Analisi Matematica 2 - Definizioni

Università degli Studi di Trieste Piazzale Europa 1, 34100 Trieste Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA INFORMATICA Anno Accademico 2002/2003

Definizioni di ANALISI MATEMATICA 2

Studente: Giorgio Davanzo [email protected]

Parte 1 - Serie numeriche, successioni e serie di funzioni

DEFINIZIONI

1. Serie convergenti, divergenti e indeterminate 2. Serie numeriche assolutamente e semplicemente convergenti 3. Criterio dell'ordine di infinitesimo per la convergenza di una serie numerica 4. Criterio della radice 5. Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni 6. Operazioni con le serie: somma e prodotto per una costante 7. Distanza fra due numeri complessi 8. Convergenza di una successione di numeri complessi 9. Serie di numeri complessi 10. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di derivata e integrale 11. Serie di Taylor di una funzione di variabile reale 12. Raggio di convergenza e insieme di convergenza di una serie di potenze 13. Teorema di derivazione (proprietà della f.ne somma) 14. Teorema di integrazione (proprietà della f.ne somma) 15. Teorema di derivazione termine a termine di una serie di potenze 16. Funzioni analitiche in R 17. Sviluppo in serie di Taylor-McLaurin delle principali f.ni elementari 18. Funzioni complesse di variabile complessa 19. Limite, continuità, derivabilità in C 20. Regole algebriche di derivazione 21. Serie di potenze in C 22. Le funzioni elementari in C e loro derivate 23. Equazione esponenziale e funzione logaritmo in C

Parte 2 - Lo spazio Rn, integrale di Riemann in Rn 24. Definizione di prodotto scalare, norma e distanza euclidea in Rn 25. Proprietà del prodotto scalare 26. Proprietà della distanza 27. Sfere aperte e chiuse in Rn 28. Intorno di un punto e relative proprietà 29. Punti di accumulazione, punti interni e punti di frontiera 30. Chiusura, interno e frontiera di un insieme 31. Insiemi limitati 32. Funzioni da Rn in Rm 33. Campi scalari, curve parametriche, superfici parametriche, campi vettoriali 34. Insiemi di livello 35. Limiti di funzioni da Rn in Rm 36. Continuità di funzioni da Rn in Rm 37. Teorema di Weierstrass 38. Insiemi connessi per archi 39. Teorema di connessione e teorema di esistenza di zeri 40. Coseno dell'angolo tra due vettori 41. Applicazioni lineari da Rn in Rm e matrici associate 42. Forme lineari 43. Teorema di Riesz in Rn 44. Rettangoli in R2, decomposizioni, somme inferiori e superiori, f.ni integrabili su un rettangolo secondo Riemann 45. Teorema di Fubini 46. Parallelepipedi rettangoli in R3, decomposizioni, somme inferiori e superiori, f.ni integrabili su un parallelepipedo secondo Riemann 47. Formule di riduzione per gli integrali tripli 48. N-rettangoli in Rn 49. Proprietà dell'integrale

50. Integrale su un insieme limitato 51. Insiemi N-trascurabili e relative proprietà 52. Teorema della media integrale 53. Insiemi normali in R2 54. Insiemi normali in R3 55. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan in Rn 56. Insiemi trascurabili in Rn e caratterizzazione degli insiemi misurabili 57. Cambio di variabili negli integrali multipli - Caso unidimensionale 58. Cambio di variabili negli integrali multipli - Caso bidimensionale 59. Coordinate polari ed ellittiche in R2 60. Cambio di variabili negli integrali multipli - Caso tridimensionale 61. Coordinate sferiche in R3 62. Formule di riduzione per corde e sezioni in R3 63. Integrali generalizzati in Rn - Insiemi localmente misurabili e funzioni localmente integrabili Parte 3 – Calcolo differenziale in Rn 64. Derivata direzionale e derivata parziale 65. Differenziale di un campo scalare, approssimante lineare 66. Iperpiano tangente 67. Matrice Jacobiana 68. Gradiente 69. Differenziabilità delle funzioni di classe C’ 70. Regole algebriche di differenziazione 71. Differenziale di un campo vettoriale 72. Un campo vettoriale è differenziabile se e solo se lo sono tutte le sue componenti 73. Differenziale di una funzione composta 74. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore 75. Differenziabilità di funzioni di classe Ck 76. Teorema di Schwartz 77. Forme lineari e quadratiche in Rn 78. Differenziale secondo di un campo scalare e relativa matrice Hessiana 79. Teorema di Young (sulla simmetria della matrice Hessiana) 80. Condizione sufficiente affinché una funzione sia due volte differenziabile 81. Formula di Taylor del secondo ordine 82. Estremi relativi di una funzione 83. Vincoli ed estremi vincolati 84. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R2 (curve) 85. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R3 (superficie) 86. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R3 (curve) Parte 4 – Equazioni differenziali 87. Equazioni funzionali 88. Equazione differenziale 89. Equazione diff. ordinaria 90. Ordine di una eq. diff. 91. Forma normale 92. EDO 1° 93. (EDO 1°) Soluzione 94. Condizione iniziale 95. (EDO 1°) Problema di Cauchy 96. Soluzione locale 97. Eq. a variabili separabili 98. Equazioni omogenee 99. EDL 1°

100. Nucleo risolvente 101. Equazioni di Bernoulli 102. EDO 2° 103. (EDO 2°) Soluzione 104. (EDO 2°) Problema di Cauchy 105. (EDO 2°) Soluzione locale 106. Eq. del tipo y’’=f(y) 107. EDL 2° a coeff. cost. 108. (EDL 2° a coeff.cost.) Equazione caratteristica 109. EDL di ordine n a coeff. cost. 110. (EDL di ordine n a coeff. cost.) Soluzione 111. (EDL di ordine n a coeff. cost.) Eq. Caratteristica 112. Equazioni di Eulero 113. Sistemi di 2 eq. diff. lin. 1° a coeff. cost. Parte 5 – Curve in forma parametrica 114. Curva in Rn 115. Curva continua, regolare, chiusa, semplice 116. Vettore, versore e retta tangente 117. Curva in forma parametrica e cartesiana 118. Lunghezza di una curva e rettificabilità 119. Integrale curvilineo di un campo scalare 120. Integrale curvilineo di un campo vettoriale

Definizioni – Serie numeriche, successioni e serie di funzioni 1. Serie convergenti, divergenti e indeterminate • • •

Se esiste finito lim s n = s , si dice che n → +∞

+∞

∑a n =1

è convergente.

n

Se lim s n è infinito (+ ∞,−∞, ∞ ) , si dice che n → +∞

+∞

∑a n =1

è divergente (a + ∞, a − ∞ o a ∞ ) .

n

+∞

∑a

Se lim s n non esiste, si dice che n → +∞

n =1

n

è indeterminata.

2. Serie numeriche assolutamente e semplicemente convergenti +∞

∑a n =1 +∞

n

si dice assolutamente convergente se

+∞

∑a n =1

n

è convergente.

∑ an si dice semplicemente convergente se è convergente, ma n =1

+∞

∑a n =1

n

è divergente.

+∞

Teo Se ∑ a n è assolutamente convergente, allora è convergente. n =1

3. Criterio dell’ordine di infinitesimo per la convergenza di una serie numerica Sia an ≥ 0 ∀n . Si ha:

(1) Se ∃ε > 0 t.c. ord +∞ an > 1 + ε allora (2) Se ord +∞ an ≤ 1 allora

+∞

∑a n =1

n

+∞

∑a n =1

n

è convergente.

è divergente (a + ∞ ).

4. Criterio della radice Se an ≥ 0 ∀n , ed esiste 0 < k < 1 t.c.

n

an < k ∀n , allora

+∞

∑a n =1

n

è convergente.

Corollario – Sia an ≥ 0 ∀n : +∞

1) Se esiste lim n an = L < 1 , allora

∑a

n

è convergente.

2) Se esiste lim n an = L > 1 , allora

∑a

n

è divergente.

n→+∞

n→+∞

n =1 +∞ n =1

5. Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni Puntuale: Sia E ≠ ∅ un insieme e sia ( f n )n una successione di funzioni con f n : E → R (o C ) . Si

dice che ( f n )n converge puntualmente su E a f n : E → R (o C ) se ∀x ∈ E esiste lim f n ( x ) = f ( x ) ,

cioè (∀x ∈ E )(∀ε > 0 )(∃n )(∀n )(n > n ⇒ f n ( x ) − f ( x ) < ε ) .

[Oss. n = n ( x, ε ) ]

x → +∞

Uniforme: Sia E ≠ ∅ un insieme e sia ( f n )n una successione di funzioni con f n : E → R (o C ) . Si

dice che ( f n )n converge uniformemente su E a f n : E → R (o C ) se

(∀ε > 0)(∃n )(∀n )(n > n ⇒

f n (x ) − f (x ) < ε ) .

[Oss. n = n (ε ) ]

6. Operazioni con le serie: somma e prodotto per una costante +∞

∑ an e

Somma: Se

n =1

+∞

∑ bn convergono ad A e B rispettivamente, allora la serie n =1

+∞

∑ (a n =1

n

+ bn )

detta serie somma converge con somma (A+B). +∞

Prodotto x costante: Se

∑ an converge con somma A e c ∈ R , la serie n =1

+∞

∑ (c ⋅ a ) detta serie n

n =1

prodotto per la costante c, converge con somma cA. 7. Distanza fra due numeri complessi Si

dice distanza

d ( z1 , z 2 ) :=

fra

due

(x1 − x2 ) + ( y1 − y 2 ) 2

2

numeri

complessi

z1 = x1 + iy1

e

z 2 = x2 + iy 2

il

numero

.

8. Convergenza di una successione di numeri complessi Se (z n )n è una successione di numeri complessi e z è un numero complesso, lim z n = z se e n→ +∞

solo se (∀ε > 0 )(∃n ∈ N )(∀n ∈ N )(n > n ⇒ z n − z < ε ) . 9. Serie di numeri complessi

Al corpo dei numeri complessi si estendono le definizioni di serie (come coppie ridotte, convergenza e somma s ∈ C di una serie:

+∞

∑a n =1

((an )n , (bn )n ) ),

k

n

= s ⇔ lim ∑ a n = s . k → +∞

n =0

10. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di derivata e integrale Sia ( f n )n una successione di f.ni con f n : [a, b] → R .

1) Se ( f n )n converge uniformemente a f su [a, b] e f n è continua ∀n , allora f è continua. 2) Se

( f n )n

converge uniformemente a f su [a, b] e f n è integrabile su [a, b]

∀n , allora f è

integrabile su [a, b] e il lim ∫ f n ( x )dx = ∫ f ( x )dx . b

b

n→+∞ a

a

3) Se ( f n )n converge puntualmente a f su [a, b] e f n è derivabile su [a, b] ∀n , ed inoltre le derivate convergono uniformemente a g su [a, b] , allora f è derivabile e f ′ = g , cioè d ⎞ ⎛d lim f n ( x ) = lim ⎜ f n ( x )⎟ . → +∞ → +∞ n n dx ⎠ ⎝ dx

(

)

11. Serie di Taylor di una funzione di variabile reale Se f : ]x0 − h, x0 + h[ → R è di classe C ∞ su ]x0 − h, x0 + h[ (con h>0), la serie

+∞

∑

si dice serie di Taylor (generata da f) con p.to iniziale x0 .

n =0

f ( n ) ( x0 ) (x − x0 )n n!

Se la serie di Taylor è convergente ∀x ∈ ]x0 − h, x0 + h[ e ha per somma f(x) allora si dice che f è sviluppabile in serie di Taylor con p.to iniziale x0 su ]x0 − h, x0 + h[ .

12. Raggio di convergenza e insieme di convergenza di una serie di potenze

+∞

∑ a (x − x )

Raggio: Il raggio di convergenza R di

n =0

n

0

n

+∞

verifica:

1) se x ∈ R è t.c. x − x0 < R , allora

∑ a (x − x )

converge;

2) se x ∈ R è t.c. x − x0 > R , allora

∑ a (x − x )

non converge;

n

0

n

n =0 +∞

n

0

n

n =0

Se il raggio di convergenza R di una serie di potenze è finito positivo, l’insieme I R = ]x0 − R, x0 + R[ è detto l’intervallo di convergenza, mentre è detto insieme di convergenza l’insieme D formato da tutti i punti di R in cui la serie converge. 13. Teorema di derivazione (proprietà della f.ne somma) +∞

Sia

∑ a (x − x ) n =0 +∞

n

n

una serie di potenze avente raggio di convergenza R>0. Si pone

0

f ( x ) := ∑ a n ( x − x0 ) , ∀x ∈ ]x0 − R, x0 + R[ . n

n =0

+∞

La f.ne f è derivabile sull’intervallo ]x0 − R, x0 + R[ e la sua derivata è f ′( x ) := ∑ na n ( x − x0 )

]x0 − R, x0 + R[ . Inoltre la serie a II° membro ha raggio di convergenza R.

n −1

in

n =1

14. Teorema di integrazione (proprietà della f.ne somma) Stesse ipotesi del precedente. +∞

La f.ne f è primitivabile su ]x0 − R, x0 + R[ e F ( x ) = ∑

an (x − x0 )n+1 è una primitiva di f su n =0 n + 1 ]x0 − R, x0 + R[ (osserv: F (x0 ) = 0 ). Inoltre la serie a II° membro ha raggio di convergenza R.

15. Teorema di derivazione termine a termine di una serie di potenze +∞

Se la serie di potenze

∑ a (x − x )

n

n =0

ha raggio di convergenza R, allora R è anche il raggio di

0

n

+∞

convergenza della serie delle derivate

∑ na (x − x )

n −1

n

n =0

+∞

Data la serie di potenze

∑ a (x − x ) n =0

n

0

n

0

.

, con raggio di convergenza R>0, la f.ne somma f(x) è +∞

derivabile in ]x0 − R, x0 + R[ e si ha f ′( x ) = ∑ na n ( x − x0 )

n −1

.

n =0

16. Funzioni analitiche in R Si dice che f : ]a, b[ → R è analitica in ]a, b[ se ∀x0 ∈ ]a, b[ esiste h>0 t.c. f è sviluppabile in serie di potenze (e quindi in serie di Taylor) con p.to iniziale x0 su ]x0 − R, x0 + R[ . 17. Sviluppo in serie di Taylor-McLaurin delle principali f.ni elementari +∞

xn n =0 n!

ex = ∑

(− 1)n x 2 n (2n )! n =0 +∞

cos x = ∑

(− 1)n x 2 n+1 n = 0 (2n + 1)! +∞

sin x = ∑

x 2 n+1 n = 0 (2n + 1)!

+∞

+∞

cosh x = ∑

x 2n n =0 (2n )!

sinh x = ∑

+∞

n ( − 1) x 2 n+1 arctgx = ∑ n =0 (2n + 1)

(1 + x )α = ∑ ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ x n n +∞

α

n =0

⎝ ⎠

log x = log

1 + x +∞ 2 ⋅ x 2 n+1 =∑ 1 − x n=0 (2n + 1)

18. Funzioni complesse di variabile complessa Sia f : D(⊂ C ) → C . Si ha: u, v : D → R .

f ( z ) = f ( x + iy ) = Re f ( z ) + i Im f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) , ∀z ∈ D , con

19. Limite, continuità, derivabilità in C Limite: Sia f : D(⊂ C ) → C e sia z 0 ∈ C un p.to di accumulazione per D. Si ha che esiste

lim f ( z ) = l ∈ C se (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀z ∈ D )(0 < z − z 0 < δ ⇒ f ( z ) − l < ε ) .

z → z0

Continuità: Sia f : D(⊂ C ) → C e sia z 0 ∈ D ; si dice che f è continua in z0 se

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀z ∈ D )( z − z 0 < δ ⇒ f (z ) − f (z0 ) < ε ) Derivata: Sia f : D(⊂ C ) → C e sia z 0 ∈ D un p.to di f (z ) − f (z 0 ) rapporto incrementale per z ∈ D \ {z } .

accumulazione per D. Consideriamo il

Si dice che f è derivabile in senso 0 z − z0 f (z ) − f (z 0 ) complesso in z0 se ∃ lim =: f ′( z 0 ) , che si dice derivata di f in z0 . z → z0 z − z0

20. Regole algebriche di derivazione Se f,g sono derivabili in z0 , allora: (i) f+g è derivabile in z0 e ( f + g )' ( z 0 ) = f ′( z 0 ) + g ′( z 0 ) ; (ii) f·g è derivabile in z0 e ( f ⋅ g )' ( z 0 ) = f ′( z 0 )g ( z 0 ) + f ( z 0 )g ′( z 0 ) ; ⎛f⎞ f f ′( z 0 )g ( z 0 ) + f ( z 0 )g ′( z 0 ) è derivabile in z0 e ⎜⎜ ⎟⎟' ( z 0 ) = ; g (g (z0 ))2 ⎝g⎠

(iii) se g ( z 0 ) ≠ 0 , allora

21. Serie di potenze in C

(an )n ⊂ C

Sia +∞

z0 ∈ C

e

+∞

∑ f (z ) = ∑ a (z − z ) n =0

n

n =0

n

n

0

fissato.

Posto

∀n

f n (z ) = an (z − z 0 ) , n

la

serie

di

funzioni

si dice serie di potenze a coefficienti complessi di p.to iniziale z0 .

Oss Con il cambio di variabile w := z − z 0 ci si può sempre ricondurre al caso in cui z 0 = 0 , cioè +∞

ad una serie del tipo

∑a n =0

n

.

22. Le funzioni elementari in C e loro derivate +∞ +∞ (− 1)n z 2 n zn cos z = ∑ ez = ∑ D ez = ez (2n )! n =0 n =0 n!

( )

(− 1)n z 2 n+1 n =0 (2n + 1)! +∞

sin z = ∑

D(sin z ) = cos z

+∞

z 2n n =0 (2n )!

cosh z = ∑

D(cos z ) = − sin z D (cosh z ) = sinh z

z 2 n+1 n =0 (2n + 1)! +∞

sinh z = ∑

D (sinh z ) = cosh z

23. Equazione esponenziale e funzione logaritmo in C Dato w∈ C \ {0}, questo può essere scritto nella forma w = ρ (cosϑ + i sin ϑ ) = ρe iϑ , con ρ > 0 ; cerchiamo ora tutti i numeri complessi z = x + iy per cui è e z = w ; essendo e z = e x +iy , si ha che

e x +iy = ρe iϑ o anche e x (cos x + i sin y ) = ρ (cos x + i sin y ) , che equivale al sistema ⎧e x = ρ ⎪ ⎨cos y = cosϑ ⎪sin y = sin ϑ ⎩

⎧ x = log ρ ⎨ z ; si ottiene ⎩ y = ϑ + 2kπ . L’equazione e = w ha dunque infinite soluzioni, in accordo col fatto che, come si è visto, la funzione esponenziale è, nel campo complesso, periodica di periodo 2πi . Essa non è dunque invertibile. Per renderla tale è necessario considerare la sua restrizione ad un opportuno sottoinsieme E di C. Si vede quindi che la funzione esponenziale ristretta all'insieme E = {z = x + iy : −π < y ≤ π } è iniettiva ed assume tutti i valori complessi non nulli. La funzione inversa della funzione esponenziale ristretta all'insieme E = {z = x + iy : −π < y ≤ π } è detta funzione logaritmo. Essa è dunque una funzione di C \ {0} in E. Il logaritmo di un numero complesso w = ρe iϑ ∈ C \ {0}è dunque l'unico numero complesso z = x + iy := log w , con − π < y ≤ π per cui è e z = w .

Definizioni - Lo spazio Rn, integrale di Riemann in Rn 24. Definizione di prodotto scalare, norma e distanza euclidea in Rn Prodotto scalare (euclideo)

x ⋅ y =< x, y >= x1 y1 + " + xn y n

Norma (euclidea)

x = < x, x > = x12 + " + xn2

(

d ( x, 0 ) = x

Distanza (euclidea)

( )

)

1/ 2

d x, y = x − y

25. Proprietà del prodotto scalare

< ⋅,⋅ >: R n × R n → R soddisfa, ∀ x, y, z ∈ R n e λ ∈ R , le seguenti proprietà: S1.

< x + y , z >=< x, z > + < y , z >

S2.

< λ x, y >= λ < x, y >

S3.

< x, y >=< y , x >

S4.

< x, x >≥ 0

S5.

< x, y > ≤ < x, x > < y , y >

forma bilineare simmetrica

e < x, x >= 0 ⇔ x = 0

positività Cauchy-Schwartz

26. Proprietà della distanza Si ha che d : R n × R n → R verifica, ∀ x, y, z ∈ R n , le seguenti proprietà: D1. D2. D3.

( ) d (x, y ) = d ( y, x ) d (x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( y , z ) d x, y = 0 ⇔ x = y

non degeneratezza simmetria disuguaglianza triangolare

27. Sfere aperte e chiuse in Rn Siano x 0 ∈ R n e r > 0 .

{

Si dice sfera aperta di centro x 0 e raggio r l’insieme B ]x 0 , r [ = B( x 0 , r ) := x ∈ R n : d (x, x 0 ) < r

{

Si dice sfera chiusa di centro x 0 e raggio r l’insieme B[x 0 , r ] := x ∈ R n : d ( x, x 0 ) ≤ r

}

}

28. Intorno di un punto e relative proprietà Sia x 0 ∈ R n . Un insieme U ⊂ R n si dice intorno di x 0 se esiste r>0 tale che B ( x 0 , r ) ⊂ U . L’insieme degli intorni di x 0 si indica con I x0 . (I1) (I2) (I3)

(∀V ∈ R )(∀U ∈ I )(U ⊂ V ⇒ V ∈ I ) (∀U ∈ I )(∀V ∈ I )(U ∩ V ∈ I ) (∀ x, y ∈ R , x ≠ y )(∃U ∈ I )(∃V ∈ I )(U ∩ V = ∅ ) n

x0

x0

x0

x0

x0

n

x

y

29. Punti di accumulazione, punti interni e punti di frontiera Accum: Un punto x è detto di accumulazione per un insieme E se in ogni intorno di x cadono infiniti punti di E. Interni: Si dice che un punto x è interno a un insieme E se esiste una sfera aperta di centro x contenuta in E (ovvero se ∃r > 0 t.c. B ( x, r ) ⊂ E ).

Frontiera: x è punto di frontiera se e solo se in ogni intorno di x cadono sia punti di E sia punti del complementare di E. 30. Chiusura, interno e frontiera di un insieme

{

}

Si dice chiusura di E l’insieme clE := E ∪ x ∈ R n : x è di accum. per E . Si dice interno di E l’insieme int E := {x ∈ E : x è interno ad E}. Si dice frontiera di E l’insieme frE := {x ∈ E : x è di frontiera per E}. 31. Insiemi limitati Si dice che E è un insieme limitato se esistono x 0 ∈ R n e R>0 t.c. E ⊂ B(x 0 , R ) , o equivalentemente se ∃k > 0 t.c. ∀ x, y ∈ E , d (x, y ) ≤ k . 32. Funzioni da Rn in Rm

(

(

)

f : E ⊂ R n → R m è del tipo

Una f.ne

)

⎛ f1 ( x1 ...xn ) ⎞ ⎟⎟ f ( x ) = f ( x1 ...xn ) = ⎜⎜ ⎝ f n ( x1 ...xn )⎠

con

x = ( x1 ...xn )

f i : E ⊂ R n → R per i=1…m;

33. Campi scalari, curve parametriche, superfici parametriche, campi vettoriali Sono funzioni da Rn in Rm con : Campi scalari: n≥2 Curve parametriche n =1 Superfici parametriche n=2 Campi vettoriali n=2

m =1 m≥2 m=3 m=2

34. Insiemi di livello

(

)

Sia f : E ⊂ R n → R . ∀k ∈ R , l’insieme Lk = {x ∈ E : f ( x ) = k } si dice insieme di livello k di f. 35. Limiti di funzioni da Rn in Rm

(

)

Sia f : E ⊂ R n → R m e x 0 ∈ R n di accumulazione per E. Si dice che ∃ lim f ( x ) = l ∈ R m se

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀ x ∈ E )(0 < d (x, x 0 ) < δ ⇒ d ( f (x ), l ) < ε ) , cioè (∀V ∈ I l )(∃U ∈ I x )(∀ x ∈ E )(x ∈U \ {x 0 } ⇒ f (x )∈V ) ;

(

)

x→ x0

0

Sia f : E ⊂ R → R e x 0 ∈ R n di accumulazione per E. Si dice che ∃ lim f (x ) = +∞ se n

x→ x0

(∀k > 0)(∃δ > 0)(∀ x ∈ E )(0 < d (x, x 0 ) < δ ⇒ f (x ) > k ) ; Analoghe definizioni per lim f ( x ) = −∞ e lim f ( x ) = ∞ ; x→ x x→ x

(

)

0

0

Sia f : E ⊂ R → R con E illimitato. Si dice che ∃ lim n

m

(∀ε > 0)(∃H > 0)(∀ x ∈ E )(d (x,0) > H ⇒ d ( f (x ), l ) < ε )

d ( x ,0 )→+∞

f ( x ) = l ∈ R m se

36. Continuità di funzioni da Rn in Rm

(

)

Sia f : E ⊂ R n → R m e x 0 ∈ E . Si dice che f è continua in x 0 se (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀ x ∈ E )(d (x, x 0 ) < δ ⇒ d ( f (x ), f (x 0 )) < ε )

T

e

37. Teorema di Weierstrass

(

)

Se f : E ⊂ R n → R (solo per campi scalari) è continua ed E è chiuso e limitato, allora ∃ min f (E ) = min f e ∃ max f (E ) = max f . E

E

38. Insiemi connessi per archi Arco continuo: Sia γ : [a, b] → R n continua. La coppia (γ , γ ([a, b])) si dice arco continuo in Rn di cui γ è la rappresentazione parametrica e γ ([a, b]) è il sostegno. Connessione per archi: Sia E ⊂ R n . Si dice che E è connesso per archi se ∀x1 , x2 ∈ E esiste un arco continuo γ : [a, b] → R n t.c. γ (a ) = x1 , γ (b ) = x 2 e γ (t ) ∈ E ∀t ∈ [a, b] . 39. Teorema di connessione e teorema di esistenza di zeri

(

)

Connessione: Se f : E ⊂ R n → R è continua ed E è connesso, allora f(E) è connesso.

(

)

Zeri: Se f : E ⊂ R → R è continua, E è connesso ed esistono a, b ∈ E punti tali che f (a ) < f (b ) < 0 , allora ∃c ∈ E t.c. f (c ) = 0 . n

40. Coseno dell’angolo tra due vettori Siano x, y ∈ R n \ {0} ; si ha x ⋅ y = x ⋅ y ⋅ cos ϑ . In generale, si pone cosϑ =

x⋅ y x ⋅ y

( ∈ [− 1,1] ).

41. Applicazioni lineari da Rn in Rm e matrici associate Un’applicazione L : R n → R m si dice lineare se ( ∀ x, y ∈ R n , λ ∈ R ): L (x + y ) = L ( x ) + L ( y ) e

(

) {

}

L(λ x ) = λL( x ) ; poniamo L R n , R m = L : R n → R m , con L lineare ; poniamo inoltre Μ (M , N ) = {A : A matrice con M righe ed N colonne} .

aM 1 ⎞ ⎛a ⎟⎟ Fissata una base {e1 ,..., en }in Rn e una base {e1′ ,..., en′ }in Rm, si ha che ogni A = ⎜⎜ 11 ⎝ a1N a MN ⎠ L ∈ L R n , R m individua ed è individuata da una matrice A ∈ Μ (M , N ) tale che L( x ) = A x (prodotto righe per colonne). ⎛a ⎞ ⎛a ⎞ Si ha: L(e1 ) = ⎜⎜ 11 ⎟⎟ , …, L(eN ) = ⎜⎜ 1N ⎟⎟ = la matrice A ha come colonne i corrispondenti vettori ⎝ aM 1 ⎠ ⎝ a MN ⎠

(

)

della base. 42. Forme lineari Le applicazioni lineari R n → R si dicono forme lineari. Se L è una forma lineare, allora esiste una e una sola matrice A ∈ Μ (1, N ) tale che L( x ) = A x = (a11 ...a1N )( x1 ...x N ) = a11 x1 ...a1N x N =< a, x > ,

(∀x ∈ R ) , avendo posto a = (a N

11

...a1N ) = AT . T

43. Teorema di Riesz in Rn Per ogni forma lineare L : R n → R esiste uno e un solo a ∈ R n tale che L( x ) =< a, x > ∀ x ∈ R n .

44. Rettangoli in R2, decomposizioni, somme inferiori e superiori, f.ni integrabili su un rettangolo secondo Riemann Sia R = [a, b]× [c, d ] (un rettangolo piano) di R2; fissiamo n+1 nodi in [a,b] con a=x0<x1<…<xn=b e n+1 nodi in [c,d] con c=y0
[

δ := {Rij : i = 1,..., n, j = 1,..., m}

collezione

si

(

)

dice

]

decomposizione

di

R.

Poniamo

Δ (R ) := {δ : δ decomposizione di R }. Sia f : R ⊂ R → R limitata, con R un rettangolo. Sia δ ∈ Δ . 2

Poniamo s(δ , f ) = ∑∑ lij m(Rij ) (somma inferiore) dove lij = inf f e m(Rij ) = (xi − xi −1 )( yi − yi −1 ) e n

m

Rij

i =1 j =1

S (δ , f ) = ∑∑ Lij m(Rij ) (somma superiore) dove Lij = sup f . n

m

i =1 j =1

Rij

Proprietà: Si ha ∀δ , δ ′ ∈ Δ(R ) : 1) δ ; δ ′ ⇒ s (δ ) ≤ s (δ ′) e S (δ ) ≥ S (δ ′) ; 2) s (δ ) ≤ S (δ ′) . Poniamo σ := {s (δ ) : δ ∈ Δ(R )} e Σ := {S (δ ) : δ ∈ Δ(R )} . Le due classi numeriche sono classi separate, cioè sup σ ≤ inf Σ .

(

)

Integrale di Riemann su un rettangolo di R2: Sia f : R ⊂ R 2 → R limitata, con R rettangolo. Se le classi σ e Σ sono contigue, cioè sup σ = inf Σ , si dice che f è integrabile secondo Riemann su R e si pone

∫

R

f = ∫∫ f ( x, y )dxdy := sup σ = inf Σ R

(

)

Significato geometrico: Sia f : R ⊂ R 2 → R integrabile su R e f ( x, y ) ≥ 0 ∀( x, y ) ∈ R , allora

∫∫ f (x, y )dxdy = vol (E ) con R

{

T

}

E = ( x , y , z ) : ( x , y ) ∈ R e 0 ≤ z ≤ f ( x, y ) . T

T

45. Teorema di Fubini Se f : R = [a, b]× [c, d ] → R integrabile su R e ∀x ∈ [a, b] , f ( x , y ) : [c, d ] → R integrabile su [c,d], allora,

∫

b

a

∀x ∈ [a, b] ,

posto

g ( x )dx = ∫∫ f ( x, y )dxdy cioè R

g ( x ) = ∫ f (x, y )dy , g : [a, b] → R d

c

è

integrabile

su

[a,b],

e

⎛⎜ d f ( x, y )dy ⎞⎟dx = ∫a ⎝ ∫c ∫∫R f (x, y )dxdy . ⎠ b

46. Parallelepipedi rettangoli in R3, decomposizioni, somme inferiori e superiori, f.ni integrabili su un parallelepipedo secondo Riemann Sia R = [a1 , b1 ]× [a2 , b2 ]× [a3 , b3 ] (un parallelepipedo) di R3; fissiamo n+1 nodi in [a1,b1] con a1=x0<x1<…<xn=b1, m+1 nodi in [a2,b2] con a2=y0
[

collezione

]

δ := {Rij : i = 1,..., n, j = 1,..., m, k = 1,..., l} si dice decomposizione di R. Poniamo

(

)

Δ (R ) := {δ : δ decomposizione di R}. Sia f : R ⊂ R 3 → R limitata. Sia δ ∈ Δ .

Poniamo s(δ , f ) = ∑∑∑ lijk m(Rijk ) (somma inferiore) dove lijk = inf f e n

m

l

Rijk

i =1 j =1 k =1

S (δ , f ) = ∑∑∑ Lijk m(Rijk ) (somma superiore) dove Lijk = sup f . n

m

l

i =1 j =1 k =1

Rijk

Proprietà: Si ha ∀δ , δ ′ ∈ Δ(R ) : 1) δ ; δ ′ ⇒ s (δ ) ≤ s (δ ′) e S (δ ) ≥ S (δ ′) ; 2) s (δ ) ≤ S (δ ′) . Poniamo σ := {s (δ ) : δ ∈ Δ(R )} e Σ := {S (δ ) : δ ∈ Δ(R )} . Le due classi numeriche sono classi separate, cioè sup σ ≤ inf Σ .

(

)

Integrale di f su R: Sia f : R ⊂ R 3 → R limitata, con R parallelepipedo. Se le classi σ e Σ sono contigue, cioè sup σ = inf Σ , si dice che f è integrabile secondo Riemann su R e si pone

∫

R

f = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz := sup σ = inf Σ R

∑∑∑ f (x )m(R )

Somme di Riemann: s(δ ) ≤ ∑∑∑ f (xijk )m(Rijk ) ≤ S (δ ) , con n

m

l

n

i =1 j =1 k =1

m

l

ijk

i =1 j =1 k =1

= somme di

ijk

Riemann (l’approssimazione dell’integrale); 47. Formule di riduzione per gli integrali tripli Corde: Sia f: [a1 , b1 ]× [a2 , b2 ]× [a3 , b3 ] → R integrabile su R e se, ∀( x , y ) ∈ [a1 , b1 ]× [a 2 , b2 ] , la f.ne

f ( x , y , z ): [a3 , b3 ] → R è integrabile su [a3 , b3 ] , allora, posto g ( x, y ) = ∫ f ( x, y, z )dz , g : S → R è b3

a3

integrabile su S e

∫∫ g (x, y )dxdy = ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫ ⎛⎜⎝ ∫ f (x, y, z )dz ⎞⎟⎠dxdy . b3

S

R

S

a3

Sezioni: Sia f: [a1 , b1 ]× [a2 , b2 ]× [a3 , b3 ] → R integrabile su R e se, f (⋅,⋅, z ) : S = [a1 , b1 ][a2 , b2 ] → R

è

integrabile

h : [a3 , b3 ] → R è integrabile su [a3 ,b3 ] e

su

S,

allora,

∀( z ) ∈ [a3 , b3 ] , la f.ne

h( z ) = ∫∫ f ( x, y, z )dxdy ,

posto

S

∫ h(z )dz = ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫ (∫∫ f (x, y, z )dxdy )dz . b3

a3

b3

R

a3

S

48. N-rettangoli in Rn N=1, R = [a, b] è un 1-rettangolo; N=2, R = [a1 , b1 ]× [a 2 , b2 ] è un 2-rettangolo; N=3, R = [a1 , b1 ]× [a2 , b2 ]× [a3 , b3 ] è un 3-rettangolo; 49. Proprietà dell’integrale

∫ (αf + βg ) = α ∫ Monotonia: Se f , g ∈ ℜ(R ) e f (x ) ≤ g ( x ) ∀ x ∈ R , allora ∫ f ≤ ∫ g . Teorema del valore assoluto: Se f ∈ ℜ(R ) , allora f ∈ ℜ(R ) e ∫ f ≤ ∫ f . Linearità: Se f , g ∈ ℜ(R ) e α , β ∈ R , allora αf + βg ∈ ℜ(R ) e R

Integrabilità del prodotto: Se f , g ∈ ℜ(R ) , allora f ⋅ g ∈ ℜ(R ) Teorema della media: Se f ∈ ℜ(R ) , allora inf f ≤

∫

f

∫

R

f

m( R )

R

R

f + β∫ g . R

R

R

R

≤ sup f . Se f è continua su R, allora

= f ( x0 ) . m( R ) Integrabilità della restrizione: Se f ∈ ℜ(R ) e R ′ ⊂ R un N-rettangolo, allora f R′ ∈ ℜ(R ′) . Teorema di additività: Se f : R → R, R = R ′ ∪ R ′′ con R, R ′, R ′′ N-rettangoli e int R ′ ∩ int R ′′ = ∅ , e f R′ è integrabile su R’ e f R′′ è integrabile su R’’, allora f è integrabile su R e inoltre

∃x0 ∈ R tale che

∫

R

R

f =∫ f +∫ f . R′

R′′

50. Integrale su un insieme limitato

(

)

Si dice che f : E ⊂ R n → R , con E limitato e f limitata, è integrabile su E se esiste un N⎧ f (x ) x ∈ E rettangolo R tale che la funzione f 0 ( x ) : ⎨ è integrabile su R e si pone ∫ f = ∫ f 0 . E E ⎩0 x ∈ R \ E 51. Insiemi N-trascurabili e relative proprietà Un insieme limitato T ⊂ R n si dice trascurabile in Rn se ∀ε > 0 , esistono k n-rettangoli R1…Rk tali che T ⊂ (R1 ∪ ...Rk ) e m(R1 ) ∪ ...m(Rk ) < ε . Proprietà: 1) Un singoletto è trascurabile in Rn con N=1,2,3; 2) Un lato di un 2-rettangolo è trascurabile in Rn con N=2,3; 3) La faccia di un 3-rettangolo è trascurabile in R3; 52. Teorema della media integrale Sia f : R n → R integrabile su R e si ponga inf f (R ) e sup f (R ) . Allora esiste k ∈ R , con

∫

l ≤ k ≤ L tale che:

R

fdm = km(R ) . Se la f è continua, esiste x0 tale che:

∫

R

fdm = f ( x0 )m(R ) .

53. Insiemi normali in R2 Siano ϕ ,ψ : [a, b] → R continue, con ϕ ( x ) ≤ ψ ( x ) in [a, b] .

{

}

L’insieme E = (x, y ) : a ≤ x ≤ b,ϕ ( x ) ≤ y ≤ ψ (x ) si dice insieme normale rispetto all’asse x in R2. T

54. Insiemi normali in R3

(

)

Siano Φ, Ψ : K ⊂ R 2 → R continue, con k chiuso e misurabile, Φ ( x, y ) ≤ Ψ ( x, y ) ∀( x, y ) ∈ K .

{

T

}

L’insieme E = ( x, y, z ) : ( x, y ) ∈ K , Φ ( x, y ) ≤ z ≤ Ψ ( x, y ) si dice insieme normale rispetto al piano xy in R3. T

T

55. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan in Rn Sia E ⊂ R n un insieme limitato. Si dice che E è misurabile secondo Peano-Jordan in Rn se la funzione f(x) = 1 è integrabile su E e si pone m(E ) = ∫ 1 . E

56. Insiemi trascurabili in Rn e caratterizzazione degli insiemi misurabili Se per un sottoinsieme E di Rn è m(E)=0, esso è detto trascurabile. Un sottoinsieme E E di Rn è detto inoltre trascurabile se e solo se per ogni ε > 0 , esiste un nrettangolo T contenente E con m(T ) < ε . La misura di Peano-Jordan gode delle seguenti proprietà: 1) Se A e B sono due insiemi misurabili, sono tali anche A ∩ B, A ∪ B, A \ B. 2) Se A è un insieme misurabile, si ha m(A) ≥ 0; ∅ è misurabile e si ha m( ∅ )=0. 3) Se A e B sono insiemi misurabili, con A ∩ B= ∅ , si ha m(A ∪ B)=m(A)+m(B). 4) Se A e B sono due insiemi misurabili, si ha m(A ∪ B)=m(A)+m(B)-m(A ∩ B). 5) Se A e B sono due insiemi misurabili, con A ⊂ B, si ha m(A) ≤ m(B).

57. Cambio di variabili negli integrali multipli – Caso unidimensionale

Se f : I = [a, b] → R continua e ϕ : J = [α , β ] → I tale che (i) ϕ è di classe C1 su J, (ii) ϕ : J → I sia biiettiva, (iii) ϕ ′(t ) ≠ 0 su J; allora si ha: quindi

β ∫α f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt

cioè

∫

b

a

⎧ β f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt se ϕ ′ > 0 ⎪∫α f ( x )dx = ⎨ β ⎪− ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt se ϕ ′ < 0 ⎩ α

β ∫ f = ∫α f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt . I

58. Cambio di variabili negli integrali multipli – Caso bidimensionale

(

(

)

)

Se f : E ⊂ R 2 → R è continua e limitata su E aperto misurabile e Φ : K ⊂ R 2 → E , con K aperto misurabile, tale che (i) Φ è di classe C1 con derivata parziale limitata su K, (ii) ∂Φ ≠ 0 su K; allora f è integrabile su E e si ha: Φ : K → E sia biiettiva, (iii) det ∂(u, v ) ⎛ xu x v ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟dudv ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) = = , , , , , , , det f x y dxdy f x u v y u v f x u v y u v ∫∫E ∫∫K ∫∫K y y u v ⎝ ⎠ ( cioè ∫∫ ( f ⋅ Φ ) Φ u ∧ Φ v dudv ). K

59. Coordinate polari ed ellittiche in R2 Φ : A → B con A = {ρ ,ϑ : ρ > 0,−π ≤ ϑ ≤ π } e con ⎛ ρ cosϑ ⎞ T ⎟⎟ . Si ha che: (i) Φ è di classe C1 e B = R 2 \ ( x, y ) : x ≤ 0, y = 0 , definita da Φ( ρ ,ϑ ) = ⎜⎜ ρ sin ϑ ⎝ ⎠ ⎛ cosϑ − ρ sin ϑ ⎞ ∂Φ ∂Φ ⎟⎟ , (ii) Φ : A → B è biiettiva, (iii) det = ⎜⎜ = ρ > 0 in A; se ∂(u,v ) ⎝ sin ϑ ρ cosϑ ⎠ ∂(u, v ) f : E (⊂ B ) → R è continua e limitata, con E aperto misurabile, allora

Polari:

Trasformazione

{

di

coordinate

}

∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (ρ cosϑ , ρ sin ϑ )ρdρdϑ E

K

dove K è aperto e misurabile tale che Φ (K ) = E .

⎛ aρ cosϑ ⎞ ⎧ x = aρ cosϑ ∂Φ ⎟⎟ , det = abρ , m(E ) = ∫∫ 1dxdy = ∫∫ 1abρdρdϑ Ellittiche: ⎨ , Φ( ρ ,ϑ ) = ⎜⎜ E K ∂ (u , v ) ⎝ bρ sin ϑ ⎠ ⎩ y = bρ sin ϑ 60. Cambio di variabili negli integrali multipli – Caso tridimensionale

(

(

)

)

Se f : E ⊂ R 3 → R continua e limitata, con E aperto misurabile e Φ : K ⊂ R 3 → E , con K aperto misurabile, tale che (i) Φ è di classe C1 con derivate parziali limitate, (ii) Φ : K → E è biiettiva, (iii) det

∂Φ ≠ 0 in K; allora f è integrabile su E; si ha che: ∂ (u , v , w )

⎛ ∂Φ ⎞ ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (Φ(u, v, w)) det⎜⎜⎝ ∂(u, v, w) ⎟⎟⎠ dudvdw . E

K

61. Coordinate sferiche in R3

⎧ x = ρ sin ϕ cosϑ ⎛ ρ sin ϕ cosϑ ⎞ ⎟ ⎜ ⎪ 3 3 ⎨ y = ρ cosϕ cosϑ , Φ(ρ ,ϑ ,ϕ ) = ⎜ ρ cosϕ cosϑ ⎟ , Φ : A(⊂ R ) → B(⊂ R ) ⎪ z = ρ cosϕ ⎟ ⎜ ρ cosϕ ⎩ ⎠ ⎝

{

A = ( ρ ,ϑ ,ϕ ) : ρ > 0,−π < ϑ < π ,0 < ϕ < π T

}

∂Φ = ρ 2 sin ϕ > 0 in A; se ∂ (u, v ) 3 E (⊂ B ) è aperto misurabile, f : E (⊂ R ) → R è continua e limitata, allora

Φ è tale che: (i) Φ è di classe C1 in A, (ii) Φ è biiettiva, (iii) det

∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (ρ sin ϕ cosϑ , ρ sin ϕ sin ϑ , ρ cosϕ )ρ E

2

K

sin ϕρdρdϑdϕ dove K è aperto e

misurabile tale che Φ (K ) = E .

62. Formule di riduzione per corde e sezioni in R3

(

)

Corde: Sia f : E ⊂ R 3 → R è continua, con E insieme normale rispetto al piano xy, allora f è ( ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫ ⎛⎜⎝ ∫ (

Ψ x, y )

f ( x, y, z )dz ⎞⎟dxdy . ⎠ Analoghe formule per insiemi normali rispetto ai piani xz e yz. integrabile su E e

E

(

K

)

Φ x, y )

Sezioni: Sia f : E ⊂ R 3 → R è continua, con E insieme chiuso e misurabile tale che, posto

{

m = min z : ( x, y , z ) ∈ E T

S z = E ∩ {z = z } (⊂ R

2

)

}

{

è

}

∀z ∈ [m, M ]

M = max z : ( x, y , z ) ∈ E ,

e

misurabile,

T

allora

f

è

la

integrabile

sezione

su

E

e

∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫ ⎛⎜⎝ ∫∫ f (x, y, z )dxdy ⎞⎟⎠dz . M

E

m

Sz

Analoghe formule sezionando con piani paralleli a xz o yz. 63. Integrali generalizzati in Rn – Insiemi localmente misurabili e funzioni localmente integrabili

(

)

(

)

Sia J ⊂ R n localmente misurabile, cioè tale che, per ogni misurabile E ⊂ R n , J ∩ E è misurabile. Sia f : J ⊂ R n → R , con J localmente misurabile, localmente integrabile su J, cioè tale che esista una successione (An)n di insiemi misurabili tali che: (i) a n ⊂ a n +1 ⊂ J per n ∈ N + , (ii) per

(

)

ogni misurabile E ⊂ J , lim m(E \ An ) = 0 , (iii) f n→ +∞

(

)

An

è integrabile su An ∀n ∈ N + ;

Caso di f positiva: Sia f : J ⊂ R n → [0,+∞[ localmente integrabile su J e localmente misurabile; si dice che f è integrabile in senso generalizzato su J se esiste finito lim

∫

n → +∞ An

∫

J

f = lim

∫

n → +∞ An

f e si pone:

f .

Teo Se (An)n e (Bn)n sono due successioni verificanti le tre proprietà, allora lim

∫

n → +∞ An

f = lim

∫

n → +∞ Bn

f .

Definizioni – Calcolo differenziale in Rn 64. Derivata direzionale e derivata parziale Sia f:A(⊂RN)ÆR, con A aperto e sia x°∈A.Sia v∈RN un versore di RN (cioè ||v||=1) (v si dice anche direzione orientata) g(z)=f(x°+tv) con |t|<δ. g(0)=f(x°) g’(0)=lim(tÆ0) [(g(t)-g(0))/t]; lim(tÆ0) [(f(x°+tv)-f(x°))/t] si chiama derivata direzionale di f in x° lungo v e si indica con ∂f/∂v (x°). Sia {e1,..en} la base canonica di RN. Se v=ei, per qualche i=1..N la derivata direzionale di f in x° lungo ei si dice derivata parziale di f rispetto xi e si indica con: ∂f/∂e1 (x°)= ∂f/∂xi (x°)= fxi(x°). 65. Differenziale di un campo scalare, approssimante lineare Caso unidim: Sia f:A(⊂R)ÆR con A aperto e x°∈A. Si ha che f è derivabile in x° se e solo se esiste L∈L(R,R) t.c. f(x)=f(x°)+L(x-x°)+ε(x)|x-x°| con lim[xÆx°]ε(x)=0 inoltre L:RÆR è t.c. L(h)=f’(x°)*h cioè L=(df)(x°).; caso f:RNÆR(o derivata di Frechet) sia f:A(⊂RN)ÆR, con A aperto, e sia x° se esiste L∈L(RN,R) tc f(x)=f(x°)+L(x-x°)+ε(x)||x-x°|| con lim[xÆx°] ε(x)=0. L si dice differenziale di f in x°e si indica con (df)(x°). Approssimante lineare: Sia f:A(⊂RN)ÆR,con A aperto,e sia x°∈A. Si dice che f è dotata di approx lineare in x° se esistono L∈L(RN,R) e q∈R tc,posto f(x)=L(x-x°)+q (i) f(x°)=f(x°); (ii)lim[xÆx°] (f(x)-f(x))/||x-x°||. Teo: Siano f:A(⊂RN)ÆR,con A aperto,e x°∈A. Si ha che f è differenziabile in x°se e solo se f è dotata di approx lineare in x°. Inoltre risulta L=(df)(x°) e q=f(x°). 66. Iperpiano tangente Se f è differenziabile in x°,il grafico dell’approx lineare di f in x° si dice iperpiano tangente al grafico di f in (x°,f(x°)). 67. Matrice Jacobiana Se f è differenziabile in x°, allora esistono ∂f/∂xi (x°) =∂f/∂ei (x°)=L(ei) per i=1..N. Quindi L=(df)(x°) è rappresentato dalla matrice Jacobiana Jf(x°)=(∂f(x°)/∂x1,…., ∂f(x°)/∂xN); Dim Si ha ∂f(x°)/∂xi=L(e1)=ai per ogni i=1..N; 68. Gradiente Siano f:A(⊂RN)ÆR, con A aperto e x°∈A. Se f è differenziabile in x°, si definisce gradiente di f in x° il vettore Vf(x°)=(∂f(x°)/∂x1,.., ∂f(x°)/∂xN)T∈RN; Proprietà del gradiente: Sia f differenziabile in x°; si ha 1) direzione orientata di massimo incremento: Se Vf(x°)≠0,allora ∂f(x°)/∂v è massima se v=Vf(x°)/||Vf(x°|| e minima se v=-Vf(x°)/||Vf(x°||; Dim ∂f(x°)/∂v =L(v)= (disuguaglianza di Cauchy-Schwartz) ≤||Vf(x°)||*||v||= ||Vf(x°)||. Inoltre se v=Vf(x°)/||Vf(x°)||,allora ∂f/∂v (x°)= =||Vf(x°)||; 2) ortogonalità rispetto agli insiemi di livello: se Vf(x°)≠0 è ortogonale,allora Vf(x°) è ortogonale all’insieme di livello If(x°)={x∈A: f(x)=f(x°)} in x° 69. Differenziabilità delle funzioni di classe C’ Se f è di classe C’ su A aperto, allora f è differenziabile in ogni pto di A.

70. Regole algebriche di differenziazione Si ha che: 1) se αf+βg è differenziabile in x° e V(αf+βg)(x°)=αVf(x°)+ βVg(x°); 2) fg è differenziabile in x°e V(f,g)x°=f(x°)Vg(x°)+g(x°)Vf(x°); 3)se g(x°)≠0 allora f/g è differenzibile in x° e V(f/g)(x°)=1/(g(x°))²*[g(x°)Vf(x°)-f(x°)Vg(x°)]. 71. Differenziale di un campo vettoriale (Caso di f:RNÆRM) Siano f:A(⊂RN)ÆRM, con A aperto e x°∈A. Si dice che f è differenziabile in x° se esiste L∈L(RN,RM) t.c. f(x)=f(x°)+L(x-x°)+ε(x)||x-x°|| con lim[xÆx°] ε(x)=0 (∈RM). L si dice il differenziale di f in x° e si scrive L=(df)(x°). 72. Un campo vettoriale è differenziabile se e solo se lo sono tutte le sue componenti Siano f:A(⊂RN)ÆRM con A aperto e x°∈A. Si ha che f è differenziabile in x° se e solo se per ogni i=1...M ha componente fi:A(⊂RN)ÆR è differenzibile in x°; Dim Basta osservare che la relazione vettoriale f(x)= f(x°)+B(x- x°)+ε( x)|| x- x°|| con ε(x)Æ0 se xÆx° è è equivalente alle M relazioni scalari f1(x)=f1(x°)+[B(x- x°)]1+ε1(x)||x-x°|| … fM(x)=fM(x°)+[B(x- x°)]M+εM(x)||x-x°||. Matrice Jacobiana: Se f è differenziabile in x°,allora il diff. L(df)(x°) in x° è rappresentato dalla matrice Jacobiana Jf(x°)=∂f/∂x (x°) =[ ∂f1/∂x1 (x°) … ∂f1/∂xN (x°) ] … [∂fM/∂x1 (x°) … ∂fM/∂xN (x°)] . 73. Differenziale di una funzione composta Se f:A(⊂RN)ÆRM, con A aperto è differenziabile in x°∈A e g:B(⊂RP)ÆA con B aperto è differenziabile su u° con g(u°)=x°,allora la funz.composta h:=f ° g: B(⊂RP)ÆRM è differenziabile in u° e [ ∂h1/∂u1 (u°) … ∂h1/∂uP (u°) ] =[ ∂f1/∂x1 (x°) … ∂f1/∂xN (x°) ]* [ ∂g1/∂u1 (u°) … ∂g1/∂uP (u°) ] Jh(u°)=Jf(x°)*Jg(u°) riga*colonna Æ [∂hM/∂u1 (u°) … ∂hM/∂uP (u°)] [∂fM/∂x1 (x°) … ∂fM/∂xN (x°)] [∂gN/∂u1 (u°) … ∂gN/∂uP (u°)] 74. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore Sia f:A(⊂RN)ÆR con A aperto. Sia n∈RN un versore ed esista ∂f/∂n (x) per ogni x∈A.Sia x° un pto di A,x°∈A e v∈RN un versore. Se esiste ∂/∂v (∂f/∂u) (x°); essa si dice derivata direzionale seconda di f in x° nella direzione orientata u e v (nell’ordine) e si indica con ∂²f/(∂v∂u) (x°). Sia f:A(⊂RN)ÆR con A aperto. Esista ∂f/∂xi (x) (=∂f/∂ei (x)) per ogni x∈A. Sia x°∈A. Se esiste ∂/∂xj (∂f/∂xi) (x°)= ∂/∂ej (∂f/∂ei) (x°) essa si dice derivata parziale seconda di f in x° rispetto xi e xj (nell’ordine e si indica con ∂²f/(∂xj∂xi) (x°)= fxixj(x°); In modo analogo si definiscono le derivate direzionali e parziali di ordine superiore al secondo. 75. Differenziabilità di funzioni di classe Ck Si dice che f:A(⊂RN)ÆR è di classe Ck nell’aperto A se f è dotata di derivate parziali continue fino all’ordine k in A. 76. Teorema di Schwartz Se f:A(⊂RN)ÆR è di classe Ck in A,allora le derivate parziali fino alle k-esime NON dipendono dall’ordine seguito nell’eseguire la derivazione.

77. Forme lineari e quadratiche in Rn • Un’applicazione lineare L:RNÆR con L(h)=Σ[i=1..N] ai*hi e con a=(a1…an)T∈RN fissata si dice forma lineare in RN.(polinomio omogeneo di 1°grado nelle variabili h1…hN); • Un’applicazione Q:RNÆR t.c. Q(h)=Σ[i=1..N]Σ[j=1..N]aij*hi*hj= con A=[ (a11…a1N) … (aN1…aNN) ]∈M(N,N) fissata, si dice forma quadratica in RN (polinomio omogeneo di 2° grado nelle variabili h1…hN). 78. Differenziale secondo di un campo scalare e relativa matrice Hessiana Sia f:A(⊂RN)ÆR con A aperto, differenziabile in ogni punto di A e sia x°∈A. Poniamo g:=Vf : A(⊂RN)ÆRN. Se g è differenziabile in x°, la matrice Jacobiana di g nel punto x°,Jg(x°) si dice matrice Hessiana Hf(x°) e risulta Jg(x°)=[ ∂f1/∂x1 (x°) … ∂f1/∂xN (x°) ] = [∂²f/∂x1² (x°)…∂²f/∂xN∂x1 (x°)]…[∂fM/∂x1(x°) … ∂fM/∂xN(x°)] [∂²f/∂x1∂xN(x°)…∂²f/∂xN²(x°)] = Hf(x°) con g=V(∂f/∂x1 )… (∂f/∂xN) . 79. Teorema di Young (sulla simmetria della matrice Hessiana) Se f è due volte differenziabile in x°,allora la matrice Hessiana Hf(x°) è simmetrica, cioè ∂²f/∂xi∂xj (x°)= ∂²f/∂xixj (x°) per i,j=1…N. 80. Condizione sufficiente affinché una funzione sia due volte differenziabile Se f è di classe C’ su A, allora f è due volte differenziabile in ogni pto di A. 81. Formula di Taylor del secondo ordine Se f è due volte differenziabile in x°, allora {f(x)=f(x°)++1/2+ε(x)||x-x°||² con lim[xÆx°]ε(x)=0. 82. Estremi relativi di una funzione Sia f:E(⊂RN)ÆR e sia x° un punto di E. Si dice che x°è un punto di massimo relativo per f se esiste U∈Ix° tc f(x)f(x°) si dice punto di minimo relativo. Punti di sella: Sia f :E(⊂RN)ÆR (N≥2) e sia x°∈E. Si dice che x° è punto di sella di f se esistono due versori u e v, (u≠v) t.c. la funzione gu(t)=f(x°+tu) ha un minimo relativo in t=0,la funz. gv(t)=f(x°+vt) ha un massimo relativo in t=0. 83. Vincoli ed estremi vincolati Sia f:E(⊂RN)ÆR. Un insieme V≠∅ t.c. V⊂E si dice vincolo per f in E. Estremi vincolati: Problema: estremi di f(x,y)=xy su E={(x,y)T: x²+y²≤1}; • int E Æ f su int E; • fr EÆ f su fr E; (i) rappresentazione cartesiana (a tratti): y=√1-x² , x∈[-1,1]; y=-√1-x² , x∈[-1,1]; (ii) rappresentazione parametrica: { • x=cost ; • y=sent ; con t∈[0,2π]; (iii) metodo geometrico (basato sulle linee di livello): Ik={(x,y)T: xy=k}, Vϕ(x,y)≠0, ϕ(x,y)= x²+y²=1, fr E={(x,y)T: ϕ(x,y)=1}, ∃λ∈R: Vf(x,y)=λVϕ(x,y)⇔Vf(x,y) // Vϕ(x,y).

84. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R2 (curve) (Condizione necessaria per l’esistenza di punti di estremo vincolati) Siano f:A(⊂R2)ÆR e ϕ:A(⊂RN)Æ di classe C’ sull’aperto A. Poniamo Γ={(x,y)T∈A:ϕ(x,y)=0}. Se (x°,y°)∈Γ è un punto di estremo vincolato per f su Γ e Vϕ(x°,y°)≠0, allora esiste λ∈R t.c. Vf(x°,y°)= λVϕ(x°,y°). 85. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R3 (superficie) Siano f :A(⊂R3)ÆR e ϕ:A(⊂R3)ÆR di classe C’ sull’aperto A. Poniamo Σ={(x,y,z)T:ϕ(x,y,z)=0}. Se (x°,y°,z°)∈Σ è un punto di estremo vincolato per f su Σ e Vϕ(x°,y°,z°)≠0, allora esiste λ∈R t.c. Vf(x°,y°,z°)=λVϕ(x°,y°,z°). 86. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R3 (curve) Siano f:A(⊂R3)ÆR di classe C’ sull’aperto A. Poniamo Γ={(x,y,z,)T: ϕ(x,y,z)=0, ψ(x,y,z)=0}. Se (x°,y°,z°)∈Γ è un punto di estremo vincolato per f su Γ e Vϕ(x°,y°,z°) e Vψ(x°,y°,z°) sono linearmente indipendenti allora esistono λ,μ∈R t.c.: Vf(x°,y°,z°)=λVϕ(x°,y°,z°)+μVψ(x°,y°,z°) (cioè Vf dip. lin. di Vϕ e Vψ in (x°,y°,z°)T).

Definizioni – Equazioni Differenziali 87. Equazioni funzionali: equazioni in cui l’incognita è una funzione. 88. Equazione differenziale: un’equazione funzionale in cui compaiono una o più derivate della funzione incognita. 89. Equazione diff. ordinaria: se la sua incognita è funzione di una sola variabile; in caso contrario, si parla di eq. diff. alle derivate parziali. 90. Ordine di una eq. diff.: l’ordine massimo di derivazione con cui la funzione incognita compare. 91. Forma normale: se è esplicitata rispetto alla derivata di ordine massimo. 92. EDO 1°: E’ data l’eq. diff. y ' ( x) = f ( x, y ( x)) con f : A → R definita su un aperto A di R 2 . 93. (EDO 1°) Soluzione: Si dice che una funzione y : I (⊂ R ) → R , con I intervallo, è una soluzione della EDO 1° se: a) y (x) è derivabile in I ; b) ( x, y ( x)) T ∈ A, ∀x ∈ I ; c) y ' ( x ) = f ( x, y ( x)), ∀x ∈ I . 94. Condizione iniziale: la condizione y ( x0 ) = y0 .

⎧ y ' ( x) = f ( x, y ( x)) 95. (EDO 1°) Problema di Cauchy: problema del tipo ⎨ con f : A → R definita ⎩ y ( x0 ) = y 0 su un sottoinsieme aperto A di R 2 e ( x0 , y0 )T punto fissato di A . 96. Soluzione locale: dicesi soluzione locale del problema di Cauchy ogni funzione y : I → R definita su un intervallo I tale che: a) y (x) è soluzione dell’eq. diff. su I ; b) x0 ∈ int I ; c) y ( x0 ) = y0 . 97. Eq. a variabili separabili: equazioni del tipo y ' ( x ) = g ( x) h( y ) con g : ]a, b[ → R continua, e h : ]c, d [ → R di classe C 1 . Per ogni x0 ∈ ]a, b[ e ogni y0 ∈ ]c, d [ , il Problema di Cauchy ⎧ y ' ( x) = g ( x) h( y ) ha, per il teorema 1,una e una sola soluzione locale y ( x ) : I → R , con ⎨ ⎩ y ( x0 ) = y 0 I =] x0 − h, x0 + h[⊂]a, b[ . a) Se è h( y0 ) = 0 , si ha y ( x ) ≡ y0 (soluzione costante). b) Sia h( y0 ) ≠ 0 . Se y (x) è la soluzione, allora si ha h( y ( x )) ≠ 0, ∀x ∈ I . Infatti, se esistesse un ⎧ z ' ( x) = g ( x) h( z ) ammetterebbe le due soluzioni x1 ∈ I con h( y ( x1 )) = 0 , il problema di Cauchy ⎨ ⎩ z ( x1 ) = y ( x1 ) locali y (x) e z ( x ) ≡ y ( x1 ) , contro il teorema 1. y ' (t ) Dall’uguaglianza y ' (t ) = g (t ) h( y (t )) , dividendo per h( y (t ))[ ≠ 0] , si ottiene = g (t ) . h( y (t )) x x y ' (t ) Integrando si ricava: ∫ dt = ∫ g (t ) dt , ossia H ( y ( x)) − H ( y0 ) = G ( x ) − G ( x0 ) , essendo x0 h( y (t )) x0 1 H ( y ) una primitiva di e G (x) una primitiva di g (x) . Poiché H ( y ) è dotata di inversa h( y ) 1 (essendo di segno costante), si ottiene y ( x) = H −1 (G ( x) − G ( x0 ) + H ( y0 )) . h( y )

⎛ y ( x) ⎞ 98. Equazioni omogenee: equazioni del tipo y ' ( x) = f ⎜ ⎟ con f : I → R funzione di classe ⎝ x ⎠ y ( x) C 1 sull’intervallo I . Si effettua il cambio di variabile u ( x) = , ottenendo l’equazione x d 1 y' ( x) = ( xu ( x )) = xu' ( x ) + u ( x ) = f (u ( x )) , da cui u ' ( x ) = ( f (u ( x )) − u ( x )) , che è a variabili dx x separabili. 99. EDL 1°: y ' ( x) = a ( x) y ( x ) + b( x) , con a ( x ), b( x ) : I → R funzioni continue, su un intervallo I , è detta eq. diff. lin. (completa) del 1° ordine. L’equazione y ' ( x ) = a ( x ) y ( x ) è detta eq. diff. lin. omogenea associata all’eq. completa. x

100. Nucleo risolvente: sapendo che y ( x) = ∫ e A( x )− A( t ) b(t ) dt è soluzione particolare dell’eq.diff. x0

lin. completa, il fattore e

A ( x )− A ( t )

prende il nome di nucleo risolvente.

101. Equazioni di Bernoulli: y ' ( x ) = a ( x ) y ( x ) + b( x) y ( x )γ , con γ ∈ R \ {0,1} e a ( x ), b( x ) : I → R funzioni continue, con I intervallo aperto. Se è γ ∈]0,1[ , non è garantita l’unicità della soluzione. Se è γ > 0 , la funzione nulla y ( x ) ≡ 0 è una soluzione. y' ( x) Supponiamo y ( x) ≠ 0 . Dividendo per y (x )γ si ottiene = a ( x) y ( x)1−γ + b( x ) . Posto γ y ( x) 1−γ u( x ) = y ( x) , si ottiene u ' ( x) = (1 − γ )a( x)u( x) + (1 − γ )b( x) , che è un’eq. lineare. 102. EDO 2°: E’ data l’eq. diff. y ' ' ( x) = f ( x, y ( x), y ' ( x)) con f : A → R , definita su un aperto A di R 3 . 103. (EDO 2°) Soluzione: Si dice che una funzione y ( x) : I ]a, b[(⊂ R ) → R è una soluzione dell’eq. diff. se: a) y (x) è due volte derivabile in I ; b) ( x, y ( x), y ' ( x ))T ∈ A, ∀x ∈ I ; c) y ' ' ( x) = f ( x, y ( x), y ' ( x)), ∀x ∈ I . ⎧ y ' ' ( x ) = f ( x, y ( x ), y ' ( x )) ⎪ 104. (EDO 2°) Problema di Cauchy: ⎨ y ( x0 ) = y0 con f : A → R , definita sul ⎪ y' ( x ) = z 0 0 ⎩

sottoinsieme aperto A di R 3 e ( x0 , y0 , z0 )T prefissato punto di A . 105. (EDO 2°) Soluzione locale: ogni funzione y : I → R definita su un intervallo I tale che: a) y (x) è soluzione dell’eq. diff.; b) x0 ∈ int I ; c) y ( x0 ) = y0 , y ' ( x0 ) = z0 . 106. Eq. del tipo y’’=f(y): y ' ' ( x ) = f ( y ( x )) con f : J (⊂ R ) → R di classe C 1 , e J intervallo aperto. Moltiplicando ambo i membri per y ' ( x) e integrando si ottiene

∫

x

x0

x

y ' ' (t ) y ' (t ) dt = ∫ f ( y (t )) y ' (t ) dt , x0

con

x0 ∈ J

fissato,

da

cui

1 2

( y ' ( x)) 2 − 12 ( y ' ( x0 )) 2 = F ( y ( x)) − F ( y ( x0 )) ,

con

F ' (u) = f (u ) .

Si

ha

( y ' ( x)) = 2[ F ( y ( x)) − F ( y ( x0 ))] + ( y ' ( x0 )) che è un’eq. diff. del 1° ordine (e si può ricondurre ad eq. a variabili separabili). 2

2

107. EDL 2° a coeff. cost.: y ' ' ( x) + ay' ( x) + by( x) = c( x) , con c( x) : I → R funzione continua su un intervallo aperto I , e con a, b ∈ R . L’eq. y ' ' ( x) + ay ' ( x) + by ( x) = 0 è detta eq. diff. lin. omogenea associata all’eq. completa. 108. (EDL 2° a coeff.cost.) Equazione caratteristica: z 2 + aZ + b = 0 . 109. EDL di ordine n a coeff. cost.: y ( n) ( x) + a1 y ( n−1) ( x) + a2 y ( n−2) ( x) + ... + an y ( x) = c( x) , con I c( x ) : I → R funzione continua, intervallo, a1 ,..., an ∈ R . L’eq.

y ( n) ( x) + a1 y ( n−1) ( x) + a2 y ( n−2) ( x) + ... + an y( x) = 0 è detta eq. diff. omogenea associata all’eq. completa. 110. (EDL di ordine n a coeff. cost.) Soluzione: Si dice che una funzione y : I (⊂ R ) → R è una soluzione se: a) y (x) è n volte derivabile in I ; b) y ( n) ( x) + a1 y ( n−1) ( x) + a2 y ( n−2) ( x) + ... + an y ( x) = c( x), ∀x ∈ I . 111. (EDL di ordine n a coeff. cost.) Eq. caratteristica: z n + a1 z n−1 + a2 z n−2 + ... + an = 0 . 112. Equazioni di Eulero: x n y ( n) ( x) + a1 x n−1 y ( n−1) ( x) + ... + an−1 xy' ( x) + an y ( x) = c( x) ,

a1 ,..., an ∈ R, c( x) : I → R funz. continua, I intervallo. Si effettua la sostituzione x = e t se è x > 0[ x = −e t , x < 0] , ottenendo un’eq. lin. a coeff. cost. 113. Sistemi di 2 eq. diff. lin. 1° a coeff. cost.:

⎧u' ( x) = au( x) + bv( x) + f ( x) , con ⎨ ⎩v' ( x) = cu( x) + dv( x) + g ( x)

a, b, c, d ∈ R, f , g : I (⊂ R ) → R di classe C 1 , I intervallo. Una soluzione del sistema è una coppia di funz. (u( x ), v( x)) con u, v : I → R derivabili che soddisfano su I alle eq. date. Si vede che una soluzione deve essere formata da funzioni di classe C 2 su I . Derivando i due membri della 1° eq. e sfruttando la 2° si ottiene: u ' ' ( x ) = au' ( x ) + bv' ( x ) + f ' ( x) = au ' ( x) + b(cu( x) + dv( x) + g ( x)) + f ' ( x) = . au' ( x ) + bcu( x ) + d (u ' ( x) − au ( x ) − f ( x )) + bg ( x) + f ' ( x) Si ha u' ' ( x) = (a + d )u' ( x) + (bc − ad )u( x) + bg ( x) − df ( x) + f ' ( x) che è un’eq. lin. del 2° ord. a coeff. cost.

Definizioni – Curve in forma parametrica 114. Curva in Rn Sia I ⊂ R un intervallo. Una funzione γ : I → R n si dice curva in Rn. L’immagine γ (I ) si dice sostegno della curva, di cui è una rappresentazione parametrica. 115. Curva continua, regolare, chiusa, semplice Una curva si dice continua o di classe Ck se γ è continua su I (o di classe Ck su I). Una curva si dice regolare se γ : I → R n è di classe C1 su I e γ ′(t ) ≠ 0 ∀t ∈ int I .

Una curva si dice chiusa se γ : I = [a, b] → R n e γ (a ) = γ (b ) . Una curva si dice semplice se ∀t1 , t 2 con t1 = t 2 e almeno uno fra t1 e t 2 interno ad I, si ha γ ( t1 ) ≠ γ (t 2 ) . 116. Vettore, versore e retta tangente

⎛ x′(t ) ⎞ γ ′(t ) ⎟⎟ si dice vettore tangente; il versore τ (t ) = Il vettore γ ′(t ) = ⎜⎜ si dice versore tangente γ ′(t ) ⎝ y ′(t )⎠ ( ∀t ∈ int I ). Sia γ una curva regolare e semplice; se t 0 ∈ int I , la retta r (t ) = γ (t 0 ) + γ ′(t 0 )t con t ∈ R si dice

retta tangente a γ nel p.to γ (t 0 ) .

117. Curva in forma parametrica e cartesiana

⎧x = t t ∈ I si dice in forma Sia f : I (⊂ R ) → R n , con I intervallo, di classe C1. La curva ⎨ ⎩ y = f (t ) cartesiana; γ è regolare e semplice. Sia ρ : I (⊂ R ) → R n , con I intervallo, di classe C e ρ (ϑ ) ≥ 0 ∀ϑ ∈ I . La curva ⎧ x = ρ (ϑ )cosϑ ϑ ∈ I si dice in forma polare; γ risulta di classe C1, regolare e semplice se ⎨ ⎩ y = ρ (ϑ )sin ϑ

ρ (ϑ )2 + (ρ (ϑ ))2 ≥ 0 ∀ϑ ∈ int I .

118. Lunghezza di una curva e rettificabilità Sia γ : [a, b] → R n una curva continua e sia δ una decomposizione di [a, b] individuata dai punti a = t 0 < t1 < ... < t m = b . Consideriamo la poligonale π (δ ) individuata dai m segmenti

τγ (t 0 ) + (1 − τ )γ (t1 ) con τ ∈ [0,1] … τγ (t m−1 ) + (1 − τ )γ (t m ) con τ ∈ [0,1] . m

Si definisce lunghezza di π (δ ) il numero l (π (δ )) = ∑ γ (t i ) − γ (t i −1 ) . Si dice che γ è rettificabile i =1

se

sup l (π (δ )) < +∞ e si pone lunghezza di γ il numero l (γ ) = sup l (π (δ )) .

δ ∈Δ ([a,b ])

δ ∈Δ ([a,b ])

119. Integrale curvilineo di un campo scalare Sia γ : [a, b] → R n una curva regolare e sia

f : E (⊂ R n ) → R una funzione continua, con

sost (γ ) ⊂ E . Si definisce integrale curvilineo di f su γ il numero

∫γ fds = ∫ f (γ (t )) γ ′(t ) dt . b

a

120. Integrale curvilineo di un campo vettoriale

(

)

Sia γ : [a, b] → R n una curva regolare e sia g : E ⊂ R n → R n una funzione continua, con sost (γ ) ⊂ E . Si definisce integrale curvilineo del campo vettoriale g su γ il numero b b γ ′(t ) γ ′(t ) ∫γ < g ,τ > = ∫a < g (γ (t )), γ ′(t ) > − γ ′(t ) = ∫a < g ,γ > dt essendo τ (t ) = γ ′(t ) .

1 2. Serie numeriche assolutamente e semplicemente convergenti +∞

∑ an si dice assolutamente convergente se n =1 +∞

∑a n =1

+∞

∑a n =1

n

è convergente. +∞

n

si dice semplicemente convergente se è convergente, ma

∑a n =1

è divergente.

n

+∞

Teo Se ∑ a n è assolutamente convergente, allora è convergente. n =1

3. Criterio dell’ordine di infinitesimo per la convergenza di una serie numerica Sia an ≥ 0 ∀n . Si ha:

(1) Se ∃ε > 0 t.c. ord +∞ an > 1 + ε allora +∞

∑a

(2) Se ord +∞ an ≤ 1 allora

n =1

n

+∞

∑a n =1

n

è convergente.

è divergente (a + ∞ ).

5. Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni Puntuale: Sia E ≠ ∅ un insieme e sia ( f n )n una successione di funzioni con f n : E → R (o C ) . Si

dice che ( f n )n converge puntualmente su E a f n : E → R (o C ) se ∀x ∈ E esiste lim f n ( x ) = f ( x ) , x → +∞

cioè (∀x ∈ E )(∀ε > 0)(∃n )(∀n )(n > n ⇒ f n ( x ) − f ( x ) < ε ) .

[Oss. n = n (x, ε ) ]

Uniforme: Sia E ≠ ∅ un insieme e sia ( f n )n una successione di funzioni con f n : E → R (o C ) . Si dice che ( f n )n converge uniformemente su E a f n : E → R (o C ) se

(∀ε > 0)(∃n )(∀n )(n > n ⇒ f n (x ) − f (x ) < ε ) .

[Oss. n = n (ε ) ]

11. Serie di Taylor di una funzione di variabile reale Se f : ]x0 − h, x0 + h[ → R è di classe C su ]x0 − h, x0 + h[ (con h>0), la serie ∞

+∞

∑ n =0

f ( n ) ( x0 ) (x − x0 )n n!

si dice serie di Taylor (generata da f) con p.to iniziale x0 .

Se la serie di Taylor è convergente ∀x ∈ ]x0 − h, x0 + h[ e ha per somma f(x) allora si dice che f è

sviluppabile in serie di Taylor con p.to iniziale x0 su ]x0 − h, x0 + h[ .

17. Sviluppo in serie di Taylor-McLaurin delle principali f.ni elementari +∞ +∞ +∞ (− 1)n x 2n (− 1)n x 2n+1 xn cos x = ∑ sin x = ∑ ex = ∑ (2n )! n = 0 n! n =0 n =0 (2n + 1)! +∞

x 2 n+1 n =0 (2n + 1)! +∞

x 2n n =0 (2n )!

sinh x = ∑

+∞

(1 + x )α = ∑ ⎛⎜⎜

cosh x = ∑

(− 1)n x 2 n+1 n =0 (2n + 1)

arctgx = ∑

+∞

log x = log

1 + x +∞ 2 ⋅ x 2 n +1 =∑ 1 − x n=0 (2n + 1)

α⎞

⎟⎟ x n n n =0 ⎝ ⎠

12. Raggio di convergenza e insieme di convergenza di una serie di potenze +∞

Raggio: Il raggio di convergenza R di

∑ a (x − x ) n =0

n

n

+∞

0

verifica:

1) se x ∈ R è t.c. x − x0 < R , allora

∑ a (x − x )

converge;

2) se x ∈ R è t.c. x − x0 > R , allora

∑ a (x − x )

non converge;

n =0 +∞ n =0

n

n

0

n

n

0

2 Se il raggio di convergenza R di una serie di potenze è finito positivo, l’insieme I R = ]x0 − R, x0 + R[ è detto l’intervallo di convergenza, mentre è detto insieme di convergenza l’insieme D formato da tutti i punti di R in cui la serie converge 13. Teorema di derivazione (proprietà della f.ne somma) +∞

Sia

∑ a (x − x )

n

n

n =0 +∞

una serie di potenze avente raggio di convergenza R>0. Si pone

0

f ( x ) := ∑ a n ( x − x0 ) , ∀x ∈ ]x0 − R, x0 + R[ . n

n=0

+∞

La f.ne f è derivabile sull’intervallo ]x0 − R, x0 + R[ e la sua derivata è f ′( x ) := ∑ na n ( x − x0 )

]x0 − R, x0 + R[ . Inoltre la serie a II° membro ha raggio di convergenza R.

n −1

in

n =1

23. Equazione esponenziale e funzione logaritmo in C Dato w ∈ C \ {0}, questo può essere scritto nella forma w = ρ (cosϑ + i sin ϑ ) = ρe iϑ , con ρ > 0 ; cerchiamo ora tutti i numeri complessi z = x + iy per cui è e z = w ; essendo e z = e x +iy , si ha che

e x +iy = ρe iϑ o anche e x (cos x + i sin y ) = ρ (cos x + i sin y ) , che equivale al sistema ⎧e x = ρ ⎪ ⎨cos y = cosϑ ⎪sin y = sin ϑ ⎩

⎧ x = log ρ ⎨ z ; si ottiene ⎩ y = ϑ + 2kπ . L’equazione e = w ha dunque infinite soluzioni, in accordo col fatto che, come si è visto, la funzione esponenziale è, nel campo complesso, periodica di periodo 2πi . Essa non è dunque invertibile. Per renderla tale è necessario considerare la sua restrizione ad un opportuno sottoinsieme E di C. Si vede quindi che la funzione esponenziale ristretta all'insieme E = {z = x + iy : −π < y ≤ π } è iniettiva ed assume tutti i valori complessi non nulli. La funzione inversa della funzione esponenziale ristretta all'insieme E = {z = x + iy : −π < y ≤ π } è detta funzione logaritmo. Essa è dunque una funzione di C \ {0} in E. Il logaritmo di un numero complesso w = ρe iϑ ∈ C \ {0}è dunque l'unico numero complesso z = x + iy := log w , con − π < y ≤ π per cui è e z = w . 24. Definizione di prodotto scalare, norma e distanza euclidea in Rn Prodotto scalare (euclideo) x ⋅ y =< x, y >= x1 y1 + " + xn y n

(

x = < x, x > = x12 + " + xn2

Norma (euclidea)

d ( x, 0 ) = x

Distanza (euclidea)

( )

)

1/ 2

d x, y = x − y

25. Proprietà del prodotto scalare < ⋅,⋅ >: R n × R n → R soddisfa, ∀ x, y, z ∈ R n e λ ∈ R , le seguenti proprietà: S1.

< x + y , z >=< x, z > + < y , z >

S2.

< λ x, y >= λ < x, y >

S3.

< x, y >=< y , x >

S4.

< x, x >≥ 0

S5.

< x, y > ≤ < x , x > < y , y >

e < x, x >= 0 ⇔ x = 0

forma bilineare simmetrica positività Cauchy-Schwartz

43. Teorema di Riesz in Rn Per ogni forma lineare L : R n → R esiste uno e un solo a ∈ R n tale che L( x ) =< a, x > ∀ x ∈ R n .

3 44. Rettangoli in R2, decomposizioni, somme inferiori e superiori, f.ni integrabili su un rettangolo secondo Riemann Sia R = [a, b]× [c, d ] (un rettangolo piano) di R2; fissiamo n+1 nodi in [a,b] con a=x0<x1<…<xn=b e n+1 nodi in [c,d] con c=y0
[

δ := {Rij : i = 1,..., n, j = 1,..., m}

collezione

si

(

dice

)

]

decomposizione

di

R.

Poniamo

Δ (R ) := {δ : δ decomposizione di R }. Sia f : R ⊂ R 2 → R limitata, con R un rettangolo. Sia δ ∈ Δ .

Poniamo s (δ , f ) = ∑∑ lij m(Rij ) (somma inferiore) dove lij = inf f e m(Rij ) = (xi − xi −1 )( yi − yi −1 ) e n

m

Rij

i =1 j =1

S (δ , f ) = ∑∑ Lij m(Rij ) (somma superiore) dove Lij = sup f . n

m

i =1 j =1

Rij

Proprietà: Si ha ∀δ , δ ′ ∈ Δ (R ) : 1) δ ; δ ′ ⇒ s (δ ) ≤ s (δ ′) e S (δ ) ≥ S (δ ′) ; 2) s (δ ) ≤ S (δ ′) . Poniamo σ := {s (δ ) : δ ∈ Δ(R )} e Σ := {S (δ ) : δ ∈ Δ(R )} . Le due classi numeriche sono classi separate, cioè supσ ≤ inf Σ .

(

)

Integrale di Riemann su un rettangolo di R2: Sia f : R ⊂ R 2 → R limitata, con R rettangolo. Se le classi σ e Σ sono contigue, cioè supσ = inf Σ , si dice che f è integrabile secondo Riemann su R e si pone

∫

R

f = ∫∫ f ( x, y )dxdy := sup σ = inf Σ R

(

)

Significato geometrico: Sia f : R ⊂ R 2 → R integrabile su R e f ( x, y ) ≥ 0 ∀( x, y ) ∈ R , allora T

∫∫ f (x, y )dxdy = vol (E ) con E = {(x, y, z ) : (x, y ) T

T

R

}

∈ R e 0 ≤ z ≤ f ( x, y ) .

45. Teorema di Fubini Se f : R = [a, b]× [c, d ] → R integrabile su R e ∀x ∈ [a, b] , f ( x , y ) : [c, d ] → R integrabile su [c,d], allora, posto ∀x ∈ [a, b] , g (x ) = ∫ f (x, y )dy , g : [a, b] → R è integrabile su [a,b], e d

c

∫ g (x )dx = ∫∫ f (x, y )dxdy b

a

R

cioè

∫ ⎛⎜⎝ ∫ f (x, y )dy ⎞⎟⎠dx = ∫∫ f (x, y )dxdy . b

d

a

c

R

55. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan in Rn Sia E ⊂ R n un insieme limitato. Si dice che E è misurabile secondo Peano-Jordan in Rn se la funzione f(x) = 1 è integrabile su E e si pone m(E ) = ∫ 1 . E

56. Insiemi trascurabili in Rn e caratterizzazione degli insiemi misurabili Se per un sottoinsieme E di Rn è m(E)=0, esso è detto trascurabile. Un sottoinsieme E E di Rn è detto inoltre trascurabile se e solo se per ogni ε > 0 , esiste un nrettangolo T contenente E con m(T ) < ε . La misura di Peano-Jordan gode delle seguenti proprietà: 1) Se A e B sono due insiemi misurabili, sono tali anche A ∩ B, A ∪ B, A \ B. 2) Se A è un insieme misurabile, si ha m(A) ≥ 0; ∅ è misurabile e si ha m( ∅ )=0. 3) Se A e B sono insiemi misurabili, con A ∩ B= ∅ , si ha m(A ∪ B)=m(A)+m(B). 4) Se A e B sono due insiemi misurabili, si ha m(A ∪ B)=m(A)+m(B)-m(A ∩ B). 5) Se A e B sono due insiemi misurabili, con A ⊂ B, si ha m(A) ≤ m(B). 62. Formule di riduzione per corde e sezioni in R3 Corde: Sia f : E ⊂ R 3 → R è continua, con E insieme normale rispetto al piano xy, allora f è

(

)

( ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫ ⎛⎜⎝ ∫ (

Ψ x, y )

f ( x, y, z )dz ⎞⎟dxdy . ⎠ Analoghe formule per insiemi normali rispetto ai piani xz e yz.

integrabile su E e

E

K

Φ x, y )

4 Sezioni: Sia f : E ⊂ R → R è continua, con E insieme chiuso e misurabile tale che, posto

(

{

3

m = min z : ( x, y , z ) ∈ E T

S z = E ∩ {z = z } (⊂ R

2

)

)

}

{

è

}

∀z ∈ [m, M ]

M = max z : ( x, y, z ) ∈ E ,

e

T

misurabile,

allora

f

è

integrabile

la

sezione

su

E

e

∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫ ⎛⎜⎝ ∫∫ f (x, y, z )dxdy ⎞⎟⎠dz . M

E

m

Sz

Analoghe formule sezionando con piani paralleli a xz o yz. 58. Cambio di variabili negli integrali multipli – Caso bidimensionale Se f : E ⊂ R 2 → R è continua e limitata su E aperto misurabile e Φ : K ⊂ R 2 → E , con K aperto misurabile, tale che (i) Φ è di classe C1 con derivata parziale limitata su K, (ii) Φ : K → E sia ∂Φ ≠ 0 su K; allora f è integrabile su E e si ha: biiettiva, (iii) det ∂(u, v ) ⎛ xu xv ⎞ ∫∫E f (x, y )dxdy = ∫∫K f (x(u, v ), y(u, v )) = ∫∫K f (x(u, v ), y(u, v ))det⎜⎜⎝ yu yv ⎟⎟⎠dudv ( cioè ∫∫ ( f ⋅ Φ ) Φ u ∧ Φ v dudv ).

(

(

)

)

K

63. Integrali generalizzati in Rn – Insiemi localmente misurabili e funzioni localmente integrabili Sia J ⊂ R n localmente misurabile, cioè tale che, per ogni misurabile E ⊂ R n , J ∩ E è misurabile. Sia f : J ⊂ R n → R , con J localmente misurabile, localmente integrabile su J, cioè tale che esista una successione (An)n di insiemi misurabili tali che: (i) a n ⊂ a n +1 ⊂ J per n ∈ N + , (ii) per ogni

(

)

(

(

)

)

misurabile E ⊂ J , lim m(E \ An ) = 0 , (iii) f n→ +∞

(

)

An

è integrabile su An ∀n ∈ N + ;

Caso di f positiva: Sia f : J ⊂ R n → [0,+∞[ localmente integrabile su J e localmente misurabile; si dice che f è integrabile in senso generalizzato su J se esiste finito lim

∫

n → +∞ An

∫

J

f = lim

∫

n→ +∞ An

f e si pone:

f.

Teo Se (An)n e (Bn)n sono due successioni verificanti le tre proprietà, allora lim

∫

n → +∞ An

f = lim

∫

n → +∞ Bn

f .

64. Derivata direzionale e derivata parziale Sia f:A(⊂RN)ÆR, con A aperto e sia x°∈A.Sia v∈RN un versore di RN (cioè ||v||=1) (v si dice anche direzione orientata) g(z)=f(x°+tv) con |t|<δ. g(0)=f(x°) g’(0)=lim(tÆ0) [(g(t)-g(0))/t]; lim(tÆ0) [(f(x°+tv)-f(x°))/t] si chiama derivata direzionale di f in x° lungo v e si indica con ∂f/∂v (x°). Sia {e1,..en} la base canonica di RN. Se v=ei, per qualche i=1..N la derivata direzionale di f in x° lungo ei si dice derivata parziale di f rispetto xi e si indica con: ∂f/∂e1 (x°)= ∂f/∂xi (x°)= fxi(x°). 65. Differenziale di un campo scalare, approssimante lineare Caso unidim: Sia f:A(⊂R)ÆR con A aperto e x°∈A. Si ha che f è derivabile in x° se e solo se esiste L∈L(R,R) t.c. f(x)=f(x°)+L(x-x°)+ε(x)|x-x°| con lim[xÆx°]ε(x)=0 inoltre L:RÆR è t.c. L(h)=f’(x°)*h cioè L=(df)(x°).; caso f:RNÆR(o derivata di Frechet) sia f:A(⊂RN)ÆR, con A aperto, e sia x° se esiste L∈L(RN,R) tc f(x)=f(x°)+L(x-x°)+ε(x)||x-x°|| con lim[xÆx°] ε(x)=0. L si dice differenziale di f in x°e si indica con (df)(x°). Approssimante lineare: Sia f:A(⊂RN)ÆR,con A aperto,e sia x°∈A. Si dice che f è dotata di approx lineare in x° se esistono L∈L(RN,R) e q∈R tc,posto f(x)=L(x-x°)+q (i) f(x°)=f(x°); (ii)lim[xÆx°] (f(x)-f(x))/||x-x°||. Teo: Siano f:A(⊂RN)ÆR,con A aperto,e x°∈A. Si ha che f è differenziabile in x°se e solo se f è dotata di approx lineare in x°. Inoltre risulta L=(df)(x°) e q=f(x°).

5 68. Gradiente Siano f:A(⊂RN)ÆR, con A aperto e x°∈A. Se f è differenziabile in x°, si definisce gradiente di f in x° il vettore Vf(x°)=(∂f(x°)/∂x1,.., ∂f(x°)/∂xN)T∈RN; Proprietà del gradiente: Sia f differenziabile in x°; si ha 1) direzione orientata di massimo incremento: Se Vf(x°)≠0,allora ∂f(x°)/∂v è massima se v=Vf(x°)/||Vf(x°|| e minima se v=-Vf(x°)/||Vf(x°||; Dim ∂f(x°)/∂v =L(v)= (disuguaglianza di Cauchy-Schwartz) ≤||Vf(x°)||*||v||= ||Vf(x°)||. Inoltre se v=Vf(x°)/||Vf(x°)||,allora ∂f/∂v (x°)= =||Vf(x°)||; 2) ortogonalità rispetto agli insiemi di livello: se Vf(x°)≠0 è ortogonale,allora Vf(x°) è ortogonale all’insieme di livello If(x°)={x∈A: f(x)=f(x°)} in x° 73. Differenziale di una funzione composta Se f:A(⊂RN)ÆRM, con A aperto è differenziabile in x°∈A e g:B(⊂RP)ÆA con B aperto è differenziabile su u° con g(u°)=x°,allora la funz.composta h:=f ° g: B(⊂RP)ÆRM è differenziabile in u° e [ ∂h1/∂u1 (u°) … ∂h1/∂uP (u°) ] =[ ∂f1/∂x1 (x°) … ∂f1/∂xN (x°) ]* [ ∂g1/∂u1 (u°) … ∂g1/∂uP (u°) ] [∂hM/∂u1 (u°) … ∂hM/∂uP (u°)] [∂fM/∂x1 (x°) … Jh(u°)=Jf(x°)*Jg(u°) riga*colonna Æ ∂fM/∂xN (x°)] [∂gN/∂u1 (u°) … ∂gN/∂uP (u°)] 76. Teorema di Schwartz Se f:A(⊂RN)ÆR è di classe Ck in A,allora le derivate parziali fino alle k-esime NON dipendono dall’ordine seguito nell’eseguire la derivazione. 80. Condizione sufficiente affinché una funzione sia due volte differenziabile Se f è di classe C’ su A, allora f è due volte differenziabile in ogni pto di A. 84. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R2 (curve) (Condizione necessaria per l’esistenza di punti di estremo vincolati) Siano f:A(⊂R2)ÆR e ϕ:A(⊂RN)Æ di classe C’ sull’aperto A. Poniamo Γ={(x,y)T∈A:ϕ(x,y)=0}. Se (x°,y°)∈Γ è un punto di estremo vincolato per f su Γ e Vϕ(x°,y°)≠0, allora esiste λ∈R t.c. Vf(x°,y°)= λVϕ(x°,y°). 82. Estremi relativi di una funzione – sella, massimo e minimo Sia f:E(⊂RN)ÆR e sia x° un punto di E. Si dice che x°è un punto di massimo relativo per f se esiste U∈Ix° tc f(x)f(x°) si dice punto di minimo relativo. Punti di sella: Sia f :E(⊂RN)ÆR (N≥2) e sia x°∈E. Si dice che x° è punto di sella di f se esistono due versori u e v, (u≠v) t.c. la funzione gu(t)=f(x°+tu) ha un minimo relativo in t=0,la funz. gv(t)=f(x°+vt) ha un massimo relativo in t=0. 81. Formula di Taylor del secondo ordine Se f è due volte differenziabile in x°, allora {f(x)=f(x°)++1/2+ε(x)||x-x°||² con lim[xÆx°]ε(x)=0. 67. Matrice Jacobiana Se f è differenziabile in x°, allora esistono ∂f/∂xi (x°) =∂f/∂ei (x°)=L(ei) per i=1..N. Quindi L=(df)(x°) è rappresentato dalla matrice Jacobiana Jf(x°)=(∂f(x°)/∂x1,…., ∂f(x°)/∂xN); Dim Si ha ∂f(x°)/∂xi=L(e1)=ai per ogni i=1..N; 78. Differenziale secondo di un campo scalare e relativa matrice Hessiana Sia f:A(⊂RN)ÆR con A aperto, differenziabile in ogni punto di A e sia x°∈A. Poniamo g:=Vf : A(⊂RN)ÆRN. Se g è differenziabile in x°, la matrice Jacobiana di g nel punto x°,Jg(x°) si dice matrice Hessiana Hf(x°) e risulta Jg(x°)=[ ∂f1/∂x1 (x°) … ∂f1/∂xN (x°) ] = [∂²f/∂x1²

6 (x°)…∂²f/∂xN∂x1 (x°)]…[∂fM/∂x1(x°) … ∂fM/∂xN(x°)] [∂²f/∂x1∂xN(x°)…∂²f/∂xN²(x°)] = Hf(x°) con g=V(∂f/∂x1 )… (∂f/∂xN) . 38. (EDL 2° a coeff. cost.) Nucleo risolvente Sia data un’eq. diff. lin. del 2° ordine e sia { y1 , y2 } una base dello spazio S delle soluzioni dell’eq. omogenea associata. Allora una soluzione particolare dell’eq. completa è data da y ( x ) = ∫ K ( x, t )c(t ) dt , dove il “nucleo risolvente” K ( x, t ) è dato da x

x0

y1 (t ) y ( x) K ( x, t ) = 1 y1 (t ) y '1 (t )

y 2 (t ) y1 (0) y2 ( x) y (x − t) = 1 y 2 (t ) y1 (0) y ' 2 (t ) y '1 (0)

y2 (0) y2 ( x − t ) . y 2 (0) y ' 2 (0)

115. Curva continua, regolare, chiusa, semplice Una curva si dice continua o di classe Ck se γ è continua su I (o di classe Ck su I). Una curva si dice regolare se γ : I → R n è di classe C1 su I e γ ′(t ) ≠ 0 ∀t ∈ int I .

Una curva si dice chiusa se γ : I = [a, b] → R n e γ (a ) = γ (b ) . Una curva si dice semplice se ∀t1 , t 2 con t1 = t 2 e almeno uno fra t1 e t 2 interno ad I, si ha γ ( t1 ) ≠ γ (t 2 ) .

118. Lunghezza di una curva e rettificabilità Sia γ : [a, b] → R n una curva continua e sia δ una decomposizione di [a, b] individuata dai punti a = t 0 < t1 < ... < t m = b . Consideriamo la poligonale π (δ ) individuata dai m segmenti

τγ (t 0 ) + (1 − τ )γ (t1 ) con τ ∈ [0,1] … τγ (t m−1 ) + (1 − τ )γ (t m ) con τ ∈ [0,1] . m

Si definisce lunghezza di π (δ ) il numero l (π (δ )) = ∑ γ (t i ) − γ (t i −1 ) . Si dice che γ è rettificabile se i =1

sup l (π (δ )) < +∞ e si pone lunghezza di γ il numero l (γ ) = sup l (π (δ )) .

δ ∈Δ ([a ,b ])

119. Integrale curvilineo di un campo scalare Sia γ : [a, b] → R n una curva regolare e sia

δ ∈Δ ([a ,b ])

(

)

f : E ⊂ R n → R una funzione continua, con

sost (γ ) ⊂ E . Si definisce integrale curvilineo di f su γ il numero

∫γ fds = ∫ f (γ (t )) γ ′(t ) dt . b

a

120. Integrale curvilineo di un campo vettoriale Sia γ : [a, b] → R n una curva regolare e sia g : E ⊂ R n → R n una funzione continua, con sost (γ ) ⊂ E . Si definisce integrale curvilineo del campo vettoriale g su γ il numero b b γ ′(t ) γ ′(t ) ∫γ < g ,τ > = ∫a < g (γ (t )), γ ′(t ) > − γ ′(t ) = ∫a < g ,γ > dt essendo τ (t ) = γ ′(t ) .

(

)