Analisis Gráfico Prác-fisica.docx

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

ACADEMIA DE FÍSICA

PRÁCTICA 3: ANÁLISIS GRÁFICO II

PROFESOR: EFREN SANCHEZ MEZA

EQUIPO N° 4

INTEGRANTES: BERRONES MAYA RAMSES CHAVEZ CERVANTES LUIS RAMÓN CHICO SORIANO GUADALUPE LIZBETH MARÍN RODRIGUEZ GERARDO ARTURO MENDOZA MARTÍNEZ JESSENIA MONTIEL VALDIVIESO MIRNA ALEJANDRA GRUPO: 1CM16

OBJETIVO El alumno determinará la relación que existe entre dos variables, mediante el uso del papel milimétrico y haciendo uso del papel logarítmico.

RESUMEN En el análisis de un problema físico se puede partir de la teoría que predice una cierta ley física la cual se expresa con una ecuación cuya forma matemática nos guiará al analizar la forma del gráfico. Es decir, graficando los valores experimentales se tendrá una curva uniforme que muestra la tendencia de los puntos. Enseguida se compara la forma de la curva obtenida, con aquello predicho teóricamente. Si concuerdan, ello corresponde a una comprobación experimental de la ley física considerada. La función matemática más simple es la línea recta y es por ello que tiene gran importancia en el análisis de datos experimentales. Por lo tanto es útil linealizar la curva cuando ésta no sea una recta. En el primer experimento aplicamos la técnica de cambio de variable para la determinación del modelo matemático entre el volumen y diámetro de un cilindro, así comenzamos midiendo el diámetro y volumen de cada cilindro en una probeta que contenía 50 ml de agua. En el segundo experimento utilizamos un juego de láminas cuadradas, un dinamómetro y un flexómetro este experimento es para la determinación del modelo matemático de dos variables y para la aplicación del papel logarítmico.

INTRODUCCIÓN La Física trata sobre las relaciones entre cantidades observadas. Establecer estas relaciones permite que podamos anticipar lo que ocurrirá con una cantidad cuando la otra varía de una forma determinada. Una forma básica para establecer la relación entre dos cantidades medidas es representarlas mediante una gráfica. En el caso del estudio del movimiento de los objetos, vamos a querer establecer relaciones entre las siguientes cantidades: el tiempo que le toma a un objeto moverse de un punto a otro, la rapidez con que se mueve y su aceleración, si tiene alguna. Las gráficas son representaciones pictóricas de pares ordenados de puntos. En cinemática se refiere a la representación de la relación de tiempo y espacio del movimiento de los objetos. Esta representación se hace en un plano cartesiano. El movimiento de una partícula se conoce por completo si su posición en el espacio se conoce en todo momento. Las gráficas presentan la relación entre los datos de la posición, velocidad y aceleración del objeto. Debes observar muy bien los ejes, las variables y las unidades utilizadas en las gráficas que analizarás. DESCRIPCION TEORICA DEL TEMA Las gráficas más comunes son las que se obtienen usando un sistema de ejes cartesianos. Es costumbre que el eje de las abscisas (eje x) represente a la variable independiente o la variable controlada y en el eje de las ordenadas (eje y) la variable dependiente, aunque en algunos casos podría convenir lo contrario. Se hace referencia a la gráfica como Y en función de X, Y contra X, Y versus X o como Y vs. X. Las cantidades que representan los ejes se escriben, preferentemente, con símbolos seguidos de las unidades entre paréntesis o después de una diagonal. Las escalas se deben escoger de modo que se utilice eficientemente el espacio destinado a la gráfica, y que permitan una lectura fácil de los puntos experimentales; la mínima división de la escala debe ser en números sencillos (múltiplo de 2, 5, o 10). DESCRIPCION DE LOS INSTRUMENTOS PAPEL MILIMETRADO: Es papel impreso con finas líneas entrecruzadas, separadas según una distancia determinada (normalmente 1 mm en la escala regular). El papel milimetrado se usa para graficar las variables X; Y, cuando estas cumplen con la ecuación de una recta: Y=mx+b donde: m es la pendiente de la recta; y b es el valor del término independiente, correspondiente al punto de corte con el eje Y de la extrapolación de la recta óptima. PAPEL LOGARITMICO: Los datos que siguen una variación similar a una función potencial, y=a·xn, o aquella serie de datos cuyo rango abarca varios órdenes de magnitud son apropiados para una representación logarítmica. Por ello, este tipo de representación es muy usada en ciencias e ingeniería. Cualquier conjunto de datos que pueda ajustarse a la expresión podrá representarse en forma de línea recta, si usamos representación logarítmica ya que ambas expresiones son equivalentes. PAPEL SEMILOGARITMICO: Es una representación gráfica de una función o de un conjunto de valores numéricos, en la que el eje de abscisas o el eje de ordenadas tienen escala logarítmica mientras el otro eje tiene una escala lineal o proporcional. Si la representación se

hace manualmente, se emplea papel semilogarítmico, que posee la escala con las marcas adecuadas para este tipo de representaciones. Se emplean logaritmos decimales, de base 10.

DESARROLLO EXPERIMENTAL Experimento 1

Actividades Con ayuda de una probeta mida el volumen V (en 𝑐𝑚3 )de cada cilindro Con ayuda del vernier mida, en cm, el diámetro D y la altura h de los cilindros Anote las incertidumbres del volumen y del diámetro(apéndice B) Tabule adecuadamente los datos, con sus incertidumbres. Haga la gráfica de V vs D en papel milimétrico (dibujando a escala las incertidumbres) Observe la curva que le resultó y compárela con la familia de curvas de la función y=A𝑥 𝑚 (figura 9) ¿Qué tipo de curva resultó? ¿Qué valor se podría estimar para m? 7. De acuerdo con la conclusión anterior, eleve los valores de D al exponente que crea conveniente (elija entre los valores más frecuentes de m, que son: 1,-1, 2,-2, etc.) y tabule nuevamente a V y a D. Si no resulta una recta ha elegido mal el exponente y deberá elegir otro. 8. Si resultó una recta, vea si pasa por el origen; si es así, calcule la pendiente A y obtenga la ecuación de interdependencia 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Experimento 2

Actividades 1. Con ayuda de un dinamómetro mida el peso de cada cuadrado 2. Con el flexómetro mida el lado y el espesor de cada cuadrado 3. Anote las incertidumbres del peso y del lado (δP=1/2 rango mínimo del dinamómetro ),(δL= ½ rango mínimo del flexómetro) 4. Tabule los datos adecuadamente con sus incertidumbres (utilice un mismo sistema de unidades) 5. Haga la gráfica de P vs L en papel milimétrico con sus incertidumbres ¿Qué tipo de curva resultó? 6. Obtenga los logaritmos (en cualquier base) de cada uno de los datos P y L y haga una nueva tabulación (sin incertidumbres) 7. Haga la gráfica de P vs L directamente en papel milimétrico ¿Qué tipo de grafica resultó? ¿Por qué? Explique. 8. Haga ahora la gráfica de P vs L directamente en papel logarítmico (log-log) (ver apéndice E) ¿Resultó ser el mismo tipo de gráfica que en el inciso anterior? ¿Por qué? 9. ¿Cuál de las dos formas elegiría usted para obtener la gráfica de la recta experimental? Explique 10. Con ayuda de la gráfica en papel log-log, obtenga la ecuación de la interdependencia entre P y L. 11. Escriba sus conclusiones

ANÁLISIS Y RESULTADOS Experimento 1. Explicación: Con la ayuda de la probeta medimos el volumen de cada cilindro y con el vernier su longitud, tabulamos sus datos adecuadamente con sus incertidumbres, luego con ayuda de la explicación dibujamos eje y coordenadas para hallar las escalas apropiadas. Después trazamos los puntos experimentales con sus incertidumbres y ajustamos una recta. Determinamos la pendiente de la recta y su ecuación para después interpolar un cilindro de 6.5 cm y al final uno de 10 cm de longitud. A continuación anotamos algunos cálculos y el significado de la pendiente (requerido). 

Calcular la pendiente de la recta y la incertidumbre.

𝑦

𝑘 = 𝑥2 Cuando La recta pasa por el origen. 2

𝑘=

18𝑐𝑚3

=2

9𝑐𝑚

𝑘(𝑚𝑖𝑛) = 𝑘(𝑚𝑎𝑥) =

Pendiente

18 𝑐𝑚3 −4 𝑐𝑚3

= 1.75 9.5 𝑐𝑚− 1.5 𝑐𝑚 18 𝑐𝑚3 −4 𝑐𝑚3

= 2.33 8.5 𝑐𝑚− 2.5 𝑐𝑚

𝑐𝑚3 𝑐𝑚 𝑐𝑚3 𝑐𝑚

𝑐𝑚3 𝑘 = 1.56 ± 1.29 𝑐𝑚 

Método de mínimos cuadrados

𝐸 = (𝑦1 − 𝑚𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑚𝑥2 )2 + … Cuando la recta pasa por el centro. ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑚= 𝑛 ∑𝑖=1 𝑥𝑖 2 𝑚 =2 

  

¿Cuál es el significado de la pendiente? La pendiente indica el tipo de crecimiento que va a tener la recta, el valor que tomaran las variables dependientes con respecto a las independientes. La ecuación de la recta es: 𝑦 = 2 𝑥 𝑦 = 2 (6.5) = 13 𝑦 = 2 (10) = 20

Grafica 1.

Volumen 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 2

3

4

5

6

7

8

9

Experimento 2. Se midió el diámetro de cada disco y se calculó el perímetro de los mismos mediante una ecuación (modelo teórico) y se tabulo los resultados y se midió posteriormente el perímetro con un hilo de cáñamo y se grafico 40 35 30 25 Valores Y

20

Columna1 15 10 5 0 0

2

4

6

8

10

12

Por cada centímetro de diámetro va creciendo 3.14 de veces su perímetro

Valores Y 40 35 30 25 20

Valores Y

15 10 5 0 0

2

4

6

Tabla de medidas de experimento 2

#

Diámetro P.T

P.E

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

3 cm 4 cm 5 cm 6.2 cm 7.2 cm 8.1 cm 9 cm

9.424 12.566 15.707 19.477 22.619 25.44 28.274

10 13 16 20 23 25.5 29

8.

10 cm

31.415 32

9.

11 cm

34.557 35

8

10

12

CONCLUSIÓN Experimento 1 Mediante mediciones de volumen y dimensiones de los cilindros metálicos utilizando el procedimiento de medir las diferencias de volúmenes en la probeta para volumen y para medidas con el calibrador estos datos los tabulamos y graficamos en una gráfica que nos resultó ser una pendiente en la que plasmamos la recta y graficamos nuestros valores tanto de volumen dimensiones y las incertidumbres Experimento 2 Para este experimento fue necesario hacer una medición de diámetro de los círculos de madera y aparte hacer de forma teórica operaciones para calcular este mismo mediante formula , tenemos 2 tipos de valores con los que experimentamos los de las mediciones físicas y los cálculos teóricos , todos estos resultados se tabularon y plasmaron en una gráfica en la cual se obtiene la conclusión de que los valores no son 100% iguales entre las 2 pero es muy poca la diferencia siendo más precisos los datos que fueron calculados a comparación delos medidos Conclusión general Para analizar los datos experimentales, siempre conviene graficarlos. Si los puntos están contenidos en una recta lo que resta por hacer es determinar, a partir de la gráfica, los parámetros que la describen. Por el contrario, si los puntos experimentales nos e ajustan a una recta, sino más bien a una curva, entonces se recurre a graficarlos usando escalas logarítmicas en ambos ejes coordenados o solamente en uno y escala lineal en el otro. El propósito es que, con el uso de gráficas log-log o semilog, los puntos describan una recta ya que su identificación es muy fácil e indudable. Otra manera de lograr que los puntos experimentales estén sobre una recta es mediante un adecuado cambio de variables, el cual usualmente es sugerido por el análisis teórico del problema. Todas las curvas de la forma y=axn pueden ser transformadas para que sean líneas rectas usando escalas logarítmicas en ambos ejes coordenados. La otra familia de curvas que pueden ser convertidas en rectas son las que tienen la forma analítica y=abcx. Es usual que el parámetro b sea sustituido por el número 10 o por el número e; en el primer caso el cálculo se facilita usado logaritmos decimales y en el segundo al usar logaritmos naturales. Se obtiene una recta al graficar con escala logarítmica en uno de los ejes coordenados.

REFERENCIAS Análisis gráfico. Parte I. Escalas lineales y logarítmicas. Ángel Manzur Guzmán