Analiza Matematica Raspunsuri

Analiza matematica An 1 sem 2

TRUE/FALSE 1. Fie functia f:X → òm ,X ⊂ òn . Daca f este continua in punctul a, exista o vecinatate a punctului a in care functia este marginita.

A

A

2. Fie functiile f,g:X → òm ,X ⊂ òn . Daca f si g sunt continue in punctul a atunci f + g este continua in a.

F 3. Fie functia f :X → ò , X ⊂ ò . Daca f este continua in punctul a si λ ∈ ò, atunci λf nu este continua m

n

in a.

A 4. Fie functia f :X → ò , X ⊂ ò . Daca exista lim f(x) in ò si f nu este definita in punctul a, atunci f se m

n

m

x→a

poate prelungi prin continuitate in punctul a, punand f(a) = lim f(x) x→a

F 5. Fie functia f:X → ò,X ⊂ ò . Daca exista lim f(x) in ò si f nu este definita in punctul a, atunci f se n

x→a

prelungeste prin continuitate in punctul a, punand f(a) = 0.

F 6. Fie functia f:X → ò,X ⊂ ò . Daca exista lim f(x) in ò si f nu este definita in punctul a, atunci f se n

x→a

prelungeste prin continuitate in punctul a, punand f(a) = ∞.

p

A 7. Fie functiile f:X → Y ⊂ ò , g:Y → ò , X ⊂ ò . Daca functia f este continua in punctul a ∈ X , iar m

n

p

functia g este continua in punctul b = f(a) ∈ Y , atunci functia compusa g(f):X → ò este continua in punctul a ∈ X

F

p

8. Fie functiile f:X → Y ⊂ òm , g:Y → ò , X ⊂ òn . Daca functia f este continua in punctul a ∈ X , iar p

functia g este continua in punctul b = f(a) ∈ Y , atunci functia compusa g(f):X → ò este discontinua in punctul a ∈ X

F

9. Fie functia reala f:X → ò, X ⊂ òn ; daca in punctul a ∈ X , f este continua si f(a) ≠ 0, exista o vecinatate V a lui a astfel incat pentru orice x ∈ V ∩ X sa avem f(x) ⋅ f(a) > 0.

1

F

10. Fie functia reala f:X → ò, X ⊂ òn ; daca in punctul a ∈ X , f este continua si f(a) ≠ 0, exista o vecinatate V a lui a astfel incat pentru orice x ∈ V ∩ X sa avem f(x) ⋅ f(a) < 0.

A

11. Daca functia vectoriala f:X → òm , X ⊂ òn este continua in punctul a ∈ X si f(a) ≠ 0, atunci exista o vecinatate V a lui a astfel incat pentru orice x ∈ V ∩ X sa avem f(x) ≠ 0.

ÏÔÔ ÔÔ ÔÔÔ 3xy 4 ÔÔ (x,y) ≠ (0,0) este continua in origine. 12. Functia f(x,y) = ÌÔ 2x 2 + 7y 8 ÔÔ ÔÔ (x,y) = (0,0) ÔÔ 0 ÔÓ

F

A 13. O functie vectoriala continua pe un interval compact I ⊂ ò , este marginita pe I. n

F

14. O functie vectoriala continua pe un interval compact I ⊂ òn , este uniform continua pe I.

F

15. Orice functie vectoriala continua pe un interval compact I ⊂ òn , este diferentiabila pe I.

A

16. O functie vectoriala continua pe un interval compact I ⊂ òn , isi atinge efectiv marginile pe I.

F 17. Fie f :X → ò, X ⊂ ò . Cand derivam partial in raport cu variabila x, aceasta (variabila x) este 2

considerata constanta si derivam ca si cum am avea o singura variabila: y.

A

18. Fie f :X → ò, X ⊂ ò2 . Cand derivam partial in raport cu variabila y, variabila x este considerata constanta si derivam ca si cum am avea o singura variabila y.

A

19. Daca f(x,y) = sin(x 2 + y 2 ), (x,y) ∈ ò2 , atunci f x ' (x, y) = 2x cos(x 2 + y 2 ).

F

20. Daca f(x,y) = sin(x 2 + y 2 ), (x,y) ∈ ò2 , atunci f y ' (x,y) = −2y cos(x 2 + y 2 ).

A

21. Daca functia reala f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) este continua partial in raport cu variabila x k in punctul a = (a 1 ,a 2 ,. . . ,a n ), atunci f este derivabila partial in raport cu x k in punctul a

2

A 22. Daca functia reala f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) este derivabila partial in raport cu variabila x k in punctul

a = (a 1 ,a 2 ,. . . ,a n ), atunci f este continua partial in raport cu x k in punctul a.

A

23. Daca functia reala f(x 1 ,x 2 ,. . . x n ) este derivabila partial in raport cu fiecare variabila x 1 ,x 2 ,. . . x n in punctul a, atunci f este continua in raport cu fiecare variabila in parte in punctul a.

24. Fie f :X → ò, X ⊂ òn . Deoarece derivarea partiala in raport cu o variabila x k este de fapt derivarea functiei in raport cu x k , celelalte variabile fiind considerate constante rezulta ca regulile de derivare stabilite pentru functiile de o variabila se mentin si pentru derivarea partiala.

A

A 25. Fie f :X → ò, X ⊂ ò . Deoarece derivarea partiala in raport cu o variabila x k este de fapt derivarea n

functiei in raport cu x k , celelalte variabile fiind considerate constante rezulta ca operatiile algebrice efectuate asupra functiilor derivabile partial conduc tot la functii derivabile partial, adica suma, diferenta, produsul, catul a doua functii derivabile partial reprezinta tot o functie derivabila partial.

A

26. Dacă funcŃia f e diferenŃiabilă în (x0, y0) atunci ea este continuă în acest punct.

A

27. Dacă funcŃia f are derivate parŃiale f’x, f’y într-o vecinătate V a lui (x0,y0) şi dacă aceste

derivate parŃiale sunt continue în (x0, y0) atunci funcŃia f este diferenŃiabilă în (x0, y0). F

28. Se considera functia f(x,y) = x + 2y. Atunci f' x (x,y) = f' y (x,y)

F

29. Se considera functia f(x,y) = x 2 − xy + 3y 2 . Atunci f " 2 (x,y) = f " 2 (x,y).

A

30. Se considera functia f(x,y) = x 2 − xy + 3y 2 . Atunci derivatele mixte f "xy (x,y) si f "yx (x,y) sunt egale.

x

y

A 31. Se considera functia f(x,y) = x 3 + y 3 . Atunci derivatele mixte f "xy (x,y) si f "yx (x,y) sunt egale.

" (x,y) si f "yx (x,y) sunt egale. A 32. Se considera functia f(x,y) = x + 2xy + y + 4. Atunci derivatele mixte f xy 2

3

F 33. Orice functie f:ò → ò are puncte stationare. 2

3

F

34. Orice functie f:ò2 → ò are cel mult 1 punct de extrem.

F 35. Orice functie f:ò → ò are cel mult 2 puncte stationare. 2

A 36. Daca functia f are derivate partiale mixte de ordinul doi f "xy si f "yx intr-o vecinatate V a unui punct

(a,b) si daca f "xy si f "yx sunt continue in (a, b), atunci f "xy (a,b) = f "yx (a,b).

A

37. Se considera functia f(x,y) = 2x + y. Atunci f nu are puncte stationare.

A

38. Daca functia f:ò2 → ò are derivate partiale intr-un punct de extrem (a,b), atunci derivatele partiale de anuleaza in acest punct f x '(a, b) = f y '( a, b) = 0 .

F

39. Daca (a,b) este un punct de extrem local al functiei f:ò2 → ò si daca f " 2 (a,b) < 0, atunci (a,b) este x

punct de minim.

F

40. Daca (a,b) este un punct de extrem local al functiei f:ò2 → ò si daca f " 2 (a,b) > 0, atunci (a,b) este x

punct de maxim.

A

F

41. Daca functia f:X → ò,X ⊂ ò2 are derivate partiale mixte de ordinul doi intr-o vecinatate V a lui (x,y) ∈ X si daca f xy ' ' este continua in (x, y), atunci f xy ' ' (x,y) = f yx ' ' (x,y)

42. Fie f:X → ò,X ⊂ ò2 o functie de doua variabile, derivabila partial de doua ori pe X, cu toate derivatele partiale de ordinul doi continue. Diferentiala sa de ordinul al doilea este ∂2f ∂2f ∂2f 2 2 d f(x,y) = 2 dx − 2 dxdy + 2 dy 2 ∂x ∂x∂y ∂y

A 43. Fie f:X → ò,X ⊂ ò2 o functie de doua variabile, care are in X toate derivatele partiale de ordinul n si

toate aceste derivate partiale sunt continue. Diferentiala sa de ordinul n este ∂nf ∂nf ∂nf ∂nf d n f(x,y) = n dx n + C1n n − 1 dx n − 1 dy +. . .+ C kn n − k k dx n − k dy k +. . .+ n dy n ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y

4

F

44. Fie f:X → ò,X ⊂ ò2 o functie de doua variabile. Daca (a,b) ∈ X este punct stationar pentru f, atunci (a,b) este punct de extrem al lui f.

A

45. Fie f:X → ò,X ⊂ ò2 o functie de doua variabile. Daca (a,b) ∈ X este punct de extrem pentru f, atunci (a,b) este punct stationar pentru f.

A

p

46. Fie f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) o functie definita pe X ⊂ ò , derivabila de trei ori pe X. Fie (a 1 ,. . . ,a p ) o solutie a sistemului

∂f ∂x 1

= 0,. . . ,

∂f ∂x p

= 0.

| |A Daca toate numerele ∆1 = A11 , ∆2 = | 11 |A | 21

Aij =

∂2f ∂x i ∂x j

| | A11 | | |A | A12 | 21 ∆ = ,..., | p | A22 || | ... | || A p1

A12

...

A22

...

...

...

A p2

...

| A1p | | A2p || , unde | ... | | A pp ||

(a 1 ,a 2 ,. . . ,a p ), sunt pozitive, atunci functia f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) are in punctul (a 1 ,. . . ,a p )

un minim.

p

F

47. Fie f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) o functie definita pe X ⊂ ò , derivabila de trei ori pe X. Fie (a 1 ,. . . ,a p ) o solutie a sistemului

∂f ∂x 1

= 0,. . . ,

∂f ∂x p

= 0.

| |A Daca toate numerele ∆1 = A11 , ∆2 = | 11 |A | 21

Aij =

∂2f ∂x i ∂x j

| | A11 | | |A | A12 | 21 ∆ = ,..., | p | A22 || | ... | || A p1

A12

...

A22

...

...

...

A p2

...

| A1p | | A2p || , unde | ... | | A pp ||

(a 1 ,a 2 ,. . . ,a p ), sunt pozitive, atunci functia f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) are in punctul (a 1 ,. . . ,a p )

un maxim.

5

A

p

48. Fie f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) o functie definita pe X ⊂ ò , derivabila de trei ori pe X. Fie (a 1 ,. . . ,a p ) o solutie a sistemului

∂f ∂x 1

= 0,. . . ,

∂f ∂x p

= 0.

| |A Daca toate numerele ∆*1 = −A11 , ∆*2 = | 11 |A | 21

Aij =

∂2f ∂x i ∂x j

| | A11 | | | A12 | p A | ,..., ∆*p = (−1) | 21 | A22 || | ... | || A p1

A12

...

A22

...

...

...

A p2

...

| A1p | | A2p || , unde | ... | | A pp ||

(a 1 ,a 2 ,. . . ,a p ), sunt pozitive, atunci functia f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) are in punctul (a 1 ,. . . ,a p )

un minim.

p

F

49. Fie f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) o functie definita pe X ⊂ ò , derivabila de trei ori pe X. Fie (a 1 ,. . . ,a p ) o solutie a sistemului

∂f ∂x 1

= 0,. . . ,

∂f ∂x p

= 0.

| |A Daca toate numerele ∆*1 = −A11 , ∆*2 = | 11 |A | 21

Aij =

∂2f ∂x i ∂x j

| | A11 | | | A12 | p A | ,..., ∆*p = (−1) | 21 | A22 || | ... | || A p1

A12

...

A22

...

...

...

A p2

...

| A1p | | A2p || , unde | ... | | A pp ||

(a 1 ,a 2 ,. . . ,a p ), sunt pozitive, atunci functia f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) are in punctul (a 1 ,. . . ,a p )

un maxim.

A

50. Integrala curbilinie de primul tip nu depinde de sensul de parcurgere a drumului de intregrare.

A

51. Integrala curbilinie de primul tip depinde de sensul de parcurgere a drumului de intregrare.

F

52. Integrala curbilinie de al doilea tip isi schimba semnul atunci cand se schimba sensul de parcurgere a drumului de integrare.

A 53. Integrala curbilinie de al doilea tip nu isi schimba semnul atunci cand se schimba sensul de parcurgere

a drumului de integrare.

6

MULTIPLE CHOICE 1. Alege raspunsul care completeaza cel mai bine spatiul liber din enuntul urmator. Fie I ⊂ ò un interval necompact si functia f:I → ò. Spunem ca functia f este ..................... daca ∀ [a, b] ⊂ I , f| [a,b] este integrabila. a. b. c. d.

liber integrabila; local integrabila; global integrabila; continua.

2. Un drum cu lungime finita se numeste a. juxtapozabil; b. inversabil; c. rectificabil; d. poligonal. 3. Fie drumul d:[a,b] → X . Drumul (−d):[a,b] → X , definit prin (−d)(t) = d(a + b − t) se numeste a. inversul lui d; b. concatenatul lui d; c. imaginea lui d; d. alt raspuns. 4. Fie (X, τ) un spatiu topologic. O functie continua d:[a,b] → X astfel incat d([a,b]) este multime compacta si conexa se numeste a. bijectie in X; b. drum in X; c. homeomorfism in X; d. alt raspuns.

7

5. Sa se completeze urmatoarea teorema cu concluzia corecta. Fie M ⊂ ò2 , un domeniu simplu in raport cu una din axe si fie ∂M un drum simplu, inchis, de clasa C 1 pe portiuni, pozitiv orientat (sensul de parcurgere pe ∂M lasa domeniul M in stanga), a carui imagine este frontiera topologica a lui M. Fie D o multime deschisa astfel incat M ⊂ D si fie functiile P, Q:D → ò, derivabile cu derivatele continue. Atunci ÊÁ ∂Q ∂P ˆ˜ ÁÁÁ ˜˜˜ dxdy = Pdx + Qdy ; + a. ÁÁ ˜ ÁË ∂x ∂y ˜˜¯ ∂M M ÊÁ ∂Q ∂P ˆ˜ ÁÁ ˜˜ ÁÁ ˜ b. ÁÁ ∂x − ∂y ˜˜˜ dxdy = Pdx + Qdy ; ¯ ∂M M Ë ÊÁ ∂P ∂Q ˆ˜ ÁÁ ˜˜ ÁÁ ˜ c. ÁÁ ∂x − ∂y ˜˜˜ dxdy = Pdx − Qdy ; Ë ¯ ∂M M ÊÁ ∂Q ∂P ˆ˜ ÁÁ ˜˜ ÁÁ ˜˜ dxdy = Pdx + Qdy . − d. ÁÁË ∂y ∂x ˜˜¯ ∂M M

∫∫

ÿ

∫∫

ÿ

∫∫

ÿ

∫∫

ÿ

6. Fie a. b. c.

f:[a,b] → ò,g:[a,b] → ò doua functii integrabile Riemann. Atunci: functia fg este continua; functia fg este integrabila Riemann; functia fg este derivabila.

7. Fie a. b. c.

f:[a,b] → ò o functie integrabila Riemann. Atunci f are proprietatea lui Darboux; f este continua; f este marginita.

8. Fie f:[0,∞) → ò si g:[0,∞) → ò functii continue cu proprietatea ca | f(x)| ≤| g(x)| pentru orice ∞

x ∈ [0,∞) si ∫ | g(x)| dx este convergenta. Atunci: 0 ∞

a.

∫

| f(x)| dx este convergenta;

0 ∞

b.

∫

| g(x)| dx este convergenta;

0 ∞

c.

∫ | f(x)| dx este convergenta. 0

8

9. Fie functia f:X → òm ,X ⊂ òn si a un ....................... al multimii de definitie X. Se spune ca un vector

b ∈ òm este limita functiei f in punctul a daca pentru orice ε > 0 exista η > 0 astfel incat oricare ar fi x ≠ a,x ∈ X si Äx − aÄ < η sa avem Ä f(x) − bÄ < ε . a. punct izolat b. punct de acumulare c. punct aderent 10. Fie functia f:X → òm ,X ⊂ òn si a ∈ X . Se spune ca functia f este ..................... in punctul a, daca pentru orice ε > 0 exista ηε > 0 astfel incat oricare x ∈ X sa avem Ä f(x) − f(a)Ä < ε daca Äx − aÄ < ηε a. constanta b. derivabila c. continua b

∫

11. Fie f :[a, b] → ò o functie continua. Expresia π f 2 (x)dx ne da a

a.

lungimea graficului functiei f

b.

aria suprafetei de rotatie S = {(x,y,z) ∈ ò3 |

c.

volumul corpului de rotatie C = {(x,y,z) ∈ ò3 |

y 2 + z 2 = f(x),x ∈ [ab]} y 2 + z 2 ≤| f(x)| }

b

12. Fie f :[a, b] → ò o functie derivabila cu derivata continua. Expresia

∫

1 + (f '(x)) 2 dx ne da

a

a.

lungimea graficului functiei f

b.

aria suprafetei de rotatie S = {(x,y,z) ∈ ò3 |

c.

volumul corpului de rotatie C = {(x,y,z) ∈ ò3 |

y 2 + z 2 = f(x),x ∈ [ab]} y 2 + z 2 ≤| f(x)| }

b

∫

13. Fie f:[a,b] → ò+ o functie derivabila cu derivata continua. Expresia 2π f(x) a

a.

lungimea graficului functiei f

b.

aria suprafetei de rotatie S = {(x,y,z) ∈ ò3 |

c.

volumul corpului de rotatie C = {(x,y,z) ∈ ò3 |

9

y 2 + z 2 = f(x),x ∈ [ab]} y 2 + z 2 ≤| f(x)| }

1 + (f '(x)) 2 dx ne da

AM: lungimea unui drum, integrale curbilinii An 1 sem 2 MULTIPLE CHOICE 1. Fie functia f:[0,1] → ò, f(x) = x 2 + 1. Lungimea graficului lui f este 1 ÊÁ ˆ ÁÁ 2 + ln(1 + 2) ˜˜˜ ; a. Ë ¯ 2 b. c. d.

2 + ln(1 + 2); Ê 1 ÁÁÁ 1 ÁÁ ln(2 + 5) + 2 ÁÁË 2 4 . 3

ˆ˜ ˜ 5 ˜˜˜˜ ; ˜¯

2. Lungimea curbei y = x 3 / 2 , unde x ∈ [0,4], este 8 a. (10 10 − 1); 27 4 ( 10 − 1); b. 9 c. 2.

ÏÔÔ ÔÔ x = 3cos t ÔÔÔ π 3. Fie curba data de ÔÌÔ y = 3sint , unde t ∈ [0, ]. Lungimea acestei curbe este ÔÔ 2 ÔÔ ÔÔÓ z = 4t

π a. b. c.

2

;

5; 5π 2

;

π d.

2

.

1

ÏÔÔ ÔÔ t ÔÔÔ cos x ÔÔÔ dx ÔÔÔ x = x ÔÔ 1 4. Lungimea curbei data de ÔÌ ,t∈ ÔÔÔ t ÔÔ sinx ÔÔÔ dx ÔÔÔ y = x ÔÔÔ 1 Ó

∫

ÍÈÍ π ˙˘˙ ÍÍ ˙ ÍÍ 1, ˙˙˙ este ÍÍ 2 ˙˙ ÍÎ ˙˚

∫

π2 a.

;

4

π

b.

ln ; 2

π c.

2

− 1.

ÏÔ ÔÔ Ô x = a(t − sint) 5. Lungimea curbei data de ÌÔ , t ∈ [0,2π] este ÔÔÔ ÔÓ y = a(1 − cos t) a. a; b. 2a; c. 4a; d. 8a. ÏÔÔ ÔÔ ÔÔ x = a ⋅ cos 3 t 6. Lungimea curbei data de ÌÔ , t ∈ [0,2π], a > 0 este ÔÔ ÔÔ y = a ⋅ sin3 t Ó a. 3a; b. 6a; 3a . c. 2

ÏÔ ÔÔ Ô x = 2sint 7. Lungimea curbei data de ÌÔ ,t∈ ÔÔÔ y = 2cos t ÔÓ

ÈÍ ˘ ÍÍ π ˙˙˙ ÍÍ 0, ˙˙ este ÍÍ ˙ ÍÍÎ 3 ˙˙˙˚

π a. b. c.

; 6 2π

3 1.

;

2

ÏÔ ÔÔ Ô x = a(cos t + t sint) , t ∈ [0,2π],a > 0 este 8. Lungimea curbei data de ÌÔ ÔÔÔ y = a(sint − t cos t) ÔÓ a. 2π ; b. π 2 − 1; c. 2π 2 a; d. 4πa.

∫

9. Fie I = xy dl, unde C: x = t, y = t 2 , t ∈ [−1,1]. Valoarea lui I este C

a. b. c. d.

0;

2 − 1; 1

; 3 2.

ÔÏÔÔ ÔÔ a ÔÔ ÔÔ x = cos θ Ô 2 ,θ∈ 10. Fie I = xy dl unde C:ÔÌÔ ÔÔ Ô a C ÔÔÔ y = sin θ ÔÔÔ 2 Ó a. 0; ˆ a 3 ÁÁÁÊ π ˜˜ ÁÁ − 1˜˜˜ ; b. ˜˜ 16 ÁÁË 2 ¯ 3 a c. . 16

∫

11. Fie I =

∫x

dl 2

C

+ y2 + z2

ÈÍ ˘ ÍÍ π ˙˙˙ ÍÍ 0, ˙˙ . Valoarea lui I este ÍÍ ˙ ÍÍÎ 2 ˙˙˙˚

, unde C este prima spira a elicei x = acos t, y = asint, z = bt, t ∈ [0,2π] .

Valoarea acestei integrale este a.

b.

c. d.

a2 + b2 ab a2 + b2 ab a2 + b2 ab

a 2πb

arctan

arctan

ln

arctan

2πb

a 2πb

a

2πb a 2πa b

;

;

;

.

3

ÏÔÔ ÔÔ ÔÔÔ ÔÔ x = t ÔÔÔ 12. Fie I = xyz dl, unde C:ÔÌÔ y = t 2 , t ∈ [0,1]. Valoarea lui I este ÔÔ ÔÔ C 2 ÔÔÔ ÔÔ z = t 3 3 ÔÔÓ

∫

a. b. c. d.

2 21 4

;

; 27 46

189 6 . 27

;

∫

13. Fie I = xy dl, C fiind sfertul din elipsa C

a. b. c. d.

ab(a 2 + ab + b 2 ) 3(a + b) ab(a + b); ab(a 3 + b 3 ) 3

x2 a2

+

y2 b2

= 1 situat in primul cadran. Valoarea lui I este

;

;

1.

ÔÏÔÔ ÔÔ x = t ÔÔ ÔÔÔ 3 ÔÔÔ 4 2 14. Fie I = ∫ xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) dl, C = ÔÌ y = t , t ∈ [0,1] . Valoarea lui I este ÔÔÔ 3 ÔÔ C ÔÔÔ ÔÔ z = t 2 ÔÔÔ Ó 13935 a. ; 1875 13936 ; b. 1875 13937 . c. 1875

4

15. Fie I =

ÏÔÔ ÔÔÔ x = t − sint ,t∈ y(2 − y) dl, C = ÌÔ ÔÔ ÔÓÔ y = 1 − cos t

∫ C

a. b. c.

2 2 3 2 3 2 2 5 2

ÈÍ ˘ ÍÍ π ˙˙˙ ÍÍ 0, ˙˙ . Valoarea lui I este ÍÍ ˙ ÍÍÎ 2 ˙˙˙˚

; ; .

∫

16. Fie I = (x 2 + y 2 ) dl, unde C este segmentul de dreapta AB, A(a,a), B(b,b), b>a. Valoarea lui I este C

a. b. c. d.

2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3

(b − a); (b 2 − a 2 ); (b 3 − a 3 ); (b 3 + a 3 ).

∫

17. Fie I = (x + y) dl, unde C este segmentul OA; O(0,0), A(1,2). Valoarea lui I este C

a. b. c. d.

3 3 2 3 5 2 3 7 2 3 6 2

; ; ; .

5

∫

18. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea 3xy dx − y 2 dy , unde Γ

ÏÔ ¸Ô Γ = ÌÔ (x,y) ∈ ò2 | y = 2x 2 , x ∈ [0,2] ˝Ô este Ó ˛ 110 a. − ; 3 440 ; b. 3 440 c. − ; 3 d. 0.

∫

19. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea (3x 2 + 6y) dx − 14yz dy + 20xz 2 dz , unde Γ

ÏÔ ¸Ô Γ = ÔÌ (x,y,z) ∈ ò3 | x = t, y = t 2 , z = t 3 , t ∈ [0,1] Ô˝ este Ó ˛ a. 5; b. 10; c. 15; d. 20.

∫

20. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = xy dx − y 2 dy , unde

ÏÔ ¸Ô Γ = ÔÌ (x,y) ∈ ò2 | x = t 2 , y = t 3 , t ∈ [0,1] Ô˝ este Ó ˛ a. 0; 1 b. ; 21 1 c. − ; 21 2 d. . 21

6

Γ

∫

21. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = x dy , unde Γ

ÏÔ ¸Ô Γ = ÌÔ (x,y) ∈ ò2 | x = e t , y = ln(1 + e t ), t ∈ [0,ln2] ˝Ô este Ó ˛ 3 a. 1 + ln ; 2 2 b. 1 + ln ; 3 2 c. 2 + ln ; 3 2 d. 2 − ln . 3

22. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I =

∫

yz dx +

xz dy +

xy dz , unde

Γ

ÔÏ Ô¸ Γ = ÌÔ (x,y,z) ∈ ò3 | x = t, y = t 2 , z = t 3 , t ∈ [0,1] ˝Ô este Ó ˛ 59 ; a. 42 60 b. ; 42 61 ; c. 42 62 . d. 42

23. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I =

ÔÏ Γ = ÔÌÔ (x,y,z) ∈ ò3 | x = e t , y = e −t , z = Ó e2 1 1 + − ; a. 2 e 2 e3 1 1 b. + − ; 3 e 2 e2 1 1 + − ; c. 2 e2 2 e2 1 1 d. + + . 2 e2 2

∫ x dx + xy dy + xyz dz , unde Γ

Ô¸ 2t, t ∈ [0,1] Ô˝Ô este ˛

7

∫

24. Fie integrala curbilinie de tipul al doilea I = (y + 1) dx + x 2 dy, unde C este curba simpla si C

rectificabila care are ca imagine portiunea din parabola y = x 2 − 1, cuprinsa intre punctele A(−1,0) si B(1,0), care are primul capat in B. Valoarea ei este 2 ; a. 3 2 b. − ; 3 c. d.

2;

π.

25. Fie I =

∫

C

dl x −y

unde C este segmentul de dreapta y =

1 2

x − 2 cuprins intre punctele A(0,− 2) si

B(4,0). Valoarea lui I este 5 ln2 5 ln3 5 ln8

a. b. c.

26. Fie I =

∫

xydl unde C este conturul dreptunghiului ale carui varfuri sunt

C

A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2). Valoarea lui I este a. 22 b. 23 c. 24

27. Calculeaza

∫

(x − y)dl unde C este circumferinta x 2 + y 2 = ax.

C

a. b. c.

πa 2 2 πa 2 3 πa 2 4

28. Calculeaza

∫

2y dl , unde C este primul arc al cicloidei x = a(t − sint), y = a(1 − cos t)

C

( t ∈ [0,2π] ) a. 0 b. 4a a π c. sina

8

29. Calculeaza

∫

(x 2 + y 2 ) n dl , unde C este circumferinta x = acos t, y = asint.

C

a. b. c.

2πa 2n + 1 2πa 2n 2π 2 a 2n + 1

30. Calculeaza integrala

∫

z2

C

a.

x2 + y2

dl unde C este prima spira a elicei x = acos t, y = asint, z = at, a > 0.

8π 3 a 2 3

π a 2 3

b. c.

3 8π

3

2

3

31. Calculeaza

∫

(2z −

x 2 + y 2 )dl unde C este prima spira a spiralei conice x = t cos t, y = t sint, z=t.

C

Indicatie: se ia t ∈ [0,2π] ÊÁ ˆ˜ 3 Á ˜˜ 2 2 ÁÁÁ ˜˜ 2 a. ÁÁÁ (2π 2 + 1) − 1˜˜˜ ˜˜ 3 ÁÁÁ ˜˜ Á Ë ¯ ÊÁ ˆ˜ 3 Á ˜˜ 2 2 ÁÁÁ ˜˜ 2 2 Á ˜ b. ÁÁÁ (2π + 1) + 1˜˜˜ 3 ÁÁ ˜˜ Á ˜ Ë ¯ c.

2 2 3

∫

32. Calculeaza integrala xydl unde C este conturul patratului | x|+| y| = a, a > 0. C

a. b. c.

0 1000 a 2008

9

33. Calculeaza integrala

∫

C

a.

ln

b.

ln

c.

ln

dl

unde C este segmentul AB A(0,0), B(1,2).

x2 + y2 + 4

5 +3 2 5 −3 2 5 +3 254

34. Sa se determine lungimea curbei date prin parametrizarea

,

35. Sa se determine lungimea curbei date prin parametrizarea , 36. Sa se scrie integrala care reprezinta lungimea curbei data prin parametrizarea

,

.

,

.

Sa se scrie integrala care reprezinta lungimea curbei data prin parametrizarea 37. 38. Sa se evalueze integrala curbilinie

unde C este curba data prin parametrizarea

. 39. Sa se evalueze integrala curbilinie

unde C este curba data prin parametrizarea

.

40. Sa se evalueze integrala curbilinie

unde C este jumatatea dreapta a cercului

41. Sa se evalueze integrala curbilinie

, unde C este segmentul de dreapta care uneste (1,2) cu (4,7).

10

.

AM: integrale euleriene An 1 sem 2

MULTIPLE CHOICE 1. Daca Γ(a) = a. b. c. d.

∫

∞

0 +0

Γ(2) = 0; Γ(2) = 1; Γ(2) = 2; Γ(2) = 3.

2. Daca Β(a,b) = a. b. c.

d.

x a − 1 e −x dx , pentru a>0, atunci

ÊÁ 1 1 ˆ˜ Á ˜ Β ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ÁË 2 2 ˜¯ ÁÊÁ 1 1 ˜ˆ˜ Β ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ÁË 2 2 ˜¯ ÁÊÁ 1 1 ˜ˆ˜ Β ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ÁË 2 2 ˜¯ ÊÁ 1 1 ˜ˆ Á ˜ Β ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ÁË 2 2 ˜¯

∫

1−0

x a − 1 (1 − x) b − 1 dx , cu a,b>0, atunci

0+0

= e; = π; =

=

3. Stiind ca Β(a,b) =

π;

π 2

∫

1−0

0+0

x a − 1 (1 − x) b − 1 dx , cu a,b>0, si ca Γ(a) = ∫

∞

0 +0

ÊÁ 1 ˆ˜ Á ˜ calculeze ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ (eventual se poate folosi legatura dintre Β si Γ). ÁË 2 ˜¯ a. π ; b. π; 2 c. π ; d. π 2 π .

1

x a − 1 e −x dx , pentru a>0, sa se

4. Daca Β(a, b) = a.

Β(3,4) =

b.

Β(3,4) =

c. d.

b.

c.

d.

1−0

0+0

1 120

π

π2

Β(3,4) =

ÁÊÁ 3 ˜˜ˆ ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ ÁË 2 ˜¯ ÊÁ 3 ˜ˆ Á ˜ ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ ÁË 2 ˜¯ ÊÁ 3 ˜ˆ Á ˜ ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ ÁË 2 ˜¯ ÊÁ 3 ˜ˆ Á ˜ ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ ÁË 2 ˜¯

= = = =

6

x a − 1 (1 − x) b − 1 dx , cu a,b>0, atunci

; ;

2 1 Β(3,4) = ; 60

5. Daca Γ(a) =

a.

∫

.

ÊÁ 1 ˆ˜ Á ˜ x a − 1 e −x dx , pentru a>0, atunci (folosind eventual faptul ca ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ = 0 +0 ÁË 2 ˜¯

∫

∞

π 2

π 4

π 8

π 16

;

;

;

.

∞

6. Valoarea integralei de tip Gamma

∫

5

x 4 e −2 x dx este

0

a. b. c. d.

1 9 4 ⋅ Γ  2 16 5  5  1 4 9 ⋅ Γ  5 2 16 5  5  1 9 9 ⋅ Γ  5 2 16 5  5  5

ÁÊÁ 9 ˜ˆ˜ ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ 5 2 24 ÁË 5 ˜¯ 1

2

π ) rezulta ca

1

7. Valoarea integralei de tip Beta

∫

x 3 (1 − x ) dx este 2

0

a.

b.

c.

d.

5 Γ   Γ ( 3) 2 9 Γ  2  5   12  Γ Γ   3  7   92  Γ   21  16 693

5 Γ   Γ ( 3) 2 5  Γ + 2 2  ∞

8. Folosind proprietatile integralei Gamma, obtinem ca

∫x e

7 −x

0

a. b. c. d.

8! 7! 6! 9!

3

dx este egala cu

1

9. Folosind proprietatile integralei Beta, obtinem ca

∫

3

x 5 ⋅ 7 (1 − x ) dx este egala cu 5

0

a.

b.

c.

d.

10. Daca

8 5 Γ Γ  3 7  71  Γ   21   5   12  Γ Γ   3  7   71  Γ   21   8   12  Γ Γ   3  7   92  Γ   21  5 8 Γ Γ  3 7  59  Γ   21 

, pentru a>0, atunci Γ(9 ) = ... ?

3 3 2 2

11. Daca

, cu a,b>0, atunci B ,  = ... ?

12. Daca

, cu a,b>0, atunci B(3,7)=…?

13. Valoarea integralei de tip Beta

este…?

4

AM: integrala dubla An 1 sem 2 MULTIPLE CHOICE 1. Se considera I =

∫∫ xy dxdy , unde D este domeniul limitat de parabola y = x

2

si de dreapta y = 2x + 3.

D

Valoarea lui I este 160 a. ; 3 161 ; b. 3 162 ; c. 3 163 d. . 3 2. Aria domeniului plan marginit de curbele y = x si y = x 2 , este: a. 1; 1 b. ; 2 1 ; c. 3 1 . d. 6

3. Se considera I =

ÔÏ

∫∫ (1 − y) dxdy unde D = ÔÌÔÓ (x,y) ∈ ò | x 3

D

este: a. b. c. d.

1 13 1 14 1 15 1 16

; ; ; .

1

2

Ô¸ + (y − 1) 2 ≤ 1, y ≤ x 2 ,x ≥ 0˝Ô . Valoarea lui I ˛

4. Valoarea integralei duble I =

ÏÔ

¸Ô

∫∫ 2(x + y) dxdy , unde D = ÔÔÌÓ (x,y) ∈ ò | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1ÔÔ˝˛ , este 2

D

a. b. c. d.

1; 2; 3; 4.

∫

5. Prin calcul direct sau folosind formula lui Green rezulta ca integrala (1 − x 2 )y dx + x(1 + y 2 ) dy unde γ

γ(t) = (r cos t,r sint), cu r > 0 si t ∈ [0, π] este egala cu πr 4 a.

b. c. d.

2 πr 4 3 πr 4 4 πr 4 5

; ; ; .

6. Valoarea integralei duble

∫∫ (x

2

+ y) dxdy , unde D este domeniul plan marginit de curbele y = x 2 si

D

y = x, este 31 ; a. 140 32 ; b. 140 33 ; c. 140 34 d. . 140 2

7. Valoarea integralei

∫∫ x ye 2

xy

ÔÏ Ô¸ dxdy , unde D = ÌÔ (x,y) ∈ ò2 |0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2˝Ô este Ó ˛

D

a. b. c. d.

0; 1; 2; 3.

2

8. Fie integrala dubla I =

x2

∫∫ y

2

dxdy , unde D este domeniul marginit de dreptele x = 2, y = x si de

D

hiperbola xy = 1. Valoarea lui I este 9 ; a. 4 9π ; b. 4 c. d.

9π 2 4 9π 3 4

; .

9. Sa se calculeze integrala dubla

∫∫ xy

2

dxdy , D fiind domeniul marginit de curbele y = x 2 si y = x.

D

a. b. c. d.

π

; 3 e 2 − 1; ln2; 1 . 40

10. Sa se calculeze integrala dubla

∫∫

xy dxdy , D fiind domeniul marginit de curbele y = x 2 si y =

D

x ∈ [0,1]. e ; a. 27 4 ; b. 27 c. e 2 − ln3; d. 5.

3

x,

11. Sa se calculeze integrala dubla

∫∫ D

a. b. c. d.

12 3 5 13 3 5 14 3 5 3 3.

ÏÔÔ ÔÔ 2 ÔÔ x + y 2 ≤ 4 y dxdy , unde D:ÔÌ . ÔÔ ÔÔ 3y ≥ x 2 Ó

; ; ;

12. Folosind o schimbare de variabila adecvata, calculati integrala dubla

b. c. d.

π 6

π 4

π 3

π 2

; ; .

∫∫ x y 2

D

domeniul marginit de elipsa

b. c. d.

dxdy , unde

;

13. Folosind o schimbare de variabila adecvata, sa se calculeze integrala dubla

a.

2

D

ÏÔ ¸Ô D = ÌÔ (x,y) ∈ ò2 | x 2 + y 2 ≤ 1˝Ô . Ó ˛ a.

∫∫ (x + y)

a3b3 24 a3b3 24 a3b3 24 a3b3 24

x2 a2

+

y2 b2

= 1.

;

π; π2; π3.

4

2

dxdy , unde D este

14. Calculeaza integrala dubla

∫∫ xy dxdy , unde 0 ≤ x ≤ 1 si 0 ≤ y ≤ 2. D

a. b. c. d.

0; 1; 2; 3.

15. Calculeaza integrala dubla

∫∫ e

x+y

dxdy , unde 0 ≤ x ≤ 1 si 0 ≤ y ≤ 1.

D

a. b. c.

0; (e − 1) 2 ; (e − 1)(e − 2);

d.

e 2 − 1.

16. Calculeaza integrala dubla

x2

∫∫ 1 + y

2

dxdy , unde D este dreptunghiul 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

D

a. b. c. d.

π 2

π 3

π 4

; ; ;

π 12

.

17. Calculeaza integrala dubla

1

∫∫ ÊÁ x + y + 1ˆ˜ D

a. b. c. d.

Ë

2

dxdy , unde D este dreptunghiul 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1.

¯

2

e ; ln2 − ln1; ln2 − ln3; 4 ln . 3

5

x

a

∫ ∫

18. Calculeaza integrala dx dy.

a. b. c. d.

0

0

4

2x

1/3

3a

2 3a ; 2 2a 3 / 2

3 2a 2 / 3 3

;

; .

y

∫ ∫ x dy.

19. Calculeaza integrala dx a. b. c. d.

2

x

2

ln y

5; 7; 9; 11.

∫ ∫

20. Calculeaza integrala dy e x dx 1

a. b. c. d.

1 4 1 3 1 2

0

; ; ;

3 2

.

6

21. Calculeaza integrala

∫∫ (x

2

+ y) dxdy , unde D este domeniul marginit de parabolele y = x 2 si y 2 = x.

D

a. b. c. d.

75 140 42 140 1; 33 140

; ;

.

22. Calculeaza integrala dubla

x2

∫∫ y

2

dxdy unde D este domeniul marginit de dreptele x = 0,y = π si de

D

hiperbola xy = 1. 9 ; a. 4 b. c. d.

9 π 4

;

e

; 7 1. 1

2

3

∫ ∫ ∫

23. Calculeaza integrala dx dy dz . a. b. c. d.

0

0

0

a

b

c

1; 2; 3; 6.

∫ ∫ ∫

24. Calculeaza integrala dx dy (x + y + z)dz . 0

a. b. c. d.

0

0

abc

; 2 a +b+c

; 3 abc(a + b + c)

2 abc(a + b + c)

;

3

7

a

y

x

∫ ∫ ∫

25. Calculeaza integrala dx dy xyz dz . 0

a. b. c. d.

a +1 a −3 a8 ; 94 324 ; a2 a6 . 48

0

0

;

26. Calculeaza integrala

∫∫∫ x y z dxdydz , unde domeniul V este definit de inegalitatile 3

2

V

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy. 1 ; a. 110 3 ; b. 19 πe 2 ; c. 3 d. ln5 − ln2.

27. Trecand la coordonate sferice, calculeaza integrala

∫∫∫ V

centrata in origine de raza R. a. πR3 ; πR 3 b. ; 3 c. πR4 ; πR 5 d. . 5

8

x 2 + y 2 + z 2 dxdydz , unde V este bila

28. Să se evalueze integrala dublă:

∫ ∫ ( x + 2 y)dxdy,

D= [1,4] × [ 2,5]

D

171 2 153 2 alt răspuns 91 2

a. b. c. d.

29. Să se calculeze valoarea integralei duble:

∫ ∫ ( x − y)dxdy

D= {(x,y) ∈ ℜ2 / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x + 1}

D

a. b. c. d.

2 3 1 3 1 6 alt răspuns −

30. Să se calculeze integrala dublă:

∫∫ (x + y)dxdy unde D este domeniul marginit de curbele D

x = 0,x = 1,y = x,y = 2x

a. b. c. d.

2 3 alt răspuns 5 6 1 6

9

31. Să se calculeze integrala dublă:

∫∫

D

a. b. c. d.

xy x2 + y2

dxdy , D= [ 0,1] × [1, 2]

2 3 5 3 alt răspuns 1 3

32. EvaluaŃi integrala dublă:

∫∫ xydxdy unde D este domeniul marginit de curbele D

x = 0,x = 3,y = x ,y = 2x + 3 2

a. b. c. d.

52 53 54

alt răspuns

33. Să se calculeze:

∫∫ ( x

2

+ y )dxdy, D= {( x,y ) ∈ℜ2 | 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2 x + 1 }

D

a. b. c. d.

Alt răspuns 783 20 183 20 103 20

34. Să se calculeze:

∫∫ ( x + y )dxdy, D= [0,1] × [1,3] 2

D

a. b. c. d.

19 3 25 3 29 3 Alt răspuns

10

35. Să se calculeze :

∫∫ ( x

2

+ y )dxdy, D= [ 0,1] × [1,3]

D

a. b. c. d.

Alt răspuns 4 3 7 3 14 3

36. Să se calculeze :

∫∫ ( x

2

y + xy 2 )dxdy, D = [ −1,1] × [ 0,3]

D

a. b. c. d.

3

Alt răspuns -1 12

37. Să se calculeze :

∫∫ xydxdy, D este mărginit de dreptele:

y = x, y = 0, x = 1 .

D

a. b. c. d.

1 5 1 8 Alt răspuns 1 5

38. Să se calculeze :

∫∫ xdxdy, unde

D = {( x, y ) ∈ ℜ 2 , x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0}

D

a. b. c. d.

1 3 5 3 2 3 Alt răspuns

11

39. Să se calculeze:

∫∫ ydxdy, D = {( x, y ) ∈ℜ , x 2

2

+ y 2 ≤ 1, y ≥ 0}

D

a. b. c. d.

40.

Alt răspuns 1 3 5 3 2 3

Să se calculeze:

∫∫ dxdy, D = {( x, y ) ∈ℜ , 0 ≤ x ≤ 3, 2

2 − x ≤ y ≤ 2}

D

a. b. c. d.

9 2 5 0

Alt răspuns

41. Să se calculeze:

∫∫

1 − x 2 − y 2 dxdy , D = {( x, y ) ∈ ℜ 2 , x 2 + y 2 ≤ 1}

D

a. b. c. d.

2π 3

π 3 Alt răspuns 7π 3

42. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

∫

2

−6

dy

∫

2 −y y

f(x,y)dx sunt

2

−1

4

a.

y=

b.

x=

c.

x=

y2 4 y2 4 y2

4

− 1,y = 2 − y,x = −6,x = 2 + 1,x = 2 + y,y = −6,y = 2

− 1,x = 2 − y,y = −6,y = 2

12

43. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

∫

3

dx

1

∫

2x x

f(x,y)dy

3

sunt a.

y=

b.

y=

c.

x=

x 3 x 3 x 3

,y = 2x,x = 1,x = 3 ,y = 2x,x = 100,x = 3 ,x = 2x,y = 1,y = 3

44. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

∫

3

1

sunt a.

y=

b.

y=

c.

x 3 x

,y = 2x,x = 1,x = 3

,y = 2x,x = 100,x = 3 3 y = x 2 ,y = x + 9,x = 1,x = 3

45. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

∫

3

dx

0

25 − x

∫

2

f(x,y)dy sunt

0

x

a.

y=

b.

y = 0,y = 25 − x 2 ,x = 0,x = 3 y = x 2 ,y = x + 9,x = 1,x = 3

c.

3

,y = 2x,x = 1,x = 3

46. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

∫

4

0

dy ∫

10 − y

f(x,y)dx sunt

y

a. b.

y = 4,y = 0,x = y,x = 10 − y y = 4,y = 0,x = y,x = 0

c.

x=

y2 4

− 1,x = 2 − y,y = −6,y = 2

13

x+9

dx ∫ 2 x

f(x,y)dy

47. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

∫

2

−1

x+2

dx ∫ 2

f(x,y)dy

x

sunt a. y = x 2 ,y = 2 + x,x = −1,x = 2 b. y = x,y = 2 + x,x = −1,x = 2 c.

y = x 2 ,y = 2 + x,y = −1,y = 2

48. Schimbati ordinea de integrare in integrala dubla

∫

4

0

a.

∫

4

∫

48

0

dy ∫

dx ∫

12x

3x

2

f(x,y)dy

12x

3x

f(x,y)dx

2

y

b.

dx

0

∫

3

f(x,y)dy

y 12

c.

alt raspuns

49. Determinati limitele integralei duble

∫∫ f(x,y)dxdy daca D este paralelogramul ale carui laturi sunt D

x = 3,x = 5,3x − 2y + 1 = 0,3x − 2y + 4 = 0. 3x + 4

a.

∫

5

3

dx ∫ 3x + 1 f(x,y)dy 2

2 3x + 4

b.

∫

5

3

dy ∫ 3x + 1 f(x,y)dx 2

2

c.

alt raspuns

50. Determinati limitele integralei duble

∫∫ f(x,y)dxdy daca D este triunghiul ale carui laturi sunt D

x = 0,y = 0,x + y = 2 a.

∫

2

∫

2

0

b.

0

c.

dy ∫

2−x

dx ∫

2−x

f(x,y)dx

0

f(x,y)dy

0

alt raspuns

14

51. Determinati limitele integralei duble

∫∫ f(x,y)dxdy daca D este domeniul marginit de D

x + y ≤ 1,x ≥ 0,y ≥ 0 2

a.

2

∫

1

∫

1

dy

0

b.

∫

2

f(x,y)dx

0

dy

0

c.

1−y

∫

1−y

2

f(x,y)dx

0

alt raspuns

52. Determinati limitele integralei duble

∫∫ f(x,y)dxdy daca D este domeniul marginit de D

y ≥ x ,y ≤ 4 − x 2

a.

∫

1

∫

1

dy

0

b.

∫

4−x

x

dx

0

c.

∫

4−x

x

2

∫

− 2

2

f(x,y)dx

2

2

dx

∫

2

2

f(x,y)dy

4−x

x

2

f(x,y)dy

2

53. Determinati limitele integralei duble

∫∫ f(x,y)dxdy daca D este domeniul marginit de parabolele D

y = x ,y = 2

a.

x

∫

x

b.

∫

f(x,y)dxdy

2

1

dx

0

c.

∫

x

∫

x

x

2

− 2

f(x,y)dy

2

dx

∫

4−x

x

2

2

f(x,y)dy

15

54. Determinati limitele integralei duble

∫∫ f(x,y)dxdy daca D este triunghiul ale carui laturi au suport D

dreptele de ecuatii y = x,y = 2x,x + y = 6 2

a.

b.

c.

2x

3

6 −x

∫ dx ∫ f(x,y)dy + ∫ dx ∫ f(x,y)dy 0

x

2

x

2

2x

3

6 −x

∫ dy ∫ f(x,y)dx + ∫ dx ∫ f(x,y)dy 0

x

2

x

3

2x

2

6 −x

∫ dx ∫ f(x,y)dy + ∫ dx ∫ f(x,y)dy 2

x

0

x

55. Sa se evalueze integrala . 56. Sa se evalueze integrala dubla

, unde

Sa se calculeze integrala dubla

, unde

57.

59. Sa se calculeze integrala si

60. Sa se calculeze integrala

61.

62.

Sa se calculeze integrala

.

, unde S este domeniul marginit de

58. Sa se calculeze integrala

cercurile

.

si

.

, unde D este regiunea din semiplanul superior marginita de . , unde

.

, unde

.

Sa se calculeze integrala tripla

, unde

16

.

Analiza matematica Continuitate, derivate partiale puncte de extrem MULTIPLE CHOICE 1. Derivata partiala a lui f(x,y) = x + xy + 1 in raport cu variabila x este egala cu 2

a. b.

2x + y 2x + y + 1

c. d.

2x + y 2 x +y

2. Derivata partiala la lui f(x,y) = x + xy + y in raport cu variabila x este egala cu 2

a. b.

2x + y 2x + y + 1

c. d.

2x + y 2 x +y

3. Derivata partiala la lui f(x,y) = x + xy + 1 in raport cu variabila y este egala cu a. 2x c. xy b. 2x + y d. x 2

4. Derivata partiala a lui f(x,y) = x y + xy + 1 in raport cu variabila y este egala cu 2

a. b.

x2 + x 2x + y + 1

c. d.

2x + y 2 x +y

5. Derivata partiala a lui f(x,y) = x + xy + y in raport cu variabila y este egala cu 2

a. b.

2

x + 2y 2x + y + 1

c. d.

2x + y 2 x +y

6. Derivata partiala de ordin 2 a lui f(x,y) = x + xy + 1 in raport cu variabila y, notata 2

cu a. 2x b. 2x + y

c. d.

f ' ' 2 este egala y

xy 0

7. Derivata partiala de ordin 2 a lui f(x,y) = x + xy + 1 in raport cu variabila x este egala cu a. 6x c. xy b. 2x + y d. 0 3

1

8. Derivata partiala de ordin 2 a lui f(x,y) = x + xy + y in raport cu variabila y este egala cu a. 6x c. xy b. 2x + y d. 6y 3

3

9. Derivata partiala de ordin 2 a lui f(x,y) = x + 2xy + y in raport cu variabila y este egala cu a. 6x c. xy b. 2x + y d. 6y 3

3

10. Se considera functia f(x,y) = x + xy + y . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de 3

3

este egala cu a. 6x b. 2x + y

c. d.

f 'xy' (x,y)

1 6y

11. Se considera functia f(x,y) = x + xy + y . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de 3

2

3

este egala cu a. 6x b. 2x + y

c. d.

1 2y

12. Se considera functia f(x,y) = x + xy + y . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de 3

2

3

este egala cu a. 6x b. 2x + y

c. d.

2

3

este egala cu a. 6x b. 2x + y

c. d.

2

3

este egala cu a. 6x b. 2x + y

c. d.

2

f 'xy' (x,y)

1 2y

14. Se considera functia f(x,y) = 5x + xy + y . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de 3

' f 'yx (x,y)

1 2y

13. Se considera functia f(x,y) = x + xy + 7y . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de 3

f 'xy' (x,y)

1 2y

f 'xy' (x,y)

15. Se considera functia f(x,y) = x + xy + y . Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) c. (1,1,),(0,0) b. (1,0),(0,1) d. nu exista puncte stationare 2

2

16. Se considera functia f(x,y) = x − 2x + y − 4y + 11 . Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) c. (1,2) b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare 2

2

17. Se considera functia f(x,y) = x − 4x + y − 6y − 10 . Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) c. (2,3) b. (2,3),(0,0) d. nu exista puncte stationare 2

2

18. Se considera functia f(x,y) = x − 10x + y − 4y + 11 . Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) c. (5,2) b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare 2

2

19. Se considera functia f(x,y) = x + 2x + y − 4y + 11 . Atunci punctul (-1,2) este un punct a. de minim local pentru f(x,y) c. nu e punct de extrem local b. de maxim local pentru f(x,y) 2

2

20. Se considera functia f(x,y) = x + 4x − y − 4y + 11 . Atunci punctul (-2,-2) este un punct a. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem local b. de maxim local pentru f(x,y) 2

2

21. Se considera functia f(x,y) = −x + 2x − y − 4y + 11 . Atunci punctul (1,-2) este un punct a. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem local b. de maxim local pentru f(x,y) 2

2

22. Se considera functia f(x,y) = x + y . Atunci punctul (0,0) este un punct a. de minim local pentru f(x,y) c. b. de maxim local pentru f(x,y) 2

4

3

nu este punct de extrem local

23. Care din urmatoarele functii are o o infinitate de puncte stationare a. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y b.

f(x,y)=sin(x)

d.

f(x, y) = x2 + y2

24. Care din urmatoarele functii are exact 2 doua puncte stationare a. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y b.

f(x, y) = x3 − 3x + y2

d.

f(x, y) = x2 + y2

25. Se considera functia f(x,y) = x + 10x − y − 4y + 11 . Atunci punctul (-5,-2) este un punct a. de minim local pentru f(x,y) b. de maxim local pentru f(x,y) c. nu este puncte de extrem local 2

2

26. Să se găsească punctele de extrem ale funcŃiei următoare:

f(x, y) = x2 + y2 – 10x – 10y + 5 (x, y) ∈ R2 a.

P(5,5) punct de maxim

c.

P(5,-5) punct de maxim

b.

P(5,5) punct de minim

d.

M(5,-5) punct de maxim

27. Se da functia f(x,y) = 2xy + y . Cat este 3

a. b.

4 5

c. d.

28. Se da functia f(x,y) = 2xy + x . Cat este 3

a. b.

,'

f x (1,2)

c. d.

29. Se da functia f(x,y) = 4xy + 5x . Cat este a. b.

,'

f y (1,2)

2 3

3

6 7

4 5

,'

f y (1,2)

4 5

c. d.

4

6 7

30. Să se calculeze derivatele parŃiale de ordinul întâi pentru următoarea funcŃie: f ( x, y ) = x 2 + 2 xy − y 2 /

/

b.

f x ( x, y ) = 2 ( x − 2 y ) ; f y ( x, y ) = 2 ( x + y )

c.

f x ( x , y ) = 2 ( x + 2 y ) ; f y ( x, y ) = 2 ( x − y )

/

/

d.

/

f x ( x, y ) = 2 ( x + y ) ; f y ( x, y ) = 2 ( x − y ) /

a.

alt răspuns.

31. Să se calculeze derivatele parŃiale de ordinul întâi pentru următoarea funcŃie: f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 ) 2 /

/

b.

f x ( x, y) = 4 x( x 2 + y 2 ); f y ( x, y) = 4 y ( x 2 + y 2 )

c.

f x ( x, y) = 2 x( x2 + y 2 ); f y ( x, y ) = y( x2 + y 2 )

/

/

d.

/

f x ( x, y) = x( x 2 + y 2 ); f y ( x, y) = y( x 2 + y 2 ) /

a.

alt răspuns.

32. Să se calculeze derivatele parŃiale de ordinul al doilea pentru următoarea funcŃie:

f ( x, y ) = ln a.

x = ln x − ln( x + y ) x+ y

1 1 f " 2 ÊÁË x,y ˆ˜¯ = − 2 + ÊÁ x + y ˆ˜ 2 x x Ë ¯ ′′ ( x, y ) = f yx f y′′2 ( x, y ) =

b.

f x′′2 ( x, y ) = ′′ ( x, y ) = f yx

c.

f x′′2 ( x, y ) =

1 x

2

′′ ( x, y ) = − f yx

1 ( x + y)2 1 ( x + y) 1 x

2

−

2

f y′′2 ( x, y ) =

, 1

d.

( x + y)2

1 ( x + y)2

f y′′2 ( x, y ) = −

1 ( x + y )2

,

5

+

1 ( x + y )2 1

( x + y )2 −1

( x + y )2

alt răspuns.

,

33. Să se găsească punctele staŃionare ale funcŃiei următoare:

f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) ∈ R2 a.

M(2,1)

c.

M(-2,1)

b.

M(2,-1)

d.

M(-1,2)

34. Să se găsească punctele de extrem ale funcŃiei următoare:

f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) ∈ R2 a.

M(2,1) punct de maxim

c.

M(-2,1) punct de maxim

b.

M(2,1) punct de minim

d.

M(-1,2) punct de maxim

35. Să se găsească punctele de extrem ale funcŃiei următoare

f ( x , y) =

1 1 + cu condiŃia x+y=1 definit pe R2\{(0,0) x y

a.

ÊÁ 1 1 ˆ˜ Á ˜ PÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ pentru λ = 4 punct de minim ÁË 2 2 ˜¯

b.

1 1 1 P  ,  pentru λ = − punct de maxim 2 2 4  

c.

1  1 1 P  − , −  pentru λ = punct de minim 2 2 4  

d.

1 1 1 d) P  , −  pentru λ = punct de maxim 2

2

4

36. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei

f(x,y) = x+3y+2(x2+y2-5) a. b.

df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = (4x + 1)dx + ÊÁË 4y + 3ˆ˜¯ dy df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = (4x − 1)dx + ÊÁË y + 3ˆ˜¯ dy

c. d.

6

df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = (x + 1)dx + ÊÁË 4y + 3ˆ˜¯ dy df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = (x + 1)dx + ÊÁË y + 3ˆ˜¯ dy

37. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei f ( x, y ) =

a. b.

1 1 + + 2( x + y − 1) x y

ÁÊÁ 1 ˜ˆ˜ ÁÊÁ 1 ˜ˆ˜ df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÁÁÁÁ − 2 + 2˜˜˜˜ dx + ÁÁÁÁ − 2 + 2˜˜˜˜ dy ÁË x ˜¯ ÁË y ˜¯ ÊÁ 1 ˆ˜ ÊÁ 1 ˆ˜ Á ˜ Á ˜ df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÁÁÁÁ 2 + 2˜˜˜˜ dx + ÁÁÁÁ − 2 + 2˜˜˜˜ dy ÁË x ˜¯ ÁË y ˜¯

c. d.

ÁÊÁ 1 ˜ˆ˜ ÁÊÁ 1 ˜ˆ˜ df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÁÁÁÁ 2 + 2˜˜˜˜ dx + ÁÁÁÁ 2 + 2˜˜˜˜ dy ÁË x ˜¯ ÁË y ˜¯ ÊÁ 1 ˆ˜ ÊÁ 1 ˆ˜ Á ˜ Á ˜ df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÁÁÁÁ 2 − 2˜˜˜˜ dx + ÁÁÁÁ − 2 − 2˜˜˜˜ dy ÁË x ˜¯ ÁË y ˜¯

38. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y

Derivata parŃială a lui f în raport cu x este: a. b.

f ′x = 2x − y f ′x = −y

c. d.

f ′x = 2x − y − 3 f ′x = 2x

39. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y

Derivata parŃială a lui f în raport cu y este: a. b.

f ′y ÁÊË x,y ˜ˆ¯ = −x + 2y + 3 f ′y ÊÁË x,y ˆ˜¯ = 2y + 3

c. d.

f ′y ÁÊË x,y ˜ˆ¯ = −x + 3 f ′y ÊÁË x,y ˆ˜¯ = −x + y

40. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y . f are punct stationar pe:

M(1,-1)

a.

M(-1,1)

b.

c.

M(0,0)

d.

M(3,0)

41. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y .Derivata parŃială de ordinul

al doilea a lui f în raport cu x este:

f

( x, y ) = 2

c.

f

x2

( x, y ) = −1

d.

f

7

x2

( x, y ) = 0

x2

( x, y ) = −2 x

/ /

b.

x2

/ /

f

/ /

/ /

a.

42. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y . Derivata parŃială de ordinul

al doilea a lui f în raport cu y este:

f

( x , y ) = −1

c.

f

y2

( x, y ) = 2

d.

f

y2

( x, y ) = − y

y2

( x, y ) = x

/ /

b.

y2

/ /

f

/ /

/ /

a.

/ /

43. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y .Alege valoarea corectă pentru f xy ( x, y ) / /

/ /

c.

f xy ( x, y ) = xy

b.

f xy ( x, y ) nu există

d.

f xy ( x, y ) = −1

/ /

f xy ( x, y ) = 0 / /

a.

x

y2

(

(1, −1) − f xy (1, −1)

)

2

/ /

f 2 (1, −1) f

/ /

/ /

/ /

44. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y . Estimând valoarea expresiei

şi Ńinând cont de valoarea f x2 (1, −1) , stabileşte natura punctului

critic M(1,-1): a.

punct de minim local

c.

nu se poate spune nimic despre natura punctului M(1,-1)

b.

punct de maxim local

d.

nu este punct de extrem local

45. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2

Derivata parŃială a lui f în raport cu x este: /

/

c.

f x ( x, y ) = 2 x

b.

f x ( x, y ) = y + 6

d.

f x ( x, y ) = 2 ( x − 1)

/

f x ( x, y ) = 2 x − 1 /

a.

46. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 .

Derivata parŃială a lui f în raport cu y este: /

/

c.

f y ( x, y ) = 2 y

b.

f y ( x, y ) = 2 ( y + 6 )

d.

f y ( x, y ) = x − 1

8

/

f y ( x, y ) = y + 6 /

a.

47. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . FuncŃia f ÊÁË x,y ˆ˜¯ are punct stationar pe: a.

M(1,-6)

c.

M(0,0)

b.

M(-1,6)

d.

M(1,0)

48. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Derivata parŃială de ordinul al

doilea a lui f în raport cu x este:

f

( x, y ) = 1

c.

f

x2

( x, y ) = 2

d.

f

x2

( x, y ) = 0

x2

( x, y ) = 2 x

/ /

b.

x2

/ /

f

/ /

/ /

a.

49. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Derivata parŃială de ordinul al

doilea a lui f în raport cu y este:

f

( x , y ) = −1

c.

f

y2

( x, y ) = 2

d.

f

y2

( x, y ) = − y

y2

( x, y ) = x

/ /

b.

y2

/ /

f

/ /

/ /

a.

/ /

50. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Alege valoarea corectă pentru f xy ( x, y ) / /

/ /

c.

f xy ( x, y ) = 2

b.

f xy ( x, y ) nu există

d.

f xy ( x, y ) = 1

/ /

f xy ( x, y ) = 0 / /

a.

y2

(

(1, −6) − f xy (1, −6)

)

2

/ /

x

/ /

f 2 (1, −6) f

/ /

/ /

51. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Estimând valoarea expresiei

şi Ńinând cont de valoarea f x 2 (1, −6) , stabileşte natura punctului

critic M(1,-6): a.

punct de maxim local

c.

punct de minim local

b.

nu este punct de extrem local

d.

nu se poate spune nimic despre natura punctului (1,-6)

9

52. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = xy

Derivata parŃială a lui f în raport cu x este: /

/

c.

f x ( x, y ) = y

b.

f x ( x, y ) = x

d.

f x ( x, y ) = 0

/

f x ( x, y ) = 1 /

a.

53.

Fie f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +

400 , x >0, y >0 . Derivatele partiale de ordin I sunt: xy

a.

400  '  f x ( x, y ) = 10 + 2 y − x 2 y  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x − 2  xy

c.

b.

 f x' ( x, y ) = 10 x + 4 y + 2   f ' ( x, y ) = 10 x + 2 y + 400  y x2 y2

d.

400  '  f x ( x, y ) = 10 + 2 y + x 2 y 2  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x + 2 2  x y 400  '  f x ( x, y ) = 10 + 2 y + xy 2  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x + 2  xy

54.

Punctul stationar pentru functia: 400 f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + cu x >0, y >0 este xy a. b.

M(2, 5) M(2, 3)

55. Functia f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +

c. d.

M(-2, -5) nu exista

400 cu x >0, y >0 admite xy

a.

punct de maxim local M(2, 5)

c.

nu admite puncte de extreme local

b.

punct de minim local M(2, 5)

d.

punct de minim local M(2, 3)

10

56. Rezolvand sistemul obtinut prin anularea derivatelor de ordin I rezulta: a.

puncte de maxim local

c.

puncte stationare

b.

puncte de minim local

d.

matricea hessiana

57. Diferentiala de ordin I pentru functia f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 – xy + x - 2z,

(x, y, z) ∈ R 3 este a.

d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y – x)dy + (2z – 2)dz

b.

d f(x, y, z) = (2x 2 - xy + x)dx + y 2 dy + (z 2 -2z)dz

c.

d f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 )dx + (1-xy)dy + (x-2z)dz

d.

d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y - xy)dy+(2z - 2)dz

58. Functia f (x,y)= arctg(x 2 + y 2 ) verifica

a.

y f 'x (x ,y) + xf 'y (x ,y) = 0

b.

y f 'x (x ,y) - xf 'y (x ,y) = 0

c.

f 'x (x ,y) + f 'y (x ,y) = 0

d.

2x f 'x (x ,y) - 2yf 'y (x ,y) = 0

59. Functia f (x,y) = x 3 + y 3 - 3xy definita pe R2

a. b. c. d.

admite punct de minim local M(1, 1) admite punct de maxim local M(-1, 1) nu admite puncte de extrem admite punct de minim local M(1, 1)si N(-1, 1)

11

60. Functia f (x,y) = x 3 + y 3 - 3xy definita pe R2

a. b.

are valoarea minimului egala cu -1 are valoarea maximului egala cu 1

c. d.

are 3 puncte stationare nu are puncte de extreme local

61.

Functia f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 - 2x – 4y – 6z definita pe R 3 are: a. b.

toate derivatele de ordin 2 nule toate derivatele mixte de ordin 2 nule

c. d.

toate derivatele de ordin 2 egale cu 2 toate derivatele de ordin 2 strict pozitive

62. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = xy

Derivata parŃială a lui f în raport cu y este: /

/

c.

f y ( x, y ) = y

b.

f y ( x, y ) = x

d.

f y ( x, y ) = 0

/

f y ( x, y ) = 1 /

a.

63. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = xy .

DiferenŃiala de ordinul I a lui f este a. b.

df = dx + dy df = dx + xdy

c. d.

df = ydx + dy df = ydx + xdy

64. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 + y 2

Derivata parŃială a lui f în raport cu x este: /

/

c.

f x ( x, y ) = 2 y

b.

f x ( x, y ) = 2 x

d.

f x ( x, y ) = x 2

/

f x ( x, y ) = y 2 /

a.

65. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 + y 2

Derivata parŃială a lui f în raport cu y este: /

/

c.

f y ( x, y ) = 2 y

b.

f y ( x, y ) = 2 x

d.

f y ( x, y ) = y 2

12

/

f y ( x, y ) = x2 /

a.

66. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 + y 2

DiferenŃiala de ordinul I a lui f este a. b.

df = x 2 dx + y 2 dy df = dx + dy

c. d.

df = 0 df = 2 xdx + 2 ydy

67. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei f ÁÊË x,y ˜ˆ¯ = x 2 − xy + y 2 − 3x + 3y a. df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÊÁË 2x − y − 3ˆ˜¯ dx + ÊÁË −x + 2y + 3ˆ˜¯ dy b. df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÊÁË x − y − 3ˆ˜¯ dx + ÊÁË −x + 2y − 3ˆ˜¯ dy c. df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÊÁË 2x − y − 3ˆ˜¯ dx + ÊÁË x + y + 3ˆ¯˜ dy d. df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÊÁË x + 2y − 3ˆ˜¯ dx + ÊÁË x + 2y − 3ˆ˜¯ dy 68. Punctele de extrem local ale functiei f:ò2 → ò, f(x,y) = x 3 + 3xy 2 − 15x − 12y sunt a. (2,1) punct de maxim local, (-2,-1) punct de minim local; b. (2,1) punct de minim local, (-2,-1) punct de maxim local; c. (-2,1) punct de maxim local, (2,-1) punct de minim local; d. (2,-1) punct de maxim local, (-2,1) punct de minim local.

ÁÊÁ 9 ˜ˆ˜ 69. Pentru functia f:ò2 → ò, f(x,y) = 2x 2 + y 3 − 6xy + 1, AÁÁÁÁ ,3˜˜˜˜ este ÁË 2 ˜¯ a. punct de maxim local; b. punct de minim local; c. punct sa. 70. Pentru functia f:ò2 → ò, f(x,y) = (x − 1) 2 + 2y 2 , punctul A(1,0) este a. punct de minim local; b. punct de maxim local; c. punct sa;

71. Pentru functia f:(0,∞) 2 → ò, f(x,y) = xy + a. b. c.

50 x

+

punct sa; punct de maxim local; punct de minim local.

13

20 y

, punctul M(5,2) este

72. Functia f:ò2 → ò, f(x,y) = x 2 − xy + y 2 − 2x − y ÊÁ 5 4 ˆ˜ Á ˜ a. are punctul de minim local M ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ; ÁË 3 3 ˜¯ ÊÁ 5 4 ˆ˜ Á ˜ b. are punctul de maxim local M ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ; ÁË 3 3 ˜¯ ÊÁ 5 4 ˆ˜ Á ˜ c. are punctul sa M ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ; ÁË 3 3 ˜¯ d. nu are puncte de extrem. 73. Fie functia f:ò2 → ò definita prin f(x,y) = 4(x − y) − x 2 − y 2 . Determinati punctele stationare ale lui f. a. (-2,2); b. (2,2); c. (-2,-2); d. (2,-2). 74. Fie functia f:ò2 → ò definita prin f(x,y) = x 2 + xy + y 2 + x − y + 1. Determinati punctele stationare ale lui f. a. (-1,-1); b. (-1,1); c. (1,-1); d. (1,1). 75. Fie functia f:ò2 → ò definita prin f(x,y) = 2x 3 + xy 2 + 5x 2 + y 2 . Determinati punctele stationare ale lui f. ÊÁ 5 ˆ˜ Á ˜ a. (-1,2), (-1,-2), (0,0) si ÁÁÁÁ − ,0˜˜˜˜ ; ÁË 3 ˜¯ ÊÁ 5 ˆ˜ Á ˜ b. (1,2), (-1,-2), (0,0) si ÁÁÁÁ − ,0˜˜˜˜ ; ÁË 3 ˜¯ ÁÊÁ 5 ˜ˆ˜ c. (-1,2), (1,-2), (0,0) si ÁÁÁÁ − ,0˜˜˜˜ ; ÁË 3 ˜¯ ÊÁ 5 ˆ˜ Á ˜ d. (1,0) si ÁÁÁÁ − ,0˜˜˜˜ ; ÁË 3 ˜¯ 76. Fie functia f:ò2 → ò definita prin f(x,y) = x 3 + y 3 − 3xy. Pentru functia f a. (0,0) este punct de maxim; b. (0,0) este punct de minim; c. (0,0) este punct sa.

14

77. Fie functia f:ò2 → ò definita prin f(x,y) = x 3 + y 2 − 6xy − 39x + 18y + 20. Functia f a. are (1,-6) punct de maxim si (5,6) punct de minim; b. are (1,-6) punct de minim si (5,6) punct de maxim; c. are (1,-6) si (5,6) puncte de minim; d. are (5,6) punct de minim;

78.

lim

( x , y )→(1,2 )

a. b. c. d.

79.

xy 3 ( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 2

lim

( x , y )→( 0,0)

1 x

x ⋅ sin

1 1 + y ⋅ cos y x

nu exista exista si este egala cu 1 exista si este egala cu 2 exista si este egala cu 0

lim

( x , y )→( 0,0 )

a. b. c. d.

y ⋅ sin

nu exista exista si este egala cu -1 exista si este egala cu 0 exista si este egala cu 1

lim

a. b. c. d.

82.

nu exista exista si este egala cu -1 exista si este egala cu 0 exista si este egala cu 2

( x , y )→( 0,1)

a. b. c. d.

81.

exista si este egala cu 1 exista si este egala cu 10 nu exista exista si este egala cu 11

lim

a. b. c. d.

80.

( 4 xy + 3)

y ⋅ sin 2 x x2 + 4 y 2

nu exista exista si este egala cu -1 exista si este egala cu 2 exista si este egala cu 0

15

83. Fie f ( x, y , z ) = x 2 y + yz + 32 x − z 2 , a. b. c. d.

( x,y,z ) ∈ ℜ3 . Atunci:

M(2,-8,-4) nu este punct de extrem M(2,-8,-4) este punct de maxim local functia are doua puncte critice alta varianta

84. Fie f ( x, y ) = x 4 − 8 x 3 + 18 x 2 − 8 x + y 3 − 3 y 2 − 3 y,

( x, y ) ∈ ℜ 2 si fie punctele

M1 ( 2 − 3,1 − 2 ) , M 2 ( 2 − 3,1 + 2 ) , M 3 ( 2 + 3,1 − 2 ) M 4 ( 2 + 3,1 + 2 ) , M 5 ( 2,1 − 2 ) , M 6 ( 2,1 + 2 ) . Atunci

M1 este punct sa, M 5 este punct de minim local b. M 3 este punct de minim local, M 5 este punct de minim local c. M 1 este punct sa, M 5 este punct de maxim local d. alt raspuns

a.

a a a f ( x, y , z ) = xy 2 z 3 ( a − x − 2 y − 3 z ) , ( x, y , z ) ∈ ℜ3 . si a > 0. Daca M  , ,  este 7 7 7 punct critic pentru functia data, atunci: a. M este punct de minim local b. Minorii matricei hessiene sunt:

85. Fie

5

10

10

a a a ∆1 = 2   ∆ 2 = 8   ∆3 = 18   7 7 7

c.

si deci punctul M este punct de minim local Minorii matricei hessiene sunt: 5

10

10

a a a ∆1 = −2   ∆ 2 = 8   ∆ 3 = −18   7 7  7  si deci punctul M este punct de maxim

local. 86. Se considera functia de doua variabile diferentialele de ordinal 1 si 2 ale lui f. 87. Se considera functia de doua variabile

,

. Sa se calculeze derivatele partiale si ,

. Sa se calculeze derivatele sale

partiale de ordinul 1. ,

88. Se considera functia de doua variabile este… ? 89. Se considera functia de trei variabile numarul de puncte de extrem ale lui f ? 90. Se considera functia de trei variabile a lui este…?

. Diferentiala de ordinul al doilea a lui

,

. Ce se poate spune despre

,

. Diferentiala de ordinul al doilea

91. Fie , . Ce fel de punct este M(2,-8,-4) pentru f? 92. Sa se gaseasca punctele de extrem ale functiei f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5

16

.