Analiza Numerica Rez

Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI • Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaŃii liniare: metoda lui Gauss, metoda rădăcinii pătrate, metoda lui Iacobi, metoda Gauss Seidel, metode de relaxare, pseudoinversa unei matrici. • Metode de aproximare a spectrului: metoda rotaŃiilor, metoda puterilor. • Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor neliniare: principiul contracŃiei, metoda lui Newton, metoda bisectiei. • Interpolare cu polinoame: formula lui Hermite, interpolare cu noduri simple, diferenŃe divizate, interpolare cu funcŃii spline cubice. • Formule de cuadratură: formulele Newton-Côtes, formula trapezului, formula lui Simpson, polinoamele lui Legendre şi formulele lui Gauss, formula lui Hermite, formula lui Romberg. • Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor diferenŃiale: metoda lui Taylor, metoda lui Euler, metoda Euler-Cauchy, metoda lui Runge-Kutta, consistenŃă, stabilitate, convergenŃă. BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ OBLIGATORIE 1. Gh. Grigore, LecŃii de analiză numerică. Editura Universitară Bucureşti, 1990 2. Gh Grigore, Sinteze, Biblioteca virtuala, www.spiruharet.ro 3.

Berbente, S. Mitran, S. Zancu, Metode Numerice (Numerical Methods), Editura Tehnica, 1997. 304 pages (in Romanian), http://www.amath.unc.edu/Faculty/mitran/papers/metodenumerice.pdf

Subiecte propuse analiza numerica ____

1. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se

aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata. ____

2. Metoda bisectiei converge liniar.

____

3. Se considera ecuatia

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. ____

4.

Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b] va calcula in mod exact integrala

Polinomul lui Legendre

de grad 3 este ortogonal pe polinomul lui Legendre

de grad 4 adica

____

5.

____

6.

In general metoda de interpolare a lui Lagrange e mai rapida decat metoda de interpolare cu diferente divizate.

____

7.

Metoda bisectiei e intotdeauna mai rapida decat metoda lui Newton.

____

8. Polinoamul lui Legendre de grad 4 este ortogonal pe

adica

____

9.

In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) ponderile se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.

____ 10. Intotdeauna metoda lui Newton produce un sir de numere care converge catre solutia ecuatiei careia

ii aplicam metoda. ____ 11.

Se considera ecuatia f(x)=0 cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0. Atunci metoda bisectiei produce un sir ce converge catre una din solutiile ecuatiei de mai sus.

____ 12. Se considera ecuatia

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. ____ 13.

Formulele Newton-Cotes sumate se obtin prin impartirea intervalului de integrare in subintervale de lungime egala, aplicarea formulelor Newton-Cotes pe fiecare subinterval si sumarea rezultatelor obtinute.

____ 14.

Daca f este un polinom de grad n atunci metoda lui Newton-Cotes cu n+1 noduri echidistante pe [a,b] va calcula in mod exact integrala

____ 15.

Se considera ecuatia

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. In formula de mai sus [x] este partea intreaga a numarului x . Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei.

____ 16. Pentru A=

sa se calculeze

.

____ 17. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ……

____ 18.

Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2]. ____ 19. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

Fixam pasul h si consideram formula iterativa: la pasul i

unde

Aceasta este metoda ……

____ 20. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie

____ 21. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A=

cu predictie initiala

in metoda lui Gauss-Seidel.

pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde

B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 22. Se rezolva ecuatia Care este a doua iteratie?

=0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie

este

____ 23. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …….. ____ 24. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …….

____ 25. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie

____ 26.

cu predictie initiala

in metoda lui Jacobi.

Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula utilizarea a 2 noduri echidistante 0,2. Conform metodei Newton-Cotes

Cat este

?

prin

____ 27. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

Notam

. Fixam pasul h si consideram formula iterativa

Aceasta este metoda ………

____ 28. Pentru A=

sa se calculeze

____ 29. Pentru A=

sa se calculeze

____ 30.

.

.

Se considera ecuatia

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda ……

____ 31. Se da tabelul

Cat este

____ 32.

(adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0) ?

Metoda trapezului aproximeaza integrala lui f pe [a,b] dupa formula ……

____ 33. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa

. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……

____ 34.

Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula

prin

utilizarea a 3 noduri echidistante 0,1,2. Conform metodei Newton-Cotes

Cat este A 0 ? ____ 35. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata simetrica si pozitiv definita. Ce metode numerice pot fi utilizata pentru rezolvarea lui?

____ 36. Aproximati integrala

cu metoda trapezului. ____ 37.

____ 38.

Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula

prin

utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare se numeste metoda ……

pe

Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul

este ………

____ 39. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie 1. Care este a doua iteratie? ____ 40. Aproximati integrala

este

cu metoda lui Simpson. ____ 41. Metoda lui Simpson aproximeaza integrala lui f pe [a,b] cu formula ……..

____ 42.

Aproximam integrala

cu metoda sumata a lui Simpson cu 3 subintervale. Formula de calcul este ……….. ____ 43. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia functiei exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive. ____ 44.

Se rezolva numeric ecuatia diferentiala . Care este cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este , unde y este solutia exacta a ecuatiei de mai sus? aproximatia produsa de aceasta metoda pentru

____ 45. Pentru A= ____ 46.

sa se calculeze

.

Care metode de rezolvare de sisteme liniare sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic produc un sir ce in anumite conditii converge catre solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)?

____ 47. Se da tabelul x 0 1 2 y 1 1 3 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de spline este data de . Cat este m?

iar pe [0,1] functia

____ 48. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este . Care este ? aproximatia produsa de aceasta metoda pentru ____ 49. Care metode de rezolvare de sisteme liniare nu sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic produc solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)?

____ 50. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie

cu predictie initiala

in metoda lui Gauss-Seidel.

____ 51. Se da tabelul

Fie

polinomul de grad 2 interpolant al valorilor din tabel, adica

.

?

Cat este

____ 52. Se rezolva ecuatia iteratie ?

cu metoda lui Newton cu predictie initiala

____ 53. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie ____ 54. Se rezolva ecuatia iteratie ?

cu predictie initiala

in metoda lui Jacobi.

cu metoda lui Newton cu predictie initiala

____ 55. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul

este ……..

. Cat este urmatoarea

. Cat este urmatoarea

____ 56.

Aproximati integrala

cu metoda trapezului. ____ 57. Pentru A=

____ 58.

sa se calculeze

Se considera functia

.

si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe

nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)? ____ 59.

Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula

prin

pe utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau cel mult egal cu …….

____ 60. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

Notam

. Fixam pasul h si consideram formula iterativa

Aceasta este metoda ……

____ 61.

Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ……

____ 62. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii

. La primul pas se alege vector

si

se calculeaza matricea ____ 63. Se da tabelul

Fie polinomul lui Lagrange interpolant al valorilor din tabel, adica grad P , calculat cu metoda lui Lagrange. Care e cu aproximatie numarul de operatii efectuate pentru calcularea valorii presupunand ca 2 nu este printre valorile .

____ 64.

Se rezolva sistemul cu matricea A data de

Se doreste a se aplica metoda lui Gauss-Seidel cu predictie initiala De ce este metoda lui Gauss-Seidel garantata sa convearga?

____ 65. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie

____ 66. Pentru A=

____ 67.

sa se calculeze

cu predictie initiala

in metoda lui Gauss-Seidel.

.

Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula

prin

utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal decat ……….

,

____ 68. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

Utilizam metoda Euler-Cauchy cu h=1 . Notam

____ 69.

. Care este prima iteratie

?

Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] . ____ 70. Se da tabelul x 0 1 2 y 0 2 3 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de functia spline este data de

iar pe [0,1]

. Calculati valoarea lui m.

____ 71. Se da tabelul x 0 1 2 y 1 1 4 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de functia spline este data de . Cat este m?

____ 72. Pentru A= ____ 73.

sa se calculeze

.

Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .

iar pe [0,1]

____ 74. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y-6x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam metoda lui Euler? ____ 75. Se da tabelul

. Cat este prima iteratie

produsa de

Sa se calculeze diferenta divizata f[2,3]. ____ 76. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A=

pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde

B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 77. Care este forma polinoamelor Lagrange de interpolare pe nodurile

____ 78. Se rezolva ecuatia iteratie ?

cu metoda lui Newton cu predictie initiala

?

. Cat este urmatoarea

____ 79. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y+x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1), unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus? ____ 80.

Se considera functia

si P(x) polinomul lui Lagrange de grad 1 care interpoleaza

valorile lui f pe nodurile 0,1 . Cat este atunci P(2)?

____ 81.

Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1. Conform metodei Newton-Cotes

prin

este aproximata de

unde

este un anumit polinom de grad cel mult 2. Cat este

?

____ 82. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula

prin

utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare cu trei noduri se numeste metoda ……

pe

____ 83. Se rezolva sistemul compatibil determinat cu matricea extinsa A data de

. De ce este metoda lui

Se doreste a se aplica metoda lui Jacobi cu predictie initiala Jacobi garantata sa convearga?

____ 84. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este 1. Care este a doua iteratie? ____ 85. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii

. La primul pas se alege vector

si

se calculeaza matricea ____ 86.

Se rezolva numeric ecuatia diferentiala , y(1)=1

Utilizam metoda Euler-Cauchy cu pas h= Cauchy. Obtinem iteratiile succesive metoda numerica pentru ……

. Notam

. Efectuam zece iteratii in metoda Euler. Atunci

este aproximatia produsa de

____ 87. Se considera ecuatia

si apoi vom defini recursiv

Pentru rezolvarea ei vom alege Aceasta este metoda ……. ____ 88.

Aproximam integrala

cu metoda sumata a trapezului cu 3 subintervale. Formula utilizata este …..

____ 89. Se considera functia

nodurile 1,2,3,4,5 . Cat este

si

polinomul de grad 4 care interpoleaza valorile lui f pe

?

____ 90. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara

____ 91. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie

____ 92. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie ____ 93.

Se da tabelul

cu predictie initiala

in metoda lui Jacobi.

cu predictie initiala

in metoda lui Jacobi.

.

Notam cu polinomul lui Lagrange corespunzator nodului i adica are grad n si daca si . Atunci polinomul lui Lagrange ce interpoleaza valorile din tabelul de mai sus este dat de formula:

____ 94.

Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata liber

si termen

. Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul si calculam urmatoarea iteratie

dupa

formula ----------------------pentru i de la 1 la n

----------------------Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula recursiva?

____ 95. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie

cu predictie initiala

in metoda lui Gauss-Seidel.

____ 96. Ce metoda de interpolare utilizeaza polinoamele

____ 97. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia functiei exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive. ____ 98. Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[3,4]. ____ 99. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie

cu predictie initiala

in metoda lui Gauss-Seidel.

____ 100. Se da tabelul x 0 1 2 y 0 1 3 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de functia spline este data de

iar pe [0,1]

. Cat este m?

____ 101. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei functiei aproximatiilor succesive? ____ 102. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A=

pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,

unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 103. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei aproximatiilor succesive? ____ 104. Se da tabelul

Notam cu mai sus adica sistemului

polinomul de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de . Atunci coeficientii pot fi determinati prin rezolvarea

____ 105. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y-x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1) unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus? ____ 106. Se da tabelul

Sa se calculeze

unde

____ 107. Se rezolva ecuatia iteratie ?

este polinomul interpolant al valorilor din tabel. cu metoda lui Newton cu predictie initiala

. Cat este urmatoarea

____ 108. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..

____ 109.

Se da tabelul

Cat este

____ 110.

(adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 0.5)

Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu n noduri pentru aproximarea unei integrale pe intervalul [-1,1]. Care sunt pasii efectuati in aceasta metoda de cuadratura ?

____ 111. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …… ____ 112.

Aproximati integrala

cu metoda trapezului. ____ 113. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A=

pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde

B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 114. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei functiei aproximatiilor succesive? ____ 115. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este 1 iar a doua este notata . Notam cu solutia exacta a ecuatiei ce este aproximata de metoda bisectiei. Estimati eroarea | - | cu teorema de estimare a erorii corespunzatoare metodei bisectiei. ____ 116.

Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru aproximarea in mod necesar sunt …… integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Atunci

____ 117. Formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre este o metoda de ……..

____ 118.

Consideram formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre pe intervalul [-1,1] cu n noduri. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal cu …..

____ 119. Se rezolva ecuatia iteratie ?

cu metoda lui Newton cu predictie initiala

. Cat este urmatoarea

____ 120. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

cu metoda lui Euler cu pas h=0.5 . Notam acest caz este ….

____ 121.

Aproximati integrala

. Formula iterativa din metoda lui Euler in

cu metoda lui Simpson. ____ 122. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii

. La primul pas se alege vector

si se calculeaza matricea ____ 123.

Se considera ecuatia

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda ……

____ 124. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . La primul pas in aplicarea metodei lui Gauss se permuta liniile ….

____ 125.

Se rezolva sistemul cu matricea

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..

____ 126. Ce conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Jacobi pentru rezolvarea de sisteme liniare sa

produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar?

____ 127. Consideram un prim pas:

-----------------------

-----------------------

intr-o metoda numerica utilizata pentru rezolvarea unui anumit tip de sisteme liniare. Ce metoda numerica incepe cu acest pas?

____ 128. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A=

pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,

unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 129. Pentru A= ____ 130.

sa se calculeze

.

Metoda lui Simpson se incadreaza in metodele mai generale de tip …..

____ 131. Se da tabelul x 0 1 2 y 1 1 2 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de functia spline este data de

iar pe [0,1]

. Cat este m?

____ 132.

Se da tabelul

Cat este

____ 133. Pentru A=

(adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 2)

sa se calculeze

.

____ 134. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului

cu predictie initiala

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie

in metoda lui Jacobi.

____ 135. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii

. La primul pas se alege vector

si se calculeaza matricea ____ 136. Metoda Newton-Cotes este o metoda de …..

____ 137. Se considera ecuatia

Pentru rezolvarea ei vom alege

si apoi vom defini recursiv

,n

numar natural. Aceasta este metoda …. ____ 138.

Radacinile polinomului lui Legendre de grad 2 sunt

. Se considera

urmatoarea metoda de integrare numerica:

Cum alegeti

pentru ca aceast metoda numerica sa fie exacta pe polinoame de grad cel mult 3?

____ 139. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Calculati aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1) unde y(x) e solutia exacta a ecuatiei de mai sus. ____ 140. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A=

pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,

unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 141.

Se rezolva numeric ecuatia diferentiala , y(1)=1

Utilizam metoda Euler cu h=1/20. Notam . Efectuam 20 de iteratii in metoda Euler. Obtinem iteratiile succesive . Atunci este aproximatia produsa de metoda numerica pentru ……

____ 142. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii

. La primul pas se alege vector

si

se calculeaza matricea ____ 143.

Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata liber

si termen

. Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul si calculam urmatoarea iteratie

dupa

formula ----------------------pentru i de la 1 la n

----------------------Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula iterativa?

____ 144.

Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..

____ 145.

Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru aproximarea integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal ca ….

____ 146. Pentru A=

sa se calculeze

.