Analisis Combinatorio.docx

I:E:P SANTO TOMAS

Responsable lic: Rodríguez Torres Marco Antonio

TEMA: ANÁLISIS COMBINATORIO

ASIGNATURA: ESTADÍSTICA

GRADO: QUINTO De SECUNDARIA CONTENIDOS: COEFICIENTE BINOMIAL

n n    Cr r 

COEFICIENTE BINOMIAL: Esta importante notación conocida como coeficiente binomial, se define de la siguiente., manera: Si : “n” es un número real y “r” un número natural, la notación coeficiente binomial:  n .   r 

PROPIEDAD DE COMBINATORIOS: 1º

Se lee: “coeficiente n, r” y está definida

por:  n  nn  1n  2..........n  r  1    r! r 

Los números combinatorios complementarios, son aquellos que tienen igual base y la suma de las órdenes coincide con dicha base.

Ejemplo. 100 100 C98 = C2 = 100x 99 = 449500

1x 2

n   r 

NOTA: Si Índice inferior

2º

Propiedad: n   0

NÚMEROS

C nm  C mm n

Índice superior

=1 ;

LOS

Se verifica que los números combinatorios complementarios son iguales.

Puede comprobarse que el número de factores que hay en el numerador de ésta relación, coincide con “r”.

n   n

 Base  orden

=1

TEOREMA DEL COEFICIENTE BINOMIAL El siguiente. Teorema, permite evaluar  n de

Una notación equivalente a la ya establecida es: Crn , donde “n” recibe el nombre de la base y “r” el de orden.

La suma de dos números combinatorios de igual base, cuyos órdenes difieren en una unidad, es igual a otro número combinatorio cuya base se aumenta en unidad a la base de uno de los sumandos y cuyo orden es el mayor de los órdenes:

Ejemplo.

otra manera: Si “n” es un entero positivo, “r” es un entero no negativo y r  n , se verifica que :

La expresión propuesta es semejante al cálculo del número de combinaciones de “n” objetos tomados de “r” en “r” , por lo que a este coeficiente binomial “n”, “r” también se le llama NÚMERO COMBINATORIO n, r.

entonces n + a = m.

C nm1  C nm  C nm 1

r 

n n!    r r ! ( n  r )!  

Cnm  Cam

C35 + C25 = C36 = 3º

6x 5x 4 = 20 1x 2x 3

La suma de todos los números combinatorios de igual índice, cuyos órdenes varías desde CERO hasta la propia base, vale 2 elevado a dicha base:

C0m  C1m  ...  Cmm  2m Ejemplo.

C04  C14  C24  C34  C44 = 24 = 16 1

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Responsable lic: Rodríguez Torres Marco Antonio

DEGRADACIÓN DE ÍNDICE: Todo número combinatorio puede degradarse, como:

13

04. Un valor equivalente a C6 es: 14

b) C5

13

12

e) C8

a) C7

n C  Crn11 r n r

13

d) C7

Crn 

n Crn 1 nr

Crn 

n  r 1 n Cr 1 r

13

c) C7

n

05. Si: C2 = 10; Halle: 2n – 1 a) 5 d) 9

b) 15 e) 7 18

c)13

18

06. Si: Cx = Cx 2 , el valor de “x” es:

Ejemplo.   

7 C47  C36 4 7 C47  C46 3 4 C47  C37  C37 4

7.

a) 4

b) 6

d) 10

e) 8

Simplifica:

C2n  C3n  1 C4n  2

01. Calcula “n” en: a) -22/7

b) 7

d) 3

e) N.A.

7 = 5

c) 22

02. Calcula “n” y “p” en la siguiente igualdad: 2n p 2

C

=

b) 2

d) 4

e) 5

08. Resuelve:

C7n  5  16 C4n  8

a) 16

b) 18

d) 19

e) 20

d) 5,5

e) 3,6

c) 8,10

natural.

03. Calcula “x” en: x2 20

C

x 1 22

x2 21

C C

a) 18 d) 22

2 x  21 22

C C x 21

b) 19 e) 21

c) 21

 n   n  n   n         0   1  2  n  S    ...    , para n 1 2 3 n1

C

b) 6,4

c) 3

09. Determine the value of the following sum:

2n 10 p

a) 4,6

2C815  8C715 2C715

a) 1

ACTIVIDAD DE CLASE

c)2

C

2 x  21 21

a)

2n1  1 n1

b)

2n1  1 n1

c)

2n1 n1

d)

2n1 n2

e) N.A.

c)20

2

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Responsable lic: Rodríguez Torres Marco Antonio

10. To determine the value of:

6.

Calcular el valor de “x” en:

C  C C C   C .C

 5  5  6  7   8  9  10  11                         2  3  4  5  2  2  2   2 

m 2 x 1 m1 2

m1 x

m 2 x 1

x

 12 b)   9

 10 a)   8  12 d)   8

 11 c)   8

e) N.A.

8.

ACTIVIDAD DE APLICACIÓN 1. Reducir:

a) 1/3 d) 5/3 2.

c)3/5

4C

n 2 = 1331 3

C C n 3

a) 10

b) 11

c) 8

d) 6

Hallar x 1

el

valor

e) 5

de

“x”

en:

 5 C 2  ...  (2 x  1) C x 1  8 23  2( x  1) x

x

a) 59

b) 61

d) 65

e) 67

c) 63

d) 13

e) 14

9.

 a a! If   = 15 y = 360. To calculate a.b:  a  b!  b

c) 12 a) 24 d) 864

b) 96 e) N.a.

c) 216

Calcular: “n + k” de:   22   21    11  7   2 k  1 2 k        2n    4 n    3 3   28 2      

a) 15 d) 9 5.

b) 10

= 2x-12

e) 1/15

¿Para qué valor de “n” se cumple: n 1 3

4.

b) 1/5

m x 1

a) 12

3C

 16  16      1  2  18  17      15  15

m x 1

10. To reduce :

 n  1  n  1  n   n  1         , (r  n-1)  r  1   r  1   r  1   r         

b) 8 e) 17

c) 12

a)  n  2 

b)  n  2 

d)  n  3 

e) N.A

 r 1   

Hallar el valor de “n” en la siguiente. n

n 1

Igualdad:

2 C4 = 5 C3

a) 6

b) 8

d) 12

e) 5

 r  2  

 r   

c)  n  2 

 r  2  

c) 10

3