Analisis De Sistemas Lineales

´ ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES Ricardo A. Rojas Mario E. Salgado Juan I. Yuz1

´ EDITORIAL. SU REESTE ES UN BORRADOR SUJETO A NEGOCIACION ´ ´ PRODUCCION SOLO PUEDE SER AUTORIZADA POR LOS TRES AUTORES. Versi´on 11 de septiembre de 2003.

Valpara´ıso, Marzo 2002 1 Departamento de Electr´ onica Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Valpara´ıso, CHILE

ii

sistema|textbf Kalman Routh Bode Nyquist

Prefacio La noci´on de sistema resulta sumamente poderosa para la descripci´on, analisis y dise˜ no tanto en ingenier´ıa como en otras a´reas, principalmente porque permite describir en forma abstracta un fen´omeno en base al objetivo que el observador/ingeniero en requiera en cada caso particular. En este texto abordamos el an´alisis de un tipo particular de sistemas, aquellos llamados lineales. Esta propiedad, si bien no es com´ un en sistemas f´ısicos reales, permite hacer uso de una gran gama de herramientas de an´alisis matem´atico, que han demostrado ser de gran utilidad, a pesar de las simplificaciones inherentes involucradas en la representacion lineal de los sistemas. La teor´ıa de los sistemas lineales tuvo un r´apido crecimiento y sostenida consolidaci´on desde mediados del siglo veinte. Este desarrollo fue sustentado por el trabajo pionero de Bode, Routh, Nyquist, Kalman y muchos otros investigadores. Ellos construyeron, a su vez, sobre la teor´ıa matem´atica existente de los siglos pasados en a´reas tan diversas como, por ejemplo, el c´alculo diferencial e integral de Newton, las ecuaciones diferenciales y la teor´ıa de funciones de variables complejas. M´as adelante, el desarrollo y expansi´on de la tecnolog´ıa digital ampliaron el campo de los sistemas lineales hacia los sistemas que operan en tiempo discreto. Nuevas herramientas matem´aticas debieron entonces incorporarse al estudio de los sistemas lineales. Un aspecto de especial relevancia es no perder de vista que el inter´es de la Ingenier´ıa en los sistemas lineales est´a ligado a la posibilidad de emplearlos como modelos suficientemente precisos para describir sistemas reales. El estudiante debe ser advertido al inicio del curso sobre el problema subyacente de fidelidad de la representaci´on final, y el tema debe ser reiterado a lo largo del mismo. Tambi´en es necesario enfatizar que los sistemas reales no son lineales y que la p´erdida de precisi´on al modelarlos como sistemas lineales es usualmente compensada por el traslado del problema a un campo dotado de herramientas matem´aticas. Por otro lado, es conveniente enfatizar que existen sistemas reales, incluso muy b´asicos como aquellos con dispositivos de conmutaci´on, que simplemente no pueden ser modelados como sistemas lineales. Si bien la teor´ıa de los sistemas lineales tiene un inter´es en si misma como objeto de estudio matem´atico, en este libro el enfoque es distinto, m´as orientado al estudiante de ingenier´a: se trata de estudiar esta teor´ıa como un sost´en para el an´alisis, la s´ıntesis y el dise˜ no de sistemas de procesamiento de se˜ nales, de iii

iv sistemas de control autom´atico, sistemas econ´omicos, entre otros. El prop´osito es que el lector, sin abandonar ni menospreciar el rigor requerido por esta teor´ıa, la conciba como una herramienta para entender, analizar y resolver problemas asociados a fen´omenos y sistemas en ingenier´ı. Esto nos parece necesario con el fin de evitar la frecuente confusi´on entre los estudiantes de ingenier´ıa, que lleva a subvertir los roles del problema y la herramienta, y centrar su atenci´on en el rigor matem´atico m´as que en los conceptos y la interpretaci´on de los resultados de la teor´ıa de los sistemas lineales. Pensamos tambi´en que este ´enfasis en los conceptos m´as que en la utiler´ıa matem´atica debe reflejarse en el esfuerzo que se pide a los estudiantes que estudien el tema. Con este objeto, nos parece fundamental el uso extensivo de paquetes de software para simulaci´on, tales como Simulink de Matlab y Simnon . Tambi´en encontramos de especial utilidad el uso de software de matem´atica simb´olica, como Maple y Mathematica . El libro supone que los estudiantes tienen acceso a este tipo de herramientas. Tambi´en suponemos que nuestros lectores tiene una formaci´on matem´atica b´asica previa que incluye conceptos ´ de C´alculo Diferencial, Integral, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Algebra Lineal. La dificultad en ense˜ nar una visi´ on conceptual de los sistemas lineales se refleja en la diversidad de formas y estructuras de los programas de las asignaturas relacionadas, en distintas instituciones en Chile y en el extranjero. En la mayor´ıa de los casos se separa completamente el estudio de sistemas lineales en tiempo continuo y en tiempo discreto. Aunque esto tiene ciertas ventajas, se desprovecha la oportunidad de dar una visi´on unificada de conceptos tales como estabilidad, velocidad, transientes, y estado, entre otros. Con este fin, el texto ha sido organizado de manera que el lector pueda optar entre un enfoque simult´aneo o separado de ambos tipos de sistema, sin perjuicio de lo cual se ha incluido un breve capitulo referido a sistemas hibridos en que se establece claramente una relacion entre ambos. Las consideraciones anteriores han sido los elementos orientadores para este libro. La calidad del resultado de este esfuerzo ser´a juzgada por los lectores.

Ricardo A. Rojas Mario E. Salgado Juan I. Yuz

Valpara´ıso, Agosto de 2000

´Indice general Prefacio

III

1. Aspectos fundamentales 1.1. Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Invarianza en el tiempo . . . . . . . . . . . 1.5. Linealizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Sistema no lineal de tiempo continuo 1.5.2. Sistema no lineal de tiempo discreto 1.6. Problemas para el lector . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

1 1 4 5 8 9 9 12 18

2. Se˜ nales 2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Se˜ nales de tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Escal´on unitario (funci´on de Heaviside) . . . . 2.2.2. Impulso unitario o delta de Dirac . . . . . . . . 2.2.3. Rampa unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Se˜ nales sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. Sinusoidales con amplitud exponencial . . . . . 2.3. Se˜ nales de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Escal´on unitario de tiempo discreto . . . . . . 2.3.2. Impulso unitario discreto o delta de Kronecker 2.3.3. Rampa unitaria de tiempo discreto . . . . . . . 2.3.4. Exponencial de tiempo discreto . . . . . . . . . 2.3.5. Se˜ nales sinusoidales de tiempo discreto . . . . . 2.3.6. Sinusoidales con amplitud exponencial . . . . . 2.4. Problemas para el lector . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 21 21 21 23 24 25 26 27 27 27 28 29 30 31 32

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

3. An´ alisis en tiempo continuo 35 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Ecuaci´on diferencial del sistema (EDS) . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3. La respuesta del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 v

vi

´INDICE GENERAL 3.3.1. Componente homog´enea y componente particular 3.3.2. Frecuencias y modos naturales . . . . . . . . . . 3.3.3. Modos forzantes y modos forzados . . . . . . . . 3.3.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Respuesta a estado inicial y respuesta a entrada 3.4. Respuesta a se˜ nales de prueba . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Respuesta a escal´on unitario . . . . . . . . . . . 3.4.2. Respuesta a impulso unitario . . . . . . . . . . . 3.5. C´alculo de la respuesta v´ıa convoluci´on . . . . . . . . . . 3.6. Problemas para el lector . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

38 40 40 43 44 45 50 50 52 53 57

4. An´ alisis en tiempo discreto 4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ecuaci´on de recursi´on del sistema (ERS) . . . . . . . . . 4.3. La respuesta del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Componente homog´enea y componente particular 4.3.2. Frecuencias y modos naturales . . . . . . . . . . 4.3.3. Modos forzantes y modos forzados . . . . . . . . 4.3.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.6. Respuesta a estado inicial y respuesta a entrada 4.4. Respuesta a se˜ nales de prueba . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Respuesta a escal´on unitario . . . . . . . . . . . 4.4.2. Respuesta a impulso unitario . . . . . . . . . . . 4.5. C´alculo de la respuesta via convoluci´on . . . . . . . . . . 4.6. Problemas para el lector . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

61 61 61 64 65 66 68 71 72 73 76 76 78 79 84

5. An´ alisis bajo excitaciones peri´ odicas 5.1. Se˜ nales Peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Respuesta a entrada sinusoidal. El caso de tiempo continuo . . . 5.3. Series de Fourier para se˜ nales de tiempo continuo . . . . . . . . . 5.3.1. Serie de Fourier trigonom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Serie de Fourier exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Parseval y la energ´ıa de las se˜ nales peri´odicas . . . . . . . 5.4. Respuesta a entradas sinusoidales. El caso de tiempo discreto . . 5.5. Serie de Fourier de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Aplicaci´on de las series de Fourier al an´alisis de sistemas lineales 5.7. Problemas para el lector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 88 92 92 100 102 103 106 110 111

6. An´ alisis bajo excitaciones arbitrarias. La transformada de Fourier 117 6.1. La limitaci´on de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.2. La Transformaci´on de Fourier. El caso del tiempo continuo . . . 117 6.2.1. Parseval y la energ´ıa de las se˜ nales aperi´odicas en tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

´INDICE GENERAL

vii

6.2.2. Aplicaci´on a sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. La funci´on de transferencia y la respuesta en frecuencia . 6.2.4. Filtraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5. Caso singular en la funci´on de transferencia. . . . . . . . . 6.3. La Transformaci´on de Fourier. El caso de tiempo discreto . . . . 6.3.1. Parseval y las se˜ nales aperi´odicas de tiempo discreto . . . 6.3.2. Aplicaci´on a sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3. La funci´on de transferencia y la respuesta en frecuencia . 6.3.4. Filtraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5. Caso singular en la funci´on de transferencia. El caso de los sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Problemas para el lector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124 129 133 137 139 143 144 148 149 150 152

7. An´ alisis bajo excitaciones arbitrarias. La transformada de Laplace 155 7.1. Definici´on de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.2. Aplicaci´on a sistemas lineales: la funci´on de transferencia . . . . 156 7.2.1. Funci´on de transferencia en dominios de Laplace y Fourier 160 7.3. Respuesta a impulso y respuesta a escal´on. . . . . . . . . . . . . 161 7.4. Respuesta a condiciones iniciales y se˜ nales arbitrarias. . . . . . . 166 7.5. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.5.1. An´alisis de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.6. Polos, ceros y la respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.6.1. Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.6.2. Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.6.3. Respuesta inversa o contrarespuesta (undershoot) . . . . . 182 7.6.4. Sistema can´onico de segundo orden . . . . . . . . . . . . . 183 7.7. Problemas para el lector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8. An´ alisis bajo excitaciones arbitrarias. La transformada Zeta 8.1. Definici´on de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Aplicaci´on a sistemas lineales: la funci´on de transferencia . . . 8.2.1. Funci´on de transferencia en dominios de Fourier y Zeta 8.3. Respuesta a impulso y respuesta a escal´on. . . . . . . . . . . . 8.4. Respuesta a condiciones iniciales y excitaciones arbitrarias. . . 8.5. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1. An´alisis de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Polos, ceros y la respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1. Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2. Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.3. Respuesta inversa o contrarespuesta (undershoot) . . . . 8.7. Problemas para el lector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

191 191 192 198 200 203 205 206 210 211 214 215 217

´INDICE GENERAL

viii 9. Representaci´ on de sistemas 9.1. Ideas generales . . . . . . 9.2. Diagramas de Bode . . . . 9.2.1. Tiempo continuo . 9.2.2. Tiempo discreto . 9.3. Diagramas polares . . . . 9.3.1. Tiempo continuo . 9.3.2. Tiempo discreto . 9.4. Diagramas de bloques . . 9.5. Problemas para el lector .

lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

219 219 220 220 231 233 233 244 246 250

10.Representaci´ on en variables de estado. 10.1. Conceptos fundamentales sobre modelos de sistemas. . . . . 10.2. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2. Modelos b´asicos en variables de estado . . . . . . . . 10.2.3. Se˜ nales descritas en espacio de estado . . . . . . . . 10.3. Modelos de estado para sistemas continuos . . . . . . . . . 10.3.1. Linealizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2. Modelos lineales en el espacio de estado . . . . . . . 10.3.3. Transformaciones de similaridad . . . . . . . . . . . 10.3.4. Espacio de estado y funciones de transferencia . . . 10.4. Modelos de estado para sistemas discretos y muestreados . 10.4.1. Linealizaci´on de sistemas discretos . . . . . . . . . . 10.4.2. Sistemas muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3. Modelos de estado lineales . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.4. Transformaciones de similaridad . . . . . . . . . . . 10.4.5. Espacio de estado y funciones de transferencia . . . 10.5. Modelos de estado para sistemas interconectados . . . . . . 10.6. Propiedades de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1. Controlabilidad, Alcanzabilidad y Estabilizabilidad . 10.6.2. Observabilidad, Reconstructibilidad y Detectabilidad 10.6.3. Descomposici´on Can´onica . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.1. Din´amica del observador . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.2. Observadores y ruido de medici´on. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253 253 254 254 255 256 257 258 261 267 270 273 274 274 277 286 286 287 290 290 299 307 309 310 314

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

11.Sistemas h´ıbridos 317 11.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 11.2. Muestreo de se˜ nales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 11.3. An´alisis en frecuencia de se˜ nales muestreadas . . . . . . . . . . . 320

´INDICE GENERAL 12.Modelos 12.1. Ideas generales . . . . . 12.2. Modelado de sistemas de 12.3. Modelado de sistemas de 12.4. Modelado de sistemas de 12.5. Modelado de sistemas de

ix

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tiempo continuo. Teor´ıa b´asica. . . tiempo continuo. Modelos lineales. tiempo discreto. Teor´ıa b´asica. . . tiempo discreto. Modelos lineales.

A. Series de Taylor A.1. Serie de Taylor en una variable A.2. Serie de Taylor en dos variables A.3. El caso general . . . . . . . . . A.4. Algunas reglas pr´acticas para la

. . . . . . . . . . . . . . . . . . expansi´on

. . . . . . . . . . . . . . . en serie

B. Bases matem´ aticas para las Series de Fourier B.1. Espacios vectoriales y bases ortogonales . . . . B.2. Convergencia de las Series de Fourier . . . . . . B.2.1. Convergencia de sucesiones y series . . . B.2.2. Convergencia de las Series de Fourier . . Demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

323 323 324 329 332 336

. . . .

. . . .

. . . .

339 339 340 341 341

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

343 343 347 347 349 357

C. La transformaci´ on de Fourier C.1. Transformaci´on de Fourier en tiempo continuo . . . . . . . C.1.1. Definici´on de la Transformada . . . . . . . . . . . . . C.1.2. Propiedades de la Transformada de Fourier . . . . . C.2. Transformada de Fourier en tiempo discreto . . . . . . . . . C.2.1. Definici´on de la transformada . . . . . . . . . . . . . C.2.2. Propiedades de la transformada de Fourier discreta . Demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2.3. Aspecto pr´actico: la transformada r´apida de Fourier

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

359 359 359 361 374 374 376 380 383 392

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

D. La transformada de Laplace D.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . D.1.1. Definici´on de la Transformada . . . . . . . . D.1.2. Propiedades de la Transformada de Laplace Demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . Demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . Demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . D.1.3. Descomposici´on en fracciones parciales . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

399 399 399 401 407 408 408 416

E. La Transformaci´ on Zeta E.1. Definici´on de la Transformaci´on . . . . E.2. Propiedades de la Transformada Zeta Demostraci´on . . . . . . . . . . Demostraci´on . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

423 423 425 429 430

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

´INDICE GENERAL

x F. Matrices. Definiciones y Propiedades F.1. Conceptos B´asicos . . . . . . . . . . F.2. Determinante de una matriz . . . . . F.3. Operaciones con matrices . . . . . . F.4. Inversa de una matriz . . . . . . . . F.5. Autovalores y autovectores . . . . . F.6. Normas de vectores y matrices . . . F.7. Tipos especiales de matrices . . . . . F.8. Valores singulares . . . . . . . . . . . ´ Indice alfab´ etico

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

435 435 438 441 443 448 457 460 466 471

´Indice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Sistema el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaci´on compacta de un sistema . . . . . . . . . . . . . . Propiedad de invarianza en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama Simulink para simulaci´on de un sistema no lineal. . . Salida del sistema no lineal (linea s´olida) y salida del sistema linealizado (l´ınea segmentada) para una onda cuadrada de amplitud creciente en la entrada (l´ınea punteada) . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ganancia no lineal para el Problema 1.8 . . . . . . . . . . . . . .

2 3 8 16

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

Escal´on unitario o funci´on de Heaviside. . . . . . . . . . . . . . . Impulso unitario o delta de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . Aproximaciones al delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rampa unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponenciales creciente (izquierda) y decreciente (derecha) . . . Exponenciales de diferentes velocidades de decaimiento . . . . . . Propiedad de la constante de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . Se˜ nales sinusoidales con amplitud disminuyendo exponencialmente (izq.) y creciendo exponencialmente (der.) . . . . . . . . . . . . . 2.9. Escal´on unitario de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Impulso unitario discreto o delta de Kronecker . . . . . . . . . . 2.11. Rampa unitaria de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Exponenciales de tiempo discreto, decreciente (izquierda) y creciente (derecha), λ ∈ R+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. Exponenciales de tiempo discreto, decreciente (izquierda) y creciente (derecha), λ ∈ R− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Se˜ nales sinusoidales de tiempo discreto con amplitud variando exponencialmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. Se˜ nales compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 22 22 24 25 25 26

3.1. Red RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Relaci´on entre la ubicaci´on de las frecuencias naturales tiplicidad uno) y los modos naturales . . . . . . . . . . 3.3. Red lineal con condiciones iniciales . . . . . . . . . . . 3.4. Efectos de la invarianza en el tiempo . . . . . . . . . .

36

xi

. . . . . . (de mul. . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 19

27 27 28 29 29 30 32 33

41 47 52

´INDICE DE FIGURAS

xii 3.5. 3.6. 3.7. 3.8.

Ejemplo de descripci´on gr´afica de la convoluci´on . . . Respuesta a escal´on unitario . . . . . . . . . . . . . . . Configuraci´on de frecuencias naturales de dos sistemas Red el´ectrica con amplificador operacional . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4.1. Relaci´on entre la ubicaci´on de las frecuencias naturales (de multiplicidad uno) y los modos naturales (caso decreciente). . . . . . 4.2. Relaci´on entre la ubicaci´on de las frecuencias naturales (de multiplicidad uno) y los modos naturales (caso no decreciente). . . . 4.3. Respuesta a escal´on unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Red resistiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Se˜ nales de entrada y salida en el Ejemplo 5.1 . . . . . . . . . . . 5.2. Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden de tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Se˜ nal cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Espectro de l´ınea de una se˜ nal cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Se˜ nal a la salida de rectificador controlado por tristores . . . . . 5.6. Aproximaci´on de la se˜ nal triangular con la primera y tercera arm´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Espectro de l´ınea de una se˜ nal triangular . . . . . . . . . . . . . 5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Respuesta en frecuencia de un sistema de tercer orden de tiempo continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Comportamiento de un sistema con una excitaci´on peri´odica. . . 5.12. Tren de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Se˜ nales arbitrarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. La funci´on restringida a [a, b] y su reconstrucci´on usando la serie de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Viga cargada con arena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Circuito RC como sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . . 6.5. Magnitud y a´ngulo de H( ω) en el ejemplo (α = 100). . . . . . . 6.6. Sistemas pasa bajos (izquierda) y pasa altos (derecha) . . . . . . 6.7. Respuesta a escalones de un sistema pasa bajos y un sistema pasa altos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Sistemas pasa banda y elimina banda. . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Respuesta a escalones de un sistema pasa banda y un sistema elimina banda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10. Delta de Kronecker y su transformada de Fourier . . . . . . . . . 6.11. Se˜ nal y[t] = (0,8)t µ[t] y la magnitud de Y (ejθ ). . . . . . . . . . . 6.12. Se˜ nal y[t] y su transformada discreta Y (ejθ ). . . . . . . . . . . . 6.13. Respuesta a impulso y a escal´on del ejemplo 6.14 . . . . . . . . .

55 58 58 59 69 70 85 86 91 91 94 95 96 98 98 99 105 111 112 113 118 118 123 126 132 134 135 135 136 141 142 143 147

´INDICE DE FIGURAS

xiii

6.14. Respuesta en frecuencia (magnitud) de un sistema de tiempo discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

Respuestas a impulso y a escal´on en Ejemplo 7.3 . . . . . . . . . ´Indices definidos en la respuesta a escalon . . . . . . . . . . . . . Respuesta a condiciones iniciales para el ejemplo 7.4 . . . . . . . Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pulso de entrada y respuesta del sistema del ejemplo 7.6. . . . . Magnitud y fase de la respuesta en frecuencia del sistema en Ejemplo 7.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. Respuesta a impulso de diferentes sistemas de acuerdo a la ubicaci´on de sus polos en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Sistema con interacci´on aditiva entre dos estados . . . . . . . . . 7.9. Efecto de la ubicaci´on de los ceros sobre la respuesta a escal´on . 7.10. Distintas formas de respuesta inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11. Localizaci´on de los polos y respuesta a escal´on unitario de un sistema can´onico de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164 165 167 168 170

8.1. Salida y[t] para el Ejemplo 8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Relaciones entre ERS, funci´on de transferencia y respuestas a delta y a escal´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Respuesta a delta Kronecker y a escal´on unitario para el Ejemplo 8.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Relaci´on entre la ubicaci´on de los polos (de multiplicidad uno) y los modos naturales (caso decreciente). . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Relaci´on entre la ubicaci´on de los polos (de multiplicidad uno) y los modos naturales (caso no decreciente). . . . . . . . . . . . . . 8.6. Sistema discreto con interacci´on aditiva entre dos estados. . . . . 8.7. Ejemplos de distintas formas de respuesta inversa en sistemas discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

172 179 180 182 183 184 187

198 202 212 213 214 216

9.1. Diagrama de Bode de magnitud para una funci´on tipo [B2], con q = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.2. Diagrama de Bode de fase para una funci´on tipo [B2], con q = −1 223 9.3. Diagrama de Bode de magnitud para una funci´on tipo [B4], con q = −1 y dos valores de ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 9.4. Diagrama de Bode de fase para una funci´on tipo [B4], con q = −1 226 9.5. Diagrama de Bode de fase para una funci´on tipo [B5] . . . . . . . 227 9.6. Diagramas de Bode de magnitud y fase para la respuesta en frecuencia del Ejemplo 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.7. Diagrama de Bode en tiempo discreto (Ejemplo 9.3). . . . . . . . 233 9.8. Diagrama polar. Coordenadas cartesianas (Ejemplo 9.4). . . . . . 235 9.9. Diagrama polar. Coordenadas polar (Ejemplo 9.4). . . . . . . . . 236 9.10. Diagramas polares para el caso [P1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 237 9.11. Diagrama polar de una funci´on tipo [P4] para distintos valores de ξ 238

xiv

´INDICE DE FIGURAS

9.12. Diagrama polar de una funci´on tipo [P6] con T = 1 . . . . . . . . 9.13. a) Diagrama polar de una funci´on tipo [P7] (T = 1 y τ = 2), y b) detalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.14. Diagrama polar de H( ω) para el Ejemplo 9.5. . . . . . . . . . . 9.15. a) Diagrama polar de H( ω) para el Ejemplo 9.6, y b) detalle. . 9.16. Interpretaci´on gr´afica de la respuesta en frecuencia (ejθ − po )−1 . 9.17. Interpretaci´on gr´afica de la respuesta en frecuencia de 1 − zo e−jt . 9.18. Diagrama polar para el Ejemplo 9.7. . . . . . . . . . . . . . . . . 9.19. Sistemas a interconectar. Caracterizaci´on independiente . . . . . 9.20. Sistemas interconectados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.21. Diagramas de Bode de H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.22. Diagramas de Bode de G(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.23. Diagramas de Bode de G(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

240 240 242 243 244 245 246 247 247 251 251 252

10.1. Sistema masa-resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.2. Levitador electromagn´etico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.3. Respuesta homog´enea del sistema masa-resorte-roce. . . . . . . . 264 10.4. Trayectorias en el espacio de estado del sistema masa-resorte-roce. 265 10.5. Resonancia en el sistema masa-resorte. . . . . . . . . . . . . . . . 268 10.6. Red el´ectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 10.7. Esquema de un sistema muestreado . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 10.8. Respuesta a escal´on del sistema para diferentes autovalores. . . . 282 10.9. Resonancia en la salida del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . 283 10.10.Efecto del muestreo en los modos naturales . . . . . . . . . . . . 284 10.11.Sistema t´ermico con retardo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.12.Conexi´on de sistemas en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 10.13.Conexi´on de sistemas en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 10.14.Conexi´on de sistemas en realimentaci´on (feedback ) . . . . . . . . 289 10.15.Circuito electr´onico para el Ejemplo 10.19. . . . . . . . . . . . . . 293 10.16.Circuito electr´onico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 10.17.Estructura de un sistema de acuerdo a su controlabilidad y observabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 10.18.Observador del estado cl´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 10.19.Error de estimaci´on del estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 10.20.Sistema rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 10.21.Caracter´ıstica de filtraje de los observadores . . . . . . . . . . . . 315 11.1. Proceso de muestreo y cuantizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 11.2. Muestreo a diferentes frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 11.3. Error de reconstrucci´on usando interpolaci´on c´ ubica. . . . . . . . 320 12.1. Estimaci´on por m´ınimos cuadr´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . 326 12.2. Estimaci´on por m´ınimos cuadr´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . 333 A.1. Aproximaci´on de primer orden para funci´on no lineal de una variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

´INDICE DE FIGURAS 1 C.1. Pulso y su transformada para ∆ = 1, 41 , 16 . . . . . . . . . C.2. Espectro de una se˜ nal de frecuencias audible y espectro se˜ nal modulada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.3. Tren de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.5. Se˜ nal cosenoidal y[k] y su transformada discreta. . . . . . C.6. Secuencia y[k] = k(0,8)k µ[k] y la magnitud de su TFD. . . C.7. Comparaci´on N 2 (x) y N log2 N (’*’) . . . . . . . . . . . C.8. Primera etapa de la FFT para N = 8 . . . . . . . . . . . . C.9. Primera y segunda etapa de la FFT para N = 8 . . . . . C.10.Las tres etapas de la FFT para N = 8 . . . . . . . . . . .

xv . . . . de la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

360 364 365 366 379 384 395 396 397 398

D.1. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

xvi

´INDICE DE FIGURAS

´Indice de cuadros 3.1. Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta . . . . . 3.2. Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta del Ejemplo 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 46

4.1. Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta . . . . . 73 4.2. Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta del ejemplo 75 5.1. Amplitud y fase de las arm´onicas en el Ejemplo 5.8. . . . . . . . 111 7.1. ´Indices de la respuesta a escal´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2. Arreglo de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.1. Arreglo de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.2. Arreglo de Jury. Ejemplo 8.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.3. Arreglo de Jury. Ejemplo 8.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.1. Aproximaciones asint´oticas de magnitud de factores b´asicos . . . 9.2. Aproximaciones asint´oticas de fase de factores b´asicos . . . . . . 9.3. Contribuci´on de pendientes entre puntos de quiebre. Diagrama de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Contribuci´on de pendientes entre puntos de quiebre. Diagrama de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Diagramas de bloques y transferencias equivalentes . . . . . . . .

228 229

C.1. C.2. C.3. C.4.

388 389 390 391

Propiedades de la transformada de Fourier. . . . . . Tabla de tranformadas de Fourier . . . . . . . . . . Propiedades de la transformada de Fourier discreta. Tabla de tranformadas de Fourier discretas . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

230 230 249

D.1. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 414 D.2. Transformadas de Laplace de algunas funciones simples . . . . . 415 D.3. Transformadas inversas de Laplace u ´tiles . . . . . . . . . . . . . . 421 E.1. Propiedades de la transformada Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . 433 E.2. Transformada Zeta de algunas funciones simples . . . . . . . . . 434 xvii

xviii

´INDICE DE CUADROS

sistema entrada condiciones iniciales

Cap´ıtulo 1

Aspectos fundamentales 1.1.

Sistemas

La entidad b´asica considerada a lo largo del texto es el sistema. Como una forma de uniformar el lenguaje a utilizar, usaremos la siguiente definici´on: Definici´ on 1.1. Un sistema es un ente organizado, resultante de la interconexi´ on de elementos b´ asicos, que seg´ un el juicio de un observador tiene una finalidad y car´ acter determinado. 222 Esta definici´on es vaga a prop´osito, de modo que ella permita describir situaciones tan dis´ımiles como sea posible. Es as´ı como la definici´on de arriba incluye casos como los de una red el´ectrica, un motor hidr´aulico, un organismo vivo, la econom´ıa de un pa´ıs, etc. Tambi´en es relevante destacar que un mismo sistema f´ısico puede tener inter´es diferente para distintos observadores; por ejemplo, un amplificador electr´onico puede ser estudiado como un sistema el´ectrico o como un sistema t´ermico. De esta forma la nocion de sistema resulta un tanto abstracta, pero por lo mismo sumamente poderosa. Nuestra tarea guarda relaci´on con el comportamiento de los sistemas en el tiempo, el cual depende de: y este comportamiento no s´olo depende , sino que tambi´en de: los elementos que lo forman y su interconexi´on, descritos mediante un modelo matem´ atico; los est´ımulos, entradas o excitaciones aplicados al sistema; la historia del sistema, condensada en un conjunto de condiciones iniciales; la variable independiente tiempo (cuando los elementos del sistema y/o la interconexi´on de ellos cambian a medida que el tiempo transcurre). 1

CAP´ITULO 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES

2 se~ nales respuestas sistema!din´ amico

Las entradas al sistema son se˜ nales o funciones temporales a trav´es de las cuales el sistema recibe informaci´on y/o energ´ıa. Estos est´ımulos contribuyen a generar cambios en algunas o en todas las variables del proceso; estas u ´ltimas tambi´en son se˜ nales puesto que pueden ser descritas como funciones del tiempo. Las se˜ nales del proceso elegidas para observar el comportamiento del sistema se conocen como respuestas. Las respuestas de un sistema pueden depender tambi´en de la informaci´on y/o energ´ıa existentes (almacenadas) en el sistema en el instante en que el comportamiento del sistema empieza a ser observado. Los sistemas con esta caracter´ıstica inercial se denominan gen´ericamente sistemas din´ amicos. Ejemplos de mecanismos inerciales en sistemas son: la velocidad inicial de un motor el valor inicial de una variable en un computador la temperatura inicial de una masa la tensi´on inicial en un condensador. Supongamos que deseamos conocer las respuestas en un sistema dado, a partir de un instante inicial to . Entonces ser´a suficiente conocer ciertas variables (estado) del sistema en t = t0 , y las excitaciones ∀t ≥ to . Para ilustrar estas ideas analizaremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.1. Consideremos la red el´ectrica de la Figura 1.1. R + vf (t)

C

vc (t)

i(t) Figura 1.1: Sistema el´ectrico Esta red es un sistema el´ectrico formado por la interconexi´ on de un resistor y un condensador (los elementos). Hay una entrada al sistema determinada por la tensi´ on aplicada a trav´es de la fuente independiente de tensi´ on. Como salida se puede elegir cualquier se˜ nal el´ectrica, como por ejemplo, la potencia disipada en el resistor, la corriente en el circuito, la tensi´ on en el condensador, etc. En la Figura 1.1 se han indicado dos se˜ nales, i(t) y vc (t), que han sido elegidas como respuestas del sistema. Para determinar el valor de estas se˜ nales ∀t ≥ 0, necesitamos conocer vf (t) ∀t ≥ to y vc (0). 222 Para representar un sistema en forma compacta usaremos el diagrama de la Figura 1.2. En esa figura se ha usado la siguiente notaci´on:

1.1. SISTEMAS u(t) ∈ Rm x(to ) ∈ Rn y(t) ∈ Rp

3 : vector que re´ une todas las excitaciones del sistema, : vector que describe el estado del sistema al tiempo to , : vector que re´ une las se˜ nales escogidas como salidas.

u(t)

operador estado inicial

y(t)

S x(to ) Figura 1.2: Representaci´on compacta de un sistema Para representar gen´ericamente al sistema usaremos la notaci´on: y(t) = Thhx(to ), u(t)ii

∀t ≥ to

(1.1)

En (1.1), Thh◦, ◦ii es un operador que describe formalmente la dependencia que la salida y(t) tiene del estado inicial, x(to ), y de la entrada u(t). Este operador puede ser variante en el tiempo. Ejemplo 1.2. En el Ejemplo 1.1 se tiene que: vf (t) = RC

dvc (t) + vc (t) dt

(1.2)

cuya soluci´ on es1 : vc (t) = vc (to )e−

t−to RC

+

Z

t to

t−η

e− RC vf (η)dη RC

(1.3)

Entonces, si hacemos la asociaci´ on y(t) = vc (t), u(t) = vf (t) y x(to ) = vc (to ), la ecuaci´ on (1.3) puede ser identificada con (1.1), es decir, vc (t) = Thhvc (to ), vf (t)ii

∀t ≥ to

(1.4)

222 Las definiciones precedentes se aplican tambi´en a los sistemas de tiempo discreto, es decir, cuando el tiempo toma valores en un conjunto enumerable (t0 , t1 , t2 , . . .). En este tipo de sistemas, la variable independiente temporal se suele denominar t, y para enfatizar la naturaleza distinta de las se˜ nales de tiempo discreto, usaremos par´entesis cuadrados, es decir, f [t] describir´a una se˜ nal funci´on de la variable temporal discreta. Para ilustrar este tipo de sistemas consideremos el siguiente ejemplo. 1 Tal

como se demostrar´ a en el Cap´ıtulo 3.

CAP´ITULO 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES

4 sistema!algebraico modelo modelo

Ejemplo 1.3. Una cuenta de ahorro tiene un saldo inicial s[t0 ] = so , y recibe un inter´es igual a ρ % mensual. Si en el mes t-´esimo (t = t0 , t0 + 1, . . .) se hace un dep´ osito igual a d[t], entonces el saldo s[t] puede ser descrito por:  ρ  + d[t] ∀t ≥ t0 (1.5) s[t] = s[t − 1] 1 + 100 y sujeto a s[t0 ] = so . En este sistema, la entrada es d[t], la salida es s[t], y el estado inicial es s[t0 ]. La ecuaci´ on (1.5) tiene como soluci´ on: s[t] = so αt−t0 +

t X

αt−` d[`]

`=t0 +1

∀t > t0

(1.6)

aloga a la de La ecuaci´ on (1.6) puede ser asociada con una estructura an´ (1.1), es decir: y[t] = Thhx[t0 ], u[t]ii

∀t ≥ t0

(1.7) 222

Existe una clase de sistemas en los cuales no hay elementos almacenadores de energ´ıa. Estos sistemas se conocen como sistemas algebraicos o instant´aneos. Ejemplos cl´asicos de estos sistemas son las redes el´ectricas resistivas. Para ellos la representaci´on (1.1) se reduce a: y(t) = Thhu(t)ii

o

y[t] = Thhu[t]ii

(1.8)

En estricto rigor, todos los sistemas reales son sistemas din´amicos. Sin embargo, puede ocurrir que para un observador, la escala de tiempo es tal que, desde el punto de vista pr´actico, los fen´omenos ocurren en forma instant´anea. En esos casos, para efectos pr´acticos, el sistema se representa a trav´es de un modelo algebraico.

1.2.

Modelos

Cuando se enfrenta el problema de analizar un sistema, naturalmente no trabajamos con el sistema real, sino que con una representaci´on de ese sistema. Esa representaci´on o modelo, captura aspectos esenciales del sistema. Por definici´on, un modelo es una representaci´on aproximada de la realidad, y su grado de fidelidad depende de muchos factores, siendo uno de ellos el prop´osito del modelo. La construcci´on de modelos a partir de sistemas reales es un proceso complejo que involucra la fenomenolog´ıa del sistema, mediciones, procesos de ajuste, etc. La obtencion de modelos es, por si sola, una disciplina rica en conceptos y t´ecnicas, sobre las cuales se entregan mas antecedentes en el Cap´ıtulo 12. A lo largo del texto, supondremos que ya se cuenta con un modelo que describe el sistema y, en consecuencia, la teor´ıa que aqu´ı se desarrolla se aplica al modelo del sistema bajo estudio. El que las conclusiones que as´ı se deriven

1.3. SISTEMAS LINEALES

5

sean v´alidas para el sistema mismo depender´a de la fidelidad con que el modelo representa a ese sistema. En muchos casos hablaremos del modelo y del sistema como sin´onimos, en otros ser´a necesario hacer la diferencia.

1.3.

Sistemas lineales

Los sistemas lineales son un subconjunto del universo de los sistemas. Su importancia radica en la conjunci´on de dos elementos: muchos sistemas pueden representarse por modelos lineales de razonable fidelidad; y existen poderosas herramientas para analizar y sintetizar este tipo de sistemas. La naturaleza de esta conjunci´on se ir´a apreciando a medida que progresemos en el tema. No obstante ello, una visi´on temprana de estas razones se puede apreciar de inmediato en las definiciones que siguen. Definici´ on 1.2. Consideremos un sistema S, como se describe en la Figura 1.2 y la ecuaci´ on (1.1). Supongamos adem´ as que el sistema cumple con: y1x (t) = Thhx1 (to ), 0 i y1u (t) = Thh0, u1 (t)ii y2x (t) = Thhx2 (to ), 0 i y2u (t) = Thh0, u2 (t)ii

∀t ≥ to ∀t ≥ to ∀t ≥ to ∀t ≥ to

(1.9) (1.10) (1.11) (1.12)

donde x1 (to ) y x2 (to ), son dos vectores de estado inicial arbitrarios,y u1 (t) y u2 (t) son dos vectores de entrada arbitrarios. Entonces el sistema es lineal si y s´ olo si: y(t) = Thhα1 x1 (to ) + α2 x2 (to ), β1 u1 (t) + β2 u2 (t)ii ∀t ≥ to (1.13) = α1 Thhx1 (to ), 0 i + α2 Thhx2 (to ), 0 i + β1 Thh0, u1 (t)ii + β2 Thh0, u2 (t)ii (1.14) = α1 y1x (t) + α2 y2x (t) + β1 y1u (t) + β2 y2u (t)

(1.15)

para cualquier conjunto de constantes α1 , α2 , β1 y β2 . 222 En la definici´on precedente se han combinado las dos propiedades claves que definen los sistemas lineales: superposici´ on y homogeneidad. La propiedad de superposici´on encierra la idea que la salida del sistema se puede calcular separando los efectos de componentes del estado y/o componentes de la salida, y luego sumando (superponiendo) las respuestas a cada uno de esos componentes. Note que existen tres formas en que se puede presentar la superposici´on:

sistemas lineales superposici\’on homogeneidad

6 sistema!algebraico

CAP´ITULO 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES superposici´on de la entrada y el estado inicial, es decir Thhx(to ), u(t)ii = Thhx(to ), 0 i + Thh0, u(t)ii

(1.16)

superposici´on de componentes del estado inicial, es decir Thhx1 (to ) + x2 (to ), 0 i = Thhx1 (to ), 0 i + Thhx2 (to ), 0 i

(1.17)

superposici´on de componentes de la entrada, es decir Thh0, u1 (t) + u2 (t)ii = Thh0, u1 (t)ii + Thh0, u2 (t)ii

(1.18)

Por su parte, la idea de homogeneidad se expresa en que, en los sistemas lineales, la proporcionalidad en la entrada y/o el estado se propaga a la salida sin alteraci´on, es decir Thhαxo , 0 i = αThhxo , 0ii Thh0, βu(t)ii = βThh0, u(t)ii

(1.19) (1.20)

La ecuaci´on (1.19) describe la homogeneidad respecto del estado inicial, mientras que la ecuaci´on (1.20) describe la homogeneidad respecto de la entrada. Para los sistemas algebraicos las propiedades de homogeneidad y superposici´on se aplican s´olo a la entrada del sistema, es decir y(t) = Thhβ1 u1 (t) + β2 u2 (t)ii = β1 Thhu1 (t)ii + β2 Thhhu2 (t)ii

(1.21)

En resumen, podemos afirmar que la propiedad de linealidad nos permite descomponer el efecto de una combinacion lineal de entradas y condiciones iniciales como la combinacion lineal de sus efectos individuales. Para ilustrar las definiciones anteriores consideramos a continuacion algunos ejemplos. Ejemplo 1.4. Considere un sistema algebraico cuya relaci´ on entrada-salida est´ a dada por: y(t) = Thhu(t)ii = 2|u(t)|

(1.22)

El sistema es lineal si y s´ olo si la condici´ on (1.21) se cumple para toda elecci´ on de las constantes β1 y β2 . Es f´ acil observar que si, por ejemplo, elegimos β1 = −1 y β2 = 0, tal condici´ on no se cumple, ya que: y(t) = Thh−u1 (t)ii = 2|u1 (t)| 6= −2|u1 (t)| = −Thhu1 (t)ii

(1.23)

En consecuencia, el sistema (1.22) no es lineal. 222

1.3. SISTEMAS LINEALES

7

Ejemplo 1.5. Sea un sistema cuya relaci´ on entrada-salida est´ a descrita por: dy(t) n = (u(t)) dt

sujeto a y(to ) = xo

Entonces, el estado inicial x(to ) es xo y la respuesta resulta: Z t n (u(η)) dη ∀t ≥ to y(t) = Thhxo , u(t)ii = xo +

(1.24)

(1.25)

to

Note que, de la ecuaci´ on (1.25), se ve que el efecto de la entrada y el efecto de la condici´ on inicial se pueden superponer, ya que:

y(t) = yx (t) + yu (t)

( yx (t) yu (t)

Rt n = Thh0, u(t)ii = to (u(η)) dη = Thhxo , 0 i = xo

(1.26)

Consideremos ahora el caso del estado inicial x(to ) = xo = α1 x1 (to ) + α2 x2 (to ), con u(t) = 0; entonces la respuesta y(t) = yx (t) est´ a dada por: y(t) = α1 x1 (to ) + α2 x2 (to ) = α1 Thhx1 (to ), 0 i + α2 Thhx2 (to ), 0 i

(1.27)

De la ecuaci´ on (1.27) se comprueba que el sistema tiene la propiedad de superposici´ on de las componentes del estado. Naturalmente que tiene adem´ as la propiedad de homogeneidad del estado. Finalmente analizamos el caso donde x1 (to ) = x2 (to ) = y(to ) = 0, y u(t) = β1 u1 (t) + β2 u2 (t), la respuesta y(t) = yu (t) est´ a entonces dada por: Z t n (β1 u1 (η) + β2 u2 (η)) dη ∀t ≥ to (1.28) y(t) = to

De esta ecuaci´ on se puede ver que la propiedad de superposici´ on de las componentes de la entrada se cumple si y s´ olo si n = 1. Igual condici´ on, necesaria y suficiente, se aplica para la homogeneidad de la entrada. Resumiendo, el sistema del ejemplo tiene las siguientes caracter´ısticas: tiene la propiedad de superposici´ on del estado y de la entrada; tiene la propiedad de superposici´ on y homogeneidad del estado; tiene la propiedad de superposici´ on y homogeneidad de la entrada si y s´ olo si n = 1. En consecuencia, el sistema del ejemplo es lineal si y s´ olo si n = 1. 222 El lector debe tener claro que la propiedad de linealidad (o no linealidad) de un sistema dado no es necesariamente una propiedad intr´ınseca de ese sistema, sino que puede depender de la elecci´on de la variable de salida, y/o de la variable

integrador

CAP´ITULO 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES

8

de entrada. Para visualizar esto, supongamos que en la ecuaci´on (1.24) definimos 4

n

como entrada la se˜ nal u ˜(t) = (u(t)) . Entonces es f´acil demostrar que el sistema con entrada u ˜(t) y salida y(t) es lineal. Se puede construir un segundo ejemplo a partir de la red el´ectrica de la Figura 1.1 en la p´agina 2. Supongamos que escogemos como salida la potencia p(t) disipada en el resistor. Entonces, el modelo de entrada-salida resulta dado por: r Z p p(τ ) 1 t vf (t) = p(t)R + dτ (1.29) C −∞ R donde hemos usado la ley de Joule p(t) = R(i(t))2 . La discusi´on precedente nos motiva a introducir una nota de cautela en esta materia

La linealidad o no linealidad de un sistema debe entenderse como la linealidad o no linealidad del modelo espec´ıfico que relaciona la entrada y la salida particulares elegidas en el sistema.

1.4.

Invarianza en el tiempo

Otra propiedad de inter´es es la de invarianza en el tiempo. Un sistema es invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema no cambian en el tiempo, es decir, cuando se cumple la situaci´on de la Figura 1.3, para cualquier valor del desplazamiento τ .

u(t)

S x(0) = xo

y(t)

u(t − τ )

invarianza en tiempo

S

y(t − τ )

x(τ ) = xo

Figura 1.3: Propiedad de invarianza en el tiempo En palabras, la Figura 1.3 dice que si retardamos la entrada (y las condiciones iniciales) la respuesta es la misma que antes, retardada en la misma cantidad. En rigor, no existen los sistemas invariantes en el tiempo, excepto en su expresi´on matem´atica pura. Sin embargo, es frecuente que la variaci´on que experimenta un sistema dado con el transcurso del tiempo sea tan lenta, que se considera despreciable para todo efecto pr´actico. Otro aspecto a observar es que la invarianza en el tiempo (al igual que la linealidad) no es necesariamente una propiedad intr´ınseca de un sistema. Consideremos el caso de un sistema con entrada u(t) ∈ R y salida y(t) ∈ R,

´ 1.5. LINEALIZACION

9

donde y(t) = 4u(t) − f (t), donde f (t) es una funci´on (no constante) del tiempo. Entonces este sistema es variante en t. Sin embargo, si redefinimos el mismo sistema de modo que la entrada es ahora el vector u ˜(t) ∈ R2 , dado por u ˜(t) = T ˜ donde α es [u(t) f (t)] y mantenemos la salida y(t) ∈ R, entonces y(t) = αu(t), un vector fila constante dado por α = [4 − 1]. El sistema as´ı definido es ahora invariante en t.

La propiedad de invarianza en el tiempo, en conjunto con la propiedad de linealidad, son las que permiten aplicar una serie de potentes herramientas de an´alisis, s´ıntesis y dise˜ no de sistemas.

1.5.

Linealizaci´ on

Como hemos mencionado ya, casi todos los sistemas reales incluyen caracter´ısticas no lineales. Sin embargo, muchos de ellos pueden ser descritos con razonable precisi´on por modelos lineales, al menos dentro de ciertos rangos en que el sistema funciona, lo cual permite aplicar una amplia gama de herramientas matem´aticas. Del punto de vista pr´actico, para obtener estos modelos lineales es com´ un comenzar con un modelo no lineal y, a partir de ´este construir una aproximacion lineal en la vecindad de un punto de operaci´ on elegido. Este enfoque constituye una herramienta clave para el modelado lineal en diversos campos, por ejemplo, en la Electr´onica anal´ogica y en el Control Autom´atico. La estrategia de linealizaci´on puede ser aplicada de igual forma a modelos de tiempo continuo y a modelos de tiempo discreto, a modelos en variables de estado (Cap´ıtulo 10) y a modelos de entrada-salida (ecuaciones recursivas y ecuaciones diferenciales de orden superior). Antes de intentar la formulaci´on de un procedimiento general de linealizaci´on, motivaremos el tema con el estudio de dos casos. Ambos casos se frasear´an de id´entica forma, con las obvias adaptaciones, para que el lector pueda apreciar que el tema de linealizaci´on trasciende la naturaleza de la descripci´on temporal.

1.5.1.

Sistema no lineal de tiempo continuo

Considere un sistema con entrada u(t) y salida y(t), donde el modelo de entrada-salida est´a dado por: d y(t) d 2 y(t) 3 + (0, 2 + y(t)) + (y(t)) = dt 2 dt



2

d u(t) + u(t) dt

3

(1.30)

La idea es construir un modelo (ecuaci´on diferencial) lineal en que las se˜ nales involucradas sean:

linealizaci´ on|textbf punto de operaci´ on modelo!linealizado

10

CAP´ITULO 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES

∆u(t) = u(t) − uQ

4

(1.31)

4

∆y(t) = y(t) − yQ

(1.32)

en que la entrada incremental ∆u(t) y la salida incremental ∆y(t) representan las variaciones de las se˜ nales u(t) e y(t) en torno al punto de operacion (u Q , yQ ). La ecuaci´on (1.30) puede re-escribirse, miembro a miembro, como: ga (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) = gb (x4 (t), x5 (t))

(1.33)

donde x1 (t) = y(t), x2 (t) = y(t), ˙ x3 (t) = y¨(t), x4 (t) = u(t) y x5 (t) = u(t). ˙ De esta forma: ga (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) = x3 (t) + (0, 2 + x1 (t))x2 (t) + (x1 (t)) gb (x4 (t), x5 (t)) = (2x5 (t) + x4 (t))

3

3

(1.34) (1.35)

Luego hacemos la expansi´on en serie de Taylor (ver Ap´endice A) de ga y gb para, finalmente, igualar las aproximaciones de primer orden de ambas funciones. Esto lleva a: 2

ga (x1Q , x2Q , x3Q ) + (3 (x1Q ) + x2Q )(x1 (t) − x1Q )

+ (0, 2 + x1Q )(x2 (t) − x2Q ) + (x3 (t) − x3Q ) 2

= gb (x4Q , x5Q ) + 3 (2x5Q + x4Q ) (x4 (t) − x4Q ) 2

+ 6 (2x5Q + x4Q ) (x5 (t) − x5Q )

(1.36)

Usando las definiciones anteriores tenemos que: x1 (t) − x1Q = ∆y(t)

(1.37)

x2 (t) − x2Q = ∆y(t) ˙ =

(1.38)

x3 (t) − x3Q

(1.39)

x4 (t) − x4Q x5 (t) − x5Q

d ∆y(t) − x2Q dt d 2 ∆y(t) = ∆¨ y (t) = − x3Q dt 2 = ∆u(t) d ∆u(t) = ∆u(t) ˙ = − x5Q dt

(1.40) (1.41)

Para lograr el objetivo deseado, es decir, una ecuaci´on diferencial en ∆u(t) y ∆xi (t), es necesario que el conjunto de valores (x1Q , x2Q , . . . , x5Q ) que define el punto de operaci´on satisfaga: ga (x1Q , x2Q , x3Q ) = gb (x4Q , x5Q )

(1.42)

´ 1.5. LINEALIZACION

11

con lo cual, ga (x1Q , x2Q , x3Q ) y gb (x4Q , x5Q ) se compensan en la ecuaci´on (1.36). En esta etapa de nuestro an´alisis es oportuno hacer las siguientes observaciones: (i) Cada derivada debe ser asociada a una variable xi . (ii) El punto de operaci´on es arbitrario; pero para llegar a un modelo linealizado, debe satisfacer la ecuaci´on no lineal original. Para este caso, un ejemplo de punto de operaci´on es x1Q = 2, x2Q = 1, x3Q = −9, 2, x4Q = 3 y x5Q = −1. (iii) Es necesario elegir un punto de operaci´on para el que las derivadas de y(t) y de u(t), respecto del tiempo, sean iguales a cero. Este punto de operaci´on se conoce como punto de operaci´on en equilibrio o, m´as brevemente, punto de equilibrio. La idea es que si un sistema est´a en un punto de equilibrio, el sistema se mantiene operando en ese punto ya que las derivadas de y(t) y de u(t) son cero. La elecci´on del punto de equilibrio se hace considerando el punto en que el sistema a analizar estar´a operando. Para este caso, existen infinitos puntos de equilibrio y todos ellos satisfacen x1Q = x4Q , x2Q = 0,x3Q = 0 y x5Q = 0. Con esto, las ecuaciones (1.37)-(1.41) se transforman en:

x1 (t) − x1Q = ∆y(t)

(1.43)

x2 (t) − x2Q = ∆y(t) ˙ =

(1.44)

x3 (t) − x3Q

(1.45)

x4 (t) − x4Q

d ∆y(t) dt d 2 ∆y(t) = ∆¨ y (t) = dt 2 = ∆u(t)

x5 (t) − x5Q = ∆u(t) ˙ =

(1.46)

d ∆u(t) dt

(1.47)

El modelo lineal para el caso estudiado tiene entonces la forma: d ∆y(t) d ∆u(t) d 2 ∆y(t) + a1 + a0 ∆y(t) = b1 + b0 ∆u(t) dt 2 dt dt

(1.48)

(iv) Cuando el modelo no lineal est´a descrito por dos o m´as ecuaciones, las coordenadas del punto de operaci´on deben satisfacer al conjunto de ecuaciones simult´aneas. (v) Un punto de operaci´on en equilibrio se calcula a partir del modelo algebraico (tal vez no lineal) que resulta de hacer cero todas las derivadas en el modelo din´amico no lineal. 4

(vi) La linealizaci´on puede hacerse sobre la funci´on compuesta g = ga −gb = 0. 222

punto de equilibrio

CAP´ITULO 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES

12

1.5.2.

Sistema no lineal de tiempo discreto

Considere un sistema de tiempo discreto con entrada u[t] y salida y[t], donde el modelo de entrada-salida es la ecuaci´on recursiva: y[t] + 0, 5y[t − 1]y[t − 2] + 0, 1u[t](y[t − 2])2 = (u[t − 1])3

(1.49)

La idea es construir un modelo (ecuaci´on recursiva) lineal en que las se˜ nales involucradas sean: ∆u[t] = u[t] − uQ

4

(1.50)

4

∆y[t] = y[t] − yQ

(1.51)

en que la entrada incremental ∆u[t] y la salida incremental ∆y[t] representan las variaciones de las variables u[t] e y[t] en torno al punto de operaci´on (uQ , yQ ). La ecuaci´on (1.30) puede re-escribirse, miembro a miembro, como: gc (x1 [t], x2 [t], x3 [t], x4 [t]) = gd (x5 [t])

(1.52)

donde x1 [t] = y[t], x2 [t] = y[t − 1], x3 [t] = y[t − 2], x4 [t] = u[t] y x5 [t] = u[t − 1]. As´ı: gc (x1 [t], x2 [t], x3 [t], x4 [t]) = x1 [t] + 0, 5x2 [t]x3 [t] + 0, 1x4 [t] (x3 [t]) gd (x5 [t]) = (x5 [t])

2

3

(1.53) (1.54)

Luego hacemos la expansi´on en serie de Taylor (ver Ap´endice A) de gc y gd para, finalmente, igualar las aproximaciones de primer orden de ambas funciones. Esto lleva a:

gc (x1Q , x2Q , x3Q , x4Q ) + (x1 [t] − x1Q )

+ 0, 5x2Q (x3 [t] − x3Q ) + 0, 5x3Q (x2 [t] − x2Q ) 2

+ 0, 2x4Q x3Q (x3 [t] − x3Q ) + 0, 1 (x3Q ) (x4 [t] − x4Q ) 2

= gd (x5Q ) + 3 (x5Q ) (x5 [t] − x5Q )

(1.55)

Usando las definiciones anteriores y la notaci´on ∆y[t − `] = y[t − `] − x 1Q y ∆u[t − j] = u[t − j] − x4Q , tenemos que: x1 [t] − x1Q = ∆y[t]

x2 [t] − x2Q = ∆y[t − 1] + x1Q − x2Q x3 [t] − x3Q = ∆y[t − 2] + x1Q − x3Q

x4 [t] − x4Q = ∆u[t] x5 [t] − x5Q = ∆u[t − 1] + x4Q − x5Q

(1.56) (1.57) (1.58) (1.59) (1.60)

´ 1.5. LINEALIZACION

13

Para lograr el objetivo deseado, es decir, una ecuaci´on recursiva en ∆u[t] y ∆y[t], es necesario que el punto de operaci´on (x1Q , x2Q , . . . , x5Q ) satisfaga: gc (x1Q , x2Q , x3Q , x4Q ) = gd (x5Q )

(1.61)

con lo cual, gc (x1Q , x2Q , x3Q , x4Q ) y gd (x5Q ) se compensan en (1.55). En esta etapa de nuestro an´alisis es oportuno hacer las siguientes observaciones: (i) Cada se˜ nal retardada debe ser asociada a una variable xi . (ii) El punto de operaci´on es arbitrario; pero para llegar a un modelo linealizado, debe satisfacer la ecuaci´on no lineal original. Para este caso, un ejemplo de punto de operaci´on es x1Q = −2, x2Q = 1, x3Q = 2, x4Q = 5 y x5Q = 1. (iii) Es necesario elegir un punto de operaci´on en que las se˜ nales son constantes, es decir, u[t] = uQ e y[t] = yQ , para todo instante t, lo cual implica tambi´en que todas las diferencias son cero. Este punto de operaci´on se conoce como punto de operaci´on en equilibrio o, m´as brevemente, punto de equilibrio. La idea es que si un sistema est´a en un punto de equilibrio, el sistema se mantiene operando en ese punto ya que las diferencias de y[t] y de u[t] son cero. La elecci´on del punto de equilibrio se hace considerando el punto en que el sistema a analizar estar´a operando. Para este caso, existen infinitos puntos de equilibrio y todos ellos satisfacen x1Q = x2Q = x3Q = yQ , x4Q = x5Q = uQ , e 2 2 yQ + 0, 5yQ + 0, 1uQ yQ = u3Q

(1.62)

El modelo lineal tiene entonces la forma ∆y[t] + c1 ∆y[t − 1] + c0 ∆y[t − 2] = d1 ∆u[t] + d0 ∆u[t − 1]

(1.63)

(iv) Cuando el modelo no lineal est´a descrito por dos o m´as ecuaciones, las coordenadas del punto de operaci´on deben satisfacer al conjunto de ecuaciones simult´aneas. (v) Un punto de operaci´on en equilibrio se calcula a partir del modelo algebraico que resulta de hacer cero todas las diferencias en el modelo din´amico no lineal, es decir, cada una de las se˜ nales involucradas es reemplazada por una constante a calcular, con independencia del retardo que ella exhiba. 4

(vi) La linealizaci´on puede hacerse sobre la funci´on compuesta g = gc −gd = 0. 222 El an´alisis de los casos precedentes muestra que, con independencia de la naturaleza temporal de los sistemas (continuo o discreto), la linealizaci´on de

punto de equilibrio

14 punto de operaci´ on se~ nal incremental modelo!peque~ na se~ nal

CAP´ITULO 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES

sus modelos no lineales tiene ciertos pasos b´asicos. En primer lugar, restringiremos la linealizaci´on a la construcci´on de modelos lineales en torno a puntos de equilibrio. Observamos que cuando trabajamos en un punto de equilibrio, todos los valores de ese punto x1Q , x2Q , . . . , se pueden expresar en funci´on del par (uQ , yQ ); por ello diremos que el punto de operaci´on en equilibrio queda definido por ese par. Supongamos que el sistema con entrada u(◦) y salida y(◦) es descrito por: f hu(◦), y(◦)i = 0

(1.64)

donde f h ◦ i es un operador no lineal y, posiblemente, din´amico. Tambi´en suponemos que: (i) existe, al menos un par de valores constantes reales (uQ , yQ ) tales que, f huQ , yQ i = 0

(1.65)

Cada uno de estos pares define un punto de operaci´ on en equilibrio. (ii) f hu(◦), y(◦)i es infinitamente diferenciable, con respecto a u, con respecto a y, y con respecto a las derivadas (o valores retardados) de ambos, en el punto de operaci´on de inter´es. Si expresamos u(◦) y y(◦) como u(◦) = uQ + ∆u(◦) y(◦) = yQ + ∆y(◦)

(1.66) (1.67)

entonces podemos expandir el lado izquierdo de la ecuaci´on (1.64) en una serie de Taylor, en torno al punto de operaci´on (uQ , yQ ). Si en esa expansi´on tomamos s´olo los t´erminos de primer orden, entonces el resultado es un modelo lineal, una ecuaci´on diferencial o una ecuaci´on recursiva, en las variables ∆u(◦) y ∆y(◦). Nota 1.1. El procedimiento de linealizaci´ on en el caso de un sistema discreto se desarrolla sin dificultad porque las derivadas parciales de la expansi´ on en serie de Taylor se realizan con respecto a las variables de entrada y de salida y no con respecto de la variable tiempo (discreto). Nota 1.2. El procedimiento de linealizaci´ on presentado anteriormente genera un modelo que es lineal en las componentes incrementales de las entradas y las salidas en torno a un punto de operaci´ on elegido (i.e. se trata de un modelo a peque˜ na se˜ nal). Ilustramos esto a trav´es de algunos ejemplos. Ejemplo 1.6. Considere un sistema de tiempo continuo descrito por el modelo 2

f hu(t), y(t)i =

dy(t) p (u(t)) + y(t) − =0 dt 3

(1.68)

´ 1.5. LINEALIZACION

15

Suponga que la entrada u(t) var´ıa alrededor de u = 2. Encuentre un punto de operaci´ on con uQ = 2 y un modelo linealizado en torno a ´el. Soluci´ on (i) El punto de operaci´ on es calculado de (1.68) con uQ = 2 y tomando 0. Esto lleva a √

2

yQ −

(uQ ) =0 3

=⇒ yQ =

16 9

dy(t) dt

=

(1.69)

(ii) El modelo linealizado es entonces obtenido a trav´es de la expansi´ on de (1.68) en serie de Taylor para obtener: 1 2uQ d∆y(t) + √ ∆y(t) − ∆u(t) = 0 dt 2 yQ 3

(1.70)

Cuando se usan valores num´ericos para el punto de operaci´ on, se obtiene el siguiente modelo linealizado: d∆y(t) 3 4 + ∆y(t) − ∆u(t) = 0 dt 8 3

(1.71) 222

La idea fundamental que se deduce del proceso de linealizaci´on es que: las propiedades del modelo lineal para valores peque˜ nos de sus variables incrementales, permiten inferir el comportamiento del sistema original en las cercan´ıas del punto de operaci´on. Para comparar efectivamente la calidad de la aproximaci´on que provee un modelo linealizado, es necesario poder simular ambos modelos, el original (nolineal) y el obtenido (lineal). Para ello, herramientas como Simulink o Simnon son extraordinariamente poderosas. A modo de ejemplo, se incluye en la Figura 1.4 un esquema Simulink para simular el modelo no lineal del Ejemplo 1.6, dado por: 2 dy p (u(t)) + y(t) = dt 3 o, en forma m´as conveniente para armar el esquema Simulink :

(1.72)

2 p dy (u(t)) = − y(t) + (1.73) dt 3 Para apreciar la calidad de la aproximaci´on consideramos el sistema original y su modelo linealizado y corremos una simulaci´on donde la entrada a ambos sistemas es una constante igual a 2 m´as una secuencia de pulsos de amplitud creciente. Los resultados se muestran en la Figura 1.5. Podemos ver ah´ı que el error de linealizaci´on crece a medida que el sistema es llevado lejos del punto de operaci´on, en torno al cual se calcul´o el modelo linealizado.

CAP´ITULO 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES

16

|u|2

1/3

u(t)

Gain

In1

Math Function

Out1

y(t)

Integrador

sqrt Raiz Cuadrada

Figura 1.4: Diagrama Simulink para simulaci´on de un sistema no lineal.

2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4

0

1

2

3

4

5 Tiempo [s]

6

7

8

9

10

Figura 1.5: Salida del sistema no lineal (linea s´olida) y salida del sistema linealizado (l´ınea segmentada) para una onda cuadrada de amplitud creciente en la entrada (l´ınea punteada)

Ejemplo 1.7. Las caracter´ısticas de un sistema no lineal de tiempo discreto, con entrada u[t] y salida y[t], son descritas exactamente por f hu[t], y[t]i = y[t] − 0,7y[t − 1] + 0,12(1 + 0,1u[t])y[t − 2] − 2 + sen (u[t − 1]) = 0 (1.74) Construya un modelo linealizado en torno al punto de operaci´ on definido por uQ = 0. Soluci´ on (i) Para calcular yQ aplicamos (1.65), de donde se obtiene yQ − 0,7yQ + 0,12yQ = 2 =⇒ yQ = 4,762 (ii) El modelo linealizado es ahora construido de (1.74), llevando a

(1.75)

´ 1.5. LINEALIZACION

∆y[t] − 0,7∆y[t − 1] + 0,12(1 + 0,1uQ )∆y[t − 2]+ 0,12yQ (∆u[t])) + cos (uQ ) ∆u[t − 1] = 0

17

(1.76)

Entonces, usando los valores num´ericos para el punto de operaci´ on, se obtiene el siguiente modelo linealizado:

∆y[t] − 0,7∆y[t − 1] + 0,12∆y[t − 2] = −0,571∆u[t] + ∆u[t − 1] (1.77) 222 Nota 1.3. Los paquetes computacionales modernos incluyen comandos especiales para calcular modelos linealizados en torno a puntos de operaci´ on definidos por el usuario (pre-calculados). En el caso de Simulink , los comandos apropiados son linmod (para sistemas de tiempo continuo) y dlinmod (para sistemas de tiempo discreto e h´ıbridos). Nota 1.4. Como hemos mencionado, los modelos linealizados son s´ olo modelos aproximados y, por tanto, deben ser considerados con la precauci´ on apropiada (como deber´ıan serlo en realidad todos los modelos). Cuando se realiza la linealizacion de un modelo, el siguiente t´ermino de la expansi´ on en serie de Taylor puede ser utilizado frecuentemente como una medida del error asociado al modelado.

Los modelos lineales pueden ser obtenidos linealizando un modelo no lineal en torno a un punto de operaci´on. En muchas aplicaciones, los modelos lineales proveen suficiente informaci´on para estudiar la operaci´on del sistema (no lineal) original y para sintetizar sistemas con suficiente precisi´on. Sin embargo, se requiere desarrollar una metodolog´ıa para tratar los inevitables errores de modelado que resultan de la linealizaci´on. Una observaci´on m´as general sobre el tema de la linealizaci´on se relaciona con el hecho que este concepto se puede extender, de modo que la linealizaci´on se hace, no en torno a un punto de operaci´on, sino que a una trayectoria de operaci´ on, es decir, en torno a una soluci´on de inter´es (uQ (t), yQ (t)) del modelo no lineal.

CAP´ITULO 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES

18

1.6.

Problemas para el lector

Problema 1.1. Considere un sistema cuyo modelo de comportamiento est´ a dado por y(t) = mu(t) + b

(1.78)

Determine las condiciones que deben satisfacer las contantes m y b de modo que el sistema sea lineal Problema 1.2. El a ´rea de un rect´ angulo es A = xy, donde x e y representan las longitudes de sus lados. 1.2.1 Obtenga una expresi´ on linealizada para A en torno al punto de operaci´ on xQ = 2, yQ = 5. 1.2.2 Obtenga y describa geom´etricamente el error cometido al usar el modelo lineal para calcular el a ´rea de un rect´ angulo con lados x = 3 e y = 6. Problema 1.3. Sea un sistema lineal algebraico de dimensi´ on 2×2, es decir, con dos entradas y dos salidas. Se realizan algunos experimentos y se llega a: y(t) = [2 − 1]T = Thh[1 − 1]T i y(t) = [3 4]T = Thh[1 − 2]T i

(1.79) (1.80)

Determine la respuesta del sistema cuando la entrada es u(t) = [1 1]T Problema 1.4. Considere un sistema con entrada u(t) y salida y(t), relacionados por la ecuaci´ on diferencial  dy(t)  2 + 2 + 0,1 (y(t)) y(t) = 2u(t) dt

(1.81)

1.4.1 Determine los modelos linealizados para un punto de operaci´ on definido por yQ = 0,1. 1.4.2 Repita el punto anterior para yQ = 3. Compare con el resultado anterior. Problema 1.5. En un sistema con entrada u(t) y salida y(t), la relaci´ on entrada-salida est´ a dada por y(t)

1 d y(t) 2 + 3 (y(t)) = 2 (u(t)) 3 dt

(1.82)

Redefina, si es posible, la entrada y/o la salida de modo que el modelo en las salidas redefinidas sea lineal.

1.6. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

19

Problema 1.6. Considere la funci´ on no lineal dada por ( u(t) ∀|u(t)| ≤ 1 y(t) = signo{u(t)} ∀|u(t)| > 1

(1.83)

Discuta la linealizaci´ on de esta funci´ on en distintos punto de operaci´ on. Problema 1.7. En los sistemas tributarios modernos existe un tasa progresiva, es as´ı como a mayor ingreso, m´ as alto es el porcentaje de impuesto a pagar. Analice el sistema desde el punto de vista de la linealidad Problema 1.8. Un sistema no lineal tiene un modelo dado por d y(t) + f (y)y(t) = 2u(t) dt Donde la funci´ on f (y) aparece en la Figura 1.6.

(1.84)

1.5 1

f(y)

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −4

−3

−2

−1

0 y

1

2

3

4

Figura 1.6: Ganancia no lineal para el Problema 1.8 Construya modelos linealizados para los puntos de operaci´ on determinados por yQ = −3, yQ = 0 e yQ = 1. Problema 1.9. Determine si el siguiente sistema es o no lineal d y(t) + 2ty(t) = 2u(t) dt

(1.85)

Problema 1.10. Construya, si es posible, modelos lineales para los sistemas no lineales cuyos modelos se indican, con las condiciones de operaci´ on especificadas (en todos los puntos de operaci´ on resultantes) y[t] − 0,5(y[t − 1])3 = u[t − 5] y[t] − 0,2y[t − 1]y[t − 2] + 0,4y[t − 3] =

u[t − 1] 1 + 0,2(u[t − 2])2

yQ = 2 (1.86) uQ = 1 (1.87)

20

CAP´ITULO 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES

Problema 1.11. Considere el siguiente modelo no lineal x˙ 1 (t) = −2x1 (t) + 0,1x1 (t)x2 (t) + u(t)

(1.88)

x˙ 2 (t) = −x1 (t) − 2x2 (t) (x1 (t))

(1.89)

y(t) = x1 (t) + (1 + x2 (t))

2

2

(1.90)

Construya un modelo lineal en torno al punto de operaci´ on definido por uQ = 1. Problema 1.12. . Sistema predador-presa (Lotka-Volterra). Considere el sistema de ecuaciones diferenciales no-lineales, que describe la dinamica de una poblacion de conejos (c(t) > 0) y de zorros (z(t) > 0): dc = αc(t) + βc(t)z(t) dt dz = −γz(t) + δc(t)z(t) dt

(1.91) (1.92)

en que los par´ ametros α, β, γ, δ son positivos. 1.12.1 Determine todos los puntos de equilibrio del sistema de ecuaciones. 1.12.2 Obtenga el sistema linealizado en torno a cada uno de los puntos de equilibrio anteriores. 1.12.3 Estudie y compare el tipo de soluciones del sistema linealizado en cada uno de los puntos de equilibrio. 1.12.4 Elija algun valor para los par´ ametros, y simule el sistema original y el linealizado en torno a cada punto de equilibrio, representando la solucion en el plano (c(t), z(t)).

se~ nales|textbf se~ nales!de prueba escal´ on unitario Heaviside impulso unitario delta de Dirac|textbf Dirac

Cap´ıtulo 2

Se˜ nales 2.1.

Introducci´ on

El comportamiento de los sistemas puede evaluarse observando las se˜ nales correspondientes a las variables de entrada del sistema, variables de salida e incluso a variables intermedias del mismo. M´as a´ un, el comportamiento de los sistemas puede estudiarse, y as´ı suele hacerse, observando su respuesta cuando se inyectan al sistema determinadas se˜ nales de prueba. El an´alisis de se˜ nales es un aspecto esencial de la teor´ıa de sistemas lineales, no s´olo por su valor experimental, sino que por la propiedad de linealidad, la cual permite construir modelos en base a la respuesta del sistema ante ciertas se˜ nales de prueba.

2.2.

Se˜ nales de tiempo continuo

En el caso de los sistemas de tiempo continuo, existen varias se˜ nales que juegan un rol fundamental en la teor´ıa de los sistemas lineales. Ellas y sus propiedades de mayor inter´es se presentan a continuaci´on.

2.2.1.

Escal´ on unitario (funci´ on de Heaviside)

El escal´on unitario en el instante to se define como ( 1 ∀t ≥ to 4 µ(t − to ) = 0 ∀t < to y se representa en la Figura 2.1.

2.2.2.

Impulso unitario o delta de Dirac 21

(2.1)

˜ CAP´ITULO 2. SENALES

22 µ(t − to ) 1

0

to

t

Figura 2.1: Escal´on unitario o funci´on de Heaviside. δ(t − to )

1

0

to

t

Figura 2.2: Impulso unitario o delta de Dirac. El impulso unitario o delta de Dirac es una se˜ nal peculiar. En estricto rigor no es una funci´on temporal, sino que es lo que se conoce en Matem´atica como distribuci´ on o funci´ on generalizada. Se define como la funci´on δ(◦) que satisface: δ(t − to ) = 0

∀t 6= to

con

Z

∞ −∞

δ(t − to )dt = 1

(2.2)

y se representa gr´aficamente como muestra la Figura 2.2. Como se puede observar, esta se˜ nal no es f´ısicamente realizable, y se debe entender como una idealizaci´on de determinadas situaciones. Algunas de ellas se pueden apreciar en la Figura 2.3.

f1 (t)

f2 (t)

1  1 2 to −  to to + 

t

to −  t o to + 

Figura 2.3: Aproximaciones al delta de Dirac

t

˜ 2.2. SENALES DE TIEMPO CONTINUO

23

La funciones f1 (t) y f2 (t) de la Figura 2.3 cumplen con: Z ∞ Z ∞ f1 (t)dt = f2 (t)dt = 1 ∀ −∞

funci\’on muestreo rampa unitaria

(2.3)

−∞

Adem´as, l´ım f1 (t) = l´ım f2 (t) = 0

→0

→0

∀t 6= to

(2.4)

Otra funci´on de importancia que tiene la misma propiedad que f1 (t) y f2 (t) es:   o 1 sen t−t  f3 (t) = π t − to

(2.5)

l´ım f3 (t) = δ(t − to )

(2.6)

Esta funci´on, conocida como la funci´ on muestreo, juega un papel muy importante en la relaci´on entre se˜ nales de tiempo continuo y de tiempo discreto (ver Cap´ıtulo 11). Se puede demostrar que: →0

Una propiedad clave del delta de Dirac est´a descrita en el siguiente lema. Lema 2.1. Considere una funci´ on cualquiera f (t), entonces Z ∞ f (t) = f (τ )δ(t − τ )dτ

(2.7)

−∞

222 nal puede ser expresada como una opEl Lema 2.1 establece que toda se˜ eraci´on lineal sobre el impulso δ(t − τ ) para −∞ < τ < ∞. Veremos m´as adelante que esta propiedad ser´a la base para calcular la respuesta de un sistema lineal ante cualquier se˜ nal, a partir de la respuesta de ese sistema a un impulso unitario.

2.2.3.

Rampa unitaria

La rampa unitaria se define como: ( r(t − to ) =

t − to 0

∀t ≥ to ∀t < to

(2.8)

y se muestra en la Figura 2.4. El delta de Dirac, el escal´on unitario y la rampa unitaria pertenecen a una secuencia de funciones, donde cada una se puede obtener como la derivada de la siguiente, es decir: δ(t − to ) =

d2 r(t − to ) dµ(t − to ) = dt dt2

(2.9)

˜ CAP´ITULO 2. SENALES

24 exponencial exponencial!creciente constante de tiempo

r(t − to )

1

to

0

to + 1

t

Figura 2.4: Rampa unitaria. o, equivalentemente, a trav´es de la integral de la anterior, es decir: r(t − to ) =

Z

t −∞

µ(τ − to ) dτ =

Z

t −∞

Z

τ −∞

δ(ν − to ) dν dτ

(2.10)

Observe que hemos interpretado el impulso como la derivada del escal´on, lo cual implica dar un significado a la derivada de una funci´on en un punto de discontinuidad. Esto tiene sentido s´olo si esa discontinuidad es finita. En todo caso estas operaciones deben manejarse con precauci´on si se desea mantener el rigor matem´atico.

2.2.4.

Exponencial

La funci´on exponencial es definida gen´ericamente como f (t) = eαt

(2.11)

donde α = σ + jω, σ, ω ∈ R. Sin embargo, cuando ω 6= 0, la exponencial no es una se˜ nal real, y s´olo tiene sentido f´ısico cuando se combina con su se˜ nal ∗ compleja conjugada, f (t)∗ = eα t , en cuyo caso se obtiene una sinusoide de amplitud modulada exponencialmente, situaci´on que se analiza por separado m´as adelante. Para el caso α ∈ R distinguimos dos casos, como se ilustra en la Figura 2.5. Cuando α > 0 tenemos una exponencial creciente. Esta se˜ nal est´a asociada a los sistemas inestables, como es explicar´a m´as adelante. Cuando α < 0, estamos en presencia de una exponencial decreciente. Esta forma exponencial es de enorme importancia en la teor´ıa de sistemas, ya que aparece con frecuencia en la descripci´on de una amplia gama de fen´omenos, por ejemplo, la descarga de un condensador a trav´es de un resistor y el decaimiento de sustancias radiactivas, entre otros. Naturalmente que el caso especial α = 0 corresponde a la funci´on constante. Para las exponenciales decrecientes se suele definir un par´ametro adicional: la constante de tiempo, definida como:

˜ 2.2. SENALES DE TIEMPO CONTINUO 8

25 sinusoide

1

7

0.8

α>0

6 5

0.6

4

0.4

α<0

3 0.2

2 1

0

1

2 Tiempo [s]

3

0

4

0

1

2 Tiempo [s]

3

4

Figura 2.5: Exponenciales creciente (izquierda) y decreciente (derecha)

τ=

1 |σ|

(2.12)

La constante de tiempo es una medida de la velocidad de decaimiento de la exponencial, tal como se ilustra en la Figura 2.6. 1 τ >τ >τ

0.8

1

3

τ=τ

0.6

1

τ=τ

0.4

2

0.2 0

2

τ=τ

3

0

0.5

1

1.5

2 Tiempo [s]

2.5

3

3.5

4

Figura 2.6: Exponenciales de diferentes velocidades de decaimiento Una propiedad interesante de la exponencial se muestra en la Figura 2.7, donde se observa que la tangente a la curva, trazada en t = 0 intersecta la as´ıntota de la exponencial (el eje temporal) exactamente en t = τ , lo cual puede ser verificado anal´ıticamente por el lector.

2.2.5.

Se˜ nales sinusoidales

La se˜ nal fundamental en todo tipo de oscilaciones peri´odicas es la funci´on sinusoidal, que se describe en forma gen´erica por: f (t) = A sen(ωt + β)

(2.13)

˜ CAP´ITULO 2. SENALES

26 sinusoide!amplitud sinusoide!frecuencia angular sinusoide!desfase sinusoide!per´ ıodo sinusoide!frecuencia Euler sinusoide!f´ ormula de Euler exponencial imaginaria sinusoide!amortiguada

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5

2 2.5 3 Tiempo normalizado t/τ

3.5

4

4.5

5

Figura 2.7: Propiedad de la constante de tiempo

donde A es la amplitud, ω es la frecuencia angular (en [rad/s]) y β es el a´ngulo de fase, o desfase. El per´ıodo, T [s], y la frecuencia, f [Hz], de la sinusoide est´an dados por: T =

2π 1 = f ω

(2.14)

Un representaci´on equivalente para las se˜ nales sinusoidales se puede obtener a partir de la f´ormula de Euler A sen(ωt + β) = A

ej(ωt+β) − e−j(ωt+β) 2j

(2.15)

De esta ecuaci´on se puede apreciar la interpretaci´on que usualmente se da a la exponencial imaginaria ejωt , ya que1 sen(ωt) = ={ejωt }

2.2.6.

(2.16)

Sinusoidales con amplitud exponencial

Otra de las se˜ nales que aparece frecuentemente en la descripci´on del comportamiento natural de los sistemas son las sinusoides cuya amplitud var´ıan exponencialmente en el tiempo, es decir, de la forma: f (t) = Aeσt sen(ωt + β)

(2.17)

Naturalmente, cuando σ = 0, la se˜ nal se reduce a una sinusoide pura. Los casos σ < 0 (sinusoide amortiguada exponencialmente) y σ > 0 (sinusoide creciente exponencialmente) se muestran en la Figura 2.8. Para estas funciones, la relaci´on de Euler lleva a: Aeσt sen(ωt + β) = A 1 La

e(σ+jω)t+jβ − e(σ−jω)t−jβ 2j

notaci´ on ={ } siginifica parte imaginaria de ...

(2.18)

˜ 2.3. SENALES DE TIEMPO DISCRETO 1

27 se~ nales!de tiempo discreto escal´ on unitario impulso unitario delta de Kronecker|textbf

500

0.5 0

0

−0.5 −1

0

1 2 tiempo normalizado t/T

−500

3

0

1 2 tiempo normalizado t/T

3

Figura 2.8: Se˜ nales sinusoidales con amplitud disminuyendo exponencialmente (izq.) y creciendo exponencialmente (der.)

µ[t − to ] 1

0

to

t

Figura 2.9: Escal´on unitario de tiempo discreto

2.3.

Se˜ nales de tiempo discreto

En el caso de las se˜ nales de tiempo discreto, existen contrapartes directas de las se˜ nales para tiempo continuo, con algunas sutiles, pero significativas diferencias. La primera diferencia obvia es que la variable independiente est´a definida sobre el conjunto de los n´ umeros enteros, Z. Otras aparecer´an en cada oportunidad.

2.3.1.

Escal´ on unitario de tiempo discreto

El escal´on unitario en el instante to se define como: ( 1 ∀t ≥ to 4 µ[t − to ] = 0 ∀t < to

(2.19)

y se representa en la Figura 2.9.

2.3.2.

Impulso unitario discreto o delta de Kronecker

˜ CAP´ITULO 2. SENALES

28 rampa unitaria

δ[t − to ] 1

0

to

t

Figura 2.10: Impulso unitario discreto o delta de Kronecker

El impulso unitario discreto o delta de Kronecker se define como: ( 0 ∀t 6= to 4 δ[t − to ] = 1 t = to

(2.20)

y se representa en la Figura 2.10. Una propiedad clave del delta de Kronecker, an´aloga a la del delta de Dirac (lema 2.1) est´a descrita en el siguiente lema. Lema 2.2. Considere una funci´ on cualquiera f [t], entonces f [t] =

∞ X

i=−∞

f [i]δ[t − i]

(2.21)

222 El lema 2.2 establece que toda se˜ nal puede ser expresada como una operaci´on lineal sobre un tren de deltas de Kronecker. Veremos m´as adelante que esta propiedad ser´a la base para calcular la respuesta de un sistema lineal de tiempo discreto a partir de su respuesta a un impulso unitario.

2.3.3.

Rampa unitaria de tiempo discreto

La rampa unitaria se define como: ( t − to 4 r[t − t0 ] = 0

∀t ≥ to ∀t < to

(2.22)

y se representa en la Figura 2.11. De manera similar a las se˜ nales de tiempo continuo, el delta de Kronecker, el escal´on unitario y la rampa unitaria pertenecen a una secuencia de funciones, donde cada una se puede obtener como la primera diferencia del miembro que le sigue, es decir: δ[t − to ] = µ[t − to ] − µ[t − to − 1];

µ[t − to ] = r[t − to + 1] − r[t − to ] (2.23)

˜ 2.3. SENALES DE TIEMPO DISCRETO

29 exponencial

r[t − to ]

0

to

t

Figura 2.11: Rampa unitaria de tiempo discreto

o a trav´es de la acumulaci´on de la que precede, es decir r[t − to ] =

2.3.4.

∞ X

i=to +1

µ[t − i];

µ[t − to ] =

∞ X

i=to

δ[t − i]

(2.24)

Exponencial de tiempo discreto

La funci´on exponencial es definida gen´ericamente como f [t] = λt

(2.25)

donde λ es, en general, un n´ umero complejo. Sin embargo, cuando ={λ} 6= 0, la exponencial no es una se˜ nal real, y s´olo tiene sentido f´ısico cuando se combina con (λ∗ )t , en cuyo caso se llega a una sinusoide de amplitud modulada exponencialmente, situaci´on que se analiza por separado m´as adelante. Si λ ∈ R distinguimos cuatro casos, como se ilustra en la Figuras 2.12 y 2.13. 1.2

5 0<λ< 1

1

1<λ

4

0.8

3

0.6 2

0.4

1

0.2 0

0

2

4

6

8

0

0

2

4

6

8

Figura 2.12: Exponenciales de tiempo discreto, decreciente (izquierda) y creciente (derecha), λ ∈ R+ En la Figura 2.12, se observa el caso cuando λ es positivo, a la izquierda aparece un ejemplo para 0 < λ < 1 y a la derecha, aparece un ejemplo para λ >

˜ CAP´ITULO 2. SENALES

30 exponencial!creciente sinusoide!discreta sinuosoide!aperi´ odica

1. Cuando λ > 1 tenemos una exponencial creciente. Esta se˜ nal aparece asociada a los sistemas inestables de tiempo discreto, como es explicar´a m´as adelante. Por su parte, cuando 0 < λ < 1, estamos en presencia de una exponencial decreciente. Esta forma exponencial es de enorme importancia en la teor´ıa de sistemas, ya que interviene con frecuencia en la descripci´on del comportamiento natural de una amplia gama de sistemas. En la Figura 2.13, se observa el caso cuando λ es negativo, a la izquierda aparece el sub-caso 0 > λ > −1 y a la derecha, aparece el sub-caso λ < −1. 6 1 0>λ>− 1

2

0

0

−0.5 −1

λ<− 1

4

0.5

−2

0

2

4

6

−4

8

0

2

4

6

8

Figura 2.13: Exponenciales de tiempo discreto, decreciente (izquierda) y creciente (derecha), λ ∈ R− Naturalmente que el caso especial λ = 1 corresponde a la funci´on constante, y el caso λ = −1 puede identificarse como una se˜ nal sinusoidal, las cuales se revisan a continuaci´on.

2.3.5.

Se˜ nales sinusoidales de tiempo discreto

Al igual que en el caso de tiempo continuo, en sistemas discretos la se˜ nal fundamental en oscilaciones peri´odicas es la funci´on sinusoidal, cuya forma gen´erica es: f [t] = A sen(θt + β)

(2.26)

donde A es la amplitud, θ es la frecuencia angular normalizada (en [rad]) y β es el a´ngulo de fase, o desfase. Note que la unidad de la frecuencia es [rad], y en el Cap´ıtulo 11 veremos la relaci´on entre esta y la frecuencia angular en tiempo continuo, con unidades [rad/s]. Una importante diferencia con las sinusoides de tiempo continuo, es que una sinusoide de tiempo discreto puede ser aperi´ odica en t. Lema 2.3. Una sinusoide de tiempo discreto es peri´ odica si s´ olo si existen n´ umeros naturales p y N , tales que: θ = 2π

p N

(2.27)

˜ 2.3. SENALES DE TIEMPO DISCRETO

31 Euler sinusoide!discreta!amortiguada

Demostraci´ on Una sinusoide discreta sen(θt) es peri´ odica si y s´ olo si existe un n´ umero natural N tal que, para todo t ∈ N, sen(θt) = sen(θ(t + N )) = sen(θt) cos(θN ) + cos(θt) sen(θN )

(2.28)

Para que esta igualdad se cumpla para todo t ∈ N, es necesario y suficiente que cos(θN ) = 1 ( ⇐⇒ sen(θN ) = 0). Esto se cumple si y s´ olo si existe p ∈ N tal que se cumple (2.27). 222 De acuerdo a este lema, las sinusoidales de tiempo discreto: sen(t/7), cos(2t), sen(e t) son todas se˜ nales aperi´ odicas. Un representaci´on equivalente para las se˜ nales sinusoidales se puede obtener a partir de la f´ormula de Euler: A sen(θt + β) = A

2.3.6.

ej(θt+β) − e−j(θt+β) 2j

(2.29)

Sinusoidales con amplitud exponencial

La sinusoide con amplitud modulada exponencialmente interviene frecuentemente describiendo el comportamiento natural de los sistemas de tiempo discreto. Esta se˜ nal aparece cuando λ ∈ C, lo cual significa que podemos expresar λ en la forma polar: λ = ρ ej θ = |λ| ej∠λ

(2.30)

y, de esta forma, tenemos que: λt = ρt ej θt = ρt cos(t θ) + jρt sen(t θ)

(2.31)

Consideremos entonces la se˜ nal: f [t] = Aρt sen(θt + β)

(2.32)

Naturalmente, cuando ρ = 1, la se˜ nal se reduce a una sinusoide pura. Los casos 0 < ρ < 1 (sinusoide amortiguada exponencialmente) y ρ > 1 (sinusoide creciente exponencialmente) se muestran en la Figura 2.14.

˜ CAP´ITULO 2. SENALES

32 0<ρ <1

0.8 0.6

2

0.4

1

0.2

0

0

−1

−0.2

−2

−0.4

0

5

ρ >1

3

10

15

20

−3

0

5

10

15

20

Figura 2.14: Se˜ nales sinusoidales de tiempo discreto con amplitud variando exponencialmente

2.4.

Problemas para el lector

Problema 2.1. Dibuje los gr´ aficos de las siguientes se˜ nales: f1 (t) = | sen(2t)|;

f2 (t) = µ(−3t + 2)

(2.33)

f3 (t) =

f4 (t) = r(−4t − 2)

(2.34)

sen(2t) ; t

Problema 2.2 (Se˜ nal de amplitud modulada). Suponga que la se˜ nal f (t) = cos(10πt) es multiplicada por otra se˜ nal g(t). Dibuje el gr´ afico del producto f (t)g(t), para dos casos distintos: g(t) = 0,2 sen(πt) y g(t) = signo(sen(πt)) Problema 2.3 (Pulsos de ancho modulado). Supongamos se tiene la secuencia de pulsos: f (t) =

∞ X i=0

(µ(t − 3i) − µ(t − 1 − g(t) − 3i))

(2.35)

Construya un gr´ afico de la se˜ nal f (t) para g(t) = 0, 5 sen(0, 1πt). Problema 2.4. Considere la funci´ on: f (t) =

1 sen(α(t − 2)) π t−2

(2.36)

Dibuje f (t) (use Matlab ) para diferentes valores de α. Comente sus resultados Problema 2.5. Determine una expresi´ on anal´ıtica para la derivada de las siguientes funciones y graf´ıquelas:

2.4. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

33

 π π f2 (t) = sen 3t − µ(t − ) (2.37) 3 2

f1 (t) = 2µ(t − 2) − µ(t − 4);   2t − 4 f3 (t) = r ; 3

f4 (t) = (r(t) − 2r(t − 2)) µ(−t + 4) (2.38)

Problema 2.6. Considere los gr´ aficos de la Figura 2.15.

f2 (t)

f1 (t)

t

t 1

2

3

1

4

2

3

Figura 2.15: Se˜ nales compuestas Para cada se˜ nal: 2.6.1 Encuentre la expresi´ on anal´ıtica para cada una de las se˜ nales. 2.6.2 Determine una expresi´ on anal´ıtica para la integral en el intervalo [0, t]. Problema 2.7. Grafique las siguientes se˜ nales de tiempo discreto: f1 [t] = µ[t − 2] − 3µ[t − 5] t

f2 [t] = (0,8) cos(0,25t) f3 [t] = 1 − sen(tπ/8)

(2.39) (2.40) (2.41)

Problema 2.8. Suponga que la se˜ nal de tiempo continuo f (t) = 4 cos(πt) es muestreada cada ∆ [s]. Dibuje la se˜ nal de tiempo discreto f˜[t] = f (t∆) para tres valores diferentes de ∆: 0, 1; 1 y 2. Problema 2.9. Considere la secuencia de n´ umeros {2; 1; 2; 1; 2; 1; 2; 1; 2; 1, . . .}. Si asocia esa secuencia al tiempo discreto, encuentre una expresi´ on anal´ıtica que describa la secuencia.

34

˜ CAP´ITULO 2. SENALES

ecuaci´ on diferencial del sistema|text

Cap´ıtulo 3

An´ alisis en tiempo continuo 3.1.

Introducci´ on

La herramienta fundamental para describir los cambios de una variable en el dominio del tiempo continuo es la derivada, por tanto, el modelo matem´atico central para los sistemas en tiempo continuo es la ecuaci´on diferencial del sistema, EDS, la cual relaciona la entrada del sistema, u(t), con la salida, y(t). En el caso de modelos linealizados (Cap´ıtulo 1), debe entenderse que nos referimos a la entrada incremental ∆u(t) y salida incremental ∆y(t). Como ya hemos destacado, cuando se dispone de un buen modelo lineal para un sistema, se puede utilizar numerosas y poderosas herramientas de an´alisis, s´ıntesis y dise˜ no. Por ejemplo, para resolver una EDS respecto de una entrada particular y condiciones iniciales espec´ıficas, los m´etodos operacionalmente m´as eficientes pertenecen probablemente al dominio del tiempo. Aprovechando tales m´etodos de resoluci´on en el tiempo presentaremos en este cap´ıtulo las soluciones generales para tiempo continuo, suponiendo que el lector tiene la preparaci´on previa necesaria para utilizar esos m´etodos de resoluci´on sin necesidad de demostraci´on. El estudio de las propiedades de las soluciones de una EDS nos permitir´a introducir indicadores de propiedades fundamentales para los sistemas din´amicos lineales tales como su comportamiento natural, estabilidad, velocidad relativa, ganancia y otras. Estos indicadores permitir´an establecer relaciones estrechas entre sus propiedades cuantitativas y cualitativas. La aplicaci´on de los indicadores descritos en este cap´ıtulo y en el siguiente, para el caso de sistemas de tiempo discreto, es m´as eficiente en el dominio de la frecuencia, sin embargo, este t´opico se aborda en los cap´ıtulos posteriores a trav´es de las transformaciones de Fourier, de Laplace y Zeta.

3.2.

Ecuaci´ on diferencial del sistema (EDS)

La forma general de la EDS es: 35

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

36 Heaviside!operador Heaviside

dn−1 y(t) dn y(t) + an−1 + . . . + a0 y(t) n dt dtn−1 dn−1 dn−2 = bn−1 n−1 u(t) + bn−2 n−2 u(t) + . . . + b0 u(t) dt dt

(3.1)

La soluci´on a esta ecuaci´on debe cumplir adem´as con las restricciones que imponen las condiciones o estado inicial. En algunos casos, conviene usar una notaci´on compacta, tipo operador, para denotar la operaci´on derivada. Por esa raz´on, introducimos el operador de Heaviside, ρ h◦i definido por d f (t) dt

 dn f (t) ρ n hf (t)i = ρ n f (t) = ρ ρ n−1 hf (t)i = dtn ρ hf (t)i = ρ f (t) ,

(3.2) (3.3)

El operador de Heaviside representa la derivada de una funci´on y, naturalmente, tiene un inverso asociado definido por la integral: ρ

−1

hf (t)i =

Z

t

f (τ )d τ

(3.4)

−∞

Usando este operador, el modelo (3.1) puede ser escrito como ρ n y(t) + an−1 ρ n−1 y(t) + . . . + a0 y(t) = bn ρ n u(t) + bn−1 ρ n−1 u(t) + . . . + b0 u(t) (3.5) Para ilustrar la forma en que se llega a la EDS desarrollamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.1. Considere la red el´ectrica de la Figura 3.1, donde todos los componentes son lineales.

i(t)

R1 iL (t)

+

vf (t)

L

C

Figura 3.1: Red RLC

R2

v(t)

´ DIFERENCIAL DEL SISTEMA (EDS) 3.2. ECUACION

37

Aplicando las leyes de Kirchoff y las relaciones terminales de las componentes el´ectricas se llega a: vf (t) = R1 i(t) + v(t) Z dv(t) v(t) 1 t v(τ )dτ + C + i(t) = L −∞ dt R2

(3.6) (3.7)

Derivando ambos miembros de las ecuaciones (3.6) y (3.7) se obtiene: di(t) dv(t) dvf (t) = R1 + dt dt dt 1 d2 v(t) 1 dv(t) di(t) = v(t) + C + 2 dt L dt R2 dt

(3.8) (3.9)

Combinando las ecuaciones (3.8) y (3.9) se llega finalmente a: d2 v(t) R1 + R2 dv(t) 1 1 dvf (t) + + v(t) = dt2 R1 R2 C dt LC R1 C dt

(3.10)

Este modelo tiene la estructura de la ecuaci´ on (3.1), en que u(t) = vf (t), y(t) = v(t), n = 2, y los valores de los par´ ametros son:

a1 =

R1 + R 2 ; R1 R2 C

a0 =

1 ; LC

b2 = 0;

b1 =

1 ; R1 C

b0 = 0

(3.11)

Es importante adem´ as hacer notar que la soluci´ on v(t) debe ser tal que satisfaga las condiciones iniciales impuestas por la tensi´ on inicial en el condensador, y la corriente inicial en el inductor. 222 En resumen, podemos afirmar que:

La EDS es un modelo din´amico que establece una restricci´on fundamental sobre ciertas combinaciones de la entrada, la salida y algunas derivadas de ambas se˜ nales. Para ser m´as espec´ıfico, consideremos una ecuaci´on diferencial de primer orden dy + y(t) = u(t) (3.12) dt Observamos en (3.12) que la salida y(t) no puede variar arbitrariamente, sino que existe una restricci´on. Esa restricci´on dice que en un instante arbitrario, t = t1 , la suma de la salida y su primera derivada debe ser igual al valor que

38 equilibrio estable sistema! inestable

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

tiene la entrada u(t1 ). Por ejemplo si u(t) = 2, ∀t ≥ 0, e y(0) = −1, entonces necesariamente y(0) ˙ = 3, es decir, y(0) ˙ > 0, por lo cual en t = 0 la salida y, est´a aumentando. Por otro lado, a medida que y(t) aumenta y se acerca a 2, entonces y(t) ˙ sigue siendo positiva, pero disminuye consistentemente. En el l´ımite, cuando y(t) = 2, su derivada de y es cero, lo cual indica que en ese instante y(t) ya no cambia, es decir, se alcanza un punto de equilibrio estable. Introduzcamos ahora una variante en (3.12): dy − y(t) = u(t) dt

(3.13)

Si nuevamente u(t) = 2, ∀t ≥ 0, e y(0) = −1, entonces y(0) ˙ = 1, lo cual implica que en t = 0 la salida y est´a aumentando. Sin embargo, a diferencia del caso anterior, a medida que y aumenta, acerc´andose a 2, su derivada crece, es decir, y(t) aumenta. Cuando y(t) = 2, se tiene que y(t) ˙ = 4, y subiendo. En consecuencia, y(t) sigue creciendo monot´onicamente, pero siempre la velocidad de cambio, y(t), ˙ debe cumplir con y(t) ˙ = u(t) + y(t). Es decir, no se alcanza un punto de equilibrio y, m´as adelante, definimos este tipo de sistemas como inestable. Ambos casos pueden ser representados por la forma general de una EDS de primer orden: dy + ay(t) − bu(t) = 0 dt

(3.14)

La forma (3.14) deja en evidencia el significado de restricci´on que tiene la EDS. El an´alisis precedente se puede aplicar a EDS m´as complejas, pero en esos casos se pierde la visi´on intuitiva, por ello nos conviene trasladarnos a un a´mbito m´as general, que es lo que hacemos a continuaci´on.

3.3.

La respuesta del sistema

La soluci´on de la EDS condensa aspectos fundamentales su comportamiento en el tiempo. Una aproximaci´on intuitiva a esta conexi´on indica que es esperable que la excitaci´on no s´olo fuerce determinada conducta en la respuesta, sino que en ese proceso revele aspectos claves de la naturaleza del sistema. Esta percepci´on justifica el observar con detenci´on la soluci´on de la EDS y algunas formas en que ella puede ser descompuesta para su mejor comprensi´on.

3.3.1.

Componente homog´ enea y componente particular

Una primera forma de estudiar la respuesta del sistema es descomponerla de modo de identificar aquella parte que captura la naturaleza del sistema, componente natural u homog´ enea, y la otra, que refleja la naturaleza espec´ıfica de la excitaci´on, componente particular o forzada.

3.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

39

La componente homog´enea, yh (t), satisface la ecuaci´on diferencial homog´enea asociada a (3.1), es decir: ρ n yh (t) + an−1 ρ n−1 yh (t) + . . . + a0 yh (t) = 0

(3.15)

Note que esta ecuaci´on tiene infinitas soluciones, las que pueden describirse gen´ericamente como una familia. Los miembros de esta familia se diferencian por los valores num´ericos espec´ıficos que se pueden escoger para un conjunto de n constantes indeterminadas. Por su parte, la componente o soluci´on particular, yp (t), es una funci´on espec´ıfica del tiempo, independiente de las condiciones iniciales, que satisface la ecuaci´on (3.1). La soluci´on completa y(t) = yh (t) + yp (t) queda totalmente determinada al usar las condiciones iniciales, aplicadas a la respuesta completa, y(t), para calcular las constantes indeterminadas presentes en yh (t). Antes de proseguir con el an´alisis consideraremos un ejemplo. Ejemplo 3.2. Suponga que la EDS de un sistema est´ a dada por: dy(t) + 2y(t) = 4u(t) dt

(3.16)

y que la respuesta y(t) debe satisfacer la condici´ on inicial y(0) = −0, 5. Se desea calcular la respuesta del sistema para t ≥ 0 cuando u(t) = 1. yh (t)

La componente homog´enea debe cumplir con: dyh (t) + 2yh (t) = 0 dt

(3.17)

Esta ecuaci´ on es satisfecha por yh (t) = Ce−2t , para cualquier valor de la constante C. yp (t) La componente particular yp (t) es una funci´ on, independiente de las condiciones iniciales, que debe satisfacer (3.16) con u(t) = 1. Una soluci´ on simple es yp (t) = 2, ∀t ≥ 0. De esta forma, la soluci´ on completa es: y(t) = yh (t) + yp (t) = Ce−2t + 2

(3.18)

y la constante C se calcula de modo que y(0) satisfaga la condici´ on inicial y(0) = −0, 5. Por lo tanto, se obtiene C = −2,5 e y(t) = −2,5e−2t + 2 222

respuesta homog´ enea soluci´ on homog´ enea respuesta particular soluci´ on particular

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

40 ecuaci´ on caracter´ ıstica constantes indeterminadas autovalores valores propios valores caracter´ ısticos frecuencias naturales modos naturales modo forzante

3.3.2.

Frecuencias y modos naturales

La componente natural u homog´enea, yh (t) depende s´olo de la ecuaci´ on caracter´ıstica asociada a (3.1), dada por: λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 = 0

(3.19)

Si las soluciones de (3.19) son λ1 , λ2 , . . . λp con multiplicidad n1 , n2 , . . . , np respectivamente, tal que n1 + n2 + . . . + np = n, entonces la forma general de yh (t) es: yh (t) =

p X nk X

Cki ti−1 eλk t

(3.20)

k=1 i=1

donde los Cki son constantes arbitrarias (constantes indeterminadas) que generan los grados de libertad necesarios para que la respuesta completa satisfaga las condiciones iniciales. Los valores de λ que satisfacen (3.19) son conocidos como autovalores, valores propios1 , valores caracter´ısticos o frecuencias naturales del sistema. Dado que los coeficientes de la ecuaci´on caracter´ıstica asociada a la EDS son reales, todas sus ra´ıces son reales, o bien aparecen en pares complejos conjugados. A su vez, cada una de las funciones temporales, asociadas a λk , de la forma: ti−1 eλk t

(3.21)

que aparecen en (3.20) se denomina modo natural del sistema. Los modos naturales se asocian un´ıvocamente a las frecuencias naturales, y la forma temporal de los primeros depende de la multiplicidad y la ubicaci´on de los segundos en el plano complejo. Un mapa general, asumiendo multiplicidad uno para cada frecuencia natural, se aprecia en la Figura 3.2. En esa figura se asocia una se˜ nal (modo natural) a cada frecuencia natural, excepto en el caso de frecuencias complejas, en que se considera el par de complejos conjugados.

3.3.3.

Modos forzantes y modos forzados

La componente particular de la respuesta, yp (t), es una funci´on estrechamente ligada a la entrada, u(t). Un caso simple, en que podemos apreciar esta relaci´on, es cuando u(t) puede describirse como una combinaci´on lineal de funciones de la forma eβi t , es decir: u(t) =

` X

B i eβ i t

(3.22)

i=1

donde los βi0 s son distintos y ninguno de ellos coincide con alguna frecuencia natural. Cada una de las funciones eβi t recibe el nombre de modo forzante. 1 Esta

denominaci´ on resultar´ a natural para modelos en variables de estado (Cap´ıtulo 10)

3.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

41

Eje

λ

Imaginario

λ2

λ1

λ0

λ3

Eje

λ4

Real

Figura 3.2: Relaci´on entre la ubicaci´on de las frecuencias naturales (de multiplicidad uno) y los modos naturales

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

42 modo forzante!ganancia a ganancia! a modo forzante modo forzado ganancia ganancia! a continua

Se puede verificar, usando la linealidad del sistema, que la soluci´on particular, yp (t), est´a dada por:

yp (t) =

` X

ypi (t)

,

en que

ypi (t) = Ki Bi eβi t

(3.23)

i=1

y donde cada uno de los coeficientes es: Pn−1 bk (βi )k Ki = Pk=0 n l l=0 al (βi )

(3.24)

La respuesta yp (t) contiene modos forzados. Bajo la suposici´on anterior, relativa a que ning´ un βi0 s coincide con las frecuencias naturales, cada uno de los modos forzados coincide con uno de los modos forzantes. Observe que podemos identificar a Ki con una ganancia asociada al modo forzante i-´esimo. Cuando el modo forzante es una constante, es decir, e βt = 1, se habla de la ganancia a continua. Para facilitar la comprensi´on del concepto de ganancia a modos, consideremos un ejemplo. Ejemplo 3.3. La EDS de un sistema lineal es: dy + 3y(t) = 2u(t); dt

entonces

a1 = 1; a0 = 3; b0 = 2

(3.25)

Supongamos que la entrada es u(t) = 5 + 4 cos(πt + π/4), entonces podemos expresarla como: u(t) =

3 X i=1

π
π
Bi eβi t = 5eβ1 t + 2ej 4 eβ2 t + 2e−j 4 eβ3 t

(3.26)

donde β1 = 0, β2 = jπ y β3 = −jπ, es decir, hay tres modos forzantes presentes. Las ganancias est´ an dadas por (3.24), y para este caso particular: 2 b0 = β1 + a 0 3 b0 2 K2 = = = 0,3180 − j0,3330 = 0,4604e−j0,8084 β2 + a 0 jπ + 3 b0 2 K3 = = = 0,3180 + j0,3330 = 0,4604ej0,8084 β3 + a 0 −jπ + 3 K1 =

(3.27) (3.28) (3.29)

222 El tratamiento general de la soluci´on particular ser´a pospuesto para cap´ıtulos futuros; pero en el intertanto podemos establecer un hecho trascendente

3.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

43 estabilidad

Los sistemas lineales exhiben ganancias distintas para modos forzantes distintos, y esta capacidad de discriminaci´on es la base para el an´alisis y dise˜ no de sistemas de procesamiento de se˜ nales y para otras aplicaciones.

3.3.4.

Estabilidad

Como ya hemos mencionado, los modos naturales describen aspectos esenciales de un sistema lineal. En primer lugar, los modos naturales guardan estrecha relaci´on con la idea de estabilidad. Intuitivamente podemos definir un sistema lineal (o, mejor dicho, un modelo lineal) como estable si todas las variables (se˜ nales) del sistema permanecen acotadas ante cualquier excitaci´on acotada o estado inicial acotado. Si consideramos s´olo el efecto de condiciones iniciales, resulta que la estabilidad requiere que los modos naturales sean todos acotados. Sin embargo, veremos que la estabilidad de un sistema requiere que todos los modos naturales decaigan en el tiempo. Como cada modo natural depende de una frecuencia natural, son ´estas, es decir, las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica del sistema, las que determinan la estabilidad del sistema. Consideremos el caso de un modo natural de la forma gen´erica: yh1 (t) = Ceλt ; Sea λ = σ + jωo , entonces

λ∈C

yh1 (t) = Ceλt = Ceσt ejωo t = Ceσt (cos(ωo t) + j sen(ωo t))

(3.30)

(3.31)

De la expresi´on anterior se observa que yh1 (t) decae a medida que el tiempo transcurre si y s´olo si eλt decae, y esto ocurre si y s´olo si σ < 0. Dicho de otra forma, si y s´olo si λ est´a en el semi plano izquierdo abierto del plano complejo. Esto se ve reflejado claramente en la Figura 3.2. En resumen, tenemos la siguiente definici´on de estabilidad, conocida como estabilidad asint´otica: Diremos que un modelo lineal e invariante en el tiempo es estable si y s´olo si todos sus modos naturales decaen asint´oticamente a cero, es decir, si y s´olo si todas sus frecuencias naturales tienen parte real estrictamente menor que cero. Si una o m´as de las frecuencias naturales del modelo tienen parte real mayor o igual que cero, diremos que el modelo es inestable. Definimos, en consecuencia, la regi´ on de estabilidad en el plano complejo, para sistemas continuos en el tiempo, como el semiplano izquierdo (SPI) abierto, es decir excluyendo el eje imaginario. La necesidad de esta exclusi´on se demostrar´a m´as adelante. Sin embargo, el ejemplo siguiente permite apreciar el origen de las dificultades cuando una frecuencia natural est´a en el eje imaginario.

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

44 velocidad frecuencia natural!dominante modo natural!dominante

Ejemplo 3.4. Sea un sistema cuya EDS est´ a dada por: dy = 2u(t) dt

(3.32)

Entonces el sistema tiene s´ olo una frecuencia natural, y ella est´ a ubicada en λ = 0, esto significa que el modo natural que aparecer´ a en la respuesta del sistema es eλt = 1. As´ı, la respuesta homog´enea es yh (t) = C1 . Supongamos que la entrada es una constante ∀t ≥ 0, digamos u(t) = Uo , entonces la componente particular de la respuesta es yp (t) = Uo t. De esa forma la respuesta completa es y(t) = C1 + Uo t donde C1 debe calcularse para satisfacer la condici´ on inicial. Debemos notar que este ejemplo pone en evidencia que, aunque la entrada es una simple constante, la salida del sistema crece en forma ilimitada a medida que transcurre el tiempo. El sistema es, por tanto, inestable. 222

3.3.5.

Velocidad

Un segundo aspecto de inter´es en relaci´on con las frecuencias y modos naturales guarda relaci´on con la velocidad con que evolucionan las variables de los sistemas. Dentro de la clase de sistemas estables, podemos distinguir diferencias notables, no s´olo por la distinta naturaleza de los valores propios, sino por las velocidades relativas con que decaen sus modos naturales. Por ejemplo, consideremos dos sistemas con las componentes homog´enas que se indican:

Sistema 1 Sistema 2

yh1 (t) = C11 e−2t + C12 e−5t yh2 (t) = C21 e

−3t

+ C22 e

−7t

(3.33) (3.34)

Vemos que yh1 (t) est´a dominada por el modo natural e−2t porque esta se˜ nal decae m´as lentamente que el otro modo natural e−5t . Por su parte, yh2 (t) est´a dominada por el modo natural e−3t , el que decae m´as lentamente que el modo e−7t . As´ı diremos que el Sistema 1 tiene una frecuencia natural dominante igual a −2, con un modo natural dominante e−2t . A su vez, el Sistema 2 tiene una frecuencia natural dominante igual a −3, con un modo natural dominante e−3t . Al comparar ambos sistemas podemos concluir, en primera aproximaci´on, que el Sistema 1 es m´as lento que el Sistema 2, porque su modo dominante decae m´as lentamente. En general, si λ = −|σ| + jωo , el modo natural tiene la forma: eλt = e−|σ|t (cos(ωo t) + j sen(ωo t))

(3.35)

De esta ecuaci´on se observa que este modo decae m´as r´apidamente cuanto m´as grande es |σ|. As´ı, los sistemas son m´as r´apidos cuanto m´as alejados del eje imaginario est´an sus frecuencias naturales dominantes.

3.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

3.3.6.

45

Respuesta a estado inicial y respuesta a entrada

Una forma alternativa de descomponer la respuesta de un sistema es considerar por separado la componente de la respuesta debida a las condiciones iniciales o estado inicial, yx (t), y la componente de la respuesta debida a la entrada, yu (t), es decir: y(t) = Thhxo , u(t)ii = Thhxo , 0ii + Thh0, u(t)ii | {z } | {z }

(3.36)

ρ n yx (t) + an−1 ρ n−1 yx (t) + . . . + a0 yx (t) = 0

(3.37)

yx (t)

yu (t)

En consecuencia, yx (t) satisface:

sujeta a las condiciones iniciales definidas en el vector xo . Esto significa que yx (t) es una combinaci´on lineal de modos naturales, en donde las constantes dependen de las condiciones iniciales (las que deben ser satisfechas por la soluci´ on completa de la EDS). A su vez, la respuesta a entrada, yu (t), es una soluci´on de la EDS con condiciones iniciales iguales a cero, es decir, satisface: dn yu (t) dn−1 yu (t) + a + . . . + a0 yu (t) n−1 dtn dtn−1 dn−1 dn−2 = bn−1 n−1 u(t) + bn−2 n−2 u(t) + . . . + b0 u(t) dt dt

(3.38)

sujeta a condiciones iniciales cero. Para poder cumplir con esta restricci´on, yu (t) debe contener, adem´as de los modos forzados, una combinaci´on lineal de modos naturales cuyas constantes son calculadas de modo que se cumpla aquella restricci´on. En resumen, una comparaci´on de los diferentes modos presentes en cada una de las componentes de la respuesta de un sistema hasta ahora definidas (homog´enea-particular y estado inicial-entrada) se muestra en la Tabla 3.1.

modos naturales modos forzados

yh (t) √

yp (t) √

yx (t) √

yu (t) √ √

Cuadro 3.1: Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta Es adem´as importante el notar que: y(t) = yh (t) + yp (t) = yx (t) + yu (t) Sin embargo, por lo general, yh (t) 6= yx (t) e yp (t) 6= yu (t).

(3.39)

46

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

Afianzamos estas ideas retomando el Ejemplo 3.2, en el que ilustramos la descomposici´on de la respuesta del sistema en sus componente homog´enea y particular. Ejemplo 3.5. Suponga que la EDS est´ a dada por: dy(t) + 2y(t) = 4u(t) dt

(3.40)

y que la respuesta y(t) debe satisfacer la condici´ on inicial y(0) = −0, 5. Se desea calcular la respuesta del sistema para u(t) = 1 para t ≥ 0. yx (t) La respuesta a estado inicial debe cumplir con: dyx (t) + 2yx (t) = 0 dt

(3.41)

y con yx (0) = −0, 5 Esta ecuaci´ on es satisfecha por yx (t) = Ce−2t , con C = −0,5 yu (t) La respuesta a entrada, yu (t), es una soluci´ on para (3.40) con u(t) = 1, y sujeta a yu (0) = 0. De esta forma, la soluci´ on completa es: yu (t) = yuh (t) + yup (t)

(3.42)

donde yuh (t) es una soluci´ on de la ecuaci´ on homog´enea, es decir yuh (t) = Cu e−2t , e yup (t) es la soluci´ on particular yup (t) = 2. Cu se calcula de modo de obtener yu (0) = 0, lo cual conduce a Cu = −2. Finalmente yx (t) = −0, 5e−2t

yu (t) = −2e

−2t

(3.43)

+2

(3.44)

y(t) = yx (t) + yu (t) = −2,5e

−2t

+2

(3.45)

De esta forma, podemos ahora completar la Tabla 3.1 para el caso de las soluciones obtenidas para este ejemplo. Esto se muestra en la Tabla 3.2. yh (t) modos naturales modos forzados

−2, 5e−2t

yp (t) 2

yx (t)

yu (t)

−0, 5e−2t

−2e−2t 2

Cuadro 3.2: Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta del Ejemplo 3.5

3.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

47

222 Las dos descomposiciones de la respuesta del sistema obtenidas permiten observar dicha respuesta desde dos perspectivas diferentes: En la descomposici´on componente homog´enea – componente particular se observa la estructura de la respuesta. En efecto, en esa partici´on queda en evidencia la presencia de dos tipos de modos: modos naturales (incluidos en la componente homog´enea) y modos forzados (incluidos en la componente particular). En la descomposici´on respuesta a estado inicial – respuesta a entrada se separan los efectos de las dos causantes de que el sistema tenga una respuesta: las condiciones iniciales y las excitaciones o entradas aplicadas. Note que aunque las condiciones iniciales sean iguales a cero, a´ un as´ı, los modos naturales se encuentran presente en la respuesta (en este caso s´olo aparece la componente debida a la entrada, yu (t)). Para cerrar esta secci´on consideraremos un ejemplo donde estos conceptos adquieren un significado m´as concreto. Ejemplo 3.6. En el circuito de la Figura 3.3 las componentes (escaladas, por simplicidad) tienen los siguientes valores: R1 = 2[Ω];

iL (t)

R2 = 1[Ω];

L

L = 1[H];

R1

iα (t)

(3.46)

A

+ vf (t)

C = 0, 5[F ]

C

iβ (t)

vc (t)

R2

Figura 3.3: Red lineal con condiciones iniciales En esta red, la entrada es vf (t), la salida ha sido elegida como vc (t) y el estado inicial es descrito por xo = [iL (0) vc (0)]T . Entonces usando el operador de Heaviside (y su inverso) tenemos que las ecuaciones de mallas llevan a: Z ·I =E

donde: 

1 R + Lρ + ρ −1 4  1 C  Z= 1 − ρ −1 C

 1 −1 − ρ  C ;  1 −1 ρ + R2 C

(3.47) 



i (t) 4  α ; I=   iβ (t)

Esto se puede resolver usando el siguiente c´ odigo:





v (t) 4  f  E=   0

(3.48)

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

48

Maple >with(linalg); >Z:=array(1..2,1..2,[[2+rho+2/rho,-2/rho],[-2/rho,2/rho+1]]); >Zi:=inverse(Z); De donde resulta:  1 2+ρ Z = 2 2 ρ + 4ρ + 6 Resolviendo para iβ (t) se obtiene: −1

2 ρ 2 + 2ρ + 2

(ρ 2 + 4ρ + 6)iβ (t) = (ρ + 2)vf (t)



(3.49)

(3.50)

Dado que vc (t) = 1 · iβ (t), la EDS es: d vc (t) d vf (t) d 2 vc (t) +4 + 6vc (t) = + 2vf (t) (3.51) dt 2 dt dt Supongamos que las condiciones iniciales son vc (0) = 5 [V ], iL (0) = 3 [A] y que vf (t) = 10 [V ]. Primero notamos que, al aplicar LCK en el nodo A, se tiene que:   1 vc (0) v˙ c (0) = = −4 [V ] (3.52) iL (0) − C R2 La soluci´ on total se puede calcular usando el siguiente c´ odigo: Maple >v_f(t):=10: >eds:=diff(v_c(t),t,t)+4*diff(v_c(t),t)+6*v_c(t)-diff(v_f(t),t) -2*v_f(t)=0; >dsolve({eds,v_c(0)=5,D(v_c)(0)=-4},v_c(t)); que entrega como resultado: √ √ 10 5 −2t 1 √ −2t + e cos( 2t) − 2e (3.53) sen( 2t) 3 3 3 Entonces las distintas componentes de la respuesta vc (t) tiene los siguientes valores e interpretaciones: vc (t) =

(a) La componente particular, vcp (t) es aquella componente de vf (t) que contiene s´ olo los modos forzados por la excitaci´ on constante, es decir, es la componente continua de vc (t), en este caso vcp (t) = 10/3[V ]. Note que esta componente se puede calcular usando un divisor de tensiones, y que la ganancia a modo constante de la red es igual a 1/3.

3.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

49

(b) La componente homog´enea, vch (t), es la parte de la respuesta que contiene todos los modos naturales, en este caso: vch (t) =

√ √ 1 √ −2t 5 −2t 2e sen( 2t) e cos( 2t) − 3 3

respuesta transitoria respuesta estacionaria

(3.54)

(c) La componente a estado inicial, vch (t), corresponde al valor que tendr´ıa vc (t) debido s´ olo a la corriente inicial en el inductor y a la tensi´ on inicial en el condensador, es decir con la fuente de tensi´ on cortocircuitada. Esta componente se puede calcular con el siguiente c´ odigo:

Maple >v_f(t):=0: >eds:=diff(v_c(t),t,t)+4*diff(v_c(t),t)+6*v_c(t)-diff(v_f(t),t) -2*v_f(t)=0; >dsolve({eds,v_c(0)=5,D(v_c)(0)=-4},v_c(t));

que entrega como resultado: √ √ √ vcx = 5e−2t cos( 2t) + 3 2e−2t sen( 2t)

(3.55)

(d) La componente a entrada, vcu (t), corresponde a la tensi´ on en el condensador cuando se aplica la fuente de tensi´ on a la red inicialmente relajada. Esta componente se puede calcular con el siguiente c´ odigo:

Maple >v_f(t):=10: >eds:=diff(v_c(t),t,t)+4*diff(v_c(t),t)+6*v_c(t)-diff(v_f(t),t) -2*v_f(t)=0; >dsolve({eds,v_c(0)=0,D(v_c)(0)=0},v_c(t));

de donde se obtiene: vcu (t) =

√ √ 10 √ −2t 10 10 −2t 2e − e cos( 2t) − sen( 2t) 3 3 3

(3.56)

222 Un comentario final sobre la respuesta del sistema es que es usual hablar de respuesta transitoria (o transiente) y respuesta estacionaria (o en estado estacionario). La respuesta estacionaria corresponde a la respuesta del sistema cuando ha transcurrido mucho tiempo desde el instante inicial. Por su parte

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

50 respuesta! a $\mu (t)$ respuesta! a escal´ on

la respuesta transiente es aquella parte de la respuesta que se extingue con el tiempo. En el Ejemplo 3.6 en la p´agina 47, la respuesta estacionaria est´a dada por el modo forzado constante, mientras que la respuesta transitoria est´a formada por los modos naturales (sinusoidales amortiguadas). La separaci´on en componentes estacionaria y transitoria es transversal a la idea de modos naturales y modos forzados, es decir, no ocurrir´a siempre que la respuesta estacionaria incluya s´olo modos forzados, e incluso es posible que la respuesta estacionaria est´e formada exclusivamente por modos naturales. Por ejemplo, el lector puede verificar que si un sistema tiene modos naturales sinusoidales y la entrada es una exponencial decreciente, entonces la respuesta estacionaria contendr´a los modos naturales sinusoidales y la respuesta transitoria incluir´a el modo forzado por la exponencial.

3.4.

Respuesta a se˜ nales de prueba

Una forma de estudiar, y comparar en forma estandarizada el comportamiento de un sistema es determinar su respuesta para excitaciones de prueba. Entre esas se˜ nales de prueba se consideran usualmente: el escal´on unitario, el impulso unitario y la se˜ nal sinusoidal. En esta secci´on nos concentraremos en las dos primeras, pues la respuesta ante se˜ nales sinuosidales ser´a materia de estudio en el Cap´ıtulo 5).

3.4.1.

Respuesta a escal´ on unitario

Considere la ecuaci´on (3.1) en la p´agina 36. Entonces la respuesta, g(t), a un escal´on unitario y condiciones iniciales iguales a cero, se puede obtener de la siguiente forma: Paso 1 Determine la soluci´on general de la ecuaci´on: dn go (t) dn−1 go (t) + an−1 + . . . + a0 go (t) = 1 n dt dtn−1

(3.57)

Note que go (t) contiene una parte natural u homog´enea (combinaci´on lineal de modos naturales de la forma (3.20)) y una componente particular o forzada. Para el caso a0 6= 0, go (t) tiene la forma: p

go (t) =

n

k XX 1 + Cki ti−1 eλk t a0 i=1

k=1

∀t ≥ 0

(3.58)

En el caso m´as general, si a0 = a1 = . . . = ap−1 = 0, ap 6= 0 entonces go (t) tiene la forma: p

go (t) =

n

k 1 p XX t + Cki ti−1 eλk t p!ap i=1

k=1

∀t ≥ 0

(3.59)

˜ 3.4. RESPUESTA A SENALES DE PRUEBA

51

Paso 2 Calcule las constantes Cki usando la restricci´on de las condiciones iniciales iguales a cero, es decir, usando el hecho que: ρ ` hgo (t)i t=0 = 0

` = 0, 1, . . . , n − 1

(3.60)

Paso 3 Calcule las primeras n − 1 derivadas de go (t). Note que, como las condiciones iniciales son cero, esas derivadas son continuas en t = 0. Paso 4 Usando las propiedades de linealidad obtenga g(t) de acuerdo a: g(t) =

n−1 X i=0

bi ρ i hgo (t)iµ(t)

(3.61)

El procedimiento anterior es ilustrado con el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.7. Consideremos un sistema con la EDS: ρ 2 y(t) + 5ρ y(t) + 4y(t) = −ρ u(t) + 2u(t)

(3.62)

2

Entonces las frecuencias naturales son soluciones de λ + 5λ + 4 = 0, es decir λ1 = −4 y λ2 = −1. Luego seguimos los pasos bosquejados previamente: Paso 1 Calculamos la soluci´ on general de: ρ 2 go (t) + 5ρ go (t) + 4go (t) = 1

(3.63)

que resulta ser go (t) = 14 +C1 e−4t +C2 e−t . Este resultado se puede obtener con el siguiente c´ odigo:

Maple >eds:=Diff(Diff(go(t),t),t)+ 5*Diff(go(t),t)+4*go(t)-1; >dsolve(eds);

Paso 2 Para este ejemplo, ya que n = 1, se necesita calcular s´ olo la primera derivada de go (t), la que est´ a dada por: ρ hgo (t)i = −4C1 e−4t − C2 e−t

(3.64)

Paso 3 Las constantes C1 y C2 se calculan a partir de las condiciones iniciales (iguales a cero), es decir: 1 + C1 + C2 4 = 0 = −4C1 − C2

go (0) = 0 = ρ hgo (t)i|t=0

(3.65) (3.66)

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

52 respuesta a $\delta (t)$ respuesta! a impulso

1 de donde C1 = 12 y C2 = − 13 . Nuevamente, este resultado se puede obtener a trav´es del siguiente c´ odigo:

Maple >eds:=Diff(Diff(go(t),t),t)+ 5*Diff(go(t),t)+4*go(t)-1; >dsolve({eds, go(0)=0,D(go)(0)=0},go(t));

Paso 4 La respuesta a escal´ on unitario est´ a entonces dada por: g(t) = 2go (t) − ρ hgo (t)i =

1 1 −4t + e − e−t 2 2

(3.67) 222

3.4.2.

Respuesta a impulso unitario

Considere la ecuaci´on (3.1) en la p´agina (3.1). Entonces la respuesta a un impulso unitario, δ(t), y condiciones iniciales iguales a cero, se puede obtener a partir de la respuesta a escal´on unitario. Esta estrategia se basa en que el sistema representado por la EDS (3.1) es lineal e invariante en el tiempo, pues sus coeficientes son constantes y el argumento de las funciones es t. De esta forma se tiene la situaci´on descrita en la figura 3.4.

µ(t)

S x(0) = 0

g(t)

µ(t − ∆) invarianza en tiempo

g(t − ∆)

S x(∆) = 0

Figura 3.4: Efectos de la invarianza en el tiempo Por lo tanto, usando linealidad: dg(t) g(t) − g(t − ∆) Thh0, µ(t)ii − Thh0, µ(t − ∆)ii = l´ım = l´ım ∆→0 ∆→0 dt ∆ ∆ µ(t) − µ(t − ∆) = l´ım Thh0, i = Thh0, δD (t)ii = h(t) ∆→0 ∆

(3.68)

Entonces, h(t) = dg(t) dt es la respuesta del sistema a un impulso unitario con condiciones iniciales iguales a cero. Aunque en algunos textos se propone calcular h(t) usando una estrategia similar a la seguida para el c´alculo de la respuesta a escal´on unitario, en general

´ ´ 3.5. CALCULO DE LA RESPUESTA V´IA CONVOLUCION

53

ello no es aconsejable dada la especial naturaleza del delta Dirac. En efecto, ´esta no es, en rigor, una funci´on y no es diferenciable, por lo cual ocurren situaciones parad´ojicas. Por u ´ltimo, desde el punto de vista meramente instrumental es mucho m´as simple calcular la respuesta a impulso usando la transformaci´on de Laplace, como se ver´a en el Capitulo 7. Ejemplo 3.8. Consideremos el mismo sistema descrito por (3.62), entonces podemos calcular h(t) derivando la respuesta a escal´ on unitario en (3.67). As´ı se obtiene h(t) =

dg(t) = −2e−4t + e−t dt

∀t ≥ 0

(3.69)

222 Es importante anotar que las condiciones iniciales de un sistema son valores nales pueden ser discontinuas en t = to . Esto conocidos para t = t− o , pero las se˜ es lo que ocurre en el Ejemplo 3.8, donde: l´ım h(t) = 0 6= l´ım+ h(t) = −1

t→0−

t→0

(3.70)

En una perspectiva m´as general, podemos observar que dada la relaci´on entre la respuesta a impulso y la respuesta a escal´on, y considerando que esta u ´ltima contiene una combinaci´on lineal de los modos naturales del sistema y una constante, entonces h(t) contiene s´ olo modos naturales. Conceptualmente, es ´esta la caracter´ıstica que confiere especial importancia a las respuestas a escal´on e impulso. En rigor, la respuesta a excitaciones m´as complejas tambi´en contiene una combinaci´on de modos naturales (a trav´es de la componente homog´enea de la respuesta), sin embargo, la presencia de estos modos se ve oscurecida por la componente particular o forzada de la respuesta. Veremos, en la siguiente secci´on una utilidad inmediata de estas consideraciones.

3.5.

C´ alculo de la respuesta v´ıa convoluci´ on

Supongamos que se conoce la respuesta a impulso, h(t), de un sistema lineal e invariante en el tiempo, con condiciones iniciales iguales a cero, entonces el siguiente lema nos proporciona un resultado crucial en la teor´ıa de los sistemas lineales. Lema 3.1. Considere un sistema lineal e invariante en el tiempo. Sea adem´ as h(t) la respuesta de ese sistema a un impulso unitario en la entrada, con condiciones iniciales iguales a cero. Entonces, la respuesta y(t) del mismo sistema a una excitaci´ on causal2 arbitaria, f (t), con condiciones iniciales iguales a cero, est´ a dada por: 2 Una

se˜ nal f (t) es causal si f (t) = 0 ∀t < 0

convoluci´ on se~ nal causal

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

54

y(t) =

Z

t 0

f (τ )h(t − τ ) dτ

∀t ≥ 0

(3.71)

Demostraci´ on Sea i ∈ N y sea ∆ un incremento temporal, entonces, usando la propiedad de invarianza en el tiempo, tenemos que: h(t − i∆) = Thh0, δ(t − i∆)ii

(3.72)

f (i∆)h(t − i∆)∆ = Thh0, f (i∆)δ(t − i∆)∆ii

(3.73)

Luego, usando homogeneidad,

Aplicando ahora superposici´ on (i = 0, 1, . . .) y haciendo ∆ → 0, i∆ se convierte en una variable continua τ , as´ı se llega a: Z ∞ Z ∞ (3.74) f (τ )δ(t − τ )dτii f (τ )h(t − τ )dτ = Thh0, 0

0

Finalmente, usando el Lema 2.1 y el hecho que h(t − τ ) = 0 ∀τ > t (por causalidad), se obtiene: Z t f (τ )h(t − τ )dτ (3.75) y(t) = Thh0, f (t)ii = 0

222 Observando la ecuaci´on (3.75), y(t) se puede interpretar como una suma ponderada (por f (τ )) de respuestas a impulso h(t − τ ). Note adem´as que dado que f (t) y h(t) son causales, entonces, la ecuaci´on (3.71) tambi´en se puede escribir como:

y(t) =

Z

∞ −∞

f (τ )h(t − τ ) dτ =

Z

∞ −∞

f (t − τ )h(τ ) dτ

∀t ≥ 0

(3.76)

Las integrales que aparecen en la ecuaci´on (3.76) son una expresi´on de la convoluci´ on de dos funciones temporales. La definici´on gen´erica es:

f1 (t) ∗ f2 (t) =

Z

∞ −∞

f1 (τ )f2 (t − τ ) dτ =

Z

∞ −∞

f1 (t − τ )f2 (τ ) dτ

(3.77)

Adem´as de la propiedad de conmutatividad en (3.77), la convoluci´on tiene la propiedad de distributividad, es decir: f1 ∗ (f2 (t) + f3 (t)) = f1 (t) ∗ f2 (t) + f1 (t) ∗ f3 (t)

(3.78)

El uso de convoluci´on para la determinaci´on de la respuesta de un sistema lineal tiene importancia conceptual y num´erica, sin embargo, no es, en general, un procedimiento anal´ıticamente simple. Para apreciar esto u ´ltimo, veremos un ejemplo.

´ ´ 3.5. CALCULO DE LA RESPUESTA V´IA CONVOLUCION

55

Ejemplo 3.9. Un sistema lineal tiene una respuesta a impulso unitario, con condiciones iguales a cero, dada por h(t) = e−2t µ(t). Determine, usando convoluci´ on la respuesta a la se˜ nal u(t) = µ(t) − µ(t − 1). Soluci´ on La respuesta est´ a dada por:

y(t) = u(t) ∗ h(t) =

Z

t −∞

h(τ )u(t − τ )dτ =

Z

t −∞

e−2τ µ(τ )(µ(t − τ ) − µ(t − 1 − τ )dτ

(3.79)

La integraci´ on se puede separar en tres intervalos, que a su vez se muestran en la Figura 3.5: Z 0   u(τ )h(t − τ )dτ = 0     Z−∞ t 1 u(t) ∗ h(t) = u(τ )h(t − τ )dτ = (1 − e−2t )  2  Z0 1    1   u(τ )h(t − τ )dτ = (e−2(t−1) − e−2t ) 2 0

u(τ) τ

1≤t

u(τ)

h(t−τ) τ t

(3.80)

0≤t<1

u(τ)

h(t−τ) t

t<0

h(t−τ)

τ t

Figura 3.5: Ejemplo de descripci´on gr´afica de la convoluci´on

222 Como se puede apreciar, el c´alculo mismo de la convoluci´on es complejo. En realidad la importancia de ella se debe a que, por un lado, condensa la esencia de la linealidad de los sistemas lineales (e invariantes en el tiempo), y por otro, establece un nexo fundamental con el an´alisis mediante las transformadas de Fourier y de Laplace (Cap´ıtulos 6 y 7, respectivamente). De igual forma, la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede calcular a partir de la respuesta a escal´on, como se demuestra en el siguiente lema.

transformada de Fourier transformada de Laplace

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

56

Lema 3.2. Sea una sistema lineal e invariante en el tiempo. Suponga que la respuesta de ese sistema a un escal´ on unitario de entrada, con condiciones iniciales iguales a cero, es g(t). Entonces la respuesta del sistema, bajo condiciones iniciales iguales a cero, a una excitaci´ on u(t) est´ a dada por: y(t) = g(t) ∗

du(t) dt

(3.81)

Demostraci´ on La demostraci´ on sigue la misma l´ınea que el lema anterior. En primer lugar, tenemos que la se˜ nal de entrada u(t) puede ser expresada aproximadamente como la suma de escalones de altura diferencial, es decir3 : u ˜(t) =

∞ X u((i + 1)∆) − u(i∆) µ(t − i∆)∆ ∆ i=−∞

(3.82)

donde u ˜(t) tiende a u(t) cuando ∆ tiende a cero. Por otro lado: g(t − i∆) = Thh0, µ(t − i∆)ii

(3.83)

As´ı, si el sistema es excitado con u ˜(t) entonces, por linealidad e invarianza, se obtiene que la respuesta, y˜(t), est´ a dada por: y˜(t) ≈

∞ X u((i + 1)∆) − u(i∆) g(t − i∆)∆ ∆ i=−∞

(3.84)

Si finalmente hacemos tender ∆ a cero, el producto i∆ se convierte en una variable continua τ y tenemos que: Z ∞ du(τ ) y(t) = l´ım y˜(t) = g(t − τ )dτ (3.85) ∆→0 −∞ dτ Esta ecuaci´ on corresponde al resultado deseado. Note que el l´ımite superior puede ser reducido a τ = t, ya que suponemos que el sistema es causal, por lo cual g(t − τ ) es cero ∀τ > t. Tambi´en, si u(t) es causal, el l´ımite inferior puede ser reemplazado por cero. 222

3 Note que el l´ ımite superior de la suma es ∞ aunque los sumandos para i > t/∆ son cero, debido a la presencia del escal´ on µ(t − i∆).

3.6. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

3.6.

57

Problemas para el lector

Problema 3.1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales que se indican dy + 2y(t) = 0 dt dy d 2y +7 + 10y(t) = 0 dt 2 dt d 2y + 4y(t) = 0 dt 2

y(0) = −1

(3.86)

y(0) = −1; y(0) = 0;

y(0) ˙ =2 y(0) ˙ =1

(3.87) (3.88)

Problema 3.2. La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo a un escal´ on unitario (con condiciones iguales a cero) est´ a dada por g(t) = 1 − e−t + te−t

∀t ≥ 0

(3.89)

3.2.1 Determine la EDS. 3.2.2 Calcule la respuesta del mismo sistema a un impulso unitario. Problema 3.3. Determine los modos asociados a las siguientes conjuntos de frecuencias naturales Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3

λ1 = −2 λ1 = 3 λ1 = −1

λ2 = −2 λ2 = 0 λ2 = −1 + j2

λ3 = −2 λ3 = 0 λ3 = −1 − j2

Problema 3.4. La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo a un impulso unitario es h(t) = e−2t µ(t). Usando convoluci´ on calcule la respuesta del sistema a una entrada u(t) = e−3t µ(t) Problema 3.5. La ecuaci´ on caracter´ıstica de un sistema est´ a dada por λ2 + aλ + 4 = 0

(3.90)

3.5.1 Determine el rango de valores de a que hacen estable al sistema. 3.5.2 Dentro de ese rango determine el valor de a de modo que el sistema sea lo m´ as r´ apido posible. Problema 3.6. Suponga que la respuesta de un sistema lineal a un escal´ on unitario con condiciones iniciales iguales a cero es una se˜ nal g(t), que se muestra en la Figura 3.6. 3.6.1 ¿Es el sistema estable ? 3.6.2 Estime los modos naturales del sistema

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

58 0.7 0.6

g(t)

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

5

10

Tiempo [s]

15

Figura 3.6: Respuesta a escal´on unitario Sistema 1

1.5

3

1

2

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2

Sistema 2

4

Eje imaginario

Eje imaginario

2

1 0 −1 −2 −3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

−4 −3

−2

Eje real

−1

0

1

Eje real

Figura 3.7: Configuraci´on de frecuencias naturales de dos sistemas

3.6.3 Estime la ganancia al modo forzante constante

Problema 3.7. Se calculan los valores caracter´ısticos de dos sistemas y se dibujan en el plano complejo, como se muestra en la Figura 3.7. 3.7.1 Determine los modos naturales de cada sistema. 3.7.2 ¿Cu´ ales son las frecuencias dominantes en cada caso? 3.7.3 ¿Cu´ al de los dos sistemas es m´ as r´ apido? Problema 3.8. Considere la red el´ectrica de la Figura 3.8, en donde se ha agregado el modelo de red para el amplificador operacional. 3.8.1 Determine la ecuaci´ on diferencial que relaciona la entrada v f (t) con la salida vo (t). 3.8.2 Si A  1, ¿es el sistema estable?

3.6. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

59 1 3

R1

2

C

4

1 1

3

+ vf (t)

2

3

vc (t) 4

R2

vo (t)

2

+ Avc (t) 4

Figura 3.8: Red el´ectrica con amplificador operacional

3.8.3 Repita si A  −1 (o, lo que es lo mismo, si se intercambian los terminales 1 y 2).

Problema 3.9. La ecuaci´ on diferencial de un sistema es: d 2 y(t) d y(t) d u(t) +7 + 12y(t) = − + 2u(t) 2 dt dt dt

(3.91)

Calcule la ganancia del sistema para los siguientes modos: u1 (t) = e−2t , u2 (t) = 1 y u3 (t) = cos(3t). Problema 3.10. En un sistema lineal e invariante en el tiempo se sabe que la ganancia al modo ej2t es 0, 3 + j0, 4, y que las frecuencias naturales est´ an ubicadas en λ = −1 y λ = 0. Calcule, si es posible, la respuesta y(t) del sistema cuando la entrada es √ u(t) = 2 sen(2t + π/4) y las condiciones iniciales son y(0) = 0 e y(0) ˙ = 2.

60

´ CAP´ITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

ecuaci´ on de recursi´ on|textbf

Cap´ıtulo 4

An´ alisis en tiempo discreto 4.1.

Introducci´ on

Para variables definidas solo en instantes discretos de tiempo, no es posible definir la derivada, por tanto, la herramienta para describir sus variaciones en el tiempo es la diferencia entre instantes sucesivos. De esta forma. Para los sistemas de tiempo discreto el modelo matem´atico central es la ecuaci´on de recursi´on del sistema, ERS, la cual relaciona la entrada del sistema, u[t], con la salida, y[t]. Para el caso de modelos linealizados, la entrada y salida son ∆u[t] y ∆y[t], respectivamente. La ERS es una descripci´on cuantitativa del sistema especialmente u ´til para el an´alisis num´erico del mismo. Esto guarda relaci´on con la naturaleza de los algoritmos computacionales, en los que una iteraci´on se basa en los resultados de la iteraci´on anterior. Por otro lado, una ERS surge tambi´en cuando se discretiza el modelo para un sistema lineal de tiempo continuo. El estudio de las propiedades de la soluci´on que realizaremos en este cap´ıtulo ser´a complementado cuando, en cap´ıtulos posteriores, se usen la transformada de Fourier discreta, y la transformada Zeta. En este cap´ıtulo, an´alogamente a lo que se hizo en el cap´ıtulo precedente, se desarrollan herramientas de an´alisis que establecen relaciones estrechas entre propiedades cuantitativas y cualitativas de los sistemas lineales (de tiempo discreto). En particular, interesa cuantificar y construir indicadores de propiedades relevantes tales como comportamiento natural, estabilidad, velocidad relativa y ganancia.

4.2.

Ecuaci´ on de recursi´ on del sistema (ERS)

La forma general de la ERS es y[t] + an−1 y[t − 1] + . . . + a1 y[t − n + 1] + a0 y[t − n] = bm u[t] + bm−1 u[t − 1] + . . . + b1 u[t − m + 1] + b0 u[t − m] 61

(4.1)

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

62 causalidad condiciones iniciales operador adelanto promedio m´ ovil

Esta forma de la ERS es una forma en la que la causalidad se cumple sin condiciones para cualquier par de enteros positivos n y m. Esto se aprecia por el hecho que la salida y[t] no depende de valores futuros de la entrada, aunque s´ı podr´ıa depender de valores presentes de la entrada. Cuando la salida depende s´olo de valores pasados de la entrada (bm = 0), se habla de sistemas estrictamente causales. La soluci´on a esta ecuaci´on debe cumplir adem´as con las restricciones que imponen las condiciones o estado inicial. Estas condiciones iniciales se refieren usualmente a un conjunto de n valores y[i ], y[i − 1], . . ., y[i − n + 1], donde i = −1 o, alternativamente1 i = n − 1. Note que estas alternativas no encierran aspectos conceptuales, sino que reflejan el hecho que la elecci´on del instante inicial es arbitraria. Una generalizaci´on m´as amplia dice que la ecuaci´on (4.1) puede ser resuelta si conocemos, aparte de la entrada u[t], un conjunto de valores de la salida y[t] en cualquier conjunto de n instantes. As´ı como ocurre con los sistemas de tiempo continuo, conviene usar una notaci´on compacta, tipo operador, para denotar la operaci´on corrimiento temporal. Por esa raz´on, introducimos el operador adelanto temporal, q definido por 4

qhf [t]i = qf [t] = f [t + 1] n q hf [t]i = q n f [t] = f [t + n]

q −` hf [t]i = q −` f [t] = f [t − `]

(4.2) (4.3) (4.4)

Usando este operador, el modelo (4.1) puede ser escrito como y[t] + an−1 q −1 y[t] + . . . + a1 q −n+1 y[t] + a0 q −n y[t] = bm u[t] + bm−1 q −1 u[t − 1] + . . . + b1 q −m+1 u[t] + b0 q −m u[t]

(4.5)

La ERS puede aparecer como modelo de situaciones muy diferentes. Consideraremos varios casos a modo de ilustraci´on. Ejemplo 4.1 (Promedio m´ ovil). En estad´ısticas econ´ omicas se suele calcular indicadores que resultan de promediar el valor de ciertas variables durante un n´ umero de per´ıodos consecutivos 2 . Suponga que nos interesa la variable desempleo, y que definimos el ´ındice de desempleo trimestral calculado como el promedio de los porcentajes de desempleos de los tres u ´ltimos meses. Entonces la ecuaci´ on de recursi´ on es y[t] =

1 (u[t] + u[t − 1] + u[t − 2]) 3

(4.6) 222

1 El

comando rsolve de Maple puede usar ambas opciones. se hace para disminuir el efecto de fen´ omenos ocasionales, propios de s´ olo parte del per´ıodo bajo an´ alisis (fen´ omenos estacionales) 2 Esto

´ DE RECURSION ´ DEL SISTEMA (ERS) 4.2. ECUACION

63

Ejemplo 4.2 (Discretizaci´ on de ecuaciones diferenciales). Considere la ecuaci´ on diferencial de primer orden ρy(t) + αy(t) = βu(t)

(4.7)

Entonces, si usamos la discretizaci´ on de Euler3 para la primera derivada y consideramos el tiempo discreto t = 0, ∆, . . . `∆ se llega a y((` + 1)∆) − y(`∆) + αy(`∆) = βu(`∆) ∆

(4.8)

y[t] + (∆α − 1)y[t − 1] = ∆βu[t − 1]

(4.9)

Lo cual lleva a

donde y[t] = y((` + 1)∆), y[t − 1] = y(`∆), u[t − 1] = u(`∆). 222 Ejemplo 4.3 (Algoritmo computacional). Considere el siguiente c´ odigo de programa input N u1=0 y1=0 y2=0 For t=1,N input u y=0,7*y1-0,12*y2+0,2*u1 output y u1=u y2=y1 y1=y end Entonces podemos hacer la siguiente asociaci´ on de variables: u[t] = u, u[t − 1] = u1, y[t] = y, y[t − 1] = y1 e y[t − 2] = y2. Por lo tanto en la iteraci´ on t-´esima tenemos que y[t] = 0, 7y[t − 1] − 0, 12y[t − 2] + 0, 2u[t − 1]

(4.10) 222

La ERS es un modelo din´amico que establece una restricci´on fundamental sobre ciertas combinaciones de la entrada, la salida y algunas versiones retrasadas de ambas se˜ nales. Para ser m´as espec´ıficos, consideremos una ecuaci´on de recursi´on de primer orden y[t] − 0, 5y[t − 1] = u[t − 1] 3 Aproximaci´ on

de la derivada como una diferencia hacia adelante.

(4.11)

discretizaci´ on

64 equilibrio estable sistema! inestable

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

Observamos en (4.11) que la salida y[t] no puede variar arbitrariamente, sino que existe una restricci´on. Esa restricci´on dice que en un instante arbitrario, t = t1 , la salida menos la mitad de la salida en un instante anterior debe ser igual al valor que ten´ıa la entrada un instante anterior, u[t1 −1]. Para estudiar la evoluci´on de la salida del sistema conviene re-escribir (4.11) en la forma siguiente y[t] − y[t − 1] = −0, 5y[t − 1] + u[t − 1]

(4.12)

Supongamos ahora que u[−1] = 0, u[t] = 2, ∀t ≥ 0, e y[−1] = −2, entonces necesariamente y[1] − y[0] = 2, 5, es decir, y[1] − y[0] > 0 por lo cual, en t = 0, la salida y, est´a aumentando. Por otro lado, a medida que y[t] aumenta y se acerca a 4, entonces y[t]−y[t−1] sigue siendo positiva, pero disminuye consistentemente ya que −0, 5y[t − 1] + u[t − 1] se acerca a 0. En el l´ımite, cuando y[t] = 4, la diferencia y[t]−y[t−1] es cero, lo cual dice que en ese instante y[t] ya no cambia, es decir, se alcanza un punto de equilibrio estable. Introduzcamos ahora una variante en (4.11) : y[t] − 1, 5y[t − 1] = u[t − 1] =⇒ y[t] − y[t − 1] = 0, 5y[t − 1] + u[t − 1] (4.13) Si nuevamente u[t] = 2, ∀t ≥ 0, e y[−1] = −2, entonces y[1]−y[0] = 1, lo cual implica que en t = 0 la salida y est´a aumentando. Sin embargo, a diferencia del caso anterior, a medida que y aumenta, acerc´andose a 2, su primera diferencia crece, es decir, y[t] aumenta. Cuando y[t] = 2, se tiene que y[t] − y[t − 1] = 4, y subiendo. En consecuencia, y sigue creciendo monot´onicamente, pero siempre la diferencia, y[t] − y[t − 1], debe cumplir con y[t] − y[t − 1] = 0, 5y[t − 1] + u[t − 1]. Es decir, no se alcanza un punto de equilibrio y, m´as adelante, definimos este tipo de sistemas como inestable. Ambos casos pueden ser representados por la forma general de una ERS de primer orden y[t] + ay[t − 1] − bu[t] = 0

(4.14)

La forma (4.14) deja en evidencia el significado de restricci´on que tiene la ERS. El an´alisis precedente se puede aplicar a ERS m´as complejas, pero en esos casos se pierde la visi´on intuitiva, por ello nos conviene trasladarnos a un a´mbito m´as general, que es lo que hacemos a continuaci´on.

4.3.

La respuesta del sistema

La soluci´on de la ERS condensa aspectos fundamentales del comportamiento del sistema. Una aproximaci´on intuitiva a esta conexi´on indica que es esperable que la excitaci´on no s´olo fuerce determinada conducta en la respuesta, sino que en ese proceso revele aspectos claves de la naturaleza del sistema. Esta percepci´on justifica el observar con detenci´on la soluci´on de la ERS y algunas formas en que ella puede ser descompuesta para su mejor comprensi´on. Note que no analizaremos el problema de existencia y unicidad de la soluci´on de (4.1).

4.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

4.3.1.

65

Componente homog´ enea y componente particular

Una primera forma de escudri˜ nar la respuesta del sistema es descomponerla de modo de identificar aquella parte que captura la naturaleza del sistema, componente natural u homog´ enea, y la otra, que refleja la naturaleza espec´ıfica de la excitaci´on, componente particular o forzada. La componente homog´enea, yh [t], satisface la ecuaci´on homog´enea asociada a (4.1), es decir: yh [t] + an−1 q −1 yh [t] + . . . + a0 q −n yh [t] = 0

(4.15)

Antes de proseguir con el an´alisis consideraremos un ejemplo. Ejemplo 4.4. Suponga que la ERS est´ a dada por: y[t] − 0, 5y[t − 1] = u[t − 1]

(4.16)

y[t] − 0, 5y[t − 1] = 0

(4.17)


C(0, 5)t − 0, 5C(0, 5)t−1 = C (0, 5)t − (0, 5)t = 0

(4.18)

Co − 0, 5Co = 1 =⇒ Co = 2

(4.19)

y que la respuesta y[t] debe satisfacer la condici´ on inicial y[0] = −1. Se desea calcular la respuesta del sistema cuando u[t] = 1 para t ≥ 0. yh [t] La componente homog´enea debe cumplir con:

Esta ecuaci´ on es satisfecha por yh [t] = C(0, 5)t , para cualquier valor de la constante C. Esto se verifica reemplazando yh [t] en: (4.17)

yp [t] La componente particular yp [t] es una funci´ on, independiente de las condiciones iniciales, que debe satisfacer (3.16) con u[t] = 1. Como la entrada es una constante, una soluci´ on tentativa es suponer que la soluci´ on particular tambi´en es constante, digamos yp [t] = Co . Si esta suposici´ on es correcta, entonces existe Co constante que satisface (4.16) y puede ser calculada reemplazando yp [t] = Co y u[t] = 1 en (4.16):

Entonces la soluci´ on completa es y[t] = yh [t] + yp [t] = 2 + C(0, 5)t . La constante C se calcula de modo que y[−1] = −1: y[−1] = −1 = 2 + C(0, 5)−1 =⇒ C = −

3 2

(4.20)

Por lo tanto la soluci´ on completa est´ a dada por: 3 y[t] = 2 − (0, 5)t 2

(4.21) 222

respuesta homog´ enea soluci´ on homog´ enea

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

66 ecuaci´ on caracter´ ıstica polinomio caracter´ ıstico

4.3.2.

Frecuencias y modos naturales

Volvamos ahora al problema general de calcular la componente homog´enea de la respuesta del sistema. Para ello repetimos la ecuaci´on homog´enea (4.15): yh [t] + an−1 q −1 yh [t] + . . . + a0 q −n yh [t] = 0

(4.22)

La soluci´on para (4.22) puede ser construida en torno al siguiente lema. Lema 4.1. La funci´ on f [t] = Cλto (λo 6= 0) satisface (4.22) para cualquier constante C ∈ C si y s´ olo si λo ∈ C satisface la ecuaci´ on caracter´ıstica asociada a la ecuaci´ on homog´enea: 4

pq (λ) = λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 = 0

(4.23)

donde: pq (λ) =

X

a` λ`

con an = 1

(4.24)

`=0

es conocido como el polinomio caracter´ıstico asociado a la ERS. Demostraci´ on Reemplazando f [t] en (4.22) se obtiene:
λno + an−1 λon−1 + . . . + a1 λo + a0 = 0 Cλt−n o

(4.25)

Por un lado (suficiencia) se ve que si λo satisface (4.23), entonces f [t] satisface la ecuaci´ on homog´enea. Por otro lado (necesidad), si f [t] satisface la ecuaci´ on homog´enea, entonces (4.25) debe cumplirse ∀t y dado que λo 6= 0, entonces pq (λo ) = 0. 222 Supongamos que las n ra´ıces de pq (λ) son distintas, entonces la soluci´on homog´enea tiene la forma: yh [t] =

n X

Ci λti

(4.26)

i=1

Un caso m´as complejo ocurre cuando algunas ra´ıces de pq (λ) son repetidas. El lema que sigue se refiere al caso de ra´ıces dobles. Lema 4.2. Si el polinomio caracter´ıstico pq (λ) tiene una ra´ız doble, digamos en λ = λ1 , entonces la funci´ on f2 [t] = Ctλt1 satisface la ecuaci´ on homog´enea (4.22). Demostraci´ on Primero notamos que si pq (λ) tiene una ra´ız doble en λ = λ1 , entonces: n X d pq (λ) = a` `λ`1 = 0; dλ λ=λ1 `=0

con an = 1

(4.27)

4.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

67

Luego, reemplazamos yh [t] por f2 [t] en el lado izquierdo de (4.22), para demostrar que es igual a cero. n X `=0

a` yh [t − n + `] =

n X `=0

a` (t − n + `)λt−n+` 1

= (t − n)λt−n 1

n X

(4.28)

a` λ`1 + λ1t−n+1

n X

a` `λ`−1 1

(4.29)

`=0

`=0

= (t − n)λt−n pq (λ1 ) +λ1t−n+1 1 | {z } 0

Con lo cual el lema queda demostrado.

d pq (λ) dλ λ=λ1 {z } |

(4.30)

0

222 El lector es invitado a demostrar el siguiente lema. Lema 4.3. Si el polinomio caracter´ıstico pq (λ) tiene una ra´ız de multiplicidad n1 en λ = λ1 , entonces la funci´ on fn [t] = Cti λt1 satisface la ecuaci´ on homog´enea (4.22) para i = 0, 1, . . . , n1 − 1 222 De los resultados precedentes se puede ver que la ecuaci´on homog´enea tiene infinitas soluciones, las que pueden describirse gen´ericamente como una familia. Los miembros de esta familia se diferencian por los valores num´ericos espec´ıficos que se pueden escoger para un conjunto de n constantes indeterminadas. De la ecuaci´on (4.22) se observa que podemos escoger libremente un conjunto de valores arbitrarios para y[−1], y[−2], . . ., y[−n]. Por cada conjunto elegido hay una soluci´on distinta. Por su parte, la componente o soluci´on particular es una funci´on del tiempo completamente determinada, es decir, independiente de las condiciones iniciales, y que satisface la ecuaci´on (3.1). La soluci´on completa y[t] = yh [t] + yp [t] queda totalmente determinada al usar las condiciones iniciales, aplicadas a la respuesta completa, y[t], para calcular las constantes indeterminadas presentes en yh [t]. Si las soluciones de (4.23) son λ1 , λ2 , . . . λp con multiplicidad n1 , n2 , . . . , np respectivamente, tal que n1 + n2 + . . . + np = n, entonces la forma general de yh [t] es: yh [t] =

p X nt X

C`i ti−1 λt`

(4.31)

`=1 i=1

donde los C`i son constantes arbitrarias (constantes indeterminadas) que generan los grados de libertad necesarios para que la respuesta completa satisfaga las condiciones iniciales.

respuesta particular soluci´ on particular constantes indeterminadas

68 frecuencias naturales modos naturales modo forzante modo forzante!ganancia a ganancia! a modo forzante modo forzado

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

Los valores de λ que satisfacen (4.23) son conocidos como autovalores, valores propios o frecuencias naturales del sistema. Como la ecuaci´on caracter´ıstica de la ERS tiene coeficientes reales, cuando las soluciones son complejas, siempre ocurren en pares conjugados. A su vez, la funciones temporales de la forma: ti−1 λt`

(4.32)

que aparecen en (4.31) se denominan modos naturales del sistema. Los modos naturales se asocian un´ıvocamente a las frecuencias naturales, y la forma temporal de los primeros depende de la ubicaci´on de los segundos en el plano complejo. Un mapa general se aprecia combinando las Figuras 4.1 y 4.2 . En ambos gr´aficos se ha dibujado la circunferencia de radio unitario con centro en el origen. La separaci´on se ha hecho s´olo para una mayor claridad. En esas figuras se asocia una se˜ nal (modo natural) a cada frecuencia natural de multiplicidad uno, excepto en el caso de frecuencias complejas, en que se considera el par complejo conjugado.

4.3.3.

Modos forzantes y modos forzados

La componente particular de la respuesta, yp [t], es una funci´on estrechamente ligada a la entrada, u[t]. Un caso simple, en que podemos apreciar esta relaci´on, es cuando u[t] puede describirse como una combinaci´on lineal de funciones de la forma βit , es decir: u[t] =

` X

Bi βit

(4.33)

i=1

donde los βi0 s son distintos enter s´ı y ninguno de ellos coincide con alguna frecuencia natural. Cada una de las funciones βit recibe el nombre de modo forzante. Se puede verificar, usando la linealidad del sistema, que la soluci´on particular, yp [t], est´a dada por:

yp [t] =

` X

ypi [t];

con

ypi [t] = Ki Bi βit

(4.34)

con an = 1

(4.35)

i=1

y donde cada uno de los coeficentes es: Pm bm−` (βi )−` Ki = P`=0 ; n −l l=0 an−l (βi )

La respuesta yp [t] contiene modos forzados. Bajo la suposici´on anterior, relativos a que los βi0 s son distintos de las frecuencias naturales, todos los modos forzados coinciden con modos forzantes.

4.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

69 ganancia ganancia! a continua

z

1

Figura 4.1: Relaci´on entre la ubicaci´on de las frecuencias naturales (de multiplicidad uno) y los modos naturales (caso decreciente).

Observe que podemos identificar a Ki con una ganancia asociada al modo forzante i-´esimo. Cuando el modo forzante es una constante, es decir, β t = 1t , se habla de la ganancia a continua o ganancia a frecuencia cero. Para facilitar la comprensi´on del concepto de ganancia a modos, consideremos un ejemplo. Ejemplo 4.5. Considere la ERS lineal y[t]−0, 5y[t−1] = 2u[t−1];

n = m = 1; a1 = 1; a0 = −0, 5; b0 = 2 (4.36) Supongamos que la entrada es u[t] = 5+4 cos(πt/4+π/7), entonces podemos expresarla como: u[t] =

3 X i=1

entonces

π
π
Bi eβi t = 5β1t + 2ej 7 β2t + 2e−j 7 β3t

(4.37)

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

70

z

1

Figura 4.2: Relaci´on entre la ubicaci´on de las frecuencias naturales (de multiplicidad uno) y los modos naturales (caso no decreciente).

π

π

donde β1 = 1, β2 = ej 4 y β3 = e−j 4 , es decir, hay tres modos forzantes presentes. Las ganancias est´ an dadas por (4.35), y para este caso particular: 2 b0 = =4 β1 + a 0 0, 5 b0 β2−1 K2 = = 0, 7630 − j2, 605 = 2, 7144e−j1,286 1 + a0 β2−1 K1 =

K3 =

b0 β2−1 = 0, 7630 + j2, 605 = 2, 7144ej1,286 1 + a0 β2−1

(4.38) (4.39) (4.40)

222 El tratamiento general de la soluci´on particular ser´a pospuesto para cap´ıtulos futuros; pero en el intertanto podemos establecer un hecho trascendente

4.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

71

Los sistemas lineales exhiben ganancias distintas para modos forzantes distintos, y esta capacidad de discriminaci´on es la base para el an´alisis y dise˜ no de sistemas de procesamiento de se˜ nales y para otras aplicaciones.

4.3.4.

Estabilidad

Como ya hemos mencionado, los modos naturales describen aspectos esenciales de un sistema lineal. En primer lugar, los modos naturales guardan estrecha relaci´on con la idea de estabilidad. Intuitivamente podemos definir un sistema lineal (o, mejor dicho, un modelo lineal) como estable si todas las variables (se˜ nales) del sistema permanecen acotadas ante cualquier excitaci´on acotada o estado inicial acotado. Si consideramos s´olo el efecto de condiciones iniciales, resulta que la estabilidad requiere que los modos naturales sean todos acotados. Sin embargo, veremos que la estabilidad de un sistema requiere que todos los modos naturales decaigan en el tiempo. Como cada modo natural depende de una frecuencia natural, son ´estas, es decir, las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica, las que determinan la estabilidad del sistema. Consideremos el caso de un modo de la forma gen´erica: yh1 [t] = Cλt ; Sea λ = ηejθ , entonces:

λ∈C

yh1 [t] = Cλt = Cη t ejθt = Cη t (cos(θt) + j sen(θt))

(4.41)

(4.42)

De la expresi´on anterior se observa que yh1 [t] decae a medida que el tiempo transcurre si y s´olo si λt decae, y esto ocurre si y s´olo si |λ| = η < 1. Dicho de otra forma, si y s´olo si λ est´a al interior del c´ırculo o disco unitario (excluyendo su borde). Esto se refleja los modos que aparecen en la Figura 4.1 y, por contradicci´on, en la Figura 4.2. En resumen, tenemos la siguiente definici´on de estabilidad, conocida como estabilidad asint´otica:

Diremos que un modelo lineal e invariante en el tiempo (discreto) es estable si y s´olo si todos sus modos naturales decaen asint´oticamente a cero, es decir, si y s´olo si todas sus frecuencias naturales tienen magnitud estrictamente menor que uno. Si una o m´as de las frecuencias naturales del modelo tienen magnitud mayor o igual que uno, diremos que el modelo es inestable. Definimos, en consecuencia, la regi´ on de estabilidad en el plano complejo, para sistemas de tiempo discreto, como el c´ırculo unitario abierto, es decir excluyendo la circunferencia unitaria. La necesidad de esta exclusi´on se demostrar´a m´as adelante. Sin embargo, el ejemplo siguiente permite apreciar el origen de las dificultades cuando una frecuencia natural est´a en la circunferencia unitaria.

estabilidad c´ ırculo unitario disco unitario

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

72 velocidad frecuencia natural!dominante modo natural!dominante

Ejemplo 4.6. Sea un sistema cuya ERS est´ a dada por: y[t] − y[t − 1] = 2u[t − 1]

(4.43)

y[t] = y[t − 1] + 2u[t − 1]

(4.44)

Entonces el sistema tiene s´ olo una frecuencia natural, y ella est´ a ubicada en λ = 1, esto significa que el modo natural que aparecer´ a en la respuesta del sistema es λt = 1. As´ı, la respuesta homog´enea es yh [t] = C1 . Supongamos que la entrada es una constante ∀t ≥ 0, digamos u[t] = Uo , entonces la componente particular de la respuesta es yp [t] = 2Uo t. De esa forma la respuesta completa es y[t] = C1 + 2Uo t donde C1 debe calcularse para satisfacer la condici´ on inicial. En todo caso, lo relevante de este ejemplo es que aunque la entrada es una simple constante, la salida crece en forma no acotada a medida que el tiempo evoluciona. El sistema es, entonces, inestable. Podemos apreciar mejor la naturaleza de este sistema, si (4.43) es escrita como:

Esta ecuaci´ on puede ser asociada con el c´ aculo de una integral por aproximaci´ on rectangular cuando el ancho de los rect´ angulos es 2. Al final, el resultado del ejemplo muestra que la integral de un escal´ on es una rampa. 222

4.3.5.

Velocidad

Un segundo aspecto de inter´es en relaci´on con las frecuencias y modos naturales guarda relaci´on con la velocidad con que evolucionan las variables de un sistema. Dentro de la clase de sistemas estables, podemos distinguir diferencias notables, no s´olo por la distinta naturaleza de los valores propios, sino por las velocidades comparativas a las que decaen las componente homog´eneas de la respuesta de los distintos sistemas. Por ejemplo, consideremos dos sistemas con las componentes homog´enas que se indican: Sistema 1 Sistema 2

yh1 [t] = C11 0, 9t + C12 0, 5t t

yh2 [t] = C21 0, 2 + C22 0, 7

t

(4.45) (4.46)

Vemos que yh1 [t] est´a dominada por el modo natural 0, 9t , pues esta se˜ nal decae m´as lentamente que el otro modo natural 0, 5t . Por su parte, yh2 [t] est´a dominada por el modo natural 0, 7t , el que decae m´as lentamente que el modo 0, 2t . As´ı diremos que el Sistema 1 tiene una frecuencia natural dominante igual a 0, 9, con un modo natural dominante 0, 9t . A su vez, el Sistema 2 tiene una frecuencia natural dominante igual a 0, 7, con un modo natural dominante 0, 7 t . Al comparar ambos sistemas podemos concluir, en primera aproximaci´on, que el Sistema 1 es m´as lento que el Sistema 2, porque su modo dominante decae m´as lentamente.

4.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

73

En general, si λ = ηejθ , con 0 ≤ η < 1, el modo natural tiene la forma: λt = η t (cos(θt) + j sen(θt))

(4.47)

De esta ecuaci´on se observa que este modo decae m´as r´apidamente cuanto m´as peque˜ no es η. As´ı, los sistemas estables son m´as r´apidos cuanto m´as cercanos al origen del plano complejo est´an sus frecuencias naturales dominantes.

4.3.6.

Respuesta a estado inicial y respuesta a entrada

Una forma alternativa de descomponer la respuesta de un sistema es considerar por separado la componente de la respuesta debida al estado inicial, y x [t], y la componente de la respuesta debida a la entrada, yu [t], es decir: y[t] = Thhxo , u[t]ii = Thhxo , 0ii + Thh0, u[t]ii | {z } | {z }

(4.48)

yx [t] + an−1 q −1 yx [t] + . . . + a0 q −n yx [t] = 0

(4.49)

yx [t]

yu [t]

En consecuencia, yx [t] satisface:

sujeta a las condiciones iniciales definidas en un vector xo . Esto significa que yx [t] es una combinaci´on lineal de modos naturales, en donde las constantes dependen de las condiciones iniciales (las que deben ser satisfechas por la soluci´ on completa de la ERS). A su vez, la respuesta a entrada, yu [t], es una soluci´on de la ERS con condiciones iniciales iguales a cero, es decir, satisface: yu [t] + an−1 q −1 yu [t] + . . . + a0 q −n yu [t] = bm u[t] + bm−1 q −1 u[t] + . . . + b0 q −m u[t]

(4.50)

sujeta a condiciones iniciales cero. Para poder cumplir la restricci´on que imponen estas condiciones, yu [t] debe contener, adem´as de los modos forzados, una combinaci´on lineal de modos naturales cuyas constantes son calculadas de modo que se cumpla aquella restricci´on. La Tabla 4.1 muestra una comparaci´on de los modos presentes en las descomposiciones descritas de la respuesta de un sistema.

modos naturales modos forzados

yh [t] √

yp [t] √

yx [t] √

yu [t] √ √

Cuadro 4.1: Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta Es adem´as importante el notar que:

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

74

y[t] = yh [t] + yp [t] = yx [t] + yu [t]

(4.51)

No obstante, en general, yh [t] 6= yx [t] e yp [t] 6= yu [t]. Afianzaremos estas ideas a trav´es del ejemplo 4.4 en que se muestra la descomposici´on en componente homog´enea y particular, para un caso particular. Ejemplo 4.7. Suponga que la ERS est´ a dada por: y[t] − 0, 5y[t − 1] = u[t − 1]

(4.52)

y que la respuesta y[t] debe satisfacer la condici´ on inicial y[−1] = −1. Se desea calcular la respuesta del sistema si u[t] = 1 para t ≥ −1. yx [t] La respuesta a estado inicial debe cumplir con: yx [t] − 0, 5yx [t − 1] = 0

(4.53)

yx [t] = −0, 5(0, 5)t

(4.54)

y con yx [−1] = −1. Esta ecuaci´ on es satisfecha por yx [t] = C(0, 5)t , con C = −0, 5, es decir:

yu [t] La respuesta a entrada, yu [t], es una soluci´ on para (4.52) con u[t] = 1, y sujeta a yu [−1] = 0. De esta forma, la soluci´ on completa es yu [t] = yuh [t] + yup [t]

(4.55)

donde yuh [t] es una soluci´ on de la ecuaci´ on homog´enea, es decir yuh [t] = Cu (0, 5)t , 4 e yup [t] es la soluci´ on particular yup [t] = 2. Cu se calcula de modo de obtener yu [−1] = 0, lo cual conduce a Cu = −1. Finalmente: yx [t] = −0, 5(0, 5)t

(4.56)

t

yu [t] = −(0, 5) + 2

(4.57) t

y[t] = yx [t] + yu [t] = −1, 5(0, 5) + 2

(4.58)

Este resultado tambi´en puede ser obtenido directamente con el c´ odigo:

Maple >rsolve({y(n)=0.5*y(n-1)+1, y(-1)=-1},y(t)); 4 Esta

soluci´ on particular se puede calcular usando la ganancia al modo 1 t .

4.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA

75

De esta forma, podemos ahora completar la Tabla 4.1 para el caso de las soluciones obtenidas para este ejemplo. Esto se muestra en la Tabla 4.2. yh [t] modos naturales modos forzados

−1, 5(0, 5)

yp [t] t

2

yx [t] −0, 5(0, 5)

yu [t] t

−(0, 5)t 2

Cuadro 4.2: Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta del ejemplo

222 Las dos descomposiciones de la respuesta del sistema que se han desarrollado permiten observar esa respuesta desde dos perspectivas diferentes En la descomposici´on componente homog´enea – componente particular se observa la estructura de la respuesta. En efecto, en esa partici´on queda en evidencia la presencia de dos tipos de modos: modos naturales (incluidos en la componente homog´enea) y modos forzados (incluidos en la componente particular). En la descomposici´on respuesta a estado inicial – respuesta a entrada se separan los efectos de las dos causas de que el sistema tenga una respuesta: las condiciones iniciales y las excitaciones o entradas aplicadas. Note que aunque las condiciones iniciales sean cero, los modos naturales igual se encuentran presentes en la respuesta del sistema a trav´es de la respuesta debida a la entrada, yu [t]. Un comentario final sobre la respuesta del sistema es que es usual hablar de respuesta transitoria y respuesta estacionaria. La respuesta estacionaria corresponde a la respuesta del sistema cuando ha transcurrido mucho tiempo desde el instante inicial. Por su parte la respuesta transiente es aquella parte de la respuesta que se extingue con el tiempo. En el ejemplo 3.6 en la p´agina 47, la respuesta estacionaria est´a dada por el modo forzado constante, mientras que la respuesta transitoria est´a formada por los modos naturales (sinusoidales amortiguadas). La separaci´on en componentes estacionaria y transitoria es transversal a la idea de modos naturales y modos forzados. La respuesta estacionaria puede existir incluso si la entrada es cero. En ese caso est´a formada exclusivamente por modos naturales. Por ejemplo, si un sistema tiene modos naturales sinusoidales y la entrada es una exponencial decreciente, entonces la respuesta estacionaria contendr´a los modos naturales sinusoidales y la respuesta transitoria incluir´a el modo forzado por la exponencial. Por otro lado, si el sistema tiene ganancia cero a un modo forzante, el correspondiente modo forzado no aparecer´a en la respuesta estacionaria.

respuesta respuesta

transitoria estacionaria

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

76 respuesta! a $\mu [t]$ respuesta! a escal´ on

4.4.

Respuesta a se˜ nales de prueba

Una forma de estudiar, y comparar en forma estandarizada el comportamiento de un sistema es determinar su respuesta para excitaciones de prueba. Entre esas se˜ nales de prueba se consideran usualmente: el escal´on unitario, el impulso unitario y la se˜ nal sinusoidal. En esta secci´on nos concentraremos en las dos primeras, pues la respuesta ante se˜ nales sinuosidales ser´a materia de estudio en el Cap´ıtulo 5).

4.4.1.

Respuesta a escal´ on unitario

Considere la ecuaci´on (4.1) en la p´agina 61. Entonces la respuesta, g[t], a un escal´on unitario y condiciones iniciales iguales a cero5 , se puede obtener de la siguiente forma: Paso 1 Determine la soluci´on general de la ecuaci´on: go [t] + an−1 q −1 go [t] + . . . + a0 q −n go [t] = 1

(4.59)

Note que go [t] contiene una parte natural u homog´enea (combinaci´on lineal de modos naturales de la forma (4.31)) y una componente particular o forzada. Cuando el sistema no tiene frequencias naturales en λ = 1, go [t] tiene la forma:

go [t] = Ko +

p X n` X

C`i ti−1 λt`

`=1 i=1

∀t ≥ −n

(4.60)

donde Ko es la ganancia del sistema con ERS (4.59) al modo constante 1t , es decir: 1 Ko = Pn

i=0

ai

;

con an = 1

(4.61)

En el caso general en que el sistema tiene una frequencia natural en λ = 1, con multiplicidad p, go [t] tiene la forma: go [t] = Kp tp−1 +

p X n` X

C`i ti−1 λt`

`=1 i=1

∀t ≥ −n

(4.62)

Hemos anotado que esta expresi´on para go [t] es v´alida ∀t ≥ −n ya que satisface las condiciones iniciales. Paso 2 Calcule la se˜ nales retardadas q −` go [t], para ` = 1, 2, . . ., n. 5 Elegimos,

por simplicidad, g[−1] = g[−2] = . . . = g[−n] = 0

˜ 4.4. RESPUESTA A SENALES DE PRUEBA

77

Paso 3 Calcule las constantes C`i usando la restricci´on de las condiciones iniciales iguales a cero, es decir, usando el hecho que: q −` go [t]|t=0 = 0

` = 0, 1, . . . , n − 1

(4.63)

Paso 4 Usando las propiedades de linealidad e invarianza, obtenga g[t] de acuerdo a: g[t] = bm go [t] +

m X i=1

bm−i q −i go [t]µ[t − i ]

(4.64)

El procedimiento anterior es ilustrado con el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.8. Consideremos la ERS: y[t] − 0, 9q −1 y[t] + 0, 2q −2 y[t] = 2u[t] + q −1 u[t]

(4.65)

Entonces las frecuencias naturales son soluciones de λ2 − 0, 9λ + 0, 2 = 0, es decir λ1 = 0, 5 y λ2 = 0, 4. Luego, seguimos los pasos bosquejados previamente: Paso 1 Calculamos la soluci´ on general de: go [t] − 0, 9q −1 go [t] + 0, 2q −2 go [t] = 1

(4.66)

t t ermino que resulta ser go [t] = 10 3 + C1 (0, 5) + C2 (0, 4) . Note que el t´ corresponde a la ganancia a continua, es decir, al modo forzante 1t .

10 3

Paso 2 Para este ejemplo, ya que n = 2, se necesita calcular go [t−1] y go [t−2]: 10 10 + C1 (0, 5)t−1 + C2 (0, 4)t−1 = + 2C1 (0, 5)t + 2, 5C2 (0, 4)t 3 3 (4.67) 10 10 go [t − 2] = + C1 (0, 5)t−2 + C2 (0, 4)t−2 = + 4C1 (0, 5)t + 6, 25C2 (0, 4)t 3 3 (4.68) go [t − 1] =

Paso 3 Las constantes C1 y C2 se calculan a partir de las condiciones iniciales (iguales a cero), es decir: 10 + 2C1 + 2, 5C2 3 10 go [−2] = 0 = + 4C1 + 6, 25C2 3 go [−1] = 0 =

(4.69) (4.70)

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

78 respuesta! a $\delta [t]$ respuesta! a impulso

de donde C1 = −5 y C2 = 38 . Lo cual conduce a: go [t] =

10 8 − 5(0, 5)t + (0, 4)t 3 3

∀t ≥ −2

(4.71)

Este resultado se puede obtener a trav´es del siguiente c´ odigo:

Maple >ers:=go(n)-0.9*go(n-1)+0.2*go(n-2)-1; >rsolve({ers,go(-1)=0,go(-2)=0},go(t));

Paso 4 La respuesta a escal´ on unitario est´ a entonces dada por:

g[t] = 2go [t] − go [t − 1]µ[t − 1]

(4.72)   16 10 8 20 − 10(0, 5)t + (0, 4)t + − 5(0, 5)t−1 + (0, 4)t−1 µ[t − 1] ∀t ≥ −2 = 3 3 3 3 (4.73)   20 16 10 20 = − 10(0, 5)t + (0, 4)t + − 10(0, 5)t + (0, 4)t µ[t − 1] ∀t ≥ −2 3 3 3 3 (4.74)

Note que go [t − 1]µ[t − 1] = go [t − 1]µ[t], ya que go [t − 1]µ[t]|t=0 = 0. As´ı tenemos que6

g[t] = 10 − 20(0, 5)t + 12(0, 4)t

∀t ≥ 0

(4.75) 222

4.4.2.

Respuesta a impulso unitario

Considere la ecuaci´on (4.1) en la p´agina 61. Entonces la respuesta a un impulso unitario, δ[t], y condiciones iniciales iguales a cero, se puede obtener a partir de la respuesta a escal´on unitario.Esta estrategia se basa en que el sistema representado por la ERS (4.1) es lineal e invariante en el tiempo. Recordemos que: δ[t] = µ[t] − µ[t − 1] Entonces, la respuesta h[t], a un impulso unitario est´a dada por: 6 Note

que esta expresi´ on no es v´ alida para t = −1 y t = −2

(4.76)

´ ´ 4.5. CALCULO DE LA RESPUESTA VIA CONVOLUCION

79 convoluci´ on

h[t] = g[t] − g[t − 1]µ[t − 1]

∀t ≥ −n

(4.77)

Como las condiciones iniciales son cero, g[t − 1]µ[t − 1] = g[t − 1]µ[t], ya que g[t − 1]µ[t]|t=0 = 0. As´ı la respuesta a un impulso unitario con condiciones iniciales iguales a cero est´a dada por: h[t] = g[t] − g[t − 1]

∀t ≥ 0

(4.78)

Aunque en algunos textos se propone calcular h[t] usando una estrategia similar a la seguida para el c´alculo de la respuesta a escal´on unitario, en general desde el punto de vista meramente instrumental es mucho m´as simple calcular la respuesta a impulso usando la transformada Zeta, como se ver´a en el Cap´ıtulo 8. Ejemplo 4.9. Consideremos el mismo sistema descrito por (4.65), entonces podemos calcular h[t] construyendo la primera diferencia de la respuesta a escal´ on unitario en (4.72). As´ı se obtiene: h[t] = 10 − 20(0, 5)t + 12(0, 4)t − 10 + 20(0, 5)t−1 − 12(0, 4)t−1 t

= 20(0, 5) − 18(0, 4)

t

∀t ≥ 0

(4.79) (4.80)

222 En una perspectiva general, podemos observar que dada la relaci´on entre la respuesta a impulso y la respuesta a escal´on, y considerando que esta u ´ltima contiene una combinaci´on lineal de los modos naturales del sistema y una constante, entonces h[t] contiene s´ olo modos naturales. Conceptualmente, es ´esta la caracter´ıstica que confiere especial importancia a las respuestas a escal´on e impulso. En rigor, la respuesta a excitaciones m´as complejas tambi´en contiene una combinaci´on de modos naturales (a trav´es de la componente homog´enea de la respuesta), sin embargo, la presencia de estos modos se ve oscurecida por la componente particular o forzada de la respuesta. Veremos, en la siguiente secci´on una utilidad inmediata de estas consideraciones.

4.5.

C´ alculo de la respuesta via convoluci´ on

Supongamos que se conoce la respuesta a impulso, h[t], de un sistema lineal e invariante en el tiempo, con condiciones iniciales iguales a cero, entonces, el siguiente lema nos proporciona un resultado crucial en la teor´ıa de los sistemas lineales de tiempo discreto. Lema 4.4. Considere un sistema lineal e invariante en el tiempo. Sea adem´ as h[t] la respuesta de ese sistema a un impulso unitario en la entrada, con condiciones iniciales iguales a cero. Entonces, la respuesta y[t] del mismo sistema a

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

80 se~ nal causal

una excitaci´ on causal7 arbitaria, u[t], con condiciones iniciales iguales a cero, est´ a dada por: y[t] =

t X `=0

u[`]h(t − `)

∀t ≥ 0

(4.81)

Demostraci´ on Recordemos que toda se˜ nal u[t] puede expresarse por: u[t] =

∞ X `=0

u[`]δ[t − `]

(4.82)

Por otro lado, dada la invarianza del sistema tenemos que: h[t − `] = Thh0, δ[t − `]ii

(4.83)

Luego, usando homogeneidad: u[`]h[t − `] = Thh0, u[`]δ[t − `]ii

(4.84)

Aplicando ahora superposici´ on se llega a: ∞ X `=0

u[`]h[t − `] = Thh0,

∞ X `=0

u[`]δ[t − `]ii

(4.85)

Finalmente, usando (4.82) y el hecho que h[t−`] = 0 ∀` > t (por causalidad), se obtiene: y[t] = Thh0, u[t]ii =

t X `=0

u[`]h[t − `]

∀t ≥ 0

(4.86)

222 En la ecuaci´on (4.86) y[t] se puede interpretar como una suma ponderada (por u[`]) de respuestas a impulso h[t − `]. Note que dado que u[t] y h[t] son causales, entonces, la ecuaci´on (4.81) tambi´en se puede escribir como: y[t] =

∞ X

`=−∞

u[`]h[t − `] =

∞ X

`=−∞

u[t − `]h[`]

∀t ≥ 0

(4.87)

Las sumas que aparecen en la ecuaci´on (4.87) son una expresi´on de la convoluci´ on de dos funciones temporales. La definici´on gen´erica es: f1 [t] ∗ f2 [t] = 7 Una

∞ X

`=−∞

f1 [`]f2 [t − `] =

se˜ nal u[t] es causal si u[t] = 0 ∀t < 0

∞ X

`=−∞

f1 [t − `]f2 [`]

(4.88)

´ ´ 4.5. CALCULO DE LA RESPUESTA VIA CONVOLUCION

81

Aparte de la propiedad de commutatividad que aparece en (4.88), la convoluci´on tiene la propiedad de distributividad, esto es: f1 ∗ (f2 [t] + f3 [t]) = f1 [t] ∗ f2 [t] + f1 [t] ∗ f3 [t]

(4.89)

Otra propiedad fundamental de la convoluci´on est´a dada por el siguiente lema. Lema 4.5. La convoluci´ on de un se˜ nal con un impulso de Kronecker en el origen, δ[t], es la se˜ nal misma, es decir: u[t] ∗ δ[t − to ] = u[t − to ]

(4.90)

Demostraci´ on

u[t]∗δ[t−to ] =

∞ X

`=−∞

u[`]δ[t−to −`] =

∞ X

`=−∞

u[t−to ]δ[t−to −`] = u[t−to ] (4.91)

Note que el u ´ltimo paso de la demostraci´ on se basa en que una funci´ on de tiempo discreto es un tren de impulsos de Kronecker cuya amplitud es el valor instant´ aneo de la se˜ nal. 222 El uso de convoluci´on para la determinaci´on de la respuesta de un sistema lineal tiene importancia conceptual y num´erica, sin embargo, no es, en general, un procedimiento anal´ıticamente simple. Es interesante observar que el c´alculo de la convoluci´on entre dos se˜ nales discretas se puede ilustrar de manera muy simple: si consideramos dos tiras de papel, en una de las cuales se anotan los valores de la primera se˜ nal y, en la otra los de la segunda, entonces la convoluci´on se realiza invirtiendo una de las tiras y retrocedi´endola sobre la otra. Para cada retroceso, la convoluci´on corresponde a multiplicar los valores coincidentes y sumar los productos resultantes. Esto se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.10. Un sistema lineal tiene una respuesta a impulso unitario, con condiciones iguales a cero, dada por h[t] = (0, 5)t µ[t]. Determine, usando convoluci´ on la respuesta a la se˜ nal u[t] = µ[t] − µ[t − 3]. Soluci´ on La respuesta est´ a dada por

y[t] = u[t] ∗ h[t] =

t X

`−∞

u[`]h[t − `] =

t X

`−∞

(0, 5)t−` µ[t − `](µ[`] − µ[` − 3])

La suma o acumulaci´ on se puede segmentar en tres intervalos:

(4.92)

82 transformada de Fourier transformada Zeta

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

 −1 X    u[`]h[t − `]d` = 0     `=−∞   t X u[t] ∗ h[t] = u[`]h[t − `]d` = 2 − (0, 5)t    `=0   2  X   u[`]h[t − `]d` = 7(0, 5)t  `=0

t<0 0≤t<3

(4.93)

t≥3

Una resoluci´ on compacta se puede desarrollar usando el hecho que la entrada se puede expresar como la suma de tres impulsos unitarios, es decir: u[t] = µ[t] − µ[t − 3] = δ[t] + δ[t − 1] + δ[t − 2]

(4.94)

De esta forma podemos calcular la respuesta usando la propiedad de distributividad de la convoluci´ on, seguida por la aplicaci´ on del Lema 4.5:

y[t] = h[t] ∗ u[t] = h(t) ∗ (δ[t] + δ[t − 1] + δ[t − 2])

= (0, 5)t µ[t] + (0, 5)t−1 µ[t − 1] + (0, 5)t−2 µ[t − 2]

(4.95)

222 Como se puede apreciar, el c´alculo mismo de la convoluci´on es complejo. En realidad la importancia de ella se debe a que, por un lado, condensa la esencia de la linealidad de los sistemas lineales (e invariantes en el tiempo), y por otro, es un nexo de conexi´on con el an´alisis en el dominio de las transformadas de Fourier discreta y Zeta (Cap´ıtulos 6 y 8, respectivamente). La convoluci´on en tiempo discreto es ampliamente usada para construir la respuesta de sistemas lineales, invariantes en el tiempo y causales, cuando se conoce la respuesta a un impulso unitario. Esto se debe a la simplicidad de las expresiones del Lema 4.4. La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede calcular a partir de la respuesta a escal´on, como se muestra en el el siguiente lema. Lema 4.6. Sea un sistema lineal e invariante en el tiempo. Suponga que la respuesta de ese sistema a un escal´ on unitario de entrada, con condiciones iniciales iguales a cero, es g[t]. Entonces la respuesta del sistema, bajo condiciones iniciales iguales a cero, a una excitaci´ on u[t] est´ a dada por: y[t] = u[t] ∗ (g[t] − g[t − 1]) = g[t] ∗ (u[t] − u[t − 1])

(4.96)

Demostraci´ on Dado que δ[t] = µ[t] − µ[t − 1], entonces, por linealidad e invarianza, la respuesta h[t], a un impulso unitario puede expresarse como: h[t] = g[t] − g[t − 1] Esto lleva inmediatamente al primer resultado, dado que:

(4.97)

´ ´ 4.5. CALCULO DE LA RESPUESTA VIA CONVOLUCION

y[t] = u[t] ∗ h[t] = u[t] ∗ (g[t] − g[t − 1])

83

(4.98)

Para demostrar la segunda parte del resultado, notamos que la se˜ nal de entrada, u[t] puede expresarse como la suma de escalones incrementales, es decir: u[t] =

∞ X

`=−∞

(u[`] − u[` − 1])µ[t − `]

(4.99)

Luego, usando la linealidad y la invarianza vemos que: y[t] = Thh0, u[t]ii =

∞ X

`=−∞

(u[`] − u[` − 1])g[t − `]

(4.100)

Y, finalmente, reconocemos en la sumatoria la forma de la convoluci´ on, es decir: ∞ X

`=−∞

(u[`] − u[` − 1])g[t − `] = g[t] ∗ (u[t] − u[t − 1])

(4.101) 222

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

84

4.6.

Problemas para el lector

Problema 4.1. Resuelva las siguientes ecuaciones de recursi´ on con las condiciones iniciales que se indican: y[t] − 0, 2y[t − 2] = 0 y[t] − 0, 6y[t − 1] + 0, 09y[t − 2] = 0

y[t + 1] − 1, 3y[t] + 0, 4y[t − 1] = 0 y[t] − 4y[t − 1] + 9y[t − 2] = 0 y[t] − y[t − 10] = 0

y[−1] = 1; y[−1] = 2;

y[−2] = −1 y[1] = 1

(4.102) (4.103)

y[0] = 0; y[5] = 0 (4.104) y[−1] = 0; y[−2] = 1 (4.105) y[−1] = 1; y[−i] = 0 ∀i > 1 (4.106)

Verifique con Maple . Problema 4.2. Calcule la respuesta a escal´ on unitario, con condiciones iguales a cero para cada una de las ERS: y[t] − 0, 2y[t − 2] = u[t]

(4.107)

y[t] − 2y[t − 1] + y[t − 2] = u[t]

(4.110)

y[t] − 0, 6y[t − 1] + 0, 09y[t − 2] = u[t − 1] − u[t − 2] y[t] − 1, 3y[t − 1] + 0, 4y[t − 2] = 0, 2u[t − 10]

(4.108) (4.109)

Verifique con Maple . Problema 4.3. Considere la se˜ nal: f [t] = 2(0, 6)t − 2(0, 2)t

(4.111)

4.3.1 Proponga una ERS de modo que f [t] corresponda (∀t ≥ 0) a la respuesta del sistema a impulso con condiciones iniciales iguales a cero. 4.3.2 Proponga una ecuaci´ on de recursi´ on homog´ enea, de modo que f [t] corresponda a la respuesta a estado inicial. Especifique ese estado inicial. Problema 4.4. La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo a un escal´ on unitario y condiciones inciales iguales a cero est´ a dada por: g[t] = (1 − (0, 5)t + t(0, 5)t )µ[t] 4.4.1 Determine la ERS. 4.4.2 Calcule la respuesta del mismo sistema a un impulso unitario.

(4.112)

4.6. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

85

Problema 4.5. Determine los modos asociados a las siguientes conjuntos de frecuencias naturales: Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3

λ1 = −0, 2 λ1 = −0, 3 λ1 = −1

λ2 = −0, 2 λ2 = 0, 3 λ2 = −0, 1 + j0, 2

λ3 = −0, 2 λ3 = −2 λ3 = −0, 1 − j0, 2

Problema 4.6. La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo a un delta de Kronecker es h[t] = (0, 7)t µ[t]. Usando convoluci´ on calcule la respuesta del sistema a una entrada u[t] = (0, 3)t µ[t]. Problema 4.7. La ecuaci´ on caracter´ıstica de un sistema est´ a dada por: λ2 + aλ + b = 0

(4.113)

4.7.1 Suponga que b = 0, 8; determine el rango de valores de a que hacen estable al sistema. 4.7.2 Dentro de ese rango determine el valor de a de modo que el sistema sea lo m´ as r´ apido posible. 4.7.3 Suponga ahora que b = 1, 2, repita 4.7.1. Problema 4.8. Suponga que la respuesta de un sistema lineal a un escal´ on unitario con condiciones iniciales iguales a cero es una se˜ nal g[t], que se muestra en la Figura 4.3. 4.8.1 ¿Es el sistema estable ? 4.8.2 Estime los modos naturales del sistema 4.8.3 Estime la ganancia al modo forzante constante

g[k]

1.5

1

0.5

0 −1

0

1

2

3

4 5 Tiempo [s]

6

7

Figura 4.3: Respuesta a escal´on unitario

8

9

10

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

86

Problema 4.9. Se contrae una deuda hipotecaria de 1000 [UF] a un inter´es mensual de 0, 7 %. Si el plazo de la deuda es de 120 meses ¿Cu´ al debiera ser el dividendo mensual, constante, en UF? Problema 4.10 (Problema-desaf´ıo). En la red de la Figura 4.4 todas las resistencias son iguales a R. Considere como variable independiente, no al tiempo discreto sino que al n´ umero de orden de la malla. Construya una ecuaci´ on de recursi´ on en las corrientes de mallas y especifique las condiciones (inicial y final). + E

i0

i1

in−2

Figura 4.4: Red resistiva.

in−1

in

Fourier serie de Fourier|textbf sistema! no lineal

Cap´ıtulo 5

An´ alisis bajo excitaciones peri´ odicas 5.1.

Se˜ nales Peri´ odicas

En este cap´ıtulo se analiza el caso de sistemas lineales sujetos a excitaciones peri´odicas en el tiempo. Las se˜ nales peri´odicas aparecen en muchas a´reas de la Ingenier´ıa y en fen´omenos naturales. Sin embargo, estas se˜ nales, en general, no se presentan como oscilaciones puras de una frecuencia espec´ıfica que se puedan describir exactamente por una sinusoide del tipo sen(ωt), sino que como se˜ nales m´as arbitrarias, tales como se˜ nales triangulares, se˜ nales tipo dientes de sierra, trenes de pulsos o sinusoidales rectificadas, entre otras, cuya caracter´ıstica fundamental es su periodicidad en el tiempo. Es m´as, en algunas oportunidades se˜ nales peri´odicas no sinusoidales resultan de efectos par´asitos indeseables, de naturaleza no lineal, en sistemas reales. Por ejemplo, considere el caso de un sistema amplificador con entrada u(t) y salida y(t), cuya relaci´on entrada-salida es: y(t) = Au(t) +  (u(t))

2

(5.1)

donde  es mucho menor que la amplificaci´on A. Entonces, si la entrada es una se˜ nal de una frecuencia espec´ıfica u(t) = U cos(ωt), entonces la salida y(t) est´a dada por: y(t) = AU cos(ωt) +  U 2 (0, 5 + 0, 5 cos(2ωt))

(5.2)

De esta forma, podemos apreciar que la salida del sistema contiene tres sinusoides de distinta frecuencia (0, ω y 2ω [rad/s]), que deben ser consideradas cuando esta se˜ nal act´ ua como entrada de otro sistema. Otros casos en que aparecen se˜ nales peri´odicas no sinusoidales incluyen el corte de se˜ nales sinusoidales (cuando la amplitud de una sinusoide excede cierto 87

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

88 serie de Fourier ganancia! a modo forzante sinusoidal amplitud \’angulo! de desfase fase per´ ıodo frecuencia! angular frecuencia

nivel prescrito), la rectificaci´on de se˜ nales sinusoidales, la intrevenci´on de zonas muertas, hist´eresis, etc. La idea fundamental en este cap´ıtulo ser´a representar una funci´on peri´odica como combinaci´on lineal de sinusoides de ciertas frecuencias, como es el caso de la serie de Fourier, el an´alisis de los sistemas lineales se hace m´as f´acil, dado que podemos usar las propiedades de superposici´on y homogeneidad. El concepto clave subyacente a utilizar es el de ganancia a modo forzante, desarrollado en el Cap´ıtulo 3, para sistemas de tiempo continuo, y en el Cap´ıtulo 4, para sistemas de tiempo discreto.

5.2.

Respuesta a entrada sinusoidal. El caso de tiempo continuo

Hasta el momento hemos visto la respuesta de sistemas lineales a diferentes tipos de entradas (modos forzantes), incluyendo el caso de exponenciales de exponente imaginario (las que combinadas dan origen a sinuosoides reales). En esta secci´on nos detendremos en la caracter´ıstica de ganancia que exhibe un sistema lineal cuando la excitaci´on es una sinuoside. Con ese prop´osito consideremos un sistema lineal estable modelado por su EDS: d n y(t) d n−1 y(t) d n−1 u(t) + a + . . . + a y(t) = b + . . . + b0 u(t) (5.3) n−1 0 n−1 dt n dt n−1 dt n−1 donde la entrada del sistema es una se˜ nal sinusoidal que puede escribirse de la forma general: u(t) = A cos(ωt + φ)

(5.4)

en que (vea Cap´ıtulo 2): A es la amplitud, cuyas unidades dependen del sistema en cuesti´on, φ es el a ´ngulo de desfase (o simplemente fase), medido en [rad], y ω es la frecuencia angular, medida en [rad/seg]. Esta, a su vez, determina la ω [Hz] y el per´ıodo T = f1 = 2π frecuencia f = 2π ω [seg] de la sinusoide. Aplicando la f´ormula de Euler se tiene que: ej(ωt+φ) + e−j(ωt+φ) = αejωt + α∗ e−jωt 2 donde α ∈ C, α∗ es el complejo conjugado de α y A cos(ωt + φ) = A

(5.5)

A jφ e (5.6) 2 Por otra parte sabemos que si K(ω) ∈ C es la ganancia al modo forzante ejωt , entonces, por linealidad: α=

5.2. RESPUESTA A ENTRADA SINUSOIDAL. EL CASO DE TIEMPO CONTINUO89 sistema! estable modos naturales ∗ Thhxo , A cos(ωt + φ)ii = K(ω)αejωt + (K(ω)) α∗ e−jωt + {modos naturales} (5.7) Donde K(ω) es la ganancia a modo forzante y dada por (3.24), con βi = jω. Si expresamos K(ω) en su forma polar se llega a:

As´ı, se obtiene:

K(ω) = |K(ω)|ejφa (ω)

(5.8)

Thhxo , A cos(ωt + φ)ii = |K(ω)|A cos(ωt + φ + φa (ω)) + {modos naturales} (5.9) Como el sistema es estable, los modos naturales decaen a cero cuando t → ∞, as´ı, la respuesta estacionaria contiene s´olo la componente particular, es decir, contiene s´olo los modos forzados y tiene la forma: y(t) = As (ω) cos(ωt + φs (ω))

(5.10)

Esta forma puede ser directamente calculada reemplazando (5.10) en la EDS.

Cuando el modo forzante es una exponencial de la forma ejωt , o una sinusoidal cos(ωt), la ganancia a modo forzante, K(ω), caracteriza lo que se denomina respuesta en frecuencia del sistema. El desarrollo precedente es ilustrado a trav´es de un ejemplo. Ejemplo 5.1. Consideremos el sistema definido por su ecuaci´ on diferencial: d 2 y(t) d y(t) +4 + 13y(t) = 26u(t) dt 2 dt Supongamos que la entrada es u(t) = sen(ωt) y que todas las condiciones iniciales son cero. El sistema en primer lugar es estable, ya que sus frecuencias naturales se encuentran ubicadas en λ1,2 = −2 ± j3. Con esto sabemos entonces que la soluci´ on homog´enea tiene la forma: yh (t) = e−2t [B1 cos(3t) + B2 sen(3t)]

(5.11)

Para obtener la soluci´ on particular reemplazamos la soluci´ on propuesta: yp (t) = As (ω) sen(ωt + φs (ω))

(5.12)

que es equivalente a una expresi´ on de la forma yp (t) = C1 (ω) cos(ωt) + C2 (ω) sen(ωt)

(5.13)

90 respuesta en frecuencia

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

Los coeficientes C1 (ω) y C2 (ω) se obtienen reemplazando la soluci´ on particular propuesta y la funci´ on de entrada en la ecuaci´ on diferencial original y derivando: − C1 (ω)ω 2 cos(ωt) − C2 (ω)ω 2 sen(ωt) + 4C2 (ω)ω cos(ωt) − 4C1 (ω)ω sen(ωt) + 13C1 (ω) cos(ωt) + 13C2 (ω) sen(ωt) = 26 sen(ωt) (5.14) De aqu´ı, igualando los coeficientes de cos(ωt) y de sen(ωt) a ambos lados, pueden obtenerse los coeficientes C1 y C2 : −104ω (13 − ω 2 )2 + (4ω)2 26(13 − ω 2 ) C2 (ω) = (13 − ω 2 )2 + (4ω)2

C1 (ω) =

(5.15) (5.16)

Si se supone ω = 10[rad/s] y se combinan la soluci´ on homog´enea y la particular, pueden obtenerse los coeficientes por determinar de la soluci´ on homog´enea B1 y B2 . La soluci´ on final es: y(t) = yh (t) + yp (t) = e−2t [0,113 cos(3t) + 0,899 sen(3t)] − 0,113 cos(10t) − 0,247 sen(10t)

(5.17)

´ Esta se muestra en la Figura 5.1, donde se aprecia claramente la presencia de una parte de la respuesta que es transiente, m´ as lenta, que desaparece manteni´endose s´ olo una oscilaci´ on sostenida de 10[rad/seg], pero de diferente amplitud y fase que las de la se˜ nal original. Estos valores de As y φs , que dependen de la frecuencia ω, son en este caso: p As (10) = C1 (10)2 + C2 (10)2 φs (10) = ∠(C2 (10) + jC1 (10))

= 0,272 = −2, 7106 [rad]

≈ −155, 31

o

(5.18) (5.19)

Una manera m´ as directa para obtener una descripci´ on gen´erica de los resultados anteriores ser´ıa calcular la respuesta en frecuencia K(ω), la que, en este caso particular, est´ a dada por: K(ω) = |K(ω)|ejφa (ω) =

26 (jω)2 + 4jω + 13

(5.20)

La magnitud y fase de esta respuesta en frecuencia aparecen en la Figura 5.2. En esta figura los valores de magnitud y fase de K(10) se pueden calcular usando el comando de Matlab ginput, el resultado es |K(10)| = 0, 2734 y φa (10) = −2, 7188 [rad] (note que, en este ejemplo, A = 1). 222

5.2. RESPUESTA A ENTRADA SINUSOIDAL. EL CASO DE TIEMPO CONTINUO91 1 0.5 0 −0.5 −1

0

1

2

3

4

5

6

2.5

0

2

−0.5 −1

1.5

φa(ω)

|K(ω)|

Figura 5.1: Se˜ nales de entrada y salida en el Ejemplo 5.1

−1.5

1

−2

0.5 0

−2.5 0

5

10 15 Frecuencia [rad/s]

20

−3

0

5

10 15 Frecuencia [rad/s]

20

Figura 5.2: Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden de tiempo continuo

Es necesario tener presente que en ciertos sistemas, a pesar de tener todas sus frecuencias naturales en el interior de la zona de estabilidad, la respuesta a sinusoides de baja amplitud, incluye componentes sinuosidales de alt´ısima amplitud. Esto sucede en situaciones en que el sistema es excitado con una sinusoide de frecuencia muy cercana a una frecuencia natural pr´oxima al l´ımite de estabilidad (el eje imaginario). En este caso, dependiendo del amortiguamiento del sistema, la salida puede alcanzar el estado estacionario s´olo despu´es de mucho tiempo, y aunque anal´ıticamente la oscilaci´on en la salida permanece acotada, puede alcanzar magnitudes insostenibles para el sistema real 1 . Para esto recomendamos al lector analizar en detalle el Problema 5.4. Ejemplo 5.2. El fen´ omeno de respuestas inusualmente altas se origina en sistemas que exhiben altas ganancias a un modo forzante de la forma ejωt . Considere, por ejemplo, el sistema con EDS: d 2 y(t) d y(t) + 0, 01 + 4y(t) = 4y(t) dt 2 dt

(5.21)

1 Un caso tradicionalmente analizado en la f´ ısica de las oscilaciones es el colapso del Puente Tacoma en EE.UU.

92 resonancia

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

En este ejemplo, que corresponde a un sistema estable, la ganancia a continua es igual a 1, sin embargo la ganancia a modo forzante ej2t est´ a dada por: K(ω) =

4 = −j200 (j2)2 + 0, 01 ∗ (j2) + 4

(5.22)

Esto significa que una excitaci´ on sinuosidal de amplitud unitaria y frecuencia 2 [rad/s] genera una respuesta forzada de amplitud igual a 200. En casos como ´este, se dice que, para esta excitaci´ on, el sistema entra en resonancia. La idea de resonancia en un sistema se refiere a la facilidad con que ese sistema responde a determinadas frecuencias. Por ejemplo, todos conocemos la facilidad con que se amplifica la oscilaci´ on de un columpio cuando se lo empuja con la frecuencia adecuada. En t´erminos de la respuesta en frecuencia, el fen´ omeno descrito se refleja en que la funci´ on |K(ω)| tiene uno o m´ as picos muy pronunciados. 222 Finalmente, cuando las frecuencias naturales del sistema se encuentran fuera de la zona de estabilidad, la componente natural de la respuesta es no acotada. Sin embargo, la componente forzada sigue siendo una oscilaci´on de la misma frecuencia que la sinusoide en la entrada. Para apreciar esto se recomienda al lector analizar el Problema 5.5.

5.3.

Series de Fourier para se˜ nales de tiempo continuo

La idea central tras las series de Fourier, sean ellas de tiempo continuo o de tiempo discreto, es la representaci´on de una funci´on peri´odica usando una base ortogonal de funciones. La idea de ortogonalidad adquiere su sentido m´as b´asico considerando con el sistema cartesiano de coordenadas en R2 o R2 . Sin embargo, la diferencia basica en el caso de las series de Fourier es que la dimensi´on de la base es infinita, hecho usual en espacios de funciones [12]. Antes de analizar de lleno la representacion de funciones peri´odicas en forma de una serie de Fourier, sugerimos al lector revisar el Ap´endice B para familiarizarse con la notaci´on y el vocabulario empleado de aqu´ı en adelante.

5.3.1.

Serie de Fourier trigonom´ etrica

Consideremos el espacio vectorial de todas las funciones seccionalmente continuas en un intervalo2 [− T2 , T2 ], y en ´el, el conjunto de vectores (funciones): B = { 1 , cos(nω0 t) , sen(nω0 t) }n=1,2,...

;

ω0 =

2π T

(5.23)

2 En t´ erminos generales el intervalo a considerar es [to , to + T ]. Por simplicidad hemos escogido to = −T /2

˜ 5.3. SERIES DE FOURIER PARA SENALES DE TIEMPO CONTINUO 93 El conjunto definido en (5.23) resulta ser an´alogo al conjunto de funciones considerados en el Lema B.1 en la p´agina 346, dado que son linealmente independientes , pues ninguna de las sinusoides (o la constante) del conjunto puede describirse como una combinaci´on lineal de las dem´as. Adem´as definimos el producto interno en este espacio de funciones como la integral: hf (t), g(t)i =

Z

T 2

f (t)∗ g(t)dt

− T2

f (t), g(t) ∈ B

(5.24)

Entonces el conjunto (5.23) resulta ser ortogonal , es decir, si tomamos dos elementos ym (t) e yn (t) pertenecientes al conjunto B definido en (5.23): ( Z T2 0 ; n 6= m yn (t)ym (t)dt = hyn (t), ym (t)i = (5.25) κ > 0 ;n = m − T2 En este caso la conjugaci´on involucrada en el producto interno no afecta a las funciones del conjunto B, pues ´estas son todas reales. Con esto podemos afirmar que una funci´ on y(t) seccionalmente continua on definida en el intervalo [− T2 , T2 ], puede representarse como una combinaci´ lineal de elementos de la base B, definida en (5.23), que en este caso tiene dimensi´on infinita. Es decir, para y(t) tenemos una representaci´on en serie de Fourier de la forma:

y(t) = A0 +

∞ X

[An cos(nω0 t) + Bn sen(nω0 t)]

n=1

; ω0 =

2π T

(5.26)

En que cada uno de los coeficientes A0 , An , Bn se puede obtener como indica el Lema B.1. Por esto invitamos al lector en este punto a resolver el Problema 5.6, con lo que adem´as podr´a comprobar que las expresiones para los coeficientes de Fourier son: 1 A0 = T 2 An = T Bn =

2 T

Z Z Z

T 2

y(t)dt − T2 T 2

− T2

y(t) cos(nω0 t)dt

(5.27)

T 2

− T2

y(t) sen(nω0 t)dt

Nos interesa la representaci´on en serie de Fourier conceptualmente y como una herramienta para describir las funciones peri´odicas como una combinaci´on lineal de constantes, cosenos y senos, cuyas frecuencias son m´ ultiplos enteros de la frecuencia fundamental ω0 determinada por su per´ıodo T . La representaci´on (5.26) puede reescribirse alternativamente en la forma:

independencia lineal ortogonalidad Serie de Fourier frecuencia fundamental

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

94 espectro! en frecuencia arm´ onicas desfase a ´ngulo! de desfase espectro! de l´ ınea

y(t) = A0 +

∞ X

n=1

en que:

C˜n cos(nω0 t − φn )

(5.28)

p A2n + Bn2   Bn φn = arctg An

C˜n =

(5.29) (5.30)

En esta forma es m´as directo apreciar el contenido o espectro en frecuencia de la se˜ nal y(t) a trav´es de la amplitud de cada una de las sinusoides de frecuencia ωn = nω0 , que llamaremos n-´ esima arm´ onica. Adem´as, esta representaci´on permite apreciar el a´ngulo de desfase φn entre las diferentes arm´onicas. Si dibujamos en un gr´afico las magnitudes de C˜n en funci´on de n, obtenemos lo que se conoce como un espectro de l´ınea. Este gr´afico permite observar las participaciones relativas de la arm´onicas en la composici´on de la se˜ nal. Note que el c´alculo directo de los coeficientes C˜n es m´as complicado que el de los coeficientes An y Bn , ya que las sinusoides de la forma cos(nω0 t − φn ) no son ortogonales entre s´ı. Para ilustrar el c´alculo de los coeficientes de Fourier se presentan a continuaci´on algunos ejemplos. En primer lugar, desarrollamos un ejemplo calculando anal´ıticamente los coeficientes de la serie, para luego ilustrar el uso del soporte computacional. Ejemplo 5.3. Considere una onda cuadrada de amplitud 2 y per´ıodo igual a 4 [s], tal como se ilustra en la Figura 5.3. 2

Señal y(t)

1 0 −1 −2 −6

−4

−2

0 Tiempo [s]

2

4

6

Figura 5.3: Se˜ nal cuadrada La frecuencia fundamental es ωo = 2π/T = π/2 y los coeficientes de la serie se pueden calcular como se indica

˜ 5.3. SERIES DE FOURIER PARA SENALES DE TIEMPO CONTINUO 95 serie de Fourier! senoidal

A0 =

1 T

Z

T 2

y(t) dt = 0

(5.31)

− T2

Este resultado era previsible dada la simetr´ıa de a ´reas sobre y bajo el eje de abscisas.

2 An = T

Z

T 2

− T2

y(t) cos(nωo t) dt =−

1 2

Z

0

2 cos(0, 5nπt) dt + −2

1 2

Z

2

2 cos(0, 5nπt) dt = 0

(5.32)

0

La ausencia de componentes cosenoidales es tambi´en previsible, dado que la se˜ nal y(t) es una funci´ on impar del tiempo. La funci´ on quedara representada entonces como una serie senoidal de Fourier, en que:

2 T

Bn =

Z

=2

T 2

− T2

Z

2 0

y(t) sen(nωo t) dt = −

1 2

Z

0

2 sen(0, 5nπt) dt+ −2

1 2

Z

2

2 sen(0, 5nπt) dt 0

t 4 4 (1 − cos(nπ)) sen(0, 5nπt) dt = − cos(0, 5nπt) = nπ nπ

(5.33)

0

De esta manera resulta:

Bn =

(

8 nπ

0

∀n impar ∀n par

(5.34)

La participaci´ on de las arm´ onicas puede ser visualmente apreciada en la Figura 5.4.

Amplitud de las armónicas

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

2

4 6 8 Frecuencia angular, en múltiplos de ωo

10

Figura 5.4: Espectro de l´ınea de una se˜ nal cuadrada.

12

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

96 a ´ngulo! de disparo

222 El ejemplo precedente sugiere que el c´alculo manual de los coeficientes se puede complicar notablemente para se˜ nales de mayor complejidad. Este proceso puede ser enormemente facilitado usando, por ejemplo, Maple . Ejemplo 5.4. Uno de los procesos en que se generan se˜ nales peri´ odicas no sinusoidales es en la rectificaci´ on. En realidad, para circuitos de potencia en el control de motores, por ejemplo, en vez de diodos se utilizan tiristores, que ´ no son m´ as que diodos en que el instante de conducci´ on es controlado. Estos permiten recortar la se˜ nal rectificada, como se aprecia en la Figura 5.5 en que los tiristores se disparan pasado un tercio del per´ıodo de la se˜ nal rectificada. En este caso se dice que el a ´ngulo de disparo es α = π3 .

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.005

0.01

0.015 Time [s]

0.02

0.025

0.03

Figura 5.5: Se˜ nal a la salida de rectificador controlado por tristores

Claramente el rectificador de onda completa es un caso particular de este rectificador controlado, cuando el a ´ngulo de disparo es α = 0. Con ayuda de Maple los coeficientes se pueden obtener f´ acilmente, ahorr´ andonos buena parte del trabajo algebraico. En las l´ıneas siguientes se muestran los comandos necesarios, entre los cuales se debe indicar expl´ıcitamente que 0 < α < π y que n es un n´ umero entero. Se ha considerado, por simplicidad, que la frecuencia original es 1[Hz] y la amplitud original es 1[V].

Maple > > > > > >

assume(0
˜ 5.3. SERIES DE FOURIER PARA SENALES DE TIEMPO CONTINUO 97 serie de Fourier! cosenoidal

1 + cos(α) π 2 1 + 2 cos(α) (cos(α n)) − cos(α) + 4 n sen(α) sen(α n) cos(α n) An = −2 (1 + 2 n) π (−1 + 2 n) A0 =

2

Bn = 4

− cos(α) sen(α n) cos(α n) + 2 n sen(α) (cos(α n)) − n sen(α) (1 + 2 n) π (−1 + 2 n) 222

Ejemplo 5.5. Consideremos la funci´ on peri´ odica y(t), definida por tramos:   ; −2 < t ≤ 0 1 + t y(t) = 1 − t (5.35) ;0 < t ≤ 2   y(t + 4) ; en todo otro caso En Maple se puede definir y convertir de inmediato para que quede escrita en t´erminos de escalones (funci´ on de Heaviside):

Maple rel="nofollow"> y(t):=convert(piecewise(t<-2,-t-3,t<0,t+1,t<2,-t+1,t-3),Heaviside);

y(t) = −3 − t − 4 Heaviside(t − 2) + 2 tHeaviside(t − 2) + 4 Heaviside(t + 2) + 2 tHeaviside(t + 2) − 2 tHeaviside(t)

Si se calculan los coeficientes seg´ un las expresiones (5.27), tenemos que el valor medio A0 es cero y, como es par, los coeficientes Bn son todos iguales a cero. Los coeficientes de los t´erminos cosenos se calculan mediante:

Maple > A(n):=1/2*int(y(t)*cos(n*Pi/2*t),t=-2..2);

Por tanto y(t) queda expresada en una serie cosenoidal de Fourier, de la forma: ys (t) =

∞ X

n=1

n

(1 − (−1) )



2 nπ

2

cos

 nπ  t 2

(5.36)

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

98

on de la funci´ on y(t) por En la Figura 5.6, podemos apreciar la aproximaci´ las primeras dos arm´ onicas no nulas (n = 1, 3). En esta, se observa que las dos primeras arm´ onicas (con presencia no nula en la serie) describen bastante bien la se˜ nal original. Ello puede ser entendido al calcular las amplitudes de las primeras diez componentes de la serie. Ellas aparecen en el espectro de l´ıneas de la Figura 5.7, donde se aprecia claramente que la amplitud de las arm´ onicas superiores a la tercera es despreciable.

Señal y aproximación

1 0.5 0 −0.5 −1 −6

−4

−2

0 Tiempo [s]

2

4

6

Figura 5.6: Aproximaci´on de la se˜ nal triangular con la primera y tercera arm´onica

1 Amplitud de las armónicas

error

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

3 4 5 6 Frecuencia angular, en múltiplos de ωo

7

8

9

Figura 5.7: Espectro de l´ınea de una se˜ nal triangular Finalment, en el gr´ afico de la Figura 5.8 (a) muestra el error que se comete al representar la funci´ on por su serie truncada, en este caso hasta n = 3. Podemos estudiar la fidelidad de la representaci´on en serie de Fourier de una se˜ nal analizando lo que pasa con el error eN (t) = y(t) − yN (t) que se comete al representar una funci´on y(t) por una combinaci´on lineal finita o suma parcial de las funciones de la base (5.23), hasta el t´ermino N -´esimo yN (t). Respecto a este error eN (t) tenemos el siguiente lema. Lema 5.1. La representaci´ on yN (t) es ortogonal al error eN (t), para todo N , es decir:

˜ 5.3. SERIES DE FOURIER PARA SENALES DE TIEMPO CONTINUO 99 0.1

0.05

–4

–3

–2

–1

1

2 t

3

y(t)

4

eN (t)

yN (t)

–0.05

–0.1

(a) Error e3 (t) = y(t) − y3 (t) .

(b) Interpretaci´ on geom´ etrica del error

Figura 5.8:

heN (t), yN (t)i = 0

; ∀N

(5.37)

Demostraci´ on Si escribimos la suma parcial como: yN (t) =

N X

αk fk (t)

(5.38)

k=1

en que los fk (t) son vectores de la base B, el producto (5.37) puede escribirse y desarrollarse como: heN (t), yN (t)i = hy(t) − yN (t), yN (t)i = hy(t), yN (t)i − hyN (t), yN (t)i (5.39) + + *N * N N X X X αj fj (t) (5.40) αk fk (t) − αk fk (t), = y(t), k=1

=

N X

k=1

j=1

k=1

αk hy(t), fk (t)i −

N X

αk

k=1

*

fk (t),

N X

αj fj (t)

j=1

+

(5.41)

Los vectores fk (t) son ortogonales, por tanto: heN (t), yN (t)i =

N X

k=1

αk hy(t), fk (t)i −

N X

k=1

αk2 hfk (t), fk (t)i

(5.42)

Los coeficientes αk , en tanto, se calculan de la forma: αk =

hy(t), fk (t)i hfk (t), fk (t)i

(5.43)

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

100

Por lo tanto:

heN (t), yN (t)i =

N N X X hy(t), fk (t)i hy(t), fk (t)i2 hy(t), fk (t)i− hfk (t), fk (t)i hfk (t), fk (t)i hfk (t), fk (t)i2

k=1

k=1

=

N X

k=1

N

X hy(t), fk (t)i2 hy(t), fk (t)i − =0 hfk (t), fk (t)i hfk (t), fk (t)i 2

(5.44)

k=1

222 Este resultado permite apreciar que yN (t), con los coeficientes calculados seg´ un (5.27), es la combinaci´on lineal que mejor representa a y(t) (en el sentido de la norma cuadr´atica), ya que, dada su ortogonalidad con el vector de error eN (t), minimiza la distancia entre y(t) y el conjunto de funciones que se generan por combinaci´on lineal de los N elementos de la base. La Figura 5.8 (b) ilustra geom´etricamente la idea de ortogonalidad entre el error eN (t) y la representaci´on truncada yN (t). Finalmente, es importante hacer notar que la representaci´on obtenida en (5.26), con los coeficientes explicitados en (5.27), representa a la funci´on y(t), dentro del intervalo [− T2 , T2 ] sea ´ esta peri´ odica o no. En este u ´ltimo caso la representaci´on se debe entender v´alida s´olo dentro del intervalo en que se ha calculado. Sin embargo, dado que dentro del intervalo de longitud T todas las sinusoides del conjunto B completan un n´ umero entero de per´ıodos, la periodicidad de los elementos de B se extiende a la representaci´on de y(t), es decir, se repite en todo intervalo de la forma [kT − T2 , kT + T2 ] con k ∈ Z. Adem´as por simple traslaci´on del intervalo en que trabajamos, es decir, corriendo del eje temporal, el c´alculo de los coeficientes y la representaci´on pueden tomarse en cualquier intervalo arbitrario [to , to + T ]. En todo caso, el lector debe advertir que si la se˜ nal bajo an´alisis no es peri´odica, la representaci´on ser´a distinta para distintas elecciones de to .

5.3.2.

Serie de Fourier exponencial

Si consideramos la representaci´on en serie de Fourier obtenida para una funci´on seccionalmente continua y(t) obtenida en (5.26), podemos reescribirla utilizando las expresiones para sen(ωt) y cos(ωt) en t´erminos de exponenciales complejas:

y(t) = A0 +

∞ X

[An cos(nω0 t) + Bn sen(nω0 t)]

n=1

= A0 e

j0ω0 t

+

∞  X

n=1

ejnω0 t − e−jnω0 t ejnω0 t + e−jnω0 t + Bn An 2 2j

que puede reagruparse como:



(5.45)

˜ 5.3. SERIES DE FOURIER PARA SENALES DE TIEMPO CONTINUO101 serie de Fourier!exponencial

y(t) = A0 e

j0ω0 t

+

∞  X An − jBn

2

n=1

e

jnω0 t

An + jBn −jnω0 t + e 2



(5.46)

Es decir, podemos reescribir una serie de Fourier trigonom´etrica como una serie de Fourier exponencial de la forma: y(t) =

∞ X

Cn ejnω0 t

(5.47)

n=−∞

Una expresi´on para los coeficientes Cn se puede obtener a partir de los coeficientes de la serie trigonom´etrica y la ecuaci´on de Euler. Por ejemplo, para n > 0: # " Z T Z T2 2 2 1 2 An − jBn y(t) cos(nω0 t)dt − j y(t) sen(nω0 t)dt = Cn = 2 2 T − T2 T − T2 Z T2 1 y(t)(cos(nω0 t) − j sen(nω0 t))dt (5.48) = T − T2 Por tanto, tenemos la expresi´on: Cn =

1 T

Z

T 2

y(t)e−jnω0 t dt

(5.49)

− T2

Se deja al lector verificar que esta expresi´on tambi´en es v´alida para el resto de los coeficientes Cn , cuando n ≤ 0. Si se presta atenci´on a la forma de los coeficientes en la ecuaci´on (5.46), puede apreciarse que aparecen en pares complejos conjugados, es decir, ∀n > 0: An − jBn = |Cn |ejθn 2 An + jBn = = |Cn |e−jθn 2

Cn = C−n

(5.50) (5.51)

tal como tambi´en puede demostrarse a partir de la expresi´on general (5.49) para los coeficientes de la serie compleja. Es decir, tenemos un nuevo conjunto de funciones, complejas en este caso, de la forma: 2π (5.52) T que constituye una base para el espacio de funciones seccionalmente continuas en el intervalo [− T2 , T2 ]. Se deja al lector verificar que este conjunto tambi´en es ortogonal bajo el producto interno antes definido, pero en que ahora la conjugaci´on s´ı afecta a las funciones involucradas: {ejnω0 t }n∈Z

; ω0 =

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

102 Parseval Parseval

hfn (t), fm (t)i =

Z

T 2

− T2

fn (t)∗ fm (t)dt =

Z

T 2

e−jnω0 t ejmω0 t dt

(5.53)

− T2

Que debe cumplir: hfn (t), fm (t)i =

(

0 ; n 6= m κ>0 ;n=m

(5.54)

Es importante hacer notar que en la manipulaci´on que se ha hecho en la serie de Fourier trigonom´etrica para llegar a la serie exponencial, han aparecido valores para n negativos y positivos. Esto en realidad debe interpretarse nada m´as como lo que se ha mencionado: un producto de la manipulacio´on algebraica que permite obtener la representaci´on en serie (5.47) m´as compacta y f´acil de manipular. Si se desea obtener la amplitud de la n-´esima arm´onica de la serie deben considerarse ambos t´erminos de la serie n y −n, es decir, usando las ecuaciones (5.50) y (5.51): Cn · e−jnω0 t + C−n · ejnω0 t = |Cn |ejθn · e−jnω0 t + |C−n |e−jθn · ejnω0 t

= |Cn | · e−j(nω0 t−θn ) + |C−n | · ej(nω0 t−θn )

= 2|Cn | cos(nω0 t − θn )

5.3.3.

Parseval y la energ´ıa de las se˜ nales peri´ odicas

Existe un conjunto de resultados, deducidos por Parseval, que relacionan directamente caracter´ısticas de la se˜ nal peri´odica con los coeficientes de su Serie de Fourier. En realidad, los resultados de Parseval se aplican a la expansi´on en cualquier base ortogonal. Los detalles matem´aticos pueden ser examinados en el Ap´endice B. Supongamos que una se˜ nal y(t) peri´odica se expresa como serie en los elementos, f` (t), de una base ortogonal en el intervalo (−T /2, T /2). Entonces: y(t) =

∞ X

α` f` (t)

(5.55)

`=0

Esto significa que: hy(t), y(t)i =

*

∞ X

α` f` (t),

`=0

∞ X

α` f` (t)

`=0

+

(5.56)

Si a continuaci´on usamos la propiedad de ortogonalidad de los elementos de la base, tenemos que: hy(t), y(t)i =

∞ X `=0

|α` |2 hf` (t), f` (t)i

(5.57)

5.4. RESPUESTA A ENTRADAS SINUSOIDALES. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO103 Note que el lado izquierdo en (5.57) representa el cuadrado del valor efectivo de la se˜ nal peri´odica. Para la serie de Fourier trigonom´etrica, usando la misma definici´on del producto interno (5.24), la expresi´on (5.57) se reduce a: Z

T /2 −T /2

(y(t))2 dt = A2o +

∞

1X 2 (A` + B`2 ) 2

(5.58)

`=0

En el caso exponencial, la expresi´on (5.57) est´a dada por: Z

T /2

(y(t))2 dt = −T /2

∞ X

C` 2

(5.59)

`=−∞

En (5.58) y en (5.59), el lado izquierdo representa la energ´ıa de la se˜ nal y(t) en un per´ıodo. El lado derecho en ambas ecuaciones se˜ nala que esa energ´ıa puede ser computada como la suma de similar energ´ıa de cada arm´onica.

5.4.

Respuesta a entradas sinusoidales. El caso de tiempo discreto

En esta secci´on nos detendremos en la caracter´ıstica de ganancia que exhibe un sistema lineal de tiempo discreto cuando la excitaci´on es una sinuoside. Con ese prop´osito consideremos un sistema lineal estable modelado por su ERS:

y[t] + an−1 y[t − 1] + . . . + a1 y[t − n + 1] + a0 y[t − n] = bm u[t] + bm−1 u[t − 1] + . . . + b1 u[t − m + 1] + b0 u[t − m]

(5.60)

Si la entrada del sistema es una se˜ nal sinusoidal de tiempo discreto de per´ıodo N ∈ Z que puede escribirse de la forma: u[t] = A cos(θt + φ);

con θ =

2π N

(5.61)

en que (vea Cap´ıtulo 2): A es la amplitud, cuyas unidades dependen del sistema en cuesti´on, φ es el a ´ngulo de desfase (o simplemente fase), medido en [rad], y θ es la frecuencia angular discreta, medida en [rad]. Esta, a su vez, determina la frecuencia discreta f = N1 [Hz] y el per´ıodo T = N de la sinusoide. Aplicando la f´ormula de Euler se tiene que: A cos(θt + φ) = A

ej(θt+φ) + e−j(θt+φ) = αejθt + α∗ e−jθt 2

(5.62)

sinusoidal amplitud \’angulo! de desfase fase per´ ıodo frecuencia! angular frecuencia

104 sistema! estable modos naturales

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

donde α ∈ C, α∗ es el complejo conjugado de α y: A jφ e (5.63) 2 Por otra parte, sabemos que si K(θ) ∈ C es la ganancia al modo forzante ejθt , entonces, por linealidad: α=

∗ Thhxo , A cos(θt + φ)ii = K(θ)αejθt + (K(θ)) α∗ e−jθt + {modos naturales} (5.64) Donde K(θ) es la ganancia a modo forzante y est´a dada por (4.35), con βi = ejθ . Si expresamos K(θ) en su forma polar se llega a:

K(θ) = |K(θ)|ejφa (θ)

(5.65)

As´ı, se obtiene: Thhxo , A cos(θt + φ)ii = |K(θ)|A cos(θt + φ + φa (θ)) + {modos naturales} (5.66) Como el sistema es estable, los modos naturales decaen a cero cuando t → ∞, as´ı, la respuesta estacionaria contiene s´olo la componente particular, es decir, contiene s´olo los modos forzados y tiene la forma: y[t] = As (θ) cos(θt + φs (θ))

(5.67)

Esta forma puede ser directamente calculada reemplazando (5.67) en la ERS.

Cuando el modo forzante es una exponencial de la forma ejθt , la ganancia a modo forzante, K(θ), caracteriza lo que se denomina respuesta en frecuencia del sistema de tiempo discreto. La teor´ıa precedente es ilustrada a trav´es de un ejemplo. Ejemplo 5.6. Consideremos el sistema modelado por la ERS y[t] − 0, 7y[t − 1] + 0, 12y[t − 2] = 1, 5u[t]

(5.68)

Supongamos que la entrada es u[t] = sen(θt) y que todas las condiciones iniciales son cero. El sistema en primer lugar es estable, ya que sus frecuencias naturales se encuentran ubicadas en λ1 = 0, 4 y λ1 = 0, 3, es decir, tienen magnitud menor que 1. Con esto sabemos entonces que la soluci´ on homog´enea tiene la forma: yh [t] = B1 (0, 4)t + B2 (0, 3)t

(5.69)

Para obtener la soluci´ on particular reemplazamos la soluci´ on propuesta

5.4. RESPUESTA A ENTRADAS SINUSOIDALES. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO105

yp [t] = As (θ) sen(θt + φs (θ))

(5.70)

que es equivalente a una expresi´ on de la forma yp [t] = C1 (θ) cos(θt) + C2 (θ) sen(θt)

(5.71)

Los coeficientes C1 (θ) y C2 (θ) se obtienen reemplazando la soluci´ on particular propuesta y la funci´ on de entrada en la ecuaci´ on de recursi´ on original. Siguiendo la discusi´ on del Ejemplo 5.1 en la p´ agina 89, la modificaci´ on en magnitud y fase que experimenta la sinuoside al pasar por el sistema, se puede calcular de la respuesta en frecuencia del sistema. En este caso K(θ) =

1, 5e2jθ e2jθ − 0, 7ejθ + 0, 12

(5.72)

Esta respuesta en frecuencia puede ser representada gr´ aficamente, como se muestra en la Figura 5.9 4

1

3.5 0.5

2.5

a

φ (ω)

|K(ω)|

3

2 1.5

0

−0.5

1 0.5

0

2 4 6 Frecuencia angular discreta [rad]

8

−1

0

2 4 6 Frecuencia angular discreta [rad]

8

Figura 5.9: Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden de tiempo discreto 222 An´alogamente a lo que ocurre en el caso de tiempo continuo, en ciertos sistemas, a pesar de tener todas sus frecuencias naturales en el interior de la zona de estabilidad, la respuesta a sinusoides de baja amplitud incluye componentes sinuosidales de alt´ısima amplitud. Esto sucede en situaciones en que el sistema es excitado con una sinusoide de frecuencia muy cercana a frecuencias naturales que se encuentran al interior del disco unitario, pero muy pr´oximas al l´ımite de estabilidad (en este caso, la circunferencia unitaria). En este caso, dependiendo del amortiguamiento del sistema, la salida puede alcanzar el estado estacionario s´olo despu´es de mucho tiempo, y aunque anal´ıticamente la oscilaci´on en la salida permanece acotada, puede alcanzar magnitudes insostenibles para el sistema real.

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

106 resonancia frecuencia!fundamental arm´ onicas

Ejemplo 5.7. El fen´ omeno de respuestas inusualmente altas se origina en sistemas que exhiben altas ganancias a un modo forzante de la forma ejθt . Considere, por ejemplo, el sistema: y[t] − 1, 4128y[t − 1] + 0, 9980y[t − 2] = 0, 5851u[t]

(5.73)

Observamos que es un sistema estable, con frecuencias naturales λ 1,2 = . Note que estas frecuencias naturales se encuentran muy cercanas a la e circunferencia unitaria. La ganancia a continua de este sistema es 1. Sin embargo, la ganancia a una frecuencia θ = π4 tiene magnitud 414, 0. Esto implica que si la excitaci´ on es una sinusoide de amplitud unitaria y frecuencia θ = π4 , la respuesta forzada ser´ a una sinuoside de amplitud 414, 0, es decir, para esta excitaci´ on, el sistema entra en resonancia. ±j pi 4

5.5.

Serie de Fourier de tiempo discreto

Veamos ahora c´omo pueden extenderse las ideas hasta aqu´ı expuestas a la representaci´on de funciones definidas en instantes de tiempo discreto como suma de sinusoides, tambi´en definidas en tiempo discreto. Para sistemas de tiempo discreto, las series trigonom´etricas son poco usadas, prefiri´endose la forma exponencial. Veremos que ello se debe a que las exponenciales peri´odicas involucradas tienen propiedades de simetr´ıa que hacen mucho m´as simple el c´alculo de los coeficientes, en comparaci´on al c´alculo de los coeficientes de la serie trigonom´etrica. As´ı, consideramos se˜ nales de la forma: f [t] = ejθt

; t = 0, 1, 2, . . .

(5.74)

Nuestro inter´es fundamental, al igual que para serie de Fourier trigonom´etrica, es determinar c´omo puede representarse una funci´on peri´odica como suma de un t´ermino constante y un conjunto de sinusoides de frecuencias m´ ultiplos de la frecuencia fundamental. Consideremos, por ejemplo, una funci´on y[t] definida para t = 0, 1, 2, . . . , de per´ıodo N , es decir: y[t + N ] = y[t]

; ∀t

(5.75)

La frecuencia fundamental se define an´alogamente al caso continuo: θ0 =

2π N

(5.76)

y las frecuencia arm´onicas corresponden a los m´ ultiplos de la frecuencia fundamental θ0 . Sin embargo, si observamos con atenci´on la forma que toman las exponenciales imaginarias para cada arm´onica veremos que: 2π

2π

2π

ejθ0 (`+N )t = ej N (`+N )t = ej N `t ej2πt = ej N `t

(5.77)

5.5. SERIE DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO

107

Es decir, tenemos periodicidad en la frecuencia, ya que el resultado (5.77) nos indica que la arm´onica `-´esima es la misma que la (` + N )-´esima, y la misma en realidad que cualquiera de las (` + mN )-´esimas, en que m es cualquier n´ umero entero. Esto indica que el conjunto ortogonal es finito, con s´olo N componentes. Por tanto para representar una funci´on discreta y[t] de per´ıodo N en serie de Fourier nos basta simplemente una suma de las primeras N arm´onicas: y[t] =

N −1 X

Cn ejθ0 nt ;

θ0 =

n=0

2π N

(5.78)

Desde el punto de vista del a´lgebra lineal queremos representar el vector y[t] en t´erminos de los vectores del conjunto: Bd = {1, ejθ0 t , ej2θ0 t , . . . , ej(N −1)θ0 t }

(5.79)

Si definimos un producto interno en este conjunto, an´alogo al definido en (5.24), la integral (suma continua) en un periodo fundamental se transforma en una sumatoria (suma discreta): hf1 [t], f2 [t]i =

N −1 X

f1∗ [t]f2 [t]

(5.80)

t=0

Tendremos que para los vectores del conjunto Bd , si n1 6= n2 : hejθ0 n1 t , ejθ0 n2 t i = =

N −1 X

(ejθ0 n1 t )∗ ejθ0 n2 t

(5.81)

ejθ0 (−n1 +n2 )t

(5.82)

t=0

N −1 X t=0

Que es una suma geom´etrica hejθ0 n1 t , ejθ0 n2 t i =

1 − (ejθ0 (−n1 +n2 ) )N 1 − ejθ0 (−n1 +n2 )

(5.83)

Pero seg´ un (5.76) tenemos que N θ0 = 2π, y n1 y n2 son n´ umeros enteros, por tanto, para n1 6= n2 , pues de otra forma el denominador se hace cero: hejθ0 n1 t , ejθ0 n2 t i = y si n1 = n2 = n:

he

jθ0 nt

,e

jθ0 nt

i = ke

jθ0 nt 2

k =

1 − ej2π(−n1 +n2 )t =0 1 − ejθ0 (−n1 +n2 )

N −1 X t=0

e

−jθ0 nt jθ0 nt

e

=

N −1 X t=0

(5.84)

1=N

(5.85)

108

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

Es decir, el conjunto definido en (5.79) es ortogonal bajo el producto interno (5.80). Por tant, los coeficientes de la representaci´on (5.78) se pueden calcular usando el Lema B.1 en la p´agina 346, con lo que se obtiene la expresi´on equivalente a (5.49), pero para las funciones discretas: Cn =

N −1 hejθ0 nt , y[t]i 1 X = y[t]e−jθ0 nt hejθ0 nt , ejθ0 nt i N t=0

; θ0 =

2π N

(5.86)

Es importante verificar que la expresi´on obtenida en (5.86) usada en la representaci´on (5.78) garantiza que la suma es en efecto una funci´on real. Para la serie de Fourier exponencial se verific´o que la suma de las arm´onicas correspondientes a los t´erminos ± n es real pues estos t´erminos resultan ser conjugados el uno del otro. Para la serie de Fourier discreta, si observamos la expresi´on para el coeficiente N − `, tenemos:

CN −` = =

N −1 N −1 1 X 1 X y[t]e−jθ0 (N −`)t = y[t]e−jθ0 N t ejθ0 `t N t=0 N t=0 N −1 N −1 1 X 1 X y[t]ejθ0 `t = (y[t]e−jθ0 `t )∗ = (C` )∗ N t=0 N t=0

(5.87)

Es decir, el coeficiente de la arm´onica N − ` es el complejo conjugado del coeficiente de la correspondiente `-´esima arm´onica. O, en otras palabras, la magnitud de los coeficientes C` tiene simetr´ıa par respecto a N2 , mientras que su fase (o a´ngulo) tiene simetr´ıa impar con respecto a N2 . La arm´onica N − ` puede ser expresada como: ejθ0 (N −`)t = ejθ0 N t e−jθ0 `t = e−jθ0 `t

(5.88)

Es decir, ambas arm´onicas ` y N − ` correponden en realidad a una misma frecuencia. Por tanto si sumamos los t´erminos correspondientes a ellas en la representaci´on, escribiendo sus coeficientes en forma polar: C` ejθ0 `t + CN −` ejθ0 (N −`)t = C` ejθ0 `t + (C` )∗ e−jθ0 `t

= |C` |ejθ` ejθ0 `t + |C` |e−jθ` e−jθ0 `t = 2|C` | cos(θ0 `t + θ` )

(5.89)

En base a esto podemos concluir que al representar una se˜ nal peri´odica de tiempo discreto en forma de una Serie de Fourier, en realidad, la estamos describiendo en t´erminos de N exponenciales peri´odicas de la base (5.79), en que N es el per´ıodo de la funci´on discreta. Pero ´estas corresponden en realidad a un valor constante y k diferentes arm´onicas, en que k = N2 , si N es par, y k = N 2−1 si es impar.

5.5. SERIE DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO

109

La serie de Fourier para una se˜ nal de tiempo discreto puede ser descrita en un gr´afico en que aparece |C` | en funci´on de ` ∈ Z. Este diagrama es conocido como el espectro de l´ınea de la se˜ nal de tiempo discreto. El problema de convergencia de la serie de Fourier para se˜ nales de tiempo discreto tiene un tratamiento mucho m´as simple que en el caso de tiempo continuo. Esto se debe a que las amplitudes de las N arm´onicas se pueden calcular a partir de un sistema de ecuaciones linealmente independientes de la forma:       

y[0] y[1] y[2] .. . y[N − 1]





       = WN     

C0 C1 C2 .. . CN −1

      

(5.90)

donde el elemento (i, j) de la matriz WN est´a dado por: [WN ]i,j = ejθ0


(i−1)(j−1)

(5.91)

Las ecuaciones precedentes permiten calcular los coeficientes que describen exactamente la se˜ nal peri´odica y[t]. Note que la matriz WN tiene la forma general:

WN



1 1   = 1  .. . 1

1 w w2 .. .

1 w2 w4 .. .

··· ··· ··· .. .

wN −1

wN −2

···

1



wN −1   wN −2   ..  . 

(5.92)

w

donde w = ejθ0 . Esta matriz se denomina matriz de Fourier, y es no singular (ver Ap´endice F). De esta forma, el vector de la derecha en (5.90) puede ser despejado al multiplicar por la inversa de WN . Las ideas de Parseval tambi´en se aplican a se˜ nales de tiempo discreto, aunque en este caso el concepto de energ´ıa no tiene la connotaci´on f´ısica que tiene en tiempo continuo. De esta forma, si una se˜ nal peri´odica y[t] tiene la expansi´on en serie dada por: y[t] =

N −1 X

α` f` [t]

(5.93)

`=0

donde las funciones f` [t] son elementos de una base ortogonal, entonces:

hy[t], y[t]i =

N −1 X `=0

|α` |2 hf` [t], f` [t]i

(5.94)

espectro de l´ ınea matriz! de Fourier

110 sistema!lineal ganancia! a modo forzante respuesta en frecuencia

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

que es equivalente a: N −1 X

y[t]2 = N

t=0

5.6.

N −1 X `=0

|α` |2

(5.95)

Aplicaci´ on de las series de Fourier al an´ alisis de sistemas lineales

Cuando un sistema estable es excitado por una se˜ nal peri´odica, su respuesta en estado estacionario tambi´en es una se˜ nal peri´odica. Esta respuesta, en general no tiene la misma forma que la se˜ nal de entrada, ya que el sistema amplifica y desfasa cada componente arm´onica de la excitaci´on, en general en forma distinta. Para usar cuantitativamente las series de Fourier en el an´alisis de un sistema lineal, debemos calcular la ganancia a modo forzante del sistema para la frecuencia de cada una de las arm´onicas de inter´es, es decir, la respuesta en frecuencia del sistema para cada una de esas arm´onicas. Estos conceptos son comunes tanto a los sistemas de tiempo continuo como a los sistemas de tiempo discreto. Para apreciar mejor su aplicaci´on consideraremos un ejemplo. Ejemplo 5.8. Un sistema de tiempo continuo, definido por su EDS: ρ3 y(t) + 7ρ2 y(t) + 15ρy(t) + 54y(t) = 54u(t)

(5.96)

es excitado con una se˜ nal peri´ odica de frecuencia angular 1 [rad/s]. Entonces la amplificaci´ on y desfase que experimentan la componente constante o continua y las primeras nueve arm´ onicas, al pasar a trav´es del sistema, se pueden calcular a partir de la expresi´ on que define la respuesta en frecuencia del sistema: K(ω) =

(jω)3

54 + 7(jω)2 + 15(jω) + 54

(5.97)

donde ω = 0; 1; 2; 3; . . . ; 9 [rad/s]. La respuesta en frecuencia es mostrada en la Figura 5.10, donde se ha indicado la magnitud y fase de la respuesta a continua y la respuesta para las frecuencias de la fundamental y de las primeras nueve arm´ onicas. Los valores num´ericos se muestran en la Tabla 5.1. Al observar los datos obtenidos se aprecia que el sistema privilegia, en amplificaci´ on, la tercera arm´ onica. Para ser m´ as espec´ıficos, supongamos que la excitaci´ on u(t) es una se˜ nal cuadrada, con valor medio cero. Usando Matlab o Maple podemos calcular entonces la respuesta, y(t). La entrada y la salida son mostradas en la Figura 5.11. La fuerte presencia de la tercera arm´ onica en la salida es claramente apreciada, as´ı como tambi´en es f´ acilmente apreciable el que la forma de onda de la salida es muy diferente a la de la entrada.

5.7. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

111

3

0

2.5

−1

φ (ω)

1.5 1

−3 −4

0.5 0

−2

a

|K(ω)|

2

0

2

4 6 Frecuencia [rad/s]

8

10

−5

0

2

4 6 Frecuencia [rad/s]

8

10

Figura 5.10: Respuesta en frecuencia de un sistema de tercer orden de tiempo continuo.

Frecuencia [rad/s] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Amplificaci´on 1,0000 1,1011 1,5855 2,6833 0,9288 0,4125 0,2301 0,1442 0,0972 0,0688

Desfase [rad] 0,0000 -0,2895 -0,7023 -2,0344 -3,2104 -3,5334 -3,7083 -3,8305 -3,9244 -4,0000

Cuadro 5.1: Amplitud y fase de las arm´onicas en el Ejemplo 5.8.

5.7.

Problemas para el lector

Problema 5.1. Determine la serie de Fourier trigonom´etrica de las siguientes funciones3 :

3 e.t.o.c.

: En todo otro caso.

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

112

Entrada y respuesta

3

y(t)

2 1 0 −1 u(t)

−2 −3

0

2

4

6

8

10 Tiempo [s]

12

14

16

18

20

Figura 5.11: Comportamiento de un sistema con una excitaci´on peri´odica.

(a)

(b) (c) (d)

  ; −π < t ≤ 0 −1 y(t) = +1 ;0 < t ≤ π   y(t + 2π) e.t.o.c. ( t ; −1 < t ≤ 1 y(t) = y(t + 2) e.t.o.c. y(t) = |A cos(ωt)|

y(t) = m´ax{0, A sen(ωt)}

(e)

y(t) = 4 sen2 (t) (use identidades trigonometricas)

(f )

y(t) = sen(t) + 6 cos3 (t)(idem)

Para cado caso grafique el espectro de l´ınea (use |C˜n |). Problema 5.2. Determine la serie de de Fourier exponencial que representa a cada una de las siguientes funciones: (a) (b) (c)

y(t) = cos(2t) + sen(5t) ( e−t 0≤t<1 y(t) = y(t + 1) e.t.o.c. y(t) =

∞ X

n=−∞

(d)

δ(t − nT )

Todas las funciones del problema anterior.

Problema 5.3. Considere el sistema de primer orden:

5.7. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

113

d y(t) + 10y(t) = 10u(t) dt Suponga que u(t) es la se˜ nal peri´ odica de la Figura 5.12. 2.5 2 1.5 u(t)

1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5

0

2

4

6 Tiempo [s]

8

10

12

Figura 5.12: Tren de pulsos

5.3.1 Determine las tres primeras arm´ onicas (n = 1, 2, 3) del desarrollo en serie de Fourier de u(t). 5.3.2 Determine la respuesta del sistema a la suma de esas tres arm´ onicas puesta en la entrada, es decir, a la serie de Fourier de u(t), pero truncada. 5.3.3 Grafique la salida y(t) obtenida, y comp´ arela con la simulaci´ on en Matlab del sistema sometido a la entrada original u(t). Comente. Problema 5.4. Considere el sistema definido por su ecuaci´ on diferencial en que ωn y ξ son positivos: d 2 y(t) d y(t) + 2ξωn + ωn2 y(t) = ωn2 u(t) 2 dt dt 5.4.1 Determine la salida del sistema si la entrada es u(t) = A cos(ωn t). 5.4.2 Determine la relaci´ on de amplitudes entre la salida y la entrada en estado estacionario cuando ωn = 10, y ξ = 0,1, 0,05, 0,01. 5.4.3 Simule y grafique para las condiciones anteriores, cuando A = 1. Problema 5.5. Considere el sistema definido por su ecuaci´ on diferencial: d y(t) = y(t) + u(t) dt Si la entrada del sistema es una sinusoide u(t) = sen(10t)

114

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

5.5.1 Determine la salida del sistema y(t), suponiendo condiciones iniciales cero. 5.5.2 Grafique la parte homog´enea de la soluci´ on correspondiente a los modos naturales, la soluci´ on particular correspondiente a la sinusoide de entrada y la soluci´ on total, suma de las dos primeras. Comente. Problema 5.6. Considere el conjunto de funciones definidas en el intervalo [− T2 , T2 ]: B = { 1 , cos(nω0 t) , sen(nω0 t) }n=1,2,...

;

ω0 =

2π T

Y el producto interno definido en ´el como: hyn (t), ym (t)iT =

Z

T 2

− T2

yn∗ (t)ym (t)dt

; yn (t), ym (t) ∈ B

Demuestre que el conjunto B es ortogonal y encuentre todos los posibles valores que toma el producto interno cuando se recorren los elementos de B. Problema 5.7. Considere la siguiente   A f (t) = 0   f (t + T )

funci´ on peri´ odica f (t) definida como: ; |t| < τ /2 ; τ /2 ≤ |t| < T /2 ; e.t.o.c.

5.7.1 Determine la serie de Fourier trigonometrica de la funci´ on f (t).

5.7.2 Grafique la amplitud de las arm´ onicas en funci´ on de la frecuencia. 5.7.3 ¿ C´ omo se ve afectado el gr´ afico a medida que crece el valor de T ? ¿ Qu´e pasa cuando T → ∞ ? Problema 5.8. Modulaci´ on por ancho de pulso. Considere la funci´ on v(t) definida como:   ; 0 < t < τ < 0,001 5 v(t) = 0 ; τ < t < 0,001   v(t + 0,001) ; e.t.o.c.

5.8.1 Determine la serie de Fourier de v(t), indicando la amplitud de los coeficientes en funci´ on del par´ ametro τ . 5.8.2 Si el par´ ametro τ var´ıa lentamente con el tiempo, digamos τ (t) = sen(2πt) ¿ Qu´e se obtiene si se hace pasar v(t) por un sistema con una EDS dada por d y(t) + 100y(t) = 100u(t) dt

?

5.7. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

115

Problema 5.9. Considere la funci´ on y(t) = t2 , definida en el intervalo 0 ≤ t < T. 5.9.1 ¿C´ omo podr´ıa extenderse la funci´ on y(t) al intervalo [−T, T ] de manera que su serie de Fourier sea de la forma: y(t) = A0 +

∞ X

An cos(ωn t)

?

n=1

5.9.2 ¿ C´ omo podr´ıa extenderse al intervalo [−T, T ] de manera que su serie sea de la forma: ∞ X y(t) = Bn sen(ωn t) ? n=1

Problema 5.10. Determine la serie de Fourier discreta de las siguientes funciones: (a) (b) (c) (d) (e) (f )

π y[t] = sen t ( 3 sen 3t ; t = 0, . . . , 3 y[t] = y[t + 4] ; e.t.o.c. ( λt ; λ 6= 1, t = 0, . . . , N − 1 y[t] = y[t + N ] ; e.t.o.c. y[t] = (−1)t   −1 y[t] = 1   y[t + 6]

y[t] = t

; t = −2, . . . , 0 ; t = 1, . . . , 3 ; e.t.o.c.

mod N

Construya el espectro de l´ınea para cada caso.

116

´ ´ CAP´ITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

transformada de Fourier|textbf Fourier per´ ıodo!infinito aperi´ odicas!se~ nales transformada de Fourier

Cap´ıtulo 6

An´ alisis bajo excitaciones arbitrarias. La transformada de Fourier 6.1.

La limitaci´ on de las series de Fourier

En el cap´ıtulo anterior se estudi´o la representaci´on de se˜ nales en un intervalo de tiempo finito, [to , to + T ], a trav´es de una combinaci´on lineal de un n´ umero (posiblemente infinito) de sinusoides. Este an´alisis es muy u ´til para establecer de una manera simple, el contenido frecuencial (espectro) de una se˜ nal peri´odica, identificando claramente la amplitud y fase de cada una de las arm´onicas que la forman, tanto en tiempo discreto como en continuo. En este cap´ıtulo presentamos la extensi´on para un periodo T → ∞, para estudiar el contenido frecuencial de se˜ nales no peri´odicas (o de periodo infinito). El resultado de esta extensi´on nos permitir´a incorporar al an´alisis importantes se˜ nales tales como el impulso de Dirac, el escal´on, la exponencial (real) decreciente y otras se˜ nales arbitrarias como muestra la Figura 6.1. Una clase adicional y experimentalmente muy importante a incluir ahora est´a compuesta por las se˜ nales conocidas en un intervalo de tiempo finito. Estas se˜ nales se pueden calificar como peri´odicas o no, dependiendo de lo que ocurra fuera del intervalo conocido. La transici´on hacia infinito, del periodo de conocimiento de la se˜ nal que se incluye en la herramienta de an´alisis, es justamente el proceso que permite desarrollar una herramienta que incorpore las funciones no peri´odicas al an´alisis frecuencial.

6.2.

La Transformaci´ on de Fourier. El caso del tiempo continuo 117

´ 118CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO serie de Fourier

0

0

T

Figura 6.1: Se˜ nales arbitrarias

Si recordamos el Cap´ıtulo 5, una serie de Fourier es una representci´on de una funci´on f (t) mediante suma de sinusoides. Sin embargo, esta serie representa a la funci´on s´olo dentro del intervalo sobre el cual se calcul´o, [to , to +T ). Si la se˜ nal es peri´odica,y este intervalo corresponde a un n´ umero entero de per´ıodos de la funci´on, entonces la serie tambi´en la representa en el resto del eje real. Esta idea tambi´en se puede aplicar para obtener la serie de Fourier para una funci´on no peri´odica, siempre que la restrinjamos a un intervalo [a, b] de longitud T . Como se mencion´o antes, esta serie representa a la funci´on dentro del intervalo, y fuera de ´este s´olo replica peri´odicamente la representaci´on lograda en [a, b]. Esto puede apreciarse en la Figura 6.2. La Figura 6.2, adem´as, muestra que la longitud del intervalo T puede ampliarse, de manera de ir refinando la representaci´on de la funci´on a trav´es de la serie. Pues bien, lo que interesa en este punto es ver qu´e pasa con la representaci´on cuando el intervalo tiene longitud infinita. Es decir, queremos ver qu´e pasa con la serie de Fourier cuando se utiliza para representar funciones de per´ıodo infinito o aperi´odicas.

a

a

0

0

b

a

b

a

0

0

b

b

Figura 6.2: La funci´on restringida a [a, b] y su reconstrucci´on usando la serie de Fourier. La serie de Fourier exponencial para una funci´on peri´odica, de per´ıodo T ,

´ DE FOURIER. EL CASO DEL TIEMPO CONTINUO119 6.2. LA TRANSFORMACION tiene la forma:

f (t) =

∞ X

Cn ejωn t

(6.1)

n=−∞

En que: 1 Cn = T

Z

T /2 −T /2

ωn = nω0 = n

f (t)e−jωn t dt

(6.2)

2π T

(6.3)

La ecuaci´on (6.1) es la que describe la funci´on f (t) dentro del intervalo [− T2 , T2 ] en t´erminos de las exponenciales peri´odicas que representan las diferentes arm´onicas ωn . Recordemos que la ecuaci´on (6.3) explicita que las arm´onicas no son nada m´as que m´ ultiplos de la frecuencia fundamental ω 0 = 2π T . Ahora bien, cada uno de los coeficientes definidos por la ecuaci´on (6.2) define a Cn como funci´on de la frecuencia ωn , es decir: Cn = Cn (ωn )

(6.4)

Consideremos ahora la funci´on: F (ω) = T · Cn (ωn )

(6.5)

Con esto la serie de Fourier exponencial (6.1) de f (t) puede reescribirse como: ∞ ∞ 1 X 1 X jωn t F (ωn )e = F (ωn )ejωn t ω0 f (t) = T n=−∞ 2π n=−∞

(6.6)

pero si se observa que: ω0 = ωn − ωn−1 = ∆ω

(6.7)

la serie se reescribe como: f (t) =

∞ 1 X F (ωn )ejωn t ∆ω 2π n=−∞

(6.8)

Esta u ´ltima expresi´on corresponde a una suma de Riemann [11], la que, llevada al l´ımite cuando el per´ıodo T crece hasta infinito, equivale a ∆ω → 0, con lo que la serie se transforma en una integral: Z ∞ 1 f (t) = F (jω)ejωt dω (6.9) 2π −∞

´ 120CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO Transformada de Fourier transformada de Fourier transformada de Fourier! inversa funci´ on! generalizada delta de Dirac

El significado de esta u ´ltima expresi´on es conceptualmente muy importante, ya que nos indica que a medida que el per´ıodo de una funci´on peri´odica aumenta, la distancia ∆ω entre la l´ıneas del espectro se reduce progresivamente, y en el l´ımite, cuando la funci´on tiene per´ıodo infinito y ∆ω → 0, la representaci´on en frecuencia de f (t) en vez de ser discreta, pasa a ser una representaci´on continua. As´ı, en lugar de quedar expresada como una suma de sinusoides de frecuencias m´ ultiplos de una fundamental ω0 , queda representada por una integral en que participa una funci´on, F (jω) definida para ω en toda la recta real. Esta funci´on F (ω) es la transformada de Fourier de f (t) , y su expresi´on se deduce utilizando (6.5), (6.4) y (6.2): F (ω) = T · Cn =

Z

T /2

f (t)e−jωn t dt

(6.10)

−T /2

la cual, cuando T → ∞ y considerando ω ∈ R, se convierte en: Z ∞ F (ω) = f (t)e−jωt dt

(6.11)

−∞

Dada la forma de la integral (6.11), puede apreciarse que F (ω) en general ser´a una funci´on en la variable real ω pero con valores complejos, excepto en algunos especiales (ver Problema 6.4). Para enfatizar la naturaleza compleja de la transformada de Fourier F (ω) es una funci´on compleja, se prefiere denotarla por F ( ω). Con esta u ´ltima observaci´on podemos establecer finalmente la existencia del par transformada y transformada inversa de Fourier seg´ un

F {f (t)} = F ( ω) = F

−1

Z

∞

f (t)e− ωt dt

(6.12)

−∞

1 {F ( ω)} = f (t) = 2π

Z

∞

F ( ω)e ωt dω

(6.13)

−∞

Para la existencia de la transformada de Fourier es suficiente que la funci´on f (t) sea absolutamente integrable[9] en ] − ∞, ∞[, es decir: Z ∞ | f (t) | dt < ∞ (6.14) −∞

Sin embargo, es posible obtener la transformada de Fourier de funciones que no cumplen este requisito, por ejemplo, las funciones peri´odicas, con el uso de funciones generalizadas, como el delta de Dirac. 1 que acompa˜ na a la integral en (6.13), en algunos textos es reparEl factor 2π tido equitativamente entre ambas integrales, como un factor √12π en la transformada directa y en la inversa. Preferiremos las expresiones (6.12) y (6.13), ya que esta u ´ltima puede reescribirse de manera natural, reemplazando la frecuencia angular ω en [rad/s] por la frecuencia f en [Hz], tal como se aprecia en la siguiente ecuaci´on

´ DE FOURIER. EL CASO DEL TIEMPO CONTINUO121 6.2. LA TRANSFORMACION

F

−1

{F (j2πf )} =

Z

∞

F (j2πf )ej2πf t df

−∞

El mismo an´alisis desarrollado con la serie de Fourier exponencial cuando el per´ıodo de la funci´on tiende a infinito, puede repetirse de manera similar para la serie de Fourier trigonom´etrica (ver Problema 6.3) Ejemplo 6.1. Para ilustrar los resultados obtenidos veamos un ejemplo. Consideremos la funci´ on f (t) definida en principio peri´ odica en el intervalo [− T2 , T2 ]: ( A ; |t| ≤ τ /2 < T /2 (6.15) f (t) = 0 ; τ /2 < |t| ≤ T /2 Esta corresponde a un pulso de alto A y ancho τ , centrado en cero, que se repite en intervalos de longitud T . Los coeficientes de la serie exponencial de Fourier se pueden obtener sin problema:

Maple > > > > >

assume(T>0,A>0); assume(0
C0 = Cn =

Aτ T

(6.16)  πnτ 

Aτ sen T · πnτ T T

∀n 6= 0

(6.17)

La transformada de Fourier de y(t) resulta dada por la expresi´ on:

F ( ω) =

Z

∞ −∞

y(t)e− ωt dt =

Z

τ /2

Ae− ωt dt

τ /2 τ τ A A · e− ωt = − (e− ω 2 − e ω 2 ) − ω ω −τ /2  ωτ  2A = sen ω 2 =

(6.18)

−τ /2

(6.19) (6.20)

´ 122CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO espectro! continuo

que usualmente se escribe como: F ( ω) = Aτ

ωτ 2 ωτ 2

sen




(6.21)

Si consideramos ahora la ecuaci´ on (6.17), podemos escribir: ω τ  n sen 2 T Cn = Aτ ωn τ 2 donde ωn =

2nπ T .

(6.22)

De esta forma, observamos que: l´ım T Cn = F ( ω)

n→∞

(6.23)

222 A pesar de su conexi´on, existen varias diferencias conceptuales entre la serie de Fourier y la transformada de Fourier. La primera diferencia importante es que el espectro de l´ınea que aparece asociado a la serie de Fourier, se convierte, en el caso de la Transformada de Fourier, en un espectro definido para toda frecuencia. En forma compacta nos referiremos a este u ´ltimo como el espectro continuo de la se˜ nal. Una segunda diferencia es que la Serie de Fourier resulta descrita por un conjunto de valores complejos asociados a un conjunto enumerable de frecuencias (la frecuencia 0 y las frecuencias m´ ultiplos de una frecuencia fundamental), esos valores complejos determinan la amplitud y fase de las componentes arm´onicas. Ese no es el caso de la Transformada de Fourier para se˜ nales de tiempo continuo, ya que la transformada F ( ω) es una medida de densidad o m´as bien de intensidad relativa (no absoluta) de la participaci´on de las distintas frecuencias en la representaci´on de la funci´on. Esta cantidad est´a definida para todo el eje de los reales, es decir, para todo ω, as´ı, la presencia de una frecuencia ω1 en una se˜ nal f (t) est´a dada por: Y1 =

Z

ω1+

F ( ω)e ωt dω

(6.24)

ω1−

Esta integral es cero, a menos que F ( ω) contenga un impulso δ(ω − ω1 ). En el Ap´endice C se demuestra que este impulso acusa la presencia de una sinusoide pura de frecuencia ω1 en f (t). Ejemplo 6.2. Para apreciar desde un a ´ngulo distinto las diferencias mencionandas, consideremos la analog´ıa de una viga empotrada, cargada con arena fina y con tres fuerzas puntuales, como se muestra en la Figura 6.3. La viga tiene un largo L y un ancho A. En la Figura 6.3 la coordenada x es an´ aloga a la frecuencia angular ω. En primer lugar se aprecian tres fuerzas no nulas, que act´ uan en puntos espec´ıficos de la viga. Ellas son an´ alogas a los coeficientes de una serie de Fourier. En segundo lugar se observa la carga de

´ DE FOURIER. EL CASO DEL TIEMPO CONTINUO123 6.2. LA TRANSFORMACION F2

F1

Parseval Parseval

F3 f(x)

x

Figura 6.3: Viga cargada con arena

arena, con una distribuci´ on f (x) [N/m]. Esta distribuci´ on captura la irregularidad de la distribucic´ on de la arena a lo largo y a lo ancho de la viga. Se puede deducir que si f (x) es finita, entonces, esta carga de arena ejerce una fuerza cero en cualquier punto de la viga. No obstante, es obvio que si la densidad de la arena es ρ(x), entonces la fuerza total ejercida por la carga de arena es: Z

L

f (x)ρ(x)Adx

(6.25)

0

La densidad de carga por metro lineal f (x) es entonces an´ aloga a la transformada de Fourier F ( ω), en el sentido que esta u ´ltima corresponde a una densidad espectral por ancho de banda. 222 La transformaci´on de Fourier posee una serie de propiedades que resultan de mucha utilidad para el c´alculo de transformadas de funciones a partir de algunas elementales, para la obtenci´on de transformadas inversas sin tener que resolver la integral (6.13), y para el an´alisis de sistemas, como se ve en la secci´on siguiente. Estas propiedades se detallan en el Ap´endice C. Algunas de esas propiedades son de especial relevancia por sus aplicaciones al an´alisis de sistemas lineales.

6.2.1.

Parseval y la energ´ıa de las se˜ nales aperi´ odicas en tiempo continuo

Los resultados deducidos por Parseval permiten tambi´en relacionar directamente las caracter´ısticas de una se˜ nal cualquiera con su transformada de Fourier. Los detalles matem´aticos pueden ser examinados en el Ap´endice C. Si la se˜ nal (real) f (t) tiene energ´ıa finita en el intervalo (−∞, ∞), y su transformada de Fourier es F ( ω) entonces, aplicando el Teorema C.1, se tiene que: Z

∞ −∞

2

(f (t)) dt =

1 2π

Z

∞ −∞

|F ( ω)|2 dω =

1 π

Z

∞ 0

|F ( ω)|2 dω

(6.26)

´ 124CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO respuesta en frecuencia ancho de banda

Observando el lado derecho de la ecuaci´on, podemos calcular la fracci´on de la energ´ıa total que es aportada por cada intervalo del espectro (ωk , ωk+1 ). Para apreciar esto consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.3. Sea la se˜ nal f (t) = e−at µ(t), donde a ∈ R+ . Entonces, su transformada de Fourier es 1 F ( ω) = (6.27) ω + a y su energ´ıa total es W =

Z

∞ 0

e−2at dt =

1 π

Z

∞ 0

ω2

1 1 dω = 2 +a 2a

(6.28)

Usando Parseval podemos demostrar que la mitad de esa energ´ıa es aportada por el espectro en el intervalo de frecuencia (−a, a), como se ve en Z 1 1 ω a 1 a 1 dω = arctan (6.29) W(−a,a) = = π 0 ω 2 + a2 πa a 0 4a

6.2.2.

Aplicaci´ on a sistemas lineales

Nuestro inter´es en el estudio de la transformaci´on de Fourier y sus propiedades, se origina en su utilidad para analizar las caracter´ısticas de los sistemas lineales. La definici´on hecha en la secci´on precedente de la transformada de Fourier resulta como continuaci´on natural de las series de Fourier, de esta forma la transformada constituye la prolongaci´on natural del estudio de propiedades del sistema como la respuesta en frecuencia, ancho de banda y filtraje, entre otras. Para apreciar la utilidad del an´alisis mediante transformada de Fourier, consideremos un sistema lineal de tiempo continuo, definido por su ecuaci´on diferencial (EDS), tal como se vio en el Cap´ıtulo 3: d n−1 y(t) d n y(t) + a + . . . + a0 y(t) n−1 dt n dt n−1 d m u(t) d m−1 u(t) = bm + bm−1 + . . . + b0 u(t) m dt dt m−1

(6.30)

En que u(t) e y(t) representan respectivamente la se˜ nal de entrada y de salida del sistema. Note que por generalidad hemos reemplazado n − 1 por m en el lado derecho, aunque seguiremos suponiendo que el sistema es propio, es decir, m ≤ n. Si utilizamos la propiedad que permite obtener una expresi´on para la transformada de Fourier de la derivada de una funci´on, ecuaci´on (C.9) en la p´agina 367, a cada una de las derivadas de la entrada u(t) y la salida y(t) puede aplic´arsele trasnformaci´on de Fourier, utilizando:  n  d f (t) F = ( ω)n F {f (t)} = ( ω)n F ( ω) dt n

´ DE FOURIER. EL CASO DEL TIEMPO CONTINUO125 6.2. LA TRANSFORMACION De esta forma, si se aplica transformaci´on de Fourier a ambos lados de la EDS (6.30) se obtiene: ( ω)n Y ( ω) + . . . + a0 Y ( ω) = bm ( ω)m U ( ω) + . . . + b0 U ( ω)

(6.31)

luego: Y ( ω) =

bm ( ω)m + . . . + b0 B( ω) U ( ω) = U ( ω) n ( ω) + . . . + a0 A( ω)

(6.32)

donde A( ω) y B( ω) son polinomios en  ω. Si ahora definimos la funci´on racional en  ω como bm ( ω)m + . . . + b0 B( ω) = A( ω) ( ω)n + . . . + a0 entonces la salida del sistema lineal puede ser expresada como H( ω) =

Y ( ω) = H( ω)U ( ω)

(6.33)

(6.34)

La funci´on H( ω) que aparece en la expresi´on para la salida Y ( ω) es la que caracteriza al sistema mismo, ya que depende s´olo de los coeficientes de la nal de entrada U ( ω). Esta funci´on se conoce como EDS (6.30), y no de la se˜ funci´ on de transferencia o transferencia de Fourier. En general, H( ω) es una funci´on racional en  ω. Sin embargo, existen casos en que la entrada u(t) se aplica en forma retardada al sistema. En esos casos, si el retardo es τ , la transformada de Fourier U ( ω) debe ser reemplazada por U ( ω)e− ωτ (vea las propiedades en la Tabla C.1) y la funci´on de transferencia resulta: H( ω) =

B( ω) bm ( ω)m + . . . + b0 − ωτ = e A( ω) ( ω)n + . . . + a0

(6.35)

Una discusi´on adicional sobre la naturaleza de H( ω), en particular, referida a la estabilidad del sistema se desarrolla m´as adelante, en la Secci´on 6.2.5. Una interpretaci´on fundamental para la funci´ on de transferencia se puede construir a partir del Lema 3.1 en la p´agina 53. All´ı se establece que la respuesta de un sistema a una se˜ nal de entrada arbitraria u(t), puede obtenerse mediante la convoluci´on de ´esta con la respuesta h(t) del sistema a un impulso unitario: Z ∞ u(τ )h(t − τ )dτ (6.36) y(t) = u(t) ∗ h(t) = −∞

Si aplicamos transformaci´on de Fourier a esta relaci´on, utilizando el resultado (C.13) en la p´agina 371 que establece la transformada de la convoluci´on de funciones, tenemos que: F {y(t)} = F {u(t) ∗ h(t)} Y ( ω) = U ( ω)F {h(t)}

(6.37) (6.38)

funci´ on de transferencia

´ 126CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO

Podemos apreciar entonces que la funci´on H( ω) en la ecuaci´on (6.34) es exactamente la transformada de Fourier de la respuesta h(t) del sistema (6.30) a un impulso unitario en su entrada. Dado que la EDS tiene s´olo coeficientes reales, la funci´on de transferencia ∗ H( ω) cumple con H( ω) = (H(− ω)) , lo que implica que: su magnitud es una funci´on par en ω su fase es una funci´on impar en ω

⇒ ⇒

|H( ω)| = |H(− ω)| (6.39) ∠H( ω) = −∠H(− ω) (6.40)

Para ilustrar la derivaci´on de la funci´on de transferencia a partir de un sistema f´ısico, examinemos el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.4. Consideremos el circuito de la Figura 6.4, que puede ser visto como un sistema con entrada el voltaje de la fuente vf (t) y como salida el voltaje en el condensador vc (t). R + vf (t)

C

vc (t)

i(t) Figura 6.4: Circuito RC como sistema de primer orden. Usando leyes de Kirchoff y la ecuaci´ on para la corriente por el condensador, podemos llegar a una EDS: vR (t) + vC (t) = vf (t) d vC (t) + vC (t) = vf (t) RC dt 1 1 d vC (t) + vC (t) = vf (t)di(t) dt RC RC En estas ecuaciones se puede renombrar vc (t) = y(t) , vf (t) = u(t) , , con lo que la EDS resulta:

(6.41) (6.42) (6.43) 1 RC

=α

d y(t) + αy(t) = αu(t) ; α ∈ R+ (6.44) dt A continuaci´ on calculamos la salida del sistema para diferentes funciones de entrada u(t). Si aplicamos transformaci´ on de Fourier a (6.44) tenemos:

´ DE FOURIER. EL CASO DEL TIEMPO CONTINUO127 6.2. LA TRANSFORMACION

Maple >with(inttrans) : assume(alpha>0) : >eds:= diff(y(t),t)+alpha*y(t)=alpha*u(t) ; >eq1:=fourier(u(t),t,w)=U(jw) : >eq2:=fourier(y(t),t,w)=Y(jw) : >subs({eq1,eq2},fourier(eds,t,w)) ; >Y(jw):=solve(%,Y(jw));

 ωY ( ω) + αY ( ω) = αU ( ω) (6.45) α Y ( ω) = U ( ω) (6.46) ω + α Con esta expresi´ on se puede obtener la salida del sistema para diferentes agina 389. casos, con ayuda de las tranformadas en la Tabla C.2 en la p´ Entrada impulso unitario En primer lugar, podemos calcular casi directamente la respuesta a impulso del sistema, ya que si u(t) = δ(t), entonces U ( ω) = 1 y, por tanto: Maple >U(jw)= fourier(Dirac(t),t,w) : >H(jw)=subs(%,Y(jw));

U ( ω) = 1 Y ( ω) = H( ω) =

α ω + α

Donde se aplica transformaci´ on inversa Maple > h(t) = invfourier(H(jw),w,t);

h(t) = αF −1



1 ω + α

= αe−αt µ(t) Entrada escal´ on unitario



(6.47) (6.48)

´ 128CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO fracciones parciales

Maple >U(jw)= fourier(Heaviside(t),t,w) : >Y(jw)=subs(%,Y(jw));

1 U ( ω) = πδ(ω) + ω   1 α πδ(ω) + Y ( ω) = ω + α ω

(6.49) (6.50)

Donde se desarrolla el producto y luego se buscan t´erminos que correspondan a transformadas conocidas, ya sea agrupando de manera conveniente o separando en fracciones parciales (ver Ap´endice D): α α πδ(ω) + ω + α  ω( ω + α) 1 1 = πδ(ω) + − ω ( ω + α)

(6.51)

Y ( ω) =

(6.52)

Ya que, del t´ermino que multiplica al delta Dirac s´ olo interesa su valor en ω = 0, y el otro se separa en fracciones parciales. De esta forma se puede calcular la transformaci´ on inversa de Fourier:

Maple > y(t) = invfourier(Y(jw),w,t);

y(t) = F

−1



1 πδ(ω) + ω

= µ(t) − e−αt µ(t)



−F

−1



1 ( ω + α)



(6.53) (6.54)

Entrada exponencial peri´ odica Finalmente, examinemos la respuesta a una exponencial peri´ odica u(t) = e ωo t . Su transformada de Fourier de u(t) es:  U ( ω) = F e ωo t = 2πδ(ω − ωo )

Con lo que la salida ser´ a:

(6.55)

´ DE FOURIER. EL CASO DEL TIEMPO CONTINUO129 6.2. LA TRANSFORMACION ganancia! a

α α 2πδ(ω − ωo ) = 2πδ(ω − ωo ) ω + α  ωo + α α ⇒ y(t) = e ωo t = A(ωo )e ωo t+jφ(ωo )  ωo + α Y ( ω) =

(6.56) (6.57)

en que: α = p α A(ωo ) =  ωo + α ωo2 + α2 ωo φ(ωo ) = − arctan α

(6.58) (6.59)

Lo anterior muestra que, al pasar a trav´es del sistema, la exponencial peri´ odica, experimenta un cambio en magnitud (en un factor A(ωo )) y en fase (una adici´ on igual a φ(ωo ). 222

6.2.3.

La funci´ on de transferencia y la respuesta en frecuencia

La u ´ltima parte del Ejemplo 6.4, en la secci´on anterior, pone de manifiesto la utilidad de conocer la transformada de Fourier de la respuesta a impulso de un sistema, H( ω). Observe que: Y ( ω) = H( ω)U ( ω)

(6.60)

pero si u(t) = e ωo t , entonces Y ( ω) = H( ω)2πδ(ω − ωo )

= H( ωo )2πδ(ω − ωo )

(6.61) (6.62)

por tanto, la salida es: y(t) = H( ωo )e ωo t

(6.63)

As´ı tenemos que H( ωo ) representa la ganancia al modo forzante e ωo t , definida en (3.24). Es m´as, dada la relaci´on de las exponenciales peri´odicas con las se˜ nales sinusoidales podemos establecer el siguiente lema. Lema 6.1. Dado un sistema estable de tiempo continuo con entrada u(t) y salida y(t). La respuesta del sistema a la entrada se˜ nal de entrada sinusoidal u(t) = cos(ωo t), ∀t, es y(t) = A(ωo ) cos(ωo t + φ(ωo ))

(6.64)

modo forzante

´ 130CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO En que A(ωo ) = |H( ωo )| φ(ωo ) = ∠H( ωo )

(6.65) (6.66)

Donde H( ω) es la transformada de Fourier de la respuesta a impulso del sistema h(t). Demostraci´ on La respuesta a la excitaci´ on cos(ωo t), puede ser calculada como la combinaci´ on de las respuestas a un par de exponenciales peri´ odicas. A partir de: Y ( ω) = H( ω)U ( ω)

(6.67)

tenemos que, si u(t) = 21 (e ωo t + e− ωo t ), entonces: Y ( ω) = H( ω)π(δ(ω − ωo ) + δ(ω + ωo ))

(6.68)

= πH( ωo )δ(ω − ωo ) + πH(− ωo )δ(ω + ωo )

(6.69)

y, por lo tanto, la salida es: 1 1 H( ωo )e ωo t + H(− ωo )e− ωo t 2 2 1 1  ωo t+j∠H( ωo ) = |H( ωo )|e + |H( ωo )|e− ωo t−j∠H( ωo ) 2 2 = |H( ωo )| cos(ωo t + ∠H( ωo ))

y(t) =

(6.70) (6.71) (6.72) 222

Ejemplo 6.5. Para el mismo sistema del Ejemplo 6.4, descrito por la ecuaci´ on diferencial: d y(t) + αy(t) = αu(t) dt

; α ∈ R+

(6.73)

Determinemos la soluci´ on si la se˜ nal de entrada es u(t) = cos(t). Tal como se hizo antes, se aplica transformaci´ on de Fourier sobre la EDS, donde se ha reemplazado la entrada u(t) con lo que se obtiene la transformada de Fourier de la salida:

Maple > U(jw)= fourier(cos(t),t,w) : eq3 ; simplify(subs(eq3,Y(jw)));

´ DE FOURIER. EL CASO DEL TIEMPO CONTINUO131 6.2. LA TRANSFORMACION

U ( ω) = π(δ(ω + 1) + δ(ω − 1)) α Y ( ω) = π(δ(ω + 1) + δ(ω − 1)) ω + α

(6.74) (6.75)

donde, simplificando como antes, se obtiene la transformada inversa: α α πδ(ω + 1) + πδ(ω − 1) −j + α j+α α(α − j) α(α + j) πδ(ω + 1) + 2 πδ(ω − 1) = α2 + 1 α +1 = Aejφ πδ(ω + 1) + Ae−jφ πδ(ω − 1)

Y ( ω) =

(6.76) (6.77) (6.78)

en que: α(α + j) = √ α A = 2 α +1 α2 + 1   α(α + j) 1 φ=∠ = arctan 2 α +1 α

(6.79) (6.80)

por lo tanto, la salida es: y(t) = A cos(t − φ) =√

α

α2

+1

(6.81) 

cos t − arctan

1 α



(6.82)

Se deja al lector verificar el caso general, en que, cuando la entrada es una sinusoide de frecuencia arbitraria, cos(ωo t), entonces la salida del sistema ser´ a:  α ωo  y(t) = p (6.83) cos t − arctan α α2 + ωo2

´ngulo de desfase φ(ωo ) En la Figura 6.5 se muestra la magnitud A(ωo ) y a de la salida cuando α = 10. 222 El ejemplo anterior pone en evidencia que la salida que se obtiene a trav´es de la transformada de Fourier corresponde a la parte estacionaria de la salida del sistema, donde no aparecen modos naturales. Esto es coherente, ya que podemos pensar una se˜ nal no causal como una que comenz´o a actuar sobre el sistema en t = −∞, y, por ende, el efecto de las condiciones iniciales ha desaparecido. Sin embargo, debemos observar que el desarrollo realizado es an´alogo cuando α < 0. Esto nos advierte que en el caso de sistemas inestables, es decir, con frecuencias naturales fuera del semiplano izquierdo (que es la zona de estabilidad para sistemas de tiempo continuo), la salida obtenida mediante la transformaci´on de

´ 132CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO 0

1

0.8

φ(ω)

A(ω)

−0.5

0.6

0.4

−1

0.2

−1.5

0

0

100

200

300 ω

400

500

600

0

100

(a) Magnitud

200

300 ω

400

500

600

´ (b) Angulo

Figura 6.5: Magnitud y a´ngulo de H( ω) en el ejemplo (α = 100).

Fourier resulta ser acotada, mientras que la salida verdadera del sistema crece hasta infinito. Es decir, la soluci´on mediante Fourier para se˜ nales no causales resulta ciega a la inestabilidad propia del sistema, pero nos permite obtener la componente particular de la se˜ nal de salida. Para ilustrar esto observe el siguiente ejemplo, que s´olo tiene sentido si el sistema bajo an´alisis es estable. Ejemplo 6.6. Consideremos el caso en que la entrada al sistema es u(t) = cos(t)µ(t). En este caso, tenemos que la transformada de Fourier de la entrada y de la salida al sistema son respectivamente

Maple >U(jw) = fourier(Heaviside(t)*cos(t),t,w); >Y(jw) = subs (%,Y(jw));

π ω (δ(ω − 1) + δ(ω + 1)) + 2 −ω 2 + 1   α ω π Y ( ω) = (δ(ω − 1) + δ(ω + 1)) + ω + α 2 −ω 2 + 1 U ( ω) =

(6.84) (6.85)

La salida Y ( ω) puede simplificarse con las mismas consideraciones anteriores, es decir, evaluando los coeficientes que acompa˜ nan a los deltas de Dirac en la frecuencia de inter´es, separando en fracciones parciales y agrupando convenientemente:

´ DE FOURIER. EL CASO DEL TIEMPO CONTINUO133 6.2. LA TRANSFORMACION filtraje

α π α π α δ(ω − 1) + δ(ω + 1) + j+α 2 −j + α 2 ( ω + α)(−ω 2 + 1) α(α + j) π α(α − j) π δ(ω − 1) + δ(ω + 1) = 2 α +1 2 −j + α 2   α(α ω + 1)) α2 1 + 2 − (α + 1)(−ω 2 + 1) α2 + 1  ω + α

α2 π α jπ = 2 δ(ω + 1) + δ(ω − 1) + 2 δ(ω + 1) − δ(ω − 1) α +1 2 α +1 2   ω 1 α2 α α2 1 + 2 + − (α + 1) (−ω 2 + 1) (α2 + 1) (−ω 2 + 1) α2 + 1  ω + α

Y ( ω) =

Por tanto, con ayuda de la Tabla C.2 en la p´ agina 389, tenemos que la salida es:   
ω α π −1 δ(ω + 1) + δ(ω − 1) + αF α2 + 1 2 (−ω 2 + 1)  
1 jπ δ(ω + 1) − δ(ω − 1) + + F −1 2 (−ω 2 + 1)   1 − αF −1 ω + α  α  α cos(t)µ(t) + sen(t)µ(t) − αe−αt µ(t) y(t) = 2 α +1

y(t) =

En Maple los c´ alculos se pueden hacer mucho m´ as r´ apido, y, dado que en la transformaci´ on inversa aparecen exponenciales complejas, se utiliza la funci´ on evalc, que permite expandir ´estas mediante la relaci´ on de Euler, 1 :

Maple >U(jw) = fourier(Heaviside(t)*cos(t),t,w); >subs(%,Y(jw)); >y(t) = simplify( evalc( invfourier(%,w,t) ) );

222

6.2.4.

Filtraje

Una generalizaci´on de los resultados precedentes se puede extraer examinando la naturaleza de la funci´on de transferencia y la forma en que evolucionan 1 ejθ

= cos(θ) + j sen(θ)

´ 134CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO espectro respuesta en frecuencia sistema! estable

su magnitud y su fase con la frecuencia ω. En estas caracter´ısticas, que definen la respuesta en frecuencia del sistema, se capturan efectos tales como su velocidad y su capacidad de filtrar y discriminar se˜ nales de diferentes contenidos espectral. Es com´ un que para clasificar las funciones de transferencia de sistemas es´ tables, se use su caracter´ıstica filtrante. Esta queda determinada por |H( ω)|. Para ejemplificar esta descripci´on consideremos primero sistemas que discriminan entre frecuencias altas y bajas. |H(jω)|

|H(jω)|

A

A

a

a

ωc

ωc

ω

ω

Figura 6.6: Sistemas pasa bajos (izquierda) y pasa altos (derecha) En la Figura 6.6 se observan dos conductas distintas. El sistema descrito por la caracter´ıstica del lado izquierdo, deja pasar las bajas frecuencias y aten´ ua las altas frecuencias. El sistema caracterizado por la funci´on de transferencia del lado derecho hace lo contrario: deja pasar las altas frecuencias y bloquea las bajas frecuencias. Una forma de apreciar estos comportamientos distintos es aplicar a ambos sistemas una misma secuencia de escalones temporales. La transici´on brusca de un nivel a otro requiere la presencia de muy altas frecuencias, en estricto sentido, de frecuencia infinita. Por otro lado, una vez que se ha llegado a un nuevo nivel, predominan las frecuencias bajas, en rigor, la frecuencia cero. Los escalones tambi´en tienen energ´ıa a frecuencias intermedias tal como lo revela la transformada de Fourier del escal´on unitario, estas frecuencias intermedias se originan en el quiebre entre una pendiente infinita (inicio del escal´on) y una pendiente cero (resto del escal´on). Ejemplo 6.7. Considere los siguientes sistemas: 1 ( ω + 1)2 ( ω)2 H2 ( ω) = ( ω + 1)2 H1 ( ω) =

Pasa bajos

(6.86)

Pasa altos

(6.87)

Si a ambos sistemas se aplica una secuencia de escalones, se obtiene el resultado de la Figura 6.7. En esta, se observa que la respuesta del filtro pasa

´ DE FOURIER. EL CASO DEL TIEMPO CONTINUO135 6.2. LA TRANSFORMACION frecuencia! de corte pasa banda elimina banda

Respuesta a escalón

2

y (t)

1.5

1

1 0.5 0

y (t)

−0.5

2

−1 0

5

10

15 Tiempo [s]

20

25

30

Figura 6.7: Respuesta a escalones de un sistema pasa bajos y un sistema pasa altos.

bajos, y1 (t), no puede seguir las transiciones de los escalones, pero alcanza el nivel constante de la entrada sin error (dado que la ganancia a continua es uno). Por su parte, la respuesta del filtro pasa altos, y2 (t), es capaz de replicar instant´ aneamente los cambios bruscos, sin embargo presenta respuesta nula una vez que el escal´ on alcanza un nivel constante (dado que la ganancia a continua es cero). 222 La transici´on entre una zona de paso y otra de rechazo (y viceversa) que ocurre en |H( ω)| es siempre gradual. Una forma de cuantificar un l´ımite para esa transici´on es lo que se define como frecuencia de corte. Esta definici´on, aunque arbitraria es universalmente aceptada. En la Figura 6.6, ωc es la fre√ cuencia de corte si a = A/ 2. Aparte del comportamiento pasa bajos y pasa altos podemos reconocer las caracter´ısticas pasa banda y elimina banda. Las caracter´ısticas generales de ambos sistemas aparecen reflejadas en los gr´aficos de la Figura 6.8. |H(jω)|

|H(jω)|

A

A

a

a

ωc1

ωc2

ω

ωc1

ωc2

Figura 6.8: Sistemas pasa banda y elimina banda.

ω

´ 136CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO El sistema descrito por la caracter´ıstica del lado izquierdo en la Figura 6.8 bloquea las frecuencias bajas y las fecuencias altas, en cambio, deja pasar un rango de frecuencias intermedias. Por su parte, el sistema descrito por la caracter´ıstica del lado derecho en la Figura 6.8, bloquea un rango intermedio de frecuencias y deja pasar tanto las altas como las bajas frecuencias. El comportamiento de estos sistemas puede ser estudiado tambi´en usando una secuencia de escalones. Para ilustrar las diferentes conductas desarrollamos un ejemplo. Ejemplo 6.8. Considere los siguientes sistemas: ω ( ω + 1)2 ( ω)2 + 1 H4 ( ω) = ( ω + 1)2 H3 ( ω) =

Pasa banda

(6.88)

Elimina banda

(6.89)

1.5 Respuesta a escalón

frecuencias de corte

1

y (t) 4

0.5 0

y3(t)

−0.5 −1 −1.5

0

5

10

15 Time [s]

20

25

30

Figura 6.9: Respuesta a escalones de un sistema pasa banda y un sistema elimina banda.

Cuando a ambos sistemas se aplica una secuencia de escalones se obtiene el resultado de la Figura 6.9. De la Figura 6.9 se observa que la respuesta del filtro pasa banda, y3 (t), no puede seguir las transiciones de los escalones, y presenta respuesta nula una vez que el escal´ on alcanza niveles constantes (tiene ganancia a continua igual a cero). Por su parte, la respuesta del filtro elimina banda, y4 (t), es capaz de replicar instant´ aneamente los cambios bruscos, y de alcanzar, sin error, el valor constante de la entrada (tiene ganancia a continua igual a uno). Sin embargo, y4 (t) presenta una anomal´ıa justo despu´es de la transici´ on brusca. Esta anomal´ıa se debe a que el sistema bloquea un rango intermedio de frecuencias. 222 En el caso de los sistemas pasa banda y sistemas elimina banda, existen dos √ frecuencias de corte, ωc1 y ωc2 (vea Figura 6.8), para a = A/ 2. Cualquiera que sea la naturaleza filtrante del sistema, las frecuencias de corte son las que delimitan la(s) banda(s) de paso y la(s) banda(s) de rechazo.

´ DE FOURIER. EL CASO DEL TIEMPO CONTINUO137 6.2. LA TRANSFORMACION

6.2.5.

Caso singular en la funci´ on de transferencia.

sistema! estable

En primer lugar, se debe enfatizar que:

La funci´on de transferencia de un sistema lineal de tiempo continuo est´a definida s´olo si su respuesta a impulso tiene transformada de Fourier. Esto es equivalente a exigir que el sistema tenga s´olo frecuencias naturales en el SPI cerrado, con la condici´on que si algunas de esas frecuencias naturales est´an sobre el eje imaginario, ellas sean simples Es muy importante notar que el Lemma 6.1 en la p´agina 129, que iguala H( ω) con la respuesta en frecuencia, est´a formulado para sistemas estables. No podemos extender este resultado a sistemas que tienen frecuencias naturales en el eje imaginario, aunque sean no repetidas. Veamos a trav´es de un ejemplo, los resultados err´oneos que surgen si no somos cuidadosos. Ejemplo 6.9. Un sistema con entrada u(t) y salida y(t), tiene una EDS: dy(t) = u(t) (6.90) dt Observamos que el sistema tiene s´ olo una frecuencia natural, y ella est´ a ubicada en λ = 0, es decir, se trata de una frecuencia natural no repetida en el eje imaginario. La respuesta en frecuencia, K(ω) est´ a dada por la ganancia al modo forzante e ωt , y ella resulta de aplicar (3.24) a este caso particular: K(ω) =

1 ω

(6.91)

Suponga que u(t) = e−at µ(t), a > 0 y si, err´ oneamente, hacemos H( ω) = K(ω), entonces y(t) se puede calcular a partir de :

y(t) = F

−1

{Y ( ω)} = F

−1

{H( ω)U ( ω)} = F

−1



1  ω( ω + a)



(6.92)

As´ı se obtiene:

Maple >with(inttrans): >assume(a>0);simplify(evalc((invfourier(1/(-w^2+I*a*w),w,t)));

y(t) =

signo (t) − 2e−at µ(t) 2a

(6.93)

´ 138CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO dando origen a una respuesta no causal, ya que la funci´ on signo (t) tiene valor −1, ∀t < 0. Para obtener la respuesta correcta, recordemos que la funci´ on de transferencia H( ω) es la transformada de Fourier de la respuesta del sistema a un impulso unitario. Aplicando esta definici´ on a nuestro sistema se llega a: H( ω) =

1 + πδ(ω) ω

(6.94)

Entonces y(t) = F

−1



 1 − e−at µ(t) π 1 + δ(ω) = µ(t)  ω( ω + a) a a

(6.95)

que es la respuesta correcta. 222 El ejemplo precedente ilustra y explica el problema. Cuando el sistema tiene frecuencias naturales en el eje imaginario, los modos naturales asociados no decaen, y la transformada de Fourier de cada uno de ellos s´olo existe en el l´ımite. Esta condici´on es acusada por la presencia de deltas de Dirac en ω. As´ı, la funci´on de transferencia es una funci´on racional m´as uno o varios deltas de Dirac en ω. La u ´ltima pregunta que debemos responder es por qu´e la determinaci´on de H( ω) usando (6.31) no da el resultado correcto. La respuesta est´a en que para pasar de (6.31) a (6.33) se requiere dividir por un polinomio que se hace cero para uno o m´as valores de ω, es decir, se realiza una divisi´on por cero a esas frecuencias. Consideremos un ejemplo adicional. Ejemplo 6.10. Sea un sistema con la EDS: d 2 y(t) + 4y(t) = 3u(t) dt 2 Al aplicar transformaci´ on de Fourier se obtiene: (( ω)2 + 4)Y ( ω) = 3U ( ω)

(6.96)

(6.97)

Observamos que y(t) contiene dos modos naturales complejos, los que combinados generan una se˜ nal sinusoidal de frecuencia 2 [rad/s]. Esto implica que Y ( ω) debe incluir dos impulsos: δ(ω − 2) y δ(ω + 2). Cuando dividimos ambos lados de (6.97) por (( ω)2 + 4), estamos dividiendo por cero cuando ω = ±2, exactamente donde ocurren los impulsos. Esta divisi´ on llevar´ıa, err´ oneamente, a que la funci´ on de transferencia ser´ıa: 3 ( ω)2 + 4

(6.98)

Sin embargo, la respuesta del sistema a u(t) = δ(t) est´ a dada por: h(t) =

3 sen(2t)µ(t) 2

(6.99)

´ DE FOURIER. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO139 6.3. LA TRANSFORMACION As´ı, el valor correcto de H( ω) es: H( ω) =

3 3 + j (δ(ω + 2) − δ(ω − 2)) ( ω)2 + 4 2

(6.100) 222

6.3.

La Transformaci´ on de Fourier. El caso de tiempo discreto

Consideremos en esta secci´on el caso de las funciones no peri´odicas, definidas en tiempo discreto, y c´omo se pueden hacer un desarrollo an´alogo para ´estas que permita representar de alguna forma su contenido en frecuencia. En primer lugar, recordemos las expresiones correspondientes a la representaci´on en serie de Fourier de una funci´on peri´odica definida en tiempo discreto, tal como se vi´o en el Cap´ıtulo 5. Sea y[t] una funci´on peri´odica de per´ıodo N , entonces esta se puede representar mediante una serie de Fourier discreta que no es m´as que una combinaci´on lineal finita de N exponenciales complejas:

y[t] =

N −1 X

Cn ejθo nt ;

donde θo =

n=0

Cn =

2π N

N −1 1 X y[t]e−jθo nt N t=0

Consideremos ahora el caso en que el per´ıodo N de la se˜ nal crece hasta infinito, es decir, tenemos una se˜ nal que ya no es peri´odica. En este caso se puede hacer el siguiente desarrollo, totalmente an´alogo al caso de la transformaci´on de Fourier para funciones de tiempo continuo, en la secci´on 6.2. Llamemos θn = nθo y definamos la funci´on: Y (ejθn ) = N · Cn

(6.101)

Reemplazando en la representaci´on en serie anterior:

y[t] = =

N −1 1 X Y (ejθn )ejθo nt N n=0

N −1 1 X Y (ejθn )ejθn t ∆θ 2π n=0

(6.102) (6.103)

Ya que la frecuencia fundamental en este caso es θo = θn+1 − θn = ∆θ, es decir, la separaci´on entre arm´onicas es igual a la frecuencia fundamental. La sumatoria anterior corresponde a una suma de Riemann[11] que llevada al

´ 140CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO transformada de Fourier! discreta l´ımite cuando transformada de Fourier! discreta inversa

N → ∞ se convierte en una integral en la variable θ, que pasa a ser continua. Cabe observar que el l´ımite superior de la integral es: 2π · (N − 1) N = 2π

θN −1 = l´ım θN −1

N →∞

(6.104) (6.105)

Por tanto, cuando el per´ıodo de la funci´on N → ∞ se tiene que: y[t] =

1 2π

Z

2π

Y (ejθ )ejθt dθ

(6.106)

0

Cabe recordar que para el caso de las funciones de tiempo discreto existe periodicidad en frecuencia, por tanto la funci´on y[t] podr´ıa representarse empleando el intervalo [−π, π] o cualquier otro de longitud 2π. La ecuaci´on (6.106) nos dice que podemos representar la funci´on de tiempo discreto y[t] como una integral que involucra la funci´on Y (ejθ ), que ahora presenta valores en forma continua en el intervalo [0, 2π]. Veamos ahora cu´al es la expresi´on que permite obtener esta funci´on. A partir de la definici´on hecha en (6.101) tenemos: Y (ejθn ) = N · Cn =

N −1 X

y[t]e−jθo nt =

t=0

N −1 X

y[t]e−jθn t

(6.107)

t=0

Cuando N → ∞ aparece la variable continua θ y es necesario considerar todos los valores de la funci´on, es decir, el tiempo discreto barre todos los enteros. Por tanto: Y (ejθ ) =

∞ X

y[t]e−jθt

(6.108)

t=−∞

Esta funci´on es la transformada de Fourier discreta de la funci´on y[t]. on inversa de Mientras que la expresi´on (6.106) representa la transformaci´ Fourier discreta.

Fd {y[t]} = Y (ejθ ) =

∞ X

y[t]e−jθt

(6.109)

t=−∞

 1 Fd −1 Y (ejθ ) = y[t] = 2π

Z

2π

Y (ejθ )ejθt dθ 0

A continuaci´on, veamos un ejemplo para ilustrar lo anterior.

(6.110)

´ DE FOURIER. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO141 6.3. LA TRANSFORMACION Ejemplo 6.11. Consideremos como primera se˜ nal, un delta de Kronecker. Si calculamos su transformada de Fourier discreta tenemos que ´esta, se reduce a un u ´nico t´ermino: Y (ejθ ) =

∞ X

δ[t]e−jθt = δK [0]e−jθ0 = 1

(6.111)

t=−∞

es decir, se obtiene un espectro plano, en analog´ıa al caso del espectro del delta de Dirac en tiempo continuo. En la Figura 6.10 se muestra el delta de Kronecker y la transformada de Fourier calculada, que en este caso resulta tener s´ olo parte real. 2 1 1.5

0.6

Y(ejθ)

δk[t]

0.8

0.4 0.2

1 0.5

0 −0.2 −5

0 t

0

5

0

2

θ

4

6

Figura 6.10: Delta de Kronecker y su transformada de Fourier

222 Ejemplo 6.12. Consideremos ahora la se˜ nal exponencial: y[t] = αt µ[t]

|α| < 1

(6.112)

Su transformada de Fourier discreta es: Y (ejθ ) =

∞ X

t=−∞

y[t]e−jθt =

∞ X

αt e−jθt =

t=0

∞ X

(αe−jθ )t

(6.113)

t=0

La expresi´ on para Y (ejθ ) resulta ser una serie geom´etrica convergente ya −jθ que |αe | < 1. Por tanto su suma es Y (ejθ ) =

1 1 − αe−jθ

(6.114)

La transformada Y (ejθ ) puede ser reescrita en forma polar (m´ odulo y a ´ngulo) como:

´ 142CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO

1 1 − α cos(θ) + jα sen(θ) 1 1 jθ |Y (e )| = p =p 2 2 (1 − α cos(θ)) + (α sen(θ)) 1 − 2α cos(θ) + α2   α sen(θ) ∠Y (ejθ ) = − arctan 1 − α cos(θ) Y (ejθ ) =

(6.115) (6.116) (6.117)

6 1

5 4

0.6

|Y(ejθ)|

y[t]

0.8

0.4

3 2

0.2

1

0 −0.2 −2

0

2

4 t

6

8

0

10

0

2

4

6

θ

Figura 6.11: Se˜ nal y[t] = (0,8)t µ[t] y la magnitud de Y (ejθ ). En la Figura 6.11 se muestra la se˜ nal en tiempo discreto y la magnitud de su transformada de Fourier discreta cuando α = 0,8 222 Ejemplo 6.13. Consideremos ahora un pulso discreto definido seg´ un ( 1 ; |t| ≤ 5 y[t] = 0 ; |t| > 5

(6.118)

Su transformada de Fourier discreta est´ a dada por la expresi´ on: Y (ejθ ) =

5 X

e−jθt

(6.119)

t=−5

Se puede apreciar directamente que es una funci´ on real, ya que cada par de exponenciales complejas conjugadas al sumarse se transforman en una funci´ on coseno, es decir: Y (ejθ ) = 1 + 2

5 X

cos(θt)

(6.120)

t=1

Alternativamente, la transformada se puede calcular calculando la suma de la progresi´ on geom´etrica de exponenciales:

´ DE FOURIER. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO143 6.3. LA TRANSFORMACION Parseval energ´ ıa

Y (ejθ ) =

5 X

e−jθt = e−jθ(−5)

t=−5

ejθ5 − e−jθ6 1 − e−jθ(11) = −jθ 1−e 1 − e−jθ

(6.121)

Esta expresi´ on, a priori, no parece ser real, pero si se reescribe convenientemente tenemos que:

jθ

Y (e ) =


θ ejθ5 − e−jθ6 · ej 2 (1 − e−jθ ) · ej

θ 2

=

ejθ

11 2 θ 2

− e−jθ

ej − e−j

θ 2

11 2

=

sen(θ 11 2 ) 1 sen(θ 2 )

(6.122)

Note que la ecuaci´ on (B.48) del Ap´endice B, establece justamente la propiedad que permite convertir la suma de cosenos en un cuociente de senos. 15 1 10

0.6

jθ

Y(e )

y[t]

0.8

0.4 0.2

5 0

0 −0.2 −10

−5

0 t

5

10

−5

0

2

θ

4

6

Figura 6.12: Se˜ nal y[t] y su transformada discreta Y (ejθ ).

La Figura 6.12 se muestran los gr´ aficos del pulso en tiempo discreto y de su transformada de Fourier. 222 En el Ap´endice C se incluyen las propiedades m´as importantes de la transformaci´on de Fourier en tiempo discreto (tabla C.3 en la p´agina 390), adem´as de una lista de transformadas simples que se pueden utilizar para el c´alculo de otras m´as complejas (Tabla C.4 en la p´agina 391).

6.3.1.

Parseval y las se˜ nales aperi´ odicas de tiempo discreto

Los resultados deducidos por Parseval en el Ap´endice C permiten tambi´en relacionar directamente las caracter´ısticas de energ´ıa de una se˜ nal cualquiera con su transformada de Fourier discreta. En el caso de se˜ nales de tiempo discreto, las ideas de potencia y energ´ıa no tienen la connotaci´on f´ısica que poseen cuando se usan en el contexto de las se˜ nales de tiempo continuo. Sin embargo, son tambi´en

´ 144CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO concepto u ´tiles, especialmente si la secuencia de tiempo discreto se origina en el muestreo de una se˜ nal de tiempo continuo. Para la se˜ nal real de tiempo discreto f [t] se define la energ´ıa como: W =

∞ X

(f [t])

2

(6.123)

t=−∞

Si la se˜ nal f [t] tiene energ´ıa finita en el intervalo (−∞, ∞), y su transformada de Fourier es F (ejω ) entonces, aplicando el Teorema C.2 en la p´agina 386, se tiene que: ∞ X

t=−∞

2

(f [t]) =

1 2π

Z

2π 0

|F (ejθ )|2 dθ

(6.124)

Observando el lado derecho de la ecuaci´on, podemos calcular la fracci´on de la energ´ıa total que es aportada por cada intervalo del espectro (θk , θk+1 ). En comparaci´on con el caso continuo, ac´a el c´alculo es mucho m´as complicado.

6.3.2.

Aplicaci´ on a sistemas lineales

Consideremos un sistema lineal de tiempo discreto definido por su ecuaci´on recursiva (ERS):

y[t] + an−1 y[t − 1] + . . . + a1 y[t − n + 1] + a0 y[t − n]

= bm u[t] + bm−1 u[t − 1] + . . . + b1 u[t − m + 1] + b0 u[t − m]

(6.125)

En que m y n son enteros positivos cualesquiera. Si aplicamos transformada de Fourier a ambos lados de la ecuaci´on tenemos: Y (ejθ )(1 + an−1 e−jθ + . . . + a1 e−jθ(n−1) + a0 e−jθn ) = U (ejθ )(bm + bm−1 e−jθ + . . . + b1 e−jθ(m−1) + b0 e−jθ )

(6.126)

Si se factoriza y despeja la transformada de Fourier de la secuencia de salida tenemos que esta resulta ser la transformada de la entrada U (ejθ ) multiplicada por una funci´on racional en la variable e−jθ :

Y (ejθ ) =

bm + bm−1 e−jθ + . . . + b1 e−jθ(m−1) + b0 e−jθ U (ejθ ) 1 + an−1 e−jθ + . . . + a1 e−jθ(n−1) + a0 e−jθn

(6.127)

Justamente podemos apreciar que la funci´on racional que aparece multiplicando la entrada depende s´olo del sistema, ya que s´olo depende de los coeficientes de la ERS inicial. Con esta expresi´on podemos obtener la secuencia de salida del sistema calculando la transformaci´on de Fourier inversa. En particular, cuando la entrada es un delta de Kronecker en el origen:

´ DE FOURIER. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO145 6.3. LA TRANSFORMACION

u[t] = δK [t]

⇒

U (ejθ ) = 1

(6.128)

En este caso la salida del sistema es:

Y (ejθ ) =

bm + bm−1 e−jθ + . . . + b1 e−jθ(m−1) + b0 e−jθ = H(ejθ ) 1 + an−1 e−jθ + . . . + a1 e−jθ(n−1) + a0 e−jθn

(6.129)

es decir, la funci´on racional H(ejθ ) es exactamente la transformada de Fourier de la respuesta del sistema a un delta de Kronecker en su entrada. De esta forma, la respuesta a cualquier otra se˜ nal de entrada se obtiene usando la relaci´on: Y (ejθ ) = H(ejθ )U (ejθ )

(6.130)

Esta ecuaci´on, corresponde, en el dominio de tiempo discreto, a la convoluci´on de las secuencias temporales: y[t] = h[t] ∗ u[t] =

∞ X

l=−∞

u[l]h[t − l]

(6.131)

en que, tal como se vi´o al final del Cap´ıtulo 4, la secuencia h[t] es la respuesta del sistema al delta Kronecker.

La funci´on H(ejθ ) es la funci´ on de transferencia del sistema de tiempo discreto, y resulta igual a la ganancia al modo forzante ejθt , descrita en (4.35). Esto dice que H(ejθ ) describe completamente la respuesta en frecuencia del sistema de tiempo discreto (vea la Secci´on §5.4). Ejemplo 6.14. Consideremos el sistema de tiempo discreto definido por su ecuaci´ on recursiva: y[t] − 1,6y[t − 1] + 0,63y[t − 2] = u[t]

(6.132)

Si aplicamos transformaci´ on de Fourier discreta tenemos que: Y (ejθ ) − 1,6e−jθ Y (ejθ ) + 0,63e−jθ2 Y (ejθ ) = U (ejθ ) jθ

Y (e )(1 − 0,9e

−jθ

)(1 − 0,7e

−jθ

jθ

) = U (e )

(6.133) (6.134)

As´ı la funci´ on de transferencia est´ a dada por: H(ejθ ) =

1 (1 − 0,9e−jθ )(1 − 0,7e−jθ )

La transformada de la salida queda entonces dada por

(6.135)

´ 146CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO fracciones parciales

Y (ejθ ) = H(ejθ )U (ejθ ) =

(1 −

U (ejθ ) − 0,7e−jθ )

0,9e−jθ )(1

(6.136)

Analizaremos a continuaci´ on el comportamiento del sistema para distintas excitaciones. Entrada delta de Kronecker En este caso: U (ejθ ) = 1

⇒

Y (ejθ ) =

1 (1 − 0,9e−jθ )(1 − 0,7e−jθ )

(6.137)

Donde la transformada de la salida se debe separar en fracciones parciales para poder aplicar transformaci´ on inversa: Y (ejθ ) =

3,5 4,5 − −jθ 1 − 0,9e 1 − 0,7e−jθ

(6.138)

Por tanto, la salida del sistema es: y[t] = (4,5(0,9)t − 3,5(0,7)t )µ[t]

(6.139)

Note que para esta excitaci´ on (delta de Kronecker) y[t] = h[t]. Entrada escal´ on unitario En este caso, u[t] = µ[t], por lo tanto: ∞ X 1 U (e ) = +π δ(θ + 2`π) 1 − e−jθ jθ

(6.140)

`=−∞

1 Y (e ) = (1 − 0,9e−jθ )(1 − 0,7e−jθ ) jθ

∞ X 1 + π δ(θ + 2`π) 1 − e−jθ `=−∞

!

(6.141)

La expresi´ on de la tranformada de Fourier de la secuencia de salida puede simplificarse separando en fracciones parciales y considerando el valor del t´ermino que acompa˜ na a la sumatoria de deltas de Dirac s´ olo en las frecuencias en que ´estos son distintos de cero, es decir, en θ = 2`π. Sin embargo, notamos que:

De esta forma:

100 ; H(ejθ ) θ=2`π = H(1) = 3

∀` ∈ Z

(6.142)

´ DE FOURIER. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO147 6.3. LA TRANSFORMACION

Y (ejθ ) =

1 (1 − 0,9e−jθ )(1 − 0,7e−jθ )(1 − e−jθ ) ∞ X 1 δ(θ + 2`π) π + (1 − 0,9e−j0 )(1 − 0,7e−j0 )

(6.143)

`=−∞

=

∞ 100 −40,5 8,17 100 X 3 δ(θ + 2`π) + + + π 1 − 0,9e−jθ 1 − 0,7e−jθ 1 − e−jθ 3 `=−∞

(6.144)

Por tanto la secuencia de salida es:

y[t] = Fd

−1



−40,5 1 − 0,9e−jθ



+ Fd

−1



8,17 1 − 0,7e−jθ



+ Fd

−1



1

100 3 − e−jθ

100 + πδ(θ) 3 (6.145)

= (−40,5(0,9)t + 8,17(0,7)t + 33,3)µ[t]

2.5

(6.146)

35

30

2 25

1.5

20

15

1

10

0.5 5

0

0

5

10

15

20

25 k

30

35

40

45

0

50

0

5

10

15

20

25 k

30

35

40

45

50

Figura 6.13: Respuesta a impulso y a escal´on del ejemplo 6.14 La Figura 6.13 muestra los gr´ aficos de las secuencias de correspondientes a la respuesta a impulso y a escal´ on unitario del sistema. Entrada exponencial compleja Ahora u[t] = ejθo t y, de la Tabla C.4 en la p´ agina 391, tenemos que su transformada de Fourier es: U (ejθ ) = 2π

∞ X

`=−∞

δ(θ − θo + 2`π)

(6.147)

Por lo tanto la transformada de Fourier de la respuesta est´ a dada por:



´ 148CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO

jθ

jθ

jθ

jθ

Y (e ) = H(e )U (e ) = H(e )

∞ X

`=−∞

δ(θ − θo + 2`π)

= 2πH(ejθo )

∞ X

`=−∞

δ(θ − θo + 2`π)

(6.148)

Note que hemos usado la periodicidad en frecuencia de la funci´ on de transferencia, lo que implica: H(ej(θo +2`π) ) = H(ejθo ) = |H(ejθo )|ej(φ(θo ))

∀` ∈ Z

(6.149)

As´ı, aplicando la transformaci´ on inversa, se obtiene: y[t] = |H(ejθo )| ej(θo t+φ(θo ))

(6.150) 222

6.3.3.

La funci´ on de transferencia y la respuesta en frecuencia

La parte final del Ejemplo 6.14, en la secci´on precedente, muestra el v´ınculo entre la funci´on de transferencia y la respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo discreto. Este resultado se generaliza en el siguiente lema. Lema 6.2. Dado un sistema estable de tiempo discreto con entrada u[t] y salida y[t], la respuesta del sistema a la se˜ nal de entrada sinusoidal u[t] = cos(θ o t), ∀t, es: y[t] = A(θo ) cos(θo t + φ(θo ))

(6.151)

en que: A(θo ) = H(ejθo ) φ(θo ) = ∠H(e

jθo

)

(6.152) (6.153)

donde H(ejθ ) es la transformada de Fourier de la respuesta a impulso del sistema h[t]. Demostraci´ on La respuesta a la excitaci´ on cos(θo t), t ∈ Z, puede ser calculada como la combinaci´ on de las respuestas a un par de exponenciales peri´ odicas, usando la relaci´ on: Y (ejθ ) = H(ejθ )U (ejθ )

(6.154)

´ DE FOURIER. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO149 6.3. LA TRANSFORMACION Si consideramos la entrada u[t] = 21 (ejθo t + e−jθo t ), entonces: Y (ejθ ) = H(ejθ )π(δ(θ − θo ) + δ(θ + θo )) = πH(e

jθo

)δ(θ − θo ) + πH(e

−jθo

(6.155)

)δ(θ + θo )

(6.156)

luego, la salida es: 1 1 H(ejθo )e ωo t + H(e−jθo )e−jθo t 2 2 jθo 1 1 jθo t+j∠H(ejθo ) jθo + |H( ωo )|e−jθo t−j∠H(e ) = |H(e )|e 2 2 = |H(ejθo )| cos(θo t + ∠H(ejθo ))

y[t] =

(6.157) (6.158) (6.159) 222

6.3.4.

Filtraje

La respuesta en frecuencia de los sistemas discretos puede ser caracterizada a trav´es de H(ejθ ). Se aplican en este caso las mismas definiciones que en el caso de sistemas de tiempo continuo: frecuencias de corte, banda de paso, banda de rechazo, etc. Existe sin embargo un elemento que agrega complejidad al an´alisis, y ´el es la naturaleza perdi´odica de H(ejθ ). Consideremos un sistema para el que la magnitud de la respuesta en frecuencia aparece descrita en la Figura 6.14. 1.2 1

|F(ejθ)|

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −10

−8

−6

−4

−2

0 Frecuencia θ

2

4

6

8

10

Figura 6.14: Respuesta en frecuencia (magnitud) de un sistema de tiempo discreto. El problema con el gr´afico de la Figura 6.14 es que genera ambig¨ uedades respecto de si se trata de un sistema pasa bajos, pasa banda, etc. El problema se resuelve si se considera que, cualquiera sea la se˜ nal procesada por el sistema, ella tambi´en tiene un espectro peri´odico. En consecuencia, la naturaleza filtrante se puede definir observando H(ejθ ) s´olo en θ ∈ [0; π], tal como se ha remarcado en la Figura 6.14 con un trazo m´as grueso.

frecuencia! de corte pasa bajos pasa altos pasa banda elimina banda

´ 150CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO sistema!estable

6.3.5.

Caso singular en la funci´ on de transferencia. El caso de los sistemas discretos

Para el caso de los sistemas de tiempo discreto conviene recordar que

La funci´on de transferencia de un sistema lineal de tiempo discreto est´a definida s´olo si su respuesta a un delta de Kronecker posee transformada de Fourier. Esto es equivalente a exigir que el sistema tenga s´olo frecuencias naturales en el disco unitario cerrado, con la condici´on que si algunas de esas frecuencias naturales est´an sobre la circunferencia unitaria, ellas sean simples. Es muy importante notar que el Lema 6.2 en la p´agina 148, que iguala H(ejθ ) con la respuesta en frecuencia, est´a formulado para sistemas estables. No podemos extender este resultado a sistemas que tienen frecuencias naturales sobre la circunferencia unitaria, aunque sean no repetidas. Veamos a trav´es de un ejemplo, los resultados err´oneos que surgen si no somos cuidadosos. Ejemplo 6.15. Un sistema con entrada u[t] y salida y[t], tiene una ERS: y[t] − y[t − 1] = u[t]

(6.160)

Observamos que el sistema tiene s´ olo una frecuencia natural, y ella est´ a ubicada en λ = 1, es decir, se trata de una frecuencia natural sobre la circunferencia unitaria y de multiplicidad 1. La respuesta en frecuencia, K(θ) est´ a dada por la ganancia al modo forzante ejθt , y ella resulta de aplicar (3.24) a este caso particular: K(θ) =

ejθ 1 − ejθ

(6.161)

Suponga que u[t] = at µ[t], 1 > a > 0 y si, err´ oneamente, hacemos H(ejθ ) = K(θ), entonces y[t] se puede calcular a partir de: Y (ejθ ) = H(ejθ )U (ejθ ) = de donde se obtiene: 

ejθ (ejθ − 1)(ejθ − a)

(6.162)

 jθ    ejθ 1 e 1 − signo [t] − 2at µ[t] = jθ jθ 1−a e −1 e −a 2(1 − a) (6.163) dando origen a una respuesta no causal, ya que la funci´ on signo [t] tiene valor −1, ∀t < 0. Para obtener la respuesta correcta, recordemos que la funci´ on de transferencia H(ejθ ) es la transformada de Fourier de la respuesta del sistema a un delta de Kronecker. Aplicando esta definici´ on a nuestro sistema se llega a: y[t] = Fd −1

´ DE FOURIER. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO151 6.3. LA TRANSFORMACION

H(ejθ ) =

∞ X ejθ + π δ(θ − 2`π) ejθ − 1

(6.164)

`=−∞

y, usando la periodicidad de la funci´ on ejθ , se tiene que: " # ∞ jθ jθ X 1 e e Y (ejθ ) = − +π δ(θ − 2`π) 1 − a ejθ − 1 ejθ − a

(6.165)

`=−∞

Entonces, la salida se obtiene, por ejemplo, usando Maple :   π 1 1 − at −1 y[t] = Fd + δ(θ) = µ[t]  ω( ω + a) a 1−a

(6.166)

que es la respuesta correcta.

222 El ejemplo precedente ilustra y explica el problema. Cuando el sistema tiene frecuencias naturales sobre la circunferencia unitaria, los modos naturales asociados no decaen, y la transformada de Fourier de cada uno de ellos s´olo existe en el l´ımite. Esta condici´on es acusada por la presencia de deltas de Dirac en el dominio de la frecuencia θ. As´ı, la funci´on de transferencia es una funci´on racional m´as uno o varios deltas de Dirac en θ. La explicaci´on de esta situaci´on es an´aloga a la del caso continuo.

´ 152CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO

6.4.

Problemas para el lector

Problema 6.1. Determine la transformada de Fourier de las siguientes funciones, ya sea mediante la defici´ on o usando tablas y transformadas conocidas (ver Ap´endice C): 1.

y(t) = [µ(t + T ) − µ(t − T )]t

2.

y(t) = (1 − 2e−|t| )2

3.

t − 1 2σ y(t) = √ e σ 2π

!2

;T > 0

(Recuerde que

Problema 6.2. Considere la funci´ on:   4t(t + 1) y(t) = −4t(t − 1)   0

Z

∞

2

e−u du =

√

π)

−∞

; −1 < t < 0 ;0 < t < 1 ; |t| ≥ 1

6.2.1 Grafique la funci´ on.

6.2.2 Determine la transformada de Fourier Y ( ω) de la funci´ on y(t). 6.2.3 ¿Cu´ al es la serie de Fourier exponencial de y(t) consider´ andola solo en el intervalo [-1,1]? 6.2.4 Grafique por separado la parte real e imaginaria de Y ( ω) y compare con los coeficientes obtenidos para la serie de Fourier exponencial. Comente. Problema 6.3. Demuestre que una funci´ on f (t) arbitraria (o de per´ıodo infinito) puede expresarse en la forma de Integral de Fourier:

f (t) =

1 π

Z

Z

∞

∞

[A(ω) cos(ωt) + B(ω) sen(ωt)] dω

0

en que: A(ω) = B(ω) =

Z

−∞ ∞

f (t) cos(ωt)dt f (t) sen(ωt)dt

−∞

¿C´ omo se reducen las expresiones si f (t) es par o impar? Problema 6.4. Usando la ecuaci´ on de Euler para exponenciales complejas:

6.4. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

153

6.4.1 Demuestre que si y(t) es par, entonces su transformada de Fourier Y ( ω) es real. 6.4.2 An´ alogamente, demuestre que si y(t) es impar, entonces su transformada de Fourier Y ( ω) es imaginaria pura. Problema 6.5. Considere el sistema de segundo orden definido por: d 2 y(t) + 100y(t) = 100u(t) dt 2 Encuentre la salida del sistema mediante la transformaci´ on de Fourier cuando 6.5.1 u(t) = sen(ωo t)µ(t), con condiciones iniciales cero. 6.5.2 u(t) = sen(ωo t). 6.5.3 Grafique y compare las soluciones obtenidas en los puntos anteriores cuando ωo 6= 10 y cuando ωo = 10 . Comente. Problema 6.6. Suponga que se quiere dise˜ nar un sistema cuya caracter´ıstica en frecuencia sea: ( 1 ; |ω| < ωc H( ω) = 0 ; |ω| < 0 Es decir, este sistema act´ ua como filtro ideal ya que permite el paso de sinusoides de frecuencias menores que ωc sin afectarlas, mientras que aquellas de frecuencias mayores no aparecen en la salida. 6.6.1 Grafique H( ω) 6.6.2 Determine cu´ al debiera ser la respuesta a impulso del sistema. 6.6.3 ¿Qu´e puede comentar respecto del resultado obtenido? Problema 6.7. Determine la transformada de Fourier discreta delas siguientes funciones: y[t] = (t + 1)αt µ[t] , con |α| < 1 y[t] =

2t + 3 t µ[t] 6t

y[t] = cos(θ1 t + φ) , con 0 < θ1 < 2π

´ 154CAP´ITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FO Problema 6.8. Considere un pulso de tiempo discreto de amplitud A > 0 y centrado en t = 0, definido por: ( A ; |t| ≤ N y[t] = N ∈ Z+ 0 : |t| > N 6.8.1 Grafique el pulso en tiempo discreto para algunos valores de A y N . 6.8.2 Determine la transformada de Fourier discreta de y[t] ( Sugerencia : use la ecuaci´ on B.2.35). 6.8.3 Grafique la transformada de Fourier discreta para distintos valores de N . 6.8.4 Determine el valor de Y (ej0 ) en funci´ on de N . 6.8.5 Analice qu´e sucede para valores extremos de N , es decir, cuando N = 0 y cuando N → ∞. Problema 6.9. Determine la respuesta a un delta de Kronecker y a un escal´ on unitario de los sistemas de tiempo discreto dados por sus ERS: 6.9.1 y[t] − y[t − 1] = 2u[t − 7];

y[−1] = 1

6.9.2 y[t] = u[t − 1] − 0, 5u[t − 2] + 0, 2u[t − 3] 6.9.3 y[t] − 1, 1y[t − 1] + 0, 24y[t − 2] = u[t − 2];

y[−1] = −1; y[−2] = 1

Problema 6.10. Tenemos un sistema de tiempo discreto el queremos que su respuesta en frecuencia sea igual a: ( 1 ; |θ| < θc jθ H(e ) = 0 ; θc < |θ| ≤ π 6.10.1 Determine su respuesta a un delta de Kronecker. 6.10.2 Determine, si es posible, su respuesta a un escal´ on de tiempo discreto. Comente.

Laplace transformada de Laplace|textbf sistema!din´ amico sistema!estable sistema!inestable se~ nal!no acotada se~ nal! de tiempo continuo

Cap´ıtulo 7

An´ alisis bajo excitaciones arbitrarias. La transformada de Laplace Entre los m´etodos disponibles para el estudio de los sistemas din´amicos, lineales y de tiempo continuo, uno en particular resulta ser especialmente u ´til: la transformada de Laplace. Las principales ventajas de este m´etodo se pueden resumir en lo siguiente: Permite el an´alisis de sistemas lineales estables e inestables. Se puede aplicar a una vasta gamas de se˜ nales no acotadas. Permite incluir las condiciones iniciales del sistema. La EDS es transformada en una ecuaci´on algebraica, que puede ser manejada de manera m´as simple.

7.1.

Definici´ on de la transformada

Considere una se˜ nal de tiempo continuo y(t), definida para 0 ≤ t < ∞. La transformada de Laplace asociada a y(t), y su transformada inversa est´an definidas como:

L {y(t)} = Y (s) = L−1 {Y (s)} = y(t) =

Z

1 2πj

155

∞

e−st y(t)dt

(7.1)

0−

Z

σ+j∞

est Y (s)ds σ−j∞

(7.2)

´ 156CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA transformada de Laplace!definici´ on Y (s) es la transformada de Laplace de y(t). El par transformada y su transtransformada de formada inversa est´an est´an bien definidas si existe σ ∈ R, y una constante Laplace!inversa transformada de positiva k < ∞ tales que: Laplace!regi´ on de convergencia fracciones parciales |y(t)| < keσt ; ∀t ≥ 0 (7.3) funci´ on de transferencia ecuaci´ on diferencial! del La regi´on <{s} ≥ σ se conoce como la regi´ on de convergencia de la sistema EDS transformada.

Suponemos que el lector ha conocido estas ideas anteriormente en alg´ un curso de Matem´aticas, a pesar de lo cual se presenta en el Ap´endice D una revisi´on de la transformada de Laplace, sus propiedades y las transformadas de algunas funciones simples. Tambi´en se incluye una revisi´on del m´etodo de fracciones parciales, el cual resulta de utilidad para obtener transformadas de Laplace inversas para funciones racionales. En este cap´ıtulo nos concentraremos en esta transformada como herramienta para el an´alisis de los sistemas lineales.

7.2.

Aplicaci´ on a sistemas lineales: la funci´ on de transferencia

Como ya hemos visto, una gran cantidad y variedad de sistemas de inter´es, pueden ser representados mediante un modelo lineal. Como se vio en el Cap´ıtulo 1, esto se consigue linealizando la o las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema en el tiempo en torno a un punto de equilibrio o, m´as generalmente, en torno a un punto de operaci´on. Para el caso de sistemas de una entrada y una salida, el proceso de linealizaci´on desemboca en la obtenci´on de una ecuaci´on diferencial del sistema (EDS), cuya forma general es: dn−1 y(t) dm dn y(t) + a + . . . + a y(t) = b u(t) + . . . + b0 u(t) n−1 0 m dtn dtn−1 dtm

(7.4)

Cuando se aplica transformada de Laplace a la EDS, usando una de la propiedades vistas en el Ap´endice D, la transformada de la derivada de una funci´on es:  `  d y(t) d n−1 y(0− ) ` `−1 − L = s Y (s) − s y(0 ) − · · · − (7.5) dt ` dt n−1 Por tanto, si aplicamos esto a la EDS (7.4) tenemos que: sn Y (s) + an−1 sn−1 Y (s) + . . . + a0 Y (s) = bm sm U (s) + . . . + b0 U (s) + f (s, xo )

(7.6)

donde f (s, xo ) es una funci´on que depende de la variable s y de las n condiciones iniciales de la salida y(t) y sus derivadas. Es importante destacar que:

´ A SISTEMAS LINEALES: LA FUNCION ´ DE TRANSFERENCIA157 7.2. APLICACION

T

f (s, x0 ) = p(s) x0

(7.7)

donde p(s) es un vector que contiene polinomios en s y x0 es un vector que contiene las condiciones iniciales ya mencionadas. Esta estructura explicita la linealidad del sistema, puesto que la homogeneidad y superposici´on respecto de las condiciones iniciales resulta evidente. Ahora si suponemos condiciones iniciales iguales a cero, tenemos que: Y (s) = H(s)U (s)

(7.8)

donde se define la funci´on: H(s) =

B(s) A(s)

(7.9)

que se forma con los polinomios que contienen los coeficientes de la ecuaci´on (7.4) original: A(s) = sn + an−1 sn−1 + . . . + a0 m

B(s) = bm s + bm−1 s

m−1

+ . . . + b0

(7.10) (7.11)

La funci´on racional H(s) es la funci´ on de transferencia en el dominio de Laplace. La representaci´on (7.9) es muy u ´til para describir caracter´ısticas y propiedades de un sistema tales como estabilidad y velocidad, adem´as de entregar informaci´on en el momento de dise˜ nar sistemas de control, filtros u otras aplicaciones. Ejemplo 7.1. Consideremos un sistema descrito por la ecuaci´ on diferencial: dy d 2y +2 = u(t) 2 dt dt Su funci´ on de transferencia es: H(s) =

s2

1 + 2s

(7.12)

(7.13) 222

A continuaci´on definiremos algunos conceptos que se encuentran fuertemente ligados a la definici´on de la funci´on de transferencia de un sistema. Para esto consideremos su definici´on dada por las ecuaciones (7.9), (7.10) y (7.11). Por simplicidad, asumiremos que los polinomios B(s) y A(s) no se hacen cero simult´aneamente para alg´ un valor de la variable compleja s. As´ı, definimos entonces los siguientes t´erminos: (i) Las m ra´ıces de la ecuaci´on B(s) = 0 son los ceros del sistema. Ellos hacen adem´as que H(s) = 0.

condiciones iniciales funci´ on de transferencia funci´ on!racional funci´ on de transferencia!ceros ceros

´ 158CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA funci´ on de transferencia!polos (ii) Las n ra´ıces de la ecuaci´ on A(s) = 0 son los polos del sistema. Ellos hacen polos adem´ a s que H(s) → ∞. funci´ on de transferencia!multiplicidad multiplicidad (iii) Si A(s) = 0 tiene nk ra´ıces en s = λk , decimos que el polo λk tiene funci´ on de multiplicidad nk . transferencia!grado relativo grado relativo (iv) Lapropia diferencia de grado entre A(s) y B(s), es decir, m − n se denomina el funci´ on de transferencia!estrictamente funci´ on de grado relativo del sistema. transferencia!bipropia funci´ on de transferencia!propia (v) Si m < n decimos que el modelo es estrictamente propio. Esto implica funci´ on de transferencia!impropia que el grado relativo del sistema es positivo. sistema! estable entrada (vi) Si m = n decimos que el modelo es bipropio. Esto implica que el grado salida relativo del sistema es cero. respuesta! a impulso impulso! respuesta a

(vii) Si m ≤ n decimos que el modelo es propio.

(viii) Si m > n decimos que el modelo es impropio, o que tiene grado relativo negativo. Estas definiciones nos ayudar´an a apreciar la forma en que se relaciona la salida de un sistema con su entrada, tal como pone en evidencia la definici´on (7.9), pero la simplicidad reside en que la relaci´on se establece mediante la funci´on racional H(s), es decir, las derivadas han desaparecido. Si bien para llegar a esta relaci´on las condiciones iniciales se han supuesto cero, sabemos que en caso de sistemas estables, el efecto de ´estas desaparece despu´es de un tiempo.

La funci´on de transferencia de un sistema lineal describe en forma algebraica sus propiedades de entrada-salida. En forma similar a aquella que se utiliz´o en el an´alisis de Fourier, la funci´on de transferencia puede ser definida en base a la respuesta a impulso, con condiciones iguales a cero. Si recordamos como se defini´o al funci´on de transferencia H(s) al aplicar transformada de Laplace a la EDS del sistema definido en (7.4), podemos escribir la salida del sistema seg´ un la ecuaci´on (7.8). Se puede apreciar que si a ambos lados de esta expresi´on, se aplica transformada de Laplace inversa, tenemos que (vea la Tabla D.1 en la p´agina 414):

Y (s) = H(s)U (s) ⇐⇒ y(t) = h(t) ∗ u(t)

(7.14)

h(t) = L−1 {H(s)}

(7.15)

En que:

Por lo tanto, podemos afirmar que:

´ A SISTEMAS LINEALES: LA FUNCION ´ DE TRANSFERENCIA159 7.2. APLICACION

La funci´on de transferencia H(s) de un sistema de tiempo continuo, definida en (7.9), es igual a la transformada de Laplace de la respuesta h(t) del sistema a un impulso (Delta de Dirac) en la entrada, cuando las condiciones iniciales cero.

Aunque en la mayor´ıa de los casos de inter´es, la funci´on de transferencia es una funci´on racional en s. Sin embargo, cuando el sistema tiene un retardo τ , la expresi´on general para la funci´on de transferencia es:

H(s) =

B(s) −sτ e A(s)

(7.16)

La funcion de tranferencia en Matlab puede definirse mediante vectores con los coeficientes de los polinomios A(s) y B(s), y el comando tf :

Matlab >> A=[1 3 2],B=[1 1] A = 1

3

1

1

2

B =

>> H=tf(B,A) Transfer function: s + 1 ------------s^2 + 3 s + 2

O bien, definiendo la variable s:

funci´ on de transferencia!con retardo funci´ on!racional retardo

´ 160CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA delta de Dirac! en frecuencia

Matlab >> s=tf([1 0],[1]) Transfer function: s >> H=(s+1)/(s^2+2*s+1) Transfer function: s + 1 ------------s^2 + 2 s + 1

7.2.1.

Funci´ on de transferencia en dominios de Laplace y Fourier

Cuando el sistema tiene frecuencias naturales en el SPI cerrado, con la restricci´on que aquellas frecuencias en el eje imaginario sean simples, las funciones de transferencia en ambos dominios existen. El elemento com´ un es conceptual: en ambos casos, la funci´ on de transferencia corresponde a la respectiva transformada de la respuesta a impulso con condiciones iniciales iguales a cero. La definici´on y la estructura de H(s) parecen ser id´enticas a la definici´on y la estructura de la funci´on de transferencia en el dominio de Fourier, bastando hacer una simple sustituci´on de s por  ω. Sin embargo, esto no siempre es correcto. La diferencia es que cuando el sistema tiene frecuencias naturales (simples) en el eje imaginario, la funci´on de transferencia en Fourier incluye deltas de Dirac en frecuencia. Esto se origina en el hecho que la respuesta a impulso del sistema contiene modos naturales que no decaen y para los cuales la transformada de Fourier existe s´olo en el l´ımite. En cambio, para el mismo sistema, la funci´on de transferencia en Laplace no contiene impulsos en frecuencia, debido a que esta transformada est´a bien definida, bastando escoger <{s} > 0. Ejemplo 7.2. Consideremos el sistema con la EDS: d y(t) d 2 y(t) + a1 + y(t) = u(t) dt 2 dt

(7.17)

donde a1 ≥ 0. La funci´ on de transferencia, en el dominio de Laplace, es: HL (s) =

1 ; s2 + a 1 s + 1

∀<{s} > 0

En cambio, en el caso de Fourier, debemos distinguir dos casos.

(7.18)

´ 7.3. RESPUESTA A IMPULSO Y RESPUESTA A ESCALON.

161

(i) Caso a1 > 0 : En este caso, las frecuencias naturales est´ an en el SPI abierto, por lo tanto, los modos naturales son absolutamente integrables y la funci´ on de transferencia en el dominio de la transformaci´ on de Fourier es: HF ( ω) =

1 ( ω)2 + a1  ω + 1

(7.19)

En este caso: HF ( ω) = HL (s)|s= ω

(7.20)

(ii) Caso a1 = 0 : En este caso, las frecuencias naturales est´ an sobre el eje imaginario y los modos naturales combinados corresponden a una sinusoide. M´ as espec´ıficamente, la respuesta a impulso, con condiciones iniciales iguales a cero es: h(t) = sen(t)µ(t)

(7.21)

agina 389, con ωo = 1) la funci´ on En consecuencia (vea la Tabla C.2 en la p´ de transferencia en el dominio de la transformaci´ on de Fourier es: HF ( ω) =

1 jπ (δ(ω + 1) − δ(ω − 1)) + 2 ( ω)2 + 1

(7.22)

Se observa que, en este caso, no se cumple (7.20). 222 La relaci´on entre transformada de Fourier y transformada de Laplace puede ser resumida en la siguiente afirmaci´on:

Las transformaciones de Laplace y Fourier son equivalentes, via la relaci´on s =  ω, en aquellos casos en que la transformada de Laplace existe para <{s} > σ, donde σ < 0.

7.3.

Respuesta a impulso y respuesta a escal´ on.

Como ya hemos visto, la funci´on de transferencia est´a asociada a la respuesta a impulso del sistema. Por otro lado sabemos que si se aplica un impulso a la entrada, la respuesta contiene solamente los modos naturales del sistema; esto nos permite estudiar su comportamiento natural, que es independiente de la

impulso!respuesta a escal´ on!respuesta a respuesta!a impulso respuesta!a escal´ on modos!naturales

´ 162CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA valor final

se˜ nal de entrada (caracter´ısticas del transiente, velocidad de respuesta, etc.), a partir del an´alisis de la funci´on H(s). Debido a la idealizaci´on impl´ıcita en la definici´on de un impulso es mucho m´as frecuente estudiar la din´amica natural de un sistema con la ayuda de la respuesta a escal´on, es decir, cuando U (s) = 1/s. on unitario La definici´on (7.9) nos permite expresar la respuesta a escal´ del sistema como: Y (s) = H(s)

1 s

(7.23)

Lo cual, suponiendo que el sistema no tiene polos en el origen, corresponde a: y(t) = y∞ + modos naturales del sistema

(7.24)

donde y∞ = H(0), en virtud del Teorema del Valor Final (ver Teorema D.1 en la p´agina 410). Si el sistema es estable, entonces los modos naturales decaen exponencialmente a cero. Luego, para sistemas estables, la respuesta en estado estacionario est´a dada por la constante y∞ . Note que si H(s) tiene uno o m´as ceros en s = 0, entonces y∞ = 0. Ejemplo 7.3. Consideremos el sistema definido por su EDS: d y(t) d 2 y(t) +5 + 4y(t) = 2u(t) dt 2 dt

(7.25)

Si aplicamos transformada de Laplace a ambos lados, suponiendo condiciones iniciales iguales a cero, podemos obtener la funci´ on de transferencia del sistema:

s2 Y (s) + 5sY (s) + 4Y (s) = 2U (s) ⇒ H(s) =

(7.26)

Y (s) 2 = 2 U (s) s + 5s + 4

(7.27)

La respuesta del sistema cuando u(t) es un Delta de Dirac se obtiene directamente de H(s) U (s) = L {δ(t)} = 1

⇒

Y (s) = H(s) =

s2

2 + 5s + 4

(7.28)

Donde podemos aplicar transformada inversa separando en fracciones parciales1 , o bien con ayuda de Maple :

1 Este

m´ etodo se detalla en el Ap´ endice D.

´ 7.3. RESPUESTA A IMPULSO Y RESPUESTA A ESCALON.

163

Maple >with(inttrans): >U(s):=laplace(Dirac(t),t,s); >Y(s):=2/(s^2+5*s+4)*U(s); >Y(s):=convert(Y(s),parfrac,s); >y(t):=invlaplace(Y(s),s,t);

U (s) = 1 2 s2 + 5s + 4   −1 2 1 + Y (s) = 3 s+1 s+4 2 2 y(t) = e−t − e−4t 3 3 Y (s) =

(7.29) (7.30) (7.31) (7.32)

La respuesta a escal´ on unitario se puede obtener de manera similar 1 2 1 ⇒ Y (s) = 2 · s s + 5s + 4 s Donde se aplica transformada inversa: U (s) = L {µ(t)} =

(7.33)

Maple >with(inttrans): >U(s):=laplace(Heaviside(t),t,s); >Y(s):=2/(s^2+5*s+4)*U(s); >y(t):=invlaplace(Y(s),s,t);

U (s) =

1 s

2 s(s + 1)(s + 4) 1 2 1 y(t) = − e−t + e−4t 2 3 6

Y (s) =

(7.34) (7.35) (7.36)

En la Figura 7.1 se puede apreciar tanto la respuesta a escal´ on reci´en obtenida as´ı como la respuesta impulso. Estas se generaron en Matlab, con los comandos impulse y step, que usan como argumento el sistema definido mediante su funcion de transferencia:

´ 164CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA

Matlab >>G=tf([2],[1 5 4]); >>subplot(2,1,1),impulse(G); >>subplot(2,1,2),step(G);

Impulse Response 0.4

Amplitude

0.3 0.2 0.1 0

0

1

2

3

4

5

6

4

5

6

Time (sec.) Step Response 0.5

Amplitude

0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

1

2

3 Time (sec.)

Figura 7.1: Respuestas a impulso y a escal´on en Ejemplo 7.3

222 Es u ´til definir tambi´en un conjunto de par´ametros que describen ciertas propiedades de la din´amica del sistema. Para identificar estos par´ametros a definir consideremos la funci´on de transferencia dada por: G(s) = 9

−s + 1 s2 + 4s + 9

(7.37)

La respuesta a escal´on del sistema se muestra en la Figura 7.2. Entonces podemos definir los siguientes ´ındices: Respuesta estacionaria, y∞ : el valor final de la respuesta a escal´on, siempre y cuando el sistema tiene sus polos en el SPI abierto.

´ 7.3. RESPUESTA A IMPULSO Y RESPUESTA A ESCALON.

165

y +M ∞

p

y k y r

y∞+δ

∞

y∞−δ

∞

0

−Mu tu

tr

tp

Tiempo

ts

Figura 7.2: ´Indices definidos en la respuesta a escalon

Tiempo de Subida (Rise time), tr : el instante de tiempo en que la respuesta a escal´on alcanza por primera vez el valor de la respuesta estacionaria y∞ .2 Sobre-respuesta (Overshoot), Mp : el valor m´aximo que alcanza la respuesta a escal´on, usualmente expresado como el porcentaje en que se sobrepasa la respuesta estacionaria y∞ . M´ axima contra-respuesta (Undershoot), Mu : el m´aximo (en valor absoluto) que la respuesta a escal´on alcanza bajo el cero. Tiempo de asentamiento (Settling time), ts : el tiempo luego del cual la respuesta a escal´on queda confinada a una banda de desviaci´on ±δ, alrededor del respuesta estacionaria. Esta deviaci´on, δ, se define generalmente como un porcentaje de y∞ , del 2 % o 5 %. Para el ejemplo en particular, definido en la ecuaci´on (7.37) y cuya respuesta a escal´on se muestra en la Figura 7.2, el valor de los ´ındices definidos se muestran en la Tabla 7.1.3 2 Esta definici´ on var´ıa de autor a autor, por tanto debe tenerse claro de qu´ e se est´ a hablando al utilizarla. 3 Note que para este ejemplo en particular, hemos elegido un valor inusualmente grande para δ, para una mejor visualizaci´ on.

´ 166CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA Indice y∞ tr Mp Mu ts

Definici´on respuesta estacionaria tiempo de subida sobre-respuesta m´ax. contra-respuesta tiempo de asentamiento

Valor en el ejemplo 1 1.0 0.5 1.5 1.8

Cuadro 7.1: ´Indices de la respuesta a escal´on

7.4.

Respuesta a condiciones iniciales y se˜ nales arbitrarias.

De la misma manera que en la secci´on precedente se obtuvo las respuestas a impulso y a escal´on del sistema, la transformada de Laplace permite obtener la respuesta del sistema cuando la entrada en un tipo m´as general de se˜ nales. Sin embargo, la ventaja principal que esta transformada, a diferencia de la transformada de Fourier, permite inclu´ır el efecto de las condiciones iniciales. Veamos para esto el siguiente ejemplo: Ejemplo 7.4. Consideremos el sistema definido por su EDS: d 2 y(t) d y(t) + + y(t) = u(t) dt 2 dt

(7.38)

Obtengamos primero la salida del sistema cuando la entrada u(t) es cero, y tenemos condiciones iniciales y(0− ) = 1 e y 0 (0− ) = 1. Si aplicamos transformada de Laplace, recordando la propiedad (7.5), tenemos que:

s2 Y (s) − sy(0− ) − y 0 (0− ) + sY (s) − y(0− ) + Y (s) = 0 2

s Y (s) − s − 1 + sY (s) − 1 + Y (s) = 0 2

Y (s)(s + s + 1) = s + 2 s+2 Y (s) = 2 s +s+1

(7.39) (7.40) (7.41) (7.42)

Donde, para aplicar la inversa, podemos observar que la transformada que aparece no puede separarse directamente en fracciones parciales, pues sus polos son complejos, pero si pueden llevarse a la forma de la transformada del seno y del cosenos con un corrimiento en s. Este corrimiento corresponde a una exponencial en el tiempo (vea (D.26) en el Ap´endice D):

˜ 7.4. RESPUESTA A CONDICIONES INICIALES Y SENALES ARBITRARIAS.167

Y (s) = =

s+2 (s + 12 )2 +

3 4

s + 12 (s + 12 )2 +

3 4

(7.43) +

√

3

(s +

√ 3 2 1 2 2)

+

(7.44)

3 4

Por tanto, la respuesta a las condiciones iniciales dadas es: √  √ √  1 1 y(t) = e− 2 t cos 23 t + 3 e− 2 t sen 23 t

(7.45)

En la Figura 7.3 se puede apreciar el punto de partida y la pendiente inicial de la se˜ nal y(t).

y(t)

1

0.5

0

0

1

2

3

4

5 t [seg]

6

7

8

9

10

Figura 7.3: Respuesta a condiciones iniciales para el ejemplo 7.4

Es importante recalcar en este ejemplo que las condiciones iniciales que se insertan en los c´alculos al aplicar la transformada de Laplace corresponden a las de la se˜ nal en t = 0− . Es decir, son los valores de la funci´on y(t) y de su derivada justo antes que el sistema comience a evolucionar bajo el efecto de la entrada (que, en el ejemplo previo, es cero). Este alcance es importante pues, en ciertos casos, se puede producir una discontinuidad en la salida del sistema en el instante t = 0, es decir, y(0+ ) 6= y(0+ ). Veamos esto en un ejemplo. Ejemplo 7.5. Considere la red el´ectrica de la Figura 7.4 en que se conecta la bater´ıa de 1[V] en t = 0, y todas las condiciones iniciales son cero. Por ley de voltajes de Kirchoff tenemos: vf (t) = vR (t) + vC (t) Z 1 t i(τ )dτ µ(t) = Ri(t) + C −∞

(7.46) (7.47)

Derivando a ambos lados y aplicando la transformada de Laplace, con condici´ on inicial cero:

´ 168CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA R

valor inicial

+ vf (t)

C

vc (t)

i(t) Figura 7.4: Circuito RC

d i(t) 1 d µ(t) =R + i(t) dt dt C   1 1 s = R sI(s) − i(0− ) + I(s) s C

(7.48) (7.49)

Despejando se obtiene:

C (7.50) s RC + 1 Si aplicamos el Teorema del Valor Inicial (vea Ap´endice D), tenemos que: I(s) =

sC 1 = (7.51) s RC + 1 R Evidentemente esta es diferente a la corriente inicial, dada en t = 0 − . Esto se comprueba observando que la transformada inversa de I(s) es discontinua en t = 0:   1/R 1 (7.52) i(t) = L−1 {I(s)} = L−1 = e−t/RC µ(t) s + 1/RC R 222 Consideremos ahora el caso en que la entrada es una se˜ nal arbitraria. i(0+ ) = l´ım sI(s) = l´ım s→∞

s→∞

Ejemplo 7.6. Consideremos el mismo sistema del Ejemplo 7.5, pero en que ahora la entrada es un pulso definido como: ( 1 ; 0 ≤ t ≤ 10 (7.53) u(t) = 0 ; t > 10 Las condiciones iniciales son iguales a cero, por simplicidad. Note que no habr´ıa problemas en considerar el efecto de ´estas, ya sea incluy´endolas en el desarrollo mediante transformada de Laplace, o bien, dada la linealidad del sistema, se calculando su efecto en la salida por separado y sumandolo al efecto de la se˜ nal de entrada. La funci´ on de transferencia del sistema, si se aplica transforma de Laplace, es:

˜ 7.4. RESPUESTA A CONDICIONES INICIALES Y SENALES ARBITRARIAS.169

H(s) =

Y (s) 1 = 2 U (s) s +s+1

(7.54)

La transformda de Laplace del pulso u(t) puede obtenerse sin problema, ya que esta funci´ on se expresa en t´erminos de escalones y se puede utilizar la propiedad de corrimiento temporal, que se traduce en una exponencial en s (vea (D.23) en el Ap´endice D):

Por tanto:

L {f (t − t0 )µ(t − t0 )} = e−st0 F (s)

u(t) = µ(t) − µ(t − 10)

⇒

U (s) =

1 1 − e−10s s s

(7.55)

Luego, la transformada de la salida es: 1 − e−10s (7.56) s(s2 + s + 1) Note que para obtener la inversa, dado que la exponencial s´ olo representa un corrimiento en el tiempo, podemos concentrarnos s´ olo en la parte racional de Y (s), para luego aplicarle dicha traslaci´ on temporal. Es decir, consideremos: Y (s) = H(s)U (s) =

√

3 1 2 √ − 3 3 (s + 12 )2 + 43 4 (7.57) Donde se observa que tenemos la forma de la transformada de un escal´ on, del seno y del coseno, ´estas u ´ltimas con un corrimiento en la variable s. Este corrimiento en s corresponde a una exponencial en el tiempo (Ap´endice D), por lo tanto:   √   √  1 − 21 t 3 √ f (t) = 1 − e cos 2 t + sen 23 t µ(t) (7.58) 3 Luego la salida es:

s + 12 1 s+1 1 1 F (s) = = − = − s(s2 + s + 1) s s2 + s + 1 s (s + 12 )2 +

Es decir:

 y(t) = L−1 (1 − e−10s )F (s) = f (t) − f (t − 10)

(7.59)

  √   √  1 1 y(t) = 1 − e− 2 t cos 23 t + √ sen 23 t µ(t) 3   √   √ 1 1 − 1 − e− 2 (t−10) cos 23 (t − 10) + √ sen 23 (t − 10) µ(t − 10) 3 (7.60) En la Figura 7.5 se muestra el pulso de entrada u(t) y la salida del sistema, y(t), ante esta excitaci´ on.

´ 170CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA 1.5

u(t) − y(t)

1 0.5 0 −0.5

0

2

4

6

8

10 t [seg]

12

14

16

18

20

Figura 7.5: Pulso de entrada y respuesta del sistema del ejemplo 7.6.

Para finalizar, veamos un caso en que la transformada de Laplace permite, de manera similar a la transformada de Fourier, analizar la respuesta de un sistema a una se˜ nal sinusoidal. Ejemplo 7.7. Consideremos nuevamente el sistema del Ejemplo 7.4 definido por su EDS: d 2 y(t) d y(t) + + y(t) = u(t) dt 2 dt

(7.61)

Supongamos que como entrada al sistema se elige una se˜ nal sinusoidal de frecuencia ω, por ejemplo: u(t) = cos(ωt)

(7.62)

Con esto y con ayuda de Maple podemos llegar de manera directa a una expresi´ on para la transformada de Laplace de la salida y aplicarle transformaci´ on inversa:

Maple >with(inttrans): >assume(omega>0): >U(s):=laplace(cos(omega*t),t,s); >H(s):=1/(s^2+s+1); >Y(s):=H(s)*U(s); >y(t):=invlaplace(Y(s),s,t);

7.5. ESTABILIDAD

171

s (7.63) s2 + ω 2 1 H(s) = 2 (7.64) s +s+1 1 s · 2 (7.65) Y (s) = 2 2 s +ω s +s+1 ω 1 − ω2 cos(ωt) + sen(ωt) + {modos naturales} y(t) = 2 −ω + 1 + ω 4 −ω 2 + 1 + ω 4 (7.66) U (s) =

Los modos naturales del sistema decaen a cero cuando t → ∞, por tanto podemos concentrarnos s´ olo en la componente particular de la salida. Las componentes seno y coseno pueden combinarse en un solo t´ermino: y(t) = A(ω) cos (ωt + φ(ω)) + {modos naturales}

(7.67)

En que A(ω) y φ(ω) son la amplitud y a ´ngulo de desfase, respectivemente definidos por: 1 + 1 + ω4   −ω φ(ω) = − arctan 1 − ω2

A(ω) = √

−ω 2

(7.68) (7.69)

En estas expresiones se aprecia como la amplitud y la fase de la se˜ nal de salida dependen de la frecuencia ω, es decir, corresponden a la respuesta en frecuencia del sistema. Esto se grafica en la Figura 7.6, con los comandos de Matlab :

Matlab >>H=tf(1,[1 1 1]); w=[0:0.01:5]; >>h=freqresp(H,w);hw=h(:); >>subplot(2,1,1);plot(w, abs(hw)); >>subplot(2,1,2);plot(w, unwrap(angle(hw))*180/pi);

222

7.5.

Estabilidad

Hasta aqu´ı hemos visto que la respuesta de un sistema que tiene una funci´on de transferencia H(s) es de la forma:

respuesta en frecuencia estabilidad

´ 172CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA multiplicidad! polos l´ ımite de estabilidad SPI

1.4 1.2

Magnitud

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

2.5 3 Frecuencia [rad/s]

3.5

4

4.5

5

0

Fase

−50 −100 −150 −200

Figura 7.6: Magnitud y fase de la respuesta en frecuencia del sistema en Ejemplo 7.7.

Y (s) = H(s)U (s) +

p X nk X

k=1 i=1

βki (s − λk )i

(7.70)

Donde el valor de cada βki depende de las condiciones iniciales, y donde hemos asumido que cada polo ubicado en s = λk , tiene multiplicidad nk . Esta suposici´on implica a su vez que n1 + n2 + . . . + np = n. Recordando la definici´on de estabilidad, un sistema es estable si cualquier entrada acotada produce una salida tambi´en acotada, para cualquier condici´on inicial acotada. Si observamos la ecuaci´on (7.70) podemos afirmar que la condici´on necesaria y suficiente para que el sistema sea estable es que los polos de ´este, en el denominador de las fracciones del segundo t´ermino de la ecuaci´on, den origen a se˜ nales que decaigan exponencialmente. Esto se traduce en que los polos del sistema deben tener parte real estrictamente negativa, es decir, deben estar ubicados sobre el semiplano izquierdo (SPI) abierto del plano complejo s . Es decir, para sistemas continuos el l´ımite de estabilidad en un plano complejo s en que se ubican sus polos es el eje imaginario . Ejemplo 7.8. Consideremos el sistema del ejemplo 7.1. Los polos de su funci´ on de transferencia est´ an ubicados en s = −2 y s = 0. Estos no est´ an en el SPI abierto (el 0 est´ a en el SPI cerrado). Por tanto el sistema no es estable. Se

7.5. ESTABILIDAD

173

deja al lector el verificar, usando la transformada de Laplace, que una entrada constante (diferente de cero) produce una salida que crece indefinidamente. 222

7.5.1.

An´ alisis de polinomios

La discusi´on anterior pone de manifiesto la importancia de conocer la ubicaci´on de los polos de un sistema, para establecer si se trata o no de un sistema estable. Sin embargo, el determinar la ubicaci´on exacta de las ra´ıces de la ecuaci´on: A(s) = sn + an−1 sn−1 + . . . + a0 = 0

(7.71)

puede ser una tarea bastante engorrosa cuando n ≥ 3. Por esto en el an´alisis del polinomio A(s), m´as que determinar exactamente sus ra´ıces, lo que nos interesa es poder asegurar si ´estas tienen o no parte real estrictamente negativa. Para esto, consideremos el polinomio p(s) definido como: p(s) = sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0

(7.72)

donde ai ∈ R. El problema a estudiar se refiere a determinar si este polinomio tiene o no todas sus ra´ıces con parte real estrictamente negativa, o de manera equivalente, si tiene o no ra´ıces con parte real mayor o igual que cero. La idea puede naturalmente ser resuelta calculando las n ra´ıces de p(s). Sin embargo en muchas aplicaciones resulta de especial inter´es estudiar la relaci´on entre los coeficientes del polinomio con la ubicaci´on de sus ra´ıces. Los polinomios que tienen todas sus ra´ıces en el semiplano izquierdo cerrado se conocen como polinomios Hurwitz. Si sus ra´ıces tienen parte real estrictamente negativa, es decir, se ubican sobre el SPI abierto, los denominaremos estrictamente Hurwitz . De la ecuaci´on (7.72) podemos observar interesantes propiedades que por supuesto son v´alidas para los polinomios en general. Las que nos interesan en este caso son aquellas que nos entregan informaci´on sobre el signo de la parte real de las ra´ıces, como las que se detallan a continuaci´on: Propiedad 1 El coeficiente an−1 cumple con: an−1 = −

n X

λi

(7.73)

i=1

donde λ1 , λ2 , . . . λn son las ra´ıces de p(s). Esta propiedad es directa de notar que el polinomio p(s) puede escribirse como: p(s) =

n Y

i=1

(s − λi )

(7.74)

Hurwitz!polinomio

´ 174CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA entonces, al expandir el producto (7.74) y observar el coeficiente que acompa˜ na a la potencia (n − 1)-´esima de s, se obtiene (7.73). Propiedad 2 El coeficiente a0 cumple con: a0 = (−1)n

n Y

λi

(7.75)

i=1

Esta propiedad tambi´en se obtiene de expandir el producto (7.74) y observando el t´ermino constante. Propiedad 3 Si todas las ra´ıces de p(s) tienen parte real negativa, entonces es necesario que ai > 0, ∀i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Para demostrar esta propiedad procedemos de la siguiente forma:

a) Las ra´ıces de p(s) pueden ser reales o complejas, y si complejas deben aparecer en pares conjugados (dado que p(s) es un polinomio con coeficientes reales). b) En base a lo anterior, y sin p´erdida de generalidad, podemos suponer que existen n1 ra´ıces reales y n2 pares de ra´ıces complejas. Por lo tanto n1 + 2n2 = n. c) Si todas las ra´ıces tienen parte real negativa, entonces se pueden expresar como: λi = −|αi |

i = 1, 2, . . . , n1

λn1 +i = λ∗n1 +n2 +i = −|σi | + jωi

(7.76) i = 1, 2, . . . , n2

(7.77)

d) De esta forma, tenemos que p(s) =

n1 Y

i=1

(s + |αi |)

n2 Y l=1

(s + |σl |)2 + ωl2

(7.78)

donde, la segunda productoria ha agrupado, en factores cuadr´aticos, los pares conjugados. e) De (7.78) se observa que p(s) corresponde al producto de polinomios de primer y segundo orden, los que tienen todos sus coeficientes reales y positivos. Como los coeficientes de p(s) son suma de productos de los coeficientes de estos polinomios de primer y segundo orden, la propiedad queda demostrada. Note que esta propiedad es necesaria para que p(s) sea un polinomio estricamente Hurwitz, pero no suficiente, excepto en el caso en que n = 1 y n = 2. Propiedad 4 Si alguno de los coeficientes es negativo o cero, entonces una o m´as ra´ıces de p(s) tiene parte real negativa o cero. Esta propiedad se deduce directamente de la propiedad anterior.

7.5. ESTABILIDAD

175

Adem´as de los criterios que nos entregan las propiedades anteriores, uno de los m´etodos cl´asicos para determinar la naturaleza Hurwitz de un polinomio es el algoritmo de Routh, tambi´en conocido como algoritmo o criterio de RouthHurwitz, que a continuaci´on se explica. Consideremos un polinomio p(s) de grado n, definido como p(s) =

n X

ai s i

(7.79)

i=0

sn sn−1 sn−2 sn−3 sn−4 .. . s2 s1 s0

γ0,1 γ1,1 γ2,1 γ3,1 γ4,1 .. .

γ0,2 γ1,2 γ2,2 γ3,2 γ4,2 .. .

γn−2,1 γn−1,1 γn,1

γn−2,2

γ0,3 γ1,3 γ2,3 γ3,3 γ4,,3 .. .

γ0,4 γ1,4 γ2,4 γ3,4 γ4,4 .. .

... ... ... ... ...

Cuadro 7.2: Arreglo de Routh

El algoritmo de Routh se basa en la construcci´on del arreglo num´erico que se muestra en la Tabla 7.2. donde los t´erminos de las dos primeras filas se calculan seg´ un:

γ0,i = an+2−2i ;

i = 1, 2, . . . , m0

(7.80)

γ1,i = an+1−2i ;

i = 1, 2, . . . , m1

(7.81)

con m0 = (n + 2)/2 y m1 = m0 − 1 para n par y m1 = m0 para n impar. Mientras que los t´erminos de la tercera fila en adelante se calculan seg´ un

γk,j =

γk−1,1 γk−2,j+1 − γk−2,1 γk−1,j+1 γk−1,1

;

k = 2, . . . , n

j = 1, 2, . . . , mj

(7.82) donde mj = m´ax{mj−1 , mj−2 } − 1, mientras que se asigna valor cero al coeficiente γk−1,j+1 , cuando no est´a definido en el arreglo de Routh 7.2. Una vez constru´ıdo el arreglo de Routh podemos aplicar el siguiente resultado:

Routh!algoritmo

´ 176CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA

Dado un polinomio p(s) como el definido en (7.79) y el arreglo asociado a umero de ra´ıces de p(s) con parte real mayor que cero ´el 7.2, entonces el n´ es igual a n´ umero de cambios de signo en la primera columna del arreglo.

Ejemplo 7.9. Para ilustrar el uso del algoritmo de Routh-Hurwitz consideremos el siguiente sistema: d y(t) d 3 y(t) d 2 y(t) + +2 + 3y(t) = u(t) dt 3 dt 2 dt

(7.83)

Su funci´ on de transferencia est´ a dada por: H(s) =

1 Y (s) = 3 2 U (s) s + s + 2s + 3

(7.84)

Por tanto, para la estabilidad debemos analizar las ra´ıces del polinomio denominador: p(s) = s3 + s2 + 2s + 3

(7.85)

El arreglo de Routh en este caso es: s3 s2 s1 s0

2−3 1

1 1 = −1 3

2 3 0 0

Donde se observa de inmediato que en la primera columna aparece un −1, por tanto existen ra´ıces con parte real positiva. Lo que se puede confirmar, por ejemplo, con ayuda de Matlab. Este permite obtener las ra´ıces de un polinomio dados sus coeficientes, mediante el comando roots :

Matlab >> roots([1 1 2 3]) ans = 0.1378 + 1.5273i 0.1378 - 1.5273i -1.2757

222

7.6. POLOS, CEROS Y LA RESPUESTA TEMPORAL

7.6.

177

Polos, ceros y la respuesta temporal

A continuaci´on examinaremos algunas propiedades fundamentales de los polos y ceros de la funci´on de transferencia de un sistema, y su influencia sobre las caracter´ısticas de la respuesta de un sistema lineal. Consideremos una funci´on de transferencia de la forma general: Qm (s − βi ) H(s) = K Qni=1 (s − αl ) l=1

(7.86)

donde αl ∈ C y βi ∈ C. Si suponemos que no hay valores de l y de i tales que αl = βi entonces, β1 , β2 , . . . , βm and α1 , α2 , . . . , αn son los ceros y los polos de la funci´on de transferencia, respectivamente. El grado relativo, antes definido es 4 nr = n − m. Estaremos particularmente interesados en aquellos ceros ubicados en el eje imaginario o en su cercan´ıa, y en aquellos polos ubicados en el semiplano derecho. Los polos y ceros ubicados en estas regiones juegan un rol fundamental en la din´amica del sistema. Una clase especial de funci´on de transferencia es aquella que tiene todos sus ceros y sus polos en el semiplano izquierdo (SPI) del plano complejo s . Tradicionalmente estas se denominan funciones de transferencia de fase m´ınima. Sin embargo, de aqu´ı en adelante usaremos este nombre para referirnos simplemente a funciones de transferencia sin ceros en el semiplano derecho (SPD), que tengan o no polos en ´el. Diremos que un cero tiene fase no m´ınima si se encuentra ubicado en el SPD cerrado, de otra forma se denominar´a cero de fase m´ınima. Si hablamos de una funci´ on de transferencia estable nos referimos a que todos sus polos se ubican sobre el SPI abierto; si decimos que inestable, es porque al menos uno de sus polos se encuentra en el SPD cerrado. Los polos en si mismos tambi´en se pueden denominar estables o inestables, si se encuentran dentro o fuera del SPI abierto,respectivamente 4 . A continuaci´on examinaremos la influencia sobre la respuesta transiente de un sistema de los polos y ceros de su funci´on de transferencia.

7.6.1.

Polos

Como el lector recordar´a de sus cursos de matem´aticas, una funci´on racional siempre puede descomponerse en fracciones parciales, tal es el caso tambi´en de la funci´on de transferencia de un sistema en la variable s. Cada uno de los t´erminos de esta expansi´on contiene ya sea un polo real simple, un par de polos complejos conjugados o m´ ultiples combinaciones de polos repetidos. Por tanto, para conocer el efecto de los polos en la respuesta transiente de un sistema basta conocer el efecto ocasionado por los polos de primer y segundo orden y su interacci´on. 4 En ocasiones, por abuso de lenguaje, los ceros de fase no m´ ınima tambi´ es se les denomina ceros inestables, dado que se encuantran al la regi´ on del plano s en que los polos son inestables.

funci´ on de transferencia!grado relati fase m´ ınima ceros!fase no m´ ınima funci´ on de transferencia! estable polos fracciones parciales

´ 178CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA polos!r´ apidos polos!dominantes polos!lentos

Un polo de primer orden contribuye a la descomposici´on en fracciones parciales, en general, con un t´ermino de la forma: K1 (7.87) τ1 s + 1 Mientras que un polo de segundo orden contribuye a la expansi´on con un t´ermino: H1 (s) =

H2 (s) = 

K2

(7.88)   s s +1 + 2ψ ωn ωn Cada polo genera un t´ermino espec´ıfico que coincide justamente con cada uno de los modos naturales en la respuesta del sistema a un impulso en la entrada. Estos modos est´an presentes tambi´en en la respuesta a cualquier entrada al sistema (excepto en casos muy excepcionales cuando hay coincidencia de polos con ceros). El tipo de modo natural asociado a cada polo de un sistema depende de la ubicaci´on de ´este sobre el plano complejo s , exactamente equivalente a la ubicaci´on de cada frecuencia natural λ sobre un plano complejo, como se vi´o en el Cap´ıtulo 3 3. Para ilustrar esto podemos apreciar en la Figura 7.7 las diferentes respuestas a impulso de un sistema que tiene por funci´on de transferencia: H1 (s) =

2

1 s−p

(7.89)

para los polos ubicados sobre el eje real, y H2 (s) =

1

s − (a + bj) s − (a − bj)

(7.90)

para los polos complejos, que aparecen emparejados con su conjugado. Tanto la ubicaci´on en el plano complejo de los polos de un sistema, como las caracter´ısticas por esta determinada, est´an en directa relaci´on con las frecuencias naturales que se pueden obtener a partir de la EDS del sistema. En virtud de estas analog´ıas es que nos referiremos, en general, como polos r´ apidos a aquellos que se encuentran m´as alejados del l´ımite de estabilidad que los dem´as polos del sistema. Esto es equivalente que considerar que la respuesta transiente asociada a estos polos desaparece m´as r´apido que aquella asociada a los otros polos, tal como puede apreciarse en la Figura 7.7 al comparar la respuesta a impulso de un sistema con un polo en p2 = −4 con las dem´as. Por otro lado llamaremos polos dominantes o polos lentos a aquellos que se encuentran en el SPI abierto, pero m´as cercanos al l´ımite de estabilidad que el resto de los polos de sistema. Esto equivale a decir que el transiente asociado a los polos dominantes decae m´as lento que los dem´as modos naturales, como tambi´en puede apreciarse en la figura 7.7, para el polo en p1 . Por ejemplo, si tenemos un sistema cuyos polos est´an ubicados en (−1; −2 ± j6; −4; −5 ± j3), podemos decir que el polo dominante es −1 y los polos r´apidos son los que se encuentran en −5 ± j3.

7.6. POLOS, CEROS Y LA RESPUESTA TEMPORAL

179

s

p2

p1

p0

p3

p4

Figura 7.7: Respuesta a impulso de diferentes sistemas de acuerdo a la ubicaci´on de sus polos en el plano complejo

´ 180CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA ceros controlabilidad observabilidad

7.6.2.

Ceros

En general, el efecto de la ubicaci´on de los polos en la din´amica de un sistema puede entenderse sin demasiada dificultad dada su directa relaci´on con la estabilidad y las caracter´ısticas generales de la respuesta del sistema. De hecho en la literatura sobre sistemas y su estabilidad se puede encontrar mucha m´as informaci´on que la aqu´ı detallada. Por el contrario, el efecto de los ceros en el an´alisis del comportamiento de un sistema a menudo ha sido subestimado. Sin embargo, en los u ´ltimos a˜ nos se ha retomado el estudio del efecto de los ceros sobre la respuesta de un sistema, que ahora son reconocidos por su importancia, por ejemplo, al definir criterios de dise˜ no de sistemas de control. Es asi como, mientras que los polos de un sistema est´an asociados a la presencia de sus modos naturales aislados, los ceros reflejan de alg´ un modo la interacci´ on entre ´estos, por ejemplo, en el caso en que la salida de un sistema est´a formada por la suma de modos naturales diferentes. Adem´as, a pesar que la ubicaci´on de los polos determina los modos naturales de un sistema, es la ubicaci´on de los ceros la que determina la proporci´ on en que los modos aparecen combinados en la salida. En estas combinaciones los modos naturales toman diferente fuerza, pudiendo ser su efecto, en algunos casos, casi imperceptible. De hecho, la ubicaci´on relativa de polos y ceros tiene directa relaci´on con los conceptos de observabilidad y controlabilidad, como se detalla en el Cap´ıtulo 10. A continuaci´on se presenta un ejemplo ilustrativo.

K s+1

U (s)

Y (s)

αK s+2

Figura 7.8: Sistema con interacci´on aditiva entre dos estados

on de Ejemplo 7.10. Consideremos el sistema de la Figura 7.8, cuya funci´ transferencia sistema esta dada por:  αK K + U (s) s+1 s+2 (1 + α)s + (2 + α) G(s) = K (s + 1)(s + 2)

Y (s) =



(7.91) (7.92)

7.6. POLOS, CEROS Y LA RESPUESTA TEMPORAL

181

Este sistema tiene sus polos en s = −1, −2 y un cero en s = −(2+α) 1+α . Es decir, la ubicaci´ on est´ a directamente relacionada con el peso de cada uno de los modos naturales en la respuesta del sistema, por ejemplo, a un impulso unitario en la entrada: y(t) = K(e−t + αe−2t )

(7.93)

Si tomamos un valor peque˜ no, α = 0,1, la funci´ on de transferencia es: G(s) = 1,1K

(s + 1,909) (s + 1)(s + 2)

(7.94)

En esta puede observarse la cercan´ıa del cero al polo en s = −2. La respuesta a impulso ser´ a en este caso: y(t) = 1,1K(e−t + 0,1e−2t )

(7.95)

En que se aprecia la peque˜ na magnitud con que aparece el modo natural m´ as r´ apido. Es decir, el cero a medida que se acerca al polo en s = −2 produce una cuasi-cancelaci´ on , que ser´ a total cuando α = 0. En este u ´ltimo caso definitivamente no aparece este modo natural en la salida del sistema, ya que el polo ha sido cancelado, y la funci´ on de transferencia se ha reducido a: G(s) =

K (s + 1)

(7.96)

Invitamos al lector a estudiar el caso an´ alogo cuando α alcanza valores muy grandes y cu´ al es su efecto sobre el otro modo natural del sistema. Adem´ as puede analizarse qu´e sucede con el sistema cuando el par´ ametro α toma valores negativos. ¿Qu´e pasa si α = −1 o α = −2 ? 222 Al igual como antes se definieron los polos r´apidos y lentos de un sistema, pueden definirse de manera an´aloga los ceros r´ apidos y lentos. Ceros r´apidos son aquellos que est´an m´as alejados del l´ımite de estabilidad que los polos dominantes del sistema, por otro lado los ceros lentos son aquellos que se encuentran m´as cerca del l´ımite de estabilidad que los polos dominantes del sistema. Para apreciar el efecto de los ceros presentamos el siguiente ejemplo: Ejemplo 7.11. Efecto de los ceros en la respuesta a escal´ on. Considere un sistema cuya funci´ on de transferencia es: H(s) =

−s + c c(s + 1)(0,5s + 1)

(7.97)

Esta estructura de la funci´ on de transferencia permite estudiar el efecto de la ubicaci´ on de un cero en la respuesta del sistema sin alterar la ubicaci´ on de los polos ni la ganancia a continua. En este sistema observamos dos modos naturales: e−t y e−2t . El primero de ´estos estar´ a casi ausente de la respuesta a medida que c se acerca a −1.

cancelaci´ on!cuasiceros!r´ apidos ceros!lentos

´ 182CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA undershoot contrarespuesta respuesta!inversa

6 c=−0.1

4 c=−0.25

Respuesta

2 c=−10

0

c=10

−2

c=0.25 c=0.1

−4 −6

0

0.5

1

1.5

2

2.5 Tiempo [s]

3

3.5

4

4.5

5

Figura 7.9: Efecto de la ubicaci´on de los ceros sobre la respuesta a escal´on

Algo an´ alogo sucede para el segundo modo a medida que c se acerca a −2. Esta situaci´ on de cuasi cancelaciones tambi´en fue mencionada en el ejemplo anterior La situaci´ on m´ as general se aprecia en la figura 7.9. En esta, se indica el valos de c al lado de cada una de las respuestas graficadas. Podemos apreciar que un cero r´ apido, i.e. |c|  1, no afecta significativamente la respuesta transiente. Cuando el cero es lento y estable obtenemos un gran overshoot, mientras que cuando es lento, pero inestable, el undershoot es el que crece en magnitud. El efecto de los ceros puede parecer demasiado cr´ıtico en este ejemplo, en que ambos superan el 400 %, sin embargo, el lector puede verificar que puede ser a´ un mayor si el cero es m´ as cercano el origen. 222

7.6.3.

Respuesta inversa o contrarespuesta (undershoot)

La Figura 7.2 en la p´agina 165 sugiere que existen casos en los que, en la presencia de una excitaci´on mayor que cero, la respuesta del sistema se hace negativa durante alg´ un lapso de tiempo no despreciable. Este comportamiento tambi´en aparece en la Figura 7.9. Un resultado muy fuerte es el siguiente. Lema 7.1. Considere un sistema lineal estable con funci´ on de transferencia H(s), y con un cero real en s = c, donde c > 0, entonces la respuesta a un escal´ on positivo se hace negativa durante uno o m´ as lapsos no despreciables. Demostraci´ on La respuesta del sistema est´ a dada por: Y (s) = H(s) Entonces:

K s

;

K>0

(7.98)

Z ∞ K = y(t)e−st dt; <{s} > 0 (7.99) s 0 Note que la regi´ on de convergencia queda determinada, por un lado, por el hecho que el sistema es estable, por lo cual la transformada de h(t) est´ a bien H(s)

7.6. POLOS, CEROS Y LA RESPUESTA TEMPORAL

183

definida para <{s} ≥ 0 y, por otro lado, por el hecho que la respuesta a un escal´ on est´ a bien definida para <{s} > 0. En consecuencia, la regi´ on de convergencia para y(t) es <{s} > 0. Si ahora, en la ecuaci´ on (7.99), hacemos s = c (note que, por ser c > 0, est´ a en la regi´ on de convergencia) obtenemos, aplicando el hecho que H(c) = 0: Z ∞ K y(t)e−ct dt = 0 (7.100) H(c) = c 0 Como la integral es cero, y e−ct > 0, ∀t, necesariamente y(t) debe ser negativa en uno o m´ as intervalos de tiempo. 222 El lema precedente justifica y asegura la presencia de undershoots, como el sugerido en la Figura 7.2 en la p´agina 165. Sin embargo, este comportamiento inverso se puede manifestar en diferentes formas, tal como ilustra la Figura 7.10.

Respuesta a escalón

Respuesta a escalón

1.5 1

0.5

0

−0.5

0

5

10

0 −0.5 −1 −1.5 −2

15

Tiempo [s]

1 0.5

0

2

Tiempo [s]

4

6

Figura 7.10: Distintas formas de respuesta inversa

7.6.4.

Sistema can´ onico de segundo orden

Para el caso de un par de polos complejos conjugados, es usual estudiar un sistema can´onico de segundo orden con la funci´on de transferencia: H(s) =

ωn2 s2 + 2ψωn s + ωn2

(7.101)

donde ψ (0 < ψ < 1) es conocido como el factor de amortiguamiento y ωn , como la frecuencia natural no amortiguada. Tambi´en definimos, para uso futuro, la frecuencia natural amortiguada, ωd , como: ωd = ω n

p

1 + ψ2

(7.102)

Este sistema tiene dos polos complejos conjugados, s1 y s2 , definidos por:

factor de amortiguamiento frecuencia natural!no amortiguada frecuencia natural!amortiguada

´ 184CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA

s1,2 = −ψωn ± jωd = ωn e±j(π−β)

(7.103)

donde β es el a´ngulo definido por cos β = ψ. Para este sistema, la transformada de Laplace de su respuesta a escal´on unitario est´a dada por: Y (s) =

ωn2 ωn2 = (s2 + 2ψωn s + ωn2 )s [(s + ψωn )2 + ωd2 ] s

(7.104)

Realizando una expansi´on en fracciones parciales se llega a: ψωn s + ψωn 1 − (7.105) − 2 2 s (s + ψωn ) + ωd (s + ψωn )2 + ωd2 p  1 ωd 1 s + ψωn = −p − ψ 1 − ψ2 s (s + ψωn )2 + ωd2 (s + ψωn )2 + ωd2 1 − ψ2 (7.106)

Y (s) =

Aplicando, finalmente, la transformada de Laplace inversa obtenemos: e−ψωn t y(t) = 1 − p sen(ωd t + β) 1 − ψ2

(7.107)

Las caracter´ısticas principales de esta respuesta aparecen in la Figura 7.11, donde y∞ = 1 y Td = 2π/ωd .

ωn

jωd

y∞+Mp y

∞

β

Td

−ψωn

−jωd

tr tp

Figura 7.11: Localizaci´on de los polos y respuesta a escal´on unitario de un sistema can´onico de segundo orden.

Podemos tambi´en calcular los indicadores descritos en la Figura 7.2 en la p´agina 165. Tiempo de levantamiento. Para este caso, usamos kr = 1 (refi´erase a la Figura 7.2 en la p´agina 165) obteniendo:

7.6. POLOS, CEROS Y LA RESPUESTA TEMPORAL

De aqu´ı se llega a:

185

e−ψωn tr p sen(ωd tr + β) = 0 1 − ψ2 tr =

(7.108)

π−β ωd

(7.109)

Sobrerespuesta (overshoot). La m´axima sobrerespuesta, Mp , y el instante en el cual ´este ocurre, tp , pueden ser calculados derivando y(t), y luego igualando a cero esta derivada: dy(t) e−ψωn t = −p [−ψωn sen(ωd t + β) + ωd cos(ωd tr + β)] dt 1 − ψ2

(7.110)

As´ı, tenemos que ωd tp = π y el instante en que ocurre la sobrerespuesta, tp , es: Td π = (7.111) tp = ωd 2 A su vez, la magnitud de la sobrerespuesta est´a dada por: n − πψω ω

e M p = y(tp ) − 1 = − p

d

1 − ψ2

sen(π + β) = e

− √ πψ

1−ψ 2

(7.112)

Las expresiones anteriores sugieren que un valor peque˜ no para ψ genera un tiempo de levantamiento peque˜ no, al costo de una gran sobrerespuesta. Tambi´en podemos apreciar que la velocidad de decaimiento y, como consecuencia, el tiempo de asentamiento, est´an determinados por el producto ψωn (corresponde a la magnitud de la parte real de los polos). Aunque este sistema can´onico parece ser un caso muy particular, ocurre que con frecuencia, y en distintas aplicaciones, el sistema bajo estudio est´a dominado por un par de polos complejos conjugados. Aunque las f´ormulas desarrolladas para calcular los indicadores de la respuesta a escal´on no son aplicables a sistemas no can´onicos, los conceptos asociados tiene igual validez.

´ 186CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA

7.7.

Problemas para el lector

Problema 7.1. Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones: (i)

y(t) = A cos(ωt + φ) y(t) = te−at , en que a > 0  1 ;0 < t < 1    2 − t ;1 ≤ t < 2 y(t) =  −3 + t ; 2 ≤ t < 3    0 ;t ≥ 3 1 y(t) = t 2

(ii)

(iii)

(iv)

Problema 7.2. Para los siguientes sistemas: (i) (ii) (iii) (iv)

d 2 y(t) dt 2 d 3 y(t) dt 3 d 2 y(t) dt 2 d 2 y(t) dt 2

d y(t) − 6y(t) = u(t) dt d 2 y(t) d y(t) d u(t) +3 + + 3y(t) = − u(t) 2 dt dt dt d y(t) + − 6y(t) = u(t) dt d y(t) + 16 + 100y(t) = 100u(t) dt +

7.2.1 Determine su funci´ on de transferencia, 7.2.2 Determine si son o no estables, 7.2.3 Determine y grafique su respuesta a impulso, y 7.2.4 Determine y grafique su respuesta a escal´ on. Problema 7.3. Considere un sistema definido por su ecuaci´ on diferencial: d u(t) d 2 y(t) d y(t) + + y(t) = + 3u(t) dt 2 dt dt 7.3.1 Determine la funci´ on de transferencia del sistema. 7.3.2 Determine la salida del sistema a entrada cero y condiciones iniciales y(0) ˙ = 1 y y(0) = −1. Grafique. 7.3.3 Determine la salida del sistema si la entrada es u(t) = µ(t) − µ(t − 2). Grafique.

7.7. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

187

Problema 7.4. Para el sistema: d 2 y(t) d y(t) d u(t) +7 + 10y(t) = α + βu(t) dt 2 dt dt 7.4.1 Determine condiciones sobre α y β de manera que en la respuesta a impulso aparezca s´ olo el modo natural dominante. 7.4.2 Si u(t) = 0, α = 1 y β = 1 determine la condiciones iniciales de manera que el la respuesta homog´enea s´ olo aparezca el modo natural dominante. 7.4.3 Repita los dos puntos anteriores, pero para el modo r´ apido del sistema. Problema 7.5. Considere el circuito de la Figura 7.12.

+

R

vc (t)

e(t) L

C

Figura 7.12: Circuito RLC

7.5.1 Determine la funcion de transferencia considerando como entrada la fuente de voltaje e(t) y como salida el voltaje en el condensador vC (t) 7.5.2 Si R = 1000 [Ω], C = 1000 [µF ] y L = 0,1 [H], determine la respuesta a un escal´ on de 5 [V ] en e(t). Problema 7.6. Se sabe que la respuesta de un sistema lineal a un escal´ on unitario en su entrada (con condiciones iniciales iguales a cero) est´ a dada por: g(t) = (2 − 2e−4t + te−4t )µ(t) Determine la funci´ on de transferencia del sistema. Problema 7.7. Considere el siguiente modelo no lineal: d y(t) d 2 y(t) + [2 + 0,1u(t)2 ] + 6y(t) = u(t) + 0,1e−u(t) 2 dt dt Linealice el sistema en torno a un punto de operaci´ on (uQ ,yQ ), determine su funci´ on de transferencia y analice la evoluci´ on de los polos cuando u Q ∈ [−0,5, 0,5].

´ 188CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA Problema 7.8. Considere la siguiente funci´ on de trasferencia de un sistema: H(s) =

s2 + 13s + 30 s3 + 4s2 − 7s − 10

7.8.1 Haga un esquema con la ubicaci´ on de todos los polos y ceros del sistema en el plano complejo s, clasific´ andolos de acuerdo a su velocidad (lentos y r´ apidos). 7.8.2 Determine la respuesta del sistema si se somete a un impulso unitario en la entrada. 7.8.3 Determine la salida del sistema si las condiciones iniciales son y¨(0) = 1, y(0) ˙ = 0 e y(0) = −2. Problema 7.9. Considere la siguiente funci´ on de transferencia de un sistema que depende de un par´ ametro K ≥ 0: G(s) =

K(s + 1) s2 − s + 1 + K(s + 1)

7.9.1 Determine para qu´e rango de valores del par´ ametro K los el sistema es estable. 7.9.2 Haga un esquema en el plano complejo de c´ omo var´ıa la ubicaci´ on de los polos al variar el par´ ametro K (por ejemplo, para K = 0, 0,5, 1, 2 ). 7.9.3 Para cada uno de los valores de K considerados en 7.9.2 determine y grafique la respuesta del sistema a un escal´ on unitario (con condiciones iniciales iguales a cero). Problema 7.10. Dado el sistema definido por su funci´ on de transferencia G(s) =

s2

−s + b2 + bs + b2

7.10.1 Determine la respuesta del sistema si la entrada es un impulso unitario y las condiciones iniciales son cero. 7.10.2 Determine la respuesta del sistema a un escal´ on unitario, con condiciones iniciales cero. 7.10.3 Determine los par´ ametros de la respuesta a escal´ on de la Tabla 7.1, y verif´ıquelos graficando la simulaci´ on para algunos valores del par´ ametro b.

7.7. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

189

Problema 7.11. Determine la respuesta e escal´ on de los siguientes sistemas definidos por su funci´ on de tranferencia y con condiciones iniciales cero, y grafique para algunos valores de los par´ ametros a, b, c, K > 0

(i) (ii) (iii)

K(−s + a) (s + a)(s + K) K(−s + a)(−s + b) G2 (s) = (s + a)(s + b)(s + K) K(−s + a)(−s + b)(−s + c) G3 (s) = (s + a)(s + b)(s + c)(s + K) G1 (s) =

¿Que puede decir del efecto de los ceros sobre la respuesta del sistema? Problema 7.12. Una forma de verificar el grado relativo de la funcion de tranferencia de un sistema es a trav´es de su respuesta a escal´ on. Demuestre que si p(t) es la respuesta a un escal´ on de un sistema con funci´ on de transferencia G(s), entonces: dp(t) =0 dt t=0

⇐⇒

grado relativo de G(s) ≥ 2

´ 190CAP´ITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LA

transformada Zeta|textbf Zeta!transformada transformada Zeta!inversa

Cap´ıtulo 8

An´ alisis bajo excitaciones arbitrarias. La transformada Zeta De los m´etodos disponibles para el estudio de los sistemas lineales din´amicos, de tiempo discreto, uno en particular resulta ser especialmente u ´til: la Transformaci´on Zeta. Esta puede entenderse como el an´alogo, en tiempo discreto, de la transformada de Laplace estudiada en el Cap´ıtulo 7. Las principales ventajas de este m´etodo se pueden resumir en lo siguiente: Permite el an´alisis de sistemas lineales estables e inestables. Se puede aplicar a una vasta gamas de se˜ nales no acotadas. Permite incluir las condiciones iniciales del sistema. La ERS es transformada en una expresi´on algebraica, que resulta m´as simple de manejar.

8.1.

Definici´ on de la transformada

Dada una se˜ nal de tiempo discreto f [t], 0 ≤ t < ∞. La transformada Zeta asociada a f [t], y su transformada Zeta inversa est´an definidas por:

Z {f [t]} = F (z) = Z

−1

∞ X

(8.1)

t=0

1 {F (z)} = f [t] = 2πj 191

f [t]z −t

I

F (z)z t−1 dz Γ

(8.2)

´ 192CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA funci´ on de transferencia condiciones iniciales

La curva cerrada Γ sobre la que se calcula integral compleja que define la transformada Zeta inversa (E.2) es tal que debe encerrar a todas las singularidades de Y (z) [17]. La fundamentaci´on de estas expresiones se desarrolla en el Ap´endice E. Tambi´en se incluyen en ese ap´endice las propiedades m´as importantes de la Transformaci´on Zeta. En este cap´ıtulo nos concentraremos en el uso de esta transformaci´on para el an´alisis de sistemas lineales de tiempo discreto.

8.2.

Aplicaci´ on a sistemas lineales: la funci´ on de transferencia

Como ya hemos visto, una gran cantidad y variedad de sistemas de inter´es, pueden ser modelados en forma lineal. Esto se consigue linealizando la o las ecuaciones de recursi´on que describen el comportamiento del sistema en el tiempo, como se vi´o en el Cap´ıtulo 1, en torno a un punto de equilibrio o m´as generalmente, en torno a un punto de operaci´on. Para el caso de sistemas de una entrada y una salida, el proceso de linealizaci´on desemboca en la obtenci´on de una ecuaci´on de recursi´on, la ERS, de la forma general:

y[t] + an−1 y[t − 1] + . . . + a1 y[t − n + 1] + a0 y[t − n] = bm u[t] + bm−1 u[t − 1] + . . . + b1 u[t − m + 1] + b0 u[t − m]

(8.3)

Cuando se aplica transformaci´on Zeta a la ERS se puede usar una de la propiedades en el Ap´endice E, la que nos indica que la transformada de una se˜ nal desplazada en el tiempo puede expresarse como: Z {y[t − t0 ]} = Y (z)z −t0 + y[−1]z −t0 +1 + . . . + y[−t0 + 1]z −1 + y[−t0 ] (8.4) Por tanto, si aplicamos esto a la ERS (8.3) tenemos que: Y (z) + an−1 z −1 Y (z) . . . + a1 z −n+1 Y (z) + a0 z −n Y (z) = bm U (z) + . . . + b0 z −m U (z) + f (z −1 , xo )

(8.5)

donde f (z −1 , xo ) es una funci´on que depende de la variable z y de las n condiciones iniciales de la salida y[t], expresadas como y[−1], y[−2], . . . y[−n]. Es importante destacar que: f (z −1 , x0 ) = [p(z −1 )]T xo

(8.6)

donde p(z −1 ) es un vector que contiene polinomios en z −1 y xo es un vector que contiene las condiciones iniciales ya mencionadas. Esta estructura es una expresi´on de la linealidad del sistema (homogeneidad y superposici´on respecto de las condiciones iniciales).

´ A SISTEMAS LINEALES: LA FUNCION ´ DE TRANSFERENCIA193 8.2. APLICACION Nota 8.1. Note tambi´en que se ha supuesto que u[−1] = u[−2] = . . . = u[−m] = 0. Esto no es restrictivo, porque siempre es posible encontrar una secuencia de entrada u[t], no nula ∀t < −m, tal que y[t] satisfaga las condiciones iniciales establecidas. 222 Para ilustrar estas ideas, consideramos un ejemplo en donde adem´as analizaremos algunas alternativas para el c´alculo de la transformaci´on inversa. Ejemplo 8.1. Considere un sistema con la ERS: y[t] − 0, 7y[t − 1] + 0, 1y[t − 2] = 0, 8u[t − 1]

(8.7)

Suponga que la entrada es un escal´ on unitario, es decir, u[t] = 1, ∀t ≥ 0, y que las condiciones iniciales son y[−1] = 2 e y[−2] = −1. Nos interesa calcular la evoluci´ on de la salida y[t], ∀t ≥ 0. Soluci´ on Aplicamos transformada Zeta a la ERS, obteniendo:

Y (z) − 0, 7 z −1 Y (z) + y[−1] + 0, 1 z −2 Y (z) + z −1 y[−1] + y[−2]

= 0, 8z −1 U (z)

(8.8)

Esto lleva a:

Y (z) =

(0, 7 − 0, 1z −1 )y[−1] − 0, 1y[−2] 0, 8z −1 U (z) + −1 −2 1 − 0, 7z + 0, 1z 1 − 0, 7z −1 + 0, 1z −2

(8.9)

Esto indica que, para este ejemplo:  f (z −1 , xo ) = [p(z −1 )]T xo = 0, 7 − 0, 1z −1

−0, 1

   y[−1] y[−2]

(8.10)

Reordenando de manera de obtener polinomios en z en vez de polinomios en z −1 , y reemplazando las condiciones iniciales, se llega a: Y (z) =

0, 8z 1, 5z 2 − 0, 2z U (z) + 2 − 0, 7z + 0, 1 z − 0, 7z + 0, 1 | {z } | {z } z2

Yu (z)

(8.11)

Yx (z)

donde Yu (z) e Yx (z) denotan las transformadas de la respuesta a entrada con condiciones iniciales iguales a cero y de la respuesta a condici´ on inicial, con entrada cero, respectivamente. De manera de hacer m´ as simple el c´ alculo de la transformada Zeta inversa, y al igual que en el caso de la transformada de Laplace (Cap´ıtulo 7), usamos la expansi´ on en fracciones parciales:

fracciones parciales

´ 194CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA

Yu (z) =

z 0, 8z 4 4 2 = − + (z − 0, 5)(z − 0, 2) z − 1 3(z − 0, 2) 3(z − 0, 5) z − 1

(8.12)

As´ı, podemos utilizar la Tabla E.2 en la p´ agina 434 para obtener la transformaci´ on inversa: yu [t] =


4 (0, 2)t−1 − (0, 5)t−1 µ[t − 1] + 2µ[t − 1] 3

;

∀t ≥ 0

(8.13)

1, 5z 2 − 0, 2z 3 1 11 = − + (z − 0, 5)(z − 0, 2) 2 15(z − 0, 2) 12(z − 0, 5)

(8.14)

An´ alogamente:

Yx (z) =

Aplicando transformaci´ on inversa se llega a: yx [t] =

1 11 3 δK [t] − (0, 2)t−1 µ[t − 1] + (0, 5)t−1 µ[t − 1] 2 15 12

;

∀t ≥ 0 (8.15)

Finalmente, la respuesta completa es y[t] = yu [t] + yx [t]. Sin embargo, una forma alternativa para calcular y[t] es la siguiente: 

0, 8z 1, 5z − 0, 2 + (z − 0, 5)(z − 0, 2)(z − 1) (z − 0, 5)(z − 0, 2)   5 2 5 − + =z 15(z − 0, 2) 6(z − 0, 5) z − 1 5z 2z z − + = 3(z − 0, 2) 6(z − 0, 5) z − 1

Y (z) = z



(8.16) (8.17) (8.18)

Al aplicar ahora transformaci´ on inversa se llega a 1 5 y[t] = 2 + (0, 2)t − (0, 5)t ; ∀t ≥ 0 (8.19) 3 6 Lo que se ha hecho en esta segunda forma de calcular Z −1 {◦} es aprovechar la presencia de un factor z en el numerador. As´ı las fracciones parciales pueden despu´es recibir de vuelta ese factor z, de modo que en la transformaci´ on inversa no aparece corrimiento en el tiempo, ya que, como puede verse en el Ap´endice E:

Z

−1



z z−a



t

= a µ[t]

6=

Z

−1



1 z−a



= at−1 µ[t − 1]

(8.20)

El lector puede comprobar que ambas expresiones obtenidas previamente para y[t] son equivalentes y corresponden a la se˜ nal en la Figura 8.1.

´ A SISTEMAS LINEALES: LA FUNCION ´ DE TRANSFERENCIA195 8.2. APLICACION 3 2.5

y[t]

2 1.5 1 0.5 0

0

5

10

t

15

Figura 8.1: Salida y[t] para el Ejemplo 8.1.

222 Volvamos ahora a considerar la forma general de la ERS y supongamos condiciones iniciales iguales a cero. Entonces tenemos que: Y (z) = H(z)U (z)

(8.21)

Donde se define la funci´on: B(z) (8.22) A(z) que se forma con los polinomios que contienen los coeficientes de la ecuaci´on (8.3) original: H(z) =

A(z) = z m (z n + an−1 z n−1 + . . . + a0 ) n

B(z) = z (bm z

m

+ bm−1 z

m−1

+ . . . + b0 )

(8.23) (8.24)

La definici´on de los polinomios A(z) y B(z) acusa la presencia de una cancelaci´ on. En realidad, se ha elegido esta forma para los polinomios para considerar los tres casos posibles: n < m, n = m y n > m. Para clarificar esto ilustraremos los tres diferentes casos. Ejemplo 8.2 (Caso n < m). Sea la ERS: y[t] − 0, 8y[t − 1] + 0, 4y[t − 2] − 0, 1y[t − 3] = 0, 2u[t − 3] − 0, 7u[t − 4] (8.25) En este caso, n = 3, con an−1 = a2 = −0, 8, an−2 = a1 = 0, 4 y an−3 = a0 = −0, 1 Por otro lado m = 4, con bm = b4 = 0, bm−1 = b3 = 0, bm−2 = b2 = 0, bm−3 = b1 = 0, 2 y bm−4 = b0 = −0, 7 Entonces, la funci´ on de transferencia es:

H(z) =

z 4 (z 3

z 3 (0, 2z − 0, 7) 0, 2z − 0, 7 = 2 3 − 0, 8z + 0, 4z − 0, 1) z(z − 0, 8z 2 + 0, 4z − 0, 1)

(8.26)

´ 196CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA funci´ on de transferencia! tiempo discreto

222

Ejemplo 8.3 (Caso n = m). Sea la ERS: y[t] − 0, 8y[t − 1] + 0, 4y[t − 2] − 0, 1y[t − 3] = 0, 2u[t − 2] − 0, 7u[t − 3] (8.27) En este caso tamb´ı´en n = 3, con an−1 = a2 = −0, 8, an−2 = a1 = 0, 4 y an−3 = a0 = −0, 1 Por otro lado m = 3, con bm = b3 = 0, bm−1 = b2 = 0, bm−2 = b1 = 0, 2, y bm−3 = b0 = −0, 7 Entonces, la funci´ on de transferencia es:

H(z) =

z 3 (0, 2z − 0, 7) 0, 2z − 0, 7 = 3 3 3 2 z (z − 0, 8z + 0, 4z − 0, 1) z − 0, 8z 2 + 0, 4z − 0, 1

(8.28) 222

Ejemplo 8.4 (Caso n > m). Sea la ERS: y[t] − 0, 8y[t − 1] + 0, 4y[t − 2] − 0, 1y[t − 3] = 0, 2u[t − 1] − 0, 7u[t − 2] (8.29) En este caso nuevamente n = 3, con an−1 = a2 = −0, 8, an−2 = a1 = 0, 4 y an−3 = a0 = −0, 1 Por otro lado m = 2, con bm = b2 = 0, bm−1 = b1 = 0, 2 y bm−2 = b0 = −0, 7 Entonces, la funci´ on de transferencia es:

H(z) =

z(0, 2z − 0, 7) z 3 (0, 2z − 0, 7) = 3 z 2 (z 3 − 0, 8z 2 + 0, 4z − 0, 1) z − 0, 8z 2 + 0, 4z − 0, 1

(8.30) 222

En lo sucesivo, supondremos que los polinomios B(z) y A(z) son coprimos, es decir, todos los factores comunes en H(z) han sido eliminados por cancelaci´on. Los grados de B(z) and A(z) ser´an redefinidos como m ˜ y n ˜ respectivamente. La funci´on racional H(z) es la funci´ on de transferencia en el dominio Zeta. La representaci´on (8.22) es muy u ´til para describir caracter´ısticas y propiedades de un sistema tales como estabilidad y velocidad, adem´as de entregar informaci´on para el dise˜ no de sistemas de control, filtros y otras aplicaciones. A continuaci´on repetiremos algunos conceptos ligados a la definici´on de la funci´on de transferencia de un sistema. Son los mismos que para el caso de la transformaci´on de Laplace y su reiteraci´on est´a orientada a enfatizar los aspectos comunes existentes en el dominio del tiempo continuo y en el dominio del tiempo discreto. As´ı, definimos entonces los siguientes t´erminos.

´ A SISTEMAS LINEALES: LA FUNCION ´ DE TRANSFERENCIA197 8.2. APLICACION (i) Las m ˜ ra´ıces de la ecuaci´on B(z) = 0 son los ceros del sistema. Ellos hacen adem´as que H(z) = 0. (ii) Las n ˜ ra´ıces de la ecuaci´on A(z) = 0 son los polos del sistema. Ellos hacen adem´as que H(z) → ∞. (iii) Si A(z) = 0 tiene nt ra´ıces en z = λt , decimos que el polo λt tiene multiplicidad nt . (iv) La diferencia de grado entre A(z) y B(z), es decir, m ˜ −n ˜ se denomina el grado relativo del sistema. (v) Si m ˜
Y (z) = H(z)U (z) ⇐⇒ y[t] = h[t] ∗ u[t]

(8.31)

h[t] = Z −1 {H(z)}

(8.32)

En que: Por lo tanto, podemos afirmar que:

funci´ on de transferencia!ceros funci´ on de transferencia!polos multiplicidad!polos funci´ on de transferencia!grado relati grado relativo funci´ on de transferencia!estrictamente pro funci´ on de transferencia!bipropia funci´ on de transferencia!propia polinomio caractrer´ ıstico

´ 198CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA delta de Dirac!en frecuencia

La funci´on de transferencia H(z) de un sistema de tiempo discreto, definida en (8.22), es igual a la transformada Zeta de la respuesta h[t] del sistema a un Delta de Kronecter en la entrada, cuando las condiciones iniciales son cero. A diferencia del caso de tiempo continuo, la funci´on de transferencia H(z) es siempre una funci´on racional en z. La existencia de un retardo puro, digamos de to unidades, implica simplemente la existencia de to polos en el origen. La relaci´on entre la ERS, la respuesta a delta de Kronecker h[t] y la funci´on de transferencia H(z) se describe en la Figura 8.2. A esos v´ınculos se ha agregado la respuesta a escal´on unitario, con condiciones iniciales iguales a cero, g[t]. ERS

H(z)

h[t]

g[t]

Figura 8.2: Relaciones entre ERS, funci´on de transferencia y respuestas a delta y a escal´on.

8.2.1.

Funci´ on de transferencia en dominios de Fourier y Zeta

Cuando el sistema tiene frecuencias naturales en el disco unitario cerrado, con la restricci´on que aquellas frecuencias sobre la circunferencia unitaria sean simples, las funciones de transferencia en ambos dominios existen. El elemento com´ un es conceptual: en ambos casos, la funci´ on de transferencia es igual a la correspondiente transformada de la respuesta a un delta de Kronecker, con condiciones iniciales iguales a cero. La definici´on y la estructura de H(z) parecen ser id´enticas a la definici´on y la estructura de la funci´on de transferencia en el dominio de Fourier, bastando hacer una simple sustituci´on de z por ejθ . Sin embargo, esto no siempre es correcto. La diferencia es que cuando el sistema tiene frecuencias naturales (simples) sobre la circunferencia unitaria, la funci´on de transferencia en Fourier incluye deltas de Dirac en frecuencia. Esto se origina en el hecho que la respuesta a impulso del sistema contiene modos naturales que no decaen y para los cuales la transformada de Fourier existe s´olo en el l´ımite. En cambio, para el mismo sistema, la funci´on de transferencia en Zeta no contiene impulsos en frecuencia, debido a que la transformada Zeta est´a bien definida, bastando escoger el radio de convergencia igual a 1, es decir, |z| > 1.

´ A SISTEMAS LINEALES: LA FUNCION ´ DE TRANSFERENCIA199 8.2. APLICACION Ejemplo 8.5. Consideremos el sistema con la ERS: √ 3 2 y[t] − ay[t − 1] + a y[t − 2] = a u[t − 1] (8.33) 2 donde 0 < a ≤ 1. La funci´ on de transferencia en el dominio de la transformaci´ on Zeta es: √

a 23 z Hz (z) = 2 ; z − az + a2

∀|z| > 1

(8.34)

En cambio, en el dominio de Fourier, debemos distinguir dos casos: (i) Caso a < 1 : En este caso, las frecuencias naturales est´ an dentro del disco unitario abierto, por lo tanto, los modos naturales son absolutamente sumables 1 y la funci´ on de transferencia en el dominio de la transformada de Fourier discreta es: √

HF (ejθ ) =

3 jθ 2 e (ejθ )2 − aejθ

(8.35)

+ a2

En este caso: HF (ejθ ) = Hz (z)|z=ejθ

(8.36)

De esa forma, Hz (ejθ ) es tambi´en igual la respuesta en frecuencia del sistema. (ii) Caso a = 1 : En este caso, las frecuencias naturales est´ an sobre la circunferencia unitaria y los modos naturales combinados corresponden a una sinusoide. M´ as espec´ıficamente, la respuesta a un delta de Kronecter, con condiciones iniciales iguales a cero es: h[t] = sen(π t/3)µ[t]

(8.37)

En consecuencia (vea Tabla C.4 en la p´ agina 391, con θo = π/3) la funci´ on de transferencia en el dominio de la transformaci´ on de Fourier es: ! ∞ X jπ jθ HF (e ) = δ(θ + θo + 2`π) − δ(θ − θo + 2`π) 2 `=−∞

+

√ 3 jθ 2 e jθ 2 (e ) − ejθ

+1

(8.38)

Se observa que en este caso, no se cumple (8.36). 1 P∞Recuerde t=0 |f [t]| <

que una secuencia f [t], definida ∀t ∈ N es absolutamente sumable si y s´ olo si ∞.

transformada de Fourier!discreta respuesta en frecuencia

´ 200CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA impulso!respuesta a escal´ on!respuesta a respuesta! a impulso respuesta!a escal´ on valor final

222 La relaci´on entre la transformaci´on de Fourier y transformaci´on Zeta puede ser resumida en la siguiente afirmaci´on:

Las transformaciones Zeta y de Fourier son equivalentes, via la relaci´on z = ejθ , en aquellos casos en que la transformada Zeta existe para |z| < ρ, donde 0 < ρ < 1.

8.3.

Respuesta a impulso y respuesta a escal´ on.

Como ya hemos visto, la funci´on de transferencia est´a univocamente asociada a la respuesta a impulso del sistema. Por otro lado, sabemos que si se aplica un impulso a la entrada, la respuesta contiene solamente los modos naturales del sistema; esto nos permite estudiar su comportamiento natural, independiente de la se˜ nal de entrada (caracter´ısticas del transiente, velocidad de respuesta, etc.) a partir del an´alisis de la funci´on H(z). An´alogamente al caso de sistemas de tiempo continuo, la respuesta a escal´on es tambi´en usada para describir el sistema, aunque en este caso, ello no se debe a la dificultad para generar el delta. La definici´on (8.22) nos permite expresar la respuesta a escal´ on unitario del sistema como: Y (z) = H(z)

z z−1

(8.39)

Lo cual, suponiendo que el sistema no tiene polos en z = 1, corresponde a: y[t] = y∞ + modos naturales del sistema

(8.40)

donde y∞ = H(1), en virtud del Teorema del Valor Final (ver Teorema E.1 en la p´agina 431). Si el sistema es estable, entonces los modos naturales decaen exponencialmente a cero, por tanto, la respuesta en estado estacionario est´a dada por la constante y∞ . Note adem´as que si H(z) tiene uno o m´as ceros en z = 1, entonces y∞ = 0. Es conveniente recalcar que la respuesta a escal´on unitario contiene los modos naturales del sistema, por lo que revela cuestiones fundamentales del comportamiento din´amico del sistema. Tambi´en es conveniente recordar que existe una relaci´on simple entre la respuesta a escal´on g[t] y la respuesta a delta de Kronecter h[t]. Esta est´a dada por: h[t] = g[t] − g[t − 1]

(8.41)

´ 8.3. RESPUESTA A IMPULSO Y RESPUESTA A ESCALON.

201 muestreo

Ejemplo 8.6. Considere el sistema definido por su ERS: y[t] − 1, 75y[t − 1] + 0, 8y[t − 2] = −0, 2u[t] + 0, 25u[t − 1]

(8.42)

Su funci´ on de transferencia es: H(z) =

Y (z) −0, 2z 2 + 0, 25z = 2 U (z) z − 1, 75z + 0, 8

(8.43)

La respuesta a impulso unitario y a delta de Kronecker pueden ser calculadas mediante la metodolog´ıa usual, ya empleada en el Cap´ıtulo 7 en el contexto de sistemas de tiempo continuo y la transformada de Laplace. Esta corresponde a reemplazar la expresi´ on para U (z), descomponer en fracciones parciales de manera conveniente para poder obtener la transformada Zeta inversa, con ayuda agina 434. de la Tabla E.2 en la p´ En Matlab la funci´ on de transferencia en tiempo discreto, al igual que en tiempo continuo, se define mediante el comando tf en el que se especifica un tercer argumento correspondiente al tiempo de muestreo (ver Cap´ıtulo 11). Este se mantener indefinido, haci´endolo igual a −1. De esta forma la respuesta a impulso y escalon pueden obtenerse mediante los comandos dimpulse y dstep, respectivamente. Para el sistema en particular se˜ nales se muestran en la Figura 8.3, obtenida con los siguientes comandos:

Matlab >> Gd2=tf([-0.2 0.25 0],[1 -1.75 0.8],-1) Transfer function: -0.2 z^2 + 0.25 z -----------------z^2 - 1.75 z + 0.8 Sampling time: unspecified >> subplot(2,1,1),stem(impulse(Gd2)) >> subplot(2,1,2),stem(step(Gd2))

222 De igual forma que en el caso de tiempo continuo, en la respuesta a escal´on de sistemas de tiempo discreto puede definirse un conjunto de par´ametros que describen ciertas propiedades de su din´amica. Sin embargo, en este caso, el c´alculo de algunos de estos par´ametros se complica pues la variable independiente, el tiempo t, es discreta. As´ı, el hacer cero una derivada para calcular un m´aximo o un m´ınimo se hace dif´ıcil por dos factores: la derivada no est´a definida y, por otro lado, el c´alculo del instante asociado debe restringirse a valores enteros.

´ 202CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA

Respuesta a impulso

0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 0

5

10

15

20 t

25

30

35

40

0

5

10

15

20 t

25

30

35

40

Respuesta a escalon

1.5 1 0.5 0 −0.5

Figura 8.3: Respuesta a delta Kronecker y a escal´on unitario para el Ejemplo 8.6.

En la Figura 8.3 se muestra una respuesta a escal´on unitario con condiciones iniciales iguales a cero. Se observa que se pueden asignar los mismos elementos caracterizadores que en el caso de tiempo continuo. Un asunto de inter´es tiene que ver con el hecho que una se˜ nal cualquiera f [t] (no s´olo la respuesta a escal´on o la respuesta a impulso), puede ser igual a cero durante los primeros d instantes. Ello se explica con el siguiente an´alisis. Sea una se˜ nal f [t] con transformada F (z) dada por: F (z) =

Bf (z) Af (z)

(8.44)

donde Af (z) y Bf (z) son polinomios de la forma: Af (z) = z p + αp−1 z p−1 + . . . + α1 z + α0 q

Bf (z) = βq z + βq−1 z

q−1

+ . . . + β 1 z + β0 ;

(8.45) βq 6= 0

(8.46)

para n´ umeros enteros p y q no negativos. Observe que dado que F (z) debe poder expresarse en serie de potencias no positivas de z, es necesario que p ≥ q. La expansi´on de F (z) en potencias de z −1 se obtiene dividiendo Bf (z) por Af (z), esto lleva a: F (z) = βq z −p+q + (βq−1 − βq αp−1 )z −p+q−1 + . . .

(8.47)

8.4. RESPUESTA A CONDICIONES INICIALES Y EXCITACIONES ARBITRARIAS.203 Esta ecuaci´on demuestra que el primer valor de f [t] distinto de cero ocurre en el instante t = p − q, con f [p − q] = βq . El resultado principal se puede resumir en el siguiente lema: Lema 8.1. Considere una se˜ nal f [t] y su transformada F (z), cuociente de polinomios en z, con grado relativo d, entonces f [t] = 0 para t = 0, 1, ..d − 1 222 Cuando este lema se aplica a la respuesta a escal´on unitario, con condiciones iniciales iguales a cero, se deduce que ´esta es cero en los primeros d instantes, donde d es el grado relativo de la funci´on de transferencia H(z). En rigor, el z , es Lema 8.1 se aplica al producto H(z)U (z), pero en este caso U (z) es z−1 decir, su grado relativo es cero, por lo tanto el grado relativo de H(z)U (z) es igual al grado relativo de H(z).

8.4.

Respuesta a condiciones iniciales y excitaciones arbitrarias.

De la misma manera que en la secci´on precedente se obtuvo las respuestas a impulso y a escal´on del sistema, la transformada Zeta permite obtener la respuesta del sistema cuando la entrada pertenece a un tipo m´as general de se˜ nales. En esta tarea, las principales ventajas que tiene esta transformaci´on sobre la transformaci´on de Fourier, son que se puede aplicar a una amplia gama de excitaciones no acotadas, y que permite inclu´ır el efecto de las condiciones iniciales. Consideremos primero un ejemplo. Ejemplo 8.7. Considere un sistema con ERS: y[t] + a1 y[t − 1] + a2 y[t − 2] = b1 u[t − 3] + b0 u[t − 4]

(8.48)

Entonces al aplicar la transformada Zeta (en el marco de la Nota 8.1 en la p´ agina 193) se obtiene:

Y (z) =

b1 z −3 + b0 z −4 −a1 y[−1] − a2 z −1 y[−1] − a2 y[−2] U (z) + 1 + a1 z −1 + a2 z −2 1 + a1 z −1 + a2 z −2

(8.49)

lo cual lleva a: Y (z) =

b1 z + b 0 −(a1 y[−1] + a2 y[−2])z 2 − a2 y[−1]z U (z) + (8.50) z 2 (z 2 + a1 z + a2 ) z 2 + a1 z + a2 {z } | {z } | Yu (z)=Z{Thh0,u[t]ii}

Yx (z)=Z{Thhxo ,0ii}

222

Este ejemplo permite inducir algunos resultados generales:

grado relativo

´ 204CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA retardo respuesta!estacionaria

(i) Tanto la respuesta a entrada, yu [t] como la respuesta a condiciones iniciales, yx [t], contienen los modos naturales del sistema. (ii) El denominador de Yu (z) difiere del de Yx (z), no s´olo debido al denominador de U (z), sino que adem´as en un conjunto de polos en z = 0. Estos no son frecuencias naturales del sistema, sino que corresponden exactamente al retardo con que se aplica la excitaci´on. (iii) La transformada Yu (z) contiene los polos de U (z); ´estos explican la presencia de modos forzados, lo cual es consistente con lo planteado en la subsecci´on 4.3.6 en la p´agina 73. (iv) Si el grado relativo de H(z) es mayor que cero (como ocurre usualmente), entonces yu [0] = 0. (v) Salvo para especiales valores de las condiciones iniciales, el grado relativo de Yx (z) es cero, as´ı yx (0) 6= 0, lo cual lleva, salvo para esos valores especiales, a que y(0) 6= 0. Un caso especial de inter´es es cuando la excitaci´on u[t] es una sinusoide de frecuencia θo , ∀t ≥ 0, es decir, u[t] = 0, 5(ejθo t + e−jθo t ). Consideremos primero el caso de una excitaci´on u[t] = ejθo t µ[t], y un sistema estable, con funci´on de transferencia H(z), entonces: U (z) =

z z − ejθo

Y (z) = H(z)

(8.51)

z + Yx (z) z − ejθo

(8.52)

Dado que el sistema es estable, s´olo el modo forzado permanece, ya que la frecuencia forzante est´a sobre la circunferencia unitaria. As´ı, si denotamos como 0 Yee (z) la transformada Zeta de la componente estacionaria de la salida, tenemos que: 0 Yee (z) =

y, por tanto:

zH(ejθo ) z − ejθo

;

H(ejθo ) = |H(ejθo )| ej∠H(e

0 [t] = ejθo t H(ejθo ) = |H(ejθo )| ej(θo t+∠H(e yee

jθo

jθo

)

))

(8.53)

(8.54)

Si consideramos ahora la excitaci´on u[t] = e−jθo t µ[t], la transformada Zeta de la componente estacionaria de la salida es: 00 (z) = Yee

y, por tanto:

zH(e−jθo ) z − e−jθo

;

H(−ejθo ) = |H(ejθo )| e−j∠H(e

00 [t] = e−jθo t H(e−jθo ) = |H(e−jθo )| e−j(θo t+∠H(e yee

jθo

jθo

)

(8.55)

))

(8.56)

8.5. ESTABILIDAD

205

Si ahora combinamos ambas excitaciones, es decir, u[t] = 0, 5(ejθo t + e−jθo t ), la transformada Zeta de la componente estacionaria combinada de la salida est´a dada por: 00 0 [t]) = |H(ejθo )| cos(tθo + ∠H(ejθo )) [t] + yee yee [t] = 0, 5 (yee

(8.57)

Este resultado no es sorprendente, ya que por ser el sistema estable, la relaci´on (8.36) es v´alida, y as´ı se cumple que:

La funci´on de transferencia H(z) de un sistema estable, evaluada en z = ejθo es igual a la ganancia al modo forzante ejθo t (ver (4.35)).

8.5.

Estabilidad

Hasta aqu´ı hemos visto que la respuesta de un sistema que tiene una funci´on de transferencia H(z) es de la forma: Y (z) = H(z)U (z) +

p X nt X t=1 i=1

αti (z − λt )i

(8.58)

Donde el valor de cada αti depende de las condiciones iniciales, y donde hemos supuesto que cada polo ubicado en z = λt , tiene multiplicidad nt . Esta suposici´on implica a su vez que n1 + n2 + . . . + np = n, donde n es el orden de la ERS, es decir, es el n´ umero de autovalores del sistema. Si recordamos la definici´on de estabilidad, tenemos que un sistema es estable cuando cualquier entrada acotada produce una salida tambi´en acotada, para cualquier condici´on inicial acotada. Si observamos la ecuaci´on (8.58) podemos afirmar que la condici´on necesaria y suficiente para que el sistema sea estable es que los polos de ´este, que aparecen en las fracciones del segundo t´ermino de la ecuaci´on, den origen a se˜ nales que decaigan exponencialmente. Esto se traduce en que los polos del sistema deben tener magnitud estrictamente menor que uno, es decir, deben estar ubicados sobre el disco unitario abierto del plano complejo z . Es decir, para sistemas discretos, el l´ımite de estabilidad en el plano complejo z en que se ubican sus polos, es la circunferencia unitaria. Ejemplo 8.8. Consideremos un sistema con funci´ on de transferencia: H(z) =

(z − 0, 2) z 3 (z − 1)(z − 0, 8)

(8.59)

Esta funci´ on tiene tres polos en el origen, que se originan en los retardos y en la estructura de la ERS (vea ecuaciones (8.23) y (8.24)). Estos polos s´ olo introducen retardos en los modos naturales. Los otros polos de su funci´ on de transferencia est´ an ubicados en z = 1, y z = 0, 8. Estos u ´ltimos polos corresponden a frecuencias naturales del sistema. Uno de estos, el ubicado en z = 1, no est´ a en el disco unitario abierto, sino que justo sobre el l´ımite de estabilidad.

estabilidad multiplicidad!polos l´ ımite de estabilidad circunferencia unitaria

´ 206CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA sistemas discretos!estabilidad

Por tanto el sistema no es estable. Se deja al lector el verificar que una entrada constante, diferente de cero, produce una salida que crece indefinidamente. 222

8.5.1.

An´ alisis de polinomios

Al igual que en el caso de sistemas de tiempo continuo, es posible estudiar la estabilidad de un sistema de tiempo discreto analizando el polinomio denominador de su funci´on de transferencia, sin calcular expl´ıcitamente las ra´ıces de ese polinomio. Supongamos que el denominador mencionado sea un polinomio de la forma: p(z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a2 z 2 + a1 z + a0

(8.60)

Entonces se trata de determinar si existen o no ra´ıces de este polinomio cuya magnitud sea igual o mayor que 1, o equivalentemente, si todas las raices est´an en el disco unitario abierto en el plano complejo z . Diremos que los polinomios que tiene esta propiedad son polinomios estables. A semejanza de lo que ocurre en el caso de sistemas de tiempo continuo, podemos aprovechar algunas propiedades del polinomio (8.60) para descartar algunas situaciones. Dos de estas propiedades son especialmente u ´tiles Propiedad 1 El coeficiente an−1 cumple con: an−1 = −an

n X

λi

(8.61)

i=1

donde λ1 , λ2 , . . . λn son las ra´ıces de p(z). Esta propiedad es directa al notar que el polinomio p(s) puede escribirse como:

p(z) = an

n Y

i=1

(z − λi )

(8.62)

entonces, al expandir el producto (8.62) y observar el coeficiente que acompa˜ na a la potencia (n − 1)-´esima de z, se obtiene (8.61). Propiedad 2 El coeficiente a0 cumple con: a0 = (−1)n an

n Y

λi

(8.63)

i=1

Esta propiedad tambi´en se puede demostrar expandiendo el producto (8.62) y observando el t´ermino constante.

8.5. ESTABILIDAD

207

La primera propiedad dice que para que el polinomio p(z) sea estable, entonces es necesario que |an−1 | < n|an | ya que cada ra´ız de p(z) debe tener magnitud menor que 1. El resultado se obtiene al utilizar la desigualdad triangular: el m´ odulo de la suma es menor que la suma de los m´ odulos. La segunda propiedad dice que la estabilidad de p(z) exige como condici´on necesaria que |a0 | < |an |. Este resultado se obtiene al considerar que cada factor λi en (8.63) debe tener magnitud menor que uno. Las dos propiedades precedentes ayudan a descartar algunos polinomios bajo an´alisis. El lector debe recordar que estas propiedades son necesarias pero no suficientes para asegurar estabilidad. Tambi´en conviene tener presente que, a diferencia del caso de tiempo continuo, un polinomio puede ser estable aunque algunas de sus ra´ıces sean positivas; esto implica que los coeficientes de un polinomio p(z) estable pueden ser positivos, negativos o cero. Una vez superada la etapa de la inspecci´on se requiere un m´etodo de an´alisis que proporcione una respuesta categ´orica sobre la estabilidad o inestabilidad del polinomio. Una de las formas de realizar el estudio es transformar el problema en uno en que podamos aplicar el algoritmo de Routh y, en general, todos los resultados de la Secci´on §7.5.1. Con este objetivo se puede usar, por ejemplo, la transformaci´on bilineal: z=

z+1 w+1 ⇐⇒ w = w−1 z−1

(8.64)

donde w es una variable compleja auxiliar. Si expresamos la variable w en t´ermino de su parte real ζ y su parte imaginaria ψ, es decir w = ζ + jψ entonces (8.64) se puede escribir como: w+1 ζ + 1 + jψ z= = =⇒ |z| = w−1 ζ − 1 + jψ

s

(ζ + 1)2 + ψ 2 (ζ − 1)2 + ψ 2

(8.65)

De la ecuaci´on (8.65) se puede ver que ζ > 0 si y s´olo si |z| < 1. Tambi´en se puede ver w est´a en el eje imaginario ( ζ = 0) si y s´olo si z est´a sobre la circunferencia unitaria (|z| = 1). As´ı, si definimos la funci´on racional P w (w) como: Pw (w) = p (z)

(8.66) w+1 z= w−1

entonces el polinomio p(z) tiene todas sus ra´ıces al interior del disco unitario si y s´olo si el polinomio numerador de Pw (w) tiene todas sus raices al interior del semi-plano izquierdo. Por lo tanto, podemos usar el criterio de Routh para probar el polinomio numerador de Pw (w) y as´ı estudiar la estabilidad de p(z). Ejemplo 8.9. Considere el polinomio p(z) = z 3 − 0, 8z 2 − 0, 25z + 0, 2. Se trata de determinar si todas sus ra´ıces al interior del disco unitario. Para ello primero calculamos Pw (w), obteniendo:

desigualdad!triangular bilineal!transformaci´ on Routh

´ 208CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA Jury Jury!algoritmo

Pw (w) =

0, 15w3 + 1, 85w 2 + 4, 65w + 1, 35 (w − 1)3

(8.67)

Luego aplicamos Routh al numerador de Pw (w), construyendo el arreglo: w3 w2 w1 w0

0, 15 1, 85 4, 5405 1, 35

4, 65 1, 35

Como no hay cambios de signo en la primera columna, sabemos que todos los ceros de Pw (w) est´ an al interior del semi-plano izquierdo, lo cual implica que todas las ra´ıces de p(z) est´ an estrictamente al interior del disco unitario. 222 El m´etodo de la transformaci´on bilineal, aunque efectivo, puede llegar a ser muy engorroso para polinomios de grado elevado. Tambi´en hace m´as dif´ıcil estudiar problemas de estabilidad condicionada a par´ametros. Para evitar estos inconvenientes, se puede utilizar un algoritmo o criterio alternativo desarrollado por Jury zn zn−1

z0

γn,n γn,0 γn−1,n−1 γn−1,0 .. . γ0,0

γn,n−1 γn,1 γn−1,n−2 γn−1,1

γn,n−2 γn,2 γn−1,n−3 γn−1,2

... ... ... ...

γn,1 γn,n−1 γn−1,0 γn−1,n−1

γn,0 γn,n

Cuadro 8.1: Arreglo de Jury Consideremos el polinomio en (8.60) y el arreglo de la Tabla 8.1. Este arreglo se construye como se indica, paso a paso, a continuaci´on: (i) La primera fila se construye directamente con los coeficientes de polinomio original en orden descendente, i.e. γn,` = a` , ` = n, n − 1, . . . , 0. (ii) La segunda fila se construye a partir de la primera fila con los mismos coeficientes, pero en orden ascendente. (iii) La tercera fila es calculada a partir de las dos immediatamente anteriores de acuerdo a la siguiente f´ormula:

8.5. ESTABILIDAD

γn−1,n−`

209 1 γn,n = γn,n γn,0

γn,`−1 γn,n−`+1



` = 1, 2, . . . , n

(8.68)

Note que esta fila tiene un elemento menos que las dos anteriores. (iv) La cuarta fila se construye a partir de la tercera fila con los mismos coeficientes, pero en orden inverso. (v) La quinta fila se construye a partir de las dos filas precedentes usando (8.68) con los coeficientes correspondientes. Esta regla de construcci´on se aplica tambi´en a todas las filas impares que siguen, hasta la (2n + 1)´esima, es decir, hasta calcular γ0,0 . En cada una de estas filas, el n´ umero de coeficientes se reduce en uno. (vi) La sexta fila, as´ı como todas las filas pares que siguen, se construyen con los mismos coeficientes de la fila impar inmediatamente anterior, pero en orden inverso. Jury formul´o un teorema de estabilidad cuyas condiciones se verifican usando el arreglo de la tabla 8.1. El teorema se enuncia a continuaci´on, sin demostraci´on, ya que ella excede el marco de este texto. El lector interesado puede consultar [10].

Teorema 8.1. El polinomio p(z) dado en (8.60), con an > 0, tiene todas sus ra´ıces estrictamente al interior del c´ırculo unitario si y s´ olo si γ `,` > 0 para ` = 0, 1, . . . , n − 1. 222 A continuaci´on ejemplificamos el algoritmo, tanto en su mec´anica como en sus potenciales aplicaciones. Ejemplo 8.10. Considere el polinomio p(z) = z 3 − 0, 5z 2 − 0, 64z + 0, 32. Entonces n = 3, an = 1 > 0 y el arreglo de Jury resultante se muestra en la Tabla 8.2. Los t´erminos de la tercera, quinta y s´eptima fila se calculan siguiendo el procedimiento general descrito precedentemente, as´ı:

γ2,2 =

1 0, 32

0, 32 1

; γ2,1 =

1 1

1 0, 32

0, 8976 −0, 48 −0, 48 0, 8976 ; γ1,0 = 0, 6409 −0, 4531 1 = 0, 6409 −0, 4531 0, 6409

γ1,1 = γ0,0

1 1

1 0,8976

−0, 64 ; −0, 5

1 0,8976

γ2,0 =

0, 8976 −0, 48

1 1

1 0, 32

−0, 2952 −0, 2952

−0, 5 −0, 64 (8.69) (8.70) (8.71)

´ 210CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA z3 z2 z1 z0

γ3,3 = 1 0,32 γ2,2 = 0, 8976 -0,48 γ1,1 = 0, 6409 −0, 4531 γ0,0 = 0, 3206

γ3,2 = −0, 5 -0,64 γ2,1 = −0, 2952 -0,2952 γ1,0 = −0, 4531 0, 6409

γ3,1 = −0, 64 -0,5 γ2,0 = −0, 48 0,8976

γ3,0 = 0, 32 1

Cuadro 8.2: Arreglo de Jury. Ejemplo 8.10

Al aplicar el teorema de Jury observamos que γ3,3 = a3 > 0 y que γ`,` > 0, ∀` ∈ {0, 1, 2}. En consecuencia el polinomio p(z) tiene todas sus ra´ıces dentro del disco unitario. 222 Para apreciar el uso del algoritmo de Jury en estudios de estabilidad relativa o condicional, consideraremos un ejemplo adicional. Ejemplo 8.11. Sea un polinomio p(z) = z 2 + az + 0, 8. Se trata de estudiar bajo qu´e condiciones este polinomio tiene sus dos ra´ıces con m´ odulo menor que uno. Note que n = 2 y an = a2 = 1 > 0. Primero construimos el arreglo de Jury, el que aparece en la Tabla 8.3. z2 z1 z0

γ2,2 = 1 0,8 γ1,1 = 0, 36 0,2a a2 γ0,0 = 1 − 1,8 2

γ2,1 = a a γ1,0 = 0, 2a 0,36

γ2,0 = 0, 8 1

Cuadro 8.3: Arreglo de Jury. Ejemplo 8.11 El arreglo de la tabla muestra que la condici´ on requerida por el teorema de Jury (γ1,1 > 0, γ0,0 > 0) se cumple si y s´ olo si −1, 8 < a < 1, 8. 222

8.6.

Polos, ceros y la respuesta temporal

A continuaci´on examinaremos algunas propiedades fundamentales de los polos y ceros de la funci´on de transferencia de un sistema de tiempo discreto, y su influencia sobre las caracter´ısticas de la respuesta de un sistema lineal. Consideremos una funci´on de transferencia de la forma general:

8.6. POLOS, CEROS Y LA RESPUESTA TEMPORAL Qm i=1 (z − βi ) H(z) = K d Q n z l=1 (z − αl )

211

(8.72)

donde αl ∈ C y βi ∈ C. Si suponemos que no hay valores de l y de i tales que αl = βi entonces, β1 , β2 , . . . , βm and α1 , α2 , . . . , αn son los ceros y los polos de la funci´on de transferencia, respectivamente (a estos u ´ltimos hay que agregar los d polos en el origen). Estaremos particularmente interesados en aquellos ceros ubicados sobre la circunferencia unitaria o en su cercan´ıa, y en aquellos polos al exterior del disco unitario. Los polos y ceros ubicados en estas regiones juegan un rol fundamental en la din´amica del sistema. Una clase especial de funci´on de transferencia es aquella que tiene todos sus ceros y sus polos al interior del disco unitario en el plano complejo z . Tradicionalmente ´estas se denominan funciones de transferencia de fase m´ınima . Sin embargo, a similitud de la nomenclatura usada en sistemas de tiempo continuo, reservaremos ese nombre para referirnos simplemente a funciones de transferencia sin ceros fuera del disco unitario, que tengan o no polos en ´el. Diremos que un cero tiene fase no m´ınima si tiene magnitud mayor o, al menos, igual a uno, de otra forma se denominar´a cero de fase m´ınima. Si hablamos de una funci´ on de transferencia estable nos referimos a que todos sus polos se ubican sobre el disco unitario abierto; si decimos que inestable, es porque al menos uno de sus polos se encuentra fuera del disco unitario, o sobre el borde de este u ´ltimo. Los polos en si mismos tambi´en se pueden denominar estables o inestables , si se encuentran dentro o fuera del disco unitario abierto,respectivamente 2 . A continuaci´on examinaremos la influencia sobre la respuesta transiente de un sistema de los polos y ceros de su funci´on de transferencia.

8.6.1.

Polos

Las funciones que se originan al aplicar la transformaci´on Zeta a las ERS de sistemas lineales, son funciones racionales y siempre pueden descomponerse en fracciones parciales. Cada uno de los t´erminos de esta expansi´on contiene ya sea un polo real simple, un par de polos complejos conjugados o m´ ultiples combinaciones de polos repetidos. Por tanto, para conocer el efecto de los polos en la respuesta transiente de un sistema basta conocer el efecto ocasionado por los polos de primer y segundo orden y su interacci´on. Un polo de primer orden contribuye a la descomposici´on en fracciones parciales, en general, con un t´ermino de la forma: H1 (z) = donde K1 es la ganancia a continua.

K1 (1 − a) z−a

(8.73)

2 En ocasiones, por abuso de lenguaje, a los ceros de fase no m´ ınima tambi´ en se les denomina ceros inestables, dado que se encuentran en la regi´ on del plano z en que los polos son inestables.

fase m´ ınima ceros!fase no m´ ınima funci´ on de transferencia!estable polos

´ 212CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA modos naturales

Mientras que un polo de segundo orden contribuye a la expansi´on con un t´ermino: 1 − 2ρ cos θo + ρ2 (8.74) z 2 − 2zρ cos θo + ρ2 donde K2 es la ganancia a continua. En el Cap´ıtulo 4 se describi´o gr´aficamente la relaci´on entre la ubicaci´on de las frecuencias naturales (simples) y los modos naturales. Dado que los polos de H(z), salvo aquellos ubicados en el origen, son iguales a las frecuencias naturales, es conveniente repetir la descripci´on gr´afica de esa relaci´on. H2 (s) = K2

z

1

Figura 8.4: Relaci´on entre la ubicaci´on de los polos (de multiplicidad uno) y los modos naturales (caso decreciente).

Cada polo genera un t´ermino espec´ıfico que coincide justamente con cada uno de los modos naturales en la respuesta del sistema a un impulso en la entrada. Estos modos est´an presentes tambi´en en la respuesta a cualquier entrada al sistema (excepto en casos muy excepcionales cuando hay coincidencia de polos

8.6. POLOS, CEROS Y LA RESPUESTA TEMPORAL

213 polos!r´ apidos polos!dominantes polos!lentos

z

1

Figura 8.5: Relaci´on entre la ubicaci´on de los polos (de multiplicidad uno) y los modos naturales (caso no decreciente).

con ceros). El tipo de modo natural asociado a cada polo de un sistema depende de la ubicaci´on de ´este sobre el plano complejo z , exactamente equivalente a la ubicaci´on de cada frecuencia natural λ sobre un plano complejo, como se vi´o en el Cap´ıtulo 4. Para ilustrar esto podemos apreciar en la Figura 8.4 las diferentes respuestas a impulso de un sistema de un u ´nico polo. En forma an´aloga a lo que ocurre con los sistemas continuos en el tiempo, nos referiremos, en general, como polos r´ apidos a aquellos que se encuentran m´as cercanos al origen del plano z . Esto es equivalente que considerar que la respuesta transiente asociada a estos polos desaparece m´as r´apido que aquella asociada a los otros polos, tal como puede apreciarse en la figura 8.4. Por otro lado, llamaremos polos dominantes o polos lentos a aquellos que se encuantran al interior del disco unitario, pero m´as cercanos al l´ımite de estabilidad (circunferencia unitaria) que el resto de los polos de sistema. Esto equivale a decir que el transiente asociado a los polos dominantes decae m´as lentamente que los dem´as modos naturales.

´ 214CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA ceros controlabilidad observabilidad

Por ejemplo, si tenemos un sistema cuyos polos est´an ubicados en (−0, 5; −0, 6± j0, 6; −0, 2; −0, 2+j0, 3), podemos decir que los polos dominantes es −0, 6±j0, 6 y el polo m´as r´apido es el que se encuentra en −0, 2.

8.6.2.

Ceros

En general, el efecto de la ubicaci´on de los polos en la din´amica de un sistema puede entenderse sin demasiada dificultad dada su directa relaci´on con la estabilidad y las caracter´ısticas generales de la respuesta del sistema. De hecho en la literatura sobre sistemas y su estabilidad se puede encontrar mucha m´as informaci´on que la aqu´ı detallada. Por el contrario, a menudo se ha subestimado el efecto de los ceros en el an´alisis del comportamiento de un sistema. Sin embargo, en los u ´ltimos a˜ nos se ha vuelto a dar un vistazo al efecto de los ceros sobre la respuesta de un sistema, que ahora son reconocidos por su importancia, por ejemplo, al definir criterios de dise˜ no de sistemas de control. Es asi como, mientras que los polos de un sistema est´an asociados a la presencia de sus modos naturales aislados, los ceros reflejan de alg´ un modo la interacci´ on entre ´estos, por ejemplo, en el caso en que la salida de un sistema est´a formada por la suma de dos modos naturales diferentes. Adem´as, a pesar que la ubicaci´on de los polos determina los modos naturales de un sistema, es la ubicaci´on de los ceros la que determina la proporci´ on en que los modos aparecen combinados en la salida. En estas combinaciones los modos naturales toman diferente fuerza, pudiendo ser su efecto, en algunos casos, casi imperceptible. De hecho, la ubicaci´on relativa de polos y ceros tiene directa relaci´on con los conceptos de observabilidad y controlabilidad, como se detalla en el Cap´ıtulo 10. Veamos esto a trav´es de un ejemplo.

U (z)

α z − 0, 5

Y (z)

1−α z − 0, 8

Figura 8.6: Sistema discreto con interacci´on aditiva entre dos estados.

Ejemplo 8.12. Consideremos el sistema de la Figura 8.6, cuya funci´ on de transferencia sistema esta dada por:

H(z) =

α 1−α (0, 3α + 0, 2)z − (0, 3α + 0, 1) Y (z) = + = U (z) z − 0, 5 z − 0, 8 (z − 0, 5)(z − 0, 8)

(8.75)

8.6. POLOS, CEROS Y LA RESPUESTA TEMPORAL

215

3α+1 Este sistema tiene sus polos en p1 = 0, 5 y p2 = 0, 8 y un cero en c1 = 3α+2 . Es decir, la ubicaci´ on est´ a directamente relacionada con el peso de cada uno de los modos naturales en la respuesta del sistema, por ejemplo, a un impulso unitario en la entrada:

y[t] = α(0, 5)t + (1 − α)(0,8)t

cancelaci´ on!cuasiundershoot contrarespuesta respuesta!inversa

(8.76)

Si tomamos un valor de α cercano a cero, por ejemplo α = 0,01, la funci´ on de transferencia es: H(z) = 0, 203

(z − 0,5074) (z − 0, 5)(z − 0, 8)

(8.77)

En esta puede observarse la cercan´ıa del cero al polo en z = 0, 5. La respuesta a impulso ser´ a en este caso: y[t] = 0, 01(0, 5)t + 0, 99(0,8)t

(8.78)

En que se aprecia la peque˜ na magnitud con que aparece el modo natural m´ as r´ apido. Es decir, a medida que el cero se acerca al polo en z = 0, 5 se produce una cuasi-cancelaci´ on , que ser´ a total cuando α = 0. Invitamos al lector a estudiar el caso an´ alogo cuando α se acerca a 1 y cu´ al es su efecto sobre el otro modo natural del sistema. Adem´ as puede analizarse qu´e sucede con el sistema cuando el par´ ametro α toma valores negativos. ¿Qu´e pasa si α = −1/3 o α = −2/3 ? 222

8.6.3.

Respuesta inversa o contrarespuesta (undershoot)

La Figura 8.3 en la p´agina 202 sugiere que existen casos en los que, en la presencia de una excitaci´on mayor que cero, la respuesta del sistema se hace negativa durante alg´ un lapso no despreciable. Existe un resultado an´alogo al Lema 7.1 en la p´agina 182, respecto del rol de algunos ceros que est´an ubicados fuera del c´ırculo unitario. Lema 8.2. Considere un sistema lineal estable con funci´ on de transferencia H(z), y con un cero real en z = c, donde c > 1, entonces la respuesta a un escal´ on positivo se hace negativa durante uno o m´ as lapsos no despreciables. Demostraci´ on La respuesta del sistema est´ a dada por: Y (z) = H(z) Entonces: H(z)

Kz ; z−1

∞

X Kz y[t]z −t ; = z−1 t=0

K>0

|z| > 1

(8.79)

(8.80)

Note que la regi´ on de convergencia queda determinada, por un lado, por el hecho que el sistema es estable, por lo cual la transformada de h[t] est´ a bien definida

´ 216CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA para |z| ≥ 1 y, por otro lado, por el hecho que la respuesta a un escal´ on est´ a bien definida para |z| > 1. En consecuencia, la regi´ on de convergencia para y[t] es |z| > 1. Si ahora, en la ecuaci´ on (8.80), hacemos z = c (note que, por ser c > 1, est´ a en la regi´ on de convergencia) obtenemos, aplicando el hecho que H(c) = 0 H(c)

∞

X K = y[t]c−t = 0 c t=0

(8.81)

Como la suma es cero, y c−t > 0, ∀t, necesariamente y[t] debe ser negativa en uno o m´ as lapsos, y positiva, el resto del tiempo. El lema precedente justifica la presencia de undershoots, como el sugerido en la Figura 8.3 en la p´agina 202. Sin embargo, este comportamiento inverso se puede manifestar en formas m´as diversas, tal como se ilustra en la Figura 8.7.

Respuesta a escalón

Respuesta a escalón

1 0.5 0

−0.5 −1

1 0.5 0 −0.5 −1

0

10

20 30 Tiempo [s]

40

50

0

10

20 30 Tiempo [s]

40

50

Figura 8.7: Ejemplos de distintas formas de respuesta inversa en sistemas discretos.

8.7. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

8.7.

217

Problemas para el lector

Problema 8.1. Determine la transformada Zeta de las siguientes funciones: (i) (ii) (iii) (iv)

y[t] = A cos(θt + φ) y[t] = t a−t   0 ; 0 ≤ t ≤ 1 y[t] = 1 ; 2 ≤ t ≤ 7   0 ;t ≥ 8 y[t] = (−0, 5)t

Problema 8.2. Para los siguientes sistemas: (i) (ii) (iii) (iv)

y[t] − y[t − 1] = u[t]

y[t] = u[t] − u[t − 1] y[t] − 1, 4y[t − 1] + 0, 48y[t − 2] = −0, 08u[t]

y[t] − y[t − 1] − 1, 1[t − 2] = −u[t − 1] − 0, 1u[t − 2]

8.2.1 Determine su funci´ on de transferencia, 8.2.2 Determine si son o no estables, 8.2.3 Determine y grafique su respuesta a delta de Kronecker, y 8.2.4 Determine y grafique su respuesta a escal´ on unitario. Problema 8.3. Considere un sistema definido por su ecuaci´ on recursiva: y[t + 2] − y[t + 1] + 0, 5y[t] = u[t] − 0, 5u[t − 1] 8.3.1 Determine la funci´ on de transferencia del sistema. 8.3.2 Determine la salida del sistema a entrada cero y condiciones iniciales y[−1] = 1 y y[−1] = −1. Grafique. 8.3.3 Determine la salida del sistema si la entrada es u[t] = µ[t] − µ[t − 2]. Grafique. Problema 8.4. Si N es un n´ umero entero positivo, entonces considere los siguientes sistemas: (promediomovil) (autoregresivo)

1 (u[t] + u[t − 1] + . . . + u[t − N ]) N y[t] + y[t − 1] + . . . + y[t − N ] = u[t] y[t] =

8.4.1 Determine su funci´ on de transferencia,

´ 218CAP´ITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA 8.4.2 Determine sus polos y ceros, 8.4.3 Determine y grafique su respuesta a delta de Kronecker, y 8.4.4 Determine y grafique su respuesta a escal´ on unitario. Problema 8.5. Para el sistema: y[t] + α1 y[t − 1] + α0 y[t − 2] = βu[t] − u[t − 1] 8.5.1 Determine condiciones sobre α0 , α1 y β de manera que el sistema sea estable. 8.5.2 Si u[t] = 0, α1 = −1, α0 = 0,16 y β = 0, determine la condiciones iniciales de manera que el la respuesta homog´enea s´ olo aparezca el modo natural dominante. 8.5.3 Si no se conoce u[t] = 0, pero α1 = −1, α0 = 0,16, determine β de manera que en la salida solo aparezca el modo natural mas r´ apido. Problema 8.6. Se sabe que la respuesta de un sistema lineal a un escal´ on unitario en su entrada (con condiciones iniciales iguales a cero) est´ a dada por: i h π (t − 1) µ[t] g[t] = 0, 5 − (0, 4)t cos 3 Determine la funci´ on de transferencia del sistema.

respuesta en transformada transformada transformada Bode Nyquist

Cap´ıtulo 9

Representaci´ on de sistemas lineales 9.1.

Ideas generales

La caracterizaci´on de la respuesta en frecuencia de un sistema lineal, as´ı como su funci´on de transferencia obtenida con la tranformaci´on de Fourier, la transformaci´on de Laplace o la transformaci´on Zeta, son herramientas u ´tiles para el an´alisis, s´ıntesis y dise˜ no de sistemas din´amicos en sus distintas aplicaciones, tales como procesamiento de se˜ nales y control autom´atico, entre otras. Estas herramientas han sido ampliamente reconocido a trav´es de los a˜ nos y han dado lugar tambi´en a una serie de formas especiales de representaci´on gr´afica. En primer lugar, recordemos que la respuesta en frecuencia de un sistema lineal y su funci´on de transferencia est´an caracterizadas por la misma funci´on de la frecuencia1 H(jω) que, en general, toma valores complejos. Una de las formas de representaci´on m´as usuales se basa en gr´aficos separados de la magnitud y la fase de H(jω), en donde la frecuencia, ω, es la variable independiente. La m´as conocida y usada de estas representaciones fue desarrollada por Hendrik Bode en los a˜ nos cuarenta [4](o no?). Por otra parte, tambi´en es posible representar H(jω) en un solo gr´afico u ´nico donde el eje de las abscisas corresponde a su parte real, y el eje de ordenadas, a su parte imaginaria. Este se denomina diagrama polar o de Nyquist. En esta u ´ltima caracterizaci´on, la frecuencia queda impl´ıcita. Finalmente en este Cap´ıtulo introducimos la representaci´on en diagramas de bloques, ampliamente usada en el dominio temporal, de Fourier, de Laplace y de la transformada Zeta, dada su gran utilidad para representar sistemas complejos mediante la interconecci´on de sistemas m´as simple, y la causalidad inherente de las se˜ nales de entrada y de salida de estos sistemas din´amicos. 1 Ver

Lema 6.1 en la p´ agina 129.

219

frecuencia de Fourier de Laplace Zeta

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

220 Bode!diagramas de Bode|textbf diagramas!de Bode ejes logar´ ıtmicos decada octava decibel factores can´ onicos

9.2.

Diagramas de Bode

9.2.1.

Tiempo continuo

Como ya hemos visto, un sistema de tiempo continuo puede ser caracterizado por la funci´on H( ω). El diagrama de Bode correspondiente a esta funci´on est´a formado por dos gr´aficos: uno que describe la evoluci´on de su magnitud |H( ω)| como funci´on de la frecuencia angular ω, y el otro describe el a´ngulo de la respuesta en frecuencia ∠H( ω), tambi´en como funci´on de la frecuencia angular ω. Los diagramas de Bode son dibujados con ejes especiales: El eje de las abscisas es lineal en log 10 (ω), o logar´ıtmico en ω. Esto permite una representaci´on compacta de la frecuencia en un gran rango de valores. En este eje, la unidad es la decada, que corresponde a la distancia en el eje que separa a una frecuencia cualquiera ω1 y su m´ ultiplo 10ω1 . Una unidad alternativa es la octava, que corresponde a la distancia entre ω1 y 2ω1 (doble de la frecuencia). La magnitud de la respuesta en frecuencia es medida en decibeles [dB], es decir, se representa la funci´on: |H( ω)|dB = 20 log10 |H( ω)|

(9.1)

Es decir, al igual que para la frecuencia, se utiliza un eje logar´ıtmico en |H( ω)|.

El uso de ejes logar´ıtmicos proporciona varias ventajas, incluyendo precisi´on por valores peque˜ nos y grandes de |H( ω)|, facilidad para construir aproximaciones simples para |H( ω)|dB , y el hecho que la respuesta en frecuencia de sistemas en cascada puede ser obtenida sumando las respuestas en frecuencia individuales. El a´ngulo es medido en una escala lineal en radianes o grados. Los paquetes de software disponibles, tales como Matlab , incluyen comandos especiales para calcular la respuesta en frecuencia y dibujar los diagramas de Bode. Sin embargo, es importante, para el manejo conceptual de la herramienta, desarrollar la habilidad de hacer, en forma manual y r´apida, un bosquejo de esos diagramas, u ´tiles para el an´alisis y el dise˜ no de las propiedades de un sistema o de una se˜ nal. Para desarrollar estas ideas consideraremos una funci´on de transferencia que puede expresarse como un producto de funciones particulares, que llamaremos factores can´ onicos, correspondientes a los siguientes tipos: [B1]

K

[B2]

(1 + T  ω)q , q ∈ {−1; 1}

9.2. DIAGRAMAS DE BODE [B3] [B4] [B5]

221 Bode!aproximaciones

( ω)q , q ∈ {−1; 1} "  2 # q ω ω + 1 + 2ξ q ∈ {−1; 1}, 0 ≤ ξ < 1. ωn ωn e− ωτ , τ > 0

donde el exponente q ∈ {−1; 1} describe las dos opciones para cada factor: su presencia en el numerador o en el denominador de la funcion H( ω) dada. A continuaci´on se presente un ejemplo ilustrativo. Ejemplo 9.1. Considere la funci´ on: H( ω) = 6

e−0,1 ω ( ω + 2)  ω( ω + 1)(( ω)2 +  ω + 4)

(9.2)

Que puede reescribirse como: H( ω) =

(3) · (e−0,1 ω ) · (1 + 0, 5 ω)    ω   ω 2 + ( ω) · (1 +  ω) · 1 + 2 × 0, 25 2 2

(9.3)

222

As´ı, en el caso general: H( ω) =

n Y

F` ( ω)

(9.4)

`=1

donde cada uno de los factores elementales, F` ( ω), es una funci´on perteneciente a alguno de los tipos [B1] a [B5]. Entonces

|H( ω)|dB = 20 log10 |H( ω)| = ∠H( ω) =

n X

n X `=1

20 log10 |F` ( ω)| =

n X `=1

|F` ( ω)|dB

∠F` ( ω)

(9.5) (9.6)

`=1

Es decir: La magnitud (en dB) de H( ω) es igual a la suma de las magnitudes (en dB) de F` ( ω), y El a´ngulo de H( ω) es igual a la suma de los a´ngulos de F` ( ω) En consecuencia, para poder construir aproximaciones para una funci´on de transferencia arbitraria, es suficiente desarrollar aproximaciones para cada uno de los cinco factores can´onicos, [B1] a [B5]. Esto es lo que haremos a continuaci´on.

222 Bode!as´ ıntotas

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

[B1] En este caso F ( ω) = K y su magnitud es exactamente: |K|dB = 20 log10 |K| es decir, es una recta horizontal. Por su parte, la fase es: ( 0 para K ≥ 0 ∠K = o 180 para K < 0

(9.7)

(9.8)

As´ı, la fase de larespuesta en frecuencia tambi´en es una recta horizontal. [B2] En este caso F ( ω) = (1 + T  ω)q , donde q ∈ {−1; 1}. Entonces: p |F ( ω)|dB = 20 q log10 1 + T 2 ω 2 = 10 q log10 (1 + T 2 ω 2 ) ∠F ( ω) = q arctan(T ω)

(9.9) (9.10)

Podemos construir una aproximaci´on por trazos o as´ıntotas para la magnitud, si observamos que: 1 =⇒ |F ( ω)|dB ≈ 0 [dB] |T | 1 ω =⇒ |F ( ω)|dB ≈ 20q log10 (|T |ω) |T | ω

(9.11) (9.12)

Esto significa que la magnitud de la respuesta en frecuencia de una funci´on tipo [B2] puede aproximarse por dos as´ıntotas: una de baja frecuencia, con pendiente 0 [dB/dec] y otra de alta frecuencia, cuya pendiente es 20q [dB/dec]. Estas as´ıntotas se intersectan en ω = 1/|T |. Cuando q = −1, a esta p frecuencia la curva exacta pasa 3 [dB] m´ a s abajo, ya que |F (j/|T |)| = 1/2 y basta √ recordar que 20 log10 0, 5 ≈ −3, 0103. En la Figura 9.1 se muestra la aproximaci´on asint´otica y la curva exacta para una funci´on tipo [B2], con q = −1, en t´ermino de la frecuencia normalizada ω|T |. La fase de la respuesta en frecuencia es m´as dif´ıcil de aproximar de una manera simple. Sabemos que para |T ω|  1 la fase es aproximadamente cero y que para |T ω|  1, la fase es aproximadamente φ∞ = 90 q signo(T ) [o ]. Una aproximaci´on aceptable puede ser construida por tres rectas: Una recta horizontal en 0 [o ] en el rango de frecuencia (−∞; 0, 1/|T |), es decir, hasta una d´ecada antes de 1/|T |). Una recta que une los puntos (0; 0, 1/|T |) y (10/|T |; φ∞ ), es decir, desde una d´ecada antes hasta una d´ecada despu´es de 1/|T |). Esta recta tiene una pendiente de 0, 5φ∞ [o /dec] (para el caso con T > 0 y q = 1, esta pendiente es 45 [o /dec]),

9.2. DIAGRAMAS DE BODE

223

Magnitud [dB]

10 0 −10 −20 −30 −40 −50 −2 10

−1

10

0

10

1

10

2

ω |T|

10

Figura 9.1: Diagrama de Bode de magnitud para una funci´on tipo [B2], con q = −1 Y una recta horizontal en φ∞ en el rango de frecuencia (10/|T |, ∞). As´ı, en alta frecuencia, la fase tiende a 90q[o ] signo(T ). Esta aproximaci´on es exacta en ω = 1/|T |, donde la fase es 45q[o ]. En la Figura 9.2 se aprecia tanto la aproximaci´on asint´otica, como la curva exacta para el caso q = −1 y T > 0 . La frecuencia se ha normalizado a ω|T |. 20

Fase [°]

0 −20 −40 −60 −80 −100 −2 10

−1

10

0

10

1

10

2

ωT

10

Figura 9.2: Diagrama de Bode de fase para una funci´on tipo [B2], con q = −1

[B3] En este caso, F ( ω) = ( ω)q , q ∈ {−1; 1}. La magnitud, en decibeles, est´a dada por: |F ( ω)|dB = 20q log10 |ω| (9.13) De esta forma, considerando que el eje de abscisas est´a en escala logar´ıtmica, la magnitud es una recta con pendiente 20q [dB/dec]. La fase, en tanto, es: ∠F ( ω) = 90 q[o ] (9.14)

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

224

que corresponde a una recta horizontal en 90 q[o ]. [B4] En este caso, el factor can´onico es de la forma: "  2 # q ω ω + F ( ω) = 1 + 2ξ ωn ωn

(9.15)

en que q ∈ {−1; 1} y 0 ≤ ξ < 1. Se trata de un factor de segundo grado, determinado por dos par´ametros: ωn y ξ. La magnitud es: s 2 ω2 ω2 |F ( ω)|dB = 20 q log10 + 4ξ 2 2 1− 2 ωn ωn !   2 2 ω2 2ω 1− 2 = 10 q log10 + 4ξ 2 (9.16) ωn ωn Y el a´ngulo de fase es:    2ξωωn   q arctan 2 ωn2 − ω  ∠F ( ω) = 2ξωωn  o  90q[ ] + q arctan ω 2 − ωn2

∀ω < ωn

(9.17)

∀ω > ωn

Para construir una aproximaci´on por trazos o as´ıntotas, primero observamos que: ω  ωn =⇒ |F ( ω)|dB ≈ 0 [dB] ω  ωn =⇒ |F ( ω)|dB ≈ 40q log10

(9.18) 

ω ωn



(9.19)

40

Magnitud [dB]

as´ ıntotas

20

ξ

0

−20 −40 −1 10

0

10

1

ω/ω

10

n

Figura 9.3: Diagrama de Bode de magnitud para una funci´on tipo [B4], con q = −1 y dos valores de ξ.

9.2. DIAGRAMAS DE BODE

225

As´ı, en baja frecuencia, la magnitud (en [dB]) puede ser aproximada por una as´ıntota horizontal en 0 [dB]. En alta frecuencia, la aproximaci´on asint´otica es una recta de pendiente 40q [dB/dec] que pasa por el punto (ωn ; 0). Sin embargo, la curva exacta puede ser muy distinta a la aproximaci´on asint´otica, dependiendo del valor del par´ametro ξ. Esto puede se ilustra en la Figura 9.3, donde se muestran las curvas exactas para ξ = 0, 01 and ξ = 0, 1. La flecha indica la direcci´on en la que aumenta ξ. Note que en el caso l´ımite, cuando ξ = 0, el diagrama tiende a ∞ [dB]. En general, el diagrama de magnitud exhibe, a la frecuencia ωr , un pico de resonancia Mr , valor que puede calcularse usando los m´etodos cl´asicos del C´alculo. Para simplificar el desarrollo, usaremos la frecuencia normalizada ν = ω/ωn y el hecho que para q = −1, |F ( ω)|dB alcanza el m´aximo a la misma frecuencia νr a la que g(ν) = (1−ν 2 )2 +4ξ 2 ν 2 alcanza el m´ınimo. As´ı, derivando y haciendo igual a cero se obtiene: dg(ν) = 2(1 − ν 2 )(−2ν) + 8ξ 2 ν = 0 dν donde se observa que la resonancia ocurre exactamente en: p p νr = 1 − 2ξ 2 =⇒ ωr = ωn 1 − 2ξ 2

(9.20)

(9.21)

Con esto, y la ecuaci´on (9.16), se obtiene:

Mr = |F ( ωr )| =

1 2ξ

(9.22)

Finalmente, en (9.21) √ se puede notar que el pico de resonancia existe para q = −1 si y s´olo si ξ < 1/ 2. La fase de una funci´on de tipo [B4], dada por (9.17), se puede tambi´en aproximar por as´ıntotas, con la misma prevenci´on que en el caso de la magnitud: la precisi´on de la aproximaci´on asimpt´otica depende crucialmente del valor de ξ. As´ı: ω  ωn =⇒ ∠F ( ω) ≈ 0 [o ] ω  ωn =⇒ ∠F ( ω) ≈ 180 q[o ]

(9.23) (9.24)

De esta forma, la aproximaci´on asint´otica se compone de dos rectas horizontales: una en 0 [o ] y la otra en 180 q[o ]. En la Figura 9.4 se muestra el caso de q = −1, donde se muestran dos curvas, para dos valores de ξ (0, 01 y 0, 1). En el gr´afico se muestra con una flecha la direcci´on en que crece ξ. Note que a medida que crece ξ, la aproximaci´on asint´otica se hace cada vez m´as inexacta, contrariamente a lo que ocurre con la aproximaci´on asint´otica para la magnitud. Siempre es posible refinar las aproximaciones inherentes en los diagramas de Bode, en particular aprovechando herramientas como Maple que facilitan el manejo de expresiones anal´ıticas complejas. En este caso, es posible obtener la pendiente exacta del grafico de la fase de H( ω) en la frecuencia de corte ωn , que permitir´ıa trazar una tercera asintota, de manera similar a la Figura 9.2.

resonancia

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

226 0

Fase [o]

−50

−100

ξ

−150 −200 −1 10

0

10

ω/ωn

1

10

Figura 9.4: Diagrama de Bode de fase para una funci´on tipo [B4], con q = −1 El siguiente codigo Maple establece supuestos sobre las variables q, ω, ωn y xi, luego define la funcion H( ω), obtiene la derivada respecto a φ = 10ω (debido a la escala logar´ıtmica en el eje horizontal), y la eval´ ua en ω = ωn

Maple > > > > > > >

assume(q,integer); assume(xi>0,omega>0,omega_n>0); interface(showassumed=0); H(omega):=(1+2*xi*I*omega/omega_n+(I*omega/omega_n)^2)^q; fase_H:=evalc(argument(H(omega))); d_fase_H:=factor(diff(subs(omega=10^phi,fase_H),phi)); simplify(subs(phi=log10(omega_n),d_fase_H));

 2 !q ω 2ξ( ω) + H( ω) = 1 + ωn ωn      nω sen q arctan ω2ξω 2 −ω 2   n   f aseH ( ω) = arctan  nω cos q arctan ω2ξω 2 −ω 2 n
φ 2 2 q ξ 10 ln(10)ωn ωn + (10φ )2 d f aseH = 2 2 dφ (ωn2 − (10φ )2 ) + (2ξ(10φ )ωn )

(9.25)

(9.26)

(9.27)

The last command line gives us the answer: q ln(10) d 2, 3 q = f aseH ≈ dφ ξ ξ φ=10ωn

(9.28)

9.2. DIAGRAMAS DE BODE

227

[B5] En este caso, tenemos la funci´on F ( ω) = e−τ  ω , τ > 0, y por lo tanto: |F ( ω)|dB = 1 ∠F ( ω) = −ωτ

(9.29) (9.30)

Note que el retardo puro s´olo introduce un a´ngulo de fase lineal en frecuencia; sin embargo, dado que los diagramas de Bode usan una escala de frecuencia logar´ıtmica, la fase no aparece como una recta, sino que como una curva exponencial. Esto u ´ltimo se debe a que la fase puede tambi´en escribirse como: ∠F ( ω) = −ωτ = −τ 10log10 ω

(9.31)

La Figura 9.5 muestra el diagrama de Bode de fase en una escala de frecuencia normalizada, lo cual permite entender por qu´e no existe una aproximaci´on asint´otica sencilla para este caso. 0

Fase [o]

−100 −200 −300 −400 −500 −600 −1 10

0

10

1

ωτ

10

Figura 9.5: Diagrama de Bode de fase para una funci´on tipo [B5] 222 Con las aproximaciones para las clases [B1] a [B4], m´as la representaci´on exacta de la clase [B5], se puede construir una aproximaci´on global para una funci´on arbitraria H( ω) usando (9.5)-(9.6). De esa forma, la aproximaci´on, tanto para la magnitud (en [dB]) como para la fase (en [o ]) de H( ω) se puede calcular sumando las aproximaciones para cada uno de los factores can´onicos. A continuaci´on bosquejamos una forma sistem´atica de construir esas aproximaciones. Esto requiere tener presente las aproximaciones as´ınt´oticas de los factores [B1]-[B4], que resumimos en las Tablas 9.1 y 9.2. Note que las as´ıntotas son rectas que se encuentran en puntos o frecuencias de quiebre. Con estas as´ıntotas se puede desarrollar un proceso constructivo, tanto para magnitud como para fase. La contribuci´on de factores tipo [B1] y [B5] es agregada al final en ambos diagramas. Lo mismo se aplica a la contribuci´on de un factor tipo [B3] en el diagrama de fase. El procedimiento se desarrolla a trav´es de los siguientes pasos:

retardo retardo!diagrama de Bode Bode!aproximaci´ on asint´ otica Bode!frecuencias de quiebre

228

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION Factor (` ∈ Z)

As´ıntota 1 0 [dB]

K ( ω)`

As´ıntota 2

∀ω

20` log10 ω [dB] ∀ω

(1 +  ωT )

`

T ∈R  2 !` ω ω 1 + 2ξ + ωn ωn 0≤ξ<1

0 [dB] ∀ω <

1 |T |

0 [dB] ∀ ω < ωn

20` log10 (ω|T |) [dB] ∀ω > |T1 |   ω 40` log10 [dB] ωn ∀ ω > ωn

Cuadro 9.1: Aproximaciones asint´oticas de magnitud de factores b´asicos

Paso 1 Escriba la funci´on de transferencia, H( ω) como producto de factores [B1]-[B5]. Paso 2 Seleccione el rango de frecuencias en el cual desea construir la aproximaci´on asint´otica. Paso 3 Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus as´ıntotas as´ı como la pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre consecutivos. Tome en inmediata consideraci´on los factores repetidos (tal como se ha hecho en las Tablas 9.1 y 9.2). Paso 4 En el diagrama de magnitud, dibuje la as´ıntota2 del factor ( ω)` . Note que esta as´ıntota pasa por 0 [dB] en ω = 1. Paso 5 Avance en el eje de frecuencias hasta encontrar el primer punto de quiebre y sume la pendiente correspondiente. Paso 6 Proceda hasta el siguiente punto de quiebre y sume la nueva pendiente que aparece a la pendiente acumulada. Repita hasta llegar al final del rango de frecuencias elegido. Paso 7 Desplace verticalmente el diagrama de magnitud en 20 log 10 |K|. Paso 8 Si H( ω) incluye un factor ( ω)` , es decir, un factor tipo [B3], desplace verticalmente el diagrama de fase en 90` [o]. Adem´as, si K < 0, desplace verticalmente el diagrama de fase en ±180 [o ]. Paso 9 Si H( ω) incluye un retardo, sustraiga la fase correspondiente del diagrama de fase. 2 Observe que en este caso, la as´ ıntota coincide con el diagrama exacto, tanto en magnitud como en fase

9.2. DIAGRAMAS DE BODE

229

Factor (` ∈ Z)

As´ıntota 1

K

(1 − signo(K))90 [o ]

As´ıntota 2

As´ıntota 3

45` log10 (10ω|T |) [o ]

90` [o ]

∀ω ( ω)

`

(1 +  ωT )

90` [o ] `

∀ω o

0[ ]

T >0

∀ω <

(1 +  ωT )`

1 |10T |

0 [o ]

T <0   2 !` ω ω 1 + 2ξ + ωn ωn

∀ω <

1 |10T |

10 |T |

∀ω >

−45` log10 (10ω|T |) [o ]

1 |10T |

1 |10T |

0 [o ]

0≤ξ<1

<ω<

<ω<

10 |T |

10 |T |

−90` [o ] ∀ω >

10 |T |

180` [o ]

∀ ω < ωn

∀ ω > ωn

Cuadro 9.2: Aproximaciones asint´oticas de fase de factores b´asicos

Paso 10 Verifique que su resultado satisface las aproximaciones asint´oticas, tanto en magnitud como en fase, para frecuencias muy bajas (→ 0) y para frecuencias muy altas (→ ∞). Corrija, si es necesario. Para ilustrar el procedimiento, desarrollamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 9.2. Considere la respuesta en frecuencia dada por: H( ω) =

8( ω − 2)( ω + 1)  ω( ω + 8)( ω − 4)

(9.32)

Lo primero que debemos hacer es re-escribir H( ω) como el producto de seis factores (F1 ( ω) a F6 ( ω)) can´ onicos del tipo [B1] a [B5]. As´ı se obtiene H( ω) = 0, 5 (1 − 0, 5 ω) (1 +  ω) ( ω)−1 (1 + 0, 125 ω)−1 (1 − 0, 25 ω)−1 |{z} | {z } | {z } | {z } | {z }| {z } F1 :[B1]

F2 :[B2]

F3 :[B2]

F4 :[B3]

F5 :[B2]

F6 :[B2]

(9.33) Diagrama de magnitud: Supondremos luego que el rango de frecuencias de inter´es es [10 −2 ; 102 ]. Los puntos de quiebre as´ı como las pendientes entre dos puntos de quiebre sucesivos se muestran en la Tabla 9.3. Observe que las pendientes se indican como m´ ultiplos de 20 [dB/dec]. En la u ´ltima fila del cuadro se indica el efecto neto de la contribuci´ on de los distintos factores entre dos puntos de quiebre sucesivos. Con los resultados de esa l´ınea se pueden completar los Pasos 4 a 6 del procedimiento bosquejado. Finalmente se incorpora el factor [B1], desplazando verticalmente el diagrama en 20 log 10 (0, 5) ≈ −6 [dB].

230

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

El gr´ afico superior de la Figura 9.6 muestra la aproximaci´ on asint´ otica lograda as´ı como la curva exacta. (−∞; 1]

(1; 2]

(2; 4]

(4; 8]

(8; 100]

F2 F3 F4 F5 F6

-1 0 0 0 0

-1 1 0 0 0

-1 1 1 0 0

-1 1 1 -1 0

-1 1 1 -1 -1

Ac.

-1

0

1

0

-1

Cuadro 9.3: Contribuci´on de pendientes entre puntos de quiebre. Diagrama de magnitud

Diagrama de fase: A similitud del caso de la magnitud construimos un cuadro donde se especifica la contribuci´ on, en pendiente de la fase, de cada factor, entre dos puntos sucesivos. Las pendientes son m´ ultiplos de 45 [o/dec]. El lector es invitado a revisar nuevamente la Tabla 9.2 para tener en mente las caracter´ısticas as´ınt´ oticas de cada factor. La u ´ltima l´ınea de la Tabla 9.4 muestra el efecto acumulado de los factores F3 a F6 . Con esta informaci´ on podemos ejecutar los Pasos 4 a 6 del procedimiento bosquejado. Para el Paso 8 apreciamos que el efecto del factor F1 sobre la fase es nulo, ya que se trata de una ganancia positiva. En cambio, el factor F2 s´ı afecta la fase, desplaz´ andola en −90 [o ]. El diagrama asint´ otico de fase resultante aparece en el gr´ afico inferior de la Figura 9.6 donde tambi´en se indica la curva exacta. (−∞; 0, 1]

(0, 1; 0, 2]

(0, 2; 0, 4]

(0, 4; 0, 8]

(0, 8; 10]

(10; 20]

(20; 40]

(40; 80]

(80; 100]

F3 F4 F5 F6

0 0 0 0

1 0 0 0

1 -1 0 0

1 -1 1 0

1 -1 1 -1

0 -1 1 -1

0 0 1 -1

0 0 0 -1

0 0 0 0

Ac.

0

1

0

1

0

-1

0

-1

0

Cuadro 9.4: Contribuci´on de pendientes entre puntos de quiebre. Diagrama de fase 222 La complejidad de los sistemas, as´ı como la necesidad de precisi´on hacen que el procedimiento descrito tenga un valor limitado. Por ello, es tambi´en impor-

9.2. DIAGRAMAS DE BODE

231

tante dominar el uso de herramientas computacionales modernas. En particular, Matlab dispone del comando bode para calcular y dibujar exactamente estos diagramas. Para la funci´on del Ejemplo 9.2, primero la expandimos como cuociente de polinomios en  ω, es decir: 8( ω)2 − 8 ω − 16 ( ω)3 + 4( ω)2 − 32 ω Entonces, los diagramas de Bode obtienen con el c´odigo Matlab : H( ω) =

(9.34)

Matlab >>H=tf([8 -8 -16],[1 4 -32 0]); >>bode(H);

40 30

Magnitud [dB]

20 10 0 −10 −20 −30 −2 10

−1

10

−1

10

10

0

10

1

10

0

10

2

1

10

−55

Fase [o]

−60 −65 −70 −75 −80 −85 −90 −2 10

10

2

Frecuencia [rad/s]

Figura 9.6: Diagramas de Bode de magnitud y fase para la respuesta en frecuencia del Ejemplo 9.2

9.2.2.

Tiempo discreto

La respuesta en frecuencia de sistemas de tiempo discreto tambi´en puede describirse gr´aficamente usando diagramas de Bode; sin embargo, en este caso,

232 espectro

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

no tienen la misma utilidad por dos razones fundamentales: a) Debido a que la respuesta en frecuencia es peri´odica con per´ıodo 2π, entonces la idea de usar una escala logar´ıtmica de la frecuencia para incrementar el rango de descripci´on, tiene utilidad limitada. b) No se pueden construir aproximaciones simples, ya que aqu´ı no aparecen polinomios en  ω, sino que polinomios en ejθ . Sin embargo, es importante destacar que si consideramos una funci´on H(e jθ ) como la tranformada de Fourier de una se˜ nal arbitraria h[t], no necesariamente la respuesta a impulso de un sistema, el diagrama de bode es importante pues refleja el contenido frecuencial de dicha funci´on. Es decir, los diagramas de Bode permiten representar el espectro de una se˜ nal arbitraria h[t]. Para ilustrar el diagrama de Bode en tiempo discreto, desarrollamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 9.3. Considere la funci´ on: H(ejθ ) =

0, 2 e2jθ − 1, 5ejθ + 0, 7

(9.35)

Para obtener la magnitud y fase de esta funci´ on compleja, primero es necesario aplicar la ecuaci´ on de Euler ejθ = cos(θ)+j sen(θ). Para facilitar el trabajo algebraico, el siguiente c´ odigo Maple permite obtener el modulo y el a ´ngulo de H(ejθ ). Maple > H:=0.2/(exp(2*I*theta)-1.5*exp(I*theta)+0.7); > abs(H); > argument(evalc(H));

|H(ejθ )| = p

0,2

(− cos 2θ + 1, 5 cos θ − 0, 7)2 + (− sen 2θ + 1, 5 sen θ)2   sen 2θ − 1, 5 sen θ jθ ∠H(e ) = arctan cos 2θ − 1, 5 cos θ + 0, 7

(9.36) (9.37)

Se puede apreciar que las expresiones obtenidas no son simples de aproximar, ya sea en baja o alta frecuencia, usando o no escala logaritmica en la frecuencia. Sin embargo, en Matlab , resulta muy simple obtener el gr´ afico de la magnitud y el a ´ngulo de la funci´ on H(ejθ ), usando el comando bode. Note que este es el mismo que se usa para tiempo continuo, por tanto se debe tener el cuidado de definir la funci´ on de transferencia en tiempo discreto. Con los siguientes comandos, Matlab entrega los gr´ aficos de la Figura 9.7, donde se aprecia una l´ımite de la banda de frecuencia en θ = π, producto de la periodicidad inherente al an´ alisis en frecuencia en tiempo discreto:

9.3. DIAGRAMAS POLARES

233 diagrama polar polar!diagrama

Matlab >> H=tf([0.2],[1 -1.5 0.7],-1); >> bode(H);

Bode Diagram 5 0

Magnitude (dB)

−5 −10 −15 −20 −25 0

Phase (deg)

−90

−180

−270

−360

−1

0

10

10 Frequency (rad/sec)

Figura 9.7: Diagrama de Bode en tiempo discreto (Ejemplo 9.3). 222

9.3.

Diagramas polares

Aunque los diagramas de Bode son una poderosa herramienta para el an´alisis y dise˜ no, se requieren los dos diagramas para interpretar correctamente ciertas caracter´ısticas del sistema. Una alternativa es utilizar un diagrama polar, en el que la respuesta en frecuencia se representa en un s´olo gr´afico, donde el eje de abscisas corresponde a la parte real de H( ω) y el eje de ordenadas, a la parte imaginaria de H( ω). En esta descripci´on, la frecuencia est´a impl´ıcita (´esta es la limitaci´on principal del diagrama polar).

9.3.1.

Tiempo continuo

Para introducir el tema consideraremos un ejemplo.

234 cuadrante

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

Ejemplo 9.4. La respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo continuo est´ a caracterizada por: H( ω) =

1 ( ω + 3)(( ω)2 + 0, 4 ω + 1)

(9.38)

Si se eval´ ua H( ω) en un rango de frecuencias 0 < ω < ∞ y dibujamos el resultado en en plano cartesiano se obtiene el resultado que aparece en el diagrama polar de la Figura 9.8. Esta figura se obtiene con el siguiente c´ odigo Matlab :

Matlab >>H=tf(1,conv([1 3],[1 0.4 1])); >>w=logspace(-2,1,1000);h=freqresp(H,w); >>plot(real(h(1,:)), imag(h(1,:)))

El mismo grafico se obtiene al reemplazar el u ´ltimo comando por plot(h(1,:)). En la Figura 9.8 se han indicado adicionalmente algunos puntos que corresponden a distintas frecuencias donde ω1 < ω2 < ω3 < ω4 . Aunque parezca curioso hablar de gr´ aficos polares, y describirlos en t´ermino un gr´ afico cartesiano, es s´ olo una cuesti´ on de lenguaje. De hecho, el mismo diagrama polar se puede dibujar en otras coordenadas. En realidad, eso es lo que hace el comando polar de Matlab . As´ı, si usamos el c´ odigo:

Matlab >>H=tf(1,conv([1 3],[1 0.4 1])); >>w=logspace(-2,1,1000);h=freqresp(H,w); >>polar(angle(h(1,:)), abs(h(1,:)));

se obtiene el gr´ afico de la Figura 9.9. 222 Del ejemplo precedente se puede entender que, dependiendo de la aplicaci´on, por facilidad de lectura se prefiera uno u otro sistema de coordenadas. Para hacer un bosquejo de un diagrama polar se debe examinar magnitud y fase de la respuesta en frecuencia. El an´alisis de la magnitud est´a orientado a determinar como var´ıa a medida que la frecuencia va desde 0 hasta ∞. El an´alisis de la fase permite saber cuales cuadrantes recorre el gr´afico, ya que ello s´ olo es funci´ on de la fase para ω ∈ [0, ∞). Siempre es conveniente saber el comportamiento de la magnitud y la fase en alta y baja frecuencia, es decir: 0 e ∞. Una forma alternativa es saber como evolucionan la parte real y la parte

9.3. DIAGRAMAS POLARES

235

0.1

ω4

0

ω=0

ω=∞

−0.1 −0.2

Parte imaginaria

ω1 −0.3 −0.4 −0.5

ω2

−0.6 −0.7

ω

3

−0.8 −0.9 −0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Parte real

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura 9.8: Diagrama polar. Coordenadas cartesianas (Ejemplo 9.4).

imaginaria de la respuesta en frecuencia. Ellas tambi´en permiten determinar en qu´e cuadrante del plano complejo se encuentra el diagrama polar. Para facilitar el an´alisis, examinaremos primero algunos casos simples. Estas funciones no tienen la misma trascendencia que en el caso de Bode. La diferencia radica en que el diagrama polar de una funci´on complicada no puede obtenerse por composici´on simple de diagramas polares de funciones elementales, como s´ı se puede hacer al construir diagramas de Bode. El objetivo del estudio de estos casos es inducir una metodolog´ıa para la construcci´on de diagramas polares. [P1]

K

[P2]

1 Tω + 1

[P3]

( ω)q , q ∈ {−1; 1}

[P4]

"

ω ωn

2

ω +1 + 2ξ ωn

#−1

0 ≤ ξ < 1, ωn > 0.

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

236

90

1

120

60 0.8 0.6

150

30 0.4 0.2

ω4

180

ω=0

0

ω1

ω2

210

330

ω3 240

300 270

Figura 9.9: Diagrama polar. Coordenadas polar (Ejemplo 9.4).

[P5]

e− ωτ , τ > 0

[P6]

1 ,T >0  ω(T  ω + 1)

[P7]

e− ωτ Tω + 1

[P8]

1 ( ω)2

− ωo2

Examinaremos, a continuaci´on, los rasgos principales del diagrama polar para cada uno de los tipos b´asicos. [P1] En este caso el diagrama polar es un u ´ nico punto, ∀ω ∈ R. Este punto corresponde a (K, 0).

9.3. DIAGRAMAS POLARES

237

[P2] Podemos determinar la descomposici´on cartesiana (partes real e imaginaria) y la descomposici´on polar (magnitud y fase). As´ı: 1 ωT −j 2 2 ω2 T 2 + 1 ω T +1 1 |F ( ω)| = √ 2 ω T2 + 1 ( − arctan(ω|T |) T > 0 ∠F ( ω) = arctan(ω|T |) T <0

(9.39)

F ( ω) =

(9.40) (9.41)

Entonces, examinando la caracter´ıstica de fase, se observa que el diagrama polar recorre el cuarto cuadrante para T > 0 y el primer cuadrante si T < 0. Por otro lado la magnitud es monot´onicamente decreciente, desde 1 (para ω = 0) hasta cero (para ω = ∞); sin embargo, en este caso particular se puede decir algo m´as, porque es f´acil demostrar, usando (9.39) que las partes real e imaginaria de F ( ω) cumplen con (<{F ( ω)} − 0, 5)2 + (={F ( ω)} = 0, 25

(9.42)

lo cual indica que el diagrama polar es una semi-circunferencia centrada en (0, 5; 0) con radio 0, 5. Esta semi-circunferencia est´a en el cuarto cuadrante para T > 0 y en el primero para T < 0. Note adem´as que el valor absoluto de T no afecta el diagrama, pues solamente equivale a re-escalar la frecuencia, la cual se encuentra impl´ıcita como par´ametro que hace recorrer la curva. Adem´as, de (9.41) vemos que la fase tiende a −0, 5πsigno(T ). Es decir, cuando ω tiende a infinito, el diagrama polar tiende al origen, apeg´andose al eje imaginario por abajo (T > 0) o al al eje imaginario por arriba (T < 0). Los diagramas polares correspondientes a T > 0 y a T < 0 se muestran en la Figura (9.10). T>0

ω=∞

ω=0

0 −0.2 −0.4

ω3

−0.6 0

ω2 0.5 Parte real

ω1

0.6 Parte imaginaria

Parte imaginaria

0.2

ω3

ω2

0.4

ω1

0.2 0

ω=∞

ω=0

−0.2 1

T<0

0

0.5 Parte real

1

Figura 9.10: Diagramas polares para el caso [P1].

[P3] En este caso, F ( ω) = ( ω)q . Esta funci´on tiene parte real cero para q ∈ {−1; 1}.

238

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

As´ı es que el diagrama polar coincide con el eje imaginario (semi-eje superior para q = 1 y semi-eje inferior para q = −1). La fase es 0, 5qπ ∀ω ∈ R+ . Para valores de ω tendiendo a cero, la magnitud tiende a infinito. Para ω tendiendo a infinito, la magnitud tiende a cero. [P4] En este caso conviene descomponer la funci´on F ( ω) en sus partes real e imaginaria en la forma F ( ω) =

ωn2 = ( ω)2 + 2ξωn  ω + ωn2 2ξ ωn3 ω (ω 2 − ωn2 )ωn2 − j (ω 2 − ωn2 )2 + 4ξ 2 ωn2 ω 2 (ω 2 − ωn2 )2 + 4ξ 2 ωn2 ω 2

(9.43)

2

ω=0

ω=∞

0

0,25

Parte Imaginaria

−2

0,15

−4

0,1 −6

−8

ξ=0,05 −10

−12

−6

−4

−2

0

Parte Real

2

4

6

Figura 9.11: Diagrama polar de una funci´on tipo [P4] para distintos valores de ξ La parte imaginaria de F ( ω) es negativa ∀ ω ∈ R. Por lo tanto el diagrama polar s´olo puede estar en el tercer y cuarto cuadrante. En cambio, la parte real puede ser positiva o negativa, el punto de quiebre ocurre cuando ω = ωn . Para ω < ωn la parte real es negativa, lo cual indica que el diagrama polar est´a en el cuarto cuadrante; para ω > ωn la parte real es negativa, lo cual indica que el diagrama polar est´a en el tercer cuadrante. Adem´as podemos examinar la evoluci´on de la fase a medida que ω progresa desde 0 hasta ∞. En eso podemos apoyarnos en el diagrama de Bode para la fase

9.3. DIAGRAMAS POLARES

239

de la respuesta en frecuencia para el sistema elemental [B4] (ver Figura 9.4 en la p´agina 226). Observamos que la fase decae monot´onicamente a medida que ω crece. Un aspecto de inter´es es que, cuando ω → ∞, el diagrama polar se acerca al origen asint´oticamente siguiendo el eje real negativo. La Figura 9.11 muestra los diagramas polares de F ( ω) tipo [P4], para distintos valores de ξ. Note que el valor de ωn no altera los diagramas, porque este par´ametro s´olo produce escalamiento de la frecuencia (ojo, esta afirmaci´on es s´olo v´alida si ωn > 0; el lector es invitado a investigar el caso ωn < 0). [P5] La respuesta en frecuencia del retardo puro, e− ωτ , tiene magnitud unitaria, ∀ω ∈ R, y con fase igual a −ωτ , en consecuencia el diagrama polar es una circunferencia unitaria con centro en el origen. [P6] La funci´on F ( ω), en este caso, puede descomponerse en sus partes real e imaginaria, en la forma: F ( ω) =

1 −T  ω + 1 −T 1 = = −j (9.44)  ω(T  ω + 1)  ω(1 + ω 2 T 2 ) (1 + ω 2 T 2 ) ω(1 + ω 2 T 2 )

La descomposici´on en magnitud y fase est´a dada por: 1 √ ω ω2 T 2 + 1 ∠F ( ω) = −0, 5π − arctan(ωT ) |F ( ω)| =

(9.45) (9.46)

De la ecuaci´on (9.44) se observa que la parte real es siempre negativa, y que la parte imaginaria tambi´en es siempre negativa. Por lo tanto, el diagrama polar de F ( ω) est´a confinado al cuarto cuadrante. De la ecuaci´on (9.45) se ve que la magnitud decrece mont´onicamente a medida que la frecuencia aumenta. Esto es consistente con la ecuaci´on (9.44), ya que de all´ı sabemos que tanto la parte real como la parte imaginaria decaen monot´onicamente a cero. De la ecuaci´on (9.46) se ve tambi´en que para ω = 0 la fase es −0, 5π; sin embargo, esto no implica que a esa frecuencia la parte real sea cero. De hecho, de la ecuaci´on (9.44) se ve que la parte real, para ω = 0, es igual a −T . Para ω = ∞ la fase tiende a −π; esto implica que el diagrama polar tiende al origen acerc´andose asint´oticamente al eje real negativo. En la Figura 9.12 se muestra el diagrama polar de una funci´on tipo [P6] con T = 1. Se observa que la parte real viene desde (−1; −∞) cuando ω = 0. [P7] La funci´on en este caso es el producto de una funci´on tipo [P5] y una funci´on tipo [P6]. Por lo tanto la magnitud resultante es el producto de las magnitudes de los factores y la fase es la suma de la fase de los factores, es decir: |F ( ω)| =

1 √ ; ω ω2 T 2 + 1

∠F ( ω) = −ωτ − 0, 5π − arctan(ωT )

(9.47)

retardo!diagrama polar c´ ırculo unitario

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

240 espiral

ω=∞

0

−2

−4

−6

−8

ω→ 0

−10

−12 −1.5

−1

−0.5

0

0.5

Figura 9.12: Diagrama polar de una funci´on tipo [P6] con T = 1

La magnitud es la misma de una funci´on tipo [P6], lo cual implica que decae mon´otonamente a medida que la frecuencia crece. Por su parte, la fase exhibe un crecimiento mon´otono, en la direcci´on negativa; esta caracter´ıstica se debe al t´ermino −ωτ . Dado que la magnitud decae mon´otonamente, el crecimiento de la fase genera una espiral hacia el origen. 0.02

0

0.01

Parte imaginaria

Parte imaginaria

1

−1 −2

ω→ 0

−0.02

−3 −4 −3

0

−0.01

−0.03 ω→ 0 −2

−1 Parte real a)

0

1

−0.04 −0.04

−0.02

0 Parte real

0.02

0.04

b)

Figura 9.13: a) Diagrama polar de una funci´on tipo [P7] (T = 1 y τ = 2), y b) detalle. En la Figura 9.13.a) se muestra el diagrama polar de una funci´on del tipo [P7], con T = 1 y τ = 2. En la Figura 9.13.b) se observa un detalle (alrededor del origen) del mismo diagrama. [P8] En este caso, F ( ω) = 1/(( ω)2 − ωo2 ). Para esta funci´on el diagrama polar

9.3. DIAGRAMAS POLARES

241

empieza en (−1/ωo2 ; 0) para ω = 0 y tiende r´apidamente hacia −∞ a lo largo del eje real negativo para ω → ωo− . En ω = ωo hay una discontinuidad, ya que para esa frecuencia, el diagrama polar salta desde (−∞; 0) a (∞; 0), luego, a medida que ω se hace mayor que ωo , el diagrama polar tiende al origen para ω → ∞. 222 Como ya hemos dicho, el diagrama polar de funciones complejas no se puede obtener en forma simple usando los diagramas polares para los funciones tipo [P1] a [P8]. Sin embargo, las ideas usadas para dibujar el diagrama polar de cada una de esas funciones ayuda a construir los diagramas polares de funciones m´as complicadas. Incluso, algunos de los rasgos peculiares de las funciones tipo [P1] a [P8] se propagan a las funciones compuestas, tal como se aprecia en el siguiente ejemplo. Ejemplo 9.5. Suponga que la respuesta en frecuencia de un sistema est´ a dada por una funci´ on H( ω) compuesta por un factor tipo [P2] y un factor tipo [P8]. La funci´ on H( ω) est´ a dada por: H( ω) =

1 (0, 5 ω + 1)(( ω)2 + 1)

(9.48)

Se requiere dibujar el diagrama polar. Para ello primero descomponemos la funci´ on dada en sus partes real e imaginaria, es decir: H( ω) =

(0, 25ω 2

1 ω −j 2 2 + 1)(−ω + 1) (0, 25ω + 1)(−ω 2 + 1)

(9.49)

y en magnitud y fase: |H( ω)| = p

1 0, 25 ω 2

(9.50)

+ 1 |ω 2 − 1|

( − arctan(0, 5ω) ∠H( ω) = −π − arctan(0, 5ω)

∀ω < 1 ∀ω > 1

(9.51)

As´ı, de las ecuaciones precedentes, podemos observar que: la parte real, la parte imaginaria y la fase tienen una discontinuidad en ω = 1 (esto es heredado del factor tipo [P8] en la funci´ on H( ω)); cuando ω < 1 la parte real es positiva y la parte imaginaria es negativa, es decir, el diagrama polar est´ a en el cuarto cuadrante; cuando ω > 1 la parte real es negativa y la parte imaginaria es positiva, es decir, el diagrama polar est´ a en el segundo cuadrante; cuando ω → 1− la fase tiende a − arctan(0, 5) y cuando ω → 1+ la fase tiende a −π − arctan(0, 5ω);

discontinuidad

242

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION dado que la discontinuidad de la fase es −π [rad], el diagrama polar salta desde el cuarto cuadrante al segundo cuadrante cuando ω pasa por 1 [rad/s]; y cuando ω → ∞ la magnitud tiende a 0 y la fase tiende a −1, 5π [rad/s], es decir, el diagrama polar tiende al origen acerc´ andose asint´ oticamente al eje imaginario superior.

El diagrama polar para este ejemplo aparece en la Figura 9.14. Note que se ha dibujado con l´ınea delgada la as´ıntota del diagrama polar para ω → 1− y para ω → 1+ . 1.5

+

Parte imaginaria

1

ω→ 1

0.5

0

ω=0

ω=∞

−0.5

−1

−1.5 −2

ω→ 1− −1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Parte real

Figura 9.14: Diagrama polar de H( ω) para el Ejemplo 9.5.

222 Otro tipo de situaciones de inter´es son aquellas respuestas en frecuencia donde el numerador es tambi´en un polinomio en  ω. Note que en el caso de las funciones tipo [P1] a [P8], esta situaci´on no ha sido incluida, ya que s´olo hemos considerado funciones con numerador constante. Para observar los fen´omenos que puede provocar este numerador m´as complejo consideraremos un u ´ltimo ejemplo. Ejemplo 9.6. Un sistema tiene la respuesta en frecuencia dada por: H( ω) = 0, 001

( ω + 5)2 (− ω + 0, 1) ( ω + 0, 5)( ω + 0, 2)( ω + 0, 1)2

(9.52)

Para una funci´ on tan compleja como ´esta, podemos deducir algunas rasgos del diagrama polar: El diagrama parte, para ω = 0, en (2, 5; 0);

9.3. DIAGRAMAS POLARES

243

Para ω → ∞ es cero, y la fase es −270[o ]; En general, la magnitud y la fase cumplen con: |H( ω)| =0, 001

s

(ω 2

(ω 2 + 25)2 (ω 2 + 0, 01) + 0, 25)(ω 2 + 0, 04)(ω 2 + 0, 01)2 )

(9.53)

∠H( ω) =2 arctan(0, 2ω) − 3 arctan(10ω) − arctan(2ω) − arctan(5ω) (9.54) Parece dif´ıcil, a partir de las expresiones precedentes para magnitud y fase, obtener algunos criterios para dibujar el diagrama polar. Recurriremos a Matlab usando el siguiente c´ odigo:

Matlab >>H=-0.001*tf(poly([-5 -5 0.1]),poly([-0.5 -0.2 -0.1 -0.1])); >>w=logspace(-1,2,4000); >>h=freqresp(H,w);subplot(221);plot(h(1,:));

El primer comando es equivalente a H=zpk([-5 -5 0.1],[-0.5 -0.2 -0.1 -0.1],-0.001). El resultado se muestra en la Figura 9.15.a). 2

0.8

0

Parte imaginaria

Parte imaginaria

−4

1

0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −2

x 10

−2 −4 −6 −8 −10

−1.5

−1

−0.5

Parte real

a)

0

0.5

−12

0

1

2

Parte real

b)

3

4 −3

x 10

Figura 9.15: a) Diagrama polar de H( ω) para el Ejemplo 9.6, y b) detalle. Aparentemente el diagrama no refleja la condici´ on de la fase asint´ otica (−270[o ]), ya que ´esta parece ser −360[o ]. Esta aparente contradicci´ on es resuelta con un detalle del diagrama en torno al origen. Este detalle se muestra en la Figura 9.15.b) y se obtiene con

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

244 diagrama polar!tiempo discreto circulo unitario

Matlab >> w2=logspace(0.3,3,4000);h2=freqresp(H,w2); >> subplot(222);plot(h2(1,:)); 222

9.3.2.

Tiempo discreto

Naturalmente que el mismo tipo de descripci´on mediante diagramas polares es aplicable a la respuesta en frecuencia de sistemas de tiempo discreto. Sin embargo, en este caso es a´ un m´as dif´ıcil construir, a mano, una aproximaci´on para el diagrama polar. La raz´on esencial es que la respuesta en frecuencia H(ejθ ) es un cuociente de polinomios en ejθ (en vez de ser un cuociente de polinomios en  ω, como en el caso de sistemas de tiempo continuo). Ese rasgo hace que las expresiones tanto para la magnitud como para las partes real e imaginaria de H(ejθ ) sean expresiones muy complicadas de θ. Una herramienta interesante, para dibujar diagramas polares de sistemas simples se deduce de la Figura 9.16.

ejθ θ=π

η

θ=0

po

Figura 9.16: Interpretaci´on gr´afica de la respuesta en frecuencia (ejθ − po )−1 En la Figura 9.16 la circunferencia de radio unitario describe la ubicaci´on del n´ umero complejo ejθ , por lo tanto, el vector que se ha dibujado es ejθ −po . As´ı, si consideramos un sistema cuya respuesta en frecuencia es F (ejθ ) = (ejθ − po )−1 , vemos que su magnitud es el rec´ıproco del largo del vector dibujado, y la fase corresponde al negativo del a´ngulo θ en la figura. A medida que ω crece desde 0 hasta π, la punta del vector se desplaza desde (1, 0) hasta (−1, 0). Esto implica que la magnitud del vector crece mon´otonamente (para po ∈ R+ ) desde 1 − po hasta 1+po . As´ı, la magnitud de F (ejθ ) decrece mon´otonamente desde (1−po )−1 hasta (1 + po )−1 , y su fase va mon´otonamente tambi´en, desde 0 hasta −π [rad]. El diagrama polar est´a por lo tanto en el cuarto y tercer cuadrantes.

9.3. DIAGRAMAS POLARES

245

La idea precedente puede ser usada en la determinaci´on de los rasgos principales de diagramas polares de funciones simples, como se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 9.7. Un sistema de tiempo discreto tiene la respuesta en frecuencia dada por: ejθ − zo = 1 − zo e−jθ ; 0 < zo < 1 (9.55) ejθ Las caracter´ısticas del diagrama polar pueden ser construidas a partir de la Figura 9.17. F (ejω ) =

ejθ γ θ=π

θ

β

θ=0

zo

Figura 9.17: Interpretaci´on gr´afica de la respuesta en frecuencia de 1 − zo e−jt . Primero observamos que: |F (ejθ )| =

|ejθ − zo | = |ejθ − zo | |ejθ |

∠F (ejθ ) = ∠(ejθ − zo ) − ∠ejθ = β − θ

(9.56) (9.57)

Usando relaciones b´ asicas de geometr´ıa, sabemos tambi´en que β − θ = γ. As´ı, la fase de F (ejθ ) es igual a γ, por su parte, la magnitud de F (ejθ ) es igual al largo del vector ejθ − zo . Con los antecedentes anteriores vemos que la magnitud de F (ejθ ) va mon´ otonamente desde 1 − zo , para θ = 0, hasta 1 + zo , para θ = π. Por su parte, la fase empieza en 0 [rad] para θ = 0, luego crece hasta alcanzar un m´ aximo (siempre menor que π/2), luego decae hasta llegar a cero nuevamente cuando θ = π. El diagrama polar est´ a por lo tanto en el primer cuadrante. 222 Para funciones m´as complejas es dif´ıcil estimar la forma en que evolucionan la magnitud y la fase. En esos casos es preferible recurrir a software como Matlab

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

246

, que en el caso de Ejemplo 9.7 los siguientes comandos dan como resultado el gr´afico de la Figura 9.18.

Matlab >> >> >> >>

F=tf([1 -0.7],[1 0],-1); w=[0:0.01:pi]; h=freqresp(F,w); plot(h(1,:))

0.8 0.7 0.6 Parte imaginaria

bloques diagramas de bloques sistema!interconexi´ on interconexi´ on

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

1+zo

1−zo

−0.1 −0.2 −0.2

θ=π

θ=0

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8 1 Parte real

1.2

1.4

1.6

1.8

Figura 9.18: Diagrama polar para el Ejemplo 9.7.

9.4.

Diagramas de bloques

Una forma de representar la interconexi´on de sistemas es un diagrama en bloques, donde cada uno de los bloques representa a uno de los sistemas participantes. A cada bloque se asocia una caracterizaci´on del sistema asociado, tal como la respuesta a impulso con condiciones iniciales iguales a cero, o su respuesta en frecuencia, o la funci´on de transferencia, entre otras. Un requisito clave en esta forma de representaci´on es que cada uno de los sistemas participantes mantenga su caracterizaci´on original (la funci´on de transferencia, por ejemplo) cuando se realiza la interconexi´on. Para entender esto, considere las dos redes de la Figura 9.19. Los sistemas pueden ser caracterizados por sus respectivas funciones de transferencia H1 ( ω) y H2 ( ω) respectiva-

9.4. DIAGRAMAS DE BLOQUES

247 amplificador

mente, donde: V2 ( ω) R2 = V1 ( ω)  ωC3 R1 R2 + R1 + R2 V4 ( ω)  ωC4 R5 = H2 ( ω) = V3 ( ω)  ωC4 R5 + 1

H1 ( ω) =

R1

v1 (t)

C3

(9.58) (9.59)

C4 R2

v2 (t) v3 (t)

R5

v4 (t)

Figura 9.19: Sistemas a interconectar. Caracterizaci´on independiente Al conectar directamente ambas redes (V2 ( ω) = V3 ( ω)), la relaci´on entre las variables es ahora: R2 (R5 C4  ω + 1) V2 ( ω) = V1 ( ω) R1 R2 R5 C3 C4  ω 2 + (R1 R2 C4 + R1 R5 C3 + R2 R5 C4 ) ω + R1 + R2 (9.60) V4 ( ω) R5 C4  ω V4 ( ω) = = V2 ( ω) V3 ( ω) R 5 C4  ω + 1

(9.61)

Se aprecia que la funci´on de transferencia entre V1 ( ω) y V2 ( ω) ya no satisface (9.60) y esto hace que la funci´on de transferencia entre V1 ( ω)y V4 ( ω) sea distinta al producto H1 ( ω)H2 ( ω), donde H1 ( ω) y H2 ( ω) est´an dadas en (9.58)–(9.59). Supongamos ahora que las redes de la Figura 9.19 son interconectadas a trav´es de un amplificador de ganancia unitaria, tal como se muestra en la Figura 9.20. R1

v1 (t)

C3

C4

− + R2

v2 (t)

v3 (t)

Figura 9.20: Sistemas interconectados

R5

v4 (t)

248

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

Ahora podemos ver que las transferencias entre V1 ( ω) y V2 ( ω) y entre V3 ( ω) y V4 ( ω) son las mismas que en (9.58)–(9.59). Por lo tanto la funci´on de transferencia entre V1 ( ω)y V4 ( ω) es ahora igual al producto H1 ( ω)H2 ( ω). 222

La discusi´on precedente se˜ nala la condici´on impl´ıcita en los diagramas de bloques: la funci´on de transferencia de cada bloque sigue rigiendo la relaci´on entre entrada y salida, aunque el bloque sea interconectado con otros. La ventaja principal de estos diagramas es que permiten analizar un sistema por partes, estudiando el rol que cada subsistema juega en el total. Esto es clave en el an´alisis y s´ıntesis de filtros, controladores y otros sistemas procesadores de se˜ nales. En la Tabla 9.5 se muestran algunos ejemplos de diagramas de bloques con sus transferencias equivalentes. Finalmente es necesario se˜ nalar que la representaci´on en diagramas de bloques se aplica sin distinci´on tanto a sistemas de tiempo continuo como a sistemas de tiempo discreto, y tambi´en a sistemas h´ıbridos, que combinan elementos en ambos dominios, como se muestra en el Cap´ıtulo 11.

9.4. DIAGRAMAS DE BLOQUES

249

Interconexi´ on

H1 ( ω)

Transferencia equivalente

H2 ( ω)

H1 ( ω)

H1 ( ω)H2 ( ω)

+

H1 ( ω) + H2 ( ω) +

H2 ( ω)

+

H1 ( ω)

H2 ( ω)

H1 ( ω)H2 ( ω) 1 ∓ H1 ( ω)H2 ( ω)

±

+

H1 ( ω) ±

H1 ( ω) 1 ∓ H1 ( ω)H2 ( ω)

H2 ( ω)

H3 ( ω) + +

+

H1 ( ω) −

H1 ( ω) −

+

+

H2 ( ω) −

H2 ( ω)

H3 ( ω)

(H1 ( ω) + H3 ( ω))H2 ( ω) 1 + H1 ( ω)H2 ( ω)

H1 ( ω)H2 ( ω)H3 ( ω) 1 + H2 ( ω) + H1 ( ω)H2 ( ω)H3 ( ω)

Cuadro 9.5: Diagramas de bloques y transferencias equivalentes

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

250

9.5.

Problemas para el lector

Problema 9.1. Dibuje los diagramas de Bode, es decir, magnitud y fase, de cada una de las funciones de transferencia que se presentan a continuaci´ on. Haga primero las aproximaciones asint´ oticas y luego use Matlab para verificar: a) b)

15 + 8s + 15 s H2 (s) = 2 s − 2s − 3

H1 (s) =

s2

c)

H3 (s) =

1 s(0,2s + 1)

d)

H4 (s) =

6(s − 3) (s + 5)(s + 9)2

e)

H5 (s) = −H4 (s)

f)

H6 (s) =

g)

H7 (s) =

h)

H8 (s) =

e−2s 4s + 1 s2

1 + 0,01s + 1

s−2 s2 +3s+2

Problema 9.2. Construya los diagramas de Bode de la siguiente funci´ on de transferencia para α = 0,1; 0,2; 0,5; 1; 5: H(s) =

αs + 1 (s + 1)(0,2s + 1)

Problema 9.3. Dados los diagramas de Bode de la Figura 9.21, proponga una funci´ on de transferencia H(s) que pueda ser representada aproximadamente por ellos. Problema 9.4. Con los diagramas de Bode de G(s) que aparecen en la Figura 9.22, determine en forma aproximada los diagramas de Bode para e−2s G(s), G(s) −s+1 s+1 G(s) y s . Problema 9.5. Dados los diagramas de Bode de G(s) de la Figura 9.23, determine los diagramas de Bode para G(−s).

9.5. PROBLEMAS PARA EL LECTOR

251

20 0 −20 −40 −60 −80 100

Fase (grados)

50 0 −50 −100 −150 −200 −2 10

−1

0

10

10

1

2

10

10

3

10

Frecuencia (rad/seg.)

Figura 9.21: Diagramas de Bode de H(s)

0 −10 −20 −30 −40 −50 0

Fase (grados)

−50

−100

−150

−200 −2 10

−1

0

10

10

Frecuencia (rad/seg.)

Figura 9.22: Diagramas de Bode de G(s)

1

10

´ DE SISTEMAS LINEALES CAP´ITULO 9. REPRESENTACION

0 −5 −10 −15 −20 −25 0 −20 Fase (grados)

252

−40 −60 −80 −100 −1 10

0

1

10

10

Frecuencia (rad/seg.)

Figura 9.23: Diagramas de Bode de G(s)

2

10

variables!de estado|textbf estado|textbf espacio!de estado modelo!en espacio de estado

Cap´ıtulo 10

Representaci´ on en variables de estado. 10.1.

Conceptos fundamentales sobre modelos de sistemas.

Uno de los aspectos esenciales que interesa en ciencias aplicadas e ingenier´ıa es la representaci´on de sistemas mediante un modelo, que lo describa con suficiente detalle y permita analizar sus propiedades fundamentales. En la teor´ıa de sistemas estos modelos juegan un rol fundamental, pues son imprescindibles para el an´alisis, la s´ıntesis y el dise˜ no. En particular, el principal objeto de contar con una representaci´on de un sistema es el poder predecir y analizar el comportamiento del sistema en el tiempo. Naturalmente existen diferentes formas de describir un sistema dado, dando lugar a diferentes modelos, seg´ un sea el aspecto del sistema que interesa describir con mayor ´enfasis. Por ejemplo, si consideramos un motor el´ectrico, podr´ıamos estar interesados en el como un sistema de conversi´on electro-mec´anica, un sistema t´ermico, un sistema mec´anico sujeto a vibraciones, o bien, estudiar el comportamiento de los materiales que lo conforman. En segundo lugar, no existe un u ´nico modelo para un sistema, ya que al modelar siempre existe alguna simplificaci´on impl´ıcita de la realidad, la cual, en la mayor parte de los casos, resulta demasiado compleja para describir todos sus aspectos. De esta forma, una decisi´on fundamental a la hora de modelar un sistema es definir el objetivo del modelo, es decir, cu´ales son los aspectos esenciales que queremos capturar. La teor´ıa y herramientas existentes para modelar de sistemas son muy diversas, y en ellas se combinan leyes de la f´ısica, la qu´ımica, la termodin´amica, adem´as de teor´ıa de se˜ nales, procesamiento de datos, matem´aticas y herramientas num´ericas. De hecho, un modelo generalmente no se obtiene de una sola 253

254 sistema!din´ amico sistema!h´ ıbrido muestreo estado!del sistema estado!variables de variables!de estado estado!vector de vector!de estado estado!espacio de estado!trayectoria

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

vez, sino que se construye en un proceso iterativo, que considera la calidad de los resultados obtenidos con ´el en las diferentes etapas, por ejemplo, para hacer control sobre un sistema o predecir su comportamiento. En este cap´ıtulo, nos interesa introducir una clase especial de modelos, u ´til para describir sistemas din´ amicos. Como ya hemos visto, estos sistemas se caracterizan por la interacci´on de sus variables en el tiempo, y se describen, en tiempo continuo, a trav´es de ecuaciones diferenciales (EDS en Cap. 3), y en tiempo discreto, a trav´es de ecuaciones recursivas (ERS en Cap. 4). Adem´ as de estos dos tipos de sistemas din´ amicos, en el dominio del tiempo continuo y en el del tiempo discreto, se introducen sistemas h´ıbridos en los que se establece una relaci´ on entre tiempo continuo y discreto a trav´es del muestreo. En este cap´ıtulo hemos enfatizado los conceptos, propiedades fundamentales, interpretaciones f´ısicas y ejemplos, sin embargo, para un estudio en mayor profundidad de los t´opicos aqu´ı presentados el lector puede consultar, por ejemplo, las referencias [5], [8], [15], [18], [19], [20], [21].

10.2.

Conceptos fundamentales

10.2.1.

Introducci´ on

Uno de los tipos de modelos utilizados con frecuencia para describir un sistema es aqu´el en un conjunto de ecuaciones que relaciona sus variables internas. Estas variables se denominan variables de estado. En cada instante el conjunto de ellas, que toman un valor determinado, se denomina estado del sistema. Sin embargo, a menudo usaremos las expresiones variables de estado y estado del sistema como sin´onimos. La definici´on dada es m´as bien intuitiva y podr´ıa coincidir en realidad con cualquier grupo de variables de un sistema dado. Por esto, seremos mas precisos: Un conjunto de variables de estado de un sistema dado es aquel que permite expresar cualquier variable del sistema como funci´ on del estado presente y de los valores presentes y futuros de las entradas del sistema. En esta definici´on hemos enfatizado en significado f´ısico de las variables de estado. Sin embargo, existen tambi´en definiciones m´as abstractas. El conjunto de variables de estado usualmente se agrupan en un vector de estado, el cual pertenece al llamado espacio de estado. Es importante notar es que la evoluci´on del estado en el tiempo, es decir, su trayectoria, puede ser obtenida a partir del estado presente y el valor futuro de las entradas del sistema. De esta forma, los modelos de este tipo son siempre ecuaciones diferenciales de primer orden, en el caso de sistemas continuos, o ecuaciones recursivas de un paso, para sistemas discretos Adem´as, al conocer el estado del sistema en un instante dado t, podemos entonces calcular la energ´ıa que en ese instante el sistema posee. En el caso de sistemas f´ısicos, ´esta siempre depende de las variables del sistema, tales como velocidad, posici´on, presi´on, voltaje y corriente, entre otras. Todas estas variables,

10.2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

255

por la definici´on dada, se pueden obtener a partir del estado del sistema. Esto sugiere adem´as que podemos pensar el estado de un sistema de forma m´as general, ya que las variables de estado pueden ser cualquier funci´ on de variables del sistema. Esta observaci´on resulta muy importante pues establece que el estado del sistema no necesariamente esta formado por variables reales del sistema, permitiendo de esta forma un an´alisis m´as general. Es m´as, esta misma observaci´on hace evidente que la elecci´on de las variables de estado no es u ´nica.

10.2.2.

Modelos b´ asicos en variables de estado

Si denotamos por x al vector de estado que corresponde a una elecci´on en particular de variables de estado para un sistema dado, entonces la forma general del modelo en variables de estado es: Para sistemas de tiempo continuo dx = F(x(t), u(t), t) dt y(t) = G(x(t), u(t), t)

(10.1) (10.2)

donde u(t) es el vector de entrada y y(t) es el vector de salida del sistema. En el caso de sistemas de una entrada y una salida, naturalmente estos vectores se reducen a funciones escalares. Para sistemas de tiempo discreto x[t + 1] = Fd (x[t], u[t], t) y[t] = Gd (x[t], u[t], t)

(10.3) (10.4)

Donde, an´alogamente al caso de tiempo continuo, u[t] en el vector de entradas y y[t] es el vector de salidas del sistema, y tambi´en para el caso de sistemas SISO se reducen a funciones escalares. Para ilustrar los conceptos presentados hasta el momento consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 10.1. En la Figura 10.1, una fuerza externa f (t) se aplica a un sistema masa-resorte sujeto a un muro por un extremo. La posici´ on d(t) se mide con respecto a la posici´ on en que el resorte se encuentra en su largo natural. El movimiento de la masa es amortiguado por una fuerza de roce viscoso, proporcional a la velocidad de la masa, v(t). Sabemos que para obtener la posici´ on y la velocidad de la masa se debe conocer su valor en alg´ un instante inicial. Por tanto el vector de estado debe tener dos componentes, i.e x(t) = [x1 (t) x2 (t)]T , y la elecci´ on m´ as natural en este caso es: x1 (t) = d(t) x2 (t) = v(t) = x˙ 1 (t)

(10.5) (10.6)

256

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

transformaci´ on del estado estado!transformaci´ on similaridad se~ nal!modelo de estado

v(t) d(t) K

M

f(t)

roce viscoso

Figura 10.1: Sistema masa-resorte.

Con esta elecci´ on, se pueden aplicar las leyes de Newton para obtener: f (t) = M

dv(t) + Kd(t) + Dv(t) = M x˙ 2 (t) + Kx1 (t) + Dx2 (t) dt

(10.7)

donde D es el coeficiente de roce viscoso, o constante de proporcionalidad. De esta forma podemos escribir las ecuaciones de estado del sistema: x˙ 1 (t) = x2 (t) K D 1 x˙ 2 (t) = − x1 (t) − x2 (t) + f (t) M M M

(10.8) (10.9)

Para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se requiere conocer los valores x1 (0) y x2 (0), as´ı como el valor de la excitaci´ on f (t), ∀t ≥ 0. Podemos apreciar tambi´en que la energ´ıa almacenada en el sistema, w(t), queda expresada como: 1 1 2 2 K (d(t)) + M (v(t)) = x(t)T Λx(t) (10.10) 2 2  M donde Λ es una matriz diagonal: Λ = diag K 2 , 2 . Finalmente, la no unicidad de la representaci´ on en variables de estado se puede apreciar si, en vez de la elecci´ on hecha en (10.8), elegimos un nuevo vector de estado x(t) que se relaciona con x(t) a trav´es de una matriz no singular cualquiera T ∈ R2×2 , es decir: w(t) =

x(t) = Tx(t)

(10.11)

M´ as adelante, en la Secci´ on §10.3.3, veremos en m´ as detalle este tipo de transformaciones. 222

10.2.3.

Se˜ nales descritas en espacio de estado

Las representaciones en variables de estado adem´as de describir sistemas o procesos, pueden ser tambi´en muy u ´tiles para representar una gran variedad de se˜ nales.

10.3. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS CONTINUOS

257

Para esto se utilizan modelos de estado sin excitaciones o se˜ nales de entrada. Por tanto, la se˜ nal que se obtiene como salida del sistema s´olo depende de la condici´on inicial del vector de estado. Este tipo de sistemas sin se˜ nal de entrada se denominan homog´ eneos o aut´ onomos: Para se˜ nales de tiempo continuo dx(t) = Ax(t) dt y(t) = Cx(t)

(10.12) (10.13)

Para se˜ nales de tiempo discreto x[t + 1] = Aq x[t]

(10.14)

y[t] = Cq x[t]

(10.15)

Las variables definidas en este tipo de modelos en espacio de estado, no tienen un significado f´ısico, sin embargo, esta forma de describir se˜ nales resulta muy u ´til en diversas aplicaciones de la teor´ıa de se˜ nales. Ejemplo 10.2. Supongamos la se˜ nal de tiempo continuo: f (t) = 2 + 4 cos(5t) − sen(5t)

(10.16)

Esta esta formada por una sinusoide m´ as una constante, y puede interpretarse como la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial homog´enea: d f (t) d 3 f (t) + 25 = 0; dt 3 dt

sujeta a f (0) = 6; f˙(0) = −5 and f¨(0) = −100

(10.17) Si ahora escogemos como variables de estado x1 (t) = f (t), x2 (t) = f˙(t) y x3 (t) = f¨(t), entonces el modelo el espacio de estado de esta se˜ nal es:   0 1 0 dx(t)  0 1 x(t) y(t) = [1 0 0] x(t) (10.18) = 0 dt 0 −25 0

222

10.3.

Modelos de estado para sistemas continuos

En esta secci´on se presentan los modelos en variables de estado para sistemas de tiempo continuo. El an´alisis que se realiza est´a centrado en sistemas lineales

se~ nal!de tiempo continuo se~ nal!de tiempo discreto sistema!tiempo continuo

258 retardo linealizaci´ on punto de equilibrio

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

e invariantes en el tiempo, tal como se ha considerado en los cap´ıtulos previos. Naturalmente los sistemas son en general no lineales, tal como se muestra en las ecuaciones (10.1) y (10.2), pero pueden ser linealizados, tal como se hizo en el cap´ıtulo 1. Otra restricci´on importante es que los sistemas considerados no poseen retardos puros. Estos dar´ıan origen a un vector de estado de dimensi´on infinita. Sin embargo, en la Secci´on §10.4 veremos que este tipo de sistemas pueden ser representados en variables de estado usando un modelo del sistema muestreado.

10.3.1.

Linealizaci´ on

Si consideramos el modelo de un sistema invariante en el tiempo, las ecuaciones (10.1)-(10.2) se reducen a: dx = F(x(t), u(t)) dt y(t) = G(x(t), u(t))

(10.19) (10.20)

Suponemos que el modelo (10.19)-(10.20) tiene, al menos, un punto de equilibrio dado por {xQ , uQ , yQ }. Este tr´ıo de vectores satisface: 0 = F(xQ , uQ ) yQ = G(xQ , uQ )

(10.21) (10.22)

Note que el punto de equilibrio queda determinado haciendo las derivadas iguales a cero. Si consideramos una vecindad alrededor del punto de equilibrio, podemos aproximar el modelo (10.19)-(10.20) por una serie de Taylor truncada (Ap´endice A), de la forma: ∂F ∂F ˙ (x(t) − x ) + (u(t) − uQ ) (10.23) x(t) ≈ F(xQ , uQ ) + Q ∂x x=xQ ∂u x=xQ u=uQ u=uQ ∂G ∂G y(t) ≈ G(xQ , uQ ) + (x(t) − xQ ) + (u(t) − uQ ) (10.24) ∂x x=xQ ∂u x=xQ u=uQ

u=uQ

Las ecuaciones (10.23) y (10.24) se pueden reescribir por lo tanto como: d∆x(t) = A∆x(t) + B∆u(t) dt ∆y(t) = C∆x(t) + D∆u(t)

(10.25) (10.26)

donde las se˜ nales incrementales son: ∆x(t) = x(t) − xQ ;

∆u(t) = u(t) − uQ ;

∆y(t) = y(t) − yQ

(10.27)

10.3. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS CONTINUOS y las matrices de la representaci´on de estado son: ∂F ∂G ∂F A= ; C= ; ; B= ∂x x=xQ ∂u x=xQ ∂x x=xQ u=uQ

u=uQ

259

∂G D= ∂u x=xQ

u=uQ

u=uQ

(10.28) Para ilustrar esta forma de obtener un modelo lineal para un sistema no lineal, se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 10.3. Considere el levitador electromagn´etico que se muestra en la Figura 10.2. i(t) R

L

h(t)

f(t)

+

e(t)

v(t)

mg

Figura 10.2: Levitador electromagn´etico. La esfera met´ alica est´ a sometida a dos fuerzas: su propio peso, mg, y la fuerza de atracci´ on generada por el electroim´ an, f (t). La fuerza del electroim´ an se regula a trav´es de la fuente de voltaje, e(t) > 0, ∀t. La fuerza de atracci´ on sobre la esfera, f (t), depende de la distancia h(t) y de la corriente, i(t). Esta relaci´ on se puede describir aproximadamente por la expresi´ on f (t) =

K1 i(t) h(t) + K2

(10.29)

donde K1 y K2 son constantes positivas. Aplicando los principios usuales en redes el´ectricas y mec´ anica, podemos escribir las siguientes ecuaciones: e(t) = Ri(t) + L

di(t) dt

dh(t) dt K1 dv(t) f (t) = i(t) = mg + m h(t) + K2 dt v(t) = −

(10.30) (10.31) (10.32)

260

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

A continuaci´ on escogemos las variables de estado: la corriente i(t), la posici´ on de la esfera h(t), y su velocidad v(t), es decir:  T  T x(t) = x1 (t) x2 (t) x3 (t) = i(t) h(t) v(t) (10.33)

Note que esta elecci´ on permite cuantificar directamente la energ´ıa almacenada en el sistema. A partir de (10.30)-(10.32) obtenemos el modelo de estado del sistema: dx1 (t) R 1 di(t) = = − x1 (t) + e(t) dt dt L L dx2 (t) dh(t) = = −x3 (t) dt dt dv(t) dx3 (t) K1 = = x1 (t) − g dt dt m(x2 (t) + K2 )

(10.34) (10.35) (10.36)

Para linealizar el modelo obtenido, necesitamos obtener primero el punto de equilibrio alrededor del cual se har´ a dicha linealizaci´ on. La entrada al sistema es el voltaje de la fuente e(t). Supongamos que el punto de equilibrio se obtiene fijando e(t) = EQ , entonces, a partir de ´este, se puede calcular el estado del sistema en el punto de equilibrio. Este queda caracterizado por las ecuaciones (10.34)-(10.36), haciendo las derivadas iguales a cero: R 1 x1Q + EQ = 0 L L −x3Q = 0 K1 x1Q − g = 0 m(x2Q + K2 ) −

EQ (10.37) R =0 (10.38) K1 K 1 EQ = x1Q − K2 = − K2 (10.39) mg mgR

=⇒ x1Q = =⇒ x3Q =⇒ x2Q

El modelo linealizado queda expresado en t´erminos de la entrada incremental ∆e(t) y el estado incremental ∆x(t) = [∆x1 (t), ∆x2 (t), ∆x3 (t)]T de la forma: d∆x1 (t) R 1 = − ∆x1 (t) + ∆e(t) dt L L d∆x2 (t) = −∆x3 (t) dt Rg Rmg 2 d∆x3 (t) = ∆x1 (t) − ∆x2 (t) dt EQ K 1 EQ Si consideramos como mos comparar las u ´ltimas  R − 0  L  0 A=  0  Rg Rmg 2 − EQ K 1 EQ

(10.40) (10.41) (10.42)

salida del sistema la posici´ on de la esfera h(t), podeecuaciones con (10.25) y (10.26) para obtener:      1 0 0    L      T −1 ; C = 1 ; D = 0 (10.43) 0 ; B =       0 0 0 222

10.3. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS CONTINUOS

261

De aqui en adelante omitiremos el prefijo ∆, pero el lector debe tener en mente que los modelos obtenidos mediante linealizaci´on relacionan el estado incremental, las entradas incrementales y las salidas incrementales, en torno al punto de equilibrio.

10.3.2.

Modelos lineales en el espacio de estado

Consideramos el modelo en variables de estado, lineal e invariante en el tiempo: dx(t) = Ax(t) + Bu(t) dt y(t) = Cx(t) + Du(t)

(10.44) (10.45)

on inicial x(to ) = xo , Lema 10.1. Dada la ecuaci´ on (10.44), sujeta a la condici´ su soluci´ on es: Z t A(t−to ) x(t) = e xo + eA(t−τ ) Bu(τ )dτ ∀t ≥ to (10.46) to

donde la matriz de transici´ on eAt satisface: eAt = I +

∞ X 1 k k A t k!

(10.47)

k=1

(Para la definici´ on de exponencial de una matriz ver Ap´endice F) Demostraci´ on Puede verificarse directamente al reemplazar (10.46) en la ecuaci´ on (10.44), usando la regla de Leibniz para la derivaci´ on de la integral. 222 Con este resultado, dado un estado inicial x(to ) = xo la soluci´on de las ecuaciones (10.44)–(10.45) se puede expresar como: Z t y(t) = CeA(t−to ) xo + C eA(t−τ ) Bu(τ )dτ + Du(t) (10.48) to

Din´ amica del sistema Como hemos visto en los Cap´ıtulos 3 y 4, la salida de un sistema siempre puede descomponerse en dos partes: una componente no forzada determinada por las condiciones iniciales y formada por los modos naturales del sistema, y una componente forzada por la se˜ nal de entrada al sistema. Esto mismo se ve confirmado en la soluci´on de la ecuaci´on de estado (10.48), donde se aprecia la componente no forzada xu (t), y la componente forzada xf (t), donde: xu (t) = eA(t−to ) xo Z t xf (t) = eA(t−τ ) Bu(τ )dτ to

(10.49) (10.50)

matriz!de transici´ on exponencial!de una matriz

262 respuesta homog´ enea estabilidad velocidad

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

Estructura de la respuesta homog´ enea Para analizar con mayor detalle el modelo en espacio de estado y su soluci´on, consideremos to = 0 y la entrada u(t) = 0 ∀t ≥ 0, es decir, el estado est´a formado s´olo por su parte no forzada u homog´ enea. Entonces: x(t) = eAt xo

(10.51)

Supondremos adem´as que A ∈ Rn y que, por simplicidad, no tiene autovalores repetidos, sino que son todos diferentes λ1 ,λ2 ,. . . , λn , con sus n autovectores v1 , v2 , . . . , vn linealmente independientes1 . En este caso podemos afirmar que siempre existen constantes α1 , α2 , . . . , αn tales que: xo =

n X

α ` v` ;

`=1

α` ∈ C

(10.52)

Del a´lgebra lineal (Ap´endice F) sabemos que los autovalores de la matriz Ak son λk1 , λk2 ,. . . , λkn con sus correspondientes autovectores v1 , v2 , . . . , vn . De esta forma, se obtiene: x(t) = e

At

xo =

! n ! ∞ X X 1 k k A t α ` v` I+ k! `=1 k=1   n ∞ n X  X 1  X = Ak v ` t k  = α` v` + α ` e λ ` t v` k! | {z } `=1

k=1

λk ` v`

(10.53)

`=1

Esta ecuaci´on pone de manifiesto que la componente no forzada del vector de estado es una combinaci´ on lineal de modos de la forma {eλ` t }, cada uno de los cuales est´a asociado a un autovalor de A. Esto establece un resultado muy importante: Los frecuencias naturales de un sistema de tiempo continuo son iguales a los valores propios de la matriz A de su representaci´on en variables de estado. Es decir, la ecuaci´on caracter´ıstica de un sistema est´a dada por: det(λI − A) = 0 Por tanto, la matriz A es la que determina: la estructura de la respuesta no forzada u homog´enea, la estabilidad (o inestabilidad) del sistema, y la velocidad de respuesta. 1 Todo

conjunto de n vectores l.i. en Rn forman una base para Rn

(10.54)

10.3. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS CONTINUOS

263

El an´alisis previo puede extenderse al caso en que la matriz A posee valores propios repetidos, utilizando la forma de Jordan (Ap´endice F). En ausencia de se˜ nal de entrada, hemos visto que el estado del sistema resulta ser una combinaci´on de modos naturales. Estos pertenecen al conjunto de funciones generadas por exponenciales reales o complejas, que pueden corresponder a se˜ nales constantes, exponenciales reales y sinusoides puras o moduladas por exponenciales, entre otras. Ejemplo 10.4. Para ilustrar la diferentes aparici´ on de diferentes tipos de modos naturales, y su interpretaci´ on f´ısica consideremos nuevamente el sistema del Ejemplo 10.1 en la p´ agina 255. Para dicho sistema, obtuvimos el modelo en variables de estado: " # " #" # " # x˙ 1 (t) 0 1 x1 (t) 0 = + 1 f (t) (10.55) K D x˙ 2 (t) −M −M x2 (t) M en que x1 (t) y x2 (t) son respectivamente la posicion y la velocidad de la masa M , y f (t) es la fuerza externa. Las frecuencias naturales del sistema son los autovalores de la matriz A, es decir, las soluciones de la ecuaci´ on caracter´ıstica: det(λI − A) = λ2 + Estas son: D ± λ1,2 = − 2M Donde podemos apreciar que:

K D λ+ =0 M M

r

D2 K − 2 4M M

(10.56)

(10.57)

Si no existe amortiguaci´ on (D=0), los autovalores del sistema son imaginarios puros, y lospmodos naturales son oscilaciones sostenidas de frecuencia angular ωo = K/M . Esto coincide con la interpretaci´ on f´ısica, pues si no existe roce es natural pensar que si el resorte no se encuentra en su largo natural o la masa posee velocidad inicial, ´esta permanecer´ a oscilando indefinidamente, aunque no exista fuerza externa. Cuando el sistema est´ a d´ebilmente amortiguado ( D 2 < 4KM ), los autovalores de la matriz A son complejos conjugados con parte real negativa, por tanto los modos naturales asociados son sinusoides amortiguadas exponencialmente. Esto coincide tambi´en con lo que sucede en la pr´ actica, pues en caso de existir una fuerza de roce no muy grande, la masa oscilar´ a hasta detenerse en ealg´ un momento en su posici´ on de largo natural. Finalmente, si la amortiguaci´ on es muy grande ( D 2 > 4KM ), los autovalores de la matriz ser´ an reales y negativos, lo cual indica que los autovalores son dos exponenciales decrecientes. En este caso, la existencia de una fuerza de roce importante se traduce en que la masa no lograr´ a oscilar sino que es llevada por la fuerza del resorte hasta su posici´ on de equilibrio, y toda la energ´ıa contenida en el sistema se disipa r´ apidamente en el roce.

264

Para ilustrar estas tres situaciones podemos utiliar Matlab , que permite definir facilmente definir sistemas en variables de estado a traves del comando ss. La respuesta a una condici´ on inicial se obtiene a trav´es del comando initial. Para estas simulaciones consideramos tres diferentes valores para la constante de roce viscoso D, mientras que los otros par´ ametros son:   hmi N d(0) = 0, 3 [m]; and v(0) = 0, 05 M = 2 [kg]; K = 0, 1 m s (10.58) Usando c´ odigo Matlab como el siguiente se obtienen los gr´ aficos de la Figura 10.3.

Matlab >> >> >> >> >>

M=2 ; K=0.1 ; D=0 ; x_o=[0.3 0.05]; A=[0 1;-K/M -D/M];B=[0;1/M];C=[1 0];d=0; S=ss(A,B,C,d); initial(S,x_o)

0.4

D=0 D=0.2 D=2

0.2 Amplitud

plano de fase

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

0 −0.2 −0.4

0

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo (seg.)

Figura 10.3: Respuesta homog´enea del sistema masa-resorte-roce. En la Figura 10.4 se muestra la trayectoria que sigue el estado del sistema. Se ha considerado la posici´ on de la masa d(t) como coordenada horizontal, y la velocidad, v(t), como coordenada vertical. Este tipo de diagrama se conoce como plano de fase,. En Matlab , el mismo comando initial permite obtener la trayectoria del estado mediante el siguiente codigo:

Matlab >> [y,t,x]=initial(S,x_o); >> plot(x(:,1),x(:,2))

10.3. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS CONTINUOS

265

0.1

modo forzado soluci´ on particular

0.08

xo=[0.3 0.05]

T

0.06

velocidad v(t)

0.04 0.02 0 −0.02 −0.04 −0.06

D=0 D=0.2 D=2

−0.08 −0.1

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

distancia d(t)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura 10.4: Trayectorias en el espacio de estado del sistema masa-resorte-roce.

Note que, excepto en el caso en que no existe roce (D = 0), la masa llegar´ aa detenerse asint´ oticamente, es decir, llega al origen del espacio de estado. 222 Estructura de la respuesta forzada Cuando las condiciones iniciales del sistema son cero, el estado s´olo tendr´a su componente forzada. Z t xf (t) = eA(t−τ ) Bu(τ )dτ (10.59) to

Esta parte del estado tambi´en incluye modos naturales, pero adem´as contiene los modos forzados o soluciones particulares, los cuales como hemos visto en cap´ıtulos precedentes, no dependen del sistema, sino que exclusivamente de la se˜ nal de entrada u(t). En general, los modos forzantes presentes en la entrada aparecer´an tambi´en en el estado. Sin embargo, es importante mencionar que un caso especial sucede cuando los modos forzantes en la entrada coinciden con alguno de los modos naturales del sistema. Estabilidad del sistema Tal como se mencion´o antes, la estabilidad de un sistema lineal e invariante puede ser analizada usando la matriz de estado A.

266 equilibrio inestable punto de equilibrio modo natural!dominante resonancia

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

Por definici´on, todas las variables de un sistema pueden expresarse como funciones lineales de su estado y su entrada. Cuando la entrada al sistema u(t) es un vector de funciones temporales acotadas, entonces las variables del sistema ser´an acotadas si su estado lo es. Tenemos entonces el siguiente resultado: Teorema 10.1. Considere el sistema con la descripci´ on en variables de estado (10.44)-(10.45) donde los elementos de A, B, C y D est´ an acotados. Entonces el estado del sistema, y por tanto su salida, es acotado para toda entrada acotada si, y s´ olo si, los autovalores de la matriz A tienen parte real estrictamente negativa. 222 Para apreciar la aplicaci´on de este teorema en la pr´actica, retomemos el sistema del levitador magn´etico del Ejemplo 10.3. Para dicho sistema la matriz A (en el modelo linealizado) est´a dada por la expresi´on:  R  0 0 −  L   0 −1 A= 0 (10.60)   Rg  Rmg 2 − 0 EQ K 1 EQ

y sus autovalores o valores propios son las ra´ıces de la ecuaci´on s s ! !   Rmg 2 Rmg 2 R λ− λ+ det(λI − A) = λ + L K 1 EQ K 1 EQ

(10.61)

Podemos apreciar que, del conjunto de autovalores de la matriz, existe uno que es real y mayor que cero. Esto implica que el sistema es inestable, lo cual coincide con el an´alisis del sistema desde el punto de vista f´ısico. Si bien existe un punto de euilibrio para el sistema, al menos te´oricamente, dado x 2Q en la ecuaci´on (10.39)), ´este resulta ser un punto de equilibrio inestable, ya que cualquier peque˜ na perturbaci´on sobre la esfera har´a que ´esta o acelera hasta adherirse al im´an, o bien, cae al suelo. Velocidad de respuesta y resonancia Como ya hemos visto, en los sistemas estables la parte real de los autovalores determina la velocidad a la cual los modos naturales decaen a cero. Los modos m´as lentos, que hemos denominado modos dominantes, determinan la velocidad con que la salida del sistema alcanza el estado estacionario, es decir, determinan la velocidad de respuesta del sistema. Un segundo aspecto, de especial importancia en estructuras flexibles, es la presencia de resonancias en un sistema, que est´an asociadas a autovalores complejos. Desde el punto de vista f´ısico, la presencia de autovalores complejos tiene relaci´on con la existencia de dos tipos de energ´ıa. En circuitos el´ectricos, la energ´ıa electrost´atica de condesadores y la energ´ıa electromagn´etica en inductores.

10.3. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS CONTINUOS

267

En sistemas mec´anicos, la energ´ıa cin´etica de una masa en movimiento y la energ´ıa potencial debida a diferencia de nivel o a la compresi´on de un resorte. Los principales problemas con este tipo sistemas ocurren cuando la se˜ nal de entrada contiene energ´ıa en la banda de frecuencias cercana a la frecuencia con que el sistema oscila en forma natural. En la pr´actica, este problema puede traducirse en oscilaciones de magnitud que el sistema simplemente no est´a preparado para soportar. Para ilustrar esta situaci´on examinaremos un ejemplo que ilustra el fen´omeno: Ejemplo 10.5. Consideremos nuevamente el sistema masa-resorte-roce del Ejemplo 10.1, en que las constantes tienen los valores: M = 1[kg]

;

D = 13 [Ns/m]

;

K = 1[N/m]

(10.62)

Con lo cual los autovalores del sistema son las soluciones de: det(λI − A) = λ2 +

D Mλ

⇒ λ1,2 = − 16 ±

1 2

+ q

K M

−35 9

= λ2 + 31 λ + 1 = 0

(10.63)

≈ − 61 ± j

(10.64)

Por tanto, los modos naturales son de la forma e−0,1667t cos(t+φ). Cualquier excitaci´ on que posea energ´ıa a frecuencias cercanas a ω = 1[rad/s] har´ a que el sistema entre en resonancia, haciendo que en la salida del sistema aparezcan oscilaciones de magnitud significativa. Se desarrolla una simulaci´ on del comportamiento del sistema bajo dos excitaciones distintas: en el primer caso, la entrada es una sinusoide de frecuencia ω = 1 [rad/s], y en el segundo caso, la excitaci´ on una se˜ nal cuadrada de frecuencia fundamental ωo = 0, 333 [rad/s]. En ambos casos las condiciones iniciales del sistema son cero. Los resultados se muestran en la Figura 10.5. Podemos apreciar que, en el primer caso, se genera un fen´ omeno de resonancia debido a que la frecuencia de la sinusoide es aproximadamente igual a la frecuencia de oscilaci´ on de los modos naturales del sistema. En el segundo caso, tambi´en aparece un fen´ omeno de resonancia; sin embargo, ahora se debe a la tercera arm´ onica de la excitaci´ on , ya que la frequencia angular de ella es 3ωo = 0, 999[rad/s], es decir, coincide casi exactamente con la frecuencia natural de oscilaci´ on del sistema. 222

10.3.3.

Transformaciones de similaridad

La elecci´on de variables de estado para un sistema dado no es u ´nica. Concretamente podemos tener un sistema con entrada u(t), salida y(t) y dos diferentes elecciones para el vector de estado: x(t) y x(t) ∈ Rn , con sus matrices asociadas {A, B, C, D} y {A, B, C, D}, respectivamente. El siguiente lema establece la relaci´on entre ambos modelos.

transformaci´ on del estado estado!transformaci´ on similaridad

268 matriz!de transformaci´ on

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION 3

y(t) u(t)

2 1 0 −1 −2 −3

0

5

10

15

10

15

20

25

30

35

40

20

25

30

35

40

tiempo

3

y(t) u(t)

2 1 0 −1 −2 −3

0

5

tiempo

Figura 10.5: Resonancia en el sistema masa-resorte.

Lema 10.2. Dado un sistema cuyo vector de estado es x(t) y sus matrices son {A, B, C, D}, entonces, dada la matriz de transformaci´ on T ∈ Rn×n no singular, tenemos un nuevo vector de estado: x(t) = T · x(t)

(10.65)

El modelo de estado para la nueva representaci´ on, queda expresado mediante las matrices: A = TAT−1

;

B = TB

;

C = CT−1

;

D=D

(10.66)

Demostraci´ on Dada la transformaci´ on (10.65), en que T es no singular y, por tanto, invertible, tenemos que: x(t) = T−1 · x(t) (10.67) Si reemplazamos entonces el vector de estado x(t) en las ecuaciones de estado del sistema (10.44)-(10.45), obtenemos: ˙ T−1 x(t) = AT−1 x(t) + Bu(t) y(t) = CT

−1

x(t) + Du(t)

(10.68) (10.69)

10.3. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS CONTINUOS

269

donde, al multiplicar la primera ecuaci´ on por T por la izquierda, se obtiene: A

B z }| { z}|{ −1 ˙ x(t) = TAT x(t) + TB u(t)

(10.70)

−1 D u(t) y(t) = CT | {z } x(t) + |{z} C

(10.71)

D

De esta forma se obtienen las ecuaciones (10.66). 222 Diferentes elecciones de las variables de estado pueden tener o no significado f´ısico, sin embargo, existen representaciones que resultan m´as simples del punto de vista matem´atico, como veremos en la Secci´on §10.6. A pesar de las diferentes posibles representaciones, es natural que ciertas importantes caracter´ısticas y propiedades del sistema permanezcan invariantes, cualquiera sea la representaci´on elegida. Si, por ejemplo, consideramos los autovalores del sistema, tenemos que: det(λI − A) = det(λTT−1 − TAT−1 )
= det T(λI − A)T−1

= det(T) det(λI − A) det(T = det(λI − A)

(10.72) (10.73) −1

)

(10.74) (10.75)

Por tanto, la estabilidad, la naturaleza de la respuesta homog´enea y la velocidad de respuesta del sistema son invariantes respecto a transformaciones de similaridad del estado. i (t)

+ vf (t)

i2 (t)

R1 C

L iL (t)

R2

vC (t)

Figura 10.6: Red el´ectrica Ejemplo 10.6. En el circuito el´ectrico de la Figura 10.6, si escogemos el vector de estado como x(t) = [x1 (t) x2 (t)]T = [iL (t) vc (t)]T y la se˜ nal de entrada u(t) = vf (t), entonces usando conocimientos b´ asicos de redes el´ectricas, tenemos que:     1 0 dx(t)  0  L  1  u(t) (10.76) = 1 R1 + R2  x(t) + dt − − R1 C C R1 R2 C

270 funci´ on de transferencia polos autovalores

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

Una elecci´ on alternativa del vector de estado puede ser x(t) = [x 1 (t) x2 (t)]T = T [i(t) i2 (t)] . Donde puede probarse sin problema que   1 R2 1 x(t) (10.77) x(t) = R2 0 1 {z } | T

222

10.3.4.

Espacio de estado y funciones de transferencia

La representaci´on de sistemas mediante modelos de variables de estado es una descripsi´on alternativa a las que hemos visto antes, tales como la ecuaci´on diferencial del sistema (Cap´ıtulo 3) y su funci´on de transferencia asociada (Cap´ıtulos 6 y 7). Sin embargo, en esta secci´on veremos que los modelos en espacio de estado permiten describir con mayor profundidad una conjunto m´as general de sistemas. En primer lugar, el siguiente lema establece como obtener una representaci´on en variables de estado de un sistema, dada su funci´on de transferencia. Lema 10.3. Dado un sistema lineal en invariante del tiempo con entrada con funci´ on de transferencia: Y(s) (10.78) H(s) = U(s) En que U(s) y Y(s) son las transformadas de Laplace de la entrada u(t) y la salida y(t). Entonces, dada un modelo de estado con matrices {A, B, C, D}, tenemos que: H(s) = C(sI − A)−1 B + D (10.79) Adem´ as, los polos de la funci´ on de transferencia H(s) pertencen al conjunto de los autovalores de la matriz A. Demostraci´ on Usando la definici´ on en la Secci´ on §7.2, la funci´ on de transferencia del sistema es la transformada de Laplace de la respuesta a impulso (delta de Dirac) del sistema, con condiciones iniciales iguales a cero. Por lo tanto, si aplicamos la transformada de Laplace a la ecuaci´ on (10.44), tenemos que: 0

1

z }| { z }| { sX(s) − x(0− ) = AX(s) + B L {δ(t)} (sI − A)X(s) = B

X(s) = (sI − A)

−1

B

(10.80) (10.81) (10.82)

De igual forma, aplicando Laplace a la ecuaci´ on (10.45) y reemplazando la transformada del vector de estado X(s), obtenemos: Y(s) = H(s) = CX(s) + DL {δ(t)} = C(sI − A)−1 B + D

(10.83)

10.3. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS CONTINUOS

271

Por otro lado, para obtener los polos de la transferencia H(s) podemos reescribir la inversa de (sI − A) usando las propiedades en el Ap´endice F. De esta forma: H(s) = C

CAdj(sI − A)B + D det(sI − A) Adj(sI − A) B+D= det(sI − A) det(sI − A)

(10.84)

Lo que pone de manifiesto que todos los polos de H(s) son autovalores de la matriz A. 222 Es importante notar que no necesariamente los polos de la funci´on de transferencia son todos los autovalores del sistema, pues la ecuaci´on (10.79) puede tener cancelaciones encubiertas entre ra´ıces del numerador (ceros) y ra´ıces del denominador (polos) . Esto se ilustra mejor a trav´es del siguiente ejemplo. Ejemplo 10.7. Consideremos las matrices de un modelo de estado:       −2 1 1 A= ; B= ; C= 0 1 ; D=0 0 −3 0, 5 Entonces, la funci´ on de transferencia asociada es:    s+3 1 0 1 H(s) = C(sI − A)−1 B = 0 (s + 2)(s + 3) =

0, 5 0, 5(s + 2) = (s + 2)(s + 3) (s + 3)

1 s+2



1 0, 5

(10.85)



(10.86) (10.87)

En este caso, la funci´ on de transferencia tiene s´ olo un polo, a pesar que la matriz A posee dos autovalores. Se observa que existe una cancelaci´ on entre un polo y un cero en H(s). Este fen´ omeno tiene relaci´ on directa con las propiedades del sistema que se estudian en la Secci´ on §10.6. 222 Para interpretar este hecho en la pr´actica, volvamos una vez m´as al levitador magn´etico del Ejemplo 10.3 en la p´agina 259. Si consideramos la corriente i(t) como salida, vemos de inmediato que la funci´on de transferencia desde la entrada e(t) a esta salida tiene s´olo un polo, a pesar que el vector de estado tiene dimensi´on tres. La explicaci´on de esto es que, en nuestro modelo f´ısico simplificado, la corriente i(t) no es afectada por la posici´on ni por la velocidad vertical de la esfera. Note que la situaci´on seria diferente si consider´aramos en el modelo el efecto del cambio de posici´on de la esfera en la inductancia del electroim´an. De esta forma, vemos que la funci´ on de transferencia puede no entregar la misma informaci´ on que el modelo en variables de estado para un sistema dado.

cancelaci´ on

272

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

realizaci´ on m´ ınima Un problema funci´ on de transferencia!estrictamente propia

interesante es obtener una representaci´on de estado de un sistema a partir de su funci´on de transferencia. El lector debe tener la precauci´on de considerar un modelo de estado adecuado, el cual no contenga cancelaciones entre polos y ceros impl´ıcitas. Teniendo esto en cuenta, el modelo obtenido se denomina realizaci´ on m´ınima. Existen diferentes m´etodos para obtener un modelo en variables de estado a partir de la funci´on de transferencia, y a continuaci´on ilustramos uno de ellos. Consideremos la funci´on de transferencia dada por Bo (s) bn−1 sn−1 + bn−2 sn−2 + . . . b1 s + b0 + HT (∞) = + HT (∞) Ao (s) sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0 (10.88) En primer lugar, podemos apreciar que D = HT (∞), por tanto basta considerar la funci´on de transferencia H(s) = HT (s) − HT (∞), que es estrictamente propia. Consideremos ahora v` (t) ∈ R cuya transformada de Laplace es V` (s) tal que: s`−1 U (s) ` ∈ {1, 2, . . . , n} (10.89) V` (s) = Ao (s) HT (s) =

Esto implica que: dv`−1 (t) ` ∈ {2, . . . , n} dt n X Y (s) = b`−1 V` (s) v` (t) =

(10.90) (10.91)

`=1

n X s`−1 sn Ao (s) a`−1 U (s) = U (s) + U (s) Ao (s) Ao (s) Ao (s) `=1 | {z } | {z }

U (s) =

sVn (s)

(10.92)

V` (s)

Ahora si escogemos como variables de estado x` (t) = v` (t), la ecuaci´on corresponde a: 

  A=  

0 0 .. .

1 0 .. .

0 1 .. .

··· ···

−a0

−a1

−a2

···

C = b0

b1

b2

···



bn−1 ;

0 0 .. .

0 0 .. .

−an−2

−an−1

D = HT (∞)



  ; 

  0 0     B =  ...    0 1

(10.93)

(10.94)

Ejemplo 10.8. La funci´ on de transferencia de un sistema est´ a dada por: H(s) =

4s − 10 4s − 10 = 3 (s + 2)2 (s − 1) s + 3s2 − 4

(10.95)

10.4. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS273 Entonces una realizaci´ on m´ınima para este sistema es:     0 1 0 0 A = 0 0 1  ; B = 0  4 0 −3 1   C = −10 4 0 ; D = 0

(10.96) (10.97) 222

Otro resultado importante, cuya demostraci´on se deja como ejercicio para el lector, es La funci´on de transferencia de un sistema es invariante respecto a transformaciones de similaridad del estado

10.4.

Modelos de estado para sistemas discretos y muestreados

En esta secci´on estudiaremos la representaci´on de estado para sistemas de tiempo discreto, usando como base los resultados ya obtenidos para sistemas de tiempo continuo. Antes de comenzar es importante distinguir que un modelo en tiempo discreto puede originarse de dos formas: A partir de un sistema intr´ınsecamente discreto, y generalmente no lineal, cuyas variables est´an definidas s´olo en intantes de tiempo espec´ıficos t k . Estos pueden originarse, por ejemplo, en el modelamiento de sistemas econ´omicos o en el modelamiento de procesos estoc´asticos. O bien, a partir de la discretizaci´ on de un sistema de tiempo continuo. En este caso, interesa el valor las variables del sistema en instantes de tiempo espec´ıficos. Esto se denomina muestreo. Los modelos de este tipo son muy u ´tiles cuando sistemas digitales, tales como microcontroladores, computadores, controladores l´ogicos programables (PLC’s) u otros, deben interactuar con sistemas reales de tiempo continuo, tales como estructuras mec´anicas, v´alvulas, tanques, circuitos an´alogos, o con procesos industriales completos2 . Este tipo de sistemas se denominan sistemas muestreados. Cualquiera que sea el origen del modelo discreto, nos concentraremos en el caso en que ´este es lineal e invariante en el tiempo, tal como lo hicimos en el caso de tiempo continuo. 2 La conexi´ on requiere de conversores Digital-An´ alogo y An´ alogo-Digital (DAC y ADC, sus siglas en ingl´ es, respectivamente)

sistema!discreto sistema!muestreado discretizaci´ on muestreo PLC conversor!digital-an´ alogo(DAC) conversor!an´ alogo-digital(ADC) DAC|seeconversor ADC|seeconversor

274 linealizaci´ on sistema!muestreado muestreo sampling|seemuestreo retentor

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

10.4.1.

Linealizaci´ on de sistemas discretos

El equivalente en tiempo discreto de las ecuaciones (10.3)-(10.4) est´a dado por las expresiones no lineales: x[t + 1] = Fd (x[t], u[t])

(10.98)

y[t] = Gd (x[t], u[t])

(10.99)

La linealizaci´on se realiza de manera an´aloga que para el caso continuo, considerando primero un punto de equilibrio, dado por el tr´ıo {xQ , uQ , yQ }, que satisface las ecuaciones: xQ = Fd (xQ , uQ ) yQ = Gd (xQ , uQ )

(10.100) (10.101)

Podemos apreciar que el punto de equilibrio queda definido por un conjunto de valores constantes para el estado del sistema y para su entrada, que deben satisfacer (10.98)-(10.99). Esto implica un valor constante tambi´en en la salida del sistema. El sistema discreto puede ser entonces linealizado en torno a este punto de equilibrio, definiendo las se˜ nales: ∆x[t] = x[t] − xQ ;

∆u[t] = u[t] − uQ ;

∆y[t] = y[t] − yQ

(10.102)

Obtenemos as´ı el modelo en variables de estado: ∆x[t + 1] = Ad ∆x[t] + Bd ∆u[t]

(10.103)

∆y[t] = Cd ∆x[t] + Dd ∆u[t]

(10.104)

donde las matrices son: ∂Fd ∂Fd ; Bd = ; Ad = ∂x x=xQ ∂u x=xQ u=uQ

10.4.2.

u=uQ

∂Gd Cd = ; ∂x x=xQ u=uQ

∂Gd Dd = ∂u x=xQ

u=uQ

(10.105)

Sistemas muestreados

Como hemos dicho antes, los modelos de tiempo discreto se obtienen a menudo al hacer un muestreo3 de las entradas y salidas de un sistema de tiempo continuo. Cuando alg´ un dispositivo digital se utiliza para actuar sobre un sistema de tiempo continuo, la se˜ nal de actuaci´on o de comando sobre ´el s´olo se define en ciertos instantes de tiempo espec´ıficos, y no para todo instante de tiempo t. Sin embargo, siempre necesitaremos una se˜ nal continua para actuar sobre el sistema (de tiempo continuo). Esta se˜ nal se obtiene usualmente a trav´es de un retentor, el cual genera una se˜ nal constante por tramos, manteniendo el u ´ltimo valor especificado hasta que se define el siguiente. Este tipo de retentor se denomina 3 Sampling,

en ingl´ es

10.4. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS275 retentor de orden cero 4 . Es importante considerar que existen otras formas de generar una se˜ nal de actuaci´on continua a partir de la secuencia discreta (v´ease, por ejemplo, [3]). Adem´as de la se˜ nal de actuaci´on, es necesario medir las variables que nos interesan de un sistema en los instantes de tiempo espec´ıficos que se requiera. Es decir, debemos muestrear las se˜ nales de salida. En la Figura 10.7 se describe la discretizaci´on de un sistema continuo. Si suponemos un muestreo peri´odico, con periodo ∆, nos interesa el valor de las variables s´olo en los instantes k∆, en que k ∈ N. En las secciones posteriores omitiremos el per´ıodo de muestreo ∆ del argumento de las se˜ nales, usando u(k∆) = u[t] para la entrada, y(k∆) = y[t] para la salida, y x(k∆) = x[t] para el estado del sistema, donde ahora t representa los instantes de tiempo discreto.

Retentor u[k]

(Hold)

uS (t)

Sistema de Tiempo Continuo

Muestreo (Sample)

y(t)

y[k]

Figura 10.7: Esquema de un sistema muestreado

Si consideramos el modelo en variables de estado, lineal, invariante y de tiempo continuo definido en (10.44)-(10.45), con estado inicial x(k0 ∆) = x0 , entonces podemos usar la ecuaci´on (10.46) para calcular el valor del estado en el pr´oximo instante de muestreo: x(k0 ∆ + ∆) = e

A(k0 ∆+∆−k0 ∆)

x(k0 ∆) +

Z

k0 ∆+∆

eA(k0 ∆+∆−τ ) B u(τ )dτ

k0 ∆

(10.106) Es m´as, si u(τ ) es generada mediante un retentor de orden cero, entonces: u(τ ) = u(k0 ∆)

k0 ∆ ≤ τ < k 0 ∆ + ∆

(10.107)

De esta forma, haciendo el cambio de variable η = k0 ∆ + ∆ − τ , se obtiene: x(k0 ∆ + ∆) = eA∆ x(k0 ∆) +

Z

∆

eAη dη B u(k0 ∆)

(10.108)

0

Es m´as, dado el estado y la entrada en un instante k0 ∆, la salida del sistema queda definida por la ecuaci´on (10.45), es decir: y(k0 ∆) = C x(k0 ∆) + D u(k0 ∆) 4 Zero

Order Hold o ZOH, en ingl´ es

(10.109)

ZOH|seeretentor muestreo!per´ ıodo de per´ ıodo!de muestreo

276 exponencial!de una matriz

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

Por lo tanto, dado un sistema de tiempo continuo con un modelo en variables de estado con matrices {A, B, C, D}, si muestreamos sus entradas y salidas cada ∆ segundos, entonces, el sistema muestreado equivalente queda descrito por el modelo de estado en tiempo discreto: x(k∆ + ∆) = Ad x(k∆) + Bd u(k∆) y(k∆) = Cd x(k∆) + Dd u(k∆)

(10.110) (10.111)

donde las matrices son: Ad = eA∆

;

Bd =

Z

∆

eAη dη B ;

Cd = C

;

Dd = D

(10.112)

0

Existen diferentes m´etodos para obtener la matriz Ad definida mediante la exponencial de una matriz en el extremo izquierdo de (10.112). Una opci´on es utilizar la definici´on de la exponencial de una matriz en el Ap´endice F, sin embargo, a menudo es m´as simple calcularla empleando la transformada de Laplace inversa, de manera que:  Ad = eA∆ = L−1 (sI − A)−1 t=∆

(10.113)

Note que el m´etodo propuesto involucra tres pasos esencialmente: (i) Dada la matriz A, se obtiene la matriz inversa de (sI − A). (ii) A continuaci´on se aplica transformada de Laplace inversa a cada componente de (sI − A)−1 . (iii) Finalmente, las funciones temporales en cada una de las entradas de la matriz obtenida se eval´ uan en t = ∆. Veamos a continuaci´on un ejemplo para aclarar e ilustrar las ideas presentadas hasta el momento. agiEjemplo 10.9. Consideremos el sistema mec´ anico del Ejemplo 10.1 en la p´ na 255, que fue descrito en variables de estado seg´ un las ecuaciones: "

# " x˙ 1 (t) 0 = K x˙ 2 (t) −M

1 D −M

#"

# " # x1 (t) 0 + f (t) 1 x2 (t) −M

(10.114)

donde f (t) es la fuerza externa, y donde podemos escoger como salida del sistema ya sea la posici´ on de la masa, x1 (t), o su velocidad, x2 (t). Para simplificar las expresiones, supongamos algunos valores para los par´ ametros del sistema. Se fija la masa M = 1 [kg], la constante de roce viscoso D = 1, 2 [Ns/m] y la constante del resorte K = 0, 32 [N/m].

10.4. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS277 La matriz Ad se obtiene usando (10.113), aplicando transformada de Laplace inversa: #−1   −1  s + 1,2 t=∆ " −0,4∆ 2e − e−0,8∆ = −0,4∆ 0, 8(e − e−0,8∆ )

"  s Ad = L−1  0, 32

2,5(e−0,4∆ − e−0,8∆ ) −e−0,4∆ + 2e−0,8∆

#

(10.115)

La matriz Bd se obtiene, seg´ un (10.112), integrando: Bd =

Z

∆ 0



   2e−0,4η − e−0,8η 2,5(e−0,4η − e−0,8η ) 0 dη 0, 8(e−0,4η − e−0,8η ) −e−0,4η + 2e−0,8η 1   −0,4∆ −0,8∆ −6,25e + 3,125e + 3,125 = 2,5(e−0,4∆ − e−0,8∆ )

(10.116)

Note que ambas matrices, Ad y Bd son funciones de ∆. Por tanto, el per´ıodo de muestreo ∆, tiene una clara influencia sobre el comportamiento del sistema muestreado, tal como veremos m´ as adelante. 222

10.4.3.

Modelos de estado lineales

Concentr´emonos ahora en el modelo en variables de estado, lineal e invariante en el tiempo: x[t + 1] = Ad x[t] + Bd u[t]

(10.117)

y[t] = Cd x[t] + Dd u[t]

(10.118)

Este puede corresponder a un modelo linealizado como (10.103)-(10.104), o a un sistema muestreado como (10.110)-(10.111) donde ∆ se ha omitido del argumento temporal. Lema 10.4. Dado el sistema de tiempo discreto definido en las ecuaciones (10.117) y (10.118), sujeto a la condici´ on inicial x[to ] = xo , su soluci´ on est´ a dada por (t−to )−1

x[t] = Ad (t−to ) xo +

X

Ad (t−to )−i−1 Bd u[i + to ]

i=0

on discreta. donde Ad (t−to ) es la matriz de transici´ Demostraci´ on

∀ t ≥ to

(10.119)

matriz!de transici´ on! discreta

278 respuesta!no forzada

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

on inicial x[to ] = xo , A partir de la ecuaci´ on (10.117), usando la condici´ puede determinarse completamente la trayectoria futura del estado. As´ı: x[to + 1] = Ad x[to ] + Bd u[to ]

(10.120)

x[to + 2] = Ad x[to + 1] + Bd u[to + 1]   = Ad Ad x[to ] + Bd u[to ] + Bd u[to + 1]

(10.121)

= Ad 2 x[to ] + Ad Bd u[to ] + Bd u[to + 1] .. .

Por inducci´ on, tenemos que: `

x[to + `] = Ad x[to ] +

`−1 X

Ad `−1+i Bd u[to + i]

i=0

∀` ≥ 0

(10.122)

Este u ´ltima ecuaci´ on coincide con la ecuaci´ on (10.119) al hacer ` = t − to . 222 Con el resultado del lema anterior, podemos encontrar la soluci´on a la ecuaci´on (10.118), pues la salida del sistema queda determinada en todo momento por el vector de estado: y[t] = Cd Ad

(t−to )

xo + C d

(t−to )−1 

X i=0

 Ad (t−to )−i−1 Bd u[to + i] + Dd u[t]

(10.123)

Din´ amica del sistema El vector de estado que se obtiene al resolver las ecuaciones del sistema, an´alogamente al caso de tiempo continuo, tiene dos componentes: la componente no forzada, xu [t], y la forzada, xf [t], donde: xu [t] = Ad (t−to ) xo

(10.124)

(t−to )−1

xf [t] =

X

Ad (t−to )−i−1 Bd u[to + i]

(10.125)

i=0

Estructura de la respuesta no forzada Para simplificar el an´alisis del modelo y su soluci´on, aprovecharemos la invarianza en el tiempo, considerando el caso en que to = 0 and u[t] = 0 ∀ t ≥ 0, i.e. el estado tiene s´olo su parte no forzada. En este caso: x[t] = Ad t xo

(10.126)

10.4. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS279 Por simplicidad asumiremos que Ad ∈ Rn×n tiene n autovalores distintos η` , con n autovectores linealmente independientes v` , entonces siempre existe un conjunto de n constantes α` tales que: xo =

n X

α ` v`

`=1

; α` ∈ C

(10.127)

Del a´lgebra lineal (Ap´endice F) sabemos que los autovalores la matriz Ad t son η`t , para t ∈ N, con sus correspondientes autovectores v` . De esta forma, se obtiene: x[t] = Ad t xo = Ad t

n X

α ` v` =

n X `=1

`=1

α ` Ad t v ` = | {z } η`t v`

n X

α` η`t v`

(10.128)

`=1

Esta ecuaci´on pone de manifiesto que la componente no forzada del estado es una combinaci´on lineal de modos de la forma {η` t }, cada uno est´a asociado con un autovalor de Ad . Esto establece un resultado muy importante: Los frecuencias naturales de un sistema de tiempo discreto son iguales a los valores propios de la matriz Ad de su representaci´on en variables de estado. Es decir, la ecuaci´on caracter´ıstica de un sistema est´a dada por: det(ηI − Ad ) = 0

(10.129)

An´alogamente al caso de los modelos de tiempo continuo, esto indica que la matriz Ad determina: la estructura de la respuesta no forzada, la estabilidad (o inestabilidad) del sistema, y la velocidad de la respuesta. El an´alisis previo puede extenderse al caso en que la matriz Ad posee valores propios repetidos, utilizando la forma de Jordan (Ap´endice F). En ausencia de entrada, el estado del sistema evoluciona como una combinaci´on de sus modos naturales, los cuales pertenecen a una clase definida de funciones (Secci´on §4.3.1). Estas se expresan como potencias de los autovalores reales o complejos, tal como se aprecia en la ecuaci´on (10.128), y est´an relacionadas con constantes, exponenciales reales, sinusoides puras o moduladas por exponenciales, y otras funciones especiales que aparecen cuando hay autovalores repetidos. Ejemplo 10.10. Para ilustrar estas ideas consideremos el sistema muestreado que vimos en el Ejemplo 10.9. Si ∆ = 1, las matrices de la representaci´ on de estado son:     0, 3397 0, 8913 0, 5525 (10.130) ; Bd = Ad = 0, 5525 −0, 1768 0, 2283

estabilidad velocidad

280 respuesta!forzada estabilidad

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION Los autovalores del sistema son las soluciones de la ecuaci´ on:   η − 0, 8913 −0, 5525 det(ηI − Ad ) = det 0, 1768 η − 0, 2283 = (η − 0, 6703)(η − 0, 4493) = 0

(10.131) (10.132)

Es decir, η1 = 0, 6703 y η2 = 0, 4493. Por lo tanto, la respuesta no forzada es de la forma: xu [t] = C1 (0, 6702)t + C2 (0, 4493)t (10.133) donde C1 y C2 dependen s´ olo del estado inicial. Podemos apreciar que cuando t tiende a infinito, xu [t] se hace cero, ya que |η1,2 | < 1. Adem´ as, estos autovalores son reales positivos, por tanto los modos naturales no contienen oscilaciones. Esto es esperable pues en el Ejemplo 10.9 se eligieron los par´ ametros de manera que el sistema masa-resorte resulta sobre amortiguado. 222 Estructura de la respuesta forzada Si se considera la ecuaci´on (10.119) con condici´on inicial cero, el estado s´olo exhibe su componente forzada. Adem´as de los modos naturales, esta se˜ nal incluye los modos forzados o particulares, que dependen del tipo de se˜ nal de entrada u[t]. En general, los modos forzantes en la entrada tambi´en aparecer´ann en la salida del sistema, excepto en el caso que alguna de ellos coincida con alguno un modo natural del sistema. Estabilidad La estabilidad de un sistema lineal, de tiempo discreto e invariante en el tiempo tambi´en puede ser analizada a trav´es de la matriz Ad . Ya hemos establecido que todas las variables del sistema se pueden expresar como funciones lineales del estado y la entrada. Cuando la entrada u[t] es un vector acotado en el tiempo, entonces las variables del sistema permanecer´an acotadas si y s´olo si el estado est´a acotado. Tenemos entonces el siguiente resultado: Teorema 10.2. Dado un sistema descrito en variables de estado por las ecuaciones (10.117)-(10.118), donde Ad , Bd , Cd y Dd tienen elementos acotados. Entonces, el estado del sistema estar´ a acotado para toda entrada acotada si y s´ olo si los autovalores de la matriz Ad se encuentran en el interior del disco unitario, i.e. |η` | < 1 ; ∀`. 222 Velocidad de respuesta y resonancia Recordemos que los modos naturales de un sistema de tiempo discreto son las potencias de los autovalores η` . Estos autovalores siempre pueden expresarse

10.4. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS281 como un n´ umero complejo en su forma exponencial, por lo tanto, un modo natural puede escribirse como: (η` )t = |η` | ejθ`


t

= |η` |t ejθ` t

; donde θ` = ∠η`

(10.134)

Por lo tanto, tenemos que: La magnitud 0 < |η` | < ∞ determina la velocidad con la que el modo decae a cero, en el caso de sistemas estables (|η` | < 1), o crece hasta infinito, para sistema inestables (|η` | > 1). El a´ngulo −π < θ` ≤ π determina la frecuencia discreta de oscilaci´on del modo natural, medida en radianes. A pesar que los modos naturales de un sistema estable decaen a cero, ellos determinan la respuesta transiente del sistema. Para apreciar esto, generalmente se utiliza la respuesta!a escal´ on del sistema, con condiciones iniciales cero. Ejemplo 10.11. Consideremos el sistema dicreto de primer orden: x[t + 1] = η` x[t] + u[t] y[t] = (1 − η` )x[t]

(10.135) (10.136)

Para obtener la respuesta a escal´ on, usamos la ecuaci´ on (10.123), donde xo = 0 y u[t] = 1, ∀t ≥ 0: ! t−1 X t−i−1 Ad Bd (10.137) y[t] = Cd i=0

= (1 − η` ) = 1 − η`t

t−1 X i=0

η`t−i−1

!

= (1 − η` )η`t−1

1 − η`−t 1 − η`−1

(10.138) (10.139)

La salida, y[t] = yh [t] + yp [t] se muestra en la Figura 10.8, para diferentes valores del u ´nico autovalor η` . El transiente est´ a dado por yh [t] = −η`t , mientras que la respuesta estacionaria es yp [t] = 1. 222 En la (10.134) apreciamos que los autovalores de un sistema determinan la amortiguaci´on de su respuesta transiente, sin embargo, tambi´en determinan su frecuencia de oscilaci´on (cuando los autovalores tienen parte imaginaria no nula). El problema que puede surgir cuando existen estos modos resonantes es an´alogo al caso de tiempo continuo cuando la entrada el sistema contiene una sinusoide u otra se˜ nal con energ´ıa en la banda de frecuencias cercana a la frecuencia de oscilaci´on natural del sistema. A pesar que la salida del sistema permanece acotada, ella puede alcanzar amplitudes intolerables para el sistema f´ısico real.

transiente|seerespuesta!transitoria respuesta!a escal´ on resonancia

282

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

per´ ıodo!de muestreo muestreo!per´ ıodo de

1

y[k]

0.8 0.6 η = 0.2 η = 0.6 η = 0.8

0.4 0.2 0

0

1

2

3

4

5 6 tiempo discreto k

7

8

9

10

Figura 10.8: Respuesta a escal´on del sistema para diferentes autovalores.

Ejemplo 10.12. Consideremos el sistema discreto por:     1 1,2796 −0, 81873 u[t] x[t] + x[t + 1] = 0 1 0   y[t] = 0 0, 5391 x[t]

(10.140) (10.141)

Los autovalores del sistema se obtiene a partir de Ad :

π

η1,2 = 0, 6398 ± j0, 6398 = 0, 9048 ej 4

(10.142)

Los modos naturales asociados, presentes en la respuesta transiente, son:


π t (10.143) = 0, 9048t ej 4 t = 0, 9048t cos π4 t ± j sen π4 t η1,2

Los modos naturales est´ an levemente amortiguados, ya que |η1,2 | es cercano a 1, y muestra una oscilaci´ on de frecuencia π4 . En los gr´ aficos de la Figura 10.9 se muestra el efecto de resonancia en
la salida del sistema. En la parte superior, se ha considerado u[t] = sen π4 t , es decir, la entrada tiene la misma frecuencia que los modos naturales. En la parte π . En este inferior, en tanto, la entrada es una se˜ nal cuadrada de frecuencia 12 u ´ltimo caso, la frecuencia de la tercera arm´ onica de la entrada coincide con la de los modos naturales. 222 Efecto del per´ıodo de muestreo Si observamos las ecuaciones (10.112), podemos notar que las matrices Ad y Bd dependen de la elecci´on del per´ıodo de muestreo ∆. Esta elecci´on tendr´a un efecto directo sobre la posici´on de los polos del sistema. Lema 10.5. Dado un sistema de tiempo continuo con {λi , . . . , λn }, si este sistema es muestreado con un per´ıodo de muestreo ∆, entonces los autovalores del sistema discreto resultante son {η1 , . . . , η` }, en que: η ` = e λ` ∆

(10.144)

10.4. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS283 5 y[k] u[k]

0

−5

0

5

10

15

20 25 tiempo discreto k

30

35

40

10

15

20 25 tiempo discreto k

30

35

40

3 y[k] u[k]

2 1 0 −1 −2 −3

0

5

Figura 10.9: Resonancia en la salida del sistema.

Demostraci´ on La matriz del sistema de tiempo continuo A puede ser diagonalizada utilizando sus autovalores: A = T−1 diag{λ1 , . . . , λn }T

(10.145)

donde {λ1 , . . . , λn } son los autovalores del sistema de tiempo continuo. Entonces, usando (10.112): Ad = eA∆ = eT

−1

diag{λ1 ,...,λn }T∆

= eT

−1

diag{λ1 ∆,...,λn ∆}T

= T−1 diag{eλ1 ∆ , . . . , eλn ∆ }T

(10.146)

donde el u ´ltimo paso es consecuencia de la definici´ on de la exponencial de una matriz (Ap´endice F). De esta forma, a partir de (10.146) resulta evidente que los autovalores de Ad son precisamente {eλ1 ∆ , . . . , eλn ∆ }. 222 En la Figura 10.10 se muestra la respuesta del sistema muestreado del Ejemplo 10.9, considerando x1 [t] como la salida del sistema, cuando inicialmente xo = [1 0]T , para diferentes valores de ∆. Se debe notar que el eje horizontal corresponde a los instantes discretos t, por tanto los instantes de tiempo reales son t∆ [seg.]

284

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

retardo

Tiempo de muestreo ∆=0.5

x1[k]

1

0.5

0

0

2

4

6

8 10 12 Tiempo de muestreo ∆=1

14

16

18

20

0

2

4

6

8 10 12 Tiempo de muestreo ∆=2

14

16

18

20

0

2

4

6

14

16

18

20

x1[k]

1

0.5

0

x1[k]

1

0.5

0

8

10 12 tiempo discreto k

Figura 10.10: Efecto del muestreo en los modos naturales

En base a lo anterior, es importante notar que: La elecci´on del per´ıodo de muestreo es un aspecto fundamental a considerar cuando se muestrea un sistema de tiempo continuo, de manera que sea los suficientemente peque˜ no para reflejar fielmente las se˜ nales que se muestrean. Ejemplo 10.13. Para ilustrat una mala elecci´ on de ∆, supongamos una se˜ nal f (t) = A sen(ωo t) que es muestreada cada ∆ segundos, con ∆ = 2`π/ω, ` ∈ N. Entonces, la se˜ nal discreta resultante es f [t] = 0, ∀t ∈ Z, es decir, una constante ! 222 Sistemas muestreados y retardos En la secci´on §10.3, mencionamos que no es posible describir sistemas con retardos puros mediante modelos en variables de estado de dimensi´on finita. Sin embargo, este problema se puede ser evitado muestreando las se˜ nales. Esto se ilustra a trav´es del siguiente ejemplo. Ejemplo 10.14. Considere el sistema t´ermico que se bosqueja en la Figura 10.11. La temperatura medida en el caudal, y(t), depende de la potencia que

10.4. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS285

u(t)

Calefactor

y(t) Sensor

flujo

Figura 10.11: Sistema t´ermico con retardo.

entregue al flu´ıdo la fuente de calor. Esta es controlado por una se˜ nal de control u(t). Los cambios en u(t) producen cambios en la temperatura y(t), pero con un retardo de tiempo no despreciable. El sistema linealizado se representa mediante la funci´ on de transferencia: Y (s) e−τ s K = H(s) = U (s) s+λ

(10.147)

Donde U (s) e Y (s) son las transformadas de Laplace de u(t) e y(t) respectivamente. Supongamos luego que las se˜ nales de entrada y salida son muestreadas cada ∆ [s]. El retardo τ , tambi´en en segundos, es funci´ on de la velocidad del flujo y podemos suponer, por simplicidad, que τ es un m´ ultiplo del intervalo de muestreo ∆, es decir, τ = m∆, m ∈ Z+ . Este retardo se convierte en un factor z m en el denominador de la funci´ on de transferencia en el dominio de la transformada Zeta. Es decir, el retardo se convierte en un conjunto de m polos en el origen. Adem´ as, en base a la ecuaci´ on (10.144), el autovalor del sistema continuo en s = −λ se transforman en un autovalor del sistema discreto en z = e−λ∆ . La funci´ on de transferencia resultante es: K 1 − e−λ∆ Y [z] = H[z] = U [z] λ z m (z − e−λ∆ )

(10.148)

que puede expresarse mediante el modelo de estado discreto: x1 [t + 1] = x2 [t]

(10.149)

x2 [t + 1] = x3 [t] .. .. . . xm [t + 1] = xm+1 [t] −λ∆

xm+1 [t + 1] = e xm+1 [t] + y[t] = x1 [t]

(10.150)

(10.151) K λ (1

−e

−λ∆

)u[t]

(10.152) (10.153)

A´ un m´ as, podemos interpretar las variables de estado xm+1 [t], . . . , x1 [t] como la temperatura en puntos equiespaciados entre el calefactor y el sensor de temperatura (suponiendo un caudal de velocidad constante). 222

286 transformaci´ on del estado estado!transformaci´ on similaridad funci´ on de transferencia matriz!adjunta

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

Cuando el retardo τ no es m´ ultiplo exacto del per´ıodo de muestreo ∆, en la funci´on de transferencia aparecen un polo y un cero adicionales (consulte, por ejemplo, [6]).

10.4.4.

Transformaciones de similaridad

Las diferentes elecciones del vector de estado para sistemas discretos se relacionan de la misma manera que para sistemas de tiempo continuo a trav´es de las transformaciones de similaridad (Secci´on §10.3.3). De igual forma, muchas de las propiedades del sistema, como la ubicaci´on de las frecuencias naturales o autovalores, la controlabilidad y la observabilidad tambi´en permanecen invariantes ante este tipo de transformaciones.

10.4.5.

Espacio de estado y funciones de transferencia

Para los sistemas de tiempo discreto la relaci´on entre los modelos en variables de estado y aquellos mediante funciones de transferencia es an´aloga al caso de tiempo continuo (Secci´on §10.3.4). Como hemos mencionado, el modelo en variables de estado de un sistema lineal, invariante en el tiempo es una descripci´on alternativa a la funci´on de transferencia, que a menudo entrega mayor informaci´on sobre el sistema. Para un sistema de tiempo discreto, lineal e invariante, con entrada u[t] ∈ R m y salida y[t] ∈ Rp , la funci´on de transferencia, H[z], est´a definida como: Y[z] = H[z]U[z];

where [H[z]]ij =

Yi [z] Uj [z]

(10.154)

Es decir, el elemento (i, j) en la matriz H[z] es la transformada Zeta de la respuesta en la i-´esima salida cuando se aplica un delta de Kronecker de amplitud unitaria en la j-´esima entrada, con condiciones iniciales cero y las dem´as entradas son iguales a cero ∀t ≥ 0. Por otro lado, si se aplica transformada Zeta a modelo en variables de estado de tiempo discreto (10.117)-(10.118), con condiciones iniciales cero, tenemos: X[z] = (zI − Ad )−1 Bd U[z]

(10.155)

Cd (zI − Ad )−1 Bd + Dd = H[z]

(10.157)

Y[z] = Cd X[z] + Dd U[z]

(10.156)

que se reduce a: En adelante, nos concentraremos en los sistemas escalares o SISO, i.e. m = p = 1, Bd , Cd T son vectores columna, y Dd = H[∞]. Podemos apreciar que en este caso H[z] es un cuociente de polinomios en la variable z, i.e. H[z] =

Cd Adj(zI − Ad ) Bd + Dd det(zI − Ad ) det(zI − Ad )

(10.158)

donde Adj(◦) denota la matriz adjunta de la matriz (◦) (ver Ap´endice F.

10.5. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS INTERCONECTADOS287 An´alogamente al caso de tiempo continuo, podemos observar que los polos de la funci´on de transferencia pertenecen al conjunto de autovalores de la matriz Ad . Sin embargo, como se aprecia en el Ejemplo 10.7 en la p´agina 271, para el caso continuo, puede suceder que algunos de los autovalores de A d no aparezcan como polos de la funci´on de transferencia. Esto implica la existencia de cancelaciones entre polos y ceros de la funci´on de transferencia (ver Secciones §10.6.1 y §10.6.2, m´as adelante).

cancelaci´ on realizaci´ on m´ ınima sistema!interconexi´ on

El resultado central para sistemas de tiempo discreto es el mismo que para el caso de sistemas de tiempo continuo : la funci´ on de transferencia puede no aportar la misma informaci´ on que el modelo en variables de estado para un mismo sistema. Para obtener un modelo en variables de estado a partir de la funci´on de transferencia de un sistema discreto, podemos usar el mismo procedimiento propuesto para sistemas continuos en la Secci´on §10.3.4. En este caso, usamos la transformada Zeta en lugar de la transformada de Laplace, que satisface la propiedad (ver Ap´endice E): F [z] = Z {f [t]}

⇐⇒

zF [z] = Z {f [t + 1]}

(10.159)

Ejemplo 10.15. Consideremos el sistema discreto dado por su funci´ on de transferencia: H[z] =

2z 2 − z + 1 1,8z + 0, 04 = 2 +2 (z − 0, 8)(z − 0, 6) z − 1,4z + 0, 48

(10.160)

Una realizaci´ on m´ınima para este sistema est´ a dada por las matrices:     0 1 0 Ad = ; Bd = (10.161) −0, 48 −1,4 1   Cd = 0, 04 1,8 ; Dd = 2 (10.162)

222

Para sistemas de tiempo discreto tambi´en tenemos que la funci´ on de transferencia del sistema es invariante respecto a transformaciones de similaridad.

10.5.

Modelos de estado para sistemas interconectados

Para construir modelos en espacio de estados de sistemas complejos estos pueden ser a menudo descritos como la interconexi´on de sistemas m´as simples. Esta interconexi´on es usualmente la combinaci´on de tres tipos b´asicos de estructuras: conexi´on en serie, en paralelo y en realimentaci´on. En cada uno de

288 conexi´ on!serie(cascada) serie!conexi´ on cascada|seeconexi´ on conexi´ on!paralelo paralelo!conexi´ on

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

estos casos nos interesa obtener un modelo en variables de estado del sistema completo resultante. Para el an´alisis que sigue consideramos dos sistemas, definidos mediante su modelo en variables de estado:   dx1 (t) = A1 x1 (t) + B1 u1 (t) Sistema 1: (10.163) dt  y1 (t) = C1 x1 (t) + D1 u1 (t)   dx2 (t) = A2 x2 (t) + B2 u2 (t) Sistema 2: (10.164) dt  y (t) = C x (t) + D u (t) 2

2 2

2 2

Conexi´ on en serie

La interconexi´on de sistemas que se muestra en la Figura 10.12 se denomina conexi´on en serie o en cascada. Para obtener el modelo de estado deseado, observamos que y2 (t) = u1 (t). Adem´as, el sistema completo tiene como entrada u(t) = u2 (t), y como salida y(t) = y1 (t). Con esto se obtiene:        x˙ 1 (t) A1 B1 C2 x1 (t) B1 D 2 = + u(t) (10.165) x˙ 2 (t) x2 (t) 0 A2 B2    x1 (t)  + D1 D2 u(t) (10.166) y(t) = C1 D1 C2 x2 (t)

u(t) u2(t)

x2(t)

u1(t) y2(t)

x1(t)

y1(t)

y(t)

Figura 10.12: Conexi´on de sistemas en serie

Conexi´ on en paralelo La interconexi´on de sistemas que se muestra en la Figura 10.13 se denomina conexi´on en paralelo. Para obtener el modelo de estado deseado, observamos que la entrada es u(t) = u1 (t) = u2 (t) y que la salida para el sistema se expresa como y(t) = y1 (t) + y2 (t). De esta forma, se obtiene:        x1 (t) B1 x˙ 1 (t) A1 0 u(t) (10.167) + = B2 x˙ 2 (t) 0 A2 x2 (t)     x1 (t) y(t) = C1 C2 + D1 + D2 u(t) (10.168) x2 (t)

10.5. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS INTERCONECTADOS289

u1(t)

x1(t)

+

u(t)

u2(t)

x2(t)

conexi´ on!realimentaci´ on realimentaci´ on feedback!seerealimentaci´ on lazo de control planta controlador

y1(t) y(t)

+ y2(t)

Figura 10.13: Conexi´on de sistemas en paralelo

Conexi´ on en realimentaci´ on La interconexi´on de sistemas que se muestra en la Figura 10.14 se denomina conexi´on en realimentaci´on o feedback (con realimentaci´on negativa unitaria), y aparece normalmente asociada a la estructura b´asica del lazo de control realimentado, donde S1 es la planta y S2 es el controlador. Para obtener el modelo en variables de estado del sistema en su conjunto, podemos apreciar que la entrada al sistema completo satisface la ecuaci´on u(t) = u2 (t) + y1 (t), y que la salida del sistema es y(t) = y1 (t). Si suponemos adem´as que el sistema S1 (la planta) es estrictamente propia, es decir, D1 = 0, se obtiene:        B1 D 2 A1 − B1 D2 C1 B1 C2 x1 (t) x˙ 1 (t) + u(t) (10.169) = x2 (t) x˙ 2 (t) B2 −B2 C1 A2     x1 (t) (10.170) y(t) = C1 0 x2 (t)

u(t)

u2(t) +

−

x2(t)

y2(t) u1(t)

x1(t)

y1(t)

y(t)

Figura 10.14: Conexi´on de sistemas en realimentaci´on (feedback )

Es importante notar que es posible aplicar los mismos resultados anteriores a modelos de estado de sistemas de tiempo discreto interconectados. El lector interesado en m´as detalles puede consultar, por ejemplo, [22].

290 sistema!propiedades control controlabilidad sistema!controlable estado!controlable alcanzabilidad sistema!alcanzable estado!alcanzable

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

10.6.

Propiedades de los sistemas

10.6.1.

Controlabilidad, Alcanzabilidad y Estabilizabilidad

Una cuesti´on de inter´es, en especial pensando en el control de sistemas, es bajo qu´e condiciones es posible llevar el vector de estado a un punto espec´ıfico del espacio de estado, a trav´es de las se˜ nales de entrada al sistema. Debemos recordar que el estado de un sistema a menudo est´a formado por variables internas de este, tales como temperatura, presi´on, el nivel de alg´ un estanque u otras, que en pueden ser cr´ıticas e interesa mantenerlas controladas entre algunos valores espec´ıficos. En esta secci´on se revisan conceptos relacionados con este objetivo. Controlabilidad El concepto de controlabilidad se refiere a determinar si, a partir de una condici´on inicial x0 , es posible o no llevar el vector de estado al origen, x = 0, en un tiempo finito, usando la entrada u(t). Ejemplo 10.16. Si observamos el modelo definido en (10.171), podemos apreciar que la entrada u(t) no tiene efecto alguno sobre el estado x 2 (t). 

  0 x˙ 1 (t) = 0 x˙ 2 (t)

1 0



   1 x1 (t) u(t) + 0 x2 (t)

(10.171)

Dado un estado inicial [x1 (0), x2 (0)]T , la entrada u(t) puede ser elegida para llevar x1 (t) a cero, mientras que x2 (t) no sufre ning´ un cambio. Diremos que este sistema no es completamente controlable. 222 Formalmente, tenemos la siguiente definici´on: Definici´ on 10.1. Un estado xo se dice controlable si existe un intervalo de tiempo finito [0, T ] y una entrada {u(t), t ∈ [0, T ]} tal que x(T ) = 0. Si todos los estados son controlables, entonces se dice que el sistema es completamente controlable. Alcanzabilidad Un concepto relacionado con la controlabilidad es la alcanzabilidad, usado en general para sistemas de tiempo discreto. Formalmente se define como: Definici´ on 10.2. Un estado x 6= 0 se dice alcanzable desde el origen, si dado x(0) = 0, existe un intervalo de tiempo finito [0, T ] y una entrada {u(t), t ∈ [0, T ]} tal que x(T ) = x. Si todos los estados del sistema son alcanzables se dice que el sistema es completamente alcanzable.

10.6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

291

Para sistemas de tiempo continuo, lineales e invariantes, completa controlabilidad y alcanzabilidad son equivalentes. Sin embargo, el ejemplo siguiente ilustra una diferencia entre estas propiedades para sistemas de tiempo discreto. Ejemplo 10.17. Considere el sistema y la salida:    0, 5 1 0, 5 x[t + 1] = x[t] =⇒ x[t] = −0, 25 −0, 5 −0, 25 | {z }

1 −0, 5

t

x[0]

(10.172)

Ad

Podemos apreciar que el sistema es completamente controlable, pues x[t] = 0, ∀t ≥ 2 y ∀x[0] ∈ R2 . Esto implica que cualquier estado inicial es controlable. Sin embargo, ning´ un estado diferente de cero es alcanzable desde el origen, ya que si x[0] = 0, entonces x[t] = 0, ∀t ∈ N. 222 Dada esta distinci´on entre controlabilidad y alcanzabilidad para sistemas discretos, en adelante usaremos el t´ermino controlabilidad para referirnos al m´as fuerte de ambos conceptos. Sin embargo, en el contexto de sistemas lineales e invariantes en el tiempo, por lo general se habla indistintamente de controlabilidad y alcanzabilidad. Test de controlabilidad

Dado que no siempre es posible, a priori, determinar si un sistema es o no controlable, se presenta a continuaci´on una manera sistem´atica para determinar la completa controlabilidad de un sistema. Los conceptos involucrados sobre matrices pueden ser consultados en el Ap´endice F. Teorema 10.3. Considere el modelo de estado lineal e invariante en el tiempo, donde A ∈ Rn×n : ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

(10.173) (10.174)

(i) El conjunto de todos los estados controlables es el espacio rango de la matriz de controlabilidad Γc [A, B] donde: 4  Γc [A, B] = B

AB

A2 B

...

 An−1 B

(10.175)

(ii) El modelo es completamente controlable si y s´ olo si Γc [A, B] tiene rango fila completo. 222 Ejemplo 10.18. Considere el modelo en variables de estado dado por (10.171), con matrices de estado:     1 0 1 (10.176) ; B= A= 0 0 0

controlabilidad!test alcanzabilidad!test controlabilidad!matriz matriz!de controlabilidad

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

292 similaridad controlabilidad!p´ erdida

La matriz de controlabilidad del sistema es: Γc [A, B] = [B, AB] =



1 0

0 0



(10.177)

Claramente, el rango Γc [A, B] = 1, por tanto el sistema no es completamente controlable. 222 Este test puede ser aplicado indistamente para analizar la controlabilidad de sistemas de tiempo continuo y la alcanzabilidad de sistemas de tiempo discreto. La controlabilidad de un sistema es otra de las propiedades que no depende de la elecci´on de las variables de estado. Si consideramos una transformaci´on de similaridad arbitraria T (ver Secci´on §10.3.3) observamos que: A

n

= (T−1 A T)(T−1 A T) . . . (T−1 A T) = T−1 A (TT−1 )A(TT−1 ) . . . (TT−1 )A T = T−1 An T (10.178)

para todo n ∈ N, por lo tanto: Γc [ A, B ] = T−1 Γc [A, B]

(10.179)

Esto implica que la matrices Γc [ A, B ] y Γc [A, B] tienen el mismo rango, pues T es no singular. El lector puede verificar que los modelos en variables de estado usados para describir se˜ nales en la Secci´on §10.2.3 corresponden son no controlables. De hecho, cualquier modelo de estado en que B = 0 resulta ser no controlable . P´ erdida de controlabilidad La falta de controlabilidad en un sistema en ocasiones puede originarse en la estructura misma del sistema, sin embargo, en otras ocasiones depende del valor num´erico de ciertos par´ametros. Esto se ilustra a trav´es del siguiente ejemplo. Ejemplo 10.19. Considere el circuito en la Figura 10.15 en la p´ agina siguiente. En primer lugar, nos interesa obtener un modelo de ´el en variables de estado. Eligiendo como variables de estado x1 (t) = iR1 (t) y x2 (t) = vC3 (t), y usando leyes b´ asicas de redes el´ectricas para la parte izquierda del circuito, tenemos que: iC1 = C1

d (vi −v+ ); dt

iR1 =

vi − v + ; R1

iR2 =

v+ ; R2

iC1 = iR2 −iR1 (10.180)

Lo que permite obtener: diR1 (t) (R1 + R2 ) 1 =− iR1 (t) + vi (t) dt C1 R1 R2 C1 R 1 R2 v+ (t) = −R1 iR1 (t) + vi (t)

(10.181) (10.182)

10.6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

iR1(t)

R1

293

Op.Amp. v+ (t)

v− (t)

+

R3

− vi (t)

C1

R2

vC3(t)

C3

vo (t)

Figura 10.15: Circuito electr´onico para el Ejemplo 10.19.

De manera similar, para el lado derecho del circuito tenemos que: 1 1 dvC3 (t) =− vC3 (t) + v− (t) dt R3 C3 R3 C3 vo (t) = vC3 (t)

(10.183) (10.184)

El amplificador operacional (ideal) asegura que v+ (t) = v− (t), por tanto, podemos combinar (10.181)–(10.184) para obtener:      1 (R1 + R2 ) diR1 (t)   0 −  iR1 (t)  C1 R1 R 2   dt   C1 R1 R2  vi (t) (10.185)  dv (t)  =  1 R1 1  vC3 (t) +  C3 − − C3 R3 R3 C3 R3 C3 dt     iR1 (t) (10.186) vo (t) = 0 1 vC3 (t) 

La matriz de controlabilidad est´ a dada por: 

1  R1 R2 C1 Γc [A, B] = B AB =   1 R3 C3 



 −(R1 + R2 )  (R1 R2 C1 )2  −(R2 C1 + R3 C3 )  (R3 C3 )2 R2 C1

(10.187)

y su determinante es igual a: det (Γc [A, B]) =

R2 (−R1 C1 + R3 C3 ) (R1 R2 R3 C1 C2 )2

(10.188)

donde se observa que el sistema es completamente controlable si y s´ olo si: R1 C1 6= R3 C3

(10.189)

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

294 cancelaci´ on gramiano!controlabilidad controlabilidad!gramiano

Esta condici´ on tiene una interpretaci´ on muy importante desde el punto de vista de la funci´ on de transferencia del sistema. Si se aplica transformada de on de transferencia desde Laplace a las ecuaciones (10.181)–(10.184), la funci´ Vi (s) a Vo (s), recordando que V+ (s) = V− (s), est´ a dada por:   1 1 s+ Vo (s) Vo (s) V+ (s) R1 C1 R 3 C3    = = · (10.190) 1 R1 + R 2 Vi (s) V− (s) Vi (s) s+ s+ R3 C3 R 1 R2 C1 Donde se aprecia que la p´erdida de la completa controlabilidad cuando R 1 C1 = on de un R3 C3 (obtenida a partir de (10.188)), se traduce en una cancelaci´ cero con un polo en la funci´ on de transferencia. Siendo m´ as espec´ıfico, el cero de la mitad izquierda del circuito en la Figura 10.15 se cancela con el polo de la otra parte del circuito. Este hecho ser´ a analizado con mayor detalle en la Secci´ on §10.6.3. 222 Gramiano de controlabilidad El test de controlabilidad da una respuesta afirmativa o negativa sobre la (completa) controlabilidad de un sistema dado. Sin embargo, el saber que un sistema es completamente controlable no dice nada respecto a qu´e grado de controlabilidad el sistema posee, es decir, qu´e tan dif´ıcil es controlar un estado del sistema. Para sistemas estables es posible cuantificar el esfuerzo de control a trav´es de la energ´ıa involucrada en la se˜ nal de entrada u(t) aplicada desde t = −∞ para alcanzar el estado x(0) = x0 en t = 0: J(u) =

Z

0 2

−∞

ku(t)k dt =

Z

0

u(t)T u(t)dt

(10.191)

−∞

Se puede demostrar [1] que la energ´ıa de control m´ınima necesaria es: J(uopt ) = xT0 P−1 x0 ≥ 0

(10.192)

donde P=

Z

∞

T

eAt BBT eA t dt

(10.193)

0

La matriz P ∈ Rn se denomina gramiano de controlabilidad, y es una medida de la controlabilidad del vector de estado x(0). Para apreciar por qu´e esta matriz proporciona una medida de controlabilidad relativa, podemos recurrir a los resultados del Ap´endice F. Esta matriz P es sim´etrica y por tanto todos sus autovalores {λ1 , λ2 , . . . , λn } son reales y distintos, y sus autovectores asociados {v1 , v2 , . . . , vn } son ortogonales y pueden

10.6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

295

elegirse de norma unitaria, es decir, kvi k2 = viT vi = 1. Entonces, la matriz puede escribirse como: P=

n X i=1

λi vi · viT

⇐⇒

P−1 =

n X i=1

T λ−1 i vi · v i

(10.194)

Adem´as, dado un vector x0 ∈ Rn , existen constantes reales α1 , . . . , αn tales que: n X x0 = α i vi (10.195) i=1

As´ı, sin p´erdida de generalidad, la ecuaci´on (10.192) se puede re-escribir como: n X (10.196) αi2 λ−1 J(uopt ) = xT0 P−1 x0 = i i=1

De (10.196) se observa que si x0 est´a alineado con v` , donde λ` es muy peque˜ no, entonces el costo (energ´ıa) de llevar el estado desde el origen, en t = −∞, hasta x0 en t = 0, es muy grande y diremos que ese estado en particular es dif´ıcilmente controlable. Volviendo a la ecuaci´on (10.193), es importante destacar que la existencia de esta integral est´a garantizada pues el sistema es estable, y por lo tanto todos los autovalores de la matriz A tienen parte real negativa. Es m´as, el gramiano de controlabilidad P definido en (10.193) satisface la ecuaci´on de Lyapunov: AP + PAT + BBT = 0

(10.197)

Para sistemas de tiempo discreto, se puede realizar un an´alisis similar, donde el gramiano de controlabilidad se define como: Pd =

∞ X

Ad t Bd Bd T (Ad T )t

(10.198)

t=0

que satisface la ecuaci´on de Lyapunov Ad P d Ad T − P d + B d B d T = 0

(10.199)

La suma definida (10.198) existe si y s´olo si el sistema de tiempo discreto es estable, lo cual equivale a restringir los autovalores al interior del disco unitario: Ejemplo 10.20. Consideremos nuevamente el modelo del circuito en el Ejemplo 10.19 en la p´ agina 292, dado por (10.185)-(10.186). Si queremos apreciar la informaci´ on dada por el gramiano de controlabilidad, definido en (10.193), cuando el modelo est´ a cerca de perder la completa controlabilidad, podemos considerar valores para los par´ ametros que aseguren R1 C1 ≈ R3 C3 . En particular, elegimos: R1 = R2 = R3 = 1[KΩ];

C1 = 0,9[mF ];

C3 = 1[mF ]

(10.200)

Lyapunov!ecuaci´ on gramiano!controlabilidad!tiempo discr controlabilidad!gramiano!tiempo discr

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

296

Note que hemos utilizado unidades especiales, donde mF corresponde a 10 −3 [F] y KΩ a 103 [Ω]. Esto hace que el tiempo sea medido en segundos, la corriente en mili-amperes y la tensi´ on, en Volts. El modelo de estado queda descrito por:    20    10  iR1 (t) −9 0 i˙ R1 (t) = + 9 vi (t) (10.201) −1 −1 vC3 (t) 1 v˙ C3 (t)     iR1 (t) (10.202) vo (t) = 0 1 vC3 (t)

En este caso, algunos estados, es decir ciertas combinaciones de valores de valores para iR1 y vC3 , son m´ as dif´ıciles de alcanzar que otros. Para verificar esto podemos calcular el gramiano de controlabilidad definido en (10.193), resolviendo: 0 = AP + PAT + BBT     20 p11 p12 p −9 0 + 11 0= p21 −1 −1 p21 p22

p12 p22



− 20 9 0



−1 + −1

 10  9

1

 10 9

(10.203)  1

(10.204)

Usando Matlab obtenemos: Matlab >> >> >> >> >> >>

A=[-20/9 0; -1 -1]; B=[10/9 ; 1]; C=[1 0]; S=ss(A,B,C,0); P=gram(S,’c’) inv(P)

P=



0,2778 0,2586

0,2586 0,2414



P−1 = 10−3 ×



1,4616 −1,5660

−1,5660 1,6820



(10.205)

Los autovalores de P son λ1 = 0,0003 y λ2 = 0,5188 con sus correspondientes autovectores v1 = [0,6818 − 0,7315]T y v2 = [0,7315 0,6818]T . As´ı podemos calcular, usando la ecuaci´ on (10.192), la m´ınima energ´ıa de control necesaria para llevar el estado x(t), from 0 in t = −∞, to x0 in t = 0. Suponemos que x0 is colineal con los autovectores: x0 = v 1 x0 = v 2

⇒ ⇒

J(uopt ) = 3141,7 J(uopt ) = 1,9274

(10.206) (10.207)

donde claramente se verifica que la energ´ıa de control para alcanzar el estado x0 = v1 es tres o ´rdenes de magnitud mayor que la necesaria para alcanzar x0 = v 2 .

10.6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

297

Tambi´en, si substitutimos los valores num´ericos de los par´ ametros en la on de transferencia resulta ser: ecuaci´ on (10.190), vemos que la funci´
s + 1 + 91 1 Vo (s)
(10.208) = Vi (s) (s + 1) s + 20 9

donde observamos una cuasi-cancelaci´ on de un polo con un cero.

222 Es posible generalizar el concepto de gramiano para inclu´ır el caso de sistemas inestables, como el lector interesado puede conocer consultando [23]. Descomposici´ on can´ onica y estabilizabilidad En el caso que un sistema no sea completamente controlable, este puede decomponerse en un subsistema controlable y completamente incontrolable tal como establece el siguiente lema. Lema 10.6. Considere un sistema para el cual rango{Γc [A, B]} = t < n, entonces existe una transformaci´ on de similaridad x = T−1 x, en que las nuevas matrices de estado tienen la forma:   Ac A12 A = T−1 AT = (10.209) 0 Anc   Bc (10.210) B = T−1 B = 0 donde Ac tiene dimensi´ on k y el par (Ac , Bc ) es completamente controlable. 222 Este resultado establece cu´ales estados pueden y cu´ales no pueden ser llevados a cero. Para apreciar mejor este hecho, expresemos el estado y la salida de la forma: 

      x˙ c Ac A12 xc Bc + u = 0 x˙ nc 0 Anc xnc     xc y = Cc Cnc + Du xnc

(10.211) (10.212)

El subespacio controlable del modelo en variables de estado est´a compuesto por todos los estados generados como combinaci´on de los estados en xc . La estabilidad de este subespacio est´a determinada por la ubicai´on de los autovalores de la matriz Ac . Por otra parte, el subespacio no controlable est´a formado por todos los estados generador como combinaci´on lineal de los estados en xnc , y su estabilidad queda determinada por los autovalores de la matriz Anc .

cancelaci´ on!cuasidescomposici´ on can´ onica!alcanzabilida subespacio!controlable

298 estabilizabilidad sistema!estabilizable cancelaci´ on forma can´ onica!controlable controlabilidad!forma can´ onica forma can´ onica!del controlador controlador!forma can´ onica

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

De esta forma, la entrada no tiene efecto alguno sobre el subespacio no controlable, por lo que podr´ıamos esperar que este subespacio fuera al menos estable, de manera que sus estados decaigan naturalmente al origen. En este caso el modelo en variables de estado se denomina estabilizable. Una consecuencia clave de la descripci´on dada por (10.211)-(10.212) es el hecho que la funci´on de transferencia queda dada por: H(s) = Cc (sI − Ac )−1 Bc + D

(10.213)

La ecuaci´on (10.213) dice que los autovalores del subespacio no controlable no aparecen como polos de la funci´on de transferencia. Esto implica que existe una cancelaci´on de los polos correspondientes a las ra´ıces de det(sI − A nc ). Forma can´ onica controlable Lema 10.7. Considere un modelo de estado completamente controlable para un sistema SISO. Entonces, existe una transformaci´ on de similaridad tal que el modelo de estado se puede expresar en la forma can´ onica controlable:     0 0 ... 0 −α0 1 1 0 . . . 0  0 −α 1        −α2  A0 =  0 1 . . . 0 B0 =  0 (10.214)   .. .. . .   ..  . .. . .    . .. . . 0

0

...

1

−αn−1

0

donde: λn + αn−1 λn−1 + · · · + α1 λ + α0 = det(λI − A)

(10.215)

es el polinomio caracter´ıstico de A. 222 Lema 10.8. Considere un modelo de estado completamente controlable para un sistema SISO. Entonces, existe una transformaci´ on de similaridad que convierte el modelo de estado en la forma can´ onica del controlador:     −αn−1 −αn−2 . . . −α1 −α0 1   1 0 0 . . . 0 0        1 ... 0 0  A00 =  0 B00 = 0 (10.216)    ..  ..  .. . . .. .. ..   . . . . 0

0

...

1

0

0

donde: λn + αn−1 λn−1 + · · · + α1 λ + α0 = det(λI − A)

(10.217)

es el polinomio caracter´ıstico de A. 222

10.6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

10.6.2.

299

Observabilidad, Reconstructibilidad y Detectabilidad

Si consideramos el modelo de estado de un sistema dado, podemos es razonable suponer que si se observa su salida durante un intervalo de tiempo, entonces podr´ıamos obtener informaci´on sobre su estado. La propiedad asociada a este concepto se denomina observabilidad. Observabilidad La observabilidad de un sistema se refiere a la informaci´on que se puede obtener sobre el estado a partir de mediciones de su salida. Ejemplo 10.21. Si consideramos el sistema definido por el modelo en variables de estado:          x1 (t) x1 (t) −1 0 x˙ 1 (t) (10.218) y(t) = 1 0 = x2 (t) 1 −1 x2 (t) x˙ 2 (t)

Podemos apreciar que y(t) queda determinada por x1 (t), mientras que la otra variable de estado x2 (t) no tiene influencia alguna sobre la salida. Por tanto el sistema no es completamente observable, es decir, existe una parte del estado de la cual nunca se obtendr´ a informaci´ on alguna. 222 Se puede formalizar la definici´on de observabilidad de la siguiente forma: Definici´ on 10.3. El estado xo 6= 0 se dice no observable si dado x(0) = xo , y u(t) = 0 para t ≥ 0, entonces y(t) = 0 para t ≥ 0, es decir, la condici´ on inicial xo no tiene efecto alguno sobre la salida del sistema. El sistema se dice completamente observable si no existe estado inicial, diferente de cero, que sea no observable. Reconstructibilidad Otro concepto estrechamente relacionado al de observabilidad, es el que se denomina reconstructibilidad. Este, para sistemas de tiempo discreto, se refiere a qu´e se puede decir de x(K), habiendo observado valores pasados de la salida y[t], durante 0 ≤ t ≤ K. Para sistemas de tiempo continuo, lineales e invariantes, no es necesario hacer distinci´on entre observabilidad y reconstructibilidad. Sin embargo, el siguiente ejemplo ilustra que para sistemas de tiempo discreto, estos conceptos son diferentes. Ejemplo 10.22. Considere el modelo en espacio de estado: x[t + 1] = 0 y[t] = 0

x[0] = xo

(10.219) (10.220)

observabilidad estado!observable sistema!observable reconstructibilidad

300 observabilidad!test observabilidad!matriz matriz!de observabilidad

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

Este sistema es claramente reconstruible para todo K ≥ 1, ya que sabemos que x[K] = 0 para K ≥ 1. Sin embargo, es no observable pues y[t] = 0, ∀t sin importar xo . Dada la diferencia entre los conceptos de observabilidad y reconstructibilidad, en adelante usaremos el t´ermino observabilidad para referirnos al m´as fuerte de ambos conceptos. Test de observabilidad Para contar con un criterio que permita determinar si un sistema es o no observable, se presenta a continuaci´on el siguiente teorema. Teorema 10.4. Considere el sistema en variables de estado, continuo, lineal e invariante en el tiempo: ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t)

(10.221)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

(10.222)

donde A ∈ Rn×n . (i) El conjunto de estados no observables es igual al subespacio nulo de la matriz de observabilidad Γo [A, C] donde:   C   4  CA  Γo [A, C] =  .  (10.223)  ..  CAn−1 (ii) El sistema es completamente observable si y solo si Γo [A, C] tiene rango columna completo n. 222 Este test de observabilidad puede aplicarse indistintamente a sistemas de tiempo discreto y continuo. Ejemplo 10.23. Considere el siguiente modelo en espacio de estado:       −3 −2 1 A= ; B= ; C = 1 −1 (10.224) 1 0 0 La matriz de observabilidad est´ a dada por:    1 C = Γo [A, C] = −4 CA

−1 −2



(10.225)

Entonces el rango de Γo [A, C] = 2, lo que dice que el sistema es completamente observable. 222

10.6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

301

Ejemplo 10.24. Si observamos el modelo definido en (10.218), tenemos:     −1 0 A= ; C= 1 0 (10.226) 1 −1 La matriz de observabilidad es:



1 Γo [A, C] = −1

0 0



(10.227)

El rango de Γo [A, C] = 1 < 2 y, por lo tanto, el sistema no es completamente observable. 222 La observabilidad de un sistema es una propiedad que no depende de la elecci´on de las variables de estado. An´alogamente al caso de la matriz de controlabilidad en la Secci´on §10.6.1, puede demostrarse que el rango de la matriz de observabilidad 10.223 en la p´agina anterior es invariante respecto a transformaciones de similaridad. P´ erdida de observabilidad La observabilidad de un sistema queda determinada b´asicamente por caracter´ısticas propias de su estructura. Sin embargo, tambi´en es posible que la observabilidad de un modelo se vea afectada por valores num´ericos particulares en algunos de sus par´ametros, de manera an´aloga a lo que sucede con la controlabilidad, tal como se analiz´o en la Secci´on §10.6.1. Es esperable que los par´ametros afecten la completa observabilidad de un modelo de una manera similar. Para esto se propone el siguiente ejemplo, que es el dual del Ejemplo 10.19 en la p´agina 292. Ejemplo 10.25. Consideremos el circuito de la Figura 10.16 en la p´ agina siguiente. Este corresponde al mismo de la Figura 10.15, pero en que se han intercambiado las redes el´ectricas a la derecha e izquierda del amplificador operacional. Por tanto, podemos utilizar ecuaciones similares a las antes obtenidas para describir el sistema en variables de estado. En particular, se escoge x 1 (t) = vC3 (t) y x2 (t) = iR1 (t). Para la parte izquierda del circuito, tenemos: 1 1 dvC3 (t) =− vC3 (t) + vi (t) dt R3 C3 R3 C3 v+ (t) = vC3 (t)

(10.228) (10.229)

Por su parte para la parte derecha: diR1 (t) (R1 + R2 ) 1 =− iR1 (t) + v− (t) dt C1 R1 R2 C1 R1 R2 vo (t) = −R1 iR1 (t) + v− (t)

(10.230) (10.231)

observabilidad!p´ erdida

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

302

Op.Amp. R3

v+ (t)

v− (t)

+

R1

iR1(t)

− vi (t)

C3

vC3(t)

R2

C1

vo (t)

Figura 10.16: Circuito electr´onico.

El amplificado operacional (ideal), conectado como un seguidor de voltaje, asegura que v+ (t) = v− (t), y por lo tanto podemos combinar los modelos de estado dados por las ecuaciones (10.228) a (10.231), para obtener:   1 dvC3 (t)   −R C  3 3  dt  =   di (t)   1 R1 dt C1 R1 R2 



vo (t) = 1



 1 0  vC3 (t)     +  R3 C3  vi (t) (10.232)      (R1 + R2 ) − iR1 (t) 0 C1 R1 R2   



 v (t)  C3   −R1    iR1 (t)

La matriz de observabilidad es:     C   = Γc [C, A] =     − CA

(10.233)

1 1 1 − R3 C3 R2 C1



−R1   R1 + R 2 

(10.234)

R2 C1

Para determinar el rango de esta matriz es necesario calcular su determinante: 1 det (Γc [C, A]) = (−R1 C1 + R3 C3 ) (10.235) R3 C3 C1 donde se observa que el modelo del sistema es completamente observable si y s´ olo si R1 C1 6= R3 C3 , misma condici´ on que se obtuvo en el Ejemplo 10.19 en la p´ agina 292. Aplicando transformada de Laplace a las ecuaciones (10.230)–(10.229) obten-

10.6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

303

emos la funci´ on de transferencia de Vi (s) a Vo (s):   1 1 s+ V+ (s) Vo (s) Vo (s) R1 C1 R C3  3 · = = R1 + R 2 1 Vi (s) Vi (s) V− (s) s+ s+ R1 R2 C1 R3 C3

cancelaci´ on gramiano!observabilidad observabilidad!gramiano

(10.236)

Cuando R1 C1 = R3 C3 se produce una p´erdida de la completa observabilidad del sistema, que se traduce en una cancelaci´ on de un polo con un cero en la funci´ on de transferencia, es decir, el polo del lado izquierdo del circuito en la Figure 10.16 se cancela con el cero del lado derecho. Es importante notar que, a pesar que el resutado similar es el mismo, existe un diferencia entre las funciones de transferencia (10.236) y (10.190) en la on es diferentes en cada caso. La canp´ agina 294, pues el orden de la cancelaci´ celaci´ on cero-polo se relaciona con la p´erdida de completa observabilidad y la cancelaci´ on polo-cero se relaciona con la p´erdida de completa controlabilidad. Volveremos en m´ as detalle a este punto en la Secci´ on §10.6.3. 222 Gramiano de observabilidad El test de observabilidad planteado en el Teorema 10.4 en la p´agina 300 permite determinar si un sistema es o no es completamente observable. sin embargo, en ocasiones puede ser de inter´es determinar el grado de observabilidad de un sistema dado. Para el caso de sistemas estables, podemos cuantificar la energ´ıa en la se˜ nal de salida y(t), en ausencia de se˜ nal de entrada (u(t) = 0), y cuando el estado inicial es x(0) = x0 , mediante: Z ∞ Z ∞ 2 E(x0 ) = ky(t)k dt = y(t)T y(t)dt (10.237) 0

0

Es posible demostrar que la energ´ıa en la salida del sistema est´a dada por: Z ∞ ky(t)k2 dt = xo T Qxo (10.238) E(xo ) = 0

donde Q=

Z

∞

T

eA t CT C eAt dt

(10.239)

0

La matriz Q se denomina gramiano de observabilidad, y cuantifica la observabilidad del vector de estado x(0). Para apreciar mejor esto, podemos recurrir a los resultados del Ap´endice F. La matriz Q es sim´etrica y por tanto todos sus autovalores {λ1 , λ2 , . . . , λn } son reales y distintos, y sus autovectores asociados {v1 , v2 , . . . , vn } son ortogonales y pueden elegirse de norma unitaria, es decir, kvi k2 = viT vi = 1. Entonces, la matriz puede escribirse como: Q=

n X i=1

λi vi · viT

(10.240)

304 Lyapunov!ecuaci´ on

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

Adem´as, dado un vector x0 ∈ Rn , existen constantes reales α1 , . . . , αn tales que: n X x0 = α i vi (10.241) i=1

As´ı, sin p´erdida de generalidad, la ecuaci´on (10.238) se puede re-escribir como: n X E(x0 ) = xT0 Qx0 = αi2 λi (10.242) i=1

De (10.242) se observa que si x0 est´a alineado con v` , donde λ` es muy peque˜ no, entonces el la energ´ıa presente en la salida debida a este estado inicial sera muy peque˜ na y diremos que ese estado en particular es dif´ıcilmente observable. Volviendo a la ecuaci´on (10.239), la existencia de la integral queda garantizada pues el sistema es estable, lo que asegura que los autovalores de la matriz A tienen parte real negativa. Adem´as, el gramiano de observabilidad Q definido en (10.239) satisface la ecuaci´on de Lyapunov: AT Q + QA + CT C = 0

(10.243)

Para sistemas estables de tiempo discreto, el gramiano de observabilidad queda definido por: Qd =

∞ X

(Ad T )t Cd T Cd Ad t

(10.244)

t=0

que satisface la ecuaci´on de Lyapunov: Ad T Q d Ad − Q d + C d T C d = 0

(10.245)

Ejemplo 10.26. Consideremos nuevamente el sistema del Ejemplo 10.25, descrito por el modelo de estado (10.232)–(10.233), para apreciar la utilidad del gramiano de observabilidad (10.239), en especial cuando el modelo est´ a pr´ oximo a perder la completa observabilidad, es decir, cuando R1 C1 ≈ R3 C3 . Suponemos los mismos valores para las componentes R1 , R2 , R3 , C1 y C3 que en el Ejemplo 10.20 en la p´ agina 295, con lo que obtenemos:        v˙ C3 (t) −1 0 vC3 (t) 1 + v (t) (10.246) = 10 iR1 (t) 0 i − 20 i˙ R1 (t) 9 9     vC3 (t) vo (t) = 1 −1 (10.247) iR1 (t) En este sistema ciertas combinaciones del estado (en t = 0) tendr´ an poco efecto en la salida. Para verificar esto podemos calcular el gramiano de observ-

10.6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

305 cancelaci´ on!cuasidualidad

abilidad (10.193), resolviendo: 0 = AT Q + QA + CT C     10 −1 q11 q12 q 9 0= + 11 q q q 0 − 20 21 22 21 9

q12 q22



−1 10 9





0 1 + −1 − 20 9





1

(10.248)  −1

(10.249)

Usando Matlab obtenemos: Matlab >> >> >> >> >>

A=[-1 0; 10/9 -20/9]; B=[1;0]; C=[1 -1]; S=ss(A,B,C,0); Q=gram(S,’o’)

Q=



0,2414 −0,2328

−0,2328 0,2250



(10.250)

Los autovalores de Q son λ1 = 0,0003 y λ2 = 0,4661 con sus correspondientes autovectores v1 = [−0,6946 − 0,7194]T y v2 = [−0,7194 0,6946]T . Ahora podemos evaluar el efecto de ciertos estados iniciales en la salida del sistema. Consideraremos x0 = v1 y x0 = v2 para calcular la energ´ıa, tal como se define en la ecuaci´ on (10.238): x0 = v 1 x0 = v 2

⇒ ⇒

E(x0 ) = 0,000287 E(x0 ) = 0,4661

(10.251) (10.252)

donde se observa que la energ´ıa debida el estado inicial x0 = v2 es tres o ´rdenes de magnitud mayor, lo que indica que existen ciertos estados que son poco observables en la salida. La p´erdida de observabilidad tambi´en puede ser apreciado en la funci´ on de transferencia del sistema:
s + 1 + 19 Vo (s) 1
· = (10.253) 20 Vi (s) (s + 1) s+ 9

donde se aprecia que existe una cuasi-cancelaci´ on entre un polo y un cero. 222 Principio de Dualidad

Podemos notar un paralelo notable entre los resultados del Teorema 10.3 en la p´agina 291 y del Teorema 10.4 en la p´agina 300, y tambi´en entre las definiciones de los gramianos (10.193) y (10.239). Esto de pie a lo que se conoce como el principio de dualidad, el cual se formaliza a continuaci´on:

306

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

sistema!dual Teorema descomposici´ on can´ onica!observabilidad scrito por subespacio!observable trolable si detectabilidad sistema!detectable servable.

10.5 (Dualidad). Considere el modelo en variables de estado dela 4-tupla (A, B, C, D). Entonces el sistema es completamente cony solo si el sistema dual (AT , CT , BT , DT ) es completamente ob222

Descomposici´ on can´ onica y detectabilidad El teorema anterior puede ser a menudo utilizado para extender un resultado sobre controlabilidad a un resultado sobre la observabilidad y vice versa. El dual del Lema 10.6 en la p´agina 297 es : Lema 10.9. Si rango{Γo [A, C]} = k < n, existe una transformaci´ on de similaridad x = T−1 x, tal que las nuevas matrices de estado tienen la forma:   Ao 0 (10.254) A = T−1 AT = A21 Ano   C = CT = Co 0 (10.255)

donde Ao tiene dimensi´ on k y el par (Co , Ao ) is completamente observable. 222 Este resultado tiene una relevancia similar a la descomposici´on can´onica asociada para el caso de la controlabilidad. Para apreciar esto, aplicamos el dual del Lema 10.6 en la p´agina 297 para expresar el estado (transformado) y las ecuaciones de salida en la forma particionada que se muestra a continuaci´on:        x˙ o (t) Ao 0 xo (t) Bo = + u(t) (10.256) x˙ no (t) A21 Ano xno (t) Bno     xo (t) + Du(t) (10.257) y(t) = Co 0 xno (t)

La descripci´on anterior pone en evidencia el problema que puede surgir cuando se intenta controlar un sistema usando s´olo su salida, pues en esta no aparece informaci´on alguna sobre xno . El subespacio observable de un modelo es el espacio formado por todos los estados que se generan como combinaciones lineales de los estados en x o . La estabilidad de este subespacio queda determinada por la ubicaci´on de los autovalores de la matriz Ao . El subespacio no observable de un modelo, es el espacio formado por todos los estados generados como combinaci´on lineal de los estados en x no . La estabilidad de este subespacio queda determinada por los autovalores de la matriz Ano . Si el subespacio no observable es estable, decimos que el sistema es detectable. Una consecuencia clave de la descripci´on (10.256)–(10.257) podemos apreciarla en la funci´on de transferencia del sistema que queda expresada como: H(s) = Co (sI − Ao )−1 Bo + D

(10.258)

10.6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

307

Es decir, los autovalores del subespacio no observable no pertenecen al conjunto de polos de la funci´on de transferencia del sistema. Esto implica que existe una cancelaci´on de todos los polos correspondientes a las ra´ıces de det(sI−A no ).

Forma can´ onica observable Es posible obtener las formas can´onicas duales a las presentadas en los Lemas 10.7 y 10.8. Para ilustrar esto presentamos a continuaci´on solo uno de los teoremas duales. Lema 10.10. Considere un sistema escalar o SISO, completamente observable. Entonces existe una transformaci´ on de similaridad tal que lleva al modelo a la forma can´ onica observable:     bn−1 −αn−1 1  ..    .. ..  .    . .     (10.259) x(t) ˙ = .  x(t) +  .  u(t) .    .. .  1 b0 −α0 0 0   y(t) = 1 0 . . . 0 x(t) + Du(t) (10.260)

222

10.6.3.

Descomposici´ on Can´ onica

En la secci´on anterior se analizaron propiedades de los sistemas din´amicos, considerando aquellos que son solo parcialmente observables y controlables. Estos pueden ser separados en subsistemas completamente controlables y completamente observables. Los resultados de los Lemas 10.6 y 10.9 pueden combinarse para aquellos sistemas que no son ni completamente observables ni completamente controlables. Podemos apreciar esto en el siguiente Teorema. Teorema 10.6 (Descomposici´ on Can´ onica). Considere un sistema descrito por un modelo en espacio de estado. Entonces, siempre existe una transformaci´ on de similaridad T tal que el modelo transformado, con su nuevo vector de estado x = T−1 x toma la forma:     Aco 0 A13 0 B1 A21 A22 A23 A24   B2    ;  A= B= C = C 1 0 C2 0  0  0 ; 0 A33 0  0 0 0 A34 A44 (10.261) (i) El subsistema [Aco , B1 , C1 ] es completamente controlable y completamente observable, y tiene la misma funci´ on de transferencia que el sistema original (ver Lema 10.11 en la p´ agina siguiente).

cancelaci´ on forma can´ onica!observable observabilidad!forma can´ onica descomposici´ on can´ onica

308

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

(ii) El subsistema:



   0 B1  , , C1 A22 B2

Aco A21

0



(10.262)

es completamente controlable. (iii) El subsistema:



Aco 0

   A13 B1  , C1 , 0 A33

C2



(10.263)

es completamente observable. 222 La Figura 10.17 ilustra la estructura interna de un sistema de acuerdo al teorema anterior. En ella, x(t), xno (t), xnc (t) y xnc−no (t) representan la parte del estado completamente controlable y observable, no observable, no controlable, y no controlable ni observable, respectivamente.

u(t)

x(t)

y(t)

xno (t)

xnc (t)

xnc−no (t)

Figura 10.17: Estructura de un sistema de acuerdo a su controlabilidad y observabilidad. La descomposici´on can´onica descrita en el Teorema 10.6 tiene una importante consecuencia para la funci´on de transferencia del modelo, ya que esta solo refleja el subespacio completamente observable y completamente controlable. Lema 10.11. Considere la matriz de transferencia H(s) dada por: Y(s) = H(s)U(s)

(10.264)

10.7. OBSERVADORES

309 realizaci´ on m´ ınima observador

Entonces: H = C(sI − A)−1 B + D = C1 (sI − Aco )−1 B1 + D

(10.265)

on de donde C1 , Aco y B1 son las de las ecuaciones (10.261). Esta descripci´ estado es una realizaci´ on m´ınima de la funci´ on de transferencia. 222 Adem´as, si denotamos por Λ{M} el conjunto de autovalores de una matriz M, entonces: Λ{A} = Λ{Aco } ∪ Λ{A22 } ∪ Λ{A33 } ∪ Λ{A44 } donde: Λ{A} Λ{Aco } Λ{A22 } Λ{A33 } Λ{A44 }

Autovalores Autovalores Autovalores Autovalores Autovalores

del del del del del

sistema subsistema subsistema subsistema subsistema

(10.266)

controlable y observable controlable pero no observable no controlable pero observable no controlable y no observable

Observamos que la controlabilidad de un sistema dado depende de la estructura de sus entradas, es decir, donde se aplican y como entran en el sistema aquellas variables que son manipulables. Por tanto, los estados de un subsistema pueden ser no controlables desde una entrada, pero completamente controlables desde otra. Es importante tener esto en mente para el dise˜ no de sistemas de control, pues en un proceso real no todas sus entradas pueden ser manipuladas, y por tanto puede que sea imposible llevar las variables de la planta a ciertos ubicaciones del espacio de estado. An´alogamente, la observabilidad de un sistema depende de qu´e salidas se consideren. Algunos estados pueden ser no observables desde una salida dada, pero puede ser completamente observables desde otra. En el contexto del an´alisis y dise˜ no de sistemas de control, esto se traduce en que puede ser dif´ıcil (imposible) obtener informaci´on sobre ciertas variables internas de la planta, a partir de las salidas medidas disponibles.

10.7.

Observadores

Cuando las variables de estado de un sistema deben ser medidas para monitoreo, control u otros prop´ositos, existen importantes aspectos tanto t´ecnicos como econ´omicos a considerar. Un observador es un estimador de las variables de estado en base a un modelo del sistema, mediciones de la salida de la planta y(t) y de su entrada u(t). El problema de observar el estado de un sistema es una generalizaci´on del caso en que se desea medir indirectamente alguna variables de un sistema usando un modelo de un sistema y otras variables m´as f´aciles de medir.

310 error!estimaci´ on estimaci´ on!error observador!polinomio Hurwitz!polinomio error!modelo modelo!error

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

10.7.1.

Din´ amica del observador

Supongamos que un sistema tiene un modelo de estado dado por las ecuaciones (10.44)-(10.45) con D = 0 (sistema estrictamente propio). En este caso, la estructura general de un observador cl´asico para el estado del sistema es la que se muestra en la Figura 10.18, donde la matriz J es la ganancia del observador.

u(t)

y(t)

Sistema B

+

(sI-A)

+

-1

x^ (t)

+

C

-

J Figura 10.18: Observador del estado cl´asico La ecuaci´on que defines la din´amica del observador es entonces: dˆ x(t) = Aˆ x(t) + Bu(t) + J(y(t) − Cˆ x(t)) dt

(10.267)

Una pregunta natural es: si contamos con un modelo del sistema y conocemos su entrada, ¿porqu´e es necesario entonces usar la salida para estimar el estado? ¿no bastar´ıa con simular el sistema? La clave aqu´ı es que no conocemos el estado inicial del sistema, y por tanto no podr´ıamos obtener la trayectoria del estado. Si consideramos el error de estimaci´on del estado x ˜(t) = x(t) − x ˆ(t), su din´amica se obtiene restando (10.267) de (10.44). Esto es: d˜ x(t) = (A − JC)˜ x(t) dt

(10.268)

donde observamos que el error de estimaci´on converge a cero si y solo si todos los autovalores de la matriz A − JC tienen parte real negativa, i.e., si el polinomio del observador: E(s) = det(sI − A + JC) (10.269) es estrictamente Hurwitz. Discusi´ on La ecuaci´on (10.268) es v´alida solo si el modelo es un representaci´on exacta del sistema bajo an´alisis. Errores de modelado tendr´an consecuencias sobre el observador, tales como error de estimaci´on diferente de cero.

10.7. OBSERVADORES

311

Si el par (A, C) es completamente observable, entonces los autovalores de A − JC pueden situarse arbitrariamente sobre regi´on de estabilidad del plano complejo. Por tanto, la velocidad de convergencia de la estimaci´on es parte del dise˜ no del observador. Estos autovalores se conocen como los polos del observador. Si el par (A, C) es detectable, entonces el observador asegura error estacionario cero asit´oticamente, a pesar que no todos los autovalores de la matriz A − JC pueden situarse a gusto. Si el sistema no es completamente observable, y el subespacio no observable contiene modos inestables, entonces el error de estimaci´on no converge. Ejemplo 10.27. Para ilustrar el uso de un observador consideremos nuevamente el modelo de estado del Ejemplo 10.8. En este caso particular, queremos que los polos del observador se ubiquen en s = −4, s = −6 y s = −8. Entonces la ganancia del observador J debe elegirse adecuadamente, por ejemplo, usando Matlab : Matlab >> >> >> >>

A=[ 0 1 0; 0 0 1; 4 0 -3]; B=[ 0; 0; 1]; C=[-10 4 0]; J=place(A’,C’,[-4 -6 -8])

 J = −4,5247

−7,5617

−4,1543

T

(10.270)

Para apreciar la din´ amica del observador, asumiremos que el estado inicial del sistema es x(0) = [−1 2 1]T y que la entrada del sistema es una se˜ nal cuadrada de amplitud 1, y frecuencia igual a 1 [rad/s]. El observador se inicia con x ˆ(0) = 0. Entonces, la norma del error de estimaci´ on, ||˜ x(t)|| evoluciona como se muestra en la Figura 10.19 Es importante notar que, en este ejemplo, la planta es inestable, lo que significa que tanto el estado como su estimaci´ on crecen indefinidamente. Sin embargo, bajo el supuesto de un modelo exacto, el error de estimaci´ on converge a cero. 222 Para darle una interpretaci´on f´ısica a la filosof´ıa del uso de observadores, veamos a continuaci´on otro ejemplo. Ejemplo 10.28. La Figura 10.20 muestra el esquema de un sistema rotacional en que la entrada es el torque τ (t). La potencia en el sistema se transmite a trav´es de un sistema de engranajes en dos ruedas de radios r1 y r2 y momentos

polos!observador

312

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION 12

Norma del error

10 8 6 4 2 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [s]

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Figura 10.19: Error de estimaci´on del estado

de inercia I1 e I2 , respectivamente. La rotaci´ on de ambos ejes es amortiguada por un roce viscoso con coeficientes D1 y D2 , y existe un resorte de torsi´ on no despreciable en el eje 2 que tambi´en ha sido modelado. La carga en el sistema se ha inclu´ıdo como un momento de inercia I3 . Lo que nos interesa es estimar la velocidad ω3 de la carga want to estimate the load speed en base a la medici´ on de velocidad en el eje 1 1, ω1 .

D1

τ

θ1 I ω1 τ1 1

r2 I2

r1

D2

K2

τ 2 ω2 θ2

ω3 θ3

I3

Figura 10.20: Sistema rotacional

En primer lugar, es necesario obtener el modelo de estado del sistema, para lo cual consideramos el m´ınimo conjunto de variables del sistemas que cuatifican la energ´ıa almacenada en ´el. El sistema tiene cuatro componentes capaces de almacenar energ´ıa: tres momentos angulares y un resorte. Sin embargo, la energ´ıa almacenada en I1 e I2 puede calcularse tanto a partir de ω1 como de ω2 ,i.e., necesitamos solo una de estas velocidades, ya que satisfacen la relaci´ on: ω1 (t) r2 = ; ω2 (t) r1

and τ1 (t)ω1 (t) = τ2 (t)ω2 (t)

(10.271)

10.7. OBSERVADORES

313

Entonces, motivados por el modelado f´ısico, elegimos: x1 (t) = ω1 (t)

(10.272)

x2 (t) = θ2 (t) − θ3 (t) x3 (t) = ω3 (t)

(10.273) (10.274)

Usando algunos conocimientos de Mec´ anica, tenemos: d ω1 (t) + τ1 (t) dt d ω2 (t) r2 + K2 (θ2 (t) − θ3 (t)) τ2 (t) = τ1 (t) = D2 ω2 (t) + I2 r1 dt d ω3 (t) 0 = K2 (θ3 (t) − θ2 (t)) + I3 dt τ (t) = D1 ω1 (t) + I1

(10.275) (10.276) (10.277)

Dado que escogimos ω1 (t) como la variable medible del sistema, o sea, como salida, obtenemos finalmente el modelo:  2    r 1 r 2 K2 r1 D2 + r22 D1 r22 − 2 0 − r 2 I 2 + r 2 I 1  r2 I + r2 I  r1 I2 + r22 I1  1 2   1 2 2 1     dx(t)  r 1  τ (t)   = x(t) +  0 −1 0   dt r2         K2 0 0 0 I3 {z } | {z } | B

A

(10.278)

  ω1 (t) = 1 0 0 x(t) | {z }

(10.279)

C

A continuaci´ on, se escogen los siguientes valores para los par´ ametros del sistema:   N ms (10.280) r1 = 0, 25[m]; r2 = r3 = 0, 50[m]; D1 = D2 = 10 rad       Nm N ms2 N ms2 K2 = 30 ; I1 = 2,39 ; I2 = I3 = 38,29 (10.281) rad rad rad Con estos valores tenemos que:  −1,045 −1,254 0 A =  0, 5 0 0, 784

 0 −1 ; 0



 0, 084 B= 0  0

(10.282)

Para verificar la observabilidad, utilizamos el criterio presentado en la Secci´ on §10.6.2, es decir, construimos la matriz de observabilidad:     C 1,0000 0 0 0  Γo =  CA  = −1,0450 −1,2540 (10.283) 2 0, 4650 1,3104 1,2540 CA

314 ruido filtro

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

En esta expresi´ on podemos observar que la matriz Γo tiene rango completo, pues claramente det Γo 6= 0, por tanto el sistema es completamente observable desde la salida ω1 (t). Una vez que tenemos la estimaci´ on del vector de estado, x ˆ(t), la estimaci´ on del estado ω ˆ 3 (t) para ω3 , se obtiene a partir de: ˆ(t) ω ˆ 3 (t) = [0 0 1] x | {z }

(10.284)

K3 T

donde ω ˆ 3 (t) puede obtenerse a partir de (10.267). Con esto: dˆ x(t) dˆ ω3 (t) x(t) + K3 T B τ (t) + K3 T Jω1 (t) (10.285) = K3 T = K3 T (A − JC)ˆ | {z } dt dt 0

222

10.7.2.

Observadores y ruido de medici´ on.

Hasta el momento en todos los an´alisis hecho asumido que tanto la entrada de un sistema dado, u(t), como su salida, y(t), est´an disponibles sin errores de ning´ un tipo. En general, esto es correcto s´olo respecto a la entrada, pues usualmente esta es generada por el mismo que se emplea para estimar el estado. Sin embargo, la medici´on de la salida y(t), ser´a siempre en presencia de ruido. Para analizar el efecto de este ruido de medici´on, denotemos por ym (t) la medici´on, es decir, la salida real de la planta contaminada con ruido: ym (t) = y(t) + v(t)

(10.286)

donde v(t) se denomina ruido de medici´on aditivo. El error de medici´on satisface la ecuaci´on: d˜ x(t) = (A − JC)˜ x(t) + Jv(t) (10.287) dt Por tanto, tenemos que: ˜ X(s) = (sI − A + JC)−1 x ˜(0) + (sI − A + JC)−1 JV (s)

(10.288)

Es decir, el error debido al ruido ser´a peque˜ no si la funci´on de transferencia (sI − A + JC)−1 J es capaz de actuar como filtro para el ruido v(t). Para ilustrar estas ideas, consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 10.29. Un sistema es modelado por las ecuaciones de estado:       1 −2 1 ; C = 1 −1 ; D = 0 (10.289) ; B= A= 0, 5 1 −3

Supongamos que queremos estimar una variable del sistema z(t) = γ T x(t), donde γ T = [1 1]. Entonces, una estimaci´ on de esta variable es zˆ(t), que se obtiene como: zˆ(t) = γ T x ˆ(t) (10.290)

10.7. OBSERVADORES

315

Entonces, la parte ruidosa en la estimaci´ on de z(t) es zv (t), cuya transformada de Laplace satisface where Hv (s) = γ T (sI − A + JC)−1 J

Zv (s) = Hv (s)V (s);

(10.291)

A continuaci´ on consideramos dos elecciones diferentes del polinomio del observador E(s). Estas son: E1 (s) = (s + 0, 5)(s + 0, 75)

and E2 (s) = (s + 10)(s + 20)

(10.292)

El lector puede apreciar que esto se traduce en observadores que tendr´ an diferente velocidad, siendo el primero mucho m´ as lento que el segundo. Con estas elecciones calculamos las ganancias del observador, J1 y J2 , y las correspondientes funciones de transferencias de los filtros asociados: 1,875s + 5,625 s2 + 1,25s + 0, 375 144s + 432 H2 (s) = γ T (sI − A + J2 C)−1 J2 = 2 s + 30s + 200

H1 (s) = γ T (sI − A + J1 C)−1 J1 =

(10.293) (10.294)

Para comparar ambos casos en la Figura 10.21, se muestra la respuesta en frecuencia (diagrama de Bode) de cada uno de los filtros obtenidos. Es interesante notar que, a partir de los gr´ aficos obtenidos podemos concluir que el filtro m´ as lento resulta ser m´ as inmune a ruido de alta frecuencia, comparado con el m´ as lento. 40

Magnitud [dB]

20

|H2(jω)|

0 −20

|H (jω)| 1

−40 −60 −1 10

0

10

1

10 Frecuencia [rad/s]

2

10

3

10

Figura 10.21: Caracter´ıstica de filtraje de los observadores

222 En base al ejemplo anterior tenemos que En el dise˜ no de un observador, siempre existe un compromiso entre la velocidad de convergencia del error de observaci´on y la inmunidad de la estimaci´on frente al ruido de medici´on.

316 observador!de orden reducido observador!de orden completo

´ EN VARIABLES DE ESTADO. CAP´ITULO 10. REPRESENTACION

Una forma sistem´atica de encarar este problema es usar la teor´ıa de filtro o´ptimos, como los filtros de Kalman-Bucy. El lector interesado puede consultar, por ejemplo, la referencia [2]. Existe una serie de otros observadores, incluso capaces de incorporar nolinealidades presentes en el sistema a observar. Sin embargo, uno de particular inter´es es el observador de orden reducido, que b´asicamente asocia directamente la salida del sistema a una parte del estado, reduciendo la parte del estado a estimar. Dada esta diferencia, el observador cl´ asico presentado en esta secci´on tambi´en se denomina de orden completo (ver [13, 7],yuz01?).

muestreo|textbf quantum|textbf sistemas!digitales

Cap´ıtulo 11

Sistemas h´ıbridos 11.1.

Introducci´ on

Uno de los paradigmas m´as ricos de la ingenier´ıa moderna es el uso de la tecnolog´ıa digital en el procesamiento de se˜ nales. Esto se refleja en campos tan distintos como las telecomunicaciones, la bioingenier´ıa, la automatizaci´on, el control autom´atico, el procesamiento de im´agenes, procesamiento de voz, reconocimiento de patrones, etc. La amplitud y velocidad con las que la aplicaci´on de este paradigma se consolida y se extiende parecen no tener l´ımites; ello se debe a la velocidad con que progresa la electr´onica digital. Los sistemas digitales usados en procesamiento de se˜ nales, cualquiera sea el prop´osito de ´este, manejan se˜ nales que son discretas en magnitud (con discretizaci´on determinada por el n´ umero de bits) y discretas en tiempo (debido a que existe una sincronizaci´on con un reloj o temporizador). Por ejemplo, en un computador con registros de 16 bits y una unidad procesadora central (CPU) de 1 [GHz], se pueden representar n´ umeros enteros positivos con magnitud cuya discretizaci´on corresponde a 2−16 veces el valor m´aximo representado. Esto es el quantum de magnitud. A su vez, las operaciones que se realizan en la CPU y las transferencias de datos s´olo pueden iniciarse en instantes que son m´ ultiplos del per´ıodo del reloj, es decir, m´ ultiplos de 1 [ns]. Muchas veces se usan como sin´onimo las expresiones digital y tiempo discreto. En rigor, no son sin´onimos, ya que un registro digital tiene un valor que est´a definido en todo instante (tiempo continuo); lo que s´ı ocurre es que s´olo nos interesa analizar lo que pasa con ese valor almacenado en los instantes que corresponden a m´ ultiplos del ciclo del reloj, que es cuando se puede producir alg´ un cambio. Por esta u ´ltima raz´on aceptaremos la sinonimia; sin embargo debemos tener presente que si el dispositivo digital tiene una discretizaci´on muy gruesa, es decir, un quantum grande, debido a un n´ umero reducido de bits, es necesario hacer un an´alisis de este efecto en el procesamiento de las se˜ nales Una fracci´on muy significativa de las aplicaciones en el campo del procesamiento de se˜ nales involucran la interacci´on o interconexi´on de sistemas y 317

CAP´ITULO 11. SISTEMAS H´IBRIDOS

318 sistemas!h´ ıbridos muestreo reconstrucci´ on muestreo|textbf muestreo!per´ ıodo de muestra

se˜ nales de tiempo continuo con sistemas y se˜ nales de tiempo discreto. Cuando un sistema incluye componentes tanto de tiempo continuo como de tiempo discreto, se habla de sistemas h´ıbridos. La comunicaci´on de sistemas que procesan se˜ nales de distinta naturaleza requiere resolver dos problemas: el problema de muestreo, que permite transformar una se˜ nal de tiempo continuo en una se˜ nal de tiempo discreto y el problema de reconstrucci´ on, es decir, la transformaci´on de una se˜ nal de tiempo discreto en una se˜ nal de tiempo continuo. Si bien ya se abord´o brevemente en la Secci´on § los modelos para sistemas y se˜ nales muestreadas, en este cap´ıtulo estudiaremos mas en profundidad la soluci´on de esos problemas y su descripci´on, tanto temporal como frecuencial. Para una comprensi´on acabada de los conceptos y resultados que se presentan ac´a, se requiere que el lector tenga un dominio acabado de los cap´ıtulos 3, 4 y 6.

11.2.

Muestreo de se˜ nales.

Supongamos que deseamos procesar digitalmente una se˜ nal de tiempo continuo f (t), entonces debemos tomar el valor de la se˜ nal en un instante dado, es decir, una muestra y transformarla en una colecci´on de bits, es decir, cuantizarla. T´ecnicamente se requiere un muestreador y un conversor tal como se indica, en forma simplificada, en la Figura 11.1. En esa figura, el muestreador discretiza en el tiempo, y el conversor discretiza la amplitud de la se˜ nal. En lo sucesivo, supondremos que la conversi´on A/D es de alta precisi´on y de alta velocidad, por lo cual se supondr´a que no hay error en la cuantizaci´on de la amplitud y no hay retardo en la operaci´on.

t = t1 f (t)

f (t1 )

Conversor A/D

fd (t1 )

Figura 11.1: Proceso de muestreo y cuantizaci´on Para capturar la informaci´on contenida en la se˜ nal f (t), por simplicidad se suele muestrear la se˜ nal en forma peri´odica, con per´ıodo ∆, es decir, con frecuencia angular de muestreo ωm = 2π/∆, lo cual significa que se obtiene una secuencia {f (0), f (∆), f (2∆), . . .}. Esta secuencia puede ser tratada como una secuencia discreta, y le son aplicables los m´etodos de an´alisis presentados para las se˜ nales de tiempo discreto en el Cap´ıtulo 4. En este cap´ıtulo enfocaremos nuestro an´alisis en la conexi´on dicsreto-continuo, as´ı como en los procesos de muestreo y de reconstrucci´on. El primer fen´omeno interesante de observar se relaciona con la selecci´on de la frecuencia de muestreo. Si la se˜ nal a muestrear es una constante, entonces, la infomaci´on codificada en la se˜ nal se captura con cualquier frecuencia

˜ 11.2. MUESTREO DE SENALES. 2

2

∆=1 [s]

319 2

∆=0,5 [s]

1

1

1

0

0

0

−1

−1

−1

−2

−2 0

0.5

1

∆=0,05 [s]

−2 0

0.5

1

0

0.5

1

Figura 11.2: Muestreo a diferentes frecuencias de muestreo. Como contrapartida, si la se˜ nal cambia r´apidamente, es necesario muestrear r´apido (comparativamente) para que la secuencia de tiempo discreto capture esa din´amica de cambio. Las ambig¨ uedades que surgen de una elecci´on desacertada del per´ıodo de muestreo se ilustran en el siguiente ejemplo. Ejemplo 11.1. Suponga que f (t) = 2 cos(2πt), es decir, se trata de una se˜ nal sinuosidal de frecuencia 1 [Hz]. Consideremos ahora tres valores distintos para la frecuencia de muestreo fm (ωm = 2πfm ) (a) fm = 1 [Hz], es decir, ∆ = 1 [s] (b) fm = 2 [Hz], es decir, ∆ = 0, 5 [s] (c) fm = 20 [Hz], es decir, ∆ = 0, 05 [s] Los tres casos son mostrados en los gr´ aficos de la Figura 11.2 De un an´ alisis somero de la Figura 11.2 se puede observar lo siguiente: (i) El muestreo a fm = 1 [Hz] genera una secuencia de valores constantes. Este resultado indica que el proceso de discretizaci´ on temporal entrega un resultado totalmente equ´ıvoco. En otras palabras, dado f [k], no hay forma de recuperar la funci´ on de tiempo continuo f (t). Note que si el mismo muestreo se hubiera usado en la se˜ nal f (t) = 2 sen(2πt), entonces, f [k] hubiese sido cero ∀k ∈ N. (ii) El muestreo a fm = 2 [Hz] genera una secuencia de valores constantes de signo alternado. Aunque se preserva la naturaleza peri´ odica de la se˜ nal f (t), as´ı como su frecuencia exacta, el resultado tambi´en es equ´ıvoco, por cuanto ser´ıa imposible recuperar la se˜ nal original a partir de sus muestras. (iii) El muestreo a fm = 20 [Hz] genera una secuencia de valores que aproxima en forma muy cercana la se˜ nal original. Demostraremos m´ as adelante que, en casos como ´este existe un procedimiento para recuperar la se˜ nal original con el grado de exactitud tan grande como deseemos.

CAP´ITULO 11. SISTEMAS H´IBRIDOS

320 −4

2

x 10

Error

0 −2 −4 −6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Tiempo [s]

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 11.3: Error de reconstrucci´on usando interpolaci´on c´ ubica.

Para verificar la aseveraci´ on anterior podemos intentar una reconstrucci´ on por interpolaci´ on c´ ubica (comando spline de Matlab) y dibujando el error de reconstrucci´ on, como se indica a continuaci´ on

Matlab >>tt=[0:1e-5:1];Delta=0.05;t=[0:Delta:1]; >>f=2*cos(2*pi*tt);fk=2*cos(2*pi*t); >>faprox=spline(t,fk,tt); subplot(211);plot(tt,f-faprox);

La Figura 11.3 muestra que el error de reconstrucci´ on es muy peque˜ no (del orden de 10−4 ).

11.3.

An´ alisis en frecuencia de se˜ nales muestreadas

Una vez que se obtiene la se˜ nal discreta f [k] podemos usar las herramientas desarrolladas en el Cap´ıtulo 6 para realizar un an´alisis espectral. En esta secci´on nos interesar´a relacionar ese an´alisis con el an´alisis espectral de la se˜ nal de tiempo continuo f (t). El principal resultado est´a dado por el siguiente lema Lema 11.1. Sea una se˜ nal de tiempo continuo f (t), muestreada peri´ odicamente con frecuencia angular de muestreo ωm [rad/s] (es decir, cada ∆ [s]), y sean F ( ω) y F [ejθ ] las transformadas de Fourier de f (t) y de la secuencia f [k] = f (k∆) respectivamente. Entonces, se cumple que

´ ˜ 11.3. ANALISIS EN FRECUENCIA DE SENALES MUESTREADAS

321 tren de impulsos muestreo impulsivo

  ∞ ∞ 2π` 1 X 1 X F ω − F ( ω − `ωm ) = F [e ] = ∆ ∆ ∆ jθ

`=−∞

donde

θ = ω∆

`=−∞

(11.1)

Demostraci´ on Recordemos que ∞ X

f [k] = f (k∆) =

`=−∞

f (`∆)δK [k − `]

(11.2)

Por lo cual, podemos calcular el espectro de la secuencia usando TFD. F [ejθ ] =

∞ X

f (`∆)e−j`θ

(11.3)

`=−∞

Por otro lado supongamos que la se˜ nal original, f (t) es multiplicada por un tren de impulsos, es decir, f∆ (t) = f (t)

∞ X

k=−∞

|

δD (t − k∆) {z

m∆ (t)

(11.4)

}

Entonces, la transformada de Fourier de esta secuencia impulsiva es la convoluci´ on compleja de las transformadas de Fourier de la se˜ nal original y del tren de impulsos, es decir, Z ∞ 1 F (jζ)M∆ ( ω − jζ) dζ F {f∆ (t)} = F∆ ( ω) = F ( ω) ∗ M∆ ( ω) = 2π −∞ (11.5) Para calcular M∆ ( ω) notamos que m∆ (t) es una se˜ nal peri´ odica, de per´ıodo ∆, por lo tanto se puede expandir en una serie exponencial de Fourier. As´ı, aplicando las definiciones de la secci´ on §5.3.2, se obtiene m∆ (t) =

∞ X

k=−∞

δ∆ (t − k∆) =

∞ 1 X j 2π` t e ∆ ∆

(11.6)

`=−∞

a partir de lo cual, aplicando la transformaci´ on de Fourier a la suma de exponenciales complejas, se llega a M∆ ( ω) =

  ∞ 2π` 2π X δD  ω − ∆ ∆ `=−∞

y, finalmente, reemplazando en (11.5) se obtiene

(11.7)

CAP´ITULO 11. SISTEMAS H´IBRIDOS

322

1 F∆ ( ω) = 2π

Z

  ∞ 1 X 2π` F (jζ)M∆ ( ω − jζ) dζ = F ω − ∆ ∆ −∞ ∞

(11.8)

`=−∞

Ahora bien, el c´ alculo de la transformaci´ on de Fourier se puede realizar por un camino alternativo. En efecto, a partir de (11.4) se tiene que f∆ (t) = f (t)

∞ X

k=−∞

δD (t − k∆) =

∞ X

k=−∞

f (k∆)δD (t − k∆)

(11.9)

de donde se llega a F∆ ( ω) =

∞ X

f (k∆)e−jk∆ω

(11.10)

k=−∞

Comparando (11.3), (11.8) y (11.10), se llega al resultado (11.1) 222

modelos|textbf

Cap´ıtulo 12

Modelos 12.1.

Ideas generales

Una de las tareas m´as interesantes y complejas en el an´alisis de sistemas es la de construir modelos para describir cuantitativamente lo que ocurre en el sistema bajo an´alisis. Un modelo es siempre una representaci´on aproximada de la realidad y, en sus aspectos esenciales, se relaciona ´ıntimamente con el prop´osito que nos mueve a obtener el modelo. Por ejemplo, un motor el´ectrico puede tener distintos modelos seg´ un cual es el inter´es del analista: un modelo electromec´anico, un modelo t´ermico, un modelo que describa los fen´omenos vibratorios y de esfuerzos, etc. En cualquier caso, una vez definido el prop´osito del modelo, ´este debe capturar los rasgos esenciales que hacen del sistema un ente particular y diferente de los dem´as, tanto cualitativa como cuantitativamente. Es importante se˜ nalar que el objetivo esencial de un modelo es tener un mecanismo que permita predecir el comportamiento del sistema bajo condiciones de excitaci´ on distintas a las observadas. En otras palabras el modelo es un mecanismo de inferencia y predicci´on. El problema que queremos resolver aqu´ı se puede definir de la siguiente forma:

Dada una historia de datos del sistema (datos de entrada y salida, en tiempo continuo o discreto), determinar un modelo matem´atico que pueda replicar en la forma m´as precisa posible (bajo alg´ un criterio de optimalidad) la historia de datos disponibles y otras historias de datos que se puedan obtener del mismo sistema, para validar el modelo obtenido. Note que exite un mecanismo generador de los datos, es decir, el sistema cuyo comportamiento queremos modelar. Adem´as la historia de datos del sistema debe ser tal que permita observar los rasgos de inter´es del sistema. Por ejemplo, 323

CAP´ITULO 12. MODELOS

324

si el sistema que deseamos modelar es una red RC, no nos servir´a recolectar datos del sistema cuando las fuentes que alimentan la red son constantes, porque en ese caso ser´a imposible calcular los par´ametros de cualquier modelo din´amico. Otra idea que aparece en la definici´on del problema es que la construcci´on del mejor modelo tiene asociado un criterio de calidad o´ptima. En la determinaci´on de un modelo existen pues, tres elementos 1. La selecci´on de una clase de modelos, M. Por ejemplo, una ecuaci´on diferencial de cierto orden. 2. Un experimento que permite recolectar datos. Por ejemplo, el aplicar una excitaci´on de amplio espectro al sistema. 3. Un criterio de optimizaci´on que permite seleccionar uno de los miembros de la clase elegida en base a los datos experimentales. Por ejemplo, el minimizar la suma (o integral) de los errores cuadr´aticos. La clase de modelos se elige, en primera instancia, usando citerios fenomenol´ogicos. Por ejemplo, si el comportamiento del sistema a modelar est´a dominado por 3 componentes din´amicos, una clase razonable es el conjunto de las ecuaciones diferenciales de tercer orden. En muchos casos, el experimento no puede ser dise˜ nado de acuerdo a las necesidades del analista, sino que se debe usar datos provenientes de la operaci´on normal del sistema a modelar. Adem´as, es com´ un que se desee o necesite ir refinando el modelo en forma recursiva (e incluso en tiempo real, es decir, se va refinando el c´alculo a medida que se van obteniendo nuevos datos). Tambi´en es crucial notar que el que se use un procedimiento de optimizaci´on s´olo se garantiza, en el mejor de los casos, que se encontrar´a el modelo o´ptimo dentro de la clase elegida. Si el mecanismo generador de los datos no pertenece a la clase de modelos elegida, como suele suceder, entonces siempre habr´a un error de modelado, sin importar cuan informativo sea el experimento para recolectar datos. Los m´etodos m´as robustos que se conocen para construir modelos son aquellos que usan un criterio de optimizaci´on cuadr´atica. En ellos concentraremos nuestra atenci´on en lo que sigue.

12.2.

Modelado de sistemas de tiempo continuo. Teor´ıa b´ asica.

Para motivar la discusi´on y el tratamiento te´orico del tema, consideramos el siguiente ejemplo. Ejemplo 12.1. Suponga que la clase de modelos elegida, M, est´ a definida por ym (t) = α(u(t))3 donde u(t) es la entrada del sistema a modelar.

(12.1)

´ 12.2. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO. TEOR´IA BASICA.325 Suponga adem´ as que se realiza un experimento recolector de datos en el sistema a modelar. Como resultado del mismo se obtienen datos1 de entrada y salida, u(t) e y(t), en el intervalo [0; tf ]. Entonces el mejor valor de α, α ˆ , en (12.1) se puede calcular minimizando un funcional de costo J(α) dado por Z tf
2 J(α) = (12.2) (y(τ ) − α(u(τ ))3 dτ 0

entonces

α ˆ = arg m´ın J(α)

(12.3)

α∈R

La minimizaci´ on se realiza derivando J(α) respecto de α y haciendo esa derivada igual a cero. Esto lleva a −1 Z tf Z tf 6 y(τ )(u(τ ))3 dτ (12.4) (u(τ )) dτ α ˆ= 0

0

Note que si el sistema a modelar perteneciese a la clase de modelos elegida, es decir, si existe αo tal que y(t) = αo (u(t))3 , entonces α ˆ = αo , siempre que u(t) 6= 0 en alg´ un lapso no cero en el intervalo [0; tf ]. La ecuaci´ on (12.4) arroja una estimaci´ on del par´ ametro una vez que se han ˆ evoluciona a recogido los datos. Existe una formulaci´ on alternativa donde α medida que se obtienen m´ as datos, tal como se demuestra a continuaci´ on. Para hacer el tratamiento m´ as simple haremos las siguientes substituciones

p(t) =

Z

t 6

(u(τ )) dτ 0

φ(t) = (u(t))

3

−1

(12.5) (12.6)

Entonces, si reemplazamos tf por t en (12.4) tenemos que Z t α ˆ (t) = p(t) y(τ )φ(τ ) dτ

(12.7)

0

Luego, al derivar (12.5), se obtiene

dp(t) d (p(t)) 2 = − (p(t)φ(t)) ⇐⇒ dt dt

−1

= (φ(t))

2

(12.8)

Al derivar (12.7) y al usar (12.8) se obtiene dˆ α(t) = p(t)φ(t) (y(t) − α ˆ (t)φ(t)) | {z } dt

(12.9)

e(t)

donde e(t) es el error que se comete al predecir la salida y(t) usando el modelo y la entrada observada de la planta. 1 Note

que se trata de datos experimentales de la planta

predicci´ on!error de

CAP´ITULO 12. MODELOS

326 regresi´ on!vector de regresores

ˆ (t) en tiempo real, como Las ecuaciones (12.8) y (12.9) permiten calcular α se puede verificar en la simulaci´ on implementada en el esquema SIMULINK de la Figura 12.1. En esa figura, el sistema a modelar, o mecanismo generador de datos aparece enmascarado. El lector puede verificar, al observar e(t) en el oscilloscopio, que ese sistema pertenece a la clase M. u(t)

y(t) SISTEMA e

(u(1))^3

e (t)

p (0)

\phi (t) −K−

1/s p (t)

p

1/s alfa (0)

alfa alfa (t)

Antes de empezar la simulación, defina el SISTEMA (haga un doble click en el bloque y edite) y asigne los valores iniciales p(0) y alfa(0) en los bloques de integración correspondientes

Figura 12.1: Estimaci´on por m´ınimos cuadr´aticos Note adem´ as que, para que este programa SIMULINK funcione se debe asignar una condici´ on distinta de cero a p(0) (en el bloque integrador correspondiente). Se invita al lector a observar el efecto de distintas elecciones para p(0). En cambio, el valor inicial α ˆ (0) puede ser cualquier valor, incluyendo cero. 222 Es importante repetir que, en el ejemplo precedente, se plantearon dos formas de calcular un valor estimado para el par´ametro α. En la primera, dada por la ecuaci´on (12.4), se requiere conocer previamente un conjunto de datos en un lapso no cero. En cambio, en la forma construida por las ecuaciones (12.8) y (12.9), el valor estimado se va construyendo a medida que los datos se van obteniendo. Formularemos a continuaci´on el m´etodo general para sistemas de tiempo continuo. La clase de modelos a usar, M, est´a definida por ym (t) = φ m (t)T θ

(12.10)

donde φ (t)m es un vector, llamado vector de regresi´on,. Los elementos de φ m (t) son conocidos como regresores. Existen tres grandes l´ıneas en la construcci´on del vector de regresi´on:

´ 12.2. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO. TEOR´IA BASICA.327 En base a la entrada de la planta y la salida del modelo. Este enfoque es la base de los llamados m´ etodos de error de predicci´ on, reconocidos por su sigla inglesa PEM (prediction error methods). En base a la entrada del modelo, la que resulta de medir la entrada a la planta2 y a la salida del modelo. Esta elecci´on genera los m´etodos conocidos como de errores en la variables En base a la entrada de la planta y la salida de la planta. Esta elecci´on es la base del m´etodo cl´asico de estimaci´ on por errores cuadr´ aticos. Es conocido por la sigla inglesa LSE (least squares errors). Ese el m´etodo m´as robusto y m´as usado, y es el que usaremos en este texto. Distinguiremos esta elecci´on de las otras dos reemplazando φ m (t) por φ (t) en la derivaci´on de las ecuaciones del m´etodo. Por su parte, el vector θ ∈ Rp contiene los par´ametros θ 1 , θ2 , . . . , θ p que distinguen cada elemento en M. Note que la expresi´on es bastante general, ya que la u ´nica restricci´on es que el modelo sea lineal en los par´ametros a estimar, y no necesariamente debe ser lineal en los datos. Por ejemplo p (12.11) ym (t) = a u(t) + b u(t) + c cos(u(t)) + d

Entonces, el modelo (12.11) puede ser puesto en la forma (12.10) con las siguientes asociaciones p φ (t) = [ u(t) u(t) cos(u(t)) 1]T (12.12) θ = [a b c d ]T

(12.13)

Veremos adem´as en una secci´on siguiente que (12.10) puede describir sistemas din´amicos. Para modelar un sistema con entrada u(t) y salida y(t), como miembro de la clase M, debemos encontrar un estimado o´ptimo, θˆ, para θ de modo que se minimice Z tf

J(θθ ) =

0

(y(τ ) − φ (τ )T θ )2 dτ

(12.14)

El producto φ (τ )T θ corresponde a una estimaci´on de la salida del sistema a modelar, utilizando el elemento gen´erico de la clase M. La diferencia y(τ ) − φ (τ )T θ es conocida como el error de predicci´on (no confundir con los m´etodos PEM). El m´etodo de estimaci´on cuadr´atica permite determinar cual de los elementos de M es el que arroja la predicci´on con menor error cuadr´atico acumulado. Esto es equivalente a seleccionar el o´ptimo θ . La minimizaci´on de (12.14) se hace a trav´es del procedimiento tradicional: derivando respecto de la inc´ognita y luego haciendo esa derivada igual a cero. Como se trata de la derivada de una funci´on escalar respecto de un vector, la derivada corresponde al gradiente ∇θ . As´ı el mejor estimado θˆ est´a dado por 2 Hay

una diferencia entre ambos debido al ruido de medici´ on

PEM errores en las variables predicci´ on!error de gradiente

CAP´ITULO 12. MODELOS

328

θˆ = arg m´ınp J(θθ )

(12.15)

θ∈R

El procedimiento descrito lleva a dJ(θθ ) ∇θ J(θθ ) = = −2 dθ

Z

tf 0

φ (τ )(y(τ ) − φ (τ )T θ ) dτ

(12.16)

Al hacer cero el gradiente se obtiene el estimado θˆ dado por θˆ =

Z

tf

T

φ(τ ) dτ φ (τ )φ 0

−1 Z

tf

φ (τ )y(τ ) dτ

(12.17)

0

Para demostrar que la expresi´on (12.17) minimiza el funcional, se debe calcular la segunda derivada (o Hessiano) de J(θθ ), la que debe ser una matriz positiva definida (ver Ap´endice F). Esto da Z tf d 2 J(θθ ) φ(τ )T dτ HJ (θθ ) = φ (τ )φ (12.18) =2 dθ 2 0

Entonces el Hessiano HJ (θθ ) es positivo definido si el vector φ (τ ) cumple algunas condiciones muy poco exigentes3 en τ ∈ [0; tf ]. La expresi´on (12.17) proporciona una forma de construir el modelo, estimando θ , una vez que se han acumulado los datos en un lapso [0; tf ]. Tal como se ilustr´o en el Ejemplo 12.1, es posible construir un estimado, θˆ(t), que vaya evolucionando a medida que se van considerando nuevos datos. Esto aparece resuelto en el siguiente teorema.

Teorema 12.1. Considere la clase M definida por (12.10), el funcional en (12.14) y un experimento que permite construir φ (τ ) para τ ∈ [0; t]. Entonces el estimador o ´ptimo, θˆ(t) se puede obtener a trav´es de

dP(t) φ(t)φ φ(t)T P(t) = −P(t)φ dt dθˆ(t) φ(t)(y(t) − φ (t)θˆ(t)) = P(t)φ φ(t)e(t) = P(t)φ dt

(12.19) (12.20)

Demostraci´ on Definamos previamente la matriz P(t) ∈ Rp×p de la forma P(t) = 3 Cuya

Z

t

φ(τ )T dτ φ (τ )φ 0

deducci´ on escapa al marco de este texto.

−1

(12.21)

12.3. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO. MODELOS LINEALES.329 y la matriz Q(t) = P(t)−1 = entonces

Z

t

φ(τ )T dτ φ (τ )φ

(12.22)

0

dP(t) dQ(t) dP(t)Q(t) =0= Q(t) + P(t) dt dt dt

(12.23)

dQ(t) dP(t) φ(t)φ φ(t)T P(t) = −P(t) P(t) = −P(t)φ dt dt

(12.24)

Esto lleva a

donde hemos usado el hecho que Q(t) φ(t)T = φ (t)φ dt Por otro lado, al usar (12.17) Z tf ˆ φ (τ )y(τ ) dτ θ (t) = P(t)

(12.25)

(12.26)

0

con lo cual, al derivar se obtiene Z dθˆ dP(t) tf φ(t)y(t) φ (τ )y(τ ) dτ + P(t)φ = dt dt 0 Z tf dQ(t) φ(t)y(t) P(t) = −P(t) φ (τ )y(τ ) dτ +P(t)φ dt 0 | {z }

(12.27) (12.28)

ˆ θ(t)

lo que lleva a (12.20) al usar (12.25).

El Teorema 12.1 establece un procedimiento a trav´es del cual la estimaci´on de los par´ametros del modelo se va obteniendo a medida que se dispone de nueva informaci´on.

12.3.

Modelado de sistemas de tiempo continuo. Modelos lineales.

La teor´ıa desarrollada en la secci´on precedente se aplica a cualquier clase de modelos M, con la u ´nica condici´on que los miembros de esa clase sean lineales en el vector de par´ametros, es decir, tengan la forma (12.10). Esto no excluye modelos que son no lineales en la entrada y la salida, tal como se ilustra en el Ejemplo 12.1. Sin embargo, en esta secci´on enfocaremos nuestra atenci´on en modelos din´amicos lineales de tiempo continuo. Con este objetivo definiremos

CAP´ITULO 12. MODELOS

330

la clase M por la ecuaci´on diferencial (3.1), la que reproducimos a continuaci´on (reemplazando y(t) por ym (t)). dn ym (t) dn−1 ym (t) dn−1 dn−2 +a +. . .+a y (t) = b u(t)+b u(t)+. . .+b0 u(t) n−1 0 m n−1 n−2 dtn dtn−1 dtn−1 dtn−2 (12.29) Antes de desarrollar la metodolog´ıa general, examinaremos un ejemplo muy simple, para adquirir perspectiva Ejemplo 12.2. La clase M es elegida como en (12.29), con n = 1, es decir dym (t) + a0 ym (t) = b0 u(t) (12.30) dt La primera opci´ on para contruir la forma (12.10) en este caso es (note la sustituci´ on de ym (t) por y(t) en el vector φ (t)) φ (t) =

hR

t 0

u(τ )dτ  T θ = b0 a 0

−

Rt 0

y(τ )dτ

iT

(12.31) (12.32)

Sin embargo, esta forma de selecci´ on del vector de regresi´ on φ (t) no es razonable, porque basta que las se˜ nales tengan un valor medio distinto de cero (por peque˜ no que sea) para que el vector φ (t) crezca sin l´ımites. Intentaremos otro enfoque, usando el operador de Heaviside (definido en (3.2). El modelo (12.30) puede ser re-escrito como 0 = (ρ + a0 )ym (t) + b0 u(t)

(12.33)

Supongamos se define un polinomio operador m´ onico estable E(ρ) = ρ + e 0 (e0 > 0), entonces (12.33) se puede escribir como 0=−

b0 ρ + a0 ym (t) + u(t) E(ρ) E(ρ)

(12.34)

Sumando ym (t) a ambos lados se obtiene ym (t) = ym (t) −

b0 ym (t) u(t) ρ + a0 ym (t) + u(t) = (e0 − a0 ) + b0 (12.35) E(ρ) E(ρ) E(ρ) E(ρ)

As´ı, una elecci´ on natural es φ (t) =



T y(t) E(ρ) T e0 − a 0

u(t) E(ρ)

 θ = b0

(12.36) (12.37)

Note que hemos reemplazado ym (t) por y(t) en el vector de regresi´ on, as´ı el vector de regresi´ on resulta dependiente s´ olo de los datos de entrada y salida del sistema a modelar, lo cual es consistente con la idea del m´etodo LSE.

12.3. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO. MODELOS LINEALES.331 222 El Ejemplo 12.2 permite inducir una metodolog´ıa general. Definamos

A(ρ) = ρn + an−1 ρn−1 + . . . a0

(12.38)

n−1

(12.39)

B(ρ) = bn−1 ρ n

+ bn−2 ρ

E(ρ) = ρ + en−1 ρ

n−1

n−2

+ . . . b0

+ . . . e0

(12.40)

donde E(ρ) es un polinomio operador estable. Entonces el modelo (12.29) se puede escribir como 0=−

B(ρ) A(ρ) ym + u(t) E(ρ) E(ρ)

(12.41)

Si ahora sumamos ym (t) a ambos lados se obtiene ym (t) =

E(ρ) − A(ρ) B(ρ) ym + u(t) E(ρ) E(ρ)

(12.42)

Entonces la elecci´on de φ (t) consistente con el m´etodo LSE es φ (t) =



ρn−1 u(t) E(ρ)

ρn−2 u(t) E(ρ)

···

u(t) E(ρ)

ρn−1 y(t) E(ρ)

ρn−2 y(t) E(ρ)

···

T y(t) E(ρ) (12.43)

y el vector de par´ametros es  θ = bn−1

bn−2

···

b0

en−1 − an−1

en−2 − an−2

···

T e0 − a0 (12.44)

Ejemplo 12.3. Supongamos que la clase M es el conjunto de ecuaciones diferenciales de tercer orden, lineales y de coeficientes constantes, entonces 

ρ2 u(t) ρu(t) u(t) ρ2 y(t) ρy(t) y(t) φ (t) = E(ρ) E(ρ) E(ρ) E(ρ) E(ρ) E(ρ) T  θ = b2 b1 · · · b 0 e 2 − a 2 e 1 − a 1 e 0 − a 0

T

(12.45) (12.46)

donde E(ρ) es cualquier polinomio de tercer grado cuyas ra´ıces tenga parte real menor que cero. 222

CAP´ITULO 12. MODELOS

332

12.4.

Modelado de sistemas de tiempo discreto. Teor´ıa b´ asica.

La construcci´on de modelos para sistemas de tiempo continuo es de gran inter´es conceptual. Sin embargo, la implementaci´on de las ecuaciones de esa construcci´on requiere el uso de una m´aquina digital, en cuyo caso necesariamente se debe usar una discretizaci´on y ello hade de mayor relvancia la construicci´on de sistemas de tiempo discreto. Al igual que en el caso de tiempo continuo, usaremos un ejemplo para motivar la discusi´on. Ejemplo 12.4. Suponga que la clase de modelos elegida, M, est´ a definida por ym [k] = α(u[k])3

(12.47)

donde u[k] es la entrada del sistema a modelar. Suponga adem´ as que se realiza un experimento recolector de datos en el sistema a modelar. Como resultado del mismo se obtienen datos4 de entrada y salida, u[k] e y[k], en el intervalo [0; N ]. Entonces el mejor valor de α, α ˆ , en (12.47) se puede calcular minimizando un funcional de costo J(α) dado por J(α) =

N X `=1

(y[`] − α(u[`])3

entonces α ˆ = arg m´ın J(α) α∈R


2

(12.48)

(12.49)

La minimizaci´ on se realiza derivando J(α) respecto de α y haciendo esa derivada igual a cero. Esto lleva a "N #−1 N X X 6 α ˆ= (u[`]) y[`](u[`])3 (12.50) `=1

`=1

Note que si el sistema a modelar perteneciese a la clase de modelos elegida, ˆ = αo , siempre que es decir, si existe αo tal que y[k] = αo (u[k])3 , entonces α u[k] 6= 0 en alg´ un lapso no cero en el intervalo [0; N ]. on del par´ ametro una vez que se La ecuaci´ on (12.50) arroja una estimaci´ han recogido los datos. Existe una formulaci´ on alternativa donde α ˆ evoluciona a medida que se obtienen m´ as datos, tal como se demuestra a continuaci´ on. Para hacer el tratamiento m´ as simple haremos las siguientes substituciones

p[k] =

"

N X

(u[`])

`=1

φ[k] = (u[k]) 4 Note

6

#−1

3

que se trata de datos experimentales de la planta

(12.51) (12.52)

´ 12.4. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO. TEOR´IA BASICA.333 predicci´ on!error de

Entonces, si reemplazamos N por k en (12.50) tenemos que α ˆ [k] = p[k]

k X

y[`]φ[`]

(12.53)

`=1

Luego, al usar (12.51), se obtiene p[k] =

p[k − 1] = p[k − 1] − p[k − 1]φ[k]2 p[k] 1 + p[k − 1]φ[k]2

(12.54)

Combinando (12.7) y (12.8) se obtiene (12.55)

α ˆ [k] = α ˆ [k − 1] + p[k]φ[k] (y[k] − α ˆ [k − 1]φ[k]) {z } | e[k]

donde e[k] es el error que se comete al predecir la salida y[k] usando el modelo y la entrada observada de la planta. Las ecuaciones (12.54) y (12.55) permiten calcular α ˆ [k] en tiempo real, como se puede verificar en la simulaci´ on implementada en el esquema SIMULINK de la Figura 12.2. En esa figura, el sistema a modelar, o mecanismo generador de datos aparece enmascarado. El lector puede verificar, al observar e[k] en el oscilloscopio, que ese sistema pertenece a la clase M. u[k]

y[k]

e

SISTEMA

1

p [0]

e [k]

z p [k] u(1)/(1+u(1)*u(2)^2)

(u(1))^3 \phi [k]

p 1

alfa [0]

z alfa alfa [k]

Antes de empezar la simulación, defina el SISTEMA (haga un doble click en el bloque y edite) y asigne los valores iniciales p[0] y alfa[0] en los bloques de retardo correspondientes

Figura 12.2: Estimaci´on por m´ınimos cuadr´aticos Note adem´ as que, para que este programa SIMULINK funcione se debe asignar una condici´ on distinta de cero a p[0] (en el bloque de retardo correspondiente). Se invita al lector a observar el efecto de distintas elecciones para p[0]. En cambio, el valor inicial α ˆ [0] puede ser cualquier valor, incluyendo cero.

CAP´ITULO 12. MODELOS

334 regresi´ on!vector de regresores PEM errores en las variables

222 Es importante repetir que, en el ejemplo precedente, se plantearon dos formas de calcular un valor estimado para el par´ametro α. En la primera, dada por la ecuaci´on (12.50), se requiere conocer previamente un conjunto de datos en un lapso no cero. En cambio, en la forma construida por las ecuaciones (12.54) y (12.55), el valor estimado se va construyendo a medida que los datos se van obteniendo. Formularemos a continuaci´on el m´etodo general sistemas de tiempo discreto. La clase de modelos a usar, M, est´a definida por ym [k] = φ m [k]T θ

(12.56)

donde φm [k] es un vector, llamado vector de regresi´on,. Los elementos de φm [k] son conocidos como regresores. Existen tres grandes l´ıneas en la construcci´on del vector de regresi´on, y ellas son las mismas que en el caso continuo: m´ etodos de error de predicci´ on, (PEM) (prediction error methods). m´etodo de errores en la variables M´etodo cl´asico de estimaci´ on por errores cuadr´ aticos (LSE)(least squares errors). Distinguiremos esta elecci´on de las otras dos reemplazando φ m [k] por φ [k] en la derivaci´on de las ecuaciones del m´etodo. Por su parte, el vector θ ∈ Rp contiene los par´ametros θ 1 , θ2 , . . . , θ p que distinguen cada elemento en M. Note que la expresi´on es bastante general, ya que la u ´nica restricci´on es que el modelo sea lineal en los par´ametros a estimar, y no necesariamente debe ser lineal en los datos. Por ejemplo p (12.57) ym [k] = a u[k] + b u[k] + c cos(u[k]) + d Entonces, el modelo (12.57) puede ser puesto en la forma (12.56) con las siguientes asociaciones p φ [k] = [ u[k] u[k] cos(u[k]) 1]T (12.58) θ = [a b c d ]T

(12.59)

Veremos adem´as en una secci´on siguiente que (12.56) puede describir sistemas din´amicos. Para modelar un sistema con entrada u[k] y salida y[k], como miembro de la clase M, debemos encontrar un estimado o´ptimo, θˆ, para θ de modo que se minimice N X J(θθ ) = (12.60) (y[`] − φ [`]T θ )2 0

El producto φ [`]T θ corresponde a una estimaci´on de la salida del sistema a φ[`]T θ modelar, utilizando el elemento gen´erico de la clase M. La diferencia y[`]−φ

´ 12.4. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO. TEOR´IA BASICA.335 es conocida como el error de predicci´on (no confundir con los m´etodos PEM). El m´etodo de estimaci´on cuadr´atica permite determinar cual de los elementos de M es el que arroja la predicci´on con menor error cuadr´atico acumulado. Esto es equivalente a seleccionar el o´ptimo θ . La minimizaci´on de (12.60) se hace a trav´es del procedimiento tradicional: derivando respecto de la inc´ognita y luego haciendo esa derivada igual a cero. Como se trata de la derivada de una funci´on escalar respecto de un vector, la derivada corresponde al gradiente ∇θ . As´ı el mejor estimado θˆ est´a dado por θˆ = arg m´ınp J(θθ ) θ∈R

(12.61)

El procedimiento descrito lleva a N

∇θ J(θθ ) =

X dJ(θθ ) = −2 φ [`](y[`] − φ [`]T θ ) dθ

(12.62)

`=1

Al hacer cero el gradiente se obtiene el estimado θˆ dado por "N #−1 N X X T φ[`] φ [`]φ φ [`]y[`] θˆ = `=1

(12.63)

`=1

Para demostrar que la expresi´on (12.63) minimiza el funcional, se debe calcular la segunda derivada (o Hessiano) de J(θθ ), la que debe ser una matriz positiva definida (ver Ap´endice F). Esto da N

HJ (θθ ) =

X d 2 J(θθ ) φ[`]T = 2 φ [`]φ dθ 2

(12.64)

k=1

Entonces el Hessiano HJ (θθ ) es positivo definido si el vector φ [`] cumple algunas condiciones muy poco exigentes5 en 0 < ` ≤ N . La expresi´on (12.63) proporciona una forma de construir el modelo, estimando θ , una vez que se han acumulado los datos en un lapso [0; tf ]. Tal como se ilustr´o en el Ejemplo 12.4, es posible construir un estimado, θˆ[k], que vaya evolucionando a medida que se van considerando nuevos datos. Esto aparece resuelto en el siguiente teorema. Teorema 12.2. Considere la clase M definida por (12.56), el funcional en (12.60) y un experimento que permite construir φ [`] para 0 < ` ≤ N . Entonces el estimador o ´ptimo, θˆ[k] se puede obtener a trav´es de

φ[k]φ φ[k]T P[k − 1] P[k − 1]φ φ[k] 1 + φ [k]T P[k − 1]φ φ[k](y[k] − φ [k]θˆ[k]) = P[k]φ φ[k]e[k] θˆ[k] = θˆ[k − 1] + P[k]φ

P[k] = P[k − 1] −

5 Cuya

deducci´ on escapa al marco de este texto.

(12.65) (12.66)

predicci´ on!error de gradiente

CAP´ITULO 12. MODELOS

336 Demostraci´ on

Definamos previamente la matriz P[k] ∈ Rp×p de la forma P[k] =

"

k X

φ[`] φ [`]φ

T

`=1

#−1

(12.67)

y la matriz Q[k] = P[k]−1 =

k X `=1

φ[`]T = Q[k − 1] + φ [k]φ φ[k]T φ [`]φ

(12.68)

entonces podemos aplicar el lema de inversi´ on de matrices para obtener P[k](= Q[k]−1 ) en funci´ on de P[k − 1](= Q[k − 1]−1 ), lo cual lleva a (12.65). Por otro lado, al usar (12.63) se tiene que

P[k]−1θˆ[k] =

k X

φ [`]y[`]

(12.69)

φ [`]y[`]

(12.70)

`=1

P[k − 1]−1θˆ[k − 1] =

k−1 X `=1

lo cual lleva a φ[`]y[`] θˆ[k] = P[k]P[k − 1]−1θˆ[k − 1] + P[k]φ

(12.71)

de donde, al usar (12.65), se obtiene (12.66). 222 El Teorema 12.2 establece un procedimiento a trav´es del cual la estimaci´on de los par´ametros del modelo se va obteniendo a medida que se dispone de nueva informaci´on.

12.5.

Modelado de sistemas de tiempo discreto. Modelos lineales.

La teor´ıa desarrollada en la secci´on precedente se aplica a cualquier clase de modelos M, con la u ´nica condici´on que los miembros de esa clase sean lineales en el vector de par´ametros, es decir, tengan la forma (12.56). Esto no excluye modelos que son no lineales en la entrada y la salida, tal como se ilustra en el Ejemplo 12.4. Sin embargo, en esta secci´on enfocaremos nuestra atenci´on en modelos din´amicos lineales de tiempo discreto. Con este objetivo definiremos la clase M por la ecuaci´on diferencial (4.1), la que reproducimos a continuaci´on (reemplazando y[k] por ym [k]).

12.5. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO. MODELOS LINEALES.337

ym [k] + an−1 ym [k − 1] + . . . + a1 ym [k − n + 1] + a0 ym [k − n] = bm u[k] + bm−1 u[k − 1] + . . . + b1 u[k − m + 1] + b0 u[k − m]

(12.72)

Antes de desarrollar la metodolog´ıa general, examinaremos un ejemplo muy simple, para adquirir perspectiva Ejemplo 12.5. La clase M es elegida como en (12.72), con n = 1, es decir ym [k] + a0 ym [k − 1] = b0 u[k]

(12.73)

La primera opci´ on para contruir la forma (12.56) en este caso es (note la sustituci´ on de ym [k] por y[k] en el vector φ [k])  T φ [k] = u[k] −ym [k − 1]  T θ = b0 a 0

(12.74) (12.75)

A diferencia del caso de tiempo continuo, esta forma de selecci´ on del vector on anterior puede ser de regresi´ on φ [k] es razonable y la metodolog´ıa de la secci´ aplicada sin mayores dificultades. 222 El Ejemplo 12.5 permite inducir una metodolog´ıa general, ya que podemos expresar la ecuaci´on (12.72) como ym [k] = φ [k]T θ [k]  φ [k] = u[k] u[k − 1]  θ [k] = bm

bm−1

...

(12.76) . . . u[k − m] b0

an−1

−ym [k − 1] an−2

...

a0

−ym [k − 2] 

...

−ym [k − n] (12.77) (12.78)



338

CAP´ITULO 12. MODELOS

serie de Taylor Taylor

Ap´ endice A

Series de Taylor A.1.

Serie de Taylor en una variable

Considere una funci´on g(x), donde x ∈ R y sea xQ un valor arbitrario en R, tal que g(x) es continua en x = xQ . Suponga adem´as que g(x) es infinitamente diferenciable en x = xQ , es decir, todas las derivadas de g(x) en x = xQ son continuas. Entonces la funci´on g(x) se puede expandir en serie de potencias de (x−x Q ), es decir, admite la siguiente representaci´on en una serie de Taylor d x 1 d 2 x 1 d 3 x 2 g(x) = g(xQ ) + (x − xQ ) + (x − xQ ) + (x − xQ )3 + . . . dt Q 2! dt 2 Q 3! dt 3 Q (A.1)

=

∞ X i=0

1 d i x (x − xQ )i i! dt i Q

(A.2)

n donde ddt nx Q denota la derivada n-´esima de g respecto de x y evaluada en x = xQ . A partir de esta expansi´on, podemos construir aproximaciones de primer, segundo, tercer orden, etc. truncando la serie despu´es de la potencia de primer, segundo, tercer grado, etc., respectivamente. Por ejemplo, la aproximaci´on de primer orden es d g (A.3) gˆ1 (x) = k0 + k1 (x − xQ ); k0 = g(xQ ); k1 = dx Q

Esta aproximaci´on de primer orden se puede apreciar gr´aficamente, como se muestra en la Figura A.1. dg En esta figura m = k1 = dx . Se observa que, en la medida que nos Q

alejamos del punto de operaci´on, el error de modelado lineal aumenta. 339

´ APENDICE A. SERIES DE TAYLOR

340

g(x)

gˆ1 (x) m

1

g(xQ )

x

xQ

Figura A.1: Aproximaci´on de primer orden para funci´on no lineal de una variable.

A.2.

Serie de Taylor en dos variables

La misma idea resumida en la secci´on anterior se puede extender al caso de una funci´on g(x1 , x2 ), con x1 ∈ R, x2 ∈ R.

Sea (x1Q , x2Q ) un par arbitrario tal que g(x1 , x2 ) es continua e infinitamente diferenciable en x1 = x1Q , x2 = x2Q . Entonces g puede expandirse en serie de potencias de (x1 − x1Q ) y (x2 − x1Q )

∂g ∂g 1 ∂ 2 g g(x1Q , yQ ) + (x1 − x1Q )2 + (x1 − x1Q ) + (x2 − x2Q ) + ∂x1 Q ∂x2 Q 2 ∂x21 Q ∂ 2 f 1 ∂ 2 g 2 (x1 − x1Q )(x2 − x2Q ) + . . . (A.4) (x − x ) + 2 2Q 2 ∂x2 ∂x1 ∂x2 2 Q

Q

donde el t´ermino general de la expansi´on es 1 ∂ i+j g (x1 − x1Q )i (x2 − x2Q )j i!j! ∂xi1 ∂xj2 Q

(A.5)

En forma an´aloga al caso de una variable, podemos truncar esta serie para tener aproximaciones de primer, segundo, tercer, etc. orden. Por ejemplo, la aproximaci´on de primer orden est´a dada por

A.3. EL CASO GENERAL

341

gˆ1 (x1 , x2 ) = k0 + k11 (x1 − x1Q ) + k12 (x2 − x2Q )

A.3.

k0 = g(x1Q , x2Q ) d g k11 = dx1 Q d g k12 = dx2 Q

(A.6) (A.7) (A.8) (A.9)

El caso general

La idea desarrollada en las dos secciones anteriores se puede generalizar al caso de una funci´on g(x1 , x2 , . . . , xn ) con x1 ∈ R, x2 ∈ R, . . ., xn ∈ R. Sea (x1Q , x2Q , . . . , xnQ ) una n-tupla tal que g(x1 , x2 , . . . , xn ) es continua e infinitamente diferenciable en x1 = x1Q , x2 = x2Q , . . ., xn = xnQ . Entonces la expansi´on en serie de Taylor est´a dada por

+

g(x1 , x2 , . . . , xn ) = g(x1Q , x2Q , . . . , xnQ ) ∞ X ∂ ni g 1

i1 ,i2 ,...,in

(x1 −x1Q )i1 (x2 −x2Q )i2 . . . (xn −xnQ )in i i i 1x ∂ 2x · · · ∂ nx i !i ! · · · i ! ∂ n 1 2 n Q =0 1 2

(A.10)

donde ni = i1 + i2 + . . . + in . La aproximaci´on de primer orden, por truncamiento de la serie es entonces

gˆ1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = k0 +

n X i=1

k1i (xi − xiQ )

k0 = g(x1Q , x2Q , . . . , xnQ ) d g k1i = dxi

(A.11) (A.12) (A.13)

Q

(A.14)

Es importante se˜ nalar que los desarrollos precedentes siguen siendo v´alidos aunque las variable x1 , x2 , . . ., xn sean funciones de una variable temporal u otra variable independiente.

A.4.

Algunas reglas pr´ acticas para la expansi´ on en serie

La teor´ıa general precedente permite construir algunas reglas b´asicas para expandir funciones complicadas en serie de potencias.

´ APENDICE A. SERIES DE TAYLOR

342

R1 Considere las funciones no lineales g(x) y h(x) y un punto de operaci´on com´ un dado por xQ , entonces las aproximaciones de primer orden para las funciones que se indican son d g(x) (x − xQ ) dx Q d h(x) ˆ (x − xQ ) [R1,2] h1 (x) = h(xQ ) + dx Q ! d g(x) d h(x) \ [R1,3]g(x) + h(x)1 = g(xQ ) + h(xQ ) + (x − xQ ) + dx Q dx Q ! d h(x) d g(x) \ = g(xQ )h(xQ ) + h(xQ ) + g(xQ ) (x − xQ ) [R1,4] g(x)h(x) 1 dx Q dx Q

[R1,1]

gˆ1 (x) = g(xQ ) +

R2 La aproximaci´on de primer orden de g(x) = operaci´on x = xQ , g(xQ ) = 0 es gˆ1 (x) =

d ` x(t) dt `

d ` (x(t) − xQ ) dt `

en torno al punto de

(A.15)

ik h ` R3 La aproximaci´on de primer orden de g(x) = d dtx(t) , k > 1 en torno al ` ik−1 h ` = 0 es punto de operaci´on x = xQ , d dtx(t) ` gˆ1 (x) = 0

(A.16)

Ap´ endice B

Bases matem´ aticas para las Series de Fourier B.1.

Espacios vectoriales y bases ortogonales

En esta secci´on se revisan los conceptos b´asicos de los espacios vectoriales, incluyendo definiciones y propiedades. Se introducen adem´as las ideas de ortogonalidad y bases, ideas matem´aticas abstractas de mucha utilidad para fundamentar el an´alisis mediante series de Fourier y otros t´opicos dentro de la teor´ıa de sistemas como es, por ejemplo, la construcci´on de modelos y la estimaci´on de se˜ nales utilizando el enfoque de m´ınimos cuadrados.

Definici´ on B.1. Un espacio vectorial V es un conjunto de objetos ~v 1 , ~v2 , . . . , llamados vectores, donde se definen dos operaciones: suma de dos vectores, y multiplicaci´ on por un escalar y que satisfacen las siguientes propiedades: 1.

Si ~vi ∈ V y ~vj ∈ V, entonces ~vi + ~vj ∈ V

2.

Si ~vi ∈ V y ~vj ∈ V, entonces ~vi + ~vj = ~vj + ~vi

3.

Si ~vi , ~vj , ~vk son vectores cualesquiera de V, entonces ~vi + (~vj + ~vk ) = (~vi + ~vj ) + ~vk

4.

Existe un vector ~0 ∈ V, tal que para todo ~vi ∈ V se cumple ~vi + ~0 = ~vi

5.

Para cada ~vi ∈ V existe un vector −~vi ∈ V, tal que ~vi + (−~vi ) = ~0

6.

Si ~vi ∈ V y α es un escalar, entonces α~vi ∈ V

7.

Si ~vi y ~vj est´ an en V y α es un escalar, entonces α(~vi + ~vj ) = α~vi + α~vj

8.

Si α y β son escalares y ~vi ∈ V, entonces (α + β)~vi = α~vi + β~vi 343

´ ´ 344APENDICE B. BASES MATEMATICAS PARA LAS SERIES DE FOURIER 9.

Si α y β son escalares y ~vi ∈ V, entonces α(β~vi ) = (αβ)~vi

10.

Existe el escalar 1 tal que 1~vi = ~vi , para todo ~vi ∈ V

Existe un sinn´ umero de conjuntos de elementos que son ejemplo de espacios vectoriales, de entre los cuales se deja al lector verificar que los siguientes cumplen las propiedades reci´en enumeradas: El espacio Rn en que los escalares son n´ umeros reales, El espacio Cn en que los escalares pueden ser n´ umeros reales o bien complejos, El conjunto de funciones reales seccionalmente continuas1 en un intervalo [a, b], en que los escalares son n´ umeros reales.

Definici´ on B.2. Dado un conjunto de vectores G = {~v1 , . . . , ~vn } ⊆ V, diremos que el espacio generado por G, es el conjunto de todos los vectores de la forma: ~v = α1~v1 + . . . + αn~vn Es decir, ~v es una combinaci´ on lineal de ~v1 , . . . , ~vn . Se deja al lector probar que el subespacio generado por el subconjunto de vectores G ⊆ V tambi´en cumple las propiedades de un espacio vectorial. Definici´ on B.3. Un conjunto de vectores ~v1 , . . . , ~vn se dice linealmente independiente, si la ecuaci´ on: α1~v1 + . . . + αn~vn = 0 se cumple s´ olo para los escalares α1 = α2 = . . . = αn = 0. En caso contrario se dice que los vectores son linealmente dependientes. La independencia lineal en un conjunto de vectores es una propiedad muy importante pues nos permite afirmar que ninguno de los vectores del conjunto puede expresarse como una combinaci´on lineal de los dem´as vectores. Esta demostraci´on se deja al lector. Definici´ on B.4. Dado un espacio vectorial V, diremos que un conjunto de vectores B = {~v1 , . . . , ~vn } es base de V si: 1. 1 Es

{~v1 , . . . , ~vn } es linealmente independiente, y decir, que poseen a lo m´ as un n´ umero finito de puntos de discontinuidad.

B.1. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES ORTOGONALES 2.

345

{~v1 , . . . , ~vn } genera todo el espacio V.

En este caso diremos que el espacio vectorial V tiene dimensi´ on igual a n. Por ejemplo, el espacio de vectores en el plano tiene dimensi´on n = 2, en el espacio n = 3, mientras que existen otros espacios como por ejemplo el de funciones que pueden tener dimensi´on infinita. Definici´ on B.5. Dados dos vectores cualesquiera ~vi y ~vj en un espacio vectorial V con escalares en C, entonces diremos que h~vi , ~vj i es un producto interno, producto escalar o producto punto si cumple las siguientes propiedades: 1.

h~vi , ~vj i es un escalar

2.

h~vi , α~vj + β~vk i = αh~vi , ~vj i + βh~vi , ~vk i

3.

h~vi , ~vi i > 0 si ~vi 6= ~0

4.

h~vi , ~vj i = h~vj , ~vi i ∗ , en que (·)∗ denota el complejo conjugado de (·) Este producto adem´as induce una norma en el espacio vectorial V:

p

~vi = h~vi , ~vi i

Recordamos que una norma se define como sigue:

Definici´ on B.6. Una norma · en un espacio vectorial es una funci´ on que va del espacio V a R que cumple con :



1. ~vi ≥ 0 y ~vi = 0 si y s´ olo si ~vi = ~0



2. α~vi = |α| ~vi en que |α| es el valor absoluto o m´ odulo del escalar α



3. ~vi + ~vj ≤ ~vi + ~vi ( desigualdad triangular) .

Con la norma inducida de esta forma con el producto interno en el espacio vectorial podemos introducir la idea de distancia entre dos vectores:

d(~vi , ~vj ) = ~vi − ~vj Definici´ on B.7. Un espacio vectorial donde se ha definido una norma, es decir, se tiene una medida de distancia y longitud se denomina espacio euclideano Adem´as puede definirse el coseno del ´ angulo entre dos vectores como h~vi , ~vj i

cos ∠(~vi , ~vj ) =

~vi

~vj

norma norma inducida desigualdad triangular distancia \’angulo entre vectores

´ ´ 346APENDICE B. BASES MATEMATICAS PARA LAS SERIES DE FOURIER Definici´ on B.8. De la definici´ on del a ´ngulo entre dos vectores es claro que podemos decir que dos vectores son ortogonales bajo el producto interno h◦, ◦i, si este producto es igual a cero. Es decir: ~vi ⊥~vj ⇔ h~vi , ~vj i = 0 Lema B.1. Supongamos un espacio vectorial V de dimension n, en que se tiene una base de vectores: B = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn }

(B.1)

Si los vectores de la base B son ortogonales entre si bajo un producto interno h◦, ◦i, es decir: ( 0 ; si i 6= j (B.2) h~vi , ~vj i = > 0 ; si i = j Entonces, un vector arbitrario ~u ∈ V se representa como una combinaci´ on lineal de los vectores de la base B de la forma: ~u = α1~v1 + α2~v2 + . . . + αn~vn

(B.3)

en que cada coeficiente se calcula: αi =

h~vi , ~ui h~vi , ~vi i

(B.4)

Demostraci´ on La representaci´on (B.3) se deduce de inmediato del hecho de tener un conjunto de n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V de dimensi´on n. Lo central que nos ata˜ ne en este caso es el c´alculo de los coeficientes (B.4). Tomemos la ecuaci´on (B.3), y apliqu´emosle producto interno con alguno de los vectores de la base (B.1): h~vi , ~ui = h~vi , α1~v1 + α2~v2 + . . . + αn~vn i

(B.5)

Si aplicamos la linealidad del producto interno h~vi , ~ui = α1 h~vi , ~v1 i + α2 h~vi , ~v2 i + . . . + αn h~vi , ~vn i

(B.6)

Y dada la ortogonalidad del conjunto B, los productos de la derecha son cero a excepci´on del que coinciden los ´ındices i : h~u, ~vi i = αi h~vi , ~vi i

(B.7)

B.2. CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER De donde se demuestra el resultado (B.4).

347 222

Lema B.2. Desigualdad de Cauchy-Schwartz Si vi y vj son dos vectores arbitrarios en un espacio euclideano, es decir, un espacio vectorial con norma inducida por un producto interno, entonces hvi , vj i2 ≤ hvi , vi i · hvj , vj i

(B.8)

Demostraci´ on Primero se observa que esta desigualdad es inmediata si cualquiera de los vectores, vi o vj , es el vector cero. As´ı es suficiente considerar el caso en ambos son no nulos. Consideremos un vector (αvi − βvj ), cuya norma es no negativa 0 ≤ h(αvi − βvj ), (αvi − βvj )i 2

(B.9) 2

= α hvi , vi i − 2αβhvi , vj i + β hvj , vj i

(B.10)

De donde 2αβhvi , vj i ≤ α2 hvi , vi i + β 2 hvj , vj i p p Ahora, si tomamos α = hvj , vj i y β = hvi , vi i entonces

√ √ 2 hvj , vj i hvi , vi ihvi , vj i ≤ 2hvi , vi ihvj , vj i √ √ hvi , vj i ≤ hvj , vj i hvi , vi i

(B.11)

(B.12) (B.13)

Donde elevando al cuadrado se tiene la desigualdad a demostrar. 222

B.2.

Convergencia de las Series de Fourier

B.2.1.

Convergencia de sucesiones y series

A continuaci´on se hace un breve repaso sobre convergencia de sucesiones y series de funciones. Definici´ on B.9. Se dice que una sucesi´ on de funciones {fk (x)} de funciones, cada una definida en un intervalo I = [a, b], converge (puntualmente) en I, si l´ım fk (x0 )

k→∞

existe ∀x0 ∈ I

(B.14)

´ ´ 348APENDICE B. BASES MATEMATICAS PARA LAS SERIES DE FOURIER Definici´ on B.10. Se dice que una sucesi´ on {fk (x)} de funciones, definidas en un intervalo I = [a, b], converge uniformemente a una funci´ on f (x) en el intervalo I si ∀ε > 0 ∃ K > 0

tal que

k > K ⇒ |f (x) − fk (x)| < ε

∀ a ≤ x ≤ b (B.15)

Estas dos definiciones sobre la convergencia de sucesiones son aplicables totalmente a series de funciones, ya que estas u ´ltimas no son m´as que sucesiones de sumas parciales. Es decir, si se tiene una serie de funciones de la forma ∞ X

S(x) =

fn (x)

(B.16)

n=1

Sus propiedades de convergencia est´an dadas por la convergencia de la sucesi´on {Sk (x)}, que es la suma parcial k-´esima Sk (x) =

k X

fn (x)

(B.17)

n=1

Definici´ on B.11. Se dice que una serie de funciones ∞ X

S(x) =

fn (x)

(B.18)

n=1

converge absolutamente si la serie de los valores absolutos de su t´ermino general converge, es decir, si ∞ X

n=1

|fn (x)|

(B.19)

converge. Note que por comparaci´ on de los t´erminos generales, si una serie converge absolutamente, entonces tambi´en converge en el sentido usual 2 Lema B.3. M -Test de Weiertrass Si tenemos una serie convergente de n´ umeros reales positivos ∞ X

Mk

(B.20)

k=1

Y una serie de funciones en un intervalo I = [a, b] ∞ X

fk (x)

k=1 2 Sentido

usual significa que la serie (B.18) converge

(B.21)

B.2. CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER

349

Tales que |fk (x)| ≤ Mk

(B.22)

Para cada k y para cada x ∈ I , entonces la serie de funciones converge uniforme y absolutamente en el intervalo I.

P∞

k=1

fk (x)

Demostraci´ on Por comparaci´on entre los t´erminos de la serie num´erica y la de funciones, se sigue que para cada x0 en el intervalo I, la serie converge absolutamente. As´ı la serie converge puntualmente a una funci´on l´ımite f (x) en a ≤ x ≤ b. Ahora ∞ n X X fk (x) fk (x) = f (x) − k=1

≤

≤ =

(B.23)

k=n+1 ∞ X

k=n+1 ∞ X

|fk (x)|

(B.24)

Mk

(B.25)

k=n+1 ∞ X k=1

Mk −

n X

Mk

(B.26)

k=1

Donde en el lado derecho la expresi´on tiende a cero cuando n → ∞. Ya que esta convergencia no depende del x que se elija en I, es uniforme.

B.2.2.

Convergencia de las Series de Fourier

Para estudiar la convergencia de la serie de Fourier de una funci´on, a continuaci´on se desarrollan algunos lemas que permiten determinar que la norma del vector de error en (t) = y(t) − yn (t) tiende asint´oticamente a cero, cuando n → ∞. Lema B.4. Desigualdad de Parseval Si y(t) es una funci´ on per´ı´ odica y A0 , A1 , ...An y B1 , ...Bn son (algunos de los) coeficientes de su representaci´ on en serie de Fourier entonces 1 T

Z

T 2

− T2

n

y 2 (t)dt ≥ A20 +


1X 2 Ak + Bk2 2

(B.27)

k=1

Demostraci´ on La norma al cuadrado del error que se comete, que se representa en la figura 5.8 a la derecha, es:

´ ´ 350APENDICE B. BASES MATEMATICAS PARA LAS SERIES DE FOURIER



en (t) 2 = hen (t), en (t)i

(B.28)

= hen (t), y(t) − yn (t)i = hen (t), y(t)i − hen (t), yn (t)i

(B.29) (B.30)

Pero seg´ un (5.37) el segundo t´ermino es cero, y usando (5.38)

en (t) 2 = hen (t), y(t)i = hy(t), y(t)i − hyn (t), y(t)i * n + X

2

= y(t) − αk fk (t), y(t)

2 = y(t) −

(B.31) (B.32) (B.33)

k=1 n X

k=1

αk hfk (t), y(t)i

(B.34)

que puede reescribirse como

n X



2

en (t) 2 = y(t) 2 − αk2 fk (t)

(B.35)

k=1

Si recordamos que la norma siempre es positiva o cero y se expresa mediante integrales, y si calculamos la norma cuadr´atica de cada fk (t) de la base (5.23) obtenemos Z

T 2

− T2

e2n (t)dt =

Z

T 2

− T2

"

y 2 (t)dt − A20 · T +

n  X

k=1

T T A2k · + Bk2 · 2 2

#

≥ 0 (B.36)

Con esto se obtiene la desigualdad de Parseval: 1 T

Z

T 2

− T2

n

y 2 (t)dt ≥ A20 +


1X 2 Ak + Bk2 2

(B.37)

k=1

222

Corollario B.1. De la ecuaci´ on (B.27), se deduce adem´ as que 2 k→∞ T

l´ım Ak = l´ım

k→∞

2 l´ım Bk = l´ım k→∞ k→∞ T

Z Z

T 2

− T2

y(t) cos(kω0 t)dt = 0

(B.38)

y(t) sen(kω0 t)dt = 0

(B.39)

T 2

− T2

B.2. CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER

351

Demostraci´ on Directa de la desigualdad de Parseval, ya que si la integral del lado izquierdo existe, entonces la serie del lado derecho, cuyo t´ermino general es no-negativo, est´a acotada superiormente. Esto permite afirmar que converge, lo que a su vez implica que el t´ermino general se hace cero cuando n → ∞, por tanto, los coeficientes Ak y Bk se hacen cero cuando k → ∞. 222 Lema B.5. La aproximaci´ on o serie de Fourier truncada yn (t) de una funci´ on peri´ odica y(t) de per´ıodo T , puede escribirse como 2 yn (t) = T

Z

T 2

y(t + s) − T2

Demostraci´ on

sen(ω0 (n + 12 )s)
ds 2 sen ω20 s

; ω0 =

2π T

(B.40)

La aproximaci´on n-´esima puede escribirse utilizando las ecuaciones (5.27) n X

yn (t) = A0 +

[Ak cos(kω0 t) + Bk sen(kω0 t)]

(B.41)

k=1

=

1 T +

Z

T 2

y(τ )dτ

n X

k=1

=

=

2 T

Z

2 T

Z

(B.42)

− T2

"

2 cos(kω0 t) T

T 2

y(τ ) − T2 T 2

y(τ ) − T2

" "

1 + 2 1 + 2

Z

T 2

2 y(τ ) cos(kω0 τ )dτ + sen(kω0 t) T T −2

n X

k=1 n X

k=1

Z

T 2

− T2

y(τ ) sen(kω0 τ )dτ (B.43) #

{cos(kω0 t) cos(kω0 τ ) + sen(kω0 t) sen(kω0 τ )} dτ

(B.44) #

cos(kω0 (τ − t)) dτ

(B.45)

Pero se puede utilizar la siguiente identidad trigonom´etrica       ω s 1 1 0 ω0 s − sen k− ω0 s = 2 sen cos (kω0 s) (B.46) sen k+ 2 2 2 Y si se hace la suma desde 1 hasta n, obtenemos

sen



n+

1 2



 n ω s ω s X 0 0 ω0 s − sen = 2 sen cos (kω0 s) 2 2 k=1

(B.47)

#

´ ´ 352APENDICE B. BASES MATEMATICAS PARA LAS SERIES DE FOURIER O bien,

n sen n + 12 ω0 s 1 X
cos (kω0 s) = + 2 2 sen 12 ω0 s k=1

(B.48)

Reemplazando en la integral se obtiene 2 yn (t) = T

Z

T 2

y(τ )

sen

− T2



n + 12 ω0 (τ − t)
dτ 2 sen ω20 (τ − t)

(B.49)

Si se considera t fijo y se hace el cambio s = τ − t se obtiene 2 yn (t) = T

Z

T 2

−t

y(t + s)

− T2 −t

sen



n + 12 ω0 s
ds 2 sen ω20 s

(B.50)

En esta expresi´on, si la funci´on y(t) tiene per´ıodo T , entonces puede probarse que la funci´on en el integrando tambi´en es peri´odica en s, con per´ıodo T . Esto se deja como ejercicio al lector. Por lo tanto la integral puede calcularse en cualquier intervalo de longitud T , en particular, en [− T2 , T2 ]. 222 Lema B.6. Convergencia puntual. Supongamos que y(t) es una funci´ on peri´ odica en (−∞, ∞), de per´ıodo T , entonces para cada t0 se cumple que l´ım yn (t0 ) =

n→∞

− y(t+ 0 ) + y(t0 ) 2

(B.51)

− En que y(t+ ımites por la derecha y por la izquierda de y(t) 0 ) e y(t0 ) son los l´ en t0 .

Demostraci´ on Primero, y como resultado previo, observemos que si integramos a ambos lados de la ecuaci´on (B.48), obtenemos

Z T2 sen n + 12 ω0 s T
(B.52) = 1 T 2 2 sen ω s −2 2 0 Ahora definamos la funci´on

g(t) =

y(t+ ) + y(t− ) 2

(B.53)

Esta coincide con y(t) s´olo en sus puntos de continuidad y adem´as hereda su periodicidad. Podemos observar tambi´en que si t0 es una discontinuidad de y(t), lo es tambi´en de g(t) y

B.2. CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER

353

− − y(t+ g(t+ 0 ) + y(t0 ) 0 ) + g(t0 ) = 2 2

(B.54)

g(t0 ) =

Consideremos lo que sucede con el error en (t0 ), entre g(t) y su representaci´on en serie de Fourier, a medida que n tiende a infinito. Si usamos la igualdad reci´en mencionada y la expresi´on (B.40) para la n-´esima suma parcial, el error puede escribirse

en (t0 ) = g(t0 ) − gn (t0 ) (B.55) Z T2 Z T2 1 1 sen(ω0 (n + 2 )s) sen(ω0 (n + 2 )s) 2 2
ds −
ds g(t0 ) g(t0 + s) = ω 0 T − T2 T − T2 2 sen 2 s 2 sen ω20 s (B.56) Z T2 sen(ω0 (n + 12 )s) 2
ds = [g(t0 ) − g(t0 + s)] (B.57) T − T2 2 sen ω20 s #     Z T2 " 1 2 g(t0 ) − g(t0 + s) 1 2 ω0 s
s ds = sen ω0 n + 1 T − T2 2 sen 21 ω0 s 2 ω0 s (B.58)

La expresi´on entre corchetes dentro de la integral es seccionalmente continua en el intervalo [− T2 , T2 ], siempre y cuando t0 sea un punto de continuidad de g(t), lo que permite afirmar que el primer cuociente de la expresi´on entre corchetes se transforma en la derivada cuando s → 0. En estos puntos, usando la ecuaci´on (B.39), se deduce que

l´ım en (t0 ) = 0

(B.59)

n→∞

O, lo que es lo mismo, l´ım gn (t0 ) = g(t0 ) =

n→∞

− g(t+ 0 ) + g(t0 ) 2

(B.60)

Ya que, en este caso t0 se ha supuesto un punto de continuidad, es decir, − g(t+ 0 ) = g(t0 ) = g(t0 ). En aquellos puntos (finitos) de discontinuidad de g(t), podemos definir la funci´on G(t) = g(t + t0 ) − g(t0 ) Si separamos esta funci´on en sus partes par e impar

(B.61)

´ ´ 354APENDICE B. BASES MATEMATICAS PARA LAS SERIES DE FOURIER

G(t) + G(−t) 2 g(t + t0 ) + g(−t + t0 ) − 2g(t0 ) = 2 G(t) − G(−t) Gimpar (t) = 2 g(t + t0 ) − g(−t + t0 ) = 2 Gpar (t) =

(B.62) (B.63) (B.64) (B.65)

La serie de Fourier de Gimpar (t) converge a cero en t = 0, pues es una serie senoidal. Mientras que Gpar (t) es continua en t = 0 (cuya prueba se deja al lector), por tanto su serie de Fourier converge a Gpar (0) = G(0). Con esto podemos afirmar que la serie de Fourier de G(t) converge a cero en t = 0 y en consecuencia l´ım Gn (0) = 0 =⇒ l´ım gn (t0 ) = g(t0 ) (B.66) n→∞

n→∞

Es decir, la serie de Fourier de g(t) en t = t0 converge a g(t0 ), tambi´en en el caso de los puntos de discontinuidad. Ahora dada la definici´on de g(t) en (B.53), su expresi´on en serie de Fourier coincide con la de y(t), por tanto la convergencia puntual debe ser la misma. En consecuencia, el lema queda demostrado. 222 Lema B.7. Convergencia uniforme Supongamos que y(t) es una funci´ on continua en (−∞, ∞), de per´ıodo T , cuya primera derivada y 0 (t) es seccionalmente continua. Entonces, su serie de Fourier converge uniformemente a y(t) en cualquier intervalo [a, b]. Es decir,

∀ε > 0 ∃N > 0

;

n > N ⇒ |y(t) − yn (t)| < ε ∀t ∈ [a, b]

(B.67)

Demostraci´ on Sean A0 + A00 +

∞ X

n=1 ∞ X

[An cos(nω0 t) + Bn sen(nω0 t)]

(B.68)

[A0n cos(nω0 t) + Bn0 sen(nω0 t)]

(B.69)

n=1

Las series de Fourier de y(t) e y 0 (t), respectivamente. Entonces, dada la periodicidad de y(t), tenemos que

B.2. CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER

A00

1 = T

Z

T 2

y 0 (t)dt

355

(B.70)

− T2

1 [y(T /2) − y(−T /2)] T =0 =

(B.71) (B.72)

Mientras que para n > 0 tenemos

A0n =

2 T

Z

T 2

− T2

y 0 (t) cos(nω0 t)dt

(B.73)

# " Z T2 T2 2 y(t) sen(nω0 t)dt y(t) cos(nω0 t) T + nω0 = T −2 − T2 Z T2 2 = nω0 y(t) sen(nω0 t)dt T − T2 = nω0 Bn Z T2 2 Bn0 = y 0 (t) sen(nω0 t)dt T − T2 # " Z T2 T2 2 y(t) cos(nω0 t)dt = y(t) sen(nω0 t) T − nω0 T −2 − T2 Z T2 2 = −nω0 y(t) sen(nω0 t)dt T − T2 = −nω0 An

(B.74) (B.75) (B.76) (B.77) (B.78) (B.79) (B.80)

Utilizando la desigualdad de Parseval (B.27), podemos afirmar que 2 q ∞  ∞   X X 2 2 A0n + Bn0 nω0 An 2 + Bn 2 (B.81) = n=1

n=1

1 ≤ T

Z

T 2

− T2

y 0 (t)2 dt < ∞

(B.82)

p Si se observa el t´ermino general {nω0 A2n + Bn2 } de la segunda serie, se aprecia que pertenece al conjuto de todas las sucesiones “cuadrado sumables”, al igual que la sucesi´on {1/(nω0 )}. En ambas sucesiones n = 1, 2, . . . . En consecuencia el producto de estas sucesiones tambi´en es “cuadrado sumable”, por tanto  X q ∞ q ∞  X 1 2 2 An 2 + B n 2 · nω0 An + Bn = nω 0 n=1 n=1

(B.83)

´ ´ 356APENDICE B. BASES MATEMATICAS PARA LAS SERIES DE FOURIER Tambi´en converge. Si ahora usamos la desigualdad de Cauchy-Schwartz (B.8) |h(An , Bn ); (cos(nω0 t), sen(nω0 t))i| ≤ k(An , Bn )k · k(cos(nω0 t), sen(nω0 t))k (B.84) q p An cos(nω0 t) + Bn sen(nω0 t) ≤ An 2 + Bn 2 cos2 (nω0 t) + sen2 (nω0 t) (B.85) q (B.86) = An 2 + B n 2 Con esto se puede comparar la serie |A0 | +

∞ X

n=1

|An cos(nω0 t) + Bn sen(nω0 t)|

(B.87)

con la serie convergente de constantes positivas |A0 | +

∞ q X

An 2 + B n 2

(B.88)

n=1

el M -test de Weierstrass (vea el Lema B.3) asegura por tanto que A0 +

∞ X

[An cos(nω0 t) + Bn sen(nω0 t)]

(B.89)

n=1

converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado. Pero, por el lema de convergencia puntual antes visto, sabemos que esta serie converge a y(t) punto a punto. 222 Con los resultados hasta aqu´ı obtenidos estamos en condiciones ya de demostrar que la norma del error que se comete al representar en serie de Fourier una funci´on seccionalmente continua tiende asint´oticamente a cero. Lema B.8. Sea y(t) una funci´ on definida en (−∞, ∞), de periodo T , seccionalmente continua y con primera derivada seccionalmente continua. Entonces, si yn (t) es la n-´esima suma parcial de su representaci´ on en serie de Fourier, la norma del error en (t) = y(t) − yn (t) es tal que l´ım ken (t)k = 0

n→∞

(B.90)

Demostraci´ on Es directa de (B.67), ya que si tomamos y(t) en el intervalo [− T2 , T2 ], y denotamos por {t1 , t1 , . . . , tm } los puntos en que y(t) es discontinua dentro de ´el, entonces, dado un ε > 0, para cada uno de los m + 1 subintervalos (− T2 , t1 ), . . . , (tk , tk+1 ), . . . , (tm , T2 ) existe una constante Nk tal que

B.2. CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER

357

n > Nk ⇒ |y(t) − yn (t)| < ε |en (t)| < ε ∀t ∈ (tk , tk+1 )

(B.91) (B.92)

Si elegimos N = m´ax{Nk }k=1,...,m+1 podemos asegurar que n > N ⇒ |en (t)| < ε ∀t ∈ {[− T2 , T2 ] − {t1 , . . . , tk+1 }}

(B.93)

Por tanto

ken (t)k2 = =

Z

Z

T 2

− T2 t1 − T2

en 2 (t)dt

(B.94)

en 2 (t)dt + . . . +

Z

tk+1

en 2 (t)dt + . . . +

tk

Z

T 2

en 2 (t)2 dt (B.95)

tm

< ε2 (t1 − (− T2 )) + . . . + ε2 (tk+1 − tk ) + . . . + ε2 ( T2 − tm ) = ε2 · T (B.96) Con esto podemos afirmar, que dado un ε peque˜ no√siempre es posible escoger N suficientemente grando de manera que |en (t)| < ε T , y por tanto converge a cero. 222 Corollario B.2. Identidad de Parseval Si y(t) es una funci´ on per´ı´ odica y A0 , A1 , ...An y B1 , ...Bn son los coeficientes de su representaci´ on en serie de Fourier, entonces 1 T

Z

T 2

− T2

n

y 2 (t)dt = A20 +


1X 2 Ak + Bk2 2

(B.97)

k=1

Demostraci´ on Es directa de la ecuaci´on (B.36), donde como consecuencia del lema anterior (B.90), la norma del error, adem´as de ser positiva, tiende asint´oticamente a cero. Por tanto la desigualdad (B.27) se transforma en la identidad (B.97).

La serie de Fourier es s´olo una representaci´on de la funci´on y(t), en el sentido que converge al mismo valor que y(t) en los puntos que esta funci´on es continua, y en aquellos en que hay discontinuidades o saltos, la serie converge al promedio de los l´ımites laterales. Note que estas diferencias entre la se˜ nal y su representaci´on en serie de Fourier no son detectadas por la funci´on de error minimizada, la cual puede de todos modos alcanzar el valor m´ınimo (cero).

´ ´ 358APENDICE B. BASES MATEMATICAS PARA LAS SERIES DE FOURIER

transformada de Fourier transformada de Fourier inversa

Ap´ endice C

La transformaci´ on de Fourier C.1.

Transformaci´ on de Fourier en tiempo continuo

C.1.1.

Definici´ on de la Transformada

Dada una funci´on y(t) en el intervalo ] − ∞, ∞[ , su transformada de Fourier Y ( ω) y su transformada de Fourier inversa quedan definidas por las ecuaciones

F [y(t)] = Y ( ω) = F −1 [Y ( ω)] = y(t) =

Z

∞

y(t)e− ωt dt

(C.1)

−∞

1 2π

Z

∞

Y ( ω)e ωt dω

(C.2)

−∞

Para que la transformada exista es suficiente que la funci´on y(t) sea absolutamente integrable en el intervalo −∞ < t < ∞, es decir: Z

∞ −∞

y(t) dt < ∞

Existen funciones que a pesar de no cumplir con esta condici´on, es posible calcular su transformada de Fourier. Veamos a manera de ejemplo c´omo se puede obtener la transformada de Fourier del delta de Dirac, a partir de la transformada de un pulso como el del ejemplo 6.1 (p´ag. 121). 359

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

360

Ejemplo C.1. Consideremos un pulso centrado en el cero, de ancho ∆ y altura 1/∆, es decir, una funci´ on  1 y∆ (t) = ∆ 0

; |t| ≤ ∆/2

; |t| > ∆/2

Esta funci´ on est´ abien definida ∀t ∈] − ∞, ∞[, y el a ´rea del pulso es unitaria ∀∆ > 0. Su transformada de Fourier por tanto puede obtenerse, en base al ejemplo 6.1 ya mencionado, o por la definici´ on (C.1) ser´ a Z

∆/2

1 − ωt e dt ∆  ∆ 1  − ω ∆ 2 − e ω 2 = e − ω∆
sen ω∆ 2 = ω∆

Y∆ ( ω) =

−∆/2

2

Puede apreciarse que a medida que ∆ → 0, la funci´ on se transforma en un pulso mas alto y angosto, siendo esta funci´ on una de las aproximaciones asint´ oticas del Delta de Dirac, pues es cero en todo instante, excepto t = 0, y su integral es unitaria. En tanto, su trasnformada de Fourier se hace cada vez m´ as “plana”. Estas ideas se pueden apreciar en la figura C.1. 16

1

14

0.8 12

0.6

10

8

0.4

6

0.2 4

2

–1

–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0

–40

0.2

0.4

(a) Pulso y∆ (t)

t

0.6

0.8

1

–30

–20

–10

0

10

20 w

–0.2

(b) Espectro Y∆ ( ω)

1 Figura C.1: Pulso y su transformada para ∆ = 1, 41 , 16 .

Anal´ıticamente tenemos que en el l´ımite, cuando ∆ → 0 :

30

40

´ DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO C.1. TRANSFORMACION

y∆ (t) ↓

Y∆ ( ω) =

C.1.2.

−→

sen( ω∆ 2 ) ω∆ 2

−→

361

δ(t) ↓

Y ( ω) = 1

Propiedades de la Transformada de Fourier

Existen diversas propiedades de la transformada de Fourier que resultan de mucha utilidad en el an´alisis frecuencial de se˜ nales y su relaci´on con los sistemas lineales, que adem´as permiten ontener la transformada de Fourier de una funci´on a partir de algunas m´as b´asicas. Lema C.1. Simetr´ıa. Sea y(t) una funci´ on definida ∀t, cuya transformada de Fourier es Y ( ω), entonces si consideramos la funci´ on Y (t), en el dominio del tiempo ahora, su transformada de Fourier es F{Y (t)} = 2πy(− ω)

(C.3)

Demostraci´ on Es directa de reemplazar Y (t) en la definici´ on de la transformada y recordando la ecuaci´ on que define a y(t) como transformada inversa de Y ( ω) Z

∞

Y (t)e− ωt dt −∞ Z ∞ 1 Y (t)ejt(−ω) dt = 2π 2π −∞

F{Y (t)} =

= 2πy(− ω)

222 Ejemplo C.2. Consideremos una funci´ on constante y(t) = C. Esta funci´ on no es absolutamente integrable, sin embargo, su transformada de Fourier puede obtenerse en base a la transformada del Delta de Dirac: F {y(t)} = F {C}

= C · F {1} = C · 2πδ(−ω) = C · 2πδ(ω)

Veamos ahora c´omo se ve afectada la transformada de Fourier de una se˜ nal cuando esta es desplazada en el tiempo, que puede ser el caso en que existe, por ejemplo, retardo.

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

362 Desplazamiento en el tiempo Desplazamiento en frecuencia

Lema C.2. Desplazamiento en el tiempo. Si tenemos una funci´ on y(t) definida para −∞ < t < ∞, cuya transformada de Fourier es Y ( ω), entonces la transformada de Fourier de y(t − t0 ) es F{y(t − t0 )} = e− ωt0 Y ( ω)

(C.4)

Demostraci´ on Aplicando la definici´ on de la Transformada de Fourier, para la funci´ on y(t) desplazada en el tiempo, tenemos que Z

∞

y(t − t0 )e− ωt dt Z ∞ − ωt0 =e y(t − t0 )e− ω(t−t0 ) dt

F{y(t − t0 )} =

−∞

−∞

Donde si se define t∗ = t − t0 se puede reescribir la integral como F{y(t − t0 )} = e− ωt0

Z

∞

∗

y(t∗ )e− ωt dt∗

−∞

= e− ωt0 Y ( ω) 222 Ejemplo C.3. Si se aplica este lema al ejemplo 6.1, obtenemos que si el pulso de amplitud A no est´ a centrado en el origen, sino que se ha desplazado a la derecha, ubic´ andose en el intervalo [0, τ ] su transformada de Fourier ser´ a
sen ωτ τ 2 F{y[0,τ ] (t)} = e−jw 2 Aτ ωτ 2

Si analizamos en qu´e cambia realmente la transformada de Fourier del pulso al desplazarlo en el tiempo, podemos apreciar que s´olo el a´ngulo de Y ( ω) es el que se ve afectado, ya que su m´odulo permanece invariante. Esto era esperable ya que la ubicaci´on del instante t = 0, cuando estamos considerando una funci´on definida para −∞ < t < ∞, es arbitraria afectando s´olo las fases relativas de sus componentes en frecuencia. Veamos qu´e pasa en la contraparte del lema de desplazamiento en el tiempo, pero en el dominio de la frecuencia ω. Lema C.3. Desplazamiento en la frecuencia. Si tenemos, al igual que antes, una funci´ on y(t) definida en toda la recta real, es decir, para −∞ < t < ∞, cuya transformada de Fourier es Y ( ω), entonces F{eat y(t)} = Y ( ω − a)

;a ∈ C

(C.5)

´ DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO C.1. TRANSFORMACION

363

Demostraci´ on Si aplicamos la definici´ on de la transformada a la funci´ on y(t) multiplicada por la exponencial peri´ odica e ω0 t tenemos que Z

at

F{e y(t)} =

∞

−∞ Z ∞

=

eat y(t)e− ωt dt y(t)e−( ω−a)t dt

−∞

En que se puede definir  ω ∗ =  ω − a Z

F{eat y(t)} =

∞

∗

y(t)e− ω t dt

−∞

= Y ( ω ∗ ) = Y ( ω − a) 222 Ejemplo C.4. Con este lema podemos obtener la transformada de Fourier de una exponencial peri´ odica, considerando en la ecuaci´ on (C.5) a =  ω0 :   ω0 t   ω0 t =F e ·1 F e = 2πδ( ω −  ω0 ) = 2πδ(ω − ω0 )

Ya que el delta de Dirac es diferente de cero s´ olo en el punto en que su argumento es igual a cero. A partir de esta transformada, utilizando la ecuaci´ on de Euler, se pueden obtener sin problema la del coseno y del seno: 

 e ω0 t + e− ω0 t F {cos(ω0 t)} = F 2     1 F e− ω0 t + F e ω0 t = 2 = π [δ(ω + ω0 ) + δ(ω − ω0 )] 

 e ω0 t − e− ω0 t 2j  − ω0 t   −j  = −F e + F e ω 0 t 2 = jπ [δ(ω + ω0 ) − δ(ω − ω0 )]

F {sin(ω0 t)} = F

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

364

Este lema tiene importantes aplicaciones en el an´alisis de se˜ nales que se modulan en frecuencia y aquellas que son peri´odicas, como puede apreciarse en los siguientes corolarios. Corollario C.1. Modulaci´ on. Si tenemos una se˜ nal y(t) definida para todo t ∈ R, cuyo espectro (transformada de Fourier) es Y ( ω), entonces F{cos(ω0 t)y(t)} =

1 [Y ( ω −  ω0 ) + Y ( ω +  ω0 )] 2

(C.6)

Demostraci´ on Esta es directa del lema anterior utilizando la ecuaci´ on de Euler, es decir, escribiendo cos(ω0 t) con exponenciales peri´ odicas. Esto es

F{cos(ω0 t)y(t)} = F



1  ω0 t (e + e− ω0 t )y(t) 2




1 F{e ω0 t y(t)} + F{e− ω0 t y(t)} 2 1 = (Y ( ω −  ω0 ) + Y ( ω +  ω0 )) 2

=

222 Se deja al lector la demostraci´on del corolario que se obtiene por analog´ıa en el caso que en vez de cos(ω0 t) se utiliza sen(ω0 t). Ejemplo C.5. En ambos casos de modulaci´ on planteados, cosenoidal y senoidal, al hacer el producto de una se˜ nal con una sinusoide se logra desplazar el espectro, o contenido de frecuencias de la se˜ nal. Esto permite llevar, por ejemplo, se˜ nales de contenido de baja frecuencia (como la voz humana, en la banda de 0−4[kHz]), a bandas de frecuencia para transmisi´ on radial (por ejemplo 1[MHz]). Esta idea se muestra en la figura C.2 |F {y(t)}|

4[kHz]

|F {y(t)cos(2π106 t)}|

1[M Hz]

Figura C.2: Espectro de una se˜ nal de frecuencias audible y espectro de la se˜ nal modulada.

Corollario C.2. Funciones Peri´ odicas. Si tenemos una se˜ nal peri´ odica yT (t), en un intervalo de longitud T , esta no es una funci´ on absolutamente integrable y su transformada de Fourier no

´ DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO C.1. TRANSFORMACION

365

puede obtenerse a trav´es de la definici´ on (C.1). Sin embargo, sabemos ya que una se˜ nal peri´ odica podemos representarla mediante una Serie de Fourier (representaci´ on en el tiempo) ya sea trigonom´etrica o con exponenciales peri´ odicas. En los desarrollos realizados adem´ as ya hemos encontrado las expresiones para las transformadas de Fourier de una constante, del coseno, del seno y de una exponencial peri´ odica, por tanto, la transformada de Fourier de una se´ al peri´ odica se puede obtener:

F {yT (t)} = F

(

∞ X

Cn e

− ωn t

n=−∞

)

En que ωn = n2π/T , y por linealidad F {yT (t)} = =

∞ X

n=−∞ ∞ X

 Cn F e− ωn t Cn δ(ω + ωn )

n=−∞

Ejemplo C.6. Consideremos el tren de pulsos de la figura C.3 definido por   +1 y(t) = −1   y(t + 2π)

; 0 ≤ |t| ≤ π2 ; π2 < |t| ≤ π ; |t| > π y(t) 1

−π

π t −1

Figura C.3: Tren de pulsos La integral del valor absoluto de la funci´ on claramente diverge, y si intentamos obtener la transformada de Fourier de esta funci´ on utilizando la definici´ on on dif´ıcil de simplificar. En cambio, la funci´ on y(t) (C.1), llegamos a una expresi´ puede expresarse mediante su serie de Fourier, que en este caso ser´ a cosenoidal, pues y(t) es par:

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

366

y(t) =

∞ X

An cos(nt)

n=1

An =

1 π

Z

π

y(t) cos(nt)dt −π

Calculando los coeficientes Bn , se obtiene

y(t) =

∞  nπ  X 4 cos(nt) sen nπ 2 n=1

Luego, Y ( ω) = =

∞  nπ  X 4 sen [δ(ω + n) + δ(ω − n)] n 2 n=1 ∞  nπ  X 4 sen δ(ω + n) n 2 n=−∞ n6=0

Es decir, los coeficientes An se transforman en las amplitudes de los deltas de Dirac en el espectro Y ( ω), como se puede apreciar en la figura C.4 0.6

1.2

1

0.8

0.4

0.6

0.2

0.4

0.2

0

2

4

w

6

8

10

–10

–5

0

5

10

–0.2

–0.2

–0.4

(a) Coeficientes An

(b) Espectro Y ( ω)

Figura C.4:

Lema C.4. Escalamiento. Sea y(t) una funci´ on definita para t ∈] − ∞, ∞[, y a una constante real distinta de cero, entonces

´ DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO C.1. TRANSFORMACION

F{y(at)} =

1 ω Y (j ) |a| a

367

(C.7)

Demostraci´ on Si reemplazamos la funci´ on escalada y(at) en la definici´ on de la integral, podemos ah´ı definir una nueva variable t∗ = at, pero se debe tener en cuenta que el signo de a determina si los l´ımites de la integral se mantienen o se deben intercambiar:

F{y(at)} =

Z

∞

y(at)e− ωt dt

−∞

 Z ∞ ∗ t∗ dt   y(t∗ )e− ω a  a Z−∞ = −∞ ∗ t∗ dt    y(t∗ )e− ω a a ∞

; si a > 0 ; si a < 0

Dado que el cambio de orden en los l´ımites de la integral es un cambio de signo, ambas expresiones pueden juntarse en una sola:

F{y(at)} =

signo(a) a

Z

∞

ω ∗

y(t∗ )e−j a t dt∗

−∞

Que es lo mismo que F{y(at)} =

ω 1 Y (j ) |a| a 222

A partir de este lema puede verificarse directamente que F{y(−t)} = Y (− ω)

(C.8)

A continuaci´on veamos algunas propiedades de la transformada de Fourier que tienen directa relaci´on con la aplicaci´on de ´esta en la soluci´on de las ecuaciones diferenciales y el an´alisis de sistemas, que se refieren a la transformada de la derivada, de la integral y de la convoluci´on de funciones. Lema C.5. Derivaci´ on en t. Sea y(t) una funci´ on definida en toda la recta real talque y(t) → 0 cuando t → ±∞, y cuya transformada de Fourier es Y ( ω) . Entonces, la transformada de Fourier de la derivada de y(t) con respecto al tiempo es   d y(t) F =  ωY ( ω) (C.9) dt

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

368 Demostraci´ on

Si se aplica la definici´ on de la transformada de Fourier a la derivada y se integra por partes, se obtiene:

F



d y(t) dt



Z

∞

d y(t) − ωt e dt dt Z   ∞ + ω = y(t)e− ωt =

d y(t) dt ,

−∞

−∞

∞

y(t)e− ωt dt

−∞

Y dada la condici´ on asint´ otica sobre y(t) cuando t → ±∞, s´ olo sobrevive el segundo t´ermino F



d y(t) dt



= ω

Z

∞

y(t)e− ωt dt

−∞

=  ωY ( ω) 222

Es importante hacer notar que este lema no garantiza la existencia de la transformada de la derivada temporal de y(t), sino que, en caso de existir, su expresi´on puede obtenerse utilizando (C.9). Para las derivadas de orden superior en tanto, tenemos el siguiente corolario, que se debe utilizar con la misma precauci´on antes mencionada: Corollario C.3. Derivadas de orden superior Para una funci´ on y(t) definida como en el lema anterior, tenemos que F



d n y(t) dt n



= ( ω)n Y ( ω)

(C.10)

Demostraci´ on Se deja al lector, pues es directa por inducci´ on, aplicando recursivamente el lema anterior. 222 Lema C.6. Transformada de la integral. Sea y(t) una funci´ on definida en todos los reales, cuya transformada de Fourier es Y ( ω). Entonces, la transformada de su integral definida es F

Z

t

y(τ )dτ −∞



=

1 Y ( ω) + πY (0)δ(ω) ω

(C.11)

´ DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO C.1. TRANSFORMACION

369

Demostraci´ on Para demostrar esta propiedad debemos en primer lugar observar que si definimos φ1 (t) como la integral definida de y(t), entonces d φ1 (t) d = dt dt

Z

= y(t)

t

y(τ )dτ −∞



Pero tambi´en se cumple, para cualquier constante real k, que d (φ1 (t) + k) = y(t) dt Por tanto, aplicando Fourier y la ecuaci´ on (C.9)  ω (Φ1 ( ω) + 2πkδ(ω)) = Y ( ω)

Luego, ya tenemos una forma para la transformada de la derivada, que es Φ1 ( ω) =

1 Y ( ω) − 2πkδ(ω) ω

(C.12)

Por tanto nos resta encontrar el valor de k. Para esto consideremos nuevamente la integral indefinida φ1 (t)

φ1 (t) = = =

Z

t

y(τ )dτ

−∞ Z ∞ −∞ Z ∞

−∞

y(τ )dτ + y(τ )dτ −

Z

t

y(τ )dτ

∞ Z −t

y(−x)dx

−∞

Donde se ha cambiando la variable x = −τ , en la segunda integral. Si definimos

φ2 (t) = ⇒ Φ2 ( ω) =

Z

t

y(−x)dx −∞

1 Y (− ω) − 2πkδ(ω) ω

Es su transformada de Fourier, seg´ un la forma (C.12). Entonces podemos retomar la funci´ on φ1 (t), y aplicarle transformada de Fourier

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

370

Z

∞

y(τ )dτ − φ2 (−t) Z ∞  Φ1 ( ω) = 2π y(τ )dτ δ(ω) − Φ2 (− ω) −∞   Z ∞  1 1 y(τ )dτ δ(ω) − Y ( ω) − 2πkδ(ω) = 2π Y ( ω) − 2πkδ(ω) ω − ω −∞ φ1 (t) =

−∞

Donde si se observa que δ(ω) = δ(−ω), se puede despejar la constante k: Z 1 ∞ k=− y(τ )dτ 2 −∞ Z ∞  1 − ωτ =− y(τ )e dτ 2 −∞ ω=0 1 = − Y (0) 2 Por tanto Φ1 ( ω) =

1 Y ( ω) + πY (0)δ(ω) ω 222

Ejemplo C.7. El lema anterior puede utilizarse para obtener la transformada del escal´ on unitario µ(t) o funci´ on de Heaviside, a partir de la transformada del delta de Dirac. Dada la definici´ on del Delta Dirac y de la funci´ on de Heaviside, tenemos que Z

t

δ(τ )dτ = −∞

(

0 1

;t < 0 ;t > 0

= µ(t) Por tanto,

F {µ(t)} = F

Z

t

δ(τ )dτ −∞



1 = F {δ(t)} + πδ(ω) F {δ(t)}|ω=0 ω 1 = + πδ(ω) ω

´ DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO C.1. TRANSFORMACION

371

Lema C.7. Convoluci´ on en el tiempo. Sean y1 (t) e y2 (t), dos funciones definidas para −∞ < t < ∞, cuyas transformadas de Fourier son Y1 ( ω) e Y2 ( ω), respectivamente. Entonces, la transformada de Fourier de la convoluci´ on entre ellas es F{y1 (t) ∗ y2 (t)} = Y1 ( ω)Y2 ( ω)

(C.13)

Recordando que la convoluci´ on se define como: y1 (t) ∗ y2 (t) =

Z

∞ −∞

y1 (τ )y2 (t − τ )dτ

(C.14)

Demostraci´ on Insertando la expresi´ on de la convoluci´ on en la transformada se obtiene

F{y1 (t) ∗ y2 (t)} =

Z

∞ −∞

Z

∞ −∞

y1 (τ )y2 (t − τ )dτ



e− ωt dt

donde si se intercambia el orden de integraci´ on F{y1 (t) ∗ y2 (t)} =

Z

∞

y1 (τ )

−∞

Z

∞ −∞

 y2 (t − τ )e− ωt dt dτ

Que usando la ecuaci´ on (C.4) es igual a Z

∞


y1 (τ ) e− ωτ Y2 ( ω) dτ −∞ Z ∞ = Y2 ( ω) y1 (τ )e− ωτ dτ

F{y1 (t) ∗ y2 (t)} =

−∞

= Y2 ( ω)Y1 ( ω)

222 Veamos a continuaci´on cu´al es la transformada de Fourier de un producto de funciones que puede resultar u ´til para el calculo de la transformada de Fourier de alguna funci´on m´as complicada. Lema C.8. Producto de funciones. Sean y1 (t) e y2 (t) funciones definidas para −∞ < t < ∞, cuyas transformadas de Fourier son Y1 ( ω) e Y2 ( ω), respectivamente. Entonces, la transformada de Fourier del producto entre ellas es F{y1 (t)y2 (t)} =

1 Y1 ( ω) ∗ Y2 ( ω) 2π

(C.15)

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

372 Demostraci´ on

Consideremos la transformada de Fourier inversa de la convoluci´ on de funciones en ω Z ∞ 1 Y1 ( ω) ∗ Y2 ( ω)e ωt dω 2π −∞  Z ∞ Z ∞ 1 Y1 (jζ)Y2 ( ω − jζ)dζ e ωt dω = 2π −∞ −∞

F −1 {Y1 ( ω) ∗ Y2 ( ω)} =

Intercambiando el orden de integraci´ on F −1 {Y1 ( ω) ∗ Y2 ( ω)} =

1 2π

Z

∞

Y1 (jζ)

−∞

Z

∞ −∞

 Y2 ( ω − jζ)e ωt dω dζ

Donde si se define  ω − jζ =  ω ∗ F

−1

1 {Y1 ( ω) ∗ Y2 ( ω)} = 2π = 2π

Z



Z

∞

∞

∗

( ω ∗ +jζ)t

∗



Y1 (jζ) Y2 ( ω )e dω dζ −∞   Z ∞ Z ∞ 1 1 jζt ∗ jω ∗ t ∗ Y1 (jζ)e dζ Y2 ( ω )e dω 2π −∞ 2π −∞

−∞

= 2πy1 (t)y2 (t)

Con lo que el lema queda demostrado. 222

Teorema C.1 (Teorema de Parseval. El caso de tiempo continuo). Sean Y1 ( ω) y Y2 ( ω) las tranformadas de Fourier de las funciones (reales) y1 (t) e y2 (t) respectivamente, definidas ∀t ∈] − ∞, ∞[. En tonces tenemos que Z

∞

1 y1 (t)y2 (t)dt = 2π −∞

Z

∞

Y1 ( ω)Y2 (− ω)dω

(C.16)

−∞

Demostraci´ on Esto se demuestra con ayuda del lema de convoluci´ on en el tiempo (C.13). Seg´ un este tenemos que

Z

y1 (t) ∗ y2 (t) = F −1 {Y1 ( ω)Y2 ( ω)} Z ∞ 1 y1 (τ )y2 (t − τ )dτ = Y1 ( ω)Y2 ( ω)e ωt dω 2π −∞ −∞ ∞

´ DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO C.1. TRANSFORMACION

373

Si evaluamos en t = 0, queda Z

∞ −∞

y1 (τ )y2 (−τ )dτ =

1 2π

Z

∞

Y1 ( ω)Y2 ( ω)dω

−∞

Donde si se reemplaza al lado izquierdo τ por t, y usamos la ecuaci´ on (C.8) que establece que F {y2 (−t)} = Y2 (− ω), entonces queda demostrado el lema. 222 Corollario C.4. Un caso especial del lema anterior es cuando se considera y1 (t) = y2 (t) = y(t), con lo que la ecuaci´ on (C.16) se transforma en Z ∞ Z ∞ 1 {y(t)}2 dt = Y ( ω)Y (− ω)dω 2π −∞ −∞ Pero dado que Y (− ω) es el complejo conjugado de Y ( ω), el integrando a la derecha es la norma cuadrado de la transformada, es decir Z ∞ Z ∞ 1 2 2 {y(t)} dt = |Y ( ω)| dω (C.17) 2π −∞ −∞ En la tabla C.1 se muestra un resumen de las propiedades hasta aqu´ı revisadas y que sirven para el calculo de la transformada de Fourier de las funciones m´as comunes, como las que se muestran en la tabla C.2

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

374

C.2.

Transformada de Fourier en tiempo discreto

C.2.1.

Definici´ on de la transformada

transformada de Fourier discreta transformada de Fourier discreta inversa

Dada una funci´on definida en tiempo discreto y[k] , en que k ∈ Z , su transformada de Fourier discreta Y (ejθ ) y su transformada de Fourier discreta inversa quedan definidas por las ecuaciones

Fd {y(t)} = Y (ejθ ) = Fd

−1

∞ X

y[k]e−jθk

(C.18)

k=−∞

 1 Y (ejθ ) = y[k] = 2π

Z

2π

Y (jθ)ejθk dθ

(C.19)

0

La transformada Y (ejθ ) definida en (C.18) resulta ser peri´odica, de per´ıodo 2π, por tanto la integral que define la transformada inversa (C.19), puede calcular en cualquier intervalo de longitud 2π. De hecho, algunos textos la definen en el intervalo [−π, π] Para que la transformada exista es suficiente que la funci´on y[k] sea absolutamente sumable en el intervalo −∞ < k < ∞, es decir: ∞ X y[k] < ∞

k=−∞

Si bien existen funciones que no cumplen con esta condici´on, a pesar de ello poseen transformada de Fourier discreta. A continuaci´on se muestran algunos ejemplos para ver c´omo se obtiene la transformada de Fourier discreta para un delta de Kronecker, para una secuencia constante y para una exponencial decreciente discreta. Ejemplo C.8. Consideremos primero la secuencia

y[k] = δK [k] =

(

1 0

;k = 0 ; k 6= 0

Es decir, un delta de Kronecker . Esta secuencia es absolutamente sumable, por tanto se cumple la condici´ ojn suficiente para la existencia de su transformada discreta. Si calculamos ´esta usando la definici´ on tenemos que la serie infinita se traduce en un solo t´ermino

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

∞ X

Y (ejθ ) =

375

δK [k]e−jθk

k=−∞

= δK [0]e−jθ0 =1 Es decir, su transformada de Fourier discreta es constante. Podemos interpretar esto de manera an´ aloga al delta de Dirac en tiempo continuo, cuya transformada tambi´en es constante y representa un espectro plano, o igual contenido de frecuencias en todo el espectro. Ejemplo C.9. Consideremos ahora el caso opuesto en que tenemos una secuencia constante que se escoge de amplitud uno por simplicidad. Es decir, la secuencia que nos interesa es ∀k ∈ Z

y[k] = 1

Esta secuencia no es absolutamente sumable, ya que ∞ X

k=−∞

→∞

Sin embargo, si usamos la definici´ on de la transformada tenemos que ∞ X

Y (ejθ ) =

k=−∞

1 · e−jθk

En que la serie al lado derecho podemos interpretarla como una representaci´ on en serie exponencial de Fourier de alguna funci´ on peri´ odica, en que el coeficiente es Ck = 1 , para todo k. Si recordamos, el coeficiente Ck en una serie de Fourier exponencial para una funci´ on peri´ odica f (θ) se calcula como 1 Ck = T

Z

T 2

2π

kθ

2π

kθ

f (θ)ej T

− T2

Con lo que la funci´ on se expresa como f (θ) =

∞ X

k=−∞

Ck · e−j T

De aqu´ı podemos observar que el per´ıodo de la funci´ on peri´ odica debe ser T = 2π, y para que la integral que define a Ck sea unitaria basta que la funci´ on, dentro del intervalo [−π, π] sea un delta Dirac de amplitud 2π, centrado en θ = 0.

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

376

Es decir, la transformada de Fourier discreta de la secuencia constante y[k] = 1 es igual a ∞ X δ(θ − 2πn) Y (ejθ ) = 2π n=−∞

Esto se puede comprobar calculando la transformada de Fourier discreta inversa, mediante la integral (C.19), que dada la periodicidad basta calcularla en cualquier intervalo de longitud 2π Z π 1 y[k] = Y (ejθ )ejθk dθ 2π −π Z π ∞ X 1 δ(θ − 2πn)ejθk dθ 2π = 2π −π n=−∞ Z π δ(θ)ejθk dθ = =1

−π

∀k ∈ Z

Ejemplo C.10. Consideremos ahora la se˜ nal y[k] = αk µ[k]

|α| < 1

Su transformada de Fourier discreta ser´ a

Y (ejθ ) = =

∞ X

k=0 ∞ X

αk e−jθk (αe−jθ )k

k=0

Que resulta ser una serie geom´etrica convergente ya que |αe −jθ | < 1. Por tanto su suma es Y (ejθ ) =

C.2.2.

1 1 − αe−jθ

Propiedades de la transformada de Fourier discreta

A continuaci´on se detallan una serie de propiedades de la transformada de Fourier discreta que resultan u ´tiles para la obtenci´on de algunas transformadas y para el an´alisis de sistemas.

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

377

Lema C.9. Linealidad La transformada de Fourier discreta es una transformaci´ on lineal, es decir, si y1 [k] e y2 [k] son dos secuencias definidas ∀k ∈ Z, cuyas transformadas de Fourier son Y1 (ejθ ) e Y2 (ejθ ) respectivamente, entonces Fd {αy1 [k] + βy2 [k]} = αY1 (ejθ ) + βY2 (ejθ )

(C.20)

Demostraci´ on Es directa de la definici´on de la transformada (C.18), ya que

Fd {αy1 [k] + βy2 [k]} =

∞ X

(αy1 [k] + βy2 [k])e−jθk

k=−∞ ∞ X

y1 [k]e−jθk + β

=α

k=−∞

∞ X

y2 [k]e−jθk

k=−∞

= αY1 (ejθ ) + βY2 (ejθ )

222 Lema C.10. Corrimiento en el tiempo. Sea y[k] una secuencia de tiempo discreto definida ∀k ∈ Z, cuya transformada de Fourier es Y (ejθ ) , y sea k0 un n´ umero entero, entonces Fd {y[k − k0 ]} = e−jθk0 Y (ejθ )

k0 ∈ Z

(C.21)

Demostraci´ on Consideremos la definici´on de la transformada (C.18), y tomemos k0 ∈ Z, entonces

Fd {y[k − k0 ]} =

∞ X

k=−∞

y[k − k0 ]e−jθk

Sea k − k0 = l, entonces k = l + k0 y reemplazando en la sumatoria Fd {y[k − k0 ]} =

∞ X

y[l]e−jθ(l+k0 )

l=−∞

= e−jθk0

∞ X

y[l]e−jθl

l=−∞

=e

−jθk0

Y (ejθ )

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

378

222 Lema C.11. Corrimiento en frecuencia. Sea y[k] una secuencia de tiempo discreto definida ∀k ∈ Z, con transformada Y (ejθ ) , y sea 0 < θ0 < 2π un n´ umero real, entonces consideremos la transformada de la secuencia original multiplicada por una exponencial peri´ odica

Demostraci´ on

 Fd ejθ0 k y[k] = Y (ej(θ−θ0 ) )

(C.22)

Para demostrar la propiedad anterior podemos considerar directamente la definici´on (C.18) ∞ X  Fd ejθ0 k y[k] = ejθ0 k y[k]e−jθk

=

k=−∞ ∞ X

y[k]e−j(θ−θ0 )k

k=−∞

Sea θ − θ0 = ζ, entonces reemplazando ∞ X  Fd ejθ0 k y[k] = y[k]e−jζk k=−∞

= Y (ejζ )

= Y (ej(θ−θ0 ) )

Note que si la frecuencia θ0 ∈ / ]0, 2π[ , es decir, se encuentra fuera de la banda que hemos considerado hasta ahora, siempre puede escribirse de la forma θ0 = ϑ0 + 2πn En que ϑ0 ∈ ]0, 2π[ y n ∈ Z, con lo que ejθ0 = ej(ϑ0 +2πn) = ejϑ0 e2πn = ejϑ0 Recordemos que es justamente por esto que a la exponencial peri´odica e j(·) le hemos denominado tambi´en exponencial peri´odica. 222 Para ilustrar esto veamos un ejemplo Ejemplo C.11. Considere la secuencia de tiempo discreto   2π k y[k] = cos 10

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

379

Para calcular su transformada de Fourier discreta, en vez de usar la definici´ on podemos utilizar la propiedad (C.22), ya que el coseno puede escribirse en t´erminos de exponenciales y[k] = cos



2π k 10



2π

2π

ej 10 k + e−j 10 k 2

=

Ambas exponenciales peri´ odicas las podemos pensar como la secuencia constante y0 [k] = 1 multiplicada por la respectiva exponencial peri´ odica. Es as´ı como bajo este punto de vista la transformada de Fourier discreta se puede obtener en unos pocos pasos 

Fd cos



2π k 10



1 n j 2π k o 1 n −j 2π k o Fd e 10 + Fd e 10 2 2 ∞ ∞ X X 1 1 2π 2π + 2πn) + 2π + 2πn) δ(θ − δ(θ + = 2π 2 n=−∞ 10 2 n=−∞ 10 =

=π

∞ X

n=−∞

δ(θ −

∞ X 2π 2π + 2πn) + π + 2πn) δ(θ + 10 10 n=−∞

Si restringimos la expresi´ on de la transformada a la banda que nos ha interesado, es decir, θ ∈ [0, 2π], tenemos que en ella s´ olo existen dos de los deltas de Dirac    2π 18π 2π k ) + πδ(θ − ) = πδ(θ − Fd cos 10 10 10 0<θ<2π 2

1.5

1.8 1

1.6 1.4

0.5

jθ

Y(e )

y[k]

1.2

0

1 0.8

−0.5

0.6 0.4

−1

0.2 −1.5 −15

−10

−5

0 k

5

10

15

0

0

1

2

3

θ

4

5

6

Figura C.5: Se˜ nal cosenoidal y[k] y su transformada discreta. En la figura C.5, se muestra la secuencia peri´ odica discreta y su espectro, es decir, su transformada de Fourier discreta, formada por los dos deltas de Dirac en el intervalo [0, 2π].

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

380

Como consecuencia del lema anterior, que expresa el corrimiento en frecuencia que sufre el espectro de una secuencia discreta al ser multiplicado por una exponencial peri´odica tenemos el siguiente corolario. Este determina el efecto que tiene sobre la transformada de Fourier discreta el modular una secuencia por alguna sinusoidal. Corollario C.5. Sea y[k] una secuencia discreta definida para −∞ < k < ∞ con transformada Y (ejθ ), y 0 < θ0 < 2π un n´ umero real. Entonces i h 1 (C.23) Fd {cos(θ0 k)y[k]} = Y (ej(θ+θ0 + Y (ej(θ−θ0 ) 2 i h j Fd {sen(θ0 k)y[k]} = (C.24) Y (ej(θ+θ0 − Y (ej(θ−θ0 ) 2 Demostraci´ on Como se mencion´o anteriormente resulta de la aplicaci´on del lema anterior, ya que tanto cos(θ0 k) como sen(θ0 k) pueden escribirse en t´erminos de exponenciales peri´odicas. Consideremos la ecuaci´on (C.23):  ejθ0 k + e−jθ0 k y[k] 2 1  1  jθ0 k y[k] + Fd e−jθ0 k y[k] = Fd e 2 2 i 1h j(θ−θ0 = + Y (ej(θ+θ0 ) Y (e 2

Fd {cos(θ0 k)y[k]} = Fd



La demostraci´on de (C.24) resulta an´aloga, por lo tanto se deja como ejercicio para el lector. 222 Lema C.12. Inversi´ on temporal. Sea y[k] una secuencia de tiempo discreto definida ∀k ∈ Z, con transformada Y (ejθ ). Consideremos la transformada de la secuencia original invertida en el tiempo, es decir Fd {y[−k]} = Y (e−jθ )

(C.25)

Demostraci´ on Para demostrar la propiedad usamos la ecuaci´on (C.18), que define la transformada de Fourier discreta de una secuencia

Fd {y[−k]} =

∞ X

k=−∞

y[−k]e−jθk

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

381

Sea l = −k, entonces Fd {y[−k]} = =

∞ X

l=−∞ ∞ X

y[l]e−jθ(−l) y[l]e−j(−θ)l

l=−∞

= Y (e−jθ ) 222 Corollario C.6. Note que si la secuencia y[k] est´ a compuesta s´ olo por valores reales, entonces Fd {y[−k]} = Y ∗ (e−jθ ) (C.26) En que (·)∗ denota al complejo conjugado de (·) Demostraci´ on Se deja como ejercicio al lector.

222

En base a las propiedades ya anlizadas estamos en condiciones de ver el siguiente ejemplo. Ejemplo C.12. Veamos como obtener ahora la transformada de Fourier discreta de un escal´ on unitario en tiempo discrto, es decir, de la secuencia y[k] = µ[k] =

(

0 1

;k < 0 ;k ≥ 0

Para esto podemos apreciar que si definimos la secuencia x[k] = µ[k] − µ[k − 1] ( 1 ;k = 0 = 0 ; k 6= 0 Es decir, resulta ser un delta de Kronecker. Esto tambi´en es v´ alido, sin embargo, si al escal´ on µ[k] se le suma alguna constante, es decir

x[k] = µ[k] + C ⇒ x[k] − x[k − 1] = δK [k] Si aplicamos transformada de Fourier discreta a ambas ecuaciones anteriores y utilizamos la propiedad de corrimiento en k

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

382

jθ

X(e ) = Fd {µ[k]} + C2π

∞ X

n=−∞

X(ejθ ) − e−jθ X(ejθ ) = 1

δ(θ − 2πn)

De ambas ecuaciones se puede eliminar X(ejθ ) y despejar la transformada que nos interesa ∞ X 1 δ(θ − 2πn) − C2π Fd {µ[k]} = 1 − e−jθ n=−∞

Donde hemos obtenida la forma de la transformada del escal´ on unitario discreto. Para obtener el valor de la constante C, podemos escribir el mismo escal´ on como µ[k] = 1 − µ[−k] + δK [k] Donde podemos aplicar la transformada utilizando la forma de Fd {µ[k]} obtenida, la propiedad de simetr´ıa temporal, y las transformadas del delta de Kronecker y la constante, antes obtenidas. 1 − C · S(θ) = S(θ) − 1 − e−jθ



 1 − C · S(−θ) +1 1 − ejθ

En que S(θ) = 2π

∞ X

n=−∞

δ(θ − 2πn)

Donde podemos apreciar que S(θ) es sim´etrica respecto a θ = 0, por lo tanto

−C · 2S(θ) = S(θ) +

−1 −1 + +1 1 − ejθ 1 − e−jθ | {z } 0

−C · 2S(θ) = S(θ) 1 C=− 2

Luego, la transformada de Fourier discreta del escal´ on µ[k] es Fd {µ[k]} =

∞ X 1 δ(θ − 2πn) + π 1 − e−jθ n=−∞

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

383

Lema C.13. Sea y[k] una secuencia de tiempo discreto definida ∀k ∈ Z, cuya transformada es Y (ejθ ). Consideremos ahora la secuencia k · y[k], su transformada, s´ olo en el caso que exista, es igual a

Fd {k · y[k]} = j

d Y (ejθ ) dθ

(C.27)

Demostraci´ on Se debe tener cuidado al aplicar esta propiedad, pues no garantiza la existencia de la transformada de k · y[k]. En caso de existir, podemos aplicar la transformada de Fourier inversa, usando la ecuaci´on (C.19) :

Fd

−1



d Y (ejθ ) j dθ



1 = 2π

Z

2π

j 0

d Y (ejθ ) jθk e dθ dθ

Donde se puede integrar por partes, eligiendo convientemente : Fd

−1



d Y (e−jθ ) j dθ



Z

2π

2

Z

d Y (ejθ ) dθ dθ 0 2π j Z 2π j jθk Y (ejθ )jkejθk dθ e Y (ejθ ) − = 2π | 2π 0 0 {z } j = 2π

=

−j k 2π

1 =k· 2π |

ejθk

0 2π

Y (ejθ )ejθk dθ

0

Z

2π 0

Y (ejθ )ejθk dθ {z } y[k]

222

Ejemplo C.13. Calculemos la transformada de Fourier discreta de la secuencia y[k] = kαk µ[k]

|α| < 1

Podemos aplicar la propiedad reci´en vista dado que conocemos la transformada de αk µ[k]. De esta forma, tenemos que:

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

384

Fd



 d Fd αk µ[k] kα µ[k] = j   dθ 1 d =j dθ 1 − αe−jθ −1 · (jαe−jθ ) =j· (1 − αe−jθ )2 αe−jθ = (1 − αe−jθ )2

k

2

5

1.8

4.5

1.6

4

1.4

3.5 3 jθ

Y(e )

y[k]

1.2 1

2.5

0.8

2

0.6

1.5

0.4

1

0.2

0.5

0 −5

0

5

10 k

15

20

25

0

0

1

2

3

θ

4

5

6

Figura C.6: Secuencia y[k] = k(0,8)k µ[k] y la magnitud de su TFD. En la figura C.6 se muestra la secuencia discreta y el m´ odulo de su transformada discreta, cuando α = 0,8

Lema C.14. Convoluci´ on en tiempo discreto Sean y1 [k] e y2 [k] dos secuencias definidas ∀k ∈ Z, cuyas transformadas de Fourier son Y1 (ejθ ) e Y2 (ejθ ) respectivamente, entonces la transformada de Fourier discreta de la convoluci´ on es : Fd {y1 [k] ∗ y2 [k]} = Y1 (ejθ )Y2 (ejθ )

(C.28)

Demostraci´ on Recordemos en primer lugar que la convoluci´on de dos secuencias de tiempo discreto y1 [k] e y2 [k] se define como : y1 [k] ∗ y2 [k] =

∞ X

l=−∞

y1 [l]y2 [k − l]

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

385

Usando esta expresi´on en la definici´on (C.18) tenemos que : ! ∞ ∞ X X Fd {y1 [k] ∗ y2 [k]} = y1 [l]y2 [k − l] e−jθk k=−∞

l=−∞

Donde se pueden intercambiar las sumatorias y usar la propiedad de corrimiento en el tiempo discreto k :

Fd {y1 [k] ∗ y2 [k]} = =

∞ X

∞ X

y1 [l]

l=−∞ ∞ X

k=−∞

y2 [k − l]e

−jθk

!

y1 [l]e−jθl Y2 (ejθ )

l=−∞

= Y2 (ejθ )

∞ X

y1 [l]e−jθl

l=−∞ jθ

= Y2 (e )Y1 (ejθ ) 222 Lema C.15. Producto en el tiempo discreto Sean y1 [k] e y2 [k] dos secuencias definidas ∀k ∈ Z, cuyas transformadas de Fourier son Y1 (ejθ ) e Y2 (ejθ ) respectivamente, entonces la transformada de Fourier discreta del producto de ellas es : Fd {y1 [k]y2 [k]} =

1 2π

Z

2π

Y1 (ejζ )Y2 (ej(θ−ζ) )dζ

(C.29)

0

Demostraci´ on Reemplazando el producto de las secuencias en la definici´on (C.18) tenemos que : Fd {y1 [k]y2 [k]} =

∞ X

y1 [k]y2 [k]e−jθk

k=−∞

Aqui podemos escribir una de las secuencias seg´ un la ecuaci´on (C.19) que la expresa como la transformada de Fourier inversa. Con esto e intercambiando de orden la sumatoria con la integral que aparece tenemos que :  Z 2π ∞  X 1 Y1 (ejζ )ejζk dζ y2 [k]e−jθk 2π 0 k=−∞ ! Z 2π ∞ X
−jθk 1 jζ jζk = Y1 (e ) dζ e y2 [k] e 2π 0

Fd {y1 [k]y2 [k]} =

k=−∞

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

386

Donde si usamos la propiedad de corrimiento en frecuencia tenemos que Fd {y1 [k]y2 [k]} =

1 2π

Z

2π

Y1 (ejζ )Y1 (ej(θ−ζ) )dζ 0

222 Teorema C.2 (Teorema de Parseval. El caso de tiempo discreto). Sean y1 [k] e y2 [k] dos secuencias reales definidas ∀k ∈ Z, cuyas transformadas de Fourier son Y1 (ejθ ) e Y2 (ejθ ) respectivamente, entonces se cumple que: ∞ X

k=−∞

1 y1 [k]y2 [k] = 2π

Z

2π

Y1 (ejθ )Y2∗ (ejθ )dθ

0

(C.30)

En que (·)∗ denota el complejo conjugado de (·). Demostraci´ on En el lado izquierdo de la ecuaci´ on (C.30) podemos reemplazar y1 [k], utilizando la definici´ on de la transformada de Fourier discreta inversa dada por la expresi´ on (C.19) : ∞ X

y1 [k]y2 [k] =

k=−∞

 Z 2π ∞  X 1 Y1 (ejθ )ejθk dθ y2 [k] 2π 0

k=−∞

Aqui podemos intercambiar el orden entre la integral y la sumatoria, para luego formar una expresi´ on que corresponda a la transformada de y 2 [k] como se aprecia a continuaci´ on : ∞ X

k=−∞

1 y1 [k]y2∗ [k] = 2π

Z

1 = 2π

Z

1 2π

Z

=

2π

Y1 (ejθ ) 0

∞ X

y2∗ [k]ejθk

k=−∞ 2π

Y1 (ejθ ) 0

∞ X

y2 [k]e−jθk

k=−∞ 2π

0

!

dθ

!∗

dθ

Y1 (ejθ )Y2∗ (ejθ )dθ 222

Corollario C.7. Si y[k] es una secuencia discreta definida ∀k ∈ Z, con transformada Y (ejθ ), entonces se cumple que: ∞ X

k=−∞

| y[k] |2 =

1 2π

Z

2π 0

| Y (ejθ ) |2 dθ

(C.31)

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

387

Demostraci´ on Es directa de la ecuaci´ on (C.30) ya que y[k] y ∗ [k] = | y[k] |2

Y (ejθ )Y ∗ (ejθ ) = | Y (ejθ ) |2 222

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

388

f (t) l X

F {f (t)} l X

ai yi (t)

i=1

ai Yi ( ω)

Linealidad

i=1

dy(t) dt

 ωY ( ω)

Derivaci´on

( ω)k Y ( ω)

Derivadas superiores

1 Y ( ω) + πY (0)δ(ω) ω

Integraci´on

y(t − τ )

e− ωτ Y ( ω)

Retardo

y(at)

1  ω Y j |a| a

Escalamiento temporal

y(−t)

Y (− ω)

Inversi´on temporal

Y1 ( ω)Y2 ( ω)

Convoluci´on

eat y1 (t)

Y1 ( ω − a)

Desplazamiento en frecuencia

y(t) cos(ωo t)

1 {Y ( ω −  ωo ) + Y ( ω +  ωo )} 2

Modulaci´on (cosenoidal)

y(t) sen(ωo t)

1 {Y ( ω −  ωo ) − Y ( ω +  ωo )} j2

Modulaci´on (senoidal)

Y (t)

2πy(− ω)

Simetr´ıa

dk y(t) dtk Z

Z

Descripci´on

∞ −∞

t

y(τ )dτ −∞

y1 (τ )y2 (t − τ )dτ

y1 (t)y2 (t)

1 2π

Z

∞ −∞

Y1 (jζ)Y2 ( ω − jζ)dζ

Producto en el tiempo

Cuadro C.1: Propiedades de la transformada de Fourier.

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

∀t ∈ R

f (t) 1

2πδ(ω)

δD (t)

1

µ(t)

πδ(ω) +

µ(t) − µ(t − to ) e−αt µ(t)

<{α} ∈ R+

te−αt µ(t)

<{α} ∈ R+

e−α|t|

F {f (t)}

α ∈ R+

1 ω

1 − e− ωto ω 1 ω − α

1 ( ω − α)2 ω2

2α + α2

cos(ωo t)

π (δ(ω + ωo ) + δ(ω − ωo ))

sen(ωo t)

jπ (δ(ω + ωo ) − δ(ω − ωo ))

cos(ωo t)µ(t)

π ω (δ(ω + ωo ) + δ(ω − ωo )) + 2 −ω 2 + ωo2

ωo jπ (δ(ω + ωo ) − δ(ω − ωo )) + 2 2 −ω + ωo2

sen(ωo t)µ(t) e−αt cos(ωo t)µ(t)

α ∈ R+

ω + α ( ω + α)2 + ωo2

e−αt sen(ωo t)µ(t)

α ∈ R+

ωo ( ω + α)2 + ωo2

Cuadro C.2: Tabla de tranformadas de Fourier

389

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

390

Fd {y[k]} = Y (ejθ )

y[k] , k ∈ Z l X

l X

αi yi [k]

i=1

αi Yi (ejθ )

Descripci´on Linealidad

i=1

y[−k]

Y (e−jθ )

Inversi´on temporal

y[k − k0 ] , k0 ∈ Z

e−jθk0 Y (ejθ )

Corrimiento temporal

ejθ0 k y[k]

Y (ej(θ−θ0 ) )

Corrimiento en frecuencia

cos(θ0 k)y[k] sen(θ0 k)y[k]

i 1h Y (ej(θ+θ0 ) + Y (ej(θ−θ0 ) 2 i jh Y (ej(θ+θ0 ) − Y (ej(θ−θ0 ) 2

ky[k] ∞ X

l=−∞

j

y1 [k]y2 [k] ∞ X

k=−∞ ∞ X

y1 [k]y2∗ [k]

k=−∞

| y[k] |2

1 2π

Z

1 2π

Modulaci´on senoidal

d Y (ejθ ) dθ

Y1 (ejθ )Y2 (ejθ )

y1 [l]y2 [k − l]

Modulaci´on cosenoidal

Convoluci´on

2π

Y1 (ejζ )Y2 (ej(θ−ζ) )dζ

Producto en el tiempo

0

Z

2π

Y1 (ejθ )Y2∗ (ejθ )dθ

0

1 2π

Z

Teorema de Parseval

2π 0

| Y (ejθ ) |2 dθ

Teorema de Parseval

Cuadro C.3: Propiedades de la transformada de Fourier discreta.

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

Fd {y[k]} = Y (ejθ )

∀t ∈ R

y[k]

391

δK [k]

1

δK [k − k0 ]

e−jθk0

1 (∀k ∈ Z)

2π

∞ X

n=−∞

δ(θ − 2πn)

∞ X 1 δ(θ − 2πn) + π 1 − e−jθ n=−∞

µ[k]

1 1 − αe−jθ

αk µ[k] (|α| < 1)

1 (1 − αe−jθ )2 ∞ X 2π δ(θ − θ0 + 2πn)

(k + 1)αk µ[k] (|α| < 1) ejθ0 k

n=−∞

cos(θ0 k)

π

∞ X

n=−∞ ∞ X

sen(θ0 k)

[δ(θ + θ0 + 2πn) + δ(θ − θ0 + 2πn)]

jπ

n=−∞

cos(θ0 k + φ)

π

∞ X 

n=−∞

sen(θc k) πk

[δ(θ + θ0 + 2πn) − δ(θ − θ0 + 2πn)]

e−jφ δ(θ + θ0 + 2πn) + ejφ δ(θ − θ0 + 2πn) ∞ X

Y0 (ej(θ+2πn) )

n=−∞

( 1 Y0 (ejθ ) = 0 y[k] =

(

0 1

; |k| ≤ N ; |k| > N

kαk µ[k] (|α| < 1)

; |θ| < θc ; θc < |θ| ≤ π
2N +1 sen 2
θ sen 21 θ

αe−jθ (1 − αe−jθ )2

Cuadro C.4: Tabla de tranformadas de Fourier discretas



´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

392

C.2.3.

Aspecto pr´ actico: la transformada r´ apida de Fourier

En las aplicaciones, en particular en el procesamiento digital de se˜ nales, no se conoce la se˜ nal en forma anal´ıtica, sino que como una secuencia finita de valores num´ericos. Lo mismo ocurre en otras aplicaciones, como en el procesameinto de im´agenes, en donde la variable independiente puede ser una (o m´as) coordenada(s) espacial(es). Dado que la informaci´on es una secuencia, la descripci´on de la se˜ nal en el dominio de la frecuencia s´olo puede ser lograda a trav´es de la Transformada discreta de Fourier. Sin embargo, el c´alculo de ´esta s´olo puede ser aproximado, puesto que la se˜ nal est´a definida por un n´ umero finito de valores. De esta forma, un problema central en la calidad de la aproximaci´on guarda relaci´on con la medida en que la se˜ nal truncada representa las caracter´ısticas espectrales de la se˜ nal a analizar. En este caso, estamos obteniendo una serie de Fourier discreta que representa al tramo considerado de la secuencia y[k]. Recordemos que seg´ un lo visto en el cap´ıtulo anterior sobre series, al calcular la serie de Fourier discreta de una secuencia de largo N , obtenemos una representaci´on en t´erminos de N exponenciales complejas de frecuencias 0 ≤ θ < 2π, que resulta ser peri´odica. De esta forma, dada una secuencia y[k] de longitud N , que puede provenir de una se˜ nal de tiempo continuo muestreada cada ∆[seg], es decir, y[k] = y(t = k∆), podemos representarla como una suma de exponenciales complejas y[k] =

N −1 X

Cn ejθo nk ;

donde θo =

n=0

donde

Cn =

N −1 1 X y[k]e−jθo nk N

2π N

(C.32)

(C.33)

k=0

Usualmente se define

2π

WN = ejθo = ej N

(C.34)

y la funci´on Hn = N · C n =

N −1 X

y[k]WN−nk

(C.35)

k=0

Con lo que la funci´on se puede describir en t´erminos de los Hn seg´ un y[k] =

N −1 1 X Hn WNnk N n=0

(C.36)

A este par de ecuaciones, (C.35) y (C.36) se le denomina en muchos libros como la Transformaci´on de Fourier Discreta1 y su inversa, por tanto debe tenerse 1 Discrete

Fourier Transform o DFT

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

393

precauci´on al consultar la literatura para evitar confusi´on con la denominaci´on que hemos usado en este texto. Si se observa la ecuaci´on (C.35) ´esta puede entenderse como un producto matricial en que el vector Hn es igual al producto de la matriz {WN }n,k = {WN−nk } por el vector y[k]. Es decir      −0·(N −1) WN−0·0 WN−0·1 ... WN H0 y[0] −1·(N −1)    H1     y[1]  WN−1·0 WN−1·1 ... WN        ..  =   .. . . . .  .. .. .. ..  .    .  −(N −1)·0 −(N −1)·1 −(N −1)(N −1) HN −1 y[N − 1] WN WN . . . WN (C.37) Hacer el producto matricial el lado derecho de la ecuaci´on anterior implica N 2 multiplicaciones complejas, adem´as de las sumas respectivas para el c´alculo de cada Hn . Tambi´en se requieren algunas operaciones m´as para el c´alculo de las potencias de WN . Es decir, podemos apreciar que el c´alculo de la DFT es un proceso O(N 2 ) 2 . Sin embargo, la matriz involucrada en (C.37) est´a formada por potencias de 2π WN = ej N , por tanto todos sus componentes son alguna de las ra´ıces N -´esimas de la unidad, distribuida en torno a la circunferencia unitaria. Esta simetr´ıa de hecho es el camino para reducir el n´ umero de c´alculos necesarios para el c´alculo de la DFT. Los algoritmos que hacen uso de estas simetr´ıas se comenzaron a desarrollar m´as fuertemente a partir de mediados de los a˜ nos 60 y reciben el nombre gen´erico de transformada r´ apida de Fourier o FFT por su denominaci´on en ingl´es3 . Para maximizar el aprovechamiento de las simetr´ıas es conveniente elegir secuencias y[k] cuyo largo se una potencia de 2, es decir: N = 2v

para algun v ∈ Z+

(C.38)

Esto no implica perder generalidad, pues en los casos en que no pueden tomarse m´as valores de la secuencia original podemos completar con ceros hasta la potencia de 2 m´as cercana (aunque ello significa la introducci´on de un grado variable de inexactitud). Consideremos la forma en que se calcula el coeficiente Hn , seg´ un la ecuaci´on (C.35). Si tenemos una secuencia de longitud N par, podemos separarla en una que contenga los valores de y[k] cuando k es par y otra para los k impares. Es decir:

Hn =

N −1 X

y[k]WN−nk

(C.39)

k=0

N/2−1

=

X r=0

2 Del

N/2−1 −n(2r)

y[2r]WN

+

X

−n(2r+1)

y[2r + 1]WN

(C.40)

r=0

orden de N 2 , es decir, si se duplica N el n´ umero de c´ alculos se ¡ cuadruplica ! Fourier Transform.

3 Fast

transformada r´ apida de Fourier

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

394

Pero podemos apreciar que las nuevas secuencias, y[2r] e y[2r + 1], son secuencias de largo N/2, por lo que podr´ıa escribirse las sumatorias como la serie de Fourier discreta modificada que les corresponde. Justamente esto sucede en forma natural al observar que −n(2r)

WN

2π

2π

−nr = e−j N n(2r) = e−j N/2 nr = WN/2

(C.41)

Es decir, en la sumatoria aparecen las arm´onicas para secuencias de longitud N/2. Con esta observaci´on la expresi´on para Hn queda N/2−1

Hn =

X

N/2−1 −n(2r)

y[2r]WN

+

r=0

=

X

r=0 Hnpar

−n(2r)

y[2r + 1]WN

WN−n

(C.42)

r=0

N/2−1

=

X

N/2−1

−nr + WN−n y[2r]WN/2

X

−nr y[2r + 1]WN/2

(C.43)

r=0

+ WN−n Hnimpar

(C.44)

Como antes mencionamos, para calcular los t´erminos Hn para una secuencia de longitud N por el m´etodo directo, se requieren del aproximadamente N 2 multiplicaciones complejas en el producto matricial (C.37). An´alogamente para calcular cada uno de los t´erminos Hnpar y Hnimpar , que corresponden a secuencias de largo N/2, requeriremos (N/2)2 multiplicaciones complejas para cada uno. Y para poder formar cada uno de los N t´erminos Hn requerimos una u ´nica multiplicaci´on compleja m´as, seg´ un (C.44). Es importante hacer notar que dado que las secuencias y[2r] e y[2r + 1] son −nr N/2 peri´odicas en r, sus arm´onicas WN/2 , tambi´en lo son: −(l+N/2)

WN/2

2π

2π

2π

−l = e−j N/2 (l+N/2) = e−j N/2 l e−j2π = e−j N/2 l = WN/2

(C.45)

Aplicando este nuevo enfoque para la secuencia de largo N necesitamos  2 N N +2 ≤ N2 ∀N ≥ 2 (C.46) 2 Sin embargo, y he aqu´ı la facilidad que entrega el suponer que N es una potencia de 2, las secuencias y[2r] e y[2r + 1], tienen longitud par (N/2 tambi´en ser´a potencia de 2), por tanto podemos aplicarles este mismo m´etodo. Es decir, cada una puede separarse en dos subsecuencias de longitud N/4. Con esto el n´ umero de c´alculos necesarios ser´ıan  2 !  2 N N N +2 (C.47) N +2 =N +N +4 2 4 4 Y as´ı sucesivamente con las secuencias de largo N/4, que pueden subdividirse en subsecuencias de largo N/8.

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

395

En general una secuencia de largo N = 2v , podemos subdividiras v = log2 N veces en subsecuencias de longitud menor. Y en cada etapa se realizan N multiplicaciones complejas. Por tanto podemos afirmar que este algoritmo es del orden de N log2 N . En la figura C.7 se muestra una comparaci´on del n´ umero de multiplicaciones necesarias para calcular los t´erminos Hn de esta serie directamento o mediante este nuevo algoritmo denominado FFT. Para una secuencia de largo N = 1024 = 210 con el primer m´etodo requerimos 1048576 multiplicaciones, mientras que usando la transformada r´apida se requieren solo 10240, es decir, 2 o´rdenes de magnitud menor. 2500

2000

1500

1000

500

0

0

5

10

15

20

25 N

30

35

40

45

50

Figura C.7: Comparaci´on N 2 (x) y N log2 N (’*’) Veamos a continuaci´on un ejemplo para ilustrar el uso de la transformada r´apida Ejemplo C.14. Considermos una secuancia discreta de longitud N = 8, cuyos valores denominaremos y0 , y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 e y7 . Entonces usando la ecuaci´ on (C.44) tenemos que Hn = Hnp + W8−n Hni En que Hnp y Hni son la serie formada por las subsecuencias pares e impares de la secuencia original. Esto se representa en la figura C.8, donde sobre las lineas de flujo se coloca el factor que une a los datos Note en la figura se ha hecho uso de la periodicidad de Hnp y Hni ya que, por ejemplo,

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

396

H0p

W80

H1p

H0 H1

W8−1

H2p

H2

W8−2

H3p

H3

W8−3

H0i

W8−4

H1i

W8−5

H2i

W8−6

H3i

W8−7

H4 H5 H6 H7

Figura C.8: Primera etapa de la FFT para N = 8

H4 = H4i + W8−4 H4p Pero, por la periodicidad H4p = H0p H4i = H0i Por lo tanto, H4 = H0i + W8−4 H0p De manera an´ aloga, para calcular los t´erminos de Hnp y Hni podemos aplicar la misma idea

Hnp = Hnpp + W8−2n Hnpi Hni = Hnip + W8−2n Hnii an formadas por subsecuenDonde ahora las series Hnpp , Hnpi , Hnip y Hnii est´ cias de largo 2, y tambi´en son peri´ odicas de per´ıodo 2. Como se ve en el esquema de la figura C.9 Finalmente al subdividir nuevamente las secuencias quedan t´erminos individuales que corresponden a los 8 valores de la secuencia original considerada:

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

H0pp H1pp H0pi H1pi H0ip H1ip H0ii H1ii

H0

W80

W80

W8−2

W8−1

W8−4 W8−6

H1 H2 W8−2

H3 W8−3

W80

W8−4

W8−2

W8−5

W8−4 W8−6

397

W8−6 W8−7

H4 H5 H6 H7

Figura C.9: Primera y segunda etapa de la FFT para N = 8

Hnpp = Hnppp + W8−4n Hnppi = y0 + W8−4n y1 Hnpi = Hnpip + W8−4n Hnpii = y2 + W8−4n y3 Hnip = Hnipp + W8−4n Hnipi = y4 + W8−4n y4 Hnii = Hniip + W8−4n Hniii = y6 + W8−4n y7 Estos productos calculos se agregan al esquema anterior, tal como se muestra en la figura C.10, donde podemos apreciar claramente que en cada etapa se realizan 8 multiplicaciones complejas, totalizando un total de 24. En caso de haber hecho los c´ alculos de manera directa hubiera resultado necesario ralizar 82 = 64 multiplicaciones.

´ ´ DE FOURIER APENDICE C. LA TRANSFORMACION

398

y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7

W80 W8−4 W80 W8−4 W80 W8−4 W80 W8−4

H0

W80

W80

W8−2

W8−1

W8−4 W8−6

H1 H2 W8−2

H3 W8−3

W80

W8−4

W8−2

W8−5

W8−4 W8−6

Figura C.10: Las tres etapas de la FFT para N = 8

W8−6 W8−7

H4 H5 H6 H7

Transformada de Laplace!regi´ on de convergencia

Ap´ endice D

La transformada de Laplace D.1.

Transformada de Laplace

D.1.1.

Definici´ on de la Transformada

Sea una se˜ nal de tiempo continuo y(t), 0 ≤ t < ∞, entonces la Transformada de Laplace asociada a y(t), y su transformada inversa est´an definidas como

L {y(t)} = Y (s) = L−1 {Y (s)} = y(t) =

Z

1 2πj

∞

e−st y(t)dt

(D.1)

0−

Z

σ+j∞

est Y (s)ds

(D.2)

σ−j∞

Y (s) es la transformada de Laplace de y(t). El par transformada y su inversa est´an bien definidas si existe σ ∈ R y una constante positiva k < ∞ tales que |y(t)| < keσt ; ∀t ≥ 0

(D.3)

La regi´on <{s} ≥ σ se conoce como la regi´ on de convergencia de la transformada. Asumimos que el lector ha conocido estas ideas anteriormente en alg´ un curso de matem´aticas, o bien puede consultar alg´ un texto de ecuaciones diferenciales como ref. a Blanchard??. Ahora nos concentraremos en la importancia de esta transformada para el an´alisis de sistemas, por ejemplo, para determinar respuestas a condiciones inicialesy a diferentes se˜ nales de entrada.

399

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

400

Lema D.1. Sea H(s) una funci´ on racional estrictamente propia1 de la variable s con regi´ on de convergencia <{s} > −α. SI denotamos como h(t) a su correspondiente funci´ on temporal, i.e. H(s) = L [h(t)]

(D.4)

Entonces, para cualquier z0 talque <{z0 } > −α, tenemos Z ∞ h(t)e−z0 t dt = l´ım H(s) s→z0

0

(D.5)

Demostraci´ on De la definici´ on de la transformada de Laplace tenemos que, para todo s en la regi´ on de convergencia de la transformada, i.e. en <{s} > −α Z ∞ h(t)e−st dt (D.6) H(s) = 0

Por lo tanto se tiene que z0 est´ a en la regi´ on de convergencia de la transformada. 222 on necesaria Corollario D.1. En la ecuaci´ on D.5 se observa que como condici´ para la convergencia de la integral del lado izquierdo se debe cumplir que l´ım h(t)e−st = 0

t→∞

(D.7)

Resultado que ser´ a usado posteriormente. Ilustramos esto con un ejemplo: Ejemplo D.1. Considere la se˜ nal y(t) = e+2t

t≥0

(D.8)

Entonces, su transformada de Laplace puede calcularse resolviendo la integral (D.1) o usando Maple : > y(t):=exp(2*t); > with(inttrans): Y(s) := laplace(y(t),t,s); Dentro de Maple existe el paquete inttrans, que define la transformada de Laplace y de Fourier, junto a sus inversas, adem´ as de otras transformaciones integrales. Las l´ıneas de comando antes mostradas entregan como resultado Y (s) =

1 s−2

para

<{s} > 2

(D.9)

1 El orden del polinomio del numerador es estriciamente menor que el orden del polinomio en el denominador

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

401

Ahora considere Z∞

I(z0 ) =

e−z0 t y(t)dt

(D.10)

0

Claramente para z0 = 3, tenemos I(3) =

Z∞

e−3t e2t dt =

Z∞

e−t dt = 1

(D.11)

0

0

Note que esto se podr´ıa haberse obtenido como consecuencia de lema D.1 ya que Y (3) =

1 =1 3−2

(D.12)

Sin embargo, si tomamos z0 = 1, entonces Y (1) = −1. Entonces claramente I(z0 ) es ∞. Esto est´ a de acuerdo con el lema D.1 ya que z0 = 1 no est´ a en el interior de la regi´ on de convergencia de la transformada. 222

D.1.2.

Propiedades de la Transformada de Laplace

La transformada de Laplace tiene propiedades muy u ´tiles, las cuales se resumen en la Tabla D.2 en la p´agina 415. En esta secci´on se demuestran algunas de estas. Lema D.2. Linealidad Sean y1 (t) e y2 (t) funciones continuas en (0, +∞), cuyas transformadas de Laplace son Y1 (s) e Y2 (s), respectivamente. Entonces L {αy1 (t) + βy2 (t)} = αY1 (s) + βY2 (s)

α, β ∈ C

(D.13)

Demostraci´ on Esta propiedad es directa dado que la transformada de Laplace est´a definida mediante la integral (D.1) : Z

∞

(αy1 (t) + βy2 (t))e−st dt Z ∞ Z ∞ =α y1 (t)dt + β y2 (t)dt

L {αy1 (t) + βy2 (t)} =

0−

0−

0−

= αY1 (s) + βY2 (s)

222

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

402

Lema D.3. Derivada en t. Sea y(t) una funci´ on continua en (0, +∞) y sup´ ongamos que tinua por tramos, entonces L



d y(t) dt



d y(t) dt

= sY (s) − y(0− )

es con-

(D.14)

Demostraci´ on Seg´ un la definici´ on tenemos:  Z ∞  d y −st d y(t) = L e dt dt 0− dt En esta si se integra por partes, Z ∞ ∞ y(t)e−st dt = e−st y(t) + s 0− 0−   = l´ım e−st y(t) − y(0− ) + sL {y(t)} t→∞

Si utilizamos el resultado (D.7) de la p´ agina 400 obtenemos la expresi´ on esperada:   d y(t L = sY (s) − y(0− ) (D.15) dt 222 Maple tambi´en es capaz de reconocer ´esta y otras propiedades, mediante los comandos: > with(inttrans): laplace(diff(y(t),t),t,s); s laplace(y(t), t, s) − y(0) Corollario D.2. Derivadas de orden superior. Si se extiende este resultado, aplicando este lema recursivamente a las derivadas de orden superior puede demostrarse que

L



d n y(t) dt n



= sn Y (s) − sn−1 y(0− ) − · · · −

d n−1 y(0− ) dt n−1

n ∈ Z+

(D.16)

donde Y (s) = L {y(t)}. Este resultado ser´ a usado repetidamente para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas en la variable s. Adem´ as en la ecuaci´ on (D.16) se incluyen las condiciones iniciales de la funci´ on y sus derivadas.

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

403

Ilustramos esto en el siguiente ejemplo, en que cada paso del desarrollo se acompa˜ na por los comandos en Maple correspondientes. Ejemplo D.2. Considere la ecuaci´ on diferencial > edo :=

diff(theta(t),t,t)+2*diff(theta(t),t)=v_a(t)

dθ d 2θ +2 = va (t) (D.17) dt 2 dt Si tomamos transformada de Laplace a ambos lados de la ecuaci´ on y aplicamos D.16 se obtiene > EDO := laplace(edo,t,s); ˙ − ) = Va (s) s2 Θ(s) + 2sΘ(s) − (s + 2)θ(0− ) − θ(0 (D.18) − − ˙ Suponiendo condiciones iniciales θ(0 ) = 0, θ(0 ) = 0 y que la entrada es un escal´ on unitario en t = 0. Entonces > theta(0):=0; D(theta)(0):=0; v_a(t):=Heaviside(t); Theta(s):=solve(EDO,laplace(theta(t),t,s));



 1 Θ(s) = Va (s) s2 + 2s   1 1 = 2 s + 2s s Expandiendo en fracciones parciales obtenemos > Theta(s):=convert(Theta(s),parfrac,s);

Θ(s) =

1 1 1 + − 4(s + 2) 2s2 4s

(D.19)

Aqu´ı, aplicando los resultados de la Tabla D.2 (p´ agina 415 ), la salida para t ≥ 0 es > theta(t):=invlaplace(Theta(s),s,t);

θ(t) =

1 1 −2t 1 e + t− 4 2 4

(D.20)

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

404

Lema D.4. Integral en t Sea y(t) una funci´ on continua en el intervalo (0, +∞) , con transformada de Laplace L {y(t)} = Y (s), entonces L

Z

t

y(τ )dτ 0−



=

1 Y (s) s

(D.21)

Demostraci´ on Si reemplazamos la integral en la definici´on de la transfomada (D.1), podemos hacer una integral por partes:

L

Z

t

y(τ )dτ 0−



=

Z

∞ 0−

Z

t

Z |



t 0−

y(τ )dτ e|−st {zdt} {z } dv u



e−st ∞ y(τ )dτ = − −s 0− 0− Z ∞ 1 y(t)e−st dt =0+ s 0−

Z

∞ 0−

y(t)

e−st dt −s

222 Lema D.5. Derivada en s. Sea y(t) una funci´ on continua con L {y(t)} = Y (s), entonces L {tn · y(t)} = (−1)n

d n Y (s) ds n

Demostraci´ on Este resultado se establece derivando ambos lados de la ecuaci´ on

Y (s) =

Z

∞

y(t)e−st dt

0−

y as`ı obtenemos dY (s) = ds

Z

∞ 0−

=−

Z

 ∂  y(t)e−st dt ∂s

∞

ty(t)e−st dt

0−

= −L {t · y(t)}

(D.22)

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

405

Y el lema se obtiene aplicando esto repetidamente aunque, en rigor, para intercambiar derivada con integral se requieren ciertas propiedades de regularidad. 222 Este lema puede resultar u ´til para obtener la transformada de Laplace de funciones que aparecen multiplicadas por la variable t, como en el siguiente ejemplo. Ejemplo D.3. Consideremos la funci´ on y(t) = t2 y obtengamos su transformada de Laplace.Seg´ un la definici´ on Z ∞  t2 e−st dt L t2 = 0−

Y para resolver se puede integrar por partes dos veces. Sin embargo, si se aplica el lema D.5 tenemos 
d2 L t2 · 1 = (−1)2 2 L {1} ds d2 1
= ds 2 s d 1
= − 2 ds s 2 = 3 s

La propiedad en si y el ejemplo pueden realizarse en Maple , mediante los siguientes comandos >laplace(t*y(t),t,s);

−



∂ laplace(y(t), t, s) ∂s



> y(t):= t^2; laplace(y(t),t,s); 1 s3 Se deja al lector como ejercicio encontrar una expresi´ on (no recursiva) para L {tn }, usando el m´etodo de inducci´ on. 2

Lema D.6. Desplazamiento en t. Sea y(t − a), a > 0 una versi´ on desplazada de la funci´ on y(t). Si µ(t − a) es la funci´ on escal´ on unitario que comienza en a, entonces L {y(t − a)µ(t − a)} = e−sa Y (s)

(D.23)

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

406 Demostraci´ on

Dado que la funci´ on escal´ on unitario es igual a 0 antes de a y 1 despu´es, la transformada de Laplace puede calcularse con la definici´ on L {u(t − a)y(t − a)}

= = =

Z

∞

− Z0 ∞

− Za ∞

µ(t − a)y(t − a)e−st dt y(t − a)e−st dt

˜ y(t˜)e−s(t+a) dt˜ Z ∞ ˜ e−sa y(t˜)e−st dt˜ 0−

=

0−

=

e

−sa

Y (s)

De donde se obtiene el resultado deseado. 222 Note que L {y(t − a)µt − a} 6= L {y(t − a)µ(t)}

Por lo tanto la transformada de Laplace del lado derecho no puede obtenerse con ayuda del lema D.6, sino en base a la definici´on o usando otras propiedades. Ejemplo D.4. Para ver una aplicaci´ on de este lema obtengamos la transformada de Laplace de un pulso p(t). p(t) =



1 0

; si 0 ≤ t < a ; si t ≥ a

Esta se˜ nal puede escribirse usando la funci´ on de Heaviside o escal´ on unitario µ(t) sin necesidad de definirla por tramos. En Maple > assume(a>0); p(t):=Heaviside(t)-Heaviside(t-a); p(t) = µ(t) − µ(t − a)

Y usando la propiedad (D.23), o calculano con Maple , se obtiene > P(s):=laplace(p(t),t,s); 1 1 −as − e s s
1 = 1 − e−sa s

P (s) =

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

407

Este ejemplo puede extenderse a cualquier funci´on que est´e definida por tramos, cuya transformada de otra forma se tendr´ıa que calcular separando la integral (D.1) de la definici´on. Se deja al lector obtener una expresi´on para f (t)p(t) en que p(t) es el pulso del ejemplo anterior, y f (t) es alguna funci´on continua en el intervalo 0 < t < a. A continuaci´on se presenta otro resultado relacionado con el desplazamiento temporal de una funci´on. Lema D.7. Funci´ on peri´ odica. Tomemos una funci´ on per´ıodica y(t) =

∞ X

n=0

yT (t − nT )

(D.24)

en que yT (t) es cero fuera del intervalo [0, T ], es decir, yT (t) = [µ(t) − µ(t − T )]y(t). Entonces la transformada de Laplace de y(t) es L {y(t)} = en que YT (s) = L {yT (t)}.

1 YT (s) 1 − e−sT

(D.25)

Demostraci´ on Si se utiliza el resultado del lema D.6, al aplicar transformada de Laplace a la ecuaci´ on (D.24) tenemos por linealidad

L {y(t)} =

∞ X

e−nT s YT (s)

n=0

Y (s) = YT (s)

∞ X

e−nT s

n=0

y si recordamos la suma de una serie geom´etrica,   1 − l´ımn→∞ e−nT s Y (s) = YT (s) 1 − e−sT y dentro de la regi´ on de convergencia l´ımn→∞ e−nT s → 0 Y (s) =

1 YT (s) 1 − e−sT 222

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

408

Lema D.8. Corrimiento en s Sea y(t) una funci´ on continua en el intervalo (0, +∞) , con transformada de Laplace L {y(t)} = Y (s), entonces

Demostraci´ on

 L eat y(t) = Y (s − a)

(D.26)

De la definici´on (D.1), tenemos que  L eat y(t) = =

Z

Z

∞

eat y(t)e−st dt

0− ∞

y(t)e−(s−a)t dt

0−

= Y (s − a) 222 Lema D.9. Convoluci´ on Sean y1 (t) e y2 (t) funciones continuas en (0, +∞), talque son iguales a cero para t < 0, cuyas transformadas de Laplace son Y1 (s) e Y2 (s), respectivamente. Entonces la transformada de la convoluci´ on entre y1 (t) e y2 (t) es: L {y1 (t) ∗ y2 (t)} = Y1 (s)Y2 (s)

(D.27)

En que y1 (t) ∗ y2 (t) =

Z

t 0−

y1 (τ )y2 (t − τ )dτ

(D.28)

Demostraci´ on Si las se˜ nales son causales, es decir, su valor es cero ∀t < 0, entonces podemos reescribirlas y1 (t) = µ(t)y1 (t) y2 (t) = µ(t)y2 (t) Con esto, la convoluci´on es equivalente a Z ∞ y1 (t) ∗ y2 (t) = y1 (τ )µ(τ )y2 (t − τ )µ(t − τ )dτ −∞

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

409

Si reemplazamos esta forma en la definici´on (D.1), podemos cambiar el orden de las integrales:

L {y1 (t) ∗ y2 (t)} = =

Z

Z

∞

0− Z ∞

−∞



∞

y1 (τ )µ(τ )y2 (t − τ )µ(t − τ )dτ e−st dt  Z ∞ −st [y2 (t − τ )µ(t − τ )] e dt dτ y1 (τ )µ(τ ) −∞

0−

Donde se puede aplicar la propiedad de corrimiento en t: Z

∞

y1 (τ )µ(τ )e−sτ Y2 (s)dτ Z ∞ y1 (τ )e−sτ dτ = Y2 (s)

L {y1 (t) ∗ y2 (t)} =

−∞

0−

= Y2 (s)Y1 (s)

222

Lema D.10. Producto en t Sean y1 (t) e y2 (t) funciones continuas en (0, +∞), cuyas transformadas de Laplace son Y1 (s) e Y2 (s), respectivamente. Entonces la transformada del producto entre y1 (t) e y2 (t) es: L {y1 (t)y2 (t)} =

1 2πj

Z

σ+j∞ σ−j∞

Y1 (ζ)Y2 (s − ζ)dζ

(D.29)

Demostraci´ on Si reemplazamos el producto de las funciones dentro de la definici´on de la transformada, podemos demostrar la propiedad escribiendo una de ellas como la transformada inversa de su transformada de Laplace:

L {y1 (t)y2 (t)} = =

Z

∞

0− Z ∞ 0−

y1 (t)y2 (t)e−st dt   Z σ+j∞ 1 ζt Y1 (ζ)e dζ y2 (t)e−st dt 2πj σ−j∞

Intercambiando el orden de las integrales y usando la propiedad de corrimiento s tenemos que

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

410

L {y1 (t)y2 (t)} = =

1 2πj 1 2πj

Z Z

σ+j∞

Y1 (ζ) σ−j∞ σ+j∞ σ−j∞

Z

∞ 0−

 eζt y2 (t)e−st dt dζ

Y1 (ζ)Y2 (s − ζ)dζ 222

Teorema D.1. . [Teorema del Valor Final y Teorema del Valor Inicial] Existen dos resultados que permiten obtener relaciones entre comportamientos asint´ oticos de la funci´ on y(t) y su tranformada Y (s). Estos se conocen como el teorema del Valor Inicial y teorema del Valor Final. (i) l´ım+ y(t) = l´ım sY (s)

(D.30)

(ii) l´ım y(t) = l´ım sY (s)

(D.31)

t→0

t→∞

s→∞

s→0

Las ecuaciones anteriores son v´ alidas s´ olo en caso que ambos l´ımites existan. Demostraci´ on Las demostraciones se basan en resultados anteriores (i) Teorema del Valor Inicial. Supongamos primero que y(t) es continua en t = 0, i.e. y(0− ) = y(0+ ) = y = 0. Si usamos la ecuaci´ on (D.14) tenemos Z

∞ 0−

d y(t) −st e dt = sY (s) − y(0− ) dt

pero la integral del lado izquierdo puede acotarse y usar la ecuaci´ on (D.3) Z ∞ Z ∞ d y(t) −st d y(t) −st e dt ≤ dt e dt dt 0− 0− Z ∞ ≤ keσt e−st dt 0− ∞ e−(s−σ)t =k −s + σ 0− y dado que la integral existe en la regi´ on de convergencia <{s} ≥ σ Z ∞ k d y(t) −st e dt ≤ dt s−σ 0−

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE y si s → ∞ entonces

k s−σ

411

→ 0, de donde se obtiene l´ım sY (s) = l´ım y(t)

s→∞

t→0+

Ahora si la funci´ on y(t) no es continua, podemos definir   y˜(t) = y(t) − y(0+ ) − y(0− )

(D.32)

que si es continua. Si aplicamos transformada de Laplace a la derivada de y˜(t) Z

∞ 0−

d y˜(t) −st e dt = sY˜ (s) − y˜(0− ) dt

pero y˜(0− ) = y(0− ) es continua y aplicando Laplace a (D.32) Z

∞ 0−

h d y˜(t) −st y(0+ ) − y(0− ) i e dt = s Y (s) − − y(0− ) dt s = sY (s) − y(0+ )

y nuevamente el lado izquierdo se hace cero cuando s → ∞.

222

(ii) Teorema del Valor Final. Seg´ un la ecuaci´ on (D.14) Z

∞ 0−

d y(t) dt = sY (s) − y(0− ) dt

(D.33)

si tomamos l´ımite cuando s → 0 a ambos lados de la ecuaci´ on, l´ım

s→0

Z

∞ 0−

d y(t) −st e dt dt



= l´ım sY (s) − y(0− ) s→0




(D.34)

Podemos intercambiar l´ımite e integral suponiendo ciertas condiciones de regularidad: Z ∞
d y(t) (D.35) l´ım e−st dt = l´ım sY (s) − y(0− ) s→0 dt s→0 0− Z ∞ d y(t) dt = l´ım sY (s) − y(0− ) (D.36) s→0 dt 0− l´ım y(t) − y(0− ) = l´ım sY (s) − y(0− ) (D.37) t→∞

s→0

l´ım y(t) = l´ım sY (s)

t→∞

s→0

(D.38) 222

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

412

Ejemplo D.5. Debe tenerse precauci´ on de utilizar estos teoremas en caso solo en que ambos limites existan tanto en el tiempo como en la variable compleja s. Consideremos por ejemplo la transformada de Laplace de cos(ω0 t) L {cos(ω0 t)} =

s s2 + ω02

si utilizamos el teorema del valor final l´ım

s→0



s2

s2  =0 + ω02

cuando en realidad sabemos que l´ım cos(ω0 t) = @

t→∞

222 Ejemplo D.6. Una distinci´ on importante de hacer es que en el caso en que la respuesta de un sistema sea discontinua en t = 0 el teorema del Valor Inicial entrega el valor de la salida en t = 0+ el que puede no coincidir con la condici´ on inicial dada. Veamos esto en un ejemplo simple en que tenemos un circuito como el de la figura D.1 en que se conecta la bater´ıa de 1[V] en t = 0, y todas las condiciones iniciales son cero. R + vf (t)

C i(t)

Figura D.1: Circuito RC

Por ley de voltajes de Kirchoff tenemos vf (t) = vR (t) + vC (t) Z 1 t µ(t) = Ri(t) + i(τ )dτ C −∞ y si derivamos a ambos lados, d i(t) 1 d µ(t) =R + i(t) dt dt C

vc (t)

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

413

Si aplicamos transformada de Laplace, y consideramos la condici´ on inicial igual a cero s y despejando se obtiene

  1 1 = R sI(s) − i(0− ) + I(s) s C

I(s) =

1 sR +

1 C

por tanto si aplicamos el teorema del valor inicial i(0+ ) = l´ım sI(s) s→∞

= l´ım

s→∞

=

s sR +

1 C

1 R

que evidentemente es diferente a la corriente inicial t = 0− . Esto se comprueba observando que la transformada inversa de I(s) es discontinua en t = 0 i(t) = L−1 {I(s)}   1/R −1 =L s + 1/RC 1 = e−t/RC µ(t) R La transformada de Laplace es una herramienta muy u ´til en el estudio de sistemas din´amicos ya que pemite convertir las ecuaciones diferenciales, en el tiempo t, a ecuaciones algebraicas en la variable s.

Propiedades transformada de Laplace Tabla transformadas de Laplace Tabla transformadas de Laplace invers

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

414

f (t) l X

L {f (t)} l X

ai yi (t)

i=1

dk y(t) dtk

Z

Fi (s) = L {fi (t)}

ai Yi (s)

i=1

dy(t) dt

Z

Comentarios

sY (s) − y(0− ) k

s Y (s) −

t

Pk

i=1

y(τ )dτ 0−

s

k−i

1 Y (s) s

di−1 y(t) dti−1 t=0−

donde Y (s) = L {y(t)} donde Y (s) = L {y(t)}

dY (s) ds

ty(t)

−

tk y(t)

(−1)k

dk Y (s) dsk

y(t − τ )µ(t − τ )

e−sτ Y (s)

eat y(t)

Y (s − a)

k ∈ {1, 2, 3, . . .} µ(t) :

escal´on unitario

t 0−

y1 (τ )y2 (t − τ )dτ y1 (t)y2 (t) l´ım y(t)

t→∞

l´ım y(t)

t→0+

Y1 (s)Y2 (s) 1 2πj

Z

y1 (t) = y2 (t) = 0 ∀t < 0

σ+j∞

σ−j∞

Y1 (ζ)Y2 (s − ζ)dζ

l´ım sY (s)

s→0

Convoluci´on compleja y(∞) debe estar bien definida

l´ım sY (s)

s→∞

Cuadro D.1: Propiedades de la transformada de Laplace

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

f (t)

(t ≥ 0)

415

L {f (t)}

Regi´on de Convergencia

1

1 s

σ>0

δD (t)

1

|σ| < ∞

µ(t − τ )

e−sτ s

τ >0

t

1 s2

σ>0

tn

n ∈ Z+

n! sn+1

σ>0

eαt

α∈C

1 s−α

σ > <{α}

teαt

α∈C

1 (s − α)2

σ > <{α}

s + ωo2

σ>0

sen(ωo t)

ωo s2 + ωo2

σ>0

eαt sen(ωo t + β)

(sen β)s + ωo2 cos β − α sen β (s − α)2 + ωo2

σ > <{α}

cos(ωo t)

s2

t sen(ωo t)

2ωo s (s2 + ωo2 )2

σ>0

t cos(ωo t)

s2 − ωo2 (s2 + ωo2 )2

σ>0

µ(t) − µ(t − τ )

1 − e−sτ s

|σ| < ∞

Cuadro D.2: Transformadas de Laplace de algunas funciones simples

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

416 fracciones parciales polos

D.1.3.

Descomposici´ on en fracciones parciales

Las ecuaciones (D.1) y (D.2) dan una forma de describir se˜ nales y sistemas en el dominio de la variable s y poder volver al dominio del tiempo. Sin embargo, la ecuaci´on (D.2) pocas veces se usa para obtener la transformada de Laplace inversa de una funci´on. La transformada de Laplace de muchas de las se˜ nales que nos interesan son funciones racionales en s, por lo tanto, generalmente se usa la descomposici´on en fracciones parciales para obtener su transformada inversa, por comparaci´on con transformadas conocidas. Tomemos una funci´on racional en s, en que se conocen las ra´ıces del polinomio denominador, que llamaremos polos del sistema. En caso de no ser una funci´on estrictamente propia, siempre puede realizarse la divisi´on de los polinomios de forma de tener un polinomio en s m´as una funci´on estrictamente propia. Ejemplo D.7. Supongamos, para empezar, una funci´ on con un polinomio denominador de segundo orden As + B (D.39) + Cs + D No es simple determinar a priori la transformada inversa de esta expresi´ on, pero si se pueden determinar las ra´ıces del denominador. Supongamos que estas son s = −λ1 y s = −λ2 , con λ1 6= λ2 . El m´etodo de fracciones parciales pretende expresar una funci´ on racional como suma de funciones racionales m´ as simples, que en nuestro caso nos permite identificar desde una tabla su tranformada de Laplace inversa. H1 (s) =

Y1 (s) =

s2

As + B α β = + (s + λ1 )(s + λ2 ) s + λ1 s + λ2

(D.40)

Es decir, buscamos los coeficientes α y β. Para determinar estos lo primero que puede hacerse es realizar la suma al lado derecho de (D.40) e igualar el polinomio denominador resultante con el de la ecuaci´ on (D.39) As + B = (α + β)s + αλ2 + βλ1

(D.41)

Estos polinomios son iguales si y s´ olo si sus coeficientes son iguales: α+β λ2 α + λ1 βλ1

= A = B

(D.42)

Este sistema de ecuaciones puede resolverse obteniendo funalmente

α

=

β

=

Aλ1 − B λ1 − λ 2 −Aλ2 + B λ1 − λ 2

(D.43)

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

417

Finalmente teniendo estos valores de las constantes puede verse en la tabla D.2 la tranformada inversa   β α −1 + = αe−λ1 t + βe−λ2 t (D.44) y1 (t) = L s + λ1 s + λ2 222 En el ejemplo anterior al descomponer la funci´on racional (D.39) en dos fracciones (D.40), para encontrar las constantes se resolvi´o el sistema (D.42) de dos ecuaciones y dos inc´ognitas. Sin embargo, si el polinomio denominador es de orden N el m´etodo desemboca en resolver un sistema de ¡ N ecuaciones y N inc´ ognitas !. Es por esto que en el siguiente ejemplo se muestra un m´etodo m´as pr´actico. Ejemplo D.8. Consideremos el sistema 2s + 1 (D.45) + 3s2 − 4s Del polinomio denominador pueden calcularse los polos del sistema. Estos se ubican en s = 0, −4, 1, Por lo cual interesa descomponerlo en la forma Y2 (s) =

s3

2s + 1 α β γ = + + s3 + 3s2 − 4s s s+4 s−1

(D.46)

Si multiplicamos por s ambos lados de la ecuaci´ on βs γs 2s + 1 =α+ + s2 + 3s − 4 s+4 s−1 Y ahora si hacemos s = 0 se obtiene directamente la primera constante −

1 =α 4

Ahora para el segundo t´ermino de (D.46) podemos multiplicar por (s + 4) para reemplazar luego por la segunda ra´ız s = −4 " # γ(s + 4) α(s + 4) 2s + 1 = +β+ s(s − 1) s s−1 s=−4

β

s=−4

7 = − 20

De manera an´ aloga pueden encontrarse la tercera constante, multiplicando por (s − 1) y reemplazando s = 1 # " 2s + 1 α(s − 1) β(s − 1) + +γ = s(s + 4) s s+4 s=1

s=1

γ

=

3 5

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

418

Como puede verse este m´etodo de multiplicar por cada uno de los polinomios factores del denominador, para luego reemplazar la variable s por la respectiva ra´ız, permite llegar de manera mucho m´ as directa a los coeficientes de la descomposici´ on (D.46). Con ayuda de la tabla D.2 se obtiene finalmente  1 3  7 −4 − 20 −1 y2 (t) = L + + 5 s s+4 s−1 7 3 1 (D.47) = − − e−4t + et 4 20 5 222 Se deja al lector verificar que la funci´ on obtenida es la misma que se obtiene si se aplica el m´etodo del ejemplo D.7. Cabe destacar que en el ejemplo D.8 se ha aprovechado que al multiplicar por cada factor del denominador (s − λ) y reemplazar por s = −λ todos los t´erminos de la descomposici´on en fracciones parciales se hacen cero, excepto el 1 coeficiente correspondiente a s−λ . Sin embargo, en caso de existir ra´ıces repetidas, aparecer´a una indefinici´on al reeplazar (s = λ). Ejemplo D.9. En el caso de ra´ıces repetidas, la descomposici´ on en fracciones parciales no toma la forma (D.40), sino que se descompone como Y3 (s) =

α β As + B = + (s − λ)2 s − λ (s − λ)2

(D.48)

Note que en esta expresi´ on solamente el coeficiente β puede ser obtenido como en el ejemplo D.8, ¿ Porqu´e no puede obtenerse el coeficiente α ? ¿ C´ omo podr´ıa obtenerse ? Una manera simple de llegar a la forma (D.48) es forzando a que aparezca el t´ermino (s − λ) en el numerador, separar y luego simplificar como se muestra a continuacion Y3 (s)

= =

A(s − λ) + (Aλ + B) (s + λ)2 Aλ + B A + s − λ (s + λ)2

(D.49)

Con lo cual puede obtenerse de la tabla D.2 y3 (t) = Aeλt + (Aλ + B)teλt

(D.50) 222

Cuando las ra´ıces del polinomio denominador son n´ umeros complejos, el m´etodo visto en los ejemplos D.7,D.8 y D.9 puede aplicarse de igual forma. Los coeficientes que se obtienen en este caso son complejos, pero adem´as, dado que el polinomio denominador tiene coeficientes reales, las ra´ıces complejas aparecen siempre en pares complejos conjugados2 , los coeficientes de la expansi´on 2 Esto

´ como resultado del Teorema Fundamental del Algebra

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

419

en fracciones parciales tambi´en son complejos conjugados. Esto asegura que las funciones exponenciales complejas que se obtienen en (D.44) son iguales a sinusoidales multiplicadas por exponenciales reales. Se deja al lector como ejercicio esta demostraci´on. Ejemplo D.10. Cuando el denominador de una funci´ on racional de la forma (D.39) tiene ra´ıces complejas se suele escribir como Y4 (s) =

As + B ; s2 + 2ξωn s + ωn2

0≤ξ<1

(D.51)

Expresi´ on en que ξ se denomina factor de amortiguaci´ on. Dado que en la tabla D.2 tenemos s´ olo expresiones en que el denominador es una suma de cuadrados, podemos escribir la funci´ on de la forma Y4 (s) =

(s + ξωn

As + B p + (ωn 1 − ξ 2 )2

)2

(D.52)

Y en el numerador de esta expresi´ on puede constru´ırse el t´ermino (s + ξω n ) para luego separar en dos t´erminos A(s + ξωn ) + (−Aξωn + B) D(s) A(s + ξωn ) (−Aξωn + B) = + D(s) D(s)

Y4 (s) =

p A(s + ξωn ) (−Aξωn + B) (ωn 1 − ξ 2 ) p + = D(s) D(s) (ω0 1 − ξ 2 )

(D.53)

en que el denominador es

D(s) = (s + ξωn )2 + (ωn

p

1 − ξ 2 )2

(D.54)

Y aplicando transformada de Laplace inversa se llega a y4 (t) = Ae−ξωn t cos ωn

p

1 − ξ 2 t+

p (−Aξωn + B) −ξωn t p e sen ωn 1 − ξ 2 t (D.55) (ωn 1 − ξ 2 )

222

Con estos ejemplos y un poco de pr´actica no debiera resultar dif´ıcil obtener transformadas de Laplace inversa de funciones racionales. En realidad hoy en d´ıa cualquier software es capaz de obtener la expansi´on en fraccines parciales de una funci´on racional3 , e incluso transformadas inversas de Laplace, por lo tanto, estos c´alculos pueden dejarse para el computador cuando resulten demasiado engorrosos. Por ejemplo, si usamos Maple para obtener la transformada de Laplace inversa de la funci´on racional (D.39), tenemos las siguientes l´ıneas de comando que arrojan el resultado que se aprecia m´as adelante 3 Use

el comando residue de MATLAB

420

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

> H(s) := (A*s+B)/(s^2+C*s+D): h(t) := invlaplace(H(s),s,t);

√ √ 1 1 e− 2 Ct DA cos( 12 4 D − C 2 t) 1 e− 2 Ct C 3 B cos( 12 4 D − C 2 t) +4 h(t) = 2 (4 D − C 2 ) D 4 D − C2 √ √ 1 1 e− 2 Ct C 2 A cos( 12 4 D − C 2 t) e− 2 Ct AC sen( 12 4 D − C 2 t) √ − − 4 D − C2 4 D − C2 √ √ 1 1 Ct − − 21 Ct CB cos( 2 4 D − C 2 t) e 2 B sen( 12 4 D − C 2 t) e √ +2 −2 4 D − C2 4 D − C2 √ 1 1 e− 2 Ct CB cos( 21 4 D − C 2 t) + 2 D Es importante notar que Maple , en este caso, ha supuesto que el t´ermino 4D − C 2 es estrictamente positivo, es decir, que las ra´ıces del polinomio denominador son reales y distintas. En consecuencia, si bien el uso de software puede ayudar bastante en un desarrollo matem´atico, lo fundamental es entender e interpretar lo resultados que se obtienen.

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

421

Y (s)

y(t) = L−1 {Y (s)} ; t ≥ 0

1

δD (t)

e−τ s , τ > 0

δD (t − τ )

1 s

µ(t)

1 , n ∈ {2, 3, . . .} sn

tn−1 (n − 1)!

k s+λ

ke−λt

e−τ s ,τ > 0 s+λ

e−λ(t−τ ) µ(t − τ )

a1 s + a 0 (s + λ1 )(s + λ2 )

C1 e−λ1 t + C2 e−λ2 t C1 =

λ1 a1 −a0 λ1 −λ2

; C2 =

−λ2 a1 +a0 λ1 −λ2

a1 s + a 0 (s + λ)2

a1 e−λt + (a0 − λa1 )te−λt

a1 s + a 0 (s + λ)2 + ω02

h i e−λt C1 cos(ω0 t) + C2 sen(ω0 t) C1 = a 1 ; C 2 =

k s(s + λ) a1 s + a 0
s (s + λ)2 + ω02

λ2

a0 −a1 λ ω0


k 1 − e−λt a h  i −λt 1 − e C cos(ω t) + C sen(ω t) 1 0 2 0 2

a0 + ω0

C1 = a 0 ; C 2 =

a0 λ−a1 (λ2 +ω02 ) ω0

Cuadro D.3: Transformadas inversas de Laplace u ´tiles

422

´ APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

radio de convergencia

Ap´ endice E

La Transformaci´ on Zeta E.1.

Definici´ on de la Transformaci´ on

Dada una se˜ nal de tiempo discreto f [k], 0 ≤ k < ∞. La transformaci´on Zeta, y la transformaci´on Zeta inversa, est´an definidas por

Z {f [k]} = F (z) =

∞ X

(E.1)

k=0

1 2πj

Z −1 {F (z)} = f [k] =

f [k]z −k

I

f (z)z k−1 dz

(E.2)

Γ

La curva cerrada Γ sobre la que se calcula la transformada Zeta inversa (E.2) se elige de forma que para todos los valores de z sobre Γ, la sumatoria en (E.1) converge. Esto implica que Γ depende de f [k], tal como se determina, en forma constructiva, a continuaci´on. La transformaci´on Zeta es la contraparte discreta de la Transformaci´on de Laplace. Su justificaci´on surge de la necesidad de cubrir un rango m´as amplio de se˜ nales que el que puede ser tratado usando al transformaci´on de Fourier. En el caso de la transformaci´on Zeta la transici´on se puede describir como ∞ X

k=−∞

f [`]e−jθ` −→

∞ X f [`]

k=0

|z|`

e−jθ` ;

|z| > ρ

(E.3)

Donde podemos definir z = |z|ejθ , y donde ρ se denomina radio de convergencia de la transformaci´on. Observe que, por un lado, hemos reducido la sumatoria al intervalo k ∈ N y que por otro, hemos dividido la funci´on f [`] por |z|` . Una elecci´on adecuada de ρ puede hacer que en muchos casos en que la sumatoria de la izquierda no converge, la suma de la derecha s´ı lo haga. Por ejemplo, la se˜ nal f [k] = (1, 5)k µ[k] no tiene 423

´ ´ ZETA APENDICE E. LA TRANSFORMACION

424

transformada de Fourier, pero si tiene transformada Zeta, para ello, basta elegir |z| > 1, 5. Para obtener (E.2), que describe la f´ormula de la Transformaci´on Zeta inversa, podemos recurrir a la idea de ortogonalidad. Si ambos lados de la ecuaci´on (E.1) son multiplicados por z k = |z|k ejθk , y luego integramos en el intervalo [0; 2π], se obtiene Z

2π

F (z)z k dθ = 0

∞ X

f [k]|z|k−`

`=0

Z

2π

ej(k−`)θ dθ

(E.4)

0

Por otra parte, sabemos que las exponenciales peri´odicas 1, ejθ , ej2θ , ej3θ , . . . forman un conjunto de funciones ortogonales, ya que ( Z 2π 0 ∀k 6= ` jkθ j`θ j(`−k)θ he , e i = (E.5) e dθ = 2π k = ` 0 Con este resultado, (E.4) se simplifica a 1 f [k] = 2π

Z

2π

F (z)z k dθ

(E.6)

0

Finalmente podemos reemplazar la integral con respecto a θ por una integral respecto de z. Primero notamos que d |z|ejθ 1 dz = = jz =⇒ dθ = dz dθ dθ jz

(E.7)

Luego, reemplazando la expresi´on para dθ en (E.6) se llega a la ecuaci´on (E.2). Note que como θ recorre el intervalo [0; 2π], nuestra primera interpretaci´on de Γ en (E.2) es la de una circunferencia de radio mayor que ρ. La teor´ıa de variables complejas permite demostrar que es suficiente que Γ sea una curva cerrada que encierre completamente la circunferencia de radio mayor que ρ. Ilustremos el c´alculo de la transformada Zeta y su inversa mediante un par de ejemplos: Ejemplo E.1. Considere la se˜ nal y[k] = αk µ[k]

(E.8)

Entonces, su transformada Zeta est´ a dada por la serie geom´etrica: ∞ ∞ X  X 1 − (αz −1 )k (αz −1 )k = l´ım αk z −k = Z αk µ[k] = k→∞ 1 − (αz −1 ) k=0

(E.9)

k=0

Donde la expresi´ on al lado derecho converge si y s´ olo si |αz −1 | < 1 ⇐⇒ |z| > |α|

(E.10)

E.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZETA

425

Entonces, en esta regi´ on tenemos que  Z αk µ[k] =

E.2.

z 1 = 1 − αz −1 z−α

(E.11) 222

Propiedades de la Transformada Zeta

La transformada Zeta posee una serie de propiedades, las cuales se resumen en la Tabla E.1 en la p´agina 433. En esta secci´on se revisan algunas de ellas. Lema E.1. Linealidad Sean y1 [k] e y2 [k] dos secuencias discretas definidas para k ∈ [0, +∞), cuyas transformadas Zeta son Y1 (z) e Y2 (z), respectivamente. Entonces Z {αy1 [k] + βy2 [k]} = αY1 (z) + βY2 (z)

α, β ∈ C

(E.12)

Demostraci´ on Esta propiedad se demuestra sin problema ya que la transformada Zeta se define mediante la sumatoria (E.1) :

L {αy1 [k] + βy2 [k]} =

∞ X

(αy1 [k] + βy2 [k])z −k

k=0 ∞ X

=α

y1 [k]z −k + β

k=0

= αY1 (z) + βY2 (z)

∞ X

y2 [k]z −k

k=0

Se debe hacer notar que en este caso la regi´on de convergencia de la combinaci´on lineal de las transformadas es la intersecci´ on de la regi´on de convergencia de cada una por separado. 222 Lema E.2. Escalamiento en z. Sea y[k] una secuencia de tiempo discreto en que k ∈ (0, +∞), y sup´ ongamos que tenemos a ∈ C, entonces z   Z ak y[k] = Y (E.13) a

Demostraci´ on

Seg´ un la definici´on tenemos: ∞ ∞ z   z −k X  X Z ak y[k] = =Y ak y[k]z −k = y[k] a a k=0

k=0

(E.14)

´ ´ ZETA APENDICE E. LA TRANSFORMACION

426

En este caso la regi´on de convergencia de la nueva transformada tambi´en resulta escalada. 222 Ejemplo E.2. Consideremos la transformada Zeta calculada para la secuencia del ejemplo E.1, que establece y1 [k] = αk µ[k] ⇐⇒ Y1 (z) = Si ahora consideramos la secuencia

z z−α

; |α| < 1

y2 [k] = α−k y1 [k] = µ[k] Su transformada Zeta, aplicando (E.13) es  z  α−1 = Y1 (αz) αz = αz − α z = z−1

Y2 (z) = Y1

Que converge si y solo si |z| > 1. Ejemplo E.3. Consideremos ahora la secuencia que corresponde a una oscilaci´ on de amplitud creciente o decreciente dependiendo del par´ ametro r. y[k] = r k cos(θ0 k) Su transformada Zeta puede obtenerse escribiendo el coseno en t´erminos de exponenciales complejas  1  jθ0 k (re ) + (re−jθ0 )k ) 2 Usando el teorema, tenemos que y[k] =

  1   jθ0 k Z (re ) + Z (re−jθ0 )k ) 2  1 z z = + 2 z − rejθ0 z − re−jθ0   1 z(2z − 2r cos θ0 ) = 2 z 2 − z2r cos θ0 + r2 z(z − r cos θ0 ) = 2 z − z2r cos θ0 + r2

Y (z) =

E.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZETA

427

Lema E.3. Conjugaci´ on. Sea y[k] una secuencia discreta en que 0 ≤ k < ∞ cuya transformada Zeta es Y (z). Entonces, la transformada Zeta de la secuencia conjugada es Z {y ∗ [k]} = Y ∗ (z ∗ )

(E.15)

Demostraci´ on Directa de la definici´on (E.1)

Z {y ∗ [k]} = =

∞ X

y ∗ [k]z −k

k=0 ∞ X

y[k](z ∗ )−k

k=0

!∗

= {Y (z ∗ )}∗ 222

Lema E.4. Desplazamientos en k. Sea y[k] una secuencia discreta en que 0 ≤ k < ∞ cuya transformada Zeta es Y (z). Entonces, dado un entero k0 > 0, tenemos los siguientes resultados para la transformada Zeta de la secuencia y[k] desplazada Z {y[k − k0 ]} = Y (z)z −k0 + y[−1]z −k0 +1 + . . . + y[−k0 + 1]z −1 + y[−k0 ] (E.16)
k0 −1 k0 k0 + . . . + y[k0 − 1]z (E.17) Z {y[k + k0 ]} = Y (z)z − y[0]z + y[1]z Demostraci´ on Consideremos primero el caso en que la secuencia ha sido retrasada en k 0 , es decir, la ecuaci´on (E.16). Si usamos la definici´on de la transformada (E.1), y la escribimos por extensi´on, tenemos que

Z {y[k − k0 ]} =

∞ X

k=0

y[k − k0 ]z −k

= y[−k0 ] + y[−k0 + 1]z −1 + . . . + y[−1]z −k0 +1 +

∞ X

k=k0

y[k − k0 ]z −k

Si definimos en la sumatoria l = k − k0 , entonces tenemos que k = l + k0 . Por tanto si reordenamos al lado derecho de la u ´ltima igualdad tendremos que

´ ´ ZETA APENDICE E. LA TRANSFORMACION

428

Z {y[k − k0 ]} =

∞ X

y[l]z −(l+k0 ) + y[−1]z −k0 +1 + . . . + y[−k0 + 1]z −1 + y[−k0 ]

l=0

=z

∞ X

−k0

y[l]z

−l

l=0

!

+ y[−1]z −k0 +1 + . . . + y[−k0 + 1]z −1 + y[−k0 ]

Donde la ecuaci´on (E.16) queda demostrada. Consideremos ahora el caso en que la secuencia y[k] es adelantada en k 0 . Reemplazando en la definici´on tenemos que

Z {y[k + k0 ]} = =

∞ X

y[k + k0 ]z −k

k=0 ∞ X

y[l]z −(l−k0 )

l=k0

=z =

k0

∞ X l=0

"

∞ X l=0

y[l]z

−l

− y[0] + y[1]z

−1

+ . . . + y[k0 − 1]z

−k0 +1

y[l]z −l − y[0]z k0 + y[1]z k0 −1 + . . . + y[k0 − 1]z




#




Lo cual demuestra la segunda ecuaci´on del lema, (E.17). 222 Es importante observar que si la secuencia y[k], retrasada en k0 , adem´as se multiplica por un escal´on unitario, tambi´en desplazado en k0 , entonces tendremos que Z {y[k − k0 ]µ[k − k0 ]} = Y (z)z −k0

(E.18)

Ya que, en este caso, todas las condiciones iniciales ser´an iguales a cero. Ejemplo E.4. Determine la transformada Zeta inversa de Y (z) =

z −k0 z−α

Esta transformada se puede reescribir de manera de poder aplicar la ecuaci´ on (E.18) z z−α ⇒ y[k] = αk−(k0 +1) µ[k − (k0 + 1)] Y (z) = z −(k0 +1)

E.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZETA

429

Lema E.5. Derivaci´ on en z Sea y[k] una secuencia en tiempo discreto para k ∈ (0, +∞) , con transformada Zeta Z {y[k]} = Y (z), entonces Z {k · y[k]} = −z

d Y (z) dz

(E.19)

Demostraci´ on De la definici´on (E.1), tenemos que

Z {k · y[k]} = =

∞ X

ky[k]z −k

k=0 ∞ X

ky[k]z −k

k=0

= −z

∞ X

(−k)y[k]z −k−1

k=0

d Y (z) = −z dz 222 Ejemplo E.5. Consideremos el caso en que la secuencia discreta a la cual queremos calcularle su transformada Zeta es una rampa de tiempo discreto, es decir: y[k] = kµ[k] Seg´ un (E.19) su transformada ser´ a   d z Z {kµ[k]} = −z dz z − 1 (z − 1) − z = −z (z − 1)2 z = (z − 1)2 Lema E.6. Convoluci´ on Sean y1 [k] e y2 [k] dos secuencias discretas causales, es decir, iguales a cero para k < 0. Supongamos que sus transformadas Zeta son Y1 (z) e Y2 (z), respectivamente. Entonces la transformada de la convoluci´ on discreta entre y 1 [k] e y2 [k] es:

´ ´ ZETA APENDICE E. LA TRANSFORMACION

430

L {y1 [k] ∗ y2 [k]} = Y1 (z)Y2 (z)

(E.20)

En que y1 [k] ∗ y2 [k] =

k X l=0

y1 [l]y2 [k − l]

(E.21)

Demostraci´ on Si las se˜ nales son causales, es decir, su valor es cero ∀k < 0, entonces podemos reescribirlas y1 [k] = µ[k]y1 [k] y2 [k] = µ[k]y2 [k] Con esto, la convoluci´on es equivalente a y1 [k] ∗ y2 [k] =

∞ X

l=−∞

y1 [l]µ[l]y2 [k − l]µ[k − l]

Si reemplazamos esta forma en la definici´on (E.1), podemos cambiar el orden de las sumatorias:

L {y1 [k] ∗ y2 [k]} = =

∞ X

k=0 ∞ X

∞ X

l=−∞

!

y1 [l]µ[l]y2 [k − l]µ[k − l] z −k

y1 [l]µ[l]

l=−∞

X

k=0

y2 [k − l]µ[k − l]z

−k

!

Donde se puede aplicar la propiedad de corrimiento en k (E.18) y reducir la sumatoria eliminando el µ[l]:

L {y1 [k] ∗ y2 [k]} =

∞ X

y1 [l]µ[l]z −l Y2 (z)

l=−∞

= Y2 (z)

∞ X

y1 [l]z −l

l=0

= Y2 (z)Y1 (z) 222

E.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZETA

431

Teorema E.1 (Teorema del Valor Final y Teorema del Valor Inicial). Existen dos resultados que relacionan el comportamiento asint´ otico de la funci´ on y[k] y su tranformada Y (z). Estos se conocen como el teorema del Valor Inicial y teorema del Valor Final en tiempo discreto.

l´ım Y (z) = y[0]

(E.22)

l´ım (z − 1)Y (z) = l´ım y[k]

(E.23)

z→∞ z→1

k→∞

Las ecuaciones anteriores son v´ alidas s´ olo en el caso que los l´ımites existen, tanto en k como en z. Demostraci´ on La ecuaci´ on (E.22) se demuestra f´ acilmente observando la definici´ on de la transformada Zeta de la secuencia y[k] escrita por extensi´ on

Y (z) =

∞ X

y[k]z −k

k=0

= y[0] + y[1]z −1 + . . . + y[k]z −k + . . . La cual, si se lleva al l´ımite z → ∞ se reduce a un solo t´ermino l´ım Y (z) = l´ım y[0] + l´ım y[1]z −1 + . . . + l´ım y[k]z −k + . . . z→∞ z→∞ z→∞ | | {z } {z }

z→∞

0

0

= y[0]

Con lo que se demuestra el Teorema del Valor Inicial. Para demostrar la ecuaci´ on (E.23) consideremos la transformada Zeta de la secuencia adelantada en una unidad menos la secuencia original

Z {y[k + 1] − y[k]} = Z {y[k + 1]} − Z {y[k]} = zY (z) − zy[0] − Y (z) = (z − 1)Y (z) − zy[0] Por otro lado, si aplicamos la definici´ on tendremos que

Z {y[k + 1] − y[k]} = l´ım

k→∞

k X l=0

(y[l + 1] − y[l])z −l

´ ´ ZETA APENDICE E. LA TRANSFORMACION

432 Propiedades transformada Zeta Tabla transformada Zeta

Si igualamos ambas expresiones y hacemos posteriormente tender z → 1 , tendremos que ) ( k X l´ım {(z − 1)Y (z) − zy[0]} = l´ım l´ım (y[l + 1] − y[l])z −l z→1

z→1

l´ım {(z − 1)Y (z)} − y[0] = l´ım

z→1

k→∞

k→∞

k X l=0

l=0

(y[l + 1] − y[l])

l´ım {(z − 1)Y (z)} − y[0] = l´ım (y[k + 1]) − y[0]

z→1

k→∞

Donde el u ´ltimo paso al lado derecho se justifica ya que la sumatoria corresponde a una serie telesc´opica. De esta forma se demuestra el Teorema del Valor Final, o valor de equilibrio.

La transformada Zeta es muy u ´til en el estudio de sistemas din´amicos de tiempo discreto, ya que pemite convertir las ecuaciones recursivas, que definen al sistema en el tiempo k, a ecuaciones algebraicas en la variable z.

E.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZETA

y[k] l X

433

Y (z) = Z {y[k]}

ai yi [k]

i=1

l X

Comentarios

ai Yi (z)

i=1

αk y[k]

Y

z

α ∈ C, <{α} > 0

α

y ∗ [k]

Y ∗ (z ∗ )

Conjugaci´on

y[k − k0 ]

z −k0 Y (z) + y[−1]z −k0 +1 + . . . + y[−k0 ]

k0 ∈ Z +

y[k + k0 ]

z k0 Y (z) − (y[0]z k0 + . . . + y[k0 − 1]z)

k 0 ∈ Z+

y[k − k0 ]µ[k − k0 ]

z −k0 Y (z)

k 0 ∈ Z+

ky[k] k X l=0

−z

y1 [l]y2 [k − l] y[0]

Y1 (z)Y2 (z)

Convoluci´on en k

l´ım Y (z)

T. del Valor Inicial

l´ım (z − 1)Y (z)

T. del Valor Final

z→∞

l´ım y[k]

k→∞

dY (z) dz

z→1

Cuadro E.1: Propiedades de la transformada Zeta

´ ´ ZETA APENDICE E. LA TRANSFORMACION

434

y[k]

(k ≥ 0)

Y (z) = Z {y[k]}

Regi´on de Convergencia

δK [k]

1

∀z ∈ C

1

z z−1

|z| > 1

z (z − 1)2

k

z z−α

αk

z z − ejθ0

ejθ0 k cos(θ0 k) sen(θ0 k) αk cos(θ0 k) αk sen(θ0 k) cos(θ0 k + φ) (

αk 0

;0 ≤ k < N ;k ≥ N

|z| > 1 |z| > |α| |z| > 1

z(z − cos θ0 ) z 2 − 2z cos θ0 + 1

|z| > 1

z2

|z| > 1

z sen θ0 − 2z cos θ0 + 1

z(z − α cos θ0 ) z 2 − 2zα cos θ0 + α2

|z| > |α|

z2

|z| > |α|

zα sen θ0 − 2zα cos θ0 + α2

z 2 cos φ − z cos φ cos θ0 + sen φ sen θ0 z 2 − 2z cos θ0 + 1 1 − (αz −1 )N 1 − αz −1

Cuadro E.2: Transformada Zeta de algunas funciones simples

|z| > 1 |z| > 0

matrices|textbf matriz!definici´ on matriz!elementos

Ap´ endice F

Matrices. Definiciones y Propiedades 11 de septiembre de 2003

En este ap´endice se presenta una revisi´on de conceptos y propiedades relacionadas con matrices, como soporte para varios de los cap´ıtulos del texto y como referencia para t´opicos m´as avanzados. En varios de los resultados que se presentan se han omitido demostraciones y detalles excesivos, para los cuales se incluyen las referencias necesarias orientadas al lector m´as interesado.

F.1.

Conceptos B´ asicos

Intuitivamente se puede decir que una matriz no es m´as que un arreglo rectangular de filas y columnas, cuyos elementos pertenecen a un conjunto dado (n´ umeros reales, complejos, o bien funciones u otros objetos matem´aticos), en el cual se encuentra definida la suma y la multiplicaci´on. M´as formalmente: Definici´ on F.1. Una matriz es un arreglo de n · m objetos pertenecientes a un conjunto K, dispuestos rectangularmente en n filas y m columnas (n, m enteros positivos). Al conjunto de dichas matrices lo denotaremos por Mn×m (K), o simplemente por Kn×m . Definici´ on F.2. Los objetos dentro de dicho arreglo se denominan elementos de la matriz, y denotaremos por aij el elemento situado en la i-´esima fila y j-´esima columna. De esta forma tenemos que una matriz A = {aij } es de la forma: 435

436

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

matriz!cuadrada



 a11      a21  A = {aij } =    .  ..     an1

a11

...

a22

...

.. .

..

an2

...

.



a1m      a2m     ..  .      anm

(F.1)

en que todos los elementos de A pertenecen al conjunto K, es decir: aij ∈ K

∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀j ∈ {1, . . . , m}

(F.2)

Una matriz con igual n´ umero de filas y columnas se denomina cuadrada. Dos matrices se dicen iguales si y s´olo si son iguales elemento por elemento, es decir, dadas A, B ∈ Kn×m : A=B

⇐⇒

aij = bij

∀i, j

(F.3)

El conjunto K satisface por lo general las propiedades de cuerpo, y usualmente consideraremos el conjunto de los n´ umeros reales R o de los complejos C. Recordemos que: Lema F.1. Un conjunto K, junto a las operaciones suma y multiplicaci´on se denomina un cuerpo, si y s´ olo si, para todo a, b, c ∈ K: 1.- La suma (+) satisface las siguientes propiedades: (a) cerradura, es decir, a + b ∈ K

(b) asociatividad, es decir, a + (b + c) = (a + b) + c (c) conmutatividad, es decir, a + b = b + a (d) existe 0 ∈ K (cero o neutro aditivo) tal que a + 0 = 0 + a = a

(e) para cada a ∈ K existe el inverso aditivo (−a) ∈ K tal que a + (−a) = −a + a = 0

2.- La multiplicaci´on (·) satisface las siguientes propiedades: (a) cerradura, es decir, a · b ∈ K

(b) asociatividad, es decir, a · (b · c) = (a · b) · c

(c) existe 1 ∈ K (uno, identidad o neutro multiplicativo) tal que a·1=1·a=a

(d) existe 0 ∈ K tal que a · 0 = 0 · a = 0 (propiedad absorbente del cero).

´ F.1. CONCEPTOS BASICOS

437

(e) para cada a ∈ K existe el inverso multiplicativo ∃a−1 ∈ K tal que a · a−1 = a−1 · a = 1

(f ) conmutatividad, es decir, a · b = b · a

(g) distributividad, es decir, a · (b + c) = a · b + a · c

Vectores Una matriz formada por n filas y 1 columna se denomina vector columna. En base a esta definici´on podemos afirmar que una matriz de n×m est´a formada por m vectores columna, cada uno con n elementos. Una matriz formada por 1 fila y m columnas se denomina vector fila. An´alogamente, en base a esta definici´on podemos decir que una matriz de n × m est´a formada por n vectores fila, cada uno con m elementos. En general, cuando se defina un vector de dimensi´ on p nos referiremos a un vector columna formado por p elementos.

Traza de una matriz Definici´ on F.3. Dada A = {aij } ∈ Kn×n , la traza de A, que denotamos por tr(A), es la suma de los elementos diagonales de A, es decir tr(A) =

n X

aii

(F.4)

i=1

Matrices especiales Definici´ on F.4. Dada A = {aij } ∈ Kn×m , la matriz traspuesta de A, que denotamos por AT , es la que resulta de intercambiar sus filas con sus columnas, es decir, A = {aij } ⇐⇒ AT = {aji } (F.5) En base a la definici´on, diremos que una matriz A es sim´ etrica si y s´olo si AT = A, es decir, si y s´olo si la matriz A es igual a su traspuesta. Naturalmente para satisfacer esta condici´on la matriz debe ser cuadrada. Para el caso de matrices con coeficientes o elementos complejos (es decir, en C) resulta m´as com´ un hablar de matrices hermitianas: Definici´ on F.5. Dada A = {aij } ∈ Cn×m , se define la matriz hermitiana de A, que denotamos por AH , como la matriz conjugada traspuesta de A, donde la conjugaci´ on se aplica a cada elemento: AH = (A∗ )T = (AT )∗ = {a∗ji }

(F.6)

Una consecuencia natural de esta definici´on es que toda matriz real y sim´etrica es hermitiana. Para matrices cuadradas, tenemos las siguientes definiciones:

vector!columna vector!fila matriz!traza traza matriz!traspuesta matriz!sim´ etrica matriz!hermitiana

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

438 matriz!diagonal matriz!triangular superior matriz!triangular inferior matriz!identidad determinante matriz!determinante

Definici´ on F.6. Dada una matriz A = {aij } ∈ Kn×n , diremos que:

la matriz A es diagonal si y s´ olo si aij = 0 ∀i 6= j , es decir, todos sus elementos fuera de la diagonal principal de la matriz son cero. la matriz A es triangular superior si y s´ olo si aij = 0 ∀i > j, es decir, todos los elementos bajo la diagonal principal son cero. la matriz A es triangular inferior si y solo si AT es triangular superior.

Dentro del conjunto de matrices diagonales, la matriz identidad es de especial inter´es y su denominaci´on se justifica en base a las propiedades del producto matricial definido mas adelante. Esta se define como: Definici´ on F.7. La matriz identidad de dimensi´ on n, que denotamos por I n , se define como una matriz diagonal, cuyos elementos no nulos son iguales a 1, es decir:   1     0  In =    .. .     0

F.2.

0

...

1

...

.. .

..

0

...

.

0     0   ∈ Kn×n  ..  .     1

(F.7)

Determinante de una matriz

A menudo en matem´aticas resulta u ´til representar las propiedades de un objeto mediante un s´olo n´ umero. Es as´ı como para matrices cuadradas se define el determinante de la matriz. Este es un escalar asociado a una matriz cuadrada y que, como veremos m´as adelante, tiene directa relaci´on con su rango, la existencia de su inversa, y con el c´alculo de los autovalores. Definici´ on F.8. Dada la matriz A = {aij } ∈ Kn×n , su determinante es un escalar asociado a la matriz que se denota por: |A| = det A

(F.8)

cuya definici´ on constructiva se muestra a continuaci´ on.

Expansi´ on de Laplace1 El c´alculo del determinante puede ser definido por inducci´on. Sin embargo, previo a su definici´on presentamos dos conceptos previos necesarios: 1 Roger A. Horn & Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1990, p´ ag. 7

F.2. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

439

Definici´ on F.9. Dada la matriz A = {aij } ∈ Kn×n : se define Aij ∈ K(n−1)×(n−1) como la ij-´esima menor de A. Esta es una matriz que resulta de eliminar la i-´esima fila y la j-´esima columna de la matriz A. se define el escalar: Cij = (−1)i+j det Aij

(F.9)

como el ij-´esimo cofactor de la matriz A De esta forma, el determinante de A se define en t´erminos del determinante de sus menores: det A =

n X

(−1)i+j aij det Aij =

n X

(−1)i+j aij det Aij

(F.10)

i=1

j=1

o bien, mediante desarrollo por cofactores: det(A) =

n X j=1

aij Cij =

n X

aij Cij

(F.11)

i=1

De esta forma, al definir el determinante para matrices formadas por un u ´nico elemento, queda definido el c´alculo del determinante para todas las matrices de dimensiones mayores: "

#

det a11 = a11 = a11 a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 a21 a22 a11 a12 a13 a21 a22 a23 − a12 a21 a22 a23 = a11 a31 a32 a33 a31 a32 a33 .. .

(F.12)

(F.13)

a21 a23 + a13 a31 a33

a22 a32

(F.14)

(F.15)

menor matriz!menor cofactor matriz!cofactor cofactor!desarrollo

440 singular matriz!singular matriz!no singular matriz!rango rango rango!columna rango!columna matriz!rango rango rango completo

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Existe una serie de reglas que pueden facilitar el c´alculo del determinante de una matriz que est´an m´as all´a del objetivo de este ap´endice. Sin embargo, una observaci´on u ´til para reducir el n´ umero de c´alculos necesarios para obtener el determinante de una matriz es elegir la fila (o columna) que contenga el mayor n´ umero de ceros, para hacer el desarrollo en (F.10). Podemos adem´as hacer las siguientes observaciones: Si la matriz A tiene una fila o una columna formada s´olo por ceros, entonces det(A) = 0. Si det(A) = 0 se dice que la matriz es singular. En caso contrario, se dice que la matriz es no singular. Si la matriz A de n × n es diagonal o triangular (superior o inferior), entonces det(A) = a11 a22 . . . ann

Rango de una matriz En la definici´on que sigue se hace menci´on a los conceptos de combinaci´on lineal e independencia lineal en espacios vectoriales, que el lector interesado puede revisar en el Ap´endice B. Definici´ on F.10. Dada la matriz A = {aij } ∈ Kn×m : Se define el rango columna de una matriz A al m´ aximo n´ umero de columnas linealmente independientes. Se define el rango fila de una matriz A al m´ aximo n´ umero de filas linealmente independientes. Se define el rango de una matriz A al m´ınimo entre su rango fila y su rango columna. Finalmente, se dice que A es de rango completo si su rango es igual al m´ınimo entre su n´ umero de filas o de columnas. Ejemplo F.1. La matriz: 

1     A = 2     3

2

0

−3

1

−1

1



4     −1     3

(F.16)

tiene rango fila igual a 2, pues la tercera fila es la suma de las dos primeras, mientras que tiene rango columna igual a 3, pues las 3 columnas a la izquierda son linealmente independientes, y en R3 estas conforman una base, es decir, cualquier otro vector se puede escribir como combinaci´ on lineal de elementos de esta base. Su rango, por ende, es igual a 2, y no es de rango completo.

F.3. OPERACIONES CON MATRICES

441 222

Una matriz cuadrada es de rango completo si y s´olo si es no singular.

F.3.

Operaciones con matrices

Suma de matrices La suma de dos matrices se define como la suma elemento por elemento. Naturalmente, la condici´on para que esta suma tenga sentido es que ambas tengan las mismas dimensiones. Bajo esta condici´on: C=A+B=

⇐⇒

cij = aij + bij

(F.17)

donde A = aij , B = bij y C = cij pertenecen a Mn×m (K). La suma de matrices hereda sus propiedades directamente de las propiedades de la suma en el conjunto K al que pertenecen sus elementos, en el Lema F.1. Es decir, se cumple la cerradura, asociatividad, conmutatividad, existencia del neutro y del inverso aditivo. En particular, se define la matriz cero (o neutro aditivo) 0n×m como la matriz cuyos elementos son todos 0. De esta forma A + 0 = A. Asimismo, la matriz inversa aditiva de A, que se denota por −A, esta formada por el inverso aditivo de cada elemento de A. Esto es −A = {−aij } y de esta forma −A + A = 0. Nota: En Matlab es posible sumar un escalar c a cada elemento de una matriz A ∈ Cn×n , haciendo abuso de notaci´ on, con la expresi´ on >> A+c cuyo resultado es una matriz en la cual el elemento ij-´esimo es igual a a ij +c

Producto matriz por escalar Definici´ on F.11. Dado un escalar α ∈ K y una matriz A ∈ Kn×m , entonces el producto matriz por escalar se define como αA = α{aij } = {αaij } ∈ Kn×m

(F.18)

es decir, es la matriz que se obtiene de multiplicar cada elemento de la matriz A por el escalar α Asi como la suma de matrices hereda sus propiedades de las propiedades de la suma en el cuerpo K, el producto por escalar las hereda de la multiplicaci´on. De esta forma, el conjunto Mn×m (K) con el producto por escalar satisface las propiedades de un espacio vectorial (ver Ap´endice . . . ). Es m´as, siempre es posible establecer un isomorfismo entre Mn×m (K) y un espacio vectorial de dimensi´on nm.

matrices!suma espacio!vectorial

442 producto!matrices matriz!producto

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Lema F.2. Propiedades del producto matriz por escalar Dados los escalares α, β ∈ K y las matrices A, B ∈ Kn×m , se cumplen las siguientes propiedades: (a) cerradura, es decir, αA ∈ Kn×m (b) asociatividad, es decir, (αβ)A = α(βA) (c) conmutatividad, es decir, αA = Aα (d) distributividad escalar, es decir, (α + β)A = αA + βA (e) distributividad matricial, es decir, α(A + B) = αA + αB (f ) Existe el elemento neutro 1 ∈ K , tal que 1 A = A

Producto matricial El producto de matrices puede entenderse como una extensi´on del producto punto o producto interno usual dos vectores v, w ∈ Kn , definido como: hv, wi = v · w =

n X

vk∗ wk

(F.19)

k=1

De esta forma, tenemos la siguiente definici´on: Definici´ on F.12. Dadas las matrices A ∈ Kn×p y B ∈ Kp×m , el producto matricial entre A y B se define como la matriz C ∈ Kn×m tal que: AB = {aik }{bkj } = {cij } = C

(F.20)

en que cada elemento de C es: cij =

p X

k=1

aik bkj = hai∗ , b∗j i

(F.21)

donde ai∗ es la i-´esima fila de A y b∗j denota la j-´esima columna de B. Note que: la condici´on para la existencia del producto matricial es que el n´ umero de columnas de A sea igual al n´ umero de filas de B. usando la ecuaci´on (F.19), podemos ver que el elemento ij-´esimo de C es el producto punto entre el i-´esimo vector fila de A y el j-´esimo vector columna de B el producto punto puede expresarse como producto matricial, es decir, en la ecuacion (F.19): hv, wi = (v∗ )T w (F.22)

F.4. INVERSA DE UNA MATRIZ

443

Lema F.3. Propiedades del producto matricial Dadas las matrices A, B y C , de dimensiones adecuadas, se cumplen las siguientes propiedades: (a) asociatividad matricial, es decir, (AB)C = A(BC) (b) asociatividad escalar, es decir, α(AB) = (αA)B (c) distributividad, es decir, (A + B)C = AC + BC (d) En general, no existe conmutatividad, es decir, AB 6= BA (e) Dada la matriz A ∈ Kn×m , existe la matriz identidad In y la matriz identidad Im , tal que In A = A = AIm (f ) Si AB = C , entonces (det A)(det B) = det C

F.4.

Inversa de una matriz

Revisando las propiedades del producto matricial en el Lema F.3, podemos apreciar que no se menciona nada sobre la existencia de un inverso multiplicativo para una matriz A dada. De hecho, en esta secci´on veremos que no toda matriz posee un inverso multiplicativo, el que s´olo existe bajo ciertas condiciones. Definici´ on F.13. Dada una matriz A, se define la matriz inversa de A, que denotamos por A−1 , como la matriz (si es que existe) que satisface: AA−1 = A−1 A = I

(F.23)

donde I representa la matriz identidad. Si esta matriz A−1 existe, diremos que la matriz A es invertible o no singular. Note que: no todas las matrices poseen una inversa, de la ecuaci´on (F.23), se deduce que la matriz A y su inversa A−1 , deben ser cuadradas y de la misma dimensi´on, la inversa de A, si existe, es u ´ nica. para matrices singulares y/o no cuadradas es posible definir su inversa por la derecha, por la izquierda o su inversa generalizada. 2 En el siguiente lema se establecen condiciones equivalentes que garantizan la invertibilidad de una matriz A dada, en diferentes contextos: 2 http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix

matriz!inversa matriz!no singular inversa de una matriz inversa generalizada matriz!inversa generalizada

444 matriz!adjunta adjunta de una matriz matriz!particionada

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Lema F.4. Existencia de la inversa de A Dada una matriz A ∈ Kn×n , entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) A es no singular. (b) A−1 existe. (c) rango A = n. (d) las filas de A son linealmente independientes. (e) las columnas de A son linealmente independientes. (f ) det A 6= 0. El c´alculo de la inversa de una matriz puede definirse en t´erminos de su matriz adjunta: Definici´ on F.14. Dada una matriz A ∈ Kn , se define su matriz adjunta como la traspuesta de la matriz de sus cofactores, es decir: Adj A = {Cij }T

(F.24)

en que Cij son los definidos en la ecuaci´ on (F.9) Entonces, tenemos el siguiente resultado: Lema F.5. Inversa de una matriz Dada una matriz A ∈ Kn no singular, entonces su inversa A−1 es: A−1 =

1 Adj A det A

(F.25)

Demostraci´ on: Usando la expansi´ on de Laplace (F.10), entonces se puede probar que: (Adj A)A = A (Adj A) = (det A) I

(F.26) 222

Matrices particionadas Toda matriz puede ser particionada de forma tal que se expresa como una matriz de macro elementos, cada uno de ellos es en si mismo otra matriz. Se dice, en estos casos que la matriz est´a definida por bloques. Considere una matriz A ∈ Cn×m , entonces:

F.4. INVERSA DE UNA MATRIZ

445



A11     A21  A = {aij } =    .  ..     Ap1

A12

A13

···

A22

A23

···

.. .

.. .

...

Ap2

Ap3

···

donde Aij ∈ Cni ×mj y adem´as se cumple que p X

q X

ni = n;

A1q      A2q     ..  .      Apq

mj = m

(F.27)

(F.28)

j=1

i=1

Por ejemplo, si





−1     0  A=   −1     2

2

0

3

−2

−1

2

2

−2



−7     5     3     4

(F.29)

Entonces, una partici´on posible es dividir la matriz A en un arreglo de 2 × 2 bloques, donde 

A11

−1     = 0     −1

2 3 −1







−7 0       "       ; A12 =  5  ; A21 = 2 −2             3 2

2

#

−2 ; A22 = 4 (F.30)

Lema de Inversi´ on Matricial En esta seccion presentamos un importante resultado que resulta u ´til en aquellos casos que se requiere manipular (calcular determinantes o inversas) matrices de grandes dimensiones, o bien, matrices definidas por bloques. Para esto consideramos una matriz cuadrada, definida por bloques, de la forma:

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

446 inversion matricial matriz!particionada



A11  A=   A21

en que: A11 ∈ Cp×p

;

A12 ∈ Cp×q



A12    ∈ C(p+q)×(p+q)   A22 ;

A21 ∈ Cq×p

;

(F.31)

A22 ∈ Cq×q

(F.32)

De esta forma, si se definen la siguiente matrices auxiliares: ∆11 = A11 − A12 A−1 22 A21 ∆22 = A22 −

(F.33)

A21 A−1 11 A12

(F.34)

entonces, tenemos el siguiente resultado preliminar: Lema F.6 (Inversa de una matriz particionada). Considere las ecuaciones (F.31)– (F.34). Si las matrices A11 , A2 , ∆11 y ∆22 son no singulares, entonces la matriz A es no singular y su inversa es: 

o bien:

A−1 = 



A−1 = 

−1 −1 −1 A−1 11 + A11 A12 ∆22 A21 A11 −1 −∆−1 22 A21 A11

∆−1 11 −1 −A−1 22 A21 ∆11

−1 −A−1 11 A12 ∆22

∆−1 22

−1 −∆−1 11 A12 A22

−1 −1 −1 A−1 22 + A22 A21 ∆11 A12 A22



(F.35)



(F.36)





En particular, dadas submatrices como las que forman la matriz (F.31), entonces: −1 −1 −1 −1 ∆−1 11 = A11 + A11 A12 ∆22 A21 A11

(F.37)

Ademas, dadas submatrices como las que forman la matriz (F.31), se tiene que: −1 −1 −1 A−1 11 A12 ∆22 = ∆11 A12 A22

(F.38)

Finalmente, el determinante de la matriz definida en (F.31), se puede calcular como: det(A) = det(A11 ) · det(∆22 )

(F.39)

F.4. INVERSA DE UNA MATRIZ

447

o bien: det(A) = det(A22 ) · det(∆11 )

(F.40)

Demostraci´ on: La matriz A puede reescribirse en la forma: 

A=

y de la forma:



A=

Ip

0

A21 A11 −1

Iq

Ip

A12 A22 −1

0

Iq

 

A11

A12

0

∆22

∆11

0

A21

A22

 



(F.41)



(F.42)





Calculando los determinantes de las matrices en estas ecuaciones, se prueba (F.39) y (F.40). Se debe observar que esto asegura que det(A) 6= 0, es decir, A es no singular. Ahora, se observa que:  y, adem´ as:



A11

A12

0

∆22



−1 

Ip A21 A11 −1



=

−A11 −1 A12 (∆22 )−1

A11 −1

0 Iq

(∆22 )−1

0

−1



Ip = −A21 A11 −1

0 Iq



 

(F.43)

(F.44)

Estas dos ecuaciones se pueden utilizar cuando se aplica inversi´ on matricial en la ecuaci´ on (F.41): A−1 =



A11 0

A12 ∆22

−1 

Ip A21 A11 −1

0 Iq

−1

(F.45)

Reemplazando y haciendo el producto matricial, se prueba la ecuaci´ on (F.35). La ecuaci´ on (F.36) se prueba de manera an´ aloga. Finalmente, la ecuaci´ on (F.37) se obtiene de igualar los bloques superiores izquierdos en las matrices (F.35) y (F.36), mientras que la ecuaci´ on (F.38) de forma an´ aloga, pero igualando los bloques superiores derechos. 222 A partir de las ecuaciones en el lema anterior, se obtienen el siguiente lema que, considerando algunos casos particulares para la matriz A en (F.31), representa resultados m´as simples, tambi´en de amplia utilidad.

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

448 autovalores|textbf autovectores|textbf valores caracter´ ısticos|textbf vectores caracter´ ısticos|textbf matriz!autovalores autovalores valores propios

Lema F.7 (Lema de inversi´ on matricial). Dadas las matrices: B ∈ Km×n

;

C ∈ Kn×n

D ∈ Kn×m

;

(F.46)

entonces se tienen las siguientes relaciones: D(Im − BD)−1 = (In − DB)−1 D D)

−1

(C + DB)

−1

(Im + BC

−1

= Im − B(C − DB)

Demostracion:

−C

D

−1

D(In + BC
det Im − BD = det In − DB


=C

−1

(F.47) −1

(F.48) −1

D)

−1

BC

−1

(F.49) (F.50)

La ecuacion (F.47), es directa de (F.38), haciendo A11 = Im , A12 = B, A21 = D y A22 = In . La ecuacion (F.48), se obtiene a partir de (F.37), haciendo A11 = Im , A12 = −B, A21 = D y A22 = C. La ecuacion (F.49), tambien se obtiene a partir de (F.37), pero haciendo A11 = C, A12 = −D, A21 = B y A22 = Im . Finalmente, (F.50) se obtiene a partir de las ecuaciones (F.39) y (F.40), pero considerando A11 = In , A12 = D, A21 = B y A22 = Im . 222

F.5.

Autovalores y autovectores

En diferentes problemas, tanto en matem´atica como en ingenier´ıa, dada una matriz A ∈ Kn×n se tiene la siguiente ecuaci´on: A · v = λv

; v 6= 0

(F.51) n

en que interesa encontrar el (o los) vector(es) v ∈ K y escalar(es) λ ∈ K que permiten reemplazar el producto matriz-vector al lado izquierdo de (F.51), por un producto escalar-vector (lado derecho). Naturalmente, nos interesa encontrar soluciones no triviales de la ecuaci´on (F.51). Definici´ on F.15. Valores y vectores propios Dada una matriz A ∈ Kn×n y la ecuaci´ on (F.51), entonces: los escalares {λi } que satisfacen esta ecuaci´ on se denominan valores propios, autovalores o eigenvalores, y los correspondientes vectores {vi } se denominan vectores propios, autovectores o eigenvectores

F.5. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

449

Las soluciones de la ecuaci´on (F.51) vienen dadas por el siguiente lema: Lema F.8. Ecuaci´ on caracter´ıstica Cada autovalor λ de la matriz A en (F.51) satisface la ecuaci´ on caracter´ıstica: det(λI − A) = 0

(F.52)

El lado izquierdo de esta ecuaci´ on es el polinomio caracter´ıstico, p(λ), de orden n, y posee n raices complejas. Demostraci´ on: La ecuaci´on (F.51) puede reescribirse como: λv − Av = 0 (λI − A) v = 0

(F.53) (F.54)

Entonces el resultado se prueba por contradicci´on: si la ecuaci´on (F.52) no se cumple, entonces la matriz (λI − A) es no singular, y al multiplicar por su inversa al lado izquierdo se tiene: (λI − A)−1 (λI − A)v = v = 0

lo que contradice la condici´on v 6= 0

(F.55) 222

Definici´ on F.16. Espectro y radio espectral El conjunto de n autovalores de una matriz A ∈ Kn×n se denomina el espectro de A, y se denota por: σ(A) = {λ1 , λ2 , . . . , λn }

(F.56)

Asimismo, se define el radio espectral de A como: ρ(A) = m´ax{|λ| : λ ∈ σ(A)}

(F.57)

Este justamente corresponde al radio del disco m´ as peque˜ no centrado en el origen del plano complejo C que incluye todos los autovalores de A. Cada uno de los valores propios de A puede usarse en la ecuaci´on (F.51) para determinar su vector propio asociado resolviendo para v. Este sistema posee infinitas soluciones dado que justamente el autovalor λi se ha obtenido forzando su determinante a ser cero (F.52). Sin embargo, basta elegir uno de estos vectores como soluci´on ya que el lector puede verificar que si vi es un vector propio asociado al autovalor λi tambi´en lo es el vector αvi , para cualquier escalar α. Para disminuir la multiplicidad de soluciones en el c´alculo de autovectores, se normalizan las soluciones de modo que su norma euclidiana sea 1, es decir ||vi || = 1. Cuando los autovalores son distintos entre s´ı, los autovectores son linealmente independientes. Sin embargo, cuando hay autovalores repetidos, puede ocurrir que los autovectores asociados sean linealmente dependientes.

polinomio caracter´ ıstico espectro radio espectral

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

450 matrices!similares similaridad!transformaci´ on de congruencia

Diagonalizaci´ on Cuando los autovectores vi de la matriz A que satisfacen la ecuaci´on (F.51), son linealmente independientes, pueden agruparse en una matriz T no singular: # " T = v1

v2

...

(F.58)

vn

Lema F.9. Diagonalizaci´ on Dada una matriz A ∈ Kn×n , sin autovalores repetidos, y la matriz T definida en (F.58), formada por sus autovectores, se tiene que: T−1 AT = P

(F.59)

en que P es la matriz diagonal formada por los autovalores de A, es decir: P = diag{λ1 , λ2 , . . . , λn }

(F.60)

Demostraci´ on Usando la ecuaci´on (F.58), podemos escribir: "

AT = A v 1 " = Av1 "

= λ 1 v1

v2 Av2 λ 2 v2

...

vn

... ...

#

Avn

(F.61) #

λ n vn

#

= T diag{λ1 , λ2 , . . . , λn }

(F.62) (F.63) (F.64)

Y el resultado se obtiene multiplicando por la izquierda por la inversa de la matriz no singular T. 222 Definici´ on F.17. Cuando dos matrices A y P satisfacen la ecuaci´ on (F.59), se denominan matrices similares, y la transformacion A → T−1 AT se denomina transformacion de similaridad. Analogamente a la definicion F.17 de similaridad entre matrices, se define tambien el concepto de congruencia: Definici´ on F.18. Dos matrices A, B ∈ Kn×n se dicen: H

congruentes si y s´ olo si existe una matriz no singular S tal que B = SH AS, y

F.5. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

451

T

congruentes si y s´ olo si existe una matriz no singular S tal que B = ST AS. Naturalmente estos conceptos son equivalentes si S es una matriz real.

Forma de Jordan En el caso que una matriz A posea autovalores repetidos, es decir, con multiplicidad, pueden darse dos situaciones diferentes respecto a la digonalizaci´on. Supongamos que un autovalor λi con multiplicidad ni ≥ 2, entonces: 1.

el autovalor λi da origen a ni autovectores linealmente independientes en la ecuaci´on (F.51), o bien

2.

el autovalor λi da origen a menos de ni autovectores linealmente independientes

En el primer caso, no hay problema en construir la matriz T en (F.58), y por tanto se obtiene la matriz diagonal P en (F.59), sin problema alguno. Sin embargo, en el segundo caso, se pueden obtener construir los vectores (l.i.) necesarios para la matriz T a partir de la siguiente cadena de vectores propios:

(A − λi I)vi,0 = 0 (A − λi I)vi,1 = vi,0

(F.65)

(A − λi I)vi,2 = vi,1 .. .

Note que, en estricto rigor, s´olo vi,0 es un autovector; en cambio vi,j j = 1, 2, . . . , k no lo son y reciben el nombre de autovectores generalizados. Si suponemos que el u ´nico valor propio repetido es λi con multiplicidad k, pero con un solo vector propio obtenido en (F.51) y el resto mediante las ecuaciones (F.65), entonces la matriz T definida en (F.58) se construye ahora como:   T = v1 . . . vi,k vi,k−1 . . . vi,0 . . . vn {z } |

(F.66)

asociados a λi

y la matriz P en (F.59) ya no es diagonal, sino que tiene la forma de Jordan:

multiplicidad!autovalores autovectores!generalizados Jordan!forma de matriz!forma de Jordan

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

452 autovectores!generalizados



P = JA

λ1     0     =    .  ..     0

0 ..

... . Ji ..

...

.

0



0    ..  .           0     λn

(F.67)

en que la matriz Ji ∈ Kk×k es un bloque sobre la diagonal principal de JA de la forma:   λi     1  Ji =         0

0

...

0         ..  .     λi

λi ..

.

..

.

1

(F.68)

Note que, en estricto rigor, s´olo vi,0 es un autovector; en cambio vi,j , j = 1, 2, . . . , k, no lo son y reciben el nombre de autovectores generalizados. Note adem´as que todo bloque de Jordan, Ji , es una matriz triangular y por lo tanto cumple con tr(Ji ) = ni λi ;

det(Ji ) = λi ni

(F.69)

a∈R

(F.70)

Ejemplo F.2. Considere la matriz 3 :   2 0     A = a 2     1 1

0     0     −1

;

Sus autovalores se obtiene f´ acilmente de la ecuaci´ on caracter´ıstica (F.52): 3 Hoffman

& Kunze, Linear Algebra 2ed. 1971, Prentice-Hall, p.247

F.5. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

2

det(λI − A) = (λ − 2) (λ + 1) = 0

⇒

(

453

λ1 = 2 λ2 = −1

(multiplicidad 2)

(F.71)

Caso 1 : a = 0 Usando la ecuaci´ on (F.51) se obtienen los autovectores:



0     (λ1 I − A)v1 =  0     −1 

−3     (λ2 I − A)v2 =  0     −1

0 0 −1 0







  0  α1         =0 0   β1        γ1 3  

  0  α2         =0 −3 0   β2        −1 0 γ2

⇒

     v1 =     

α1 β1

(α1 + β1 )/3  

⇒

0         v2 =  0          γ2



      (F.72)    

(F.73)

Es claro que para obtener un autovector v2 asociado a λ2 = −1 basta escoger cualquier valor para γ2 6= 0, por ejemplo γ2 = 1. Sin embargo, la expresi´ on para v1 nos dice que existen dos grados de libertad, α1 y β1 , es decir, es posible obtener 2 vectores linealmente independientes:



     v1 =     

α1



 

 

 3 0             α   β   α β1  1   1   1 v1,α + v1,β =  +  = β1  3 0 3 3  3 3                (α1 + β1 )/3 1 1

Con esto tenemos la matriz de transformaci´ on:

(F.74)

454

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

"

T= v 1,α

v1,β

v2

#



3     = 0     1

0 3 1



0     0     1

(F.75)

Con lo que se obtiene: 

2     −1 T AT = 0     0

0 2 0



0     =P 0     −1

(F.76)

Caso 2 : a 6= 0 Usando la ecuaci´ on (F.51) se obtienen los autovectores:



 0 0     (λ1 I − A)v1 = −a 0     −1 −1 



0     v =0 0  1    3 

−3 0 0         (λ2 I − A)v2 = −a −3 0 v2 = 0         −1 −1 0

 

⇒

⇒

0          v1 = 3 = v1,0         1  

0          v 2 = 0          1

(F.77)

(F.78)

Para obtener el segundo autovector asociado a λ1 usamos la cadena de vectores (F.65):

F.5. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES



455

(A − λ1 I)v1,1 = v1,0    

(F.79)

 0 0 0  α  0                      a 0 0   β  = 3                      1 1 −3 γ 1

(F.80)

Donde se obtiene α = 3/a y β = 3γ + 1 − 3/a. Por simplicidad escogemos γ = 0, luego v1,1 = [ 3/a , 1 − 3/a , 0 ]T . Con esto tenemos la matriz de transformaci´ on:   "

T = v1,1

v1,0

v2

 3/a     = 1 − 3/a     0

#

Con lo que se obtiene: 

2     −1 T AT = 1     0

0 2 0

0

0     3 0     1 1

(F.81)



0     = JA 0     −1

(F.82)

Lema F.10. Sea una matriz A ∈ Cn×n con autovalores λ1 , λ2 , λ3 , . . . , λn , entonces

tr(A) = det(A) =

n X i=1 n Y

λi

(F.83)

λi

(F.84)

i=1

Demostraci´ on Primero observamos que siempre existe una matriz no singular T, tal que T−1 AT = diag{J1 , J2 , . . . , Jq }

(F.85)

456

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

donde Ji ∈ Cni ×ni , i = 1, 2, . . . , q, son bloques de Jordan, donde ni es un entero mayor o igual a 1. Entonces, para la traza se cumple, usando (F.69), que tr(T−1 AT) =

q X i=1

tr(Ji ) =

q X

ni λi

(F.86)

i=1

es decir, tr(T−1 AT) es igual a la suma de todos los autovalores de A. Por otro lado tr(T−1 AT) = tr(ATT−1 ) = tr(A)

(F.87)

lo cual cierra la demostraci´on para la traza. Para el determinante, se tiene, usando (F.69), que det(T−1 AT) =

q Y

i=1

det(Ji ) =

q Y

λi n i

(F.88)

i=1

es decir, tr(T−1 AT) es igual al producto de todos los autovalores de A. Por otro lado det(T−1 AT) = det(ATT−1 ) = det(A)

(F.89)

222 Una propiedad fundamental de la transformaci´on similar es que se preservan ciertas caracter´ısticas, tal como se plantea a continuaci´on. Lema F.11. Sean A y B dos matrices similares. Entonces, tienen los mismos autovalores, el mismo determinante y la misma traza. Demostraci´ on Si A y B son similares, entonces existe T no singular tal que B = T−1 AT. Entonces, los autovalores de B son las ra´ıces de det(λI − B) = 0. Si ahora usamos la similaridad tenemos que det(λI − B) = det(λT−1 T − T−1 AT) = det T−1 (λI − A)T
= det (λI − A)TT−1 = det(λI − A)




(F.90) (F.91)

lo cual demuestra que la transformaci´on similar preserva los autovalores. Para demostrar la preservaci´on de determinante y traza se aplica directamente el Lema F.10. 222 Los lemas que siguen presentan propiedades adicionales de autovalores y autovectores. Lema F.12 (Propiedades de autovalores y autovectores). Los autovalores y autovectores de una matriz A ∈ C n×n tienen las siguientes propiedades

F.6. NORMAS DE VECTORES Y MATRICES

457

P1 La matriz A y la matriz Ak , tienen los mismos autovectores ∀k entero. P2 Si los autovalores de A son λ1 , λ2 , . . . , λn , entonces los autovalores de Ak son λk1 , λk2 , . . . , λkn . P3 Si A es hermitiana, es decir, A = AH ∈ Cn×n , entonces todos sus autovalores son reales. P4 Si A es hermitiana, entonces sus n autovectores son linealmente independientes. Esto tambi´en implica que, en este caso, A es diagonalizable. P5 Si A es hermitiana entonces sus autovectores v1 , v2 , . . . , vn son ortogonales entre s´ı. Lema F.13 (Descomposici´ on espectral). Si A es hermitiana con autovalores λ1 , λ2 , . . . , λn y autovectores asociados v1 , v2 , . . . , vn , con ||vi || = 1 para i = 1, 2, . . . , n, entonces n X (F.92) λi vi · viH A= i=1

Las demostraciones de los lemas precedentes son dejadas como ejercicios para el lector.

F.6.

Normas de vectores y matrices

Norma de vectores El concepto de norma, y sus propiedades, ya fue definido en el apendice . . . , en el contexto de espacios vectoriales (Definicion B.6 pag 322). En particular la norma ahi empleada es la que queda inducida por el producto interno entre vectores. Sin embargo, para vectores existen otras normas que pueden definirse, que tambien satisfacen las propiedades en la Definicion B.6: 1.

La norma euclideana (o norma l2 ) en Cn , definida como: kvk2 = (|v1 |2 + . . . + |vn |2 )1/2

(F.93)

Esta es la norma mas comun, pues representa la distancia usual dos puntos en Cn . Note que tambien se deriva del producto punto usual (F.19) en Cn , es decir, kvk22 = hv, vi = v∗ v 2.

La norma suma (o norma l1 ) en Cn , definida como: kvk1 = |v1 | + . . . + |vn |

3.

(F.94)

La norma max (o norma l∞ ) en Cn , definida como: kvk∞ = m´ax{|v1 |, . . . , |vn |}

(F.95)

458 desigualdad!Cauchy--Schwarz norma-$1$ Fr¨ obenius norma-$2$ matriz!norma-$2$ matriz!norma Fr¨ obenius norma-$\infty$ matriz!norma-$\infty$

4.

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES La norma p en Cn , con p ≥ 1 definida como: kvkp = (|v1 |p + . . . + |vn |p )1/p

(F.96)

Se deja al lector (como buen ejercicio) representar todos los vectores que est´an a distancia 1 del origen, en cada una de estas normas, por ejemplo, en C o R2 .

Norma de matrices Para definir la norma de una matriz, o equivalentemente, la distancia entre dos matrices, una primera forma seria considerar simplemente el isomorfismo entre espacio Mn×m (K) y el espacio vectorial Knm . Sin embargo, al considerar simplemente la norma en un espacio vectorial de mayores dimensiones, no es posible establecer relaciones con propiedades caracter´ısticas de las matrices, como son el producto matricial, el determinante y el espectro, entre otras. Por esto, tenemos la siguiente definici´on, m´as adecuada: Definici´ on F.19. Una norma matricial es una funci´ on que va de M(K) → R talque, para A, B de dimensiones adecuadas, satisface: 1.

kAk ≥ 0, y kAk = 0 si y s´ olo si A = 0

2.

kαAk = |α|kAk para todo escalar α ∈ K

3.

kA + Bk ≤ kAk + kBk , es decir, la desigualdad triangular usual.

4.

kABk ≤ kAkkBk , que se denomina desigualdad de Cauchy–Schwartz Las normas matriciales m´as usuales son:

1.

La norma suma (o norma-1) definida para A = {aij } ∈ Cn×m como: kAk1 =

2.

i=1 j=1

|aij |

(F.97)

La norma euclideana, norma Fr¨ obenius o norma-2, definida para A = {aij } ∈ Kn×m como: 

kAk2 =  3.

n X m X

n X m X i=1 j=1

1/2

|aij |2 

=

q tr(AH A)

(F.98)

La norma max (o norma-∞) en Kn×m , definida como: kAk∞ = m´ax{aij } i,j

(F.99)

F.6. NORMAS DE VECTORES Y MATRICES 4.

459

La norma-p en Kn×m , con p ≥ 1 definida como: 1/p  m n X X |aij |p  kAkp = 

(F.100)

i=1 j=1

Adem´as de las anteriores, la forma m´as natural de definir una norma matricial es inducirla a trav´es de una norma vectorial de la siguiente forma:

norma-p matriz!norma-p norma!inducida matriz!norma inducida norma espectral norma!spectral matriz!norma spectral n´ umero de condicionamiento matriz, condici´ on

Definici´ on F.20. Dada una matriz A ∈ Kn×m y una norma vectorial k · k, definimos la norma matricial inducida como: kAk = m´ax kAvk

(F.101)

kvk=1

La norma inducida puede definirse tambi´en de una serie de formas equivalentes: kAk = m´ax kAvk = m´ax kAvk = m´ax kvk=1

kvk≤1

kvk6=0

kAvk kvk

(F.102)

Varias de las normas antes definidas, pueden expresarse en t´erminos de la norma inducida, eligiendo la norma vectorial adecuada. Sin embargo, existe una serie de normas matriciales independientes de esta definici´on. Entre ellas, una de las m´as importantes es: Definici´ on F.21. Se define la norma espectral de una matriz A ∈ K n×m como: √ kAk2 = m´ax{ λ : λ es un autovalor de A∗ A} (F.103) Finalmente, y como aplicaci´on de la definici´on de norma entre matrices, se considera la relaci´on entre normas de una matriz y el c´alculo de su inverso. Este c´alculo puede ser muy sensible a errores num´ericos, en especial cuando una matriz esta cerca de ser singular. De esta forma se define: Definici´ on F.22. Dada una matriz A, se define el n´ umero de condicionamiento, o n´ umero de condici´ on, para la inversion con respecto a la norma matricial k · k como: κ(A) =

(

kAk kA−1 k ∞

si A es no singular si A es singular

(F.104)

Note que κ(A) = kAk kA−1 k ≥ kAA−1 k ≥ kIk ≥ 1 para toda matriz A. De esta forma, cuando κ(A) es grande, la matriz se dice mal condicionada. Si κ(A) es cercano a 1, la matriz se dice bien condicionada, y si κ(A) = 1, entonces la matriz A se dice perfectamente condicionada.

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

460 matriz!unitaria teorema de Schur

Cuando una matriz es mal condicionada, el c´alculo del inverso puede tener errores muy grandes, y es aconsejable recurrir a m´etodos de inversi´on num´ericamente robustos. Un caso especial de n´ umero de condici´on de una matriz real es cuando se usa la norma spectral en (F.104). En ese caso κ(A) =

F.7.

|λmax | |λmin |

(F.105)

Tipos especiales de matrices

Matrices unitarias Definici´ on F.23. Una matriz U ∈ Cn×n se dice unitaria, si y s´ olo si UH U = In , es decir, si su inversa es igual a su matriz hermitiana o conjugada traspuesta. En particular, si la matriz es real, es decir, U ∈ Rn×n , se dice que U es real ortogonal. Es m´ as, si dos matrices son similares a trav´es de una matriz de transformacion unitaria, es decir: UH AU = P

(F.106)

las matrices A y P se denominan unitaria equivalentes, o (real) ortogonal equivalentes, si U es real. Este tipo particular de matrices poseen interesantes propiedades, entre ellas: los vectores columna de U forman un conjunto ortonormal; los vectores fila de U forman un conjunto ortonormal; la transformaci´on w = U·v preserva longitudes, es decir, w H w = vH v. Por esto se dice que A es una isometr´ıa euclideana Si bien toda matriz con autovalores no repetidos es similar a una matriz diagonal, no siempre la matriz de transformacion es unitaria. Sin embargo, el siguiente teorema nos dice que toda matriz es unitaria equivalente a una matriz triangular superior: Teorema F.1. Teorema de Schur de triangularizacion unitaria. Dada una matriz A ∈ Cn×n con autovalores λ1 , . . . , λn , existe una matriz unitaria U, tal que la matriz: UH AU = T = {tij }

(F.107)

es triangular superior, con elementos sobre la diagonal tii = λi , i = 1, . . . , n.

F.7. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

461

La demostraci´on de este teorema es por construcci´on, pero consideramos que va m´as all´a del objetivo de este ap´endice. Sin embargo, la importancia (y utilidad) fundamental del resultado anterior es que toda matriz A puede transformarse, a trav´es de una matriz unitaria U, a una matriz T cuyos autovalores se encuentran sobre la diagonal. Por ello, este resultado se aplica en una serie de algoritmos, por ejemplo, en Matlab . Adem´as, el Teorema de Schur sirve de base para una serie de otros resultados, entre ellos el siguiente teorema: Teorema F.2. Teorema de Cayley–Hamilton Sea pA (λ) el polinomio caracteristico de una matriz A ∈ Mn×n definido en (F.52). Entonces: pA (A) = 0

(F.108)

es decir, toda matriz satisface su propia ecuaci´ on caracteristica.

Matrices normales Definici´ on F.24. Una matriz A ∈ Kn×n se dice normal, si y solo si AH A = H AA , es decir, A conmuta con su matriz hermitiana o compleja conjugada. Con ayuda del Teorema de Schur, puede probarse que una matriz A es normal si y s´olo si es unitaria diagonalizable, es decir, si existe una matriz unitaria U talque UH AU es diagonal. Recuerde adem´as, del Lema F.12 que toda matriz hermitiana (sim´etrica, en el caso de matrices reales) es normal y, por tanto unitaria diagonalizable, es decir: A = AH

⇒

A = UH DU

(F.109)

en que UH U = I y D es diagonal y contiene los autovalores de A.

Matrices positivas Una clase de matrices hermitianas (real sim´etricas) que aparece en m´ ultiples aplicaciones son aquellas que poseen (o no) la propiedad de ser positivas. Consideremos, por ejemplo, la expansion en serie de Taylor de una funci´on en dos variables (apendice A, p.317) en torno a un punto (xo , yo ):

Cayley-Hamilton teorema de Cayley-Hamilton matriz!normal

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

462 hessiano matriz!positiva definida

f (x, y)

(xo ,yo )

= f (xo , yo ) + ∇f





∆x      (xo ,yo )    ∆y

"

1 + 2 ∆x

∆y

#

H(f )





∆x     + ...  (xo ,yo )    ∆y

(F.110)

donde ∆x = x − xo , ∆y = y − yo , ∇f es el gradiente de f (x, y), y H(f ) es el hessiano o matriz de las segundas derivadas de la funcion f (x, y):  2  2 H(f ) = 

∂ f ∂x2 ∂2f ∂y∂x

∂ f ∂x∂y  ∂2f ∂y 2

(F.111)

Del C´alculo Diferencial, sabemos que f (x, y) tiene un m´ınimo y es convexa en una vecindad del punto (xo , yo ) si se cumplen dos condiciones en dicho punto: ∇f = 0 , es decir, el gradiente es cero, en cuyo caso se dice que (xo , yo ) es un punto cr´ıtico; y vT H(f )v > 0 , es decir, el t´ermino cuadr´atico en (F.110) es positivo, para todo vector v = [∆x, ∆y]T Este tipo de problemas dan pie a la siguiente definicion: Definici´ on F.25. Matriz positiva definida Una matriz hermitiana A de dimension n se dice definida positiva si vH Av > 0 para todo vector v ∈ Cn , ||v|| 6= 0. Una matriz hermitiana A de dimension n se dice semidefinida positiva si vH Av ≥ 0 para todo vector v ∈ Cn Analogamente, una matriz hermitiana A de dimension n se dice (semi)definida negativa si la matriz −A es (semi)definida negativa (respectivamente). Una matriz hermitiana que no cae en ninguna de las categorias anteriores se denomina indefinida. Lema F.14. Una matriz A hermitiana es definida positiva, si y s´ olo si todos sus autovalores son reales y positivos, y es positiva semidefinida positiva si todos sus autovalores son no negativos

F.7. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

463 matriz!diagonal matriz!ra´ ız de

Demostraci´ on Considere el Lema F.13, entonces A=

n X i=1

λi vi · viH

(F.112)

donde los autovectores tienen largo unitario (en norma-2). Entonces al multiplicar (F.112), por la izquierda, por v`H , y, por la derecha, por v` se tiene que v`H Av` = λ`

(F.113)

Por otro lado, dado que una matriz hermitiana tienen un conjunto ortonormal de autovectores, entonces, todo vector v ∈ Cn×n , puede expresarse como v=

n X

α j vj

(F.114)

j=1

para un conjunto no vac´ıo de valores α1 , α2 , . . . αn . As´ı vH Av =

n X j=1

αj· vjH

n X i=1

λi vi · viH

n X

α j vj

(F.115)

j=1

Finalmente, aplicando (F.113), se llega a vH Av =

n X `=1

|α` |2 λ`

(F.116)

Lo cual lleva al resultado deseado (para definida positiva) al considerar que vH Av > 0 si y s´olo si λ` > 0 para ` = 1, 2, . . . , n. Un razonamiento similar permite alcanzar el resultado para positiva semidefinida. 222 El lema precedente se aplica, y demuestra, mutatis mutandis, para el caso de matrices negativa definidas y negativa semi-definidas. Otra forma de reconocer una matriz definida positiva se basa en el concepto de dominancia diagonal. Esto es: una matriz se dice estrictamente diagonal dominante si cada elemento sobre la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de los demas elementos en la respectiva fila. De esta forma, tenemos: Lema F.15. Si una matriz hermitiana A tiene todos sus elementos sobre la diagonal principal positivos y es estricamente diagonal dominante, entonces es definida positiva. Finalmente, y de forma an´aloga a la ra´ız cuadrada de n´ umeros positivos, se define la ra´ız cuadrada de una matriz definida positiva:

dominante

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

464 matriz!ra´ ız matriz!exponencial matriz!nilpotente matriz!idempotente matriz!diagonal por bloques matriz!triangular por bloques matriz!permutaci\’on

Definici´ on F.26. Una matriz hermitiana A es positiva definida si y s´ olo si existe una matriz no singular B, tal que A = BH B. Dicha matriz B se define como la ra´ız cuadrada de A y se denota por B = A1/2 . Se debe notar que si B es ra´ız cuadrada de A, entonces tambi´en lo es UB, donde U es cualquier matriz unitaria.

Otras matrices Definici´ on F.27. Dada una matriz A ∈ Kn×n , se defina la matriz exponencial de A, usando la expansion en serie de Taylor usual, es decir: eA = I + A +

∞ X 1 2 1 n A + ... = A 2! n! n=0

(F.117)

Definici´ on F.28. Una matriz A ∈ Kn×n se dice nilpotente, si y s´ olo si existe un entero positivo, q, tal que: Aq = 0

(F.118)

Definici´ on F.29. Una matriz A ∈ Kn×n se dice idempotente, si y s´ olo si : A2 = A

(F.119)

n×n

Definici´ on F.30. Una matriz A ∈ K se dice diagonal por bloques, si y solo si sus u ´nicos elementos distintos de cero pueden ser agrupados en submatrices Ai ∈ Kni ×ni sobre su diagonal, es decir:   A1 0 . . . 0  0 A2 . . . 0    A= . (F.120) .. ..  ..  .. . . .  0

en que

Pk

i=1

0

...

Ak

ni = n

De manera an´aloga puede extenderse el concepto de matriz triangular (tanto superior como inferior), a matrices triangulares por bloques. Definici´ on F.31. Una matriz P ∈ Kn×n se denomina matriz de permutaci´ on si uno y s´ olo uno de los elementos sobre cada fila y columna es igual a 1, y el resto son 0. Ejemplo F.3. Considere la matriz de permutaci´ on:   0 1 0 P = 1 0 0  0 0 1

(F.121)

La denominaci´ on resulta natural pues multiplicar cualquier vector por esta matriz equivale a permutar sus elementos, por ejemplo:

F.7. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

465 matriz!circulante matriz!Toeplitz

    1 2 P 2  = 1 3 3

Definici´ on F.32. Una matriz A cada una de sus filas resulta de la  a1  an   .. . a2

(F.122)

∈ Kn×n se denomina matriz circulante si rotaci´ on de la primera, es decir:  a2 . . . an a1 . . . an−1   (F.123) .. . . ..  . . .  a3 . . . a1

Note que una matriz circulante puede ser escrita en t´erminos de la matriz de permutaci´on circular :   0 1 0 ... 0 0 0 1 . . . 0  n−1   X  .. .. . .  . . . . ak+1 Ck (F.124) C = . .  ⇒ A= . . .   k=0 0 ... 1 1 0 ... 0

En que C0 = Cn = I y {a1 , . . . , ak } son los elementos de la primera fila de la matriz A.

Definici´ on F.33. Una matriz A ∈ Kn×n se denomina matriz Toeplitz si todos los elementos sobre cada diagonal son iguales, es decir:   a0 a1 a2 . . . an  a−1 a0 a1 . . . an−1     .. ..  . . .. .. ... (F.125) A= .  .   a−n+1 ... . . . a0 a1  a−n a−n+1 . . . a−1 a0 Note que una matriz Toeplitz puede ser escrita en t´erminos de las matrices un paso adelante F y un paso atr´ as B: 

0  .. . F=  0 0

entonces:

1 .. . 0

... .. . .. . ...

 0 ..  .   1 0

A=

y

n X

k=1



0

 1 B=F = .  .. 0 T

a−k Fk +

n X

k=1

... .. . .. . ...

ak Bk

0 .. 1

0

.



 0  ..  .

(F.126)

0

(F.127)

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

466 matriz!Vandermonde valores singulares

Definici´ on F.34. Una matriz A ∈ Kn×n se denomina matriz de Vandermonde si es de la forma: 

1 1  A = .  .. 1

x1 x2 .. .

x21 x22 .. .

... ... .. .

xn

x2n

...

 x1n−1 x2n−1   ..  . 

(F.128)

xnn−1

Puede probarse que el determinante de una matriz de Vandermonde es: det A =

n Y

i,j=1 i>j

(xi − xj )

(F.129)

Este tipo de matrices aparece, por ejemplo, en el c´alculo de la transformada discreta de Fourier y en problemas de interpolacion donde se buscan los coeficientes de un polinomio p(x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 = y, a partir de n pares de datos (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ): p(x1 ) = a0 + a1 x1 + . . . + an−1 x1n−1 = y1

F.8.

p(x2 ) = a0 + a1 x2 + . . . + .. .

an−1 x2n−1

p(xn ) = a0 + a1 xn + . . . +

an−1 xnn−1

= y2

(F.130) (F.131) (F.132)

= yn

(F.133)

Valores singulares

Hemos visto a lo largo de este ap´endice que existen diferentes formas de caracterizar una matriz expres´andola o relacion´andola con otra equivalente bajo alg´ un criterio. Entre estos se ha definido la igualdad de matrices, la diagonalizacion (o similaridad), la congruencia y la equivalencia unitaria (teorema de Schur). Sin embargo, un importante desarrollo del analisis matricial de amplia aplicacion en diferentes areas de la Ingenier´ıa (y otras disciplinas) es la descomposici´on en valores singulares, que representa una extensi´on de la diagonalizacion mediante autovalores, pero que permite incluir el caso de matrices singulares y matrices no cuadradas. Teorema F.3. Descomposici´ on en valores singulares Dada una matriz A ∈ Kn×m de rango k ≤ q = m´ın{n, m}, entonces esta puede expresarse como: A = VΣWH en que:

(F.134)

F.8. VALORES SINGULARES

467

las matrices V ∈ Kn×n y W ∈ Kn×n son unitarias, es decir, VH V = In y W H W = Im ; los elementos de la matriz Σ = {σij } ∈ Kn×m son: σij = 0

∀i 6= j

(F.135)

σ11 ≥ σ22 ≥ . . . ≥ σkk > σk+1,k+1 = . . . = σqq = 0

(F.136)

√ los elementos {σii } = {σi } = { λi }, en λi son los autovalores de AH A, que quedan por tanto u ´nicamente determinados; las columnas de V son autovectores de AAH , y las columnas de W son autovectores de AH A (ordenados seg´ un los autovalores λi = σi2 ); Si n ≤ m y AAH no tiene autovalores repetidos, entonces diferentes ma- Chequear si es necesario que trices V en la representaci´ on (F.134) quedan relacionados por una matriz sean diferentes diagonal D = diag{ejθ1 , . . . , ejθn } con θi ∈ R. Esto es: A = V1 Σ W1H = V2 Σ W2H

⇒

V2 = V 1 D

(F.137)

si n < m, entonces la elecci´ on de W no es u ´nica; si n = m = k (A, cuadrada y de rango completo), entonces dada V, entonces la matriz W queda u ´nicamente determinada; si n ≤ m, la unicidad de V y W queda determinada considerando AH ; y si A es real, entonces V, Σ y W pueden escogerse todas reales. Los elementos {σi } sobre la diagonal de la matriz Σ se denominan valores singulares de la matriz A. La descomposici´on en valores singulares (F.134) para una matriz A arbitraria no siempre es directa de obtener. Sin embargo, en el caso particular de una matriz no singular (justamente el caso n = m = k en el teorema anterior) la descomposici´on puede obtenerse directamente siguiendo los siguientes pasos: 1.

Se forma la matriz hermitiana AAH y se calcula su diagonalizaci´on unitaria AAH = UΛUH , a trav´es del calculo de sus autovalores {λi } (que son positivos) y su correspondientes autovectores normalizados {u i }.

2.

De esta forma se elige Σ = Λ1/2 y V = U = [u1 . . . un ].

3.

Finalmente, W = AH VΣ−1

Para el caso de una matriz cuadrada singular A, se puede aplicar el mismo procedimiento a la matriz A = A + In , con  tal que A es no singular, y luego obtener el l´ımite cuando  → 0. Algunas aplicaciones de los valores singulares son:

´ APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

468

Permite definir normas de matrices: La norma espectral de una matriz A, definida en (F.103), no es mas que el mayor valor singular, es decir, σ1 . Adem´as, el lector puede verificar que la norma Fr¨obenius definida en (F.98) satisface la identidad:

kAk2 =

q X i=1

σi2

!1/2

(F.138)

Entrega el numero de condicionamiento, con respecto a la norma espectral, como κ(A) = kAk kA−1 k = σ1 /σn ≤ 1, que a menudo se utiliza como la medida est´andar para la dificultad involucrada en invertir la matriz A. Dada una matriz A = VΣWH , podemos definir la inversa generalizada (Moore-Penrose) de A, como A† = WΣ† VH , en que Σ† es la traspuesta de Σ en que los valores singulares de A se reemplazan por sus rec´ıprocos. El lector puede verificar que: 1.

AA† y A† A son hermitianas,

2.

AA† A = A, y

3.

A† AA† = A† .

La inversa generalizada coincide naturalmente con la inversa usual en el caso de matrices no singulares. Adem´as, una de la aplicaciones de A† es en el m´etodo de m´ınimos cuadrados (ver cap modelos), en que para resolver el sistema Ax = b se busca el vector x tal que kAx − bk2 resulta minima. El lector puede verificar que x = A† b resuelve este problema.

Bibliograf´ıa [1] B.D.O. Anderson and John Moore. Linear Optimal Control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1971. [2] B.D.O. Anderson and John Moore. Optimal filtering. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1979. [3] K.J. ˚ Astr¨om and B. Wittenmark. Computer controlled systems. Theory and design. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., second edition, 1990. [4] H.W. Bode. Network analysis and feedback amplifier design. Van Nostrand, New York, 1945. [5] R.C. Dorf and R. Bishop. Modern Control Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 9th edition, 1997. [6] G.F. Franklin and J.D. Powel. Digital Control of Dynamics Systems. Addison-Wesley, second edition, 1990. [7] G.F. Franklin, J.D. Powell, and A. Emami-Nagiri. Feedback Control of Dynamics Systems. Addison-Wesley Pub. Co., Reading, Mass., 1991. [8] G.C. Goodwin, S. Graebe, and M.E. Salgado. Control System Design. Prentice Hall, New Jersey, 2001. [9] Hwei P. Hsu. An´ alisis de Fourier. Fondo Educativo Interamericano S.A., 1973. [10] E. Jury. Sample Data Control Systems. John Wiley and Sons, 1958. [11] J.W. Kitchen. Calculus of one variable. Addison Wesley, 1968. [12] D.L. Kreider, R.G. Kuller, D.R. Ostberg, and F.W. Perkins. Introducci´ on al an´ alisis lineal. Fondo Educativo Interamericano S.A., 1971. [13] H. Kwakernaak and R. Sivan. Linear Optimal Control Systems. Wiley– Interscience, New York, 1972. [14] R.H. Middleton and G.C. Goodwin. Digital Control and Estimation. A Unified Approach. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1990. 469

470

BIBLIOGRAF´IA

[15] K. Ogata. State Space Analisys of Control Systems. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1967. [16] A.V. Oppenheim and R.W. Schafer. Discrete - Time Signal Processing. Prentice-Hall International, Inc., 2nd edition, 1999. [17] Churchill R. and Brown J. Complex Variable and Applications. McGraw Hill Book Company, 1984. [18] H.H. Rosenbrock. State Space and Multivariable Theory. John Wiley and Sons, New York, 1970. [19] D.G. Schultz and J.L. Melsa. State Function and Linear Control Systems. McGraw Hill Book Company, New York, 1967. [20] D.W. Wiberg. Theory and Problems of State Space and Linear Systems. McGraw Hill Book Company, New York, 1971. [21] Lotfi A. Zadeh and Charles A. Desoer. Linear System Theory: the state space approach. McGraw Hill Book Company, New York, 1963. [22] K. Zhou. Essentials of Robust Control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1998. [23] K. Zhou, G. Salomon, and E. Wu. Balanced realization and model reduction for unstable systems. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 9:183–198, 1999.

Index a´ngulo de desfase, 88, 104 a´ngulo entre vectores, 341 a´ngulo de desfase, 94 de disparo, 96

cancelaci´on, 271, 287, 294, 298, 303, 307 cuasi-, 181, 215, 297, 305 cascada, v´ease conexi´on causalidad, 62 Cayley-Hamilton, 457 ceros, 158, 180, 214 fase no m´ınima, 177, 211 lentos, 182 r´apidos, 182 circulo unitario, 244 circunferencia unitaria, 205 cofactor, 435 desarrollo, 435 condiciones iniciales, 1, 62, 157, 192 conexi´on paralelo, 288 realimentaci´on, 289 serie(cascada), 288 congruencia, 446 constante de tiempo, 25 constantes indeterminadas, 40, 67 contrarespuesta, 182, 215 control, 290 controlabilidad, 180, 214, 290 forma can´onica, 298 gramiano, 294 tiempo discreto, 295 matriz, 291 p´erdida, 292 test, 291 controlador, 289 forma can´onica, 298 conversor an´alogo-digital(ADC), 273 digital-an´alogo(DAC), 273

Zeta transformada, 191 ADC, v´ease conversor adjunta de una matriz, 440 alcanzabilidad, 290 test, 291 amplificador, 247 amplitud, 88, 104 ancho de banda, 124 aperi´odicas se˜ nales, 117 arm´onicas, 94, 107 as´ıntotas, 224 autovalores, 40, 270, 444, 444 autovectores, 444 generalizados, 447, 448 bilineal transformaci´on, 207 bloques, 246 Bode, 219, 220 aproximaci´on asint´otica, 227 aproximaciones, 221 as´ıntotas, 222 diagramas de, 220 frecuencias de quiebre, 227 c´ırculo unitario, 71, 239 471

472 convoluci´on, 53, 79 cuadrante, 234 DAC, v´ease conversor decada, 220 decibel, 220 delta de Dirac, 21, 120 en frecuencia, 160 en frecuencia, 198 delta de Kronecker, 27 descomposici´on can´onica, 307 alcanzabilidad, 297 observabilidad, 306 desfase, 94 desigualdad Cauchy–Schwarz, 454 triangular, 207 desigualdad triangular, 341 Desplazamiento en el tiempo, 358 Desplazamiento en frecuencia, 358 detectabilidad, 306 determinante, 434 diagrama polar, 233 tiempo discreto, 244 diagramas de Bode, 220 diagramas de bloques, 246 Dirac, 21 disco unitario, 71 discontinuidad, 241 discretizaci´on, 63, 273 distancia, 341 dualidad, 305 ecuaci´on caracter´ıstica, 40, 66, 262, 279 ecuaci´on de recursi´on, 61 ecuaci´on diferencial del sistema, 156 ecuaci´on diferencial del sistema, 35 EDS, 156 ejes logar´ıtmicos, 220 elimina banda, 135, 149 energ´ıa, 143 entrada, 1, 158 equilibrio estable, 38, 64

INDEX equilibrio inestable, 266 error, 98 estimaci´on, 310 modelo, 311 errores en las variables, 323, 330 escal´on respuesta a, 161, 200 escal´on unitario, 21, 27 espacio de estado, 253 vectorial, 437 espectro, 134, 232, 445 continuo, 122 de l´ınea, 94 en frecuencia, 94 espectro de l´ınea, 109 espiral, 240 estabilidad, 43, 71, 171, 205, 262, 279, 280 estabilizabilidad, 298 estado, 253 alcanzable, 290 controlable, 290 del sistema, 254 espacio de, 254 observable, 299 transformaci´on, 256, 267, 286 trayectoria, 254 variables de, 254 vector de, 254 estado inicial, 3 estimaci´on, 309 error, 310 Euler, 26, 31 exponencial, 24, 29 creciente, 24, 30 de una matriz, 261, 276 exponencial imaginaria, 26 factor de amortiguamiento, 183 factores can´onicos, 220 fase, 88, 104 fase m´ınima, 177, 211 feedback seerealimentaci´on, 289 filtraje, 133

INDEX filtro, 314 forma can´onica controlable, 298 del controlador, 298 observable, 307 Fourier, 87, 117 Fr¨obenius, 454 fracciones parciales, 128, 146, 156, 178, 193, 412 frecuencia, 88, 104 angular, 88, 104 de corte, 135, 149 fundamental, 107 frecuencia fundamental, 94 frecuencia natural amortiguada , 184 dominante, 44, 72 no amortiguada, 183 frecuencias de corte, 136 frecuencias naturales, 40, 68 funci´on muestreo, 23 funci´on generalizada, 120 racional, 157, 159 funci´on de transferencia, 125, 145, 156, 157, 192, 270, 286 estable, 177 tiempo discreto, 196 bipropia, 158, 197 ceros, 158, 197 con retardo, 159 estable, 211 estrictamente propia, 158, 197, 272 grado relativo, 158, 177, 197 impropia, 158 multiplicidad, 158 polos, 158, 197 propia, 158, 197 ganancia, 42, 69 a continua, 42, 69 a modo forzante, 42, 68, 88, 110, 129, 145, 205 gradiente, 324, 331 grado relativo, 158, 197, 203

473 gramiano controlabilidad, 294 tiempo discreto, 295 observabilidad, 303 Heaviside, 21, 36 operador, 36 hessiano, 458 homogeneidad, 5 Hurwitz polinomio, 173, 310 impulso respuesta a, 158 respuesta a, 161, 200 impulso unitario, 21, 27 independencia lineal, 93 integrador, 7 interconexi´on, 246 inversa de una matriz, 439 inversa generalizada, 439 inversion matricial, 442 Jordan forma de, 448 Jury, 208 algoritmo, 208 l´ımite de estabilidad, 172, 205 Laplace, 155 lazo de control, 289 linealizaci´on, 9, 258, 274 Lyapunov ecuaci´on, 295, 304 matrices, 431 similares, 446 suma, 437 matriz de Fourier, 109 adjunta, 286, 440 autovalores, 444 circulante, 461 cofactor, 435 cuadrada, 432 de controlabilidad, 291 de observabilidad, 300

474 de transformaci´on, 268 de transici´on, 261 discreta, 277 definici´on, 431 determinante, 434 diagonal, 434 diagonal dominante, 459 diagonal por bloques, 460 elementos, 431 exponencial, 460 forma de Jordan, 448 hermitiana, 433 idempotente, 460 identidad, 434 inversa, 439 inversa generalizada, 439 menor, 435 nilpotente, 460 no singular, 436, 439 norma Fr¨obenius, 454 norma inducida, 455 norma spectral, 455 norma-2, 454 norma-∞, 454 norma-p, 455 normal, 457 particionada, 440, 442 permutaci´on, 460 positiva definida, 458 producto, 438 ra´ız, 460 ra´ız de, 459 rango, 436 sim´etrica, 433 singular, 436 Toeplitz, 461 traspuesta, 433 traza, 433 triangular inferior, 434 triangular por bloques, 460 triangular superior, 434 unitaria, 456 Vandermonde, 462 matriz, condici´on, 455 menor, 435 modelo, 4

INDEX en espacio de estado, 253 error, 311 linealizado, 9 peque˜ na se˜ nal, 14 validaci´on, 319 modelos, 319 modo forzado, 42, 68, 265 modo forzante, 40, 68, 205 ganancia a, 42, 68 modo natural dominante, 44, 72, 266 modos naturales, 161 modos naturales, 40, 68, 89, 104, 212 muestra, 318 muestreo, 201, 254, 273, 274, 317, 318, 318 per´ıodo de, 275, 282 multiplicidad, 158 polos, 172 autovalores, 447 polos, 197, 205 n´ umero de condicionamiento, 455 norma, 341 inducida, 455 spectral, 455 norma espectral, 455 norma inducida, 341 norma-1, 454 norma-2, 454 norma-∞, 454 norma-p, 455 Nyquist, 219 observabilidad, 180, 214, 299 forma can´onica, 307 gramiano, 303 matriz, 300 p´erdida, 301 test, 300 observador, 309 de orden completo, 316 de orden reducido, 316 polinomio, 310 octava, 220

INDEX operador, 3 operador adelanto, 62 ortogonalidad, 93 paralelo conexi´on, 288 Parseval, 102, 123, 143 pasa altos, 134, 149 pasa bajos, 134, 149 pasa banda, 135, 149 PEM, 323, 330 per´ıodo, 88, 104 de muestreo, 275, 282 infinito, 117 plano de fase, 264 planta, 289 PLC, 273 polar diagrama, 233 polinomio caracter´ıstico, 66, 445 polinomio caractrer´ıstico, 197 polos, 158, 178, 211, 270, 412 dominantes, 180, 213 lentos, 180, 213 observador, 311 r´apidos, 180, 213 predicci´on error de, 321, 323, 329, 331 producto matrices, 438 promedio m´ovil, 62 Propiedades transformada de Fourier, 384 Propiedades transformada de Fourier discreta., 386 Propiedades transformada de Laplace, 409 Propiedades transformada Zeta, 428 punto de equilibrio, 11, 13, 258, 266 punto de operaci´on, 9, 14 quantum, 317 radio de convergencia, 419 radio espectral, 445 rampa unitaria, 23, 28

475 rango, 436 columna, 436 rango completo, 436 realimentaci´on, 289 realizaci´on m´ınima, 272, 287, 309 reconstrucci´on, 318 reconstructibilidad, 299 regresi´on vector de, 322, 329 regresores, 322, 329 resonancia, 92, 106, 225, 266, 281 respuesta a δ[t], 78 a µ(t), 50 a µ[t], 76 a escal´on, 50, 76 a impulso, 52, 78, 158, 200 a escal´on, 161, 200, 281 a impulso, 161 estacionaria, 204 forzada, 280 inversa, 182, 215 no forzada, 278 respuesta a δ(t), 52 respuesta en frecuencia, 89, 90, 104, 110, 124, 134, 145, 171, 199, 219 respuesta estacionaria, 49, 75 respuesta homog´enea, 39, 65, 262 respuesta particular, 39, 67 respuesta transitoria, 49, 75 respuestas, 2 retardo, 159, 204, 227, 258, 284 diagrama de Bode, 227 diagrama polar, 239 retentor, 274 Routh, 207 algoritmo, 175 ruido, 314 salida, 158 sampling, v´ease muestreo se˜ nal de tiempo continuo, 155 de tiempo continuo, 257 de tiempo discreto, 257

476 modelo de estado, 256 no acotada, 155 se˜ nal causal, 53, 80 se˜ nal incremental, 14 se˜ nales, 2, 21 de prueba, 21 de tiempo discreto, 27 serie conexi´on, 288 Serie de Fourier, 93 serie de Fourier, 87, 88, 118 cosenoidal, 98 senoidal, 95 exponencial, 101 serie de Taylor, 335 similaridad, 256, 267, 286, 292 transformaci´on de, 446 singular, 436 sinuosoide aperi´odica, 30 sinusoidal, 88, 103 sinusoide, 25 amortiguada, 26 amplitud, 26 desfase, 26 discreta, 30 amortiguada, 31 f´ormula de Euler, 26 frecuencia, 26 frecuencia angular, 26 per´ıodo, 26 sistema, 1 estable, 89, 104, 134, 137, 158 inestable, 38, 64 no lineal, 87 alcanzable, 290 algebraico, 4, 6 controlable, 290 detectable, 306 din´amico, 2, 155, 254 discreto, 273 dual, 306 estabilizable, 298 estable, 150, 155 h´ıbrido, 254 inestable, 155

INDEX interconexi´on, 246, 287 lineal, 110 muestreado, 273, 274 observable, 299 propiedades, 290 tiempo continuo, 257 sistemas digitales, 317 h´ıbridos, 318 sistemas discretos estabilidad, 206 sistemas lineales, 5 soluci´on homog´enea, 39, 65 soluci´on particular, 39, 67, 265 SPI, 172 subespacio controlable, 297 observable, 306 superposici´on, 5 Tabla de transformadas de Fourier, 385 Tabla de transformadas de Fourier discretas, 387 Tabla transformada Zeta, 428 Tabla transformadas de Laplace, 409 Tabla transformadas de Laplace inversas, 409 Taylor, 335 teorema de Cayley-Hamilton, 457 teorema de Schur, 456 transformaci´on del estado, 256, 267, 286 Transformada de Fourier, 120 transformada de Fourier, 55, 82, 117, 117, 120, 219, 355 discreta, 140 discreta inversa, 140 inversa, 120 discreta, 199 transformada de Fourier discreta, 370 transformada de Fourier discreta inversa, 370 transformada de Fourier inversa, 355 Transformada de Laplace regi´on de convergencia, 395

INDEX transformada de Laplace, 55, 155, 219 definici´on, 156 inversa, 156 regi´on de convergencia, 156 transformada r´apida de Fourier, 389 transformada Zeta, 82, 191, 219 inversa, 191 traza, 433 undershoot, 182, 215 valor final, 162, 200 valor inicial, 168 valores caracter´ısticos, 40, 444 valores propios, 40, 444 valores singulares, 462 variables de estado, 253, 254 vector columna, 433 de estado, 254 fila, 433 vectores caracter´ısticos, 444 velocidad, 44, 72, 262, 279 ZOH, v´ease retentor

477