Analisis Estructural.docx

METODO DE LA VIGA CONJUGADA

El método de la viga conjugada, desarrollado por Otto Mohr en 1868, por lo general proporciona un medio más conveniente para el calculo de las pendientes y las deflexiones en las vigas que en el método del área-momento. (kasimali) Así también el método de la viga tiene la ventaja de permitir el cálculo de las deformaciones en cualquier punto. Esta ventaja resulta importante en la resolución de estructuras hiperestáticas, en las cuales hay que calcular deformaciones en varias secciones. (cuevas) La viga ficticia es conocida como la viga conjugada, y se define como: Una viga conjugada que corresponde a una viga real es una viga ficticia de igual longitud que la viga real, pero que se apoya externamente y esta conectada internamente, de tal manera que, si se carga en el diagrama M/EI de la viga real, el cortante y el momento flexionante en cualquier punto son iguales, respectivamente a la pendiente y a la deflexión en el punto correspondiente de la viga real. (kasimali) Carga Elástica: 𝑴 𝑬𝑰

El método de la viga conjugada esencialmente implica el cálculo de las pendientes y las deflexiones de las vigas por determinación del cortante y el momento flexionante en la correspondiente viga conjugada. VIGA REAL

𝛉 =∫

VIGA CONJUGADA

𝑴 𝒅𝒙 𝑬𝑰

𝑽𝒄𝒐𝒏𝒋 = ∫

𝑴 𝟐 𝒅𝒙 𝑬𝑰

𝒚 = ∫∫

𝒚 = ∫∫

𝑴 𝒅𝒙 𝑬𝑰

𝑴 𝟐 𝒅𝒙 𝑬𝑰

1. CONDICIONES DE APOYO DE LA VIGA CONJUGADA El principio general para modificar las condiciones de apoyo consiste en tener en cuenta que, si el apoyo es simple en la viga real entonces habrá rotación, pero no deflexión, lo cual implica que en la viga conjugada debe haber fuerza cortante pero no momento, o sea las condiciones que ofrece el mismo apoyo simple. En el caso de empotramiento, en cambio, no hay ni giro ni deflexión, de tal manera que en la viga conjugada no puede haber ni corte ni momento, lo cual solo se logra dejando dicho extremo libre. Por el contrario, si el extremo de la viga real esta libre por ser un voladizo, tendrá rotación y deflexión, obligando a empotrarlo en la viga conjugada para que allí se presenten corte y momento. (escamilla) De acuerdo con este principio, se muestran en la imagen 1 las vigas conjugadas que corresponden a distintos tipos de vigas reales.

1.

Vigas conjugadas de diversos tipos de vigas reales

Fuente: Aslam Kassimali

Las vigas conjugadas de algunos de los tipos mas comunes de vigas reales se ejemplifican en la imagen 2. Como indica la imagen 2 (a)-(e), las vigas conjugadas correspondientes a vigas reales estáticamente determinadas son siempre estáticamente determinadas, mientras que en las vigas estáticamente indeterminadas tienen una viga conjugada inestable, como se ve en la imagen 2 (f)(h). Sin embargo, dado que las vigas conjugadas inestables serán cargadas con el diagrama M/EI de vigas reales estáticamente indeterminadas, las cuales son autoequilibradas, estas permanecerán en equilibrio. Como lo ilustran los dos últimos ejemplos de la imagen 2, las vigas reales estáticamente inestables tienen vigas conjugadas estáticamente indeterminadas.

2.

Vigas conjugadas de algunos de los tipos de los más comunes de vigas reales

Fuente: Aslam Kassimali

2. CONVECCIÓN DE SIGNOS Si las ordenadas positivas del diagrama M/EI están aplicadas a la viga conjugada como cargas hacia arriba (en la dirección positiva de y) y viceversa, entonces un cortante positivo en la viga conjugada indica una pendiente positiva (sentido contrario a las manecillas del reloj) de la viga real con respecto al eje sin deformar de la viga real; además, un momento flexionante positivo en una viga conjugada indica una deflexión positiva (hacia arriba en la dirección positiva de y) de la viga real con respecto al eje sin deformar de la viga real y viceversa. Si el cortante es (+): el giro es (-) Si el cortante es (-): el giro es (+) Si el momento es (+): el desplazamiento es hacia abajo. Si el momento es (-): el desplazamiento es hacia arriba.

3. PROCEDIMIENTO DE ANALISIS

1. Construya el diagrama M/EI para la viga (real) sujeta a las cargas (reales) especificadas. Si la viga esta sujeta a una combinación de diferentes tipos de cargas (por ejemple, cargas concentradas o distribuidas), el análisis puede ser coseiderablemente mas agil si se elabora el diagrama M/EI por partes. 2. Determine la viga conjugada correspondiente a la viga real. Los apoyos externos y las conexiones internas para la viga conjugada deben ser seleccionados para que el cortante y el momento flexionante en cualquier punto de la viga conjugada sean consistentes con la pendiente y la deflexión, respectivamente, en cualquier punto de la viga real. 3. Aplique el diagrama M/EI (del paso 1) como la carga en la viga conjugada. Las ordenadas positivas del diagrama M/EI están aplicadas como cargas hacia arriba en la viga conjugada y viceversa. 4. Calcule las reacciones en los apoyos de la viga conjugada aplicando las ecuaciones de equilibrio y de condición (si hubiera).

5. Determine el cortante en los puntos de la viga conjugada donde se desean las pendientes en la viga real. Encuentre el momento flexionante en los puntos de la viga conjugada donde se desean las deflexiones en la viga real. Estos cortantes y momentos flexionantes en la viga conjugada se consideran positivos o negativos de acuerdo con la convección de signos de la viga. 6. La pendiente en un punto en la viga real con respecto al eje sin deformar es igual al cortante en ese punto en la viga conjugada. Un cortante positivo en la viga conjugada indica una pendiente positiva o en el sentido contrario a las manecillas del reloj de la viga real y viceversa. 7. La deflexión en un punto de la viga real con respecto al eje sin deformar de la viga real es igual al momento flexionante en dicho punto en la viga conjugada. Un momento de flexión positivo en la viga conjugada indica una deflexión positiva o hacia arriba en viga real y viceversa.

EJERCICIO DE APLICACIÓN 1) Para la estructura representada en la figura determinar: a) Diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores. b) Desplazamientos del punto C y de punto A c) Giros en el punto C. EI= 1000 Tn*m2

SOLUCION

∑ 𝑭𝑯 = 𝟎

𝑯𝑪 = 𝟎

∑ 𝑴𝑪 = 𝟎

𝑹𝑩 = 𝟏𝟓(𝟑) = 𝟒𝟓 𝒕𝒏

∑ 𝑭𝑯 = 𝟎

𝑯𝑬 = 𝟎

∑ 𝑴𝑬 = 𝟎

𝑹𝑫 (𝟑) = 𝟒(𝟑𝟎) = 𝟒𝟎 𝒕𝒏

∑ 𝑴𝑪 = 𝟎

𝑹𝑩 = 𝟏𝟓(𝟑) = 𝟒𝟓 𝒕𝒏

CORTE (1): 0 ≤ X ≤ 2

𝑵𝑿 = 𝟎 ; 𝑽𝑿 = −𝟏𝟓 ; 𝑴𝑿 = −𝟏𝟓(𝒙)

CORTE (2): 0 ≤ X ≤ 1

𝑵𝑿 = 𝟎 ; 𝑽𝑿 = 𝟑𝟎 ; 𝑴𝑿 = −𝟑𝟎(𝒙)

CORTE (3): 0 ≤ X ≤ 1 𝑵𝑿 = 𝟎 ; 𝑽𝑿 = 𝟑𝟎 ; 𝑴𝑿 = 𝟑𝟎(𝒙)

CORTE (4): 0 ≤ X ≤ 3

𝑵𝑿 = 𝟎 ; 𝑽𝑿 = −𝟏𝟎 ; 𝑴𝑿 = 𝟏𝟎(𝒙)

DIAGRAMAS (V) Y (M)

“VIGA CONJUGADA”

𝑹𝑬 (𝟑) −

∑ 𝑴𝑫 = 𝟎

∑ 𝑭𝑽 = 𝟎

𝑹𝑫 +

𝟑𝟎 𝟏 𝟏 𝟏𝟓 ∗ (𝟑) ∗ ∗ 𝟑 = 𝟎 ; 𝑹𝑬 = 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰

𝟏𝟓 𝟑𝟎 𝟏 𝟑𝟎 − ∗ (𝟑) ∗ = 𝟎 ; 𝑹𝑫 = 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰

𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟏 𝟐 𝟓𝟎 ∗ (𝟏) − 𝟐 ∗ ∗ 𝟏 ∗ ∗ ∗ 𝟏 = 𝟎 ; 𝑹𝑩 = 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰

∑ 𝑴𝑪 = 𝟎

𝑹𝑩 (𝟏) −

∑ 𝑭𝑽 = 𝟎

𝑹𝑪 −

𝟑𝟎 𝟓𝟎 𝟖𝟎 − = 𝟎 ; 𝑹𝑪 = 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝑬𝑰

∑ 𝑭𝑽 = 𝟎

𝑹𝑨 −

𝟓𝟎 𝟑𝟎 𝟏 𝟖𝟎 − ∗ 𝟐 ∗ = 𝟎 ; 𝑹𝑨 = 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰

∑ 𝑴𝑨 = 𝟎

𝑴𝑨 −

𝟓𝟎 𝟑𝟎 𝟏 𝟐 𝟏𝟒𝟎 ∗𝟐− ∗ 𝟐 ∗ ∗ ∗ 𝟐 = 𝟎 ; 𝑴𝑨 = 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰

δA =140 mm

(Desplazamiento)

∑ 𝑭𝑽 = 𝟎

𝑸′𝑪 −

𝟏𝟓 𝟑𝟎 𝟏 𝟑𝟎 𝟏 𝟒𝟓 − ∗𝟏∗ − ∗ 𝟑 ∗ = 𝟎 ; 𝑸′𝑪 = 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝛉′ = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓 𝒓𝒂𝒅

∑ 𝑴𝑪 = 𝟎

𝑴𝑪 −

-

𝟏𝟓 𝟑𝟎 𝟏 𝟐 𝟑𝟎 𝟏 −𝟒𝟎 ∗𝟒+ ∗𝟏∗ ∗ ∗𝟏+ ∗ 𝟑 ∗ = 𝟎 ; 𝑴𝑪 = 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰

δc = 40 mm

∑ 𝑭𝑽 = 𝟎

𝑸′′𝑪 +

𝟖𝟎 𝟒𝟓 𝟑𝟓 − = 𝟎 ; 𝑸′′𝑪 = 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝑬𝑰

𝛉′ = 𝟎. 𝟎𝟑𝟓 𝒓𝒂𝒅

+

Referencias Cueva, Gonzales. Analisis estructural. Mexico: Limusa, 1995. Kassimali, Aslam. Analisis estructural. Mexico: Cengage Learning, 2015.

https://www.youtube.com/watch?v=2-RTpT6I-54