Analiza Functionala

Cuprins Capitolul 1. Notiuni fundamentale de topologie 1. Spatii topologice 2. Limita, continuitate 3. Compacitate 4. Exercitii Capitolul 2. Spatii vectorial topologice 1. Multimi echilibrate, absorbante, convexe 2. Spatii vectorial topologice. Teoreme de caracterizare 3. Multimi marginite ^n spatii vectorial topologice 4. Spatii vectorial topologice metrizabile 5. Exercitii Capitolul 3. Spatii local convexe 1. De nitii. Teorema de caracterizare a spatiilor local convexe 2. Seminorme. Topologii local convexe generate de seminorme 3. Compararea topologiilor local convexe 4. Teorema Hahn-Banach de prelungire a functionalelor liniare 5. Exercitii Capitolul 4. Spatii normate 1. De nitii. Proprietati 2. Topologizarea unui spatiu normat 3. Spatii normate nit dimensionale 4. Element de cea mai buna aproximare 5. Spatii normate separabile 6. Spatii normate complete (Spatii Banach) 7. Completarea unui spatiu normat 8. Familii sumabile ^ntr-un spatiu Banach 9. Exercitii Capitolul 5. Spatii Hilbert 1. Produs scalar 2. Ortogonalitatea pe spatii Hilbert. Proiectii 3. Familii ortogonale. Baze 4. Exercitii Capitolul 6. Operatori liniari pe spatii normate 1. De nitii. Proprietati 2. Siruri de operatori. Convergenta 1

3 3 7 13 15 17 17 20 25 25 29 33 33 34 41 43 47 51 51 52 55 57 58 58 61 62 64 67 67 73 76 80 85 85 91

2

CUPRINS

3. Principiul marginirii uniforme. Teorema Banach-Steinhauss 4. Inversarea operatorilor liniari 5. Ecuatii operatoriale 6. Functionale liniare. Existenta functionalelor liniare 7. Conjugatul unui spatiu normat 8. Convergenta slaba ^n spatii normate si ^n spatiul conjugat 9. Operatori complet continui pe un spatiu Banach 10. Conjugatul unui spatiu vectorial topologic 11. Exercitii Capitolul 7. Operatori liniari pe spatii Hilbert 1. Continuitatea unui operator liniar pe un spatiu Hilbert 2. Forma functionalelor liniare si continue (Teorema lui Riesz) 3. Adjunctul unui operator 4. Operatori autoadjuncti 5. Functionale hermitice 6. Operatori autoadjuncti pozitivi 7. Proiectori 8. Operatori normali, unitari si izometrici 9. Elemente de teorie spectrala. Valori proprii si vectori proprii 10. Spectrul unui operator autoadjunct 11. Exercitii 12. Bibliogra e

94 97 98 99 101 103 105 107 110 111 111 111 113 116 118 119 119 120 122 123 130 131

CAPITOLUL 1

Notiuni fundamentale de topologie ^In acest capitol vor prezentate c^ateva notiuni si rezultate cunoscute de topologie, cu un caracter pregatitor, necesare parcurgerii celorlalte parti ale lucrarii. De aceea vor omise demonstratiile si unele detalii constructive, expunerea acestora ind obiectul diferitelor tratate de topologie generala, unele dintre acestea gur^and ^n bibliogra a indicata. Vom presupune cunoscute notiunile, notatiile si rezultatele din teoria elementara a multimilor legate de algebra Boole a partilor unei multimi, relatii binare, functii. De asemenea consideram ca se cunosc notiunile fundamentale de analiza matematica cu privire la siruri numerice, la spatii metrice si la spatiul euclidian R n .

1. Spatii topologice

Vom nota cu X o multime nevida arbitrara. Definitia 1.1. Spunem ca pe multimea X s-a de nit o structura topologica daca s-a xat o multime  de parti ale lui X cu urmatoarele proprietati: (T1) ;; X 2  ; (T2) daca A; B 2  , atunci A \ B 2  ; S (T3) daca (Ai)i2I este o familie de elemente din  , atunci Ai 2  . i2I

Perechea (X;  ) se numeste spatiu topologic iar elementele lui  vor numite

multimi deschise.

Exemplul 1.1. Daca notam  d = P (X ) si  g = f;; X g, obtinem doua structuri

topologice (numite topologia discreta, respectiv, topologia grosiera) pe multimea X. Exemplul 1.2. Consider^and X = C atunci o structura topologica pe C se de neste astfel C = fG  C / (8) w 2 G (9) " > 0 cu D(w; ")  Gg [ f;g unde D(w; ") = fz 2 C / jz wj < "g: Familia C se va numi topologia naturala pe C . Exemplul 1.3. Fie X = R n (n 2 N  ) si Rn = fD  R n / D = ; sau (8) a = (a1 ; a2; :::; an) 2 D (9) " > 0 cu S (a; ")  Dg 3

4

1. NOTIUNI FUNDAMENTALE DE TOPOLOGIE

unde

S (a; ") = fx = (x1; x2 ; :::xn

) 2 Rn

/

n X i=1

(xi ai)2 < "2g:

Familia Rn veri ca (T 1); (T 2); (T 3) deci (R n ; Rn ) este un spatiu topologic, iar Rn se numeste topologia naturala a lui R n . ^In particular, pentru n = 1, obtinem topologia naturala, R , a dreptei reale . Se constata usor ca aceasta poate de nita echivalent si cu ajutorul intervalelor deschise R = fD  R / D = ; sau (8) x 2 D; (9) a; b 2 R cu a < b astfel ^nc^at x 2 (a; b)  Dg: Ultimele doua exemple sunt cazuri particulare ale celui ce urmeaza. Exemplul 1.4. Fie (X; d) un spatiu metric iar, pentru x0 2 X si r > 0, sfera deschisa de centru x0 si raza r, S (x0 ; r) = fx 2 X / d(x; x0) < rg: Atunci d = fD  X / D = ; sau (8) x 2 D; (9) r > 0 cu S (x; r)  Dg de neste o structura topologica pe X numita topologia naturala (sau obisnuita, sau uzuala) a lui X generata de metrica d. Subliniem ca, pentru simpli care, vom nota cu X spatiul topologic (X;  ) atunci c^and nu exista confuzie legata de familia  . De asemenea multimile R ; C ; R n precum si spatiile metrice vor considerate spatii topologice cu topologiile naturale. Definitia 1.2. Fie x un punct al spatiului topologic X . Multimea V  X se numeste vecinatate a lui x daca (9) D  X , D deschisa, astfel ^nc^at x 2 D  V . Notam cu #(x) familia tuturor vecinatatilor lui x. Teorema 1.1. O submultime D a unui spatiu topologic este deschisa daca si numai daca este vecinatate a oricarui punct al sau. Teorema 1.2. Fie X un spatiu topologic si x 2 X . Atunci #(x) are proprietatile: (V1) daca V 2 #(x), atunci x 2 V ; (V2) daca V 2 #(x) si W  V , atunci W 2 #(x); (V3) daca V1 ; V2 2 #(x), atunci V1 \ V2 2 #(x); (V4) pentru orice V 2 #(x) exista W 2 #(x) asa ^nc^at, oricare ar y 2 W , avem V 2 #(y). Reciproc, daca pentru orice x 2 X exista o familie de parti ale lui X ce veri ca proprietatile (V 1), (V 2), (V 3), (V 4) atunci exista pe X o structura topologica unica astfel ^nc^at pentru orice x familia vecinatatilor sa coincida cu familia de parti asociata lui x. Definitia 1.3. O submultime B(x) a lui #(x) se numeste baza de vecinatati sau sistem fundamental de vecinatati ale punctului x daca (8) V 2 #(x) (9) U 2 B(x) cu U  V:

1. SPATII TOPOLOGICE

5

Teorema 1.3. O familie B(x) de parti ale lui X reprezinta o baza de vecinatati

pentru x daca si numai daca satisface proprietatile: (B1) x 2 U; (8) U 2 B(x); (B2) pentru orice U1; U2 2 B(x); (9) U 2 B(x) cu U  U1 \ U2 ; (B3) pentru orice U 2 B(x), exista U1 2 B(x), U1  U astfel ca, pentru orice y 2 U1, sa existe W 2 B(y) cu W  U . Este evident ca, daca B(x) este o baza de vecinatati ale lui x, atunci #(x) = fV  X / (9) U 2 B(x) cu U  V g: de neste familia vecinatatilor lui x. Exemplul 1.5. I^n spatiul topologic (C ; C ) familiile B1 (x) = fD(x; ") / " > 0g si     1  B2 (x) = D x; / n 2 N

n

unde

D(x; ") = fz 2 C / jx zj < "g ; reprezinta baze de vecinatati ale numarului complex x. Exemplul 1.6. I^n spatiul metric (X; d) o baza numarabila de vecinatati ale lui x este

 





B(x) = S x; n1 / n 2 N  : Definitia 1.4. Spunem despre un spatiu topologic ca satisface prima axioma a numarabilitatii daca orice punct al sau poseda un sistem fundamental numarabil de vecinatati. Din exemplele ce urmeaza teoremei 1.3 rezulta ca orice spatiu metric poseda o baza numarabila de vecinatati. Particulariz^and, spatiile topologice C ; R ; R n (n  2) satisfac prima axioma a numarabilitatii. Definitia 1.5. Fie (X;  ) un spatiu topologic. O submultime B a lui  se numeste baza a topologiei  (sau o baza de deschise sau o baza a spatiului (X;  )) daca orice multime D 2  se scrie ca o reuniune de elemente ale lui B . Spunem ca spatiul topologic X este de tip numarabil daca admite o baza numarabila a topologiei sale. Teorema ce urmeaza evidentiaza legatura dintre notiunile de 00 baza00 a topologiei si 00 de baza de vecinatati00. Teorema 1.4. O familie B este o baza a topologiei  daca si numai daca, pentru orice x 2 X , Bx = fB 2 B = x 2 B g este o baza de vecinatati pentru x.

6

1. NOTIUNI FUNDAMENTALE DE TOPOLOGIE

Definitia 1.6. O multime F  X se numeste ^nchisa daca C F 2  . Notam cu C  familia multimilor ^nchise din X . De aici si din proprietatile topologiei  deducem

ca: (F1) X; ; 2C ; (F2) o reuniune nita de multimi ^nchise este ^nchisa; (F3) intersectia unei familii oarecare de multimi ^nchise este ^nchisa. Definitia 1.7. Consideram multimea A  X si x 2 X . Spunem ca x este punct interior pentru A daca: (In) (9) V 2 #(x), cu V  A.  Multimea punctelor interioare lui A, notata A, se numeste interiorul lui A. x se numeste punct aderent (respectiv punct de acumulare) pentru A daca V \ A 6= ;, (respectiv V \ (A n fxg) 6= ;) (8) V 2 #(x). Vom nota cu A (respectiv A0 ) multimea punctelor aderente (de acumulare) ale lui A si o vom numi aderenta (derivata) multimii A. Daca x 2 A n A0 spunem ca x este punct izolat pentru A. Din de nitiile de mai sus rezulta imediat: Propozitia 1.1. Fie A o submultime a spatiului topologic (X;  ). Avem :   1o. A A  A, A2  , A 2C , [A= A , A 2  ], [A = A , A 2C ]; o 2 . A = A [ A0 , [A 2C , A0  A];

3o.



CA =CA, CA = CA. d

Definitia 1.8. Consideram o multime A  X . Multimea FrA = A \ CA se numeste frontiera multimii A.  A se numeste multime frontiera daca A = FrA, ceea ce este echivalent cu A= ;. Multimea A se numeste rara daca A este o multime frontiera, deci daca A= ;. Definitia 1.9. Spunem ca o submultime A a spatiului topologic X este densa daca A = X . Daca exista o multime numarabila densa ^n X se spune ca spatiul X este separabil.  Exemplul 1.7. I^n (R ; R ) avem: Q = ;, Q 0 = Q = R n Q = (R n Q )0 = R . Exemplul 1.8. Daca notam Q [i] = fr + qi / r; q

2 Q g atunci avem proprietati

analoage celor din exemplul precedent relativ la C . Exemplul 1.9. I^n R n avem pentru Q n aceleasi proprietati ca ^n exemplele precedente. Observatia 1.1. Orice spatiu topologic de tip numarabil este separabil. Observatia 1.2. Spatiile R , C , R n (n  2) sunt separabile (vezi exemplele precedente).

2. LIMITA , CONTINUITATE

7

Definitia 1.10. Daca X1  X , atunci 1 = fD \ X1 ; D 2  g este o topologie pe X1 , iar spatiul topologic (X1; 1 ) se va numi subspatiu topologic al lui X . Definitia 1.11. Consideram doua topologii 1 ; 2 pe multimea X . Spunem ca topologia 1 este mai na ( mai tare) dec^at 2 sau ca 2 este mai putin na ( mai slaba) dec^at 1 si notam 1  2 daca avem 2  1 (ca multimi). Vom scrie 1  2 daca 1  2 si 2  1 .

Se veri ca usor urmatoarele caracterizari ale acestei relatii de ordine partiala dupa nete: 1. 1  2 , (8) x 2 X , (8) V 2 #2 (x), (9) U 2 #1(x) asa ^nc^at U  V , unde #i(x) reprezinta familia vecinatatilor lui x ^n spatiul topologic (Xi; i), i = 1; 2. 2. 1  2 , oricare ar x 2 X si Bx o baza de vecinatati ale lui x ^n 1 ; Bx este o baza de vecinatati ale lui x ^n 2 . Definitia 1.12. Spunem ca (X;  ) este un spatiu Hausdor sau separat daca, pentru orice doua puncte x1 ; x2 2 X , distincte, exista multimile deschise, disjuncte D1 ; D2 astfel ca x1 2 D1 si x2 2 D2.

2. Limita, continuitate

Definitia 1.13. Spunem ca o multime
partial ordonata prin relatia \  \ este

dirijata daca

; 2
; (9) 2
;   si  : Daca
1 
, spunem ca
1 este co nala cu
daca (8)  2
(9) 2
1 ;  : Evident
1 este, de asemenea, dirijata prin relatia "  ". Exemplul 1.10. N cu relatia de ordine uzuala este o multime dirijata. Exemplul 1.11. Orice baza de vecinatati ale unui punct x este o multime dirijata prin relatia V1  V2 daca V1  V2 . Exemplul 1.12. Familia partilor unei multimi X , P (X ), este o multime dirijata daca se considera relatia de ordine partiala A  B , A  B , unde A; B 2 P (X ). Definitia 1.14. O familie nevida F de parti ale multimii X se numeste ltru (8)

daca are proprietatile: 1. ; 62 F ; 2. (8) A; B 2 F ) A \ B 2 F ; 3. daca, pentru B  X; (9) A 2 F ; A  B , atunci B 2 F . Exemplul 1.13. Familia vecinatatilor unui punct este un ltru. Definitia 1.15. Fie F un ltru ^n X si BF  F . Spunem ca BF este o baza de ltru pentru F sau ca F este ltrul generat de BF daca: (1) 8 B 2 F ; (9) A 2 BF ; cu A  B: Propozitia 1.2. Familia de multimi B  P (X ) este o baza de ltru ^n X daca si numai daca:

8

1. NOTIUNI FUNDAMENTALE DE TOPOLOGIE

(BF1) B 6= ;; (BF2) ; 62 B; (BF3) pentru orice B1; B2 2 B exista B0 2 B cu B0  B1 \ B2 . Observatia 1.3. Proprietatea 2 din De nitia 1.14 se extinde la orice intersectie nita. Observatia 1.4. Daca BF este o baza de ltru atunci (BF ; ) este o multime dirijata. Observatia 1.5. Orice sistem fundamental de vecinatati ale unui punct x este o baza de ltru pentru familia vecinatatilor punctului x. Observatia 1.6. Fie (
; ) o multime dirijata si, pentru orice a 2
, Ba = f 2
;   ag. Familia B
= fBa; a 2
g este o baza de ltru. Daca
= N , atunci ltrul generat se numeste ltrul sectiunilor sau ltrul Frechet. Definitia 1.16. Fie F1 si F2 doua ltre din X . Spunem ca F1 majoreaza pe F2 (notam F1  F2 ) daca F2  F1. Daca, pentru orice ltru F1 care majoreaza un ltru dat F , rezulta ca F1 coincide cu F spunem ca F este un ultra ltru. Definitia 1.17. Fie (
; ) o multime dirijata si X o multime nevida. Numim sir ge - neralizat ^n X orice aplicatie de nita pe
cu valori ^n X . Daca lui  2
^i corespunde x 2 X , vom nota cu (x )2
sirul generalizat respectiv. Daca
1 
este o parte co nala si (x )2
un sir generalizat, restrictia sa la
1 va reprezenta un subsir generalizat al lui (x )2
si ^l vom nota cu (x )2
1 . Observatia 1.7. Notiunea de subsir generalizat poate prezentata ^ntr-un cadru mai larg astfel: daca (E; ) si (
; ) sunt doua multimi dirijate, atunci (t0 )0 2E este un subsir generalizat al lui (x )2
daca exista o aplicatie ' : E !
cu proprietatile: (i) (8)  2
exista 0 2 E asa ^nc^at, pentru orice 0  0 ^n E , sa avem '(0)   ^n
; (ii) t0 = x'(0 ) (8) 0 2 E . Evident, ^n cazul ^n care avem
1 
co nala, putem lua ' :
1 !
ca ind aplicatia de scufundare a lui
1 ^n
, '() =  (8)  2
1 . Observatia 1.8. Daca B este o baza de ltru ^n X si consideram (B; ) ca o multime dirijata, atunci aplicatia B 3 B 7! xB 2 B; este un sir generalizat ^n X , numit sir generalizat asociat lui B; Observatia 1.9. Daca (x )2
este un sir generalizat si B
este baza a ltrului sectiunilor, iar xa = fx = 2 Ba ; a 2
g; familia x
= fxa ; a 2
g este o baza de ltru ^n X numit ltrul Frechet asociat sirului generalizat (x )2
.

2. LIMITA , CONTINUITATE

9

Observatia 1.10. ^In cazul ^n care
 N vom folosi terminologia de sir, respectiv

subsir.

Definitia 1.18. Fie (X;  ) un spatiu topologic. 1. Spunem ca un sir generalizat (x )2
de puncte din X este convergent la x ^n

(X;  ) daca, pentru orice vecinatate V a lui x, exista V 2
asa ^nc^at x 2 V pentru orice   V . Vom nota x = lim x si vom spune ca x este limita lui 2
 (x )2
. 2. Filtrul F se numeste convergent la x ^n (X;  ) daca F  #(x), adica (8) V 2 #(x); (9) U 2 F ; U  V: Vom nota x = lim F . Observatia 1.11. Daca (x ) satisface proprietatea ca, pentru A  X , exista A 2
astfel ^nc^at   A implica x 2 A vom spune ca (x )2
se a a eventual ^n A. Observatia 1.12. Daca pentru orice  2
exista 2
;   si x 2 A vom spune ca (x )2
se a a frecvent ^n A. ^In acest sens avem ca lim x = x , (x) se a a eventual ^n V pentru orice V 2 2
#(x). Propozitia 1.3. 1. Daca (X;  ) este spatiu Hausdor si exista lim x , atunci 2
limita este unica. 2. lim x = x , orice subsir generalizat al lui (x)2
este convergent la x. 2
 3. x 2 A , exista (x ) un sir generalizat de puncte din A cu x = lim x. 2
 4. x 2 A0 (x este punct de acumulare pentru A) daca si numai daca exista (x ) un sir generalizat de puncte din A; x 6= x pentru orice  , astfel ^nc^at lim x = x. 2


Observatia 1.13. Daca X satisface prima axioma a numarabilitatii, ^n a rmatiile (3) si (4) din propozitia anterioara putem ^nlocui "sir generalizat" prin "sir". Definitia 1.19. Fie X o multime nevida. Numim distanta sau metrica pe X , o func^e d : X  X 7! R + ce veri ca conditiile: (D1 ) d(x; y) = 0 , x = y (D2 ) d(x; y) = d(y; x)(8)x; y 2 X (D3 ) d(x; y)=led(x; z) + d(z; y)(8)x; y; z 2 X Multimea X pe cares-a de nit o metrica d se numeste spatiu metric si se noteaza (X; d). Propozitia 1.4. Orice spatiu metric (X; d) este un spatiu topologic separat si satisface prima axioma a numarabilitatii. Definitia 1.20. Fie (X; d) un spatiu metric. Un sir (xn )n de puncte din X se numeste sir Cauchy sau sir fundamental daca: (1) (8) " > 0 (9) n" 2 N astfel ca d(xn; xn+p) < " (8) n > n" si (8) p 2 N .

10

1. NOTIUNI FUNDAMENTALE DE TOPOLOGIE

Observatia 1.14. Conditia anterioara poate ^nlocuita prin

(8) " > 0 (9) n" 2 N cu d(xn; xm ) < " (8) m; n > n": Observatia 1.15. Orice sir convergent este sir Cauchy dar reciproca, ^n general, nu este adevarata. Definitia 1.21. Un spatiu metric (X; d) se numeste complet daca orice sir Cauchy al sau este convergent. Propozitia 1.5. Daca (X; d) este un spatiu metric complet si X1  X este ^nchisa iar d1 este restrictia lui d la X1 , atunci (X1 ; d1) este, de asemenea, un spatiu metric complet. Definitia 1.22. Fie X; Y doua spatii topologice, f : D  X ! Y si x0 un punct de acumulare al lui D. Spunem ca f are limita l 2 Y ^n x0 si notam prin xlim f (x) = l !x0 daca: (2) (8) V 2 #(l) (9) U 2 #(x0) astfel ^nc^at (8) x 2 D \ (U nfx0 g) ) f (x) 2 V . Observatia 1.16. Pentru a caracteriza echivalent faptul ca xlim f (x) = l este su!x0 cient sa luam, ^n (2), o baza de vecinatati ale lui l, respectiv x0 , ^n loc de # (l), respectiv # (x0 ). Observatia 1.17. l = xlim f (x) daca si numai daca, pentru orice sir generalizat !x0 (x )2
de puncte din D convergent la x0 ; x 6= x0 pentru orice , avem ca (f (x ))2
converge la l ^n Y . Observatia 1.18. Daca X satisface prima axioma a numarabilitatii putem sa luam, ^n observatia precedenta, ^n loc de (x )2
, siruri (xn)n2N . Propozitia 1.6. Fie X; Y; Z spatii topologice, f : D  X ! Y; g : E  Y ! Z si x0 2 X un punct de acumulare al lui D. Daca exista l = xlim f (x), unde l este punct de acumulare pentru E \ f (D), si !x0 exista lim g(y) = L, atunci xlim (g  f )(x) = L. !x y !l 0

Definitia 1.23. Fie X; Y doua spatii topologice, f : D  X ! Y si x0 2 D. Spunem ca f este continua ^n x0 daca, pentru orice V 2 #(f (x0 )), exista U 2 #(x0 )

astfel ^nc^at f (x) 2 V pentru orice x 2 U \ D. Functia f este continua pe D daca este continua ^n orice punct din D. Observatia 1.19. ^In de nitia 1.23 putem sa ne restr^angem la baze de vecinatati a lui f (x0), respectiv x0 . Observatia 1.20. Daca x0 este punct izolat al lui D, atunci orice functie f : D ! Y este continua ^n x0 . Teorema 1.5. f : D ! Y este continua ^n x0 daca si numai daca lim f (x) = f (x0): x!x 0

Observatia 1.21. Pe baza acestui rezultat si a proprietatilor limitei, avem urmatoarele a rmatii legate de continuitate:

2. LIMITA , CONTINUITATE

11

1. f este continua ^n x0 2 D daca si numai daca, pentru orice sir generalizat (x )2
de puncte din D, convergent la x0, avem lim f (x ) = f (x0 ). 2
 2. Daca X satisface prima axioma a numarabilitatii, ^n proprietatea precedenta putem lua siruri ^n loc de siruri generalizate. Propozitia 1.7. Fie X; Y; Z spatii topologice, f : D  X ! Y; g : E  Y ! Z , asa ^nc^at f (D) \ E 6= ; si x0 2 D implica f (x0 ) 2 E . Daca f este continua ^n x0 si g este continua ^n f (x0 ), atunci g  f este continua ^n x0 . Definitia 1.24. Fie X; Y doua spatii topologice. f : X ! Y se numeste homeomor sm daca f este bijectiva si bicontinua (adica f si f 1 sunt continue). Spatiile X si Y se numesc homeomorfe daca exista un homeomor sm ^ntre ele. Propozitia 1.8. Consideram doua topologii 1 , 2 pe multimea X . Atunci 1  2 daca si numai daca aplicatia identica i : (X; 1 ) ! (X; 2 ) este continua. Consecinta 1.1. 1  2 daca si numai daca orice sir generalizat (x )2
convergent ^n (X; 1 ) este convergent si ^n (X; 2 ) av^and aceeasi limita. 1, 2 sunt echivalente, notam 1  2 , daca si numai daca ^n (X; 1) si ^n (X; 2 ) avem aceleasi siruri generalizate convergente cu aceleasi limite. Consecinta 1.2. Daca f : (X;  ) ! (Y;  0 ) este continua, atunci f ram^ane continua daca ^n X luam o topologie 1 cu 1   sau daca ^n Y luam o topologie  01 cu  0   01 . ^In acest sens, av^and doua multimi nevide X; Y si o aplicatie f : X ! Y , ne putem pune problema determinarii topologiei  cea mai putin na ^n X , respectiv  0 cea mai na ^n Y , astfel ^nc^at f : (X;  ) ! (Y;  0) sa e continua. Definitia 1.25. Fie X o multime nevida, (Y ;  )2A o familie de spatii topologice si f : X ! Y;  2 A. Topologia  cea mai putin na pe X pentru care f : (X;  ) ! (Y;  ),  2 A; sa e continue se numeste topologia initiala pe X relativ la familia de aplicatii (f )2A . Cazuri particulare: 1) Daca familia (Y;  )2A se reduce la un spatiu topologic (Y;  ) si f : X ! Y , atunci topologia initiala relativ la f este preimaginea topologiei din Y prin f . 2) Fie, ^n X , o familie de topologii ()2A si aplicatiile identice i : X ! (X;  ). Topologia initiala relativ la familia (i ) reprezinta marginea superioara a topologiilor  ordonate dupa nete. Aceasta denumire este justi cata prin faptul ca familia multimilor deschise ^n aceasta topologie este formata din toate multimile deschise ^n topologiile  ;  = [f;  2 Ag. Fie (X; )2A o familie de spatii topologice, X =  X produsul cartezian 2A

si, pentru ecare  2 A, aplicatia pr : X ! X de nita prin pr(x) = x unde x = (x )2A (numita proiectie a lui X pe X ). Definitia 1.26. Numim topologie produs pe X topologia initiala relativ la pr . Cu alte cuvinte topologia produs este cea mai putin na topologie  cu proprietatea ca aplicatiile pr : (X;  ) ! (X;  ) sunt continue.

12

1. NOTIUNI FUNDAMENTALE DE TOPOLOGIE

Se arata ca, daca x = (x ) 2 X , iar B (x) reprezinta baza de vecinatati a lui x ^n (X;  ), atunci B(x) reprezinta o baza de vecinatati a lui x ^n topologia produs a lui X , unde B(x) = fV=V 2 B si V = X; pentru  2 A n A0; cu A0 nita ^n Ag: Din forma vecinatatilor ^n X rezulta ca, daca (X ; ) ,  2 A sunt spatii Hausdor, atunci spatiul topologic produs este, de asemenea, spatiu Hausdor. ^In cazul unei familii nite de spatii topologice (Xi; i)i=1;n, avem n Y

B(x) = f Vi / Vi 2 Bi (xi)g i=1

unde x = (x1 ; x2 ; :::; xn) 2 X . ^In continuare, e Y o multime nevida, (X;  )2A o familie de spatii topologice si, pentru ecare  2 A, aplicatia f : X ! Y . Cea mai tare topologie  ^n Y pentru care functiile f : (X;  ) ! (Y;  ) sunt continue reprezinta topologia limitei inductive a topologiilor  sau topologia nala pe Y corespunzatoare familiei (f)2A . Cazuri particulare:

1. Daca avem f : (X;  ) ! Y , topologia nala relativ la f se mai numeste topologia imagine prin f a lui  . 2. Daca (X;  ) este un spatiu topologic, \  \ este o relatie de echivalenta ^n X si X= este spatiul c^at, iar f : X ! X=, f (x) = x^, este aplicatia canonica, atunci topologia nala corespunzatoare lui f ^n X= se numeste topologie c^at ^n raport cu relatia de echivalenta \  \. 3. Daca,^n X , avem familia ( )2A de topologii si aplicatiile identice i : (X;  ) ! X , topologia nala pe X corespunzatoare familiei (i )2A reprezinta marginea inferioara a topologiilor ( )2A . Vom ^ncheia paragraful cu prezentarea unor rezultate legate de existenta limitei si de continuitatea ^n cazul spatiilor metrice. Teorema 1.6. Fie (X; d), (Y; ) spatii metrice, Y - complet, f : D  X ! Y si x0 un punct de acumulare pentru D. Functia f are limita ^n x0 daca si numai daca, pentru orice " > 0, exista " > 0 asa ^nc^at, oricare ar x; x0 2 D \ (S (x0; ")nfx0 g), avem (f (x0 ); f (x)) < ". Teorema 1.7. Functia f : D  X ! Y este continua pe D daca si numai daca (8) " > 0 si (8) x 2 D (9) ";x > 0 asa ^nc^at (8) x0 2 D \ S (x; ";x), (f (x0 ); f (x)) < ": Definitia 1.27. Functia f : D  X ! Y se numeste uniform continua pe D daca, pentru orice " > 0, exista " > 0 asa ^nc^at, pentru x; x0 2 D cu d(x; x0 ) < " , avem (f (x); f (x0 )) < ". Este evident ca orice aplicatie uniform continua pe D este continua pe D.

3. COMPACITATE

13

3. Compacitate Definitia 1.28. Fie X o multime nevida si M  X . O familie E de submultimi ale lui X se numeste acoperire pentru M , daca M este continuta ^n reuniunea multimilor din E . Daca X este un spatiu topologic si multimile din E sunt deschise, spunem ca avem o acoperire deschisa. Definitia 1.29. Fie (X;  ) un spatiu topologic. O multime M  X se numeste compacta daca din orice acoperire deschisa a sa se poate extrage o subacoperire nita. Multimea M  X se numeste relativ compacta daca M este compacta. Daca X este o multime compacta, spatiul (X;  ) se numeste spatiu compact.

Observatia 1.22. Daca X este un spatiu Hausdor, atunci orice multime compacta din X este ^nchisa. Observatia 1.23. Daca X este compact, atunci orice submultime ^nchisa a lui X este, de asemenea, compacta. ^In cazul unui spatiu metric avem: Teorema 1.8. O multime M dintr-un spatiu metric este compacta daca orice sir de puncte din M contine un subsir convergent ^n M . Ca urmare, (X; d) este compact daca si numai daca orice sir are un subsir convergent. Observatia 1.24. Aceasta teorema poate folosita consider^and siruri generalizate ^n loc de siruri. Observatia 1.25. O multime compacta dintr-un spatiu metric este ^nchisa si marginita ^nsa reciproca nu este, ^n general, adevarata. Observatia 1.26. Spunem ca o multime M este total marginita daca pentru orice " > 0 exista o multime nita fxk gk=1;n de puncte din M , asa ^nc^at

M 

n [

S (xk ; "). Se poate arata ca orice multime compacta ^ntr-un spatiu metric

k=1

este total marginita si ^nchisa. Aceste doua conditii sunt necesare si su ciente pentru compacitatea unei multimi ^ntr-un spatiu metric complet. Observatia 1.27. ^In spatiile euclidiene R n si C n are loc teorema lui Borel-Lebesgue care a rma ca o multime este compacta daca si numai daca este ^nchisa si marginita. Teorema 1.9. Produsul unei familii de spatii topologice compacte este un spatiu topologic compact. Teorema 1.10. Fie X; Y doua spatii topologice si f : X ! Y continua. Atunci, pentru orice multime compacta M  X; f (M ) este compacta ^n Y . Teorema 1.11. Daca X; Y sunt spatii topologice separate, X compact, si f : X ! Y este continua si bijectiva, atunci f este un homeomor sm. De aici rezulta ca, daca X ,Y sunt spatii metrice, X compact, si exista f : X ! Y continua si bijectiva, atunci cele doua spatii sunt homeomorfe.

14

1. NOTIUNI FUNDAMENTALE DE TOPOLOGIE

Teorema 1.12. Intersectia unui sir descrescator de multimi compacte nevide dintr-

un spatiu metric este o multime compacta nevida. Daca, ^n plus, sirul diametrelor multimilor tinde la zero, atunci intersectia lor se reduce la un punct. Definitia 1.30. Un spatiu topologic se numeste local compact daca orice punct are o vecinatate relativ compacta. Relativ la spatiile local compacte are loc: Teorema 1.13. (Alexandrov) Daca X este local compact, atunci exista un spatiu compact X 0 obtinut din X prin adaugarea unui singur element asa ^nc^at X este subspatiu topologic al lui X 0. Spatiul X 0 se numeste compacti catul lui X . Definitia 1.31. Fie X un spatiu topologic separat si fG g2A o acoperire deschisa a lui X . Spunem ca aceasta acoperire este local nita daca, pentru orice x 2 X , exista V 2 #(x) cu proprietatea ca, pentru un numar nit de multimi G, avem V \ G 6= ;. Definitia 1.32. Spunem ca o acoperire fD g 2B este mai na dec^at acoperirea fGg2A daca, pentru orice 2 B, exista  2 A asa ^nc^at G  D . Definitia 1.33. Un spatiu topologic separat se numeste precompact daca, pentru orice acoperire deschisa, exista o acoperire deschisa mai na, local nita.

4. EXERCITII

4. Exercitii

15

1. Sa se arate ca, ^n (R; R ), orice multime deschisa se scrie ca o reuniune cel mult numarabila de intervale deschise. Proprietate are loc si ^n C si ^n R n (n  2) lu^and intervalele deschise n - dimensionale (produse carteziene de n intervale deschise). Indicatie. Daca D 2 R , D 6= ;, atunci, pentru orice x 2 D, exista x; x 2 Q astfel ^nc^at x 2[(x; x) [  D. Deci D = fxg  (x; x)  D iar multimea perechilor (x; x), x 2 D, x2D

x2D

este cel mult numarabila (ca submultime a lui Q  Q ). 2. Sa se demonstreze ca un spatiu topologic X este Hausdor daca si numai daca, oricare ar un punct x 2 X , intersectia tuturor vecinatatilor ^nchise ale sale este egala cu fxg. 3. Aratati ca un spatiu topologic este Hausdor daca si numai daca orice sir generalizat convergent al sau are limita unica. 4. Aratati ca o familie U de parti ale unui spatiu topologic X este ultra ltru daca si numai daca este un ltru si pentru orice M  X avem M 2 U sau CM 2 U . 5. Fie A o submultime a spatiului topologic X . Atunci sunt echivalente a rmatiile: () x 2 A0 ; ( ) exista un ltru F pe X astfel ca A n fxg 2 F si F ! x; ( ) exista un sir generalizat neconstant (x )2
^n X convergent la x. I^nlocuind () cu conditia 0 ( ) x 2 A, gasiti si demonstrati a rmatiile analoage ( 0), ( 0) astfel ca (0) , ( 0) , ( 0 ). Aratati ca, daca punctul x poseda o baza numarabila de vecinatati, atunci, ^n ( ) si ( 0), putem considera siruri (xn)n2N . 6. Consideram doua spatii topologice (Xi; i), i = 1; 2, (X;  ) spatiul produs al acestora iar z = (x; y ) 2 X . Atunci exista un ltru F pe E care converge la z daca si numai daca exista ltrele Fi pe Xi, i = 1; 2, astfel ^nc^at F1 ! x, F2 ! y. Formulati a rmatiile precedente pentru siruri generalizate. 7. O familie de parti ale unui spatiu topologic se numeste subbaza daca multimea intersectiilor nite cu elemente ale sale formeaza o baza pentru topologia spatiului. Fie (X;  ), (Y;  0 ) doua spatii topologice si S o subbaza a spatiului (Y;  0 ). Atunci functia f : X ! Y este continua daca si numai daca f 1 (S ) 2  , (8) S 2 S . Demonstrati ca, daca Y este produsul topologic al spatiilor (Yi; i ), i 2 =, atunci functia f : X ! Y este continua daca si numai daca, pentru orice proiectie pri : Y ! Yi, functia pri  f : X ! Yi este continua.

16

1. NOTIUNI FUNDAMENTALE DE TOPOLOGIE

Indicatie. Daca D 2  0 , atunci D =

deducem ca

f 1(D) =

[

ni \

i2= k=1

[

ni \

i2= k=1

!

Sik , unde Sik 2 S . De aici

!

f 1(Sik ) 2  si deci f 1( 0 )  ;

adica f este continua.

8. Fie (X;  ), (Y;  0 ) doua spatii topologice, al doilea ind separat. Daca f; g : X ! Y sunt doua functii continue, atunci multimea fx 2 E = f (x) = g(x)g este ^nchisa. Indicatie. Notam cu G = fx 2 E = f (x) 6= g(x)g. Daca x 2 G atunci exista Dx; D0x 2  0 astfel ca Dx \ D0x = ; si f (x) 2 Dx, g(x) 2 D0x. Deoarece f; g sunt continue deducem ca [
G= f 1(Dx) \ g 1(D0x) 2 : x2G

9. Spunem ca un spatiu topologic este de categoria a doua (sau spatiu Baire) daca nu poate scris ca o reuniune numarabila de multimi rare (vezi de nitia 1.8). Aratati ca orice spatiu metric complet este de categoria a doua. 10. Demonstrati ca orice spatiu metric compact este separabil.

CAPITOLUL 2

Spatii vectorial topologice ^In cele ce urmeaza K va desemna unul dintre corpurile R sau C iar spatiile vectoriale considerate vor presupuse peste K . Vom folosi denumirea de spatiu vectorial real (complex) dupa cum K = R (K = C ).

1. Multimi echilibrate, absorbante, convexe

Definitia 2.1. Fie E un spatiu vectorial peste corpul K .

1. O submultime A a lui E se numeste echilibrata daca: (8) x 2 A  si  2 K cu jj  1 ) x 2 A adica A = A; (8)  2 K cu jj  1. 2. A  E se numeste absorbanta daca, pentru orice x 2 E , exista x > 0 asa ^nc^at: (8)  2 K cu jj  x ) x 2 A: 3. A  E se numeste convexa daca: (8) x; y 2 A  si  2 R cu 0    1 ) x + (1 )y 2 A: 4. Multimea fz / z = x + (1 )y;  2 [0; 1]g se numeste segmentul determinat de x si y, notat [x; y ]. Deci A este convexa daca [x; y ]  A, oricare ar x; y 2 A. Exemplul 2.1. Fie (IK2 ) multimea sirurilor x = (n)n cu elemente din K pentru 1 X care seria jnj2 este convergenta iar n=1

A = fx = (n)n /

1 X

njnj2  1g

n=1 2 o submultime a sa. Atunci (IK ) este un spatiu vectorial ^n care

echilibrata dar nu este absorbanta. ^Intr-adevar, daca x = (n)n, y = (n)n 2 (IK2 ), atunci 1 X

1

1

A este o submultime

X X jn + n j2  jnj2 + jnj2 n=1 n=1 n=1 si deci x + y 2 (IK2 ). Deoarece, din  2 K si x 2 (IK2 ), rezulta imediat x 2 (IK2 ), avem

prima a rmatie.

17

18

2. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE

Fie x 2 A, x = (n)n si  2 K cu jj  1. Atunci 1 X

1 X

1 X

n=1

n=1

n=1

njnj2 =

njj2jnj2 

njnj2  1;

deci x 2 A; si, ca urmare, A este echilibrata.   Presupunem ca, prin absurd, A este absorbanta. Fie x = n1 2 (IK2 ). Atunci n exista " > 0 astfel ^nc^at, pentru orice  2 K cu 0 < jj  ", avem x 2 A, deci 1 1 X X njj2
n12 = jj2 n1  1 i=1 i=1 ceea ce este absurd. Exemplul 2.2. O multime A  R este convexa daca si numai daca este interval. Exemplul 2.3. Sferele din spatiul euclidian K n sunt multimi convexe. Propozitia 2.1. Intersectia unei familii de multimi echilibrate este echilibrata. Demonstratie. Fie fAi , i 2 =g, o familie de multimi echilibrate si A = \fAi , i 2 =g: Daca A 6= ;, x 2 A si  2 K cu jj  1, atunci x 2 Ai, deci x 2 Ai (8) i. Asadar x 2 A. Daca A = ;, evident A este echilibrata. Definitia 2.2. Fie A  E . Numim acoperire echilibrata a lui A, multimea echilibrata Ae, de nita prin: Ae = \fA0 / A0 echilibrata si A0  Ag: Propozitia 2.2. Ae = fx / x 2 A;  2 K cu jj  1g. Demonstratie. Fie B = fx / x 2 A;  2 K cu jj  1g. B este echilibrata deoarece, daca y 2 B si  2 K cu jj  1, exista x 2 A si  2 K cu jj  1 asa ^nc^at y = x. Deci y = ()x si evident j
j = jj
jj  1, asadar y 2 B . Pe de alta parte, B  A ^ntruc^at x 2 A este echivalent cu x = 1
x 2 B . Asadar Ae  B; B ind una dintre multimile familiei ce de neste pe Ae. Daca A0  A si A0 este echilibrata, aratam ca A0  B . Fie y 2 B , deci exista x 2 A si  2 K cu jj  1 si y = x. Dar x 2 A  A0 si jj  1 implica y = x 2 A0. Asadar B  \fA0 =A0  A; A0 echilibrata g = Ae Propozitia 2.3. Intersectia unei familii oarecare de multimi convexe este convexa. Demonstratie. Fie o familie (Ai)i2= de multimi convexe si A = \fAi , i 2 =g: Daca A 6= ; si x; y 2 A, rezulta x; y 2 Ai deci [x; y]  Ai pentru orice i, adica [x; y]  A. Daca A = ;, atunci A este convexa. Definitia 2.3. Fie A  E . Numim acoperirea convexa a lui A, notata Ac , multimea: Ac = \fA0 / A0  A; A0 convexag:

1. MULTIMI ECHILIBRATE, ABSORBANTE, CONVEXE

Propozitia 2.4. Avem

Ac

= fx / x =

Demonstratie. Fie B = fx / x =

n X

n X

i=1

i=1

n X i=1

i xi, n 2 N , xi 2 A, i 2 [0; 1],

ixi, n 2 N , xi 2 A; i 2 [0; 1];

Aratam, mai ^nt^ai, ca B este convexa. Fie x, x0 2 B si  2 [0; 1]. Atunci:

x= cu i

i=1

i=1

i

x + (1

n1 X

n2 X

i=1

i=1

(1

2 A si

n1 X

n2 X

i=1

i=1

i = 1;

n1 X

n2 X

i=1

i=1

(i)xi + =

0i = 1:

n2 X

)(

i=1

i

i = 1g:

i i

n1

)0

i=1

i = 1g:

X ixi , x0 = 0 x0

X )x0 = ( ixi) + (1

=

i +

n2

2 [0; 1], xi , x0

i, 0

Avem

n1 X

n X

19

i=1

0ix0i ) =

(1 )0ix0i:

n1 X

n2 X

i=1

i=1

i + (1 )

0i =  + 1  = 1

deci [x; x0 ]  B . Aratam ca A  B . ^Intr-adevar, pentru orice x 2 A, avem x = 1
x 2 B . Deci B este una din multimile ce de nesc pe Ac, asadar Ac  B . Reciproc, sa aratam ca, pentru orice A0 convexa cu A  A0 , avem B  A0. Demonstram, mai ^nt^ai, prin inductie completa, propozit ia n n X X P(n): Daca A0 este convexa, i  0 , i = 1 si xi 2 A0, atunci ixi 2 A0 i=1 i=1 pentru orice n  2. I: Pentru n = 2, avem 1 x1 + 2x2 = 1 x1 + (1 1 )x2 2 A0: II. P(n) adevarata implica P(n+1) adevarata. Fie i 2 [0; 1] cu

n+1 X i=1

i = 1 si xi 2 A0 , i=1,2,...,n+1.

20

Fie  = notam y =

2. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE

n X i=1

i. Daca  = 0, obtinem xn+1 2 A0 ceea ce este adevarat. Daca  6= 0,

n X i i=1 

si  + n+1 =

n X i

= 1, deci y 2 A0. ^In consecinta,  i=1 n+1 n n X X X ixi = ixi + n+1xn+1 =  i xi + n+1xn+1 i=1 i=1 i=1

xi. Atunci xi 2 A0

si

n X i=1

i + n+1 = 1, deci y + n+1xn+1 2 A0.

Fie y 2 B , deci exista n 2 N si i 2 [0; 1] cu

Asadar

n X i=1

n+1 X i=1

i = 1 astfel ca y =

ixi 2 A0.

n X i=1

ixi , xi 2 A:

Dar A  A0, deci xi 2 A0 pentru orice i. n X Din xi 2 A0, A0 convexa si i > 0 cu i = 1, rezulta, utiliz^and demonstratia i=1

anterioara, unde s-a folosit numai faptul ca A0 Asadar

este convexa, ca y =

n X i=1

ixi 2 A0 .

B  \ fA0 = A0 convexa, A  A0 g = Ac:

2. Spatii vectorial topologice. Teoreme de caracterizare

Definitia 2.4. 1. Fie E un spatiu vectorial peste corpul K . Spunem ca o topologie

 pe E este compatibila cu structura de spatiu vectorial a lui E daca aplicatiile: ' : E  E 7 ! E; '(x; y) = x + y : K  E 7 ! E; (; x) = x sunt continue (utiliz^and topologia naturala pe K si topologiile produs pe E  E si pe K  E ). 2. Un spatiu vectorial pe care s-a dat o structura topologica compatibila cu structura de spatiu vectorial se numeste spatiu vectorial topologic. 3. Doua spatii vectorial topologice E si F se numesc izomorfe daca exista o aplicatie f : E ! F asa ^nc^at: (i) f este bijectiva; (ii) f este liniara; (iii) f este bicontinua. ^In acest caz f se numeste izomor sm topologic. Propozitia 2.5. 1. Conditia ca aplicatia (; x) 7! x sa e continua este echivalenta cu a rmatiile: (i) pentru orice x0 2 E , aplicatia  7! x0 este continua ^n  = 0; (ii) pentru orice 0 2 K , aplicatia x 7! 0x este continua ^n x = 0E ;

2. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE. TEOREME DE CARACTERIZARE

21

(iii) aplicatia (; x) 7! x este continua ^n (0; 0E ). 2. Aplicatia x 7! x0 + x, unde x0 2 E este xat, este un homeomor sm al lui E pe el ^nsusi. 3. Pentru 0 6= 0 aplicatia x 7! 0 x este un homeomor sm al lui E pe el ^nsusi. Demonstratie. Prima a rmatie rezulta din x 0 x0 = ( 0 )x0 + 0(x x0 ) + ( 0)(x x0 ): Functia '(x; y) = x + y ind continua, rezulta ca aplicatia 'x0 (x) = '(x0 ; x) este continua. Inversa aplicatiei 'x0 este x 7! x0 x si este, de asemenea, continua. Consecinta 2.1. 1. Daca E este un sistem fundamental de vecinatati ale originii, atunci x + E = fx + V ; V 2 Eg este un sistem fundamental de vecinatati ale lui x. 2. Daca V este o vecinatate a originii si 0 6= 0, atunci 0 V este, de asemenea, o vecinatate a originii. Exemplul 2.4. Daca E 6= f0E g, topologia discreta nu este compatibila cu structura de spatiu liniar a lui E . ^Intr-adevar, daca x0 6= 0E , aplictia  7 ! x0 nu este continua (daca (n)n este un sir neconstant convergent la 0, avem nx0 7 ! 0E , sirul (nx0 )n ne ind constant, ori acest lucru este absurd deoarece, ^n topologia discreta, nu avem siruri convergente neconstante). Exemplul 2.5. Spatiul K n ; n  1, este un spatiu vectorial topologic, consider^and topologia generata de metrica euclidiana. ^In continuare E va desemna un spatiu vectorial topologic. Propozitia 2.6. ^Intr-un spatiu vectorial topologic, orice vecinatate a originii este absorbanta. Demonstratie. Functia (; x) = x este continua, deci, pentru x xat, este continua ^n raport cu  ^n 0 si (0; x) = 0E . Fie V 2 #(0E ) = #( (0; x)). Exista " > 0 asa ^nc^at, pentru orice  cu jj  ", sa avem x 2 V , deci V este absorbanta. Propozitia 2.7. Conditia necesara si su cienta ca o multime echilibrata A  E sa e absorbanta este ca, pentru orice x 2 E , sa existe un x 2 R ; x 6= 0, asa ^nc^at xx 2 A. Demonstratie. Presupunem ca A este echilibrata si absorbanta. Pentru x 2 E exista "x > 0 asa ^nc^at pentru orice  cu jj  "x sa avem x 2 A. Deci exista o valoare x = "x 2 R astfel ca xx 2 A. Reciproc, presupunem ca A este echilibrata si, pentru orice x 2 E , exista x 2 R ; x 6= 0 cu x x 2 A.

22

2. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE

Fie "x = jxj. Daca  2 K cu jj  "x, atunci   x =  (xx) =  x0 cu x0 = xx 2 A: x x   Dar A este echilibrata si j  j  1, deci  x0 2 A. Asadar x 2 A, adica A este x x absorbanta. Propozitia 2.8. Daca A  E este echilibrata, atunci si ^nchiderea sa A este echilibrata. Demonstratie. Fie x0 2 A si  2 K cu jj  1. Fie U 2 #(x0). Functia (; x) = x este continua ^n x0 si (; x0) = x0 . Deci, pentru orice vecinatate U din #( (; x0)) = #(x0),Texista V 2 #(x0) cuTx 2 V implica (; x) 2 U . Dar x0 2 A implica V A 6= ;. Fie x0 2 V A. Avem [x0 2 V ) (; x0)T2 U ] si [x0 2 A ) (; x0) 2 (fg A) = A] deoarece A este echilibrata. Asadar U A 6= ; si, ^n consecinta, x0 2 A adica A este echilibrata. Propozitia 2.9. ^Intr-un spatiu vectorial topologic E exista un sistem fundamental de vecinatati echilibrate ale originii. Demonstratie. Fie E un sistem fundamental de vecinatati ale originii. Fie V 2 E . Aplicatia (; x) = x este continua ^n (0; 0E ) si (0; 0E ) = 0E , deci, pentru V 2 #(0E ), exista " > 0 si V0 2 #(0E ) cu jj < " si x 2 V0 ) (; x) = x 2 V: [ Notam V1 = V0: Atunci multimea V1 are proprietatile : jj"

1. V1 2 #(0E ) (deoarece V1  V0 si V0 2 #(0E ) pentru un  6= 0 dat). 2. V1 este echilibrata. Fie x 2 V1 si  2 K cu jj  1. Exista x0 2 V0 si 0 cu j0j  " si x = 0x0 . Atunci x = 0 x0 = (0)x0 si j0j  j0j < ", deci x 2 V1. 3. V1  V . Fie x 2 V1 . Atunci x = 0 x0. Dar j0j < " si x0 2 V0, deci x = 0x0 2 V (din continuitatea aplicatiei ). Pentru V1 2 #(0E ), exista U ^n E cu U  V1  V , deci U e  V1e = V1  V . Asadar E e = fU e = U 2 Eg formeaza un sistem fundamental de vecinatati echilibrate ale originii. Propozitia 2.10. I^ntr-un spatiu vectorial topologic exista un sistem fundamental de vecinatati ^nchise ale originii. Demonstratie. Fie E un sistem fundamental de vecinatati ale originii ^n spatiul topologic E si V 2 E . Demonstram, mai ^nt^ai, ca pentru V exista U 2 E cu U + U  V . Aplicatia '(x; y) = x + y ind continua ^n (0E ; 0E ), exista pentru V 2 #(0E ) = #('(0E ; 0E )) doua vecinatati V1; V2 din #(0E ); cu [x 2 V1; y 2 V2 ) '(x; y) = x + y 2 V ]. Fie U 2 E cu U  V1 \ V2 . Daca x, y 2 U , atunci '(x; y) = x + y 2 U , deci U + U  V .

2. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE. TEOREME DE CARACTERIZARE

23

Aratam ^n continuare ca U  V . Fie z0 2 U . Aplicatia (x; y) = x y este continua ^n (z0 ; z0) si (z0; z0) = 0E . Pentru U exista V1 2 # (z ) cu x; y 2 V1 implic a T 0 T (x; y) = x y 2 U . Dar z0 2 U si V1 2 #(z0) implica V1 U 6= ;. Fie z 2 V1 U . Avem (z0; z) = z0 z 2 U . Deci z0 = (z0 z) + z 2 U + U  V , adica a rmatia anterioara. Din U 2 #(0E ), rezulta ca exista V 0 2 E cu V 0  U  V si, trec^and la aderenta multimilor, obtinem V 0  U  V , asadar E = fV ; V 2 Eg formeaza un sistem fundamental de vecinatati ^nchise ale originii ^n E . Teorema 2.1. (de caracterizare a unui spatiu vectorial topologic) Un spatiu vectorial topologic admite un sistem fundamental de vecinatati ^nchise ale originii E care veri ca proprietatile: (i) (8) V1; V2 2 E (9) V 2 E cu V  V1 \ V2. (ii) (8) V 2 E si  2 K cu jj  1, avem V = V . (iii) (8) V 2 E si x 2 E (9) x 2 R ; x 6= 0 cu xx 2 V . (iv) (8) V 2 E (9) W 2 E cu W + W  V . Reciproc, daca E este o familie de parti ale unui spatiu vectorial ce veri ca proprietatile anterioare, exista o topologie compatibila cu structura de spatiu vectorial a lui E pentru care E este un sistem fundamental de vecinatati ale originii. Demonstratie. Presupunem ca E este un spatiu vectorial topologic. Daca E1 este un sistem fundamental de vecinatati ale lui 0E , atunci E = fW e = W 2 E1g este, de asemenea, un sistem fundamental de vecinatati echilibrate si ^nchise ale lui 0E . Evident elementele lui E veri ca proprietatile (i), (ii), (iii). Proprietatea (iv) rezulta din faptul ca aplicatia (x; y) 7 ! x + y este continua ^n (0E ; 0E ). Reciproc, presupunem ca E este o familie de parti ale lui E cu proprietatile (i), (ii), (iii) si (iv), unde E este un spatiu vectorial. Fie x 2 E . Notam #(x) = fV = V  x + U; U 2 Eg si aratam ca #(x) veri ca proprietatile (V1); (V2); (V3); (V4) care caracterizeaza o structura topologica pe E , notata  . (V1): Fie V 2 #(x). Atunci exista U 2 E cu V  x + U . Din (ii), lu^and  = 0, avem 0E = 0
x 2 U adica x + 0E 2 x + U  V deci x 2 V . (V2): Fie V 2 #(x) si V 0  V . Exista U 2 E cu V  x + U ) V 0  x + U ) V 0 2 #(x): (V3): Fie V 0 ; V 00 2 #(x) ) (9) U 0 ; U 00 2 E cu V 0  x + U 0 ; V 00  x + U 00. Din (i), exista U 2 E cu U  U 0 \ U 00 . Deci V 0 \ V 00  (x + U 0 ) \ (x + U 00)  x + U ) V 0 \ V 00 2 #(x): (V4): Fie V 2 #(x). Exista U 2 E cu x + U  V . Pentru U , exista U1 2 E cu U1 + U1  U . Fie V1 = x + U1 . Evident V1 2 #(x).

24

2. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE

Fie y 2 V1 . Rezulta y 2 x + U1 , deci y + U1 = x + U1 + U1  x + U  V ca urmare V 2 #(y). Asadar exista pe E o topologie^n care x+E este un sistem fundamental de vecinatati ale lui x. Aratam ^n continuare ca functiile: '(x; y) = x + y , (; x) = x sunt continue. Fie (x0 ; y0) 2 E  E si U 2 #(x0 + y0) = #('(x0; y0)). Exista U 0 2 E cu proprietatea ca x0 + y0 + U 0  U . Pentru U 0 exista U1 2 E cu U1 + U1  U 0 . Asadar, daca luam V1 = x0 + U1 2 #(x0 ), V2 = y0 + U1 2 #(y0) si x 2 V1; y 2 V2 , rezulta '(x; y) = x + y 2 x0 + U1 + y0 + U1 = x0 + y0 + U1 + U1   x0 + y0 + U 0  V: deci ' este continua ^n (x0 ; y0). Aratam mai ^nt^ai ca aplicatia: (; x) = x este continua ^n (0; 0E ). Avem (0; 0E ) = 0E . Fie U 2 #(0E ). Exista U 0 2 E echilibrata cu U 0  U . Asadar, daca x 2 U 0 si jj  1, atunci (; x) = x 2 U 0 = U 0  U , deci este continua ^n (0; 0E ). Aratam ^n continuare ca aplicatia partiala 1 () = x0 ; x0 2 E xat, este continua ^n 0. Avem 1(0) = 0E . Fie U 2 #(0E ). Exista U 0 2 E cu U 0  U . U 0 este absorbanta deci exista x0 > 0 asa ^nc^at (8)  cu jj  x0 sa avem 1 () = x0 2 U 0  U , adica a rmatia. Fie ^n continuare aplicatia partiala 2 (x) = 0
x unde 0 6= 0 este dat. Aratam ca este continua ^n 0E . Avem 2(0E ) = 00E = 0E . Fie U 2 #(0E ). Exista U 0 2 E cu U 0  U . Fie n0 = [j0j] + 3 (unde [ ] desemneaza partea ^ntreaga). Pentru U 0 2 E exista U 00 2 E cu |U 00 + U 00 {z +


+ U 00}  U 0 , unde U 00 n0 ori

este echilibrata. Daca x 2 U 00, atunci x1 = n0 x 2 U 00 deoarece j n0 j < 1. 0 0 Asadar 0


+ x}1 2 U 0  U: 2 (x) = 0 x = n0 n x = n0 x1 = x| 1 + x1 + {z 0 n 0

Din propozitia 2.5 rezulta ca aplicatia este continua.

4. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE METRIZABILE

3. Multimi marginite ^n spatii vectorial topologice

25

Definitia 2.5. O submultime M a unui spatiu vectorial topologic se numeste marginita, daca, pentru orice vecinatate U a originii, exista "U > 0, asa ^nc^at, pentru orice x 2 M , sa avem "U
x 2 U . Teorema 2.2. O submultime M a unui spatiu vectorial topologic E este marginita daca si numai daca (8) (xn)n cu xn 2 M si (n)n  R cu n ! 0; avem nxn ! 0E : Demonstratie. Fie M marginita si (n)n; (xn)n cu proprietatile din enunt. Avem echivalenta nxn ! 0E , [(8) V 2 #(0E ) (9) nV 2 N cu nxn 2 V; (8) n  nV ]: Fie V 2 #(0E ). Exista U 2 #(0E ) echilibrata cu U  V . Pentru U exista "U > 0 asa ^nc^at "U x 2 U pentru orice x 2 M: Din n ! 0 rezulta ca exista n"U asa ^nc^at jnj < "U , pentru orice n  n"U . Atunci, deoarece xn 2 M , daca n  n"U , avem n xn = "U
n xn = n
"U xn 2 n U  V

"U

"U

"U

deci n
xn ! 0E . Reciproc, presupunem conditia ^ndeplinita. Daca M nu este marginita, exista o vecinatate echilibrata a originii U asa ^nc^at (8) " > 0, "M 6 U . ^In particular, pentru orice n, exista xn 2 M cu n1 xn 62 U . De aici, desi n1 ! 0 si xn 2 M (8) n, n1 xn 6! 0E , absurd. Consecinta 2.2. O submultime A a unui spatiu vectorial topologic este marginita, daca si numai daca orice submultime numarabila a sa este marginita. Consecinta 2.3. Orice submultime nita a unui spatiu vectorial topologic este marginita.

4. Spatii vectorial topologice metrizabile Definitia 2.6. Spunem ca un spatiu topologic (E;  ) este metrizabil daca exista

o metrica pe E care genereaza topologia  . Teorema 2.3. Un spatiu vectorial topologic este metrizabil daca si numai daca este separat si originea poseda un sistem fundamental numarabil de vecinatati. Demonstrat1ie. Presupunem ca topologia spatiului este generata de o metrica 1 d. Atunci fS (0; n ); n 2 N g, unde S (0; n ) = fx = d(x; 0) < n1 g, formeaza un sistem fundamental numarabil de vecinatati ale originii. E este separat. Reciproc, presupunem ca E este un spatiu vectorial topologic separat cu un sistem fundamental numarabil de vecinatati ale originii E . Putem considera sistemul veri c^and proprietatile (i), (ii), (iii), (iv) din teorema de caracterizare a unui spatiu vectorial topologic.(teorema 2.1)

26

2. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE Aratam, mai ^nt^ai, ca pentru V 2 E , exista V 0 2 E cu V 0 + V 0 + V 0

 V0 . ^Intradevar, pentru V exista W 2 E cu W + W  V . La fel pentru W exista V 2 E cu V 0 + V 0  W . Dar [x 2 V 0; 0E 2 V 0 ) x = x + 0E 2 V 0 + V 0  W ], asadar V 0  W . Deci

V 0 + V 0 + V 0  W + V 0  W + W  V: Introducem familia numarabila #=fVn; n = 0; 1; :::g de elemente din E de nite prin V0 = E Vn+1 2 E cu Vn+1 + Vn+1 + Vn+1  Vn;

pentru orice n  0. # formeaza, la r^andul sau, un sistem fundamental numarabil de vecinatati ale originii. De nim g : E  E ! R prin:   1 g(x; y) = inf / x y 2 Vk : k 2k Evident g(x; y)  1 pentru orice x; y 2 E . Daca " > 0, iar x; u; v; y 2 E cu g(x; u)  "; g(u; v)  "; g(v; y)  ", atunci g(x; y)  2". ^Intr-adevar, exista k  1 cu 1k  ", deci 2

x u 2 Vk u v 2 Vk ) x y = x u + u v + v y 2 Vk + Vk + Vk  Vk 1 v y 2 Vk deci g(x; y)  k1 1 = 2 1k si, din 1k  ", rezulta k1 1  2", asadar g(x; y)  2". 2 2 2 2 De nim d : E  E ! R prin d(x; y) = inf

Avem Evident

(p 1 X

i=0

)

g(ui; ui+1) / p 2 N ; u0 = x; up = y, ui 2 E; 0 < i < p :

1 g(x; y)  d(x; y)  g(x; y) 2

d(x; y) = inf

(p 1 X

i=0

(8)

x; y 2 E: )

g(ui; ui+1) / u0 = x, up = y, p 2 N  g(x; y)

deoarece putem considera si situatia ^n care p = 1; u0 = x si u1 = y. Demonstram prin inductie propozitia n 1 X P (n) : 21 g(x; y)  g(ui; ui+1) cu u0 = x, un = y i=0

4. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE METRIZABILE

I. Pentru n = 1,

27

0 1 g(x; y)  X g(ui; ui+1) = g(x; y) 2 i=0

adevarat. II. P (1); :::; P (n) adevarate ) P (n + 1) adevarata. n X 1 P (n + 1) : 2 g(x; y)  g(ui; ui+1) cu u0 = x; un+1 = y i=0 Fie a =

n X i=0

g(ui; ui+1).

{ daca a  1 , atunci 1 g(x; y) < 1 , asadar 2 2 2 n 1 g(x; y)  X g(u ; u ) cu u = x; u = y: i i+1 0 n+1 2 i=0 { daca a < 12 , notam i0 valoarea maxima pentru care iX 0 1 g(ui; ui+1)  a2 : i=0 Evident avem: i0 n X X a g(ui; ui+1)  2 , g(ui; ui+1) > a2 : i=i0 +1 i=0 P (i0) este adevarata, deci 0 1 1 g(u ; u )  iX a g ( u 0 i0 i; ui+1 )  : 2 2 i=0 ^In plus, n 1 g (u ; u )  X g (ui; ui+1)  a ; g(ui0 ; ui0+1)  a: i0+1 i+1 2 2 i=0 Asadar g(u0; ui0 )  a, g(ui0 ; ui0+1)  a, g(ui0+1; un+1)  a si, din proprietatea lui g, rezulta g(u0; un+1)  2a, deci n 1 g(u ; u )  a = X g(ui; ui+1); 2 0 n+1 i=0 adica P (n + 1) este adevarata. Aratam ca d este o distanta: d(x; y) = 0 , g(x; y) = 0 , x y 2 Vn (8) n , x y = 0E , x = y deoarece E este separat.

28

2. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE

d(x; y) = d(y; x) deoarece g(x; y) = g(y; x) (8) x; y 2 E . d(x; y)  d(x; z) + d(y; z) deoarece (x; z); (z; y) pot considerate ^n legatura dintre x si y , iar n 1 X

inf f

 Rezulta

nX 0 1 i=0

i=0

g(ui; ui+1) +

d(x; y)  inf Fie x0 xat si y

n0 X

i=0 2 x0 + Vk .

g(ui; ui+1); u0 = x; un = y; n 2 N g 

n 1 X

i=n0

g(vi; vi+1) cu u0 = x; un0 = z; vn0 = z vn = y:

g(ui; ui+1) + inf Avem

n 1 X i=n0

g(vi; vi+1) = d(x; z) + d(z; y): 



y x0 2 Vk , d(y; x0)  21k , y 2 S x0 ; 21k , 1 g(y; x )  1 , g(y; x )  1 , 0 0 2 2k 2k 1 y x0 2 Vk1 , y 2 x0 + Vk 1 asadar, pentru orice k, avem   1 x0 = Vk  S x0 ; 2k  x0 + Vk 1 deci (S (x0 ; 21k ))k este un sistem fundamental de vecinatati ale originii si, ^n consecinta, topologia lui E este generata de metrica de nita anterior.

5. EXERCITII

5. Exercitii

29

1. Sa se demonstreze ca paralelipipedele din R n ( multimile de forma I1 I2 :::In , unde Ij sunt intervale din R ) sunt multimi convexe. 2. Fie E un spatiu vectorial. Aratati ca subspatiul generat de o parte absorbanta a lui E coincide cu E . Solutie. Dac a A  E , A absorbanta, iar x 2 E , atunci exista  2 K astfel ca x 2 A deci x apartine subspatiului vectorial generat de A. 3. Fie E , F doua spatii vectoriale si f : E ! F o aplicatie liniara. Daca A  E si B  F , avem: a) A convexa (echilibrata) =) f (A) convexa (echilibrata); b) B convexa (simetrica, echilibrata) =) f 1(B ) convexa (simetrica, echilibrata); c) f surjectiva, A absorbanta =) f (A) absorbanta; d) (f (A))c = f (Ac); (f (A))e = f (Ae); e) (f 1(B ))c  f 1(B c); f) (x + A)c = x + Ac, (8)x 2 E . O multime B este simetrica daca [x 2 B , x 2 B ]. 4. Sa se arate ca reuniunile arbitrare si sumele nite de multimi echilibrate sunt echilibrate. 5. Daca E , F sunt spatii vectorial topologice, aratati ca o functie liniara f : E ! F este continua daca si numai daca este continua ^n 0E . Solutie. Dac a f este continua ^n 0E iar x0 2 E , atunci pentru V 2 #(f (x0)) exista W 2 #(0F ) asa ^nc^at V = W + f (x0 ). Rezulta f 1(W ) 2 #(0E ) deci f 1(W ) + x0 2 #(x0 ). Dar, f ind liniara, rezulta f (f 1(W ) + x0 ) = f (f 1(W )) + f (x0 )  W + f (x0 ) = V; ceea ce dovedeste ca f este continua ^n x0 . 6. ^In spatiul vectorial K n consideram un punct x0 = (10; : : : ; n0 ) si familia de multimi Bx0 = fW (x0; ") = " > 0g unde W (x0 ; ") = fx = (i)ni=1= jk k0j < " ; k = 1; ng: Atunci topologia pe K n care are ca baza de vecinatati pentru un punct oarecare x0 familia Bx0 este compatibila cu structura de spatiu vectorial. Solutie. Fie (x0 ; y0 ) 2 K n  K n , x0 = (10 ; : : : ; n0 ), y0 = (10 ; : : : ; n0 ) si " > 0. Vom arata ca W (x0 ; 2" ) + W (y0; 2" )  W (x0 + y0; "): Avem x = (1; : : : ; n) 2 W (x0 ; 2" ) =) jk k0j < 2" ; (8) k

30

2. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE y = (1 ; : : : ; n) 2 W (y0; " ) =) jk 0j < "

si deci adica

2

k

2 ; (8) k

jk + k k0 k0j  jk k0j + jk k0j < " ; (8) k;

x + y 2 W (x0 + y0; "): Sa mai luam, ^n plus, 0 2 K si sa aratam ca S (0; )  W (x0; )  W (0x0 ; ") unde  > 0 va precizat ulterior. Din inegalitatile: jk 0k0j  j 0j
jk j + j0j
jk k0j + j 0 j
jk k0j < < ( + jk0j) + ( + j0j) + 2 = (3 + jk0j + j0j) < " unde  este astfel ales ^nc^at sa aiba loc ultima inegalitate pentru orice k = 1; n, rezulta incluziunea mentionata. 7. Se considera un spatiu topologic separat T si CK (T ) spatiul vectorial al functiilor continue x : T ! K . Atunci topologia pe CK (T ) pentru care o baza de vecinatati a unui punct x0 2 CK (T ) o reprezinta familia multimilor W (x0 ; A; ") = fx 2 CK (T ) = jx(t) x0 (t)j < "; 8 t 2 Ag unde A  T compacta iar " > 0, este compatibila cu structura de spatiu vectorial. 8. Fie E1 un subspatiu vectorial al spatiului vectorial topologic E . Atunci E1 este subspatiu vectorial. Solutie. E1 ind subspatiu vectorial, rezult a incluziunile E1 + E1  E1 , K
E1  E1 . Demonstram ca E1 + E1  E1 . Fie x; y 2 E1. Din continuitatea functiei '(x; y) = x + y, rezulta ca, pentru vecinatatea W 2 #(x + y), (9) U 2 #(x), V 2 #(y) astfel ca U + V  W . Atunci U \ E1 6= ; ; V \ E1 6= ; =) (U + V ) \ (E1 + E1 ) 6= ; si deci W \ (E1 + E1) 6= ;, adica x + y 2 E1 + E1 . Analog K
E1  K
E1 . 9. Fie E un spatiu vectorial topologic si A; B  E . a) Daca A; B sunt compacte, atunci A + B este compacta. b) Presupunem ca A este compacta si B ^nchisa. (i) Aratati ca, daca A\B = ;, exista V 2 #(0) cu (A + V ) \ (B + V ) = ;. (ii) Deduceti ca A + B este ^nchisa. Solutie. a) Imaginea prin functia continua (x; y) 7 ! x + y a multimii compacte A  B este o multime compacta.

5. EXERCITII

31

b) (i) B ^nchisa, A \ B = ; =) (8) x 2 A; (9) Wx 2 #(0E ) astfel ^nc^at (x + Wx) \ B = ;. Fie Vx o vecinatate echilibrata si deschisa a lui 0E asa^nc^at Vx + Vx + Vx  Wx. Familia (x + Vx)x2A constituie o acoperire deschisa a lui A deci, conform ipotezei, exista x1 ; : : : ; xn 2 A astfel ca

A Multimea V =

n \

n [

(xi + Vxi ):

i=1

Vxi este o vecinatate a lui zero. Sa demonstram ca i=1 (A + V ) \ (B + V ) = ;. Presupunem prin absurd ca (9) a 2 A, b 2 B , ;  0 2 V astfel ^nc^at a +  = b +  0 . Atunci exista i 2 f1; 2; :::; ng astfel ca a 2 xi + Vxi . Deci =) a +   0 2 xi + Vxi + Vxi + Vxi  xi + Wxi dar a +   0 = b 2 B ceea ce este absurd. (ii) Vom arata ca A + B este ^nchisa. Fie x 2 C(A + B ) =) (x B ) \ A = ;. Dar x B este ^nchisa deci, din (i), exista V 2 #(0E ) astfel ^nc^at (x B + V ) \ (A + V ) = ; deci, ^ntruc^at A = A + f0E g  A + V , rezulta (x B + V ) \ A = ;. Asadar x + V 2 #(x) si (x + V ) \ (A + B ) = ; deci x + V  C(A + B ) asadar C(A + B ) este deschisa. 10 Fie E un spatiu vectorial topologic si M un subspatiu vectorial al sau. Sa se arate ca, daca interiorul lui M este nevid, atunci M = E .  Solutie. Fie x 2 M . Atunci M 2 #(x) si deci x + M = M 2 #(0E ) ca urmare (vezi propozitia 2.6), M este absorbanta ^n E . Apoi, folosind exercitiul 2, deducem M = E .

32

2. SPATII VECTORIAL TOPOLOGICE

CAPITOLUL 3

Spatii local convexe 1. De nitii. Teorema de caracterizare a spatiilor local convexe Definitia 3.1. Un spatiu vectorial topologic E se numeste spatiu local convex,

daca topologia sa admite un sistem fundamental de vecinatati convexe ale originii. Exemplul 3.1. K n ; n  1, este un spatiu local convex (vezi exemplul 2:3). Exemplul 3.2. Spatiul (IK2 ) de nit in exemplul 2:1 este un spatiu local convex. Exemplul 3.3. Spatiul CK (T ) introdus ^n exercitiul 7, capitolul 2, este un spatiu local convex. ^Intradevar, este su cient sa demonstram ca, pentru A  K compacta si " > 0, multimea W (x0; A; "), introdusa ^n exercitiu, este convexa. Fie x1 ; x2 2 W (x0; A; ") si  2 [0; 1]. Notam A1 = ft 2 A / jx1 (t) x0 (t)j  jx2 (t) x0 (t)jg si A2 = A n A1: Atunci A = A1 [ A2: Avem, pentru t 2 A1 , jx1 (t) + (1 )x2 (t) x0 (t)j =

= j(x1 (t) x0 (t)) + (1 )(x2 (t) x0 (t))j 

 jx1(t) x0 (t)j + (1 )jx2 (t) x0(t)j  jx2 (t) x0 (t)j < " si, analog, pentru t 2 A2. Asadar x1 + (1 )x2 2 W (x0 ; A; "). Propozitia 3.1. Daca E este un spatiu local convex si E este un sistem fundamental de vecinatati ale originii, atunci E c = fV c / V 2 Eg este, de asemenea, un

sistem fundamental de vecinatati ale originii. Demonstratie. Fie E un sistem fundamental de vecinatati ale originii. Pentru V din #(0E ) exista C 2 #(0E ) convexa cu C  V . Pentru C exista U 2 E cu U  C  V . Deci U c  C  V . Dar U c  U deci U c 2 #(0E ). Asadar E c este un sistem fundamental de vecinatati ale originii. Teorema 3.1. Daca E este un spatiu local convex, atunci exista un sistem fundamental E de vecinatati ale originii cu proprietatile: (LC1) pentru orice C1 , C2 2 E exista C3 2 E cu C3  C1 \ C2; (LC2) pentru orice C 2 E si  cu jj  1 rezulta C = C ; (LC3) pentru orice C 2 E si x 2 E exista x 2 R ; x 6= 0 cu xx 2 C ; (LC4) pentru orice C 2 E exista C1 2 E cu C1 + C1  C ; (LC5) pentru orice C 2 E ; C este convexa. 33

34

3. SPATII LOCAL CONVEXE

Reciproc, daca pe un spatiu vectorial E exista o familie E de multimi cu proprietatile (LC1), (LC2), (LC3), (LC4), (LC5), atunci exista pe E o topologie local convexa unica ^n care E este un sistem fundamental de vecinatati ale originii. Demonstratie. Daca E este un spatiu local convex, el este un spatiu vectorial topologic deci au loc proprietatile (LC1), (LC2), (LC3), (LC4) pentru un sistem E de vecinatati ale originii. Sa aratam ca E c este formata din multimi echilibrate (acoperirea convexa a unei multimi echilibrate este echilibrata). Fie U 2 E , U echilibrata si U c acoperirea convexa a lui U . Fie x 2 U c si  cu jj  1. Pentru x exista n 2 N ; xi 2 U si i  0, i = 1; 2; :::; n cu n X

n X

n X

n X

i=1

i=1

i = 1 , x = n X

ixi:

Deci x =  ixi = (i)xi = i (xi). Dar xi 2 U deci x 2 U c, asadar U c i=1 i=1 i=1 este echilibrata. ^In consecinta E c este un sistem fundamental de vecinatati ale originii ce satisface proprietatile (LC1), (LC2), (LC3), (LC4) si (LC5). Reciproc, daca pe E exista o familie E de multimi ce veri ca proprietatile (LC1), (LC2), (LC3), (LC4), (LC5), atunci: (LC1) ) (i) (LC2) ) (ii) (LC3) ) (iii) (LC4) ) (iv) din teorema de caracterizare a spatiilor vectorial topologice (teorema 2:1:). Deci exista pe E o topologie compatibila cu structura de spatiu vectorial unica pentru care E este un sistem fundamental de vecinatati ale originii. ^In plus, din (LC5), acest sistem este format din multimi convexe. Asadar E este un spatiu local convex.

2. Seminorme. Topologii local convexe generate de seminorme

Definitia 3.2. Fie E un spatiu vectorial.

1. O aplicatie p : E ! R se numeste seminorma daca veri ca proprietatile: (SN1) p(x) = jjp(x) (8)  2 K si x 2 E (SN2) p(x + y)  p(x) + p(y ) (8) x; y 2 E . 2. Un spatiu vectorial pe care s-a de nit o seminorma se numeste spatiu vectorial seminormat. Propozitia 3.2. ^Intr-un spatiu vectorial seminormat au loc urmatoarele proprietati: (a) p(0E ) = 0; (b) p(x)  0 (8) x 2 E ; (c) jp(x) p(y)j  p(x y) (8) x; y 2 E . Demonstratie. a) p(0E ) = p(0
x) = 0
p(x) = 0; b) 0 = p(0E ) = p(x x)  p(x) + p( x) = p(x) + p(x) = 2p(x) ) p(x)  0;

2. SEMINORME. TOPOLOGII LOCAL CONVEXE GENERATE DE SEMINORME

35

c) p(x) = p(x + y y)  p(y) + p(x y) ) p(x) p(y)  p(x y) p(y) = p(x + y x)  p(x)+ p(y x) = p(x)+ p(x y) ) p(x) p(y)  p(x y). Asadar jp(x) p(y)j  p(x y). Notatii:

Sp(x; r) = fy 2 E / p(x y) < rg pentru r > 0; S p(x; r) = fy 2 E / p(x y)  rg pentru r  0; Sp(r) = Sp(0; r); S p(r) = S p(0; r) Sp = Sp(1); S p = S p(1). Propozitia 3.3. Pentru orice seminorma p si  2 K cu jj > 0 au loc egalitatile: Sp(jjr) = 
Sp(r); S p(jjr) = 
S p(r): Demonstratie. Pentru y 2 Sp(r) exista x 2 Sp(r) cu y = x si p(x) < r. Deci p(y) = p(x) = jjp(x) < jj
r, asadar y 2 Sp(jjr).   1 Reciproc, daca y 2 Sp(jjr), atunci p(y) < jj
r deci avem p(y) = p 1 y < r jj  1 si  y 2 Sp(r). Asadar y 2 Sp(r). Analog se demonstreaza si a doua egalitate din enunt. Propozitia 3.4. Daca p este o seminorma, atunci multimile Sp(r), S p (r) sunt

convexe, echilibrate si absorbante. Demonstratie. Fie x; y 2 S p(r) si  cu 0    1. Atunci: p (x + (1 )y)  p(x) + p ((1 )y) = = p(x) + (1 )p(y)  r + (1 )r = r asadar x + (1 )y 2 S p(r). Analog pentru Sp(r). Fie x 2 E . Daca p(x) 6= 0, luam  = r . Avem, pentru  cu jj < , p(x) p(x) = jjp(x) < p(x) = p(rx)
p(x) = r asadar x 2 Sp(r), deci Sp(r) este absorbanta. Daca p(x) = 0, atunci, pentru orice  si  cu jj < , p(x) = jjp(x) = 0 < r. Fie x 2 Sp(r) si  cu jj  1. Atunci p(x) = jjp(x)  p(x) < r si deci x 2 Sp(r). Asadar Sp(r) este echilibrata. Analog se procedeaza pentru S p(r). Propozitia 3.5. Fie E un spatiu vectorial si U  E o parte convexa, echilibrata si absorbanta. Atunci exista o seminorma pU pe E asa ^nc^at

SpU  U  S pU : pU se numeste seminorma asociata multimii U sau seminorma Minkowski. Demonstratie. U ind absorbanta, pentru orice x, exista un x > 0 asa ^nc^at, pentru orice  cu 0 < jj  x, sa avem x 2 U , deci x 2 1 U . Notam pU (x) = inf f > 0 / x 2 U g:

36

3. SPATII LOCAL CONVEXE

Evident pU (x)  0. Deci, pentru orice  cu  > pU (x) rezulta x 2 U . Fie x; y 2 E . Pentru " > 0, avem: x 2 (pU (x) + ") U (2) y 2 (pU (y) + ") U ^ntruc^at pU (x) < pU (x) + "; pU (y) < pU (y) + ". Notam " :  = p (x)pU+(xp) + U U (y ) + 2" Atunci " pU (y) + " 1  = 1 p (x)pU+(xp) + = (y) + 2" p (x) + p (y) + 2" : U

Din (2), avem

U

U

U

1 x2U ; 1 y2U pU (x) + " pU (y) + " si, U ind convexa, rezulta  p (x1) + " x + (1 ) p (y1) + " y 2 U: U U ^Inlocuind, obtinem 1 pU (x) + pU (y) + 2" (x + y) 2 U sau x + y 2 (pU (x) + pU (y) + 2") U deci pU (x + y) < pU (x) + pU (y) + 2": Fac^and " ! 0, obtinem pU (x + y)  pU (x) + pU (y). Fie acum  > 0. Avem pU (x) = inf f > 0 / x 2 U g = inf f > 0 ; x 2  U g = n o = 
inf  > 0 ; x 2  U = pU (x) = jjpU (x): Daca  2 C ;  6= 0, atunci exista 2 C cu j j = 1 si  = jj
. Avem pU (x) = pU (jj x) = jjpU ( x): Dar pU ( x) = inf f > 0 / x 2 U g = inf f > 0 / x 2  U g:

Dar U este echilibrata si

1

= 1, deci 1 U  U .

2. SEMINORME. TOPOLOGII LOCAL CONVEXE GENERATE DE SEMINORME

Fie x 2 U . Atunci

37

x = 1 x = 1 x 2 1 U; (U ind echilibrata, x 2 U ), deci U  1 U . Asadar pU ( x) = inf f > 0 / x 2 U g = pU (x). Fie x 2 SpU . Avem pU (x) < 1 ) pU (x) = inf f > 0 / x 2 U g < 1: Deci exista   1 cu x 2 U . Dar U este echilibrata, ca urmare U  U . Asadar x 2 U . Deci SpU  U . Fie acum x 2 U . Rezulta x 2 1
U , deci 1 2 f > 0=x 2 U g ) pU (x)  1 ) x 2 S pU : Propozitia 3.6. O seminorma p pe un spatiu local convex este continua daca si

numai daca este continua ^n origine. Demonstratie. Fie x0 2 E si " > 0, p ind continua ^n 0E . Exista V 2 #(0E ) astfel ^nc^at p(x) < ", pentru orice x 2 V . Dar x0 +V 2 #(x0 ) si x 2 x0 +V implica x x0 2 V , deci p(x x0 ) < ". Din jp(x) p(x0 )j  p(x x0 ) < " rezulta ca p este continua ^n x0 . Propozitia 3.7. Fie E un spatiu local convex si U convexa, echilibrata si absorbanta. Urmatoarele a rmatii sunt echivalente:

(a) pU este continua; (b) U 2 #(0E ).

Demonstratie. (a) ) (b): Presupunem ca pU este continua. Atunci pU este continua ^n 0E . Fie " > 0. Atunci ( "; 1) 2 #(0) si deci pU 1 ( "; 1) 2 #(0E ), unde pU 1( "; 1) = fx / pU (x) 2 ( "; 1)g = fx / pU (x) < 1g = SpU ; asadar SpU 2 #(0E ). Dar U  SpU si deci U 2 #(0E ). (b) ) (a): Fie " > 0. Din U 2 #(0E ) rezulta "U 2 #(0E ). Luam V = "U . Deci, daca x 2 V , atunci pU (x) = inf f > 0=x 2 U g ) p (x) < ": x 2 V ) x 2 "U U

asadar pU este continua ^n 0E . Propozitia 3.8. Pentru orice familie U de multimi convexe, echilibrate si absorbante ale unui spatiu vectorial E , exista o topologie  pe E cu proprietatile: (1) Familia n \

E = fV / V = " Ui ; " > 0; n 2 N , Ui 2 Ug i=1

formeaza un sistem fundamental de vecinatati ale originii;

38

3. SPATII LOCAL CONVEXE

(2) topologia  este local convexa; (3)  este cea mai putin na topologie pe E pentru care U  # (0E ). Demonstratie. Aratam ca E veri ca proprietatile (LC1), (LC2), (LC3), (LC4), (LC5) din teorema 3:1. (LC1): Fie n0

\ V 0 = "0 U 0 , U 0 2 U ;

i=1

i

i = 1; :::; n0; "0 > 0;

i

n00

\ si V 00 = "00 U 00, U 00 2 U ;

i

i=1

i = 1; :::; n0; "00 > 0

i

Luam " = minf"0; "00g si reindexam pe Ui00 asa ^nc^at sa putem scrie: n0\ +n00 00 00 V =" U 00: i=n0 +1

n0\ +n00

Luam V = "

i=1

i

Ui unde Ui =



Ui0 ; daca i 2 f1; 2; :::; n0g Ui00; daca i 2 fn0 + 1; :::; n0 + n00 g

Daca x 2 V , atunci exista y 2

n0\ +n00 i=1

Ui cu x = "y.

Dar Ui0 sunt convexe si echilibrate, deci n0

n0 \ i=1

Ui0 este convexa si echilibrata. ^In plus n0

\ \ "  "0 ) " U 0  "0 U 0 ;

asadar x = "y 2 "0 Analog

n0 \

i=1

i

i=1

i

Ui0 .

i=1

n00

\ x = "y 2 "00 U 00:

Deci V  V 0 \ V 00. (LC2): Fie V 2 E si  cu jj  1. Atunci

V = "

n \

i=1

Ui = "

i=1

n \

i=1

i

Ui = "

n \ i=1

Ui

2. SEMINORME. TOPOLOGII LOCAL CONVEXE GENERATE DE SEMINORME

deoarece Ui = Ui . (LC3): Fie V 2 E si x 2 E . Avem

V ="

n \ i=1

Ui =

n \ i=1

39

"Ui

unde Ui sunt convexe, echilibrate si absorbante deci "Ui este absorbanta, i = 1; :::; n. Fie x 2 E arbitrar. Pentru orice i = 1; :::; n, exista scalarii i 2 R, i 6= 0, cu ix 2 "Ui. Fie  = 1min i . Atunci x =  i
x 2 "Ui, deoarece "Ui este echilibrata  i  n i  si   1. i n \ Asadar x 2 "Ui pentru orice i, deci x 2 " Ui. (LC4):

(LC5):

n \

i=1

n \ " Fie V 2 E . Rezulta V = " Ui . Luam V1 = 2 Ui . Evident V1 2 E si i=1 i=1 n n n \ \ \ V1 + V1 = 2" Ui + 2" Ui = " Ui = "V: i=1 i=1 i=1

Deoarece Ui sunt convexe pentru orice i, rezulta ca multimea n \

n \

i=1

Ui este convexa

si, de asemenea, V = " Ui este convexa. i=1 Asadar exista pe E o topologie local convexa  ^n care E este un sistem fundamental de vecinatati ale originii. Evident U  E deoarece, pentru orice U 2 U , avem U = 1
U 2 E . Fie acum  0 o topologie pe E compatibila cu structura vectoriala astfel ca U  # 0 (0E ). n \ Fie V 2 # (0E ). Exista S 2 E cu S  V . Dar S = " Ui unde Ui 2 U . U ind o i=1

submultime a familiei # 0 (0E ), rezulta ca Ui 2 # 0 (0E ) pentru orice i. Avem ca n n \ \ Ui 2 # 0 (0E ) si S = " Ui 2 # 0 (0E ) (x 7! "x este un homeomor sm) deci i=1 n \

i=1

n \

Ui 2 # 0 (0E ) ceea ce implica " Ui 2 # 0 (0E ). Asadar V 2 # 0 (0E ), adica    0. i=1 i=1 Vom folosi urmatoarea lema a carei demonstratie este imediata. Lema 3.1. Daca fp ;  2 Ag este o familie de seminorme pe E , atunci, pentru orice A  A, A nita, pA = maxfp ;  2 Ag este, de asemenea, o seminorma pe E . Teorema 3.2. (Generarea unei topologii local convexe de catre o familie de seminorme) Fie E un spatiu vectorial ^nzestrat cu o familie fp =  2 Ag de seminorme. Exista pe E o topologie  cu proprietatile:

40

3. SPATII LOCAL CONVEXE

(1) familia

fSpA (") / unde pA = maxfp;  2 Ag; " > 0, A  A nitag

este un sistem fundamental de vecinatati ale originii ^n E ; (2)  este local convexa; (3)  este topologia cea mai putin na pe E ^n care p;  2 A, sunt continue. Demonstratie. Familia U = fSp /  2 Ag este o familie de multimi convexe, echilibrate si absorbante din E . Conform propozitiei 3:8, exista pe E o topologie local convexa,  , asa ^nc^at: n \

E = f" Spi / " > 0; i 2 A; n 2 N g i=1

este un sistem fundamental de vecinatati ale originii cu U  E . ^In plus  este topologia cea mai putin na cu aceasta proprietate (U  # (0E )). Aratam ca elementele din E au forma elementelor de nite de familia (1). Fie U 2 E . Deci exista " > 0; n 2 N si i 2 A; i = 1; :::; n, astfel ca n \

U = " Spi : i=1

Avem

n \

n \

i=1

i=1

U = " Spi =

"Spi =

n \

Spi (")

i=1

unde Spi (") = fx / pi (x) < "g. Fie A = f1; 2; :::; ng si pA = maxfpi ; i = 1; :::; ng. Daca

x2 atunci si

n \

Spi (");

i=1

pi (x) < " (8) i = 1; 2; :::; n pA(x) = 1max p (x) < "; in i

asadar x 2 SpA ("). Reciproc, daca x 2 SpA ("), avem

pa(x) < " ) pi (x) < " pentru i = 1; 2; :::; n deci x 2 Spi ("), i = 1; 2; :::; n. Asadar x2 Deci U = SpA (").

n \

i=1

n \

Spi (") ) x 2 " Spi = U: i=1

3. COMPARAREA TOPOLOGIILOR LOCAL CONVEXE

41

^In consecinta familia fSpA (") / " > 0, A  A, A nitag formeaza un sistem fundamental de vecinatati ale originii ^n topologia local convexa  introdusa prin propozitia 3.8. Aratam ca p este continua ^n topologia  pentru orice . Fie " > 0. Atunci ( 1; ") 2 #(0) si p 1 (( 1; ")) = Sp (") 2 E  # (0E ); asadar p este continua ^n 0E , deci este continua pe E . Fie  0 o topologie pe E asa ^nc^at p este continua pentru orice . Atunci p este continua ^n 0E . Deci, pentru " = 1, ( 1; 1) 2 #(0) si Sp (1) = p 1 (( 1; 1)) 2 # 0 (0E ). Asadar U  # 0 (0E ) si, din propozitia 3:8, rezulta    0 . Propozitia 3.9. Fie (E; fp ;  2 Ag) un spatiu local convex si E un sistem fundamental de vecinatati ale originii. Urmatoarele a rmatii sunt echivalente: (a) E\este separat; (b) V = f0E g; V 2E

(c) pentru orice x 2 E , x 6= 0, exista  2 A cu p(x) 6= 0. Demonstratie. (a) ) (b): Fie x 6= 0E . E ind separat, exista o vecinatate\U a originii cu x 62 U . Pentru U exista V 2 E cu V  U , asadar x 62 V . Deci x 62 U , adica

\

U 2E

U 2E

U = f0E g.

(b) ) (a): Fie x; y 2 E cu x 6= y. Deci x y 6= 0E si, din (b), x y 62

\

V 2E

V . Adica

exista V 2 E cu x y 62 V . Pentru V exista U echilibrata cu U + U  V . Evident x + U 2 #(x); y + U 2 #(y): Daca (x + U ) \ (y + U ) 6= ;, ar exista z 2 (x + U ) \ (y + U ) si, ^n acest caz, x y = x z + z y 2 U + U  V; absurd. Asadar, pentru x 6= y, am gasit doua vecinatati x + U , y + U ale lui x, respectiv y, cu intersectia vida. Deci E este separat. (b) ) (c): Fie x 2 E cu x 6= 0E . Exista V 2 E cu x 62 V . Pentru V , exista "0 si n n \ \ n 2 N asa ^nc^at "0 Spi  V . Deci x 62 "0 Spi . Asadar exista cel putin un i0 cu i=1

i=1

pi0 (x)  "0, deci pi0 (x) 6= 0. (c) ) (b): Fie x 2 E . Exista p0 cu p0 (x) 6= 0. Fie "0 = p02(x) . Deci x0 62 Sp ("0). \ Asadar x0 62 V . V 2E

3. Compararea topologiilor local convexe

Definitia 3.3. Daca p1 ; p2 sunt doua seminorme pe spatiul vectorial E spunem ca p2 majoreaza p1 si scriem p1  p2, daca avem p1(x) < p2(x) pentru orice x din E .

42

3. SPATII LOCAL CONVEXE

Propozitia 3.10. Daca fp g2A este o familie de seminorme pe E , atunci familia

fpA / pA(x) = max p (x); A  A; A nitag 2A 

formeaza o familie dirijata de seminorme si topologiile generate de cele doua familii coincid. Demonstratie. Familia fp ;  2 Ag de seminorme este inclusa ^n familia de seminorme fpA , A  A; A nitag iar aceasta din urma este dirijata la dreapta. Topologiile coincid, deoarece un sistem fundamental de vecinatati ale originii are forma fSpA (") / pA = max p " > 0; A  A nitag 2A 

indiferent de topologie. Consecinta 3.1. Daca fp ;  2 Ag este o familie dirijata de seminorme pe E , atunci topologia local convexa generata de aceasta are un sistem fundamental de vecinatati ale originii de forma fSp (")=" > 0 ;  2 Ag: Definitia 3.4. Doua familii dirijate de seminorme, fp  2 Ag; fq ; 2 Bg se numesc echivalente daca: (i) (8)  2 A (9) 2 B si  > 0cu p(x)  
q (x) (8) x 2 E (ii) (8) 2 B (9)  2 A si   > 0 cu

q (x)   
p (x) (8) x 2 E:

Propozitia 3.11. Doua familii echivalente de seminorme

fp;  2 Ag; fq ; 2 Bg;

genereaza pe E aceeasi topologie. Demonstratie. Vom nota #A (0E ), respectiv #B (0E ), clasa vecinatatilor lui 0E ^n raport cu topologia generata de A, respectiv de B. Fie V 2 #A (0E ). Exista p0 si " > 0 cu Sp0 (")  V . Pentru p0 exist si 0 0 > 0 cu p0 (x)  0 0
q 0 (x) pentru orice x 2 E . a q 0  " Daca x 2 Sq 0 , atunci

0 0 p0 (x)  0 0
q 0 (x) < 0 0  " = " 

0 0

"



si x 2 Sp0 (")  V . Deci V 2 #B (0E ) ^ntruc^at Sq 0  2 #B (0E ). 0 0

4. TEOREMA HAHN-BANACH DE PRELUNGIRE A FUNCTIONALELOR LINIARE

Exemplul 3.4. Spatiul vectorial

43

al tuturor sirurilor de numere reale este un spatiu local convex separat daca se considera topologia generata de familia P = fpngn2N a seminormelor de forma pn(x) = 1max jx j; x = (xn)n: in i RN

Astfel, este evident ca pn este o seminorma pe R N , pentru orice n 2 N . ^In plus, P este dirijata la dreapta av^and pn  pn+m, pm N pn+m pentru orice n; m 2 N . Ca urmare P de neste o topologie local convexa pe R . Pentru a demonstra ca aceasta topologie este separata este su cient sa observam ca, daca x 2 R N , x 6= 0 , atunci exista n 2 N cu xn 6= 0 ceea ce implica pn(x) 6= 0, iar apoi sa utilizam propozitia 3.9. Exemplul 3.5. (Limite inductive de spatii local convexe) Fie E un spatiu vectorial si fEigi2= o familie de subspatii vectoriale ale lui E dirijata la dreapta fata de incluziune. Presupunem ca, pentru orice i, Ei sunt spatii topologice cu topologiile i av^and proprietatea: Ei  Ej ) jjEi  i : Notam W = fW / W  E; W echilibrata, absorbanta, convexa si

W \ Ei 2 #i (0E ) (8) i 2 =g: Multimea W de neste o topologie local convexa pe E , numita limita inductiva a topologiilor i , iar (E;  ) se numeste limita inductiva a familiei de spatii (Ei; i)i2=. Notam E = lim a, ^n plus, avem: ! Ei . Dac J

(1) E = [fEi ; i 2 =g; (2) Ei  Ej ) jjEi = i spunem ca limita inductiva este stricta.

4. Teorema Hahn-Banach de prelungire a functionalelor liniare Definitia 3.5. Daca E este un spatiu vectorial, spunem ca f : E 7! K este o functionala liniara daca veri ca relatia f (x + y) = f (x) + f (y) pentru orice ; 2 K si x; y 2 E .

Teorema 3.3. (Hahn-Banach) Fie E un spatiu vectorial real, p o seminorma pe E , E0  E subspatiu vectorial si f : E0 ! R o functionala liniara cu proprietatea ca f (x)  p(x), pentru orice x 2 E0 . Atunci exista o functionala liniara F : E ! R astfel

^nc^at FjE0 = f si F (x)  p(x), pentru orice x 2 E . Demonstratie. Presupunem ca E0 6= E , deci exista x1 2 E n E0 . Notam E1 acoperirea liniara a multimii E [ fx1 g.Asadar X E1 = f iyi / I nita, i 2 R ; yi 2 E0 [ fx1gg: i2I

Etapa 1: De nirea unui numar real 1 corespunzator lui f , p si x1 .

44

3. SPATII LOCAL CONVEXE

Fie x0 ; x00 2 E0 . Atunci f (x0) f (x00 ) = f (x0 x00)  p(x0 x00) = p(x0 + x1 x1 x00) = = p (x0 + x1 + ( x00 x1))  p(x0 + x1 ) + p( x00 x1 ): Asadar, f (x00) p( x00 x1 )  f (x0 ) + p(x0 + x1 ); (8) x0; x00 2 E0: Deci sup ( f (y) p( y x1 ))  inf ( f (y) + p(y + x1)) : y2E0

y2E0

Fie 1 2 R astfel ^nc^at sup ( f (y) p( y x1 ))  1  inf ( f (y) + p(y + x1 )) : y2E0

y2E0

Etapa 2: Aratam ca orice x 2 EP 1 se scrie ^n mod unic sub forma x = y + x1 ; y 2 E0 ,  2 R . Fie x 2 E1 . Atunci x = i2I i yi + x1 ; yi 2 E0 : Presupunem ca:  x = y0 + 0x1 cu 0 6= 00; y0; y00 2 E0 ) x = y00 + 00x1  y0 y00 = (00 0)x1 ) x = 1 (y0 y00) 2 E ; absurd. 0 1 00 0 0 6= 00 Etapa 3: De nirea unei functionale liniare f1 : E1 ! R cu f1jE0 = f si f1 (x)  p(x) pentru orice x 2 E1. Luam prin de nitie: f1(x) = f (y) + 1 unde x = y + x1 . Aratam ca f1 este liniara. Fie x0 2 E1; x00 2 E1 cu x0 = y0 + 0x1 , x00 = y00 + 00x1 ; 0 + 00 2 R . Avem x0 + x00 = y0 + 0x1 + y00 + 00x1 = y0 + y00 + (0 + 00)x1 2 E0 : Deci f1 (x0 + x00) = f (y0 + y00) + (0 + 00 )1. Dar f1(x0 ) = f (y0) + 01 si f1 (x00) = f (y00) + 001. Deci f1(x0 + x00 ) = f1(x0 ) + f1 (x00). Analog, f1 (x) = f1(x). Daca x 2 E0  E , atunci x = x + 0x1 ; x 2 E0 , deci f1(x) = f (x) + 0
1 = f (x). Deci f1 este o prelungire pentru f . Demonstram ^n continuare relatia f1(x)  p(x), pentru orice x 2 E1 . Daca  = 0, atunci f1 (x) = f (y) + 0
1 = f (y)  p(y)  p(y + 0
x1 )  p(x). Daca  > 0, avem 1  f (y) + p(y + x1); (8) y 2 E0. ^Inlocuind, ^n relatia precedenta, y cu 1 y, obtinem     1 1 1  f  y + p  y + x , 1  f (y) + p(y + x1 ) , , f (y) + 1  p(y + x1) , f1 (x)  p(x): Daca  < 0 utilizam inegalitatea f (y) p( y x1 )  1; (8) y 2 E0. ^Inlocuim y cu 1 y si rezulta, analog cu cazul precedent, ^n nal f1 (x)  p(x). 

4. TEOREMA HAHN-BANACH DE PRELUNGIRE A FUNCTIONALELOR LINIARE

45

Etapa 4: Fie familia de subspatii liniare ale lui E, (Eh)h2H si, de asemenea familia de functionale liniare  = ffh / h 2 H; fh : Eh 7 ! R ; fhjE0 = f; fh(x)  p(x); (8)x 2 Ehg: Existenta acestor functionale a fost demonstrata ^n primele etape. Pentru fh0 ; fh00 2 , spunem ca fh0 precede pe fh00 (fh0  fh00 ), daca Eh0  Eh00 , fh00 jEh0 = fh0 . Relatia  este o relatie de ordine partiala. Etapa 5: Aplicam lema lui Zorn (daca ^ntr-o multime partial ordonata, orice parte total ordonata admite un maxim, atunci multimea data are un element maximal). Considera[ m t   total ordonata. Fie t = ffh / h 2 Ht  Hg total ordonata. De nim ft : Eh ! R , prin ft(x) = fh(x), daca x 2 Eh. Deci fh  ft ; (8) h 2 Ht h2Ht

asadar toate elementele lui t sunt majorate de ft . ^In plus, pentru orice h, avem ftjEh = fh. Deci exista ^n  un element maximal, notat F . Trebuie sa mai aratam ca F este de nita pe ^ntreg spatiul E . Presupunem ca F : E 0 ! R , unde E 0 este inclusa strict ^n E . Atunci exista x0 2 E n E 0 si functia F 0 :< E 0 >! R ; F 0(x)  p(x); deci F  F 0; absurd. Corolar 3.1. Fie E un spatiu vectorial real si p o seminorma pe E . Pentru orice

x0 2 E , exista o functionala liniara f : E ! R cu f (x0) = p(x0) f (x)  p(x); (8) x 2 E:

.

Demonstratie. Fie x0 2 E; E0 = hfx0 gi. Atunci orice x 2 E0 are forma x = x0 ;  2 R . De nim functia f0 : E0 ! R , prin f0(x) = p(x0). Atunci f0(x0 ) = 1
p(x0 ) = p(x0 ). Apoi, daca x0 ; x00 2 E0 ; x0 = 0x0 ; x00 = 00x0 ; cu 0; 00 2 R ; atunci f0 (x0 ) + f0(x00) = 0p(x0 ) + 00p(x0 ) = (0 + 00)p(x0 ) = f0(x0 + x00): Analog f0 (x) = f0(x), asadar f0 este o functionala liniara cu f0(x) = p(x0 )  jj
p(x0) = p(x0 ) = p(x): Din teorema Hahn-Banach, f0 poate prelungita la o functionala f care sa satisfaca conditiile cerute. Teorema 3.4. Fie E un spatiu vectorial complex, E0  E un subspatiu, p o seminorma pe E . Daca f : E0 ! C este o functionala liniara cu jf (x)j  p(x), pentru orice x 2 E0, atunci exista F : E ! C liniara cu FjE0 = f si jF (x)j  p(x), oricare ar x 2 E. Demonstratie. Fie f = f1 + if2 ; f1 ; f2 : E 7 ! R ind functionale liniare. Etapa 1: Aratam ca f2(x) = f1 (ix).

46

^Intradevar,

3. SPATII LOCAL CONVEXE

i (f1(x) + if2(x)) = if (x) = f (ix) = f1(ix) + if2 (ix) : i (f1(x) + if2(x)) = f2 (x) + if1 (x) Deci f2 (x) = f1 (ix). Etapa 2: Prelungim pe f1 . Avem f1(x) = Re(f (x))  jf (x)j  p(x); (8) x 2 E0, deci exista o functionala liniara F1 : E ! R cu F1 (x) = f1 (x); (8) x 2 E0 F1 (x)  p(x); (8) x 2 E: Etapa 3: Construim pe F . Fie F : E ! C , F (x) def = F1(x) + i ( F1 (ix)). Daca x 2 E0, atunci, folosind etapa 1, F (x) = F1 (x) + i ( F1 (ix)) = f1(x) + i ( f1 (ix)) = f1 (x) + if2 (x) = f (x); deci F este prelungirea lui f . ^In ne, pentru orice x 2
E ,

avem jF (x)j = F1 e i x = F1 ei x  p ei x = p(x). Corolar 3.2. Daca E este un spatiu vectorial complex si p o seminorma pe E , atunci, pentru orice x0 2 E , exista o functionala liniara f : E ! C , cu jf (x0)j = p(x0 )

jf (x)j  p(x);

(8)

x 2 E:

5. EXERCITII

5. Exercitii

47

1. Fie E un spatiu vectorial pe care este de nit un sir (pn)n0 de seminorme. Punem, pentru x 2 E , 1 X jxj = 21n
1 +pnp(x()x) : n n=0 Aratati ca, pentru orice x; y 2 E , avem x = 0 =) jxj = 0 a) jxj = j xj; b) jx + yj  jxj + jyj; c) jj  1 =) jxj  jxj; d)  ! 0 =) jxj ! 0. Indicatie. b) Se observ a ca functia t 7 ! 1 +t t este crescatoare pe intervalul ( 1; 1). Apoi, deoarece pn(x + y)  pn(x) + pn(y), avem, pentru orice n  0, pn(x + y)  pn(x) + pn(y)  pn(x) + pn(y) : 1 + pn(x + y) 1 + pn(x) + pn(y) 1 + pn(x) 1 + pn(y) 2. Fie T un spatiu Hausdor si CR(T ) spatiul functiilor reale continue pe T . Daca Q  T este compacta, notam pQ(x) = supfjx(t)j=t 2 Qg: Cu topologia de nita de familia de seminorme P = fpQ=Q  T compactag CR(T ) devine spatiu local convex separat. 3. Sa se arate ca, daca P este o familie de seminorme care de nesc un spatiu local convex E , iar A  E , atunci A este marginita daca si numai daca p(A) < 1, pentru orice p 2 P . Solutie. Presupunem A m arginita si consideram p 2 P si " > 0. Atunci Sp(") este o vecinatate a originii, deci exista  6= 0 astfel ^nc^at A  Sp("). Dar (8) x 2 A =) p(x) = jjp(x) < " =) p(x) < j" j : Reciproc, e W 2 #(0E ). Exista, atunci, p 2 P , " > 0, asa ^nc^at Sp(")  W . Prin ipoteza, (9)  > 0 cu p(x) <  (8) x 2 A. Fie  2 K , astfel ^nc^at jj = " . Atunci  6= 0 si (8) x 2 A =) p(x) = jjp(x) <  = " jj si deci A  Sp(")  W . 4. Sa se demonstreze ca, ^ntr-un spatiu local convex, acoperirea convexa a unei multimi marginite este marginita. Solutie. Fie A m arginita si U 2 #(0) iar V  U o vecinatate convexa a originii. Atunci exista  > 0 astfel ^nc^at A  V , (8)  cu jj  . Deci, V ind convexa, Ac  V  U:

48

3. SPATII LOCAL CONVEXE

5. Consideram spatiul local convex E a carui topologie  este generata de un sir crescator (pn)n de seminorme cu proprietatea ca, pentru orice n 2 N , avem [pn(x) = 0 ) x = 0]. Atunci aplicatia de nita prin 1 X d(x; y) = 21n
1 +pnp(x(x y)y) n n=0 reprezinta o metrica pe E iar topologia de nita de aceasta este echivalenta cu  . Deci E este spatiu local convex separat. Indicatie. Faptul c a d reprezinta o metrica rezulta evident din exercitiul 1. Sa demonstram ca topologia  0 introdusa de d este echivalenta cu  . Vom nota, pentru  > 0, cu B () = Sd () iar cu Bn = Spn (1), (8) n 2 N . Va su cient sa aratam ca ecare Bn contine o sfera B () si ecare B () contine o sfera Bn. Fie k 2 N . Pentru  > 0 exista n 2 N astfel ca n+1k+1 < . 2   1 (i) Daca n 2 N si x 2 B 2n+k+1 , atunci   1
pn(x)  1 =) p (x) 1 1  1 n 2n 1 + pn(x) 2n+k+1 2k+1 2k+1 deci pn(x)  1k ceea ce arata ca x 2 1k Bn. 2  2  1 1 Asadar B 2n+k+1  2k Bn. (ii) Fie x 2 2k1+2 Bk+1. Avem p0(x)  p1 (x)  : : :  pk+1(x)  2k1+2 deci k+1 1 X 1
pn(x)  1 X 1 = 1 : n k +2 n 2k+1 n=0 2 1 + pn (x) 2 n=0 2 Pe de alta parte, 1 1 X 1
pn(x)  X 1 = 1 n n 2k+1 n=k+2 2 1 + pn (x) n=k+2 2   de unde deducem ca x 2 B 21k . Ca urmare   1 B B 1 : 2k+2 k+1 2k

6. Se considera un spatiu vectorial complex E si se noteaza cu E 0 multimea functionalelor liniare complexe pe E . Daca p este o seminorma pe E , iar F = ff 2 E 0 = jf (x)j  p(x); (8) x 2 E g; atunci p(x) = supfjf (x)j = f 2 Fg, (8) x 2 E . Indicatie. Se aplic a teorema 3.4.

5. EXERCITII

49

7. Sa se veri ce ca spatiul C ([0; 1]) al functiilor reale continue pe [0; 1], ^nzestrat cu topologia convergentei punctuale este local convex separat. Solutie. Consider am familia de seminorme (pt )t2[0;1] de nita pe C ([0; 1]) prin pt (f ) = jf (t)j. Daca f 2 C ([0; 1]), f 6= 0, atunci exista t0 2 [0; 1] asa ^nc^at f (t0 ) 6= 0, deci pt0 (f ) 6= 0. Utiliz^and teorema 3.2 si propozitia 3.8 deducem ca fptgt2[0;1] induce pe C ([0; 1]) o topologie  local convexa separata. Sa mai aratam ca  coincide cu topologia convergentei punctuale. Fie (f )2
 C ([0; 1]), f (t) ! 0, (8) t 2 [0; 1], rezulta pt (f ) ! 0, (8) t 2 [0; 1], adica f ! 0 ^n  . 8. Fie E un spatiu vectorial si E o familie de parti convexe, echilibrate si absorbante ale lui E cu proprietatile (i) V1; V2 2 E =) (9) V 2 E , V  V1 \ V2; (ii) V 2 E ,  > 0 =) V 2 E . Sa se arate ca exista o topologie local convexa pe E compatibila cu structura de spatiu vectorial ^n care E sa e un sistem fundamental de vecinatati ale originii. 9. Fie E un spatiu vectorial, d o metrica pe E iar F un subspatiu vectorial propriu al sau. Fie, de asemenea, x0 2 E n F astfel ^nc^at d(x0; F ) =  > 0. Atunci exista o functionala liniara reala pe E cu proprietatile: (i) f (x) = 0 daca x 2 F ; (ii) f (x0) = . Indicatie. Consider am subspatiul E0 = f x + tx0 ; x 2 F; t 2 R g si functionala liniara f0 : E0 ! R , f0 ( x + tx0 ) = t si aplicam teorema de prelungire Hahn-Banach. 10. Fie E un spatiu vectorial pe care s-a de nit o metrica si x0 2 E . Aratati ca, daca, pentru orice functionala liniara si marginita f : E ! R , avem f (x0) = 0, atunci x0 = 0E . Indicatie. Fie d metrica spatiului E iar p : E ! R , p(x) = d(x; 0E ). Atunci p este o seminorma. Utilizam acum corolarul 3:2:

50

3. SPATII LOCAL CONVEXE

CAPITOLUL 4

Spatii normate 1. De nitii. Proprietati

1. Fie E un spatiu vectorial peste K . Numim norma pe E o aplicatie k
k : E ! R care are proprietatile: 1. kxk = 0 , x = 0E ; 2. kxk = jj
kxk (8) x 2 E si  2 K ; 3. kx + yk  kxk + kyk (8) x; y 2 E . 2. Un spatiu vectorial ^n care s-a considerat o norma se numeste spatiu vectorial normat sau, mai simplu, spatiu normat. 3. Doua spatii normate E; F se numesc izomorfe daca exista f : E ! F cu proprietatile: (i) f (x + y) = f (x) + f (y) (8) , 2 K , x, y 2 E ; (ii) f este bijectiva; (iii) kf (x)k = kxk (8) x 2 E . Exemplul 4.1. Aplicatiile de nite pe K n cu valori reale date prin Definitia 4.1.

kxk

unde

v u n uX =t

jxij2; kxk1 =

i=1 x = (x1 ; x2 ; :::; xn) 2 K n ,

n X i=1

jxi j; kxk1 = 1max jx j in i

reprezinta norme pe K n . ^In plus avem inegalitatile

kxk1  kxk1  pn kxk  n kxk1

pentru orice x 2 K n . ^In demonstrarea acestor a rmatii se utilizeaza inegalitatile lui Minkowski si, respectiv, Schwartz. Exemplul 4.2. Spatiul vectorial (IK1 ) al sirurilor marginite x = (n)n cu elemente din K este spatiu normat cu norma de nita prin kxk = sup jnj: n2N

Clasa sirurilor convergente din K reprezinta un subspatiu normat al spatiului (IK1). Exemplul 4.3. Daca T este un spatiu topologic compact, atunci, pe spatiul vectorial CK (T ) al functiilor continue de nite pe T cu valori ^n K , kxk = max jx(t)j t2T reprezinta o norma numita norma uniforma. Astfel CK (T ) este un spatiu vectorial normat. 51

52

4. SPATII NORMATE

Exemplul 4.4. Fie a; b 2 R cu a < b. Notam L([a; b]) spatiul vectorial al functiilor

x : [a; b] ! R integrabile Lebesgue. Daca factorizam pe L([a; b]) cu relatia de echivalenta "" data prin x  y daca si numai daca x = y aproape peste tot, obtinem, prelu^and natural adunarea claselor de echivalenta si ^nmultirea acestora cu un scalar, spatiul vectorial c^at L([a; b]), numit, pentru simpli carea limbajului, tot spatiul functiilor integrabile Lebesgue. Pe acest spatiu,

kxk =

Z

[a;b]

jx(t)jdt

este o norma, deci L([a; b]) este un spatiu normat. Din de nitie se deduc imediat urmatoarele propozitii : Propozitia 4.1. ^Intr-un spatiu normat E are loc inegalitatea

(8)

x; y 2 E .



kxk kyk  kx yk

Propozitia 4.2. ^Intr-un spatiu normat E , aplicatia d : E  E ! R , de nita prin

d(x; y) = kx yk este o metrica pe E .

2. Topologizarea unui spatiu normat Definitia 4.2. Fie E un spatiu normat, x 2 E si r > 0. 1. Se numeste sfera deschisa de centru x si raza r, multimea S (x; r) = fx0 2 E = kx0 xk < rg: 2. Se numeste sfera ^nchisa de centru x si raza r, multimea S (x; r) = fx0 2 E = kx0 xk  rg: Teorema 4.1. Daca E este un spatiu normat, atunci familia

 = fD =  6= D  E; (8) x 2 D (9) r > 0 cu S (x; r)  Dg [ f;g de neste o topologie pe E , numita topologia generata de norma. Aplicatia x 7! kxk

este continua ^n aceasta topologie. Demonstratie. ; 2  prin de nitie Ssi este evident ca E 2  . Fie D 2  cu  2 A. Notam D = D si, daca D 6= ;, consideram un element 2A

x 2 D. Exista  2 A cu x 2 D, deci exista r > 0 cu S (x; r)  D  D, asadar D 2 . Fie D1 ; D2 2  . Daca D1 \ D2 = ;, atunci D1 \ D2 2  . Daca D1 \ D2 6= ;, e x 2 D1 \ D2. Atunci exista r1 > 0, r2 > 0 cu S (x; r1)  D1 si S (x; r2 )  D2 . Lu^and r = minfr1; r2g rezulta S (x; r)  S (x; r1)  D1 S (x; r)  S (x; r2)  D2 deci S (x; r)  D1 \ D2 = D, asadar D 2  .

2. TOPOLOGIZAREA UNUI SPATIU NORMAT

53

Continuitatea functiei ' : E ! R , '(x) = kxk rezulta din Propozitia 4.1. Observatie. ^In spatiul CK (T ) convergenta ^n topologia generata de norma este echivalenta cu convergenta uniforma. ^Intr-adevar avem xn ! x , (8) " > 0; (9) n" 2 N asa ^nc^at sau

[n  n" ) max jx (t) x(t)j  "] t2T n (8) " > 0; (9) n" 2 N asa ^nc^at

[n  n" ) jxn(t) x(t)j  "; (8) t 2 T ]: Aceasta proprietate justi ca denumirea de norma uniforma. Definitia 4.3. Spunem ca doua norme k
k1 ; k
k2 pe E , sunt echivalente daca exista ; > 0 asa ^nc^at kxk2  kxk1  kxk2 (8) x 2 E: Observatie. Normele k
k ; k
k1 ; k
k1 de nite pe K n sunt echivalente. Propozitia 4.3. Doua norme sunt echivalente daca si numai daca de nesc aceeasi topologie. Demonstratie. Presupunem ca k
k1 si k
k2 sunt echivalente pe E si notam cu 1 ; 2 topologiile generate de cele doua norme. Fie D 2 1 ; D 6= ;. Pentru x 2 D exista r > 0 astfel ca Sk
k1 (x; r)  D. Exista ; > 0 asa ^nc^at kxk2  kxk1  kxk2 (8) x 2 E si, lu^and r0 = r , x0 2 Sk
k2 (x; r0), obtinem kx0 xk1  kx0 xk2 <
r = r deci x0 2 Sk
k1 (x; r)  D, asadar Sk
k2 (x; r0)  D si, ^n consecinta, D 2 2, deci 1  2 . Analog se arata ca 2  1 . Propozitia 4.4. Fie E un spatiu normat. Pentru x0 2 E si r > 0, S (x0 ; r) este o multime deschisa iar S (x0 ; r) este o multime ^nchisa ^n topologia generata de norma si avem S (x0 ; r) = S (x0; r): Demonstratie. Fie x 2 S (x0; r) arbitrar cu x 6= x0 . Notam r0 = kx x0 k. Aratam ca S (x; r r0 )  S (x0 ; r). ^Intr-adevar, pentru x0 2 S (x; r r0), avem kx0 x0 k  kx0 xk + kx x0k < r r0 + r0 = r: Asadar S (x0 ; r) 2  .

54

4. SPATII NORMATE

Demonstram ^n continuare ca, pentru x0 2 E , S (x0 ; r)  S (x0 ; r). Presupunem ca exista x0 2 S (x0 ; r) cu kx0 x0 k > r. Notam r1 = kx0 x0k. Daca x 2 S (x0; r1 r) \ S (x0 ; r), atunci kx x0 k < r1 r; kx x0 k < r deci kx0 x0k  kx0 xk + kx x0 k < r1 r + r = r1; absurd. Asadar S (x0 ; r1 r) \ S (x0; r) = ;. Cum, ^nsa, S (x0; r1 r) 2  deci S (x0 ; r1 r) 2 #(x0), contrazicem astfel relatia x0 2 S (x0 ; r). Pentru a dovedi incluziunea contrara, e x1 2 S (x0 ; r), deci kx1 x0 k  r. Daca kx1 x0 k < r, atunci x1 2 S (x0 ; r)  S (x0 ; r): Daca kx1 x0 k = r, consideram un sir (n)n de numere reale cu 0 < n < 1 si n ! 0. Atunci knx0 + (1 n)x1 x0 k = k(1 n)(x1 x0 )k = = (1 n)kx1 x0 k < kx1 x0 k = r: Deci nx0 + (1 n)x1 2 S (x0; r): Norma ind continua, rezulta lim ( x + (1 n)x1 ) 2 S (x0; r) n!1 n 0 deci,utiliz^and propozitia 1.3., x1 2 S (x0 ; r). Asadar, si^n acest caz, S (x0 ; r)  S (x0 ; r). Propozitia 4.5. ^Intr-un spatiu normat, aplicatiile '(x; y) = x + y, (; x) = x sunt continue ^n topologiile produs ale topologiilor generate de normele corespunzatoare. Demonstratie. Fie (x0 ; y0) 2 E  E . Avem k'(x; y) '(x0; y0)k = kx + y (x0 + y0)k   kx x0 k + ky y0k: Pentru " > 0, daca x 2 S (x0; "=2); y 2 S (x0; "=2), avem k'(x; y) '(x0 ; y0)k < ". Pentru (0; x0 ) 2 K  E si (; x) 2 K  E , avem k (; x) (0 ; x0)k = kx 0x0 k = = k(x x0 ) + ( 0 )x0 k   k(x x0 )k + k( 0)x0 k = k( 0)(x x0 ) + 0 (x x0 )k + k( 0)x0 k   j 0j
kx x0 k + j0j
kx x0 k + j 0j
kx0k =

3. SPATII NORMATE FINIT DIMENSIONALE

55

= (j 0j + j0j) kx x0 k + j 0 j
kx0 k ! 0 daca x ! x0 si  ! 0 . Observatie. ^In continuare toate spatiile normate vor considerate spatii vectorial topologice separate consider^and cu topologia generata de norma.

3. Spatii normate nit dimensionale

Propozitia 4.6. Fie E un spatiu vectorial nit dimensional si fe1; e2;


, eng o baza a lui E . ! 1=2 n n X X 2 Aplicatia x 7 ! kxke = jij , unde x = i ei, este o norma pe E , i=1 i=1

numita norma euclidiana. Demonstratie: Veri carea axiomelor 1 si 2 din de nirea normei este imediata, iar pentru 3 se foloseste inegalitatea lui Minkowski. Teorema 4.2. ^Intr-un spatiu vectorial nit dimensional, orice norma este echivalenta cu norma euclidiana. Demonstratie: Fie o norma arbitrara k
k pe E . Avem, utiliz^and inegalitatea Cauchy-Buneakowski-Schwartz,

kxk =

n

X

 e

i i

i=1



n X

n X

i=1

i=1

= n X

jij
kei k 

n X

!1=2

i=1

keik2

!1=2

jij2

!1=2

n X i=1

keik2

!1=2

=


kxke = kxke

unde  = keik2 . i=1 Trebuie sa demonstram ^n continuare ca exista o constanta m pozitiva astfel ^nc^at kxke < m kxk pentru orice x 2 E . Neg^and aceasta a rmatie, rezulta ca, pentru orice k 2 N  , exista xk 2 E cu kxk ke > kkxk k. Fie yk = kx1 k xk , deci



kyk k = kx1 k k e

Pentru ecare k, avem yk = i 

k



n X i=1 k

k e

= kkxxkkk < k1 : k e

ki ei si

n X i 2 i=1

xk

!1=2





= kyk ke = 1 xk

= 1: kxk ke e



Deci, pentru orice i 2 f1; 2; :::; ng, (ki )k este marginit si va contine un subsir ki p convergent la i.



p

56

4. SPATII NORMATE

Luam

y=

n X

Avem

i=1

 i ei ;

ykp =

kyk  ky ykp k + kykp k 

n X i=1

ki p ei; p 2 N  :

n X i  i=1

ki p
kei k + k1 ! 0

daca k ! 1. Asadar y = 0E . Tinand, ^nsa, cont ca

n 2 X i kp i=1

p

= kykp k2e = 1 pentru

orice p, rezulta ca jjyjje = 1, contradictie. Propozitia 4.7. (lema lui Riesz) Fie E un spatiu normat si F un subspatiu propriu ^nchis al lui E . Pentru orice " > 0, exista x" 2 E n F asa ^nc^at kx"k = 1 kx" xk > 1 " (8) x 2 F: Demonstratie. Fie y 2 E n F si r = xinf ky xk. Deci exista u" 2 F asa ^nc^at 2F r  ky u"k  r(1 + "): Observam ca, F ind multime ^nchisa, rezulta r > 0. Luam v" = y u" si x" = kvv"k . Daca v" 2 F , atunci, av^and ^n vedere ca F este " un subspatiu vectorial si ca u" 2 F , rezulta y = (y u") + u" 2 F , absurd deoarece y 2 E n F . Deci v" 62 F si, ^n consecinta, x" 62 F . Prin urmare r  kv"k < r(1 + "): Fie x 2 F . Obtinem kx" xk = kv1 k kv" kv"k
xk > r(1 1+ ") ky u" kv"k
xk  "  r(1 r+ ") = 1 +1 " = 1 1 +" " > 1 ": Teorema 4.3. (teorema lui Riesz) Pentru un spatiu normat E urmatoarele a rmatii sunt echivalente: (a) E este un spatiu vectorial de dimensiune nita; (b) orice parte marginita si ^nchisa a lui E este compacta. Demonstratie. (a) ) (b) : Fie fe1 ; e2;


; eng o baza a lui E si M o parte ^nchisa si marginita a sa. Fie (xm )m un sir din M . Sirul (xm )m este marginit,

xm = astfel ^nc^at

n X i=1

i 

m

mi ei cu mi 2 K si exista r > 0



n X ( i 2)1=2 i=1

oricare ar m natural si i cu 1  i  n.

m

= kxmk  r:

4. ELEMENT DE CEA MAI BUNA APROXIMARE

57

Aplic^and de n ori lema lui Cesaro se obtine, pentru ecare i, un subsir ( mi )m al sirului (mi )m convergent la i. Luam

z=

n X

n X

i=1

i=1

iei si zm =

mi ei:

Avem zm ! z cu (zm )m subsir al lui (xm )m. M ind ^nchisa, rezulta (propozitia 1.3) ca z 2 M . Asadar M este compacta. (b) ) (a): Presupunem ca dimensiunea lui E nu este nita. Fie x1 2 E cu kx1 k = 1. Atunci multimea E1 = fx1;  2 K g este un subspatiu ^nchis. Luam " = 21 si, aplic^and lema lui Riesz, exista x2 2 E n E1 cu kx2 k = 1 si kx2 xk > 12 , pentru orice x 2 E1 . ^In particular kx2 x1 k > 1 . Vectorii x1 ; x2 sunt liniar independenti, 2 deci subspatiul vectorial E2 = fx1 + x2 = ; 2 K g al lui E are dimensiunea 2 si este ^nchis. Aplic^and din nou lema lui Riesz, determinam x3 2 E n E2 cu kx3 k = 1 si kx3 xk > 12 , (8) x 2 E2 . ^In particular kx3 x1 k > 12 ; kx3 x2 k > 21 : Repet^and rationamentul, se obtine un sir (xp)p cu xp 2 S (0; 1) si kxp xq k > 12 , pentru orice p 6= q. Asadar (xp)p nu poate contine un subsir Cauchy, iar multimea fxp; p 2 N g este marginita si ^nchisa, dar fara a compacta, absurd.

4. Element de cea mai buna aproximare

Teorema 4.4. Daca E0 este un subspatiu liniar propriu nit dimensional al spatiului normat E , atunci, pentru orice x0 2 E , functia f : E ! R ; f (x) = kx x0 k are un minim pe E0 . Demonstratie. Daca x0 2 E0 , atunci minf (x) = f (x0) = 0: x2E0

Daca x0 62 E0 , consideram un element x1 2 E0 si notam  = kx0 x1 k. Fie multimea A = fx 2 E0 = f (x)  g: Atunci x1 2 A si, pentru orice x 2 E0 n A, f (x) > . Asadar minimul functiei f , daca exista, se realizeza pe A. Daca x 2 A, atunci kx x0k = f (x)  , deci (3) kxk = kx x0 + x0 k  kx x0 k + kx0k   + kx0 k: Daca notam =  + kx0 k si B = fx 2 E0 = kxk  g;

58

4. SPATII NORMATE

atunci B este o submultime marginita si ^nchisa a unui spatiu nit dimensional deci este compacta. ^In plus A  B din (1). Avem minf (x) = min f (x) = min f (x): x2E x2A x2B 0

Functia f ind continua pe multimea compacta B , exista xm 2 B  E0 cu f (xm) = xinf f (x): 2E 0

Elementul xm se numeste element de cea mai buna aproximare a lui x0 prin elemente ale lui E0. Exemplul 4.5. Consideram spatiul CR ([a; b]) al functiilor reale continue si subspatiul nit dimensional generat de clasa Pm ([a; b]) a functiilor polinomiale pi(t) = ti ; i = 0; :::; m; t 2 [a; b]: Atunci, pentru orice f 2 CR([a; b]), exista un polinom pf de grad cel mult m asa ^nc^at expresia max jf (t) pf (t)j are valoare minima. Polinomul pf este, ^n acest caz, t2[a;b] elementul de cea mai buna aproximare a functiei f prin polinoame din Pm ([a; b]).

5. Spatii normate separabile Definitia 4.4. Un spatiu normat E se numeste separabil, daca exista o multime

numarabila A densa ^n E . Teorema 4.5. Un spatiu normat real nit dimensional este separabil. Demonstratie. Fie fe1 ; e2;


; eng o baza a spatiului normat E . Multimea

A = fx = x = este numarabila. Pentru orice x 2 E , x = n X

de elemente din A de nite prin xn = i=1 Avem

kxn xk =

pentru n tinz^and la 1.

n

X

niei

i=1

i=1 n X

i=1 niei

n X i=1

n X

iei; i 2 Q g

i ei, i 2 R , putem considera sirul (xn)n unde ni 2 Q cu ni ! i pentru orice i.

iei



n X i=1

ji nij
keik ! 0

6. Spatii normate complete (Spatii Banach)

Definitia 4.5. Un sir (xn )n de elemente ale unui spatiu normat E se numeste sir Cauchy daca, pentru orice " > 0, exista un numar natural n" asa ^nc^at, pentru orice m; n  n", rezulta kxn xm k < ". Propozitia 4.8. Orice sir convergent ^ntr-un spatiu normat este un sir Cauchy.

6. SPATII NORMATE COMPLETE (SPATII BANACH)

59

Demonstratie Fie (xn)n un sir convergent la x si " > 0. Exista n" 2 N asa ^nc^at, pentru n > n", sa avem kxn xk < "=2.

Daca n; m > n", avem kxn xm k = kxn x + x xm k  kxn xk + kx xm k < < 2" + 2" = ": Reciproca nu este adevarata ^n orice spatiu normat. Definitia 4.6. 1. Un spatiu normat se numeste complet daca orice sir Cauchy din acest spatiu, este convergent. 2. Un spatiu normat care este complet se numeste spatiu Banach. Observatia 4.1. Deoarece un spatiu normat este spatiu metric, regasim de nitiile notiunilor de sir Cauchy si completitudine de la spatiile metrice Propozitia 4.9. Un spatiu normat nit dimensional E este complet. Demonstratie. Putem considera norma euclidiana ^n spatiul E . Fie fe1 ; e2;


; epg o baza a lui E si (xn)n un sir Cauchy din E . Avem

xn = Atunci k

k 

n

m



p X k

n

p X k=1

k 2

m

nk ek ; nk 2 K :

!1=2

= kxn xm k < "; k = 1; 2; :::; p:

k=1
k Deci n n ; k = 1; 2; :::; p, sunt siruri Cauchy ^n K , deci convergente p X x = k ek . Avem k=1

p

p p

X

X X


k k k k nek

=

 n ek

kxn xk =

 ek k=1 k=1 k=1 p p X

X k k

 ( n)ek = k nk kek k ! 0 k=1 k=1

la k . Luam

daca n ! 1.

Exemplul 4.6. Spatiul euclidian K n este un spatiu Banach. Exemplul 4.7. Spatiul (IK1) al sirurilor marginite cu elemente din

de nita prin

k( j )j2N k = supj j j, j 2N

este un spatiu Banach.

K

si norma

^Intr-adevar, e (xn )n2N un sir Cauchy din (IK1) cu xn = (nj )j2N si " > 0. Atunci exista n" 2 N asa ^nc^at n; m > n" ) kxn xm k < ";

60

adica supjnj mj j < ". Atunci,

4. SPATII NORMATE

j 2N

(4) jnj mj j < "; adica, pentru orice j , (nj )n2N este un sir Cauchy ^n K . Asadar exista  j 2 K cu  j = nlim j . !1 n Trec^and la limita ^n relatia (4), pentru n ! 1, rezulta j j mj j  " pentru orice j 2 N si m > n". De aici deducem ca x = ( j )j2N = nlim x , adica spatiul este complet. !1 n Exemplul 4.8. Spatiul normat CK (T ) al functiilor continue pe spatiul topologic

compact T cu valori ^n K este un spatiu Banach. Mai general spatiul BK (T ) al functiilor marginite pe care se considera norma kxk = supjx(t)j este un spatiu Banach. t2T

Fie (xn )n un sir Cauchy din BK (T ) si " > 0. Atunci exista n" 2 N asa ^nc^at n; m > n" ) kxn xm k = supjxn(t) xm (t)j < "; t2T

adica (5) jxn(t) xm (t)j < " pentru orice t 2 T si n; m > n". Deci (xn(t))n este un sir Cauchy ^n K pentru orice t 2 T. De nim functia x : T ! K ; x(t) = nlim x (t). Fac^and n sa tinda la in nit ^n relatia !1 n (5), obtinem jx(t) xm (t)j  ", deci xn ! x. ^In plus, jx(t)j  jx(t) xn(t)j + jxn(t) xm (t)j + jxm (t) x(t)j < 3"; adica functia x este marginita. X Definitia 4.7. ^Intr-un spatiu normat, spunem ca seria xn este convergenta n

daca sirul sumelor partiale (sn)n este convergent, unde sn = x1 + x2 +


+ xn. X Teorema 4.6. ^Intr-un spatiu Banach, pentru ca seria xn sa e convergenta, este su cient ca seria

X

n

kxn k sa e convergenta. n X

n

n X

Demonstratie. Fie n = kxk k si sn = xk . k=1 k=1 Avem, pentru n; p 2 N , ksn+p snk = kxn+1 +


+ xn+pk  X

 kxn+1 k +


+ kxn+pk = jn+p nj:

Deci, daca kxnk este convergenta, atunci (n)n este sir Cauchy, rezulta ca (sn)n n este sir Cauchy, deci convergent.

7. COMPLETAREA UNUI SPATIU NORMAT

7. Completarea unui spatiu normat

61

Teorema 4.7. ( teorema de completare a unui spatiu normat) Fie E un spatiu normat. Exista un spatiu normat complet Ee astfel ^nc^at E este izomorf cu un subspatiu al acestuia. Demonstratie. Fie E un spatiu normat. Notam E1 = fy = (xn)n unde (xn)n este un sir Cauchy ^n E g: De nim pe E1 relatia de echivalenta y0  y00 () lim kx 0 xn 00k = 0, unde y0 = (x0n)n, y00 = (x00n )n. n n Daca (xn)n este sir Cauchy, atunci (kxn k)n este, de asemenea, un sir Cauchy ^n R deci este convergent. Aceasta rezulta din



kxnk kxm k  kxn xm k:

Notam Ee = E1 = , spatiul c^at al lui E1 , prin relatia de nita anterior. Avem e xe; ye 2 Ee ) xe + ye = (x^ n + yn)n 2 E e xe = (^ xn)n 2 E: Evident Ee este un spatiu vectorial. Luam, prin de nitie, kxek = lim kx k. n n Daca (xn)n; (yn)n 2 xe, atunci lim kxnk = lim kynk. ^Intr-adevar k x k k y k n n  kxn ynk ! 0: Asadar functia este corect de nita si se veri ca usor ca are proprietatile unei norme. Deci Ee este un spatiu normat. Pentru x 2 E , notam xe = (x; x; ^


; x;


) si Ef0 subspatiul vectorial generat de multimea fxe = x 2 E g. Evident xe 2 Ee si x 7! xe este un izomor sm ^ntre E si Ef0. Prin conventie, notam kx yek = kxe yek = lim kx xnk n unde xe = hx; x; ^


; x;


i si ye = (g xn )n. ] ^In particular, daca ye = (xn )n, avem kye xnk ! 0. ^Intr-adevar (xn)n este sir Cauchy, deci, pentru " > 0, exista n" cu n; m > n" ) kxn xm k < ": Fac^and m ! 1 si x^and un n > n", rezulta kx^ kx xm k < ": n xk = lim m n Fie (yen)n un sir Cauchy din Ee. Avem kyen yfmk  3" pentru m; n > n":

62

4. SPATII NORMATE

Explicit^and sirul (g yn)n:

ye1 : x11 ; x21 ;


; xp1p;


ye2 : x12 ; x22 ;


; x2 ;


... yen : x1n ; x2n;


; xpn ;


... yfm : x1m ; x2m ;


; xpm ;


... rezulta ca, pentru p su cient de mare, xat, avem kyen xpnk < 3" ; kyfm xpm k < 3" : Aratam ca (xpn )n este un sir Cauchy. ^Intr-adevar kxpn xpm k  kxpn yenk + kyen yfmk + kyfm xpm k < ": Fie ye = (xpn )n cu p xat anterior. Exista un n asa ^nc^at kye xpnk < 3" ; deci kyen yek  kyen xpnk + kxpn yek < ": Asadar Ee este complet.

8. Familii sumabile ^ntr-un spatiu Banach Definitia 4.8. Fie E un spatiu Banach, = o familie oarecare de indici si F (=) familia partilor nite si nevide ale lui =. Spunem ca familia fxi gi2= de elemente din E este sumabil a exista x 2 E asa ^nc^at, pentru orice " > 0, exista I" 2 F (=) Xa dac astfel ^nc^at k xi xk < " oricare ar H 2 F (=) cu H  I". Notam, ^n acest caz, x=

X

i2I

i2H

xi si spunem ca x este suma familiei fxi gi2=.

Teorema 4.8. O familie fxi gi2= este sumabila, daca si numai daca, pentru orice

"X > 0, exista I" 2 F (=) asa ^nc^at, oricare ar H 2 F (=) cu H \ I" = ;, sa avem k xi k < ". i2H

Demonstratie. Presupunem X ca fxi gi2= este sumabila si x este suma familiei. Pentru " > 0 exista I" 2 F (=) cu k xi xk < " oricare ar H 0  I". Fie H 2 F (=) 2 i2H 0 0 0 cu H \ I" = ; si H = H [ I". Evident H  I" si deci X X X X X k xik = k xi xik  k xi xk + kx xi k < ": i2H

i2H 0

i2I"

i2H 0

Reciproc, notam, pentru un H 2 F (=), cu sH =

X

i2H

i2I"

xi .

8. FAMILII SUMABILE ^INTR-UN SPATIU BANACH

63

Daca H; J 2 F (=) cu J  H  I" unde I" corespunde ipotezei pentru un " > 0 dat, atunci (J n H ) \ I" = ; si deci X ksJ sH k = k xi k < ": i2J nH

Fie, pentru n 2 N , "n = 21n si I1=2n 2 F (=). Notam Jn =

n [

I 21k . Avem evident

k=1

Jn+1  Jn  I 21n

deci ksJn+1 sJn k < 21n . Asadar, pentru p  1, avem ksJn+p sJn k  ksJn+p sJn+p 1 k +


+ ksJn+1 sJn k < < 2n+1p 1 +


+ 21n = 21n (1 + 12 +


+ 2p1 1 ) = 1 1 = 21n 21p = 2n1 1 (1 21p ) < 2n1 1 : 1 2 Deci (sJn )n este un sir Cauchy ^n spatiul Banach E . Exista, atunci, x 2 E cu x = lim s . n!1 Jn Aratam ca x este suma familiei fxigi2=. Fie " > 0. Exista n" cu 21n < 2" (8) n  n". Pentru familiile I1=2n , Jn de nite anterior, e H cu H  Jn  I1=2n . Deci X X X X k xi xk  k xi xi k + k xi xk < i2H

i2H

X

X

i2H

i2Jn

deoarece k

xi

X

xi k = k

i2H nJn




i2J n

< 21n + 2" < "




i2J n

xi k si (H n Jn) \ I1=2n = ;.

Observatia 4.2. Daca o familie este sumabila, atunci cel mult o multime numarabila

de elemente ale acesteia sunt nenule.

64

4. SPATII NORMATE

9. Exercitii

1. Fie E0 un subspatiu vectorial ^nchis ^ntr-un spatiu normat E . Aratati ca formula kx^k1 = y inf kyk x2E 0

de neste o norma pe spatiul c^at E1 = E=E0. Solutie: Veri cam axiomele normei 1. kx^k1 = 0 , y inf kyk = 0 , (9) (yn)n  E cu kynk ! 0 si yn x 2 E0 x2E0 , yn ! 0 , yn x ! x. Deoarece E0 este ^nchis iar (yn x)n  E0 , deducem ca x 2 E0 adica x 2 E0 ceea ce este echivalent cu x^ = 0. c k1 = inf ky k = 2. kx inf kyk = jjy inf kyk = jj
kx^k. y x2E0 y x2E0 x2E0 3. kx[ + z k1 = y xinfz2E kyk = y +y infx z2E ky1 + y2k  0 1 2 0  y infx2E ky1k + y infz2E ky2k = kx^k + kz^k. 1

0

2

0

n X

!1 p

2. Aratati ca, pentru 0 < p < 1 si n  2, kxkp = jxk jp nu este o norma pe k=1 K n. Solutie: Fie, de exemplu, x = (1; 0; : : : ; 0), y = (0; 1; 0; : : : ; 0) 2 K n kxkp = kykp =1 1 kx + ykp = 2 p > 2 si deci kx + ykp > kxkp + kykp asadar k
kp nu este norma pe K n . 3. Fie E1 ; E2; : : : ; En spatii liniare normate iar E spatiul vectorial produs al acestora. Topologia produs ^n E este de nita de norma k(x1; : : : ; xn)k = 1max kx k: in i Indicatie. Topologia generata de aceasta norma se obtine lu^and ca sistem fundamental de vecinatati ale originii, multimea tuturor sferelor S (0; r) = f(x1 ; : : : ; xn) = kxi k < r; i = 1; : : : ; ng: Consider^and ^n spatiul Ei respectiv sfera Si(0; r) = fxi = xi 2 Ei ; kxi k < rg pentru i = 1; 2; : : : ; n, atunci

S (0; r) =

n Y i=1

Si(0; r):

4. Se considera spatiul vectorial produs E al spatiilor normate E1; : : : ; En. Atunci, pentru orice p  1, formula

k(x1; : : : ; xn)kp =

n X i=1

kxikp

!1 p

9. EXERCITII

65

de neste o norma pe E echivalenta cu cea data ^n exercitiul 3.. Indicatie. Faptul ca k
kp reprezinta o norma se arata usor utiliz^and inegalitatea lui Minkowski. Apoi avem

max kx k  1in i

n X

kxi kp

!1 p

kx k:  n p1 1max in i

i=1 1 5. Pe spatiul C ([0; 1]) al functiilor reale de clasa C 1 pe [0; 1] consideram aplicatiile Z1 kf k1 = jf (t)jdt; kf k = sup jf (t)j ; kf k0 = jf (0)j + sup jf 0(t)j: t2[0;1] t2[0;1] 0

Aratati ca: a) k
k1, k
k, k
k0 sunt norme pe C 1([0; 1]); b) Orice sir convergent ^n norma k
k este convergent si ^n norma k
k1, iar orice sir convergent ^n k
k0 converge si ^n k
k. c) Studiati convergenta sirurilor fn(t) = tn si gn(t) = sin nt . Sunt echivalente n doua dintre normele de mai sus? Indicatie. b) Vom arata ca k
k1  k
k  k
k0. R1 Fie f 2 C 1 ([0; 1]) ) kf k1 = jf (t)jdt  sup jf (t)j = kf k. t2[0;1] 0 Fie x 2 [0; 1]. Atunci exista t 2 [0; x] astfel ^nc^at jf (x) f (0)j = jf 0(t)
xj  jf 0(t)j: Rezulta jf (x)j  jf (x) f (0)j + jf (0)j  jf (0)j + jf 0(t)j  jf (0)j + sup jf 0(t)j t2[0;1]

si deci kf k  kf k0. c) kfnk1 = 1 ! 0 dar kfnk = 1, (8) n 2 N . Asadar n+1 k
k1 6 k
k. Utiliz^and punctul a) deducem ca k
k1 6 k
k0. Apoi kgnk  n1 deci gn k
k! 0. Dar kgnk0 = 1, (8) n 2 N , si deci k
k1 6 k
k0. ^In concluzie ^ntre cele trei norme nu sunt doua echivalente. 6. Fie p  1 si notam (IKp ) multimea tuturor sirurilor x = (n)n cu 1 X elemente din K pentru care seria knkp este convergenta. Aratati ca: n=1

a) (IKp ) dotata cu operatiile naturale de adunare a sirurilor si ^nmultire cu scalari este spatiu vectorial; b) daca notam

kxk =

1 X n=1 (I p );

jnjp

!1 p

atunci obtinem o norma pe K c) spatiul (IKp ) dotat cu norma de mai sus este un spatiu Banach.

66

4. SPATII NORMATE

Indicatie: b) Daca x = (n)n, y = (n)n 2 (IKp ), trec^and la limita dupa m ^n inegalitatea lui Minkowski (seriile care apar ind convergente): " m X

se obtine

n=1

(jnj + jnj)p

#1 p



m X n=1

jnjp

!1 p

+

m X n=1

!1 p

jnjp ;

kx + yk  kxk + kyk :

Celelalte axiome se veri ca imediat. c) Demonstratia completitudinii se realizeaza ^ntr-un mod asemanator celui folosit la exemplul 4.7. 7. Daca E este un spatiu vectorial normat, atunci aplicatia x 7! kxk este uniform continua pe E . 8. Sa se arate ca multimea (cK ) a sirurilor convergente cu elemente din K dotata cu operatiile liniare naturale si cu norma kxk = sup jnj; pentru orice x = (n)n 2 (cK ); n2N

este un spatiu Banach. Este adevarata a rmatia precedenta pentru multimea (c0K ) a sirurilor din K convergente la zero? 9. Fie T un spatiu topologic si MK (T ) spatiul vectorial al functiilor marginite si continue x : T ! K . Aratati ca, ^nzestrat cu norma kxk = sup jf (t)j, MK (T ) t2T este spatiu Banach. 10. Fie V ([a; b]) multimea functiilor reale cu variatie marginita de nite pe segmentul [a; b]  R . Cu operatiile liniare, V ([a; b]) devine spatiu vectorial. ^In plus aplicatia b _

kxk = jx(a)j + x(t) b _

a

b _

x(t) este variatia functiei x pe [a; b], adica x(t) = sup V
(x), supremumul a a calcul^andu-se dupa toate diviziunile
= (a = t0 < t1 < : : : < tn = b) ale lui n X [a; b], iar V
(x) := jx(tk ) x(tk 1)j), de neste o norma fata de care V ([a; b]) k=1 este un spatiu Banach.

(

CAPITOLUL 5

Spatii Hilbert 1. Produs scalar

Definitia 5.1. Fie E un spatiu liniar peste K . Numim produs scalar pe E o aplicatie, h
;
i : E  E ! K cu proprietatile: (S1) hx; yi = hy; xi; (S2) hx + y; zi = hx; zi + hy; zi; (S3) hx; yi = hx; yi; (S4) hx; xi  0; hx; xi = 0 , x = 0E pentru orice x; y; z 2 E si  2 K . Vom presupune ^n continuare ca, pe spatiul vectorial E , este de nit un produs scalar. Din de nitia produsului scalar se deduc fara di cultate urmatoarele proprietati: Propozitia 5.1. Produsul scalar are urmatoarele proprietati: (1) h0E ; yi = 0 (2) hx; yi = hx; yi (3) hx; y + zi = hx; yi + hy; zi pentru orice x; y; z 2 E si  2 K . Propozitia 5.2. Pentru orice x; y 2 E , avem

jhx; yij2  hx; xi
hy; yi

(inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buneakovski).

Demonstratie. Fie  2 K arbitrar. Avem, pentru x 6= 0E ; y 6= 0E hx + y; x + yi
hy; yi  0 hx; xi
hy; yi + [ hx; yi +  hy; xi]
hy; yi + 
hy; yi2  0

sau ^nca

hx; xi
hy; yi + [hx; yi +  hy; yi]
[hx; yi +  hy; yi] hx; yihx; yi  0: yi , obtinem Lu^and  = hhx; y; yi hx; xihy; yi hx; yi
hx; yi  0

adica

jhx; yij2  hx; xi
hy; yi:

Daca x = 0E sau y = 0E inegalitatea este, de asemenea, adevarata. 67

68

5. SPATII HILBERT

Propozitia 5.3. Aplicatia de nita prin

p

x 7! kxk = hx; xi

este o norma pe E . Vom spune ca aceasta norma este generata de produsul scalar. Demonstratie. 1. kxk  0 si kxk = 0 , hx; xi = 0 , x = 0E ; 2. kxk2 = hx; xi = 
hx; xi q = jj2
kxk2 deci kxk = jj
kxk; p 3. kx + yk = hx + y; x + yi = hx; xi + hx; yi + hx; yi + hy; yi; asadar, cu inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buneakovski, kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2Rehx; yi  kxk2 + kyk2 + 2jhx; yij 

 kxk2 + kyk2 + 2kxk
kyk = (kxk + kyk)2 :

Definitia 5.2. Un spatiu vectorial pe care s-a de nit un produs scalar se numeste

spatiu prehilbertian.

Definitia 5.3. Un spatiu Banach a carui norma este generata de un produs scalar

se numeste spatiu Hilbert. Exemplul 5.1. Spatiul euclidian K n este un spatiu Hilbert, norma euclidiana a sa ind generata de produsul scalar

hx; yi =

n X i=1

i i

pentru orice x = ( 1 ; :::; n); y = (1 ; :::; n) 2 K n :

Produsul scalar introdus se numeste produs scalar euclidian. Exemplul 5.2. Fie (IK2 ) spatiul sirurilor x = ( n )n cu elemente din K pentru care 1 X seria j n j2 este convergenta. El devine spatiu Hilbert daca introducem produsul scalar

n=1

hx; yi =

1 X

n n

n=1

pentru orice x = ( n)n; y = (n)n 2 (IK2 ):

Consider^and inegalitatea rezulta ca seria

1 X n=1

j n nj  12 (j nj2 + jnj2); (8) n 2 N ;

n n

este convergenta, deci produsul scalar este bine de nit.

Exemplul 5.3. Fie [a; b]; a < b, un interval din R . Pe spatiul vectorial real C ([a; b]) al functiilor reale continue pe [a; b] se obtine un produs scalar ( numit produs scalar din L2 ), consider^and Zb

hf; gi = f (x)g(x)dx; pentru orice f; g 2 C ([a; b]): a

1. PRODUS SCALAR

69

Spatiul C ([a; b]) nu este un spatiu Hilbert fata de acest produs scalar deoarece nu este Rb complet ^n raport cu norma kf k = f (x)2dx, norma generata de produsul scalar. a

^Intr-adevar sa consideram urmatorul contraexemplu. Pentru orice n  2 de nim fn : [0; 1] ! R , 8 > > 0; x 2 [0; 21 ] > > < fn(x) = > nx n ; x 2 ( 1 ; 1 + 1 ] 2 2 2 n > > > : 1; x 2 ( 1 + 1 ; 1] 2 n si 8 > < 0; x 2 [0; 1 ] 2 f (x) = > 1 : 1; x 2 ( ; 1]: 2 Este evident ca fn 2 C ([0; 1]), oricare ar n  2, si ca f 62 C ([0; 1]). Daca n  m  2, atunci

kfn

fm k2 =

Z1

0

(fn(x) fm (x))2dx =

1+1 1+ 1 2Z n 2Z m n m m ]2dx: 2 ] dx + = [(n m)x [1 mx + 2 2 1 1+1 2 2 n Deoarece x 2 [ 1 ; 1 + 1 ], rezulta (x 1 )2  12 si deci (n m)2 (x 1 )2  1. Daca 2 2 n 2 n 2 2 1 1 1 1 1 1 1 m x 2 [ 2 + n ; 2 + m ], atunci x 2 2 [ n ; m ], si ^n nal [1 mx + 2 ]2  (n n2m)  1. Rezulta kfn fm k2  n1 + m1 n1 = m1 . Ca urmare (fn)n2 este un sir Cauchy Z1

^n C ([0; 1]). Apoi, nlim (fn(x) f (x))2 dx = 0. Dar, cum f 62 C ([0; 1]), rezulta ca !1 0 (fn)n nu este convergent ^n C ([0; 1]) ^n raport cu norma considerata. Complet^and acest spatiu se obtine spatiul Hilbert L2 ([a; b]) al functiilor de patrat sumabil, adica acele functii x : [0; 1] ! R cu proprietatea ca jx(t)j2 este integrabila (Lebesgue). Exemplul 5.4. Pe spatiul C [z ] al polinoamelor de variabila complexa z , aplicatia data prin

hP; Qi =

ZZ

jzj1

P (z)Q(z)dxdy; z = x + iy;

70

5. SPATII HILBERT

este un produs scalar. Complet^and acest spatiu normat prin norma generata de produsul scalar de nit anterior se obtine spatiul Hilbert A2(D) al functiilor analitice pe discul unitate. Teorema 5.1. ^Intr-un spatiu Hilbert produsul scalar este o functie continua fata de convergenta ^n norma. Demonstratie. Fie xn ! x si yn ! y ^n norma. Demonstram ca hxn; yni ! hx; yi ^n norma. Avem ^ntr-adevar, jhxn; yni hx; yij =

= jhxn x; yn yi + hx; yni + hxn; yi hx; yi hx; yij   jhxn x; yn yij + jhx; yni hx; yij + jhxn; yi hx; yij 

 kxn xk
kyn yk + kxk
kyn yk + kxn xk
kyk ! 0:

Teorema 5.2. Un spatiu Banach E este un spatiu Hilbert daca si numai daca

norma sa veri ca

kx + yk2 + kx yk2 = 2 kxk2 + kyk2




(identitatea paralelogramului). Demonstratie. Presupunem ca E este un spatiu Hilbert, deci este un spatiu p Banach ^n care kxk = hx; xi. Avem kx + yk2 = hx + y; x + yi = hx; xi + hx; yi + hy; xi + hy; yi

kx yk2 = hx y; x yi = hx; xi hx; yi hy; xi + hy; yi:

Prin adunare, obtinem
kx + yk2 + kx yk2 = 2 (hx; xi + hy; yi) = 2 kxk2 + kyk2 : Reciproc, e E un spatiu Banach ^n care are loc egalitatea din enunt. Vom de ni pe E  E o aplicatie care sa e un produs scalar. Daca K = R , luam hx; yi = 14 [kx + yk2 kx yk2] iar daca K = C , luam
hx; yi = 14 [kx + yk2 kx yk2 + i kx + iyk2 kx iyk2 ]: Aratam, pentru cazul K = C , ca h
;
i de nit anterior veri ca proprietatile unui produs scalar. Demonstram, mai ^nt^ai, ^n ordine, urmatoarele relatii: (1) hx; yi = Rehx; yi i Rehix; yi; (2) Rehx + z; yi + Rehx z; yi = Reh2x; yi = 2Rehx; yi. Avem   Rehx; yi = 1 kx + yk2 kx yk2 4   i
Rehix; yi = 4i kix + yk2 kix yk2 =

1. PRODUS SCALAR

    = i jij2
kx iyk2 jij2
kx + i
yk2 = i kx iyk2 kx + iyk2 : 4 4 Deci hx; yi = Rehx; yi i Rehix; yi; adica (1). Avem Rehx + z; yi + Rehx z; yi =     = 1 kx + z + yk2 + kx z + yk2 1 kx + z yk2 + kx z yk2 = 4 4   = 14 k(x + y) + zk2 + k(x + y) zk2 1 k(x y) + zk2 + k(x y) zk2  = 4

= 21 kx + yk2 + kzk2 12 kx yk2 + kzk2 =
= 1 kx + yk2 + kx yk2 : 2 Luam x = z si obtinem

Reh2x; yi = 12 kx + yk2 kx yk2 = 2
14 kx + yk2 kx yk2 =

71

= 2 Rehx; yi = Rehx + z; yi + Rehx z; yi;

adica (2). Aratam ^n continuare ca

hu + v; xi = hu; xi + hv; xi:

Luam, ^n relatia (2), u = x + z, v = x z, deci 2x = u + v si obtinem Rehu; yi + Rehv; yi = Rehu + v; yi: ^Inlocuind u cu i
u si v cu v
i, obtinem Rehiu; yi + Rehiv; yi = Rehi(u + v); yi deci, din relatia (1), hu + v; yi = Rehu + v; yi i Rehiu + iv; yi = = Rehu; yi + Rehv; yi i Rehiu; yi i Rehiv; yi = = Rehu; yi i Rehiu; yi + Rehv; yi i Rehiv; yi = hu; yi + hv; yi adica (S 2) din de nitia produsului scalar. Pentru a treia proprietate din de nitia produsului scalar, parcurgem urmatoarele etape: a) hnx; yi = nhx; yi (8) n 2 N ; b) n1 x; y = n1 hx; yi (8) n 2 N ; c) hx; yi = hx; yi (8)  2 Q ; d) hx; yi = hx; yi (8)  2 R .

72

5. SPATII HILBERT

A rmatia a) rezulta din relatia (2) prin inductie. Pentru b) notam z = 1 x sau x = nz, n deci   1 hx; yi = hnz; yi = nhz; yi = n n x; y 



adica n1 hx; yi = n1 x; y . Relatia c) rezulta din a) si b) lu^and  = pq ; p; q 2 Z; q 6= 0, si av^and ^n vedere relatia hx x; yi = 0 , hx; yi = h x; yi: ^In sf^arsit, daca  2 R , exista (n)n  Q cu n ! . Avem hnx; yi =   = 14 knx + yk2 knx yk2 + iknx + iyk2 iknx iyk2 care, pentru n ! 1, converge la 1 kx + yk2 kx yk2 + ikx + iyk2 ikx iyk2 = hx; yi 4 deoarece k
k este o functie continua. Dar hnx; yi = nhx; yi ! hx; yi: Pentru axioma (S 4) din de nitia produsului scalar, avem   hx; xi = 41 kx + xk2 kx xk2 + ikx + ixk2 ijjx ixk2 =   = 14 4
kxk2 + ij1 + ij2
kxk2 ij1 ij2
kxk2 = kxk2  0: ^In sf^arsit, proprietatea (S 1) din de nitia (5.1), rezulta din hy; xi = 14 ky + xk2 ky xk2 iky + ixk2 + iky ixjj2 =   = 14 kx + yk2 kx yk2 i
jij2
kx iyk2 + i
jij2
k iy xk2 =   = 1 kx + yk2 kx yk2 + ikx + iyk2 ikx iyk2 = hx; yi: 4  Exemplul 5.5. Daca notam cu H spatiul functiilor marginite h : [0; ] ! R 2 cu norma uniforma, atunci functiile f (x) = sin x, g(x) = cos x nu veri ca relatia paralelogramului, deoarece p kf k = sup j sin xj = 1; kgk = 1; kf + gk = 2; kf gk = 1 x2[0; 2 ]

si, ca urmare, conform teoremei precedente, norma considerata pe H nu este generata de un produs scalar. Astfel acest spatiu este un spatiu Banach care nu este spatiu Hilbert.

2. ORTOGONALITATEA PE SPATII HILBERT. PROIECTII

73

2. Ortogonalitatea pe spatii Hilbert. Proiectii Definitia 5.4. Fie H un spatiu Hilbert si x; y 2 H . Spunem ca x este ortogonal pe y, daca hx; yi = 0. Notam x?y. De asemenea x este ortogonal pe A, unde A  H , daca x?y; (8) y 2 A. Vom spune ca A este ortogonala pe B , notam A?B , unde A; B  H , daca x?y (8) x 2 A si y 2 B . Exemplul 5.6. Daca fe1 ; :::; eng reprezinta baza canonica ^n R n , atunci ei ?ej pentru orice i; j cu i = 6 j. Exemplul 5.7. I^n spatiul vectorial C ([0; 2 ]) dotat cu produsul scalar Z2

hf; gi = f (x)g(x)dx; pentru orice f; g 2 C ([0; 2]); 0

care este un spatiu prehilbertian, functiile fn(x) = sin nx, gn(x) = cos nx, n 2 N  sunt ortogonale, adica fn(x)?fm (x); gn(x)?gm (x) si fn(x)?gm (x) pentru m 6= n. Propozitia 5.4. ^Intr-un spatiu Hilbert H au loc urmatoarele proprietati: (1) 0H ?x; (8) x 2 H ; (2) x?x , x = 0H ; n X (3) x?yi ; i = 1; :::; n ) x? i yi (8) 1 ; :::; n 2 K ; i=1

(4) x?yn ; n 2 N , si yn ! y ) x?y; (5) daca x1 ; :::; xn sunt ortogonali doi c^ate doi, atunci n X

n

X k xk k2 = kxk k2 k=1 k=1

(teorema lui Pitagora); (6) dac a (xn)n  H este un sir de elemente ortogonale doua c^ate doua, atunci seria X P xn este convergenta daca si numai daca n kxnk2 este convergenta. n

Demonstratie. n (4) Fie yn ! y unde yn?x pentru orice n. Avem hyn; xi = 0 oricare ar n, deci 0 = lim h y ; xi = hlim yn; xi = hy; xi, adica y?x. n n (5) Fie fx1; x2 ; :::; xng  H ortogonale doua c^ate doua si x =

kxk2 = hx; xi = =

* n X

n X

i=1

j =1

xi ;

+

xj =

n X n X

n X

n X

i=1 j =1

i=1

i=1

hxi; xj i =

hxi; xi i =

kxik2:

n X i=1

xi . Avem

74

(6) Fie sn =

ksn+p

n X i=1

xi si s0n =

snk2 =

n X

5. SPATII HILBERT

i=1

n+p

X



i=n+1

kxik2 .

2

xi

=

n+p X i=n+1

kxik2 = js0n+p s0nj; (8) n; p 2 N

deci (sn)n este un sir Cauchy daca si numai daca (s0n)n este un sir Cauchy, adica kxnk2 este convergenta.

X

n

Definitia 5.5. Fie A o multime nevida ^n spatiul Hilbert H . Multimea

A? = fx = x 2 H; x?Ag se numeste complementul ortogonal al lui A. Propozitia 5.5. ^Intr-un spatiu Hilbert H au loc urmatoarele proprietati: 1. daca A este densa ^n H si x?A, atunci x = 0H ; 2. A? este un subspatiu vectorial ^nchis. Demonstratie. 1. Fie A densa ^n H si x 2 H cu x?A. Deci exista (xn)n  A cu xn ! x. ^Intruc^at xn?x rezulta hxn ; xi = 0 pentru orice n 2 N , si atunci limhxn; xi = hlim xn ; xi = hx; xi = 0, deci x = 0H . 2. Fie x; y 2 A? si ; 2 K . Pentru orice z 2 A, avem hx; zi = hy; zi = 0, deci hx + y; zi = hx; zi + hy; zi = 0, adica x + y 2 A?: Fie (xn )n  A? cu xn ! x. Avem hxn; yi = 0 pentru orice y 2 A: Trec^and la limita dupa n, rezulta: limhxn ; yi = hlim xn ; yi = hx; yi = 0 (8) y 2 A: Deci x 2 A?. Propozitia 5.6. (Inegalitatea lui Beppo Levi) Fie H un spatiu Hilbert, E  H un subspatiu vectorial propriu si x 2 H n E . Daca  = d(x; E ) atunci, pentru orice y1; y2 2 E , avem p p ky1 y2k  kx y1k2 2 + kx y2k2 2: S-au folosit notatiile d(x; E ) = yinf d(x; y), iar d(x; y) = kx yk. 2E Demonstratie. Fie y1; y2 2 E; y1 6= y2 rezulta 1 1 (y1 y2) 2 E , oricare ar

2 K cu 6= 1. Deci kx 1 1 (y1 y2) k   ,

, kx x y1 + y2k  j1 j , , kx y1 (x y2) k  j1 j: Notam z1 = x y1; z2 = x y2. Avem kz1 z2 k2  2j1 j2 sau, succesiv,
hz1 z2 ; z1 z2 i 2 (1 ) 1  0;

Luam

hz1; z1i  hz1; z1i

75

2

= hhzz1;; zz2 ii 2 2 2

si obtinem

2 2 hz1 ; z1i 2 (hz1; z2 ihz ;z)(ihz2;z2 1i  ) > 0: 2 2

De aici, Dar

2. ORTOGONALITATEA PE SPATII HILBERT. PROIECTII

hz2; z1 i hz1 ; z2i +

hz2 ; z2i 2 (1 +

)  0;  2 [hz1; z2 i 2 ] [hz2 ; z1 i 2] +

[hz2; z2 i 2 ]  0:

jhz1; z2 i 2j2  [hz1 ; z1i 2][hz2 ; z2i 2]: ky1 y2k2 = ky2 y1k2 = kx y1 (x y2) k2 = = kz1 z2 k2 = hz1 z2 ; z1 z2 i = = kz1 k2 + kz2 k2 hz1; z2 i hz2 ; z1i =         = kz1k2 2 + kz2k2 2 hz1; z2 i 2 hz2 ; z1i 2       kz1k2 2 + kz2k2 2 + 2jhz1; z2 i 2 j 



p

2

kz1k2 2 +

p

2

p

p

kz1k2 2 + 2 hz1 ; z1i 2 hz2; z2 i 2 =

p

p

2

= kz1k2 2 + kz2k2 2 : Teorema 5.3. Daca E este un subspatiu vectorial ^nchis al unui spatiu Hilbert H , atunci orice x 2 H se poate scrie unic sub forma: x = u+v unde u 2 E si v 2 E ?. Demonstratie. Daca x 2 E , luam x = x + 0H . Daca x 62 E , e  = d(x; E ). Exista un sir (un)n  E cu  = lim kx unk. Din inegalitatea lui Beppo Levi aplicata pentru un si um, avem p p kun umk  kx unk2 2 + kx umk2 2 ! 0: Deci (un)n este un sir Cauchy, asadar convergent. Notam u = lim un. Deoarece E este un subspatiu vectorial ^nchis, avem ca u 2 E . Notam v = x u. Sa aratam ca v 2 E ?, adica hv; yi = 0 pentru orice y 2 E . Fie  2 K , deci u y 2 E (8) y 2 E . Ca urmare kx u + yk2  2 , kv + yk2  2 , , hv + y; v + yi  2 ,

, kvk2 + hv; yi + hy; vi + hy; yi  2:

76

5. SPATII HILBERT

yi si obtinem Daca y 6= 0H , luam  = hhv; y; yi kvk2 hy;hvy;ihyv;i yi hy;hvy;ihyv;i yi + hv;hy;yihyy;i2 vi hy; yi  2 ,

Dar Deci

, kvk2 hy; kvyihkv;2 yi  2: kvk2 = kx uk2 = kx lim unk2 = lim kx unk2 = 2:

jhy; vij2  0 kyk2 fapt posibil numai daca hv; yi = 0, adica v 2 E ?. Daca y = 0H este evident ca y 2 E ?.

Presupunem ca scrierea nu este unica, adica x = u0 + v0; u0 2 E; v0 2 E ?. Rezulta u + v = u0 + v0 sau u u0 = v v0 deci u u0 = v v0 = 0H : Definitia 5.6. Daca E este un subspatiu vectorial ^nchis al unui spatiu Hilbert H , numim proiectia unui element x din H pe E , vectorul u 2 E pentru care x = u + v cu v 2 E ?. Notam u = prE x = [E ]x: Observatia 5.1. Daca E este subspatiul vectorial ^nchis generat de un element e 2 H cu kek = 1, atunci, pentru orice x 2 H , avem x = u + v, unde u = exe; ex 2 K , si u?v. Deci x = ex
e + v: De aici, prin ^nmultire scalara cu e, obtinem hx; ei = ex adica, prhei x = hx; ei: Scalarul hx; ei se numeste coe cientul Fourier al lui x ^n raport cu e.

3. Familii ortogonale. Baze Definitia 5.7. Fie H un spatiu Hilbert. O familie fei gi2= de elemente ale lui H se numeste sistem ortogonal sau familie ortogonala daca ei ?ej pentru orice i; j 2 = cu i 6= j . Daca, ^n plus, keik = 1 pentru orice i 2 =, sistemul se numeste ortonormal.

Propozitia 5.7. O familie ortogonala de elemente ale lui H ce nu contine vectorul nul este liniar independenta. X Demonstratie. Fie I  = nita si (i)i2I  K astfel ca iei = 0H . Daca i2I

^nmultim scalar, pentru ecare j 2 I , egalitatea precedenta cu ej , obtinem 0, adica j kej k2 = 0, deci j = 0.

X

i2I

ihei; ej i =

3. FAMILII ORTOGONALE. BAZE

77

Definitia 5.8. Daca fei gi2= formeaza un sistem ortogonal ^n spatiul Hilbert H ,

atunci scalarii

ix = hx; eii; i 2 =

unde x 2 H , se numesc coe cientii Fourier ai lui x ^n raport cu familia fei gi2=. Teorema 5.4. Daca fei gi2I este un sistem ortogonal nit ^n spatiul Hilbert H atunci, pentru orice x 2 H , avem X X inf k x  e k = k x ixeik; i i  i

adica kx

X

i2I

i2I

i2I

ieik; i scalari, are valoare minima daca i = ix pentru orice i 2 I .

Demonstratie. Avem egalitatile X 2 kx ieik = hx

X

i2I

= hx; xi hx;

i2I

i2I

X

X

X

i2I

i2I

ihei ; xi +

i2I

X

X

X

i2I

i2I

i2I

= hx; xi

i ei i

i
ix X

= kxk2 2Re( =

X

i ei; x

i2I

iix +

iix) +

i eii =

i ihei; eii = ii =

X

jij2 =

i2I

X

X

X

X

i2I

i2I

i2I

i2I

jij2 +

=

jixj2 2Re( iix) + kxk2

X

i2I

ji ixj2 + kxk2

i = ix.

jixj2 =

X

i2I

jixj2

care are valoarea minima daca Observatia 5.2. Din demonstratia anterioara, rezulta X X 0  kx ixeik2 = kxk2 jixj2 si, ^n consecinta,

i2I

i2I

kxk2 

X

i2I

jixj2:

Aceasta relatie este numita inegalitatea lui Bessel. Teorema 5.5. Daca fei gi2= este un sistem ortonormal oarecare, atunci, pentru orice x 2 H , avem X

i2=

jixj2  kxk2:

78

5. SPATII HILBERT

Demonstratie. ^Intr-adevar, pentru orice I  = nita, avem X jixj2  kxk2; i2I

X

deci supf

i2I

jixj2= I  =; I nitag  kxk2 , adica

P

i2=

jixj2  kxk2 .

Observatia 5.3.

1. Cel mult o familie numarabila de coe cienti Fourier sunt nenuli. 2. Familia fieigi2= este sumabila daca si numai daca familia fjij2gi2= este o familie sumabila.

Demonstratie.

1. Este o consecinta a proprietatilor de la sumabilitate. 2. Avem X X X X X k iei k2 = h iei ; j ej i = ij hei; ej i = jij2: i2I I finita

i

i;j 2I

j

i2I

Definitia 5.9. Numim baza ortonormala ^ntr-un spatiu Hilbert H orice sistem

ortonormal, maximal cu aceasta proprietate. Teorema 5.6. ^Intr-un spatiu Hilbert H urmatoarele a rmatii sunt echivalente: (a) feigi2= formeaza o baza ortonormala; (b) Familia fei gi2= de elemente ortonormale este totala, adica, daca x 2 H cu x?ei pentru orice i 2 =, atunci x = 0H ;X (c) Orice x 2 H poate scris ca x = ixei , ix ind coe cientul Fourier;

(d) Pentru orice x 2 H avem kxk2 =

i2= P

i2=

jixj2 ( ecuatia de ^nchidere ).

Demonstratie. (a) , (b) Fie x cu x?ei pentru orice i 2 =. Daca x 6= 0H luam e = kx1k x. Atunci familia fei; i 2 =g[feg ar forma, de asemenea, o baza ortonormala, fapt ce contrazice maximalitatea lui (ei)i. Deci x = 0H . Reciproc, daca familia de vectori fei ; i 2 =g este totala si nu ar maximala ar exista un vector nenul ortogonal pe Xtoti vectorii familiei, absurd. (b) , (c) Fie x 2 H si x0 = 'i(x)ei unde xi sunt coe cientii Fourier asociati i2=

lui x. Avem hx x0 ; eii = 0, deci x x0 este ortogonal pe toti vectorii familiei. Asadar, din (b), rezulta ca x x0 = 0H adica x = x0 . Reciproc, daca are loc (c) si x 2 H este astfel ^nc^at hx; eii = 0 pentru orice i 2 =, atunci 'i(x) = 0 ceea ce implica x = 0H deci are loc (b). (c) , (d) Pentru orice I  = nita, avem X X kx 'iei k2 = kxk2 j'ij2; i2I

i2I

3. FAMILII ORTOGONALE. BAZE

79

deci, trec^and la supremum dupa toate partile nite ale lui =, obtinem echivalenta dintre (c) si (d).

80

5. SPATII HILBERT

4. Exercitii

1. Se considera spatiul vectorial E si aplicatia liniara f : E ! K , f 6= 0. Notam hx; yi = f (x)f (y). a) Care dintre axiomele produsului scalar sunt veri cate de h
;
i ? b) Gasiti o conditie necesara si su cienta pentru ca h
;
i sa e produs scalar. Indicatie. b) hx; xi = jf (x)j2 = 0 , x 2 Ker f . Deci h
;
i este produs scalar daca si numai daca Ker f = f0g. X 2. Fie E un spatiu vectorial si B = (ei)i2I o baza algebrica ^n E . Daca x = iei,

y=

X

i2I

i2I

iei, de nim

hx; yi =

X

i2I

ii :

a) Sa se arate ca h
;
i reprezinta un produs scalar pe E ; b) X Sa se compare norma generata de acest produs scalar cu norma p(x) = jij. i2I

Indicatie. a) Sunt veri cari standard. b) Evident avem kxk  p(x), pentru orice x 2 E . Daca E este nit dimensional, cele doua norme sunt echivalente. ^In cazul in nit dimensional, sa presupunem ca cele doua norme ar echivalente. Atunci ar exista  > 0 astfel ^nc^at p(x)  kxk, pentru orice x 2 E . Fie (en)n2N  B n X p si xn = ek , n=1,2,... . Avem: p(xn) = n iar kxk = n. Rezulta   p1

n ceea ce este absurd. Asadar, ^n acest caz, cele doua norme

k=1

pentru orice n 2 N nu sunt echivalente. 3. Fie (Ei)i2= o familie de spatii Hilbert. Notam M

i2=

(

Ei = (xi)i 2

Sa se veri ce ca prin k(xi)ik =

Y

i2= X

i2=

kxi k2

iM 2=

este indusa de un produs scalar (

(6)

Ei j

X

i2=

)

kxi k2 < 1 :

!1 2

se obtine o norma pe

M

i2=

Ei care

Ei se numeste suma directa hilbertiana a

spatiilor Ei). Indicatie. Se arata, ^nt^ai, ca jhx; yij2  kxk2 kyk2 : Aceasta inegalitate rezulta din relatiile 0  hx + y; x + yi = jj2kxk2 + 2Re hx; yi + kyk2

4. EXERCITII

81

lu^and  = khxy;k2xi pentru x 6= 0 (cazul x = 0 este trivial). De nim produsul M scalar, pentru (xi )i; (yi)i 2 Ei , i2=

h(xi)i; (yi)ii = Daca I  = nita, avem, folosind (6), X

i2I



X

i2I

xi ; yi

h

i

kxik kyik 

X

i2I

X

i2=

X

i2I

hxi; yii:

jhxi; yiij 

kxi k2

!1 2

X

i2I

!1 2

kyik2 ;

asadar aplicatia h
;
i este bine de nita. Se veri ca usor ca h
;
i este un produs scalar ce induce norma data. 4. Aratati ca, ^ntr-unn spatiu Hilbert complex, avem X 2ik n y k2 e n pentru n  3; a) hx; yi = n1 kx + e 2ik k=1 Z2

b) hx; yi = 21

0

kx + ei yk2ei d.

Indicatie. a) Tin^and seama de relatia veri cabila elementar kx + ei yk2ei = kxk2 ei + hx; yi + hy; xie2i + kyk2ei si de egalitatile n X n e 2ik k=1

=

n X n e 4ik k=1

=0

(n  3)

(suma radacinilor de ordinul n ale unitatii), obtinem n X k=1

2ik n y k2 e n = nhx; y i : kx + e 2ik

b) Se scrie integrala ca limita a sirului sumelor Riemann corespunzatoare functiei f () = kx + e  yk2ei , intervalului [0; 2], diviziunii echidistante 2 , etc. si se tine, apoi, seama de punctul a). n 5. Fie E un spatiu Hilbert si x; y 2 E . Atunci urmatoarele a rmatii sunt echivalente: a) x?y; b) kx + yk2 = kxk2 + kyk2, kx + iyk2 = kxk2 + kyk2; c) kxk  kx + yk, (8)  2 C ; d) kx + yk = kx yk, kx + iyk = kx iyk. Indicatie.

82

5. SPATII HILBERT

a) () b) si d) =) a) se demonstreaza printr-un calcul simplu. b) =) c) x?y =) x?y, (8)  2 C si deci, din "a) =) b)", kx + yk2 = kxk2 + jj2kyk2  kxk2: c) =) a) kx + yk2  kxk2 ()

() 0  hx; xi + hx; yi + hy; xi + jj2hy; yi  kxk2 () hx; yi hy; xi  jj2kyk2: Daca  = " cu " 2 R , avem "hx; yi + "hy; xi  "2 kyk2 si deci, daca " > 0, atunci hx; yi + hx; yi  "kyk2, iar pentru " < 0, avem hx; yi + hx; yi  "kyk2. Acum, fac^and ^n aceste ultime doua inegalitati " % 0 (respectiv " & 0), obtinem Rehx; yi  0 si, respectiv Rehx; yi  0. Analog, daca  = "i cu " 2 R , se obtine Im hx; yi = 0. a) =) d) Observam ca x?y =) x?( y) si x?iy. Apoi, deoarece a) =) b), avem

kx  yk22= kxk22+ kyk22 : kx  iyk = kxk + kyk

6. Notam cu CC ([ 1; 1]) spatiul vectorial al functiilor complexe continue pe [ 1; 1]. a) Aratati ca aplicatia Z1

hf; gi := f (x)g(x)dx ; (8)f; g 2 CC ([ 1; 1]) 1

este un produs scalar. b) ^In spatiul prehilbertian CC ([ 1; 1]) dotat cu acest produs scalar determinati complementul ortogonal al multimilor A1 a functiilor din CC ([ 1; 1]) nule pentru x  0 si, respectiv, A2 a functiilor din CC ([ 1; 1]) nule ^n x = 0. Indicatie: b) Printr-un rationament simplu se obtine A?1 = ff 2 CC ([ 1; 1]) = f (x) = 0 (8) x  0g : A?2 = f0g 7. Fie E un spatiu prehilbertian, E0  E un subspatiu de dimensiune algebrica nita iar fe1 ; : : : ; eng si ff1; : : : ; fng doua baze ortonormale oarecare ale lui E0 . Consideram un elemente x 2 E si notam cu 'j , respectiv j , coe cientul Fourier al lui x relativ la ej , respectiv fj , pentru orice j = 1; : : : ; n. Atunci n X j =1

'j ej =

n X j =1

j fj :

Indicatie: Daca ei =

n X k=1

hei; fii =

4. EXERCITII

ik fk , ik 2 K , i = 1; : : : ; n, atunci

* n X

k=1

Apoi

+

ik fk ; fj =

n X i=1

=

n X

*

x;

i=1

= =

i=1

i=1

hx; eiiei =

j =1

k=1

hei; fk ifk =

hei; fj ihx; fj ihei; fk ifk =

hx; fj i

j;k=1

n X j =1

!

n X i=1

hfj ; eiihei; fk ifk =

hx; fj ifj =

hfj ; eiihei; fk i = fj ;



n X

hei; fj ifj

*

n X

k=1

ik hfk ; fj i = ij :

+ n X

i;j;k=1

= tin^and cont ca

'iei =

n X

n X

n X

n X

83

n X i=1

n X j =1

j fj +

hfk ; eiiei = hfj ; fk i = jk

k unde jk = 01 ;; jj = 6= k este simbolul lui Kronecker. 8. Fie (ei)i2= un sistem ortonormal ^n spatiul Hilbert X . Sa se arate ca urmatoarele a rmatii sunt echivalente: (i) (ei)i2= a ortonormala ^n X ; Xeste o baz (ii) x = < x; ei > ei (x 2 X ); i2=

X (iii) kxk2 = j < x; ei > j2 (x 2 X );

i2=X

(iv) < x; y >=

i2=

< x; ei > < y; ei > (x; y 2 X ).

(vezi teorema 5.6) Indicatie. (iii) =) (iv) Se foloseste exprimarea produsului scalar cu ajutorul normei din demonstratia teoremei 5.2.

84

5. SPATII HILBERT

CAPITOLUL 6

Operatori liniari pe spatii normate 1. De nitii. Proprietati

Fie E; F doua spatii vectoriale peste acelasi corp K . Definitia 6.1. Spunem ca aplicatia T : E ! F este un operator liniar daca veri ca T (x + y) = T (x) + T (y); pentru orice x; y 2 E si ; 2 K . Multimea tuturor operatorilor liniari se noteaza prin L(E; F ). Daca E = F , vom nota L(E ) = L(E; E ). Un operator liniar din L(E ) se numeste endomor sm. De asemenea, pentru simpli carea scrierii, vom nota, uneori, Tx ^n loc de T (x). Observatia 6.1. Avem egalitatea T (0E ) = 0F . Observatia 6.2. L(E; F ) este un spatiu vectorial peste K fata de operatiile T1 +T2 , T de nite prin (T1 + T2 ) (x) = T1 (x) + T2 (x) (T )(x) = T (x):

pentru orice x 2 E ,  2 K . Presupunem ca E; F sunt doua spatii vectorial topologice peste corpul K . Definitia 6.2. Numim spatiul operatorilor liniari si continui si ^l notam B(E; F ), multimea B(E; F ) = fT : E ! F = T liniar si continuug: Vom nota B(E ) daca E = F . Propozitia 6.1. B(E; F ) este un subspatiu vectorial al spatiului L(E; F ). Propozitia 6.2. Un operator liniar T 2 L(E; F ) este continuu daca si numai daca este continuu ^n 0E . Demonstratie. Daca T este continuu, atunci T este continuu ^n 0E . Reciproc, sa presupunem ca T este continuu ^n 0E . Fie x0 2 E arbitrar si W 2#(T (x0)). F ind un spatiu vectorial topologic , exista W 0 2#(0F ) cu W = T (x0 )+ W 0. Pentru W 0 exista V 0 2#(0E ) asa ^nc^at, pentru orice x 2 V 0, sa avem T (x) 2 W 0. Notam V = x0 + V 0 2#(x0 ). Daca x 2 V = x0 + V 0, atunci x x0 2 V 0, deci T (x x0 ) 2 W 0, echivalent cu T (x) T (x0 ) 2 W 0 sau T (x) 2 T (x0 ) + W 0. Asadar T (x) 2 W , deci T este continuu ^n x0. 85

86

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE

Consecinta 6.1. T 2 L(E; F ) este continuu daca exista x0 2 E astfel ^nc^at T este continuu ^n x0. Asadar T 2 L(E; F ) este sau continuu sau discontinuu peste tot. Definitia 6.3. Un operator liniar bijectiv si bicontinuu se numeste homeomor-

sm.

Teorema 6.1. (caracterizarea continuitatii unui operator liniar pe spatii local con-

vexe) Fie (E; fpg2A ), (F; fq g 2B ) doua spatii local convexe si T 2 L(E; F ). Operatorul T este continuu daca si numai daca, pentru orice 2 B, exista  2 A si o constanta M > 0 asa ^nc^at q (Tx)  Mp (x) oricare ar x 2 E . Demonstratie. Presupunem ca operatorul T este continuu. Fie 2 B arbitrar. Notam S = S (0F ; 1) = fy 2 F / q (y) < 1g. Evident S 2#(0F ). T ind continuu, exista  2 A, " > 0 asa ^nc^at x 2 S(0E ; ") =) T (x) 2 S : 0

1. Fie x 2 E cu p(x) 6= 0. Luam un "0 > 0 cu "0 < " si x0 = p "(x) . Deci 

p (x0) = "0 < " ) x0 2 S(0E ; ") ) T (x0) 2 S )

) q (T (x0)) < 1 ) q (T





"0 x ) < 1 ) q (T (x)) < 1 p (x) jxj "0 

unde "10 > 0 nu depinde de x. 2. Fie x 2 E cu p(x) = 0. Atunci, pentru orice n; p (nx) = 0, deci nx 2 S (0E ; ") fapt ce implica T (nx) 2 S sau, ^nca, q (T (nx)) < 1 , nq (T (x)) < 1 , q (T (x)) < n1 (8) n deci q (T (x)) = 0. Asadar, pentru orice M > 0, putem scrie q (T (x))  M
p(x) si ^n acest caz. Reciproc, sa presupunem ca, pentru orice 2 B, exista  2 A si M > 0 asa ^nc^at q (Tx)  M
p(x) oricare ar x 2 E . Sa aratam ca T este continuu ^n 0E . Fie W = S (0F ; ") 2 #(0F ), unde " > 0. Din cele de mai sus, exista  2 A si M > 0 asa ^nc^at q (Tx)  Mp (x) pentru orice x 2 E Fie V = S 0E ; " 2 #(0E ). Daca x0 2 V; avem M q (T (x0 ))  Mp (x0)  M
M" = "

deci T (x0) 2 W , adica T este continuu ^n 0E .

1. DEFINITII. PROPRIETA TI

87

Corolar 6.1. Fie E; F doua spatii normate. Un operator liniar T : E ! F este

continuu daca si numai daca exista M > 0 asa ^nc^at kT (x)k  M kxk oricare ar x 2 E . Exemplul 6.1. Consideram o matrice in nita de numere reale (nm )n;m2N si presupunem ca exista M > 0 astfel ^nc^at 1 X n=1

2  M; (8) m 2 N : nm

Daca (IR2 ) reprezinta spatiul sirurilor de numere reale x = (1n)n cu proprietatea ca seria

1 X n=1

n2 este convergenta dotat cu norma

kxk =

1 X n=1

2

!

n

2

iar (IR1) desemneaza

spatiul normat al sirurilor marginite, atunci operatorul T : (IR1) ! (IR1) de nit prin 1 X T (x) = (m )m , m = nmn, m  1, este liniar si continuu. n=1

^Intr-adevar, utiliz^and ipoteza si inegalitatea lui Schwartz, avem 1 X m = nmm

j j

(7)

 klim !1

k X n=1

n=1

2 nm

! 21

k X n=1

 klim !1

! 12

n2

=

k X n=1

1 X n=1

jnmnj 

2 nm

!1 2

1 X n=1

p  M kxk ; (8) m 2 N :

De aici rezulta ca T este corect de nit. Apoi, daca x = (n)n, y = (n0 )n 2 (IR2 ) iar  2 R , atunci

T (x + y) =

1 X n=1

!

nm (n + n0 )

=

m

1 X n=1

!

nmn

m

+

n2

1 X n=1

!1 2



nmn0

= T (x) + T (y)

T (x) =

1 X n=1

!

nm(n)

m

=

1 X n=1

!

nmn

m

= T (x)

de unde rezulta liniaritatea lui T . ^In ne, din (7) deducem p kT (x)k = sup jm j  M kxk; (8) x 2 (IR2 ) m

si deci T este un operator liniar si continuu.

!

m

=

88

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE

iar p 2 N  , spatiul functiilor reale de nite pe [a; b] de p ori derivabile si cu derivata de ordin p continua dotat cu normele Exemplul 6.2. Notam CRp ([a; b]) unde [a; b]

kxk =

p X



R

max jx(k) (t)j si kxk0 = tmax jx(t)j : 2[a;b]

k=0 t2[a;b]

Fie '0; '1; : : : ; 'p:[a; b] ! R functii continue. De nim T : CRp ([a; b]) ! CR([a; b]) prin

T (x)(t) =

p X k=0

'k (t)x(k) (t)

numit operator diferential. Atunci T este liniar. ^In plus T este continuu daca se considera pe CRp ([a; b]) norma k
k. Continuitatea lui T nu mai este veri cata daca spatiul CRp ([a; b]) este dotat cu norma k
k0. Liniaritatea se arata imediat utiliz^and liniaritatea derivatei. Presupunem ca CRp ([a; b]) este dotat cu k
k. Avem, pentru x 2 CRp ([a; b]),

kT (x)k =  p

p X ( k) (t) ' ( t ) x max k t2[a;b]

k=0

 tmax 2[a;b]

p X k=0

j'k (t)j
jx(k) (t)j 

p

p X

(k) (t)j   X max jx(k) (t)j = kxk max j ' ( t ) j
max j x k t2[a;b] t2[a;b] t2[a;b] k=0 k=0





unde  = max max j' (t)j . Asadar, ^n acest caz, T este continuu. k=0 t2[a;b] k Pentru a rmatia urmatoare, vom considera un contraexemplu pentru p = 1, [a; b] = [0; 1], T : CR1 ([0; 1]) ! CR([0; 1]), T (x) = x0 . Fie xn(t) = sin nt, n 2 N  , t 2 [0; 1]. Avem, evident, kxnk = 1, (8) n 2 N  . Apoi, x0n (t) = n cos nt =) kT (xn)k = 0max jn cos ntj = n: t1

Deci sirul (kT (xn)k)n nu este marginit desi kxnk = 1 (8) n 2 N  . Ca urmare T nu este continuu. Exemplul 6.3. Consideram spatiul normat CR ([a; b]) al functiilor reale continue de nite pe [a; b] si o functie continua ' : [a; b]  [a; b] ! R . Lu^and U : CR([a; b]) ! CR([a; b]) de nit prin

U (x)(s) =

Zb

a

'(s; t)x(t)dt

obtinem un operator liniar si continuu numit operatorul integral de nucleu '. Propozitia 6.3. Fie E; F spatii normate. Aplicatia k
k : B(E; F ) ! R data prin kT k = sup kT (x)k de neste o norma pe B(E; F ). x2E kxk1

1. DEFINITII. PROPRIETA TI

89

Demonstratie. Observam, mai ^nt^ai, ca multimea T (S (0E ; 1)) este marginita (T ind continuu) deci k
k este bine de nita. Fie T 2 B(E; F ) cu kT k = 0. Atunci sup kT (x)k = 0, adica Tx = 0F pentru orice x cu kxk  1. Daca x0 2 E arbitrar x2E kxk1









cu 6= 0 atunci kx10k x0

= 1 deci T kx10 k x0 = 0F adica T (x0) = 0F . ^In plus T (0E ) = 0F . Deci T = O (operatorul nul). Evident kOk = 0 si kT k  0 (8) T . kT k = sup k(T )(x)k = sup jj
kT (x)k = jj sup kT (x)k = jj
kT k:

kx0 k

x2E kxk1

x2E kxk1

x2E kxk1

kT1 + T2k = sup k(T1 + T2 )(x)k = sup kT1(x) + T2 (x)k  kxk1

kxk1

 sup (kT1 (x)k + kT2(x)k)  sup kT1(x)k + sup kT2(x)k = kT1k + kT2k: kxk1

kxk1

kxk1

Propozitia urmatoare ofera unele exprimari echivalente ale normei unui operator utile pentru cele ce urmeaza. Propozitia 6.4. Norma unui operator liniar si continuu T mai poate exprimata prin una din expresiile kT k = sup kT (x)k = sup kTk(xxk)k = x6=0E kxk=1 = inf fM > 0 = kT (x)k  M kxk; (8) x 2 E g: Corolar 6.2. Daca T este un operator liniar si continuu, atunci kT (x)k  kT k
kxk oricare ar x 2 E . Exemplul 6.4. Operatorii T; S : (IR2 ) ! (IR2 ) dati prin T ((xn)n) = (yn)n cu yn = xn+1 ; (8) n  1; si, respectiv, S ((xn)n) = (zn)n cu z1 = 0; zn = xn 1 ; (8) n  2; sunt liniari, continui si de norma 1. Liniaritatea este evidenta, iar, daca x = (xn)n 2 (IR2 ), cu kxk  1, avem

kT (x)k =

v u 1 uX t x2

n=2

n



v u1 uX t x2

n=1

n

= kxk  1

kS (x)k = kxk; si deci T; S sunt continui si kT k  1, kS k = 1. Acum, lu^and x = (xn)n cu xn = 1 pentru n = 2 si xn = 0 daca n 6= 2, avem kT (x)k = kxk = 1. Asadar kT k = 1.

90

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE

Exemplul 6.5. Operatorul integral U : CR ([0; 1]) Z1

U (x)(s) =

! CR([0; 1]) dat prin

'(t; s)x(t)dt

0

unde ' : [0; 1]  [0; 1] ! R este continua, are norma Z1

kU k = smax j'(t; s)jdt: 2[0;1] 0

Fie x 2 CR([0; 1]), kxk = tmax jx(t)j  1. Atunci 2[0;1]

kU (x)k

Z1 '(t; s)x(t)dt = smax 2[0;1]

0

Z1

 tmax jx(t)j
smax j'(t; s)jdt  2[0;1] 2[0;1] 0

Z1

 smax j'(t; s)jdt: 2[0;1] 0

Pentru inegalitatea inversa, consideram functia continua

h(s) =

Z1

0

j'(t; s)jdt:

Exista, atunci, utiliz^and teorema lui Weierstrass, s0 2 [0; 1] astfel ca Z1

Z1

j'(t; s0)jdt = smax j'(t; s)jdt : 2[0;1]

0 Notam g(t) = sign '(t; s0). Atunci

0

j'(t; s0)j = g(t)'(t; s0). Conform teoremei lui Luzin ([5] teorema 3.3.4), exista un sir (xn)n  CR([0; 1]) cu proprietatile: a) jxn(t)j  1, (8) t 2 [0; 1], n 2 N ; 1 iar  este masura Lebesgue b) xn(t) = g(t), (8) t 2 [0; 1] n An, unde (An) < 2n pe R si  = t;smax j'(t; s)j. 2[0;1]

Avem

Z1 '(s; t)g (t)dt

0

=

Z

An

jxn(t) g(t)j  jxn(t)j + jg(t)j  2; Z1

0

'(s; t)xn(t)dt

Z1

 j'(s; t)j
jg(t) xn(t)jdt = 0

1 =1 j'(s; t)j
jg(t) xn (t)jdt  2 t;smax j ' ( t; s ) j 2[0;1] 2n n

si deci

Asadar

2. SIRURI DE OPERATORI. CONVERGENTA Z1 '(t; s)g (t)dt

0

 n1

Z1

Z1

0

0

max j'(t; s)jdt = s2[0;1]

Z1 + '(s; t)xn(t)dt

0

91

 n1 + kU k:

'(t; s0)g(t)dt  n1 + kU k; (8) n 2 N  ;

de unde deducem inegalitatea necesara.

2. Siruri de operatori. Convergenta

Fie E; F spatii vectorial normate peste K , (Tn)n un sir de operatori din B(E; F ) si T : E ! F. Definitia 6.4. 1. Spunem ca (Tn)n converge ^n norma la T si notam k
k Tn ! T daca, pentru orice " > 0, exista n" 2 N asa ^nc^at n > n" =) kTn T k < ": 2. Spunem ca (Tn)n converge punctual la T si notam Tn !p T daca, pentru orice x 2 E , sirul (Tn(x))n de elemente din F converge la T (x). u 3. Spunem ca (Tn)n converge uniform la T si notam Tn ! T daca, pentru orice " > 0 exista n" 2 N asa ^nc^at n > n" =) kTn(x) T (x)k < "; (8) x 2 E: Propozitia 6.5. 1. Daca Tn !p T atunci T este liniar. 2. Daca (Tn )n converge punctual la T si sirul numeric (kTnk)n este marginit, atunci T este continuu. 3. Convergenta ^n norma implica convergenta punctuala. k
k 4. Daca Tn ! T atunci T este continuu. Demonstratie. 1. Fie (Tn)n un sir de operatori liniari continui cu Tn !p T . Atunci, pentru x; y 2 E si ; 2 K , avem T (x + y) = lim T (x + y) = lim (Tn(x) + Tn(y)) = n n n = lim T (x) + lim T (y) = T (x) + T (y) n n n n deci T este liniar.p 2. Fie (Tn)n cu Tn ! T si M > 0 astfel ca kTnk  M pentru orice n. Avem ca Tn este continuu, deci kTn(x)k  kTnk
kxk  M
kxk; (8) n 2 N Din continuitatea normei si corolarul 6.3, rezulta kT (x)k = k lim Tn(x)k = lim kTn(x)k  lim kTnk
kxk  M kxk: Deci T este continuu. Urmatoarele a rmatii din propozitie sunt evidente.

92

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE Exemplul 6.6. Fie spatiul normat (IR2 ) si, pentru orice k 2 N , operatorul Tk : (IR2 ) ! (IR2 ) de nit prin Tk ((xn)n) = ("nk xn)n, unde "nk = 0 pentru n < k

si "nk = 1 daca n  k. Atunci (Tk )k converge punctual la O si nu converge ^n norma. ^Intr-adevar, daca x = (xn)n 2 (IR2 ), atunci

kTk (x)k

v u 1 uX = t x2

n=k

n

!0

(ca rest al unei serii convergente). ^Insa, pentru k 2 N , lu^and sirul x = (xn )n 2 (IR2 ) cu xn 6= 0, (8) n  1, rezulta ("nk xn )n 2 (IR2 ), ("nk xn)n 6= 0 si Tk (("nk xn)n) = ("nk xn)n. De aici deducem ca kTk k = sup kTkkx(xk)k  1; (8) k 2 N : x6=0 :k p Ca urmare, daca Tk k! T , ^ntruc^at Tk ! O, rezulta T = O dar kTk k 6 ! 0. Teorema 6.2. Daca F este un spatiu Banach, atunci si B(E; F ) este un spatiu Banach. Demonstratie. Fie (Tn)n un sir de operatori liniari continui, astfel ^nc^at, pentru orice " > 0, exista n" cu [n; m  n" =) kTn Tm k < "], adica (Tn)n este un sir Cauchy. Vom determina un operator T cu Tn k
k!T . De nirea operatorului T : Fie " > 0 si x 2 E xat cu x 6= 0 . (T (x)) este un sir de elemente din F . Pentru " > 0 exista un n > 0 asa ^nc^at E n n " kxk n; m  n" =) kTn Tm k < kx" k ; deci kTn(x) Tm(x)k = k(Tn Tm )(x)k  kTn Tmk
kxk  kx"k kxk = "

Asadar (Tn(x))n este un sir Cauchy ^n spatiul Banach F . Atunci exista y 2 F cu Tn(x) ! y. Luam prin de nitie T : E ! F; T (x) = y, unde y este elementul determinat anterior. Aratam ca T este liniar si continuu: Liniaritatea rezulta din propozitia 6.5 iar continuitatea rezulta din acceasi propozitie, sirul (kTmk)m ind un sir numeric Cauchy. k
k Aratam ca Tn ! T: Din propozitia 6.4, avem kTn T k = sup k(Tn kxTk )(x)k : x= 6 0E

2. SIRURI DE OPERATORI. CONVERGENTA

93

Pentru " > 0 am aratat ca exista n" 2 N asa ^nc^at k(Tn T )(x)k  "
kxk pentru orice n  n". Deci, daca x 6= 0E , k(Tn T )(x)k  " kxk si, trec^and la supremum dupa x, rezulta kTn T k = sup k(Tn kxTk )(x)k  "; x6=0E k
k asadar Tn ! T.

Teorema 6.3. Conditia necesara si su cienta ca Tn

k
k ! T , unde (Tn)n este un

sir de operatori liniari si continui, este ca (Tn)n sa convearga uniform la T pe orice submultime marginita a lui E . k
k Demonstratie. Presupunem ca T"n ! T si A  E este marginita si nevida. Deci exista r > 0 cu A  S (0E ; r). Pentru r , exista un n" asa ^nc^at

n  n" =) kTn T k < "r :

Fie x 2 A arbitrar. Atunci kTn(x) T (x)k = k(Tn T )(x)k  kTn T k
kxk < "; u deci Tn ! T pe A. u Reciproc, presupunem ca Tn ! T pe orice A marginita. ^In particular putem considera A = S (0E ; 1). Pentru orice " > 0, exista n" 2 N asa ^nc^at n  n" =) kTn(x) T (x)k < 2" ; (8) x 2 S (0E ; 1): Deci sup kTn(x) T (x)k = sup k (Tn T ) (x)k  2" sau

k
k adica Tn ! T.

kxk1

kxk1

kTn T k  2" < "

Definitia 6.5. Daca E este un spatiu normat pe care s-a de nit un produs asa ^nc^at E sa e o algebra, atunci spunem ca E este o algebra normata daca norma veri ca

kx
yk  kxk
kyk

pentru orice x; y 2 E . Propozitia 6.6. Daca E este o algebra normata, atunci aplicatia (x; y ) 7! xy este continua pe E  E .

94

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE

Demonstratie. Fie (xn )n  E cu xn ! x0; (yn)n  E cu yn ! y0. Atunci kxnyn x0 y0k = kxn yn xny0 + xn y0 x0y0k   kxn (yn y0)k + ky0(xn x0 )k  kxnk
kyn y0k + ky0k
kxn x0 k ! 0 deoarece (kxnk)n este marginit.

1. Daca E este o algebra normata cu element unitate e, nu rezulta ^n general kek = 1. 2. Daca E este ^n plus spatiu Banach, atunci E se numeste algebra Banach. 3. B(E ) este o algebra normata ^n raport cu compunerea operatorilor. ^Intr-adevar, k(T1
T2 )(x)k = kT1(T2 (x))k  kT1k
kT2(x)k  kT1 k
kT2 k
kxk pentru orice x 2 E . Trec^and la supremum pentru x 2 E cu kxk  1, rezulta kT1
T2k = sup (T1
T2 )(x)  kT1 k kT2k
sup kxk  kT1 k
kT2k: Observatia 6.3.

kxk1

kxk1

3. Principiul marginirii uniforme. Teorema Banach-Steinhauss

Demonstram mai ^nt^ai urmatorul rezultat: Lema 6.1. Daca un spatiu Banach E poate reprezentat ca o reuniune numarabila 1 [ de multimi ^nchise, E = Fi , atunci, pentru cel putin un i, Fi nu este rara. i=1

Demonstratie. Presupunem ca, pentru orice i, Fi este rara, adica interiorul multimii Fi (Int(Fi)) este multimea vida. De nm un sir (xn)n : Avem F1 = 6 E (F1 = E ar implica Int(F1 ) = E 6= ;). Deci CF1 = 6 ; si CF1 2  . Exista x1 2 CF1 si r1 > 0, r1 < 21 astfel ca S (x1; r1)  CF1 . Avem       ca S x1 ; r21 6 F2 (altfel Int(F2 ) = 6 ;) deci S x1 ; r21 \ CF2 =6 ; si S x1; r21 \ CF2 2    . Asadar exista x2 2 S x1 ; r21 \ CF2 si r2 < 212 cu   S (x2 ; r2)  S x1 ; r21 \ CF2 : Continu^and ^n acest mod, vom determina un sir de sfere (S (xn; rn))n cu proprietatile: { rn < 21n ;   r n { S (xn+1; rn+1)  S xn; 2 (deci kxn+1 xn k < r2n ); { S (xn; rn) \ Fn = ;, pentru orice n 2 N . Aratam ca sirul (xn)n astfel obtinut este Cauchy: Pentru m; n 2 N , kxn xm k  kxn xn+1k + kxn+1 xn+2k +


+ kxm 1 xm k   2n1+1 + 2n1+2 +


+ 21m < 21n ! 0: Deci xn ! x0 2 E .

3. PRINCIPIUL MA RGINIRII UNIFORME. TEOREMA BANACH-STEINHAUSS

95

Aratam ca x0 2 S (xn; rn) pentru orice n: Fie n 2 N xat. Avem , pentru orice m 2 N, kxn x0 k  kxn xm k + kxm x0 k: Daca m > n, atunci   r n S (xm; rm ) 


 S xn ; 2 deci kxm xn k < rn . Asadar 2 kxn x0k < r2n + kxm x0 k: Din xm ! x0 , pentru " = r2n , exista m" 2 N asa ^nc^at [m > m" =) kxn x0 k < r2n ]. Deci kxn x0 k < r2n + r2n = rn sau x0 2 S (xn; rn). [ Dar, pentru orice n, S (xn; rn) \ Fn = ;, asadar x0 62 Fn, deci x0 62 Fn = E , n

absurd.

Teorema 6.4. (Teorema lui Baire) Orice spatiu Banach este de categoria a doua.

Demonstratie. Presupunem ca E este un spatiu Banach si ca este de prima categorie, 1deci se poate scrie ca o reuniune numarabila de multimi rare, adica [ [ E = Ai, cu Int(Ai ) = ;. De aici, evident, E = Ai cu Ai, de asemenea, rare i=1

i

[Int(Ai ) = Int(Ai ) = ;], fapt ce ar contrazice lema precedenta. Fie E si F doua spatii normate. Definitia 6.6. 1. O multime H = fTi; i 2 =g  B(E; F ) se numeste punctual marginita daca, pentru orice x 2 E , multimea H (x) = fTi(x); i 2 =g este marginita ^n F . 2. O multime H = fTi; i 2 =g  B(E; F ) se numeste uniform marginita daca exista M > 0 asa ^nc^at kTi(x)k  M
kxk oricare ar i 2 = si x 2 E , adica daca multimea fkTik; i 2 =g este marginita ^n R . Teorema 6.5. Multimea H este uniform marginita daca si numai daca lim T (x) = 0F x!0E i uniform ^n raport cu i. Demonstratie. Presupunem ca H = fTi; i 2 =g este uniform marginita. Deci exista M > 0 asa ^nc^at kTi(x)k  M
kxk oricare ar i 2 = si x 2 E . Fie " > 0 si " . Daca kxk < , atunci  = 2M " = " < "; (8) i 2 =: kTi(x)k  M
2M 2

96

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE

Deci Ti(x) ! 0F uniform ^n raport cu i 2 =. Reciproc, presupunem ca Ti(x) ! 0F uniform ^n raport cu i. Fie " = 1. Exista  > 0 asa ^nc^at, daca kxk < , atunci kTi (x)k < 1 pentru orice i 2 =. Fie x 2 E arbitrar, x 6= 0E . Luam x0 = 2kxk
x. Evident kx0 k = 2 < , deci kTi(x0)k = 2kxk
kTi(x)k < 1 sau kTi(x)k  2 kxk. ^Intruc^at inegalitatea este adevarata si pentru x = 0E , lu^and  2 M =  , rezulta ca H = fTi; i 2 =g este uniform marginita. Teorema 6.6. (Principiul marginirii uniforme) Daca E este un spatiu Banach si F un spatiu normat, atunci H  B(E; F ) este uniform marginita daca si numai daca este punctual marginita. Demonstratie. Sa presupunem ca multimea H este punctual marginita, unde H = fTi; i 2 =g  B(E; F ). Notam, pentru ecare n 2 N , En = fx = kTi(x)k  n (8) i 2 =g: Avem ca: { En 6= ; (0E 2 En ) (8) n 2 N ; { En sunt S ^nchise (deoarece Ti este continuu); { E = En ( (8) x 2 E exista n cu kTi (x)k < n din marginirea punctuala). S Asadar E = En, En ^nchise. E ind un spatiu Banach, exista En0 care nu este rara, adica exista x0 2 En0 si  > 0 astfel ca S (x0; )  En0 . Pentru x0 , multimea H (x0) = fTi(x0 ); i 2 I g este marginita (H este punctual marginita). Fie L(x0 ) = supkTi (x0)k. Daca x 2 E cu kxk < , atunci i2=

kx + x0 x0 k = kxk <  , x + x0 2 S (x0 ; )  En0

asadar x + x0 2 En0 si kTi(x)k = kTi (x + x0 ) Ti(x0 )k  kTi (x + x0 )k + kTi(x0 )k  n0 + L(x0 ): Fie x 2 E , x 6= 0E . Notam x0 = 2kx0 k
x: Rezulta kx0 k = 0 < 0 deci kTi(x0 )k  n0 + L(x0 ) pentru orice i 2 =, adica 2

 

 x

 n + L(x ) , kT (x)k  2(n0 + L(x0 )) kxk:

Ti 0 i

2kxk 0 0 Asadar H este uniform marginita. Teorema 6.7. (Teorema Banach-Steinhauss) Fie un spatiu Banach E si (Tn )n un p sir din B(E; F ). Daca T 2 B(E; F ) si Tn ! T , atunci sirul (kTnk)n este marginit si avem kT k  supkTnk. n

4. INVERSAREA OPERATORILOR LINIARI

97

Demonstratie. Notam H = fTn; n 2 N g. Pentru un x 2 E xat, consideram multimea H (x) = fTn(x); n 2 N g. Sirul (Tn(x))n este convergent ^n F la T (x), deci H (x) este marginita, adica H este punctual marginita. Din principiul marginirii uniforme (teorema 6.6), H este uniform marginita, adica exista M > 0 asa ^nc^at kTn(x)k  M
kxk (8) n 2 N si x 2 E: Deci, daca x 6= 0E , atunci kTn(x)k  M adica kTnk  M (8) n 2 N . Sa notam kxk A = supkTnk. Atunci n

kTn(x)k  kTnk
kxk  Akxk:

Trec^and la limita dupa n si utiliz^and continuitatea normei, avem ca kT (x)k  Akxk, echivalent cu kT k  A = supkTnk. n

4. Inversarea operatorilor liniari Teorema 6.8. Fie E; F spatii normate si U 2 B(E; F ). Atunci U 1 exista si este continuu daca si numai daca exista  > 0 asa ^nc^at kU (x)k  kxk, oricare ar x 2 E. Demonstratie. Presupunem ca U 1 exista si este continuu. Exista atunci  > 0 asa ^nc^at kU 1yk  kyk, (8) y 2 F . Daca y 2 F si x = U 1 (y), rezulta kxk  kU (x)k ) kU (x)k  1 kxk: Reciproc, presupunem ca exista  > 0 cu kU (x)k  kxk pentru orice x 2 E . Fie x cu U (x) = 0F . Rezulta ca 0  kxk  1 kU (x)k = 0, deci x = 0E , adica U este inversabil. Notam U (x) = y si avem:

kU 1(y)k = kxk  1 kyk

deci U 1 este continuu. Teorema 6.9. Fie U 2 B(E ) si I : E ! E , I (x) = x operatorul identitate, E ind un spatiu normat. Daca exista  2 R astfel ca kU k   < 1, atunci operatorul I U admite un invers continuu si k(I U ) 1 k  1 1  :

Demonstratie. Avem kU (x)k  kU k
kxk  kxk  kxk deci kxk kU k  0.

Asadar Deci

k(I U )xk = kx U (x)k  j kxk kU (x)k j = kxk kU k: k(I U )xk  kxk kU (x)k  kxk kxk = (1 )kxk:

Din teorema precedenta rezulta ca (I U ) 1 exista si este continuu.

98

Fie y 2 F

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE si x = (I U ) 1 (y). Atunci, din cele de mai sus,

deci k(I U ) 1 k  1 1  .

k(I U ) 1 (y)k  1 1  kyk 5. Ecuatii operatoriale

Lema 6.2. (Teorema punctului x) Fie E un spatiu Banach si un operator V : E ! E . Daca exista  2 (0; 1) astfel ^nc^at kV (x0) V (x00 )k  kx0 x00k pentru orice x0; x00 2 E , atunci exista x 2 E , unic, astfel ca V (x ) = x : Demonstratie. Fie x0 2 E arbitrar. De nim sirul (xn )n prin relatia de recurenta xn+1 = V (xn); n  0. Avem kxn+1 xn k = kV (xn ) V (xn 1)k  kxn xn 1k sau, inductiv, kxn+1 xn k  nkx1 x0 k; (8) n 2 N : Daca m; n 2 N si m > n, atunci se va scrie kxm xn k  kxm xm 1 k + kxm 1 xm 2 k +


+ kxn+1 xn k 


 m 1 + m 2 +


+ n kx1 x0 k = = n 1 +  + 2 +


+ m

n 1
kx

1

x0 k 

 n 1 +  + 2 +


+ m n +



kx1 x0 k = = n 1 kx1 x0 k: 1  Daca n ! 1, atunci m ! 1 si kxm xnk ! 0. Deci (xn )n este un sir Cauchy ^n spatiul Banach E , asadar este convergent. Sa notam x = lim xn. V este continuu, deci putem scrie V (x ) = V (lim xn ) = lim V (xn) = lim xn+1 = x : Sa aratam ca x este unic cu aceasta proprietate. Fie x 2 E cu V (x ) = x . Deci kx x k = kV (x ) V (x )k  kx x k; adica x = x .

kx x k (1 )  0 , kx x k = 0;

6. FUNCTIONALE LINIARE. EXISTENTA FUNCTIONALELOR LINIARE

Definitia 6.7. Presupunem ca E este un spatiu normat si ca U

y 2 E dat. Egalitatea

99

2 B(E ). Fie

x = U (x) + y

se numeste ecuatie operatoriala. Aceasta mai poate scrisa sub forma (I U )x = y: Teorema 6.10. Daca E este un spatiu Banach, y 2 E iar U 2 B(E ) veri ca kU k < 1, atunci ecuatia x = U (x) + y are solutie unica ^n E . Demonstratie. De nim operatorul V : E ! E prin V (x) = U (x) + y. Aratam ca V veri ca conditia din lema precedenta. Fie x0 ; x00 2 E arbitrari. Atunci kV (x0) V (x00)k = kU (x0 ) + y U (x00) yk = kU (x0 ) U (x00)k = = kU (x0 x00)k  kU k
kx0 x00k: Deoarece kU k < 1, conditia este veri cata. Conform lemei, exista ^n mod unic x 2 E cu V (x ) = x sau U (x ) + y = x deci x este solutia unica a ecuatiei operatoriale.

6. Functionale liniare. Existenta functionalelor liniare Teorema 6.11. (Hahn-Banach) Fie E un spatiu normat si E1  E un subspatiu vectorial al lui E . Daca f : E1 ! R este o functionala liniara si continua pe E1 , atunci exista o functionala liniara continua F : E ! K asa ^nc^at FjE1 = f si kF k = kf k: Demonstratie. Fie p : E ! R data prin p(x) = kf k
kxk pentru orice x 2 E . Avem, pe E1 ,

jf (x)j  kf k
kxk = p(x)

deci exista o functionala liniara F ce prelungeste pe f si jF (x)j  p(x) pentru orice x 2 E . Asadar F este continua si kF k  kf k. Avem kf k = sup jf (x)j = sup jF (x)j  sup jF (x)j = kF k: kxk1 x2E1

kxk1 x2E1

kxk1 x2E

Deci are loc egalitatea kF k = kf k. Teorema 6.12. Daca p este o seminorma pe spatiul vectorial real E , atunci, pentru orice x0 2 E; x0 6= 0E , exista o functionala liniara continua pe E , asa ^nc^at f (x0) = p(x0 ) f (x)  p(x) (8) x 2 E: Demonstratie. Fie E1 = fx0 =  2 R g, subspatiul vectorial generat de x0 . De nim f0 : E1 ! R prin f0(x) = f0(
x0 ) = 
p(x0 ): Aplicatia f0 are proprietatile:

100

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE

 f0

este liniara: Fie x; y 2 E1. Exista 1; 2 cu x = 1x0 , y = 2 x0. Atunci f0(x) = 1p(x0 ); f0 (y) = 2p(x0 ). Avem x + y = 1x0 + 2x0 = (1 + 2) x0 ; deci, f0(x + y) = (1 + 2)p(x0 ) = =  (1p(x0 )) + (2 p(x0)) = f0 (x) + f0(y);  f0 (x0) = p(x0) : f0(x0 ) = f0 (1
x0 ) = 1
p(x0 ) = p(x0 );  f0 (x)  p(x): Avem [x 2 E1 ) x = x0 ; (8)  2 R]. Asadar : { daca  > 0, atunci f0 (x) = 
p(x0 ) = p(x0 ) = p(x); { daca  < 0, atunci f0 (x) = 
p(x0 ) < p(x0 ) = jjp(x0) = p(x0) = p(x). Din teorema Hahn-Banach deducem ca f0 poate prelungita la o functionala liniara continua f pe E si, ^ntruc^at fjE1 = f0, rezulta f (x0 ) = f0(x0 ) = p(x0 ): ^In plus avem f (x)  p(x): Teorema 6.13. Pentru orice x0 2 E; E ind un spatiu normat real, exista o functionala liniara si continua f pe E asa ^nc^at f (x0) = kx0 k; kf k = 1: Demonstratie. Pentru x0 2 E , conform teoremei precedente, exista f : E ! R astfel ^nc^at f (x0 ) = kx0k si jf (x)j  kxk oricare ar x 2 E . ^In plus, kf k = sup jf (x)j  sup kxk = 1: x2E kxk=1

Daca x0 6= 0E , e x = kx1 k
x0 . Avem 0



x2E kxk=1



f (x) = f kx1 k x0 = kx1 k f (x0 ) = kx1 k
kx0k = 1: 0 0 0 ^Intruc^at kxk = 1, avem kf k = sup kf (x)k  1: kxk=1

Exemplul 6.7. Daca (IR1 ) desemneaza spatiul sirurilor de numere reale (n)n cu 1

proprietatea ca seria

X

n=1

jnj este convergenta, atunci o functionala f este liniara si

continua pe (IR1 ) daca si numai daca exista un sir marginit de numere reale (n )n astfel 1 X ^nc^at f (x) = nn, unde x = (n)n 2 (IR1 ). ^In plus, kf k = supjnj. n=1

n

7. CONJUGATUL UNUI SPATIU NORMAT

Daca (n)n este un sir marginit de numere reale iar f (x) =

x = (n)n 2 (IR1 ), atunci este evident ca f este liniara. Apoi 1 X

1 X

n=1

n=1 kf k  sup jnj.

j nnj  sup jnj n

1 X n=1

101

nn pentru orice

jnj = sup jnjkxk:

Deci f este continua si avem Reciproc, e f : (IR1 ) ! R liniara si continua. Consideram sirul (xn )n cu xn = (ni )i; n 2 N , (ni ind simbolul lui Kronecker). Daca x = (n)n 2 (IR1 ), atunci n X

kx

l=1

l xl k =

1 X k=1

jk

n X l=1

l kl j =

Asadar,^n spatiul (I 1 ) dotat cu norma k(n)nk = R

continuitatea si liniaritatea lui f , rezulta

f (x) =

1 X n=1

1 X n=1

nf (xn) =

1 X

k=n+1

jk j ! 0:

jnj, pentru x =

1 X n=1

1 X i=1

nxn, utiliz^and

nn;

unde s-a notat n = f (xn) si (n)n este marginit. Fie yn = (nk )k 2 (IR1 ), unde nk =signn daca n = k si nk = 0 ^n caz contrar. Atunci

kynk = Deducem ^n continuare ca

1 X k=1

jnk j = jnnj = 1; (8) n 2 N :

jnj = nnn = pentru orice n 2 N . Deci

1 X

k=1 kf k = sup jnj. n

nnk = f (yn)  kf k

7. Conjugatul unui spatiu normat Definitia 6.8. 1. Fie E un spatiu normat. Numim conjugatul lui E si ^l notam E , spatiul functionalelor liniare si continue pe E , adica E  = B(E; R ): E  este un spatiu normat prin kf k = sup jf (x)j:

2.

kxk1  Fie E un spatiu normat si E conjugatul sau. Spatiul conjugat al spatiului normat E  se numeste al doilea conjugat si se noteaza prin E  . Asadar E  = fF = F 2 B(E  ; R )g:

Teorema 6.14. Fie E un spatiu normat si x

2 E xat. Aplicatia Fx : E  ! R

de nita prin Fx (f ) = f (x) pentru orice f 2 E  este o functionala liniara continua si kFxk = kxk:

102

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE Demonstratie. Fie x 2 E xat. E  6= ; (deoarece, de exemplu,

Avem

f  0 2 E ).

Fx(f + g) = (f + g)(x) = f (x) + g(x) = Fx(f ) + Fx(g); deci Fx este liniara.  Fx este continua: jFx(f )j = jf (x)j  kf k
kxk = kxk
kf k deci jFx(f )j  kxk
kf k (8) f 2 E  , asadar Fx este continua.  kFxk = kxk. Din jFx(f )j  kxk
kf k rezulta kFxk  kxk. Din teorema 6.13, exista, pentru x xat, o functionala f0 2 E  cu f0 (x) = kxk si kf0 k = 1. ^In consecinta kFxk = sup jFx(f )j  jFx(f0)j = f0(x) = kxk: kf k=1

Consecinta 6.2. ^In conditiile teoremei precedente, multimea E0 = fFx : E  

!

= x 2 E g formeaza un subspatiu vectorial al lui E . Demonstratie. Fie ; 2 R , x; y 2 E si Fx; Fy cu Fx(f ) = f (x), respectiv Fy (f ) = f (y) (8) f 2 E . Avem Fx(f ) + Fy (f ) = f (x) + f (y) = f (x + y) = Fx+ y (f ): Deci Fx + Fy = Fx+ y 2 E0 deoarece x + y 2 E . Teorema 6.15. ^In contextul de mai sus, aplicatia ' : E ! E0 , '(x) = Fx este R

un izomor sm.

Demonstratie.  ' este liniara:

'(x + y) = Fx+ y = Fx + Fy = '(x) + '(y):  ' este bijectiva: Fie x; y 2 E cu x 6= y. Daca '(x) = '(y) ) Fx = Fy , deci Fx(f ) = Fy (f ) (8) f 2 E  sau f (x) = f (y) (8) f 2 E  , f (x) f (y) = 0 (8) f 2 E  , f (x y) = 0: Dar, ^n particular, exista f0 2 E  cu f0(x y) = kx yk deci x = y. ^In plus j'(x)j = kFxk = kxk, deci ' este un izomor sm de spatii normate. Definitia 6.9. 1. Daca, cu notatiile de mai sus, E0 = E  , atunci spatiul E

se numeste re exiv. 2. Daca E  este izomorf cu E , atunci E se numeste autoconjugat. Observatia 6.4. Daca E este autoconjugat, atunci E este re exiv. ^Intr-adevar, E  =iz E , deci E  =iz (E  ) =iz E  =iz E (relatia de izomor sm este tranzitiva).

8. CONVERGENTA SLABA ^IN SPATII NORMATE SI ^IN SPATIUL CONJUGAT

8. Convergenta slaba ^n spatii normate si ^n spatiul conjugat

103

Definitia 6.10. Fie E un spatiu normat si E  dualul sau. Spunem ca un sir (fn )n

sl din E  converge slab la f 2 E  si notam fn ! f , daca fn(x) ! f (x) oricare ar x 2 E. Observatia 6.5. Convergenta slaba din E  coincide cu convergenta punctuala. Teorema 6.16. (caracterizarea convergentei slabe ^n spatiul conjugat) Daca E este un spatiu Banach, atunci un sir (fn)n din E  converge slab la f 2 E  daca si numai daca sunt veri cate conditiile: (i) sirul (kfnk)n este marginit; (ii) fn(x) ! f (x) pentru orice x 2 A unde A are acoperirea liniara densa ^n E hAi = E .

Demonstratie. Daca (fn)n !sl f atunci, din teorema Banach-Steinhauss (teorema 6.7), sirul (kfnk)n este marginit si, evident, (fn(x))n converge pentru orice x 2 E . Reciproc, presupunem conditiile (i) si (ii) ^ndeplinite. X Fie x 2 hAi. Exista (xi )i2I  A, (i )i2I  K , I nita, cu x = ixi si avem fn(x) = fn

X

i2I

i2I

!

ixi =

X

X

i2I

i2I

i2I

!

X

ifn(xi ) !

if (xi) = f

i xi = f (x)

deci fn ! f si pe hAi. Din f rezulta f continua, deci marginita. ^Intruc^at f este continua si (kfnk)n este marginit, exista  > 0 asa ^nc^at kfnk   si kf k   (8) n 2 N : Fie, ^n continuare, x 2 E = hAi. Pentru un " > 0, exista x0 2 hAi si n" 2 N asa ^nc^at kx x0 k < 4" . Deci, pentru n  n" si, respectiv, kfn(x0 ) f (x0)k < 2" (8) n  n", avem kfn(x) f (x)k = kfn(x) fn(x0) + fn (x0) f (x0 ) + f (x0) f (x)k   kfn(x) fn(x0 )k + kfn(x0) f (x0 )k + kf (x0) f (x)k   kfnk
kx x0 k + kf k
kx x0 k + kfn(x0) f (x0 )k   (kfnk + kf k) kx x0 k + kfn(x0 ) f (x0 )k < 2
4" + 2" = ": Definitia 6.11. Fie E un spatiu normat si (xn )n un sir din E . Spunem ca (xn )n converge slab la x, notam xn !sl x, daca f (xn) ! f (x) pentru orice f 2 E  . Convergenta ^n norma se mai numeste convergenta tare. Propozitia 6.7. ^In contextul de nitiei precedente, au loc urmatoarele proprietati: sl sl 0 1. Daca xn ! x si xn ! x , atunci x = x0; sl sl 2. Daca xn ! x si (xnk )k este un subsir al lui (xn)n, atunci xnk ! x; sl 3. Daca xn ! x ^n norma (tare), atunci xn ! x;

2 E

104

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE

4. Daca E este un spatiu nit dimensional, atunci convergenta tare si cea slaba coincid. Demonstratie. sl sl 0 1. xn ! x, xn ! x ) f (xn) ! f (x) si f (xn) ! f (x0 ) (8) f 2 E , deci f (x) = f (x0 ) (8) f 2 E  , jf (x) f (x0)j = 0 (8) f 2 E  ,

, jf (x x0 )j = 0

f 2 E :

(8)

Dar, exista f0 2 E  asa ^nc^at kx x0 k = jf0(x x0)j = 0; deci x = xsl0 . 2. Daca xn ! x ) f (xn) ! f (x) (8) f 2 E . Dar, ^n R , (f (xnk ))k este un subsir al lui (f (xn))n deci este convergent la f (x). 3. Daca xn ! x ^n norma iar f 2 E  atunci, jf (xn) f (x)j = jf (xn x)j  kf k
kxn xk ! 0 sl daca n ! 1. Asadar xn ! x. 4. Fie E un spatiu normat nit dimensional si (xn)n un sir din E convergent slab la x. Exista o baza nita a lui E , notata fe1; e2;


; emg si scalarii (ik )i;k si, respectiv (k )k , asa ^nc^at

xn = respectiv

m X k=1

nk ek ; (8) n 2 N ;

x=

m X k=1

k ek :

sl Din xn ! x rezulta ca f (xn ) ! f (x) pentru orice f 2 E . ^In particular, putem considera fi : E ! K liniare cu proprietatea ca fi(ek ) = ik ; i = 1; 2;


; m; k = 1; 2;


; m: ik ind simbolul lui Kronecker. Pentru i = 1;


; m; avem

fi (xn) = fi

m X k=1

fi(x) = fi si, ^ntruc^at fi(xn) ! fi(x), Dar

nk ek

!

=

m X k=1

nk fi(ek ) = ni (8) n 2 N ;

!

m X

k ek =

m X

k=1 rezulta ni

! i , pentru orice i.

m X

m X

m X

k=1

k=1

k=1

kxn xk = k nk ek

k=1

k fi(ek ) = i

k ek k = k




nk k ek k 



m X k=1

9. OPERATORI COMPLET CONTINUI PE UN SPATIU BANACH

jnk

k j
kek k = M


m X k=1

c^and n ! 1, unde M = 1max je j. km k

105

k  j ! 0; jnk k j  m
M
1max j  k n km

Teorema 6.17. Daca E; F sunt doua spatii normate, T sl

2 B(E; F ) si (xn )n este

un sir din E cu xn ! x, atunci sirul (T (xn))n converge slab la T (x) ^n F . Demonstratie. Daca f 2 F , atunci f  T 2 E , deci, din ipoteza sl (f  T )(xn) ! (f  T )(x) , f (T (xn)) ! f (T (x)). Asadar T (xn) ! T (x). Teorema 6.18. (caracterizarea convergentei slabe ^ntr-un spatiu normat) Sirul (xn )n din spatiul normat E converge slab la x 2 E , daca si numai daca (i) sirul (kxnk)n este marginit; (ii) f (xn) ! f (x) pentru orice f 2 F unde acoperirea liniara a lui F este densa ^n E  (hFi = E  ).

Demonstratie. Daca xn !sl x, atunci f (xn) ! f (x) (8) f 2 E  . Pentru un x arbitrar din E , e Fx 2 E  de nita prin Fx(f ) = f (x); f 2 E . Avem, ^n plus kFx(f )k = kxk. Asadar sl xn ! x , f (xn ) ! f (x) (8) f 2 E  , , Fxn (f ) ! Fx(f ) (8) f 2 E  , Fxn !sl Fx ^n spatiul E  , (kFxn k)n = (kxnk)n marginit:

Deci

)

Fxn (f ) ! Fx(f ) (8) f 2 F unde hFi = E : f (xn) ! f (x) A rmatia din enunt se obtine acum aplic^and teorema 6.16.

9. Operatori complet continui pe un spatiu Banach

^In acest paragraf E si F sunt considerate spatii Banach. Definitia 6.12. Un operator liniar T : E ! F se numeste complet continuu daca, pentru orice multime marginita A  E , multimea T (A) = fT (x); x 2 Ag este relativ compacta ^n F . Propozitia 6.8. Orice operator complet continuu este continuu. Demonstratie. Fie T un operator complet continuu. Atunci multimea A = fx = kxk  1g este marginita, deci T (A) este relativ compacta, adica T (A) este compacta. Fie fS (y; 1)=y 2 T (A)g o acoperire cu deschise a lui T (A). p [ Exista y1; y2;


; yp 2 T (A) cu T (A)  T (A)  S (yi; 1). Asadar, pentru orice i=1

y 2 T (A), exista i 2 f1; :::; pg astfel ^nc^at y 2 S (yi; 1). Rezulta kTxk = kyk = ky yi + yik  ky yik + kyik 

106

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE

 1 + 1max ky k = M; ip i deci kTxk  M pentru orice x 2 A. Fie x 2 E arbitrar cu x = 6 0E . Atunci, pentru x0 = kx1k
x, avem kTx0 k = 1 kTxk  M sau kTxk  M kxk. Asadar T este continuu. kxk Teorema 6.19. Daca operatorii U si V sunt complet continui, atunci U + V este

complet continuu (familia operatorilor complet continui este un subspatiu vectorial), pentru orice ; 2 K . Demonstratie. Fie A marginita si (wn)n un sir din (U + V )(A). Exista xn 2 A cu wn = U (xn) + V (xn), pentru orice n 2 N . Fie wn0 = U (xn ). U ind complet
continuu, exista wn0 k k 
(wn0 )n cu (wn0 k )k convergent. Notam (x0nk )k subsirul lui (xn)n pentru care wn0 k = U x0nk , pentru orice k.  
00 0 00 Fie, pentru orice k, wnk = V xnk . V ind complet continuu, exista wnkl un l     subsir convergent al lui (wn00k )k . Fie x00nkl cu V x00nkl = wn00kl , pentru orice l. Avem, l       pentru x00nkl , sirul wnkl de nit prin wnkl = U x00nkl + V x00nkl care este un subsir l convergent al lui (wn)n, deci U + V este complet continuu. Teorema 6.20. Daca (Un )n este un sir de operatori complet continui Un : E ! F k
k astfel ^nc^at Un ! U , atunci U este complet continuu. Demonstratie. Fie (xk )k  E un sir marginit. Pentru ecare n, fUn(xk ) = k 2 N g este o multime relativ compacta, deci contine un subsir convergent, notat (Un(xki ))i. Avem
kU (xki ) U xkj k = kU (xki ) Un (xki ) + Un (xki )








Un xkj + Un xkj U xkj k 


 kU (xki ) Un (xki ) k + kUn (xki ) Un xkj k + kUn xkj U xkj k 
 kU Unk
kxki k + kUn (xki ) Un xkj k + kUn U k
kxkj k: Sirul (xk )k ind marginit, exista  > 0 cu kxk k  , pentru orice k. Fie " > 0. Din k
k Un ! U deducem ca exista n" asa ^nc^at n > n" =) kUn U k < 4" : Fixam n cu n > n". Sirul (Un (xki ))i ind convergent, rezulta ca (Un (xki ))i este un sir Cauchy, deci exista i" 2 N asa ^nc^at
i; j  i" ) kUn (xki ) Un xkj k < 2" : ^In nal, pentru i; j  i", obtinem kU (xki ) U xkj
k < 4"
 + 2" + 4"
 = "

10. CONJUGATUL UNUI SPATIU VECTORIAL TOPOLOGIC

107

asadar (U (xki ))i este un sir Cauchy ^ntr-un spatiu Banach, deci este convergent si putem spune ca U este un operator complet continuu. sl Teorema 6.21. Fie U : E ! F un operator complet continuu. Daca xn ! x ^n k
k E , atunci Uxn ! U (x) ^n F .

Demonstratie. Presupunem ca xn !sl x. Rezulta ca sirul (kxnk)n este marginit, k
k deci (xn)n este marginit. Sa presupunem ca U (xn ) 6! U (x). Exista atunci un "0 > 0

asa ^nc^at, oricare ar n, exista kn > n cu (8) kU (xkn ) U (x)k  "0: Dar, (xn)n ind un sir marginit si U un operator complet continuu, rezulta ca multimea fU (xn ), n 2 N g este relativ compacta,

deci sirul (U (xkn ))n cont
ine un 0 subsir convergent. Sa notam acest sir prin U xkni i. Fie y = lim U xkni . Evident i
sl
sl xkni i ! x, deci U xkni ! U (x) = y.
k:k 0
sl Pe de alta parte, din U xkni ! y ; U xkni ! y si din unicitatea limitei ^n 0 convergenta slaba, rezulta y = y.
Deci am determinat un sir Uxkni i convergent la y fapt ce contrazice a rmatia (8). Teorema 6.22. Daca U : E ! E este un operator complet continuu iar V : E ! E este un operator continuu, atunci U  V si V  U sunt operatori complet continui. Demonstratie. Fie (xn )n un sir marginit din E . V este un operator continuu deci kV (xn)k  kV k
kxnk pentru orice n 2 N , asadar (V (xn))n este, de asemenea, un sir marginit. Apoi, U ind complet continuu, deducem ca sirul ((U  V )(xn))n = (U (V (xn )))n contine un subsir convergent, deci U  V este complet continuu. Fie acum (xn)n un sir marginit. U ind un operator complet continuu, (U (xn ))n contine un subsir convergent, notat (U (xnk ))k . Din continuitatea operatorului V rezulta ca sirul ((V  U )(xnk ))k = (V (U (xnk )))k este, de asemenea, convergent, asadar ((V U )(xn ))n contine un subsir convergent. Deci V U este operator complet continuu.

10. Conjugatul unui spatiu vectorial topologic

Fie X un spatiu vectorial topologic si X  conjugatul sau. Vom considera ^n X  topologia slaba, respectiv topologia tare, date de urmatoarele familii de seminorme fpF = F  X; F nita g; respectiv fpB = B  X; B marginitag; de nite prin pF (x0 ) = max jx0 (x)j; x2F respectiv pB (x0) = sup jx0(x)j: x2B

108

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE

Este evident ca familiile F = fF  X = F nitag si B = fB  X = B marginitag pot considerate ltrante (dirijate) prin relatia de ordine partiala data de incluziunea inversa F1  F2 daca F2  F1 respectiv B1  B2 daca B2  B1 : ^In acest caz pF1 (x0 )  pF2 (x0), 8 x0 2 X  si, la fel, pB1 (x0 )  pB2 (x0). Convergenta la zero^n topologia slaba a unui sir generalizat (x0)2
este echivalenta cu faptul ca (x0 (x))2
converge la zero pentru orice x 2 X . Deasemenea convergenta la zero ^n topologia tare a sirului (x0(x))2
^nseamna ca (x0 (x))2
converge uniform la zero pe orice multime marginita din X . Propozitia 6.9. (1) X  este un spatiu vectorial topologic separat daca se considera topologia slaba. (2) Daca B acopera pe X , atunci X  este un spatiu vectorial topologic separat si fata de topologia tare. Demonstratie. ^Intr-adevar, daca x0 6= 0, exista x0 2 X cu x0 (x0 ) 6= 0 de unde rezulta ca pfx0 g(x0 ) = jx0(x0 )j > 0. Utilizam apoi propozitia 3.9. Relativ la a rmatia (2), daca x0 este astfel^nc^at x0 (x0) 6= 0 si B 2 B este astfel^nc^at x0 2 B , atunci, evident, pB (x0 ) = supjx0(x)j  jx0(x0 )j > 0. x2B

Observatia 6.6. ^Intruc^at, oricare ar x

2 X , fxg este marginita ^n X rezulta

ca B acopera ^ntotdeauna pe X si deci conditia din enunt este ^ntotdeauna satisfacuta. Cu alte cuvinte X  este un spatiu vectorial topologic separat at^at ^n topologia slaba c^at si ^n topologia tare. Definitia 6.13. Fie X; Y doua spatii vectorial topologice, f o aplicatie liniara continua din X ^n Y . Functia t f : Y  ! X  de nita prin t f (y 0)(x) = y 0(f (x)) (t f (y 0) = y 0  f ) se numeste transpusa aplicatiei f . Teorema 6.23. Pentru elementele spatiului B(X; Y ) au loc urmatoarele proprietati : 1) t f este aplicatie liniara din Y  ^n X  2) transpusa sumei f + g este t f +t g 3) daca f 2 B(X; Y ), g 2 B(Y; Z ) atunci t (g  f ) =t f  t g 4) daca f este bijectiva atunci t f este bijectiva si (t f ) 1 =t (f 1) 5) t f este continua din Y  ^n X  at^at pentru topologiile duale slabe c^at si pentru topologiile duale tari.

Demonstratie.

1) Avem, pentru orice y0; y10 ; y20 2 Y  si  2 K , t f (y 0 + y 0 ) = (y 0 + y 0 )  f = y 0  f + y 0  f =t f (y 0 ) +t f (y 0 ) 1 2 1 2 1 2 1 2 si t f (y 0) = (y 0 )  f = (y 0  f ) =  t f (y 0): 2) t (f + g)(y0) = y0  (f + g) = y0  f + y0  g =t f (y0) +t g(y0) = (t f +t g)(y0), 8 y0 2 Y .

10. CONJUGATUL UNUI SPATIU VECTORIAL TOPOLOGIC 109 3) t (g  f )(z0 ) = z0  (g  f ) = (z0  g)  f =t f (tg(z0 )) = (tf t g)(z0), 8 z0 2 Z . 4) daca y10 ; y20 2 Y  cu y10 6= y20 , exista y 2 Y astfel ^nc^at y10 (y) 6= y20 (y) si, daca

x 2 X este astfel ^nc^at y = f (x), vom avea t f (y 0 )(x) = y 0 (f (x)) = y 0 (y ) 6= y 0 (y ) = y 0 (f (x)) = t f (y 0 )(x) 1 1 1 2 2 2 t 0 t 0 t de unde f (y1) 6= f (y2) adica aplicatia f este injectiva. Daca x0 2 X , putem considera y0 2 Y  de nita prin y0(y) = x0 (f 1(x)) si, evident, avem t f (y 0)(x) = y 0(f (x)) = x0 (f 1 (f (x))) = x0 (x) (8) x 2 X de unde tf (y0) = x0 adica t f este surjectiva. ^In ne, din demonstratia surjectivitatii, rezulta ca putem lua (t f ) 1(x0 ) = y0 cu y0 = x0  f 1(x0) iar de aici rezulta egalitatea din enunt. 5) Presupunem ca X ; Y  sunt ^nzestrate cu topologia slaba si ca (y0 )2
este un sir generalizat convergent la zero ^n Y . Avem tf (y0 )(x) = y0 (f (x)) pentru orice  2
de unde rezulta ca (t f (y0 ))2
converge la zero ^n topologia slaba a lui X . Daca B este marginita ^n X , atunci B1 = f (B ) este marginita ^n Y si avem pB (t f (y0 )) = sup jtf (y0 )(x)j = sup jy0 (f (x))j = sup jy0 (y)j = pB (y0 ): x2B x2B 0 Deci, daca (y)2
converge la zero ^n Y  converge la zero ^n X  cu topologia tare.

y2B1

cu topologia tare atunci (t f (y0 ))2


Din aceasta teorema se deduce imediat : Consecinta 6.3. Daca f este un izomor sm topologic ^ntre X si Y , atunci t f este un izomor sm topologic ^ntre Y  si X  . Presupunem ca X1 ; X2 sunt doua spatii vectoriale topologice. Definitia 6.14. Spunem ca X1 este continuu scufundat ^n X2 daca X1  X2 si aplicatia de scufundare din X1 ^n X2 este continua (topologia initiala a lui X1 este mai na dec^at topologia indusa de X2 ). Vom scrie X1 ,! X2 . Teorema 6.24. Fie X; Y doua spatii vectorial topologice astfel ^nc^at X ,! Y si X = Y . Atunci Y  ,! X  si y0 2 Y  este prelungibila la un element din X  daca si numai daca y0 este continua pe X ^n topologia indusa de Y . Demonstratie. Fie y0 2 Y  . Daca (x )2
converge la zero ^n X , (x)2
va converge la zero ^n Y deci (y0(x )) converge la zero ceea ce dovedeste continuitatea lui y0 pe X si deci faptul ca y0 2 X . Daca y0 este prelungibila la un element din X  (si identi cam y0 cu prelungirea sa), atunci, pentru orice " > 0, exista V" 2 #(0Y ) astfel ^nc^at jy0(y)j < " pentru orice y 2 V" si, cu at^at mai mult, vom avea jy0(x)j < " pentru orice x 2 V" \ X care este vecinatate a originii ^n X pentru topologia indusa de Y , adica y0 este continua pe X cu topologia indusa de Y. Pentru a rmatia reciproca este su cient sa aplicam principiul de prelungire prin continuitate.

110

6. OPERATORI LINIARI PE SPATII NORMATE

11. Exercitii

1. Notam (lR1) spatiul normat al sirurilor marginite de numere reale si T : (IR1) ! (IR1) operatorul de nit prin T (x) = ( xnn )n. Sa se arate ca T este corect de nit, liniar si continuu. Sa se calculeze kT k. Este T injectiv ? Dar surjectiv ? 2. Fie E un spatiu Banach, F un spatiu normat iar T 2 B(E; F ) cu proprietatea ca exista m > 0 astfel ^nc^at kTxk  mkxk pentru orice x 2 E . Atunci T (E ) este un subspatiu liniar ^nchis ^n F . 3. Fie E; F doua spatii normate si U : E ! F un operator liniar. Sa se arate ca urmatoarele a rmatii sunt echivalente: (i) U este un operator complet continuu; (ii) Exista un numar  astfel ca kU (x)k  kxk pentru orice x 2 E ; (iii) Daca A  E este marginita, atunci U (A) este marginita. 4. Daca T este un spatiu local compact, iar E un spatiu Banach, notam KE (T ) spatiul vectorial al functiilor f : T ! E cu suport compact (suportul functiei f este aderenta multimii ft 2 T=f (t) 6= 0g). Pentru K  T compacta nevida aplicatia pK (f ) = sup jf (t)j este o seminorma pe KE (T ). Astfel KE (T ) devine t2K un spatiu local convex dotat cu topologia generata de familia de seminorme fpK = ; 6= K  T; K compactag (numita topologia convergentei compacte). 5. Fie e1 ; e2; :::; en; ::: baza canonica a spatiului (IR2 ). De nim, pentru orice n, operatorul Tn : (IR2 ) ! (IR2 ) prin formula Tn(ek ) = e1 pentru k = n si 0 pentru k 6= n. Aratati ca, pentru orice n, Tn este liniar si continuu. Sa se calculeze kTnk si sa se arate ca Tn ! 0 ^n norma. 6. Aratati ca produsul (compunerea) operatorilor liniari si continui ^ntre doua spatii normate este continuu ^n topologia convergentei ^n norma. 7. Fie E; F doua spatii Banach. Aratati ca, daca sirul (An)n din B(E; F ) are proprietatea ca (An(x))n converge slab ^n F la A(x), x 2 E si A 2 B(E; F ), atunci sirul normelor, (kAnk)n este marginit. 8. a) Aratati ca o functionala liniara pe un spatiu normat este continua daca si numai daca este marginita pe sfera unitate a spatiului. O functionala liniara este continua pe un spatiu vectorial topologic daca este marginita pe toate submultimile marginite. Daca spatiul admite o baza numarabila de vecinatati ale unui punct, conditia este si su cienta. 9. Calculati R normele urmatoarelor functionale de nite pe CR([a; b]): a) I (x) = Rab x(t)dt; b) Iy (x) = ab x(t)y(t)dt; c) F (x) =

n X

ix(ti ) i=1 unde y este xat, t1 ; :::; tn sunt puncte disticte din [a; b], iar 1 2; :::; n sunt numere reale.

CAPITOLUL 7

Operatori liniari pe spatii Hilbert ^In tot cuprinsul capitolului vom desemna prin H un spatiu Hilbert.

1. Continuitatea unui operator liniar pe un spatiu Hilbert

Teorema 7.1. (caracterizarea continuitatii unui operator liniar) Fie U

2 L(H ).

U este un operator continuu daca si numai daca exista  > 0 asa ^nc^at jhU (x); yij  kxk
kyk oricare ar x; y 2 H . Demonstratie. Fie U un operator liniar si continuu. Atunci exista  > 0 cu kU (x)k  kxk pentru orice x 2 H . Deci jhU (x); yij  kU (x)k
kyk  kxk
kyk; (8) x; y 2 H: Reciproc, presupunem conditia ^ndeplinita, adica exista  > 0 asa ^nc^at jhU (x); yij  kxk
kyk oricare ar x; y 2 H . ^In particular, putem considera y = U (x); x 6= 0H , si obtinem kU (x)k2 = khU (x); U (x)ik  kxk
kU (x)k sau ^nca kU (x)k  kxk oricare ar x 2 H (x = 0H veri ca inegalitatea de mai sus), deci U este un operator continuu.

2. Forma functionalelor liniare si continue (Teorema lui Riesz) Teorema 7.2. (Teorema lui Riesz) Daca f : H ! K este o functionala liniara si continua, atunci exista yf 2 H unic asa ^nc^at f (x) = hx; yf i oricare ar x 2 H . I^n plus avem kf k = kyf k. Reciproc, pentru un y 2 H xat, aplicatia x 7! fy (x) = hx; y i este o functionala liniara si continua pe H . Demonstratie. Constructia lui yf . Fie A = fx 2 H / f (x) = 0g. A este un subspatiu vectorial al lui H . Daca A = H , luam yf = 0H si avem f (x) = hx; 0H i (8) x 2 H; kf k = 0 = k0H k: 111

112

7. OPERATORI LINIARI PE SPATII HILBERT Presupunem acum ca A 6= H . Fie z 2 A?, z 6= 0. Evident z

62 A, deci f (z) 6= 0.

Pentru x 2 H arbitrar, de nim vx 2 H prin vx = x ff ((xz))
z: Avem f (vx) = f (x) ff ((xz)) f (z) = 0, deci vx 2 A. Asadar hvx; zi = 0 sau   f ( x ) x f (z)
z; z = 0 sau, ^nca, hx; zi ff ((xz)) hz; zi = 0: De aici, * + f (x) = kfz(zk)2 hx; zi = x; kfz(zk)2 z deci elementul cautat este yf = kfz(zk)2 z: Unicitatea lui yf . Fie y0 2 H cu f (x) = hx; y0i pentru orice x 2 H . Avem hx; yf i = hx; y0i (8) x 2 H , hx; yf y0i = 0 (8) x 2 H: ^In particular, daca luam x = yf y0, obtinem kyf y0k2 = hyf y0; yf y0i = 0 asadar y0 = yf . Egalitatea kf k = kyf k. Din f (x) = hx; yf i (8) x 2 H , rezulta jf (x)j = jhx; yf ij = kyf k
kxk (8) x 2 H: Asadar kf k  kyf k. Pe de alta parte, lu^and x = yf , obtinem f (yf ) = hyf ; yf i = kyf k2 deci   y f f ky k = ky1 k f (yf ) = ky1 k
kyf k2 = kyf k f f f   asadar kf k = sup jf (x)j  f yf = kyf k, adica egalitatea. kyf k kxk=1 Reciproc, pentru un y xat, functionala x 7! fy (x) = hx; yi este liniara si continua. Liniaritatea este imediata iar, pentru continuitate, avem jfy (x)j = jhx; yij = kyk
kxk (8) x 2 H: Corolar 7.1. Orice spatiu Hilbert este izomorf cu spatiul sau conjugat. Demonstratie. Functia ' : H  ! H de nita prin '(f ) = yf realizeaza izomor smul dintre cele doua spatii.

3. ADJUNCTUL UNUI OPERATOR

113

Corolar 7.2. Un spatiu Hilbert este autoconjugat, deci re exiv. Propozitia 7.1. Daca U este un operator liniar si continuu, atunci

kU k = inf f > 0 = jhU (x); yij  kxk
kyk (8) x; y 2 H g: Demonstratie. Daca U este continuu, exista 1 > 0 asa ^nc^at jhU (x); yij  1kxk
kyk (8) x; y 2 H:

Daca y = U (x), avem jhU (x); U (x)ij  1kxk
kU (x)k (8) x 2 H , Deci sau

, kU (x)k2  1kxk
kU (x)k (8) x 2 H , kU (x)k  1kxk: kU k = inf f > 0=kU (x)k  kxkg  1 kU k  inf f > 0=jhU (x); yij  kxk
kyk (8) x; y 2 H g:

Pe de alta parte,

jhU (x); yij  kU (x)k
kyk  kU k
kxk
kyk deci kU k 2 f > 0=jhU (x); yij  kxk
kyk (8) x; y 2 H g si, de aici, inf f > 0=jhU (x); yij  kxk
kykg  kU k:

Asadar

kU k = inf f > 0=jhU (x); yij  kxk
kykg: 3. Adjunctul unui operator

Propozitia 7.2. Pentru orice operator liniar si continuu pe un spatiu Hilbert H si pentru orice y 2 H exista y  2 H unic asa ^nc^at hU (x); yi = hx; yi (8) x 2 H: Demonstratie. Fie y 2 H xat. De nim F : H ! K prin F (x) = hU (x); yi. F este liniara si continua. Conform teoremei lui Riesz exista y 2 H unic asa ^nc^at F (x) = hx; yi (8) x 2 H deci hU (x); yi = hx; yi pentru orice x 2 H . Definitia 7.1. Numim adjunctul operatorului U 2 B(H ), operatorul U  : H ! H de nit prin U (y) = y unde y a fost introdus ^n propozitia anterioara. Avem hU (x); yi = hx; U  (y)i (8) x 2 H: Exemplul 7.1. Fie operatorul T : K n ! K n de nit de matricea A = (i;j )1i;j n. Adjunctul acestuia este operatorul T  caracterizat de matricea ale carei elemente sunt i;j = i;j .

114

^Intr-adevar, avem

7. OPERATORI LINIARI PE SPATII HILBERT

hT (x); yi =

n X

n X

n X

( ij xi)yj = xi ( ij yj ) = j =1 i=1 i=1 j =1 n n X X = xi( ij yj ) = hx; T (y)i: i=1 j =1

j =1

j yj =

n X n X

Exemplul 7.2. Fie ' : [0; 1]  [0; 1] ! R continua si RU : L2R ([0; 1]) ! L2R ([0; 1]) operatorul Rintegral de nucleu ', adica U (x)(s) = 01 '(s; t)x(t)dt. Atunci U  (x)(s) = 01 '(t; s)x(t)dt.

Consideram functiile reale continue x; y 2 C ([0; 1]). Avem

hU (x); yi = =

Z

Z

1

0

1

U (x)(s)y(s)ds = x(t)(

Z

1

Z

1

0

(

Z

1

0

'(s; t)x(t)dt)y(s)ds =

'(s; t)y(s)ds)dt = hx; U  (y)i:

0 0 2 Pentru functiile x; y 2 L ([0; 1]) exista doua siruri de functii continue pe [0; 1], notate R

(xn )n; (yn)n, convergente la x, respectiv y. Atunci hU (x); yi = nlim hU (xn ); yni = nlim hx ; U  (yn)i = hx; U  (y)i: !1 !1 n Propozitia 7.3. Operatorul U  ete liniar si continuu. ^In plus

kU k = kU k: Demonstratie. Pentru orice x; y; z 2 H si ; 2 K , avem hx; U  (y + z)i = hU (x); y + zi = hU (x); yi + hU (x); zi = = hx; U  yi + hx; U  zi = hx; U  yi + hx; U  zi = hx; U  y + U  zi:

Asadar Apoi

U  (y + z) = U  (y) + U (z):

U continuu , (9)  > 0 cu jhU (x); yij  kxk
kyk (8) x; y 2 H , , jhx; U  (y)ij  kxk
kyk , jhU (y); xij  kxk
kyk (8) x; y 2 H , U  continuu: Pentru egalitatea normelor, avem f > 0 / jhU (x); yij  kxk
kyk (8) x; y 2 H g = = f > 0 / jhx; U  (y)ij  kxk
kyk (8) x; y 2 H g: Deci kU k = kU k. Propozitia 7.4. (proprietatile adjunctului unui operator) Daca U si V sunt doi operatori liniari si continui pe H , atunci : (1) (U + V ) = U  + V ;

3. ADJUNCTUL UNUI OPERATOR

(2) (U ) = U  ; (3) (U  ) = U ; (4) (UV ) = V  U  ; (5) daca exista U 1 , atunci exista (U  ) 1 si avem (U 1) = (U  ) 1; (6) kU 
U k = kU k2. Demonstratie. Avem relatiile hx; (U + V )(y)i = h(U + V )(x); yi =

115

= hU (x); yi + hV (x); yi = hx; U  yi + hx; V  (y)i = Asadar

= hx; U  (y) + V (y)i (8) x; y: (U + V ) (y) = U  (y) + V (y)

pentru (1), respectiv hx; (U )(y)i = h(U )(x); yi = hU (x); yi = hx; U  (y)i = hx; U  (y)i; (8) x; y pentru (2). Egalitatile (3) si (4) rezulta din hx; (U  )(y)i = hU  (x); yi = hy; U (x)i = hU (y); xi = hx; U (y)i respectiv, hx; (UV ) (y)i = h(UV )(x); yi = hU (V (x)); yi = hV (x); U  (y)i = = hx; V  (U  (y))i = hx; (V 
U  )(y)i; (8) x; y: Daca exista U 1 , atunci, pentru orice x; y 2 H , avem: hx; (U 1 )(U  (y))i = hU 1 (x); U  (y)i = hU (U 1 (x)); yi = hx; yi deci (U 1 )
U  = I . Pe de alta parte, analog se arata si ca U 
(U 1 ) = I , deci exista (U  ) 1 si avem (U  ) 1 = (U 1 ): Pentru (6), e x 2 H . Avem kU (x)k2 = jhU (x); U (x)ij = jhx; U  (U (x))ij = jhx; (U 
U )(x)ij = ^In plus

= jh(U 
U )(x); xij  kU  U k
kxk2 :

kU k2 = sup kU  (x)k2  sup kU U k
kxk2 = kU U k: kxk1

kxk1

Asadar kU k2  kU 
U k. Pe de alta parte, kU 
U k  kU  k
kU k = kU k2 deoarece kU k = kU  k.

116

7. OPERATORI LINIARI PE SPATII HILBERT

4. Operatori autoadjuncti

Fie B(H ) spatiul vectorial al operatorilor liniari si continui pe spatiul Hilbert H . Definitia 7.2. Operatorul U 2 B(H ) se numeste operator autoadjunct daca U = U. Observatia 7.1. 1. U este autoadjunct daca si numai daca veri ca hU (x); yi = hx; U (y)i (8) x; y 2 H: 2. Daca operatorul U este autoadjunct atunci hU (x); xi 2 R pentru orice x 2 H . Exemplul 7.3. I^n spatiul L2R ([0; 1]) al functiilor reale de patrat integrabil, operatorul U de nit prin U (x)(t) = tx(t), pentru orice x 2 L2R ([0; 1]); t 2 [0; 1] este autoadjunct. Avem Z 1 Z 1 Z 1 2 2 2 jU (x)(t)j dt = t jx(t)j dt  jx(t)j2 dt 0

0

deci U este bine de nit. Apoi

hU (x); yi =

Z

1

0

U (x)(t)y(t)dt =

0

Z

1 0

tx(t)y(t)dt = hx; U (y)i:

Exemplul 7.4. Operatorul de nit ^n exemplul 7:1 este autoadjunct daca elementele

matricei A veri ca ij = ji , pentru orice i; j iar operatorul de nit ^n exemplul 7:2 este autoadjunct daca nucleul sau este o functie simetrica. Teorema 7.3. Daca H este un spatiu Hilbert real, atunci multimea operatorilor autoadjuncti, notata A(H ), este un subspatiu vectorial ^nchis al lui B(H ). Demonstratie. Fie U; V 2 A(H ). Atunci (U + V ) = U  + V  = U + V 2 A(H ) si (U ) = U  = U 2 A(H ): n Fie U 2 A(H ), (Un)n un sir de operatori autoadjuncti cu Un ! U . Avem hU (x); yi = hlim Un(x); yi = limhUn(x); yi = limhx; Un (y)i =

= hx; lim Un yi = hx; lim Un(y)i = hx; U (y)i deoarece Un = Un, pentru orice n. Asadar U  = U . Propozitia 7.5. Daca U 2 B(H ) este autoadjunct, atunci kU k = sup jhU (x); xij: kxk=1

Demonstratie. Avem jhU (x); xij  kU (x)k
kxk  kU k
kxk2 si, trec^and la supremum, rezulta sup jhU (x); xij  kU k: kxk=1

4. OPERATORI AUTOADJUNCTI

Reciproc, sa notam = sup jhU (x); xij. Aratam ca, pentru orice z 2 H , avem

117

kxk=1

(9) ^Intr-adevar, daca z 6= 0,

jhU (z); zij 
kzk2 :

  U





z ; z  kzk kzk deci relatia ceruta. Apoi, pentru x; y 2 H , (10) hU (x + y); x + yi = hU (x) + U (y); x + yi = = hU (x); xi + hU (x); yi + hU (y); xi + hU (y); yi;

hU (x y); x yi = hU (x) U (y); x yi = = hU (x); xi hU (x); yi hU (y); xi + hU (y); yi:

Prin scadere rezulta hU (x + y); x + yi hU (x y); x yi = 2hU (x); yi + 2hU (y); xi = = 2hU (x); yi + 2hy; U (x)i = 2hU (x); yi + 2hU (x); yi = 4 RehU (x); yi: Din relatia (9), aplicata pentru z = x + y, si z = x y, avem 4 RehU (x); yi  jhU (x + y); x + yi hU (x y); x yij 

 jhU (x + y); x + yij + jhU (x y); x yij 
 kx + yk2 + kx yk2 = kx + yk2 + kx yk2 :

Dar, ^ntr-un spatiu Hilbert, norma veri ca egalitatea
kx + yk2 + kx yk2 = 2 kxk2 + kyk2 deci
RehU (x); yi  2 kxk2 + kyk2 :

Pentru orice numar complex z, exista  complex cu jj = 1 si astfel ca z = 
jzj. Deci exista  cu jj = 1 si hU (x); yi = jhU (x); yij. Fie x0 = 1 x.      1 1x ;y = R 3 jhU (x); y ij = hU (x); y i = U  
= hU (x0 ); yi = RehU (x0 ); yi  2 kxk2 + kyk2 : Deci  


1 2 2 0 jhU (x); yij  2 kxk + kyk kx k = jj kxk = kxk :

118

7. OPERATORI LINIARI PE SPATII HILBERT

Daca U (x) 6= 0H , luam y = kUkx(xk)k U (x) si obtinem  U (x);

deci kU k  .

si

kxk
U (x)  kxk2 + kxk2 kU (x)k2  , kU (x)k 2 kU (x)k2 2 , kxk
kkUU((xx))kk  2 2 kxk2 , kU (x)k2  kxk

Observatia 7.2. 1. hU (x); xi = 0 8 x , kU k = 0 , U = 0. 2. U = V , hU (x); xi = hV x; xi 8 x 2 H . 3. Fie !U = kxinf hU (x); xi si U = sup hU (x); xi. k=1 kxk=1 Avem !U kxk2  hU (x); xi  U kxk2 (8) x 2 H

kU k = maxfj!U j; j U jg: ^Intr-adevar, daca luam x 2 H; x = 6 0H , si y = kxxk , atunci, evident !U  hU (y); yi  U

de unde

!U kxk2  hU (x); xi  U kxk2 (8) x 2 H: Pe de alta parte, deoarece kU k = sup jhU (x); xij, rezulta kU k = maxfj!U j; j U jg. kxk=1

5. Functionale hermitice Definitia 7.3. 1. O functie F : H  H ! K se numeste functionala hermitica daca veri ca: (i) F (x1 + x2 ; y) = F (x1; y) + F (x2; y) 8 x1 ; x2; y 2 H si ; 2 K . (ii) F (x; y) = F (y; x) 8 x; y 2 H . 2. Functionala hermitica F se numeste marginita daca exista M > 0 asa ^nc^at jF (x; y)j  M
kxk
kyk 8 x; y 2 H: Propozitia 7.6. Daca U 2 A(H ), atunci F : H  H ! K data prin F (x; y) = hU (x); yi este o functionala hermitica marginita. Demonstratie. Daca x1 ; x2; y 2 H si ; 2 K , atunci F (x1 + x2 ; y) = hU (x1 + x2); yi = = hU (x1 ); yi + hU (x2 ); yi = F (x1; y) + F (x2; y): Apoi pentru x; y 2 H , avem F (x; y) = hU (x); yi = hx; U (y)i = hU (y); xi = F (y; x); jF (x; y)j = jhU (x); yij  kU k
kxk
kyk:

7. PROIECTORI

119

Reciproca propozitiei precedente este formulata ^n : Propozitia 7.7. Daca F : H  H ! K este o functionala hermitica marginita, atunci exista un operator autoadjunct U pe H cu F (x; y) = hU (x); yi. Demonstratie. Fie y 2 H xat. F (
; y) : H ! K este o functionala liniara si continua deci, cu teorema lui Riesz, exista ^n mod unic y 2 H cu F (x; y) = hx; yi (8) x 2 H . Luam U : H ! H , de nita prin U (y) = y. Deci F (x; y) = hx; U (y)i si U este un operator autoadjunct deoarece hU (x); yi = hy; U (x)i = F (y; x) = F (x; y) = hx; U (y)i:

6. Operatori autoadjuncti pozitivi Definitia 7.4. Un operator autoadjunct U se numeste pozitiv daca hU (x); xi  0 pentru orice x 2 H . Propozitia 7.8. Daca U este un operator liniar si continuu, atunci V = UU 

este un operator autoadjunct pozitiv. Demonstratie. V  = (UU  ) = U 
U  = UU  = V deci V este autoadjunct. hV (x); xi = hUU  (x); xi = hU  (x); U  (x)i = kU (x)k2  0: Observatia 7.3. U este autoadjunct si pozitiv daca si numai daca !U  0.

7. Proiectori

Consideram un subspatiu vectorial ^nchis E al spatiului Hilbert H . Orice x 2 H poate scris ^n mod unic sub forma x = u + v; u 2 E; v 2 E ?: Definitia 7.5. ^In conditiile de mai sus, numim operator de proiectie (proiector) asociat lui E , aplicatia pE : H ! H de nita prin pE (x) = u. Propozitia 7.9. Operatorul pE este autoadjunct, pozitiv si veri ca p2E = pE . Demonstratie. Fie x = u1 + v1 ; y = u2 + v2 cu u1; u2 2 E; v1 ; v2 2 E ?. Avem hpE (x); yi = hu1; u2 + v2 i = hu1; u2i + hu1; v2i = hu1; u2i deci

hx; pE (y)i = hu1 + v1; u2i = hu1; u2i + hv1; u2i = hu1; u2i hpE (x); yi = hx; pE (y)i (8) x; y 2 H;

adica pE = pE . Pentru pozitivitate, avem hpE (x); xi = hu1; u1 + v1 i = hu1; u1i = ku1k2  0: ^In sf^arsit, p2E (x) = pE (pE (x)) = pE (u1) = u1 = pE (x) (8) x 2 H:

120

7. OPERATORI LINIARI PE SPATII HILBERT

Propozitia 7.10. Pentru orice operator autoadjunct si pozitiv P cu P 2 = P , ex-

ista un subspatiu vectorial ^nchis E al lui H asa ^nc^at P = pE . Demonstratie. Notam E = P (H ).  Din liniaritatea lui P rezulta ca E este un subspatiu vectorial al lui H .  E este ^nchis. Fie (xn)n un sir de elemente din E cu xn ! x. Exista x0 n 2 H cu xn = P (x0n), deci P (xn) = P (P (x0n)) = P 2(x0 n) = P (x0n) = xn; 8 n 2 N : Asadar P (x) = P (lim xn) = lim P (xn) = lim xn = x deci x 2 E .  P = pE . Daca x 2 H ) x = u + v, u 2 E , v 2 E ?si pE (x) = u. Putem scrie x = P (x) + (I P )(x). Evident P (x) 2 E . Pe de alta parte, pentru y0 2 E , exista x0 2 H cu P (x0) = y0, deci avem h(I P )(x); y0i = h(I P )(x); P (x0)i = hx P (x); P (x0)i = = hx; P (x0)i hx; P (P (x0))i = hx; P (x0)i hx; P 2(x0 )i = hx; P (x0)i hx; P (x0)i = 0 deci (I P )(x) 2 E ?. ^Intruc^at descompunerea lui x este unica, avem pE (x) = u = P (x) deci pE = P .

8. Operatori normali, unitari si izometrici Definitia 7.6. Un operator U 2 B(H ) se numeste normal daca UU  = U  U:

Observatia 7.4. Un operator autoadjunct este normal. ^Intr-adevar, din U  = U rezulta UU  = U 2 = U  U .

2 B(H ) este normal daca si numai daca kU (x)k = kU  (x)k (8) x 2 H:

Propozitia 7.11. Un operator U

Demonstratie. Fie U un operator normal. Atunci UU  = U  U si kU (x)k2 = hU (x); U (x)i = hx; U  U (x)i = = hx; U (U  (x))i = hU  (x); U  (x)i = kU  (x)k2 : Reciproc, daca kU (x)k = kU  (x)k, atunci hU (x); U (x)i = hU  (x); U  (x)i , hx; U  U (x)i = hx; UU  (x)i (8) x 2 H;

deci U  U = UU  , asadar U este normal. Definitia 7.7. Un operator U pe spatiul H se numeste unitar daca veri ca (i) U (H ) = H

8. OPERATORI NORMALI, UNITARI SI IZOMETRICI

121

(ii) hU (x); U (y)i = hx; yi (8) x; y 2 H. Exemplul 7.5. Pe spatiul sirurilor reale (IR2 ) de patrat sumabil consideram operatorul T de nit prin T ((xn )n1) = (xn)n2 . Acesta are proprietatea ca TT  = 1, dar nu este unitar deoarece T T = I P1 unde P1 este proiectorul pe subspatiul generat de primul vector al bazei canonice. Propozitia 7.12. Orice operator unitar este liniar si continuu de norma unitate. Demonstratie. Fie U un operator unitar. Atunci, pentru y 2 H , exista x 2 H cu y = U (x) si, pentru x1; x2 2 H si ; 2 K , avem hU (x1 + x2 ) U (x1 ) U (x2 ); yi = hU (x1 + x2 ) U (x1 ) U (x2 ); U (x)i = = hU (x1 + x2 ); U (x)i hU (x1 ); U (x)i hU (x2 ); U (x)i = = hx1 + x2; xi hx1; xi hx2; xi = 0: Deci

U (x1 + x2) = U (x1 ) + U (x2 ): Din hU (x); U (y)i = hx; yi (8) x; y 2 H , rezulta, lu^and y = x, ca hU (x); U (x)i = hx; xi = kxk2 adica kU (x)k2 = kxk2 , deci U este continuu si kU k = 1. Propozitia 7.13. Daca U este un operator unitar, atunci U este inversabil si U 1 este, de asemenea, unitar. Demonstratie. Daca U (x) = 0H ) kU (x)k = kxk = 0, adica x = 0H , deci U este inversabil. Definitia 7.8. Un operator U se numeste izometric daca kU (x)k = kxk (8) x 2 H: Observatia 7.5. Un operator izometric este un operator continuu cu norma 1. Propozitia 7.14. Orice operator unitar este izometric si reciproc. Demonstratie. Evident, daca U este unitar, atunci kU (x)k = kxk (8) x 2 H; deci U este izometric. Reciproc, daca U este izometric, atunci
hU (x); U (y)i = 41 kU (x) + U (y)k2 kU (x) U (y)k2 =



= 14 kU (x + y)k2 kU (x y)k2 = 14 kx + yk2 kx yk2 = hx; yi deci U este unitar.

122

7. OPERATORI LINIARI PE SPATII HILBERT

9. Elemente de teorie spectrala. Valori proprii si vectori proprii Definitia 7.9. Un subspatiu E al spatiului Hilbert H se numeste invariant pentru un operator U daca U (E )  E .

Propozitia 7.15. Daca E este invariant pentru un operator U autoadjunct, atunci

E ? este, deasemenea, invariant pentru U . Demonstratie. Fie x 2 E ? si y 2 E arbitrare.

Avem hU (x); yi = hx; U (y)i = 0 ? deoarece x 2 E si U (y) 2 E (U (E )  E ). Asadar U (x)?y, (8) y 2 E , deci U (x) 2 E ? adica U (E ?)  E ?. Definitia 7.10. Un scalar  2 K se numeste valoare proprie pentru un operator U daca exista x 6= 0H asa ^nc^at U (x) = x. ^In acest caz x se numeste element propriu sau vector propriu corespunzator valorii proprii . Exemplul 7.6. Consideram operatorul T : (IR2 ) ! (IR2 ) de nit prin T ((x1 ; x2; : : : )) = (x2 ; x3; : : : ): Atunci multimea valorilor proprii ale lui T este intervalul ( 1; 1). Astfel, daca  este o valoare proprie a lui T , atunci exista x 6= 0 asa ^nc^at Tx = x, adica xn+1 = xn ; (8) n 2 N . Urmeaza xn+1 = nx1 cu x1 arbitrar. Pun^and conditia ca x 2 (IR2 ) deducem ca jj < 1. Reciproc, daca  2 ( 1; 1), avem x = (1; ; 2 ; : : : ; n 1 ) 2 (IR2 ) iar Tx = x. Definitia 7.11. Daca  este valoare proprie pentru un operator liniar si continuu U , atunci multimea vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii , ^mpreuna cu 0H , se numeste subspatiu propriu al lui U corespunzator lui  si ^l notam prin E. Teorema 7.4. Un subspatiu propriu E al unui operator liniar si continuu U este un subspatiu liniar si ^nchis, invariant pentru U . Demonstratie. Fie x; y 2 E si ; scalari. Atunci U (x + y) = U (x) + U (y) = x + y = (x + y) deci x + y 2 E. Fie (xn )n un sir de elemente din E cu xn ! x. Avem U (x) = U (lim xn) = lim U (xn ) = lim xn =  lim xn = x deci x 2 E. Fie x 2 E, atunci U (x) = x 2 E deoarece am vazut ca E este un subspatiu liniar. Asadar U (E)  E. Observatia 7.6. Daca U este un operator autoadjunct si  o valoare proprie a sa, atunci  este numar real. ^Intr-adevar, U (x) = x, deci are loc relatia hU (x); xi = hx; xi = kxk2 si, ^ntruc^at hU (x); xi 2 R , kxk2 2 R , rezulta ca  2 R . Teorema 7.5. Fie U un operator autoadjunct pe H si ;  doua valori proprii distincte. Atunci E?E .

10. SPECTRUL UNUI OPERATOR AUTOADJUNCT

Demonstratie. Din x 2 E si y 2 E, avem U (x) = x; U (y) = y si hx; yi = hx; yi = hU (x); yi = hx; U (y)i = hx; yi = hx; yi: Asadar ( )hx; yi = 0 si, ^ntruc^at  = 6 , rezulta hx; yi = 0.

123

Teorema 7.6. Daca  este o valoare proprie a unui operator autoadjunct U , atunci

 2 [!U ; U ]; unde !U = inf hU (x); xi si U = sup hU (x); xi. kxk=1 kxk=1

Demonstrat ie. Fie x un vector propriu corespunzator lui . Daca kxk 6= 0, luam x x0 = kxk . Avem kx0 k = 1 si hU (x0 ); x0 i = hx0; x0 i = hx0; x0 i = kx0k2 = 

deci

!U = kxinf hU (x); xi    sup hU (x); xi = U : k=1 kxk=1

10. Spectrul unui operator autoadjunct

Fie U un operator autoadjunct. Consideram ecuatia U (x) x = (U I )(x) = 0H unde  2 K este dat, iar I este operatorul identitate pe H . Daca singura solutie a ecuatiei este 0H , atunci, evident,  nu este o valoare proprie a operatorului U si reciproc. ^In acest caz operatorul (U I ) admite invers si ecuatia (U I )x = y are o solutie unica pentru orice y 2 (U I )(H ). Teorema 7.7. Fie U un operator autoadjunct pe H . Un scalar  nu este o valoare proprie pentru U , daca si numai daca multimea (U I )(H ) este densa ^n H . Demonstratie. Notam H = (U I )(H ). Daca H  6= H , atunci exista x0 2 H cu x0 ?H . Pentru orice x 2 H , avem, tin^and cont ca U I este si el autoadjunct, hx; (U I )(x0 )i = h(U I )(x); x0i = 0: Deci x?(U I )(x0) pentru orice x 2 H fapt ce implica (U I )(x0) = 0H sau U (x0 ) = x0 adica  ar valoare proprie pentru U , absurd. Asadar H este densa ^n H. Vom arata ^n continuare ca, daca  este valoare proprie pentru U , atunci H  6= H . Fie E subspatiul propriu al lui U pentru . Avem (U I )(x) = U (x) x = 0H pentru orice x 2 E. Deci (U I )(E) = f0H g  E, asadar E este invariant pentru U I . Atunci E? este invariant pentru U I . Daca x 2 H , atunci x se descompune ^n mod unic sub forma x = y + z; y 2 E; z 2 E?:

124

Deci

7. OPERATORI LINIARI PE SPATII HILBERT

(U I )(x) = (U I )(y) + (U I )(z) = 0H + (U I )(z) =

(U I )(z) 2 E?: Adica H = (U I )(H )  E? 6= H deoarece H = E  E? si E 6= f0H g: Definitia 7.12. Fie U un operator autoadjunct pe spatiul Hilbert H . 1. Un scalar  ce nu este valoare proprie pentru U se numeste valoare regulata pentru U , daca:  (U I )(H1 ) = H  (U I ) este un operator continuu. 2. Multimea tuturor scalarilor ce nu sunt valori regulate se numeste spectrul lui U si o notam prin S (U ). Observatia 7.7. Daca (U ) este multimea valorilor proprii, atunci (U )  S (U ). Teorema 7.8. Pentru ca  sa e valoare regulata pentru U autoadjunct, este necesar si su cient sa existe  > 0 asa ^nc^at k(U I )xk  kxk (8) x 2 H: Demonstratie. ^Intr-adevar, daca  este valoare regulata, atunci, conform de nitiei, (U I )(H ) = H , (U I ) 1 este liniar continuu, dar, conform conditiilor de existenta a inversului unui operator, exista  > 0 asa ^nc^at kU I )(x)k  kxk (8) x 2 H: Reciproc, presupunem conditia ^ndeplinita. ^In consecinta (U I ) 1 exista si este continuu pe H = (U I )(H ), deci  nu este valoare proprie ( valoare proprie , U I nu are invers). Din teorema 7.7 H = (U I )(H ) = H: Fie y 2 H . Exista (yn)n  H asa ^nc^at yn ! y. Pentru yn exista xn din H cu yn = (U I )(xn). Din k(U I )(xn)k  kxk rezulta kxn xm k  1 k(U I )(xn xm )k = 1 kyn ym k, (8) m; n 2 N : Deci (xn)n este un sir Cauchy, asadar, exista x 2 H cu x = lim xn . Evident, y = lim yn = lim(U I )(xn) = (U I )(lim xn) = (U I )(x) asadar y 2 H. Deci H = H , adica  este o valoare regulata. Teorema 7.9. Fie U un operator autoadjunct. Un numar  apartine spectrului lui U daca si numai daca exista un sir (xn )n de elemente din H cu kxnk = 1 si U (xn ) xn ! 0. Demonstratie.  2 S (U ) daca si numai daca  nu este regulat, adica nu este veri cata conditia din enunt. Deci, pentru orice n, exista xn cu k(U I )(xn)k < n1 kxnk:

10. SPECTRUL UNUI OPERATOR AUTOADJUNCT

Putem considera cu x0n = kxxn k si obtinem

125

n

k(U I )(x0n)k < n1 kx0 nk = n1 ! 0:

Observatia 7.8. Daca H este un spatiu Hilbert complex iar U un operator au-

toadjunct pe H , atunci orice numar  + i ; 6= 0, este o valoare regulata. ^Intr-adevar, avem, pentru y = (U I )(x), hy; xi = h(U I )x; xi = hU (x); xi kxk2

hx; yi = hx; (U I )xi = hx; U (x)i kxk2:

Deci

hx; yi hy; xi = ( )kxk2 = 2 kxk2
i

sau

2j j
kxk2 = jhx; yi hy; xij  jhx; yij + jhy; xij = = 2jhx; yij  2kxk
kyk

adica,

k(U I )xk
kxk  j jkxk2 (8) x: Asadar k(U I )xk  j jkxk2 pentru orice x, deci  este o valoare regulata.

Observatia 7.9. ^In particular, spectrul unui operator autoadjunct se a a pe axa

reala.

Teorema 7.10. Pentru orice operator autoadjunct U , numerele !U ; U apartin spectrului operatorului U si S (U )  [!U ; U ]. Demonstratie. Din de nitie avem ca kU k = max (j!U j; j U j). I. Presupunem ca kU k = j U j. Din U = sup hU (x); xi, rezulta ca exista un sir kxk=1 de elemente din H; (xn)n cu kxnk = 1 si U = lim hU (xn ); xni. Avem n

kU (xn ) U xn k2 = hU (xn ) U xn; U (xn ) U xn i = = kU (xn)k2 2 U hU (xn ); xni + 2U  2U 2 U hU (xn ); xni + 2U = = 2 2U 2 U hU (xn); xn i ! 2 2U 2 2U = 0 deoarece (kU (xn)k2  kU k2
kxnk2 = 2U ). Asadar kU (xn ) U xnk ! 0, unde (xn )n este cu kxnk = 1. Deci U apartine spectrului lui U . II. Presupunem ca kU k = 6 U . Luam operatorul V = U !U I . Avem, pentru x cu kxk = 1, hV (x); xi = h(U !U I )(x); xi = hU (x); xi !U deci

V = sup hV (x); xi = sup hU (x); xi !U = U !U kxk=1

kxk=1

126

7. OPERATORI LINIARI PE SPATII HILBERT

iar

!V = inf hV (x); xi = inf hU (x); xi !U = 0; asadar kV k = V deci V 2 S (V ). Exista atunci un sir (xn)n de norma unitate asa ^nc^at V (xn ) V xn ! 0 adica U (xn ) !U xn ( U !U )xn ! 0 sau U (xn ) U xn ! 0 deci U 2 S (U ) si ^n acest caz. Analog se arata ca !U 2 S (U ). Aratam ^n continuare ca, daca  2 R cu  62 [!U ; U ], atunci  este o valoare regulata. Presupunem ca  < !U . Pentru x 2 H cu kxk = 1, avem hU (x); xi  !U si deci h(U I )x; xi  !U : Din inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski, avem jh(U I )x; xij  k(U I )xk
kxk deci k(U I )(x)k
kxk  !U : 0 Daca x0 6= 0H , atunci x = x0 veri ca inegalitatea anterioara si kx k k(U I )(x0)k  (!U )kx0 k (8) x0 2 H; asadar  este valoare regulata. Teorema 7.11. Daca U este un operator autoadjunct complet continuu pe H , atunci el are cel putin o valoare proprie si orice numar din spectrul sau este o valoare proprie ((U ) = S (U )). Demonstratie. Presupunem ca U este un operator complet continuu nenul. Aratam ca  2 S (U ) implica  2 (U ). Avem,  2 S (U ) ) 9 (xn)n cu kxnk = 1 si (I U )(xn) ! 0: Dar fU (xn ); n 2 N g este o multime relativ compacta, deoarece U transforma o multime marginita ^ntr-o multime relativ compacta (de nitia operatorului complet continuu). Deci (U (xn ))n contine un subsir convergent (U (xnk ))k . Fie y = klim U (x ). Avem !1 nk xnk = 1

xnk = 1 [U (xnk ) U (xnk ) (xnk )] ! 1 y: Asadar 1 U ( 1 y) = 1 U (y) y = klim U ( x ) = n k !1

   deci U (y) = y, adica  2 (U ). Evident kyk 6= 0 deci y 6= 0H .

10. SPECTRUL UNUI OPERATOR AUTOADJUNCT

127

^In continuare, U ind nenul, !U sau U este diferit de zero si, ^ntruc^at !U ; U apartin multimii S (U ), rezulta ca U are cel putin o valoare proprie. Observatia 7.10. Pentru un operator autoadjunct complet continuu, un numar  este sau valoare regulata sau valoare proprie. Teorema 7.12. Daca U este un operator autoadjunct complet continuu pe H , iar  este o valoare proprie a lui U , atunci subspatiul E este nit dimensional. Demonstratie. Presupunem ca E este in nit dimensional. Fie (xn)n un sir de vectori proprii. Se poate construi un sir ortonormal (x0n)n de vectori proprii corespunzatori lui . Dar, pentru n 6= m, kU (x0 n) U (x0 m )k2 = kx0 n x0m k2 = jj2hx0n x0 m; x0 n x0m i =   jj2 [hx0n; x0 ni + hx0 m ; x0m i] = jj2 kx0 nk2 + kx0 m k2 = 2jj2 deci p (11) kU (x0 n) U (x0 m)k = jj 2; fapt ce contrazice faptul ca (U (xn ))n contine un subsir convergent (U ind complet continuu). Teorema 7.13. Daca U este un operator autoadjunct complet continuu pe H , atunci, pentru orice  > 0, exista cel mult un numar nit de valori proprii  cu jj  . Demonstratie. Fie  > 0 xat. Presupunem ca exista o in nitate de valori proprii n, diferite ^ntre ele, cu jnj  , pentru orice n  1. Elementele proprii xn corespunzatoare sunt ortogonale doua c^ate doua. Putem presupune kxn k = 1 si, pentru n 6= m, utiliz^and (11), avem p kU (xn ) U (xm )k = jj 2; 8 m; n 2 N ; n 6= m; deci din (U (xn ))n nu se poate extrage un subsir convergent. Observatia 7.11. Multimea (U ) este cel mult numarabila. Daca ^n ecare subspatiu E consideram baze ortonormale formate din vectorii proprii, atunci reuniunea acestora formeaza o familie ortonormala de vectori proprii numita sistem fundamental de vectori proprii. Teorema 7.14. Daca U este un operator autoadjunct complet continuu pe H , atunci, pentru orice x 2 H , elementul U (x) admite o dezvoltare Fourier ^n raport cu elementele unui sistem fundamental de vectori proprii (en)n. Demonstratie. E este invariant pentru U , deci si E ? este invariant pentru U . Pe E ? operatorul U este, de asemenea, autoadjunct si complet continuu. Vom arata ca U este nul pe E ?. Daca U este nenul pe E ?, atunci, pentru U , ar exista cel putin o valoare proprie . Daca x 2 E ? este vectorul propriu corespunzator lui , atunci am avea x?E , deci x?en pentru orice n, imposibil conform observatiei 7.8. Fie acum x 2 H arbitrar. Avem x = y + z; y 2 E; z 2 E ? si U (x) = U (y) + U (z) = U (y) 2 E

128

7. OPERATORI LINIARI PE SPATII HILBERT

deci U (x) admite o dezvoltare Fourier ^n raport cu sistemul fundamental de vectori proprii ce genereaza subspatiul E . Consideram ^n continuare ecuatia (U I )(x) = z unde U este un operator autoadjunct complet continuu pe spatiul Hilbert H ,  6= 0 si z 2 H date. Ecuatia omogena corespunzatoare este (12) (U I )(x) = 0H : Teorema 7.15. Ecuatia (U I )(x) = z admite o solutie unica, daca si numai daca ecuatia omogena (12) are numai solutia nula. Demonstratie. Pentru  6= 0, avem ca  este sau valoare proprie sau valoare regulata. Daca  este valoare regulata, atunci (U I )(H ) = H si (U I ) 1 exista si este continuu. ^In acest caz, daca (U I )x = z are solutie unica, atunci (U I )(x) = 0H are numai solutia nula. Daca  este o valoare proprie, atunci E; E? sunt invariante pentru U . Daca consideram UjE? ,  este valoare regulata pentru acest operator, deci (U I )(x) = z are solutie unica pentru orice z 2 E?. Fie x 2 H arbitrar. x = x1 + x2 cu x1 2 E, x2 2 E?. Asadar (U I )(x) = (U I )(x1) + (U I )(x2) = U (x1 ) x1 = 0: Deci ecuatia (U I )(x) = z are solutie unica numai pentru z 2 E?. Corolar 7.3. Daca  6= 0 este o valoare proprie pentru U iar E este subspatiul propriu corespunzator, atunci ecuatia (U I )(x) = z are solutie daca si numai daca z 2 E?. Observatia 7.12. Daca  nu este valoare proprie, atunci solutia ecuatiei (U I )(x) = z are forma ! 1 X  1 n hz; en i en z x=  n=1 n  unde n este numarul propriu corespunzatr lui en pentru ecare n 2 N . X Fie n = hU (x); eni; 8 n 2 N . Atunci U (x) = nen si n

n = hU (x); en i = hx; Uen i = hx; neni = nhx; eni

10. SPECTRUL UNUI OPERATOR AUTOADJUNCT

deci

U (x) =

Din U (x) x = z, rezulta adica Dar sau deci Asadar

X

n

nhx; enien:

x = 1 (U (x) z) 1 X

x = 1

n=1

!

nhx; enien z :

1 X 1 hx; em i =  h nhx; enien z; em i = 1 (mhx; em i hz; em i) n=1 



hx; emi 1 m = 1 hz; em i hx; em i = hz; emi : m

x = 1

"

X n

n

#

hz; en i e

n 

n

z :

129

130

7. OPERATORI LINIARI PE SPATII HILBERT

11. Exercitii

1. Fie functia complexa ' de nita si continua pe [0; 1]  [0; 1] si operatorul integral U pe L2K ([0; 1]) de nucleu '. Determinati adjunctul lui U si gasiti conditia ca U sa e autoadjunct. 2. Pe spatiul A(H ) al operatorilor autoadjuncti introducem relatia binara T1  T2 daca hT1(x); xi  hT2 (x); xi pentru orice x. Sa se veri ce ca s-a de nit o relatie de ordine compatibila cu structura de spatiu vectorial a spatiului operatorilor autoadjuncti. 3. Fie S; T 2 B(H ). Sa se arate ca S S = T T , hS (x); S (y)i = hT (x); T (y)i pentru orice x; y 2 H . 4. Fie P1; P2 proiectori pe spatiul Hilbert H . Urmatoarele a rmatii sunt echivalente a) P1P2 = P2P1; b) P1P2 este proiector; c) P1 + P2 P1P2 este proiector; d) Daca P1P2 este proiector, atunci P1 P2 (H ) = P1 (H ) \ P2(H ). 5. Fie T 2 B(H ). Sa se arate ca a) KerT = KerT T b) T T este proiector daca si numai daca TT  este proiector. 6. a) Aratati ca orice operator A pe un spatiu Hilbert complex se reprezinta ^n mod unic sub forma A = B + iC , unde B; C sunt operatori autoadjuncti, notati de obicei prin ReA, ImA; b) Veri cati ca A este normal daca si numai daca ReA si ImA comuta; c) Aratati ca operatorul A este unitar daca si numai daca este normal si (ReA)2 + (ImA)2 = 1: 7. Fie T 2 B(H ) si P 2 C [X ]. Daca P (X ) = a0 + a1 X + ::: + an X n, notam P (T ) = a0 I + a1 T + ::: + anT n. a) Daca T este autoadjunct, gasiti o conditie asupra coe cientilor a0 ; :::; an astfel ca P (T ) sa e autoadjunct. b) Aratati ca, daca T este normal, atunci P (T ) este normal. 8 Sa se veri ce ca, pentru orice T 2 B(H ), avem kT T k = kT k2.

12. BIBLIOGRAFIE

12. Bibliogra e

131

1. R.A.Adams - Sobolev spaces - Ac. Press. London (1975) 2. V.Barbu, Th.Precupanu - Convexitate si optimizare ^n spatii Banach -Editura Academiei, Bucuresti, (1975) 3. C.Bernardi, Y.Madai - Approximations spectrales de problemes aux limites elliptiques - Springer Verlag France, Paris (1992) 4. N.Bourbaki - Espaces vectoriels topologiques fasc. XV,XVIII. - Hermanu, Paris, (1966) 5. N.Bourbaki - Integration fasc. XIII. - Hermanu, Paris(1965); 6. N.Bourbaki - Intgration, fasc.XIII - Hermann, Paris, (1965) 7. I.Chitescu, N.A.Secelean - Elemente de teoria masurii si integralei- Editura Fundatiei "Rom^ania de m^aine", Bucuresti, (1999) 8. I.Colojoara - Elemente de teorie spectrala - Editura Academiei, Bucuresti, (1968) 9. I.Colojoara - Analiza matematica - Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, (1983) 10. P.Craciunas - Su alcuni risultati concernenti le de nizioni attuali delle distribuzioni - Rend.Accad.Naz.dei Lincei, XL, (2),1966. 11. P.Craciunas - On the Fourier transform of distribution I,II - Bul.I.P. Iasi, ser I,vol. XVI,XVII, f 3-4,(1970),(1971) 12. P.Craciunas - On the convolution of distributions I,II - Bul.I.P.Iasi, ser I,vol. XVII,XVIII, f 3-4,(1972), (1973) 13. P.Craciunas - Unele contributii la problematica actuala din teoria distributiilor cu aplicatii ^n mecanica. - Teza de doctorat. Univ. "Al. I.Cuza",Iasi -(1973) 14. P.Craciunas - On the Sobolev spaces - General mathematics, vol.4, Sibiu, (1996) 15. P.Craciunas - On some trace theorems in Sobolev spaces (I) - Bul.I.P. Iasi, ser. I, vol. XXXIII,f 1-4 ,(1987) 16. S.Craciunas, N.Secelean, P.Craciunas- Elemente de topologie - Editura ULB, Sibiu, (1993) 17. R.Cristescu - Analiza functionala- Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, (1965) 18. J.Dieudonne - La dualite dans les espaces vectoriels topologiques - Annales. E cole. Norm. Sup. 59 (1942) 19. J.Dieudonne, L.Schwartz - La dualite dans les espaces F et LF -Annales de l0Inst. Fourier, vol 1.(1949) 20. P.Dirac - The phisical interpretation of the quantum dynamics -Proc. of the Royal Soc. London s. A 113 (1926-27) 21. D.Gaspar - Analiza functionala - Editura Facla Timisoara (1981) 22. I.M.Gelfand, G.E.Silov - Les distributions - vol 1,2,3, - Editura Dunod, Paris (1962, 1964,1965) 23. A.Ghica - Analiza functionala - Editura Academiei, Bucuresti, (1967) 24. Hadamard - Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees partielles lineares hyperboliqnes - Hermann Paris,(1932) 25. L.Hormander - Linear partial dierential operators -Springer Verlog, Berlin (1963) 26. L.Hormander - On the codomain of the convolution operators - Annales of math. vol. 76, (1962)

132

7. OPERATORI LINIARI PE SPATII HILBERT 27. A.Kirilov, A.Gvikhiani - Theoreme et probleme d0Analyse Fonnctionelle - Edi-

tion Mir, Moscou, (1982) 28. I.Korevaar - Distributions de ned by fundamental sequences -Ned. Akad. Wetenskap. Proc. vol. 58,(1955) 29. J.L.Lions - Problemes aux limites en theorie des distrbutions - Acta Math. vol. 94 (1955) 30. J.L.Lions - Problemes aux limites nonhomogenes - Dunod, Paris (1968) 31. G.Marinescu - Tratat de analiza functinala - vol. 1,2 - Editura Academiei, Bucuresti, (1970) 32. I.M.Mikusinski, R.Sikorski - Theories elementaire des distribution - GauthierVillars, Paris (1964) 33. M.Nicolescu - Functii reale si elemente de topologie - Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,(1978) 34. R.E.Paley, N.Wiener - Fourier transform in the complex domains -Amer. Math. Soc. Colloquium.New York (1934) 35. H.H.Schaefer -Topological vector spaces -The MacMillan Company London (1966); 36. L.Schwartz - Theorie des distributions-Hermann,Paris (1966) 37. L.Schwartz - Methodes mathematiques pour les sciences phisiques - Hermann, Paris (1961) 38. N.A.Secelean - Probleme de topologie - Editura ULB Sibiu, (1995) 39. P.P.Teodorescu, W.Kecs - Aplicatii ale teoriei distributiilor ^n mecanica - Editura Academiei, Bucuresti, (1970) 40. F.Treves - Topological vector spaces, distributions and kernels - Acad. Press. New York, (1967) 41. V.S.Vladimirov - Ecuatiile zicii matematice - Editura Stiinti ca si enciclopedica, Bucuresti, (1980) 42. Vo Khac Khoan - Distributions, Analyse de Fourier, operateurs aux derivees partielles, vol. I,II - Vuipert, Paris, (1972) 43. S.T.Zavalishchin, A.N.Sesekin -Dynamic Impulse Systems.Theory and applications - Kluiver Acad. Publishers, Dordrecht, (1997) 44. C.Zuily - Problemes de distributions avec de solutions detaillees - Hermann, Paris, (1978).