Analiza Cu Raspunsuri

Analiza matematica Subiecte posibile Anul 1, semestrul 1, 2008/2009

Bibliografie 1. R. Trandafir, I. Duda – Elemente de analiza matematica. Culegere de probleme, Editura Fundatiei Romania de Maine; 2. I. Duda – Elemente de analiza matematica, Editura Fundatiei Romania de maine 3. Duda I., Gradinaru S. – Calcul integral cu aplicatii, Editura Fundatiei România de Mâine

Teorie

1. Sa se studieze natura urmatoarelor serii: +∞

a) seria armonica

1

∑n n =1

b) seria geometrica +∞

c) seria armonica generalizata

1

∑ nα

unde α ∈ R

n =1

La partea de teorie se va verifica cunoasterea definitiilor si enunturilor de teoreme, propozitii, leme, corolarii din toate capitolele care se regasesc in programa analitica. Capitolul siruri si serii de numere reale (vezi [1] p. 9-11 si 21-26, respectiv [2] p. 7-39): -

-

definitiile notiunilor de sir de numere reale, monotonie, marginire, limita unui sir, sir convergent, sir divergent, sir Cauchy criterii de convergenta (d. ex. criteriul lui Cauchy, criteriul Cesaro-Stolz, criteriul d’Alembert, criteriul clestelui etc.) proprietati ale calculului cu limite de siruri (d. ex. lema lui Cesaro, orice sir monoton si marginit este convergent, trecerea la limita in inegalitati, etc.) definitiile notiunilor de serie de numere reale, termen general al unei serii, sirul sumelor partiale, serie convergenta, serie divergenta, serie oscilanta, suma unei serii, rest de ordin p al unei serii, serie alternata, serie absolut convergenta, serie semiconvergenta proprietati generale ale seriilor de numere reale; criterii de convergenta (d. ex. criteriul general al lui Cauchy, criteriul lui Abel, criteriul lui Leibniz, criteriile de comparatie, criteriul radacinii (Cauchy), corolarul criteriului radacinii, criteriul raportului (d’Alembert), corolarul criteriului raportului, criteriul Raabe-Duhamel, corolarul criteriului Raabe-Duhamel, criterul logaritmic, corolarul criteriului logaritmic.

Capitolul funcŃii reale de o variabilă reală ( vezi [1] p. 39-46): - definiŃiile noŃiunilor de limită a unei funcŃii într-un punct (definiŃii echivalente), continuitate a

-

unei funcŃii într-un punct (definiŃii echivalente), continuitate la stânga (respectiv la dreapta), limite laterale, punct de discontinuitate, proprietatea lui Darboux, continuitate uniformă, derivabilitate, derivata unei funcŃii într-un punct, derivate laterale, diferenŃiabilitate operaŃii cu limite de funcŃii, criterii de existenŃă a limitelor de funcŃii, criteriul lui Cauchy, legatura dintre continuitate şi proprietatea lui Darboux, legatura dintre continuitate şi continuitatea uniformă, teoremele lui Rolle, Cauchy şi Lagrange, regulile lui l’Hospital

Capitolul serii de funcŃii ( vezi [1] p. 69-72, respectiv [2] p. 39-65): - definiŃiile noŃiunilor de serie de funcŃii, convergenŃă a unei serii de funcŃii, mulŃime de convergenŃă, convergenŃă simplă, convergenŃă uniformă, rest de rang n - criterii de convergenŃă pentru serii de funcŃii, criteriul lui Cauchy, criteriul lui Weierstrass, continuitatea, derivabilitatea şi integrabilitatea seriilor uniform convergente Capitolul serii de puteri (vezi [1] p. 78-80, respectiv [2] capitolul 4, p. 65- ) - definiŃiile noŃiunilor de serie de puteri, rază de convergenŃă, serie Taylor, seria Taylor a unei funcŃii într-un punct, seria Mac-Laurin - teorema lui Abel, teoremele Cauchy-Hadamard (T. 5.1.3 şi 5.1.4 din [1] p. 79) proprietăŃi ale seriilor de puteri şi ale seriei Taylor Capitolul integrala Riemann şi integrala Riemann generalizată (vezi [3] capitolele 1 si 2): - definiŃiile noŃiunilor de primitivă(integrală nedefinită) a unei funcŃii, sumă Riemann, integrală Riemann, integrală Riemann pe interval necompact (integrală Riemann generalizată), integrala în sensul valorii principale - teorema lui Darboux, teorema Leibniz-Newton, teorema de schimbare de variabilă, proprietăŃi ale primitivelor şi ale integralei Riemann

Siruri, serii (vezi [1] p. 9-11 si 21-26, respectiv [2] p. 7-39) I. Sa se studieze natura seriilor: 1.

2. ∞

3.

3n ∑ n n =1 ( −1)

=este divergenta

2 n + 3n ∑ 5n n =1 ∞ 1 ∑ 2 5. n =1 9n − 1 ∞ 2n 2 ∑ 2 6. n=1 9n − 1 ∞

=este serie alternata

4.

∞

∑n

2

=este divergenta deoarece este serie cu termeni strict pozitivi

π

arcsin

2n

n =1

7.

∞

n2 ∑ n 8. n=1 2

an +1 <1 n →∞ a n

=este convergenta deoarece lim

∞

∑ arcsin 9.

n =1

∞

∑ (−1) 10.

1 n

∞

n =1

n

=este divergenta

2 =este divergenta, deoarece termenul general nu tinde la 0 n+5 +2

n

n =1

∑ (−1) 11.

n

tg

1 n

=este divergenta, din criteriul raportului

∞

2n =este convergenta din criteriul raportului ∑ n ! n =0 12. ∞ n =este convergenta din criteriul raportului ∑ n 13. n=1 2 2 n (n + 1) ∑ n! =este convergenta din criteriul raportului 14. n=1 ∞ 1 =este convergenta din criteriul raportului ∑ n 15. n =1 n ⋅ 3 ∞

∞

(n! ) 2 =este convergenta din criteriul raportului ∑ ( 2 n )! n =1 16.

∞

17.

1

∑ (ln n) n =2

=este convergenta din criteriul radicalului

n

n2

∞

 1 1 +  =este divergenta din criteriul radicalului ∑ 18. n=1  n  ∞ n n+1 =este convergenta din criteriul radicalului ∑ n 19. n=1 (2n + 1) ∞

∑ (arctg n) 20.

−n

=este convergenta din criteriul radacinii

n =1

(ln n) − n ∑ n 21. n=2 ∞

∞

∑ n ⋅α 22.

n

=este convergenta din criteriul radacinii

unde α ∈ R =seria este convergenta pentru |a |< 1 si divergenta pentru |a |= 1

n =1 ∞

sin n 2 n =1 n

23. ∑

II. Sa se calculeze urmatoarele limite:

1 n→∞ n 2n 2 + n + 1 2. lim n→∞ n2 + 7 n + 23 lim 8 3 3. n→∞ n + 7 n − 11 1. lim

=0

=2

n→∞

=+

lim ( 4n 2 + 4n − 1 − 2n) n→∞

=1

6. lim (3 64 n 3 − 3n 2 + 3 − 5n) n→∞

7 ⋅ 4 − 11 ⋅ 3 2 ⋅ 5 n + 13 ⋅ 2 n 1 8. lim tg n →∞ n 1 lim n ⋅ tg n 9. n→∞ n

n

7. lim

n→∞

=-

8

5.

lim ( 4n 2 + n − 1 − n)

8

4.

=0

=0

=0

lim n n

10. 11.

12.

n→∞

=1 =1

Aplicand criteriul clestelui calculeaza limita sirului an =

1 = _

2

1 1 1 + 2 + ... + 2 n +1 n + 2 n +n 2

=0

5 _ = 11

13.

=1

14.

5 = _ 6

15.

=0 16. 17.

=0 =0

18.

=0 19. 20. 21. 22.

=0 =0 =0 =0

cand 23. 24.

daca

=0

25.

, daca

=0

26.

daca

27.

=0

=0

=0

daca 28.

=0 , daca

31. 32.

=+

=+

8

=+

8

30.

8

29.

=+

=0

Determina limita sirului 36.

=40

Determina limita sirului 37.

3 _ _

= ve

,

Determina limita sirului 38.

=e

39. Determina limita sirului

Determina limita sirului

=

,

40. 41. Determina limita sirului

Determina limita sirului 42. Determina limita sirului 43.

=+

1 _

e

8

35.

8

34.

=+ =+

8 8

33.

=e =e

2

3

Determina limita sirului

=e

Determina limita sirului

=alfa la puterea 2 / beta

44.

45.

III.

1. Se considera sirul de numere reale

cu termenul general

. Sa se

studieze natura sa. =este strict descrescator, marginit superior, convergent 2. Se considera sirul de numere reale

cu termenul general xn =

=nu este monoton, este marginit, este divergent

1 + (−1) n+1 , n ∈ N *. n

Sa se studieze natura sa. 3. Se considera sirul de numere reale

cu termenul general =nu este un sir Cauchy (sir fundamental),

sin 1 sin 2 sin n este un sir divergent. + 2 + ... + 2 , n ∈ N * . Sa se studieze natura sa. 2 1 2 n 4. Se considera sirul de numere reale cu termenul general =nu este un sir Cauchy (sir fundamental), 1 1 1 este un sir convergent xn = 1 + + + ... + , n ∈ N * . Sa se studieze natura sa. n 2 3 cos 2 n , n ∈ N * . Sa se 5. Se considera sirul de numere reale cu termenul general xn = n xn = 0 sudieze natura sa. =este un sir convergent lim n →∞ xn =

6. Se considera sirul de numere reale

xn =

1 n2 + 1

+

1 n2 + 2

+ ... +

1 n2 + n

cu termenul general

=este un sir convergent, lim xn = 1 n →∞ , n ∈ N * . Sa se sudieze natura sa.

7. Se considera sirul de numere reale

cu termenul general =este un sir convergent, lim xn = 0 n xn = (1 + cos nπ ) , n ∈ N * . Sa se sudieze natura sa. n +1 na 8. Se considera sirul dat prin xn = 2 . Sa se determine a astfel incat sirul n +1 sa fie convergent. =sirul este convergent daca si numai daca a ≤ 2 . ∞ 1 9. Sa se calculeze suma seriei ∑ =1; n =1 n( n + 1) 10. Se considera sirul

dat prin xn =

12 + 2 2 + ... + n 2 . Sa se determine (daca exista ) n3

limita sa. =sirul este divergent.

(−1) n . Sa se studieze natura sa. ∑ a n=1 n ∞

11. Fie a un numar real. Se considera seria

=seria este convergenta daca si numai daca a > 1 ; 12. Sa se calculeze limita sirului

dat prin xn = n + 100 − n .

=0

Continuitate derivabilitate ( vezi [1] p. 39-46) I.

x + 3 , x ≤ 0 . Sa se determine a astfel incat f sa fie continua. x x>0  ae 2. Fie a si b numere reale. Se defineste functia prin ax + b, daca x < 0 . Sa se determine a si b astfel incat f sa fie derivabila pe ℝ . f ( x) =  2 daca x ≥ 0  x =functia f este derivabila daca si numai daca a=b=0. 1 3. Fie f : (0, ∞) → R , f ( x) = 2 si fie n un numar natural nenul. Sa se calculeze, in caz ca x (n) n − n− 2 (n) pentru orice x ∈ R ; exista f ( x) . = f ( x ) = ( −1) (n + 1)! x

=3

1 Fie functia f ( x) = 

4. Fie f : R → R , definita prin f ( x) =| x | . Sa se stabileasca domeniul unde f este continua, respectiv unde f este derivabila. 5. Sa se determine astfel incat functia sa fie continua. unde

=2 6. Sa se determine

astfel incat functia

sa fie continua. unde

7. Sa se determine

astfel incat functia

sa fie continua. unde

=1 Sa se determine

astfel incat functia

sa fie continua. unde

8.

=0 Sa se determine

astfel incat functia

sa fie continua. unde

9.

=1 Sa se determine

astfel incat functia

10.

=5

sa fie continua. unde

=2

Sa se determine

astfel incat functia

sa fie continua. unde

11.

=1 Sa se determine

astfel incat functia

sa fie continua, unde

12. si

,

13. Fie functia origine. =

. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in

14. Se considera functia punctul de abscisa

, .

. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in

=

II. Calculeaza urmatoarele limite 1. lim

sin 2 x x

2. lim

4x − 1 x

x →0

x→0

= -1

3. =

=

8 8

4. 5.

=

8

6. =

7.

=1 =+

9.

8

8.

=a

8

=+

10. , daca

=

11. = a-b

12.

13.

14.

III. Sa se calculeze derivatele urmatoarelor functii: 1.

= =

,

2.

,

=

, 3.

=

, 4. ,

.

5. 6.

= =

, ,

,

.

=

.

=

7. 8.

= =

, ,

9. ,

,

,

=

10. 11.

,

=

,

=

12. 13. , 14. 15.

,

,

.

=

,

=

,

16.

=

, 17.

=

, 18.

=

, 19. ,

,

=

20. 21. 22.

, ,

=

=

. 24. , 25.

=

=

, 27.

= =

, ,

29. 30.

,

31.

,

=

=

, 32. ,

33. , 34.

=

,

26.

28.

=

,

23.

=

=

=

=

=

35.

,

36.

,

= =

37. f : ℝ → ℝ , f ( x ) = sin n x cos nx 38. f : ℝ → ℝ , f ( x ) = sin n x sin nx 39. f : ℝ → ℝ , f ( x ) = cos n x sin nx 40. f : ℝ → ℝ , f ( x ) = cos n x cos nx , 41. ,

42. ,

43.

,

44. 45. 46.

,

= = = = = =

, ,

47.

, 48. 49. 50.

,

51.

,

,

, 52. 53.

,

.

,

=

,

55.

,

56. 57.

,

58.

,

59.

,

= = =

, 60.

, 62. , 63. ,

,

=

= =

= =

,

61.

= =

=

=

,

,

54.

64.

=

= = =

=0

65.

, ,

66. 67.

, ,

68.

= = = = = = = = =

69.

, f ( x ) = ae −b

70.

,

71.

,

72.

, ,

73.

2 2

x

,

Serii de funcŃii

( vezi [1] p. 69-72, respectiv [2] p. 39-65) ∞

1. CalculaŃi domeniul de convergenŃă al seriei

1

∑ 1 + x 2n n =1

2. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii ∞

n

 n +1  1− x  ∑  n   1 − 2x  n =1

n

3. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii

( −1)n  1 − x 2  ∑ ln ( n ) ⋅  1 + x 2  n =2 ∞

n

4. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii

(

∞

1

)(

1

) (

1

)

∑ ( 2 − x ) 2 − x 2 2 − x 3 ... 2 − x n , x > 0 n =1

5. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii ∞

∑

n =1

( n + 1) n n n+ x

6. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii ∞

( ax ) n

∑ a n + xn ,

a > 0, x > 0

n =1

7. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii ∞

2n 2 + 5  x  ∑ 7n2 + 3n + 2 ⋅  2x + 1  n =1

n

8. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii ∞  x  ∑ 2n sin  3n  n =1 9. Să se studieze natura convergenŃei seriei de funcŃii ∞  ( n − 1) x  nx ∑  1 + x + n − n + 1  , x ∈ [0 ,1] n =1 10. Să se studieze natura convergenŃei seriei de funcŃii ∞ (n − 4) x   nx ∑  1 + n + x − 1 + ( n − 1) x  , x ∈ [0 ,1] n =1

Serii de puteri (vezi [1] p. 78-80, respectiv [2] capitolul 4, p. 65-) 1 2

1 3

1. StudiaŃi convergenŃa seriei de puteri x + x 2 + x 3 + ... ∞

2. Să se studieze convergenŃa seriei

1

∑ n2 ( x − 2 )

n

n =1

3. Să se determine mulŃimea de convergenŃă şi suma următoarei serii de ∞

n n +1 x ( ) puteri ∑ −1 n n =1

4. Să se determine mulŃimea de convergenŃă şi suma următoarei serii de 2n +1 n x ( ) puteri ∑ −1 2n + 1 n =1

∞

5. Să se dezvolte în serie de puteri funcŃia f ( x ) = e x , precizându-se şi domeniul pe care este valabilă dezvoltarea. 6. Să se dezvolte în serie de puteri funcŃia f ( x ) = sin ( x ) , precizându-se şi domeniul pe care este valabilă dezvoltarea. α 7. Să se dezvolte în serie de puteri funcŃia f ( x ) = ( 1 + x ) , α ∈ ℝ , precizânduse şi domeniul pe care este valabilă dezvoltarea. 8. Să se arate că functia f : ( −1,1) → ℝ , f ( x ) = ln

1+ x este dezvoltabila în 1− x

serie de puteri şi să se găsească această dezvoltare, stabilindu-se şi intervalul pe care este valabilă dezvoltarea. 9. Să se arate că functia f : ℝ \ {−2 , −3} → ℝ , f ( x ) =

3x este dezvoltabila x + 5x + 6 2

în serie de puteri şi să se găsească această dezvoltare, stabilindu-se şi intervalul pe care este valabilă dezvoltarea. 10.Să se dezvolte în serie de puteri funcŃia f ( x ) = 2 x . 11.Să se dezvolte în serie de puteri funcŃia f ( x ) = e − x . 2

Integrala Riemann (vezi [3] capitolele 1 si 2)

I. Sa se calculeze urmatoarele integrale definite

= =

1.

2.

=0

3.

= 4.

=1

5.

6.

7.

8. 9.

10.

11.

,

=2 = = = = = =

12.

e2

∫e 13.

14.

15.

16. 17. 18.

∫ 19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.

26. 27. 28.

29.

a a 2

dx x ln x

=ln2

= =1 = =40 =4a = = = =31,5 = =4 =0 = =52 = =

x 2 dx

,

=

30. π

∫ sec 31. 0 4

2

3 2

dx

x dx

32.

∫ 33.

1 2

1 − x2

=1 = =

II. Sa se determine urmatoarele primitive: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7.

= =

= = = = = =

8. 9.

=

10. 11.

12.

13. 14.

= = = =

=

15. 16. 17. 18. 19.

20. 21.

22. 23.

= = = = = = = ,

=

=

III. 1.

Utilizand integrala definita sa se calculeze limita

pentru p ∈ ℕ* .

2. Utilizand integrala definita sa se calculeze limita

Utilizand integrala definita sa se calculeze limita 3.

=

=1 =