Analiza Matematica Pe R

Cuprins 1 Relat¸ii. Funct¸ii. Mult¸imea numerelor reale iomatic˘ a. Topologia axei reale 1.1 Relat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Funct¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Mult¸imea numerelor reale - definit¸ia axiomatic˘a 1.4 Topologia axei reale . . . . . . . . . . . . . . . 2 S ¸ iruri ¸si serii 2.1 S¸iruri. Convergent¸˘a . . . . . . . . . . . 2.2 Serii de numere reale . . . . . . . . . . 2.3 Criterii de convergent¸˘ a. Serii alternante 2.4 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

- definit¸ia ax. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

2 2 4 4 10

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

11 11 21 25 30

3 Limite ¸si continuitate 42 3.1 Limita unei funct¸ii. Funct¸ii continue . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Calcul diferential 53 4.1 Definit¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Bibliografie

68

1

Capitolul 1

Relat¸ii. Funct¸ii. Mult¸imea numerelor reale - definit¸ia axiomatic˘ a. Topologia axei reale 1.1

Relat¸ii

Definit ¸ ia 1.1. Fie A ¸si B mult¸imi nevide. Produsul cartezian a lui A ¸si B, notat A × B este mult¸imea A × B = {(x, y) / x ∈ A, y ∈ B} Definit ¸ ia 1.2. Fie A ¸si B mult¸imi nevide. O relat¸ie binar˘ a de la A la B este o submult¸ime R a lui A × B. Dac˘ a (x, y) ∈ R spunem c˘ a x ¸si y sunt relat¸ionate prin R ¸si not˘ am deasemenea xRy. Definit ¸ ia 1.3. Fie R o relat¸ie de la A la B. Domeniul relat¸iei R este mult¸imea Dom(R) = {x ∈ A / ∃ y ∈ B astfel c˘ a xRy} Definit ¸ ia 1.4. Fie R o relat¸ie de la A la B. imaginea relat¸iei R este mult¸imea Im(R) = {y ∈ B / ∃ x ∈ A astfel c˘ a xRy} Definit ¸ ia 1.5. Fie R o relat¸ie de la A la B. Inversa relat¸iei R este o relat¸ie de la B la A definit˘ a prin R−1 = {(y, x) ∈ B × A / xRy} 2

3 Definit ¸ ia 1.6. O relat¸ie de ordine pe A este o relat¸ie binar˘ a de la A la A, notat˘ a de regul˘ a ¹ astfel c˘ a au loc urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: 1. (x, x) ∈¹ sau x ¹ x ∀ x ∈ A (reflexivitate); 2. (x, y) ∈¹ ¸si (y, x) ∈¹ ⇒ x = y sau x ¹ y ¸si y ¹ x ⇒ x = y (antisimmetrie); 3. (x, y) ∈¹ ¸si (y, z) ∈¹ ⇒ (x, z) ∈¹ sau x ¹ y ¸si y ¹ z ⇒ x ¹ z (transitivitate) propriet˘ a¸ti adev˘ arate pentru orice x, y, z ∈ A. O mult¸ime A pe care s-a definit o relat¸ie de ordine se nume¸ste mult¸ime ordonat˘ a. Definit ¸ ia 1.7. Dac˘ a ˆıntr-o mult¸ime ordonat˘ a A avem pentru orice x, y ∈ A c˘ a x ¹ y sau y ¹ x spunem c˘ a A este o mult¸ime total ordonat˘ a. Definit ¸ ia 1.8. Fie A o mult¸ime ordonat˘ a. Un element M a lui A astfel c˘ a x ¹ M pentru orice x ∈ A este numit maximum lui A ¸si scriem M = max A. Un element m a lui A astfel c˘ a m ¹ x pentru orice x ∈ A este numit minimum lui A ¸si scriem m = min A. a ¸si B ⊂ A. Un element S ∈ A Definit ¸ ia 1.9. Fie A o mult¸ime ordonat˘ este numit supremum lui B relativ la A ¸si not˘ am S = supA B, dac˘ a au loc urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: 1. x ¹ S pentru orice x ∈ B; 2. dac˘ a S 0 ∈ A ¸si x ¹ S 0 pentru orice x ∈ B atunci S ¹ S 0 . Definit ¸ ia 1.10. Fie A o mult¸ime ordonat˘ a ¸si B ⊂ A. Un element s ∈ A este numit infimum lui B relativ la A ¸si not˘ am s = inf A B, dac˘ a au loc urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: 1. s ¹ x pentru orice x ∈ B; a s0 ∈ A ¸si s0 ¹ x pentru orice x ∈ B atunci s0 ¹ s. 2. dac˘ Definit ¸ ia 1.11. Fie A o mult¸ime ordonat˘ a ¸si B ⊂ A. 1. Spunem c˘ a B este o mult¸ime m˘ arginit˘ a superior ˆın A dac˘ a exist˘ a M ∈ A astfel c˘ a x ¹ M pentru orice x ∈ B.

4 2. Spunem c˘ a B este o mult¸ime m˘ arginit˘ a inferior ˆın A dac˘ a exist˘ a m ∈ A astfel c˘ a m ¹ x pentru orice x ∈ B. 3. Spunem c˘ a B este o mult¸ime m˘ arginit˘ a ˆın A dac˘ a exist˘ a m, M ∈ A astfel c˘ a m ¹ x ¹ M pentru orice x ∈ B.

1.2

Funct¸ii

a mult¸imi nevide. Definit ¸ ia 1.12. Fie A ¸si B dou˘ 1. O funct¸ie de la A la B este o relat¸ie binar˘ a f de la A la B care verific˘ a urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: 1.1 pentru orice x ∈ A exist˘ a y ∈ B cu (x, y) ∈ f ; 1.2 dac˘ a (x, y) ∈ f ¸si (x, z) ∈ f atunci y = z. 2. Not˘ am o funct¸ie f de la A la B prin f : A 7→ B unde A este numit domeniul funct¸iei f ¸si B este numit codomeniul funct¸iei f . 3. Un element x ∈ A este numit variabil˘ a independent˘ a a lui f ¸si un element y ∈ B pentru care exist˘ a x ∈ A cu (x, y) ∈ f este numit imaginea lui x prin f . am notat¸ia y = f (x). 4. Pentru (x, y) ∈ f utiliz˘ Definit ¸ ia 1.13. Fie f : A 7→ B o funct¸ie. Mult¸imea Gr(f ) = {(x, f (x)) ∈ A × B / x ∈ A} este graficul funct¸iei f ¸si mult¸imea Im(f ) = {y ∈ b / ∃ x ∈ A, y = f (x)} este imaginea funct¸iei f .

1.3

Mult¸imea numerelor reale - definit¸ia axiomatic˘ a

a. O funct¸ie f : A × A 7→ A este Definit ¸ ia 1.14. Fie A o mult¸ime nevid˘ numit˘ a operat¸ie intern˘ a pe A sau mai simplu operat¸ie. De regul˘a not˘am o operat¸ie intern˘ a prin ”◦” ¸si pentru ◦(x, y) scriem x ◦ y. Definit ¸ ia 1.15. Un corp este o mult¸ime K pe care sunt definite dou˘ a operat¸ii, numite ”+” ¸si ”·” astfel c˘ a au loc urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti:

5 a1. x + (y + z) = (x + y) + z, ∀ x, y, z ∈ K (asociativitate) a2. x + y = y + x, ∀ x, y ∈ K (commutativitate) a3. exist˘ a un element unic ˆın K, notat 0, astfel c˘ a x + 0 = x pentru orice x∈K a4. pentru orice x ∈ K exist˘ a un element ˆın K, notat −x astfel c˘ a x+−x = 0. b1. x · (y · z) = (x · y) · z, ∀ x, y, z ∈ K (associativitatea) b2. x · y = y · x, ∀ x, y ∈ K (commutativitatea) a un element unic ˆın K, notat ”1”, 1 6= 0, astfel c˘ a 1·x = x ∀ x ∈ K b3. exist˘ b4. pentru orice x ∈ K, x 6= 0 exist˘ a un element unic ˆın K, notat x−1 astfel −1 c˘ a x·x =1 c1. x · (y + z) = x · y + x · z, ∀ x, y, z ∈ K Folosim pentru un corp notat¸ia (K, +, ·, 0, 1) precizˆ and ˆın acest mod operat¸iile ¸si elementele neutre pentru fiecare operat¸ie. Remarca 1.1. 1. Operat¸ia ”+” este numit˘ a adunare sau sum˘ a iar operat¸ia ”·” este numit˘ a ˆınmult¸ire sau produs. 2. ”0” este elementul neutru pentru adunare ¸si ”1” este element neutru pentru produs. am notat¸ia 3. Utiliz˘

x y

pentru x · y −1 , x − y pentru x + −y ¸si xy pentru x · y.

Definit ¸ ia 1.16. Numim sistem de numere reale sau mult¸ime a numerelor reale un corp (R, +, ·, 0, 1) (mai scurt R) pentru care au loc urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: a printr-o relat¸ie de ordine notat˘ a I. Corpul R este o mult¸ime total ordonat˘ ≤ pentru care avem I.1 x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z, ∀ x, y, z ∈ R I.2 x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ xy ≥ 0, ∀ x, y ∈ R I.3 0 ≤ 1 II. Corpul R este un corp complet adic˘ a pentru orice mult¸ime A a lui R m˘ arginit˘ a superior exist˘ a sup A in R.

6 Definit ¸ ia 1.17. Fie R mult¸imea numerelor reale ¸si A o submult¸ime nevid˘ a. Spunem c˘ a A este o mult¸ime inductiv˘ a dac˘ a pentru orice x ∈ A avem x + 1 ∈ A. Remarca 1.2. tiv˘ a.

1. Mult¸imea A = {x ∈ R / x ≥ 0} este o mult¸ime induc-

andu-l pe 0 este deaseme2. Intersect¸ia unei familii de mult¸imi inductive cont¸inˆ nea o mult¸ime inductiv˘ a. Definit ¸ ia 1.18. Fie A familia mult¸imilor inductive cont¸inˆ and elementul ”0”. Mult¸imea definit˘ a ca intersect¸ia tuturor elementelor familiei A este numit˘ a sistem de numere naturale sau mult¸imea numerelor naturale ¸si not˘ am aceast˘ a mult¸ime prin N. Definit ¸ ia 1.19. Mult¸imea Z definit˘ a ca Z = {x ∈ R / x ∈ N sau − x ∈ N} este numit˘ a sistemul de numere ˆıntregi sau mult¸imea numerelor ˆıntregi. a ca Definit ¸ ia 1.20. Mult¸imea Q definit˘ Q = {x ∈ R / x = mn−1 m, n ∈ Z, n 6= 0} este numit˘ a sistemul numerelor rat¸ionale sau mult¸imea numerelor rat¸ionale. Orice element x ∈ R \ Q este numit num˘ ar irat¸ional. Teorema 1.1. Pentru orice num˘ ar real x, x > 0 exist˘ a un num˘ ar natural n0 astfel c˘ a x ≤ n0 ≤ x + 1 Demonstrat¸ie. Fie x0 , x0 > 0 un num˘ ar real fixat. Dac˘a presupunem c˘a n ≤ x0 , ∀ n ∈ N atunci N este o mult¸ime m˘arginit˘ a superior deci exist˘a z = sup N. Pentru z − 1 ∈ R exist˘a n ∈ N astfel c˘a z − 1 < n < z. Rezult˘a c˘a z < n + 1 ∈ N ¸si obt¸inem o contradictie cu z = sup N. Astfel mult¸imea A = {n ∈ N / x0 < n} este o mult¸ime nevid˘a ¸si este m˘arginit˘ a inferior R. Exist˘a y ∈ R, y = inf A.

7 Vom demonstra c˘a y ∈ N. ˆIntradev˘ ar pentru orice ² ∈ R, ² < 1 exist˘a m0 ∈ N astfel c˘a y < m0 < y + ². Fie n un element arbitrar din A, deci y < n. Dac˘a y < n < m0 < y + ² atunci 0 < m0 − n < y + ² − y = ² < 1, absurd. Astfel, m0 ≤ n ∀ n ∈ A ¸si natural avem y = m0 ∈ N. Din definit¸ia lui A avem x0 < m0 . Dac˘a x0 +1 ≤ m0 atunci x0 ≤ m0 −1 ∈ N ¸si m0 − 1 = inf A, absurd. A¸sadar avem m0 < x0 + 1 ¸si demonstrat¸ia este complet˘a. Teorema 1.2. (Arhimede) Pentru orice x, y ∈ R, y > 0 exist˘ a n ∈ N astfel c˘ a x ≤ ny. Demonstrat¸ie. Dac˘a x ≤ 0 atunci n = 1. Dac˘a x > 0 atunci xy −1 > 0 ¸si din teorema precedent˘a exist˘a n ∈ N astfel c˘a xy −1 < n. Din aceast˘a inegalitate obt¸inem x < ny. Definit ¸ ia 1.21. Fie a, b dou˘ a numbere reale astfel c˘ a a < b. Not˘ am prin [a, b] mult¸imea [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} ¸si spunem c˘ a [a, b] este un interval ˆınchis. Teorema 1.3. (Cantor-Dedekind) Pentru orice familie num˘ arabil˘ a de intervale ˆınchise In = [an , bn ], n ∈ N cu In+1 ⊂ In avem

\

In 6= ∅

n∈N

Demonstrat¸ie. Din In+1 ⊂ In result˘ a a1 < a2 < . . . < an < . . . < bm < . . . < b2 < b1 (an < bm pentru orice n, m ∈ N). Mult¸imea A = {an , n ∈ N}

8 este o mult¸ime m˘arginit˘a superior ¸si exist˘a α = sup A. Avem α < bm (dac˘a exist˘a bm0 cu bm0 ≤ α = sup A atunci ar trebui s˘a putem g˘asi un element an0 cu bm0 < an0 < α) pentru orice m ∈ N. mult¸imea B = {bm , m ∈ N} este m˘arginit˘a inferior deci exist˘a β = inf B. Avem an ≤ β pentru orice n ∈ N. Vom demonstra c˘a α ≤ β. ˆIntradev˘ ar dac˘a β < α = sup A atunci exist˘a an0 cu β < an0 < α ˆın contradictie cu an ≤ β pentru orice n ∈ N. Din an < α ≤ β < bn ∀ n ∈ N avem c˘a

\

In ⊃ [α, β] 6= ∅

n∈N

Teorema 1.4. Fie In = [an , bn ], n ∈ N o familie num˘ arabil˘ a de intervale ˆınchise cu In+1 ⊂ In . Dac˘ a pentru orice n ∈ N avem b1 − a1 bn − an ≤ n atunci exit˘ a un num˘ ar real x cu \ In = {x} n∈N

Demonstrat¸ie. Din teorema precedent˘ a exist˘a un interval [α, β] astfel c˘a \ In ⊃ [α, β] 6= ∅ n∈N

. Vom demonstra c˘a α = β. ˆIntradev˘ ar dac˘a α < β atunci putem considera inegalit˘a¸tile b1 − a1 ∀n∈N β − α < bn − an < n sau n(β − α) < b1 − a1 ∀ n ∈ N obt¸inˆandu-se o contradictie cu teorema lui Arhimede pentru y = β − α ¸si x = b1 − a1 .

9 Teorema 1.5. Pentru orice num˘ ar irat¸ional x exist˘ a dou˘ a familii num˘ arabile de numere rationale {an , n ∈ N} ¸si {bn , n ∈ N} astfel c˘ a an < an+1 , bn+1 < bn ∀ n ∈ N ¸si x = sup{an , n ∈ N} = inf{bn , n ∈ N} Demonstrat¸ie. Fie x un num˘ ar irat¸ional fixat. Presupunem c˘a x > 0. Exist˘a n0 ∈ N astfel c˘a x < n0 < x + 1. Vom demonstra c˘a n0 − 1 < x. ˆIntradev˘ ar dac˘a lu˘am x < n0 − 1 < n0 < x + 1 atunci, n0 − (n0 − 1) < x + 1 − x = 1 absurd. Notˆand a1 = n0 − 1 ∈ Q ¸si b1 = n0 ∈ Q putem considera relat¸iile a1 < x < b1 , b1 − a1 = 1. Fie c definit ca c =

a1 +b1 2

∈ Q.. atunci c − a1 = b1 − c =

b1 − a1 2

¸si x ∈ [a1 , c] sau x ∈ [c, b1 ]. Presupunem c˘a x ∈ [a1 , c]. Atunci not˘am a2 = a1 ¸si b2 = c. Dac˘a repet˘am aceast˘a procedur˘a obt¸inem dou˘a familii de numere rat¸ionale {an , n ∈ N}, {bn , n ∈ N} astfel c˘a: 1. an ≤ an+1 , bn+1 ≤ bn 2. bn − an =

b1 −a1 n

3. an < x < bn pentru orice n ∈ N. Din teorema precedent˘ a pentru In = [an , bn ] exist˘a x0 ∈ R astfel c˘a \ In = {x0 } . Din x ∈ avem

T

n∈N In

n∈N

result˘a x = x0 ¸si din demonstrat¸ia teoremei precedente x = sup{an , n ∈ N} = inf{bn , n ∈ N}.

Dac˘a num˘arul irat¸ional x este negativ putem aplica demonstrat¸ia precedent˘ a pentru y = −x ¸si obt¸inem acela¸si resultat.

10

1.4

Topologia axei reale

modul, interval simetric, mulˆıme deschis˘ a, ˆınchis˘ a, puncte de ..., baz˘a de vecin˘at˘a¸ti, teorema w-B , mult¸ime compact˘a ˆın R, teorema:oreice interval marginit si inchis este o multime compacta, etc

Capitolul 2

S ¸ iruri ¸si serii 2.1

S ¸ iruri. Convergent¸˘ a

Definit ¸ ia 2.1. Fie N mult¸imea numerelor naturale. Un ¸sir de numere reale este a funct¸ie a : N → R. Not˘ am prin an = a(n), respectiv, prin (an )n∈N ¸sirul a : N → R. Remarc˘am c˘a ˆın aceast˘a definit¸ie putem ˆınlocui N prin orice submult¸ime infinit˘a a lui N. Fiind dat un ¸sir (an )n∈N , restrict¸ia acestuia la o submult¸ime infinit˘a N1 ⊂ N reprezint˘a un sub¸sir a lui (an )n∈N ¸si ˆıl not˘am prin prin (an )n∈N1 . Avˆand ˆın vedere c˘a orice submult¸ime infinit˘a N1 a lui N poate fi reprezentat˘a deasemenea ca un ¸sir (nk )k∈N , putem utiliza ¸si notat¸ia (ank )k∈N ˆın locul notat¸iei (an )n∈N1 . Un sub¸sir (an )n∈N1 este un sub¸sir a lui (an )n∈N dac˘a N1 este un sub¸sir propriu a lui N. Prin{an }n∈N not˘am imaginea ¸sirului (an )n∈N . Dac˘a exist˘a n0 ∈ N astfel c˘a an = a pentru orice n ≥ n0 , atunci (an )n∈N este numit ¸sir constant. Observ˘am c˘a pentru un ¸sir constant, imaginea sa este o mult¸ime finit˘a dar exist˘a ¸siruri avˆ and ca imagine mult¸imi ¡ finite¢dar care nu sunt ¸siruri constante. De examplu putem considera ¸sirul (−1)n n∈N a c˘arui imagine este mult¸imea {−1, 1}. a ¸sirul (an )n∈N are limita a dac˘ a, pentru orice V ∈ Definit ¸ ia 2.2. Spunem c˘ ϑ(a), exist˘a nV ∈ N astfel c˘a an ∈ V pentru n > nV . Spunem deasemenea c˘a ¸sirul (an )n∈N converge la a ¸si not˘ am lim an = a sau an −→ n a. n→∞

Dac˘ a exist˘ a a ∈ R astfel c˘ a (an )n∈N are limita a, spunem c˘ a (an )n∈N este un ¸sir convergent. ˆ In caz contrar spunem c˘ a (an )n∈N este a un ¸sir divergent. 11

12 Teorema 2.1. Un ¸sir (an )n∈N are limita a dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice U ∈ B(a), exist˘ a nU ∈ N astfel c˘ a an ∈ U pentru orice n > nU , B(a) representˆ and o baz˘ a de vecin˘ at˘ a¸ti pentru a. Demonstrat¸ie. Dac˘a lim an = a, atunci condit¸ia cerut˘a are loc pentru orice n→∞

V ∈ ϑ(a) ¸si cu atˆat mai mult pentru orice U ∈ B(a). Reciproc, dac˘a V ∈ ϑ(a), avˆ and ˆın vedere faptul c˘a B(a) este o baz˘a de vecin˘atat¸i, exist˘a U ∈ B(a) , U ⊂ V . Dac˘a nU ∈ N este astfel c˘a an ∈ U pentru n > nU , atunci cu atˆat mai mult an ∈ V pentru n > nV = nU . Luˆand ˆın considerare c˘a Bε (a) = {S(a, ε) = (a−ε, a+ε) ; ε > 0} reprezint˘ a o baz˘a de vecin˘atat¸i pentru a ˆın R, ca o consecint¸˘ a a acestei teoreme, putem particulariza definit¸ia 2.2 dup˘a cum urmeaz˘a: Teorema 2.2. Un ¸sir (an )n∈N are limita a dac˘ a, pentru orice ε > 0, exist˘ a nε ∈ N astfel c˘ a |an − a| < ε pentru n > nε . a exist˘ a, este unic˘ a. Teorema 2.3. Limita unui ¸sir de numere reale, dac˘ Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a, pentru un ¸sir (an )n∈N avem ˆın acela¸si timp lim an = a ¸si lim an = b , a 6= b. Dac˘a V ∈ ϑ(a) ¸si U ∈ ϑ(b) sunt vecin˘ atat¸i

n→∞

n→∞

disjuncte pentru a, respectiv b ¸si n > max{nV , nU }, atunci ar trebui s˘a avem simultan an ∈ V ¸si an ∈ U , fapt ce contravine ipotezei c˘a V , U sunt disjuncte. Definit ¸ ia 2.3. Prin punct limit˘a a unui ¸sir (an )n∈N ˆınt¸elegem orice num˘ ar real a cu proprietatea : pentru orice V ∈ ϑ(a) ¸si orice n ∈ N exist˘ a n0 ∈ N, n0 > n, astfel c˘ a a n0 ∈ V . Teorema 2.4. Un element a ∈ X este punct limit˘ a pentru un ¸sir (an )n∈N dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a un sub¸sir (an )n∈N1 care converge la a. Demonstrat¸ie. Fie un sub¸sir (an )n∈N1 convergent la a. Dac˘a V ∈ ϑ(a), este o vecin˘atate a lui a, atunci exist˘a nV ∈ N astfel c˘a an ∈ V pentru orice n ∈ N1 , n > nV . Fie acum n este un element arbitrar a lui N, este suficient s˘a lu˘am n0 > max{nv , n} a¸sa ˆıncˆ at s˘a avem an0 ∈ V . Reciproc, dac˘a a este un punct limit˘a pentru (an )n∈N , atunci – pentru n = 1, exist˘a n1 ∈ N , n1 > 1, astfel c˘a |a − an1 | < 1

13

– pentru n = 2, exist˘a n2 ∈ N, n2 > n1 ≥ 2, astfel c˘a |a − an2 | <

1 2

.. . – pentru k ∈ N∗ , exist˘a nk ∈ N, nk > nk−1 ≥ k, astfel c˘a ¡ 1¢ 1 ank ∈ S a, ⇔ |a − ank | < , k k .. . Repetˆand rat¸ionamentul, putem construi un sub¸sir (ank )k∈N cu propri1 etatea c˘a, pentru orice k ∈ N, |a − ank | < , i.e. lim |a − ank | = 0 ¸si de aici k→∞ k (ank )k∈N converge la a. Teorema 2.5. Un¸sir (an )n∈N este convergent dac˘ a ¸si numai dac˘ a orice sub¸sir al s˘ au converge la aceea¸si limit˘ a. Demonstrat¸ie. Dac˘a lim an = a, atunci pentru orice ε > 0 exist˘a nε ∈ N n→∞

astfel c˘a |a − an | < ε pentru n > nε ¸si de aici, dac˘a (an )n∈N1 este un sub¸sir a lui (an )n∈N , cu atˆat mai mult |a − an | < ε pentru n > nε , n ∈ N1 . Reciproc, presupunem c˘a orice sub¸sir a lui (an )n∈N converge la o aceea¸si limit˘a a ¸si demonstr˘am c˘a lim an = a. n→∞ Dac˘a afirmat¸ia este fals˘a, ar trebui s˘a existe un ε0 astfel c˘a : – pentru k = 1, exist˘a n1 ∈ N, n1 > 1, cu |a − an1 | > ε0 , – pentru k = 2, exist˘a n2 ∈ N, n2 > n1 ≥ 2, astfel c˘a |a − an2 | > ε0 , .. . ˆIn acest mod, putem construi un sub¸sir (an )k∈N cu proprietatea c˘a |a − k ank | > ε0 pentru orice k ∈ N, deci ar exista un sub¸sir care nu converge la a, absurd. Consecint ¸ a 2.1. Dac˘ a exist˘ a un sub¸sir a lui (an )n∈N care nu este convergent sau exist˘ a dou˘ a sub¸siruri avˆ and limite diferite, atunci ¸sirul (an )n∈N nu are limit˘ a. Deasemenea, din cele dou˘ a teoreme precedente, rezult˘ a c˘ a un ¸sir converge dac˘ a ¸si numai dac˘ a mult¸imea punctelor limit˘ a cont¸ine un singur element. Teorema 2.6. Fie A ⊂ R. Un num˘ ar real x0 apart¸ine lui A dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a cel put¸in un ¸sir de numere reale din A convergent la x0 .

14 Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a x0 ∈ A ¸si consider˘am o baz˘a de vecin˘ atat¸i a lui x0 o n ¡ 1 1 1¢ = (x0 − , x0 + ) ; n = 1, 2, . . . . S x0 , n n n Pentru orice n = 1, 2, . . . putem g˘asi cel put¸in un num˘ ar real an ∈ A ∩ ¡ 1¢ 1 S x0 , , astfel ˆıncˆat |x0 − an | < ¸si de aici, (an )n∈N este un ¸sir al lui A care n n converge la x0 . Reciproc, dac˘a (an )n∈N converge la x0 ¸si an ∈ A pentru orice n ∈ N, atunci, pentru V ∈ ϑ(x0 ) arbitrar˘a, exist˘a nV ∈ N astfel c˘a an ∈ V pentru orice n > nv , deci A ∩ V 6= ∅ ¸si mai mult x0 ∈ A. Remarca 2.1. Similar putem demonstra c˘ a x0 este un punct de acumulare pentru A, dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a un ¸sir (an )n∈N din A convergent la x0 an 6= x0 pentru orice n ∈ N. Definit ¸ ia 2.4. Definit ¸ ia 2.5. Un ¸sir (an )n∈N se nume¸ste ¸sir fundamental sau ¸sir Cauchy dac˘ a, pentru orice ε > 0 exist˘ a nε ∈ N astfel c˘ a, pentru orice n > nε ¸si orice p ∈ N, avem |xn − xn+p | < ε. Remarca 2.2. Putem reformula definit¸ia sub forma ”pentru orice ε > 0 exist˘ a nε ∈ N astfel c˘ a, pentru orice m, n ∈ N; m, n > nε , |xm − xn | < ε”. Teorema 2.7. Orice ¸sir convergent este un ¸sir fundamental. Demonstrat¸ie. ˆIntradev˘ar, dac˘a lim an = a atunci pentru un ε > 0 arbitrar n→∞ ε dar fixat exist˘a nε ∈ N astfel c˘a |a − an | < pentru n > nε , atunci, pentru 2 orice n > nε ¸si orice p ∈ N, |an − an+p | ≤ |an − a| + |a − an+p | <

ε ε + = ε, 2 2

adic˘a (an )n∈N este un ¸sir fundamental. Teorema 2.8. Dac˘ a un ¸sir Cauchy (xn )n∈N cont¸ine un sub¸sir convergent atunci el este convergent. Demonstrat¸ie. de facut

15 ˆ R orice ¸sir Cauchy este convergent. Spunem c˘ Teorema 2.9. In a R este complet. Demonstrat¸ie. Fie (xn )n∈N un ¸sir Cauchy. Dac˘a {xn ; n ∈ N} este o mult¸ime finit˘a, atunci (xn )n∈N cont¸ine cel put¸in un sub¸sir constant, adic˘a un sub¸sir convergent ¸si conform teoremei precedente ¸sirul init¸ial (xn ; n ∈ N) este convergent. Presupunem acum c˘a {xn ; n ∈ N} cont¸ine o infintate de elemente. Din faptul c˘a pentru un ε0 > 0 arbitrar fixat exist˘a n0 = nε0 a¸sa ˆıncˆ at, pentru orice n, m cu n > n0 ¸si m > n0 avem |xn − xm | < ε0 rezult˘ a c˘a putem fixa un m = n1 > n0 , a˘a ˆıncˆat |xn − xn1 | < ε0 , adic˘a xn ∈ (xn1 − ε0 , xn1 + ε0 ) pentru n > n0 . Dac˘a ρ = max |xn − xnε0 | ¸si r = max{ρ, ε0 }, atunci, pentru orice n ∈ N, n≤n0 avem xn ∈ (xn1 − r, xn1 + r) deci ¸sirul (xn ; n ∈ N) este m˘arginit, a¸sadar cont¸ine un punct de acumulare x0 . Din teorema 2.6 exist˘a un sub¸sir a lui (xn )n∈N care converge to x0 . Aplicˆand din nou teorema precedent˘a rezult˘a c˘a ¸sirul (xn ; n ∈ N) este convergent. Definit ¸ ia 2.6. Prin sistem de numere reale extins R ˆınt¸elegem reuniunea mult¸imii numerelor reale R cu dou˘ a simboluri notate ∞ ¸si −∞ unde ∞ (sau +∞) este considerat ca fiind marginea superioar˘ a exact˘ a a mult¸imii numerelor reale iar −∞ marginea inferioar˘ a exact˘ a a mult¸imii numerelor reale. Din aceast˘a definit¸ie rezult˘a c˘a ˆın R orice subset A are margine superioar˘a exact˘a ¸si margine inferioar˘a exact˘a. Not˘am prin (a, ∞) mult¸imea {x ∈ R; x > a} ¸si definim vecin˘ atat¸ile lui ∞ ca fiind ϑ(∞) = {V ⊂ R; ∃ aV ∈ R astfel c˘a (aV , ∞) ⊂ V }. Familia Ba (∞) = {(a , ∞) ; a ∈ R+ } reprezint˘ a o baz˘a de vecin˘ atat¸i pentru ∞ iar BN (∞) = {(n , ∞); n ∈ N} reprezint˘ a o baz˘a num˘ arabil˘ a de vecin˘ at˘ a¸ti. Similar not˘am prin (−∞ , a) mult¸imea {x ∈ R ; x < a} ¸si deinim vecin˘ atat¸ile lui −∞ ca fiind © ª ϑ(−∞) = V ⊂ R; ∃ aV ∈ R astfel c˘a (−∞ , aV ) ⊂ V . Familia Ba (−∞) = {(−∞ , a) ; a ∈ R− } reprezint˘ a a baz˘a de vecin˘ atat¸i pentru −∞ iar BN (−∞) = {(−∞ , −n) ; n ∈ N} reprezint˘ a o baz˘a num˘ arabil˘ a

16 de vecin˘at˘a¸ti. Un ¸sir (xn )n∈N converge la ∞ dac˘ a ¸si numai dac˘a pentru orice a > 0 exist˘a na ∈ N astfel c˘a xn > a pentru n > na , respectiv (xn )n∈N converge la −∞ dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice a < 0 exist˘a na ∈ N astfel c˘a xn < a pentru n > na . Teorema 2.10. Fie A ⊂ R o mult¸ime m˘ arginit˘ a superior. MA = sup A dac˘ a ¸si numai dac˘ a urm˘ atoarele dou˘ a propriet˘ a¸ti au loc : 1) x ≤ MA , pentru orice x ∈ A ; 2) pentru orice ε > 0 exist˘ a xε ∈ A ; xε > MA − ε. Demonstrat¸ie. Mai mult, dac˘a MA = sup A, paopriet˘a¸tile sunt satisf˘acute ˆın baza definit¸iei marginei superioare exacte ¸si luˆand ˆın considerare faptul c˘a, pentru orice ε > 0, avem MA − ε < MA . Reciproc, prima proprietate ne spune c˘a c˘a MA este o margine superioar˘a pentru A, iar din a doua proprietate, rezult˘a c˘a, pentru M1 < MA ¸si ε = MA − M1 > 0 exist˘a xε ∈ A astfel c˘a xε > MA − ε = MA − (MA − M1 ) = M1 ¸si deci MA = sup A. ˆIntr-un mod similar sau aplicˆand conexiunea dintrebetween inf A ¸si sup(−A), putem demonstra c˘a, pentru a mult¸imea m˘arginit˘ a inferior A, mA = inf A dac˘a ¸si numai dac˘a : 1) x ≥ mA pentru orice x ∈ A ; 2) pentru orice ε > 0 exist˘a xε ∈ A ; xε < mA + ε. ˆIn continuare presupunem cunoscute paopriet˘a¸tile referitoare la convergent¸a ¸sirurilor de numere reale ca ¸si cele referitoare la ¸siruri cu limit ∞ sau −∞. Vom completa aceste propriet˘a¸ti cu unele considerat¸ii referitoare la relat¸ai de ordine din R. Mai ˆıntˆai vom reaminti f˘ara demonstraˆıe urm˘atoarele rezultate. Propozit ¸ ia 2.1. Un ¸sir monoton (xn )n∈N converge dac˘ a ¸si numai dac˘ a este un ¸sir m˘ arginit, adic˘ a mulˆımea {xn ; n ∈ N} este o mult¸ime m˘ arginit˘ a. Dac˘a un ¸sir este cresct¸or atunci lim xn = sup{xn ; n ∈ N}

n→∞

iar pentru un ¸sir descresc˘ator, lim xn = inf{xn ; n ∈ N}.

n→∞

17 Teorema 2.11. Fie A o submult¸ime a lui R ¸si MA = sup A eventual MA = ∞. Atunci exist˘ a un ¸sir din A care converge la MA . Demonstrat¸ie. Dac˘a MA = ∞, atunci A este nem˘arginit superior, adic˘a, pentru orice n ∈ N, exist˘a xn ∈ A astfel c˘a xn > n deci lim xn = ∞. n→∞ 1 Dac˘a MA < ∞, atunci x ≤ MA , ∀ x ∈ A ¸si, luˆand ε = ; n ∈ N∗ , ˆın n 1 teorema precedent˘a, exist˘a xn ∈ A astfel c˘a xn > MA − . n Rezult˘a c˘a pentru un ¸sir (xn )n∈N∗ avem dubla inegalitate MA −

1 < xn ≤ MA n

de aici faptul c˘a lim xn = MA . n→∞

Bineˆınt¸eles, un rezultat similar are loc pentru mA = inf A. Consecint ¸ a 2.2. 1) Din aceast˘ a teorem˘ a ¸si avˆ and ˆın vedere Theorem 2.6, rezult˘ a c˘ a, pentru orice submult¸ime A ⊂ R, sup A ¸si inf A apart¸in lui A. 2) Pentru o submult¸ime compact˘ a A ⊂ R, avˆ and ˆın vedere faptul c˘ a este m˘ arginit˘ a ¸si chis˘ a, rezult˘ a c˘ a sup A ¸si inf A exist˘ a ¸si apart¸in A. Definit ¸ ia 2.7. Fie (xn )n∈N un ¸sir de numere reale ¸si L((xn )n∈N ) sau mai simple L mult¸imea punctelor limit˘ a pentru (xn )n∈N . Marginea superioar˘ a exact˘ a a lui L in R este numit˘ a upper limit sau limit superior pentru (xn )n∈N ¸si o not˘ am prin lim xn sau lim sup xn . n→∞

n→∞

Cea mai mare margine inferioar˘ a a lui L in R este numit˘ a lower limit sau limit inferior pentru (xn )n∈N ¸si o not˘ am prin lim xn sau lim inf xn . n→∞

n→∞

Teorema 2.12. Dac˘ a (xn )n∈N este un ¸sir de numere reale, atˆ at lim sup xn cˆ at ¸si lim inf xn sunt puncte limit˘ a pentru (xn )n∈N .

n→∞

n→∞

and ˆın vedere Demonstrat¸ie. ˆIntradev˘ar, dac˘a L = lim sup xn , L = sup L ¸si, avˆ n→∞

Theorem 2.11, there exists a ¸sir (ln )n∈N a lui limit puncte care converge to L. Dac˘a presupunem L = ∞, atunci pentru orice a ∈ R there exists na ∈ N astfel c˘a ln ∈ (a, ∞) pentru n > na . Pentru un ln0 > a fixat fie r > 0 astfel c˘a S(ln0 , r) ⊂ (a, ∞). Din S(ln0 , r) ∈ ϑ(ln0 ), ¸si din Definition 2.3, pentru orice n ∈ N exist˘ a n0 ∈ N, n0 > n, astfel c˘a xn0 ∈ S(ln0 , r).

18 ˆIn final, avem c˘a pentru orice (a, ∞) ∈ ϑ(∞), respectiv pentru orice n ∈ N exist˘a n0 ∈ N, n0 > n, astfel c˘a xn0 ∈ (a, ∞) ¸si deci L = ∞ este un punct limit˘a pentru (xn )n∈N . Dac˘a L < ∞ ¸si S(L, ε) ∈ ϑ(L), atunci pentru ε > 0 putem relua demonstrat¸ia ˆınlocuind (a, ∞) prin S(L, ε). @intr-un mod similar putem demonstra c˘a lim inf xn apart¸in L. n→∞

Teorema 2.13. Fie (xn )n∈N o ¸sir de numere reale. 1) lim sup = ∞ dac˘ a ¸si numai dac˘ a pentru orice a > 0 ¸si orice n ∈ N n→∞

exist˘ a n0 ∈ N, n0 > n, astfel c˘ a xn0 > a, i. e. (a, ∞) cont¸ine o infinitate termeni a lui (xn )n∈N . 2) lim sup xn = L < ∞ dac˘ a ¸si numai dac˘ a: n→∞

2a) pentru orice ε > 0 ¸si orice n ∈ N exist˘ a n0 ∈ N, n0 > n, astfel c˘ a xn0 ∈ (L − ε , L + ε), adic˘ a (L − ε , L + ε) cont¸ine o infinitate termeni a lui (xn )n∈N ; 2b) pentru orice ε > 0 exist˘ a nε ∈ N astfel c˘ a xn < L + ε pentru n > nε . Demonstrat¸ie. Pentru cazul L = ∞, condit¸ia cerut˘a 1) este echivalent˘ a cu faptul c˘a ∞ ∈ L ¸si, mai mult ˆın acest caz, lim sup xn = sup L = ∞. n→∞

Pentru cazul al doilea, L < ∞, condit¸ia 2a) este echivalent˘ a cu faptul c˘a L ∈ L ˆın timp ce 2b) ˆınseamn˘ a c˘a nu sunt punte puncte limit˘a valorile L1 cu L1 ; L1 > L. ˆIntradev˘ar, dac˘a L < L1 ¸si ε > 0 este astfel c˘a L+ε < L1 , atunci xn < L+ε pentru n > nε , adic˘a pentru (L1 − ε , L1 + ε) ¸si n = nε n0 ∈ N ; n0 > nε astfel c˘a xn0 ∈ (L1 − ε , L1 + ε) de aici faptul c˘a L1 nu este punct limit˘a pentru (xn )n∈N . ˆIntr-un mod similar putem demonstra demonstra urm˘atoarea Teorema 2.14. Fie (xn )n∈N un ¸sir de numere reale. 1) lim inf xn = −∞ dac˘ a ¸si numai dac˘ a pentru orice a < 0 ¸si orice n ∈ N n→∞

exist˘ a n0 ∈ N, n0 > n astfel c˘ a xn0 < a, adic˘ a (−∞ , a) cont¸ine o infinitate termeni a lui (xn )n∈N ; 2) lim inf xn = l > −∞ dac˘ a ¸si numai dac˘ a: n→∞

2a) pentru orice ε > 0 ¸si orice n ∈ N exist˘ a n0 ∈ N, n0 > n, astfel c˘ a xn0 ∈ (l − ε , l + ε), sau, (l − ε , l + ε) cont¸ine o infinitate termeni a lui (xn )n∈N ;

19 2b) pentru orice ε > 0 exist˘ a nε ∈ N astfel c˘ a xn > l − ε pentru n > nε . Teorema 2.15. Fie (xn )n∈N un ¸sir de numere reale, xn > 0, ∀ n. Avem (2.1)

lim inf n→∞

√ √ xn+1 xn+1 ≤ lim inf n xn ≤ lim sup n xn ≤ lim sup . n→∞ xn xn n→∞ n→∞

Demonstrat¸ie. Pentru orice ¸sir (an )n∈N avem lim inf an ≤ lim sup an astfel c˘a vom demonstra numai prima ¸si ultima inegalitate. Pe de alt˘a parte aceste inegalit˘a¸ti deasemenea au loc dac˘a lim inf n→∞

xn+1 xn+1 = 0 ¸si lim sup =∞ xn xn n→∞

ˆIn conluzie avem numai s˘a demonstra c˘a, dac˘a 0 < l = lim inf atunci l ≤ lim inf

xn+1 , xn

√ n xn

√ xn+1 < ∞ atunci lim sup n xn ≤ L. xn Vom demonstra numai prima inegalitate, maniera de demonstrat¸ie fiind accea¸si ¸si pentru a doua inegalitate. Consider˘am ε > 0 suficient de mic ca l − ε > 0. Din a doua proprietatea xn+1 a lui limitei inferioare, exist˘a nε ∈ N astfel c˘a > l − ε pentru n > nε . xn Dac˘a fix˘am n0 > nε , pentru valori succesive ale lui n, avem respectiv, dac˘a L = lim sup

xn0 +1 xn0 +2 xn > l − ε, > l − ε, ··· , > l − ε. xn0 xn0 +1 xn−1 Multiplicˆand termen cu termen obt¸inem xn0 xn > (l − ε)n−n0 , respectiv xn > (l − ε)n xn0 (l − ε)n0 pentru n > n0 ¸si ˆın final, r √ n xn > (l − ε) n

xn0 (l − ε)n0

20 pentru n > n0 . luˆand ˆın considerare faptul c˘a r lim (l − ε) n

n→∞

xn0 = l − ε, (l − ε)n0

√ rezult˘a c˘a, pentru orice sub¸sir convergent al lui ( n xn )n∈N , limita este deasemenea mai mare sau egal˘a cu l − ε ¸si, avˆ and ˆın vedere faptul c˘a este adev˘arat˘ a √ pentru orice ε > 0, ˆın final avem lim inf n xn ≥ l. n→∞

Ca o consecint¸˘a avem cunoscutul rezultat referitor la calculul unei limite de √ xn+1 = forma lim n xn , xn > 0, ∀ n ∈ N, ¸stiut fiind faptul c˘a, dac˘a exist˘a lim n→∞ xn √ l, atunci lim n xn = l deasemenea. n→∞ Implicat¸ia invers˘a nu are loc obligatoriu, a¸sa cum rezult˘a din urm˘atorul exemplu. Exercit ¸ iul 2.1. Consider˘am 0 < a < b ¸si un ¸sir (xn )n∈N definit prin x1 = a, x2 = ab, . . . , x2n = an bn , x2n+1 = an+1 bn , . . . (n ∈ N). ¡ xn+1 ¢ x2n+1 avem sub¸siruri complementar = a, n ∈ n∈N xn x2n x2n+2 N, convergent la a, respectiv = b , n ∈ N, convergent la b de aici faptul x2n+1 c˘a xn+1 xn+1 lim inf = a ¸si lim sup = b. n→∞ xn xn n→∞ n ˆIn acela¸si timp pentru ( √ xn )n∈N ,√avem sub¸siruri complementare √ √ 2n x2n = a b, n ∈ N, converging to a b, respectiv Atunci pentru ¸sir

n+1 n √ x2n+1 = a 2n+1 b 2n+1 , n ∈ N,

2n+1

convergent deasemenea la xn+1 ce lim nu exist˘a. n→∞ xn

√ √ √ a b ¸si de aici faptul c˘a lim n xn = a b ˆın timp n→∞

¤

21

2.2

Serii de numere reale

Definit ¸ ia 2.8. Fie (an )n∈N un ¸sir de numere reale ¸si ¸sirul format din (an )n∈N prin : s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , . . . , sn = a1 + a2 + · · · + an , . . . . Ansamblul format prin ¸sirurile (an )n∈N ¸si (sn )n∈N se noteaz˘ a prin simbolul ∞ X

an

n=1

¸si se nume¸ste serie. Termenii ¸sirului (sn )n∈N se numesc sumele part¸iale ale seriei ˆın timp ce (an ) se nume¸ste termenul general al seriei. Ret¸inem faptul c˘a, prin cunoa¸sterea ¸sirului sumelor part¸iale (sn )n∈N , ¸sirul (an )n∈N este unic determinat prin a1 = s1 , an = sn − sn−1 , pentru n ≥ 2. ˆIn acest caz context, termenul de serie poate fi asociat unuia din ¸sirurile (an )n∈N respectiv (sn )n∈N , de unde ¸si notat¸ia utilizat˘a pentru o serie. Observ˘am c˘a putem discuta despre existent¸a limitei ¸sirului sumelor part¸iale. ∞ X a seria an este convergen˘ a sau divergent˘ a dup˘ a Definit ¸ ia 2.9. Sunem c˘ n=1

cum ¸sirul (sn )n∈N este convergent sau divergent. ˆIn primul caz, dac˘a lim sn = s, atunci spunem c˘a “s” reprezint˘ a suma seriei ¸si scriem

∞ X

n→∞

an = s sau mai simplu

n=1

convergente, simbolul

∞ X

an sau

P

P

an = s. Astfel, pentru serii

an este utilizat pentru a desemna atˆat

n=1

seria cˆat ¸si suma sa. Prin studierea comportamentului unei serii (natura seriei) ˆınt¸elegem s˘a determin˘am dac˘a seria este convergent˘ a sau nu. a renunt¸am la un num˘ ar finit de termeni dintr-o serie sau, Remarca 2.3. Dac˘ dimpotriv˘ a ad˘ aug˘ am un num˘ ar finit de termeni la o serie, natura acesteia nu se schimb˘ a. P P Propozit ¸ ia 2.2. Fie an = a ¸si bn P = b dou˘ a serii convergente. Atunci pentru orice pereche de scalari α , β seria (αan + βbn ) converge la sum αa + βb. Altfel spus avem egalitatea P P P (αan + βbn ) = α an + β bn .

22 Demonstrat¸ie. Pentru ¸sirul sumelor part¸iale ale seriei

P (αan + βbn ) avem

sn = (αa1 + βb1 ) + (αa2 + βb2 ) + · · · + (αan + βbn ) = = α(a1 + a2 + · · · + an ) + β(b1 + b2 + · · · + bn ), ¸si de aici, trecˆand la limit˘a obt¸inem rezultatul cerut. Consecint a c˘ a pentru orice scalar α 6= 0 P ¸ a 2.3. P Ca un caz particular result˘ seriile an ¸si α an au aceea¸si natur˘ a. Propozit ¸ ia 2.3. P Fie (bn )n∈N un ¸sir dat ¸si (an )n∈N definit prin an = bn+1 −bn . Atunci seria an este convergent˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a (bn )n∈N este converP gent˘ a ¸si an = lim bn − b1 . n→∞

Demonstrat¸ie. ˆIntradev˘ar avem a1 + a2 + · · · + an = bn+1 − b1 ¸si mai mult P an = lim (a1 + a2 + · · · + an ) = lim (bn+1 − b1 ) = lim bn+1 − b1 n→∞

n→∞

n→∞

dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a lim bn . n→∞

Propozit ¸ ia 2.4. (Condit¸ie necesar˘a de convergent¸˘a) Dac˘ a seria atunci lim an = 0.

P

an converge,

n→∞

Demonstrat¸ie. ˆIntradev˘ar, dac˘a (sn )n∈N este ¸sirul sumelor part¸iale a seriei ¸si s = lim sn , atunci lim an = lim (sn − sn−1 ) = 0. n→∞

n→∞

n→∞

Remarca 2.4. Convergent¸a la zero a ¸sirului termenului general a seriei este doar o condit¸ie necesar˘ a a¸sa cum rezult˘ a din urm˘ atorul exemplu. Exercit ¸ iul 2.2. ( serii Riemann) Seria 1 lim = 0. n→∞ n

P

an

∞ X 1 este o serie divergent˘ a de¸si n

n=1

1 Demonstrat¸ie. ˆIntradev˘ar, deoarece > 0 pentru orice n ≥ 1, ¸sirul sumelor n part¸iale (sn )n∈N este un ¸sir cresc˘ator, deci este suficient s˘a determin˘am un sub¸sir divergent. Consider˘am sub¸sirul (s2n )n∈N , pentru care avem 1 1 1 1 1 ³ 1´ ³1 1´ 1 s2 = 1 + > , s22 = 1 + + + = 1 + + + >2· , 2 2 2 3 4 2 3 4 2

23 1 ¸si, in general, pentru orice n ∈ N, avˆ and s2n−1 > (n − 1) · , g˘asim 2 s2n = s2n−1 +

1 2n−1

+1

> (n − 1) ·

+

1 2n−1

+2

+ ··· +

2n−1

1 > + 2n−1

1 1 1 =n· + 2n−1 · n−1 2 2·2 2

¸si de aici lim s2n = ∞, rezult˘a divergent¸a seriei. n→∞

Teorema P 2.16. (Criteriul general al lui Cauchy) Fie (an )n∈N un ¸sir din R. Seria an converge dac˘ a ¸si numai dac˘ a pentru orice ε > 0 exist˘ a nε ∈ N astfel c˘ a pentru orice p ∈ N, (2.2)

kan+1 + an+2 + · · · + an+p k < ε pentru n > nε .

Demonstrat¸ie. Dac˘a (sn )n∈N este ¸sirul sumelor part¸iale a seriei, este evident c˘a condit¸ia cerut˘a (2.2) este echivalent˘ a cu faptul c˘a (sn )n∈N este a Cauchy ¸sir ¸si atunci convergent¸a lui (sn )n∈N . P Fie p : N → PN o funct¸ie cu proprietatea p(n) < p(m) pentru n < m ¸si seria an ¸si seria bn definit˘a prin b1 = a1 + a2 + · · · + ap(1) , · · · , bn = ap(n−1)+1 + ap(n−1)+2 + · · · + ap(n) . P P Spunem c˘ a seria b este obt ¸ inut˘ a din seria an prin inserarea deparann P P teze ¸si c˘a an este obt¸inut˘a din bn prin retragerea parantezelor. P P Propozit ¸ ia P 2.5. Dac˘ a seria an converge to s, atunci orice serie bn obt¸inut˘ a din an prin inserarea de paranteze este deasemenea convergent˘ a la aceea¸si sum˘ a s. Demonstrat¸ie. Dac˘ P P a (sn )n∈N , (tn )n∈N este ¸sirul sumelor part¸iale pentru seria an respectiv bn , atunci tn = b1 + b2 + · · · + bn = (a1 + a2 + · · · + ap(1) ) + (ap(1)+1 + ap(1)+2 + · · · + ap(2) )+ + · · · + (ap(n−1)+1 + ap(n−1)+2 + · · · + ap(n) ) = sp(n) , deci (tn )n∈N este un sub¸sir a lui (sn )n∈N ¸si (tn )n∈N converge la aceea¸si limit˘a s ca (sn )n∈N .

24

Remarca 2.5. Retragerea parantezelor poate schimba natura seriei. Fie

∞ X

(−1)n−1

n=1

¸si p(n) = 2n, atunci bn = a2n−1 + a2n = 1 + (−1) = 0, ∀ n ∈ N

P de aici convergent¸a seriei bn ˆın timp ce, seria init¸ial˘ a este o serie divergent˘ a cu suma part¸ial˘ a s2n = 0, respectiv s2n+1 = 1, pentru orice n ∈ N. Parentheses can be removed dac˘ a put further restrictions pe “p” ¸si pe ¸sir (an )n∈N . P P Propozit ¸ ia 2.6. Fie bn seria obt¸inut˘ a din seria an prin inserarea de paranteze ¸si presupunem c˘ a exist˘ a M > 0 astfel c˘ a p(n + 1) − p(n) ≤ M, ∀ n ∈ N P P ¸si c˘ a lim an = 0. Atunci an converge dac˘ a ¸si numai dac˘ a bn converge n→∞ caz ˆın care avem aceea¸si sum˘ a pentru cele dou˘ a serii. Demonstrat¸ie. Avˆand ˆın vedere am doar P proposit¸ia 2.5 trebuie s˘a demonstr˘ P faptul c˘a convergent¸a seriei bn implic˘a convergent ¸ a seriei a ¸si c˘a au n P aceea¸si sum˘a. Astfel fie t = lim tn suma seriei bn ¸si, pentru ε > 0, nε ∈ N n→∞ astfel c˘a ε ε ktn − tk < ¸si kan k < 2 2M pentru n > nε . Dac˘a n > p(nε ) = Nε , putem g˘asi m > nε astfel c˘a nε ≤ p(m) ≤ n < p(m + 1) ¸si pentruun astfel de n avem sn = a1 + a2 + · · · + ap(m+1) − (an+1 + an+2 + · · · + ap(m+1) = = tn+1 − (an+1 + an+2 + · · · + ap(m+1) ) ¸si hence ksn − tk ≤ ktm+1 − tk + kan+1 + an+2 + · · · + ap(m+1) k ≤ ≤

ε ε ε ε + (p(m + 1) − p(n)) < +M =ε 2 2M 2 2M

adic˘a lim sn = t. n→∞

25

Definit ¸ ia 2.10. O serie numere reale pozitive

∞ X

∞ X

an se nume¸ste absolut convergent˘a dac˘ a seria de

n=1

kan k este convergent˘ a.

n=1

a este o serie convergent˘ a. Teorema 2.17. Orice serie absolut convergent˘ ar Demonstrat¸ie. Avem ˆıntradev˘ kan+1 + an+2 + · · · + an+p k ≤ kan+1 k + kan+2 k + · · · + kan+p k ¸si condit¸ia

Cauchy 0 s

(2.2) fiind satisf˘acut˘ a pentru seria

deasemenea satisf˘acut˘a pentru seria init¸ial˘ a.

∞ X

kan k, ea este

n=1

Remarca 2.6. ˆ In general implicat¸ia invers˘ a nu este adev˘ arat˘ a a¸sa cum rezult˘ a din exemplul ??.

2.3

Criterii de convergent¸˘ a. Serii alternante

Remarca 2.7. Avˆ and ˆın vedere faptul c˘ a, pentru a seriile cu termeni pozitivi ¸sirul sumelor part¸iale este un ¸sir cresc˘ ator ¸si din propozit¸ia 2.1 rezult˘ a imediat c˘ a o serie cu termeni positivi converge dac˘ a ¸ si numai dac˘ a ¸ sirul sumelor part ¸iale este m˘ arginit superior. P an , an ∈ R pentru orice n ∈ N, o serie dat˘ a. Definim Propozit ¸ ia 2.7. Fie pn =

|an | + an |an | − an , qn = ; n ∈ N. 2 2

Urm˘ atoarea afirmat¸ii sunt adev˘ arate : P P a an converge dar nu este absolut convergent˘ a, seriile pn ¸si P 1) dac˘ qn sunt divergente ; P P P 2) dac˘ a anPeste absolut convergent˘ a , atunci ambele serii p ¸ s i qn n P P converg ¸si avem an = pn − qn . Demonstrat¸ie. Not˘am pentru ˆınceput c˘a pn = an ¸si qn = 0 dac˘a an ≥ 0 ¸si pn = 0 iar qn = −an dac˘a an ≤ 0 pentru orice n ∈ N ¸si c˘a avem an = pn − qn respectiv |an | = pn + qn , ∀ n ∈ N.

26 P P Pentru a demonstra 1) presupunem an converge ¸si |an | este diverP P c˘a gent˘a. Dac˘a una din seriile pn , qn este convergent˘ a, din an = pn − qn ¸si propozit¸ia 2.2 rezult˘a convergent P ¸a celeilalte serii ¸si, din |an | = pn + qn ¸si propozit¸ia 2.2, deducem c˘a |an | este convergent˘ a. Aceast˘a contradict¸ie demonstreaz˘a 1). Pentru 2) putem aplica propozit¸ia 2.2. P Definit ¸ ia 2.11. O serie an este numit˘ a semiconvergent˘a dac˘ a seria este convergent˘ a dar seria nu este absolut convergent˘ a. a (an )n∈N , (bn )n∈N sunt dou˘ a ¸siruri de numere reale ¸si Propozit ¸ ia 2.8. Dac˘ An = a1 + a2 + · · · + an ∀ n ∈ N, atunci avem identitatea n X

(2.3)

ak bk = An bn+1 −

n X

k=1

Ak (bk+1 − bk )

k=1

P P de aici faptul c˘ a an bn converge dac˘ a ambele serii An (bn+1 −bn ) ¸si (An bn+1 )n∈N sunt convergente. Demonstrat¸ie. Luˆand A0 = 0, avem n X k=1

ak bk =

n n n X X X Ak bk+1 + An bn+1 = Ak bk − (Ak − Ak−1 )bk = k=1

= An bn+1 −

k=1 n X

k=1

Ak (bk+1 − bk )

k=1

c˘a este o identitate (2.3). A doua afirmat¸ie rezult˘a din aceast˘a identitate. P Propozit ¸ ia 2.9. (Testul Dirichlet) Fie un o serie de numere reale. a P Dac˘ putem scrie un = an bn , n ∈ N, unde ¸sirul sumelor part¸iale a seriei an este m˘ arginit˘ a ¸si ¸sirul (bn )n∈N este un ¸sir decresc˘ ator cu lim bn = 0, atunci seria n→∞ P un este convergent˘ a. Demonstrat¸ie. Fie An = a1 + a2 + · · · + an ¸si presupunem c˘a |An | ≤ M pentru orice n ∈ N. Atunci lim An bn+1 = 0 ¸si n→∞ P P pentru a stabili convergent¸a seriei un este suficient s˘a ar˘at˘ am c˘a An (bn+1 − bn ) este convergent˘a.

27 ˆın acest caz sense, deoarece (bn )n∈N este un ¸sir descresc˘ator convergent la zero, ¸sirurile bn+1 −bn ≥ 0 ¸si (bn+1 −b1 )n∈N reprezint˘ a ¸sirurile sumelor part¸iale ∞ X ale seriei (bn+1 − bn ) care este convergent ca ¸sir m˘arginit. Seria

n=1

X

|An (bn+1 − bn )| =

X

|An |(bn+1 − bn )

are termenii pozitivi cu ¸sirul sumelor part¸iale (sn )n∈N care este un ¸sir cresc˘ator ¸si, din |An (bn+1 − bn )| ≤ M (bn+1 − bn ), ∀ n ∈ N, rezult˘a c˘a (sn )n∈N P este deasemenea un ¸sir m˘arginit. P De aici, Remark 2.7, convergent¸a seriei |An (bn+1 − bn )| ¸si de aici seria An (bn+1 − bn ) este deasemenea o serie convergent˘ a ca fiind absolut convergent˘ a ˆın (R , | · |). P Propozit ¸ ia 2.10. (Testul Abel) Fie un o serie dat˘ a putem scrie Pa. Dac˘ un sub forma un = an bn pentru fiecare n ∈ N unde an este o P serie convergent˘ a ¸si (bn )n∈N este un ¸sir monotonic convergent, atunci seria un este convergen˘ a. Demonstrat¸ie. Mai ˆıntˆai vom presupune c˘a (bn )n∈N este cresc˘ator, ˆın caz contrar lu˘am −bn ˆın locul ¸sirului bn pentru orice n ∈ N, ¸si deasemenea un ¸sir m˘arginit ca fiind un ¸sir convergent. n X P ak Pe de alt˘a parte convergent¸a seriei an impliec˘ a faptul c˘a An = k=1

care reprezint˘a ¸sirul sumelor part¸iale, este un ¸sir convergent, deci ¸si m˘arginit, adic˘a |An | ≤ M pentru orice n ∈ N. Avˆand ˆın vedere propozit¸ia precednt˘ a avem convergent¸a ¸sirului (An bn+1 )n∈N ¸si deasemenea faptul c˘a ¸sirul sn =

n X

|Ak (bk+1 − bk )| =

n X

|Ak |(bk+1 − bk )

k+1

k+1

P a sumelor part¸iale a seriei |An (bn+1 − bn )| este un ¸sir m˘arginit. ˆIntradev˘ar, putem scrie sn ≤ M

n X (bk+1 − bk ) = M (bn+1 − b1 ) k=1

¸si (bn )n∈N este un ¸sir m˘ arginit fiind deasemenea ¸sir convergent. P It rezult˘a c˘a seria An (bn+1 − bn ) este convergent˘ a, chiar absolut conP vergent˘a, ¸si, pentru a obt¸ine convergent¸a seriei un trebuie doar s˘a aplic˘am propozit¸ia 2.8.

28

Definit ¸ ia 2.12. Dac˘ a xn > 0 pentru fiecare n ∈ N, seria ∞ X

∞ X

(−1)n xn sau

n+1

(−1)n−1 xn se nume¸ste serie alternant˘a.

n=1

Dac˘ a (xn )n∈N este un ¸sir descresc˘ ator Propozit ¸ ia 2.11. (Criteriul lui Leibniz)P ¸si convergent la zero, seria alternant˘ a (−1)n−1 xn este convergent˘ a ¸si, dac˘ a s, sn reprezint˘ a suma sa de ordinul n, atunci |s − sn | < xn+1 . Demonstrat¸ie. Prima parte a propozit¸iei este o consecint¸˘ a a criteriului Dirichlet (propozit¸ia 2.9) considerˆand an = (−1)n−1 ¸si bn = xn pentru orice n ∈ N. ∞ X Deasemenea, ¸sirul sumelor part¸iale ale seriei (−1)n−1 este un ¸sir m˘arginit. Pentru partea a doua, avem

n=1

s − s2n = (x2n+1 − x2n+2 ) + (x2n+3 − x2n+4 ) + · · · > 0 ¸si de aici |s − s2n | = s − s2n = x2n+1 − (x2n+2 − x2n+3 ) − (x2n+4 − x2n+5 ) − · · · < x2n+1 . Pe de alt˘a parte, diferent¸a s − s2n+1 poate fi scris˘a s − s2n+1 = −(x2n+3 − x2n+4 ) − (x2n+4 − x2n+5 ) − · · · < 0 ¸si de aici |s − s2n+1 | = −(s2n+1 − s) = x2n+2 − (x2n+3 − x2n+4 ) − · · · < x2n+2 ¸si therefore |s − sn | < xn+1 pentru orice n ∈ N. A doua afirmat¸ie spune c˘a dac˘a aproxim˘ am s prin sn , valoarea absolut˘a a erorii nu dep˘a¸se¸ste valoarea termenului xn+1 . Testul lui Leibniz furnizeaz˘a un exemplu de serie semiconvergent˘ a, 2.6, numit˘a serie alternant˘a Riemann. 1 Demonstrat¸ie. ˆIntradev˘ar, in criteriul lui Leibniz putem lua xn = care este n un ¸sir descresc˘ator convergent. Pe de alt˘a parte aceast˘a serie nu este absolut convergent˘ a deoarece ∞ ∞ X ¯ ¯ X 1 ¯(−1)n−1 1 ¯ = n n

n=1

este o serie divergent˘a (exemplul 2.2).

n=1

29 P P Definit ¸ ia 2.13. Fie f : N → N o funct¸ie bijectiva ¸si an , bn dou˘ a serii P astfel P c˘ a bn = af (n) pentru orice n ∈ N. Seria bn este se nume¸ste rearangarea serei an . P Not˘am c˘a putem an poate fi considerat˘a ca P scrie an = bf −1 (n) ¸si de aici rearanjarea seriei bn . P a cu suma s. Atunci Propozit ¸ ia 2.12. Fie Pan o serie absolut convergent˘ orice rearanjare a seriei an este deasemenea absolut convergent˘ a cu aceea¸si sum˘ a. Demonstrat¸ie. Fie (bn )n∈N considerat˘a ca ˆın definit¸ia precedent˘ a ¸si, pentru ε > 0, nε ∈ N astfel c˘a |an+1 | + |an+2 | + · · · |an+p | < pentru n > nε , de aici

∞ X k=n+1

ε ∀p ∈ N 2

ε |ak | ≤ . 2

Fie g = f −1 ¸si alegem M astfel c˘a © ª {1, 2, . . . , nε } ⊂ g(1), g(2), . . . , g(M ) . Atunci n > M implic˘a g(n) > nε ¸si de aici avem |bn+1 | + |bn+2 | + · · · + |bn+p | = |ag(n+1) | + |ag(n+2) | + · · · + |ag(n+p) | ≤ ≤ P

∞ X k=n+1

|ak | ≤

ε <ε 2

deci seria bn este absolut convergent˘ a. P Fie (tn )n∈N , (sn )n∈N ¸sirurile sumelor part¸iale ale seriilor bn respectiv ∞ X P ε ε an . Dac˘a n0 este astfel c˘a |sn0 − s| < ¸si |ak | < , atunci 2 2 k=n+1

ε |tn − s| ≤ |tn − sn0 | + |sn0 − s| ≤ |tn − sn0 | + . 2 Dac˘a alegem nε astfel c˘a {1, 2, . . . , n0 } ⊂ {g(1), g(2), . . . , g(nε )}, atunci n > nε implic˘a |tn − sn0 | = |(b1 + b2 + · · · + bn ) − (a1 + a2 + · · · + an0 )| = = |(ag(1) +ag(2) +· · ·+ag(n) )−(a1 +a2 +· · ·+an0 )| ≤ |an0 +1 |+|an0 +2 |+· · · <

ε 2

30 pentru orice termeni a1 , a2 , . . . , an0 cancel out in subtraction. ˆIn final, pentru n > nε , avem |tn − s| < ε ceea ce demonstreaz˘a absolut P P convergent¸a seriei bn ¸si faptul c˘a bn = s too. Remarca 2.8. Convergent¸a absolut˘ a a seriei este o condit¸ie necesar˘ a, Riemann demonstrˆ and c˘ a orice serie semiconvergent˘ a poate fi rearanjat˘ a pentru a obt¸ine o serie convergent˘ a c˘ atre orice sum˘ a.

2.4

Serii cu termeni pozitivi

Vom considera pentru ˆıceput dou˘a exemple. Exercit ¸ iul 2.3. ( seria geometric˘a) Seria

∞ X

q n−1 (q 6= 0) este convergent˘ a

n=1

1 cu suma s = dac˘ a |q| < 1 ¸si este divergent˘ a ˆın caz contrar. 1−q Demonstrat¸ie. ˆIntradev˘ar, dac˘a q 6= 1 avem sn = 1 + q + q 2 + · · · + q n =

1 − q n+1 ¸si 1−q

lim sn =

n→∞

1 dac˘a |q| < 1, 1−q

respectiv limita nu exist˘a pentru q > 1 sau q ≤ −1. Pentru q = 1 avem sn = n ¸si lim sn = ∞, deci seria este deasemenea a n→∞ divergent˘a. Exercit ¸ iul 2.4. Seria Riemann generalizat˘a pentru α > 1 ¸si divergent˘ a dac˘ a α ≤ 1.

∞ X 1 (α ∈ R) este convergent˘ a nα

n=1

Demonstrat¸ie. Am v˘azut ˆın (Example 2.2) c˘a pentru α = 1 seria este divergent˘a ¸si la fel pentru α ≤ 0 deoarece ˆın acest caz ¸sirul termenului general ¡ 1 ¢ nu converge la zero. nα n∈N astfel, avem s˘a studiem natura seriei pentru α > 0 ; α 6= 1. 1 Aplicˆand teorema lui Lagrange funct¸iei f (x) = , x > 0, pe (1 − α)xα−1 intervalul [n , n + 1], exist˘a ξn ∈ (n , n + 1) astfel c˘a 1 1 1 − = f 0 (ξn ) = α−1 α−1 (1 − α)(n + 1) (1 − α)n (ξn )α

31 ¸si rezult˘a 1 1 < (n + 1)α (1 − α)

µ

1 1 − (n + 1)α−1 nα−1

¶ <

1 ∀ n ∈ N. nα

Pentru diferite valori ale lui n ˆıncepˆ and cu n = 1 putem scrie inegalit˘a¸tile ¶ µ 1 1 1 1 1 < − α−1 < α ; α α−1 2 (1 − α) 2 1 1 µ ¶ 1 1 1 1 1 < − < α ; ... ; 3α (1 − α) 3α−1 2α−1 2 µ ¶ 1 1 1 1 1 < − < α α−1 α−1 n (1 − α) n (n − 1) (n − 1)α de aici, dac˘a ¸si numai dac˘a adun˘am termen cu termen, µ ¶ 1 1 sn − 1 < − 1 < sn−1 1 − α nα−1 unde (sn )n∈N reprezint˘a ¸sirul sumelor part¸iale ale seriei. Dac˘a α > 1, avem µ ¶ 1 1 1 1 − α−1 < 1 + , ∀ n ∈ N, sn < 1 + α−1 n α−1 ¸si (sn )n∈N este un ¸sir cresc˘ator m˘arginit superior deci seriea este convergent˘ a. Dac˘a 0 < α < 1, atunci µ ¶ 1 1 sn−1 > − 1 , ∀n ∈ N 1 − α nα−1 ¸si lim

n→∞

1 (n1−α − 1) = ∞ 1−α

de aici lim sn = ∞ too. n→∞

P P Teorema 2.18. (Primul criteriu de comparat¸ie) Fie an , bn dou˘ a serii de numere pozitive cu proprietatea c˘ a exist˘ a n0 ∈ N a¸sa ˆıncˆ at pentru n > n0 avem an ≤ bn . Atunci : P P a) convergent¸a seriei b implic˘ a convergent¸a seriei a ; Pn P n b) ¸si divergent¸a seriei an implic˘ a divergent¸a seriei bn .

32 Demonstrat¸ie. Putem presupune inegalitatea adev˘arat˘ a ˆıncepˆ and cu n = 1. Fie (sn )n∈N , (tn )n∈N ¸sirurile sumelor part¸iale ale celor dou˘a serii. S¸irurile sunt cresc˘atoare ¸si din inegalitate an ≤ bn avem deasemenea inegalitate sn ≤ tn ∀ n ∈ N. Dac˘a suntem ˆın cazul a), avem c˘a (tn )n∈N este convergent˘ a, deci este un ¸sir m˘arginit, ¸si, din inegalitatea precednt˘ a, urmeaz˘a c˘a (sP sir n )b∈N este un ¸ m˘arginit deci convergent ceea ce implic˘a convergent¸a seriei an . In cazul b), ¸sirul (sn )n∈N este nem˘arginit superior ¸si, utilizˆand inegalit˘a¸tile precedente, cu atˆ at mai mult (tn )n∈N este nem˘arginit superior, ¸si de aic, P divergent¸a seriei bn . P P Teorema 2.19. (Al doilea criteriu de comparat¸ie) Fie an , bn dou˘ a serii bn+1 an+1 ≤ ˆıncepˆ and cu n0 ∈ N. Atunci : cu termeni pozitivi pentru care an bn P P a) convergent¸a serieiP bn implic˘ a convergent¸a seriei P an ; b) divergent¸a seriei an implic˘ a divergent¸a seriei bn . a putem presupune inegalitatea adev˘arat˘ a Demonstrat¸ie. Ca ˆın teorema precedent˘ pentru orice n ≥ 1 ¸si, pentru diferite valori ale lui n, avem sucesiv inegalit˘a¸tile 0<

a2 b2 a3 b3 an−1 bn−1 an bn ≤ , 0< ≤ , ... , 0 < ≤ , 0< ≤ a1 b1 a2 b2 an−2 bn−2 an−1 bn−1

an bn . Multiplicˆand termen cu termen, obt¸inem ≤ sau, echivalent, an ≤ a1 b1 a1 bn . P .b1Astfel suntem ˆın ipoteza primului criteriu de comparat¸ie pentru seria an P a1 P a1 P ¸si bn ¸si, trebuie s˘a remarc˘am c˘a seria bn ¸si bn au acela¸si comb1 b1 portament. Teorema 2.20. (Criteriul practic de comparat¸ie) Fie (an )n∈N , (bn )n∈N dou˘ a an ¸siruri de numere pozitive pentru care exist˘ a lim = l. Avem : n→∞ bn 1) dac˘ a l = 0, atunci ½ P P a) convergen0 taserieiP bn implic0 a convergen0 ta seriei an P ; b) divergen0 taseriei an implic0 a divergen0 taseriei bn 2) Dac˘ a l = ∞, atunci ½ P P a) convergen0 taseriei an implic0 a convergen0 taseriei bn P P ; b) divergenceserie bn implic0 a divergen0 taseriei an P P 3) dac˘ a 0 < l < ∞ atunci atˆ at an cˆ at ¸si bn au aceea¸si natur˘ a.

33 an < ε0 pentru bn n > n0 sau, echivalent, an < ε0 bn pentru nP > n0 . Rezult˘a c˘a suntem ˆın P ¸ s i and aceea¸si condit¸iile teoremei 2.18 pentru seriile a ε0 bn , ultima avˆ n P natur˘a ca seria bn . In cazul 2) este suficient doar s˘a schimb˘ am rolul celor dou˘aserii ¸si s˘a bn aplic˘am 1) luˆand ˆın considerat¸ie c˘a, ˆın acest caz, lim = 0. n→∞ an In cazul 3) lu˘am ε0 > 0 ¸si n0 = nε0 astfel c˘a Demonstrat¸ie. In cazul 1) fie ε0 > 0 dat ¸si n0 = nε0 astfel c˘a

0 < l − ε0 <

an < l + ε0 bn

pentru n > n0 sau, echivalent, (l − ε0 )bn < an < (l + ε0 )bn pentru n > n0 . avˆand ˆın vedere dubla inegalitate avem numai s˘a aplic˘am din nou primul criteriu de comparat¸ie (Teorema 2.18). P Teorema 2.21. ( Criteriul r˘ad˘acinii a lui Cauchy) Fie an o serie cu termeni pozitivi. Atunci urm˘ atoarele afirmat¸ii au loc : √ a) Dac˘ a exist˘ a λ ∈ (0, 1) ¸si n0 ∈ N astfel c˘ a n an ≤ λ pentru orice n > n0 , atunci seria converge ; √ b) Dac˘ a n an ≥ 1 pentru o infinitate de termeni atunci seriea este divergent˘ a. n Demonstrat¸ie. In cazul a) avem, echivalent, P nan ≤ λ pentru orice n > n0 ¸si din λ ∈ (0, 1) rezult˘a convergent¸a seriei λ . P Pentru a obt¸ine convergent¸P a seriei a a aplic˘am primul n este suficient s˘ P criteriu de comparat¸ie seriilor λn , an . InP cazul b), rezult˘a c˘a ¸sirul (an )n∈N nu converge la zero ¸si de aici faptul c˘a seria an este divergent˘a.

O formulare particular˘a a cestui test este urm˘atoarea teorem˘a. √ Teorema 2.22. Fie an ≥ 0 pentru orice n ∈ N ¸si L = lim sup n an . Atunci : n→∞ P a) dac˘ a L < 1 series an converge ; P b) dac˘ a L > 1 series an este divergent˘ a; c) dac˘ a L = 1 test este neconcludent, adic˘ a nu putem preciza natura seriei.

34 Demonstrat¸ie. In cazul a), dac˘a ε0 > 0 este astfel c˘a L + ε0 < 1 ¸si, folosind propriet˘a¸tile limitei superioare, 2b) teorema 2.13, n0 = nε0 avem c˘a √ n an ≤ L + ε0 , ∀ n > n0 , atunciPsuntem ˆın ipoteza a) a teoremei precedente cu k = L + ε0 ¸si mai mult seria n converge. In cazul ab), dac˘a ε0 > 0 este astfel c˘a L − ε0 > 1, atunci, folosind deasemenea paopriet˘a¸tile limitei superioare, 2a) teorema 2.13, in interval (L − ε0 , L + ε0 ) √ a. sunt o infintate de termeni ai ¸sirului ( n an )n∈N , mai mari ca 1 ¸si se divergent˘ ∞ X 1 Pentru a demonstra c) putem considera seria generalizat˘a Riemann nα n=1 care, a¸sa cum am v˘azut ˆın exemplul 2.4, este convergent˘ a pentru α > 1 respectiv divergent˘a pentru α ≤ 1 although r r 1 1 n n L = lim sup = lim = 1 ∀ α ∈ R. α n→∞ n nα n→∞

Remarca 2.9. Pentru aplicat¸ii concrete a criteriului r˘ ad˘ acinii vom considera √ n direct l = lim an ¸si, dac˘ a limita exist˘ a, atunci : n→∞ P a) dac˘ a l < 1, seria a este convergent˘ a; Pn b) dac˘ a l > 1, seriea an divergent˘ a; c) dac˘ a l = 1, testul este neconcludent. Teorema 2.23. ( Criteriul lui D 0 Alembert) Fie an > 0 pentru orice n ∈ N. an+1 a) Dac˘ a exist˘ a λ ∈ (0, 1) ¸si n0 ∈ N astfel c˘ a ≤ λ pentru n > n0 , an P seria an converge ; an+1 b) Dac˘ a exist˘ a λ > 1 ¸si n0 ∈ N astfel c˘ a ≥ λ pentru n > n0 , seria an P an este divergent˘ a. Demonstrat¸ie. In cazul a), 0 < λ < 1, seria

∞ X

λn converge ¸si inegalitatea

n=1

an+1 ≤ λ pentru n > n0 an este echivalent˘a cu

λn+1 an+1 ≤ n pentru n > n0 an λ

35 P ¸si mai mult, pentru a demonstra convergent¸a seriei an , este suficient s˘a aplic˘am al doilea criteriu de comparat¸ie, teorema 2.19 a). In cazul b) putem aplica deasemenea al doilea criteriu de comparat¸ie, teorema 2.19 b), luˆand ˆın considerare c˘a, ˆın acest caz avem inegalitatea λ=

pentru orice n > n0 ¸si c˘a seriea

λn+1 an+1 ≤ n λ an

∞ X

λn este divergent˘ a.

n=1

O formulare particular˘a a acestui test este dat ˆın teorema urm˘atoare. Teorema 2.24. Fie an > 0 pentru orice n ∈ N. P an+1 a) Dac˘ a lim sup = L < 1 , seria an converge ; an n→∞ P an+1 b) Dac˘ a lim inf = l > 1 , seria an este divergent˘ a; n→∞ an c) Dac˘ a l ≤ 1 ¸si L ≥ 1 , testul este neconcludent. Demonstrat¸ie. a) Dac˘a ε0 > 0 este astfel c˘a λ = L + ε0 < 1 ¸si, folosind propriet˘a¸tile limitei superioare, 2b) teorema 2.13, n0 = nε0 este astfel c˘a an+1 ≤ L + ε0 pentru n > n0 , suntem ˆın ipoteza a) a teoremei precedente, ¸si an P seria an converge. b) Dac˘a ε0 > 0 este astfel c˘a l − ε0 = λ > 1 ¸si, folosind propriet˘a¸tile limitei an+1 pentru inferioare, 2b) teorema 2.14, n0 = nε0 este astfel c˘a l − ε0 ≤ anP n > n0 , ¸si suntem ˆın ipoteza b) a teoremei precedente, deci seria an este divergent˘a. Pentru a demonstra cazul c) , lu˘am urm˘atorul examplu. Exercit ¸ iul 2.5. Pentru 0 < a < b, consider˘am ¸sirul (an )n∈N definit prin a1 = a, a2 = ab, . . . , a2n = an bn , a2n+1 = an+1 bn , . . . ca ˆın examplul 2.1, ¸sir pentru care lim sup n→∞

an+1 an+1 = b, lim inf = a ¸si n→∞ an an

lim

n→∞

√ √ n an = a b.

36 3 3 > 1 ¸si a = < 1, c˘a este 2 4 r √ 9 ab = > 1, 8 P rezult˘a divergent¸a seriei an . ˆIn acela¸si timp, dac˘a lu˘am b = 4 > 1 ¸si a = 2 < 1, avem 3 3 r √ 8 ab = <1 9 P ¸si mai mult series an converge. Dac˘a lu˘am, b =

an+1 Remarca 2.10. ˆ In practic˘ a, pentru a aplica acest test, calcul˘ am lim ¸si, n→∞ an dac˘ a limita exist˘ a ¸si o not˘ am prin l, atunci : P a) dac˘ a l < 1 , seria P an converge ; b) dac˘ a l > 1 , seria an este divergent˘ a; c) dac˘ a l = 1 , test este neconcludent. Deasemenea, referitor la exemplul precedent, folosind teeorem 2.15 putem spune c˘ a criteriul r˘ ad˘ acinii este mai tare decˆ at decˆ at criteriul lui D˘ alembert. √ an+1 Dac˘ a exist˘ a lim = 1, atunci nu mai este necesar s˘ a calcul˘ am lim n an , n→∞ an n→∞ root criteriul fiind deasemenea neconcludent. Teorema 2.25. ( criteriul logaritmic) Fie an > 0 pentru orice n ∈ N. P P

a) Dac˘ a exist˘ a λ > 1 ¸si n0 ∈ N astfel c˘ a an converge ; b) Dac˘ a exist˘ a λ ≤ 1 ¸si n0 ∈ N astfel c˘ a an este divergent˘ a.

− ln an ≥ λ pentru n > n0 , seria ln n − ln an ≤ λ pentru n > n0 , seria ln n

− ln an ≥ λ poate fi scris˘a ln n 1 ln ≥ λ ln n = ln nλ , an

Demonstrat¸ie. a) Inegalitatea

1 pentru n > n0 . nλ ∞ X 1 Cum λ > 1, seria converge ¸si, folosind primul criteriu de comparat¸ie, nλ n=1 P avem deasemenea convergent¸a seriei an . sau ˆın final, an ≤

37 1 b) Similar considerˆand inegalitatea an ≥ λ pentru n > n0 ¸si, de aceast˘a n ∞ X 1 dat˘a cu λ ≤ 1, seria este divergent˘ a ¸si, aplicˆand ˆıc˘ a o dat˘a primul nλ n=1 P criteriu de comparat¸ie, rezult˘a divergent¸a seriei an . Ca o formulare particular˘a avem : Teorema 2.26. Fie an > 0, n = 2, 3, . . . . Atunci P − ln an a) dac˘ a lim inf = l > 1, seria an converge ; n→∞ ln n P − ln an b) dac˘ a lim sup = L < 1, seria an este divergent˘ a; ln n n→∞ c) dac˘ a l ≤ 1 ¸si L ≥ 1, testul este neconcludent. Demonstrat¸ie. a) Fie ε0 > 0 astfel c˘a λ = l − ε0 > 1. Folosind paopriet˘a¸tile limitei inferioare, 2b) teorema 2.14, exist˘a n0 = nε0 astfel c˘a − ln an ≥ l − ε0 pentru n > n0 ln n ¸si maiP mult suntem ˆın ipoteza a) a teoremei precedente, i.e. avem convergent¸a seriei an . b) Fie ε0 > 0 astfel c˘a λ = L + ε0 ≤ 1. folosind proprietatea 2b) teorema 2.13 a limitei superioare, exist˘a n0 = nε0 astfel c˘a − ln an ≤ L + ε0 pentru n > n0 ln n ¸si maiP mult suntem ˆın ipotesza b) a teoremei precedente, de aici divergent¸a seriei an . ∞ X 1 c) Propunem ca exercit¸iu demonstrarea faptului c˘a, pentru seria , n lnα n n=2 avem l = L = 1 dar, seria converge pentru α > 1, respectiv este divergent˘ a pentru α ≤ 1. ˆ practic˘ Remarca 2.11. In a, aplicarea criteriului logaritmic presupune calculul − ln an l = lim ¸si, dac˘ a limita exist˘ a, atunci : n→∞ ln n P a) dac˘ a l > 1, seria an converge ; P b) dac˘ a l < 1, seria an este divergent˘ a; c) dac˘ a l = 1, test este neconcludent.

38 Teorema 2.27. (Criteriul lui Kummer) Fie an > 0 pentru orice n ∈ N. a) Dac˘ a exist˘ a un ¸sir (vn )n∈N , vn > 0 pentru orice n ∈ N, λ > 0 ¸si n0 ∈ N astfel c˘ a an vn − vn+1 ≥ λ pentru n > n0 , an+1 P atunci seria an converge. b) Dac˘ a exist˘ a un ¸sir (vn )n∈N , vn > 0 pentru orice n ∈ N ¸si astfel c˘ a seria P 1 este divergent˘ a , λ < 0 ¸si n0 ∈ N astfel c˘ a vn vn atunci seria

P

an − vn+1 ≤ λ pentru n > n0 , an+1

an este divergent˘ a.

Demonstrat¸ie. a) Cum an > 0 pentru orice n ∈ N, inegalitatea vn

an − vn+1 ≥ λ pentru n > n0 , an+1

este echivalent˘a cu vn an − vn+1 an+1 ≥ λ an+1 ≥ 0 pentru n > n0 de aici faptul c˘a ¸sirul (vn an )n∈N este un ¸sir descresc˘ator de numere pozitive, adic˘a m˘arginit inferior, deci convergent. P S¸irul sumelor part¸iale ale seriei (vn an −v Pn+1 an+1 ) este (v1 a1 −vn+1 an+1 )n∈N , din afirmat¸ia precedent˘a rezult˘a c˘a seria (vn an − vn+1 an+1 ) converge ¸si, folosind inegalitatea 1 an+1 ≤ (vn an − vn+1 an+1 ) λ P ¸si din primul criteriu de comparat¸ie, rezult˘a convergent¸a seriei an . ˆ b) In acest caz consider˘am inegalitatea vn an − vn+1 an+1 ≤ λan+1 ≤ 0 pentru n > n0 , ¸si de aici faptul c˘a ¸sirul (vn an )n∈N, n>n0 este un ¸sir descresc˘ator. astfel, avem 1 a n ≥ a n0 vn0 ∀ n > n0 vn P 1 ¸si, folosind faptul c˘a seria este divergent˘ a ¸si aplicˆand din nou criteriul vn P comparat¸iei, rezult˘a divergent¸a seriei an .

39 ˘ Remarca 2.12. Pentru vn = 1 (n ∈ N) obt¸inem criteriul lui DAlembert (teorema 2.23). Pentru vn = n pentru orice n ∈ N obt¸inem un alt caz particular , criteriul Raabe-Duhamell, dar avˆ and ˆın vedere important¸a sa in aplicat¸ii, /il prezent˘ am separat. Teorema 2.28. (Criteriul Raabe-Duhamell) Fie an > 0 pentru orice n ∈ N. a) Dac˘ a exist˘ a k > 1 ¸si n0 ∈ N astfel c˘ a ³ a ´ n n − 1 ≥ k, ∀ n > n0 , an+1 P atunci seria an converge. b) Dac˘ a exist˘ a k < 1 ¸si n0 ∈ N astfel c˘ a ³ a ´ n n − 1 ≤ k, ∀ n > n0 , an+1 P atunci seria an este divergent˘ a. ³ a ´ n Demonstrat¸ie. In cazul a) inegalitatea n − 1 ≥ k, pentru orice n > n0 , an+1 poate fi scris˘a an n − (n + 1) ≥ k − 1 = λ > 0, ∀ n > n0 an+1 astfel c˘ a suntem in cazul a) de la criteriul lui Kummer ¸si de aici avem convergent¸a P seriei an . ³ a ´ n In cazul b) putem scrie inegalitatea n − 1 ≤ k, pentru orice n > n0 , an+1 sub forma an n − (n + 1) ≤ k − 1 = λ < 0 an+1 P1 ¸si, ˆıntrucˆat este divergent˘ a, suntem ˆın a doua ipotez˘a a criteriului lui n P Kummer cu vn = n, ¸si mai mult seria an este divergent˘ a. Ca o formulare particular˘a avem : Teorema 2.29. Fie an > 0 pentru orice n ∈ N. Atunci ´ ³ a P n − 1 > 1, seria an converge ; a) dac˘ a l = lim inf n n→∞ an+1 ³ a ´ P n b) dac˘ a L = lim sup n − 1 < 1, seria an este divergent˘ a; an+1 n→∞ c) dac˘ a l ≤ 1 ¸si L ≥ 1, criteriul este neconcludent.

40 Demonstrat¸ie. pentru a demonstra acest rezultat utiliz˘am deasemenea propriet˘a¸tile limitei inferioare respectiv ale limitei superioare ca ˆın demonstrat¸ia teoremelor precedente, teoremele 2.22, 2.24 ¸si 2.26. Remarca 2.13. ˆ In practic˘ a, pentru a aplica criteriul Raabe-Duhamell, se calculeaz˘ a direct ´ ³ a n −1 l = lim n an+1 ¸si, dac˘ a limita exist˘ a, atunci : P a) dac˘ a l > 1, seria an converge ; P b) dac˘ a l < 1, seria an este divergent˘ a; c) dac˘ a l = 1, test este neconcludent. Vom ˆıncheia paragraful prin presentarea posibilt˘a¸tii de a aproxima suma unei serii convergente. ∞ X Am v˘azut ˆın (proposition 2.11) c˘a, pentru o serie alternant˘ a (−1)n−1 an cu (an )n∈N ¸sir descresc˘ator convergent la zero. Avem

n=1

|s − sn | ≤ an+1 ¸si mai mult, pentru calculul sumei s a seriei cu o eroare dat˘a ε, este suficient s˘a lu˘am suma part¸ial˘a sn0 cu n0 cea mai mic˘a valoare a lui n pentru care an ≤ ε. A particular cazul when can approximate sum a lui astfel a convergent series cu termeni pozitivi ¸si c˘a present here, este given prin urm˘atoarea : Teorema 2.30. Fie an > 0, pentru orice n ∈ N, ¸si λ < 1, respectiv n0 ∈ N an astfel c˘ a ≤ λ pentru n > n0 . an+1 P Dac˘ a s reprezint˘ a suma seriei an , atunci avem λ an an λn+1 ≤ n00 , ∀ n ∈ N , n ≥ n0 . 1−λ λ 1−λ an Demonstrat¸ie. Deasemenea, din ipoteza ≤ λ pentru n > n0 , rezult˘a a n+1 P convergent¸a seriei an ¸si, ˆıntrucˆ at termenii seriei sunt numere positive, avem s > sn pentru orice n ∈ N. Astfel, avem |s − sn | = s − sn ≤

|s − sn | = s − sn = an+1 + an+2 + . . .

41 ¸si, din an+1 ≤ λan , an+2 ≤ λan+1 ≤ λ2 an , . . . , g˘asim s − sn ≤ an (λ + λ2 + . . . ) = an

λ . 1−λ

Pe de alt˘a parte, dac˘a consider˘am inegalit˘a¸tile an0 +1 ≤ λan0 , an0 +2 ≤ λan0 +1 , . . . , an ≤ λ an−1 ¸si multiplic˘am termen cu termen, g˘asim an ≤ an0 λn−n0 , astfel c˘a putem continua evaluarea lui s − sn cu s − sn ≤

an0 λn+1 , ∀ n ∈ N, n > n0 λn0 1 − λ

. ˆIn applicat¸ii, dac˘a dorim s˘a calcul˘am s cu o eroare mai mic˘a decˆat un ε > 0 dat, este suficient s˘a lu˘am sn0 cu n0 cea mai mic˘a valoare a lui n pentru care an0 λn+1 ≤ ε, λn0 1 − λ existent¸a unui astfel de index fiind asigurat˘a de faptul c˘a lim λn−1 = 0. n→∞

Capitolul 3

Limite ¸si continuitate 3.1

Limita unei funct¸ii. Funct¸ii continue

Definit ¸ ia 3.1. Fie f : D ⊆ R → R ¸si x0 ∈ D 0 un punct de acumulare pentru D. Spunem c˘ a f are limita l ˆın punctul x0 dac˘ a, pentru orice vecin˘ atate V ∈ ϑ(l), exist˘a o vecin˘atate U ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘a, pentru orice x ∈ D ∩ (U \ {x0 }), avem f (x) ∈ V . Not˘am prin lim f (x) = l ¸si spunem c˘a “ limita lui f ˆın x0 este l ” sau c˘a x→x0

“f are limita l cˆand x tinde la x0 ”. a Propozit ¸ ia 3.1. O funct¸ie f : D ⊆ R → R are limita l ˆın x0 ∈ D 0 dac˘ ¸si numai dac˘ a, pentru orice V ∈ B(l), exist˘ a U ∈ B(x0 ) astfel c˘ a f (x) ∈ V pentru fiecare x ∈ D ∩ (U \ {x0 }), unde B(l) ¸si B(x0 ) reprezint˘ a o baz˘ a de vecin˘ atat¸i a lui pentru l, respectiv x0 . Demonstrat¸ie. Dac˘a lim f (x) = l, pentru orice V ∈ ϑ(l), cu atˆat mai mult x→x0

pentru orice V ∈ B(l), exist˘a U 0 ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘a ¡ ¢ f (x) ∈ V ∀ x ∈ D ∩ U 0 \ {x0 } . Pe de alt˘a parte, dac˘a B(x0 ) este o baz˘a de vecin˘ at˘ a¸ti a ¡lui x0 , exist˘ ¢ a U ∈ B(x0 ), U ⊆ U 0 ¸si mai mult, f (x) ∈ V pentru orice x ∈ D ∩ U \ {x0 } . Reciproc, dac˘a V ∈ ϑ(l), exist˘a V 0 ∈ B(l) astfel c˘a V 0 ⊆ V ¸si, dac˘a U ∈ B(x0 ) este astfel c˘a ¡ ¢ f (x) ∈ V 0 ∀ x ∈ D ∩ U \ {x0 } , cu atˆat mai mult avem ¡ ¢ f (x) ∈ V ∀ x ∈ D ∩ U \ {x0 } , 42

43 de aici lim f (x) = l. x→x0

Propozit ¸ ia 3.2. Fie f : D ⊆ R → R ¸si x0 ∈ D 0 . Dac˘ a f are limit˘ a ˆın x0 atunci limita este unic˘ a. Demonstrat¸ie. Dac˘a presupunem prin reducere la absurd c˘a exist˘a dou˘a valori l1 , l2 pentru limita lui f ˆın x0 , fie V1 ∈ ϑ(l1 ), V2 ∈ ϑ(l2 ), V1 ∩ V2 = ∅ ¸si U1 , U2 ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘a ¡ ¢ f (x) ∈ V1 ∀ x ∈ D ∩ U1 \ {x0 } respectiv

¡ ¢ f (x) ∈ V2 ∀ x ∈ D ∩ U2 \ {x0 } .

Deoarece U1 ∩ U2 = U este deasemenea o vecin˘ atate pentru x0 , ar trebui s˘a avem f (x) ∈ V1 ∩ V2 pentru orice x ∈ D ∩ (U \ {x0 } contrar faptului c˘a V1 ∩ V2 = ∅. Teorema 3.1. Fie f : D ⊆ R → R, g : f (D) ⊂ R → R ¸si x0 ∈ D 0 . Dac˘ a lim f (x) = l, l este un punct de acumulare pentru f (D), x→x0

l 6∈ f (D) ¸si exist˘ a lim g(y) = L, atunci lim (g ◦ f )(x) = L. y→l

x→x0

Demonstrat¸ie. Fie W ∈ ϑ(L) ¸si V ∈ ϑ(l) astfel c˘a ¡ ¢ g(y) ∈ W, ∀ y ∈ f (D) ∩ V \ {l} . Deoarece lim f (x) = l, pentru V exist˘a U ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘a f (x) ∈ V x→x0 ¡ ¢ pentru orice x ∈ D ∩ U \ {x0 } . Finally, as l 6∈ f (D), pentru orice x ∈ D ∩ (U \ {x0 }), Avem f (x) ∈ f (D) ∩ (V \ {l}) ¡ ¢ de aici (g ◦ f )(x) = g f (x) ∈ W , c˘a este lim (g ◦ f )(x) = L. x→x0

Remarca 3.1. Remarc˘ am c˘ a, dac˘ a lim f (x) = l ∈ f (D), este posibil c˘ a x→x0

concluzia s˘ a fie fals˘ a a¸sa cum rezult˘ a din urm˘ atorul exemplu.

44 Exercit ¸ iul 3.1. Fie f : R → R; f (x) = 0 pentru orice x ∈ R ¸si g : R → R ; ½ 0 , dac˘ a y 6= 0 g(y) = . 1 , dac˘ a y=0 Avem lim f (x) = 0 ¸si lim g(y) = 0 ˆın timp ce (g ◦ f )(x) = 1 pentru orice x→0

y→0

x ∈ R ¸si mai mult lim (g ◦ f )(x) = 1 6= lim g(y) = 0.

x→0

y→0

¤

Cum un interval deschis cu centrul ˆıntr-un punct dat reprezint˘ a a o baz˘a de vecin˘atat¸i pentru acest punct, din proposit¸ia 3.1 putem deduce urm˘atorul resultat. Teorema 3.2. Fie f : D ⊆ R → R ¸si x0 ∈ D 0 . Atunci f are limit l cˆ and x tinde la x0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice ε > 0 exist˘ a δε > 0 astfel c˘ a |f (x) − l| < ε pentru orice x ∈ D pentru care 0 < |x − x0 | < δε . Demonstrat¸ie. Este suficient s˘a lu˘am ˆın consideration faptul c˘a (l − δ, l + δ); δ > 0 ¸si (x0 − ε, x0 + ε) ; ε > 0 reprezint˘ a baze de vecin˘ atat¸i pentru l, respectiv x0 ¸si s˘a aplic˘am proposition 3.1. Teorema 3.3. O funct¸ie f : D ⊆ R → R are limita l cˆ and x tinde la x0 ∈ D 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice ¸sir (xn )n∈N de puncte a lui D, xn 6= x0 pentru orice n ∈ N, convergent la x0 , ¸sirul (f (xn ))n∈N converge la l. Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a lim = l ¸si fie (xn )n∈N un ¸sir de puncte a lui x→x0

D convergent la x0 , xn 6= x0 . Dac˘a V ∈ ϑ(l) este o vecin˘ atate arbitrar˘a a lui l ¸si δV > 0 este astfel c˘a f (x) ∈ V pentru orice x ∈ D pentru care 0 < |x − x0 | < δV , fie nV = nδV ∈ N astfel c˘a |xn − x0 | < δv pentru n > nV . Avem xn ∈ D , 0 < |xn − x0 | < δV pentru n > nV ¸si de aici f (xn ) ∈ V pentru n > nV ¸si mai mult faptul c˘a lim f (xn ) = l. n→∞

Reciproc, presupunem c˘a condit¸ia din teorem˘a are loc ¸si presupunem prin reducere la absurd c˘a lim f (xn ) 6= l, deci exist˘a V0 ∈ ϑ(l) cu proprietatea c˘a, n→∞

pentru orice δ > 0, exist˘a x ∈ D, 0 < |x − x0 | < δ, dar f (x) 6∈ V0 . 1 1 Luˆand succesiv δ = 1, , . . . , , . . . , obt¸inem un ¸sir (xn )n∈N de puncte a 2 n lui D, pentru care 0 < d(xn , x0 ) <

1 ¸si f (xn ) 6∈ V0 , n

45 c˘a este xn ∈ D, xn 6= x0 ¸si lim xn = x0 ˆın timp ce (f (xn ))n∈N nu converge la n→∞ l, ˆın contradict¸ie cu ipoteza noastr˘a. Ca o consecint¸˘a avem : a exist˘ a ¡un ¸sir ¢(xn )n∈N de puncte a lui D \ {x0 } Consecint ¸ a 3.1. 1) Dac˘ convergent la x0 ¸si astfel c˘ a ¸sirul f (xn ) n∈N nu converge, atunci f nu are limit˘ a ˆın x0 . 00 2 Dac˘ a exist˘ a dou˘ a ¸siruri (x0n )n∈N din D \ {x0 } con¡ , 0(x¢n )n∈N¡de puncte ¢ vergente la x0 pentru care ¸sirurile f (xn ) n∈N , f (x00n ) n∈N au limite diferite, atunci f nu are limit˘ a ˆın x0 .

3) Dac˘ a, pentru un ¸sir arbitrar (xn )n∈N de puncte a lui D \{x0 } convergent la x0 , avem lim f (xn ) = l ¸si limita nu depinde de ¸sirul considerat, putem s˘ a n→∞ lu˘ am l ca limita lui f at x0 . Teorema 3.4. (Criteriul general a lui Cauchy) Fie f : D ⊆ R → R o funct¸ie dat˘ a ¸si x0 ∈ D 0 , un punct de acumulare pentru D. f are limit˘ a cˆ and x tinde la x0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice ε > 0, exist˘ a δε > 0 astfel c˘ a |f (x0 ) − f (x00 )| < ε ∀ x0 , x00 ∈ D ∩ (x0 − δε , x0 + δε ) \ {x0 }. Demonstrat¸ie. Dac˘a lim f (x) = l, fie δε > 0 astfel c˘a pentru orice x ∈ D ∩ x→x0 ¢ ε (x0 − δε , x0 +δε )\{x0 } , avem 0 < |x− x0 | < δε , ¸si ˆın consecint¸˘ a |f (x)−l| < . 2 Dac˘a x0 , x00 sunt dou˘a puncte din D ∩ (x0 − δε , x0 + δε ) \ {x0 } atunci ε ε |f (x0 ) − f (x00 | ≤ |f (x0 ) − l| + |f (x00 − l| < + = ε. 2 2 Reciproc, fie (xn )n∈N un ¸sir de puncte a lui D \ {x0 } convergent la x0 ¸si nε = nδε ∈ N astfel c˘a 0 < |xn − x0 | < ε pentru n > nε . Rezult˘a c˘a, pentru orice n > nε ¸si orice p ∈ N, avem xn , xn+p ∈ D ∩ (x0 − δε , x0 + δε ) \ {x0 }) ¸si mai mult, aplicˆand criteriul Cauchy, avem c˘a |f (xn ) − f (xn+p )| < ε, ¡ ¢ deci ¸sirul f (xn ) n∈N este un ¸sir Cauchy deci este convergent. Dac˘a consider acum dou˘a ¸siruri (x0n )n∈N , (x00n )n∈N de puncte a lui D \ {x0 } convergente la x0 , ¸sirul x01 , x001 , x02 , x002 , . . . are aceea¸si prprietate ¸si, ¸sirul f (x01 ), f (x001 ), f (x02 ), f (x002 ), . . . este un ¸sir convergent. De aici ¸sirurile (f (x0n ))n∈N , (f (x00n ))n∈N , ca sub¸siruri a acestui ¸sir, trebuie s˘a aib˘a aceea¸si limit˘a. ¡ Deci ¢ pentru orice ¸sir (xn )n∈N de puncte a lui D\{x0 } convergent la x0 , ¸sirul f (xn ) n∈N este un ¸sir convergent ¸si limita sa nu depinde de ¸sirul considerat. De aici existent¸a limitei lui f cˆ and x tinde la x0 .

46 Definit ¸ ia 3.2. Fie f : D ⊆ R → R ¸si x0 ∈ D. Spunem c˘ a f este continu˘a ˆın x0 dac˘ a, pentru orice V ∈ ϑ(f (x0 )), exist˘ a U ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘ a f (x) ∈ V pentru x ∈ D ∩ U . Dac˘ a f este continu˘ a ˆın orice punct a lui D spunem c˘ a f este continu˘a pe D sau, mai simplu, continu˘a. Similar propozit¸iei 3.1 putem formula Propozit ¸ ia 3.3. Fie f : D ⊆ R → R ¸si x0 ¡∈ D. ¢Atunci f este continu˘ a ˆın x0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice V ∈¡ B f (x ) , exist˘ a U ∈ B(x ) astfel 0 ¢0 c˘ a f (x) ∈ V pentru x ∈ D ∩ U , unde B f (x0 ) , B(x0 ) reprezint˘ a o baz˘ a de vecin˘ atat¸i a lui pentru f (x0 ) respectiv x0 . Putem reformula propozit¸ia precedent˘ a 3.3 dup˘a cum urmeaz˘a: Propozit ¸ ia 3.4. f este continu˘ a ˆın punctul x0 a lui D dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice ε > 0, exist˘ a δε > 0 astfel c˘ a |f (x) − f (x0 )| < ε pentru orice x ∈ D pentru care |x − x0 | < δε . Subliniem c˘a, pentru un x0 dat, δ depinde de ε dar, dac˘a consider˘am puncte diferite ale lui D, atunci este posibil c˘a δ s˘ a depind˘a ¸si de punct. Teorema 3.5. Fie f : D ⊆ R → R ¸si x0 ∈ D, un punct de acumulare pentru D. Atunci f este continu˘ a ˆın x0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a f are limit˘ a cˆ and x tinde la x0 ¸si lim f (x) = f (x0 ). x→x0 ¡ ¢ a ˆın x0 ¸si, pentru V ∈ ϑ f (x0 ) arbiDemonstrat¸ie. Presupunem f continu˘ trar˘a, exist˘a U ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘a f (x) ∈ V ¡pentru orice ¢ x ∈ D ∩ U . Deasemenea avem f (x) ∈ V pentru orice x ∈ D ∩ U \ {x0 } , ultima intersect¸ie fiind nevid˘a avˆand ˆın vedere faptul c˘a x0 este un punct de acumulare pentru D ¸si mai mult, avem lim f (x) = f (x0 ). x→x0 ¡ ¢ Reciproc, dac˘a presupunem c˘a, pentru orice¡ V ∈ ϑ f¢(x0 ) , exist˘a U ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘a f (x) ∈ V pentru orice x ∈ D ∩ V \ {x0 } , avˆand ˆın vedere faptul c˘a f (x0 ) ∈ U pentru orice vecin˘ atat¸i a lui f (x0 ), avem cu atˆat mai mult f (x) ∈ V pentru orice x ∈ D ∩ U , deci continuitatea lui f at x0 . Remarca 3.2. Dac˘ a x0 este un punct izolat a lui D, atunci orice funct¸ie f : D ⊆ R → R este continu˘ a ˆın x0 deoarece, ˆın acest caz putem lua o vecin˘ atate U ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘ a D ∩ U = {x0 }, ¸si pentru orice V ∈ ϑ(f (x0 )), f (x) ∈ V ∀ x ∈ D ∩ U = {x0 }. Din acest motiv, ˆın continuare, atunci cˆ and conside˘ am continuitatea unei funct¸ii ˆıntr-un punct al domeniului de definit¸ie, presupunem c˘ a acesta este ¸si punct de acumulare.

47 Teorema 3.6. Fie f : D ⊆ R → R ¸si x0 ∈ D. Atunci f este continu˘ a ˆın x0 dac˘ a ¸si numai dac˘ ¡ ¢ a, pentru orice ¸sir (xn )n∈N de puncte a lui D convergent la x0 , ¸sirul f (xn ) n∈N converge la f (x0 ). Demonstrat¸ie. Dac˘a x0 este un punct izolat a lui D, atunci singurul ¡ ¸sir ¢convergent la x0 este ¸sirul xn = x0 pentru orice n ∈ N ¸si de aici ¸sirul f (xn ) n∈N este deasemenea un ¸sir constant ¸si f (xn ) = f (x0 ) pentru orice n ∈ N, deci converge to f (x0 ). Dac˘a x0 este un punct de acumulare pentru D, atunci, a¸sa cum am v˘azut din Theorem 3.5, continuitatea lui f ˆın x0 este echivalent˘ a cu faptul c˘a lim f (x) = x→x0

f (x0 ) ¸si, pentru a obt¸ine rezultatul, este suficient s˘a aplic˘am Theorem 3.3. Teorema 3.7. (criteriul general al lui Cauchy pentru continuitate) Fie f : D ⊆ R → R o funct¸ie dat˘ a ¸si x0 un punct a lui D. Atunci f este continu˘ a ˆın x0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice ε > 0, exist˘ a δε > 0 astfel c˘ a |f (x0 ) − f (x00 | < ε ∀ x0 , x00 ∈ D ∩ (x0 − δε , x0 + δε ). Demonstrat¸ie. Dac˘a x0 este un punct izolat a lui D, putem lua δε > 0 astfel c˘a D ∩ (x0 − δε , x0 + δε ) = {x0 } ¸si de aici faptul c˘a, dac˘a x0 , x00 ∈ D ∩ (x0 − δε , x0 + δε ), atunci x0 = x00 = x0 ¸si, deasemenea, avem c˘a |f (x0 ) − f (x00 | = |f (x0 ) − f (x0 )| = 0 < ε. Dac˘a x0 este un punct de acumulare, atunci suntem deasemenea ˆın ipoteza teoremei 3.4 ¸si mai mult exist˘a l = lim f (x) ¸si, pentru a calcula limita, putem x→x0

lua l = lim f (xn ) cu (xn )n∈N un ¸sir arbitrar de puncte a lui D convergent la n→∞ x0 . Particularizˆand, putem lua ¸sirul constant (xn )n∈N , xn = x0 pentru orice n ∈ N, ¸si avem l = lim f (xn ) = f (x0 ), ¸si cum limita este unic˘a putem spune n→∞ c˘a lim f (x) = f (x0 ) x→x0

¸si de aici continuitatea funct¸iei f ˆın x0 . Dac˘a lu˘am ˆın considerare caracterizarea continuit˘ a¸tii pe ˆıntreg domeniul de definit¸ie atunci Proposition 3.4, poate fi reformulat˘ a Propozit ¸ ia 3.5. Fie f : D ⊆ R → R. Atunci f este continu˘ a pe D dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice ε > 0 ¸si orice x ∈ D, exist˘ a δε,x > 0 astfel c˘ a |f (x) − f (x0 )| < ε

48 pentru orice x0 ∈ D pentru care |x − x0 | < δε,x . Definit ¸ ia 3.3. Spunem c˘ a f : D ⊆ R → R este uniform continu˘a pe D dac˘ a, pentru orice ε > 0, exist˘ a δε > 0 astfel c˘ a |f (x0 ) − f (x00 | < ε pentru orice x0 , x00 ∈ D pentru care |x0 − x00 | < δε . Orice funct¸ie uniform continu˘ a pe D este ¸si continu˘ a pe D dar implicat¸ia invers˘a ˆın general nu este adev˘arat˘ a. Teorema 3.8. Fie f : D ⊆ R → R, respectiv g : F (D) ⊆ Y → Z. Dac˘ a f este continu˘ a ˆın x0 ∈ D ¸si g este continu˘ a ˆın f (x0 ) in f (D), atunci funct¸ia compus˘ a g ◦ f : D → Z este continu˘ a ˆın x0 . ¡ ¢ and ˆın vedere continuiDemonstrat¸ie. Dac˘a y0 = f (x0 ) ¸si W ∈ ϑ g(y0 ) , avˆ tatea lui g, exist˘a V ∈ ϑ(y0 ) astfel c˘a g(y) ∈ W ∀ y ∈ f (D) ∩ V . Avˆand ˆın vedere continuitatea lui f , exist˘a U ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘a ¡y = f (x) ¢∈ V pentru orice x ∈ D ∩ U ¸si, ˆın¡final ¢rezult˘a c˘a, pentru orice W ∈ ϑ g(f (x0 )) , exist˘a U ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘a g f (x) ∈ W pentru orice x ∈ D ∩ U , adic˘a continuitatea funct¸ie compuse g ◦ f at x0 . Desigur, dac˘a f este continu˘ a pe D ¸si g este continu˘ a pe f (D), atunci funct¸ia compus˘a g ◦ f este continu˘ a pe D. Un rezultat similar are loc ¸si pentru continuitatea uniform˘a. Consider˘am cazurile particulare referitoare la existent¸a limitei unei funct¸ii pentru cazul f : D ⊆ R → R when x → ±∞ sau cˆand limita este ±∞. Avem Propozit ¸ ia 3.6. 1)

lim f (x) = ∞ dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice a > 0,

x→x0

exist˘ a δa > 0 astfel c˘ a f (x) > a pentru orice x ∈ D pentru care 0 < |x − x0 | < δa . 2) lim f (x) = −∞ dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice a < 0, exist˘ a δa > 0 x→x0

astfel c˘ a f (x) < a pentru orice x ∈ D pentru care 0 < |x − x0 | < δa . 3) lim f (x) = l dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice ε > 0, exist˘ a aε > 0 x→∞

astfel c˘ a |f (x) − l| > ε pentru orice x ∈ D pentru care x > aε . 4)

lim f (x) = l dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice ε > 0, exist˘ a aε < 0

x→−∞

astfel c˘ a |f (x) − l| < ε pentru orice x ∈ D pentru care x < aε .

49 5) lim f (x) = ∞ dac˘ a ¸si numai dac˘ a, pentru orice a > 0, exist˘ a δa > 0 x→∞

astfel c˘ a f (x) > a pentru orice x ∈ D pentru care x > δa . Similar, putem considera cases lim f (x) = −∞,

x→∞

lim f (x) = ∞ ¸si

x→−∞

lim f (x) = −∞.

x→−∞

Consider˘am cunoscute propriet˘a¸tile referitoare la operatit¸ii cu limite de funct¸ii chiar dac˘a limitele sunt ±∞ ¸si limitele fundamentale 1 sin x 1 = 1 , lim (1 + x) x = lim (1 + )x = e, x→∞ x→0 x x→0 x

lim

ln(1 + x) ex − 1 = 1, lim = 1, etc. x→0 x→0 x x ¸si, deasemenea, propriet˘a¸tile referitoare la continuitatea func´tiilor elementare ¸si la operat¸ii cu funct¸ii continue. Totu¸si, reamintim unel propriet˘a¸ti ce fac referire la structura de ordine a lui R. Astfel avem : lim

Propozit ¸ ia 3.7. Fie lim f (x) = l. Dac˘ a l este un num˘ ar strict positiv x→x0

(negativ), atunci exist˘ a o vecin˘ atate U ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘ a f (x) ≥ 0 (respectiv f (x) ≤ 0) pentru orice x ∈ D ∩ (U \ {x0 }). Definit ¸ ia 3.4. Fie (a, b) un interval deschis a lui R, f : (a, b) → R ¸si c ∈ (a, b]. Not˘ am f (c + 0) sau simplu f (c+) limit x→c lim f (x) sau ˆınc˘ a lim f (x) x&c

x>c

cˆ and limita exist˘ a ¸si spunem c˘ a f (c+) reprezint˘ a limita la dreapta a lui f at c. Analog, putem considera limita la stˆanga a lui f at c pentru orice c ∈ [a, b), ca fiind f (c − 0) sau f (c−) reprezintˆ and x→c lim f (x) sau lim f (x) dac˘ a limita x
x%c

exist˘ a. Dac˘a f (x0 +) ¸si f (x0 −) both exist˘a ˆın punctul interior x0 al intervalului (a, b), atunci diferent¸a f (x0 +) − f (x0 −) este numit˘ a saltul lui f at x0 . f (x0 +) − f (x0 ) este numit saltul la dreapta a lui f ˆın x0 ˆın timp ce f (x0 ) − f (x0 −) reprezint˘a saltul la stˆanga a lui f ˆın x0 Deasemenea, lim f (x) = l dac˘ a ¸si numai dac˘a f (x0 +) = f (x0 −) = l ¸si, ˆın x→x0

acest context, f este continu˘a ˆın x0 dac˘a ¸si numai dac˘a f (x0 +) = f (x0 −) = f (x0 ). ˆIn caz contrar spunem c˘a f este discontinu˘ a ˆın x0 sau c˘a x0 este a punct de discontinuitate pentru f . Referitoare la punctele de discontinuitate pentru o funct¸ie dat˘a f putem introduce urm˘atoarea clasificare :

50 Definit ¸ ia 3.5. 1) Avem un punct de discontinuitate f˘ar˘a salt pentru f dac˘ a f (x0 +) = f (x0 −) 6= f (x0 ). 2) Avem un punct de discontinuitate cu salt dac˘ a una din diferent¸ele lui f at x0 este diferit˘ a de zero. Dac˘ a x0 ∈ (a, b) ¸si f (x0 ) − f (x0 −) = 0 dar f (x0 +) − f (x0 ) 6= 0, spunem c˘ a f este continu˘a la stˆanga ˆın x0 . Similar, spunem c˘ a f este continu˘a de la dreapta ˆın x0 dac˘ a f (x0 +) − f (x0 ) = 0 dar f (x0 ) − f (x0 −) 6= 0. 3) Avem un punct de discontinuitate esential dac˘ a una din expresiile f (x0 +) sau f (x0 −) are valoarea infinit˘ a sau nu exist˘ a. Definit ¸ ia 3.6. Fie f : D ⊆ R → R. Dac˘ a, pentru orice dou˘ a puncte x, y ∈ D , x < y implic˘ a f (x) ≤ f (y) sau, echivalent, x > y implic˘ a f (x) ≥ f (y), spunem c˘ a f este cresc˘atoare pe D. Dac˘ a x < y implic˘ a f (x) < f (y) sau echivalent, x > y implic˘ a f (x) > f (y), spunem c˘ a f este strict cresc˘atoare pe D. Similar, spunem c˘ a o funct¸ie f este descresc˘atoare pe D dac˘ a pentru orice x, y ∈ D , x < y avem f (x) ≥ f (y) sau echivalent, x > y implic˘ a f (x) ≤ f (y). Dac˘ a x < y implic˘ a f (x) > f (y) sau echivalent, x > y implic˘ a f (x) < f (y), spunem c˘ a f este a strict descresc˘atoare pe D. O funct¸ie f se nume¸ste monoton˘a (strict monoton˘a) pe D dac˘ a f este o funct¸ie cresc˘ atoare (strict cresc˘ atoare) sau descresc˘ atoare (strict descresc˘ atoare). atoare (strict cresc˘ atoare) Remarca 3.3. Putem caracteriza o funct¸ie cresc˘ prin inegalitatea ¡ ¢ f (x) − f (y) (x − y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ D, respectiv

¡ ¢ f (x) − f (y) (x − y) > 0 ∀ x, y ∈ D, x 6= y.

Similar, f este o funct¸ie descresc˘ atoare (strict descresc˘ atoare) dac˘ a ¸si numai dac˘ a ¡ ¢ f (x) − f (y) (x − y) ≤ 0 ∀ x, y ∈ D, respectiv

¡ ¢ f (x) − f (y) (x − y) < 0 ∀ x, y ∈ D, x 6= y.

Teorema 3.9. Fie f : D ⊆ R → R o funct¸ie monoton˘ a pe D ¸si x0 ∈ D un punct de acumulare pentru D. Atunci exist˘ a f (x0 −) ¸si f (x0 +) ¸si avem : f (x0 −) ≤ f (x0 ) ≤ f (x0 +) dac˘ a f este cresc˘ atoare,

51 respectiv f (x0 −) ≥ f (x0 ) ≥ f (x0 +) dac˘ a f este descresc˘ atoare . Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a f este o funct¸ie cresc˘atoare ¸si fie A = {f (x) ; x ∈ D, x < x0 }. Avˆand ˆın vedere faptul c˘a f este cresc˘atoare, avem f (x) ≤ f (x0 ) ∀ x ∈ D, x < x0 , deci mult¸imea A este m˘arginit˘ a superior ¸si f (x0 ) este o margine superioar˘a pentru A. Dac˘a f (x0 −) = sup A avem f (x0 −) ≤ f (x0 ). Pe de alt˘a parte, folosind propriet˘a¸tile celei mai mici margini superioare a unei funct¸ii, Theorem 2.10, avem f (x) ≤ f (x0 −) ∀ x ∈ D, x < x0 ¸si, pentru orice ε > 0, exist˘a x1 ∈ D, x1 < x0 , astfel c˘a f (x1 ) > f (x0 −) − ε. Dac˘a δε = x0 − x1 > 0, atunci, pentru orice x ∈ D, x < x0 , pentru care 0 < x0 − x = |x − x0 | < δε , avem x1 < x < x0 ¸si mai mult f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x0 −). ˆIn final, rezult˘a c˘a, pentru orice x ∈ D, x < x0 , pentru care 0 < |x − x0 | < δε , avem f (x0 ) − ε < f (x) < f (x0 −) + ε sau, echivalent, |f (x) − f (x0 )| < ε ¸si de aici faptul c˘a f (x0 −) = lim f (x). x%x0

ˆIntr-un mod similar putem demonstra c˘a, dac˘a B = {f (x) ; x ∈ D, x > x0 }, atunci B este m˘arginit˘a inferior, f (x0 ) fiind o margine inferioar˘a pentru B, ¸si, dac˘a f (x0 +) = inf B, atunci f (x0 +) = lim f (x). x&x0

Deasemenea avem f (x0 −) ≤ f (x0 ) ≤ f (x0 +). Pentru a obt¸ine inegalit˘a¸tile f (x0 −) ≥ f (x0 ) ≥ f (x0 +) ˆın cazul unei funct¸ii descresc˘atoare, este suficient s˘a repet˘am demonstrat¸ia pentru funct¸ia −f care va fi o funct¸ie cresc˘atoare funct¸ie ¸si s˘a utiliz˘am faptul c˘a, pentru orice mult¸ime m˘arginit˘a A de numere reale, avem sup A = − inf(−A), respectiv inf A = − sup(−A).

52 Consecint ¸ a 3.2. O funct¸ie monoton˘ a pe un interval (a, b) poate avea cel mult un punct de discontinuitate cu salt ˆın interval. Teorema 3.10. (Weierstrass) Fie f : D ⊆ R → R be a continu˘ a funct¸ie pe D. Dac˘ a D este o mult¸ime compact˘ a, atunci f (D) = {f (x) ; x ∈ D} este o mult¸ime m˘ arginit˘ a ¸si exist˘ a x1 , x2 ∈ D astfel c˘ a f (x1 ) = inf f (D), respectiv f (x2 ) = sup f (D). Demonstrat¸ie. de dat demonstrat¸ia Teorema 3.11. Fie f : [a, b] → R o funct¸ie continu˘ a astfel c˘ a f (a)f (b) < 0. Atunci exist˘ a cel put¸in un punct c ∈ (a, b) astfel c˘ a f (c) = 0. Demonstrat¸ie. Fie presupunem c˘a f (a) < 0, respectiv f (b) > 0, ¸si not˘am prin A mult¸imea {x ∈ [a, b] ; f (x) < 0}. A este nevid˘a ¸si este o mult¸ime m˘arginit˘ a superior. Dac˘a c = sup A, atunci exist˘a un ¸sir (xn )n∈N de puncte a lui A convergent la c ¸si, avˆ and ˆın vedere continuitatea lui f , rezult˘a c˘a (f (xn ))n∈N converge to f (c), deci f (c) ≤ 0. Dac˘a presupunem f (c) < 0, atunci exist˘a un interval (a1 , a2 ) ⊂ (a, b) cont¸inˆand c ¸si astfel c˘a f (x) < 0 pentru orice x ∈ (a1 , a2 ). Evident (a1 , a2 ) ⊂ A contradict¸ie cu faptul c˘a c = sup A deci f (c) = 0. Ca o consecint¸˘a avem proprietatea lui Darboux a unei funct¸ii continue pe un interval [a, b], namely : Teorema 3.12. (Proprietatea lui Darboux) Dac˘ a f : [a, b] ⊂ R → R este o funct¸ie continu˘ a, atunci, pentru orice x1 , x2 ∈ [a, b], x1 < x2 , ¸si orice y dintre f (x1 ), f (x2 ), exist˘ a cel put¸in un punct x ∈ [x1 , x2 ] astfel c˘ a f (x) = y. Demonstrat¸ie. ˆIntradev˘ar, dac˘a presupunem de examplu c˘a f (x1 ) < y < f (x2 ), atunci funct¸ia g : [x1 , x2 ] → R; g(x) = f (x) − y este deasemenea o funct¸ie continu˘ a ¸si g(x1 ) < 0 ˆın timp ce g(x2 ) > 0 de aici, existent¸a unui punct x ∈ [x1 , x2 ] astfel c˘a g(x) = f (x) − y = 0 ¸si mai mult f (x) = y.

Capitolul 4

Calcul diferential 4.1

Definit¸ii

ˆIn cadrul acestui capitol, ˆın absent¸a unor preciz˘ari, vom nota prin D un interval deschis din R. Definit ¸ ia 4.1. Fie f : D → R ¸si x0 ∈ D, an punct de acumulare pentru D. Spunem c˘ a f are derivat˘a ˆın x0 dac˘ a limita lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

exist˘ a ¸si not˘ am limita prin f 0 (x0 ) sau

df (x0 ). dx

ˆ In continuare, dac˘ a f 0 (x0 ) este finit˘ a spunem c˘ a f este derivabil˘a ˆın x0 . Dac˘ a f este derivabil˘ a ˆın fiecare punct a lui D, spunem c˘ a f este derivabil˘a pe D. Dac˘a D1 este mult¸imea de puncte din D ˆın care f este derivabil˘ a, atunci putem considera o nou˘a funct¸ie f 0 : D1 → R ; D1 3 x 7→ f 0 (x) ∈ R. Funct¸ia f 0 este numit˘a prima derivat˘a a lui f . Similar, derivata de ordinul n a lui f este definit˘a ca fiind prima derivat˘ aa derivatei de ordinul n − 1 ¸si o not˘am it prin f (n) . Not˘am deasemenea prima derivat˘ a f 0 prin dy df sau , unde y = f (x). dx dx 53

54 Remarca 4.1. Reamintim c˘ a, din punct de vedere geometric, derivata lui f ¡ ¢ ˆın x0 , dac˘ a exist˘ a, ne d˘ a panta tangentei ˆın punctul x0 , f (x0 ) ¸si ecuat¸ion tangentei ˆın acest caz este y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ). dn f sau Pentru nth derivative f (n) putem utiliza deasemenea notat¸ia d xn n d y . d xn Definit ¸ ia 4.2. We define derivatele laterale ale lui f ˆın x0 prin f+0 (x0 ) = lim

x&x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

ca fiind derivata la dreapta, respectiv f−0 (x0 ) = lim

x%x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

ca fiind derivata la stˆanga dac˘ a limitele exist˘ a. Dac˘ a D este un interval ˆınchis, atunci pentru extremit˘ a¸tile sale, putem vorbi doar de derivatele laterale D. Funct¸ia f are derivat˘a ˆın x0 dac˘ a ¸si numai dac˘a f+0 (x0 ) ¸si f−0 (x0 ) exist˘a ¸si sunt egale, valoarea lor comun˘ a reprezentˆ and valoarea derivatei lui f ˆın x0 . a f : D → R este o derivabil˘ a funct¸ie ˆın x0 ∈ D, atunci Teorema 4.1. Dac˘ este f este continu˘ a ˆın x0 . Demonstrat¸ie. Pentru x0 ∈ D ¸si x ∈ D arbitrar cu x 6= x0 , avem f (x) = f (x0 ) +

f (x) − f (x0 ) (x − x0 ) x − x0

unde lim (x − x0 ) = 0; lim

x→x0

x→x0

f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ), |f 0 (x0 )| < ∞. (x − x0 )

astfel g˘asim lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) (x − x0 ) = lim lim (x − x0 ) = f 0 (x0 ) · 0 = 0 x→x0 (x − x0 ) (x − x0 ) x→x0

¸si de aici lim x → x0 f (x) = f (x0 ).

55 Remarca 4.2. Subliniem c˘ a continuitatea unei funct¸ii f ˆıntr-un punct nu este o condit¸ie suficient˘ a pentru derivabilitatea lui f ˆın acel punct, a¸sa cum rezult˘ a din urm˘ atorul contraexamplu. Exercit ¸ iul 4.1. Consider˘am funct¸ia f : R 7→ R ; f (x) = |x| ¸si x0 = 0. Funct¸ia f este continu˘a ˆın x0 dar f+0 (0) = lim

x&0

|x| − |0| x = lim = 1 x&0 x−0 x

ˆın timp ce −x |x| − |0| = lim = −1. x%0 x − 0 x%0 x

f−0 (0) = lim

Reamintim cˆateva propriet˘a¸ti ale funct¸iilor derivabile. 1. Avem (α f + β g)0 = α f 0 + β g 0 ; (f g)0 = f 0 g + f g 0 ;

³ f ´0 g

=

f 0 g − f g0 , g2

unde α, β ∈ R, f, g sunt derivabile ¸si pentru ultima egalitate g 6= 0. 2. Fie f : D → R, g : f (D) → R ¸si x0 ∈ D astfel c˘a y0 = f (x0 ) este un punct interior pentru f (D). Dac˘a exist˘a f 0 (x0 ) ¸si g 0 (y0 ), atunci funct¸ia compus˘a g ◦ f : D → R are derivat˘a ˆın x0 ¸si ¡ ¢ (g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 f (x0 ) f 0 (x0 ). 3. Fie I ⊂ R un interval deschis ¸si f : D → I o funct¸ie derivabil˘ a ˆın 0 punctul x0 ∈ D cu f (x0 ) 6= 0. Atunci presupunˆand c˘a f este inversabil˘ a ¸si y0 = f (x0 ) rezult˘a c˘a f −1 este derivabil˘ a at y0 ¸si ¡ −1 ¢0 f (y0 ) =

1 , y0 = f (x0 ). f 0 (x0 )

Teorema 4.2. Dac˘ a f este derivabil˘ a ˆın punctul x0 ∈ D, atunci exist˘ a o vecin˘ atate U ∈ ϑ(x0 ) ¸si o constant˘ a M > 0 astfel c˘ a (4.1)

|f (x) − f (x0 )| ≤ M |x − x0 | ∀ x ∈ U

Demonstrat¸ie. ˆIntradev˘ar, dac˘a ε > 0 este fixat ¸si U ∈ ϑ(x0 ) este astfel c˘a ¯ f (x) − f (x ) ¯ ¯ ¯ 0 − f 0 (x0 )¯ < ε0 ∀ x ∈ D ∩ (U \ {x0 }), ¯ x − x0

56 avem

|f (x) − f (x0 )| ≤ |f 0 (x0 )| + ε0 |x − x0 |

¸si mai mult |f (x) − f (x0 )| ≤ M |x − x0 | cu M = |f 0 (x0 )| + ε0 pentru orice x ∈ D ∩ (U \ {x0 } dar deasemenea, pentru x = x0 . pentru o funct¸ie care verific˘ a o inegalitate de forma (4.1) ˆıntr-o o vecin˘ atate a lui x0 spunem c˘a verific˘a condit¸ia lui Lipshitz ˆın x0 . Remarca 4.3. O funct¸ie care satisface condit¸ia lui Lipshitz ˆın x0 este continu˘ a ˆın x0 dar implicat¸ia invers˘ a este, ˆın general, fals˘ a. Ca un exeplu putem lua p f : R → R ; f (x) = |x| care este continu˘ a ˆın x0 = 0 dar pentru care o inegalitate de forma (4.1) nu poate avea loc ˆın orice vecin˘ atate a lui 0. Pe de alt˘ a parte, este posibil c˘ a o funct¸ie s˘ a satisfac˘ a condit¸ia lui Lipshitz ˆıntr-un punct x0 f˘ ara a fi derivabil˘ a ˆın acel punct. ˆ In acest sens putem reconsidera funct¸ia f : R → R ; f (x) = |x| din examplul 4.1 a f are un extrem local ˆın Definit ¸ ia 4.3. Fie f : D → R ¸si x0 ∈ D. Spunem c˘ x0 dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate U ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘ a diferent¸a f (x) − f (x0 ) are un semn constant pe U ∩ D. Puntul x0 este numit punct de extrem local pentru f . Dac˘ a f (x) − f (x0 ) ≤ 0 ∀ x ∈ U ∩ D, atunci f are un maxim local ˆın x0 ¸si spunem c˘ a x0 este a punct de maxim local, respectiv dac˘ a f (x) − f (x0 ) ≥ 0 ∀ x ∈ U ∩ D, atunci f are un minim local ˆın x0 ¸si x0 este un punct de minim local a lui f . Teorema 4.3. (teorema lui Fermat) Fie f : D → R o funct¸ie ¸si x0 un punct interior a lui D. Dac˘ a x0 este un punct de extrem local pentru funct¸ia f ¸si f are derivat˘ a ˆın x0 , atunci f 0 (x0 ) = 0. Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a exists U ∈ ϑ(x0 ) astfel c˘a f (x) − f (x0 ) < 0 pentru orice x ∈ U (f are a local maximum at x0 ). Avem f 0 (x0 − 0) = lim

x%x0

f (x) − f (x0 ≥0 x − x0

57 ¸si f 0 (x0 + 0) = lim

x&x0

f (x) − f (x0 ≤0 x − x0

astfel c˘a f 0 (x0 ) = 0. In condit¸iile teoremei nu putem avea f 0 (x0 ) = ∞ sau f 0 (x0 ) = −∞. Teorema 4.4. (teorema lui Rolle) Fie f : [a, b] → R. Dac˘ a f este o funct¸ie continu˘ a pe [a, b], ¸si este derivabil˘ a pe interval (a, b) ¸si f (a) = f (b), atunci exist˘ a un punct x0 ∈ (a, b) astfel c˘ a f 0 (x0 ) = 0. Demonstrat¸ie. Dac˘a f (x) = m pentru orice x ∈ [a, b] atunci f 0 (x) = 0 pe [a, b]. Presupunem c˘a f nu este o funct¸ie constant˘ a. Deci exist˘a xm , xM ∈ [a, b] astfel c˘a f (xm ) ≤ f (x) ≤ f (xM ) ∀ x ∈ [a, b]. Nu putem avea xm = a, ¸si xM = b sau xm = b, ¸si xM = a deoarece f nu este o funct¸ie constant˘a. S˘a lu˘am arbitrar a < xm < xM ≤ b. Din teorema lui Fermat rezult˘a f 0 (xm ) = 0. Consecint ¸ a 4.1. Dac˘ a x1 , x2 ∈ [a, b] sunt dou˘ a r˘ ad˘ acini consecutive ale funct¸iei continue f ¸si f este derivabil˘ a pe (a, b), atunci f 0 are cel put¸in o r˘ ad˘ acin˘ a ˆın intervalul (x1 , x2 ). Reciproc, dac˘ a x1 , x2 ∈ (a, b) sunt dou˘ a r˘ ad˘ acini consecutive pentru derivata 0 f , atunci f are cel mult o r˘ ad˘ acin˘ a ˆın (x1 , x2 ). Teorema 4.5. (teorema lui Cauchy) Consider˘ am f, g : [a, b] → R dou˘ a funct¸ii continue. Dac˘ a f, g sunt derivabile pe (a, b) ¸si g 0 (x) 6= 0 pentru orice x ∈ (a, b), atunci exist˘ a cel put¸in un punct c ∈ (a, b) astfel c˘ a f 0 (c) f (b) − f (a) = 0 . g(b) − g(a) g (c) Demonstrat¸ie. Din g 0 (x) 6= 0 pe [a, b] rezult˘a g(a) 6= g(b). Fie F (x) = (f (a) − f (b))g(x) + (g(b) − g(a))f (x). Funct¸ia F (x) este continu˘a pe [a, b], derivabil˘ a pe (a, b) ¸si F (a) = F (b). astfel, c˘a exist˘a c ∈ (a, b) cu F 0 (c) = 0. dar F 0 (c) = (f (a) − f (b))g 0 (c) + (g(b) − g(a))f 0 (c) = 0 sau

f (b) − f (a) f 0 (c) = 0 . g(b) − g(a) g (c)

58 Teorema 4.6. (teorema lui Lagrange) Dac˘ a f : [a, b] → R este a funct¸ie continu˘ a pe [a, b] ¸si este derivabil˘ a pe (a, b), atunci exist˘ a x0 ∈ (a, b) astfel c˘ a f (b) − f (a) = f 0 (x0 )(b − a). Demonstrat¸ie. Lu˘am ˆın teorema lui Cauchy g(x) = x. Consecint ¸ a 4.2. 1) Dac˘ a f : [a, b] → R este derivabil˘ a pe (a, b) ¸si f este o funct¸ie monoton˘ a, atunci f 0 are un semn constant ˆın orice (a, b), respectiv – dac˘ a f este o funct¸ie cresc˘ atoare, atunci f 0 > 0, iar – dac˘ a f este o funct¸ie descresc˘ atoare, atunci f 0 < 0. Reciproc, dac˘ a f 0 (x) > 0 pentru orice x ∈ (a, b), atunci f este cresc˘ atoare, 0 respectiv, dac˘ a f (x) < 0 pentru orice x ∈ (a, b), atunci f este descresc˘ atoare. 2) Dac˘ a f, g : [a, b] → R satisfy f 0 = g 0 pe (a, b), atunci diferent¸a f − g este constant pe [a, b]. Demonstrat¸ie. 1) Dac˘a f este cresc˘atoare pe [a, b], atunci, pentru x0 ∈ (a, b), avem ¡ ¢ f (x) − f (x0 ) (x − x0 ) > 0, ∀ x ∈ U ∩ [a, b], unde U ∈ ϑ(x). Astfel f 0 (x0 ) = lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) > 0. x − x0

Reciproc, dac˘a f 0 (x) > 0 pentru orice x ∈ (a, b), atunci, pentru x1 , x2 ∈ (a, b), x1 < x2 , g˘asim x0 ∈ (x1 , x2 ) cu f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (x0 )(x2 − x1 ) > 0 ¸si de aici f (x2 ) > f (x1 ). A¸sadar f este o funct¸ie cresc˘atoare. ˆIntr-un mod similar se poate demonstra teorema pentru o funct¸ie descresc˘atoare. 2) Aplic˘am teorema lui Lagrange funct¸iei h(x) = f (x) − g(x) pe [a, x], x ∈ [a, b]. Teorema 4.7. (Teorema lui Darboux) Fie f : [a, b] → R o funct¸ie avˆ and derivat˘ a (finit˘ a sau infinit˘ a) pe (a, b). Atunci, pentru orice [α, β] ⊂ [a, b] cu f 0 (α) 6= f 0 (β) ¸si orice y dintre f 0 (α) ¸si f 0 (β) exist˘ a cy ∈ [α, β] astfel c˘ a y = f 0 (cy ).

59 Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a f 0 este finit˘a pe [α, β] ¸si consider˘am funct¸iile u, v, g : [α, β] → R definite prin   h α + βi hα + β i   α  2t − α pentru t ∈ pentru t ∈ α, ,β u(t) = h α + β2 i , v(t) = h 2α + β i    2t − β pentru t ∈ β ,β pentru t ∈ α, 2 2   f 0 (α)     f (v(t)) − f (u(t)) g(t) =  v(t) − u(t)     f 0 (β)

y

6

pentru t = α β

pentru t ∈ (α , β)

v(t) pentru t = β

u(t) α

Funct¸iile u, v, g sunt continue pe [α, β],

-

O

α

α+β 2

β

x

α ≤ u(t) ≤ v(t) ≤ β ∀ t ∈ [α, β] ¸si f 0 (α), f 0 (β) ∈ [g(α), g(β)]. Cum g este o funct¸ie continu˘ a, ˆıi aplic˘am proprietatea lui Darboux, Theorem 3.12, pentru orice y dintre f 0 (α) ¸si f 0 (β), exist˘a ty ∈ (α , β) astfel c˘a y = g(ty ) =

¡ ¢ f (v(ty )) − f (u(ty )) = f 0 (cy ) cu cy ∈ u(ty ), v(ty ) v(ty ) − u(ty )

ultima egalitate fiind o consecint¸˘ a a teoremei lui Lagrange pe intervalul [u(ty ), v(ty )]. Dac˘a, de exemplu, presupunem acum c˘a f−0 (β) = ∞ ¸si presupunem prin reducere la absurd c˘a exist˘a A ¸si U ∈ ϑ(β) astfel c˘a f 0 (x) < A pentru orice x ∈ U , x < β, atunci, pentru orice interval [x, β] ar trebui s˘a avem f (β) − f (x) = f 0 (cx ) < A β−x de aici deasemenea f−0 (β) = lim

x%β

f (β) − f (x) ≤A β−x

f−0 (β) = ≥ f 0 (α),

∞. fapt ce contrazice ipoteza c˘a Mai mult, pentru orice y exist˘a αy ∈ (α , β) astfel c˘a f 0 (αy ) > y ¸si putem aplica prima parte a demonstrat¸iei pentru intervalul [α, αy ].

60 0 Teorema 4.8. (Regula lui L´ospital ˆın cazul ) Fie f, g : I → R ¸si x0 ∈ I 0 0 Presupunem c˘ a urm˘ atoarele patru afirmat¸ii au loc : 1. f, g sunt derivabile pe I sau pe I \ {x0 }, 2. lim f (x) = lim g(x) = 0, 3.

x→x0 g, g 0

x→x0

nu se anuleaz˘ a pe o vecin˘ atate a lui x0 , except¸ie eventual ˆın x0 , f 0 (x) 4. Exist˘ a lim 0 , finit˘ a sau nu, x→x0 g (x) atunci f (x) f 0 (x) lim = lim 0 . x→x0 g(x) x→x0 g (x) ai c˘a x0 este num˘ ar finit. Fie J = I ∪ {x0 } Demonstrat¸ie. Presupunem mai ˆıntˆ ¸si f , g : [a, b] → R funct¸ia definit˘a prin ½ f=

f (x), x 6= x0 , respectiv g = 0, x = x0

½

g(x), x 6= x0 . 0, x = x0

Atunci f ¸si g sunt continue pe J. Fie (xn )n un ¸sir cu xn < x0 (sau xn > x0 ). Funct¸iile f ¸si g sunt derivabile pe [xn , x0 ] (sau [x0 , xn ]). Din teorema lui Cauchy exist˘a ξn ∈ [xn , x0 (sau ξn ∈ [x0 , xn ) astfel c˘a f (xn ) − f (x0 ) f 0 (ξn ) = 0 g(xn ) − g(x0 ) g (ξn ) dar f (xn ) = f (xn ), f (x0 ) = 0, f 0 (ξn ) = f 0 (ξn ) ¸si g(xn ) = g(xn ), g(x0 ) = 0, g 0 (ξn ) = g 0 (ξn ) .Atunci avem

f 0 (ξn ) f (xn ) = 0 . g(xn ) g (ξn )

Dac˘a xn → x0 atunci ξn → x0 ¸si din lim

f 0 (x) =l g 0 (x)

lim

f (x) =l g(x)

x→x0

rezult˘a deasemenea x→x0

61 Dac˘a x0 = ∞ putem considera c˘a f, g : (a, ∞) 7→ R, a > 0. Fie 1 1 h : (0, ) 7→ (a, ∞), h(y) = a y o funct¸ie bijectiv˘a ¸si F = f ◦ h ¸si G = g ◦ h. Fie xn , xn → ∞. Atunci yn = x1n → 0 ¸si putem demonstra afirmat¸iile: 1. F (yn ) → 0, G(yn ) → 0; 2. F, G sunt continue ¸si derivabile pe (0, a1 ) ¸si F 0 (yn ) = −

1 0 1 f (xn ), yn = , 2 yn xn

G0 (yn ) = −

1 0 1 ; g (xn ), yn = yn2 xn

3. G0 (yn ) 6= 0 4.

f 0 (xn ) g 0 (xn )

→ l pentru xn → ∞ ⇒

F (yn ) G(yn )

→ l pentru yn → 0 ⇒

F 0 (yn ) G0 (yn )

→ l pentru yn → 0;

5. 4.

f (xn ) g ( xn )

→ l pentru xn → ∞;

ˆIn mod analog putem demonstra urm˘atoarea variant˘ a a teoremei prece∞ dente pentru cazul . ∞ Teorema 4.9. Fie f : [a, b] → R ¸si x0 ∈ [a, b]. Presupunem c˘ a urm˘ atoarele patru afirmat¸ii sunt adev˘ arate: 1) f, g sunt derivabile pe [a, b] \ {x0 } ; 2) g este strict cresc˘ atoare pe [a, x0 ] ¸si [x0 , b] ¸si lim g(x) = ∞ ; 3) g 0 (x) 6= 0 pentru orice x 6= x0 ; f 0 (x) = L ∈ R. 4) exist˘ a lim 0 x→x0 g (x) f (x) = L. Atunci exist˘ a lim x→x0 g(x)

x→x0

62 Presupunem cunoscut˘a leg˘atura dintre convexitatea sau concavitatea unei funct¸ii f ¸si semnul celei de a doua derivat˘ a f 00 , dac˘a f 00 exist˘a. ˆIn general o funct¸ie f : I ⊂ R → R este convex˘a pe intervalul I dac˘ a, pentru orice x1 , x2 din I ¸si orice t ∈ [0, 1], avem ¡ ¢ ¡ ¢ f x1 + t(x2 − x1 ) ≤ f (x1 ) + t f (x2 ) − f (x1 ) . Altfel spus, pentru orice x1 , x2 ∈ I, graficul lui f pentru x dintre x1 ¸si x2 este situat dedesuptul coardei ce une¸ste punctele (x1 , f (x1 )) ¸si (x2 , f (x2 )). Similar, spunem c˘a f este concav˘a pe intervalul I dac˘ a, pentru orice x1 , x2 de la I ¸si orice t ∈ [0, 1], avem ¡ ¢ ¡ ¢ f x1 + t(x2 − x1 ) ≥ f (x1 ) + t f (x2 ) − f (x1 ) . Geometric, pentru orice x1 , x2 ∈ I, graficul lui f pentru x dintre x1 ¸si x2 este situat deasupra coardei ce une¸ste punctele (x1 , f (x1 )) ¸si (x2 , f (x2 )). Dac˘a exist˘a f 00 ˆın intervalul I, atunci faptul c˘a f este convex˘ a pe I este echivalent˘a cu faptul c˘a f 00 (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ I respectiv, f este concav˘ a 00 pe I dac˘a ¸si numai dac˘a f (x) ≤ 0 pentru orice x ∈ I. Un punct pe graficul unei funct¸ii f : I ⊆ R → R unde f este continu˘ a ¸si schimb˘a de concavitate este numit punct de inflexiune a graficului. Dac˘a exist˘a f 00 , atunci abscisele punctelor de inflexiune se g˘asesc printre zerourile lui f 00 . Subliniem faptul c˘a implicat¸ia invers˘ a nu este ˆıntotdeauna adev˘arat˘ a. Este posibil s˘a avem un punct de inflexiune ˆın care derivata a doua a funct¸iei s˘a nu existe. Definit ¸ ia 4.4. Fie f : D → R o funct¸ie dat˘ a ¸si x0 ∈ D. Spunem c˘ a f este diferent¸iabil˘a ˆın x0 dac˘ a exist˘ a o constant˘ a A ∈ R ¸si o funct¸ie ω : D → R continu˘ a ˆın x0 astfel c˘ a ω(x0 ) = 0 ¸si urm˘ atoarea equalitate are loc (4.2)

f (x) − f (x0 ) = A(x − x0 ) + ω(x)(x − x0 ) ∀ x ∈ D.

Expresia A(x − x0 ) reprezint˘ a diferent¸iala lui f at x0 ¸si o not˘ am prin df (x0 ; x − x0 ) Exercit ¸ iul 4.2. Ca exemplu, pentru funct¸ia f : R → R ; f (x) = x , putem scrie x − x0 = 1(x − x0 ) + 0(x − x0 ) ∀ x ∈ R, cu constanta A = 1 ¸si ca funct¸ie ω, ω(x) = 0 pentru orice x ∈ R. Mai mult, avem diferent¸iabilitatea lui f (x) = x ˆın fiecare punct x a lui R. ˆIn acela¸si timp, dx(x0 ; x − x0 ) = x − x0 ne permite s˘a scriem diferent¸iala funct¸iei f ca df (x0 ; x − x0 ) = df (x0 ; dx0 ).

63 Teorema 4.10. Fie f : D ⊆ R → R o funct¸ie dat˘ a ¸si x0 ∈ D. Atunci f este diferent¸iabil˘ a ˆın x0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a f derivabil˘ a ˆın x0 ¸si df (x0 ; dx0 ) = f 0 (x0 )dx0 . Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a f este diferent¸iabil˘ a ˆın x0 , ¸si c˘a avem egualitatea (4.2) cu w funct¸ie continu˘ a nul˘ a ˆın x0 . Pentru x 6= x0 avem f (x) − f (x0 ) = A + ω(x) x − x0 ¸si de aici lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) = A + lim ω(x) = A + ω(x0 ) = A, x→x0 x − x0

deci exist˘a f 0 (x0 ) = A ¸si, ˆınlocuind A ˆın expresia diferent¸ialei lui f , avem df (x0 ; dx0 ) = f 0 (x0 )dx0 . Reciproc, dac˘a f are derivat˘ a finit˘a f 0 (x0 ), putem considera funct¸ia    f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 ) pentru x 6= x0 x − x0 ω(x) =   0 pentru x = x0 ¸si deasemenea, lim ω(x) = 0 = ω(x0 ), deci ω este o funct¸ie continu˘ a. Un calx→x0

cul direct ne permite s˘a verific˘am egalitatea (4.2), deci rezult˘a diferent¸iabilitatea lui f ˆın x0 . Remarca 4.4. Dac˘ a f este diferentiabil˘ a pe D, putem considera diferent¸iala lui f ca o funct¸ie liniar˘ a ˆın raport cu a doua variabil˘ a, df : D ⊗ R → R ; df (x ; t) = f 0 (x)t ¸si putem aproxima variat¸ia lui f ˆın x ∈ D prin f (x + t) − f (x) ' f 0 (x)t. pentru valori suficient de mici ale lui t. Dac˘a D(D) reprezint˘a mult¸imea funct¸iilor diferent¸ianile pe D, putem considera aplicat¸ia D : D(D) → F(D ⊗ R ; R) ; D(f ) = df ¸si urm˘atoarul rezultat are loc : 1. D(α) = 0 pentru orice funct¸ie constant˘ a f (x) = α pentru orice x ∈ R,

64 ³f ´ D(αf + βg) = αD(f ) + βD(g); D(f g) = gD(f ) + f D(g); D = g gD(f ) − f D(g) ; g2

2.

3. Dac˘a f ∈ D(D), g ∈ D(D1 ) ¸si f (D) ⊆ D1 , atunci g ◦ f ∈ D(D) ¸si avem D(g ◦ f ) = (Dg ◦ f )Df. Definit ¸ ia 4.5. Spunem c˘ a f : D → R este de dou˘a ori diferent¸iabil˘a ˆın x0 ∈ D dac˘ a f este derivabil˘ a ˆıntr-o vecin˘ atate a lui x0 ¸si f 0 este diferent¸iabil˘ a ˆın x0 . ˆIn sensul acestei definit¸ii, not˘am prin d 2 f a doua diferent¸ial˘ a a lui f , ¡ ¢ 2 d f = D D(f ) ¸si avem (4.3)

d 2 f (x ; dx) = d(f 0 (x)dx) = (f 0 (x))0 dx = f 00 (x)dx 2 ,

cantitatea dx fiind considerat˘a constant˘ a cˆand lu˘am diferent¸iala ˆın raport cu x. ˆIn general, consider˘am nth -diferent¸iala unei funct¸ii f definit˘a prin d n f = d(d n−1 f ),

d n f (x : dx) = (f (n−1) (x)dxn−1 )0 dx = f (n) (x)dxn .

Reconsider˘am funct¸ia compus˘a a dou˘a funct¸ii diferent¸iabile f : D → R ¸si g : D1 → R cu f (D) ⊆ D1 . Atunci, dac˘a not˘am y = f (x), x ∈ D, avem dg(y ; dy) = g 0 (y)dy respectiv, d(g ◦ f )(x ; dx) = (g ◦ f )0 (x)dx = g 0 (f (x))f 0 (x)dx. Astfel, avem equalitatea d(g ◦ f )(x ; dx) = dg(y ; dy) care exprim˘a invariant¸a primei diferent¸iale, invariant¸˘ a care, ˆın general, nu are loc pentru diferent¸iale de ordin superior. Teorema 4.11. (Taylor 0 s formula) Fie f : [a, b] → R o funct¸ie dat˘ a avˆ and derivate finites f (l) pentru orice l ≤ n + 1 pe (a, b) ¸si fie 0 s. Presupunem c˘ a f (n) este continu˘ a pe [a, b]. Atunci, pentru orice x0 , x de la [a, b], x 6= x0 , exist˘ a ξ dintre x ¸si x0 astfel c˘ a f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + 1! 2! (4.4) f (n) (x0 ) f (n+1) (ξ) +··· + (x − x0 )n + (x − x0 )n+1 . n! (n + 1)!

65 Polinomul (4.5) Tn (x0 , x) = f (x0 ) +

f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 1! 2! n!

reprezint˘a polinomul lui Taylor de ordinul n ¸si (4.6)

Rn (x0 , x) = f (x) − Tn (x0 , x) =

f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 (n + 1)!

reprezint˘a restul dac˘a aproxim˘ am f (x) prin Tn (x0 , x). Demonstrat¸ie. Consider˘am x > x0 . Funct¸iile G(t) = (x − t)p , p > 0, ¸si F (t) = f (x) − f (t) −

f 0 (t) f 00 (t) f (n) (x − t) (x − t) − (x − t)2 + · · · − (x − t)n ; 1! 2! n!

pentru t ∈ [a, b], sunt continue pe [x0 , x] ¸si au derivate continu˘ a pe (x0 , x) cu G 0 (t) = −p(x − t)p−1 6= 0 ∀ t ∈ (x0 , x). Ipotezele din teorema lui Cauchy 4.5 fiind verificate, exist˘a ξ ∈ (x0 , x) astfel c˘a F 0 (ξ) F (x) − F (x0 ) = 0 . G(x) − G(x0 ) G (ξ)

(4.7)

Un calcul direct ne arat˘a c˘a F (x) = 0, G(x) = 0, F (x0 ) = Rn (x0 , x), Gn (x0 ) = (x − x0 )p ¸si F 0 (t) = −

f (n+1) (t) (x − t)n n!

astfel c˘a (4.7) devine −Rn (x0 , x) −(x − ξ)n f (n+1) (ξ) = , −(x − x0 )p −p n!(x − ξ)p−1 respectiv (4.8)

Rn (x0 , x) =

(x − x0 )p (x − ξ)n f (n+1) (ξ) p n!(x − ξ)p−1

reprezentˆand forma Schl¨omlich – Rouch´e pentru rest.

66 Dac˘a lu˘am p = n + 1, obt¸inem forma Lagrange Rn (x0 , x) =

f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 (n + 1)!

dat˘a ˆın ecuat¸ia (4.4). Dac˘a not˘am x − x0 = dx(x0 : x − x0 ) formula lui Taylor poate fi scris˘a sub forma (4.9) df (x0 ; dx) d 2 f (x0 ; dx) d n f (x0 ; dx) f (x) = f (x0 ) + + + ··· + + Rn (x0 , x). 1! 2! n! Dac˘a consider˘am un interval [a, b] care cont¸ine x0 = 0, atunci formula lui Taylor 0 s devine (4.10)

f (x) = f (0) +

f 00 (0) 2 f (n) (0) n f 0 (0) x+ x + ··· + x + Rn (x) 1! 2! n!

care este deasemenea cunoscut˘a ca formula lui MacLaurin. Consecint ¸ a 4.3. Ca consecint¸e ale formulei lui Taylor avem : 1. Dac˘ a ultima derivat˘ a f (n+1) este o funct¸ie m˘ arginit˘ a ˆıntr-o vecin˘ atate V ∈ ϑ(x0 ), atunci |Rn (x0 , x)| poate fi f˘ acut oricˆ at de mic dac˘ a dac˘ a |x − x0 | este sufficient de mic. Aceasta ne permite s˘ a aproxim˘ am valoarea lui f (x) dac˘ a cunoa¸stem valori a lui f ¸si ale derivatelor sale ˆın x0 . 2. Dac˘ a f are derivate de orice ordin pe [a, b] ¸si exist˘ a M > 0 astfel c˘ a |f (n) (x)| ≤ M ∀ x ∈ [a, b] ¸si ∀ n ∈ N, atunci lim Rn (x0 , x) = 0 pentru orice x ∈ [a, b], adic˘ a, putem aproxima f n→∞ printr-un polinom ˆın x − x0 cˆ at de bine dorim dac˘ a gradul polinomului este suficient de mare. 3. Dac˘ a f (n+1) este o funct¸ie m˘ arginit˘ a pe o vecin˘ atate a lui x0 , atunci exist˘ a o vecin˘ atate U ∈ ϑ(x0 ) ˆın care semnul diferent¸ei f (x) − f (x0 ) este dat prin primul termen nenul din polinomul lui Taylor. ˆ Intradev˘ ar, dac˘ a f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (k−1) (x0 ) = 0 ¸si f (k) (xo ) 6= 0 avem f (x) − f (x0 ) = =

f (k+1) (x0 ) f (n+1) (ξ) f (k) (x0 ) (x − x0 )k + (x − x0 )k+1 + . . . + (x − x0 )n+1 = k! (k + 1)! (n + 1)!

67 (x − x0 )k = k!

à f (k) (x0 ) +

f (k+1) (x0 ) (x − x0 ) + · · · + k+1 f (n+1) (ξ) + (x − x0 )n+1−k (k + 1)(k + 2) . . . (n + 1)

! .

avˆ and ˆın vedere faptul c˘ a limita expresiei din parantez˘ a este f k (x0 ) cˆ and x tinde la x0 , exist˘ a o vecin˘ atate U ∈ ϑ(x0 ) in care paranteza are semnul lui f (k) (x0 ) ¸si mai mult, ˆın aceast˘ a vecin˘ atate, diferent¸a f (x) − f (x0 ) are semnul (k) f (x0 ) dat de termenul (x − x0 )k . k! 4. Folosind rezultatul precedeng result˘ a c˘ a putem stabili comportamentul unei funct¸ii date f ˆıntr-o vecin˘ atate a unui punct stationar x0 , respectiv dac˘ a f are sau nu are un extrem local ˆın x0 ¸si ce fel de extrem avem. ˆ Intradev˘ ar, luˆ and ˆın considerare faptul c˘ a (x − x0 )k , cu k num˘ ar impar, nu poate avea semn constant ˆın orice vecin˘ atate a lui x0 respectiv c˘ a (x − x0 )k este mereu pozitiv dac˘ a k este un num˘ ar par, avem urm˘ atoarele posibilit˘ a¸ti : a) dac˘ a f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (k−1) (x0 ) = 0 ¸si f (k) (xo ) 6= 0 cu k num˘ ar impar, atunci f nu are un punct de extrem local ˆın x0 ; b) dac˘ a f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (k−1) (x0 ) = 0 ¸si f (k) (xo ) > 0 cu k num˘ ar par, atunci f are un minim local ˆın x0 ; c) iar dac˘ a f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (k−1) (x0 ) = 0 ¸si f (k) (xo ) < 0 cu k num˘ ar par, atunci f are un maxim local ˆın x0 .

Bibliografie [1] Apostol T.A. – Mathematical Analisys, Addison – Wesley publ. Comp. Massachusetts, 1957 ˘ – Elemente de analiz˘ [2] Boboc N., Colojoara a matematic˘ a. Manual pentru clasa a XII-a, Ed. Did. ¸si Ped., Bucure¸sti, 1982 ˘ I. – Analiz˘ [3] Colojoara a Matematic˘ a, Ed. Did. ¸si Ped., Bucure¸sti, 1983 ˘ ciunas¸ P., Munteanu E. – Curs de matematic˘ [4] Cra a, Rotaprint I.P.I., 1986 ˘ ciunas¸ S., Cra ˘ ciunas¸ P., Secelean N. – Elemente de topologie, [5] Cra Ed. Universit˘a¸tii din Sibiu, 1993 ˘ ciunas¸ S., Cra ˘ ciunas¸ P., Secelean N. – Analiz˘ a Funct¸ional˘ a, [6] Cra not¸iuni fundamentale, Ed. Universit˘ a¸tii “Lucian Blaga” din Sibiu, 2000 [7] Gheorghiu N., Precupanu T. – Analiz˘ a Matematic˘ a, Ed. Did. ¸si Ped., Bucure¸sti, 1979 [8] Griffith H.B., Hilton P.J. – A comprehensive textbook of classical mathematics, Springer – Verlag, New York, 1970 ˘ na ˘¸sila ˘ – Elemente de analiz˘ [9] Gussi Gh., Sta a matematic˘ a. Manual pentru clasa a XI-a, Ed. Did. ¸si Ped., Bucure¸sti, 1980 a Matematic˘ a, vol.I,II, Ed. Did. ¸si Ped., Bu[10] Nicolescu M. – Analiz˘ cure¸sti, 1971 [11] Secelean N. – Probleme de topologie, Ed. Universit˘ a¸tii “Lucian Blaga” din Sibiu, 1995 [12] Teodorescu N., Olariu V. – Ecuat¸iile fizicii matematice, Ed. Did. ¸si Ped., Bucure¸sti, 1970 68

Bibliography

69

[13] Toma I. – Mathematical analysis, Department of Engineering Sciences, Bucure¸sti, 1991 [14] Vladimirov V.S. – Ecuat¸iile fizicii matematice, Ed. S¸t. ¸si Enc., Bucure¸sti, 1980.