Analisi Matematica 2 - Teoremi

Università degli Studi di Trieste Piazzale Europa 1, 34100 Trieste Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA INFORMATICA Anno Accademico 2002/2003

Teoremi di ANALISI MATEMATICA 2

Studente: Giorgio Davanzo [email protected]

Parte 1 - Serie numeriche, successioni e serie di funzioni TEOREMI 1. Condizione necessaria per la convergenza di una serie 2. Relazioni tra serie numeriche e integrali generalizzati 3. Carattere della serie geometrica 4. Carattere della serie armonica generalizzata 5. Aut-aut per le serie a termini positivi 6. Criterio del confronto 7. Criterio dell'ordine d'infinitesimo 8. Criterio del rapporto per la convergenza di una serie numerica a termini positivi 9. Criterio del rapporto con il limite 10. Criterio di Leibniz per la convergenza di una serie numerica con termini di segno alternato 11. Lemma di Abel 12. Proprietà caratteristiche del raggio di convergenza 13. Teorema di convergenza di una serie di Taylor (o di sviluppabilità in s.d.T.) 14. Formule di Eulero Parte 2 - Lo spazio Rn, integrale di Riemann in Rn 15. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz 16. Proprietà della norma 17. Teorema di Riesz in Rn 18. Il grafico di una funzione integrabile su un rettangolo è trascurabile 19. Una condizione sufficiente per l'integrabilità su un insieme limitato 20. Ogni insieme normale è chiuso e misurabile 21. Formule di riduzione su domini normali in R2 Parte 3 – Calcolo differenziale in Rn 22. La differenziabilità implica la continuità 23. La differenziabilità implica l’esistenza di tutte le derivate direzionali 24. Teorema del differenziale totale 25. Teorema del valore medio 26. Test delle derivate prime per i punti di estremo 27. Test delle derivate seconde per i punti di estremo Parte 4 – Equazioni differenziali 28. (EDO 1°) Di esistenza e unicità locali 29. (EDO 1°) Di esistenza e unicità globali 30. (EDL 1°) Omogenea 31. (EDL 1°) Completa 32. (EDL 1°) Variazione delle costanti 33. (EDL 1°) Problema di Cauchy 34. (EDO 2°) Soluzione 35. (EDL 2° a coeff. cost.) Soluzioni 36. (EDL 2° a coeff. cost.) Sottospazio delle soluzioni 37. (EDL 2° a coeff. cost.) Determinazione delle soluzioni 38. (EDL 2° a coeff. cost.) Nucleo risolvente 39. (EDL n a coeff. cost.) Soluzioni 40. (EDL n a coeff. cost.) Sottospazio delle soluzioni 41. (EDL n a coeff. cost.) Determinazione delle soluzioni 42. (EDL n a coeff. cost.) Nucleo risolvente 43. Equazioni con variabili separate: metodo risolutivo 44. Confronto tra le soluzioni di equazioni nonlineari e equazioni linearizzate Parte 5 – Curve in forma parametrica 45. Rettificabilità di una curva di classe C1 46. Integrale curvilineo di un campo vett. conserv. – Generalizzaz. del teorema di Torricelli

Teoremi – Serie numeriche, successioni e serie di funzioni 1. Condizione necessaria per la convergenza di una serie +∞

Se

∑a n =1

n

è convergente allora lim an = 0 . n→+∞

Dim Si ha: an = sn − sn−1 → s − s = 0 dove lim sn = s ∈ R . n→+∞

2. Relazioni tra serie numeriche e integrali generalizzati +∞

Data una serie

∑a n =1

n

, definiamo la “funzione a gradini” a : [0,+∞[ → R ponendo a( x ) := an se

n −1 ≤ x < n ; la funzione è localmente integrabile su [0,+∞[ e risulta (∀n ) +∞

Teo La serie

∑a n =1

n

∫ a(x )dx = s n

0

è convergente ⇔ a (x ) è integr. in s.g. su [0,+∞[ ; inoltre si ha

Dim 1) Se a ( x ) è integr. in s.g. su [0,+∞[ , allora

+∞

∑a n =1

n

è convergente e

n

.

+∞

∫ a(x )dx = s . 0

+∞

∫ a(x )dx = s . 0

x +∞ Se a ( x ) è integr. in s.g. su [0,+∞[ , allora esiste finito lim ⎛⎜ ∫ a (t )dt ⎞⎟ = ∫ a( x )dx . Per il teorema n→ +∞ ⎝ 0 ⎠ 0

sul limite della restrizione, esiste finito

+∞

lim ∫ a( x )dx = ∫ a(x )dx e quindi esiste finito n

n→+∞ 0

0

+∞

lim sn = ∫ a( x )dx .

n→+∞

0

+∞

2) Se

∑a n =1

+∞

Se

∑a n =1

n

n

è convergente, allora a ( x ) è integr. in s.g. su [0,+∞[ .

è conv., allora lim an = 0 . Quindi risulta se n −1 ≤ x < n , n→+∞

∫ a(t )dt = ∫ x

0

= sn−1 + an ( x − (n − 1)) → s + 0 = s . Dunque a ( x ) è integr. in s.g. su [0,+∞[ e

n −1

0

a(t )dt + ∫ a(t )dt x

n −1

+∞

∫ a(x )dx = s . 0

3. Carattere della serie geometrica Serie geometrica: a + ak + ak 2 + ... + ak n−1 + ... con a, k ∈ R e a ≠ 0 (k si dice ragione della serie) (il rapporto di ogni elemento con il precedente è costantemente pari a k); ⎧ 1− k n se k ≠ 1 ⎪a si ha: s n = a + ak + ak 2 + ... + ak n−1 = a (1 + k + ... + k n−1 ) = ⎨ 1 − k ; ⎪an se k = 1 ⎩ a a risulta: • se k < 1 , allora ∃ lim sn = , quindi la serie geom. converge con somma ; n→+∞ 1− k 1− k • se k ≥ 1 o k < −1 , allora lim sn = ∞ , quindi la serie geom. è divergente; n→+∞

• se k = −1 , allora ∃/ lim s n , quindi la serie geom. è indeterminata; n→+∞

1− k n e allora se k > 1 la serie non converge perché 1− k 1− k n 1 1 1 1 n = −kn ≥ +k che tende a + ∞ . 1− k 1− k 1− k 1− k 1− k

Dim Le ridotte per k ≠ 1 sono a

4. Carattere della serie armonica generalizzata +∞ 1 1 1 1 + + " + + " = ∑ α α α α 2 3 n n =1 n +∞ 1 1 • Se α > 1 , la serie ∑ α è convergente ( ord +∞ α = a > 1 + ε per qualche ε ); n n =1 n +∞ 1 • Se α ≤ 1 , la serie ∑ α è divergente; n =1 n 1 Dim Si osserva che ord +∞ α = α ; n α −1 1. ∃ε > 0 tale che ord +∞ an = a > 1 + ε (per esempio ε = ); 2 2. ord +∞ an = α ≤ 1 ;

Serie armonica generalizzata: 1 +

5. Aut-aut per le serie a termini positivi Se an ≥ 0 (∀n ) , allora

+∞

∑a n =1

n

è convergente o divergente (a + ∞ ).

Dim Se an ≥ 0 (∀n ) , allora (sn )n è non-decrescente. Quindi per il teorema sul limite delle

⎧∈ R funzioni monotone esiste lim sn = sup sn = s ⎨ . n→+∞ n∈N + ⎩= +∞ 6. Criterio del confronto

(∀n ) ; si ha:

Se 0 ≤ an ≤ bn +∞

1) Se

∑ bn è convergente, allora n =1 +∞

2) Se

∑a n =1

+∞

∑a

n =1 +∞

n

∑b

è divergente, allora

n =1

n

n

è convergente;

è divergente; +∞

Dim (1) Siano a(x) e b(x) le funzioni a gradini associate a

+∞

∑ an

e

n =1

0 ≤ a ( x ) ≤ b( x )

∀x ∈ [0,+∞[ e b(x) è integrabile in s.g. su [0,+∞[ (essendo

∑b n =1

n

. Poiché

+∞

∑b n =1

n

convergente) il

criterio del confronto per l’integrale generalizzato implica che a(x) è integrabile in s.g. su [0,+∞[ +∞

e quindi

∑a n =1

n

converge. La (2) segue da (1).

7. Criterio dell’ordine d’infinitesimo Sia an ≥ 0 (∀n ) ; si ha: 1) 2)

se ∃ε > 0 t.c. ord +∞ an > 1 + ε , allora se ord +∞ an ≤ 1 , allora

+∞

∑a n =1

n

+∞

∑a n =1

n

è convergente;

è divergente (a + ∞ );

Dim Si applica l’analogo criterio dell’ordine di infinitesimo per l’integrale in senso generalizzato +∞

alla funzione a gradini a(x) associata a

∑a n =1

n

. Si ha ord +∞ a( x ) = ord +∞ an :

(1) Sia ord +∞ an > 1 + ε , allora risulta ord +∞ a ( x ) > 1 + ε . Infatti, se n −1 ≤ x ≤ n , si ha che an a(x ) a(x ) = a( x )x1+ε ≤ a n n1+ε = → 0 e quindi → 0 . Dunque a(x) è integrabile in s.g. su 1+ε 1+ε 1+ε ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ ⎝n⎠ ⎝ x⎠ +∞

[0,+∞[ , e quindi ∑ an

è convergente.

n =1

(2)

ord +∞ an ≤ 1 ,

Se

ord + ∞ a ( x ) ≤ 1 .

allora

Infatti

risulta

se

a ⎛ n −1 ⎞ a(x ) = a (x )x ≥ an (n − 1) = n ⎜ ⎟ , e quindi ord +∞ a(x ) ≤ ord +∞ an ≤ 1 . Dunque 1 1⎝ n ⎠ n x +∞

quindi

∑a n =1

n

n −1 ≤ x ≤ n

che

+∞

∫ a(x )dx = +∞

e

0

= +∞ .

8. Criterio del rapporto per la convergenza di una serie numerica a termini positivi Se an > 0 (∀n ) ed ∃k > 0

+∞ a n +1 ≤ k ∀n , allora ∑ a n è convergente. an n =1

0 < k < 1 tale che

Dim Si ha: a 2 ≤ ka1 , a3 ≤ ka 2 ≤ k 2 a1 , …, a n+1 ≤ ka n ≤ k n a1 ; quindi, ∀n , 0 < a n+1 ≤ k n a1 . Ossia +∞

maggiorata dalla serie geometrica

∑a k n =1

1

n −1

+∞

∑a n =1

n

è

, avente ragione 0 < k < 1 . Il criterio del confronto

+∞

implica che

∑a n =1

n

è convergente.

9. Criterio del rapporto con il limite Sia an > 0 (∀n ) : a n +1 = L < 1 , allora n → +∞ a n

1) Se ∃ lim

+∞

∑ an converge; n =1

a n +1 = L > 1 , allora n → +∞ a n

2) Se ∃ lim

+∞

∑a n =1

n

diverge;

⎞ an+1 − L < ε ⎟⎟ . Fissiamo ε > 0 t.c. 1 > L + ε =: k (per an ⎝ ⎠ a 1− L esempio ε = ). Dunque esiste n t.c. (∀n )(n > n ) (L-ε < ) n+1 < L + ε = k con 0 < k < 1 . an 2 Dim (1) Si ha:

⎛

(∀ε > 0)(∃n )(∀n )⎜⎜ n > n ⇒

+∞

Quindi, per il criterio del rapporto

∑ an converge e pertanto

n = n +1

+∞

∑a n =1

n

converge.

(2) Il termine generale non è infinitesimo.

10. Criterio di Leibniz per la convergenza di una serie numerica con termini di segno alternato

+∞

Supponiamo che (∀n ) : (1) an ≥ 0 e (2) an+1 ≤ an ; si ha che la serie ⇔ lim an = 0 . Inoltre, detta s la somma della serie, risulta (∀n )

n

n =0

n

è convergente

s − sn ≤ an+1 .

n → +∞

Dim Si ha ∀k :

∑ (− 1) a

• s2 k +1 = s2 k − a2 k +1 ≤ s2 k - dalla (1)

• s2 k +1 = s2 k − a2 k +1 = s2 k −1 + (a2 k − a2 k +1 ) ≥ s2 k −1 - dalla (2) • s2 k + 2 = s2 k − a2 k +1 + a2 k + 2 ≤ s2 k - dalla (2)

Quindi

(s2k +1 )k è

non decrescente e

(s2 k )k

limitata da s 2 e

(s2 k )k è

non crescente. Inoltre

(s2k +1 )k è

superiormente

è inferiormente limitata da s1 . Il teorema sul limite delle funzioni monotone assicura che esistono finiti lim s 2 k +1 =: s ′ e lim s 2 k =: s ′′ . Poiché s2 k +1 = s2 k − a2 k +1 e k →+∞

k →+∞

lim an = 0 , risulta s′ = s′′ =: s . Dunque esiste finito lim s n = s .

n→ +∞

n →+∞

s − sn = s − s2 k ≤ a2 k +1 (essendo s2 k +1 ≤ s ≤ s2 k );

Infine si ha: • n = 2k • n = 2k + 1

s − sn = s − s2 k +1 ≤ a2 k + 2 ;

e quindi s − sn ≤ an+1 .

11. Lemma di Abel +∞

Se

∑ a (x − x ) n =0

n

n

0

converge in x ∈ R , allora converge ∀x ∈ R tale che x − x0 < x − x0 .

+∞

Dim Poiché

∑ a (x − x ) n =0

a n ( x − x0 ) ≤ M n

x∈R

Sia

n

n

0

è convergente, si ha che lim an (x − x0 ) = 0 e quindi ∃M > 0 tale che n

n →+∞

∀n ; a n ( x − x0 ) =

tale

n

x − x0

che x − x0 < x − x0 .

x − x0 = a n ( x − x0 ) n

n

Posto

+∞

an ( x − x0 ) ≤ M ⋅ q n . Dunque

∑ a (x − x )

n

∀n

n

a n x − x0

n =0

n

n

0

q :=

n

x − x0 x − x0

,

⎛ x − x0 ⎜ ⎜ x−x 0 ⎝

risulta

+∞

∑ a (x − x ) n =0

∑ a (x − x ) n =0

n

n

0

0 ≤ q <1

e

n

n

0

12. Proprietà caratteristiche del raggio di convergenza +∞

∑ a (x − x ) n =0

n

n

0

+∞

verifica:

1) se x ∈ R è t.c. x − x0 < R , allora

∑ a (x − x )

converge.

2) se x ∈ R è t.c. x − x0 > R , allora

∑ a (x − x )

non converge.

n =0 +∞ n =0

n

n

0

n

n

0

quindi

è convergente, e quindi

è convergente.

• Il raggio di convergenza R di

n

⎞ ⎟ . ⎟ ⎠

è maggiorata da una serie geometrica

convergente. Il criterio del confronto assicura che +∞

n

⎛ x − x0 ⎞ ⎟ ≤ M⎜ ⎜ x−x ⎟ 0 ⎝ ⎠

• Ogni R ′ ∈ [0,+∞[ che soddisfa le due condizioni è uguale al raggio di convergenza R.

Dim • Sia R il raggio di conv. definito come sup{ x − x0 : x ∈ I }: (1) Se x ∈ R è t.c. x − x0 < R , allora per la IIa proprietà dell’estremo superiore, ∃x ∈ I (insieme di convergenza) t.c. x − x0 < x − x0 < R . Per il lemma di Abel si ha che la serie converge in x. (2) Se x ∈ R è t.c. x − x0 > R : se per assurdo la serie convergesse nel p.to x, allora x ∈ I e

quindi sup{ x − x0 : x ∈ I } > R : impossibile. Dunque la serie converge nel p.to x.

• Sia R ′ ∈ [0,+∞[ verificante (1) e (2) (riferite a R’); da (1) segue R′ ≤ R ; da (2) segue R′ ≥ R ; in conclusione R′ = R .

13. Teorema di convergenza di una serie di Taylor (o di sviluppabilità in s.d.T.) Se f : ]x0 − h, x0 + h[ → R (con h > 0 ) è di classe C ∞ ed esiste M > 0 t.c. ∀n ∈ N : n! f (n ) ( x ) ≤ M n su ]x0 − h, x0 + h[ allora f è sviluppabile in serie di Taylor con p.to iniziale x0, su h ]x0 − h, x0 + h[ . n

Dim Sia x ∈ ]x0 − h, x0 + h[ fissato. Si ha ( ∀n ): f (x ) − sn+1 ( x ) = f ( x ) − ∑ k =0

f ( k ) ( x0 ) (x − x0 )k = k!

(ξ ) (x − x )n+1 con ξ ∈ ]x − h, x + h[ . Quindi risulta: 0 0 0 (n + 1)! n +1 f (n+1) (ξ ) ⎛ x − x0 ⎞ M (n + 1)! 1 n +1 n +1 ⎟ →0 ≤ ⋅ = M ⎜⎜ f ( x ) − sn+1 ( x ) = x − x0 x − x0 ⎟ (n + 1)! (n + 1)! h n+1 ⎝ h ⎠ essendo ]x − x0 [ < h . Dunque si ha lim s n+1 ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ ]x0 − h, x0 + h[ . n →+∞ = f ( x ) − pn, x0 ( x ) =

f

( n+1)

se n → ∞ ,

14. Formule di Eulero 1)

e iy = cos y + i sin y

e − iy = cos y − i sin y

e iy − e −iy sinh (iy ) e iy + e −iy cos y = = cosh (iy ) sin y = = 2) 2 2i i 3 5 2 4 6 ⎛ ⎞ (iy )3 + (iy )5 + ... y y y y y − ...⎟⎟ = iy + + − + ... e i sin y = i⎜⎜ y − + Dim 1) Si ha: cos y = 1 − 3! 5! 3! 5! 2! 4! 6! ⎝ ⎠ Si ottiene quindi: 3 5 (iy )2 + (iy )3 + (iy )4 + ... = e iy y 2 (iy ) y 4 (iy ) y6 cos y + i sin y = 1 + iy − + + + − + ... = 1 + iy + 2! 3! 4! 5! 6! 2! 3! 4! La seconda delle (1) si prova in modo analogo; Le (2) si ottengono per somma e sottrazione dalle precedenti;

Teoremi – Lo spazio Rn, integrale di Riemann in Rn 15. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz

∀ x, y ∈ R n

< x, y > ≤ < x, x > < y , y >

Se y = 0 , allora la (dis)uguaglianza è verificata.

Dim

Sia y ≠ 0 ; sia t ∈ R . Si ha: 0 ≤< x − ty, x − ty >=< x, x > −2t < x, y > +t 2 < y, y > , cioè

< y, y > t 2 − 2 < x, y > t + < x, x >≥ 0 ; (se a > 0 , at 2 + bt + c ≥ 0 ⇔ Δ < 0 = b 2 − 4ac < 0 ) questo si ha Δ =< x, y > 2 − < x, x >< y, y > , cioè < x, y > 2 ≤< x, x >< y, y > . Prendendo la radice 4 quadrata si ha < x, y > ≤ < x, x > < y, y > . // Si ha l’uguaglianza solo se x,y linearm. dipend. se e solo se 0 ≥

16. Proprietà della norma La norma è un’applicazione ⋅ : R n → R che gode delle seguenti proprietà: 1) x ≥ 0, ∀ x ∈ R n

2) x = 0 ⇔ x = 0

(non negatività);

(non degeneratezza);

3) λ x = λ ⋅ x , ∀ x ∈ R n , ∀λ ∈ R (omogeneità); 4) x + y ≤ x + y , ∀ x, y ∈ R n (sub-additività); Le prime tre affermazioni sono di immediata verifica; Dim Le prime tre affermazioni sono di immediata verifica; 2

2

2

2

2

(

(4) x + y =< x + y , x + y >= x + 2 < x, y > + y ≤ x + 2 x ⋅ y + y = x + y

)

2

17. Teorema di Riesz in Rn Per ogni forma lineare L : R n → R esiste uno e uno solo a ∈ R n t.c. L( x ) =< a,x > ∀ x ∈ R n . Dim L’esistenza di a è verificata dal fatto che L è una forma lineare. Unicità: Supponiamo che esistano 2 vettori a, b ∈ R n t.c. L( x ) =< a,x >=< b,x > ∀ x ∈ R n . Si ha che < a − b,x >= 0 ∀ x ∈ R n . Testiamo per x=a-b: < a − b,a − b >= 0 ⇒ a − b , ossia a=b. 2

18. Il grafico di una funzione integrabile su un rettangolo è trascurabile Se ϕ : [ a, b] → R è integrabile, allora l’insieme G (ϕ ) grafico di f è un sottoinsieme trascurabile di

R

2

. n

n

i =1

i =1

Dim Essendo ϕ integrabile, ∀ε > 0 ∃δ ∈ Δ (R ) S (δ ) − s (δ ) < ε = ∑ Li ( xi − xi −1 ) − ∑ li ( xi − xi −1 ) = n

= ∑ (Li − li )( xi − xi −1 ) . Si ha che G (ϕ ) ⊂ R1 ⊂ ... ⊂ Rn e m(R1 ) + ... + m(Rn ) < ε . i =1

(

)

Se ϕ : R ⊂ R 2 → R è integrabile su R con R un 2-rettangolo, allora l’insieme G (ϕ ) grafico di f è un sottoinsieme trascurabile di

R

3

.

19. Una condizione sufficiente per l’integrabilità su un insieme limitato

(

)

Se f : E ⊂ R n → R è limitata e continua, con E insieme limitato e fr(E) è trascurabile in Rn, allora f è integrabile su E.

⎧ f (x ) x ∈ E Dim Sia R un N-rettangolo con E ⊂ R n e sia f 0 : R → R definita come f 0 (x ) = ⎨ . x∉E ⎩0 Poiché f0 è discontinua (al più) su fr(E) e fr(E) è trascurabile, si ha che f0 è integrabile su R. Quindi f è integrabile su E. 20. Ogni insieme normale è chiuso e misurabile Dim

{

Si

ha

che

E

è

}

chiuso

{

e

limitato.

Inoltre

}

frE = G (ϕ ) ∪ G (ψ ) ∪ σ a ∪ σ b ,

con

σ a = (a, y ) : ϕ (a ) ≤ y ≤ ψ (a ) e σ b = (b, y ) : ϕ (b ) ≤ y ≤ ψ (b ) , è trascurabile, quindi E è misurabile. T

T

21. Formule di riduzione su domini normali in R2

(

)

Sia f : E ⊂ R 2 → R una funzione continua sul dominio E = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, ϕ ( x ) ≤ y ≤ ψ ( x )} normale rispetto all'asse x. Allora f è integrabile su E e si ha

∫

E

b ⎛ψ (x ) ⎞ fdm = ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dy ⎟dx . ⎜ ⎟ a ⎝ ϕ (x) ⎠

Dim Siano c = min ϕ (I ) e d = maxψ (I ) , con I = [a, b] . Risulta E ⊂ R = [a , b ]× [c , d ]. La ⎧ f ( x, y ) se (x, y ) ∈ E f.ne f ( x, y ) : R = [a, b]× [c, d ] → ℜ definita da f ( x, y ) = ⎨ è continua su R se (x, y ) ∉ E ⎩0 tranne, eventualmente, nei punti del tipo ( x,ϕ ( x )) e del tipo ( x,ψ ( x )) che costituiscono un insieme trascurabile ed è quindi integrabile su R. Si ha:

∫

E

fdm = ∫

R

⎛d ⎞ fdm = ∫ ⎜⎜ ∫ f ( x, y )dy ⎟⎟dx = a⎝c ⎠

ψ (x ) d b ⎛ψ (x ) ⎛ ϕ (x ) ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ = ∫ ∫ f ( x, y )dy + ∫ f ( x, y )dy + ∫ f ( x, y )dy dx =0 + ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dy ⎟dx + 0 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ϕ (x ) ψ (x ) a⎝ c a ⎝ ϕ (x ) ⎠ ⎠ Si ottiene un analogo teorema scambiando i ruoli delle variabili x e y. b

b

Teoremi – Calcolo differenziale in Rn 22. La differenziabilità implica la continuità

(

)

Siano f : A ⊂ R n → R , con A aperto, e x0 ∈ A . Se f è differenz. in x0 , allora f è continua in x0 . Dim Si ha f (x ) = f ( x 0 ) + L(x − x0 ) + ε ( x ) x − x0 → f ( x 0 ) se x → x 0 .

23. La differenziabilità implica l’esistenza di tutte le derivate direzionali

(

)

Siano f : A ⊂ R n → R , con A aperto, e x0 ∈ A . Se f è differenziabile in x0 , allora per ogni ∂f (x0 ) = L(v ) . versore v ∈ R n esiste ∂v f ( x 0 + t v ) − f ( x0 ) = Dim Fissiamo un versore v ∈ R n . Calcoliamo t 1 1 1 = ( f (x0 ) + L(t v ) + ε ( x0 + t v ) x − x0 − f ( x0 )) = (L(t v ) + ε (x0 + t v ) t v ) = (tL(v ) + ε ( x0 + t v ) t ⋅ v ) = t t t t f ( x0 + t v ) − f ( x0 ) ∂f = L(v ) + ε ( x0 + t v ) → 0 . Dunque esiste finito lim = L(v ) , cioè ∃ ( x0 ) = L(v ) . t →0 ∂v t t ∂f Corollario Se f è differenziabile in x0 , allora esistono (x0 ) = ∂f (x0 ) = L(e i ) per ∀i = 1,...n . ∂xi ∂ei

⎛ ∂f ⎞ (x0 ),..., ∂f (x0 )⎟⎟ . Quindi L = (df )( x 0 ) è rappresentato dalla matrice Jacobiana Jf ( x 0 ) = ⎜⎜ ∂xn ⎝ ∂xi ⎠ ∂f Dim Si ha (x0 ) = L(e i ) = ai ∀i = 1,...n . ∂xi 24. Teorema del differenziale totale

(

)

Se f : A ⊂ R n → R , con A aperto, è dotata di derivate parziali in A continue in x 0 ∈ A , allora f è differenziabile in x 0 . Dim (N=2) Siano (h, k ) ∈ R 2 tali che i segmenti che congiungono (x0 , y0 ) con ( x0 + h, y0 + k ) e T

T

T

(x0 , y0 )T con (x0 , y0 + k )T sono contenuti in A. Calcoliamo, usando il teorema di Lagrange, f (x0 + h, y 0 + k ) − f (x0 , y0 ) = f (x0 + h, y0 + k ) − f (x0 , y0 + k ) + f ( x0 , y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) = T = f x ( x0 + ϑh, y 0 + k ) ⋅ h + f y ( x0 , y 0 + τk ) ⋅ k con ϑ ,τ ∈ ]0,1[ . Poiché fx e fy sono continue in (x0 , y0 ) , si ha: f x ( x0 + ϑh, y 0 + k ) = f y ( x0 ,y 0 ) + ε1 (h,k ) con lim ε1 (h,k ) = 0 ( h ,k )→(0 , 0 ) T

e f y ( x0 , y 0 + τk ) = f y ( x0 ,y 0 ) + ε 2 (k )

con lim ε 2 (k ) = 0 ; k →0

quindi risulta: f (x0 + h, y 0 + k ) − f (x0 , y 0 ) = f x (x0 , y 0 ) ⋅ h − f y ( x0 , y 0 ) ⋅ k + ε 1 (h, k ) ⋅ h + ε 2 (k ) ⋅ k con

ε 1 (h, k ) ⋅ h + ε 2 (k ) ⋅ k h +k 2

2

≤ ε 1 (h, k )

h h +k 2

2

+ ε 2 (k )

k h +k 2

2

≤ ε 1 (h, k ) + ε 2 (k ) → 0 se ⎛⎜⎝ h,k ⎞⎟⎠ → ⎛⎜⎝ 0 ,0 ⎞⎟⎠T .

25. Teorema del valore medio

(

)

Se f : A ⊂ R n → R con A aperto è differenziabile in A, allora ∀ x, y ∈ A tale che il segmento congiungente x e y è contenuto f (x ) − f ( y ) =< ∇f (x + ϑ ( y − x )), x − y > .

in

A,

esiste

ϑ ∈ ]0,1[

tale

che

Dim Si applica il teorema di differenziazione della f.ne composta h = f D g dove g (t ) = x + t ( y − x ) con t ∈ [0,1] . Per calcolare h’ si usa il teorema di differenziazione della f.ne composta. 26. Test delle derivate prime per i p.ti di estremo

(

)

Se f : A ⊂ R n → R , con A aperto, è differenziabile in x 0 ∈ A ed ha un estremo relativo in x 0 , ∂f allora ∇f ( x 0 ) = 0, (x 0 ) = ... = ∂f (x 0 ) = 0 . ∂x1 ∂xn Dim Sia per esempio x 0 p.to di minimo. Poiché x 0 è interno ad A, ∃δ > 0 t.c. B ( x 0 , δ ) ∈ A . Fissiamo un versore u . La funzione g (t ) = f ( x 0 + t u ) è definita su ]− δ , δ [ . Si ha che g è ∂f (x 0 ) . Inoltre g ha un minimo relativo in 0, e 0 ∈ ]− δ ,δ [ . Per il teorema derivabile in 0 e g ′(0) = ∂u ∂f (x 0 ) . di Fermat, si ha che g ′(0) = 0 = ∂u 27. Test delle derivate seconde per i punti di estremo

(

)

: A ⊂ R n → R , con A aperto, due volte differenziabile in x 0 ∈ A , e sia ∇f ( x 0 ) = 0 . Si ha: se Hf (x 0 ) è definita positiva in x 0 , allora x 0 è un minimo relativo; se Hf (x 0 ) è definita negativa in x 0 , allora x 0 è un massimo relativo; se Hf (x 0 ) è indefinita, allora x 0 è un punto di sella; 1 2 Dim (1) Si ha: f (x ) = f ( x 0 )+ < ∇f ( x 0 ), x − x 0 > + < Hf ( x 0 )( x − x 0 ), x − x 0 > +ε ( x ) x − x 0 con 2 1 2 lim ε ( x ) = 0 . Poiché x 0 è p.to critico f ( x ) − f ( x 0 ) = < Hf ( x 0 )( x − x 0 ), x − x 0 > +ε ( x ) x − x 0 ; x→ x0 2 2 poiché Hf (x 0 ) è definita positiva, esiste m > 0 tale che < Hf ( x 0 )h, h >≥ m h ∀h ∈ R n . Quindi si Sia f 1. 2. 3.

1 m 2 2 2 < Hf ( x 0 )( x − x 0 ), x − x 0 > +ε ( x ) x − x 0 ≥ x − x 0 + ε (x ) x − x 0 = 2 2 m m m 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ + ε ( x )⎟ x − x 0 . Poiché lim ⎜ + ε ( x )⎟ = > 0 , il teorema di permanenza del segno x → x 0 ⎝2 ⎠ 2 ⎝2 ⎠ m + ε ( x ) > 0 ∀ x ∈U \ {x 0 } e quindi garantisce l’esistenza di U ∈ I x 0 t.c. 2 f ( x ) − f ( x 0 ) > 0 ∀ x ∈ U \ {x 0 } , cioè x 0 è p.to di minimo relativo. (2) Analoga a (1) 1 2 (3) Si ha f ( x ) = f ( x 0 ) + < Hf ( x 0 )( x − x 0 ), x − x 0 > +ε (x ) x − x 0 ; poiché Hf (x 0 ) è indefinita, 2 esistono due versori u e v (u ≠ v ) tali che < Hf ( x 0 )u , u >= 0 e < Hf ( x 0 )v, v >= 0 . Quindi risulta ha f ( x ) − f (x 0 ) =

1 2 ⎛1 ⎞ < Hf ( x 0 )t u , t u > +ε ( x 0 + t u ) t u = f ( x 0 ) + ⎜ < Hf ( x 0 )u , u > +ε ( x 0 + t u )⎟t 2 2 ⎝2 ⎠ Dunque g u (t ) ha un minimo relativo per t=0; analogamente si ha che g v (t ) = f ( x 0 + t v ) ha un

g u (t ) = f ( x 0 + t u ) = f ( x 0 ) +

massimo relativo per t=0; in conclusione, x 0 è p.to di sella.

Teoremi – Equazioni differenziali 28. (EDO 1°) Di esistenza e unicità locali Se f : A(⊂ R 2 ) → R è continua, allora esistono un h > 0 ed una funzione y : I = ]x0 − h, x0 + h[ → R soluzione del Problema di Cauchy. Se, inoltre, esiste ed è continua la derivata della f rispetto a y f y : A(⊂ R 2 ) → R , allora la soluzione è unica. 29. (EDO 1°) Di esistenza e unicità globali ∂f : A = ]a, b[ × R → R è continua e limitata, allora ∂y esiste una e una sola soluzione globale y : ]a, b[ → R del problema.

Se f : A = ]a, b[ × R → R è continua e se

30. (EDL 1°) Omogenea Le soluzioni di un’eq. diff. lineare omogenea del 1° ordine costituiscono un sottospazio S di dimensione 1 dello spazio vettoriale C 1 ( I , R ) . Si ha inoltre S = {ce A( x ) : c ∈ R} , dove A(x ) è una primitiva di a(x ) su I . Dim: S è un spazio vettoriale. Sia A(x) una primitiva di a(x ) su I . Dall’uguaglianza y ' ( x) − a ( x) y ( x) = 0 , moltiplicando ambo i membri per e − A( x ) , si ottiene d y ' ( x )e − A ( x ) − a ( x ) y ( x )e − A ( x ) = ( y ( x )e − A( x ) ) = 0 . Si ha dunque y ( x )e − A( x ) = c , da cui y ( x ) = ce A( x ) . dx 31. (EDL 1°) Completa Le soluzioni di un’eq. diff. lin. Completa del 1° ordine sono date dalle funzioni del tipo y ( x) = z ( x) + y ( x) , essendo z (x) una generica soluzione dell’eq. omogenea associata e y (x) una soluzione particolare dell’eq. completa. Dim: z ( x ) + y ( x ) è sol. dell’eq. completa. Se y (x) e y (x) sono due soluzioni della completa, si constata immediatamente che y ( x ) − y ( x ) è una soluzione dell’omogenea associata. 32. (EDL 1°) Variazione delle costanti x

Una soluzione particolare dell’eq. diff. lin. Completa è data da y ( x) = ∫ e A( x )− A( t ) b(t ) dt , con x0 x0

prefissato punto di I e A(u) primitiva di a(u) . Dim: (Metodo di variazione delle costanti). Cerchiamo soluzioni del tipo y ( x ) = c( x )e A( x ) , con c(x) funzione incognita di classe C 1 . Una funzione di questo tipo è soluzione sse c' ( x )e A( x ) + c( x )a ( x )e A( x ) = a ( x )c( x )e A( x ) + b( x ) , ossia sse c' ( x )e A( x ) = b( x ) , e quindi x

c' ( x ) = b( x)e − A( x ) , da cui si ottiene c( x) = ∫ e − A( t ) b(t ) dt . Ne viene che è x0

x

y ( x) = c( x)e A( x ) = ∫ e A( x )− A( t ) b(t ) dt . x0

33. (EDL 1°) Problema di Cauchy

⎧ y ' ( x ) = a ( x ) y ( x ) + b( x ) Per ogni x0 ∈ I , e per ogni y0 ∈ R , il problema di Cauchy ⎨ ha una e una ⎩ y ( x0 ) = y 0 sola soluzione y (x) definita su tutto I . x

Dim: La generica soluzione dell’eq. completa è y ( x) = ce A( x ) + ∫ e A( x )− A( t ) b(t ) dt che è definita su x0

I . La soluzione del problema è univocamente determinata dalla condizione iniziale y ( x0 ) = y0 , dalla quale si ricava c = y0 e − A( x0 ) . 34. (EDO 2°) Soluzione Se f : A(⊂ R 3 ) → R è continua, allora esistono un h > 0 ed una funzione y : I = ]x0 − h, x0 + h[ → R soluzione del problema. Se, inoltre, la funzione f ( x, y, z ) è dotata di ∂f ∂f derivate parziali e : A → R continue, allora la soluzione è unica. ∂y ∂z 35. (EDL 2° a coeff. cost.) Soluzioni Le soluzioni di un’eq. diff. lin. completa del 2° ordine sono date dalle funzioni del tipo y ( x) = z ( x) + y ( x) , essendo z (x) una generica soluzione dell’eq. omogenea associata e y (x) una soluzione particolare dell’eq. completa. 36. (EDL 2° a coeff. cost.) Sottospazio delle soluzioni Le soluzioni di un’eq. diff. lin. omogenea del 2° ordine costituiscono un sottospazio S di dimensione 2 di C 2 ( R, R ) . 37. (EDL 2° a coeff. cost.) Determinazione delle soluzioni Sia data un’eq. diff. lin. omogenea del 2° ordine a coeff. cost. y ' ' ( x) + ay ' ( x) + by ( x ) = 0 ; si indichi con S lo spazio vettoriale delle sue soluzioni e si ponga Δ = a 2 − 4b . Allora: −a+ Δ −a− Δ 1) Δ > 0 . Se λ1 = e λ2 = sono le due radici dell’eq. caratteristica 2 2 z 2 + az + b = 0 , una base di S è data dalle funzioni {e λ1x , e λ2 x } . −a 2) Δ = 0 . Se λ = è l’unica radice (doppia) dell’eq. caratteristica, una base di S è data dalle 2 funzioni {e λx , xe λx } .

−Δ −a e β= . (Le radici complesse dell’eq. caratteristica sono perciò 2 2 λ1 = α + iβ e λ2 = α − iβ .) Una base di S è allora {eαx cos βx, eαx sin βx} .

3) Δ < 0 . Siano α =

38. (EDL 2° a coeff. cost.) Nucleo risolvente Sia data un’eq. diff. lin. del 2° ordine e sia { y1 , y 2 } una base dello spazio S delle soluzioni dell’eq. omogenea associata. Allora una soluzione particolare dell’eq. completa è data da

x

y ( x) = ∫ K ( x, t )c(t ) dt , dove il “nucleo risolvente” K ( x, t ) è dato da x0

y1 (t ) y 2 (t ) y1 (0) y 2 (0) y ( x) y2 ( x) y ( x − t ) y2 ( x − t ) = 1 . K ( x, t ) = 1 y1 (t ) y 2 (t ) y1 (0) y 2 (0) y '1 (t ) y ' 2 (t ) y '1 (0) y '2 (0) Casi particolari: Se la funzione c( x) è di tipo particolare, la ricerca di una soluzione y ( x) può risultare facilitata. 1) Sia c( x ) = P ( x )e λx , con λ ∈ R e P ( x ) polinomio. - Se λ non è radice dell’eq. caratt., y può essere ricercata fra le funzioni del tipo y ( x ) = Q ( x )e λx , con Q (x) polinomio e grQ( x) = grP( x) . - Se λ è radice dell’eq. caratt. Con molteplicità γ (≤ 2) , y può essere ricercata fra le funzioni del tipo y ( x ) = x γ Q ( x )e λx , con Q (x) polinomio e grQ( x) = grP( x) . 2) Sia c( x) = eαx P ( x ) cos βx [o c( x) = eαx P ( x) sin βx ] con α , β ∈ R, P ( x) polinomio. - Se α + iβ non è radice dell’eq. caratt., y può essere ricercata fra le funzioni del tipo y ( x ) = eαx (Q1 ( x) cos βx + Q2 ( x ) sin βx ) , con grQ1 ( x ) = grQ2 ( x ) = grP ( x ) . - Se α + iβ è radice dell’eq. caratt. (necessariamente di molteplicità γ = 1 , dato che deve essere radice anche α − iβ ), y può essere ricercata fra le funzioni del tipo y ( x ) = xeαx (Q1 ( x ) cos βx + Q2 ( x ) sin βx ) , con grQ1 ( x ) = grQ2 ( x ) = grP ( x ) . Principio di sovrapposizione: Posto L( y ) = y ' '+ ay '+ by , da L( y1 ) = c1 e L( y 2 ) = c2 , segue L( y1 + y 2 ) = c1 + c2 che permette, spezzando il termine noto nella somma dei suoi eventuali addendi, di ricondurre il problema della ricerca di y a sottoproblemi più semplici. 39. (EDL n a coeff. cost.) Soluzioni Le soluzioni di un’eq. diff. lin. completa di ordine n sono date dalle funzioni del tipo y ( x) = z ( x) + y ( x) , con z (x) generica soluzione dell’eq. omogenea associata e y (x) soluzione particolare dell’eq. completa. 40. (EDL n a coeff. cost.) Sottospazio delle soluzioni Le soluzioni di un’eq. diff. lin. omogenea a coeff. cost. di ordine n costituiscono un sottospazio S di dimensione n dello spazio vettoriale C n ( R, R ) . 41. (EDL n a coeff. cost.) Determinazione delle soluzioni Sia data un’eq. diff. lin. omogenea di ordine n a coeff. cost. y ( n) ( x) + a1 y ( n−1) ( x) + ... + an y ( x) = 0 . Se α 1 , α 2 ,..., α r sono le radici reali della equazione caratteristica z n + a1 z n−1 + a2 z n−2 + ... + an = 0 , e β 1 ± iγ 1 , β 2 ± iγ 2 ,…, β s ± iγ s quelle complesse (a due a due coniugate), di molteplicità rispettive μ1 , μ 2 ,..., μ r e ν 1 ,ν 2 ,...,ν s , una base dello spazio vettoriale S è data dalle funzioni:

eα1x , xeα1x ,..., x μ1 −1eα1x , eα 2 x , xeα 2 x ,..., x μ2 −1eα 2 x , ... eα r x , xeα r x ,..., x μr −1eα r x , e β1x cos γ 1 x, xe β1x cos γ 1 x,..., xν1 −1e β1x cos γ 1 x, e β1x sin γ 1 x, xe β1x sin γ 1 x,..., xν1 −1e β1x sin γ 1 x, e β 2 x cos γ 2 x, xe β 2 x cos γ 2 x,..., xν 2 −1e β 2 x cos γ 2 x, e β 2 x sin γ 2 x, xe β 2 x sin γ 2 x,..., xν 2 −1e β 2 x sin γ 2 x, ... e β s x cos γ s x, xe β s x cos γ s x,..., xν s −1e β s x cos γ s x, e β s x sin γ s x, xe β s x sin γ s x,..., xν s −1e β s x sin γ s x.

42. (EDL n a coeff. cost.) Nucleo risolvente Sia data un’eq. diff. lin. di ordine n e sia { y1 , y 2 ,..., y n } una base dello spazio S delle soluzioni dell’eq. omogenea associata. Allora una soluzione particolare dell’eq. completa è data da y1 (t ) ... y n (t ) y '1 (t ) ...

y ' n (t )

... y1n−2 (t ) ... x

y ( x) = ∫ K ( x, t )c(t ) dt , dove il “nucleo risolvente” K ( x, t ) è dato da K ( x, t ) = x0

ynn−2 (t )

y1 (t ) ... y n (t ) y1 (t ) ... y n (t ) y '1 (t ) ...

y ' n (t )

... y1n−1 (t ) ...

y nn−1 (t )

Casi particolari: 1) Sia c( x ) = P ( x )e λx , con λ ∈ R e P (x) polinomio. - Se λ non è radice dell’eq. caratt., y può essere ricercata fra le funzioni del tipo y ( x ) = Q ( x )e λx , con Q (x) polinomio e grQ( x) = grP( x) . - Se λ è radice dell’eq. caratt. Con molteplicità γ , y può essere ricercata fra le funzioni del tipo y ( x ) = x γ Q ( x )e λx , con Q ( x ) polinomio e grQ ( x ) = grP( x ) . 2) Sia c( x) = eαx P ( x ) cos βx [o c( x) = eαx P ( x) sin βx ] con α , β ∈ R, P ( x) polinomio. - Se α + iβ non è radice dell’eq. caratt., y può essere ricercata fra le funzioni del tipo

y ( x ) = eαx (Q1 ( x) cos βx + Q2 ( x ) sin βx ) , con grQ1 ( x ) = grQ2 ( x ) = grP ( x ) . - Se α + iβ è radice dell’eq. caratt. con molteplicità γ , y può essere ricercata fra le funzioni del tipo y ( x ) = x γ eαx (Q1 ( x) cos βx + Q2 ( x ) sin βx ) , con grQ1 ( x ) = grQ2 ( x ) = grP ( x ) . Principio di sovrapposizione: Posto L( y ) = y ( n) + a1 y ( n−1) + ... + an y , da L( y1 ) = c1 e L( y 2 ) = c2 , segue L( y1 + y 2 ) = c1 + c2 che permette, spezzando il termine noto nella somma dei suoi eventuali addendi, di ricondurre il problema della ricerca di y a sottoproblemi più semplici.

43. Equazioni con variabili separate: metodo risolutivo Sono così dette le equazioni del tipo y'(x) = g(x)h(y) [= f(x,y(x))] , con g : ]a, b[ → R continua, (potendo event. essere a = −∞ , b = +∞ ), e h : ]c, d [ → R di classe C1, (potendo event. essere c = −∞ , d = +∞ ). ⎧ y ′( x ) = g ( x )h( y ) Per ogni x0 ∈ ]a, b[ e ogni y0 ∈ ]c, d [ il probl. di Cauchy ⎨ ha una e una sola ⎩ y ( x0 ) = y 0

soluzione locale y ( x ) : I → R , con I = ]x0 − h, x0 + h[ ⊂ ]a, b[ . 1) Se è h( y0 ) = 0 , si ha y ( x ) ≡ y 0 (soluzione costante). 2) Sia h( y0 ) ≠ 0 . Se y(x) è la soluzione, allora si ha h( y ( x )) ≠ 0 ∀x ∈ I ,. Infatti, se esistesse un ⎧ z ′( x ) = g ( x )h( z ) ammetterebbe le due soluzioni locali x1 ∈ I con h( y ( x1 )) = 0 , il probl. di Cauchy ⎨ ⎩ z ( x1 ) = y ( x1 ) y(x) e z(x)=y(x1), contro il Teorema di esistenza e di unicità locali. Dall'uguaglianza y ′(t ) y ′(t ) = g (t )h( y (t )) , dividendo per h ( y (t )) [≠ 0] , si ottiene = g (t ) . Integrando si ricava: h( y (t ))

y ′(t ) 1 ∫x h( y(t )) dt = x∫ g (t )dt , ossia H ( y(x )) − H ( y0 ) = G(x ) − G(x0 ) , essendo H ( y ) una primitiva di h( y ) 0 0 x

x

e G ( x ) una primitiva di g ( x ) . Poiché H ( y ) è dotata di inversa (essendo costante), si ottiene y ( x ) = H −1 (G ( x ) − G ( x0 ) + H ( y0 )) .

1 di segno h( y )

44. Confronto tra le soluzioni di equazioni nonlineari e equazioni linearizzate

(

)

Sia f : A ⊂ R 2 , con A aperto di classe C1 su A e

(x0 , y0 )T ∈ A .

Si vuol approssimare la

⎧ z ′ = f ( x, y ) ⎧ y ′ = f ( x, y ) soluzione del probl. VI ⎨ , con la soluzione del problema linearizzato ⎨ ⎩ y ( x0 ) = y 0 ⎩ z ( x0 ) = y 0 dove f ( x, y ) = f (x0 , y0 ) + f x (x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) è l’approssimante lineare di f in ⎧ z ′ = αy + βx + γ con α , β , γ ∈ R e quindi ⎨ è lineare rispetto a ⎩ z ( x0 ) = y 0 z e dove il II° membro dipende linearmente da z. Se y(x) è soluzione del PVI e z(x) è soluzione del sistema linearizzato, allora si ha y ( x0 ) = y0 , y ′( x0 ) = f ( x0 , y ( x0 )) = f ( x0 , y0 ) e z ( x0 ) = y0 ,

(x0 , y0 )T . Si ha: f (x, y ) = αy + βx + γ

z ′(x0 ) = f (x0 , z ( x0 )) = f (x0 , y0 ) = f (x0 , y0 ) ; inoltre y ′′( x0 ) = f x (x, y (x )) + f y ( x, y( x )) ⋅ y ′( x0 ) = f x ( x0 , y0 ) + f y ( x0 , y0 ) ⋅ y ′( x0 ) z ′′( x0 ) = f x ( x0 , y0 ) + f y ( x0 , y0 ) ⋅ z ′( x0 )

e quindi y ( x0 ) = z ( x0 ) , y ′′( x0 ) = z ′′( x0 ) , y ′′( x0 ) = z ′′( x0 ) . Pertanto i polinomi di Taylor di p.to iniziale

x0

coincidono,

y ( x ) = p2 ( x ) + ε (x )(x − x0 )

2

cioè

e

z ( x ) = p2 ( x ) + η ( x )( x − x0 )

lim ε ( x ) = lim η ( x ) = 0 . Quindi risulta y ( x ) − z ( x ) = ε (x ) − η ( x ) x − x0

x → x0

x → x0

(

cioè y ( x ) − z ( x ) = o x − x0

2

).

2

2

con

ossia ord x0 (ε ( x ) − η ( x )) > 2

Teoremi – Curve in forma parametrica 45. Rettificabilità di una curva di classe C1 Se γ : [a, b] → R n è di classe C1, allora γ è rettificabile e l (γ ) = ∫ γ ′(t ) dt . b

a

m

m

i =1

i =1

Dim l (π (δ )) = ∑ γ (t i ) − γ (t i −1 ) = ∑

∫

ti

ti −1

m

ti

b

i =1

ti −1

a

γ ′(t ) ≤ ∑ ∫ γ ′(t ) = ∫ γ ′(t ) dt .

Quindi l (γ ) = sup l (π (δ )) ≤ ∫ γ ′(t ) dt e si prova che in realtà vale l’uguaglianza. b

δ

a

46. Integrale curvilineo di un campo vett. conserv. – Generalizzaz. del teorema di Torricelli Se

∫γ <

∃f : A(⊂ R n ) → R

t.c.

g ( x ) = ∇f ( x ) ∀ x ∈ A

con

A

aperto,

allora

g , τ > ds = f (γ (b )) − f (γ (a )) dove γ è una qualunque curva regolare con sost (γ ) ⊂ A .

Dim Si ha:

∫γ < g ,τ > ds = ∫ < g (γ (t )),γ ′(t ) > dt = ∫ < ∇f (γ (t )),γ ′(t ) > dt = ∫ dt f (γ (t ))dt = b

b

b

a

a

a

d

= f (γ (b )) − f (γ (a )) ; nelle ipotesi del teorema, si dice che g è conservativo ed f è un potenziale di g su A.

1 2. Relazioni tra serie numeriche e integrali generalizzati Data una serie

+∞

∑a n =1

n

, definiamo la “funzione a gradini” a:[0,+∞[ÆR ponendo a(x) :=an se n-1≤x
la funzione è localmente integrabile su [0,+∞[ e risulta (∀n ) Teo La serie

+∞

∑a n =1

n

∫ a(x )dx = s n

0

n

.

è convergente ↔a(x) è integr. in s.g. su [0,+∞[; inoltre si ha

Dim 1) Se a(x) è integr. in s.g. su [0,+∞[, allora

+∞

∑a n =1

n

è convergente e

+∞

∫ a(x )dx = s . 0

+∞

∫ a(x )dx = s . 0

x +∞ Se a(x) è integr. in s.g. su [0,+∞[, allora esiste finito lim ⎛⎜ ∫ a (t )dt ⎞⎟ = ∫ a( x )dx . Per il teorema sul n→ +∞ ⎝ 0 ⎠ 0

limite

della

restrizione,

esiste

finito

+∞

lim ∫ a( x )dx = ∫ a( x )dx n

n→+∞ 0

0

e

quindi

esiste

finito

+∞

lim sn = ∫ a( x )dx .

n→+∞

2) Se

0

+∞

∑a n =1

Se

+∞

∑a n =1

n

n

è convergente, allora a(x) è integr. in s.g. su [0,+∞[.

è conv., allora lim an = 0 . Quindi risulta se n-1≤ x
∫

x

0

a (t )dt = ∫

= Sn-1+an(x-(n-1))Æs+0=s. Dunque a(x) è integr. in s.g. su [0,+∞[ e

n −1

0

a(t )dt + ∫ a(t )dt x

n −1

+∞

∫ a(x )dx = s . 0

4. Carattere della serie armonica generalizzata +∞ 1 1 1 1 Serie armonica generalizzata: 1 + α + α + " + α + " = ∑ α 2 3 n n =1 n +∞ 1 1 • Se α > 1, la serie ∑ α è convergente ( ord +∞ α = a > 1 + ε per qualche ε); n n =1 n +∞ 1 • Se α ≤ 1, la serie ∑ α è divergente; n =1 n 1 Dim Si osserva che ord +∞ α = α ; n α −1 1.  ε > 0 tale che ord+∞ an = α > 1+ ε (per esempio ε = ); 2 2. ord+∞ an = α ≤ 1; 5. Aut-aut per le serie a termini positivi

Se an ≥ 0 (∀n) , allora

+∞

∑a n =1

n

è convergente o divergente (a +∞).

Dim Se a n ≥ 0 (∀n ) , allora (sn )n è non-decrescente. Quindi per il teorema sul limite delle funzioni

⎧∈ R monotone esiste lim sn = sup sn = s ⎨ . n→+∞ n∈N + ⎩= +∞ 8. Criterio del rapporto per la convergenza di una serie numerica a termini positivi +∞ a Se an ≥ 0 (∀n) ed k > 0 0< k <1 tale che n +1 ≤ k ∀n , allora ∑ a n è convergente. Dim Si ha: a2 an n =1 ≤ ka1, a3 ≤ ka2 ≤ k2a1, …, an+1 ≤ kan ≤ kna1; quindi, ∀n, 0 < an+1 ≤ kna1. Ossia

+∞

∑a n =1

dalla serie geometrica

+∞

∑a k n =1

è convergente.

1

n −1

n

è maggiorata

, avente ragione 0< k <1. Il criterio del confronto implica che

+∞

∑a n =1

n

2 10. Criterio di Leibniz per la convergenza di una serie numerica con termini di segno alternato Supponiamo che (∀n) : (1) an ≥ 0 e (2) an+1 ≤ an ; si ha che la serie

+∞

∑ (− 1) a n

n =0

n

è convergente

⇔ lim an = 0 . Inoltre, detta S la somma della serie, risulta (∀n) |S-Sn|≤an+1. n → +∞

• s2 k +1 = s2 k − a2 k +1 ≤ s2 k - dalla (1)

Dim Si ha ∀k:

• s2 k +1 = s2 k − a2 k +1 = s2 k −1 + (a2 k − a2 k +1 ) ≥ s2 k −1 - dalla (2) • s2 k + 2 = s2 k − a2 k +1 + a2 k + 2 ≤ s2 k - dalla (2)

Quindi (s2 k +1 )k è non decrescente e (s2 k )k è non crescente. Inoltre (s2 k +1 )k è superiormente limitata

da s 2 e (s2 k )k è inferiormente limitata da s1 . Il teorema sul limite delle funzioni monotone assicura che esistono finiti lim s 2 k +1 =: s ′ e lim s2 k =: s′′ . Poiché s2 k +1 = s2 k − a2 k +1 e lim an = 0 , risulta k → +∞

k → +∞

n→ +∞

s′ = s′′ =: s . Dunque esiste finito lim sn = s . n→+∞

s − s n = s − s2 k ≤ a2 k +1 (essendo s2 k +1 ≤ s ≤ s2 k );

• n = 2k

Infine si ha:

• n = 2k + 1

s − s n = s − s2 k +1 ≤ a2 k + 2 ;

e quindi s − sn ≤ an+1 . 11. Lemma di Abel Se

+∞

∑ a (x − x ) n =0

n

n

0

converge in x ∈ R , allora converge ∀x ∈ R tale che x − x0 < x − x0 .

+∞

∑ a (x − x )

Dim Poiché

n =0

a n ( x − x0 ) ≤ M n

n

n

0

è convergente, si ha che lim an (x − x0 ) = 0 e quindi ∃M > 0 tale che n

n →+∞

∀n ; a n ( x − x0 ) = n

a n x − x0 x − x0

an ( x − x0 ) ≤ M ⋅ q n . Dunque n

x − x0 = a n ( x − x0 ) n

n

x − x0

Sia x ∈ R tale che x − x0 < x − x0 . Posto q := ∀n

n

x − x0

+∞

∑ a (x − x )

n

n

n =0

0

convergente. Il criterio del confronto assicura che +∞

n =0

n

n

0

⎛ x − x0 ⎜ ⎜ x−x 0 ⎝

n

⎛ x − x0 ⎞ ⎟ ≤ M⎜ ⎜ x−x ⎟ 0 ⎝ ⎠

n

⎞ ⎟ . ⎟ ⎠

, risulta 0 ≤ q < 1 e quindi

è maggiorata da una serie geometrica +∞

∑ a (x − x ) n =0

∑ a (x − x )

n

n

n

0

è convergente, e quindi

è convergente.

12. Proprietà caratteristiche del raggio di convergenza • Il raggio di convergenza R di

+∞

∑ a (x − x ) n =0

n

n

0

verifica:

+∞

1) se x ∈ R è t.c. x − x0 < R , allora

∑ a (x − x )

converge.

2) se x ∈ R è t.c. x − x0 > R , allora

∑ a (x − x )

non converge.

n =0 +∞ n =0

n

n

0

n

n

0

• Ogni R ′ ∈ [0,+∞[ che soddisfa le due condizioni è uguale al raggio di convergenza R. Dim • Sia R il raggio di conv. definito come sup{ x − x0 : x ∈ I }: (1) Se x ∈ R è t.c. x − x0 < R , allora per la IIa proprietà dell’estremo superiore, ∃x ∈ I (insieme di convergenza) t.c. x − x0 < x − x0 < R . Per il lemma di Abel si ha che la serie converge in x.

3 (2) Se x ∈ R è t.c. x − x0 > R : se per assurdo la serie convergesse nel p.to x, allora x ∈ I e quindi

sup{ x − x0 : x ∈ I } > R : impossibile. Dunque la serie converge nel p.to x.

• Sia R ′ ∈ [0,+∞[ verificante (1) e (2) (riferite a R’); da (1) segue R′ ≤ R ; da (2) segue R′ ≥ R ; in conclusione R′ = R . 13. Teorema di convergenza di una serie di Taylor (o di sviluppabilità in s.d.T.) Se f : ]x0 − h, x0 + h[ → R (con h > 0 ) è di classe C ∞ ed esiste M > 0 t.c. ∀n ∈ N : n! f (n ) ( x ) ≤ M n su ]x0 − h, x0 + h[ allora f è sviluppabile in serie di Taylor con p.to iniziale x0, su h ]x0 − h, x0 + h[ . n

Dim Sia x ∈ ]x0 − h, x0 + h[ fissato. Si ha ( ∀n ): f ( x ) − sn+1 (x ) = f (x ) − ∑ k =0

f ( k ) ( x0 ) (x − x0 )k = k!

(ξ ) (x − x )n+1 con ξ ∈ ]x − h, x + h[ . Quindi risulta: 0 0 0 (n + 1)! n +1 f (n+1) (ξ ) ⎛ x − x0 ⎞ 1 M (n + 1)! n +1 n +1 ⎟ → 0 se f ( x ) − sn+1 ( x ) = x − x0 x − x0 ≤ ⋅ = M ⎜⎜ ⎟ (n + 1)! (n + 1)! h n+1 ⎝ h ⎠ essendo ]x − x0 [ < h . Dunque si ha lim sn+1 ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ ]x0 − h, x0 + h[ . n→+∞ = f ( x ) − pn, x0 ( x ) =

f

( n+1)

14. Formule di Eulero e iy = cos y + i sin y 1)

n →∞,

e − iy = cos y − i sin y

e iy − e −iy sinh (iy ) e iy + e −iy cos y = = cosh (iy ) sin y = = 2) 2 i 2i 3 5 2 4 6 ⎛ ⎞ (iy )3 + (iy )5 + ... y y y y y − ...⎟⎟ = iy + + − + ... e i sin y = i⎜⎜ y − + Dim 1) Si ha: cos y = 1 − 3! 5! 3! 5! 2! 4! 6! ⎝ ⎠ Si ottiene quindi: 3 5 (iy )2 + (iy )3 + (iy )4 + ... = e iy y 2 (iy ) y 4 (iy ) y6 cos y + i sin y = 1 + iy − + + + − + ... = 1 + iy + 2! 3! 4! 5! 6! 2! 3! 4! La seconda delle (1) si prova in modo analogo; Le (2) si ottengono per somma e sottrazione dalle precedenti; 15. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz ∀ x, y ∈ R n < x, y > ≤ < x, x > < y , y > Dim

Se y = 0 , allora la (dis)uguaglianza è verificata. Sia y ≠ 0 ; sia t ∈ R . Si ha: 0 ≤< x − ty, x − ty >=< x, x > −2t < x, y > +t 2 < y, y > , cioè

< y, y > t 2 − 2 < x, y > t + < x, x >≥ 0 ; (se a > 0 , at 2 + bt + c ≥ 0 ⇔ Δ < 0 = b 2 − 4ac < 0 ) questo si ha Δ =< x, y > 2 − < x, x >< y, y > , cioè < x, y > 2 ≤< x, x >< y, y > . Prendendo la radice 4 quadrata si ha < x, y > ≤ < x, x > < y, y > . // Si ha l’uguaglianza solo se x,y linearm. dipend. se e solo se 0 ≥

19. Una condizione sufficiente per l’integrabilità su un insieme limitato Se f : E ⊂ R n → R è limitata e continua, con E insieme limitato e fr(E) è trascurabile in Rn, allora f è integrabile su E. ⎧ f (x ) x ∈ E Dim Sia R un N-rettangolo con E ⊂ R n e sia f 0 : R → R definita come f 0 (x ) = ⎨ . x∉E ⎩0

(

)

4 Poiché f0 è discontinua (al più) su fr(E) e fr(E) è trascurabile, si ha che f0 è integrabile su R. Quindi f è integrabile su E. 21. Formule di riduzione su domini normali in R2 Sia f : E ⊂ R 2 → R una funzione continua sul dominio E = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, ϕ ( x ) ≤ y ≤ ψ ( x )}

(

)

b ⎛ψ (x ) ⎞ fdm = ∫E ∫a ⎜⎜ ϕ∫( x )f (x, y )dy ⎟⎟dx . ⎝ ⎠ Dim Siano c = min ϕ (I ) e d = maxψ (I ) , con I = [a, b] . Risulta E ⊂ R = [a , b ]× [c , d ]. La ⎧ f ( x, y ) se (x, y ) ∈ E è continua su R f.ne f ( x, y ) : R = [a, b]× [c, d ] → ℜ definita da f ( x, y ) = ⎨ se (x, y ) ∉ E ⎩0 tranne, eventualmente, nei punti del tipo (x,ϕ ( x )) e del tipo ( x,ψ ( x )) che costituiscono un insieme

normale rispetto all'asse x. Allora f è integrabile su E e si ha

⎛d ⎞ trascurabile ed è quindi integrabile su R. Si ha: ∫ fdm = ∫ fdm = ∫ ⎜⎜ ∫ f ( x, y )dy ⎟⎟dx = E R a⎝c ⎠ ψ (x ) ψ (x ) b ⎛ ϕ (x ) d b ⎞ ⎛ ⎞ = ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dy + ∫ f ( x, y )dy + ∫ f ( x, y )dy ⎟dx =0 + ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dy ⎟dx + 0 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ϕ (x ) ψ (x ) a⎝ c a ⎝ ϕ (x ) ⎠ ⎠ Si ottiene un analogo teorema scambiando i ruoli delle variabili x e y. b

22. La differenziabilità implica la continuità Siano f : A ⊂ R n → R , con A aperto, e x0 ∈ A . Se f è differenz. in x0 , allora f è continua in x0 .

(

)

Dim Si ha f (x ) = f ( x 0 ) + L(x − x0 ) + ε ( x ) x − x0 → f ( x 0 ) se x → x 0 .

23. La differenziabilità implica l’esistenza di tutte le derivate direzionali Siano f : A ⊂ R n → R , con A aperto, e x0 ∈ A . Se f è differenziabile in x0 , allora per ogni versore ∂f (x0 ) = L(v ) . v ∈ R n esiste ∂v f ( x 0 + t v ) − f ( x0 ) Dim Fissiamo un versore v ∈ R n . Calcoliamo = t 1 1 1 = ( f ( x0 ) + L(t v ) + ε ( x0 + t v ) x − x0 − f ( x0 )) = (L(t v ) + ε ( x0 + t v ) t v ) = (tL(v ) + ε ( x0 + t v ) t ⋅ v ) = t t t t f ( x0 + t v ) − f ( x0 ) ∂f = L(v ) + ε (x0 + t v ) → 0 . Dunque esiste finito lim = L(v ) , cioè ∃ ( x0 ) = L(v ) . t →0 ∂v t t ∂f Corollario Se f è differenziabile in x0 , allora esistono (x0 ) = ∂f (x0 ) = L(e i ) per ∀i = 1,...n . ∂xi ∂ei

(

)

⎛ ∂f ⎞ (x0 ),..., ∂f (x0 )⎟⎟ . Quindi L = (df )( x 0 ) è rappresentato dalla matrice Jacobiana Jf ( x 0 ) = ⎜⎜ ∂xn ⎝ ∂xi ⎠ ∂f Dim Si ha (x0 ) = L(e i ) = ai ∀i = 1,...n . ∂xi

5 24. Teorema del differenziale totale Se f : A ⊂ R n → R , con A aperto, è dotata di derivate parziali in A continue in x 0 ∈ A , allora f è differenziabile in x 0 .

(

)

Dim (N=2) Siano (h, k ) ∈ R 2 tali che i segmenti che congiungono (x0 , y0 ) con ( x0 + h, y0 + k ) e T

T

T

(x0 , y0 )T con (x0 , y0 + k )T sono contenuti in A. Calcoliamo, usando il teorema di Lagrange, f (x0 + h, y 0 + k ) − f (x0 , y0 ) = f (x0 + h, y0 + k ) − f (x0 , y0 + k ) + f ( x0 , y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) = T = f x ( x0 + ϑh, y 0 + k ) ⋅ h + f y ( x0 , y 0 + τk ) ⋅ k con ϑ ,τ ∈ ]0,1[ . Poiché fx e fy sono continue in (x0 , y0 ) , si ha: f x ( x0 + ϑh, y 0 + k ) = f y ( x0 ,y 0 ) + ε1 (h,k ) con lim ε1 (h,k ) = 0 ( h ,k )→(0, 0 ) con lim ε 2 (k ) = 0 ; e f y ( x0 , y 0 + τk ) = f y ( x0 ,y 0 ) + ε 2 (k ) k →0 quindi risulta: f (x0 + h, y 0 + k ) − f (x0 , y 0 ) = f x (x0 , y 0 ) ⋅ h − f y ( x0 , y 0 ) ⋅ k + ε 1 (h, k ) ⋅ h + ε 2 (k ) ⋅ k con ε 1 (h, k ) ⋅ h + ε 2 (k ) ⋅ k k h se ≤ ε 1 (h, k ) + ε 2 (k ) ≤ ε 1 (h, k ) + ε 2 (k ) → 0 2 2 2 2 2 2 T

h +k T ⎛⎜ h,k ⎞⎟⎠ → ⎛⎜⎝ 0 ,0 ⎞⎟⎠ . ⎝

h +k

h +k

26. Test delle derivate prime per i p.ti di estremo Se f : A ⊂ R n → R , con A aperto, è differenziabile in x 0 ∈ A ed ha un estremo relativo in x 0 , ∂f allora ∇f ( x 0 ) = 0, (x 0 ) = ... = ∂f (x 0 ) = 0 . ∂x1 ∂xn Dim Sia per esempio x 0 p.to di minimo. Poiché x 0 è interno ad A, ∃δ > 0 t.c. B ( x 0 , δ ) ∈ A . Fissiamo un versore u . La funzione g (t ) = f ( x 0 + t u ) è definita su ]− δ , δ [ . Si ha che g è derivabile ∂f (x 0 ) . Inoltre g ha un minimo relativo in 0, e 0 ∈ ]− δ ,δ [ . Per il teorema di Fermat, in 0 e g ′(0) = ∂u ∂f (x 0 ) . si ha che g ′(0) = 0 = ∂u 27. Test delle derivate seconde per i punti di estremo Sia f : A ⊂ R n → R , con A aperto, due volte differenziabile in x 0 ∈ A , e sia ∇f ( x 0 ) = 0 . Si ha: 1. se Hf (x 0 ) è definita positiva in x 0 , allora x 0 è un minimo relativo; 2. se Hf (x 0 ) è definita negativa in x 0 , allora x 0 è un massimo relativo; 3. se Hf (x 0 ) è indefinita, allora x 0 è un punto di sella; 1 2 Dim (1) Si ha: f (x ) = f ( x 0 )+ < ∇f ( x 0 ), x − x 0 > + < Hf (x 0 )( x − x 0 ), x − x 0 > +ε ( x ) x − x 0 con 2 1 2 lim ε ( x ) = 0 . Poiché x 0 è p.to critico f ( x ) − f ( x 0 ) = < Hf ( x 0 )( x − x 0 ), x − x 0 > +ε ( x ) x − x 0 ; x→ x0 2 2 poiché Hf (x 0 ) è definita positiva, esiste m > 0 tale che < Hf ( x 0 )h, h >≥ m h ∀h ∈ R n . Quindi si

(

)

(

)

1 m 2 2 2 x − x 0 + ε (x ) x − x 0 = < Hf ( x 0 )( x − x 0 ), x − x 0 > +ε ( x ) x − x 0 ≥ 2 2 2 ⎛m ⎞ ⎛m ⎞ m = ⎜ + ε ( x )⎟ x − x 0 . Poiché lim ⎜ + ε ( x )⎟ = > 0 , il teorema di permanenza del segno x→ x0 2 ⎝ ⎠ 2 ⎝2 ⎠ m garantisce l’esistenza di U ∈ I x 0 t.c. + ε ( x ) > 0 ∀ x ∈U \ {x 0 } e quindi 2 (2) Analoga a (1) f ( x ) − f ( x 0 ) > 0 ∀ x ∈ U \ {x 0 } , cioè x 0 è p.to di minimo relativo.

ha f ( x ) − f (x 0 ) =

6 1 2 < Hf (x 0 )(x − x 0 ), x − x 0 > +ε ( x ) x − x 0 ; poiché Hf (x 0 ) è indefinita, 2 esistono due versori u e v (u ≠ v ) tali che < Hf ( x 0 )u , u >= 0 e < Hf ( x 0 )v, v >= 0 . Quindi risulta 1 2 ⎛1 ⎞ g u (t ) = f (x 0 + t u ) = f (x 0 ) + < Hf (x 0 )t u , t u > +ε ( x 0 + t u ) t u = f ( x 0 ) + ⎜ < Hf ( x 0 )u , u > +ε ( x 0 + t u )⎟t 2 2 ⎝2 ⎠ Dunque g u (t ) ha un minimo relativo per t=0; analogamente si ha che g v (t ) = f ( x 0 + t v ) ha un (3) Si ha f ( x ) = f (x 0 ) +

massimo relativo per t=0; in conclusione, x 0 è p.to di sella. 32. (EDL 1°) Variazione delle costanti x

Una soluzione particolare dell’eq. diff. lin. Completa è data da y ( x ) = ∫ e A( x )− A( t ) b(t ) dt , con x0 x0

prefissato punto di I e A(u) primitiva di a(u) . Dim: (Metodo di variazione delle costanti). Cerchiamo soluzioni del tipo y ( x) = c( x)e A( x ) , con

c(x) funzione incognita di classe C 1 . Una funzione di questo tipo è soluzione sse c' ( x)e A( x ) + c( x)a( x)e A( x ) = a( x)c( x)e A( x ) + b( x) , ossia sse c' ( x)e A( x ) = b( x) , e quindi x

c' ( x) = b( x)e − A( x ) , da cui si ottiene c( x ) = ∫ e − A( t ) b(t ) dt . Ne viene che è x0

x

y ( x) = c( x )e A( x ) = ∫ e A( x )− A( t ) b(t ) dt . x0

XX1. Struttura dell’insieme delle soluzioni di un’EDO lineare sia (c) y’=a(x)y+b(x). L’insieme delle sol. di (c) è costituito da tutte e sole le funzioni y(x) del tipo y(x)= ỹ (x)+z(x) dove ỹ(x) è una soluzione particolare di (c) e z(x) una generica soluzione dell’omogenea, cioè Sb = ỹ + So Dim: (1) sia ỹ una particolare soluzione di (c) e z una generica sol. di (O). si ha, posto y= ỹ +z che L(y) = L(ỹ+z)=L(ỹ)+L(z)=b+0=b cioè y è una sol. di (c). (2) Siano y e ỹ due soluzioni di (c). Si ha, posto z=y- ỹ che L(z)=L(y- ỹ)=L(y)-L(ỹ)=b-b=0 XX2. Principio di sovrapposizione per un’EDO lineare se ỹ1 è una sol. di y’=a(x)y+b1(x) e ỹ2 è una sol. di y’ = a(x)y+b2(x) allora ỹ = ỹ1+ ỹ2 è una soluzione di y’=a(x)y + b(x) dove b(x)=b1(x)+b2(x). Dim: si ha L(ỹ1+ ỹ2) = L(ỹ1) + L(ỹ2) = b1+b2 cioè L(ỹ)=b 45. Rettificabilità di una curva di classe C1 Se γ : [a, b] → R n è di classe C1, allora γ è rettificabile e l (γ ) = ∫ γ ′(t ) dt . b

a

m

m

Dim l (π (δ )) = ∑ γ (t i ) − γ (t i −1 ) = ∑ i =1

i =1

∫

ti

ti −1

m

γ ′(t ) ≤ ∑ ∫ γ ′(t ) = ∫ γ ′(t ) dt . i =1

ti

b

ti −1

a

Quindi l (γ ) = sup l (π (δ )) ≤ ∫ γ ′(t ) dt e si prova che in realtà vale l’uguaglianza. b

a

δ

46. Integrale curvilineo di un campo vett. conserv. – Generalizzaz. del teorema di Torricelli ∃f : A ⊂ R n → R Se t.c. con A aperto, allora g ( x ) = ∇f ( x ) ∀ x ∈ A

(

∫γ <

)

g , τ > ds = f (γ (b )) − f (γ (a )) dove γ è una qualunque curva regolare con sost (γ ) ⊂ A .

d f (γ (t ))dt = dt = f (γ (b )) − f (γ (a )) ; nelle ipotesi del teorema, si dice che g è conservativo ed f è un potenziale di g su A. Dim Si ha:

∫γ

< g ,τ > ds = ∫ < g (γ (t )), γ ′(t ) > dt = ∫ < ∇f (γ (t )), γ ′(t ) > dt = ∫ b

b

b

a

a

a