est une cellule 3*1 : MM{1} contiendra le 1er pole % MM{2} " " 2eme pole % MM{3} " " 3eme pole MM=cell(1,3); for a1=-4:4 for a2=-4:4 for a3=-4:4 A=[0 1 0;0 0 1;a1 a2 a3]; E=eig(A); MM{1}=[MM{1} E(1)]; MM{2}=[MM{2} E(2)]; MM{3}=[MM{3} E(3)]; end end end it=1:9^3; figure() ; hold on title('variation des valeurs propres'); ylabel('les valeurs propres'); xlabel('k'); grid; plot(it,real(MM{1}),'b') plot(it,real(MM{2}),'r') plot(it,real(MM{3}),'g') legend('VP_1','VP_2','VP_3'); hold off;

On remarque que les variations des parties réelles des valeurs propres présentent une alternance et peuvent prendre n’importe qu’elle valeurs dans une certaine bande (pour 𝑎𝑖 ∈ [−4,4]) ,ainsi on remarque que les 3 cas de stabilité sont présents c'est-à-dire un tell system peut être exponentiellement stable ,stable au sens de Lyapunov ou instable ,avec un simple algorithme sur MATLAB on peut avoir les valeurs des 𝑎𝑖 dans l’intervalle choisi pour les 3 cas cités ,cet algorithme consiste a faire un test sur les ℷ𝑖 et déterminer l’indice 𝑘 d’où les paramètres 𝑎𝑖 par les relations suivantes :

 𝑎1 = 𝑟𝑒𝑠𝑡  𝑎2 = 𝑟𝑒𝑠𝑡 

i.

𝑎2 = 𝑟𝑒𝑠𝑡

𝑘 9 𝑘1 9 𝑘2 9

−5;

𝑟𝑒𝑠𝑡 = le reste de la division.

−5;

𝑘1 = 𝐸

−5;

𝑘2 = 𝐸

𝑘 +1 ; 9 𝑘1 +1 9

𝐸 : la partie entière. .

1.La stabilité exponentielle : pour ce cas il faut que les trois valeurs propres du systèmes soit a partie réelle strictement négative, on utilise l’algorithme suivant pour trouvé tous les indices 𝑘 qui vérifient cette condition d’où tous les 𝑎𝑖 dans l’intervalle choisi :

i=0; for k=1:9^3 if (real(MM{1}(k))<0)&(real(MM{2}(k))<0)&(real(MM{3}(k))<0) i=i+1; K(i)=k; % K est un vecteur qui contient tous les indices k end % pour que système soit exponentiellement stable end

Le vecteur 𝐾 généré est : 𝐾 = [1 2 3 10 11 12 19 20 28 , … ,274] On choisi la première valeur 𝑘 = 1 qui donne 𝑎1,2,3 = −4 ainsi ℷ1 est

MM{1}(1)= -0.4348 + 1.0434i

ℷ2 est

MM{2}(1)= -0.4348 - 1.0434i

ℷ2 est

MM{3}(1)= -3.1304

On va visualiser ce résultat à partir de la reponse impulsionelle du system pour ce faire on introduit d’abord le system en utilisant la fonction de matlab ss comme suit : >> A=[0 1 0;0 0 1; -4 -4 -4] ; >> B=[0 0;1 0; -1 1] ; >> C=[1 0 0; 0 1 0] ; >> G=ss(A,B,C,0) ; Puis on dessine la réponse impulsionelle par la fonction impulse comme suit : >> impulse(G) Matlab affiche la figure suivante :

On remarque très bien que dès que l’excitation disparait le système revient a sa position d’équilibre (la position d’équilibre est supposé X=0) sous une enveloppe exponentielle et que quand 𝑡 tend vers l’infinie X tend vers 0 ; ce qui est la définition de la stabilité exponentielle . Remarque : la figure suivante montre les sorties y1 et y2 (y1=x1,y2=x2) d’où on ne pas se référer à la réponse du système pour en déduire de la stabilité il faudrait d’abord s’assuré que le système est complètement observable car le paramètre x3 n’est pas visualisé dans ce graphe. 2.la commandabilité : La commandabilité décrit la relation entre l’entrée et les variables d’etat du système c'est-à-dire comment une entrée peut influencer ces variables d’états. Un système est dit complètement commandable si et seulement si le rang de sa matrice de commandabilité est égale à la dimension de sa matrice A. 

Si rang(com)=n

Com=[𝐵

𝐴. 𝐵

le système est completement commandable ;

𝐴2 𝐵 … 𝐴𝑛−1 𝐵] ; 𝐴 ∈ 𝑅𝑛×𝑛 .

Dans le cas de notre système, le polynôme caractéristique est égale à ℷ3 − 𝑎3 ℷ2 − 𝑎2 ℷ − 𝑎1 = 0 ,sa solution dépend des 𝑎𝑖 .C’est à dire pour changer un mode ,il faut changer les 𝑎𝑖 en occurrence agir sur la troisième ligne de A ,le signal de commande 𝑢1 agit cette dernière avec un facteur de -1 donc ce système est completement commandable sauf pour 𝑎1,2,3 = 0.

Prenont le cas de 𝑎1,2,3 = −4 (le système exponentiellement stable) ;La matrice de commandabilité se calcule à l’aide de Matlab par le commande ctrb de la manière suivante : >> [com]=ctrb(A,B) com = 0 1 -1

0 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -4 1 0 -4 0 12

Puis on fait un teste de rang avec la commande rank comme suit : >> rang=rank (com) rang = 3 On voit bien que le système est completement commandable . 3.l’observabilité :L’observabilité est une notion duale à la commandabilité ,elle décrit la relation entre les variables d’etat et les sorties du système ,c'est-à-dire comment les variables d’etats influent les sorties. Un système est dit complètement observable si le rang de la matrice d’observabilité est égale au rang de la matrice A du système. 

Si rang(obs)=n

𝐶 𝐶𝐴 ob= ⋮ 𝐶𝐴𝑛−1

le système est complètement observable ;

; 𝐴 ∈ 𝑅𝑛×𝑛 .

Dans le cas ou 𝑎1,2,3 = −4 (le système exponentiellement stable) ;La matrice d’observabilité se calcule à l’aide de Matlab par le commande obsv de la manière suivante : >> ob=obsv(A,C) ob = 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -4 -4

0 0 0 1 1 -4

Puis le teste de rang :

>> r=rank(ob) r= 3 Le système est complètement observable. b) L’erreur statique : c’est la difference entre le gain du signal de referrence et le signal de sortie du système en regime permanent et lorsque toutes les grandeurs d’entrée sont maintenues constantes. la reponce inditielle est obtenue en Matlab par la commande step comme suit : >> step(G) Le resultat est

Le gain statique du système s’obtient par un clique droit sur la figure ,on va sur « characterics »,enfin « steady state » : Dans notre cas :  De 𝑢1 vers 𝑦1 : 𝐺𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 0.75 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 0.25 

De 𝑢1 vers 𝑦2 : 𝐺𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢 𝑒 = 0



De 𝑢2 vers 𝑦1 : 𝐺𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 0.25



De 𝑢2 vers 𝑦2 : 𝐺𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 0

𝐸𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 1 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 0.75 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 1

On peut aussi tirer : le temps de montée dans characteristics « rise time »,le temps de reponses « settling time »,et l’amplitude max « peak response ». c) L’erreur dynamique : L’erreur dynamique est caractérisée par le regime variable permanent de la reponse temporelle dans le cas de grandeur d’excitation d’ordre strictement superieur à 1,pour ce système on analisera que le regime forcé de la reponse en vitesse et en acceleration l’erreur en vitesse est la difference entre le gain du signal de referrence et le signal de sortie du système en regime permanent et lorsque toutes les premieres derivées de chacunes des grandeurs d’entrées sont maintenues constantes. l’erreur en acceleration est la difference entre le gain du signal de referrence et le signal de sortie du système en regime permanent et lorsque toutes les deuxiemes derivées de chacunes des grandeurs d’entrées sont maintenues constantes. La reponse à une rampe est obtenues en Matlab avec la fonction lsim comme suit : >> t=0:0.1:10; >> T=t; >> U=[t;t]; >> lsim(G,U,T) >> lsim(G,U,T) Le resultat est :

 

Pour y1 l’erreur en vitesse est : 𝐸𝑣 =0,7483 Pour y2 l’erreur en vitesse est : 𝐸𝑣 = ∞

La premiere sortie suit la reference avec une erreur 𝐸𝑣 =0,7483,alors que la deuxieme sortie est constante en regime permanent parce que la deuxieme sortie est la derivée de la premiere sortie qui est une droite(dt/dt=1).

La reponse à un signal 𝑢1,2 = t2 est :

On remarque que la premiere sortie suit le signal de reference avec une erreure d’acceleration 𝑑𝑦 1 alor que la deuxieme sortie ne suit pas (c’est une droite) ,car 𝑦2 = 𝑑𝑡 . EMARQUE 1: On a fait l’analyse pour le cas ou le système est exponentiellement stable,les memes etapes peuvent etre refaite pour les autres cas . REMARQUE 2 :On a obtenue les valeurs propres du système(les poles) pour des ai dans une certaine plage ,cette methode peut s’averer très utile lors de la conception ou on peut choisir les parametres appropriés. Conclusion :L’analyse temporelle est une methode concréte , souvent realisable experimentalement .Son inconveniant majeur est qu’elle necessite la connaissance des poles du système et Matlab s’avere etre un exellent outil pour se faire.

1.2 Analyse frequentielle :L’analyse des systemes dynamiques par l’etude de la reponse à une excitation sinusoide , en regime permanent ,est tres utilisée.On trouve la justification dans le fait que les courbes de reponse en fréquence peuvent souvent etre obtenues experimentalement.L’etude de la stabilité et la synthhese des correcteurs peuvent etre effectuées à partir des lieux de transfert en boucle ouverte tracée selon les cas dans les plans de Nyquist,Bode, Black.On dispose ainsi pour l’analyse et la synthese, d’un ensemble de methodes elaborées et experimentées.

La reponse à une sinosoide est :

Le signal de sortie suit la référence décalé d’un retard et amplifié par un gain. Pour obtenir les differents lieux de transert on utilise le lti viewer Le diagramme de Bode :

Le diagramme de Nyquist :

Le diagramme de Black :

Pour obtenir avec Matlab les caracteristique des lieux de transfer ts ,il faut passer en monovariable car les caracteristiques ne sont pas definit en Matlab pour MIMO,ainsi il faut determiner les composant de la matrice fonction de transfert « 𝑔11 , 𝑔12 , 𝑔21 , 𝑔22 »,la fonction ss2tf permet de passer de la representation d’etat à la MFT comme suit : >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) num = 0 0.0000 1.0000 3.0000 0 1.0000 3.0000 0.0000

den = 1.0000 4.0000 4.0000 4.0000 >> g11=tf([1,3],den) Transfer function: s+3 --------------------s^3 + 4 s^2 + 4 s + 4

>> g21=tf([1,3,0],den) Transfer function: s^2 + 3 s --------------------s^3 + 4 s^2 + 4 s + 4 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2) num = 0 0.0000 -0.0000 1.0000 0 -0.0000 1.0000 -0.0000

den = 1.0000 4.0000 4.0000 4.0000 >> g12=tf([1],[den]) Transfer function: 1 --------------------s^3 + 4 s^2 + 4 s + 4 >> g22=tf([1,0],den) Transfer function: s --------------------s^3 + 4 s^2 + 4 s + 4 On tracant les lieux de transfert de « 𝑔11 , 𝑔12 , 𝑔21 , 𝑔22 »,on obtient les memes figures de ltiviewer mais l’avantages est qu’on peut tirer les caracteristiques  Pour g11 : 𝐴𝑚 = ∞ ,𝜑𝑚 = 94.1° à 𝑤 = 1.11 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐.  Pour g12 : 𝐴𝑚 = 21.6 𝑑𝑏 à 𝑤 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐. ,𝜑𝑚 = ∞ .  Pour g11 : 𝐴𝑚 = ∞ ,𝜑𝑚 = −154° à 𝑤 = 0.943 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐.  Pour g11 : 𝐴𝑚 = ∞ ,𝜑𝑚 = ∞ . Gain du sytème :Le gain du système en MIMO n’est pas definit de la meme manière qu’en SISO.IL est definit entre deux valeurs : 𝑌 𝑗𝑤 𝜎𝑚𝑖𝑛 (𝑗𝑤) ≤ ≤ 𝜎𝑚𝑎𝑥 (𝑗𝑤) 𝑈 𝑗𝑤 Avec : 𝜎𝑚𝑖𝑛 (𝑗𝑤) la plus petite valeur singuliere de G(jw) 𝜎𝑚𝑎𝑥 (𝑗𝑤) la plus grande valeur singuliere de G(jw) On obtiendra le tracé du gain en utilisant la fonction sigma de Matlab : >> sigma(G)

II.Partie 2 :Dans cette partie ,on va caractériser l’effet du retard ,les pôles instables, ainsi que les zéros instables sur le performances du système : 𝐻 𝑠 =

𝐾 𝑠+𝑎

En boucle fermée avec un régulateur P,PI. On va utiliser dans cette partie le SIMULINK pour visualiser l’effet des variations des paramètres. 1.avec régulateur P : on va construire dans simulink le schéma bloc suivant :

Scope 1

1

s+1 Step

Gain

Transport Delay

Transfer Fcn

1.1.Effet du retard : pour caractériser l’effet du retard on va agir uniquement sur le retard ,pour ce faire, on prendra un gain egale à 10 et un pole stable « -1 » puis on augmentera la valeur du retard et on visualisera leurs influences sur les performances du système :



Pour Tm=0

On remarquera la bonne poursuite, on va à présent ajouter un retard pour pouvoir caractérisé sont effet .



Pour 𝑇𝑚 = 0.1



Pour 𝑇𝑚 = 0.2



Pour 𝑇𝑚 = 0.3

On remarque que plus on augmente le retard plus les performances sont atténuées jusqu'à déstabilisation du système,on peut visualiser ce resultat en traçant la fonction de sensibilité du système ,on approxrimera le retard par la serie de Pade

𝑒

−𝑇𝑆

𝑇 1− 2𝑆 = 𝑇 1+ 2𝑆

On trouve :

𝑇 𝑆 + 1 (1 + 2 𝑆) 𝑆𝑦 𝑆 = 𝑇 𝑇 𝑆 + 1 1 + 2 𝑆 + 𝐾𝑝 (1 − 2 𝑆)

Le graphe donne :

On en conclut que le retard impose une limite superieure à la bande passante du système. 1.2 L’effet du zéro instable :Dans cette etude ,on ajoutera au système un zero instable sans modifier le gain du système(Z=1) . On calcule la fonction de sensibilité,on trouve : 𝑆𝑦 𝑆 = Le pole de la boucle fermée p=-

(1−𝐾𝑝 𝑍) (1+𝑘 𝑝 )

𝐾𝑝 (𝑆 − 1) 1 + 𝐾𝑝 𝑆 + 1 − 𝐾𝑝 𝑍

;

Pour que le système bouclé soit stable ,il faut que 𝐾𝑝 𝑍 < 1. Dans notre cas,𝐾𝑝 = 10,d’où le système est instable comme le montre la figure suivante :

En prendra 𝐾𝑝 = 0.5 pour avoir un système bouclé stable et on trace la fonction de sensibilité

On conclut que le zero instable impose une limite inferieure à la bande passante du système .

1.3 l’effet du pole instable :

Pour visualiser l’effet du pole instable on prendra pour pole p=1.

Pour que le syteme en BF soit stable il faut que 𝐾𝑝 > 1. La fonction de sensiblité est 𝑆𝑦 𝑆 =

(𝑆−1) ,deux 𝑆+𝐾𝑝 −1

cas se presentent :

1.𝐾𝑝 − 1 > 1 ∶

Dans ce cas ,les performances sont realisées pour les frequences inferieures à 10 rad/sec.

2.𝐾𝑝 − 1 < 1:

Dans ce cas ,les performances ne sont jamais realisées.

2.Avec regulateur PI :Pour l’effet du retard et du zero instable,on aura le meme effet qu’avec un regulateur P avec une annulation de l’erreur statique Tandis que pour le pole ,il n’aura aucun effet car on pourra toujours le compenser avec le regulateur PI.

Partie 3 : Soit le système ayant une MFT suivante :

𝐺 𝑠 =

1

𝑎

𝑠+1 −1

𝑠+2 1

𝑠+2

𝑠+3

On va tracer le gain de ce système pour différente valeur du paramètre 𝑎 ,pour ce faire on prendra deux valeurs positives ,deux valeurs négative ,et la valeur nulle . On utilisera la commande sigma de Matlab pour tracer le gain : 1) 𝑎 = 0:

2) 𝑎 = 2:

3) 𝑎 = 15:

4) 𝑎 = −2:

5) 𝑎 = −15:

Analyse :

On remarque que plus la valeur absolue de 𝑎 augmente plus

𝜎𝑚𝑎𝑥

se déplace vers le haut ,

(elle est minimal pour 𝑎 = 0 ), alors que 𝜎𝑚𝑖𝑛 ne présente pas une grande variation . donc on conclue que la variation de 𝑎 agit sur le gain du système de la manière suivante : plus 𝑎 augmente plus le système peut avoir un plus grand gain . o

On va maintenant caractériser les performances du système bouclé avec un régulateur PI décentralisé en présence d’une erreur additive ∆𝐺 (on prendra 𝑎 = 1):

𝑤 𝑛2 1

∆𝐺 =

0

𝑠 2 +2𝜉1 𝑤 𝑛 1 𝑠+𝑤 𝑛2 1

0

𝑤 𝑛2 2

𝑠 2 +2𝜉2 𝑤 𝑛 2 𝑠+𝑤 𝑛2 2

On a un régulateur décentralisé donc un problème de sélection de parité se présente, on va le résoudre on calculant « la matrice de gain relatif » 𝛺 𝑠 : (méthode de BRISTOL) 𝛺 𝑠 =

ℷ 1−ℷ

ℷ = ℷ11 = ℷ22 =

1−ℷ ℷ 𝑔22 𝑔 𝑔12 𝑔22 − 21 𝑔11

Si ℷ ≈ 1 alors le bon choix est :

𝑢1 𝑢2

Si 1 − ℷ ≈ 1 alors le bon choix est :

𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑𝑒

𝑢1 𝑢2

𝑦1

(1)

𝑦2

𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑𝑒

𝑦2 𝑦1

(2)

On trouve : s^4 + 8 s^3 + 23 s^2 + 28 s + 12 ℷ= −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2 s^4 + 16 s^3 + 45 s^2 + 52 s + 21

On trace le gain de ℷ :

Si la fréquence du point de fonctionnement est inferieure à 0.4 rad/sec , le bon choix est le premier ( ℷ = 0.57),et pour les hautes fréquences on trouve que ℷ = 0.50,donc pour les haute fréquences les deux choix donne le même résultat ,on remarque ainsi que ce système est fortement couplé . dans notre cas on va supposé des fréquence dans le régime statique d’où le premier choix. Pour l’étude qui suit on utilise le schéma suivant :

1

8

s+1 Step

Gain

Scope

Transfer Fcn

8 s

1

Transfer Fcn 5

s+2 Transfer Fcn 1 -1 s+2 Transfer Fcn 2

1

8

s+3 Step 1

Gain 1 24 s Transfer Fcn 4

Analysant d’abord l’effet du découplage :

Transfer Fcn 3

Scope 1

On va d’abord visualisé les performances sans l’effet de découplage c'est-à-dire qu’on injecte qu’une seule commande à la fois et on observe sa sortie correspondante : 𝑢1 → 𝑦1 :

𝑢2 → 𝑦2 :

On remarque que les régulateurs choisi assure les performances des sorties. Caractérisant maintenant le couplage du système, pour ce faire on injecte à la première partie une référence de type échelon unitaire, et pour la deuxième une sinusoïde de fréquence basse et autre de haute fréquence, on caractérisera ainsi l’effet de la deuxième commande sur la première sortie et on refait la même chose pour la première commande sur la deuxième sortie. Effet de la deuxième commande sur la première sortie : 1) pour les fréquences basses :  

𝑟1 𝑡 = 1 pour 𝑡 ≥ 2 (0 ailleurs) 𝑟2 𝑡 = sin⁡ (0.1𝑡)

on aura 𝑦1 𝑡 comme suit :

On remarque en régime transitoire un pic de 7% et en régime permanent des oscillations autour de la référence de dépassement égale à 1% ,mais si on augmente l’amplitude de la sinusoide le dépassement augmente (pour 𝑟2 = 5 ,𝑑 = 6%). 2) Pour la haute fréquence :  

𝑟1 𝑡 = 1 pour 𝑡 ≥ 2 (0 ailleurs) 𝑟2 𝑡 = sin⁡ (10𝑡)

on aura 𝑦1 𝑡 comme suit :

On remarque des oscillations autour de la référence de dépassement égale à 50%(trop élevé). De même on peut refaire cette étude pour l’influence de la première commande sur la deuxième sortie. Conclusion : en appliquant la méthode de Bristol on a pu découpler le système mais uniquement sur une certaine plage de fréquence (basse fréquences dans notre cas), la matrice de gain relative nous fournit des informations sur les différentes interactions du système et c’est ce qu’on a vérifié en traçant le gain de ℷ puis les repenses temporelle pour les basse et haute fréquences, les résultats convenaient aux prévisions déduites de la matrice de gain relative.

Caractérisation de l’effet de perturbation :

On suppose que les perturbations sans de type additive ∆𝐺 𝑤 𝑛2 1

∆𝐺 =

𝑠 2 +2𝜉1 𝑤 𝑛 1 𝑠+𝑤 𝑛2 1

0

0 𝑤 𝑛2 2

𝑠 2 +2𝜉2 𝑤 𝑛 2 𝑠+𝑤 𝑛2 2

Pour caractériser l’effet de perturbations on va suivre les marches suivantes : 1- Fixer un point de fonctionnement pour chacune des sorties et relever les performances en absences des perturbations. 2- Ajouter les perturbations autour et en dehors du point de fonctionnement, de type oscillatoire et non oscillatoire et relever les performances. 3- Comparer le résultat et conclure. 1- On fixe les points de fonctionnement comme suit :  𝑟1 𝑡 = sin⁡ (0.2𝑡).  𝑟2 𝑡 = sin⁡ (0.1𝑡). Les repenses sont comme suit : 𝑦1 (𝑡)

𝑦2 (𝑡)

En remarque qu’on absence de perturbations la poursuite est parfaite pour les deux sorties du système (les performances sont réalisé). 2- On ajoute maintenant les perturbations : a) En dehors du point de fonctionnement : Le système fonctionne en basse fréquence on va donc ajouter des perturbations de haute fréquences comme suit : 100

∆𝐺 =

𝑠 2 +20𝑠+100

0

0 100

;

𝑠 2 +20𝑠+100

Les repenses sont :

𝑦1 (𝑡)

𝑦2 (𝑡)

On remarque que la poursuite reste toujours parfaite (les performances sont toujours réalisées), pour des perturbations loin du point de fonctionnement. b) Autour du point de fonctionnement : b.1) de types non oscillatoire : On va prendre des perturbations de basse fréquences avec un 𝜉 ≥ 1 : 0.0625

∆𝐺 =

0

𝑠 2 +𝑠+0.0625

0

0.0225 𝑠 2 +0.6𝑠+0.0225

Les repenses sont comme suit : 𝑦1 𝑡

𝑦2 (𝑡)

On remarque que la poursuite reste toujours parfaite (les performances sont toujours réalisées), pour des perturbations non oscillatoire autour du point de fonctionnement. b.2) De type oscillatoire : On va prendre des perturbations de basse fréquences avec un 𝜉 < 1 :

∆𝐺 =

𝑠2

0.0625 + 0.2𝑠 + 0.0625 0

Les repenses sont :

0 𝑠2

0.0225 + 0.09𝑠 + 0.0225

𝑦1 (𝑡)

𝑦2 (𝑡)

On remarque que la poursuite reste toujours parfaite (les performances sont toujours réalisées), pour des perturbations oscillatoire autour du point de fonctionnement. 3- On voit que quelque soit les perturbations les performances sont toujours réalisées on conclue donc que le régulateur utiliser est très robuste vis-à-vis d’erreur de modélisation additive.