Ana Ii Mitschrift

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Mitschrift Analysis II Vorlesung WS09/10 Prof. Dr. Jussi Behrndt Technische Universit¨at Berlin

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Vorwort ur eventuelle Fehler u ¨bernimmt Dies ist eine Mitschrift, kein Skript! F¨ niemand die Verantwortung, sollten allerdings welche entdeckt werden freue ich mich u ¨ber Hinweise. An dieser Mitschrift kann noch viel ”Sch¨onheitsdienst” getan werden, ich mache das vielleicht auch noch, allerdings reicht sie ja auch so zum Arbeiten. Außerdem habe ich nicht alle Grafiken aus der Vorlesung, wenn sich also jemand erbarmt, sie als JPEG malt und mir mailt werde ich sie auch noch einf¨ ugen. WICHTIG: Auch dient die Mitschrift nicht als Ersatz f¨ ur die Vorlesung, wichtige Bemerkungen und Erkl¨arungen des Dozenten tauchen nicht auf. Ich empfehle euch also trotzdem regelm¨aßig zur Vorlesung zu gehen. Weitere Mitschriften: Lineare Algebra I+II Tipp: Nicht immer gleich ausdrucken wenns online ist, im aktuellen Teil sind immer massenhaft Tippfehler die ich erst dann korrigiere wenn sie mir auffallen(d.h. wenn ich die Woche darauf damit arbeite).

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Inhaltsverzeichnis 1. Integration 1.1. Treppen - und Regelfunktionen 1.2. Integration von Treppen - und Regelfunktionen 1.3. Der Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung, Integrationsregeln 1.4. Vertauschbarkeit von Integration und Grenz¨ ubergang 1.5 Parameterabh¨angige und uneigentliche Integrale 2. Topologische R¨ aume - Eine Einf¨ uhrung 2.1. Grundbegriffe 2.2. Kompaktheit 2.3. Stetige Abbildungen zwischen topologischen R¨aumen 3. Differentialrechnung mehrerer Variablen 3.1. Differenzierbarkeit vektorwertiger Abbildungen von mehreren Ver¨anderlichen 3.2. Richtungsableitung und Gradient 3.3. Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen 3.4. H¨ohere partielle Ableitungen und die Taylorsche Formel 3.5. Lokale Extrema 3.6. Umkehrabbildungen und der Satz u ¨ber implizite Funktionen 4. Kurvenintegrale 4.1. Kurven und deren L¨ange 4.2. Skalare und vektorielle Kurvenintegrale 4.3. Konservative Vektorfelder und Potentiale 5. Integralrechnung im Rd 5.1. Das Integral f¨ ur Treppenfunktionen 5.2. Das Integral f¨ ur stetige Funktionen u ¨ber kompakte Quader 5.3. Das Integral f¨ ur stetige Funktionen auf offenen Mengen 5.4. Der Transformationssatz 6. Oberfl¨ achenintegrale 6.1. Hyperfl¨achen im Rm , Tangentialebenen 6.2 Fl¨acheninhalt - Integrale u ¨ber Fl¨achen 6.3 Orientierte Fl¨achen, Fluß

4 7. Integrals¨ atze 7.1. Divergenz und der Gauß’sche Satz 7.2. Der Satz von Stokes im R2 und R3 .

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Kapitel 1 Integration 1.1 Treppen und Regelfunktionen

Definition 1.1 Es sei f : [a, b] → R und a = x0 < x1 < ... < xn = b eine Zerlegung des Intervalls [a, b]. Falls die Restriktionen von f (xi−1 ,xi ) , i = 1, ... , n Konstant sind, dann heißt f Treppenfunktion. Bem: der Wertebereich einer Treppenfunktion ist eine endliche Menge. Erinnerung: B([a, b]) = {f : [a, b] → R beschr¨ankt} F¨ ur f ∈ B([a, b]) setze kf k∞ = sup |f (x)|. k.k∞ ist eine Norm. x∈[a,b]

⇒ (B([a, b]), k.k∞ ) Banachraum

Proposition 1.2 Die Menge der Treppenfunktionen auf [a, b] ist ein linearer Unterraum von B([a, b]). Beweis: offensichtlich ist jede Treppenfunktion beschr¨ankt. Seien f, g ∈ T ([a, b]) und λ ∈ R. Dann ist x 7→ (λf )(x) = λf (x) nat¨ urlich auch eine Treppenfunktion. Seien a = x0 < x1 < ... < xn = b und a = y0 < y1 < ... < ym = b Zerlegungen zu f und g. Sei dann a = z0 < z1 < ... < zl = b eine Zerlegung mit {z0 , z1 , ... , zl } = {x0 , x1 , ... , xn } ∪ {y0 , y1 , ... , ym }. Dann ist x 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x) eine Treppenfunktion, da
(f + g) (zi−1 ,zi ) (x) = f (zi−1 ,zi ) (x) + g (zi−1 ,zi ) (x) = const. + const.

Treppenfunktion

 Frage: Welche Funktionen zu B([a, b]) sind Grenzwerte von Folgen von Treppenfunktionen.

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Satz 1.3 Zu jeder stetigen Funktion f : [a, b] → R existiert eine Folge (gn )n∈N von Treppenfunktionen, so dass lim kgn − f k∞ = 0. n→∞

d.h. (gn )n∈N konvergiert gleichm¨aßig gegen f . Beweis: Es sei f : [a, b] → R stetig und seien xi = xi (n) = a +

b−a i, i a

= 0, 1, ... , n

und a = x0 < x1 < ... < xn = b eine Zerlegung von [a, b].  f (zi ), xi−1 < x < xi und z ∈ [xi−1 , xi ) bel. Definiere gn(x) = f (b), x = b Dann ist gn eine Treppenfunktion auf [a, b]. f ist stetig auf kompakten, also gleichm¨aßig stetig, d.h. ∀ε > 0∃δ(ε) > 0∀x, y ∈ [a, b] : |x − y| < δ(ε) ⇒ |f (x) − f (y)| < ε Sei ε > 0 und sei n0 (ε) =

(b−a) . δ(ε)

Dann gilt f¨ ur n ∈ N mit n > n0 (ε) :

F¨ ur x ∈ [xi−1 , xi ) und zi ∈ [xi−1 , xi )
|x − zi | ≤ |xi − xi−1 | = a + b−a i − a+ a =

b−a n

<

b−a n0 (ε)

b−a (i a


− 1)

= δ(ε)

und damit ist f¨ ur x ∈ [xi−1 , xi ) |gn (x) − f (x)| = |f (zi ) − f (x)| < ε ⇒

sup

|gn (x) − f (x)| < ε

x∈[xi−1 ,xi )

Das gilt aber f¨ ur jedes [xi−1 , xi ) und bei b ist gn (b) = f (b) also folgt: kgn − f k∞ = sup |gn (x) − f (x)| < ε. x∈[a,b]

Definition 1.4 Jede Funktion f : [a, b] → R zu der eine Folge von Treppenfunktion (gn )n∈N mit kgn − f k∞ → 0 f¨ ur n → ∞ existiert heißt Regelfunktion.

Korollar 1.5

Jede stetige Funktion ist eine Regelfunktion.

7 Satz 1.6 Eine Funktion f : [a, b] → R ist eine Regelfunktion genau dann wenn zu jedem inneren Punkt von [a, b] ein rechts und linksseitiger Grenzwert existiert und an den Randpunkten die einseitigen Grenzwerte existieren. Beispiel: einer Funktion aus B([a, b]) die keine Regelfunktionen sind:  1, x ∈ [a, b] ∩ Q f (x) = 0 sonst Formal: f : [a, b] → R Regelfunktion ⇐⇒ ∀x0 ∈ (a, b) ex. lim f (x) und lim f (x) x%x0

x&x0

und limf (x) und limf (x) ex. x%b

x&a

Beweis: Mit B(x, δ) bezeichne eine δ-Umgebung um x. ”⇒” Sei f : [a, b] → R Regelfunktion und x0 ∈ [a, b). Wir zeigen, dass lim f (x) existiert (Analog zeigt man lim f (x) f¨ ur x0 ∈ (a, b] .) x&x0

x%x0

Sei (g n )n∈N eine Folge von Trepenfunktionen, mit kgn − f k∞ → 0 f¨ ur n → ∞. Seien x, y > x0 . Dann gilt |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − gn (x)| + |gn (x) − gn (y)| + |gn (y) − f (y)| ≤ 2kf − gn k∞ + |gn (x) − gn (y)| Es ist x0 in einem Konstanzintervall von gn oder Randpunkt eines solchen. Sei ε > 0 und n(ε) = n ∈ N mit kgn − f k∞ < ε. Sei weiter δ(ε) = δ so gew¨ahlt, dass kgn (x) − gn (y)k = 0 f¨ ur |x − x0 | < δ und |y − x0 | < δ. Also ist |f (x) − f (y)| ≤ 2ε. Ist nun (xn )n∈N eine Folge in (a, b) mit xn > x0 und lim xn = x0 dann gibt es zu ε > 0 ein n e ∈ N mit n→∞

|f (xn ) − f (xm )| ≤ 2ε f¨ ur alle n, m ≥ n e. Also ist (f (xn ))n∈N eine Cauchy-Folge in R und damit konvergent gegen lim f (x). x&x0

”⇐” Die Grenzwerte von f m¨ogen entsprechend existieren, d.h. zu x0 ∈ [a, b] gilt: ∀ε > 0 ∃δ > 0 mit |x − x0 | < δ und |y − x0 | < δ und x, y > x0 ⇒ |f (x) − f (y)| < ε

8 In anderen Worten: Zu ε > 0∃δ > 0 ∀x, y ∈ B(x0 , δ) = {v ∈ R : |v − x0 | < δ} = (x0 − δ, x0 + δ) mit x, y > x0 ⇒ |f (x) − f (y)| < δ x, y < x0 ⇒ |f (x) − f (y)| < δ Nun gilt

S

B(x0 , δ) ⊃ [a, b] und da [a, b] kompakt ist,

x0 ∈[a,b]

folgt, dass x1 , x2 , ... , xn ∈ [a, b] existieren, mit

n S

B(xi , δi ) ⊃ [a, b]

i=1

mit x1 < x2 < ... < xn . Es sei dann a = y0 < y1 < ... < yN < b so gew¨ahlt, dass die yj mit den Punkten xi , xi + δi oder xi − δi u ¨bereinstimmen, i = 1, ... , n. Seien dann ξj ∈ (yj , yj+1 ), j = 0, ... , N − 1 und definiere g : [a, b] → R  f (ξj ) x ∈ (yj , yj+1 ) Treppenfunktion: g(x) = f (x) x = yj Dann gilt f¨ ur x = yj : g(x) = f (x) und f¨ ur x ∈ (yj , yj+1 ) ist |f (x) − g(x)| = |f (x) − f (ξj )| wegen x, ξj ∈ B(xk , δk ) f¨ ur ein k = 1, ... , n sind x, ξj > xk oder x, ξj < xk und daher folgt< ε ⇒ Dies gilt f¨ ur alle (yj , yj+1 ) j = 0, ... , N − 1 damit gilt kf − gk∞ = sup |f (x) − g(x)| < δ x∈[a,b]



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1.2 Integration von Treppen und Regelfunktionen Definition 1.7 Sei a = x0 < x1 < ... < xn = b eine Zerlegung von [a, b] und g : [a, b] → R mit g(x) = ck , x ∈ (xk−1 , xk ), k = 1, ... , n n ´b P ck (xk − xk−1 ) Integral der Dann heißt I(g) := g(x)dx := k=1

a

Treppenfunktion g. Bemerkung: I(g) h¨angt nicht von der gew¨ahlten Zerlegung ab.

Proposition 1.8 Die Abbildung {Menge der Treppenfkt}3 g 7→ I(g) ∈ R ist ein beschr¨anktes lineares Funktional (Linearform), d.h. es gilt: I(g1 + g2 ) = I(g1 ) + I(g2 ), I(λg) = λI(g) g, g1 , g2 Treppenfkt. und es ex. M ≥ 0 mit |I(g)| ≤ M kgk∞ (hier kann M = b − a gew¨ahlt werden) Weiter ist g 7→ I(g) positiv und monoton. positiv: g(x) ≥ 0∀x ∈ [a, b] ⇒ I(g) > 0 monoton: g2 (x) ≥ g1 (x)∀x ∈ [a, b] ⇒ I(g2 ) ≥ I(g1 ) ¨ Beweis: Ubung

Satz 1.9 Sei g : [a, b] → R eine Treppenfunktion und c ∈ (a, b). ´c ´b ´b Dann gilt: g(x)dx + g(x)dx = g(x)dx a

c

a

Beweis: Sei a = x0 < x1 < ... < xn = b und g8x) = cn f¨ ur x ∈ (xk−1 xk ) Sei c 6= xj (sonst gleiche Zerlegung beibehalten). j = 0, ... , n. Dann ist c ∈ (xj , xj+1 ), j ∈ 0, ... , n. W¨ahle yn , k = 0, ... , n + 1 so folgt y0 = x0 = a, y1 = x1 , ... , yj = xj , yj+1 = c, yj+2 = xj+1 , ... yn+1 = xn = b

10

´c ´b Da g (a,c) und g (c,b) Treppenfunktionen sind, sind g(x)dx und g(x)dx a

c

definiert. j+1 n+1 ´c ´b P P g(x)dx + g(x)dx = ck (yk − yk−1 ) + cl−1 (yl − yl−1 ) a

=

k=1

c j P

l=j+2

ck (xk − xk−1 ) + cj+1 (c − yj ) + cj+1 (yj+2 − c) +

k=1

=

j P

n P

cl−1 (xl−1 − xl−2 )

k=j+2

ck (xk − xk−1 ) + cj+1 (xj+1 − xj ) +

k=1

=

n+1 P

n P

ck (xk − xk−1 )

k=j+2

´b ck (xk − xk−1 ) = g(x)dx

k=1

a

 Wiederholung: |I(g)| ≤ (b − a)kgk∞ ´b Wunsch: Sei g eine Regelfunktion. Definiere I(g) = g(x)dx. a

W¨ahle (gn )n∈N Folge von Treppenfunktionen, kg − gn k∞ → 0, n → ∞. ´b Setze dann I(g) = g(x)dx := lim I(gn ). a

n→∞

Problemchen: Ex. lim I(gn )? Ist lim I(gn ) unabh¨angig von der Wahl der n→∞

n→∞

approximierenden Folge (gn )n∈N ?

Lemma 1.10 Sei g : [a, b] → R eine Regelfunktion und (gn )n∈N eine Folge von Treppenfunktionen mit kg − gn k∞ → 0, n → ∞, dann ist ´b I(g) = g(x)dx := lim I(gn ) wohldefiniert. a

n→∞

Beweis: Da |I(gn ) − I(gm )| = |I(gn − gm )| ≤ (b − a)kgn − gm k∞ → 0 f¨ ur n, m → ∞ ist (I(gn ))n∈N eine Cauchyfolge in R. Damit existiert lim I(gn ) und ist gleich I(g).

n→∞

11 Seien (gn )n∈N , (hn )n∈N zwei folgen von Treppenfunktionen mit kg − gn k∞ → 0, n → ∞ und kg − hn k∞ → 0, n → ∞. Dann ist |I(gn ) − I(hn )| ≤ (b − a)kgn − hn k∞ ≤ (b − a) (kgn − gk∞ + khn − gk∞ )→ 0, n → ∞ und damit lim I(gn ) = lim I(hn ).  Bemerkung: Die Abbildung {Raum der Regelfunktionen} 3 g 7→ I(g) ∈ R hat die folgenden Eigenschaften: • Linearit¨at: I(g1 + g2 ) = I(g1 ) + I(g2 ) und I(λg) = λI(g), λ ∈ R • Stetigkeit: |I(g)| ≤ (b − a)kgk∞ • Positivit¨at: g(x) ≥ 0∀x ∈ [a, b] ⇒ I(g) > 0 z.B. (g1,n )n∈N und (g2,n )n∈N seien Treppenfunktionen mit kgi,n − gi k∞ i = 1, 2 |I(g1 + g2 ) − (I(g1 ) + I(g2 ))| = |I(g1 + g2 ) − I(g1,n + g2,n )|+ |I(g1,n + g2,n ) − I(g1,n ) − I(g2,n )| {z } | =0

+|I(g1,n + g2,n ) − I(g1 ) − I(g2 )|→ 0, n → ∞

Satz 1.11 (MWS der Integralrechnung) Sei f : [a, b] → R stetig. Dann ex. ein ξ ∈ (a, b) mit ´b I(f ) = f (x)dx = (b − a)f (ξ) a

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Beweis: Aus inf f (x) ≤ f (x) ≤ sup f (x) folgt x∈[a,b]

´b

x∈[a,b]

´b ´b inf f (x)dx ≤ f (x)dx ≤ sup f (x)dx

a x∈[a,b]

a x∈[a,b]

a

d.h. (b − a) inf f (x) ≤ (b − a)f (x) ≤ (b − a) sup f (x) x∈[a,b]

Dann folgt:

1 b−a

´b

x∈[a,b]

" f (x)dx ∈

# inf f (x), sup f (x) x∈[a,b]

a

x∈[a,b]

und nach dem Zwischenwertsatz existiert, da f stetig ein ξ ∈ [a, b] ´b 1 mit f (ξ) = b−a f (x)dx a



Satz 1.12 Sei f : [a, b] → R Regelfunktion und c ∈ (a, b). ´c ´b ´b Dann gilt f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx. a

c

a

Beweis: Auch die Restriktionen f [a,c] und f [c,b] von f sind Regelfunktionen, da kf − gn k∞ → 0 auch

f [a,c] −gn [a,c] k∞ → 0 impliziert. Hier sind (gn ) n∈N Treppenfkt.

und f [c,b] −gn [c,b] k∞ → 0.

13 ´c

´b ´c ´b f (x)dx + f (x)dx = lim gn (x)dx + lim gn (x)dx

= lim

n→∞

c ´

n→∞ c

n→∞ a

c

a

 ´b gn (x)dx + gn (x)dx c

a

=

´b ´b lim gn (x)dx = f (x)dx

Satz 1.9 n→∞ a

a

´a ´b Vereinbarung: F¨ ur a ≥ b definieren wir f (x)dx = − f (x)dx a

Dann gilt ∀a, b, c ∈ R

´c

Insbesondere f (x)dx = 0 a

´b

c

a

f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx

a

´b

b

´b

14

1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Satz 1.13 Sei f : [a, b] → R eine Regelfunktion. Dann ist die Funktion ´x F : [a, b] → R x 7→ F (x) := f (t)dt auf [a, b] stetig, einseitig a 0

differenzierbar und f¨ ur die rechts-, bzw. linksseitige Ableitung F+ und 0

0

0

F− gilt F+ (x) = f (x+ ) = lim f (t) und F− (x) = f (x− ) = lim f (t) t%x

t&x

´x Beweis: Da f [a,x] = eine Regelfunktion, ist F (x) = f (t)dt wohldefiniert x ´2

a

x ´1 seien x1 , x2 ∈ [a, b]. Dann gilt F (x2 ) − F (x1 ) = f (t)dt − f (t)dt a a x x ´2 ´2 = f (t)dt und daher |F (x2 ) − F (x1 )| = f (t)dt| ≤ kf k∞ |x2 − x1 |, x1 x1

also ist F stetig. 0

Wir betrachten die rechtsseitige Ableitung F+ : Sei h > 0 und betrachte F (x + h) − F (x) − f (x+ )h =

x+h ´

x+h ´

x+h ´

x

x

x

f (t)dt −

f (x+ )dt =

(f (t) − f (x+ ))dt

Es folgt: F (x+h)−F (x) h

= f (x+ ) +

1 h

x+h ´

(f (t) − f (x+ ))dt

x

Wegen lim f (t) = f (x+ ) ex ∀ε > 0 ein δ(ε) > 0 mit t&x

t ∈ [x, x + δ(ge)] ⇒ |f (t) − f (x+ )| < ε x+h ´ 1 Also ist | h (f (t) − f (x+ ))dt ≤ h1 sup |f (t) − f (x+ )| · h < ε f¨ ur h < δ(e) x

t∈[x,x+h]

und daher ist 0

(x) F+ (x) = lim F (x+h)−F = f (x+ ) + lim h1 h h→0

= limf (t) t→x



h→0

x+h ´

(f (t) − f (x+ ))dt = f (x+ )

x

15

Satz 1.14(Hauptsatz) ´x Sei f : [a, b] → R stetig. Dann ist F : [a, b] → R : x 7→ F (x) = f (t)dt a 0

stetig differenzierbar, es gilt F = f . Beweis: f stetig & Satz 1.13 Erinnerung: F heißt Stammfunktion f¨ ur f , falls F 0 = f .

Satz 1.15 Sei f : [a, b] → R stetig, und sei Fe eine Stammfunktion von f . ´b Dann gilt f (t)dt = Fe(b) − Fe(a) =: Fe(x)|ba . a

´x Beweis: Nach dem Hauptsatz ist F (x) = f (t)dt eine Stammfunktion von f . a

Da sich je zwei Stammfunktionen f nur um eine reelle Konstante unterscheiden, folgt dass F − Fe = c ∈ R. Damit gilt: ´b a

f (t)dt = F (b) − F (a) = Fe + c − (Fe(a) + c) = Fe(b) − Fe(a) | {z } ´a = f (t)dt=0 a

 Satz 1.16 (Substitutionsregel) Sei f stetig, stetig diffbar und f ◦ g sei erkl¨art. Dann gilt: g(b) ´b ´ f (g(t))g 0 (t)dt = f (t)dt a

g(a)

Beweis: Sei F eine Stammfunktion von f . Dann gilt (F ◦ g)0 (t) = F 0 (g(t))g 0 (t) = (f ◦ g)(t)g 0 (t), d.h. F ◦ g ist eine Stammfunktion von (f ◦ g)g 0 daher ist ´b

(f ◦ g)(t)g 0 (t)dt = F (g(b)) − F (g(a)) =

a



g(b) ´

f (t)dt

g(a)

16

=g π z }| { sin( π4 ) √ √ 1 ´4 sin(t) ´ x 1 x 2 2 e dx = e |0 = e 2 2 − 1 Beispiel: |e {z }cos(t)dt = | {z } 0 sin(0)

=f

=g 0

oder: x = sin(t), dx = cos(t) ... = dt

´

dx ex cos(t) cos(t) =

´

ex

Satz 1.17 (Partielle Integration) Sei f stetig, F Stammfunktion von f und g stetig, differenzierbar. Dann gilt: ´b ´b f (x)g(x)dx = F (b)g(b) − F (a)g(a) − F (x)g 0 (x)dx a

a

Beweis: Es gilt (F g)0 = f g + F g 0 und daher ´b ´b ´b f (x)g(x)dx = (F (x)g(x))0 dx − F (x)g 0 (x)dx a

a

a

´b

= F (b)g(b) − F (a)g(a)− F (x)g 0 (x)dx a

 Bsp: ´e x lnx dx = 1 =f =g

x2 lnx|e1 2

−

´e x2 1

2

· x1 dx =

e2 2

−

x2 e | 4 1

=

e2 2

−

e2 4

+

1 4

Satz 1.18 (Partialbruchzerlegung) Seien f, g Polynome mit grad(f ) = n und grad(g) = m und es gelte n < m. Dann existiert eine eindeutig bestimmte Zerlegung  r  c P cj,kj−1 j,kj cj,1 f (x) + = + · · · + g(x) x−aj (x−a )kj (x−a )kj −1 j

j=1

j

wobei aj ∈ C, j = 1, ... , r die Nullstellen des Nennerpolynoms sind, kj ∈ N die Vielfachheit der Nullstelle aj und cj,kj ∈ C. Beweis: Algebra VL & g(x) = α(x − a1 )k1 (x − a2 )k2 · · · (x − ar )kr Bemerkung:

´b f (x) a

g(x)

dx, f, g Polynom berechnet man mit:

17 ´

1 dx (x−a)n

 

1 (1−n)(x−a)n

n > 1, a ∈ C = ln|x − a| n = 1, a ∈ R 1 ln(x2 + 1) + i arctan(x), n = 1, a = i 2

n = 1, a = i ´ 1 ´ ´ = xx+i 2 +1 = x−a

x x2 +1

+

´

i x21+1

1.4 Vertauschbarkeit von Integralen und Grenz¨ ubergang Sei (fn )n∈N eine Folge von Regelfunktionen fn : [a, b] → R und fn → f punktweise (d.h. lim fn (x) = f (x)∀x ∈ [a, b]) n→∞

und f sei eine Regelfunktion. Wann und wie und warum gilt ´b ´b lim fn (x)dx = lim fn (x) fn (x)dx (I) ??? a n→∞

n→∞

a

Satz 1.19 Sei (fn )n∈N eine Folge von Regelfkt. die gleichm¨aßig gegen ein f konvergiert. Dann ist f eine Regelfunktion und (I) gilt. Beweis: W¨ahle n ∈ N so dass kf − fn k∞ < 2ε und k ∈ N so dass

(n) (n)

fn − gk < 2ε mit einer Treppenfunktion gk gilt. ∞

(n) ⇒ f − gk < ε ⇒ f Regelfunktion ∞ b b ´ ´ f (x)dx − fn (x)dx ≤ (b − a)kf − fn k → 0, n → ∞ ∞ a

a

´b

´b

a

a n→∞

⇒ f (x)dx =

´b lim fn (x)dx = lim f (x)dx n→∞ a

Bemerkung und Beispiel ∞ P Ist fn (x) auf [a, b] gleichm¨aßig konvergent und fn n=0 ∞  ∞ ´b ´b P P Regelfunktionenfolge. Dann folgt fn (x) dx = fn (x)dx a

n=0

n=0 a

18 F¨ ur |q| < 1 ist

1 1−q

∞ P

=

q n und konv. glm. [−1 + σ, 1 − σ] , f¨ ur σ > 0

n=0 ´x

Mit q = −t2 : arctan x = =

∞ P

(−1)

´x n

n=0

0

t2n dt =

∞ P

1 dt 1+t2

=

∞ ´x P

(−1)n t2n dt

0 n=0

2n+1

(−1)n x2n+1

n=0

0

Beispiel ”Punktweise Konvergenz reicht nicht aus um lim zu vert.”  x=0  0 fn : [0, 1 → R, fn (x) = cn x ∈ (0, n1 ) wobei (cn )n∈N ⊂ R  0 x ∈ [ n1 , 1] ´1 Es gilt lim fn (x) = 0 und fn (x)dx = cnn n→∞

0

Daher gilt: • Sei (cn )n∈N beschr¨ankt, dann ist ´1 ´1 0 = lim fn (x)dx = lim fn (x)dx = lim cnn = 0 0 n→∞

0

• Sei cn = n ´1 ´1 0 = lim fn (x)dx 6= lim fn (x)dx = lim nn = 1 0 n→∞

0

2

• Sei cn = n ´1 ´1 2 0 = lim fn (x)dx 6= lim fn (x)dx = lim nn existiert nicht. 0 n→∞

0

Satz 1.20 (Arzela-Osgood) Sei fn [a, b] → R eine punktweise konvergente Folge von Regelfunktionen und die Grenzfunktion f sei wieder eine Regelfunktion. Falls die Folge (kf k∞ ) beschr¨ankt ist gilt ´b ´b lim fn (x)dx = f (x)dx

n→∞ a

a

Beweis: Setze gn = fn − f . Dann ist gn Regelfunktion und lim gn (x) = lim (fn (x) − f (x)) = 0 und es gilt

n→∞

n→∞

kgn k∞ = kfn − f k∞ ≤ kf k∞ + kf k∞ ≤ C + kf k∞ Zeige daher:

19 Lemma 1.21 Sei (gn )n∈N eine Folge von Regelfunktionen mit (i) lim gn (x) = 0 und (ii) kgn k∞ ≤ C n→∞

´b Daher gilt lim gn (x)dx = 0. n→∞ a

Beweis: Es gen¨ ugt die Aussage f¨ ur Treppenfunktionen zu zeigen, denn zu jedem gn ex. eine Treppenfunktion fn mit kgn − fn k∞ ≤

1 n

Dann gilt (i) und (ii) f¨ ur die Folge (fn )n∈N und |I(gn ) − I(fn )| ≤ (b − a)kgn − fn k → 0 f¨ ur n → ∞ Beweis des Lemmas f¨ ur Treppenfunktionen gn : ´b - Schritt 1: Sei g eine Treppenfunktion mit | g(x)dx| ≥ ε > 0 a o n ε Dann ist die Menge S := x ∈ [a, b] |g(x)| ≥ 2(b−a) Vereinigung von endlich vielen disjunkten Intervallen, f¨ ur deren Gesamtl¨ange λ(S) gilt: λ(S) ≥

ε 2kgk∞

Beweis Schritt 1: Sei g Treppenfunktion, die auf dem Intervall In ⊂ [a, b] ´b P den Wert ck annimmt. Dann ist g(x)dx = ck λ(In ) Spalte die Summe in a

Summanden mit |ck | <

ε 2(b−a)

und |ck | ≥

k ε . 2(b−a)

´b P Dann folgt: ε ≤ | g(x)dx| ≤ |ck |λ(In ) ≤ a

ε (b − a) + kgk∞ λ(S) 2(b − a) | {z } >0

und daher ist λ(S) ≥

ε . 2kgk∞

Schritt 2: Sei (Sn )n∈N eine Folge von Elementarmengen (d.h. Sn ist eine endliche Vereinigung von disjunkten, beschr. Intervallen) mit Sn ⊂ [a, b] und λ(Sn ) ≥ c > 0. Dann gibt es ein x ∈ [a, b], welches zu unendlich vielen Sn geh¨ort. Beweis: etwas sp¨ater... Jetzt Beweis f¨ ur Treppenfkt: ´b Angenommen: lim gn (x)dx = lim I(gn ) 6= 0 n→∞ a

n→∞

20 Da (I(gn ))n∈N keine Nullfolge ist, ex. eine Teilfolge (I(gnk ))k∈N mit |I(gnk )| ≥ ε ∀k ∈ N. O.B.d.A. sei dies (I(gn ))n∈N selbst. Nach Schritt 1 gilt: Es ex. Elementarmengen Sn ⊂ [a, b] mit n o ε ε Sn = x ∈ [a, b] : gn (x) ≥ 2(b−a) und λ(Sn ) ≥ 2kgk ∞

Mit Voraussetzung (ii) folgt λ(Sn ) ≥

ε 2c

∀n ∈ N.

Nach Schritt 2 ex x ∈ [a, b] mit x in unendlich vielen Sn . D.h. es gilt f¨ ur unendlich viele n ∈ N : gn (x) ≥

ε 2(b−a)

Daher kann lim gn (x) = 0 nicht gelten. Widerspruch zur Vor. Beweis Schritt 2: Seien O.B.d.A. die Elementarmengen Sn abgeschlossen. Dann ex n1 ∈ N so dass ∀k > n1 : λ((S1 ∪ ... ∪ Sn1 ) ∩ Sk ) ≥

c 2

Ang. nicht, dann gibt es f¨ ur alle n ∈ N ein kn > n: λ((S1 ∪ ... ∪ Sn1 ) ∩ Sk ) < 2c . Es folgt: c ≤ λ(Skn ) = λ(Skn \ (S1 ∪ ... ∪ Sn1 )) + λ((S1 ∪ ... ∪ Sn1 ) ∩ Sk ) | {z } | {z } > 2c

< 2c

Nun ist λ(S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sn ∪ ... ∪ Skn ) ≥ (S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sn ∪ Skn ) = λ(S1 ∪ ... ∪ Sn ) + λ(Skn \ (S1 ∪ ... ∪ Sn )) ≥c+

c 2

Argument wiederholen liefert, dass ein n ∈ N ex mit λ(S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sr ) ≥ c + 2c + 2c + ... > (b − a) Widerspruch Setze A1 := S1 ∪ ... ∪ Sn1 . Dann ist λ(A1 ∩ Sn ) ≥ F¨ ur die Elementarmengen

Sk∗

c 2

∀k > n1

:= A1 ∩ Sk , k ≥ n1 + 1

Dann zeigt man wie oben, dass n2 ∈ N ex. so dass ∀k > n2 λ((Sn∗1 +1 ∪ ... ∪ Sn∗2 ) ∩ Sk∗ ) ≥ 4c . Sei dann A2 = Sn∗1 +1 ∪ ... ∪ Sn∗2 und so weiter.... Es folgt A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ... und Ai sind abgeschlossen.

21

Das Intervallschachtelungsaxiom liefert

∞ T

Ai 6= ∅.

i=1

Sei dann x ∈

∞ T

Ai . Da x ∈ A1 ex. mindestens eine

i=1

Elementarmenge Sk , k ∈ {1, ... , n1 } mit x ∈ Sk . Da x ∈ A2 liegt x in einem Sl∗ , l ∈ {n1 + 1, ... , n2 } also x ∈ A1 ∩ Sk ,weiter x ∈ A3 usw. liefert x in ∞-vielen Sn . 

1.5 Parameterabh¨ angige uneigentliche Integrale Es sei f : [a, b] × D → R so dass f¨ ur alle t ∈ D , [a, b] 3 x 7→ f (x, t) eine Regelfunktion ist. ´b t 7→ f (x, t)dx

F : D → R,

a

Frage: Eigenschaften von F in abh¨angigkeit von f ?

Satz 1.22 Sei f : [a, b] × D → R sei beschr¨ankt (|f (x, t)| < C ∀(x, t) ∈ [a, b] × D) und f¨ ur alle x ∈ [a, b] sei D 3 t 7→ f (x, t) stetig und f (•, t) eine ´b Regelfunktion ∀t ∈ D. Dann ist F (t) = f (x, t)dx stetig auf D. a

Beweis: Sei t0 ∈ D und (tn )n∈N mit tn → t0 in D. Setze gn (x) := f (x, tn ), n ∈ N. Dann gilt: (i) gn : [a, b] → R Regelfunktion. (ii) lim gn (x) = lim f (x, tn ) = f (x, t0 ) ∀x ∈ [a, b] n→∞

n→∞

(iii) kgn k∞ = sup |gn (x)| = sup |f (x, tn )| ≤ C ∀n ∈ N x∈[a,b]

x∈[a,b]

(iv) x 7→ f (x, t0 ) ist Regelfunktion. Also liefert der Satz Arzela-Osgood: ´b ´b lim F (tn ) = lim f (x, tn )dx = lim gn (x)dx n→∞ AO

=

´b

n→∞ a

n→∞ a

´b lim gn (x)dx = f (x, t0 )dx = F (t0 ).

a n→∞

a

22 Also ist F : D → R stetig in t0 ∈ D.  Sei jetzt D ein Intervall und x ∈ [a, b] fest. Die Funktion f (x, •) : D → R sei an der Stelle t0 ∈ D diffbar. Dann heißt f : [a, b] × D → R an der Stelle (x, t0 ) ∈ [a, b] × D partiell differenzierbar nach t,

∂f (x, t0 ) ∂t

= lim

h→0

f (x,t0 +h)−f (x,t0 ) . h

´b ´b ? Frage: F (t) = f (x, t)dx ⇒ F 0 (t) = ∂f (x, t)dx ? ∂t a

a

Satz 1.23 Sei f : [a, b] × D → R f¨ ur alle t ∈ D Regelfunktion. D sei ein Intervall und ∀x ∈ [a, b] sei f partiell nach t diffbar. Weiter sei ∂f ∂t ∂f ∂t

: [a, b] × D → R f¨ ur jedes feste t eine Regelfunktion in x und sei beschr¨ankt auf [a, b] × D.

´b Dann ist F : D → R, t 7→ F (t) = f (x, t)dx auf D differenzierbar a

und es gilt F 0 (t) =

´b a

∂f (x, t)dx. ∂t

Beweis: Sei t ∈ D und (tn )n∈N ⊂ D, tn 6= t und tn → t. Dann ist ´b f (x,tn )−f (x,t) F (tn )−F (t) = dx tn −t tn −t a

Setze also gn (x) :=

f (x,tn )−f (x,t) . tn −t

Dann gilt:

(i) gn : [a, b] → R Regelfunktion. (ii) lim gn (x) = lim n→∞

(iii) x →

n→∞

f (x,tn )−f (x,t) tn −t

=

∂f (x, t) ∂t

∂f (x, t) ∂t

ist eine Regelfunktion. ∂f f (x,tn )−f (x,t) (x, s) mit s ∈ (t, tn ) bzw (tn , t) = (iv) |gn (x)| = tn −t ∂t ↑

MWS

kgn k∞

∂f (x, t) ∂t

nach Voraussetzung beschr¨ankt in [a, b] × D folgt = sup |gn (x)| = sup ∂f (x, s)| ≤ C ∂t

und da

x∈[a,b]

x∈[a,b]

Daf¨ ur liefert der Satz v. Arzela-Osgood

23

F (tn )−F (t) tn −t n→∞

F 0 (t) = lim =

´b

lim gn (x)dx =

a n→∞

= lim

n→∞ a

´b ∂f a

´b f (x,tn )−f (x,t)

∂t

tn −t

´b dx = lim gn (x)dx n→∞ a

(x, t)dx

 Beispiel: F (t) =

´1 xt −1 0

ln(x)

dx, t ≥ 0

δ (xt ) = et·ln(x) = ln(x)et·ln(x) = ln(x) xt δt ´1 ∂  xt −1  ´1 t+1 1 0 F (t) = ∂t ln(x) dx = xt dx = xt+1 |10 = t+1 0 0

NR:

⇒ F (t) = ln(1 + t)

Definition 1.24 Es sei f : [a, ∞) → R und f [a,ω] sei eine Regelfunktion f¨ ur alle ω ≥ a. ω ∞ ´ ´ Falls lim f (x)dx existiert heißt der Grenzwert f (x)dx uneigentliches ω→∞ a

a

Integral (von f u ¨ber [a, ∞)) oder f ist in [a, ∞) uneigentlich integrierbar. Beispiel: ∞ ´ a

∞ ´

1dx existiert nicht

a 1 dx x2

ex denn lim

´ω

ω→∞ a

1 dx x2


= lim − x1 |ωa = ω→∞

1 a

Bemerkung: Linearit¨at, Positivit¨at und Monotonie gelten auch f¨ ur uneigentliche Integrale auf [a, ∞). Sei etwa f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, ∞), dann folgt mit der Positivit¨at des Integrals u ¨ber [a, ω], dass: ∞ ´ ´ω f (x)dx = lim f (x)dx ≥ 0 a

ω→∞ a

Die Absch¨atzung |I(f )| ≤ (b − a)kf k∞ ist nat¨ urlich quatsch. Satz 1.19 ist falsch f¨ ur uneigentliche Integrale.

24 Definition 1.25 Das uneigentliche Integral

∞ ´

f (x)dx heißt absolut konvergent, falls

a

∞ ´

|f (x)|dx konvergent.

a

Bemerkung:

∞ ´

f (x)dx abs. konvergent ⇒

∞ ´

:

a

f (x)dx konvergiert

a

Satz 1.26 Seien f, g : [a, b] → R und f [a,ω] und g [a,ω] Regelfunktion ∀ω ≥ a ∞ ´ Gelte |f (x)| ≤ g(x) ∀x ≥ a und g(x)dx existiere. Dann ist

a

∞ ´

f (x)dx absolut konvergent.

a

Beweis: ist ganz einfach

Satz 1.27 (Integralkriterium f¨ ur Reihen) Sei f : [1, ∞) → R nichtnegativ, monoton fallend und ∞ P f [1,ω] sei Regelfunktion ∀ω ≥ 1. Dann ist f (n) konvergent genau dann wenn

n=1

∞ ´

f (x)dx existiert.

1

ur k ∈ N ist f (k + 1) ≤ Beweis: F¨

k+1 ´

f (x)dx ≤ f (k), daher

k

´n f (2) + f (3) + ... + f (n) ≤ f (x)dx ≤ f (1) + f (2) + ... + f (n − 19 1

Also ist n n ´n P P f (k) − f (1) ≤ f )x = dx ≤ f (k) k=1

1

k=1



∞ P

n P



f (k) konvergent, dann ist f (k) k=1 n∈N n  ´ eine Cauchyfolge und damit f (x)dx auch Cauchyfolge. Falls nun

k=0

1

⇒ daher ex.

∞ ´

n∈N

f (x)dx R¨ uckrichtung analog.

1

25

Definition 1.28 f [a, b] → R sei eine Regelfunktion auf jedem Teilintervall [ω, b], a < ω ≤ b ´b ´b Falls lim f (x)dx existiert, so heißt der Grenzwert f (x)dx uneigentliches ω&a ω

a

Integral (von f u ¨ber (a, b]). ∞ ´ Beispiel: (Gammafunktion) Sei t > 0 und Γ(t) := xt−1 exp(−x)dx. a

F¨ ur t ∈ (0, 1) ist das Integral uneigentlich bei 0 und ∞. Betrachte daher ∞ ´1 t−1 ´ x exp(−x)dx und xt−1 exp(−x)dx 0

1

F¨ ur x ∈ (0, 1] und t ∈ (0, 1) ist xt−1 exp(−x) ≤ xt−1 und  t    ´1 t−1 ´1 t x dx = lim xt−1 dx = lim xt |1ω = lim 1t − ωt = ω&0 ω

0

ω&0

ω&0

1 t

<∞

´1 ⇒ xt−1 exp(−x)dx existiert. 0

F¨ ur

∞ ´

xt−1 exp(−x)dx nutze xt−1 exp(−x)

1

⇒ Γ(t) ist wohldefiniert. ∞ ´ Es gilt: Γ(1) = exp(−x)dx = lim (−exp(−x)|∞ 0 ) = 1 ω→∞

1

F¨ ur t > 0 : ´ω t ´ω x exp(−x)dx = −xt exp(−x)|ω0 − t xt−1 exp(−x)dx 0

0

Mit ω → ∞ folgt: ∞ ∞ ´ ´ Γ(t − 1) = xt exp(−x)dx = t xt−1 exp(−x)dx = tΓ(t) 0

0

F¨ ur n ∈ N folgt: Γ(n) = (n − 1)γ(n − 1) = (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) = ... = (n − 1)! 

26

Kapitel 2 - Topologische R¨ aume - Eine Einf¨ uhrung

2.1 Grundbegriffe Definition 2.1 Sei X eine Menge und O sei eine Familie von Teilmengen von X. O heißt eine Topologie f¨ ur X, falls (i) ∅ ∈ O, X ∈ O (ii) Falls Ui ∈ O,i ∈ I, dann

S

Ui ∈ O

i∈I

(iii) Falls U1 , ... , Un ∈ O dann

n T

Ui ∈ O

i=1

27 Dann heißt (X, O) topologischer Raum. Die Elemente von O heißen offene Mengen.

Beispiele • (X, P(X)) (diskrete Topologie) • (X, {∅, X}) • (R, O), O = Familie der offenen Mengen bzgl. |.| in R • X = R∪{+∞, −∞}, O = {U, U ∪ (t, +∞], U ∪ ([−∞, s) ∪ (t, +∞])} U offen in R, s, t ∈ R Definition 2.2 Sei (X, O) ein topologischer Raum (i) eine Umgebung von x ∈ X ist eine offene Menge U ∈ O mit x ∈ U. (ii) (X, O) heißt Hausdorffraum, falls zu x, y ∈ X, x 6= y, Umgebung Ux und Uy existieren mit Ux ∩ Uy = ∅. (iii) A ⊂ X heißt abgeschlossen, falls X \ A ∈ O (iv) x ∈ X heißt Randpunkt von A ⊂ X, falls (Ux ∩ (X \ {x})) ∩ A 6= ∅ ∀ Umgebung von x. T (v) A = {F : F abgeschlossen und A ⊂ F ⊂ X} Abschluss von A S (vi) A˙ := {U ∈ O : U ⊂ A} Inneres von A (vii) δA := A ∩ X \ A Rand von A

Proposition 2.3 Es gilt: (i) endliche Vereinigungen von abgechlossenen Mengen sind abgeschlossen (ii) Schnitte von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen. (iii) A ist die kleinste abgeschlossene Menge die A enth¨alt. (iv) A˙ ist die gr¨oßte offene Menge in A.

Definition 2.4 Sei (X, O) top. Raum. Eine Familie B ⊂ O heißt Basis der Topologie O, S falls f¨ ur alle U ∈ O eine Familie A ⊂ B ex. mit U = A. A∈A

Eine Familie S ⊂ T heißt Subbasis f¨ ur O, falls die Familie der

28 endlichen Schnitte von Elementen aus S eine Basis bildet. Beispiel: (X, d) metr. Raum, B := {Bε (x) : ε > 0, x ∈ X} Bε (x) = {y ∈ X : d(x, y) < ε} Basis.

Definition 2.5 (X, O) top. Raum und S ⊂ X. Dann heißt die Familie {U DS : U ∈ O} (durch O induzierte) Relativtopologie auf S Beispiel X = R, O = |.| S = [a, b]

Definition 2.6 Eine Folge (xn )n∈N ⊂ X heißt konvergent gegen ein x ∈ X, falls ∀ Umgebungen U von x ein n0 ∈ N ex. mit xn ∈ U ∀n ≥ n0 Bemerkung: Grenzwert i.A. nicht eindeutig, in Hausdorffr¨aumen aber schon.

2.2 Kompaktheit Definition 2.7

(X, O) top. Raum

¨ (i) X heißt kompakt, falls jede offene Uberdeckung eine endliche Teil¨ uberdeckung besitzt. (ii) X heißt Folgenkompakt, falls jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. (iii) X heißt Fr´echetkompakt, falls jede ∞-Teilmenge von X einen Randpunkt in X besitzt.

Satz 2.8 (X, O) top. Raum (i) X kompakt ⇒ X Fr´echetkompakt (ii) X Folgenkompakt ⇒ X separabel(D.h. es ex. eine abz. Teilmenge D mit D ⊂ X)

29

Satz 2.9 X kompakt ⇐⇒ XFolgenkompakt ⇐⇒ X Fr´echetkompakt

2.3 Stetige Abbildungen zw. topologischen R¨ aumen Definition 2.10 Sei f : X → Y eine Abbildung, X, Y top. R¨aume. f heißt stetig an der Stelle x ∈ X, falls f¨ ur alle Umgebungen V von f (x) ∈ Y eine Umgebung U von x ex. mit f (U ) = V. Bemerkung: • f : X → Y stetig ⇐⇒ Urbilder offener Mengen sind offen •Reicht zu zeigen, dass Urbilder von Elementen einer Subbasis in Y offen in X sind •X, Y metr. R¨aume, f stetig ⇐⇒ ε, δ − Stetigkeit ⇐⇒ f (xn ) → f (x) f¨ ur xn → x

Satz 2.11 X kompakt, f : X → Y stetig⇒ f (x) kompakt in Y .

Definition 2.12 Ein topologischer Raum (X, O) heißt lokal kompakt falls jedes x ∈ X eine Umgebung U besitzt mit U kompakt. Bemerkung (X, O) lokal kompakter Hausdorffraum, U ⊂ X offen und A ⊂ X kompakt mit A ⊂ U . Dann ex. V ∈ O mit A ⊂ V ⊂ V ⊂ U und V kompakt.

30

Satz 2.13 (Urysohn-Lemma) Sei X lokal kompakt Hausdorffraum, A ⊂ X kompakt und U ⊂ X offen mit A ⊂ U . Dann ex. eine stetige Funktion f : X → [0, 1] mit f (x) = 1 f¨ ur x ∈ A und f (x) = 0 falls x ∈ X \ U Beweis Es sei D0 = {0, 1} und f¨ ur n ∈ N setzen Dn := { 2an : a ∈ N ungerade und 0 < a < 2n }. ∞ S und D = Dn . n=0

Es sei U1 = A und U0 = U . F¨ ur n = 1 ist D1 =

1 2

und mit der Bemerkung oben ex. U 1 mit U1 = U1 ⊂ U 1 ⊂ U 1 ⊂ U0 2 2 2 1 3 F¨ ur n = 2mit D2 = 4 , 4 W¨ahle Mengen U 3 und U 1 mit 4

4

U1 ⊂ U 3 ⊂ U 3 ⊂ U 1 ⊂ U 1 ⊂ U 1 ⊂ U 1 ⊂ U0 4

4

2

2

4

4

Man erh¨alt eine Familie von offenen Mengen (Ut )t∈D mit Ut ⊂ Us f¨ ur s < t, s, t ∈ D setze jetzt ( 0 x ∈ X \ U0 f (x) = sup {t ∈ D} x ∈ u0 x∈Ut

Dann gilt f (x) = 1 f¨ ur x ∈ A = U1 zeige, dass f stetig ist. Dazu sei α ∈ [0, 1) wegen f (x) > α ⇐⇒ x ∈ Ut f¨ ur ein t > α folgt S −1 f ((α, 1]) = Ut offen in X. t∈D

t>α ¨ Ahnlich zeigt man f −1 ([0, β)) offen in X f¨ ur β ∈ (0, 1] Da {[0, β), (α, 1], β ∈ (0, 1], α ∈ [0, 1)} eine Subbasis der Relativtopologie von [0, 1] bilden folgt, dass f stetig ist.

31

Kapitel 3 Differentialrechnung mehrerer Variablen 3.1 Differenzierbarkeit vektorwertiger Abbildungen mehrerer Ver¨ anderlicher

Es sei D ⊂ Rn und f : D → Rm eine Abbildung.

Definition 3.1 Sei D ⊂ Rn offen und f : D → Rm dann heißt f im Punkt x0 ∈ D differenzierbar, falls eine lineare Abbildung M : Rn → Rm eine in x0 stetige Abbildung r : D → Rm existiert mit r(x0 ) = 0 und f (x) = f (x0 ) + M (x − x0 ) + r(x)kx − x0 k ,x ∈ D, M heißt erste Ableitung von f in x0 , f 0 (x0 ) := M. (oder Df(x0 )). Bemerkungen: (i) Mit den Komponentenfunktionen fi : D → R, i = 1, ... , m ist       f1 (x) f1 (x1 , ... , xn ) x1  f2 (x)      ..  f  ...  = f (x1 , ... , xn ) = f (x) =   .  . = .. fm (x)

xn

fm (x1 , ... , xn )

(ii) M = f 0 (x0 ) ist eine m × n Matrix.   m11 · · · m1n  ..  M =  ... .  mm1 · · · mmn Dann ist fi (x) = fi (x0 ) +

n P

miej (xj − x0,ej ) + ri (x)kx − x0 k, i = 1, ... , m

e j=1

(iii) M und r sind eindeutig, denn sei ej = (0, ... , 0, 1, 0, ... , 0) ∈ Rn ↑ j−te Stelle

und t ∈ R klein, so dass x = x0 + tej ∈ D. Dann ist xj − x0,j = t und xn − x0,k = 0 k 6= j, kx − x0 k = |t| ⇒ fi (x0 + tej ) = fi (x0 ) + mij t + ri (x)|t|

32 ⇒ mij =

fi (x0 +tej )−fi (x0 ) t



⇒ mij = lim =

− ri (x) |t|t

fi (x0 +tej )−fi (x0 ) t

t→0 fi (x0 +tej )−fi (x0 ) lim t t→0

=

− ri (x0 + tej ) |t|t



∂fi (x0 ) ∂xj

(Partielle Ableitung von fi nach xj ) ⇒ Daher ist M eindeutig und damit auch r(x) =

f (x)−f (x0 )−M (x−x0 ) kx−x0 k

 ∂f1

(x0 ) · · ·  (iv) M = f 0 (x0 ) =  ... ∂fm (x0 ) · · · ∂x1 ∂x1

 ∂f1 (x0 ) ∂xn

..  .  ∂fm (x0 ) ∂xn

Jakobimatrix an der Stelle x0 .

Satz 3.2 Ist f : D ⊂ Rn → Rm in x0 ∈ D differenzierbar, dann ist f in x0 stetig. Beweis: Aus der Definition 3.1 folgt: kf (x) − f (x0 )k ≤ kM (x − x0 )k + kr(x)kkx − x0 k und da M : Rn → Rm stetig ist ex. k > 0 mit kM (x − x0 )k ≤ kkx − x0 k In der Tat, es gilt ja

n

2

P

m1j (xj − x0,j )

j=1

!2

m n P P

.. kM (x − x0 )k2 = mij (xj − x0,j )

= .

n

i=1 j=1

P

mmj (xj − x0,j )

j=1

≤ Schwarz

m P n P

! m2ij

i=1j=1

n P

! (xj − x0,j )2

j=1

Da r(x) stetig in x0 und r(x0 ) = 0 gilt: ∀ε > 0∃δ > 0 : kx − x0 k < δ ⇒ kr(x)k < ε  ε Dann gilt f¨ ur Sei jetzt δ ∗ := min δ, k+ε x ∈ D : kx − x0 k < δ ∗ ⇒ kf (x) − f (x0 )k ≤ (k +kr(x)k) kx − x0 k < (k + ε)kx − x0 k ≤ ε  Erinnerung:

33 f : D ⊂ Rn → Rm ist stetig in x0 ∈ D genau dann wenn die Komponentenfunktionen fi : D → R alle stetig sind.

Satz 3.3 f : D ⊂ Rn → Rm ist in x0 ∈ D diffbar, genau dann wenn alle Komponentenfunktionen fi : D → R i = 1, ... , m in x0 ∈ D diffbar sind. Beweis: Sei f differenzierbar in x0 , so gilt n P fi (x) = fi (x0 ) + mij (xj − x0,j ) + ri (x)kx − x0 k, i = 1, ... , n j=1

Setze dann Mi : Rn → R, Mi z :=

n P

mij zi , z = (z1 , ... , zn ) ∈ Rn

j=1

Dann ist Mi linear, ri ist stetig und ri (x0 ) = 0, also ist wegen fi (x) = fi (x0 ) + Mi (x − x0 ) + ri (x)kx − x0 k 0

fi an der Stelle x0 diffbar, gilt fi (x0 ) = Mi ⇐ Sind alle fi diffbar, so existieren M :Rn → R stetige Funktionen ri mit ri (x0 ) = 0 so dass fi (x) = fi (x0 ) + Mi (x − x0 ) + ri (x)kx − x0 k, i = 1, ... , m     r1 (x) M1     Mit M =  ...  und r(x) =  ...  gilt: Mm rm (x) M linear, r stetig, r(x0 ) = 0 und f (x) = f (x0 ) + M (x − x0 ) + r(x)kx − x0 k, damit f diffbar bei x0 .

3.2 Richtungsableitung und Gradient Sei jetzt f : D ⊂ Rn → R Definition 3.4 Sei f : D ⊂ Rn → R, x ∈ D und l ∈ Rn , klk = 1 Falls lim t→0

f (x+tl)−f (x) t

existiert, so heißt der Grenzwert

Richtungsableitung von f in Richtung l: Bezeichnung:

δf (x) δl

34 Bemerkungen (i) Ist f : D ⊂ Rn → R in x0 ∈ D diffbar. Also f (x) = f (x0 ) + M (x − x0 ) + r(x)kx − x0 k, M : Rn → R linear, h i δf δf mit M = δx1 (x0 ), ... , δxn (x0 ) . Setze x = x0 + l, l ∈ Rn mit klk = 1, t ∈ R⇒ f (x0 + tl) − f (x0 ) = tM l + r(x)ktlk =|t| (x) M l = lim f (x+tl)−f − r(x) |t|t t t→0 n P ∂f = ∂f (x ) = (x0 ) · li 0 ∂l ∂xi j=1

Also existiert die Richtungsableitung von f bei x0 ∈ D in jede Richtung l.

Beispiel (Richtungsableitungen existieren ; f diffbar.) ( 2 x y (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 f : R2 → R, f (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0)

Dann ist

∂f (0, 0) ∂l

= lim t→0

f (tl)−f (0,0) t

= lim

t 2 l2 1 tl2 −0 2 2 t2 l2 1 +t l2

t→0

t

t3 l2 1 l2 t2

= lim t = l12 l2 t→0   p l l = 1 ∈ R2 , klk = 1 = l12 + l22 l2 und damit existiert

∂f (0, 0) ∂l

f¨ ur alle l ∈ R2 .

W¨are f bei (0, 0) diffbar so w¨ urde M : R2 → R linear existieren, mit   l ! ∂f (0, 0) = l12 l2 = M · 1 ∂l l2 da M linear sein muss!

Definition 3.5 Es sei f : D ⊂ Rn → R und alle partiellen Ableitungen von f bei x0 ∈ D   ∂f ∂f m¨ogen existieren. Dann heißt (grad f )(x0 ) := ∂x (x ), ... , (x ) 0 0 ∂xn 1 der Gradient von f an der Stelle x0 . Bemerkung: Ist f : D ⊂ Rn → R in x0 diffbar, dann gilt f 0 (x0 ) = (grad f )(x0 ). Es gilt

∂f (x0 ) ∂l

= (grad f )(x0 ) = l

35



2

Beispiel: f : R → R, f (x1 , x2 ) = Dann gilt: ∂f (0, 0) ∂x2

∂f (0, 0) ∂x1

= lim t→0

0 falls x1 = 0 oder x2=0 1 sonst

f ((0,0)+t(1,0))−f (0,0) t

=0

=0

Aber nat¨ urlich ist f bei (0, 0) nicht diffbar, da f nicht stetig ist.

Satz 3.6 Sei f : D ⊂ Rn → R in einer Umgebung B(x0 , ρ) von x0 ∈ D partiell differenzierbar und die partiellen Ableitungen ∂f ∂xi

: B(x0 , ρ) ⊂ Rn → R seien in x0 stetig.

Dann ist f in x0 ∈ D differenzierbar. Beweis: (f¨ ur n = 2) Sei x0 = (x01 , x02 ) ∈ D. Es ist f (x1 , x2 ) − f (x01 , x02 ) = f (x1 , x2 ) − f (x01 , x2 ) + f (x01 , x2 ) − f (x01 , x02 ) MWS ∂f = ∂x1 (x01

+ Θ1 (x1 − x01 ), x2 )(x1 − x01 ) +

∂f ∂x2 (x01 , x02

+ Θ2 (x2 − x02 ))(x2 − x02 )

Θ1 , Θ2 ∈ (0, 1) 2 P ∂f (x01 , x02 )(xi − x0i ) + R∗ , wobei = ∂xi i=1    ∂f ∂f ∂f R∗ = ∂x (x + Θ (x − x ), x ) − (x , x ) (x − x ) + (x01 , x2 + Θ2 (x2 − x02 )) − 01 1 1 01 2 01 02 1 01 ∂x1 ∂x2 1 Da

∂f ∂xi

stetig sind ex. zu ε > 0 ein δ > 0 mit

kx − x0 k < δ ⇒ |R∗ (x)| ≤ (e ε|x1 − x01 | + εe|x2 − x02 |) ≤ εkx − x0 k Damit ex. dann r : D → R mit R∗ (x) = r(x)kx − x0 k (n¨amlich r(x) =

R∗ (x) ) kx−x0 k

mit r(x0 ) = 0 und r stetig.

Insgesamt gilt: f (x1 , x2 ) = f (x01 , x02 ) + damit f bei x0 diffbar. 

h

ix − x  1 01 + r(x)kx − x0 k x2 − x02

∂f ∂f (x01 , x02 ), ∂x (x01 , x02 ) ∂x1 2

∂f (x01 , x ∂x1

36 3.3 Eigenschaten diffenzierbarer Abbildungen

Rechenregel: f, g : D ⊂ Rn → Rm diffbar bei x0 ∈ D und es gilt: (αf + βg)0 (x0 ) = αf 0 (x0 ) + βg 0 (x0 )

Satz 3.7 (Kettenregel) Sei g : Rn → Rm und f : Rm → Rp und Φ := f ◦ g. Ist g in x0 ∈ Rn diffbar und f in g(x0 ) ∈ Rm diffbar, dann ist Φ in x0 ∈ Rn diffbar, es gilt Φ0 (x0 ) = f 0 (g(x0 ))g 0 (x0 ), d.h. m P ∂fi ∂gk ∂Φi (x ) = (x0 ), i = 1, ... , p , j = 1, ... , n (g(x0 )) ∂x 0 ∂xj ∂yk j k=1

Beweis: (wie in Ana I)

Korollar ∂fi f : Rn → Rm , ∂x stetig in x0 ⇒ f in x0 diffbar i

Erinnerung: f (b) − f (a) = f 0 (ε)(b − a) Beispiel: (MWS i.A. falsch)   cos(x) 2 f : [0, 2π] → R , x 7→ sin(x)         1 1 0 ! −sin(ξ) f (2π) − f (0) = − = = 2π = f 0 (ξ)(2π − 0) 0 0 0 cos(ξ)

Satz 3.8 (Mittelwertsatz) Seien a, b Punkte in einer offenen, konvexen Menge D und f : D ⊂ Rn → Rm , auf D differenzierbar. Dann ex. ein ξ = a + Θ(b − a), Θ ∈ (0, 1), so dass f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a) gilt. Beweis: Setze Φ : [0, 1] → R, t 7→ Φ(t) = f (a + t(b − a)) Dann ist Φ differenzierbar, mit der Kettenregel(Satz 3.7) ist Φ0 (t) = f 0 (a + t(b − a)) · (b − a)

37    b1 − a 1 ∂f ∂f  = ∂x (a + t(b − a)), ... , ∂x (a + t(b − a))  ... n 1 

bn − a n

=

n P ∂f i=1

∂xi

(a + t(b − a)) · (bi − ai )

Nun ist f (b) − f (a) = Φ(1) − Φ(0)

MWS Ana I

=

Φ0 (ν)(1 − 0) = Φ0 (ν), ν ∈ (0, 1)

= f 0 (a + ν(b − a)) · (b − a) 

3.4 H¨ ohere partielle Ableitungen und die Taylorsche Formel

Definition 3.9 F¨ ur f : D ⊂ Rn → R m¨ogen die partiellen Ableitungen

∂f ∂xi

in einer

Umgebung B(x0 , ρ) von x0 ∈ D existieren. Existiert die erste partielle ∂f ∂xi

nach xj im Punkt x0 , so heißt f zweimal partiell nach    ∂2f ∂f ∂f xi und xj diffbar, ∂xj ∂xi (x0 ) := ∂x (x0 ) ∂xi j   ∂f ∂f = lim 1t ∂x (x , ... , x , x + t, x , ... , x ) − (x , ... , x ) 01 0 j−1 0j 0 j+1 0n 01 0n ∂xi i Ableitung von

t→0

uhrt induktiv partielle Ableitungen h¨oherer Ordnung ein. Bemerkung: Man f¨ ∂3 f ∂xk ∂xj ∂xi

α = (α1 , ... , αn ), αi ∈ N0 heißt Multiindex, n P |α| f |α| = αi Man schreibt Dα f = ∂xα∂1 ...∂x αn 1

i=1

n

Satz 3.10 (Schwarz) Es sei f : D ⊂ Rn → R und

∂2f ∂xi ∂xj

und

∂2f ∂xj ∂xi

m¨ogen in einer

Umgebung B(x0 , ρ) existieren und seien stetig in x0 . Dann ist die Differentiationsreihenfolge vertauschbar, es gilt:

∂2f ∂xi ∂xj

=

∂2f ∂xj ∂xi

38 Beweis: (4xMWS) O.B.d.A sei n = 2. Es sei x0 = (x01 , x02 ) und W := f (x1 , x2 ) − f (x1 , x02 ) − f (x01 , x2 ) + f (x01 , x02 ) Setze Φ(x) = f (x, x2 ) − f (x, x02 ), x ∈ R und Ψ(x) = f (x1 , x) − f (x01 , x), x ∈ R Es gilt W = Φ(x1 ) − Φ(x01 ) = Φ0 (x01 + Θ1 (x1 − x01 ))(x1 − x01 ),Θ1 ∈ (0, 1)   ∂f ∂f = ∂x (x + Θ (x − x ), x ), − (x + Θ (x − x ), x ) (x1 − x01 ) 01 1 1 01 2 01 1 1 01 02 ∂x1 1 =

∂2f (x01 ∂x2 ∂x1

+ Θ1 (x1 − x01 ), x02 + Θ2 (x2 − x02 ))(x2 − x02 )(x1 − x01 ), Θ1 ∈ (0, 1)

und andererseits W = Ψ(x2 ) − Ψ(x02 ) = Ψ0 (x02 + Θ3 (x2 − x02 ))(x2 − x02 )   ∂f ∂f = ∂x (x , x + Θ (x − x )) − (x , x + Θ (x − x ) (x2 − x02 ) 1 02 3 2 02 01 02 3 2 02 ∂x2 2 =

∂2f (x01 ∂x1 ∂x2

+ Θ4 (x1 − x01 ), x02 + Θ3 (x2 − x02 ))(x1 − x01 )(x2 − x02 )

Also gilt in einer Umgebung von (x01 , x02 ) ∂2f (x01 ∂x2 ∂x1

=

+ Θ1 (x1 − x01 ), x02 + Θ2 (x2 − x02 ))

∂2f (x01 ∂x1 ∂x2

+ Θ3 (x1 − x01 ), x02 + Θ4 (x2 − x02 ))

Aus der Stetigkeit von ∂2f ∂xi ∂xj

(x01 , x02 ) =

∂2f ∂xj ∂xi

∂2f ∂xi ∂xj

und

∂2f ∂xj ∂xi

an der Stelle (x01 , x02 ) folgt

(x01 , x02 )

 Beispiel: (Stetigkeit von

∂2f ist ∂xi ∂xj

n¨otig in Satz 3.10) ( x2 −x2 x1 x2 · x12 +x22 x1 ∨ x2 6= 0 2 1 2 f : R → R, f (x1 , x2 ) = 0 x1 = x2 = 0 ( x2 −x2 2x2 2x2 x2 x12 +x22 + x2 2 1 22 2 x1 ∨ x2 6= 0 ∂f 1 2 (x1 +x2 ) (x1 , x2 ) = ∂x1 0 x1 = x2 = 0 ist bei 0 stetig und  −x2 x21 + x22 6= 0 ∂f (0, x ) = 2 ∂xi 0 x21 + x22 = 0 Analog zeigt man

39 ∂f (x1 , 0) ∂x2

⇒



∂2f (0, 0) ∂x2 ∂x1

∂2f (0, 0) ∂x1 ∂x2

x21 + x22 6= 0 x21 + x22 = 0

x1 0

=

= lim

∂f ∂f (0,n)− ∂x (0,0) ∂x1 1

n

n→0

= lim

n→0

∂f ∂f (n,0)− ∂x (0,0) ∂x2 2

n

n→0

= lim − k n→0 n

= lim

k n

= −1

=1

Definition 3.11 Ein Multiindex ist ein Vektor α ∈ Nn0 , α = (α1 , ... , αn ) Wir schreiben: |α| := α1 + α2 + ... + αn α! = α1 ! · α2 ! · ... · αn ! F¨ ur x ∈ Rn sei xα := xα1 1 · xα2 2 · ... · xαnn . Dα f :=

∂ |α| f α α n ∂x1 1 ∂x2 2 ...∂xα n

Satz 3.12 (Taylor Formel) Sei D ⊂ Rn offen, konvex, x0 ∈ D, f : D → R, (n + 1)-mal stetig diffbar. Sei h ∈ Rn mit x0 + h ∈ D. Dann gibt es Θ ∈ (0, 1) mit P (Dα f )(x0 ) α P (Dα f )(x0 +Θh) a f (x0 + h) = h + h =: (T n f )(h) + (Rn f ) (h) α! α! |α|≤n

|α|=n+1

α∈Nn 0

Beweis: (1) Wir definieren v : [0, 1] → D, v(t) = x0 + th und g : [0, 1] → R, g = f ◦ v, also g(t) = f (x0 + th) (2) g ist (n + 1) mal stetig diffbar, und  n P n n  P P ∂ ∂ g (k) (t) = ··· · · · f (x0 + th)hi1 · · · · · hik ∂xi ∂xi i1 =1 i2 =1

ik =1

1

k

Induktion u ¨ber k: k = 1 : g 0 (t) = (f ◦ v)0 (t) = f 0 (v(t)) · v 0 (t)   h1    ..  ∂f ∂f = ∂x1 (v(t)) · · · · · ∂xn (v(t)) ·  .  hn

=

n P ∂f i=1

∂xi

(v(t)) · hi

40
d k → k + 1 : g (k+1) (t) = dt g (k) (t)   n n  n  P P P ∂ d ∂ ··· = · · · ∂xi f (x0 + th)hi1 · · · · · hik ∂xik 1 I.A. dt i1 =1 i2 =1 ik =1    P Pd ∂ ∂ = · · · dt · · · f ◦ v(t) hi1 · · · · · hik ∂xi ∂xi =

i1 n P

i1 =1

n P

···

1

k

ik

n P



∂

in =1ik+1 =1

∂xnk+1

∂ ∂xin

 · · · ∂x∂i f (x0 + th)hik+1 hi1 · · · hik 1

(3) f ist (n + 1)-mal stetig diffbar. Kommt unter den Indizes i1 , ... , ik der Index 1 genau dann α1 mal, der Index 2 genau α2 -mal, ... ,der Index n genau αn -mal vor, dann ist

∂ ∂xin

· · · ∂x∂i f = 1

Aus der Kombinatorik: es gibt genau

∂k f α1 n ∂x1 ···∂xα n

k! α1 !α2 !···αn !

=

= Dα f

k! α!

Tupel (i1 , ... , ik ) von Zahlen 1 ≤ ik ≤ ni bei denen der Index l genau αl mal vorkommt und α1 + ... + αn = k gilt. Somit folgt: g (k) (t) =

P |α|=k

k! (Dα f )(x0 α!

+ th) · hα

(4) Nach dem eindimensionalen Satz von Taylor gibt es Θ ∈ (0, 1) mit n (k) P (n+1) (Θ) g (0) k g(1) = 1 + g (n+1)! 1n+1 k! k=1

n P

P k! α P P (Dα f )(x0 ) α (n+1)! 1 1 = (D f )(x0 + 0h)hα + (Dα f )(x0 + Θh)hα = h + k! α! (n+1)! α! α! k=1 |a|=k |α|=n+1 |α|≤n P (Dα f )(x0 +Θh) α h α!

|α|=n+1

 Bemerkung: (1) Es gibt genau einen Multiindex α mit |α| = 0 : α = (0, ... , 0), also Dα f = f (2) Die Multiindezes α mit |α| = 1 sind von der folgenden Form α = ei = (0, ... , 0, 1, 0, ... , 0), also Dα f = P |α|=1

Dα f (x0 )hα α!

=

↑i−te Stelle n P ∂f (x0 )hi ∂xi i=1

∂f ,i ∂xi

= 1, ... , n

= h(Of )(x0 ), hi ↑=(grad f )(x0 )

(3) Die Multiindizes α mit |α| = 2 sind von der Form α = 2ei = (0, ... , 0, 2, 0, ... , 0), i = 1, ... , n

41 α = ei + ej = (0, ... , 0, 1, 0, ... , 0, 1, 0, ... , 0), i, j = 1, ... , n, i 6= j i

(Dα f )(x

P

α!

|α|=2

=

1 2

n P i,j=1

0)

hα =

j

n P 1 ∂ 2 f (x0 ) i=1

∂x2i

2

h2i +

P i<j

∂2f (x0 )hi hj ∂xi ∂xj

∂2f (x0 )hi hj ∂xi ∂xj

i6=j

= 12 h(Hf )(x0 )h, hi, wobei  2 ∂ ··· 2 f (x0 )  ∂x1 . .. (Hf )(x0 ) =   2 ∂ f (x0 ) · · · ∂xn ∂x1

∂2 f (x0 ) ∂x1 ∂xn



 ..  .  ∂2 f (x0 ) ∂x2 n

die Hesse-Matrix von f im Punkt x0 ist. Ist f zweimal stetig diffbar, so ist Hf symmetrisch. (4) Ist also f 3-mal stetig diffbar, so ist f (x0 + h) = f (x0 ) + h(Of )(x0 ), hi + 21 h(Hf )(x0 )h, hi + (R2 f )(h)

3.5 Lokale Extrema Definition 3.13 f : Rn ⊃ D → R hat in x0 ∈ D ein loklaes Maximum(Minimum), falls es eine Umgebung U ⊂ D von x0 gibt mit f (x0 ) ≥ f (x), ∀x ∈ U (f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ U )

Satz 3.14 (notwendige Bedingung): f : D → R, habe in x0 ∈ D ein lokales Extremum, und f¨ ur eine Richtung v ∈ Rn , kvk = 1, existiere die Richtungsableitung

∂f (x0 ). ∂v

Dann ist

∂f (x0 ) ∂v

= 0.

Beweis: oBdA habe f in x0 ein Maximum. F¨ ur hinreichend kleine t gilt:  f (x0 +tv)−f (x0 ) ≤ 0, falls t > 0 t ≥ 0, falls t < 0 Also ist

∂f (x0 ) ∂v

= lim t→0

f (x0 +tv)−f (x0 ) t

=0

 Bemerkung: Ist f diffbar und hat in x0 ein Extremum, so ist also

42   0  ..  (grad f )(x0 ) = 0 =  .  0 Suchen wir ein Extremum von f , so m¨ ussen wr also zun¨achst die ”kritischen Punkte” x0 ∈ D mit (Of )(x0 ) = 0 bestimmen. Hier ist i.a. ein nichtlineares Gleichungssystem mit n Unbekannten zu l¨osen.

Satz 3.15 (hinreichende Bedingung): Ist f : D ⊂ Rn → R zweimal stetig diffbar, x0 ∈ D mit (Of )(x0 ) = (0, ... , 0) und (i) (Hf )(x0 ) positiv definit (ii) (Hf )(x0 ) negativ definit Dann hat f in x0 ein Minimum (Fall (i)) bzw. Maximum (Fall (ii)) Erinnerung: A ∈ Rn×n ist pos. definit, falls hAx, xi > 0∀x ∈ Rn , x 6= 0 (oder ¨aquivalent: Es gibt γ > 0 mit hAx, xi ≥ γkxk2 ∀x ∈ Rn ) analog f¨ ur neg. definit. Bemerkung: Ist f 2 mal stetig diffbar, dann ist aufgrund des Satzes von Schwarz (Hf )(x0 ) eine symmetrische Matrix, insbesondere sind deren Eigenwerte alle reell. Ist A symmetrisch, so ist A pos. definit gdw. A nur positive Eigenwerte hat (neg. analog) Beweis: Da f zweimal stetig diffbar. ist, folgt aus dem Satz von Taylor. P (Dα f )(x0 +Θh) α f (x0 + h) = f (x0 ) + hgrad f (x0 ), hi + h , Θ ∈ (0, 1) α! |α|=2

= f (x0 ) +

P 1 (Dα f )(x0 ) α h + ((Dα f )(x0 α! α! |α|=2 |α|=2 P

+ Θh) − (Dα f ) (x0 ))hα

= 12 h(Hf )(x0 )h, hi Da f zweimal stetig differenzierbar ist, ex. zu ε > 0 ein δ > 0, so dass f¨ ur alle α ∈ Nn0 , |α| = 2 und alle Θ ∈ (0, 1),

43 khk < δ ⇒ |(Dα f )(x0 + Θh) − (Dα f )(x0 )| < ε Weiter ist |hα | = |h1 |α1 · · · |hn |αn ≤ kh1 kα1 · · · khn kαn = khk|α| und daher folgt f¨ ur khk < δ : P 1 P | ((Dα f )(x0 + Θh) − (Dα f )(x0 ))hα | ≤ α! |α|=2

|α|=2

1 εkhk|α| α!

≤ εkhk2 2n!

Sei nun (Hf )(x0 ) positiv definit, d.h. h(Hf )(x0 )i ≤ γkhk2 mit γ > 0. W¨ahle nun ε > 0 so, dass 2n!ε < γ2 . Dann ist P 1 ((Dα f )(x0 + Θh) − (Dα f )(x0 ))hα ≥ γ2 khk2 − f (x0 +h)−f (x0 ) = 12 h(Hf )(x0 )h, hi+ α! |α|=2

2

εkhk 2n! > 0 f¨ ur khk < δ. Und daher besitzt f bei x0 ein lokales Minimum, Aussage f¨ ur lokale Maxima zeigt man analog. 

Beispiel: Seien a, b ∈ R, f : R2 → R, (x, y) 7→ f (x, y) = x2 − xy + y 2 − 3ax − 3by grad f (x, y) = (2x − y − 3a, −x + 2y − 3b)   2x − y = 3a y = 2b + a L¨ose ⇐⇒ −x + 2y = 3b x = 2a + b M¨ogliche Extremalstelle: (2a + b, a + 2b) 

 2 −1 Es ist (Hf )(x, y) = und es gilt −1 2 !

0 =det((Hf )(x, y) − λ) = (2 − λ)2 − 1 = λ2 − 4λ + 3, √ λ1,2 = 2 ± 4 − 3 > 0 ⇒Extremalstelle (2a + b, a + 2b) ist ein lokales Minimum.

3.6 Umkehrabbildungen Definition 3.16 Es seien U ⊂ Rn und V ⊂ Rm offene Mengen. Eine bijektive stetig differenzierbare Abb. f : U → V heißt Diffiomorphismus, falls f −1 : V → U auch stetig differenzierbar ist. Bemerkungen: Sei f : U → V Diffiomorphismus und g := f −1 . Dann ist n = m, d.h. die Dimensionen stimmen u ¨berein und es gilt

44 g 0 (y) = (f 0 (x))−1 , y = f (x). In der Tat, aus g(f (x)) = x und f (g(y)) = y folgt, g 0 (f (x)) · f 0 (x) = IdRn und f 0 (g(y)) · g 0 (y) = IdRm ⇒ g 0 (f (x)) = (f 0 (x))−1 und es folgt insbesondere n = m. Frage: f : U → V stetig diffbar, surjektiv und f 0 (x) sei invertierbar ∀x ∈ U ⇒ f Diffiomorphismus? Falls m = n = 1, f : I → J stetig diffbar + surjektiv + f 0 (x) 6= 0 I, J ⊂ D, ∀x ∈ I ⇒ f Diffiomorphismus. Beispiel: (Polarkoordinaten) f : R+ × R → R2 \ {0} (r, ϕ) 7→ (rcosϕ, rsinϕ) 

cosϕ −rsinϕ f stetig diffbar und surjektiv, f (r, ϕ) = sinϕ rcosϕ 0



detf 0 (r, ϕ) = rcos2 ϕ + rsin2 ϕ = r > 0, damit f 0 (r, ϕ) invertierbar. Aber f (r, ϕ) = f (r, ϕ + 2π) und damit f nicht injektiv, also ganz bestimmt kein Diffiomorphismus.

Satz 3.17 Sei f : U → V stetig diffbar und f −1 existiere und sei stetig. Weiter sei f 0 (x) f¨ ur alle x ∈ U invertierbar. Dann ist auch x ∈ U invertierbar. Dann ist auch g := f −1 : V → U stetig differenzierbar, es gilt g 0 (y) = (f 0 (x))−1 , f (x) = y. Beweis: O.B.d.A sei x0 = 0 und f (x0 ) = 0, denn sonst betrachte die Fkt. x 7→ f (x + x0 ) − f (x0 ) O.B.d.A sei f 0 (0) = IdRn , denn sonst betrachte x 7→ (f 0 (x))−1 f (x) Also ab jetzt: x0 = 0, f (x0 == 0, f 0 (x0 ) = IdRn zeige, dass f −1 an der Stelle f (xi ) = 0 diffbar ist. sei k ∈ V und k = g(k), g := f −1 . Es gilt f (k) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(h − x0 ) + r(h)kh − x0 k = h + R(h), mit R(h) = r(h)khk, d.h.

R(h) h→0 → khk

0

45 e e Also k = g(k) + R(g(k)) und mit R(k) := −R(g(k)) folgt g(k) = k + R(k) e (= g(0) + IdR (k − 0) + R(k)) Noch z.z.

e R(k) kkk

→ 0 f¨ ur k → 0

W¨ahle dazu r, δ > 0, so dass kR(h)k ≤ 21 khk falls khk ≤ r und kg(k)k ≤ r falls kkk < δ (stetigkeit von g und g(0) = 0)

e Dann folgt R(k) ur kkk < δ und daher.

= kR(g(k))k ≤ 12 kg(k)k f¨

e kg(k)k ≤ kkk + R(k)

≤ kkk + 12 kg(k)k ⇒ kg(k)k ≤ 2kkk falls kkk < δ Also gilt f¨ ur k mit kkk < δ, k 6= 0 : e k kR(k) ≤ 2 kR(g(k))k = 2 kR(h)k →0 g(k) = h → 0(bzw. k → 0) kkk kg(k)k khk ⇒ g ist bei 0 diffbar, es gilt g 0 (0) = IdRn ⇒ g ist diffbar auf ganz V , g 0 (y) = (f 0 (x))−1 , y = f (x) Stetgikeit von g 0 folgt aus der Stetigkeit der Inversenbildung einer (stetigen) Matrixfunktion.  Errinnerung: (Banachscher Fixpunktsatz) Sei ϕ : M → M eine kontraktions-Abb. eines vollst¨andigen metrischen Raumes M in sich (∀x, y ∈ M, x 6= y : d(ϕ(x), ϕ(y)) < d(x, y)). Dann besitzt ϕ genau einen Fixpunkt, d.h. ∃!ξ ∈ M : ϕ(ξ) = ξ.

Satz 3.18 (Satz von der lokalen Umkehrbarkeit) Es sei U ⊂ Rn offen und f : U → Rn eine stetig diffbare Abbildung. Im Punkt a ∈ U sei f 0 (a) invertierbar. Dann existiert eine offene Umgebung U0 ⊂ U mit a ∈ U0 , so dass V := f (U0 ) eine offene Umgebung von b := f (a) ist und die Restriktion f U0 : U0 → V ein Diffiomorphismus ist. Beweis: O.B.d.A a = 0, f (a) = 0 und f 0 (a) = IdRhn Es sei ϕy (x) := y + x − f (x), x ∈ U, y ∈ Rn Dann sind die Fixpunkte x ∈ U von ϕy gerade diese Urbilder von y(= f (x)) und f .

46

Es sei r > 0 so dass B2r (0) ⊂ U und kIdRn − f 0 (x)k ≤

1 2

f¨ ur alle

0

x ∈ B2r (0) (geht da f 0 stetig ist). Nun ist ϕy (x) = IdRn − f 0 (x) und es folgt mit Hilfe des Schrankensatzes, dass f¨ ur alle x1 , x2 ∈ B2r (0)

0

kϕy (x2 ) − ϕy (x1 )k ≤ sup ϕy (x) kx2 − x1 k ≤ 12 kx2 − x1 k x∈B2r (0)

Dann folgt f¨ ur kyk < r und kxk < 2r : kϕy (x)k ≤ kϕy (x) − ϕy (0)k + kϕy (0)k ≤ 21 kxk + kyk < 2r Das ist gut, denn f¨ ur y ∈ Rn , kyk < r ist also ϕy : B2r (0) → B2r (0) eine Kontraktion, es gilt sogar: ϕy (x) ∈ B2r (0). Damit liefert der Banachsche Fixpunktsatz, dass ϕy ∀y ∈ Br (0) einen eindeutigen Fixpunktsatz x ∈ B2r (0). D.h. ∀y ∈ Br (0) ∃!x ∈ B2r (0) mit f (x) = y. Setze g : Br (0) 7→ U0 := f −1 (Br (0)) ∩ B2r (0), y 7→ g(y) := x =:V

Dann ist g die Umkehrabb. von f U0 , denn zu x ∈ U0 g(f (x)) = g(y) = x Zeige, dass g stetig ist: Seien y1 , y2 ∈ V = Br (0) und x1 = g(y1 ) und x2 = g(y2 ). Dann ist kg(y2 ) − g(y1 )k = kx2 − x1 k = kϕ0 (x2 ) − ϕ0 (x1 ) + f (x2 ) − f (x1 )k ≤ kϕ0 (x2 ) − f0 (x1 )k+kf (x2 ) − f (x1 )k ≤ 12 kx2 − x1 k + ky2 − y1 k ⇒ 21 kg(y2 ) − g(y1 )k + ky2 − y1 k ⇒ kg(y2 ) + g(y1 )k ≤ 2ky2 − y1 k ⇒ g stetig Zeige f 0 (x) ist invertierbar ∀x ∈ U0 . F¨ ur x ∈ U0 ist insbesondere x ∈ B2r (0) und daher kIdRn − f 0 (x)k ≤ 12 . Insbesondere folgt k(IdRn − f 0 (x))vk ≤ 21 kvk ∀v ∈ Rn Ist f 0 (x)v = 0 dann folgt kIdRn vk ≤ 21 kvk und daher v = 0. ⇒ ker(f 0 (x)) = {0}, d.h. f 0 (x) ist invertierbar ∀x ∈ U0 Insgesamt: f U0 : U0 → V ist stetig diffbar, (f U0 )−1 = g existiert und ist stetig, (f U0 )0 (x) ist invertierbar ∀x ∈ U0 .

47 Mit Satz 3.17 folgt: f U0 : U0 → V ist ein Diffiomorphismus.  Mit Hilfe des Umkehrsatzes k¨onnen Aussagen zu ”impliziten Funktionen” gemacht werden. Motivation Betrachte die Gleichung !

f (x, y) = x2 (1 − x2 ) − y 2 = 0 Wunsch: Aufl¨osen nach x oder y d.h. finde Funktion g oder g× mit y = g(x) oder x = g ∗ (y)

f (x, y) = f (x, g(x)) = 0

(i) F¨ ur x1 6= 0, |x1 | < 1 existieren y1 6= y2 f (x, y1 ) = 0 = f (x, y2 ) (ii) F¨ ur y1 6= 0, |y1 | <

1 2

existieren x1 , x2 , x3 , x4 paarweise

verschieden mit f (x1 , y1 ) = ... = f (x4 , y1 ) = 0 (iii) Es gilt u ¨brigens ∂f = 2x(1 − x2 ) − 2 x3 |(0,0) = 0 ∂x (0,0) ∂f = −2y|(0,0) = 0 ∂y (0,0)

48

(iv) In einer Umgebung (1,0) und (-1,0) kein Aufl¨osen der Gestalt y = g(x), aber eine der Form x = g ∗ (y), hier ist (bei (1,0)) q p   1 g ∗ (y) = 2 2 + 2 1 − 4y 2 , y ∈ − 12 , 21 hier g ∗ (0) = 1 6= 0 (v) Es gilt u ¨brigens ∂f ∂x (±1,0) ∂f =0 ∂y (±1,0)

Realistischer Wunsch: Die Gleichung f (x, y) kaum lokal bei (a, b) durch ∂f y = g(x) aufgel¨ost werden, falls ∂y 6 0 gilt. = (a,b)

Es sei jetzt f : Rn × Rm → Rm diffbar, mit x = (x1 , ... , xn ) ∈ Rn und y = (y1 , ... , ym ) ∈ Rm betrachte das Gleichungssystem f (x, y) = 0 bzw. f1 (x1 , ... , xn , y1 , ... , ym ) = 0 .. .. . . fm (x1 , ... , xn , y1 , ... , ym ) = 0  ∂f1

∂x1

···

0  Setze fx =  ...

∂fm ∂x1

∂f1  ∂xn

 ∂f1

∂y1

···

..  , f 0 =  .. .  y  .

···

∂fm ∂xn

∂fm ∂y1

∂f1  ∂ym

..  . 

···

∂fm ∂ym

49 0

0

Dann ist f 0 = fx fy




Satz 3.19 (Satz u ¨ ber implizite Funktionen) Sei U ⊂ Rn × Rm offen und f : U → Rm stetig diffbar und 0

f (a, b) = 0, (a, b) ∈ U ⊂ Rn × Rm weiter sei fy (a, b) invertierbar. Dann ex. Umgebungen U 0 ⊂ Rn von a und U 00 ⊂ Rm von b und eine stetig diffbare Abb. g : U 0 → U 00 mit f (x, y) = 0, (x, y) ∈ U 0 × U 00 ⇐⇒ y = g(x), x ∈ U 0 Bemerkung: Nullstellenmenge von f in U 0 × U 00 = Graphen von g • Man sagt ”g ist implizit durch f definiert”

    x x = . Dann ist Beweis: Sei Φ : U → R × R (x, y) 7→ Φ y f (x, y)     n I 0 a R Φ stetig diffbar, es gilt g(x) = y Φ0 = 0 0 b fx (a, b) fy (a, b)   0 a und damit ist Φ invertierbar, denn aus b        IRn 0 h h 0 ! = = 0 0 0 0 0 fx (a, b)h + fy (a, b)k fx (a, b) fy (a, b) k n

m

0

⇒ h = 0 und fy (a, b)k = 0, also auch k = 0 Umkehrsatz anwenden: ∃ offene Umgebung U0 von (a, b) und V von       a a a Φ = = so dass Φ0 := Φ U0 ein Diffiomorphismus von b f (a, b) 0

50 Φ−1 0

Φ−1 0

    ξ ξ = η h(ξ, η)

: V → U0 die Form   x m ur ∈ U0 mit h V → R stetig diffbar. Also gilt f¨ y           x x x x −1 x f (x, y) = 0 ⇐⇒ Φ0 = ⇐⇒ Φ0 = = y 0 0 h(x, 0) y ⇐⇒ h(x, 0) = y

U0 auf V ist. Dann hat

Insbesondere mit h(a, 0) = b Da h stetig ist ex. Umgebung U 0 ⊂ Rn von a und U 00 ⊂ Rm von b mit U 0 × U 00 ⊂ U0 , so dass ∀x ∈ U 0 : h(x, 0) ∈ U 00 ist. Definiere dann g : U 0 → U 00 , x 7→ g(x) := h(x, 0). Dann ist g stetig diffbar und es gilt f (x, y) = 0 ⇐⇒ g(x) = y  Bemerkung: Obwohl g in der Regel nicht bestimmt werden kann, kann man g 0 berechnen. Aus f (x, g(x)) = 0 folgt mit Kettenregel:    0 0 IRn 0 f (x, g(x)) · 0 = 0m×n mit f 0 = fx fy ist | {z } g (x) m×n m×m | {z } m×(n+m) (n+m)×n

0

0

⇒ fx (x, g(x)) + fy (x, g(x))g 0 (x) = 0m×n mit g(a) = b folgt m×n 0

m×n 0

0

⇒ fx (a, b) + fy (a, b)g (a) = 0  0 −1 0 ⇒ g 0 (a) = − fy (a, b) fx (a, b) Beispiel: f1 (x, y1 , y2 ) = x3 + y12 + y23 − 7 = 0 f2 (x, y1 , y2 ) = x + x1 y2 + y2 x + 2 = 0 Nullstelle (2,-1,0) f : R × R2 → R2 Aufl¨osen nach (y1 , y2 ) :     3y12 3y22 −3 0 0 fy (2, −1, 0) = = invertierbar. x + y2 x + y1 (2,−1,0) 2 1 ⇒ ∃ Umgebung U 0 ⊂ R von a = 2 und zwei stetig diffbare Funktionen g1 , g2 : U 0 → R mit (g1 (2), g2 (2)) = (−1, 0) und fi (x, g1 (x), g2 (x)) = 0, i = 1, 2  0    ∂f1    g1 (2) −3 0 −4 ∂x Es gilt: =− = ... = 0 ∂f2 2 1 9 g2 (2) ∂x (2,−1,0)

51

4.1 Kurven und deren L¨ ange Definition 4.1 Ein Weg ist eine stetige Abbildung α : [a, b] → Rd . α(a) und α(b) heißen Anfangspunkt und Endpunkt des Weges α. Zwei Wege α : [a, b] → Rd und β : [c, d] → Rd heißen ¨aquivalent, falls eine streng monoton wachsende, stetige Fkt. Φ : [a, b] → [c, d] existiert mit α(t) = β(Φ(t)), t ∈ [a, b] und Φ(a) = c und Φ(b) = d. Beispiel:  cos(t) α : [0, 2π] → R , t 7→ sin(t)   cos(2t) β : [0, π] → R2 , t 7→ sin(2t) 2



α und β a¨quivalten, denn Φ : [0, 2π] → [0, π], t 7→

t 2

Bemerkung: •Sind α und β a¨quivalente Wege, so haben α und β den gleichen Bildbereich, den gleichen Durchlaufsinn und die gleiche Anzahl der Durchl¨aufe. ¨ ¨ •Aquivalenz von Wegen ist eine Aquivalenzrelation auf der Menge der Wege. (α ∼ β ⇒ β ∼ a, α ∼ α

α ∼ β und β ∼ γ → α ∼ γ)

Definition 4.2 ¨ Eine Aquivalenzklasse [α] von Wegen α heißt Kurve; Berechnung C := [α]. Jeder Weg α ∈ C = [α] heißt Parametrisierung der Kurve C. Eine stetig differenzierbare Kurve C heißt regul¨ar, falls α(t) ˙ 6= 0 f¨ ur alle t ∈ [a, b] und α ∈ C gilt. α(t) ˙ heißt Tangentenvektor (an der Stelle t) ˙ 6= 0 auf [c, d]. Bemerkung: α, β ∈ C und α(t) ˙ 6= 0 auf [a, b] → β(t) α : [a, b] → Ra , β : [c, d] → Ra

52 

 r cos(t) Beispiel: [0, 6π] 3 t 7→ α(t) =  r sin(t)  mit r > 0, h > 0 ht (Schraubenlinse)



 −r sin(t) α(t) ˙ =  r cos(t)  h kα(t)k ˙ =

√

r2 sin2 t + r2 cos2 t + h2 =

√ r2 + h2

Definition 4.3 Sei C eine Kurve in Ra und P1 , P2 , ... , PN ∈ C. Dann heißt NP −1 S = {P0 , P1 , ... , PN } Sehnenpolygon und l(S) := kPi+1 − Pi k i=0

die L¨ange von S. Die Kurve C heißt rektifizierbar, falls sup l(S) < ∞ gibt. S

Dann heißt l(C) = sup l(S) L¨ange der Kurve C. S

Bemerkung: Ist S = {P0 , P1 , ... , PN +1 } mit S ⊂ Se . e Dann gilt l(S) ≤ l(S).

53 Satz 4.4 Sei C eine stetig differenzierbare Kurve und α : [a, b] → Rd eine Parametrisierung von C. Dann ist C rektifizierbar und es gilt ´b ˙ L(C) = kα(t)kdt a

Beweis: Sei a = t0 < ... < tN = b eine Zerlegung von [a, b] und seien Pi = α(t2 ), i = 0, 1, ... , N und S = {P0 , ... , PN } das Sehnenpolygon NP −1 NP −1 mit der L¨ange l(S) = kPi+1 − Pi k = kα(ti+1 ) − α(ti )k i=0

i=0

Es gilt f¨ ur jede Komponentenfunktion αj , j = 1, ... , d von α ti+1 ´ ˙ αj (ti+1 ) − αj (ti ) = αj (t)dt. Daher ist ti

" kα(ti+1 ) − α(ti )k =

d P

# 21 (αj (ti+1 ) − α(ti ))2



≤

! 12

d P

ti

j=1

α˙ j2 (t)

dt =

ti+1 ´

j=1

ti

=

j=1 ti+1 ´

d P

ti+1 ´

!2  12 α(t)dt ˙



kα(t)kdt ˙

ti

und damit gilt NP −1 NP −1ti+1 ´ ´b kα(t)kdt ˙ = kα(t)kdt ˙ l(S) = kα(ti+1 ) − α(ti )k ≤ i=0

i=0 ti

a

Das gilt f¨ ur jedes Sehnenpolygon und daher folgt ´b l(C) = sup l(S) ≤ kα(t)kdt ˙ S

a

Bleibt zu zeigen, dass zu jedem ε > 0 ein Sehnenpolygon S existiert b ´ mit kα(t)kdt ˙ − l(S) < ε a

Sei S ein beliebiges Sehnenpolygon gilt l(S) =

NP −1

kα(ti+1 ) − α(ti )k =

j=1

=

! 21

NP −1

d P

i=0

j=1

|αj (ti+1 ) − αj (ti )|2

! 12

NP −1

d P

i=0

j=1

|α(s ˙ ij )(ti+1 − ti )|2

, sij ∈ (ti , ti+1 )

54

=

!

NP −1

d P

i=0

j=1

2

|α˙j (sij )|

(ti+1 − ti )

´b Andererseits kann das Integral kα(t)kdt ˙ durch Treppenfunktionen approximiert werden: a

Es sei a = t0 < ... < tN := b eine Zerlegung von b NP −1 ´ ˙ − kα(t ˙ i )k(ti+1 − ti ) < 2ε [a, b] mit |α(t)|dt i=0

a

Nun folgt mit Sehnenpolygon zu dieser Zerlegung: N −1 N −1 P P = (k α(t ˙ )k − η )(t − t ) k α(t ˙ )k(t − t ) − l(S) i i i+1 i i i+1 i i=0

i=0

≤

NP −1

|kα(t ˙ i )k − ηi |(ti+1 − ti )

   

α˙ 1 (ti ) α ˙ (s ) 1 i1 NP −1

 ..  −  .. k(ti+1 − ti ) ≤ . .

Inv. 4−Ungl. i=0 α˙ d (ti ) α˙ d (sid ) i=0

Es folgt insgesamt: NP −1 NP −1 ´b ´b | kα(t)kdt ˙ − l(S)| ≤ | kα(t)kdt ˙ − kα(t)k(t ˙ − t )| + | kα(t)k(t ˙ i+1 i i+1 − ti ) − l(S)| a

<

a ε 2

+

ε 2

i=0

i=0

=ε

 Sei C eine Kurve, dann heißt C stetig differenzierbar, falls eine stetig diffbare Parametrisierung α existiert. C heißt regul¨ar, falls α(t) ˙ 6= 0 ∀t ∈ [a, b]. ´b L¨ange von C = kα(t)kdt. ˙ a

4.2 Skalare und vektorielle Kurvenintegrale Definition 4.5 Sei C eine stetig diffbare Kurve in Rd und eine stetig diffbare Parametrisierung α : [a, b] → Rd . Es sei f : C → R so dass f ◦ α : [a, b] → R stetig ist.

55 ´b ´ ´ ˙ Dann heißt f ds := f (x)dx := f (α(t))kα(t)kdt C

a

C

skalares Kurvenintegral von f u ¨ber C, ds = kα(t)kdt ˙ heißt skalares Bogenelement. Bemerkung: Ist β : [c, d] → Rd eine andere stetig diffbare Parametrisierung von C und ist f ◦ β stetig, so ist das Kurvenintegral ´ f ds von der Parametrisierung unabh¨angig C

´d c



˙ f (β(r)) β(r) dr

= α(t)=β(Φ(t))

Φ(b) ´



˙ f (β(Φ(t))) β(Φ(t)) |Φ0 (t)| dt

Φ(a)

´b ´ ´b ´b = f (α(t))kα(t)kdt ˙ | f : C → R, c 7→ 1, 1ds f (α(t))kα(t)kdt ˙ = kα(t)kdt ˙ = l(C) a a a C ´ ´ ´ • (λf + µg)ds = λ f ds + µ g ds C C C ´ •| f ds| ≤ l(C) sup|f (x)| x∈C

C

Definition 4.6 Sei Ω ∈ Rd offen. Dann heißt eine stetig diffbare Abb. v : Ω → Rd Vektorfeld. •Bsp.: elektrische magnetische Felder.

Definition 4.7 Sei Ω ∈ Rd offen, v : Ω → Rd ein Vektorfeld und C eine regul¨are Kurve.(d.h. ∃ stetig diffbare Parametrisierung α : [a, b] → Rd mit α(t) ˙ 6= 0) innerhalb von Ω. Dann heißt ´ ´b v · dx := v(α(t)) · α(t)dt ˙ C

a

↑Skalarpr.

vektorielles Kurvenintegral (bzgl. Vektorfeld v entlang C) Dabei muss α injektiv sein. Bemerkung: ´b a

v(α(t)) · α(t)dt ˙ =

d ´b P

vi (α(t))α˙ i (t)dt

a i=1

56

=

˙P d ´ vi (α(t))αi (t)dt =: vi dxi

d ´b P

i=1 C

i=1 a

• dx = α(t)dt ˙ heißt vektorielles Bogenelement. • Wert des vektoriellen Kurvenintegrals unabh. von der Parametrisierung 0 ˙ α(t) ˙ = β(Φ(t))Φ (t) Beispiel: (Gravitationsfeld aus Massepunkt im Ursprung) x 3 Ω = R3 \ {0}, v : Ω → R3 , x 7→ v(x) = − kxk 3 Sei C ⊂ R \ {0}

eine regul¨are Kurve und α : [a, b] → R3 eine Parametrisierung von C. ´ Dann ist v · dx (ein Maß f¨ ur) die Arbeit, die geleistet wird, wenn ein c

zweiter Massepunkt entlang C bewegt wird. ´ ´b α(t) ˙ Es ist v · dx = − kα(t)k 3 · α(t)dt C

Wegen =

− 12

d 1 dt kα(t)k

=

a d √ 1 dt α2 (t)+α2 (t)+α2 (t) 1

1

√

3

α21 (t)+α22 (t)+α23 (t)

α1 (t) α2 (t) α3 (t)

1 = − kα(t)k 3

! ·

2

3

(2α1 (t)α˙1 (t) + 2α2 (t)α˙2 (t) + 2α3 (t)α˙3 (t)) !

α˙1 (t) α˙2 (t) α˙3 (t)

α(t) ˙ = − kα(t)k 2 · α(t)

folgt ´ ´b d 1 v · dx = dt dt = kα(t)k C

a

1 kα(b)k

−

1 kα(a)k

Achtung: Ergebnis h¨angt nur von Anfangs und Endpunkt der Kurve ab!

Eigenschaften vektorieller Kurvenintegrale ´ ´ ´ (λv + µw) · dx = λ v · dx + µ w · dx C C C ´ | v · dx| ≤ l(C)supkv(x)k x∈C C ´ ´ ´ v · dx = v · dx + v · dx C1 +C2

C1

C2

57 4.3 Konservative Vektorfelder und Potentiale Definition 4.8 Sei Ω ⊂ Rd offen und v : Ω → Rd ein Vektorfeld. Dann heißt v konservativ genau dann wenn das (vektorielle) Kurvenintegral u ¨ber Kurven in Ω nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve abh¨angt. Bemerkung: v ist genau dann konservativ, falls das Kurvenintegral u ¨ber alle geschlossenen Kurven verschwindet. (⇒voll klar, ⇐ verwende Additivit¨at des Integrals) x 3 Beispiel: v(x) = − kxk 3 ist ein konservaties Vektorfeld in R \ {0}

Satz 4.9 Es sei v : Ω → Rd ein Vektorfeld. Dann ist v genau dann konservativ, falls eine stetig diffbare Abb. U : Ω → R existiert, v = grad U. Dann gilt f¨ ur jede Kurve C ist Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 : ´ v · dx = U(P2 ) − U(P1 ) C

U heißt Potential von v. Beweis: ⇐: Sei U : Ω → R mit grad U = v. Weiter sei C eine regul¨are Kurve in Ω mit Parametrisierung α : [a, b] → Ω. Dann ist d U(α(t)) dt

= (grad U)(α(t)) · α(t) = v(α(t)) · α(t) ˙

und daher ´ ´b ´b d v · dx = v(α(t)) · α(t)dt ˙ = dt U(ga(t))dt = U(α(b)) − U(α(a)) C

a

a

= U(P2 ) − U(P1 ) mit Anfangs- und Endpunkt P1 = α(a) und P2 = α(b) der Kurve C. Es folgt, dass v ein konservatives Vektorfeld ist. ´ ´x ⇒Zu x0 ∈ Ω U(x) = v · dx =: v · dx C

x0

58 Sei v konservativ und x0 ∈ Ω fest. Zu x ∈ Ω w¨ahle Kurve C mit Anfangpunkt x0 und Endpunkt x. Setze dann. ´ ´x U(x) = v · dy = v · dy x0

C

Dies tun wir f¨ ur jedes x ∈ Ω und erhalten(eine wohldefinierte von C unabh.) Funktion U : Ω → R Zeige: grad U = v Zu x ∈ Ω w¨ahle kleine Umgebung in Ω und h > 0, so dass x + hej ∈ Ω gilt. Dann ist ´x ´x U(x + hej ) − U(x) = v · dy − v · dy x0

x0

´h

´h α : [0, h] → Rd , t 7→ x + tej = v(x + tej ) · ej dt = · · · = vj (x + tej )dt 0 ∂U (x) ∂xj

= lim

h→0

U (x+hej )−U (x) h

0

´h

1 vj (x + tej )dt h→0 h 0 stetig in t

= lim

= vj (x), j = 1, ... , d ⇒ (grad U)(x) = v(x)  Wunsch: Leicht nachpr¨ ufbare hinreichende Kriterien f¨ ur Konservativit¨at von Vektorfeldern.

Definition 4.10 Es sei Ω ein Gebiet in Rd (d.h. offen und zusammenh¨angend). Dann heißt Ω sternf¨ormig , falls ein x0 ∈ Ω existiert, so dass f¨ ur alle x ∈ Ω die Gerade h(t) = x0 + t(x − x0 ), t ∈ [0, 1] in Ω enthalten ist. Zwischenbetrachtung: v : Ω → Rd , U Potential   ∂vi ∂U ∂ ∂U k = ∂xh ∂x = ∂x∂U = = ∂v ∂xk ∂xi ∂xk ∂xi i k ∂xi S.v. Schwarz

Definition 4.11 Ein Vektorfeld v : Ω → Rd heißt rotationsfrei, falls ∂vi ∂xk

=

∂vk , ∂xi

i, k = 1, ... , d gilt.

Bemerkung: • v konservativ ⇒ v rotationsfrei

59  ∂v3 •d = 3, rot v = (Ox v) :=

− − −

∂x2  ∂v1 ∂x3 ∂v2 ∂x1

∂v2 ∂x3 ∂v3 ∂x1 ∂v1 ∂x2

 

v : Ω → R3 rotationsfrei ⇐⇒ rot v = 0 Bild: R3 nicht rotationsfrei

rotationsfrei:

Satz 4.12(Hinreichende Bedingung f¨ ur die Existenz eines Potentials) Sei Ω ein sternf¨ormiges Gebiet im Rd und v : Ω → Rd ein rotationsfreies Vektorfeld. Dann ist v konservativ, es ex. ein Potential U : Ω → R mit grad U = v. Beweis: Sei x0 ∈ Ω mit [0, 1] → t 7→ x0 + t(x − x0 ) ⊂ Ω ∀x ∈ Ω ´x ´1 und setze U(x) := v · dy := v(x0 + t(x − x0 )) · (x − x0 )dt x0

=

d ´1 P

0

vi (x0 + t(x − x0 ))(xi − x0 i )dt

0 i=1 ∂U (x) ∂xk

=

d ´1 P

d ´1 P

=

Satz 1.23

=

∂ ∂xk

0 i=1

vi (x0 + t(x − x0 ))(xi − x0 i )dt

0 i=1 ∂ [v (x ∂xk i 0

+ t(x − x0 ))(xi − x0 i )] dt

d ´1 P ∂vi 0 i=1

´1 (x + t(x − x ))t(x − x ) + 1 · vk (x0 + t(x − x0 ))dt 0 0 i 0 i ∂xk 0



=

part.Int.

´1

d tvk x0 + t(x − x0 ))|10 − t dt vk (x0 + t(x − x0 ))dt 0

60 ´1 = vk (x) − t(grad vk )(x0 + t(x − x0 )) − (x − x0 )dt 0

= vk (x) −

d ´1 P ∂vk 0 i=1

∂xi

(x0 + t(x − x0 ))t(xi − x0i )dt

⇒ Damit folgt wegen ∂U (x) ∂xk

∂vi ∂xk

=

∂vk ∂xi

= vk (x), k = 1, ... , d ⇒ grad U = v 

 yex ey sin(z) + x + y Beispiel: v(x, y, z) = xexy sin(z) + x + y − z  in R3 exy cos(z) − y + z Hier ist rot v = 0, d.h. ∃U : R3 → R mit grad U = v Bestimme U! ∂U ∂x

!

= yexy sin(z) + x + y ⇒ U(x, y, z) = exy sin(z) +

xexy sin(z) + x + y − z = ⇒

∂ ϕ(y, z) ∂y

⇒ ϕ(y, z) =

y2 2

∂ ϕ(y, z) ∂y

− zy + ψ(z)

e cos(z) − y + z = ∂ ψ(z) ∂Z

= xexy sin(z) + x +

+ xy + ϕ(y, z)

=y−z

xy

⇒

∂U ∂y

x2 2

∂U ∂z

= z, ψ(z) =

= exy cos(z) − y + z2 2

∂ ψ(z) ∂z

+c

⇒ U(x, y, z) = ex y sin(z) +

x2 2

+ xy +

y2 2

− zy +

z2 2

+ c, c ∈ R

5. Integralrechnung im Rd Idee: Treppenfunktionen auf Quadern → stetige Fkt. auf Quadern → stetige Fkt. auf offenen Mengen

5.1 Das Integral f¨ ur Treppenfkt. auf Quadern Definition 5.1 Das direkte Produkt von (beschr.) Intervallen I1 , ... , Id ⊂ R heißt d-dimensionaler Quader. d.h. Q = I1 × I2 × ... × Id ⊂ Rd Die Intervalle Ii k¨onnen offen/abg./halboffen etc. sein. Das Volumen von Q ist definiert durch

61

V (Q) =

d Q

(bi − ai ) wobei

i=1

ai = inf Ii , bi = sup Ii , i = 1, ... , d Ein Quader Q heißt entartet, falls V (Q) = 0 ist oder abgeschlossen ai = bi f¨ ur ein i ∈ {1, ... , d}. Bemerkung: Das Volumen ist translationsinvariant. F¨ ur λ ∈ Rd gilt. V (λ + Q) =

d Q

((bi + λi ) − (ai + λi )) =

i=1

=:{λ+x|x∈Q}

d Q

(bi − ai ) = V (Q)

i=1

Lemma und Definition 5.2 Es seien Q1 , ... , QN ⊂ Rd Quader. Dann gibt es paarweise disjunkte Quader R1 , ... , RM ⊂ Rd , Ri ∩ Rj = ∅ f¨ ur i 6= j, so daß jedes Qi N k S S Vereinigung geeignter Ri1 , ... , Rik ist und Qi = R ij . i=1

j=1

{Ri , ... , Rn } heißt Rasterung der Q1 , ... , QN . Bemerkung: Ist Q := Q1 ∪ ... ∪ QN V (Q) :=

M P

V (Ri ).

i=1

Definition 5.3 Sei Q := Q1 , ... , QN die Vereinigung von Quadern Q1 , ... , QN ⊂ Rd . Die charakteristische Funktion χQi von Qi ist definiert als  1 f¨ ur x ∈ Qi χQi : Q → R, χQi (x) = 0 sonst F¨ ur c1 , ... , cN ∈ R ist ϕ : Q → R, ϕ =

N P

ci χQi eine Treppenfkt.

i=1

Sind die Qi paarweise disjunkt(p.w.disj.), so nennen wir die Darstellung von ϕ disjunkt. Zwei Treppenfunktionen ϕ und ψ auf Q heißen fast u ¨berall gleich (oder ϕ(x) = ψ(x) f¨ ur fast alle x ∈ Q), falls es eine Rasterung von Q gibt so dass sich ϕ und ψ nur auf den entarteten Quadern der

62 Rasterung unterscheiden.

Lemma 5.4 Zu jeder Treppenfkt. ϕ auf Q gibt es eine Rasterung R1 , ... , RM M P von Q und d1 , ... , dm ∈ R mit ϕ = dj χRj , ϕ besitzt also j=1

eine disjunkte Darstellung. Beweis: Sei Q =

N S

Qi , ϕ =

i=1

N P

ci χQi .

i=1

Sei R1 , ... , RM eine Rasterung von Q (also von Q1 , ... , QN ) Wir setzen dj :=

P

ci . i∈{1,.. ,N | Rj ∩Qi 6=∅}



Definition 5.5 N P Sei ϕ = ci χQi eine Treppenfunktion in disjunkter Darstellung. i=1 N ´ P Dann heißt ϕ(x)dx := ci · V (Qi ) Integral von ϕ u ¨ber Q. i=1

Q

Bemerkungen: Das Integral ist von der expliziten Darstellung von ϕ unabh¨angig von der speziellen Rasterung von Q. (wie in R1 am Anfang des Semesters) ´ • Ist ϕ(x) ≥ 0, also alle cj ≥ 0, so ist ϕdx die Summe der Q

Volumen der (d + 1)-dim. Quader Qi × [0, ci ], i = 1, ... , N

Lemma 5.6 (1) Seien ϕ, ψ TF(Treppenfkt.) auf Q und α, β ∈ R, so ist ´ ´ ´ (αϕ + βψ)(x)dx = α ϕ(x)dx + β ψ(x)dx (Linearit¨at) Q

Q

Q

(2) Ist ϕ(x) ≥ 0 f¨ ur fast alle x ∈ Q (d.h. Es gibt eine Rasterung Q so daß ϕ(x) ≥ 0 auf allen Quadern mit Volumen 6= 0)

63 ´ so ist ϕ(x)dx ≥ 0 Q

´ ´ (3) Aus ϕ = ψ fast u ¨berall auf Q, folgt ϕ(x)dx = ψ(x)dx Q

Q

(4) Aus ϕ(x) ≤ ψ(x) fast u ¨berall auf Q folgt ´ ´ ϕ(x)dx ≤ ψ(x)dx (Monotonie) Q

Q

´ (5) ϕ(x)dx ≤ kϕk∞ · V (Q) Q Beweis: (2) Sei also ϕ =

M P

dj χRj mit einer passenden

j=1

Rasterung R1 , ... , RM Dann ist f¨ ur ein j = 1, ... , M . F¨ ur x ∈ Rj : 0 ≤ ϕ(x) = dj , falls V (Rj ) 6= 0, M ´ P also ϕ(x)dx = dj V (Rj ) ≥ 0  j=1  Q = 0, falls V (Rj ) = 0 ≥ 0, falls V (R ) 6= 0 j M M M ´ P P P (5) | ϕ(x)dx| = | dj V (Rj )| ≤ |dj | V (Rj ) ≤ kϕk∞ V (Rj ) = kϕk∞ V (Q) j=1 j=1 |{z} j=1 Q ≤kϕk∞

Satz 5.7 (Fubini f¨ ur TF/sukzessive Integration) Seien Q ⊂ Rp und R ⊂ Rq kompakte Quader. Dann ist Q × R ein Quader in Rp+q . Wir schreiben f¨ ur Rp+q 3 z = (x , y ) ∈Rp ∈Rq

F¨ ur jede TF ϕ auf Q × R gilt: (a) F¨ ur festes x ∈ Q ist y 7→ ϕ(x, y) eine TF auf R. ´ (b) x 7→ ϕ(x, y)dy ist eine TF auf Q. R

´

(c)

ϕ(z)dz =

Q×R

 ´ ´ Q

R

 ϕ(x, y)dy dx

=

´ ´

! ϕ(x, y)dy dx

Q R

Bemerkung: Durch Vertauschen von R und Q: ´ ´´ ϕ(z)dz = ϕ(x, y)dx dy Q×R

RQ

Beweis: Die TF ϕ hat eine disj. Darstellung, die also auf einer

64 Rasterung von Q × R beruht. Die Projektionen dieser Rasterung auf Rp bzw. Rq bilden eine Rasterung von Q bzw. R. Dann ist also Q =

N S

Qi , R =

i=1

M S

Rj , Qi p.w. disj., Rj p.w. disj.

j=1

also Qi × Ri p.w. disj. und Q × R =

N S M S

Qi × Rj .

i=1j=1

Dann besitzt ϕ eine disj. Darstellung der Form ϕ =

N P M P

dij χQi ×Rj

i=1j=1

Es ist χQi ×Rj (x, y) = χQi (x) · χRj (y) und V (Qi × Rj ) = V (Qi ) · V (Rj ) N P M PP P dij χQi (x)χRj (y) F¨ ur x ∈ Q ist ϕ(x, y) = αij χQi ×Rj (x, y) = i

i=1j=1

=

N M P P j=1

j

 dij χQi (x) · χRj (y) also (a)

i=1

´

M P N P

R

i=1´ı=1

ψ(x) = ϕ(x, y)dy =

dij χQi (x) · V (Rj ) =

N M P P i=1

! dij V (Ri ) χQi (x)

j=1

also (b)  ´ ´ Q

 N P M ´ ´ P ϕ(x, y)dy dx = ψ(x)dx = dij V (Rj ) · V (Qi ) = ϕ(z)dz also(c)

R

Q

i=1j=1

Q×R



Satz 5.8(Additivit¨ at): Sind Q0 und Q1 disjunkte Quader in Rd , so ist ´ ´ ´ ϕdx = ϕdx + ϕdx S Q0

Q1

Q0

Q1

5.2 Das Integral f¨ ur stetige Funktionen u ¨ ber kompakte Quader Idee: Gleichm¨aßige Approx. durch TF.

65 Satz 5.9 Ist f eine stetige Funktion auf einem kompakten Quader Q ⊂ Rd , so ist f gleichm¨aßiger Grenzwert einer Folge von TF auf Q. Beweis: (f¨ ur d = 2) Q = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ], f : Q → R stetig. Sei ε > 0 beliebig. Da f sogar glm. stetig ist, b2 gibt es δ > 0 : |f (x, y) − f (x0 , y 0 )| < ε falls |(x, y) − (x0 , y 0 )| < δ p −a1 −a2 Mit h1 = b1 N , h 2 = b2 N und h := h21 + h22 w¨ahlen wir N so groß, dass h < δ. Wir setzen f¨ ur i, j = 0, ... , N : xi = a1 + i · h1 , yj = a2 + j · h2 Wir setzen NP −1 NP −1 ϕ= f (xi , yj )χ[xi ,xi+1 =×[yj ,yj+1 ) + f (xi , b2 )χ[xi ,xi+1 )×{b2 } i,j=0 NP −1

+

i=0

f (b1 , yj )χ{b1 }×[yj ,yj+1 ) + f (b1 , b2 )χ{b1 }×{b2 }

j=0

Also ist ϕN eine TF auf Q und nach Wahl von N gilt kϕN − f k∞ < ε 

Definition und Lemma 5.10 Ist f : Q → R der gleichm. Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen auf Q, so setzen wir ´ ´ f (x)dx := lim ϕn (x)dx n→∞ Q

Q

”Beweis”: Existenz des Grenzwertes: Sei ε > 0. Da (ϕn ) insbesondere eine k.k∞ -Cauchyfolge ist, gibt N > 0 : ∀n, m ≥ N : kϕ − ϕm k < ε. Damit folgt f¨ ur n, m ≥ N : n ´ ´ ´ ϕn dx − ϕm dx = | (ϕn − ϕm )dx| ≤ kϕn − ϕm k∞ · V (Q) Q Q Q ! ´ Also ist ϕn dx eine CF in R, konv. also Q

n

Unabh¨angig von der Wahl von ϕn : Sei (ψn ) eine weitere Folge von TF mit kf − ψn k∞ → 0. Sei ε > 0 bel. Sei N so gew¨ahlt dass ∀n > N : kϕn − f k∞ < ε und kψn − f k∞ < ε.

66 Damit kϕn − ψn k∞ ≤ kϕn − f k∞ + kψn − f k∞ < 2ε ´ ´ ´ Also | ϕn dx − ψn dx| = | (ϕn − ψn )dx| ≤ kϕn − ψn k∞ V (Q) < 2εV (Q)∀n > N Q

Q

´

Also ist

Q

!

´ ϕn dx − ψn dx

Q

Q

eine Nullfolge  n

´ ´ ´ Notation: ϕdx = ϕ(x)dx = ϕ(x1 , ... , xd )d(x1 , ... , xd ) Q

Q

Q

Lemma 5.11 Seien f, g : Q → R glm. GW von Folgen von TF. ´ ´ ´ (a) (αf + βg)dx = α f dx + β g dx, α, β ∈ R. Q

Q

Q

´ ´ (b) | f dx| ≤ |f |dx ≤ kf k∞ V (Q) Q

Q

´ ´ (c) Aus f (x) ≤ g(x)∀x ∈ Q folgt f dx ≤ g dx. Q

´

Q

(d) Aus |f |dx = 0 folgt f (x) = 0 ∀x ∈ Q, falls f stetig ist Q

Beweis: (b) Sei ϕn eine Folge von TF auf Q mit ϕn → f glm. Dann ist (|ϕn |) eine Folge von TF, die glm. gegen |f | konvergiert. ´ ´ ´ ´ Also | f dx| = | lim ϕn dx| ≤ lim |ϕn |dx = |f |dx. n→∞ Q

Q

n→∞ Q

Q

´

Insbes. gilt kϕn k∞ → kf k∞ , also |f |dx = lim kϕn k∞ · V (Q) = kf k∞ V (Q) n

Q

Satz 5.12(Fubini): Seien Q ⊂ Rp ,R ⊂ Rq komp. Quader, f : Q × R → R stetig. ´ (a) Die Abb. x 7→ F1 (x) := f (x, y)dy ist stetig auf Q, R ´ y 7→ F2 (y) := f (x, y)dx ist stetig auf R. Q

(b)

´ Q×R

f (z)dz =

´ Q×R

f (x, y)d(x, y) =

 ´ ´ Q

R

!  ´ ´ f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy. R

Q

67

ur ε > 0 Beweis: (a) f ist auf Q × R kompakt sogar gleichm¨aßig stetig, f¨ gibt es δ > 0, so dass insbesondere    0     0 x x x x − |f (x, y) − f (x0 , y)| < ε f¨ ur alle , ∈ Q × R mit <δ y y y y Es gilt also f¨ ur alle x, x0 ∈ Q mit |x, x0 | < δ : ´ ´ ´ |F1 (x) − F1 (x0 )| = | f (x, y)dy − f (x0 , y)dy| = | f (x, y) − f (x0 , y)dy| R R ´ ´ R ≤ |f (x, y) − f (x0 , y)|dy < ε · 1dy = εV (R) R

R

(b) Sei ϕn eine Folge von TF auf Q × R die glm. gegen f konvergiert, ´ ´ also f (z)dz = lim ϕn (z)dz. F¨ ur x ∈ Q ist ϕn (x, ·) eine TF auf R Q×R

´

n→∞Q×R

und ψn (x) := ϕn (x, y)dy eine TF auf Q. R

Da ϕn auf Q × R glm. gegen f konv., so insbesondere ϕn (x, ·) glm. auf R ´ ´ gegen f (x, ·) f¨ ur x ∈ Q,also ψn (x) = ϕn (x, y)dy → f (x, y)dy = F1 (x). n→∞ R

R

´ Es gilt: |F1 (x) − ϕn (x)| = | (ϕn (x, y) − f (x, y))dy| ≤ kϕn − f k∞ V (R) R

also kψn − F1 k∞ ≤ kϕn − f k∞ V (R) → 0 n→∞ ´ ´ also | F1 (x)dx − ψn (x)dx| ≤ kF1 − ψn k∞ V (Q) → 0 Q

Also

Q

´

f (z)dz = lim

Q×R

n

´

  ´ ´ ϕn (z)dz = lim ϕn (x, y)sy dx n Q

Q×R

´

´

´ ´

n→∞ Q

Q

Q

= lim ψn (x)dx = F1 (x)dx =



R

 f (x, y)dy dx

R



5.3 Das Integral f¨ ur stetige Funktionen auf offenen Mengen im Rd

Satz 5.13 Sei Ω ⊂ Rd offen, Ω 6= ∅. Dann ex. eine Folge kompakter Quader ◦

◦

∞ {Qj }j=1 mit paarweise disjunktem Inneren (d.h. Qi ∩ Qj = ∅, i 6= j)

68

so dass (i) Ω =

∞ S

Qi

i=1

(ii) Jede kompakte Teilmenge von Ω wird bereits durch endlich viele Quader u ¨berdeckt. Beweis: Sei d = 2. Setze K0 :=

S

{z0 kompake Gitterzelle, z0 ⊂ Ω} k 2n

Bilde das Netz 1-ter Stufe, welche aus Gitterzellen mit x = y=

l , k, l 2n

K1 =

S

und

∈ Z bedeckt und setze

{z1 kompakt 1 − ter Stufe, z1 ⊂ Ω} \ K0

Netz 1. Stufe besteht aus Gitterzellen mit x = k, y = l, l, k ∈ Z So geht das weiter, ... , das Netz m-ter Stufe hat Gitterzellen x=

k ,y 2m

Km =

S

=

l , k, l 2m

∈ Z und es ist

{zm kompakte Gitterzelle m − ter Stufe zm ⊂ Ω} \

m−1 S

Ki

i=1

Es gilt nach Konstruktion

∞ S

Km ⊂ Ω. Sei nun x0 ∈ Ω. Da Ω

m=0

offen ist ex. eine Kugel B(x0 , r) ⊂ Ω mit r > 0. Der Punkt x0 ist stets in den Gitterzellen j-ter Stufe enthalten. W¨ahle m ∈ N so,dass √ 2 2m

< r gilt, dann ex. eine Gitterzelle m-ter Stufe zm mit

x0 ∈ zm ⊂ B(x0 , r) ⊂ Ω. Daher ist x0 ∈ K0 ∪ ... ∪ Km ⊂

∞ S

Ki

i=1

⇒Ω=

∞ S

Ki und die Ki bestehen aus endlich vielen oder abz¨ahlbar

i=1

vielen kompakten Quadern.

69

dist(K,∂Ω) 2

(ii) d = 2 Sei K ⊂ Ω kompakt und Ω 6= R2 . W¨ahle r :=

Dann ist f¨ ur jedes x ∈ K die Kugel B(x, r) ⊂ Ω W¨ahle nun die Gitterzellen √

m-ter Stufe mit

2 2m

< r ,die nichtleeren Schnitt mit K haben.

Dies sind endlich viele, K wird durch deren Vereinigung u ¨berdeckt, alle Zellen liegen in Ω. 

Definition 5.14 Sei Ω ⊂ Rd offen und f : Ω → R stetig. Dann heißt f u ¨ber Ω integriebar, N ´ P falls ein M ≥ 0 existiert, so dass |f (x)|dx ≤ M f¨ ur je endlich viele k=1Qk ◦

◦

kompakte Quader Qi in Ω gilt, wobei Qi ∩ Qj = ∅, i 6= j. ∞ ´ ´ P f (x)dx Ist f : Ω → R integrierbar, dann heißt f (x)dx := das Integral von f u ¨ber Ω ,wobei Ω =

Ω ∞ S

k=1Qk

Qk wie in Satz 5.13.

k=1

Bemerkungen: Integral ist wohldefiniert, -Reihe ist absolut konvergent, da die Folge der Partialsumme mon. ´ wachsend und beschr¨ankt ist, also ex. f (x)dx Ω

- Wert des Integrals h¨angt nicht ab von der Zerlegung ∞ S Ω= Qk k=1

Eigenschaften: (i) Linearit¨at: sind f, g : Ω → R stetig und integrierbar α, β ∈ R, dann ist ´ ´ ´ auch αf + βg integrierbar, es gilt (αf + βg)(x)dx = α f (x)dx + β g(x)dx Ω

Ω

(ii) Monotonie: sind f, g : Ω → R integrierbar u ¨ber Ω mit ´ ´ f (x) ≤ g(x), x ∈ Ω, so gilt f (x)dx ≤ g(x)dx Ω

Ω

(iii) f : Ω → R ist genau dann integrierbar, wenn der |f | : Ω → R ´ ´ integrierbar ist. Es gilt dann f (x)dx ≤ |f (x)|dx Ω

Ω

(iv) f : Ω → R ist genau dann integrierbar, falls der positive Teil

Ω

70 f+ (x) = 12 (|f (x)| + f (x)) und der negative Teil f− (x) = 12 (|f (x)| − f (x)) beide u ¨ber Ω integrierbar sind. ´ ´ ´ Es gilt dann f (x)dx = f+ (x)dx − f− (x)dx Ω

Ω

Ω−

Satz 5.15 (Majorantenkriterium) Sei f : Ω → R stetig und sei g : Ω → R integrierbar und es gilt |f (x)| ≤ g(x), x ∈ Ω. Dann ist auch f u ¨ber Ω integrierbar. Beweis: Da g : Ω → R integrierbar ist existiert Mg ≥ 0, so dass f¨ ur alle N ∈ N und alle Quader Qk , k = 1, ... , n (wobei {Qn }∞ k=1 eine Folge von Quadern wie im Satz 5.13) N ´ P |g(x)|dx ≤ Mg k=1 Qk

Nach Voraussetzung gilt |f (x)| ≤ g(x) ≤ |g(x)| und aufgrund der Monotonie des Integrals von stetigen Funktionen auf Quadern folgt N ´ N ´ P P |g(x)|dx ≤ Mg |f (x)|dx ≤ k=1 Qk

k=1 Qk



Korollar 5.16 Sei Ω eine beschr¨ankte offene Menge in Rd und f : Ω → R sei beschr¨ankt und stetig. Dann ist f u ¨ber Ω integrierbar. Beweis: g(x) ≈ c mit c = supf (e x) ist eine integrable Majorante von f . Es gilt tats¨achlich

N P

´

k=1 Qk

x e∈Ω

|g(x)|dx = c

N ´ P k=1 Qk

N P

1 dx = c

Satz 5.17 (sukzessive integration) Seien Ω0 ⊂ Rd eine offene Menge und g, h : Ω0 → R stetig mit g(x) < h(x), x ∈ Ω0 . Weiter sei ∈Rd ∈R

Vol(Qk ) ≤ c η

k=1

Ω := {( x , y ) ∈ Rd+1 : g(x) < y < h(x); x ∈ Ω0 } und

71 f : Ω → R stetig. F¨ ur alle kompakten Teilmengen K ⊂ Ω0 existiere eine Konstante c(k) mit  |f (x, y)| ≤ c(k), ∀(x, y) ∈ (x, y) ∈ Rd+1 : g(x) < y < h(x) : x ∈ K Dann sind F (x) :=

h(x) ´

h(x) ´

g(x)

g(x)

f (x, y)dy und G(x) =

|f (x, y)|dy

auf Ω0 stetig. Ist G : Ω0 → R integrierbar, dann ist f : Ω → R integrierbar und es gilt: ´ ´ ´ h(x) ´ ´ f (z)dz = f (x, y)d(x, y) = f (x, y)dy dx = F (x)dx Ω

Ω

Ω0 g(x)

Ω0

Beweis: F : Ω0 → R ist stetig: Seien x, x0 ∈ Ω. Dann ist 0 h(x) h(x ´ ´) 0 F (x) − F (x ) = f (x, y)dy − f (x0 , y)dy g(x0 )

g(x)

h(x) ˆ

g(x) ˆ

(f (x, y) − f (x0 , y))dy

=

f (x0 , y)dy −

+

f (x0 , y)dy g(x0 )

g(x)

h(x)

|

0 h(x ˆ )

{z

}

fu ¨r |x−x0 | klein wird das Int. klein da f stetig

{z

|

}

0 g(x ˆ )

h(x) ˆ

f (x0 , y)dy+

=

f (x0 , y)dy h(x0 )

g(x)

|

{z

wird klein da g stetig

}

|

⇒ F stetig also auch G. (ii) G integrierbar u ¨ber Ω0 ⇒ f integrierbar u ¨ber Ω. ◦

◦

Sei N ∈ N und Q1 , ... , QN ⊂ Ω komp. Quader, Qi ∩ Qj = ∅,i 6= j. Dann gilt: Qk = Q0k × [ak , bk ], mit Q0k ⊂ Ω0 und es folgt ! b´k N ´ N ´ P P |f (x, y)|d(x, y) = |f (x, y)|dy dx k=1 Qk

≤

k=1 Qk

ak

h ´ h(x) h ´ ´ P P |f (x, y)|dy dx = G(x)dx ≤ MG weil G : Ω0 → R intbar. k=1 Q0 g(x) k

{z

}

h stetig, also klein f u ¨ r x−x0 klein

k=1 Q0 k

(iii) Fall 1 Ω0 ist ein Quader. W¨ahle dann a, b ∈ R mit Ω ⊂ Ω0 × [a, b] und setze fe : Ω0 × [a, b] → R  f (x, y) (x, y) ∈ Ω (x, y) 7→ 0 (x, y) sonst

72 Bemerkung: fe i.A. nicht stetig. Dann gilt ´

´

f (x, y)d(x, y) =

Ω

fe(x, y)d(x, y) =

´ ´b

Fubini Ω a 0

Ω0 ×[a,b]

fe(x, y)dy dx =

´ h(x) ´ f (x, y)dy dx Ω0 g(x)

Fall 2 Ω0 beliebig Ω0 mit Quadern auszusch¨opfen, auf Fall 1 zur¨ uckf¨ uhren... 

Definition 5.18 Eine Menge N ⊂ Rd heißt Nullmenge falls zu jedem ε > 0 abz¨ahlbar viele ∞ ∞ S P Quader Q1 , Q2 , ... existieren, mit N ⊂ Qk und Vol(Qk ) < ε k=1

k=1

¨ Bemerkung: (i) Andert man eine integrierbare Funktion auf einer Nullmenge ab, so a¨ndert sich der Wert des Integrals nicht. z.B. f : Q → R, Q Quader und f integrierbar, fe : Q → R mit f (x) = fe(x) ∀x ∈ Q \ N , wobei N ⊂ Q Nullmenge. ´ ´ ⇒ f (x)dx = fe(x)dx Q

Q

(ii) ”Gute” Abbildungen bilden Nullmengen auf Nullmengen ab. z.B. Diffiomorphismen (Lipschitzstetigkeit reicht)

5.4 Der Transformationssatz

Erinnerung: (i)

g(b) ´

´b f (y)dy = f (g(x))g 0 (x)dx, g 0 (x) 6= 0 auf (a, b)

g(a)

a

g : (a, b) → (g(a), g(b)) (ii) g Diffiomorphismus : ⇐⇒ g bij. + stetig diffbar, g −1 stetig diffbar

73 Satz 5.19 Seien Ω und Ω0 offene Mengen in Rd und g : Ω → Ω0 Diffiomorphismus. Dann ist eine stetige Fkt. f : Ω0 → R genau dann u ¨ber Ω0 = g(Ω) integrierbar, falls f ◦ g|det g 0 | u ¨ber Ω integrierbar ist. Es gilt dann

´

´ f (y)dy = (f ◦ g)(x)|det g 0 (x)|dx

Ω0

Ω

Beispiel: (Polarkoordinaten) Sei Ω = {(r, ϕ), r ∈ (0, 1), ϕ ∈ (−π, π)} g : Ω → Ω0 , (r, ϕ) 7→ (r cosϕ, r sinϕ) Ω0 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} g ist Diffiomorphismus   cosϕ −r sinϕ Es gilt: |det g (r, ϕ)| = sinϕ r cosϕ 0

Sei f : Ω0 → R, f (x, y) = x + 3y Dann ist ´ ´ f (x, y)d(x, y) = f (g(r, ϕ))|det g 0 (r, ϕ)|d(r, ϕ) Ω Ω0 ´ = (r cosϕ + 3r sinϕ) · r d(r, ϕ) Ω

=

´1 ´π

(r cosϕ + 3r sinϕ)r dϕ dr = 0

0 −π

BEWEIS: Hilfssatz 1: F¨ ur jeden kompakten W¨ urfel (Quader mit gleicher Kantenl¨ange) W ⊂ Ω gilt: Vol(g(w)) ≤ max|det g 0 (x)| Vol(W ) x∈W

Beweis: O.B.d.A Vol(W ) 6= 0, da sonst Vol(g(W )) = 0 (g Diffiomorphismus) Sei α > 0 so dass Vol(g(W )) = α Vol(W ) zerlege W durch Kantenhalbierung in 2d kompakt Teilw¨ urfel Pi , i = 1, ... , 2d . Dann ist 2d 2d P P g Diffio Vol(g(Pi )) = Vol(g(W )) = α Vol(Pi ) i=1

i=1

Aber so ex. ein W¨ urfel W1 ∈ {P1 , ... , P2d } mit Vol(g(W1 ) ≥ α Vol(W1 ) Zerlege W1 in gleicher Weise und w¨ahle W2 ⊂ W1 mit Vol(g(W2 )) ≥ α Vol(W2 ) Man erh¨alt dann eine Folge (Wk )∞ urfeln mit k=1 von kompakten W¨ W1 ⊃ W2 ⊃ W3 ⊃ ... und Vol(g(Wk )) ≥ α Vol(Wk )

74 Es sei α ∈

∞ T

Wk und g(a) = b, o.B.d.A a = 0 = b

k=1

Sei mk der Mittelpunkt von Wk . Dann gilt o n e Wk = x ∈ Rd : kx − mk k∞ ≤ 2dk wobei de die halbe Kantenl¨ange von W bezeichnet. Insbesondere ist wegen α = 0 : kmk k∞ ≤

de 2k

=0

z}|{ Nun ist g(x) = g(0) + g 0 (0)x + r(x)kxk∞ = g 0 (0)(x + (g 0 (0))−1 r(x)kxk∞ ) = g 0 (0)(x + re(x)kxk∞ ) re(x) → 0 f¨ ur x → 0 Behauptung ∀ε > 0 P k = k(ε) mit n Vk = {x + kxk∞ re(x) : x ∈ Wk } ⊂ Wkε := z ∈ Rd : kz − mk k∞ ≤

e d(1+ε) 2k

o

+ 2 2dk ·

ε 2

Beweis: W¨ahle k mit ke r(x)k∞ ≤ 2ε ∀x ∈ Wk . Wegen kxk∞ ≤ 2 2dk e

folgt kx + kxk∞ re(x) − mk k ≤ kx − mk k∞ + kxk∞ ke r(x)k∞ ≤

de 2k

 Damit folgt dann weiter: g(Wk ) = g 0 (0)Vk ⊂ g 0 (0)Wkε und daher : Vol(g(Wk )) ≤ Vol(g 0 (0)Wkε ) Nun ist   (1 + ε)vk 2 0 ε 0 .. ) Vol(g (0)Wk ) = det (g (0) . (1 + ε)vk 2 = (2vk )d (1 + ε)d |det g 0 (0)| = Vol(Wk )(1 + ε)d |det g 0 (0)| ⇒ Vol(g(Wk )) ≤ (1 + ε)d |det g 0 (0)|Vol(Wk ) Angenommen es w¨are α > max |det g 0 (x)| > |det g 0 (0)| x∈W d

W¨ahle ε > 0 so dass (1 + ε) |det g 0 (0)| < α F¨ ur den W¨ urfel Wk , k = k(ε) w¨are dann: Vol(g(Wk ) < α Vol(Wk ) ⇒ α ≤ max |det g 0 (x)| und das ergibt: x∈W

Vol(g(W )) = α Vol(W ) ≤ max|det g 0 (0)| Vol(W ) x∈W



e

75 Hilfssatz 2: Sei K ⊂ Ω eine kompakte Menge, deren rand eine Nullfolge ist und L = g(K). Dann gilt: min|det g 0 (x)|Vol(K) ≤ Vol(L) ≤ max|det g 0 (x)| Vol(K)

x∈K

x∈K

◦

◦

◦

Beweis: w¨ahle abz¨ahlbar viele kompakte W¨ urfel Wk mit Wk ∩ Wj = ∅ und K =

∞ S

Wk .

k=1

Da der Rand von K eine Nullmenge ist, gilt ∞ ◦ P Vol(Wk ). Da g Diffiomorphismus ist, ist der Rand Vol(K) = Vol(K) = k=1

von L = g(K) eine Nullmenge und es gilt: ◦

◦

◦

◦

g(Wi ) ∩ g(Wj ) = g(Wi ∩ Wj ) = ∅, i 6= j Nach Hilfssatz 1 ist Vol(g(Wk )) ≤ max|det g 0 (x)| Vol(Wk ) ≤ max|det g 0 (x)| Vol(Wk ) x∈Wk

x∈K

und daher folgt ∞ ∞ P P Vol(L) = Vol(g(Wk )) ≤ max|det g 0 (x)| Vol(Wk ) x∈K

k=1 0

k=1

= max|det g (x)| Vol(K) x∈K

vertauscht man die Rollen von K und L so folgt auch K = g −1 (L) 0 Vol(K) ≤ max det (g −1 ) (y) Vol(L) y∈L

−1

Da (g 0 (x))

0

= (g −1 ) (y) f¨ ur y = g(x) [Kettenregel]

= det(g 0 (x))−1 = det(g −1 )0 (y), y = g(x) 1 Also folgt Vol(K) ≤ max det 1g0 (x) Vol(L) = min |det Vol(L) g(x)| 1 det g 0 (x)

x∈K

⇒ min|det(g 0 (x))|Vol(K) ≤ Vol(L) x∈K

Hilfssatz 3: Der Transformationssatz gilt f¨ ur Treppenfunktionen in deren Tr¨ager Tr (h) := 0 d {x ∈ R : h(x) 6= 0} in Ω liegt. Beweis: Aufgrund der Linearit¨at des Integrals reicht es aus den Hilfssatz f¨ ur eine charakteristische Funktion eines kompakten Quaders zu zeigen. 

1 x∈Q 0 x∈ /Q Die Funktion χQ ◦ g : Ω → R verschwindet außerhalb der Menge 0

d

Sei Q < Ω ein kompakter Quader und χQ : R , x 7→

g −1 (Q) ⊂ Ω. Da χQ ◦ g|det g 0 | stetig auf g −1 (Q) ⊂ Ω und damit auf g −1 (Q) integrierbar und damit auch u ¨ber Ω (da die Fkt. außerhalb von g −1 (Q) Null ist)

76

Zeige noch die Formel

´

χQ (y)dy =

´

|det g 0 (x)|dx

g −1 (Q)

Q

Sei ε > 0 und K = g −1 . Dann ist |det K 0 (·)|−1 eine stetige Funktion auf der kompakten Menge Q ⊂ Ω0 und daher gleichm¨aßig stetig. Also kann Q ◦

◦

in Q1 ∪ ... ∪ Qr zerlegt werden. Qi kompakt, Qi ∩ Qj = ∅,i 6= j, so dass f¨ ur alle 1, ... , r gibt: max |det K 0 (y)|−1 − min |det K 0 (y)|−1 ≤ ε

y∈Qi

y∈Qi

In Ki := k(Qi ) ⊂ Ω gilt: max|det g 0 (x)| < min|det g 0 (x)| ≤ ε

x∈Ki

x∈Ki

0

Also max|det g (x)| Vol(Ki ) − min |det g 0 (x)|Vol(K) ≤ εVol(K) x∈Ki

x∈Ki

und außerdem min|det g 0 (x)|Vol(Ki ) ≤

x∈Ki

´

|det g 0 (x)|dx ≤ max|det g 0 (x)|Vol(Ki ) x∈K

Ki

Daher liefer Hilfssatz 2 wegen min|det g 0 (x)| Vol(Ki ) ≤ Vol(Qi ) ≤ max|det g 0 (x)|Vol(Ki ) x∈Ki ´ 0 insgesamt: | |det g (x)|dx − Vol(Qi )| ≤ εVol(Ki ) x∈Ki

Ki

⇒ Vol(Qi ) = ´

´

|det g 0 (x)|dx Summation liefert

Ki

χQ (x)dx = Vol(Q) =

r P

Vol(Qi ) =

i=1

Q

r ´ P

´

|det g 0 (x)|dx =

i=1 Ki

|det g 0 (x)|dx 

g −1 (K)

¨ber Ω0 integrierbar. Dann ex. zu jedem ε > 0 eine Hilfssatz 4: Sei f : Ω0 → R stetig und u Treppenfunktion ϕ mit tr¨ager in Ω0 , so dass ´ |f (y) − ϕ(y)|dy < ε Ω0

¨ Beweis: UA. Beweis von Satz 5.19: Sei f : Ω0 → R stetig und integrierbar ist. Sei (ϕk )∞ k=1 eine Folge von Treppenfunktionen (Hilfssatz 4),so dass ´ ´ f (x)dy = lim ϕk (y)dy Ω0

k→∞ Ω0

Setze ϕ fk := ϕk ◦ g |det g 0 |. Dann ist ϕ fk (x) → f (g(x))|det g 0 (x)| Sind Qi , i = 1, ... , N endlich viele Quader in Ω

77 N ´ P

|f (g(x))| |det g 0 (x)|dx ≤ max |det g 0 (x)| Mf

i=1 Q

N P

Vol(Qi )

i=1

Dann ist weiter: ´ ´ ´ ´ HS 3 (f ◦ g)(x)|det g 0 (x)|dx = lim ϕ fk (x)dx = lim ϕk (g)dy = f (y)dy Ω

k→∞ Ω

k→∞Ω0

Ω0

Kapitel 6 - Oberfl¨ achenintegrale 6.1 Hyperfl¨ achen in Rm , Tangentialebene Definition 6.1 Sei G ⊂ Rm−1 , m ≥ 2, offen und zusammenh¨angend und p : G → Rm stetig diffbar. p heißt auf G regul¨ar, falls p injektiv ist und rang p0 (u) = m − 1, u ∈ G. e → Rm regul¨ar, so heißen p und q a¨quivalent, Sind p : G → Rm , q : G e → G ex. mit p(ϕ(v)) = q(v), v ∈ G. e falls ein Diffiomorphismus ϕ : G Bemerkungen: m = 3

¨ ¨ • Aquivalenz von regul¨aren Abb. erkl¨art eine Aquivalenzrelation

78 • m = 2 : G = (a, b), Bild von p : (a, b) → R2 ist eine Kurve, rang p0 (u) = 1, d.h. p0 (u) 6= 0, u ∈ (a, b) (Kurve)

Definition 6.2 ¨ Eine Aquivalenzklasse bestehend aus regul¨aren Abbildung p : G → Rm heißt offene regul¨are Hyperfl¨ache in Rm , F = [p]. Beispiel: (Kugeloberfl¨ache) Sei r > 0 und p : (0, 2π) × (0, π) → R3     r cos(ϕ) sin(θ) ϕ 7→  r sin(ϕ) sin(θ)  θ r cos(θ)

79



 −r sinϕsinθ r cosϕcosθ p0 (ϕ, θ) =  r cosϕsinθ r sinϕcosθ  0 −sinθ ⇒ p0 (ϕ, θ) = 2

Definition 6.3 Sei p : G → Rm , G ⊂ Rm−1 , m ≥ 2, offen & zshgd eine regul¨are Abb., F = [p]. F¨ ur u ∈ G heißt  ∂   ∂   ∂x1 p1 (u)  ∂xm−1 p1 (u) .. ..    Ep(u) := span  , ... , .  ∂ .  ∂ ∂x1 pm (u)

∂xm−1 pm (u)

80 Tangentialebene am Punkt p(u) ∈ F Bemerkung: •span wird gebildet u ¨ber die Spalten von p0 (u) die Vektoren sind lin. unabh. (rang p0 (u) = m − 1) und spannen m-1 dim. UR auf. x(t) := p(u1 , ... , uk + t, ... , um−1 ), t ∈ (−ε, ε)  ∂

p (u) ∂xk 1

x(0) ˙ =

∂ p(u1 , ... ∂t

 , uk + t, ... , um−1 )|t=0 = 



 ..  . ∂ p (u) ∂xk m

Wunsch: Normalenvektor auf F bestimmen! Erg¨anze dazu p0 (u) : Rm−1 → Rm zu einer m × m Matrix mit der letzten Spalte = j-te Spalte:  2 gl. Spalten

 0 = det 

∂p1 ∂x1 (u)

···

∂p1 ∂xm−1 (u)

∂p1 ∂xj (u)

.. .

.. .

∂pm ∂xm−1 (u)

∂pm ∂xj (u)

.. . ∂pm ∂x1 (u)

  Wobei Sk (u) = 

··· ∂p1 ∂x1 (u)

∂p1 ∂xm−1 (u)

···

.. .

.. .

∂pm ∂x1 (u)

∂pm ∂xm−1 (u)

···

 m  P ∂pk = (u)(−1)det Sk (u)  ∂xj k=1

   ” = ”p0 (u) ohne k-te Zeile

Also insgesamt m P ∂pk 0= (u)(−1)m+k det Sk (u), j ∈ {1, ... , m − 1} ∂xj k=1

Definition 6.4 F sei regul¨are Fl¨ache mit p : G → Rm regul¨ar. Setze Bk (u) := (−1)m+k det Sk (u),k = 1, ... , m   Dann heißt N (p(u)) :=

B1 (u)  ...

 ∈ Rm Normalenvektor auf die

Bm (u)

Tangentialebene Ep(u) am Punkt p(u) ∈ F .   Bemerkung: Es gilt f¨ ur 

∂p1 ∂xj (u)

.. . ∂pm ∂xj (u)

   ∈ Ep(u) , j ∈ {1, ... , m − 1} :

81    + * ∂p1 (u) B1 (u) ∂xj m m P P  ..   ..  ∂pk ∂pk = (u)B (m) = (u)(−1)m+k det Sk (u)  . , k . ∂xj ∂xj ∂pm ∂xj (u)

k=1

Bm (u)

k=1

= 0, j ∈ {1, ... , m − 1}. •m = 3 B1 (u) B2 (u) B3 (u)

N (p(u)) =

=

∂1 p1 ∂1 p2 ∂1 p3

! ×

p0 (x1 , x2 ) =

!

∂2 p1 ∂2 p2 ∂2 p3 ∂1 p1 ∂1 p2 ∂1 p3

=

det S1 (u) −det S2 (u) det S3 (u)

! =

∂1 p2 ∂2 p3 − ∂1 p3 ∂2 p2 −∂1 p1 ∂2 p3 + ∂1 p3 ∂2 p1 ∂1 p1 ∂2 p2 − ∂1 p2 ∂2 p1

!

!

∂2 p1 ∂2 p2 ∂2 p3

!

6.2 Fl¨ acheninhalt - Integrale u ¨ ber Fl¨ achen Motivation:    (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) |p(Ri )| ≈ p(u1 + h, u2 ) − p(u1 , u2 ) × p(u1 , u2 + k) − p(u1 , u2 )     0 (i) (i) h (i) 0 0 (i) ≈ p (u1 , u2 ) 0 × p (u1 , u2 ) k     (i) (i) ∂ p (u(i) , u(i) ) ∂ p (u , u ) 1 1 ∂u1 1 2 1 2 ∂u    2  .. .. =  ×   | |h · k| = |R| . . ∂ (i) (i) (i) (i) ∂ ∂u p3 (u1 , u2 ) ∂u2 p3 (u1 , u2 ) 1 (i) (i) = N (p(u1 , u2 ) |Ri | P P (i) (i) ⇒ |F | = |p(R)| = N (p(u1 , u2 |R| ´ Verfeinerung f¨ uhrt zu: |F | = |N (p(u))|du R

82 Regul¨are Darstellungen sind oft nicht allgemein genug(Kugeloberfl¨ache!)

Definition 6.5 ◦

Sei M ⊂ Rm−1 kompakt und ∂M Nullmenge, M sei zusammenh¨angend und p : M → Rm sei stetig diffbar. Dann heißt p quasiregul¨ar, falls p  ◦ regul¨ar ist(siehe Def 6.1). M

¨ Bemerkung Auch hier Aquivalenzklassen(quasiregul¨ are Hyperfl¨achenst¨ ucke) erkl¨art werden: p : M1 → Rm , pe : M2 → Rm quasiregul¨ar heißen a¨quivalent, falls: ∃Nullmengen N1 , N2 : N1 ⊂ M1 , N2 ⊂ M2 und Abb.: h : M1 → M2 ,k : M2 → M1 stetig diffbar. (i) h M1 \N1 injektiv und det h0 6= 0 auf M1 \ N1 (ii) k M2 \N2 injektiv und det k 0 6= 0 auf M2 \ N2
−1 (iii) h M1 \N1 = k M2 \N2 (iv) h(M1 ) = M2 und k(M2 ) = M1 (v) p(k(v) = pe(v) und pe(h(u)) = p(u) ∀v ∈ M2 , u ∈ M1

83 Definition 6.6 Sei F ein quasiregul¨ares Hyperfl¨achenst¨ uck in Rm , p : M → Rm zugeh¨orige Darstellung, und Bi (u) := (−1)m+i det Si (u), wobei Si (u)” = ”p0 (u) ohne i-te Zeile. Dann ist der Fl¨acheninhalt |F | von F definiert durch ´ ´p 2 2 (u) du B1 (u) + ... + Bm |F | := do := F

M

Bemerkung: |F | unabh¨angig in der Wahl der Quasiregul¨aren Darstellung! f → Rm sei eine weitere (zu p a¨quivalente) quasireg. Angenommen pe : M Darstellung von F . Sej seien die entsprechendne ”Streichmatrizen”, fj = (−1)m+j det Sej . Wegen p0 (u) = (e B p ◦ h)0 (u) = pe0 (h(u)) · h0 (u) gilt h i fi (h(u))det h0 (u) und daher Bi (u) = (−1)m+i det Si (u) = (−1)m+i det Sei (h(u)) · h0 (u) = B q q q ´ ´ P f2 P f2 P ^ Satz 5.19(!) ´ Bi (v) dv := Bi (v)dv = Bi2 (h(u))|det h0 (u)| du f M

=

M

h(M )

rm ´ P M

Bi2 (u) du

i=1

Beispiel: (Kugeloberfl¨ache), r > 0 fest. p : [0, 2π] × [0, π] → R3     r cosϕsinθ ϕ 7→ r sinϕcosθ  Hoffnung: |F | = 4πr2 θ r sinθ

1. p ist quasiregul¨are Darstellung der Kugeloberfl¨ache 2.  Normalenvektor:  





2



−r2 cosϕsin θ −r cosϕsinθ r cosϕsinθ 2 2  r sinϕcosθ  × r sinϕcosθ  =   −r sinϕsin θ 2 2 2 −r sinϕcosθ − r cos ϕsinθcosθ r sinθ −r sinθ
= r4 cos2 ϕ + sin2 ϕ sin4 θ + r4 sin2 θcos2 θ q
= r2 sin2 θ sin2 θ + cos2 θ = r2 sinθ Also ist ´ [0,2π]×[0,π]

r2 sinθ d(ϕ, θ) = r2

´π 2π ´

sinθ dϕdθ

0 0

´π = r2 2π sinθdθ = r2 2π2 = 4πr2 0

84 Definition 6.7 Sei F ⊂ Rm quasiregul¨ares Hyperfl¨achenst¨ uck p : M → Rm quasireg. Darstellung und f : F → R stetig. Dann heißt p ´ ´ 2 (u)du f (x)do := f (p(u)) B12 (u) + ... + Bm F

M

Oberfl¨achenintegral von f u ¨ber F . Beispiel: Sei 0 < r < R und f : {x ∈ Rm : r ≤ kxk ≤ R} → R stetig. ´

Dann gilt:

f (x)dx =

´R ´

f (x)dods

r kxk=s

r≤kxk≤R

6.3 Orientierte Fl¨ achen, Fluss von Vektorfeldern 3

3

⊂R2

3

Sei F ⊂ R Fl¨achenst¨ uck und g : R → R ein Vektorfeld, p : R → R3 Darstellung von F mit Normalenvektor(normiert!) 

B1 (u)





  B2 (u) 

n(p(u)) =

B3 (u)

=

k·k

* (i) (i) g(p(u1 , u2 )),



∂1 p1





∂2 p1

(i) p(u1

∂1 p3

∂2 p3

k·k

+

(i) h, u2 )



(i) (i) − p(u1 , u2 )  

(i) (i) ≈p0 (u1 ,u2 )

* (i)

≈ =

(i)

g(p(u1 , u2 ) , D



    ∂1 p2 (u)×∂2 p2 (u)

∂1 p1 ∂1 p2 ∂1 p2

h 0

(i) (i) p(u1 , u2

+ k) (i)

(i)

(u1 , u2 ) ×



(i) (i) − p(u1 , u2 )  

(i)

0 k

≈p0 (u1 ,u2 )



! (i)

×



∂2 p1 ∂2 p2 ∂2 p3

!



+ (i)

(i)

(u1 , u2 ) |h · k| = |Ri |

E (i) (i) (i) (i) g(p(u1 , u2 ) ), n(p(u1 , u2 )) |Ri |

Summen bilden R kleiner werden lassen ´ ” hg(x), n(x)ido” Fluss des Feldes g durch F . F

Problem: Normalenvektor kann nach ”innen” oder nach ”außen” zeigen. Definition 6.8 Es sei F ein quasiregul¨ares Hyperfl¨achenst¨ uck. p : M → Rm eine Darstellung von F . Dann heißt F orientierbar falls es ein   ◦ stetiges Normalenfeld n(·) auf p(u) : u ∈ M ⊂ F gibt.

+

85

Standardbeispiel f¨ ur nicht orientierbare Hyperfl¨ache: M¨obiusband:

http://www.scienceblogs.de/mathlog/Moebiusband wikipedia.png

Definition 6.9 Sei F ein orientierbares quasiregul¨ares Hyperfl¨achenst¨ uck mit normiertem Normalenfeld n(·) und quasiregul¨arer Darstellung p : M → Rm , M ⊂ Rm−1 kompakt. Sei Ω offene Menge im Rm mit F ⊂ Ω und g : Ω → R ein Vektorfeld. Dann heißt p ´ ´ hg(x), n(x)ido = hg(p(u)), n(p(u))i B12 (u) + ... + Bn2 (u)du F

M

der Fluss des Feldes g durch das Fl¨achenst¨ uck F . Achtung: Vorzeichen h¨angt von p bzw. der Wahl des Normalenfeldes ab. Man misst den Fluss ”rein” oder ”raus”.

86

Kapitel 7 Integrals¨ atze 7.1 Divergenz und der Satz von Gauß n o ◦ ◦ ◦ Es sei x ∈ R3 , h > 0 und Qn (x) = x ∈ R3 : |xi − xi | ≤ h, i = 1, 2, 3 ◦

◦

ein W¨ urfel mit Mittelpunkt x und Kantenl¨ange 2h. Der Rand ∂Qn (x) ist die vereinigung von 6 quasiregul¨aren Fl¨achenst¨ ucken mit nach Außen weisenden Normalenvektoren.

n o ◦ (1) F± : M1 = (x1 , x2 ) ∈ R2 : |x1 − xi | ≤ h, i = 1, 2 → R3       x1 0 x1 (1)    x 0  7→ , n± (x) = 2 x2 ◦ ±1 x3 ±h n o ◦ (2) F± : M2 = (x2 , x3 ) ∈ R2 : |x1 − xi | ≤ h, i = 2, 3 → R3 ◦      ±1 x ±h 1 x2 (2) 7→  x2  , n± (x) =  0  x3 0 x3 n o ◦ (3) F± : M3 = (x1 , x3 ) ∈ R2 : |x1 − xi | ≤ h, i = 1, 3 → R3       x1 0 x1 (3) 7→ x◦2 ±h  , n± (x) = ±1  x3 x3

0

Nun sei g ein Vektorfeld im R3 . Dann ist der Fluss von g durch ◦

∂Qh (x) gegeben durch:

87 ´

hg(x), n(x)ido =

∂Qh (x)

=

◦

< g(x1 , x2 , x3 + h,

´

´ D



 E D E ´ (i) (i) g(x), n+ (x) do + g(x), h− (x) do

(i)

(i)

F+

0 0 1

M1

=



i=1

◦

´

3 P

!

F−

√

>



´



0 ´ ´ ´ ◦ 0 + 0 + 1d(x1 , x2 ) + < g(x1 , x2 , x3 − h),  0  >d(x1 , x2 ) + + + M2 M2 M M1 −1

◦

◦

(g3 (x1 , x2 , x3 + h) − g3 (x1 , x2 , x3 − h)d(x1 , x2 ) +

M1

´

... +

M2

´

...

(I)

M3

Nun ist aber ◦

g3 (x1 , x2 , x3 ± h) = (I) =

´ M1

◦ ◦ ◦ g3 (x1 , x2 , x3 )

+

◦ ◦ ◦ g3 (x1 , x2 , x3 ) 0

x1 − x1 ◦ x2 − x2 ◦ x3 − x3

!



+ r(x)

◦

x1 − x1 ◦ x2 − x2 ±h

!



 ◦ ◦ ◦ 2h ∂x∂ 3 g3 (x1 , x2 , x3 ) + o(h) d(x1 , x2 ) + ...



 ◦ ◦ ◦ = 2h ∂x∂ 3 g3 (x1 , x2 , x3 ) + o(h) (2h)2 + ...   ◦ ◦ ◦ ◦ o(h) ∂ = ∂x3 g3 (x1 , x2 , x3 ) + 2h Vol(Qh (x)) + ... =

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ∂ ∂ ∂x1 g1 (x1 , x2 , x3 ) + ∂x2 g2 (x1 , x2 , x3 ) ´ hg(x),n(x)ido 3 ◦ P ◦ ∂Qh (x) ∂ gi (x) = lim ◦ ∂x i Vol(Qh (x) h→0 i=1



⇒

+

◦ ◦ ◦ ∂ ∂x3 g3 (x1 , x2 , x3 )

◦

Fluss von g durch ∂Qh (x)) ist proportional zu



3 P i=1

◦

◦ ∂ g (x) ∂xi i

Definition 7.1 Sei G ⊂ Rm , m > 1, offen und zusammenh¨angend und g : G → Rm stetig differenzierbar. Dann heißt m P ∂ div(g) : G → R,x 7→ g (x) ∂xi i i=1

Divergenz(Quellendichte) des Vektorfeldes g.

Bemerkung: ist div(g(x)) > 0, ”so fließt aus x das Feld raus”(Quelle) Ist div(g(x)) < 0, ”so fließt das Feld in x rein”(Senke)

◦

Vol(Qh (x)) + 3 o(h) 2h Vol(Qh (x))

88

Satz 7.2 (Satz von Gauß f¨ ur W¨ urfel) Es sei Q ein W¨ urfel im R3 (mit nach außen weisendem Normalenfeld) und g : R3 ⊃ Ω → R3 stetig diffbar, Q ⊂ Ω. Dann gilt: ´

´ hg(s), n(s)ido = div(g(x))dx Q

∂Q

div(g(x)) =

∂ g (x) ∂x1 1

+

∂ g (x) ∂x2 2

+

∂ g (x) ∂x3 3

Ω→R ◦

urfels Q mit Kantenl¨ange 2h, h > 0, Beweis: Sei x der Mittelpunkt des W¨ n o ◦ d.h. Q = x ∈ R3 : |xi − xi | ≤ h, i = 1, 2, 3 Setze dann ◦

(1)

F± : M1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : |xi − xi | ≤ h, i = 1, 2}   !   0 x1 x1 (i)  x 0  7→ , u± (x) = 2 x2

◦

±1

x3 ± h

◦

(2)

F± : M2 = {(x2 , x3 ) ∈ R2 : |xi − xi | ≤ h, i = 2, 3} → R3   ! ◦   ±1 x ± h 1 x2 (2)  0  7→ , n± (x) = x2 x3

0

x3

n o ◦ (3) 2 F± : M3 = (x1 , x3 ) ∈ R : |x1 − xi | ≤ h, i = 1, 3 → R3       x1 0 x1 (3) 7→ x◦2 ±h  , n± (x) = ±1  x3 0

x3

´ Q

Fubini ∂ g (x)dx = ∂x1 1

Hauptsatz 1−dim.

=

´



´

 M2



◦

x1´+h ◦ x1 −h

∂ g (x , x2 , x3 )dx1  d(x2 , x3 ) ∂x1 1 1

 ◦ ◦ g1 (x1 + h, x2 , x3 ) − g1 (x1 − h.x2 , x3 ) d(x2 , x3 )

M2

= =

´

< M2 ´ D (2) F+

◦ g1 (x1

  1 + h, x2 , x3 ), 0 0

E

(2) g(x), n+ (x)

do

√

> 1 + 0 + 0d(x2 , x3 ) +

´ M2



<

◦ g1 (x1

 −1 − h.x2 , x3 ) ,  0  0

p

> (−1)2 + 0 + 0d(x2 , x3 )

89

Analog zeigt man: E E ´ D ´ D ´ ∂ (3) (3) g (x)dx = ... = g(x), n (x) do + g(x), n (x) do + − ∂x2 2 Q

´ Q

(3)

(3)

F+ ∂ g (x)dx ∂x3 3

= ... =

´ D

F− (1) g(x), n+ (x)

E

´ D

do +

(1)

F+

(1) g(x), n− (x)

E

do

(1)

F−

Summieren: E E 3 ´ D ´ ´ D P (i) (i) div(g(x))dx = g(x), n+ (x) do + g(x), n− (x) do Q

=

i=1

´

(i)

F+

(i)

F−

hg(x), n(x)ido

∂Q

 W¨ urfel sind leider zu speziell

Definition 7.3 Sei m ≥ 2 und G ⊂ Rm beschr¨ankt, offen und zusammenh¨angend. Dann heißt G zul¨assiges Gebiet, falls ∂G sich aus endlich vielen orientierten, quasiregul¨aren Hyperfl¨achenst¨ ucken, dessen Normalenfelder ¨ ins Außere von G weisen, zusammensetzt. D.h. ∃N ∈ N, p(j) : Mj → Rm , Mj ⊂ Rm−1 , quasiregul¨ar, j = 1, ... , N , N ◦ ◦  S so dass mit Sj := p(j) (u) : u ∈ Mj gilt: ∂G = Sj , Sj ∩ Sk , k 6= j und j=1 ◦

∀x ∈ Sj ∃ε > 0 : x + tn(j) (x) ∈ / G,t ∈ (0, ε)

90

Bemerkung: F¨ ur ein zul¨assiges Gebiet setzt man N ´ ´ P (g(x), n(j) (x))do (g(x), n(x))do = j=1 Sj

∂G

Satz 7.4 (Satz von Gauß) Sei m ≥ 2, G ⊂ Rm ein zul¨assiges Gebiet und g : G → R stetig diffbar. ´ ´ Dann gilt: hg(x), n(x)ido = div(g(x))dx G

∂G

Bemerkung: (1) Der Fluß des Feldes durch den nach außen orientierten Rand von G ist gleich dem Integral der Divergenz des Feldes u ¨ber g. (2) m = 1 Dann ist formal G = (a, b), ∂G = {a, b}. g : [a, b] → R ´b ´ ´ stetig diffbar. g 0 (x)dx = div(g(x))dx = hg(x), n(x)ido = g(b) − g(a) a

G

∂G

In diesem Sinne ist der Satz von Gauß das multidimensionale Substitut des Hauptsatzes der Differential und Integralrechnung(Ana 1). Beweis Satz 7.4: Hilfssatz 1: Sei G ⊂ Rn beschr¨anktes Gebiet(offen uns zshgd.) und g : G → Rm stetig diffbar mit supp(g) ⊂ G.

91 

 ´ supp(g) = {x ∈ G : g(x) 6= 0} Dann gilt : div(g(x))dx = 0 G

Beweis HS1: Sei a > 0 so dass G ⊂ Q{x ∈ Rm : |xj | < a, J = 1, ... , m} und setze g auf ganz Q durch 0 fort, dann ist g : Q → Rm stetig diffbar. m ´ ´ ´ P ∂ Es gilt: div(g(x))dx = div(g(x))dx = g (x)dx ∂xj j G

=

a ´

´

j=1 |xj |
=

j=1 Q

Q

m P

´

m P

−a

∂ g (x1 , ... ∂xj j

 , xj , ... , xm )dxj d(x1 , ... , xj−1 , xj+1 , ... , xm )

(gj (x1 , ... , xj−1 , a, xj+1 , ... , xm ) − gj (x1 , ... , xj−1 , −a, xj+1 , ... , xm ))d(x1 , ... , xm )

j=1 |xj |
= 0, da (x1 , ... , xj−1 , ±a, xj+1 , ... , xm ) ∈ / supp(g)  Hilfssatz 2: G ⊂ Rm zul¨assiges Gebiet, p(i) : Mi → Rm , Mi ⊂ Rm−1 , Si = p(i) (Mi ), ◦  S N N ◦ S ◦ ∂G = Si und x0 = x1 , ... , xm ∈ Si . Dann ex. ρ rel="nofollow"> 0 so dass f¨ ur i=1

i=1 m

ur kx − x0 k ≥ ρ, x ∈ G gilt: g : G → R stetig diffbar mit g(x) = 0 f¨ ´ ´ div(g(x))dx = hg(s), n(s)ido G

∂G ◦

Beweis HS2: Da Sj lokal Graph einer stetig diffbaren Funktion h ist existieren γ > 0, δ > 0 und n o ◦ W 0 = x0 = (xi , ... , xm−1 ) ∈ Rm−1 , |xj − xj | < γ, j = 1, ... , m − 1 ◦

Q = {x = (x0 , xm ) ∈ Rm : x0 ∈ W 0 , |xm − xm | < δ} und h : W 0 → R stetig diffbar mit Q ∩ ∂G = {x = (x0 , xm ) ∈ Rm : x0 ∈ W 0 , xm = h(x0 )} und Q ∩ G = {x = (x0 , xm ) ∈ Q : xm < h(x0 )}

92

Seo ρ > 0 mit ρ < min{γ, δ}, d.h. Bρ (x0 ) ⊂ Q. ur kx − x0 k ≥ ρ. Sei g : G → Rm stetig diffbar mit g(x) = 0 f¨ ´ ´ Dann gilt div(g(x))dx = div(g(x))dx G

G∩Q 0

Sei nun f¨ ur x ∈ W 0 , xm ∈ R. y = (y1 , ... , ym ) = φ(x1 , ... , xm ) := (x1 , ... , xm−1 , h(x0 ) − xm ), ◦ x0 = (x1 , ... , xm−1 ). Da h(x0 ) − xm < δ, x0 ∈ W 0 , folgt  φ(Q ∩ G) ⊂ y = (y 0 , ym ) ∈ Rm , y 0 ∈ W 0 , 0 ≤ ym ≤ 2δ =: P

Die Umkehrabb. von φ ist: x = ψ(y) = ψ(y1 , ... , ym ) := (y1 , ... , ym−1 , h(y 0 ) − ym ) Es gilt Q ∩ G ⊂ ψ(P ), das Vektorfeld g ist identisch Null auf ψ(P ) \ Bρ (x). Es gilt f¨ ur g : ψ(P ) → Rm : g(ψ(y)) = 0, y ∈ ∂P \ {y ∈ P : ym = 0}

93

Betrachte div(g(x)) = div(g(ψ(y)), x = ψ(y). Sei dann ge(y) := g(ψ(y)), y ∈ P . Dann ist g(x) = g(ψ(y)) = ge(y) = ge(φ(x)) = ge(x1 , ... , xm−1 , h(x0 ) − xm ), (x0 , xm ) ∈ ψ(P ). ∂ g (x) ∂xj j 0 0

Um

=

∂ (e g◦ ∂xj 0

φ)j (x) zu berechnen, beachte dass

ge(φ(x)) = ge (φ(x)) · φ (x) = ge0 (φ(x))        

0 ··· 1 0 .. .. . . 0 0 ∂ 0 ∂x1 h(x ) · · · · · · 1 0 .. .

0 ··· .. .

0 0 .. .

     0 

1 0 ∂xm−1 h(x ) −1 ∂

  (φ(x)) + ∂x∂m gej (φ(x)) ∂x∂ j h(x0 ),   0 g ◦ φ)m (x) = − ∂x∂m gf und ∂x∂m gm (x) = ∂x∂m (e m (φ(x)), x = (x , xm ) ∈ ψ(P ). ∂ g (x) kxj j

Also: 



=

∂ (e g◦ ∂xj

∂ g ∂xj j

∂ g ∂xm m





φ)j (x) =

(ψ(y)) =





∂ ge ∂xj j

∂ ge ∂xj j





(y) +



∂ ge ∂xm j



(y) ∂x∂ j h(y 0 )

(ψ(y)) = − ∂x∂m gf m (y)

Dann liefert der Trafosatz ´ ´ ´ div(g(x))dx = div(g(x))dx = div(g(x))dx G

G∩Q

TS

=

´

ψ(P )

div(g(ψ(y)) |detψ 0 (y)|dy =

m−1 P

´

j=1 P

P

∂ ge (y) ∂xj j

+

∂ h(y 0 )dy ∂xj

−

´ P

∂ gf (y)dy ∂xm m

= ... ´ P

∂ ge (y)dy ∂xj j

´

ˆ

 ∂ = d(y1 , ... , ym ), y j nicht dabei gej (y1 , ... , yj , ... ym )dyj ∂xj ... | {z } ◦ ◦ ge (y , ... , yj−1 , xj − γ, yj+1 , ... , ym ) − gj (... , xj + γ, ...) |j 1 {z } | {z } =0

♥ ⇐⇒ g(ψ(y)) = 0, y ∈ ∂P \ {y ∈ P : ym = 0} 2δ  ´ ∂ ´ ∂ ´ ∂ ∂ 0 0 ge (y) ∂xj h(y )dy = ∂xj h(y ) ge (y)dym dy0 ∂xm j ∂xm j 0 P W0 ! ´ = ∂x∂ j h(y 0 ) gej (y 0 , 2δ) − gej (y 0 , 0) dy0 W0

und analog

=0 wegen ♥

♥

=0

94 ´ P

∂ gf (y)dy ∂xm m

´ 0 0 = − gf m (y , 0)dy W0





´ m−1 P  gj (ψ(x0 , 0)) ∂x∂ j h(x0 ) − gm (ψ(x0 , 0))dx0  | {z } | {z } j=1 W0

y 0 =x0

= −

(x0 ,h(x0 ))

(x0 ,h(x0 ))



=

+

*

´ W0

=

∂ h(x0 ) − ∂x 1 ..  . g(x0 , h(x0 )),  − ∂ h(x0 ) ∂xm−1 1



´

  

dx0

(g(x), n(x))do

Q∩∂G

 Der Normalenvektor auf ∂G in einer Umgebung von x0 ist durch ∂ − ∂x h(x0 ) 1   ..  .   − ∂ h(x0 )  ∂xm−1 1



       

k.k

Bemerkung: Parametrisierung: (x1 , ... , xm−1 ) 7→ (x1 , ... , xm−1 , h(x0 ))   1

 p0 =  

..

.

∂1 h(x0 ) · · ·

1 ∂m−1 h(x0 )

  

Hilfssatz 3: (Zerlegung der Eins) S ¨ Sei K ⊂ Rm kompakt und Vj offen Uberdeckung von K. j∈J

Dann ex. n ∈ N,j1 , ... , jn ∈ J, φk ∈ C0∞ (Rm ) mit C0∞ (Rm ) := {f : Rm → R, ∞ − mal stetig diffbar, supp(f ) kompakt} n S (i) Vjk ⊃ K k=1

(ii) suppφk ⊃ Vjk (iii) 0 ≤ φk (x) ≤ 1, x ∈ K n P ¨ von K) (iv) φk (x) = 1 = 1, ∀x ∈ K(und sogar offener Ub k=1

Hilfssatz 4: Seien ∂Si = p(i) (∂Mi ) und K =

N S

∂Si due

i=1

95 Kantenmenge von G. Sei V ⊂ Rm offen, K ⊂ V und g : G → Rm ein Vektorfeld mit g(x) = 0, x ∈ V . Dann gilt ´ ´ div(g(x))dx = hg(x), n(x)ido G

∂G

Beweis: N S

Sei x ∈

◦  Si und betrachte Mx := δ ∈ (0, 12 dist(x, K)) : Satz von Gau ß gilt f u¨r g : G → Rm mit g(y) = 0

i=1

Aus Hilfssatz 2 folgt: Mx 6= φ. Sei δ(x) = 21 sup Mx so dass insbesondere N ◦ S δ(x) ∈ Mx , x ∈ Si i=1

F¨ ur x ∈ G setze δ(x) := 21 dist(x, ∂G). Dann ist

S

Bδ(x) (x) ⊃ G \ V .

x∈G\V

¨ Zerlegung der Eins auf diese Uberdeckung anwenden liefert: n S Bδ(xk ) (xk ) ∃n ∈ N, x1 , ... , xn ∈ G \ V und φk ∈ C0∞ (Rm ) mit G \ V ⊂ k=1

supp φk ⊂ Bδ(xk ) (xk ).

n P

φk (x) = 1, x ∈ G \ V

k=1

Sei dann g : G → Rm stetig diffbar mit g(x) = 0,x ∈ V .   n n P P (φk · g)x, x ∈ G \ V φk (x) g(x) = Dann gilt g(x) = k=1

k=1

Es gilt: (i) F¨ ur xk ∈ G gilt φk g erf¨ ullt die Voraussetzung aus HS 1. (ii) F¨ ur xk ∈ ∂G gilt ———————”——————————-HS 2. ˆ

n n ´ ´ P P div(g(x))dx = div( (φk g)(x))dx = div(φk g)(x)dx

Daher gilt |G

G

=

´

{z

k=1

k=1 G

}

div(g(x))dx

G\V

=

n ´ P

h(φk g)(x), n(x)ido =

k=1∂G

´

hg(x), n(x)ido

∂G

 Beweis des Satzes von Gauß: N N S S Da die Kantenmenge K = ∂Si = p(i) (∂Mi ) eine Nullmenge im i=1 m

i=1

R ist, ex. zu ε > 0, xe1 , ... , x fn ∈ K, ρ1 , ... , ρn > 0, so dass n n S P K ⊂ Bρi (xei ) und ρm−1 <ε 4 j i=1

j=1

96 W¨ahle φ ∈ C ∞ (Rm ) mit 0 ≤ φ(x) ≤ 1, x ∈ Rm und  0 f¨ ur kxk ≤ 1 φ(x) = 1 f¨ ur kxk ≥ 2  n  Q x−f x und setze ψε (x) := φ ρj j j=1  n S   0 x ∈ Bρj (xej )  j=1 Dann ist ψε = n S  m  1 x ∈ R \ B2ρj (xej ) j=1

und es gilt ψε (x) → 1, ε → 0 f¨ ur alle x ∈ G \ K. n S Sei Vε := Bρj (xej ). Dann ist Vε offen, K ⊂ Vε und j=1

gε := ψε · g erf¨ ullt die Voraussetzung von Hilfssatz 4. ´ ⇒ div (gε (x))dx

´

=

G

´

↓

Wunsch

´

ε→0

div(g(x))dx

G

n P j=1

n  P j=1

= ψε (x)div(g(x)) +

=

hg(x), n(x)ido

∂ ψ (x) ∂xi ε

n P k=1

∂ (ψε g)j (x) ∂xj

=

n P j=1

∂ (ψε gj )(x) ∂xj

 ψε (x) ∂x∂ j gj (x) + gj (x) ∂x∂ j ψε (x) *

Da

↓

∂G

div(gε (x)) = div(ψε g)(x) = =

hgε (x), n(x)i do

∂G

=

∂ ∂xi



g(x), 

∂ ∂x1 ψε (x)

+

.. . ∂ ∂xj ψε (x)

 n  Q x−f xj φ ρj =

j=1

 

∂ φ ∂xi

x−f xj ρj

Terme von Q Produktregel n  x−f xj φ ρj +... j=2

  n      x−f xj x−f xk Q x−f xk ∂ 1 ∂ φ φ = φ ∂xi ρk ρj ∂xi ρk ρk j=1 j6=k

und wegen

∂ φ(x) ∂xi

= 0, kxk fest

∂ ψ (x) ∂xi ε

= 0, kx − xek k > 2ρk

Daher dann:

* ist 

 ∂ +  ∂ *

∂x1 ψε (x) + ∂x1 ψε (x)

´

´ .. ..

g(x), 

dx    dxk ≤ kg(x)k, . .

G ∂

G

∂ ψε (x) ∂xj ψε (x) ∂xj

  

x−f xk ∂ φ

1 ρk n

  ´ P . 1  k · 1 dx . ≤ supkg(x)k . ρk     x∈G kx−f xk k≤2ρk k=1 x−f xk

∂n φ ρk

97

≤ supkg(x)k sup grad(φ(y)) x∈G

kyk≤2

´

n P

ˆ

Wegen 4 1 dx ≤ e cε ρk k=1 kxk −f xk k≤2ρk | {z } =ck ρm−1 k

´

´ ⇒ div(g(x))dx = lim ψε (x)div(g(x))dx = lim ψε (x)div(g(x))dx ε→0 G G G ε→0   +  * ∂1 ψε (x) ´ ´  dx = lim  div(gε (x))dx − g(x),  ... ε→0

= lim

´

G

G

∂n ψε (x)

div(gε (x))dx ´ = lim hgε (x), n(x)ido HS 4 ε→0 ∂G ´ ´ = lim h(ψε g)(x), n(x)ido = hg(x), n(x)ido ε→0 G

ε→0

∂G

∂G



7.2 Stokescher Satz im R2 und R3 Sei g ein Vektorfeld im R2 und C sei eine regul¨are Kurve mit Parametrisierung α : [a, b] → R2 . Dann ist das vektorielle Kurvenintegral E ´ ´b D · g · dx = g(α(t)), α(t) dt und die Rotation von g sei erkl¨art durch C

a

(rot(g))(x) :=

∂ g (x) ∂x1 2

−

∂ g (x) ∂x2 1

(vgl. Def 4.11)

(Maß f¨ ur die Wirbeldiche von g)

Satz 7.5(Satz von Stokes im R2 ) Sei g ein zul¨assiges gebiet im R2 und g : G → R2 stetig diffbar. ´ ´ Dann gilt: rot(g(x))dx = g · dx G

∂G

(Durchlaufsinn von ∂G mathematisch positiv) Beweis: ∂G setzt sich zusammen aus endlich vielen regul¨aren Kurven cj mit Parametrisierung α(j) : [aj , bj ] → R2 .   ˙ (j)  α2 (t)      ˙ (j) − α (t) 1 (j) (j) Dann ist n (α (t)) := , j = 1, ... , N k−−−k

98 (Damit das Gebiet ”links” liegt)   g2 (x) Mit ge(x) = folgt dann: −g 1 (x) ´ ´ ´ rot g(x)dx = ∂x∂ 1 g2 (x) − ∂x∂ 2 g1 (x)dx = div ge(x)dx G

=

G

´

he g (x), n(x)ido =

´

j=1 cj

∂G

=

G

N P

bj

N ´ P j=1 aj

 ge(x), n(j) (x) do



(j)

˙ ge(α (t)), n (α (t)) α (t) dt (j)

(j)

(j)

!+  ˙ (j) g2 (α(j) (t)) α2 (t) = , dt ˙ (j) −g 1 (α(j) (t)) j=1 aj α1 (t) N ´ ´ P = g · dx = g · dx bj N ´ P

*

j=1 cj

∂G

 Ein orientiertes quasiregul¨ares Fl¨achenst¨ uck in R3 heißt zul¨assig, falls ein zul¨assiges Gebiet M ◦ ⊂ R2 existiert, M := M ◦ und quasiregul¨arer Darstellung p : M → R3 mit p(M ◦ ) = F ◦ Es sei ∂M der orientierte Rand von M (so dass M links liegt), n S ∂M = Kj regul¨are Kurven mit regul¨arer Darstellung α(j) . j=1

Dann ist t 7→ p(α(j) (t)) Kurve in R3 und p(K1 ) ∪ ... ∪ p(Kn ) =: ∂F ∂F heißt orientierter Rand von F . Beispiel: M ◦ := (0, π) × (0, 2π)     r cosϕcosθ θ 7→  r sinϕsinθ  ϕ r cosθ

Satz 7.6 (Satz von Stokes im R3 ) Es sei F ein zl¨assiges orientiertes Fl¨achenst¨ uck im R3 mit Normalenfeld n(.), Ω ⊂ R3 sei ein Gebiet mit F ⊂ Ω und g : Ω → R3 strtig diffbar. Dann gilt ´ ´ h(rot(g))(x), n(x)ido = g · dx F

∂F

99

Korollar 7.7 Sind F und Fe zul¨assige Fl¨achenst¨ ucke mit ∂F = ∂ Fe so gilt: ´ ´ h(rot(g))(x), n(x)ido = h(rot(g))(x), n e(x)ido F

Fe