Analisis Matematico Iii ...1ra Clase.pdf

1 Introducción Primero analizaremos diversas ecuaciones con sus respectivas soluciones 1. En la ecuación 3𝑥 − 5 = 0 Con solución x=1.67 Con una representación grafica y = 3𝑥 − 5 2. En la ecuación 𝑥 2 − 7𝑥 + 4 = 0 Con solución 𝑥1 = 0.63, 𝑥2 = 6.37 Con una representación grafica y = 𝑥 2 − 7𝑥 + 4 3. En la ecuación 2𝑥 2 + 𝑥 + 5 = 0 Con solución 𝑥1 = −0.25 + 1.56𝑖, 𝑥2 = −0.25 − 1.56𝑖 Con una representación grafica y = 2𝑥 2 + 𝑥 + 5

Otras ecuaciones 2 1. En la ecuación 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥 3

2. En la ecuación dy = 5dx 3. En la ecuación 𝑦´ = 𝑦𝑥 4. En la ecuación 𝑥𝑑𝑥 − 𝑦𝑑𝑥 = 0

¿Qué tiene en común estas ecuaciones? Todas tiene las diferenciales “dx” y “dy” ¿Que tipo de ecuaciones son estas? Son ecuaciones diferenciales ¿Cuales son las soluciones de esta ecuaciones? No son números reales ni números complejos La solución son funciones

4. En la ecuación 𝑦´3 + 𝑦´ = 0 dy = 5dx y = 5x + C

La representación grafica es una familia de rectas o curvas

2 Ecuaciones Diferenciales Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una función desconocida de una o mas variables

La ecuación diferencial

𝑦´ + 3𝑥 = 0,

la incógnita es la función y = 𝑓(𝑥)

𝑑𝑦 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑡𝑒 𝑑𝑥 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Para resolver una ecuación diferencial se necesita conocer los métodos de integración y reconocer los diversos tipos de ecuaciones diferenciales

3 Clasificación de las ecuaciones diferenciales por la cantidad de variables independientes: Las ecuaciones diferenciales están formados por dos grandes grupos Ecuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones diferenciales parciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O): Se refiere a las ecuaciones donde la función desconocida depende solo de una variable independiente 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

3

(𝑦´´´)2 + 2𝑦´

= 𝑥 + 𝑦2

Incógnita para ambas E.D. y = 𝑓(𝑥) 3

𝑑𝑠 𝑒 −𝑡 = 𝑑𝑡 2

Incógnita s= 𝑓(𝑡)

− 𝑦´ = 𝑦 2 − 𝑥 + 2

Ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P): Se refiere a las ecuaciones donde la función desconocida depende de dos o mas variables independientes 𝜕 2 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑦 Incógnita v= 𝑓(𝑥, 𝑦) Incógnita y = 𝑓(𝑥, 𝑡) + = 𝑥𝑦 + =𝑦 2 𝜕𝑥

𝜕𝑡

𝜕𝑥

𝜕𝑦

4 Orden y grado de una ecuación diferencial Orden El orden de una ecuación diferencial viene a ser el orden de la derivada mas alta que aparezca en la ecuación diferencial.

Grado El grado de una ecuación diferencial, a la que puede escribirse como polinomio, en la función desconocida y sus derivadas. Esta determinada por la potencia o grado de la derivada de mayor orden. Con el mayo orden determinamos Ejemplo Identificamos el mayo orden el grado de la E.D. 2 3 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 2 − = 𝑥 + 𝑦 2 do orden 2 do grado 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝜕5𝑤 𝜕3𝑤 + 5 𝜕𝑢 𝜕𝑢3 4

𝑦´´´

3

=

3

2

𝜕5𝑤 − 5 =0 𝜕𝑣

1 + 𝑦´

4

5to orden

1er grado

3er orden

9no grado

Ejercicios Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales: d3y  dy   3 x   5 y 3 dx  dx  3

3 d2y d y 5  3x  2 dx dx 3

d y d y dy  18 3   8 x   3  dx  dx   dx  3

3

5

d3y  dy   5 x  8  3 dx  dx 

5 Clasificación por la linealidad de la variable independiente Ecuación diferencial lineal Una Ecuación Diferencial ordinaria de orden “n” en la función desconocida “y” y la variable independiente “x” es lineal si se tiene la siguiente forma. 𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛

𝑎𝑛 𝑥

+ 𝑎𝑛−1 𝑥

𝑑 𝑛−1 𝑦 +…….. 𝑑𝑥 𝑛−1

𝑎1 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Las funciones 𝑎𝑖 𝑥 {i=0,1,2,...,n} y g(x) se supone conocida y depende solamente de la variable “x”. Las ecuaciones que no pueden escribirse de la forma mencionada se les considera no lineales. 3 Notación: 𝑑2𝑦 𝑦𝑑 𝑦 𝑒

𝑑𝑥 3

𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2

+ sec 𝑥 3

𝑑𝑥 2

𝑑𝑦 + 3𝑦 𝑑𝑥

+ 5𝑥𝑦 = 0 7

+

𝑦3

𝑑𝑦 =5 𝑑𝑥

Las expresiones y´, y´´, 𝑦 𝑛 etc. Se usan frecuentemente para representar las diferenciales respectivamente y´, y´´,y´´´ , 𝑦 4 , … , 𝑦 𝑛 la segunda derivada representada es igual 𝑦´´ = 2

𝑑 𝑦

𝑦, 𝑦, 𝑦

𝑥, 𝑥, 𝑥

𝑑𝑥 𝑑 2 𝑥 , 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2

𝑑𝑥 2

6 Solución de una ecuación diferencial Se denomina solución o integral de una E.D. a toda función que satisface la ecuación diferencial vale decir cuando se la reduce a una identidad. 1.- Determine que:

4.- Determine que: 𝑥

𝑦 = 2𝑒 −𝑥 + 𝑥𝑒 −𝑥

Es una solución de: 2.- Determine que:

𝑦´´ + 2𝑦´ + 𝑦 = 0

Es una solución de: 𝑥

𝑦´´ + 𝑦 =

𝑒 −𝑥

𝑦 = 𝑒𝑥

𝑥

𝑑𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

2

𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐𝑒 𝑥 0

Es una solución de:

3.- Determine que:

𝑑𝑦 2 − 𝑦 = 𝑒 𝑥+𝑥 𝑑𝑥

6.- Determine que:

𝑦 = 2 + 𝑐 1 − 𝑥2

Es una solución de:

0

5.- Determine que:

𝑦 = (𝑥 + 𝑐)𝑒 −𝑥

Es una solución de:

𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑡

𝑦=𝑥

𝑦= 1 − 𝑥 2 𝑦´ + 𝑥𝑦 = 2𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥

Es una solución de:

𝑥𝑦´ + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥

Trabajo Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación

diferencial dada:

 dy  2 y  x  Cx; x   x  y  dx  2 d y y  Asen(5 x)  B cos(5 x);  25 y  0 2 dx 3  dy   dy  2 2 y  C x  C  ;    4 xy    8 y  0  dx   dx  2

1

y  C  Cx ; 2

y  xy '  x

4

 y'2

 dy  e 1  cos y   C; seny   senx cos y  senx  dx  2 d y 5 2 3 y  8 x  3x  C;  6  160 x dx 2 cos x

7 Tipos de Solución Solución general Denominada primitiva de una ecuación diferencial viene hacer la relación sin derivadas ni diferenciales y contienen casi todas las soluciones. Esta relación contiene constantes diferentes de integración en un número igual al orden de la ecuación diferencial, y su grafica indica toda una familia de curvas en el plano cartesiano o expresada en forma polar ya que cada constante puede tomar cualquier valor real.

Hallar la solución general: 𝑦´ = 3𝑥 2 𝑑𝑦 = 3𝑥 2 𝑑𝑥

𝑑𝑦 =

3 𝑥 2 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥3 + 𝑐

Solución Particular Es la solución de una ecuación diferencial a partir de la solución general ya sea evaluando o asignándole valores por consiguiente su grafica será una sola curva llamada curva integral.

Hallar la solución particular de 𝑦´ = 2𝑥 obtenida con la condición que pase por el punto (1,2): 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑦 =

2 = 12 + 𝑐

𝑐=1

2 𝑥𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥2 + 𝑐

𝑦 = 𝑥2 + 1

Solución explícita de una EDO: La variable dependiente está expresada solamente en términos de variables independientes y constantes. Por ejemplo, la solución de xy' + y = 0 en (0, ) es y = (x) = 1/x.

Solución implícita de una EDO: Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una EDO en un intervalo I, siempre que exista al menos una función y = (x) que satisface tanto la relación como la ED en I

Ejemplo: Comprobación de una solución implícita. 𝑥2

+

𝑦2

𝑑𝑦 = 25 es una solución implícita de 𝑑𝑥

=

𝑥 − en el intervalo -5 < x < 5; puesto que al 𝑦

derivar de forma implícita respecto a x: 𝑑(𝑥 2 ) 𝑑𝑥

𝑑(𝑦 2 ) + 𝑑𝑥

=

𝑑(25) , 𝑑𝑥

𝑑𝑦 2x + 2y( ) = 0; 𝑑𝑥

obtenemos la EDO:

𝑑𝑦 𝑥 =− . 𝑑𝑥 𝑦

Despejando y de la solución implícita podemos encontrar dos soluciones explícitas:

8 Problemas de valor inicial y de frontera Problema de valor inicial Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones especificas en un valor de la variable independiente tales condiciones se llaman condiciones iniciales Ejemplo: Dada la Ecuación diferencia X´´´ +X´´-2X´=0 que tiene como solución general 𝑥 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 𝑡 + 𝐶3 𝑒 −2𝑡 encontrar la solución particular que satisface la condiciones X=0 X´=3 X´´=-5 Cuando t=0

Problema de valor de frontera Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificada en 2 o mas valores de la variable independiente tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Ejemplo:

Hallar la solución para el problema de valor de frontera y´´+4y=0, y(H/8)=0, y(H/6)=1 si la solución general de la ecuación diferencial es y(x)=C1sen2x+C2Cos2x