Analisis Real Uin Jkt

MEMBUAT CONTOH DARI LEMA DAN TEOREMA

Disusun oleh : • Hendri Ferdyansyah • Muhammad Hady K. • Edy Sugandi

PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UIN SYARIEF HIDAYATULLAH JAKARTA 2009

•

Lema 1.2.1

Misalkan S⊂N dan S≠∅, maka S memiliki unsuur terkecil, yaitu terdapat n0∈S, sehingga n0≤n, ∀n ∈S 1. misal: S =1,3,5,7 n0=1 maka: 1 ≤ 3, 1 ≤ 7, 1 ≤ 5, 1 ≤ 1 sehingga n0 ≤n, terbukti 2. misal: S =2,4,8,10 n0=2 maka: 2≤ 2 , 2≤4 , 2≤8, sehingga n0 ≤n, terbukti

2≤10

3. misal: S=3,9,11,13 n0=3 maka: 3 ≤ 3, 3 ≤ 9, 3 ≤ 11, 3 ≤ 13 sehingga n0 ≤n, terbukti 4. misal: S=4,16,17,19, maka: 4≤4 , 4≤16 , 4≤17, sehingga n0 ≤n, terbukti 5. misal: S=-10,,-9,-7,-3 n0=-10 maka: -10≤-10 , -10≤-9 , sehingga n0 ≤n, terbukti

•

4≤19

-10≤-7,

-10≤ -3

Lema 1.2.2

Jika x,y∈Q dan x
2. x=54 y=72 x,y∈Q dan x
z=x+y2=54+722=5+1442=198=2,375 z = 2,375 sehingga terbukti : x
Lema 1.2.3

(Sifat Archimedes) jika x ϵ Q, maka terdapat n ϵ Z, sehingga x
x
x
x
x
x ϵ Q dan n ϵ Z sehingga terbukti x
Teorema 1.4.1

Untuk setiap x, y ϵ R danx>0, terdapat n ϵ N sehingga nx>y 1. x=3 y=5 n=2, maka : nx >y 2.3>5 6 >5 (terbukti) 2. x=2 y=3 n=4, maka : nx >y 4.2>3 8>3 (terbukti) 3. x=4 y=10 n=3, maka : nx > y 3.4 >10 12>10 (terbukti) 4. x=20 y=15 n=2, maka : nx > y 2.20>15 40 >15 (terbukti) 5. x=7 y=20 n=4, maka : nx > y 4.7 >20 28 >20 (terbukti)

•

Teorema 1.4.2

Untuk setiap x,y ∈ R dan x < y, terdapat p ∈ Q, sehingga x < p < y Contoh: 1. x = √2

y = √3

= 1,4142….

= 1,732…

x < y, terdapat 1,5 = 32 ∈ Q sehingga: 2 < 32 < √3 2. x = -455

y = -355

x < y terdapat -7110 ∈ R

sehingga -455 < -7110 < -355 3. x = 2√2 2√2 <

y = 2 √3 2 √3 , terdapat

Sehingga: √2 4. x = 177

< 31 <

31 ∈ Q 2 √3

y = 277

x < y terdapat 3154 ∈ Q sehingga: 177 < 3154 < 277 5. x = 99100

y=1

x < y terdapat 198200 ∈ Q Sehingga: 99100

•

< 198200 ∈ Q

Teorema 1.4.3

Untuk setiap a∈R, a>0 dan n∈N, terdapat x∈R, sehingga xn=a

1. Misal : a=6 , n=9 sehingga ∃x∈R Sehingga :

x9=6 x=96=1,220228493 x∈R

2. Misal : a=7 , n=4 sehingga ∃x∈R Sehingga :

x4=7 x=47=1,62657656 x∈R

3. Misal : a=3 , n=11 sehingga ∃x∈R Sehingga :

x11=3 x=113=1,10503150 x∈R

4. Misal : a=5 , n=8 sehingga ∃x∈R Sehingga :

x8=5 x=85=1,22284454

x∈R 5. Misal : a=9 , n=21 sehingga ∃x∈R Sehingga :

x21=9 x=219=1,11029943 x∈R