Analisis Del Error

ITT/Ing. Electrónica/Análisis Numérico/4 Sem/Análisis del error/10 Feb 09/Cat. Ing. Angélica Granados Sánchez/Alm. Mario Merino Márquez/07360703

2.1 Aproximaciones 2.1.1 Cifras significativas Son los dígitos de números que consideramos no nulos. Las cifras significativas son aquellas que se ofrecen con certeza más uno estimado. Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Existen 2 criterios importantes para las cifras significativas: 1) Son confiables solo si se especifica el numero de cifras significativas 2) Se produce un error de redondeo cuando se omite cierto número de cifras en un valor determinado. Ejemplo: 5.111111 π=3.141592653 π=3.1416 error de redondeo Norma Son significativos todos los dígitos distintos de cero. Los ceros situados entre dos cifras significativas son significativos. Los ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo son. Para números mayores que 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos. Para números sin coma decimal, los ceros posteriores a la última cifra distinta de cero pueden o no considerarse significativos. Así, para el número 70 podríamos considerar una o dos cifras significativas. Esta ambigüedad se evita utilizando la notación científica.

Ejemplo 8723 tiene cuatro cifras significativas 105 tiene tres cifras significativas 0,005 tiene una cifra significativa 8,00 tiene tres cifras significativas 7 · 102 tiene una cifra significativa 7,0 · 102 tiene dos cifras significativas

2.1.2 Exactitud y Precisión Exactitud: es que tan cercano estamos de la realidad de valor calculado o medido. Precisión: que tan cercanos se encuentran unos de otros diversos valores calculados o medidos Inexactitud (sesbo): Desviación sistemática del valor verdadero Imprecisión (Incertidumbre) : Magnitud de la dispersión Error: Es algo que es inexacto e impreciso

2.2 Errores Error: Es la diferencia entre el valor exacto (real) de la variable x menos el valor calculado o medido (aproximación)X ET = x – X Valor Verdadero = valor medido + error

x = X + ET

Error = Valor Verdadero – valor medido Los errores surgen al utilizar redondeo aproximaciones Error fraccional verdadero=erro verdadero / valor verdadero Error Relativo Fraccional verdadero= Єt =(Error verdadero/valor verdadero)x100 Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache. Si los valores verdaderos fueron 10000cm y 10 cm respectivamente. Calcule: a) El error verdadero b) El error relativo porcentual Medición

puente 9999cm Remache 9cm

Puente Єt = 10000 cm -9999cm=1cm Remache Єt= 10cm - 9 cm = 1 cm Puente Єt =Єt/Vv x100%=1cm/10000cm x100%=0.01% Remache Єt=Єt/Vv x 100% = 1cm/10cm x 100% = 10%

Ea = (error aproximado / valor aproximado) * 100 Método Iterativo: Consiste en hacer una aproximación considerando la aproximación anterior. Se efectúa varias veces esperando mejores aproximaciones. Error iterativo porcentual Ea = ((aproximación actual – aproximación anterior) / aproximación actual) * 100

Es (prefijado)

|Ea| < Es

Es = (0.5*102-n)%

Donde: n=cifras significativas

Ejemplo: Calcule el valor de e0.5 utilizando la expansión en series de Mc Claudin ex = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …..+ x^n/n! Calcule los errores relativos porcentuales verdaderos y el normalizado Es=(0.5 x 102-3) = 0.05% Valor verdadero e0.5 = 1.648721 Términos 1 2 3 4 5 6

Resultado 1 1.5 1.625 1.646 1.648 1.6487

Et (%) 39.3469 9.02 1.44 0.165 0.044 0.0013

Ea (%) 100 33.33 7.69 1.27 0.121 0.0004

ITT/Ing. Electrónica/Análisis Numérico/4 Sem/Matlab 6.5/11 Feb 09/Cat. Ing. Angélica Granados Sánchez/Alm. Mario Merino Márquez/07360703

Matlab 6.5 Características: Son cálculos predefinidos de vectores y matrices como: – – – – – – –

Aritmética de vectores y matrices Inversión de matrices y análisis de valores y vectores propios Aritmética compleja y operaciones con polinomios Cálculos estadísticos Despliegue de gráficos Diseño de sistemas de control Modelos de proceso de ajuste a partir del análisis de datos

>>a >>a=1 >>A=a >>a=[1 2 3 4] a=1234 >>b=[1;2;3;4] b=1 2 3 4 Transpuesta b=[1 2 3 4 5]’ b=1 2 3 4 5 Matriz 3x3 c=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] c=1 2 3 456 789 >> Who  nos muestra las variables que hemos ocupado >>Whos  nos muestra que clase de variables hay

>>pi = 3.1416

Números Complejos i = sqrt(-1) i = 0 + 1.0000i >>2 + 4i = 2.0000 + 4.0000i

Operaciones Matemáticas r= 2+pi = 6.2832 y=pi/4 = 0.7854 z=y^2.45 = 0.5533 utilizando x predefinida (x=2 + 4i) 3*x = 6 + 12i 1/x = 0.1 – 0.2i a*A = [30 36 42] A*b = 32 77 122 A*a = Marca error porque las dimensiones de la matriz deben coincidir.

Predefinidas. log(A) logaritmo sqrtm(A)  raíz para matrices Vector columna de 0 a 100 con espacios de 5 t=[0:5:100] = 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 length(t)=21  nos muestra el número de elementos El punto, que precede al exponencial (.^) significa que la operación será llevada a cabo elemento por elemento a eso se le llama Operaciones de Arreglos y=t.^0.34-log10(t)+1./t

Gráficos plot(t,y) title(‘Grafica de y contra t’) X label (

Y label ( grid  cuadricula

Polinomios >>c=[1 1 1 1] >>r=roots(c)  raíces del polinomio c=x3+x2+x+1 Polinomio 2x2-0.4x-1 >>d=[2 -0.4 -1] Multiplicación de 2 polinomios con la función convulsión >>cd=conv(c,d) Division de 2 polinomios con la función deconvulcion >>[q,r]=deconv (c,d) En q se guarda el cociente En r el resultado

Ejercicio Calcular las raíces de 3x2+6x+18 >>f=[3 6 18] >>r=roots(f) r 1= -1 + 2.3607i r2= -1 – 2.3607i

ITT/Ing. Electrónica/Análisis Numérico/4 Sem/Errores de Redondeo/17 Feb 09/Cat. Ing. Angélica Granados Sánchez/Alm. Mario Merino Márquez/07360703

Errores de Redondeo ¿Cómo surge el sistema decimal? Debido a que tenemos 10 dedos ¿Cuál es su base? Base 10 ¿Cómo se representa? Con números del 0 al 9 ¿Cuántos sistemas numéricos conocemos? Decimal, octal, hexadecimal, binario ¿Por qué los equipos de cálculo redondean? Porque no alcanza la memoria

¿Por qué se usa binario en las computadoras? Debido a que las primeras computadoras se hicieron a base de interruptores 0 o 1 8

8

6

4

0

9

0

9 0

9e0

4

0

0

0e1

6

0

0

0

0

0

0

0

4e2 6e3

8e4

Símbolos para Base 2: 0,1 1

0 0

1

0

)2 0x20 = 0 1x21 = +2

2)10

111011)2 = 59)10 ¿Cómo se representa un número negativo en binario? 0 para positivos y 1 para negativos en el bit de la izquierda ¿Cuantos números podemos representar con?: 7 dígitos binarios: 128 del -64 a 63 8 dígitos binarios: 256 del -128 a 127 16 dígitos binarios: 65536 del -32768 a 32767

ITT/Ing. Electrónica/Análisis Numérico/4 Sem/Funciones para casos Especificos/18 Feb 09/Cat. Ing. Angélica Granados Sánchez/Alm. Mario Merino Márquez/07360703

1.- Iniciamos la práctica creando un nuevo Mfile. Para esto en la ventana principal de MATLAB damos click en File  New  Mfile 2.- Después escribimos el programa para obtener las raíces de la ecuación cuadrática general. -b ± 2b2+4ac2a “Ecuación de la forma  ax2 + bx + c = 0”

a=input(‘valor a= ‘); b=input(‘valor b= ‘); c=input(‘valor c= ‘); r1=(-b+(sqrt((b*b)-4*a*c)))/(2*a); r2=(-b-(sqrt((b*b)-4*a*c)))/(2*a); disp (‘Resultado 1= ‘) disp(r1) disp(‘Resultado 2= ‘) disp(r2)

3.- Después creamos la carpeta c:\MATLAB \mfiles y ahí guardamos nuestro programa con el nombre de fgral1. 4.- Una vez creada la carpeta mfiles donde guardaremos nuestros programas, nos dirigimos a Filesetpath y elegimos la carpeta mfiles q acabamos de crear dando click en Add Folder, damos click en save y cerramos. De esta manera cada q escribamos el nombre de nuestro programa en la ventana de comandos se iniciará. 5.- Nos dirigimos a la ventana de comandos y dentro de ella escribimos el nombre de nuestro programa.

>>fgral1 Valor a= 1 Valor b= 1000.001 Valor c= 1 Resultado 1= -1e-3 Resultado 2 = -1000 >>fgral1 Valor a= 1 Valor b= -1000.001 Valor c= 1 Resultado 1= 1000 Resultado 2 = 1e-3

ITT/Ing. Electrónica/Análisis Numérico/4 Sem/Estructuras de Control/25 Feb 09/Cat. Ing. Angélica Granados Sánchez/Alm. Mario Merino Márquez/07360703

1.- Iniciamos la práctica creando un nuevo Mfile. Para esto en la ventana principal de MATLAB damos click en File  New  Mfile

IF/THEN Pseudocódigo IF condición THEN Bloque Verdadero END IF

MATLAB If b>0 R1=-c/b; end

Ejemplo 1: c = input(‘valor c= ‘); b = input(‘valor b= ‘); if b>0 r1 = -c/b; disp (r1) end

Ejemplo 2: a = input(‘valor a= ‘); if a>0 disp(‘valor positivo’) disp(a) end

IF/THEN/ELSE Pseudocódigo IF condición THEN Bloque verdadero Else Bloque Falso

MATLAB If a<0 b = sqrt(abs(a));

else b = sqrt(a); end Ejemplo 1: a = input(‘valor a= ‘); if a<0 b=sqrt(abs(a)); disp(b) else b=sqrt(b); disp(b) end

Ejemplo 2: a = input(‘valor a= ‘) if a>0 disp(‘valor positivo’) disp(a) else disp(‘valor negativo’) disp(b) end

IF/THEN/ELSE IF Pseudocodigo IF condición 1 THEN Bloque 1 ELSE IF condición 2 Bloque 2 ELSE IF condición 3 Bloque 3 ELSE Bloque 4 END

MATLAB If class == 1 x=x+8; else if class<1 x=x-8; else if class<10 x=x-32; else

x=x-64; end

Ejemplo 1: x=0; a=input(‘valor a= ‘); if a== 1 x=x+8; disp(x) else if a<1 x=x-8; disp(x) else if a<10 x=x-32; disp(x) else x=x-64; disp(x) end

Ejemplo 2: a=input(‘valor a= ‘); if a== 1 disp(‘a = 1’) else if a<1 disp(‘a es menor q 1’) else disp(‘a es mayor q 1’) end

DO EXIT Pseudocodigo Do Bloque 1 IF condición EXIT Bloque 2 END IF

MATLAB While (1) i=i+1; if i>= 10, break, end

j=i*x; end

Ejemplo: x=2; while (1) i=i+1; if I >= 10, break, end j = i*x; disp(j) end

Loop controlado por contador Pseudocódigo

MATLAB

DO FOR

for i = 1:10:2

Bloque 1 IF condición EXIT END IF

Ejemplo: x=2; for i =1:10:2 x=x*i; disp(x) end

x = x*i; end

ITT/Ing. Electrónica/Análisis Numérico/4 Sem/Representación del Punto Flotante/2 Mar 09/Cat. Ing. Angélica Granados Sánchez/Alm. Mario Merino Márquez/07360703

Palabra – Unidad fundamental con la que se representan números en la computadora.

Representación del punto flotante. m . be Donde: m = mantisa b = base e = exponente Mantisa  expresa la parte entera del número. Número significativo. Base  sistema numérico empleado Exponente  notación científica o posición del punto. Ejemplo: 156.78 Mantisa = 15678 Base = 10 Exponente = 0.15678 x103 Normalizar  no dejar ceros después del punto Ejemplo:

0.0938  0.9380 x10-1

Calculo de número hipotético con punto flotante.

Signo

2

2

1

0

2-1

2-2

signo del exp

2-3

mag del exp

mantisa

1b≤m<1 Binario 0.1≤m<1 Decimal 0.5≤m<1

Cantidad más pequeña que se puede representar  0.5 x 2-3 =(0.5)(0.125) = 0.0625 0111101

0.078125

0111110

0.093750

0111111

0.109375

0110100

0.125000

0110101

0.156250

0110110

0.187500

0110111

0.218750

0101100

0.250000

0101101

0.312500

0101110

0.376000

0101111

0.437500

0100100

0.500000

0100101

0.625000

0100110

0.750000

0100111

0.875000

0001100

1

0001101

1.250000

0001110

1.512000

0001111

1.750000

0010100

2

0010101

2.500000

0010110

3

0010111

3.500000

0011100

4

0011101

5

0011110

6

0011111

7

ITT/Ing. Electrónica/Análisis Numérico/4 Sem/Redondeo/3 Mar 09/Cat. Ing. Angélica Granados Sánchez/Alm. Mario Merino Márquez/07360703

Redondeo  Aproxima al punto medio mas cercano

Π = 3.14159265358 Corte = 3.141592 Redondeo = 3.141593 Épsilon de la maquina |∆x|x≤ξ ξ = Nos dice que tanto nos desviamos del valor real ε=b1-t b = base t= numero de dígitos significativos

Ejemplo: 0.031250.125=0.25 ε=21-3=0.25 0.25≤0.25

ITT/Ing. Electrónica/Análisis Numérico/4 Sem/Errores/4 Mar 09/Cat. Ing. Angélica Granados Sánchez/Alm. Mario Merino Márquez/07360703

1.- Iniciamos la práctica creando un nuevo Mfile. Para esto en la ventana principal de MATLAB damos click en File  New  Mfile 2.- Creamos un programa el cual sumase 100000 veces 0.00001: Usando todas las cifras decimales posibles:

format long bitmax a=0; for i=0:100000 a=a+0.00001; double(a) end

El resultado fue a=1.000009999998084 Usando una precisión simple tenemos: format short bitmax a=0; for i=0:100000 a=a+0.00001; double(a) end

El resultado fue a=1.0000 3.- Creamos un programa el cual calculara las raíces de una ecuación de la forma ax2+bx+c=0 donde: a=1 b=3000.001 y c=3 Usando todas las cifras decimales posibles:

format long bitmax a=input('valor a= '); b=input('valor b= '); c=input('valor c= '); r1=(-b+(sqrt((b*b)-4*a*c)))/(2*a); r2=(-b-(sqrt((b*b)-4*a*c)))/(2*a); double (r1) double (r2)

El resultado fue

r1 = -9.999999999763531e-004 r2 = -3000

Usando una precisión simple tenemos: format short bitmax a=input('valor a= '); b=input('valor b= '); c=input('valor c= '); r1=(-b+(sqrt((b*b)-4*a*c)))/(2*a); r2=(-b-(sqrt((b*b)-4*a*c)))/(2*a); double (r1) double (r2)

El Resultado fue: r1 = -0.0010 r2 = -3.0000e+003

ITT/Ing. Electrónica/Análisis Numérico/4 Sem/Error Numérico Total y Propagación de Errores/4 Mar 09/Cat. Ing. Angélica Granados Sánchez/Alm. Mario Merino Márquez/07360703

Error Numérico Total Es la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo Mayor numero de cálculos

Mayor el error de redondeo Hoy en día las computadoras manejan una gran cantidad de cifras significativas lo que reduce el error de redondeo, aunque no se debe de olvidar su aporte al error total.

Propagación de errores En muchos casos podrá plateársenos el problema de acceder a mediciones de ciertas magnitudes a través de otras en forma indirecta, ya sea por no poseer los instrumentos adecuados o por solo poseer una expresión matemática a través de la cual se la define cuantitativamente. Ejemplo: El volumen de un cuerpo En cuanto menor sea el número de pasos intermedios que efectuemos para alcanzar la solución, menor será el error cometido. Ejemplo: Ley de coulomb F=q2 q14πεr2 q1 = 76 µF q2 = -15nC r = 2 cm ξ=8.85419 x 10-12 = 1 x 10-936π F1 = -25.65 N F2 = -25.61451628 N

ITT/Ing. Electrónica/Análisis Numérico/4 Sem/Unidad 3 – Solución de Ecc. Algebraicas/4 Mar 09/Cat. Ing. Angélica Granados Sánchez/Alm. Mario Merino Márquez/07360703

x=-b±2b2-4ac2a (ecc. 1) Resuelve f(x) = ax2 + bx + c = 0 (ecc. 2) A los valores encontrados con (ecc.1) que resuelve (ecc2) se les llama “raíces”

Ejemplo de otras ecc. Donde es difícil encontrar la raíz. F(x)=ex – x – – –

Métodos para obtener raíces: * Método Grafico * A prueba y error

2da Ley de Newton: v=gmc1-e-cmt Despejando c (coeficien=te de arrastre) tenemos: fc=gmc(1-e-cmt)-V=0 (Ecc. 3)

Antecedentes Matemáticos: Por definición una función dada por y=f(x) es algebraica si se expresa de la forma: fnyn+fn-1yn-1+…+f1y+fo=0 Donde fi es un polinomio de i-esimo orden de x. Los polinomios son un tipo de funciones algebraicas representadas por: fnx=a0+a1x+a2x2+…+anxn n es el orden del polinomio y las a son constantes: Ejemplo: F2(x)=1 - 2.37x + 7.5x^2

Funciones Trascendentes Son funciones que no son algebraicas Ejemplo: Trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc. Ejemplo: f(x)=lnx^2 – 1 f(x)=e^-0.2x*sen(3x-0.5) Los métodos numéricos se estudian para encontrar raíces que se encuentran en 2 áreas de problemas relacionados fundamentalmente distintos:

1- La determinación de raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentes 2- La determinación de todas las raíces reales y complejas del polinomio.

Método Grafico. Utilice el método grafico para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m=68.1 kg tenga una velocidad de v=40 m/s después de una caída libre de t=10s la aceleración de la gravedad g=9.81 m/s^2

c

f( c ) 2 45.007 4 34.19 8 17.712 12 6.1139 16 -2.23 20 -8.368 c = 14.8011 aprox cuando f( c)=0

Método de Bisección Si f(x) es real y continua en el intervalo que va desde XL hasta Xn y f(XL) y f(Xu) tienen signos opuestos, es decir f(XL)f(Xu)<0 entonces hay al menos una raíz entre XL y Xu. El método de bisección conocido también como de corte binario, de partición de intervalos o de Bolzano es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. Xr = (XL + Xu)/2

ITT/Ing. Electrónica/Análisis Numérico/4 Sem/Bisección y Falsa Posición/4 Mar 09/Cat. Ing. Angélica Granados Sánchez/Alm. Mario Merino Márquez/07360703

Método de Bisección Algoritmo: 1- Elija los valores inferiores, XL y superior Xu, que encierren la raíz de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo, esto se verifica comprobando que f(XL)f(Xu)<0 2- Una aproximación de la raíz, Xr, se determina mediante: Xr=(XL+Xu)/2 3- Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo esta la raíz. a) Si f(XL)f(Xu)<0 entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo izquierdo o inferior, por lo tanto haga Xu=Xr y vuelva al paso 2. b) Si f(XL)f(Xu)>0 entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto haga XL=Xr y vuelva al paso 2. c) Si f(XL)f(Xu)=0 la raíz es igual a Xr, termina el calculo.

Ejemplo:

# Iteracion

XL

Xu

Xr

Ea

1 2

4 12

20 20

12 16

3

12

16

14

4

14

16

15

5

14

15

14.5

6

14.5

15

14.75

7

14.75

15

14.875

8

14.75

14.875

14.8125

9

14.8125

14.875

14.84375

14.84375

14.82812 5

10

14.8125

100% 25 14.28571 43 6.666666 67 3.448275 86 1.694915 25 0.840336 13 0.421940 93 0.210526 32 0.105374 08

Método de la falsa posición – Interpolación Lineal

Usando triángulos semejantes la intersección de la línea recta con el eje x se calcula por: f(XL)Xr-XL=f(Xu)Xr-Xu Despejando Xr tenemos: Xr=Xu-fXu(XL-Xu)fXL-fXu El valor de Xr calculado con la ecuación anterior reemplazara después a cualquiera de los 2 valores iníciales, XL o Xu y da un valor de la función con el mismo signo de f(Xr). De esta manera, los valores XL y Xu, siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idéntico al de la bisección excepto que la ecuación se usa en el paso 2.