An1 Matematici Pentru Ti

RODICA TRANDAFIR AURORA BACIU

I. DUDA (coordonator) RODICA IOAN

MATEMATICI PENTRU ECONOMIŞTI Volumul 1

© Editura Fundaţiei România de Mâine, 2001 ISBN 973-582-336-5 2

UNIVERSITATEA SPIRU HARET Facultatea de Management Financiar-Contabil Facultatea de Marketing şi Comerţ Exterior RODICA TRANDAFIR

I. DUDA (coordonator)

AURORA BACIU

RODICA IOAN

MATEMATICI PENTRU ECONOMIŞTI Volumul 1

EDITURA FUNDAŢIEI ROMÂNIA DE MÂINE Bucureşti, 2001 3

4

CUPRINS 1. Elemente de algebră liniară (AURORA BACIU) …………... 1.1. Sisteme de ecuaţii liniare …………………………………. 1.2. Sisteme de inecuaţii liniare ……………………………….. 1.3. Spaţii vectoriale …………………………………………... 1.4. Spaţii euclidiene ………………………………………….. 1.5. Aplicaţii liniare …………………………………………… 1.6. Valori proprii şi vectori proprii asociaţi unei aplicaţii liniare …. 1.7. Forme liniare. Forme pătratice …………………………… 1.8. Reducerea unei forme pătratice la forma canonică ……….

7 7 11 14 20 23 25 31 35

2. Programare liniară (RODICA TRANDAFIR) ……………… 2.1. Introducere ………………………………………………... 2.2. Forma generală a problemei de programare liniară ………. 2.3. Soluţiile problemei de programare liniară ……………….. 2.4. Metoda simplex de rezolvare a unui program liniar standard … 2.5. Metoda bazei artificiale …………………………………... 2.6. Cazul în care sistemul de restricţii conţine inegalităţi ……. 2.7. Dualitatea în programarea liniară ………………………… 2.8. Aplicaţii în economie …………………………………….. 2.9. Probleme de transport ……………………………………..

49 49 51 53 55 61 66 70 74 77

3. Elemente de teoria grafurilor (RODICA IOAN) …………… 88 3.1. Introducere. Definiţii ……………………………………... 88 3.2. Matrici asociate unui graf. Proprietăţile grafurilor ……….. 92 3.3. Flux maxim într-o reţea de transport ……………………... 111 4. Elemente de analiză matematică (I. DUDA) ……………….. 4.1. Funcţii vectoriale …………………………………………. 4.2. Limite iterate ……………………………………………... 4.3. Continuitatea funcţiilor vectoriale ………………………... 4.4. Continuitatea spaţială …………………………………….. 4.5. Derivate parţiale ………………………………………….. 4.6. Interpretarea economică a derivatelor parţiale …………… 4.7. Diferenţiabilitatea funcţiilor de mai multe variabile ……... 4.8. Derivate parţiale de ordin superior ……………………….. 4.9. Formula lui Taylor ………………………………………...

125 125 130 131 132 133 135 135 140 142 5

4.10. Extremele funcţiilor de mai multe variabile …………….. 4.11. Funcţii implicite ………………………………………… 4.12. Extreme condiţionate legate …………………………….. 4.13. Funcţii omogene de mai multe variabile ………………... 4.14. Funcţii omogene în economie …………………………... 4.15. Ecuaţii diferenţiale ………………………………………. 4.16. Ecuaţii diferenţiale care nu conţin variabile independente … 4.17. Ecuaţii cu variabile separabile ………………………….. 4.18. Ecuaţii omogene ………………………………………… 4.19. Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene ………………….. 4.20. Ecuaţii liniare de ordinul întâi …………………………... 4.21. Unele aplicaţii în economie a ecuaţiilor diferenţiale …….

143 148 149 151 152 153 155 156 156 157 158 159

5. Elemente de matematici financiare (AURORA BACIU) …... 5.1. Dobânda simplă …………………………………………... 5.2. Dobânda compusă ………………………………………... 5.3. Plăţi eşalonate (rente) …………………………………….. 5.4. Împrumuturi ……………………………………………….

163 163 164 169 174

Probleme propuse (elemente de matematici financiare) ……… 184 Bibliografie ……………………………………………………. 187

6

1. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ 1.1. Sisteme de ecuaţii liniare

Un sistem de m-ecuaţii liniare cu n-necunoscute x1, x2. ..., xn, se scriu sub forma:

⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b1 ⎪a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 (1.1.1.) ⎨ . . ⎪. ⎩a m1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = b m unde aij şi bi cu i = 1,2, ..., m şi j = 1,2, ..., n sunt constante reale, n

(1.1.2) ∑ a ij x j = b i

i = 1,2,..., m

j=1

sau sub formă matriceală: (1.1.3.) AX = b, unde: ⎛ a 11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 L ⎜ ⎜a ⎝ m1

a 12 a 22 L a m2

L a 1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ L a 2n ⎟ ⎜x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ X b = = ⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ L L ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ L a mn ⎟⎠ ⎝ n⎠ ⎝ m⎠

Matricea A se numeşte matricea coeficienţilor, b se numeşte matricea termenilor liberi, iar X matricea necunoscutelor. Studiul sistemelor cu m-ecuaţii şi n-necunoscute presupune determinarea unui sistem de valori (numere) care date necunoscutelor să verifice simultan toate ecuaţiile sistemului. Sistemul de ecuaţii pentru care se găseşte un asemenea sistem de numere, sau mai multe asemenea sisteme, care să verifice simultan toate ecuaţiile sistemului se numeşte sistem compatibil unic determinat, respectiv, sistem compatibil nedeterminat. În cazul în care nu există nici un sistem de numere cu această proprietate, sistemul se va numi sistem incompatibil. 7

TEOREMA CRONKER – CAPELLI: Sistemul (1.1.1.) este un sistem compatibil dacă şi numai dacă rangul matricei A este egal cu rangul matricei extinse Ã, unde: ⎛ a 11 ⎜ ⎜a à = ⎜ 21 L ⎜ ⎜a ⎝ m1

a 12

L a 1n

a 22 L

L a 2n L M

a m2

L a mn

b1 ⎞ ⎟ b2 ⎟ L⎟ ⎟ b m ⎟⎠

Dacă rang A = rang à = k = n, numărul necunoscutelor, atunci sistemul (1) este sistem unic determinat. Dacă rang A = rang à = k < n, atunci sistemul (1.1.1.) este sistem compatibil nedeterminat. Studiul sistemelor se poate realiza şi prin metoda eliminării succesive (Metoda lui Gauss), pe lângă alte metode cunoscute din liceu. Metoda lui Gauss constă în transformări elementare succesive ale sistemului într-un sistem echivalent, care va elimina pe rând câte o variabilă din toate ecuaţiile sistemului cu excepţia unei singure ecuaţii în care coeficientul variabilei va fi egal cu unitatea. Dacă a11 ≠ 0, atunci variabila x1 din prima ecuaţie poate avea coeficientul 1 dacă se împarte această ecuaţie prin a11. Elementul a11 se va numi pivot. Prima ecuaţie va deveni: (1.1.4.) x 1 +

a a 12 a b x 2 + 13 x 3 + ... + 1n x n = 1 a 11 a 11 a 11 a 11

Pentru a elimina necunoscuta x1 din ecuaţiile 2, 3, ..., m, ecuaţia (1.1.4.) se înmulţeşte pe rând cu a21, a31, ..., am1 şi se scade din ecuaţia 2, apoi din ecuaţia 3 ş.a.m.d. Se obţine ecuaţiile: ecuaţia 2: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a a a b ⎜⎜ a 22 − 12 a 21 ⎟⎟ x 2 + ⎜⎜ a 23 − 13 a 21 ⎟⎟x 3 + ... + ⎜⎜ a 2n − 1n a 21 ⎟⎟ x n = ⎜⎜ b 2 − 1 a 21 ⎟⎟ a 11 a 11 a 11 a 11 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

................. ecuaţia m: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ a a a b ⎜⎜ a m 2 − 12 a m1 ⎟⎟ x 2 + ⎜⎜ a m3 − 13 a m ⎟⎟ x 3 + ... + ⎜⎜ a mn − 1n a m1 ⎟⎟ x 2 = ⎜⎜ b m − 1 a m1 ⎟⎟ a a a a 11 11 11 11 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Se obţine astfel un sistem echivalent cu sistemul iniţial în care necunoscuta x1 se află doar în prima ecuaţie, cu coeficient unu. 8

⎧ a a b ⎪x 1 + 12 x 2 + ... + 1n x n = 1 a 11 a 11 a 11 ⎪ ⎪ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b a a ⎪⎛ (1.1.5.) ⎨⎜⎜ a 22 − 12 a 21 ⎟⎟ x 2 + ... + ⎜⎜ a 2n − 1n a 21 ⎟⎟ x n = ⎜⎜ b 2 − 1 a 21 ⎟⎟ a 11 a 11 a 11 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎪L ⎪⎛⎜ a − a 12 a ⎞⎟ x + ...⎛⎜ a − a mn a ⎞⎟ x = ⎛⎜ b − b1 a ⎞⎟ m1 ⎟ n m1 ⎟ ⎜ mn a ⎜ m a ⎪⎜⎝ m2 a 11 m1 ⎟⎠ 2 11 11 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

În etapa următoare, dacă x2 are coeficientul nenul în ecuaţia a doua, se va alege acesta pivot şi, prin aceeaşi metodă, se va urmări eliminarea necunoscutei x2 din toate ecuaţiile cu excepţia ecuaţiei doi unde va avea coeficientul unu. Algoritmul va continua până când nu vom mai putea elimina după procedeul de mai sus nici o variabilă. Sistemul (1.1.5.) echivalent cu sistemul (1.1.1.) se poate calcula şi schematic cu ajutorul metodei dreptunghiului. Se scriu coeficienţii tuturor necunoscutelor şi termenii liberi ai sistemului. Calculul unui sistem echivalent se obţin astfel: linia întâi se împarte prin elementul a11 ≠ 0, a11 pivotul se încadrează. Elementele coloanei întâi sunt zero. Celelalte elemente din celelalte linii se calculează formând un dreptunghi ce are ca diagonală segmentul ce uneşte locul elementului de calculat şi pivotul. Noul coeficient va fi egal cu diferenţa dintre produsul coeficienţilor de pe diagonala pivotului şi produsul coeficienţilor de pe cealaltă diagonală, diferenţa care se împarte la pivot. Schematic obţinem: a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ........... am1 am2....amn 1 a'12...a'1n 0 a'22... a'2n ..... 0 a'm2... a'mn

b1 b2 bm b'1 b'2 b'm 9

a 1j

unde: a 1′ j = a ′ij =

j = 1, n

a 11

a 11 a ij − a 1 j a i1 a 11

pentru i = 1, m j = 1, n b ′i =

b i a 11 − a 1i b 1 a 11

pentru i = 2, m b1′ =

b1 a 11

În mod similar, în etapele următoare se obţin sisteme echivalente cu sistemul iniţial. În etapa a n-a se obţine: 1 0 ... 0 1 ... 0 0 0 ... 1

0

(n -1) a 1(,nm−1+)1 ... a 1n

-1) a (2nm−+11) ... a (n 2n

b1(n -1)

-1) b (n 2

-1) n -1) a (mn,−m1+1 ... a (n bm mn

Soluţia sistemului se citeşte: ( n −1) n −1) ⎧⎪x 1 = b 1( n −1) − a 1( m ⋅xn +1 ⋅ x m +1 L a 1n K ⎨ (n -1) ( n −1) ( n −1) ⎪⎩x n = b m − a m m +1 ⋅ x m +1 L a mn ⋅ x n

Dacă m < n şi rang A = rang à = m, sistemul este compatibil nedeterminat. Exemplu. Să se rezolve sistemul: ⎧2 x 1 + 3x 2 + 4x 3 − x 4 = 2 ⎪ ⎨ x 1 + x 2 − 5x 3 + x 4 = 4 ⎪ x − 2x − x − 2x = 2 2 3 4 ⎩ 1

Soluţie: Folosind metoda lui Gauss prezentată mai sus, obţinem: 10

2 1 1 1 0 0 1 0 0

3 1 –2 3/2 – 1/2 1/2 0 1 0

4 –5 –1 2 –7 7 19/2 14 0

–1 1 –2 – 1/2 3/2 – 3/2 –4 –3 0

2 4 2 1 3 –3 10 –6 0

Deoarece în ultimul sistem toate elementele a33, a34, b4 sunt nule, algoritmul nu mai poate continua. Sistemul este compatibil nedeterminat deoarece rang A = rang à = 2 (determinantul maxim nenul ce se poate forma este de ordin 2). Necunoscute principale sunt x1 şi x2. Soluţia sistemului este: ⎧ x1 = 10 − 19 / 2 x3 − 4 x4 ⎪ x = −6 − 14 x + 3x ⎪ 2 3 4 ⎨ ⎪ x3 ∈ R ⎪⎩x 4 ∈ R

1.2. Sisteme de inecuaţii liniare Un sistem de inecuaţii liniare cu n-necunoscute x1, x2, ..., xn se scrie sub forma: (1.2.1.)

⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ⎪ ⎨ a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ⎪a ⎩ m1 x1 + am2 x2 +... + amn xn

< b1 < b2 < bm

unde semnul „<” reprezintă unul din semnele „≤” sau „≥”. Sistemul de inecuaţii care conţine atât inecuaţii cu semnul „≤” cât şi „≥” poate fi adus la un sistem care să conţină numai unul dintre aceste semne prin înmulţirea unor inecuaţii cu (-1). Se poate obţine aşadar una din situaţiile: ⎧a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn ≤ b1 (1.2.2.) ⎪a21 x1 + a22 x2 + ...+ a2n xn ≤ b2 ⎨................ ⎪ ⎩am1 x1 + am2 x2 ... + amn xn ≤ bm sau ⎧ a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn ≥ b1 (1.2.3.)⎪ a21 x1 + a22 x2 + ...+ a2n xn ≥ b2 ⎨ .............. ⎪ ⎩ am1 x1 + am2 x2 +... + amn xn ≤ bm 11

Studiul sistemelor de inecuaţii (1.2.2.) sau (1.2.3.) se reduce la studiul unui sistem de ecuaţii prin adunarea, respectiv scăderea, la fiecare ecuaţie a unei necunoscute auxiliare, pozitive cu rol de egalizare, şi anume: ⎧ a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn + y1 = b1 (1.2.4.) ⎪ a2 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn + y2 = b2 ⎨ .............. ⎪ ⎩ am1 x1 + am2 + ... + amn xn + ym = bm sau ⎧ a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn - y1 = b1 (1.2.5.)⎪ a2 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn - y2 = b2 ⎨ .................. ⎪ ⎩am1 x1 + am2 + ... + amn xn – ym = bm

unde yi ≥ 0 pentru i = 1,m Vom numi soluţie a sistemului de inecuaţii (1.2.2.), respectiv (1.2.3.), un sistem de valori care verifică simultan toate inecuaţiile sistemului. TEOREMA: Oricărei soluţii a sistemului de inecuaţii (1.2.1.) îi corespunde o soluţie a sistemului de ecuaţii (1.2.4.) sau (1.2.5.) şi reciproc. Demonstraţie: „⇒” Fie sistemul de inecuaţii (1.2.2.) scris sub formă matriceală A⋅ x ≤ b şi x0 o soluţie a acestui sistem. Deci A x0 ≤ b. Sistemul de inecuaţii se transformă în sistem de ecuaţii (1.2.4.) scris sub formă matriceală:

Ax + y = b

sau

y = b – Ax cu y ≥ 0

atunci (x0, y0) este soluţia sistemului dacă y0 = b – Ax0 ≥ 0. „⇐” Fie (x0, y0) soluţie pentru sistemul (1.2.4.) Atunci y0 ≥ 0 şi Ax0 + y0 = b de unde obţinem Ax0 ≤ b şi deci x0 soluţie a sistemului de inecuaţii. Exemplu. Să se rezolve sistemul de inecuaţii: ⎧ 2x1 + x2 – x3 ≤ 2 ⎪ ⎨ x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 4 ⎪x – x + x ≤ 2 ⎩ 1 2 3 Soluţie: Sistemul de inecuaţii se transformă într-un sistem de ecuaţii

⎧ 2x1 + x2 – x3 + y1 = 2 ⎪ ⎨ x1 + 2x2 + 3x3 + y2 = 4 ⎪ ⎩ x1 – x2 + x3 + y3 = 2

12

Prin metoda eliminării complete obţinem: x1 2

x2 1

x3 −1

y1 1

y2 0

y3 0

b 2

1 1 1

2 −1 1/ 2

3 1 −1 / 2

0 0 1/ 2

1 0 0

0 1 0

1 3 1

0 1 0 0

0 2 1 0

0 0 1 0

3/ 2 7 / 2 −1 / 2 1 − 3 / 2 3 / 2 −1 / 2 0 − 5 / 3 2 / 3 −1 / 3 0 1 7 / 3 −1 / 3 2 / 3

0 1 0

0 0 1

5 0 0

−1 1/ 3 2 / 15

1 0 1/ 5

0

0

1

−1 / 5

1/ 5

1 2 1/ 3 5/3 − 7 / 15 − 14 / 15 1/ 5

2/5

Soluţie a sistemului de ecuaţie este: 5 1 1 ⎧ ⎪x 1 = 3 − 3 y 1 − 5 y 3 ⎪ ⎪⎪x 2 = − 14 − 2 y1 − 1 y 2 + 7 y 3 ⎨ 15 15 5 15 ⎪ 2 1 1 1 ⎪x = + y − y − y ⎪ 3 5 5 1 5 2 5 3 ⎪⎩

y 1, y 2, y 3 ≥ 0 În consecinţă soluţie a sistemului de inecuaţii este: 5 3 14 x2 = − 15 2 x3 = 5 x1 =

13

1.3. Spaţii vectoriale Fie V o mulţime nevidă de elemente şi K un corp de şcolari (de regulă K este corpul numerelor reale R sau corpul numerelor complexe C) Pe mulţimea V se definesc două operaţii: 1. Operaţia de adunare „+” ca lege de compoziţie internă, care asociază fiecărei perechi de elemente (x, y) ∈ Vx V un element sumă x + y ∈V. 2. Operaţia de înmulţire cu scalari „·” ca lege de comparaţie externă, care asociază, fiecărei perechi de elemente (α, x) ∈ Kx V un element α · x ∈V Definiţie. Mulţimea nevidă V se numeşte spaţiu vectorial peste corpul K dacă (V, + ) este grup abelian, adică verifică: 1.1. x + y = y + x pentru (∀) x, y ε V 1.2. (x + y) + z = x + (y+z) pentru (∀) x,y,z εV 1.3. (∀) x ε V, (∃) Ov element neutru Ov ε V astfel încât x + Ov = Ov + x 1.4. (∀) x ε V, (∃) – x element opus, - x ε V,a.î x + (-x) = (-x) + x = Ov şi (V, ·) 2.1. (α + β) x = α + βx pentru (∀) α, β ε K, x ε V 2.2. α (x+y) = αx + αy pentru (∀) α ε K, x, y ε V 2.3. (α · β) x = α (β·x) pentru (∀) α, β ε K, x ε V 2.4. 1k · x = x pentru (∀) x ε V şi 1k ε K Notaţii: 1. Elementele unui spaţiu vectorial V se numesc vectori. 2. Elementele corpului K se numesc scalari. Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K0 Un vector v ε V se numeşte combinaţie liniară a vectorilor v1, v2,... vm ε V dacă există scalori α1, α2,... αn ε K astfel încât: v = α1 v1+ α2 v2 + ... + αn vn. Definiţie. Un sistem de vectori {v1, v2, ..., vn} din V se numeşte sistem de generatori ai spaţiului vectorial V dacă orice vector v ε V se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor v1, v2,....vn. 14

Definiţie. Un sistem de vectori {v1, v2, ..., vn} din V se numeşte sistem liniar independent dacă din (1.3.1.) α1 v1 + α2 v2+... + αn vn = 0v rezultă scalari nuli α1 = α2 = ... = αn = 0 Dacă există scalari nenuli, sistemul de numeşte sistem liniar dependent. PROPOZIŢIA 1.3.1. Vectorii v1, v2,..., vn ε V sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă cel puţin un vector dintre ei este o combinaţie liniară de ceilalţi. Demonstraţie: „⇒” Fie v1, v2, ..., vn vectori liniar dependenţi. Atunci există scalarii α1, α2,..., αn, nu toţi nuli, astfel încât: α1 v1 + α2 v2 +...+ αn vn = 0

fie α1 ≠ 0k, atunci putem scrie: v1 = −

α α2 α v 2 − 3 v 3 + ... − n v n α1 α1 α1

ceea ce arată că vectorul v1 se scrie ca o combinaţie liniară de ceilalţi vectori. „⇐” Presupunem, eventual renumerotând vectorii, că v1 se scrie ca o combinaţie de vectorii v2, v3,...vn. Atunci există scalari α2, α3, ..., αn nu toţi nuli astfel încât: v1 = α2 v2 + α3 v3 + ... + αn vn sau v1 – α2 v2 – α3 v3... – αn vn = 0v Deci vectorii v1, v2, ...vn sunt liniar dependenţi. Definiţie: Fie V spaţiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori B ⊂ V se numeşte baza pe spaţiul vectorial V dacă este format dintr-un număr maxim de vectori liniar independenţi. Numărul vectorilor din bază determină dimensiunea spaţiului. PROPOZIŢIA 1.3.2. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi B = {b1, b2,..., bn} o bază a spaţiului V, atunci orice vector v ε V se scrie în mod unic ca o combinaţie liniară a vectorilor bazei. Demonstraţie: Presupunem că vectorul v ε V se poate exprima în două moduri în funcţie de vectorii bazei B şi anume: 15

v = α1 b1 + α2 b2 + αn bn v = β1 b1 + β2 b2 +... + βn bn. Scăzând cele două relaţii obţinem: 0v = (α1 – β1) b1 + (α2 – β2) b2 +...+ (αn – βn) bn. Vectorii bazei b1, b2, ... bn conform definiţiei sunt liniar independenţi, deci toţi scalarii combinaţiei sunt nuli. Deci: α1 = β2;..., αn = βn. În consecinţă un vector se scrie ca o combinaţi liniară unică de vectorii bazei. Definiţie. Coeficienţii α1, α2, ..., αn ai reprezentării vectorului v ε V în baza B se numesc coordonatele vectorului v în baza B. Se poate scrie atunci v = (α1, α2, ..., αn). SPAŢIUL VECTORIAL n – DIMENSIONAL este mulţimea: ⎧ ⎫ ⎛ x1 ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ x 2 R = R × R ×...× = ⎨x / x = ⎜M ⎟, x 1 ∈ R ⎬ pe care se definesc operaţiile: ⎜x ⎟ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎝ n⎠ ⎛ y1 ⎞ ⎛ x 1 + y1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ x + y = ⎜⎜Mx 2 ⎟⎟ + ⎜⎜My 2 ⎟⎟ = ⎜⎜Mx 2 + y 2 ⎟⎟ ⎜y ⎟ ⎜x + y ⎟ ⎜x ⎟ 2⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎝ n⎠ n

şi α·x=α

⎛ x1 ⎞ ⎜x2 ⎟ ⎜⎜ M ⎟⎟ ⎝xn ⎠

=

⎛ αx 1 ⎞ ⎜ αx 2 ⎟ ⎜⎜M ⎟⎟ ⎝ αx n ⎠

PROPOZIŢIA 1.3.3. Sistemul de vectori unitari: ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟

⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎜ 0⎟ = b ,... b 2 n ⎜M ⎟ ⎜M ⎟ ⎜M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b1 = ⎜ 0 ⎟ ,

formează o bază a spaţiului vectorial Rn numită baza canonică. OBSERVAŢIE: În spaţiul Rn există o infinitate de baze. PROPOZIŢIA 1.3.4. Un sistem de vectori { v1, v2, ... vn} ∈ V sunt vectori liniar independenţi dacă rangul matricei vectorilor este egal cu numărul vectorilor. Vectorii sunt liniar dependenţi dacă rangul matricei vectorilor este mai mic ca numărul vectorilor. Demonstraţie: Fie vectorii ⎛a

⎞

⎛a

⎞

⎛a

⎞

11 21 m1 v1 = ⎜⎜M ⎟⎟ v 2 = ⎜⎜M ⎟⎟ L v n = ⎜⎜M ⎟⎟ a a a ⎝ mn ⎠ ⎝ 2n ⎠ ⎝ 1n ⎠

16

Ei sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă există scalari α1, α2, ... αm, nu toţi nuli, astfel încât: ⎛ am1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ a21 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ... + ⋅ α ⎟ = ⎜M ⎟ ⎟ m ⎜M ⎜ a ⎟ ⎜0⎟ ⎜a ⎟ ⎝ 2n ⎠ ⎝ mn ⎠ ⎝ ⎠

⎛ a11 ⎞ ⎜ ⎟

α1 ⎜ M ⎟ + α 2 ⎜ M ⎜a ⎟ ⎝ 1n ⎠

ceea ce este echivalent cu sistemul omogen cu m-necunoscute şi n-ecuaţii: ⎧a 11 α 1 + a 21 α 2 + ... + α m a m1 = 0 ⎨L ⎩a 1n α 1 + a 2 n α 2 + L + α m a mn = 0

Sistemul omogen admite soluţii diferite de soluţia banală dacă şi numai dacă rang A < m numărul necunoscutelor. Dacă rang A = m, sistemul este unic determinat şi admite doar soluţia banală ceea ce arată că vectorii sunt liniar independenţi. Matricea A este matricea vectorilor: a 21 L a m1 ⎞ ⎟ L L ⎟ a 2 n L a mn ⎟⎠

⎛ a 11 ⎜

A= ⎜L

⎜a ⎝ 1n

CONSECINŢA 1.3.5. În spaţiul vectorial Rn un sistem de m-vectori: ⎛a

⎞

⎛a

⎞

⎛a

⎞

1 21 n1 v1 = ⎜⎜M ⎟⎟, v 2 = ⎜⎜M ⎟⎟ L , v n = ⎜⎜M ⎟⎟ a a a ⎝ nn ⎠ ⎝ 2n ⎠ ⎝ 1n ⎠

formează o bază a spaţiului dacă şi numai dacă determinantul matricei vectorilor este nenul. PROPOZIŢIA 1.3.6. Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei. Fie v ε Vn şi A = {a1, a2, ..., an} şi B = {b1, b3,...bn} două baze din Vn Dacă

⎛ v1 ⎞ ⎛ a11 ⎞ ⎛ a21 ⎞ ⎛ an1 ⎞ v = ⎜⎜ M ⎟⎟, a = ⎜⎜ M ⎟⎟, a = ⎜⎜ M ⎟⎟, L, a = ⎜⎜ M ⎟⎟ 2 n 1 ⎜v ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ 1n ⎠ ⎝ 2n ⎠ ⎝ nn ⎠ 17

⎛ b n1 ⎞ ⎛ b 21 ⎞ ⎛ b11 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ b1 = ⎜ M ⎟, b 2 = ⎜ M ⎟ L b n = ⎜ M ⎟ ⎜b ⎟ ⎜b ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ nn ⎠ ⎝ 2n ⎠ ⎝ 1n ⎠

Fie α1, α2... αn coordonatele vectorului v în baza A, atunci v = α1 a1 + α2 a2 + ... + αn an sau v = A · α unde α = (α1, α2, ... αn)T Vectorii bazei A pot fi exprimaţi la rândul lor ca o combinaţie liniară de vectorii bazei B, deci ai = λi1 b1 + λi2 b2 + ... + λin bn i = 1, n Aceşti vectori înlocuiţi în combinaţia liniară a vectorului v, obţinem: v = α1 (λ11 b1 + λ12 b2 + ... + λ1n bn)+ ... + λmn bn + αn (λn1 b1 + ... + λnn bn) sau v = (α1 λ11+...+ αn λn1) b1 +... + (α1 λ1n + ... + αn λnn) bn În consecinţă coordonatele vectorului v în baza ⎧β1 = α 1 λ 11 + ... + α n λ n1

β vor fi: ⎨L

⎩β n = α 1 λ 1n + ... + α n λ nn

Scrisă matriceal, relaţia devine: β=M·α

⎛ λ 11 L λ n1 ⎞ ⎟ ⎜ M M ⎟ M= ⎜ M ⎟ ⎜λ ⎝ 1n L λ nn ⎠

A se numeşte matricea de trecere de la baza M la baza β. OBSERVAŢII

1. Matricea de trecere de la o bază la alta este întotdeauna matrice nesingulară. 2. Dacă matricea de trecere de la baza A la baza β la baza A este M-1 3. Fie vectorul v = (v1, v2,... vn) ∈ Rn v1, v2,... vn sunt coordonatele vectorului v scris în baza canonică. 18

⎛ v1 ⎞ ⎛0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜v2 ⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ M ⎟ = v1 ⎜ M ⎟ + v 2 ⎜ M ⎟ + L + v n ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜v ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ n⎠ ⎛1 ⎜ ⎜0 v = E v unde E = ⎜ M ⎜ ⎜0 ⎝

0 L 0⎞ ⎟ 1 L 0⎟ M M M⎟ ⎟ 0 L 1 ⎟⎠

Coordonatele lui v în baza A = {a1 a2... an} sunt (α1, α2,..., αn)T deci v = A· α ⎛ v1 ⎞ ⎛ a 11 L a n1 ⎞ ⎛ α 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M M ⎟⎜ M ⎟ sau ⎜ M ⎟ = ⎜ M ⎟⎜ ⎟ ⎜ v ⎟ ⎜a ⎝ n ⎠ ⎝ 1n L a nn ⎠ ⎝ α n ⎠

Coordonatele lui v în baza B vor fi β vor fi β = (β1,..., βn), deci v=Bβ De unde B β = A α sau β = B-1 A α În consecinţă, matricea de trecere de la baza A la baza B este (12) M = B-1· A. Exemplu. Fie vectorii a1 = (1, 1, 0)T, a2 = (-1, 2, 1)T, a3 = (1, 2, 4,) şi un vector v ∈ R3 exprimând în raport cu baza A = {a1, a2, a3} prin coordonatele 1, 2 şi 1. Să se exprime coordonatele vectorului v în raport cu baza B = {b1, b2, b3} unde b1 = (-1, 2, 3)T, b2 = (1, 1, 1)T şi b3 = (1, 2, 3)T. Soluţie. Matricele de trecere de la baza A, respectiv B la baza canonică sunt: T

⎛ -1 1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜ 1 2 2 ⎟ şi B = ⎜ 2 1 2 ⎟ ⎜ 3 1 3⎟ ⎜ 0 1 4⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Coordonatele vectorului v în raport cu baza B sunt, conform observaţiei de mai sus, relaţiei (12): 19

⎛ β1 ⎞ ⎛ - 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜β2 ⎟ = ⎜ 2 1 2⎟ ⎜β ⎟ ⎜ 3 1 3⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠

−1

1 / 7 ⎞ ⎛ 1 - 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛13 / 7 ⎞ ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 2 / 7 1 / 7 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜1 2 2⎟ ⎜ 2⎟ = ⎜ 6 / 7 − 3 / 7 4 / 7 ⎟ ⎜ 1 2 2⎟ ⎜ 2⎟ = ⎜ 3 / 7 ⎟ ⎜ 0 1 4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ − 1 / 7 4 / 7 − 3 / 7 ⎟ ⎜ 0 1 4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜10 / 7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1.4. Spaţii euclidiene Definiţie. Fie V spaţiu vectorial peste corpul de scalari K. O aplicaţie f: V x V → R, notată f (x, y) = < x, y > = (x/y) se numeşte produs scalar dacă satisface: 1. < x1 + x2, y > = < x, y > + < x2, y > (∀) x1, x2, y ∈ V 2. < xy > = < y,x > (∀) x, y, ∈ V 3. < α x,y > = α < x, y > (∀) x, y ∈ V, (∀)α ∈K 4. < x,x > ≥ 0 pentru x ≥ 0 Definiţie. Un spaţiu vectorial E peste corpul K pe care s-a definit un produs scalar se numeşte spaţiu euclidian. Exemplu. Dacă spaţiu vectorial V este n. dimensional peste corpul de scalari K şi produsul scalar o funcţie f : Rn x Rn → R este definit prin: < x,y > = x1 y1 + x2 y2 + ... + xnyn se observă cu uşurinţă că se verifică cele patru proprietăţi de definiţie. Definiţie. Într-un spaţiu euclidian real sau complex, doi vectori x, y ∈ E se numesc vectori ortogonali dacă produsul loc scalar este nul, deci < x, y > = 0 Definiţie. Fie E spaţiu euclidian. Un sistem x1, x2, ... xn ∈ E se numeşte sistem ortogonal de vectori dacă fiecare vector vi este ortogonal pe toţi ceilalţi vectori. Deci < xi, xj > = 0 pentru orice i ≠ j i, j = 1, n PROPOZIŢIA 1.4.1. În orice spaţiu euclidian n-dimensional este corpul K există cel puţin o bază ortogonală care se poate determina cu procedeul lui Gramm – Schmidt. Se pleacă de la o bază oarecare a spaţiului En, B = {b1, b2, ... bn}şi se vor construi vectorii: a1 = b1 a2 = b2-λ21 a1 .. . an = bn - λn1 a1 - λn2 a2 ...- λnn-1 an-1 20

Scalarii λij se vor determina punând condiţia ca oricare din vectori {a1, a2, ... an }să fie ortogonali 〈a 2 , a 1 〉 = 0 ⇒ λ 21 =

〈b 2 , a 1 〉 〈a 1 a 1 〉

〈a 3 , a 1 〉 = 0 ⇒ λ 31 =

〈b 3 , a 1 〉 〈a 1 , a 1 〉

〈a 3 , a 2 〉 = 0 ⇒ λ 32 =

〈b 3 , a 2 〉 〈a 2 , a 2 〉

Se obţin λ ij =

〈b i , a j 〉 〈a j , a j 〉

Exemplu. Să se construiască o bază ortogonală a spaţiului euclidian R3 ⎛1⎞ ⎜ ⎟

⎛1⎞ ⎜ ⎟

⎛ 0⎞ ⎜ ⎟

⎜0⎟ ⎝ ⎠

⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠

⎜ 2⎟ ⎝ ⎠

Soluţie: Fie vectorii b1 = ⎜ 1 ⎟ b 2 = ⎜ 0 ⎟ b 3 = ⎜ 1 ⎟ Aceşti trei vectori având rang A = 3 formează o bază a spaţiului E3. ⎛1⎞ ⎜ ⎟ Se vor construi vectorii a 1 = b1 = ⎜ 1 ⎟; ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 〈(1, 0,− 1), (1, 1, 0)〉 ⎜ ⎟ ⋅ ⎜1⎟ ⇔ a 2 = b 2 − λ 21 , a 1 = ⎜ 0 ⎟ _ ⎜ − 1⎟ 〈(1, 1, 0), (1,1,0)〉 ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1/2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ ⎜ a 2 = ⎜ 0 ⎟ - ⎜ 1 ⎟ = ⎜ - 1/2 ⎟ ⎜ - 1⎟ 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜ - 1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 〈(0 12), (110)〉 ⎜ ⎟ a 3 = b 3 − λ 31 a 1 − λ 32 a 2 = ⎜ 1 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 2 ⎟ 〈(110), (1,1,0)〉 ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1/2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1/2 ⎞ ⎛ 1/3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ 5⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 〈(012), (1/2, - 1/2, - 1)〉 ⎜ ⎜ - 1/2 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ - ⎜ 1 ⎟ + ⎜ - 1/2 ⎟ = ⎜ - 1/3 ⎟ 〈 (1/2 - 1/2 - 1), (1/2 - 1/2 - 1)〉 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ 0 ⎟ 3 ⎜ - 1 ⎟ ⎜ 1/3 ⎟ ⎝ -1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

21

Vectorii (a1, a2, a3 ) formează o bază ortogonală a spaţiului E deoarece sunt trei vectori liniar independenţi şi ortogonali doi câte doi. Definiţie. Fie V spaţiu vectorial peste corpul K O funcţie f: V → R, notată f(x) = x 〉 se numeşte norma vectorului x, x ∈ V dacă verifică : 1. x 〉 0 2. α x = α ⋅ x 3. x + y ≤ x + y OBSERVAŢIE. Norma unui vector pe un spaţiu euclidian se poate defini în mai multe feluri. Noi vom folosi norma definită cu ajutorul produsului scalar: x = 〈 x, x 〉

Definiţie. Un spaţiu vectorial pe care s-a definit o normă se va numi spaţiu ca vectorial normat. PROPOZIŢIA 1.4.2. În orice spaţiu vectorial normat există o bază ortonormată adică o bază ortogonală în care norma fiecărui vector este egală cu unitatea.

Fie o bază ortogonală A = {a1, a2, ... an} construită prin procedeul Gramm Schmidt. Se va construi o bază ortonormată, fiecare vector din baza A prin împărţirea fiecărui vector la norma sa, se obţine baza: C1 =

a1 a a , C 2 = 2 ,... C n n a1 a2 an

Exemplu. Să se determine o bază ortonormată a spaţiului R3 Rezolvare: Vom pleca cu baza ortogonală ⎛ 1/3 ⎞ ⎛ 1/2 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a 1 = ⎜ 1 ⎟ ; a 2 = ⎜ - 1/2 ⎟ ; a 3 = ⎜ - 1/3 ⎟ ⎜ 1/3 ⎟ ⎜ -1 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vom norma fiecare vector:

(1, 1, 0) = ⎛ 1 , 1 ,0 ⎞ a1 (1 ,1, 0 ) = = ⎟ ⎜ a1 2 2 ⎝ 2 2 ⎠ T

c1 = 22

T

T

a (1/2, - 1/2, - 1)T = ⎛⎜ 1 , - 1 , - 2 ⎞⎟ c2 = 2 = ⎜ 6 3 ⎟⎠ a2 3 6 ⎝ 2

c3 =

T a 3 (1/3, - 1/3, 1/3 ) ⎛ 3 3 3⎞ ⎟ = = ⎜⎜ ,, 1 a3 3 3 3 ⎟⎠ ⎝ 3

T

T

Vectorii { c1, c2, c3 } formează o bază ortonormată a spaţiului R3 1.5. Aplicaţii liniare Definiţie. Fie V, V' două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K de dimensiuni n respectiv m. O aplicaţie T: V → V' se numeşte aplicaţie (transformare sau operator) liniară dacă este aditiv şi omogen, deci verifică: 1. T ( x + y) = T (x) + T (y) (∀) x, y ∈V 2. T (α x ) = α T (x) (∀) x ∈ V, (∀) α ∈ K TEOREMA 1.5.1. O aplicaţie T: V → V' este aplicaţie liniară dacă şi numai dacă: (13) T (α x + β y) = αT (x ) + βT (y)

Demonstraţie: „⇒” T aplicaţie liniară. Vom calcula cu ajutorul proprietăţilor de definiţie 1, 2 valoarea T (α x + β y) = T(α x) + T (β y) = α T (x) + β T (y) „⇐” Presupunem că relaţia T(α x + β y) = α T (x) + β T(y) este verificată. Atunci ea este verificată şi pentru scalarii α = β = s ceea ce conduce la egalitatea 1. cât şi pentru scalarul β = 0 ceea ce conduce la egalitatea 2. (q.e.d.) OBSERVAŢIE. Teorema 1.3.1. poate fi folosită ca definiţie pentru aplicaţia liniară. TEOREMA 1.5.2. Fie V, V' două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K; B = {a1, a2, ... an } o bază a spaţiului Vectorial V şi B' = {b1, b2, ... bn } o bază a spaţiului vectorial V', atunci există o aplicaţie liniară T : V → V' cu proprietatea: T (ak) = bk pentru (∀) k ∈ {1, 2, ..., n } 23

Demonstraţie: Fie v ∈ V, T: V → V' o aplicaţie, T(v) = β1 b1 + β2 b2 + ... + βn bn vom demonstra că aplicaţia astfel definită este liniară. Fie v1, v2 doi vectori oarecare din V care se pot exprima în funcţie de baza B astfel: v1 = α11 a1 + α12 a2 + ... + α1n an v2 = α21 a1 + α22 a2 + ... + α2n an Vom calcula α v1 + β v2 = α (α11 a1 + ... + α1n an) + β (α21 a1 + ... + α2n an) = = (α α11 + β α21) a1 + ... + (α α1n + β α2n) an T (α v1 + β v2) = (α α11 + β α21) b1+ ... + (α α1n + β 2n) bn = = α (α 11 b1 + ... α1n bn) + β (α21 b1 + ... + α2n b1) = α T(v1) + β T(v2) Deci aplicând teorema 1.3.1. aplicaţia T definită mai sus este o aplicaţie liniară. Pentru orice vector ak ∈ B coordonatele sale în baza B sunt 1 ⎛ ⎞ ⎜ 0,...,0, ,...0 ⎟ şi deci prin definiţie k ⎝ ⎠

T(ak) = 0b1+... + 0bk-1 + 1. bk + 0 bk+1 + ... + 0bn = bk În consecinţă există o aplicaţie liniară care verifică T(ak) = bk 1.5.3. Matricea asociată unei aplicaţii liniare Fie aplicaţia liniară T: V → V', V, V' spaţii vectoriale peste un corp K, B = {a1,... , an} o bază a spaţiului vectorial V şi B' = {b1...bn} o bază a spaţiului vectorial V'. Fie ai un vector oarecare din B atunci T(ai) este un vector al spaţiului V' şi poate fi reprezentat în mod unic în funcţie de vectorii bazei B': T(ai) = αi1 b1 + αi2 b2 + ... + αin bn Matricea formată din coordonatele vectorilor T(a1), T(a2), ... T(an) în baza B' se va numi matrice asociată aplicaţiei liniare T în raport cu perechea de baze {B, B'} 24

⎛ α 11 ⎜ ⎜α MB, B' (T) = ⎜ 12 M ⎜ ⎜α ⎝ 1n

α 21 α 22 M α 2n

α n1 ⎞ ⎟ L α m2 ⎟ M M ⎟ ⎟ L α mn ⎟⎠ L

Exemplu. Să se determine matrice asociată aplicaţiei liniare T: R2 → R3, T(x1 x2) = (x1 + x2, - x2, - x1 – x2) în raport cu perechea de baze ⎛ 1⎞ ⎛ - 1⎞ B = {a 1 , a 2 } a 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ a 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ şi B ′ = {b 1 , b 2 , b 3 } ⎝ 1⎠ ⎝3⎠ ⎛5⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b 1 = ⎜1⎟ b 2 = ⎜ 3 ⎟ b 3 = ⎜ - 1⎟ ⎜0⎟ ⎜ 4⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Soluţie: T(a1) = T(1,1) = (1+1,-1,-1 –1) = (2,-1,-2) T(a2) = T(-1,3) = (-1+3, -3, +1-3) = (2,-3,-2) Coordonatele acestor doi vectori în funcţie de baza B' sunt (10/4,-9/8,1/8) şi respectiv (3, 1/8, 7/8). Deci matricea asociată perechii de baze este ⎛10 / 4 ⎜

M B B' (T) = ⎜ 9 / 8 ⎜ 1/ 8 ⎝

3 ⎞ ⎟ 1/ 8 ⎟ 7 / 8 ⎟⎠

1.6. Valori proprii şi vectori proprii asociaţi unei aplicaţii liniare Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul de scalari K şi T: V → o aplicaţie liniară. Un scalar λ ∈ K se numeşte valoare proprie pentru aplicaţia liniară T dacă există cel puţin un vector nenul v ∈ V astfel încât: (1.6.1.)

T (v) = λ v

Vectorul nenul v ∈ V care verifică relaţia (1.6.1.) se numeşte vector propriu pentru aplicaţia liniară T asociată valorii proprii λ. 25

1.6.1. Determinarea valorilor şi vectorilor proprii pentru o aplicaţie liniară Fie T: V → V' aplicaţie liniară cu matricea aplicaţiei AT, definită în 1.3.3., în baza B= {a1, ..., an}. Relaţia (1.6.1.) se mai scrie: T (v) - λv = 0 sau (1.6.2.) (AT - λEi) v = 0v unde ⎛ v1 ⎞ ⎛1 L 0⎞ ⎛ a 11 L a 1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ AT = ⎜ M M M ⎟ şi E i = ⎜ M M M ⎟ v = ⎜ M ⎟ ⎜v ⎟ ⎜0 L 1⎟ ⎟ ⎜a ⎝ n⎠ ⎠ ⎝ ⎝ n1 L a nn ⎠

Relaţia (1.6.2.) conduce la sistemul:

(1.6.3.)

⎧(a 11 − λ ) v 1 + a 21 v 2 + ... + a n1 v n = 0 ⎪ ⎪⎪a 12 v 1 + (a 22 − λ ) v 2 + ... + a n2 v n = 0 ⎨L ⎪ ⎪a 1n v 1 + a 2n v 2 + ... + (a nn − λ )v n = 0 ⎩⎪

În consecinţă, coordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluţiile sistemului omogen (1.6.3.). Soluţiile sistemului omogen (1.6.3.) nu sunt toate nule numai dacă determinantul sistemului este nul. Determinantul sistemului (1.6.3.): a 11 − λ P(λ ) =

a 12

a 21

L

a 22 − λ L

M

M

a 1n

a 2n

M

a n1 a n2 M

L a nn − λ

se numeşte polinomul caracteristic asociat aplicaţiei liniare T. Ecuaţia P (λ) = 0 se numeşte ecuaţie caracteristică a aplicaţiei T. Deci se verifică teorema: 26

TEOREMA 1.6.2. Fie T : V → V λ ∈ K este o valoare proprie a aplicaţiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaţiei caracteristice.

Observaţii 1. Polinomul caracteristic şi deci ecuaţia caracteristică nu depinde de baza aleasă. 2. Vectorii proprii asociaţi aplicaţiei liniare T : V → V pentru valorile proprii determinate se obţin înlocuind valorile proprii în sistemul (1.6.3.) şi rezolvând sistemul. Soluţiile sistemului vor fi coordonatele vectorilor proprii asociaţi aplicaţiei T în raport cu baza B. 3. Fiecărei valori proprii λ îi corespund o infinitate de vectori proprii. Sistemul omogen (1.6.3.) este compatibil nedeterminat. căci P(λ)=0. Mulţimea soluţiilor formează un subspaţiu, numit subspaţiu propriu ataşat valorii proprii respective. Se notează Eλ={ν/ν ∈V-{0}, T(ν)=λν} 4. Un vector propriu ν poate fi asociat ca vector propriu unei singure valori proprii asociată aplicaţiei liniare T. Observaţia se demonstrează presupunând ca pentru ν- vector propriu al lui T există două valori proprii adică: T(ν)=λν şi T(ν)=βν ν≠0v atunci λν= βν sau (λ-β) ν=0 În consecinţă λ- β=0 şi deci λ= β şi deci propunerea este falsă. Exemplu: Să se determine valorile şi vectorii proprii asociaţi aplicaţiei liniare T: R2→R2 cu T(ν1, ν2)=( ν1+2ν2, 2ν1+ν2) Soluţie: Matricea aplicaţiei este: AT= ⎛⎜ 1 2 ⎞⎟ ⎜2 1⎟ ⎠ ⎝

Ecuaţia caracteristică P(λ) = 1− λ 2 =0 ⇔ (1-λ)2-4=0 ⇔ λ2 - 2λ-3=0 ⇔ λ1=-1, λ2=3 2 1− λ Vectorii proprii asociaţi valorii proprii λ1 = -1 au coordonatele în raport cu baza canonică date de sistemul de ecuaţii: ⎧{(1 − λ1 )α1 + 2α 2 = 0 ⎧2α + 2α 2 = 0 ⇔⎨ 1 ⎨ ⎩2α 1 + (1 − λ1 )α 2 = 0 ⎩2α1 + 2α 2 = 0

27

cu soluţia ν1 = - α 2 α 2 = k ∈ R Subspaţiu vectorilor propriu ai lui λ1 este: Eλ1 = {ν/ν = (-k,k) k ∈ R} Vectorii proprii asociaţi valorii proprii λ2=3 au coordonatele în raport cu baza comunică date de soluţiile sistemului.

⎧(1 − λ 2 )ν1 + 2ν 2 = 0 ⎧− 2ν1 + 2ν 2 = 0 ⇔⎨ ⎨ ⎩2ν1 + (1 − λ 2 )ν 2 = 0 ⎩2ν1 −2ν 2 = 0 cu soluţia nedeterminată ν1=ν2=h, cu h ∈ R Subspaţiul propriu Eλ2={ν/ν=(h,h), h ∈ R} TEOREMA 1.6.3 Dacă ν1, ν2, .... νp sunt vectori proprii ai aplicaţiei liniare T:V→V asociaţi valorile proprii distincte λ1,.... ,λp atunci sunt liniari independenţi. Demonstraţia teoremei se face presupunând că vectorii ar fi dependenţi, deci ar verifica: (1.6.4.) α1ν1+α2ν2+.....+αpνp = 0v cu αi≠0 Vectorii proprii ai aplicaţiei liniare T verifică T(ν1) = λ1ν1, .....T(νp) = λpνp Calculăm: (1.6.5.) T(α1ν1+.....+αpνp) = α1T(ν1) +.......+ αpT(νp) = α1λ1ν1 + ...... + αpλpνp = 0ν Dacă din (1.6.5.) scădem (1.6.4.) înmulţit cu λ1 se obţine: α1λ1ν1+.........+αpλpνp-λ1(λ1ν1+.......+λpν1) = 0 sau (λ2-λ1) α2ν2+........+(λp-λ1) αpνp = 0 Cum valorile proprii λ1,......,λp sunt distincte, dacă vectorii ν2, ν3,......, νp ar fi independenţi am obţine α2 = ....... = αp = 0, ceea ce ar contrazice presupunerea făcută. Rezultă că vectorii proprii sunt liniar independenţi. TEOREMA 1.6.4. Fie V spaţiu vectorial de dimensiune n, T: V → V o aplicaţie liniară şi λ1, λ2,......, λn valori proprii distincte pentru T. Atunci există o bază B pentru V astfel încât matricea asociată aplicaţiei liniare T să aibă formă diagonală cu elementele diagonalei principale egale cu valorile proprii. Demonstraţia teoremei pleacă de la teorema 1.4.3. căci vectorii proprii asociaţi valorilor proprii distincte λ1, λ2, ......, λn sunt ν1, ν2, ....., νn liniar independenţi vectorii ν1, ν2, ....., νn formează o bază a spaţiului V căci numărul lor este maximal. Matricea aplicaţiei liniare T, T(νi) = λiνi i = 1,n în raport cu perechea de baze {B, B} este: 28

⎛ λ1 ⎜ AT= ⎜ 0 ⎜0 ⎝

0...... 0⎞ ⎟ λ 2 ....... 0 ⎟ 0...... λ n ⎟⎠

TEOREMA 1.6.5. Fie V spaţiu vectorial de dimensiune n, T:V→V o aplicaţie liniară care are un polinom caracteristic: P(λ)=(λ-λ1)m1 (λ-λ2)m2 ......( λ-λp)mp cu m1+m2+.......+mp=n. Atunci există o bază B a spaţiului vectorial V astfel încât matricea asociată aplicaţiei liniare T în raport cu perechea de bază {B, B} să aibă formă diagonală dacă şi numai dacă dimensiunea fiecărui subspaţiu propriu Eλi corespunzător valorii proprii λi este egală cu mi ordinul de multiplicitate al valorii proprii respective

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ AT = diag ⎜ λ1 ......λ p ,......., λ p .....λ p ⎟ 424 3 1 424 3⎟ ⎜1 mp ⎠ ⎝ mp Baza B este formată din vectori proprii aparţinând subspaţiilor proprii corespunzătoare. Exemplu 1. Fie T: R3 → R3 dată prin: T(ν)=(4ν1+ν2, -ν1+3ν2+ ν3, ν1-ν2+ν3) Să se studieze dacă există o bază a spaţiului vectorial R3 în raport cu care matricea asociată aplicaţiei liniare T să aibă formă diagonală. Soluţie. Matricea transformării este:

⎛4 −1 1 ⎞ ⎟ ⎜ AT= ⎜ 1 3 − 1⎟ ⎜0 1 1 ⎟ ⎠ ⎝ Polinomul caracteristic este:

4 − λ −1 P (λ ) = 1 3−λ 0

1

1 − 1 = (3 − λ ) 2 (2 + λ ) 1− λ

Deci ecuaţia caracteristică 29

(3-λ)2(2-λ)=0 are λ=3 valoare proprie de ordin de multiplicitate doi (rădăcină dublă) şi λ=-2 valoare proprie distinctă. Vectorii proprii asociaţi valorii proprii λ=3 sunt soluţiile sistemului. ⎧(4 − 3)ν1 −ν 2 + ν 3 = 0 ⎧ν1 −ν 2 + ν 3 = 0 ⎪ ⎪ ⇔ ν1 = ν 3 , ν 2 = 2ν 3 , ν 3 ∈ R ⎨ν1 + (3 − 3)ν 2 −ν 3 = 0 ⇔ ⎨ν1 −ν 3 = 0 ⎪ν + (1 − 3)ν = 0 ⎪ν − 2ν = 0 3 2 ⎩ 2 ⎩ 2

Deci: Eλ3={x/x=(k,2k,k) ∈ R} a cărei dimensiune este 1. În conformitate cu teorema 1.4.5. nu există o bază a spaţiului vectorial R3 în raport cu care matricea asociată aplicaţiei T să aibă formă diagonală. 2. Fie T:R3 → R3 o aplicaţie liniară a cărei matrice asociată în raport cu baza canonică este:

⎛ 4 0 0⎞ ⎜ ⎟ AT= ⎜ 0 1 3 ⎟ ⎜ 0 3 1⎟ ⎝ ⎠ Să se studieze dacă există o bază a spaţiului vectorial R3 în raport cu care matricea asociată aplicaţiei liniare T să aibă formă diagonală. Soluţie. Ecuaţia caracteristică asociată este:

4−λ

0

0

0

1− λ

3

0

3

1− λ

= −( 4 − λ ) 2 ( 2 + λ ) = 0

Valorile proprii sunt λ1=λ2=4, λ3=-2 Vectorii proprii asociaţi valorii λ1=λ2=4 sunt soluţiile sistemului de ecuaţii: ⎧(4 − 4)ν 1 = 0 ⎧− 3ν 2 + 3ν 3 = 0 ⎪ ⇔ ν 2 = ν 3 , ν1 ∈ R , ν 3 ∈ R ⎨(1 − 4)ν 2 + 3ν 3 = 0 ⇔ ⎨ ⎩3ν 2 − 3ν 3 = 0 ⎪3ν + (1 − 4)ν = 0 3 ⎩ 2

Deci Eλ=3={ν/ν=(k,h,h) k,h є R} Dimensiunea subspaţiului propriu Eλ=3 este doi cât este şi ordinul de multiplicitate a valorii proprii λ=3. 30

Vectorii proprii corespunzători valorii proprii λ3=-2 sunt soluţiile sistemului.

⎧(4 + 2)ν1 = 0 ⎧6ν1 = 0 ⎪ ⎪ ⎨(1 + 2)ν 2 + 3ν 3 = 0 ⇔ ⎨3ν 2 + 3ν 3 = 0 ⇔ ν1 = 0, ν 2 = −ν 3 , ν 3 ∈ R ⎪3ν + (1 + 2)ν = 0 ⎪3ν + 3ν = 0 3 3 ⎩ 2 ⎩ 2 Deci Eλ=-2 = {ν/ν=(0,-p,p) p ∈ R} a cărei dimensiune este unu.

⎛4 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ Matricea AT se transformă A’T = ⎜ 0 4 0 ⎟ ⎜ 0 0 − 2⎟ ⎠ ⎝ într-o bază B = {b1, b2, b3} unde b1, b2 ∈ Eλ=4 şi b3 ∈ Eλ=-2 ca de exemplu: B = {b1=(1,2,2); b2=(-1,1,1); b3=(0,-3,3)} 1.7. Forme liniare. Forme pătratice Definiţie: Fie v spaţiu vectorial peste corpul real, de dimensiune n. O aplicaţie f: V → R este o formă (transformare sau operator) liniar decât este aditivă şi omogenă. f(x+y)=f(x)+f(y) (∀) x, y ∈ V f(λx)= λf(x)

(∀) x ∈ V, (∀) λ ∈ R

OBSERVAŢIE

Această aplicaţie ataşează fiecărui vector x = (x1, x2,......,xn) ∈ V scris într-o bază a spaţiului unui număr real f(x) ∈ R. Definiţie Fie V spaţiu vectorial peste corpul R de dimensiune n. O aplicaţie f: V x V → R este o formă biliniară dacă este liniară în raport cu ambele argumente: f(ax1+bx2, y)=af(x1, y)+b(x2,y) f(x,ay1+by2)=af(x,y1)+b(x,y2) (∀) x1, x2, y ∈ V, (∀) a, b ∈ R

31

1.7.1. Scrierea unei forme biliniare sub formă matricială. Fie spaţiul vectorial V o bază B = {b1,....bn} Atunci vectorii x,y є V se pot scrie: x=x1b1+.....+xnbn y=y1b1+......+ynbn Aplicaţia f: VxV → R se scrie f(x,y) = f (x1b1+......+xnbn, y1b1+........+ynbn) = =

n

n

n

n

∑∑ xi yi f (bi , b j ) = ∑∑ xi x j aij i =1 j =1

i =1 j =1

⎛ a11 ... a1n ⎞ ⎛ y1 ⎞ T ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ =x Ay ⎝ a n1 ..... a nn ⎠ ⎝ y n ⎠

sau f(x,y)=(x1,...xn) ⎜⎜

OBSERVAŢIE: O formă biliniară este determinată dacă se cunoaşte matricea formei A. Exemple: Fie o formă biliniară f: R x R → R, f(x,y) = x1y12x2y1+x1y2. Vectorii x,y sunt exprimaţi în baza canonică. Care este matricea formei biliniară în baza canonică? Care este matricea formei ⎛5⎞ ⎛3⎞ biliniare în baza B={b1,b2} b1= ⎜⎜ ⎟⎟, b 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ? ⎝ 6⎠ ⎝ 4⎠ Soluţie:

⎛ a11 ⎝ a21

f(x,y)=(x1,x2) ⎜⎜

a12 ⎞ ⎟ a22 ⎟⎠

⎛ y1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = (x1a11+x2a21 x1a12+x2a22) ⎝ y2 ⎠

⎛ y1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ y2 ⎠

= x1y1a11+x2y1a21+x1y2a12+x2y2a22. Această formă o identificăm cu forma biliniară dată: f(x,y)=x1y12x2y1+x1y2 Se obţine matricea formei în baza canonică

⎛ 1 1⎞ ⎟⎟ ⎝ − 2 0⎠

Af = ⎜⎜

Cei doi vectori x, y scrişi în baza B={b1, b2}devine:

⎛ x1 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎛α 1 ⎞ ⎛ 3α 1 + 5α 2 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ x 2 ⎠ ⎝ 4 6 ⎠ ⎝α 2 ⎠ ⎝ 4α 1 + 6α 2 ⎠

x = B · α ⇔ ⎜⎜ 32

⎛ y ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎛ β1 ⎞ ⎛ 3β1 + 5β 2 ⎞ y = B · β ⇔ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ y 2 ⎠ ⎝ 4 6 ⎠ ⎝ β 2 ⎠ ⎝ 4β1 + 6β 2 ⎠ În consecinţă forma biliniară devine: ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 3 β 1 + 5β 2 ⎞ f(x, y) = (3α1+5α2; 4α1+tα2) ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ − 2 0 ⎠ ⎝ 4 β1 + 6 β 2 ⎠ = -3α1 β1-7α1 β2-α2 β1- 5α2 βn. Se obţine matricea formei biliniare în baza B: ⎛− 3 − 7⎞ Af = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −1 − 5⎠ Definiţie: O formă biliniară se numeşte forma biliniară simetrică dacă matricea formei este o matrice simetrică, adică matricea A este egală cu transpusa sa: Af = ATf Definiţie: Fie un spaţiu vectorial V peste corpul real R de dimensiunea n. O aplicaţie g: V → R este o formă pătratică dacă există o aplicaţie biliniară simetrică f: VxV → R astfel încât g(x) = f(x,x) (∀) x єV

Observaţie:

⎛ a 11 ....a 1n ⎞ ⎟ ⎜ f(x,x)=x Ax=(x1.....xn) ⎜ : ⎟ ⎜ a ....a ⎟ nn ⎠ ⎝ n1 T

⎛ x1 ⎞ n n ⎜ ⎟ ⎜ : ⎟ = ∑∑ a ij x i x j ⎜ x ⎟ i =1 j=1 ⎝ n⎠

unde A matricea simetrică adică aij=aji. Exemple: 1. Fie f: R2xR2 → R o formă biliniară simetrică f(x, y) = 2x1y1+x1y2+4x2y2+x2y1. Care este matricea formei biliniare? Care este forma pătratică?

⎛2 1⎞ ⎟⎟ A simetrică deoarece a12=a21=1 ⎝ 1 4⎠

A= ⎜⎜

Forma pătratică

⎛ 2 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = (2x1+x2, x1+4x2) ⎝ 1 4 ⎠ ⎝ x2 ⎠

g(x)=f(x,x)=(x1x2) ⎜⎜

⎛ x1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ x2 ⎠

= 2x12+x2x1+x1x2+4x22=2x12+2x1x2+4x22 33

2. Fie g: R3 → R o formă pătratică g(x)=x12+2x1x3-x2x3+x22+3x32 să se scrie matricea formei pătratice.

0 1 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 − 1 / 2 ⎟ matrice simetrică A= ⎜ 0 ⎜ 1 − 1/ 2 3 ⎟⎠ ⎝ Definiţii: 1. O formă pătratică g: V → R este pozitiv definită dacă toţi minorii matricei simetrice A sunt strict pozitivi. Minorii sunt:

a Δ 1 = a11 ; Δ 2 = 11 a 21

a11 ....a1n a12 ......, Δ n = : a 22 a n1 ....a nn

2. O formă pătratică g: V → R este semipozitiv definită dacă minorii sunt: Δ1 ≥0, Δ2 ≥0, ...., Δn ≥ 0. 3. O formă pătratică g: V → R este negativ definită dacă minorii impari Δ1, Δ3,.... sunt strict negativi iar cei pari Δ2, Δ4,....sunt strict pozitivi. 4. O formă pătratică este seminegativă definită dacă Δ1 ≤ 0, Δ3 ≤ 0,..... şi Δ2 ≥ 0, Δ4 ≥ 0,.... 5. O formă pătratică pentru care nu sunt îndeplinite nici una din condiţiile anterioare este o formă pătratică nedefinită. Exemple. Să se stabilească natura formelor pătratice: g1(x) = 8x12-6x1x2+2x2x3+4x22+x32 g2(x) = x12-4x1x2+4x22 g3(x) = -2x12-y1x2-x22 g4(x) = x12-3x1x2+2x1x3-2x2x3+x32

Soluţie:

⎛ 8 − 3 0⎞ ⎜ ⎟ A1 = ⎜ − 3 4 1 ⎟ Δ1 = 8 〉 0; Δ 2 = 23 〉 0; Δ 3 = 15 〉 0 ⎜ 0 1 1 ⎟⎠ ⎝ g1(x) este o formă pătratică pozitivă definită 34

⎛ 1 − 2⎞ ⎟⎟ Δ 1 = 1 〉 0; Δ 2 = 0 A 2 = ⎜⎜ ⎝− 2 4 ⎠ g2(x) este o formă pătratică semipozitivă definită

⎛ − 2 −1/ 2 ⎞ ⎟⎟ Δ1 = −2 〈 0; Δ 2 = 7 / 4 〉 0 A3 = ⎜⎜ ⎝ −1/ 2 −1 ⎠ − 3/ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ -1 A4 = ⎜− 3/ 2 0 − 1⎟ Δ 1 = 1 〉 0; Δ 2 = -9/4 〈 0; Δ 3 = 〈 0 4 ⎜ 1 1 ⎟⎠ −1 ⎝ g3(x) este o formă pătratică negativă diferită g4(x) – formă pătratică nedefinită Definiţie. Fie g: V→R o formă pătratică. Într-o bază a spaţiului B є V forma pătratică g are o formă canonică dacă matricea formei este o matrice diagonală adică: g(y)=b1y12+b2y22+....+bryr2 r = rang A < n;

1.8. Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică 1.8.1. Metoda Jacobi Fie o formă pătratică g: V → R g(x) = xTAx, A – matrice simetrică. Dacă toţi minorii matricei A sunt neutri atunci există o bază B a spaţiului V astfel încât forma pătratică să se transforme în formă canonică:

g(y) =

Δ 1 2 Δ1 2 2 y1 + y 2 + ..... + n −1 y n Δ2 Δn Δ1

(y1,....., yn) reprezintă coordonatele vectorului x în baza B. 1.8.2. Metoda valorilor proprii Această metodă determină valorile cu ajutorul ecuaţiei caracteristice ataşată matricei formei. Dacă această matrice poate fi transfor35

mată într-o matrice diagonală. [îndeplineşte condiţiile teoremei 1.4.5.] atunci se poate determina o bază în care se poate scrie forma canonică. 1.8.3. Metoda Gauss Această metodă formează pătrate perfecte când conţine cel puţin un aii ≠ 0. Exemplul 1: Să se transforme forma pătratică g:R3 → R, g(x) = x22 - x32 + +4x1x2 - 4x1x3 într-o formă canonică. Soluţie. Matricea formei este:

⎛ 0 2 − 2⎞ ⎟ ⎜ A=⎜ 2 1 0 ⎟ ⎜− 2 0 −1⎟ ⎠ ⎝ Minorii Δ 1 = 0; Δ 2 =

0 2 2 1

0

2 −2

= - 4; Δ 3 = 2 1 −2 0

0 =0

−1

Metoda Jacobi nu se poate aplica căci avem minori nuli. Vom încerca metoda vectorilor proprii scriind ecuaţia caracteristică din întrecerea A.

2 −2 ⎞ ⎛0 − λ ⎜ ⎟ P (λ ) = ⎜ 2 1− λ 0 ⎟ = λ (-λ2 + 9) = 0 ⎜ −2 0 − 1 − λ ⎟⎠ ⎝ λ 1 = 0; λ 2 = −3; λ 3 = 3 Valori proprii distincte subspaţiului propriu al valorii proprii λ1=0 se obţine din sistemul: ⎧2 x 2 − 2 x 3 = 0 ⎧− λ1 x1 + 2 x 2 − 2 x3 = 0 ⎪ 2 x x ⎪ ⇔ ⎨2 x1 + x 2 = 0 ⇔ x 2 = x3 ; x1 = − 2 ; x1 = − 3 ⇒ ⎨2 x1 + (1 − 11 ) x 2 = 0 2 2 ⎪− 2 x − x = 0 ⎪ − 2 x + ( −1 − λ ) x = 0 1 1 3 1 3 ⎩ ⎩

36

Eλ 1 = 0 = {x / x = ( k ,−2k , − 2k ), k ∈ R} Printr-un calcul similar se obţine: Eλ2=-3= {x/x=(h,

1 h,h), h є R} 2

Eλ3=3 = {x/x=(-2t, -2t, t) t є R} În consecinţă matricea A se poate scrie ca o matrice diagonală ⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟ 2 2 A = ⎜ 0 − 3 0 ⎟ care conduce la forma canonică g(y) = -3y2 +3y3 ⎜ 0 0 3⎟ ⎝ ⎠

Baza în care s-a făcut transformarea se obţine din trei vectori care aparţin celor trei subspaţii ale vectorilor proprii ca de exemplu: B={b1 =(1, -2, -2) b2=(2, 1, 2) b3=(2, 2, -1)} Exemplul 2: Să se scrie o formă canonică a formei pătratice: g(x) = 2x12+3x22+8x32+2x1x2-8x1x3+6x2x3 Soluţie: Matricea formei este:

⎛ 2 1 − 4⎞ ⎟ ⎜ A=⎜ 1 3 3 ⎟ ⎜− 4 3 8 ⎟ ⎠ ⎝ Minorii

Δ 1 = 2; Δ 2 =

2 1 1 3

2

1 −4

= 6 − 1 = 5, Δ 3 = 1 3 −4 3

3 = −50 8

1 2 2 2 50 2 1 1 2 2 3 y1 + y 2 − y 3 = y1 + y 2 − 10 y 3 2 5 5 2 5 La această formă pătratică se poate folosi şi metoda lui Gauss. 1 1 g(x)= [2x1+x2-4x3]2 - x22 +8x32+4x2x3+3x22+8x32+6x2x3 2 2 Elementul a11=2≠0 se va forma un pătrat perfect cu cei trei termeni ce conţin pe x1 [2x12 + 2x1x2 –8x1x3] Atunci g ( y ) =

37

Pentru restul termenilor se caută forma unui nou pătrat perfect cu termeni ce conţin pe x2 g ( x) =

1 [2 x1 + x 2 − 4 x3 ]2 + 5 x 2 2 + 10 x2 x3 = 1 [2 x1 + x2 − 4 x3 ]2 + 2 ⎡⎢ 5 x2 + 5 x3 ⎤⎥ − 10 x3 2 2 2 2 5 ⎣2 ⎦

Substituind: y1 = 2x1 + x2 - 4x3 y2 = 5 x2+5x3 2

y3 = x3 obţinem forma canonică 1 2 2 2 2 y1 + y 2 − 10 y 3 2 5 OBSERVAŢIE g(y) =

Dacă toţi coeficienţii aii = 0 unei forme pătratice g(x) sunt nuli atunci nu se poate aplica nici o metodă de mai înainte. În această situaţie se va face întâi o transformare de forma: xi = y i - y j xj = y i + y j xk = yk, k≠i,j Exemplu Să se reducă forma pătratică g: R3 → R g(x) = x1x2 + 2x2x3 + x1x3 la o formă canonică ⎛ 0 1/ 2 1/ 2 ⎞ ⎟ 1 ⎟ ⎜1 / 2 0 ⎜1 / 2 1 0 ⎟⎠ ⎝

Soluţie. Matricea formei este ⎜ Vom face transformarea x 1 = y1 - y 2 x 2 = y1 + y2 x 3 = y3

În aceste condiţii, forma pătratică devine: g(y) = (y1-y2)(y1+y2) + 2(y1+y2)y3 + (y1 – y2)y3 = y12 – y22 + 3y1y3 + y2y3 cu matricea 0 3 / 2⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ A=⎜ 0 − 1 1/ 2 ⎟ ⎜ 3 / 2 1/ 2 0 ⎟ ⎝ ⎠ 38

Minorii, prin metoda Jacobi, sunt: Δ1=1; Δ2=-1; Δ3=2 g(z) = z12 – z22 – 1/2 z3. APLICAŢII

1. Să se rezolve prin metoda eliminării complete Gauss următoarele sisteme:

⎧x 1 + x 2 − 2x 3 + x 4 = 1 ⎪ a .⎨ x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 = 2 ⎪3 x + 5 x + 4 x − 5 x 2 3 3 ⎩ 1 ⎧3x 1 + x 2 − 5 x 3 = 2 ⎪ b. ⎨ − x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 1 ⎪4 x − x − 8x = 5 2 3 ⎩ 1 ⎧x 1 + x 2 + 5x 4 = 1 ⎪2 x + x + x = 2 ⎪ 1 3 4 c⎨ − + − x 2 x x3 = 2 2 ⎪ 1 ⎪⎩ x 1 + x 2 + 2 x 3 − x 4 = 1 Rezolvare. Se aduc sistemele la sisteme echivalente diagonale: a) 1 1 3 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 2 5 1 1 2 0 1 0 0 1 0

-2 3 4 -2 5 10 -7 5 0 -7 -5 0

1 -1 -5 1 -1 -8 3 -2 -4 0 0 1

1 2 3 1 1 0 0 1 -2 3/2 -2 1/2 39

b)

3 1 -5 -1 2 3 4 -1 -8 1 1/3 -5/3 0 7/3 4/3 0 -7/3 -4/3 1 0 -39/21 0 1 4/7 0 0 0

0

2 1 5 2/3 5/3 -7/3 9/7 5/7 -2/3

a) Sistem compatibil nedeterminat cu: x1=3/2-7x3; x2 = -2 + 5x3; x3 є R; x4 =1/2 b) Sistem incompatibil. Rang A = 2, Rang A =3 c) Metoda eliminării complete poate determina sisteme echivalente diagonale şi scriind pe orizontală ⎛1 1 ⎜ ⎜2 0 ⎜ −1 2 ⎜ ⎜1 1 ⎝ ⎛1 0 ⎜ ⎜0 1 ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎝

0 5 1 1 −1 0 2 −1

1⎞ ⎛1 1 0 5 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜0 - 2 1 - 9 ≈ 2⎟ ⎜0 3 - 1 5 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 2 - 6

− 2 ⎞ ⎛1 9 ⎟ ⎜ 0 − 4 3 ⎟ ⎜0 ≈ 1 17 6 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 0 28 − 12 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0

1⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0 ≈ 3⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

0 1/ 2 1/ 2 1 − 1/ 2 − 9 / 2 0 1 / 2 − 17 / 2 −6 0 2

0 0 0 13 / 7 ⎞ ⎟ 1 0 0 9/7 ⎟ 0 1 0 − 9 / 7⎟ ⎟ 0 0 1 − 3 / 7 ⎟⎠

Sistem unic determinând soluţia: x1 =

3 13 9 9 ; x2 = ; x3 = ; x4 = 7 7 7 7

2. Să se rezolve sistemele:

⎧2 x1 + x 2 − x3 = 6 ⎪x − x + 2x = 0 ⎪ 1 2 3 a)⎨ ⎪2 x1 − 2 x 2 = −2 ⎪⎩ x1 + 2 x 2 − x3 = 3 40

1⎞ ⎟ 0⎟ ≈ 3⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

⎧ x1 + x 2 - x 3 = 1 ⎪ x + 2x = 2 ⎪ 2 3 b)⎨ ⎪ x1 + 2x 2 = 4 ⎪⎩3x1 + 5x 2 = 0

Soluţii: a. Sistem unic determinat x1=1; x2=2; x3=-2 b. Sistem incompatibil. 3. Să se studieze dependenţa liniară a sistemelor de vectori: a) v1=(1, 3, -1,1); v2= (0,1,1,0); v3=(-2,1,1,0) în R4 b) v1= (2,1,-3); v2=(4,5,-1); v3=(1,2,1) în R3 c) v1=(0,2,3); v2=(1,-1,3); v3=(-2,1,3) în R3 Rezolvare. a) Se consideră relaţia: α1ν1+α2ν2+α1ν3=0 înlocuind vectorii v1, v2, v3 se obţine:

⎧α 1 − 2α 3 = 0 ⎛1 ⎜ ⎪3α + α + α = 0 ⎪ 1 ⎜3 2 3 ⇔ A=⎜ ⎨ −1 ⎪− α 1 + α 2 + α 3 = 0 ⎜ ⎜1 ⎪⎩α 1 = 0 ⎝

0 − 2⎞ ⎟ 1 1 ⎟ 1 1 ⎟ ⎟ 0 0 ⎟⎠

Matricea vectorilor. Rang A =3 ⇒ Sistemul omogen este unic determinat cu soluţia α1=α2=α3=0 ⇒ Cei trei vectori sunt liniar independenţi. b) Pornind de la aceeaşi relaţie se obţine sistemul:

⎧2α 1 + 4α 2 + α 3 = 0 ⎪ ⎨α 1 + 5α 2 + 2α 3 = 0 ⎪− 3α − α + α = 0 1 2 3 ⎩

4 1⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ A=⎜ 1 5 2 ⎟ rang A = 2 ⇒ sistem nedeterminat cu ⎜− 3 −1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 soluţia α 1 = α 3 , α 2 = − α 3 , α 3 = k ∈ R 2 2 Cei trei vectori sunt liniar dependenţi. Relaţia de dependenţă a celor trei vectori este:

k k ν 1 − ν 2 + kν 3 = 0 2 2 41

c) Se scrie matricea vectorială:

⎛ 0 1 − 2⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 2 − 1 1 ⎟ A = - 21 ⇒ rang A = 3 ⎜3 3 3 ⎟⎠ ⎝ Cei trei vectori sunt liniari independenţi. 4. În spaţiul R3 se dau vectorii: v1=(2,1,3), v2=(-1, 2, 0), v3=(1, 0, -2). Să se arate că aceştia formează o bază. Se cer coordonatele vectorului v = (2,2,2) în această bază. Rezolvare: Cei trei vectori v1, v2, v3 vor forma o bază în R3 dacă vor fi liniari independenţi. Se scrie matricea:

⎛2 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜1 2 0 ⎟ Se calculează │A│= -16 ⇒ rang A = 3 ⇒ ⎜ 3 0 − 2⎟ ⎝ ⎠ vectorii sunt liniari independenţi. Vectorul v se va scrie: v = α1v1 + α2v2 + α3v3 ⇒ (2,2,2) = α1(2,1,3) + + α2(-1,2,0) + α3(1,0,-2) ⇒

⎧2α 1 − α 2 + α 3 = 2 ⎪ ⇒ ⎨α 1 + 2α 2 = 2 ⎪3α − 2α = 2 2 ⎩ 1 Sistemul trebuie să aibă soluţie unică şi anume:

α 1 = 1, α 2 = 1 / 2, α 3 = 1 / 2

Coordonatele vectorului v în baza {v1, v2, v3} sunt (1, 1/2, 1/2).

5. În R4 se dau vectorii z1=(1,1,1,1) x2=(0,1,0,1) x3=(2,1,0,0) x4=(-1,0,-1,1). Să se arate că aceştia formează o bază. Să se scrie coordonatele vectorului x = (2,1,2,1) în această bază. Soluţie: Formează bază căci determinantul de ordinul patru este diferit de zero. Coordonatele vectorului în baza {x1, x2, x3, x4} sunt (2, -1, 0, 0). 6. Să se calculeze produsul scalar al vectorilor: a) v1=(1,-2,0,3,4); v2=(1,4,-2,1,2) în R5 42

⎛1 ⎝3

1⎞ 3⎠

b) x1 = (2,1,1/2),v 2 = ⎜ ,2,− ⎟ în R3 Rezolvare: a) =1·1+(-2) · 4 + 0(-2) + 3 · 1 + 4 · 2 = 4 < x1, x2> = 2 ⋅

1 1 ⎛ 1 ⎞ 15 + 1⋅ 2 + ⋅ ⎜ − ⎟ = 3 2 ⎝ 3⎠ 6

7. Să se normeze vectorii: v1=(3,2,1,3), v2=(0,2,-3,1) *

Rezolvare: v1 = *

v2 =

⎛ 3 3 ⎞ 1 2 , ⎟⎟ , , (3,2,1,3) = ⎜⎜ 23 ⎝ 23 23 23 23 ⎠

1

1 ⎞ 3 2 ⎛ , ,− (0,2,−3,1) = ⎜ 0, ⎟ 14 14 ⎠ 14 14 ⎝

1

8. Fie baza b1 = (1, 1, 2)T, b2 = (-1, 2, 5)T, b3 = (0, 1, 4)T în R3. Să se construiască o bază ortogonală în spaţiul R3. Rezolvare: Luăm procedeul Gramm-Schmidt.

a1 = b1 = (1,1,2)T , a 2 = b2 − λ

21

a1 cu λ 21 =

〈b 2 , a 1 〉 1 = 〈 a 1a 1 〉 6

1 ⎛ 7 11 2 ⎞ (1,1,2) T = ⎜ − , ,− ⎟ ; a3 = b3 - λ31 a2 cu 6 ⎝ 6 6 6⎠ 〈b , a 〉 29 36 =1 λ 32 = 2 2 = ⋅ 〈 a2 , a2 〉 6 174

deci a 2 = ( −1,2,0) T −

λ 31=

〈b3 , a1 〉 9 = 〈 a1 , a1 〉 6

3 ⎛ 7 11 − 2 ⎞ ⎛ 2 − 7 4 ⎞ , ⎟ a3 = (0,1,4) − (1,1,2) − 1⎜ − , , ⎟ = ⎜− , 2 ⎝ 6 6 6 ⎠ ⎝ 6 3 3⎠ Vectorii: {a1, a2, a3} formează o bază ortogonală.

9. Să se verifice că vectorii {a1, a2, a3} şi {b1, b2, b3} formează două baze ale spaţiului R3. Să se găsească relaţiile care există între coordonatele unui vector v scris în cele două baze. Vectorii sunt: a1 = (1, 2, -3); a2 = (3,1,0); a3 = (-2, 1, 4); b1 = (2,-2,1); b2 = (1,4,0); b3 = (0,1,4). Rezolvare: Se scriu matricele A şi B şi se calculează rangurile lor. 43

⎛ 1 ⎜ A=⎜ 2 ⎜− 3 ⎝ ⎛2 ⎜ B = ⎜- 2 ⎜1 ⎝

3 − 2⎞ ⎟ 1 1 ⎟ A = −35 ⇒ rang A = 3 0 4 ⎟⎠ 1 0⎞ ⎟ 4 1⎟ B = 41 ⇒ rang A = 3 ⎟ 0 4⎠

Deci: A= {a1, a2, a3} şi B = {b1, b2, b3} sunt baze în R3 Fie: νA=(ν1, ν2, ν3) ⇒ în baza A νA= ν1a1+ν2a2+ν3a3 νB=(w1, w2,w3) ⇒ în baza B νB=W1b1+w2b2+w3b3 ⇒ νT=A·νAT şi νT=BνBT Deci AνAT=BνBT Relaţia care înmulţită la stânga cu A-1 se obţine: νAT=A-1·B·νB −1

⎛ν 1 ⎞ ⎛ 1 3 - 2 ⎞ ⎛ 2 1 0 ⎞⎛ w1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ν 2 ⎟ = ⎜ 2 1 1 ⎟ ⎜ − 2 4 1 ⎟⎜ w2 ⎟ ⎜ν ⎟ ⎜ - 3 0 4 ⎟ ⎜ 1 0 4 ⎟⎜ w ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 10. Să se arate că următoarele aplicaţii sunt aplicaţii liniare: a) f: R3 → R2 f(x1, x2, x3) = (2x1 – x3, 2x2) b) f: R2 → R2 f(x1, x2) = (x1-x2, 2x1-x2) Rezolvare: a) Fie: x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) є R3 şi α, β є R Calculăm: αx + βy = (αx1+ βy1, αx2+ βy2, αx3+βy3) ⇒ f(αx + βy) = (2(αx1+ βy1)-( αx3+ βy3), 2(αx2+ βy2)= =α(2x1-x3, 2x2), + β(2y1-y3,2y3)= αf(x)+ βf(y) Deci f este operator liniar. b) Fie xF(x1,x2), y=(y1y2) є R2 şi α, β є R αx+ βy=(αx1 + βy1, αx2 + βy2) ⇒ f(αx+ βy)=( αx1+ βy1 - αx2- βy2, 2αx1+ 2βy1 - αx2- βy2) = = (α(x1-x2)+ β(y1-y2), α(2x1-x2)+ β(2y1-y2))= = α(x1-x2, 2x1-x2) + β(y1-y2, 2y1-y2)= αf(x)+ βf(y) Deci f este aplicaţie liniară. 44

11. Fie aplicaţia f: R3 → R2, f(x) = (x12, x1-x3). Să se verifice dacă este o aplicaţie liniară. Rezolvare: x=(x1,x2,x3) y=(y1,y2,y3) şi α, β є R αx+ βy = αx1+ βy1, αx2+ βy2, αx3+ βy3 ⇒ f(αx+ βy) = (αx1+ βy1)2, αx2+ βy2-αx3- βy3)= (α2x12+ β2y12+2αβx1y1+α(x2-x3)+ β(y2-y3)) ≠ ≠αf(x)+ βf(y) Deci f nu este operator liniar. 12. Fie aplicaţia liniară f: R2 → R3 f(x1x2)= (x1+2x2, -x1, x1+x3). Să se scrie matricea ataşată operatorului f. Rezolvare: Matricea aplicaţiei liniare este:

⎛ 1 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0⎟ ⎜ 1 1⎟ ⎝ ⎠ 13. Fie aplicaţia liniară f: R3 → R3 cu f(x) = (2x1+x2+x3, 2x1+3x2+2x3, 3x1+3x2+4x3) Să se scrie matricea ataşată aplicaţie liniare, să se determeni vectorii şi valorile proprii. Să se determine o bază în care aplicaţia se poate aduce la o formă diagonală. Rezolvare: Matricea formei este:

⎛2 1 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 3 2⎟ ⎜ 3 3 4⎟ ⎝ ⎠ Pentru a determina valorile proprii se scrie ecuaţia caracteristică P(λ)=│A-λE│= 0

1 1 ⎞ ⎛2 −1 ⎜ ⎟ P (λ ) = ⎜ 2 3−λ 2 ⎟ = (λ - 1) 2 (λ - 7) = 0 ⎜ 3 3 4 − 1⎟⎠ ⎝ Deci aplicaţia are valorile proprii λ1=λ2=1 şi λ3=7 45

Vectorii proprii corespunzători valorilor proprii vor fi soluţii ale sistemelor:

⎧(2 − λ1 ) x 1 + x 2 + x 3 = 0 ⎪ ⎨2 x 1 + (3 − λ1 ) x 2 + 2x 3 = 0 ⎪3x + 3x + (4 − λ ) x = 0 2 1 3 ⎩ 1

⎧(2 - λ 3 ) x 1 + x 2 + x 3 = 0 ⎪ 3 ⎨2 x 1 + ( x − λ 3 ) x 2 + 2x 3 = 0 ⎪3x + 3x + (4 − λ ) x = 0 2 3 3 ⎩ 1

⎧x 1 + x 2 + x 3 = 0 ⎪ ⎨2 x 1 + 2 x 2 + 2x 3 = 0 ⎪3x + 3x + 3x = 0 2 3 ⎩ 1

⎧- 5x 1 + x 2 + x 3 = 0 ⎪ ⎨2x 1 - 4x 2 + 2x 3 = 0 ⎪3x + 3x - 3x = 0 2 3 ⎩ 1

Subspaţiile vectorilor proprii Eλ=1 şi Eλ=7 sunt: Eλ=1={x/x=(-k-h,h,h) k,h ∈ R} dim Eλ=1=2 Eλ=7={x/x=(k,2k,3k,) k ∈ R} dim Eλ=7=1 Matricea A poate fi transformată într-o bază, într-o matrice diagonală deoarece subspaţiile vectorilor proprii au dimensiuni egale cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii respective. Deci:

⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 1 0 ⎟ într - o baza B = (b1 , b2 , b3 ) ⎜0 0 7⎟ ⎝ ⎠ 14. Fie aplicaţiile liniare f: R3 → R3 a) f1(x)=(2x1+2x3, x1+x2) b) f2(x)=(2x1-x2, -x1+2x3, -x2+2x3) Se cere să se scrie matricea ataşată aplicaţiilor. Să se determine valorile şi vectorii proprii; să se determine baza în care matricele pot fi diagonalizate. Răspuns:

⎛ 2 2⎞ ⎟⎟; λ1=0; λ2=3 O bază în care: a) A = ⎜⎜ ⎝1 1⎠ ⎛ 0 0⎞ ⎟⎟ este B={b1=(1,-1) b2=(2,1)} A = ⎜⎜ ⎝ 0 3⎠ 46

⎛ 2 −1 0⎞ ⎜ ⎟ b) A = ⎜ − 1 0 2 ⎟ ; λ1=λ2=1; λ3=2. Nu există o bază din R3 ⎜ 0 −1 2⎟ ⎝ ⎠ în care să se poată diagonaliza matricea formei A. 15. Să se aducă la forma canonică, prin metoda lui Gauss, formele pătratice: a) g1(x) = 2x12+α22+x32-2x1x2+4x1x3-2x2x3 b) g2(x)=5x12+6x22+4x32-4x1x2-4x1x3 Rezolvare: a) Observăm că avem coeficienţii aii ≠ 0, de exemplu a11 =2. Se aleg toţi termeni care pe xn formând un pătrat cu aceştia.

1 (2x1 - x2 + 2x3)2 2 1 1 1 - x22 - 2x32+2x3x3+x2+x3-2x2x3 = (2x1-x2+2x3)2+ x22-x32 2 2 2 g(x) = (2x12 - 2x1x2 + 4x1x3) + x2 + x3 - 2x2x3 =

Dacă notăm: y1=2x1-x2+2x3; y2=x2; y3=x3 atunci:

g 1 (y) =

1 2 1 2 2 y1 + y 2 − y 3 2 2

b) Procedând similar se obţine:

g 1 (y) =

1 2 5 2 40 2 y1 + y2 + y3 5 26 13

⎧ y1 = 5 x1 − 2 y 2 − 2 x3 ⎪ 26 4 ⎪ unde ⎨ y 2 = x2 − x2 5 5 ⎪ ⎪⎩ y 3 = x3

16. Utilizând metoda valorilor proprii să se aducă la forma canonică următoarele forme pătratice: a) g1(x) = 5x12 + 6x22 + 4x32 - 4x1x2 - 4x1x3 b) g2(x) = x12 + 5x22 + x32 + 2x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3 Rezolvare: a) Se scrie matricea simetrică a formei pătratice 47

⎛ 5 − 2 − 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜− 2 6 0 ⎟ ⎜− 2 0 4 ⎟⎠ ⎝ Se determină valorile proprii scriind ecuaţia caracteristică a acestei matrici.

5−λ −2 P(λ) = − 2 6 − λ −2 0

−2 0 = ( λ - 2) ( λ - 5) ( λ - 8) = 0 4−λ

Valorile proprii sunt: λ1=2, λ2=5, λ3=8 Subspaţile vectorilor proprii: Eλ1={x/x=(2a, a, 2a) a є R} Eλ2= {x/x= (a, 2a, -2a), a є R } Eλ3= {x/x=(-2a, 2a, a) a є R } Vectorii ν1 = (2,1,2) ∈ Eλ1; ν2 = (1,2,-2) ∈ tλ2; ν3 = (-2, 2, 1) ∈ tλ3 formează o bază ortogonală a spaţiului R3. Vectorii normaţi w1 =

w2 =

ϑ1 ⎛ 2 1 2 ⎞ =⎜ , , ⎟ ϑ1 ⎝ 5 5 5 ⎠

ϑ ⎛ − 2 2 1⎞ ϑ2 ⎛ 1 2 − 2 ⎞ = ⎜ , , ⎟ şi w3 = 3 = ⎜ , , ⎟ formează o bază ϑ2 ⎝ 5 5 5 ⎠ ϑ3 ⎝ 5 5 5 ⎠

ortonormată în care forma pătratică se transformă în forma canonică: g1(y)=2y12+5y22+8y3 b) Similar se obţine: g2(y)=-2y12+3y22+6y32 într-o bază ortonormată 1 ⎞ ⎛ 1 , 0, w1 = ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2

48

⎛ 1 1 1 ⎞ ,− , ⎟⎟ w2 = ⎜⎜ 3 3⎠ ⎝ 3

⎛ 1 2 1 ⎞ , , ⎟⎟ w3 = ⎜⎜ ⎝ 6 6 6⎠

2. PROGRAMARE LINIARĂ 2.1. Introducere

În prezent o serie de activităţi economice şi sociale complexe conduc la rezolvarea unor probleme de optimizare. Astfel, probleme din domeniul planificării producţiei, de planificare a investiţiilor, probleme de transport, probleme de dietă etc. conduc la probleme de optimizare ale căror soluţii optime trebuie determinate. Modelarea lor matematică a permis utilizarea aparatului matematic furnizat de algebra liniară pentru determinarea soluţiilor optime. De exemplu, modelarea în unele probleme economice poate fi făcută astfel: notând cu xi (i = 1,..., n) nivelele la care trebuie să se desfăşoare n activităţi şi prin f (x1,.., xn) funcţia obiectiv (de eficienţă) se cere să se determine valorile variabilelor Xi, (i = 1,..., n) aşa încât funcţia obiectiv să ia valoarea maximă (minimă). [max/min] f (x1,..., xn) (2.1.1.) cu condiţiile (2.1.2.) fj (x1,..., xn) ≥ 0, 0 ≤ j ≤ m numite şi restricţiile problemei. Dacă funcţiile f şi fj,, (j = 1,..., m) sunt funcţionale liniare, problema este de programare liniară. Iată câteva exemple: Exemplul 1: Problemă de planificare a producţiei O întreprindere industrială dispune de materiile prime M1,...Mn, deci care fabrică produsele P1,...Pm. Dintr-o tonă de materie primă Mi (i = 1,..., n) se produc aij unităţi din produsul Pj (j = 1,..., m) (aij se numesc şi consumuri specifice). Lunar întreprinderea trebuie să producă bj (j = 1,..., m) unităţi din fiecare produs Pj . Dacă preţul unei tone din materia primă Mi este ci (i = 1,..., n), să se întocmească un plan de consum lunar al materiilor prime astfel încât pentru realizarea producţiei planificate, cheltuielile să fie minime. Fie xj cantitatea din materia primă Mi utilizată în procesul de producţie, aij xj reprezintă cantitatea de materie primă din resursa Mi 49

utilizată pentru producerea cantităţii de produs Pj, iar cantitatea totală din resursa Mi necesară pentru producţia totală formată din produsele P1,..., Pn este a1j x1 + a2j x2 + ....anj xn Ţinând seama de faptul că lunar întreprinderea trebuie să producă cel puţin bj unităţi din fiecare produs Pj (j = 1,..., m) a1j x1 + a2j x2 +....+ anj xn ≥ bj Deci, modelul matematic al problemei este n

∑a x i =1

ij

i

≥ bj ,

(j = 1,...,m)

xi ≥ 0, i = 1,..., n

(2.1.3.) (2.1.4.)

n

∑c x

[min] f =

1=1

i

i

(2.1.5.)

Condiţiile (3) sunt restricţiile problemei, (4) sunt condiţii de nenegativitate, iar f este funcţia obiectiv sau funcţia de eficienţă. Exemplul 2: O problemă de utilizare optimă a unor resurse. În condiţiile exemplului 1, deci din materiile prime R1,...,Rn care sunt limitate de cantităţile b1,..., bn se fabrică produsele P1,..., Pm. Se cunosc consumurile specifice aij ≥ 0 şi beneficiile unitare cj, (j = 1,..., m) (cj este suma realizată prin valorificarea unei unităţi din produsul Pj în unităţi băneşti). Se cere să se determine cantităţile xj, deci fiecare produs Pj care trebuie realizate astfel încât beneficiul să fie maxim. Modelul matematic al problemei este: m

∑a x j=1

ij

j

≤ bi

i = 1,..., n

xj ≥ 0, j = 1,..., m

(2.1.6.) (2.1.7.)

m

[max] f =

∑c x j=1

50

j

j

(2.1.8.)

Condiţiile (6) rezultă din faptul că nu putem consuma din fiecare m

resursă mai mult decât cantitatea de care dispunem, iar

∑c x j=1

j

j

reprezintă

încasările totale. Se pot da şi alte exemple de probleme de programare liniară, pe care le vom trata în cadrul acestui capitol. 2.2. Forma generală a problemei de programare liniară Forma generală a unei probleme de programare liniară este: n

∑a x i =1

ij

i

≤ bj ,

j = 1,..., k

(2.2.1.)

i

≥ bj ,

j = k+1,..., l

(2.2.2.)

i

= bj ,

j = l+1,..., m

(2.2.3.)

n

∑a x i =1

ij

n

∑a x i =1

ij

x i ≥ 0, x i ≥ 0,K , x i ≥ 0 , 1

2

p

(2.2.4.)

x i ≤ 0,K, x i ≤ 0 p +1

p+r

celelalte variabile nu au semnul specificat n

[max/min] f =

∑c x i =1

i

i

(2.2.5.)

A rezolva o astfel de problemă înseamnă a determina valorile nenegative ale variabilelor Xi care satisfac condiţiile (2.2.1.), (2.2.2.), (2.2.3.) (deci a determina nivelurile Xi la care se desfăşoară anumite activităţi) şi care optimizează funcţia obiectiv f (sau funcţie de eficienţă). O problemă de programare liniară poate fi formulată şi matriceal dacă toate inecuaţiile sistemului de restricţii au acelaşi sens (condiţie care poate fi uşor îndeplinită înmulţind cu –1 inecuaţiile (2.2.1.) sau (2.2.2.). De exemplu, notând cu A = (aij)m × n , b = (b1,...,bm)t , C = (c1,..., cm) şi 51

X = (x1,..., xn)t problema din ex. 1. Se scrie: AX ≤ b X≥0 (2.2.6.) [min] f = CX Forma standard a unei probleme de programare liniară este: AX = b (2.2.7.) X≥0 (2.2.8.) [max/min] f = CX (2.2.9.) Orice problemă de programare liniară poate fi adusă la forma standard şi anume: Toate inecuaţiile din sistemul de restricţii pot fi transformate în egalităţi adunând sau scăzând (după caz) o serie de variabile nenegative numite variabile ecart sau de compensare. În acest fel din matricea A = (aij) obţinem matricea Al obţinută din A la care s-au adăugat l vectori coloană cu toate elementele nule cu excepţia elementului situat pe linia j care este +1 pentru inecuaţiile ≤ sau –1 pentru inecuaţiile ≥, iar vectorul x = (x1,..., xn)t devine Xl obţinut din X prin adăugarea a l componente nenegative xn + 1,..., xn + l şi care reprezintă activităţi fictive. Analog C devine Cl = (c1,..., cn, 0,..., 0), adăugând la C, l componente nule. Variabilele nenegative x i1 K x i p rămân aceleaşi, iar în locul variabilelor

negative

xi p+1 ,K, xir vom introduce noi variabile

nenegative prin substituţiile wk = –xk (k = ip + 1,..., ir) Variabilele

x i ,K, x i r +1

n

care nu au semnul specificat se pot

înlocui fictiv cu diferenţa a două variabile presupuse nenegative şi anume:

x i k = u i k − v i k , u k ≥ 0, v k ≥ 0 , (k = r,..., n) Aceste modificări conduc la forma extinsă a problemei de programare liniară: Al Xl = b Xl ≥ 0 [max/min] f = Cl Xl care este forma standard. 52

Exemplul 1: Să se aducă la forma standard problema de programare liniară: ⎧ x1 + 3x2 – x3 – 2x4 + 3x5 = 7 ⎪ x1 – 2x2 – x3 + x5 + 2x6 ≤ 6 ⎨ –2x + 3x + 2x – x – x + x ≥ 4 1 2 3 4 6 7 ⎪ ⎩ 3x1 + x2 – x3 + 2x5 – x6 – 3x7 ≥ 3 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≤ 0, x7 ≤ 0, x4, x5, x6 fără restricţii de semn [max] f = 3x1 – 2x2 + x3 + x4 – x5 + 2x7. Pentru x3 şi x7 care sunt negative facem substituţiile w3 = –x3, w7 = –x7 , iar variabilele x4, x5, x6 care nu au restricţii de semn se vor înlocui cu x4 = u4 – v4 ; x5 = u5 – v5 ; x6 = u6 – v6 Cu aceste înlocuiri sistemul de restricţii devine: x1 + 3x2 + w3 – 2(u4 – v4) + 3(u5 – v5) = 7 x1 – 2x2 + w3 + (u5 – v5) + 2(u6 – v6) ≤ 6 –2x1 + 3x2 – 2w3 – (u4 – v4) – (u6 – v6) – w7 ≥ 4 3x1 + x2 + w3 + 3w7 = 3 şi f = 3x1 – 2x2 – w3 + (u4 – v4) – (u5 – v5) – 2w7 Pentru forma standard adăugăm variabilele ecart .......... şi obţinem x1 + 3x2 + w3 – 2u4 + 2v4 + 3u5 – 3v5 = 7 x1 – 2x2 + w3 + u5 – v5 + 2u6 – 2v6 +

x 8e

=6

–2x1 + 3x2 – 2w3 – u4 – v4 – u6 – v6 – w7 – e 3x1 + x2 + w3 + 3w7 – x10 ≥ 3

x e9

=4

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, w3 ≥ 0, u4 ≥ 0, v4 ≥ 0, u5 ≥ 0, v5 ≥ 0, u6 ≥ 0, v6 ≥0, w7 ≥ 0, e x 8e ≥ 0, x 9e ≥ 0, x 10 ≥0

[max] f = 3x1 – 2x2 – w3 + u4 – v4 – u5 + v5 – 2w7 De menţionat că în orice cerinţă de optimizare maximul şi minimul se pot înlocui reciproc, anume: [max] f(x) = [–min ] (–f(x)) [min] f(x) = [– max] (–f(x)) 53

2.3. Soluţiile problemei de programare liniară În continuare vom considera problema standard (S) de programare liniară. Pentru compatibilitatea sistemului (2.2.7.) considerăm că rang A = rang (Ab) şi rang A = m ceea ce implică m≤n DEFINIŢIA 3.1. Numim soluţia posibilă (sau realizabilă) a problemei (S) un vector x = (x1, ..., xn)t din spaţiul soluţiilor care satisface (2.2.7.) şi (2.2.8.) Mulţimea soluţiilor posibile este o submulţime a spaţiului vectorial n- dimensional al soluţiilor, ea poate fi vidă, redusă la un punct, infinită dar mărginită, infinită şi nemărginită aşa cum rezultă din exemplele pe care le vom analiza. Se demonstrează că mulţimea soluţiilor posibile este o mulţime convexă. DEFINIŢIA 3.2. O soluţie posibilă (sau realizabilă) X se numeşte soluţie de bază (sau program de bază) dacă are cel mult m componente strict pozitive (xi1,..., xir, r ≤ m) şi dacă vectorii coloană ai1, ..., air corespunzător coordonatelor nenule xir (r ≤ m), ale vectorului X sunt liniar independenţi. Dacă soluţia de bază are exact m componente nenule ea este nedegenerată, în caz contrar (dacă conţine mai puţin de m componente nenule) ea este degenerată. DEFINIŢIA 3.3. Se numeşte soluţie optimă a problemei (S) o soluţie posibilă care satisface cerinţa de optim (2.2.9). Exemplul 2.1.: Fie programul (S) x1 – x2 – 2x3 – x4 = 4 (2.3.1.) 2x1 + x2 – 4x3 – x5 = 6 xi ≥ 0 i = 1, ..., 5 (2.3.2)

Matricea A =

1 −1 − 2 −1 0 are rangul 2 2 1 4 0 −1

Vectorul X1 = (20/3, 4/3, 1, 0, 4)t este o soluţie posibilă deoarece satisface condiţiile (2.1.1) şi (2.1.2.) Vectorul X2 = (4, 0, 0, 0, 2)t reprezintă o soluţie de bază nedegenerată deoarece numărul componentelor nenule este 2 = rang A

⎛1⎞

⎛0⎞

şi vectorii a 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ şi a 5 = ⎜⎜ ⎟⎟ sunt liniar independenţi. ⎝ 2⎠ ⎝ − 1⎠ 54

Vectorul X3 = (22/3, 0, 2, 0, 0)t nu este o soluţie de bază deşi este o soluţie posibilă deoarece vectorii coloană din matricea A

⎛1⎞

⎛- 2⎞

corespunzători componentelor nenule a 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ şi a 3 = ⎜⎜ ⎟⎟ sunt ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ liniar dependenţi. Vom da în continuare câteva teoreme privind soluţiile unui program liniar. pentru demonstrarea lor se pot consulta [1], [2], [3], ... TEOREMA 3.1. Între soluţiile posibile ale unei probleme de programare liniară şi soluţiile posibile ale problemei extinse există o corespondenţă biunivocă. TEOREMA 3.2. Între soluţiile optime ale unei probleme de programare liniară şi cele ale problemei extinse există o corespondenţă biunivocă. Spaţiul vectorial n-dimensional al tuturor soluţiilor X se numeşte spaţiul soluţiilor, iar mulţimea soluţiilor posibile formează un subspaţiu H al acestuia ea poate fi vidă, redusă la un punct, infinită dar mărginită sau infinită şi nemărginită aşa cum va rezulta din exemplele pe care le vom da. TEOREMA 3.3. Dacă pentru un program liniar H ≠ Ø atunci există cel puţin o soluţie de bază. Din cele expuse până acum rezultă că pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară este necesar şi suficient să putem descoperi în mulţimea soluţiilor de bază pe acelea care optimizează funcţia obiectiv. În cazul în care în problemă intervin două sau trei variabile soluţia putea fi determinată prin metode elementare şi anume metoda grafică şi metoda algebrică [...]. În celelalte cazuri o inspectare completă a mulţimii tuturor soluţiilor de bază ar presupune un volum mare de calcule şi o serie de dezavantaje ca în cazul problemelor cu soluţie infinită. O metodă care ne dă răspunsuri precise şi concludente şi care necesită un volum relativ mic de calcule este metoda simplex, care permite determinarea soluţiei optime pornind de la o soluţie de bază după un număr finit de iterate. 2.4. Metoda simplex de rezolvare a unui program liniar standard Fie programul standard (S) AX = b X≥0 [max] f = CX

(2.4.1.) (2.4.2.) (2.4.3.) 55

cu notaţiile din paragraful 1. Dacă vectorii coloană ai matricei A, a i 1 , a i 2 ,..., a i m formează o bază în Rm, atunci xi1, xi2, ... , xim se numesc coordonate bazice (variabile de bază). Matricea A poate fi descompusă în două submatrice EB formată din vectorii a i 1 , ..., a i m şi E formată cu celelalte coloane, deci: (2.4.4.) A = BE şi analog C = (CB, CE), X = (XB, XE)t iar forma standard se scrie

(2.4.5.)

E F (X B , X E ) = B t

(2.4.6.)

(2.4.7.) XB ≥0, XE ≥ 0 [max] f = (CB, CE) (XB, XE)t (2.4.8.) Făcând calculele, rezultă (2.4.9.) EXB + FXE = B XB≥ 0, XE ≥ 0 (2.4.10.) (2.4.11.) [max] f = CBXB + CEXE O soluţie a sistemului (3.9) este XB = B-1b –B-1EXE (2.4.12.) luând aici XF = 0 obţinem o soluţie de bază pentru (2.4.9.) şi anume XB = B-1b (2.4.13.) Dacă XB ≥ 0 spunem că baza B = {4a i1 ,..., a im } este primal

(

admisibilă. Dacă vectorul a j = y i1 j , y i 2 j ,...y i m j aceste

componente

în

C = (c i1 , c i2 ,...c im ), x j = ∑ E

i∈I

raport

cu

)

t

(j = 1, ..., n) are baza

B iar c i y ij , I = {i1 , i 2 ,...i m }, j ∈ J (2.4.14.)

cu J = {1, ..., n, y-I} Dispunând de o bază primal admisibilă se întocmeşte tabelul simplex în care trecem: a) soluţia XB = B-1b b) CB = (Ci1, ..., Cim) ( f B = C B X B = C i X i valoarea funcţiei obiectiv c)

∑ i∈I

corespunzătoare soluţiei de bază. 56

d)

(

B−1a j = y i1 j , y i 2 j ,..., y i m j

)

t

care reprezintă coordonatele

vectorilor a j , i ≤ j ≤ n în baza B. dacă B este baza canonică yij sunt coeficienţii din sistemul de restricţii dat. e) se calculează f j = C i y ij

∑ i∈I

⎧⎪∑ c i y ij − c j , j ∈ I

f) se calculează diferenţele z j − f j = ⎨ i∈I

⎪⎩0

, j∉ I

Un astfel de tabel simplex arată deci sub forma: CB B c1 a 1 c2

M

ci

M

cm ci-fj

a2 M ai M am

XB

~ x1 ~ x

2

M ~ xi M ~ xm fB

c1

c2

a1

a2

ci

0

... ... ...

1 0

1

...

M

M

0

0

M

M

0 f1 0

0 f2 0

... ... ...

cm am

cm+1

0

y1,m+1

... cn ... a n ... y1,n

0

0

y2,m+1

...

M

M

M

ai

0

... ... ...

a m +1

1

0

yi,m+1

M

M

M

0 fi 0

y2,n

M ...

yi,n

M

1 ym,m+1 ... ym,n fm fm+1 ... Fn 0 cm+1-fm+1 ... cn-fn

În continuare se aplică testul de optimalitate al soluţiei XB şi bazat pe următoarele teoreme pe care le dăm fără demonstraţie şi anume: TEOREMA 4.1. Dacă fj – cj ≥ 0 pentru toţi j ∈ J, problema de programare liniară are optim finit şi fopt = fB. TEOREMA 4.2. Dacă pentru un indice j∈J pentru care fj – cj < 0 toate componentele xjk ≤ 0, programul are optim infinit 1. Dacă toţi cj – fj ≥ 0, j∈J atunci XB este soluţia optimă şi fopt = fB 2. Dacă există cel puţin o diferenţă fj – cj < 0 atunci soluţia nu este optimă. În acest caz există următoarele posibilităţi. a) Fie l∈J aşa încât c l − f l < 0 şi dacă toţi yij ≤ 0 ∈ i ∈I, problema nu are optim finit. 57

b) Fie l ∈J cu c l − f l < 0 şi există cel puţin un yij > 0 atunci soluţia poate fi îmbunătăţită. Se trece la prima iterată prin care se determină vectorul care intră în bază şi vectorul care iese din bază. Indicele k al vectorului care intră în bază ne este dat de (4.14.) ck – fk = max {cj – fj / cj – fj > 0} iar indicele h al vectorului care iese din bază este dat de

( ⎧~ ⎫ x xh = min ⎨ i / i ∈ I, y ik f 0⎬ y kh ⎩ y ik ⎭

(4.15.)

În acest mod vectorului a h din bază îi ia locul vectorul a k⋅ Se stabileşte elementul pivot ykh şi se recalculează toate elementele tabloului simplex şi se obţine o nouă soluţie de bază*. Dacă această soluţie nu este optimă se trece la iterata următoare. Ca rezultat al fiecărei iterate se obţine o nouă soluţie de bază şi în baza teoremelor enunţate anterior în final obţinem soluţia optimă sau ne convingem că nu avem optim finit. Observaţii Reamintim regula de calcul: - elementele de pe linia pivotului se împart la pivot - elementele de pe coloana pivotului devin nule cu excepţia pivotului care devine 1 - celelalte elemente se calculează după „regula dreptunghiului”. Se determină valoarea unui determinant de ordin doi unde pe diagonala principală avem pivotul şi elementul ce trebuie recalculat iar celelalte elemente se găsesc pe linia şi coloana pivotului intersectate cu linia şi coloana elementului de calculat. Rezultatul se împarte la pivot. Exemplul 4.1.: Să se rezolve problema de programare liniară 4x1 + 2x2 – 6x3 + x4 = 4 x1 – x2 + x5 = 3 [max] f = 4x1 - x2 + 2x3 + x5 Soluţie

A=

58

4 2 −6 1 0 , rang A = 2 1 −1 0 0 1

⎛1⎞

⎛0⎞

Vectorii a 4 = ⎜⎜ ⎟⎟ şi a 5 = ⎜⎜ ⎟⎟ formează o bază. ⎝0⎠ ⎝1⎠ Variabilele bazice sunt x5 şi x6 deci I = {5, 6}. Alcătuim tabelul simplex 4

-1

2

0

1

cB

B

xB

a1

a2

a3

a4

a5

0

a4

4

4

2

-6

1

0

1

a5

3

1

-1

0

0

1

3

1 3

-1 0

0 2

0 0

1 0

fj cj – fj

cj

Cea mai mare diferenţă pozitivă este c1 – f1 = 4 şi avem yi1 > 0 deci soluţia poate fi îmbunătăţită. În bază va intra vectorul a 1 . Pentru a vedea ce vector iese în bază calculăm

xi ⎧4 3⎫ = min ⎨ , ⎬ = 1 y i1 ⎩4 1⎭ deci din bază iese vectorul a 4 . Pivotul este 4. min

Tabelul simplex din iterata următoare este: -1

2

0

1

a2

a3

a4

a5

cB

B

xB

4

a1 a5

1

1

1/1

-3/2

1/4

0

2 6

0 4 0

-3/2 1/2 -3/2

3/2 -9/2 13/2

-1/4 3/4 -3/4

1 1 0

1 fj cj – fj

a3

4

a1

cj

Mai avem o diferenţă cj – fj pozitivă deci în bază intră vectorul şi iese vectorul a 5 deoarece pe coloana lui a 3 avem o singură 59

coordonată pozitivă 3/2. pivotul este 3/2. Tabloul simplex în iterata următoare este: 4

-1

2

0

1

cB

B

xB

a1

a2

a3

a4

a5

4

a1 a3

3

1

-1

0

0

1

cj

0 -1 1 -1/6 2/3 fj 4 -6 2 -1/3 16/3 cj – fj 0 5 0 1/3 -13/3 Avem două diferenţe cj – fj pozitive dar pe coloanele lor elementele yij transformate sunt negative deci problema nu are optim finit. Exemplul 4.2.: Să se rezolve problema de programare liniară. 2x1 + x2 + x3 + x5 = 2 –x1 +2 x2 –2 x3 + x6 = 3 3x1 – x2 + x3 + x4 = 5 [max] f = 3x1 + x2 – x3 + 2x4 + x6 Soluţie: 2

2 A = −1 3

4/3 44/3

1 2

1 −2

0 0

1 0

0 1 , rang A = 3

−1

1

1

0

0

Vectorii a 5 , a 6 , a 4 formează o bază Tabloul simplex este următorul 3

1

-1

2

0

a1

a2

a3

a4

a5

2

2

1

1

0

1

1 cj a6 0

a6

3

-1

2

-2

0

0

1

2

a4

5

3

-1

1

1

0

0

fj cj – fj

13

5

0 -2

0 1

2 -1

0 0

1 0

0

cB

B

xB

0

a5

1

Avem c2 – f2 > 0 deci intră în bază vectorul a 2 Din

x6 3 ⎧2 3⎫ min ⎨ , ⎬ = = 2 y 26 ⎩1 2⎭

Pivotul este y62 = 2 60

deci iese din bază vectorul a 6 .

Următorul tabel este: 3

1

-1

2

0

1

a1

a2

a3

a4

a5

a6

1/2

5/2

0

2

0

1

-1/2

3/2

-1/2

1

-1

0

0

1/2

13/2

5/2

0

0

1

0

1/2

cB

B

xB

0

a5

1

a2 a4

2

cj

fj 29/2 9/2 1 -1 2 0 3/2 cj – fj -3/2 0 0 0 0 -1/2 Toate diferenţele cj – fj sunt negative sau nule deci

29 3 şi este realizat pentru valorile x1 = 0, x 2 = , x3 = 0, 2 2 13 1 x 4 = , x 5 = şi x6=0. Soluţia optimă este X = ( 0, 3/2, 0, 13/2, 2 2 zopt =

1/2, 0)t şi este nedegenerată (numărul de componente pozitive ale vectorului soluţie X egal cu numărul restricţiilor). 2.5. Metoda bazei artificiale

În problemele studiate anterior matricea sistemului de restricţii conţinea vectori unitari care alcătuiau o bază unitară ceea ce uşura determinarea unei soluţii iniţiale de bază. Dacă această bază unitară nu există, recurgem la metoda bazei artificiale prin introducerea variabilelor x ak ≥ 0 pentru a avea o bază primal admisibilă şi se rezolvă problema de programare liniară. AX + IX(a) = b X ≥ 0; X(a) ≥ 0 [max] f = CX – λX(a) cu λ un număr real arbitrar strict pozitiv (pentru min f se adaugă λX(a)) Orice soluţie posibilă a problemei iniţiale este o soluţie posibilă a programului extins pentru care valorile tuturor variabilelor artificiale sunt nule şi reciproc orice posibilă a programului extins în care toate variabilelor artificiale sunt nule, este o soluţie a programului iniţial după înlăturarea acestora. Asemenea soluţii se realizează pentru [min] λX(a) 61

O astfel de problemă se rezolvă prin metoda celor două faze: Faza I. În această fază se rezolvă problema AX + IX(a) = b X ≥ 0; X(a) ≥ 0 [min] f1 = X(a) La sfârşit putem avea următoarele situaţii: 1) [min] f1 = 0 deci toate variabilele artificiale sunt nule şi nici o variabilă artificială nu este bazică faţă de soluţia optimă. În acest caz dispunem de o soluţie de bază a programului extins din care prin înlăturarea variabilelor artificiale se obţine o soluţie de bază a programului iniţial şi se trece la faza a II-a. 2) [min] f1 = 0 şi cel puţin o variabilă artificială este bazică ea trebuie eliminată astfel: - dacă pe linia variabilei artificiale există elemente nenule (rang A = m) alegem unul dintre acestea drept pivot şi facem încă o iteraţie pentru a o elimina din bază. - dacă pe linia variabilei artificiale nu avem elemente nenule (rang A < m), o vom neglija suprimând-o din tabel. Se trece la faza a II-a 3) [min] f1 > 0 problema iniţială nu are soluţie de bază. Faza a II-a. În această fază în cazul 1) se elimină din ultimul tabel simplex coloanele variabilelor artificiale şi se continuă algoritmul introducând coeficienţii funcţiei obiectiv f = CX. În cazul 2) dacă în bază au mai rămas variabile artificiale nenule aceasta este dovada că problema iniţială nu admite soluţii. Dacă în bază a rămas o variabilă artificială dar pe linia ei în tabelul simplex toate elementele sunt nule, se suprimă această linie şi se trece la faza a II-a. Exemplul 5.1.: Să se rezolve programul liniar 2x1 + 3x2 + x3 = 4 x2 + 2x3 + x4 = 6 x1 + x3 + x4 = 8 xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 4 [max] f = x1 + 8x2 + x3 +3x4 Soluţie

2 3 1 0 A= 0 1 2 1 1 0 1 1 62

Nu dispunem de o bază canonică deci vom adăuga sistemului de restricţii variabile artificiale x 5a , x a6 , x a7 şi vom rezolva problema prin metoda celor două faze. Faza I. Rezolvăm programul liniar 2x1 + 3x2 + x3 + x 5a = 4 x2 + 2x3 + x4 + x a6 = 6 x1 + x3 + x4 + x a7 = 8 xi ≥ 0, (1 ≤i ≤ 4) x ak ≥ 0, 5 ≤ k ≤ 7 [min] f1 = x 5a + x a6 + x a7 Avem o problemă de minim Tabloul simplex este: CB

B

XB

0

0

0

0

1

1

1

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

1

a5

4

2

3

1

0

1

0

0

1

a6

6

0

1

2

1

0

1

0

1

a7

8

1

0

1

1

0

0

1

fj cj-fj 1 a5 0 a

18 1

3 -3 2

4 -4 5/2

4 -4 0

2 -2 -1/2

1 0 1

1 0 -1/2

1 0 0

3

0

1/2

1

1/2

0

1/2

0

a7

5

1

-1/2

0

1/2

0

-1/2

1

fj cj-fj 0 a1 0 a

6 1/2

3 -3 1

2 -2 5/4

0 0 0

0 0 -1/4

1 0 1/2

-1 2 -1/4

1 0 0

3

0

1/2

1

1/2

0

1/2

0

a7

9/2

0

3/4

0

3/4

-1/2 -1/4

1

fj cj-fj 0 a1

9/2

0 0 1

3/4 -3/4 3/2

0 0 0

3/4 -1/2 -1/4 -3/4 3/2 3/4 0 1/3 -1/3

3

1

3

1

2

cj

1 0 1/3 63

0

a3

0

0

0

1

0

1/3

2/3

-2/3

0

a4

6

0

0

0

1

-2/3 -1/3

4/3

0

0 0

0 0

0 0

0 0

fj cj-fj

0 1

0 1

0 1

Am eliminat din bază toate variabilele artificiale şi f1 opt = 0. Trecem la faza următoare. Faza a II-a. Reluăm tabelul simplex de unde am rămas dar cu cj coeficienţii funcţiei obiectiv f şi fără coloanele vectorilor a 5 , a 6 , a 7 . Avem pentru problema de maxim tabelul: 1

8

1

3

a1

a2

a3

a4

2

1

3/2

0

0

0

0

0

1

0

6

0

1

0

1

20

9/2 7/2 1

1 0 0

3 0 0

CB

B

XB

1 1

a1 a3

3

a4

fj cj-fj 8

4/3

1

a2 a3

1 0 2/3

0

0

0

1

0

3

a4

7

-2/3

0

0

1

87/3

10/3 -7/3

8 0

1 0

3 0

fj cj-fj

cj

t

max f =

87 ⎛ 4 ⎞ şi este realizată de vectorul A = ⎜ 0, , 0, 7 ⎟ şi 3 ⎝ 3 ⎠

este degenerată Exemplul 5.2.: Să se rezolve programul liniar -x1 + x2 + x3 = 1 x 1 – x 2 + x4 = 1 x1 + x2 + 2x3 = 4 xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 4 [max] f = 2x1 – x2 + 3x3 + x4 64

Soluţie

−1 1 1 0 A = 1 −1 0 1 1

1

2 0

În A avem un vector coloană unitar a 4 = (0,1,0 ) deci adăugăm t

sistemului de restricţii numai două variabile artificiale x 5a la prima ecuaţie şi x a6 la ultima şi rezolvăm problema prin cele două faze. Faza I. Rezolvăm programul liniar: -x1 + x2 + x3 + x 5a = 1 x1 – x2 + x4 = 1 x1 + x2 + 2x3 + x a6 = 4 xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 4, x 5a ≥ 0, x a6 ≥ 0 [min] f1 = x 5a + x a6 Avem tabelul simplex: 0

0

0

0

1

1

a1

a2

a3

a4

a5

a6

1

-1

1

1

0

1

0

a4 a6

1

1

-1

0

1

0

0

4

1

1

2

0

0

1

fj cj – fj 0 a3 0 a

5 1

0 0 -1

2 -2 1

3 -311 1

0 0 0

1 0 1

1 0 0

1

1

-1

0

1

0

0

1

a6

2

3

-1

0

0

-2

1

fj cj – fj 0 a3 0 a

2 5/3

3 -311 0

-1 1 2/3

0 0 1

0 0 0

-2 2 1/3

1 0 1/3

1/3

0

2/3

0

1

2/3

-1/3

cB

B

xB

1

a5

0 1

4

4

cj

65

0

a1

fj

2/3

1

0

0

1/3 0

0

0

0

0

2/3 0

1/3 0

Faza a II-a 2

-1

3

1

CB

B

XB

a1

a2

a3

a4

3

a3

5/3

0

2/3

1

0

1

a4 a1

1/3

0

-2/3

0

1

2/3 20/3

1 2 0

-1/3 2/3 -5/3

0 3 0

0 1 0

2 fj

cj-fj

Rezultă [max] f =

cj

20 şi este realizat de vectorul X = (2/3, 0, 3

5/3, 1/3)t, soluţie nedegenerată.

2.6. Cazul în care sistemul de restricţii conţine inegalităţi Am văzut în paragraful 1 că orice program liniar poate fi adus la forma standard prin adăugarea (pentru inegalităţi de tipul ≤) sau scăderea (pentru inegalităţi de tipul ≥) a unor variabile ecart (de compensare) care pot fi interpretate economic ca reprezentând activităţi fictive pe care întreprinderea nu le efectuează şi cărora în funcţia de eficienţă le vor corespunde beneficii nule. Problema extinsă se rezolvă prin metoda simplex studiată anterior. Exemplul 6.1.: Să se aducă la forma standard şi să se rezolve problema de programare liniară: x1 + x2 + 2x3 ≤ 10 2x1 + x2 + 3x3 ≤ 12 x1 + x2 + x3 ≤ 7 xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 3 [max] f = 2x1 + x2 – 3x3 66

Soluţia 1. Problema extinsă este: x1 + x2 + 2x3 + x4 = 10 2x1 + x2 + 3x3 + x5 = 15 x1 + x2 + x3 + x6 = 7 xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 7 [max] f = 2x1 + x2 – 3x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 Avem următorul tabel simplex 2

1

-3

0

0

0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

10

1

1

2

1

0

0

12

2

1

3

0

1

0

a6

7

1

1

1

0

0

1

fj cj – fj 0 a4 2 a

0 4

0 2 0

0 1 1/2

0 -3 1/2

0 0 1

0 0 -1/2

0 0 0

6

1

1/2

3/2

0

1/2

0

0

1

0

1/2

-1/2

0

-1/2

1

12

2 0

1 0

3 -6

0 0

1 -1

0 0

cB

B

xB

0 0

a4 a5

0

1

a6

fj cj – fj

cj

Avem fopt = 12 pentru X = (6, 0 , 0)t. Soluţia este degenerată Exemplul 6.2.: Să se aducă la forma standard şi programul liniar: 3x1+x2-x3 =9 x1–2x2+x3–x4 ≤ 6 x1+3x2–x3–3x4 ≥ 3, x1≥0, x2≥0, x3≤0, x4 nu are semn specificat [max.] f = 2x1+2x2 –x3 –x4. Soluţie Facem substituţiile x3 = – y3, y3 ≥0, x4 = u4 – v4 cu u4 ≥ 0, v4 ≥ 0. Programul devine 3x1 + x2 + y3 = 9 x1 – 2x2 – y3 – u4 + v4 ≤ 6

să se rezolve (6.2.1.) (6.2.2.)

(6.2.1’) 67

x1 + 3x2 + y3 + 3u4 – 3v4 ≥ 3 (6.2.2’) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y3 ≥ 0, u4 ≥ 0, v4 ≥ 0 (6.2.3’) [max] f = 3x1 + 2x2 + y3 – u4 + v4 Restricţiile conţin şi inecuaţii deci la inecuaţia a doua adăugăm variabila ecart y5 ≥ 0 iar în ultima scădem variabila ecart y6 ≥ 0 deci programul devine 3x1 + x2 + y3 = 9 x1 – 2x2 – y3 – u4 + v4 + y5 = 6 x1 + 3x2 + y3 + 3u4 – 3v4 – y6 = 3 (6.2.1″) şi [max.] f = 3x1 + 2x2 + y3 – u4 + v4 + 0y5 + 0y6. Avem

a1 a 2

a3

a4 a5 a6 a7

3

1

0

1

A= 1 -2

1

3

x1 x 2

0

0 0

- 1 - 1 1 1 0 , rang A = 3 1 3 -3 0 1 y3 u 4 x 4 y5 y6

Nu avem o bază canonică, în A vectorul a 6 = (0,1,0)t este unitar. Completăm o bază cu ajutorul variabilelor artificiale

y a7 adăugat

membrului întâi al primei ecuaţii şi y 8a adăugat ultimei ecuaţii (5.2.1″). Problema se rezolvă prin metoda celor două faze: Faza I-a Avem de rezolvat programul liniar:

3x 1 + x 2 + y 3 + y a7 = 9 x 1 − 2x 2 − y 3 − u 4 + v 4 + y 5 = 6 x 1 + 3x 2 + y 3 + 3u 4 − 3v 4 − y 6 + y 8a = 3 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y3 ≥ 0, u4 ≥ 0, v4 ≥ 0, y5 ≥ 0, y6 ≥0, y7 ≥ 0, y8 ≥ 0

[min] f 1 = y a7 + y 8a Tabelul simplex va fi: cB 68

B xB

0

0

a1

a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

0

0

0

0

0

1

1

cj

1

a8 9

3

1

1

0

0

0

0

1

0

0

a6 6

1

-1

-1

-1

1

1

0

0

0

1

a9 3

1

3

1

3

-3

0

-1

0

1

4 2 -4 -2 0 2/3 0 -2/3

3 -3 -1 0

-3 3 1 0

0 -1 0 2 0 1/3 1 -1/3

1

1

-1

0 -1/3 0

f1j 12 4 cj-fij -4 1 a8 8 8/3 0 a 7 4/3 6

a 2 1 1/3

0

1/3

0

-1 1/2 -1/2 1 -1/2 -1/2 1/2

a2 0

0

1

1/4 9/8 -9/8 0 -3/8 -1/8 3/8

0

0

0

0 fij

0

0

0 0 0

1/3

fij 8 8/3 cj-fij -8/3 0 a 3 1 1 0 a 12 0 6

0 2/3 -1 1 0 -2/3 1 -1 0 1/4 -3/8 3/8

1 1 0 0 1 -1/3 0 1/3

0

0

1/3 1 -1/3 2/3 0 4/3 1/8 3/8 -1/8

0

0

0

Am obţinut [min] f1 = 0 şi din bază am eliminat toate variabilele artificiale. Faza a II-a. Reluăm ultima parte a tabelului simplex fără ultimele două coloane şi cu coeficienţii cj ai funcţiei f. Vom avea: 3

2

1

-1

0

0

cB

B

xB

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

3

3

1

0

1/4

-3/8

3/8

0

1/8

0

a1 a6

12

0

0

-1

1/2

-1/2

1

-1/2

2

a2

fj cj-fj 0

0 9

a7

24

0 3 0 8

1 2 0 0

1/4 5/4 -1/4 2

9/8 9/8 -17/8 -3

-9/8 9/8 -1/8 3

0 0 0 0

-3/8 -3/8 3/8 1

0

a6

24

4

0

0

-1

1

1

0

2

a2

9 18

3 6 -3

0

0 0 0

fj cj-fj

1 2

0

1 2

-1

0 0

-1

0 0

1

0

0

69

1

a5

8

8/3

0

2/3

-1

1

0

1/3

0

a6

16

4/3

0

-2/3

0

0

1

-1/3

2

a2

9 26

3 26/3 -17/3

1 2 0

1 8/3 -5/3

0 -1 0

0 1 0

0 0 0

0 1/3 -1/3

fj cj-fj

f opt = 26 şi este realizat de X = (0, 9, 0, -8)t. Soluţia este degenerată.

70

2.7. Dualitatea în programarea liniară Problema dualităţii în programarea liniară prezintă un interes deosebit din punct de vedere matematic cât şi economic. În paragrafele anterioare am făcut ipoteza ca rang A = m până la metoda bazei artificiale, rămânând totuşi restricţia m ≥ n care nu va mai fi necesară în abordarea problemei duale. Pentru formarea unui program dual trebuie să ţinem seama de următoarele reguli: 1. fiecărei variabile nenegative (nepozitive) din programul primal îi corespunde în programul dual o inecuaţie ≥ (≤); 2. unei variabile fără semn specificat din programul primal îi corespunde în dual o ecuaţie; 3. coeficienţii funcţiei obiectiv din problema primală sunt opuşii termenilor liberi din sistemul de restricţii al problemei duale; 4. termenii liberi ai restricţiilor din problema primală sunt opuşii coeficienţilor funcţiei obiectiv din problema duală; 5. fiecărei restricţii de forma ≥ (≤ sau =) din programul primal îi corespunde în cel dual o variabilă nenegativă (nepozitivă sau oarecare); 6. matricea coeficienţilor din sistemul de restricţii din programul dual este transpusă matricii coeficienţilor din programul primal. Utilizând notaţiile vectoriale avem următoarele forme de programe duale: Dacă programul primal este: AX ≤ b (2.7.1.) (P) X≥0 (2.7.2.) [max] f = CX (2.7.3.) atunci programul dual va fi: YA ≥ C (2.7.4.) (D) Y≥0 (2.7.5.) [min] g =Y b’ (2.7.6.) În problema (P) putem da următoarele interpretări elementelor: Xi poate fi vectorul preţurilor unitare ale bunurilor rezultate din desfăşurarea activităţilor, vectorul b – cererea de produse (sau disponibilul de materii prime) Cj – costul fiecărei activităţi (sau beneficiul realizat din desfăşurarea activităţii) iar valoarea totală a bunurilor create bj să fie maximă. Putem interpreta problema duală (D) astfel: dacă xi să reprezinte nivelul la care se desfăşoară activităţile fenomenului economic respectiv; bj – cererea de produse (sau disponibilul de materii prime); cj – costul fiecărei activităţi (sau beneficiul realizat din 71

desfăşurarea activităţii respective), să se determine nivelul fiecărei activităţi xi aşa încât să fie îndeplinite sau depăşite cererile bj iar costul total al activităţilor desfăşurate să fi minim. Dacă programul primal (P) este dat sub forma standard: AX = b (2.7.7.) (P) X≥0 (2.7.8.) [max] f = CX (2.7.9.) dualul va fi: YA ≥ C (2.7.10.) (D) Y oarecare (2.7.11.) [min] g = Y b (2.7.12.) De observat că dualul nu are forma standard Între cuplurile de probleme duale există o strânsă interdependenţă a soluţiilor lor. Vom da în continuare câteva rezultate fără demonstraţie. Lema. Dacă X şi Y constituie soluţii posibile pentru cuplul de programe (P) – (D), avem inegalitatea CX ≤ Yb Pentru un cuplu de programe liniare duale teorema de existenţă ne asigură de următoarele posibilităţi: TEOREMA 7.1. (de existenţă) Pentru un cuplu de programe liniare duale avem alternativele următoare: a. nici unul din programe nu admite soluţii posibile; b. un program are optim finite iar celălalt nu admite soluţii posibile; c. ambele programe admit soluţii optime finite. TEOREMA 7.2. (fundamentală a dualităţii)

Pentru un cuplu de programe duale (2.2.7.) – (2.7.12.), condiţia necesară şi suficientă pentru ca soluţia realizabilă de bază X a programului primal (P) să fie optimă, este să existe o soluţie realizabilă de bază Y a programului dual (D) aşa încât să avem CX = Yb (2.7.13.) Pe baza teoremei dualităţii se poate da şi următorul rezultat: TEOREMA 7.3. Pentru un cuplu de programe lianiare duale (P) – (D) condiţia necesară şi suficientă ca soluţiile posibile X şi Y să fie optime este: Y (b-AX) = 0 (2.7.14.) (C – YA)X = 0 Din relaţiile (6.14) rezultă următoarele: 72

- dacă soluţia optimă X (Y) a problemei primale (duale) satisface restricţia j (1 ≤ j ≤ m ) (i, 1≤ i ≤ n) din sistemul (2.6.1.) (respectiv 2.7.4) cu inegalitate strictă, atunci componenta yj (xi) a soluţiei programului dual (primal) este nulă. - dacă componenta xi > 0, 1 ≤ i ≤ n (yj > 0; 1 ≤ j ≤ m) a soluţiei optime a programului primal (dual), atunci soluţia optimă Y (resp.X) a dualului (primal) satisface cu egalitate restricţia j (i) a lui (2.7.4.) (resp.7.1). Se poate demonstra pe baza rezultatelor anterioare că o soluţie posibilă a dualei este: (2.7.15.) Y = CBB-1 -1 unde CBB reprezintă produsul dintre vectorul CB format de coeficienţii bazici şi inversa matricii de bază din ultimul tablou simplex care apare pe coloanele corespunzătoare vectorilor unitari din primul tablou. Se arată că (7.15.) este chiar soluţia optimă. Dacă printre variabilele bazice ale tabelului simplex optimal apar şi variabile ecart (de compensare), de exemplu xk›0 atunci yk = 0. Exemplu 6.1.: Să se rezolve programul liniar x1 + x2 ≥ 3 3x1 + 4x2 ≥ 7 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 [min] f = 3x1 + 5x2 Dualul său este y1 + 3y2 ≤ 3 2y1 + 4y2 ≤ 5 y1 ≥0, y2 ≥0 [max] g = 3y1 + 7y2 Tabelul simplex al dualului adus la forma standard prin adăugarea variabilelor ecart y3 şi y4 este 3

7

0

0

a1

a2

a3

a4

3

1

3

1

0

a4

5

2

4

0

1

0

0

a2 a4

1

0 3 1/3

0 7 1

0 0 1/3

0 0

1

2/3

0

-4/3

1

CB

B

xB

0

a3

0 gj cj – gj 7 0

cj

73

gj cj-gj 7 3

7

7/3

a2 a1

gj

1/2

7 2/3 0

7/3 0 1

0 -7/3 1

0 -1/2

3/2

1

0

-2

3/2

8

3 0

7 0

1 -1

1 -1

Soluţia optimă este gopt = 8 pentru Y = (3/2, 1/2) Soluţia optimă a primalei (duala dualei) este fopt = 8 şi se citeşte pe ultima linie a tabelului simplex, luând cu semn schimbat valorile de pe ultimele două coloane corespunzătoare vectorilor unitari. Deci X = (1,1)t. Exemplu 7.2.: Să se rezolve programul liniar: x1 + x2 ≥ 12 3x1 + 4x2 ≥ 20 x1 – 4 x2 ≥ -18 -x1 ≥ - 6 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 [min] f = x1 + x2 Dualul său este y1 + 3y2 + y3 – y4 ≤ 1 3y1 + 4y2– 4y3 ≤ 1 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 [max] g = 12y1 + 20y2 – 18y3 – 6y4 Adăugând la prima inecuaţie variabila ecart y5 ≥ 0 iar la a doua y6 ≥ 0 obţinem un program standard al cărui tabel simplex este

74

12

20

-18

-6

0

0

CB

B

xB

a1

a2

a3

a4

a5

a6

0

a5

1

1

3

1

-1

1

0

0 gj

a6

0

a5

1/4

3 0 12 -5/4

4 0 20 0

-4 0 -18 4

0 0 -6 -1/4

0 0 0 1

1

0

1 0

20 gj

a2

1/4 15

3/4 20 -3

1 -20 0

-1 0 2

0 0 -6

0 5 0

5 cj – gj

0 -3/4 1/4 -5

cj

-18

a3

1/16 -5/16

20 a 2 5/16 7/16 gj 41/8 115/8 20 -9/8

0 1 -18 0

1

-1/16 1/4 -3/16

0 -1/16 1/4 1/16 -1/8 1/2 37/8 0 -47/8 -1/2 -37/8

41 . Pe ultima linie avem componentele cu 8 1 semn schimbat al problemei primale şi anume pentru x1 = , 2 37 41 obţinem min f = . x2 = 8 8 Am obţinut max g =

Pentru alte metode de rezolvare a perechii de programe duale se poate consulta literatura de specialitate menţionată la bibliografie. 2.8. Aplicaţii în economie Exemplul 8.1.: Fie problema de lansare a producţiei: Produse

Disponibil Costuri unităţi Penalităţi pentru materii de achiziţie materia primă P P2 P3 Materii prime 1 prime materii prime nefolosită % M1 1 3 3 600 0,03 0,05 M2 3 4 1 1 000 0,05 0,02 Capital disponibil Încasări pentru achiziţionarea unitare de materii prime 150 8 18 7 Costuri de producţie 3 7 1 Se cere: a) Un plan de producţie cu încasări totale maxime în condiţiile utilizării materiilor prime disponibile; b) Un plan de producţie corespunzător unei cantităţi totale minime de materii prime rămase nefolosite; c) Un plan de producţie de folosire a materiilor prime disponibile pentru care penalizarea totală pentru materiile nefolosite să fie minimă; 75

d) Un plan de producţie în condiţiile în care materia primă se cumpără, producţia totală fizică este de cel puţin 80 bucăţi produse şi beneficiul total maxim. Soluţie a) Fie x1, x2, x3 cantităţile fabricate. Consumul de materii prime pe unitatea de produs este de 3+1=4; 3+4=7; 3+1=4 iar costurile de materie primă consumată pe unitatea de produs sunt 1×0,03+3×0,05=0,18 pentru primul produs şi analog pentru celelalte două: 3×0,03+4×0,05=0,29 şi respectiv 3×0,03+1×0,05=0,14. Avem de rezolvat problema de programare liniară x1+3x2+3x3 ≤ 600 3x1+4x2+x3 ≤ 1 000 (8.1.1.) (8.1.2.) x1, x2, x3 ≥ 0 [max] f = 8x1+18x2+7x3 (8.1.3.) Tabelul semiplex este (după ce aducem programul la FS) 8

18

7

0

0

a1

a2

a3

a4

a5

1

3

3

1

0

4 0 18 1

1 0 7 1

0 0 0 1/3

1

200

3 0 8 1/3

0 a 5 200 fj 3600 cj–fj 18 a 2 160

5/3 6 2 0

0 18 0 1

-1 18 -11 2

-4/3 6 -6 3/5

1 0 0 -1/5

1 8 0

0 18 0

-3/5 -4/5 156/5 22/5 -121/5 -22/5

3/5 6/5 -6/5

CB

B

0

a 4 600 a 5 1000

0 fj cj–fj 18 a 2

8 a1 fj cj–fj

xB

0

120 3720

cj

0 0

Pentru x1 = 120, x2 = 160, x3 = 0 obţinem fopt = 3720 variabilele de compensare introduse x4 şi x5 sunt egale cu zero ceea ce confirmă faptul că materia primă disponibilă se consumă integral. Dacă ne-ar fi interesat un plan de producţie cu cost total de producţie minim avem de rezolvat problema de programare liniară (8.1.3.’) [min] f1 = 3x1 + 7x2 + x3 76

în condiţiile (8.1.1.), (8.1.2.) Pentru un plan de producţie cu un beneficiu total maxim în aceleaşi condiţii, se va rezolva problema de programare liniară [max] f2 = (8–3)x1 + (18–7)x2 + (7–1)x3 (8.1.3″) cu restricţiile (8.1.1.), (7.1.2.) b) Ţinând seama de cantitatea de materii prime consumată g = 4x1 + 7x2 + 4x3 înseamnă că nu s-a consumat g1 = 1600 – g Deci avem de rezolvat problema de programare liniară (8.1.3III) [max]g= 4x1+7x2+4x3 sau [min]g1 = 1600 – (4x1 + 7x2 + 4x3) cu aceleaşi restricţii (8.1.1.), (8.1.2.) c) Dacă firma plăteşte înainte de a demara producţia penalităţile pentru materia primă de care dispune în valoare de 600×0,05+1000× 0,02=50 după realizarea planului firmei i se restituie penalităţile pentru materiile prime consumate. Penalităţile pentru materia primă consumată pentru produsul P1 sunt 1×0,05+3×0,02=0,11 analog pentru celelalte două: 3×0,05+4×0,02=0,23; 3×0,05+1×0,02=0,08. Firma are deci de primit o valoare de 0,11x1+0,23x2+0,08x3. Avem de determinat [max] f3 = 0,11x1+0,23x2+0,08x3 (8.1.3IV) cu restricţiile (8.1.1.), (8.1.2.) d) Se va rezolva programul liniar [max]f4 = (8–3)x1+(18–7)x2+(7-1)x3 cu restricţiile 0,180x1+0,29x2+0,14x3 ≤ 150 x1+x2+x3 ≥ 8, xi » 0, i = 1, 2, 3

(8.1.4.) (8.1.5.) (8.1.6.)

Exemplul 8.2.: (O problemă de investiţie). O întreprindere dispune de 11 unităţi băneşti din care trebuie să investească o parte în activităţile A1, A2, A3 în trei etape. În prima etapă îşi propune să investească în activităţile A1, A2 nu mai mult de 2 u.b. În etapa a 2-a investeşte maxim 4 u.b. în A1 şi A3; iar în ultima etapă investeşte cel puţin 5 u.b. în cele trei activităţi. Beneficiile obţinute prin investiţii sunt în A1 de 7% în A2 de 5% în A3 de 4%. Cât trebuie să investească în total în fiecare activitate astfel încât beneficiul să fie maxim Soluţie. Avem programul liniar: x1 + x2 ≤ 2 x1 + x3 ≤ 4 77

x1 + x2 + x3 ≤ 5 x1, x2, x3 ≥ 0 [max] f = 0,07x1+0,05x2+0,04x3 unde xi este suma investită în u.b. în activitatea Ai. Din ultima parte a tabloului simplex rezultă 0,07 0,05 0,04

0

0

0

B

xB

a1

a2

a3

a4

a5

a6

0,07 a1

1

1

0

0

1

1

-1

0,04 a 3

3

0

0

1

-1

0

1

CB

0,05 a 2

cj

1 0 1 0 0 -1 1 0,24 0,07 0,05 0,04 0,03 0,02 0,02 0 0 0 -3 -2 -2

fopt = 24% pentru x1 = 1, x2 = 1, x3 = 3. Suma rămasă neinvestită este de 7 u.b. 2.9. Probleme de transport Probleme de transport sunt o formă particulară a problemelor de programare liniară pentru care metoda simplex poate fi adoptată, condiţiilor particulare, având ca rezultat un procedeu de rezolvare în principiu identic celui utilizat în cazul general. Primele rezultate au fost obţinute de Hitchcock, Kantorovici şi Koopmans şi ulterior de Dantzig. În practică o asemenea problemă poate fi întâlnită de exemplu sub forma următoare: un anumit produs se află în cantităţile a1, a2 ..., am în punctele A1, A2 ..., Am numite şi surse. El trebuie transportat în punctele B1, B2 ... , Bn numite destinaţii în cantităţile b1, b2 ..., bn urmărind minimizarea cheltuielilor de transport cunoscând preţurile unitare de transport cij de la sursa i către destinaţia j. Formularea matematică a problemei este n

∑x j =1

ij

≤ ai ; i=1, ..., m

(2.9.1.)

ij

≥ b j , j=1, ..., n

(2.9.2.)

m

∑x i =1

xij ≥ 0 78

(2.9.3.)

m

n

[min] f = ∑∑ c ij xij

(2.9.4.)

i =1 j =1

m

n

i =1

j=1

∑ai ≥ ∑bj

ai ≥ 0, bj ≥ 0, cij ≥ 0,

(2.9.5.)

unde am notat prin xij cantităţile transportate de la sursa i către destinaţia j. Relaţiile (2.9.1) sunt impuse de faptul că totalul transportat de la fiecare sursă să nu depăşească cantitatea existentă, condiţiile (2.9.2) impun satisfacerea cererii iar (2.9.5.) apar naturale în contextul concret al problemei. Prin transformări elementare acest tip de problemă poate fi adus la forma echilibrată n

∑x j=1

ij

= a i , i =1, ..., m

(2.9.1’)

ij

= b j , j = 1, ..., n

(2.9.2’)

m

∑x i =1

m

n

[min] f = ∑∑ c ij x ij

(2.9.3’)

i =1 j=1

ai ≥ 0, bj ≥0, cij ≥ 0,

m

n

i =1

j=1

∑ai = ∑bj

(2.9.4’)

ultima egalitate (2.9.4’) se poate realiza prin introducerea unei destinaţii fictive căreia să-i fie destinat surplusul de produs existent pe ansamblul surselor. Datele problemei se prezintă sub forma unui tabel: B1 B2 ... Bj ... Bn Disponibil A1 c11 c12 ... c1j ... c1n a1 A2 c21 c22 ... c2j ... c2n a2 ...... .............................. ........ Ai ci1 ci2 ... cij ... cin ai ... ............................ ...... Am cm1 cm2 ... cmj ... cmn am Necesar b1 b2 ... bj ....bn Propoziţia 2.9.1. Orice problemă de transport are totdeauna o soluţie realizabilă de forma x ij =

aib j s

m

n

i =1

j=1

, s = ∑ai = ∑bj 79

Demonstraţie: x ij =

aib j

aib j s

satisfac restricţiile (9.1’) şi (9.2’)

as ai n b j = i , i=1, ..., m ∑ s s j=1 s j=1 j=1 m aib j b j m b js x ij = ∑ = ∑ai = = b j , j = 1, ..., n ∑ s s i =1 s i =1 n

∑x

n

ij

=∑

=

şi condiţiile de nenegativitate (9.4’) În general această soluţie nu este optimă, dar ţinând seama de faptul că în general un program liniar sau nu are soluţii posibile sau admite soluţii posibile cu optim infinit sau are soluţie optimă finită şi ţinând seama de propoziţia anterioară rezultă că orice problemă de transport admite soluţia optimă finită deoarece xij ≤min (ai, bj) şi deci situaţia optimului infinit se exclude. PROPOZIŢIA 9.2. Rangul matricii A a coeficienţilor restricţiilor liniare (2.9.1’), (2.9.2’) au rangul m+n–1. Rezultă că o soluţie realizabilă de bază într-o problemă de transport are cel mult, m+n–1 componente nenule, ea este nedegenerată dacă are exact m+n–1 componente nenule şi degenerată dacă are mai puţin de m+n–1 componente nenule. Forma matriceală a problemei de transport (T) este: AX = d (T) X≥0 [min] f = CX unde A este matricea de ordin (m+n) × mn I 0 ... 0

0

I

...

0

A = ... 0

... 0

... ...

... I

En En ... En unde I este vectorul linie (1, 1, ..., 1) cu n componente, 0 vectorul nul (0, 0, ... , 0) cu n componente, En matricea unitate de ordin n, d vectorul coloană de componente a1, ..., am, b1, ... , bn; X vectorul coloană de componente x11, x12, ..., x1n, x21, x22, ... x2n, ... , xm1, xm2, ... , xmn. 80

Pentru rezolvarea problemelor de transport ca şi în cazul problemelor generale de programare liniară, algoritmul de rezolvare are două etape: a) aflarea unei soluţii iniţiale realizabile de bază; b) îmbunătăţirea soluţiei iniţiale până la obţinerea soluţiei optim. Vom da în continuare două procedee de obţinere a unei soluţii iniţiale realizabile de bază. 1) Metoda diagonalei (metoda colţului nord-vest). Cantităţile disponibile a11, ... am şi cererile corespunzătoare b1, b2, ... bn se dispun pe laturile unui tabel iar celulelele din interiorul tabelului se rezervă pentru necunoscutele xij (i=1, ... m; j = 1, ... n) care trebuie determinate.

…

a1 a2 …

ai

b1

b2

…

bj

…

bn

am s

Componentele bazice xij ale soluţiei se determină pe rând cu x11 şi anume: Se alege x11 = min(a1, b1) şi vor fi consideraţi nebazice (deci vor fi egali cu zero) toate variabilele de pe aceiaşi linie (sa coloană) cu x11 conform următoarelor situaţii: a) dacă a1< b1 atunci x11 = a1 iar x1j = 0, (j=2, 3, ...,n) b) dacă a1 > b1 atunci x11 = b1 şi xi1 = 0, (i = 2, 3, ..., m) c) dacă a1 = b1 atunci x11 = a1 = b1 şi la alegere x12 = 0 sau x21 = 0, toate celelalte componente de pe linia 1 şi coloana 1 fiind considerate nebazice, deci, nule. Concomitent se modifică şi valorile lui a1 sau b1 înlocuindu-se ' cu a 1 = a 1 − x 11 sau b1' = b1 − x 11 . În pasul următor procedeul se repetă pentru celulele rămase necompletate şi se termină după m+n–1 paşi în fiecare pas completând o linie (situaţia a) sau o coloană (situaţia b) sau o linie şi o coloană (situaţia c). De regulă componentele bazice nu se trec în tabel ci se haşurează căsuţa respectivă. 81

Exemplu 9.1. a1 = 65, a2 = 15, a3 = 20, b1 = 40, b2 = 35, b3 = 15, b4 = 10 a1 a2 a3

b1 403 ////1 ////3 40

b2 252 103 ////4 35 10

b3 ////1 52 101 15 10

b4 ////4 ////2 103 10

65, 25 15, 5 20 s = 100

Pasul 1 x11 = min (a1, b1) = b1 = 40 am haşurat celulele corespunzătoare variabilelor nebazice (pentru x21, x31). Se recalculează a1 care devine a1' = 65 − 40 = 25 Pasul 2 x21 = min ( a1' , b2) = a1' = 25 şi haşurăm celulele corespunzătoare variabilelor nebazice (pentru x13, x14). Se recalculează b2 care devine b '2 = b 2 − x 21 = 10 Pasul 3 x22 = min (a2, b '2 ) = b '2 = 10 şi haşurăm celula corespunzătoare lui x32 care e nul. Recalculăm a2 care devine

a '2 = a 2 − x 22 = 15 − 10 = 5 Pasul 4 x 23 = min(a '2 , b 3 ) = a '2 = 5 , haşurăm celula lui x23 care e nul şi recalculăm b3, b 3' = 15 − 5 = 10 Pasul 5 x 33 = min(a 3 , b 3' ) = b 3' = 10 şi este evident că x34=10 Ţinând seama de costurile trecute în colţurile de sus ale celulelor avem pentru f valoarea f = 3 ⋅ 40 + 2 ⋅ 25 + 3 ⋅ 10 + 2 ⋅ 5 + 1 ⋅ 10 + 3 ⋅ 10 = 250 Deci am obţinut o soluţie de bază nedegenerată x11 = 40, x12 = 25, x22 = 10, x23 = 5, x33 = 10, x34 = 10, x13 = x14 = x21 = x24 = x31 = x32 = 0 2. Metoda costurilor minime Pentru determinarea soluţiei de bază se iau în considerare costurile care ne indică ordinea de alegere a componentelor în fiecare pas. În primul pas se determină componenta xkh pentru care ckn = min cij şi se ia xkh = min (ak, bh) cu cele trei alternative ca la metoda diagonalei. Se repetă procedeul urmărind costurile minime pentru celulele necompletate. 82

Exemplu 9.2.: Reluăm datele din exemplul 9.1. Pe prima linie a tabloului cel mai mic cost este c13 = 1 deci luăm x13 = min (a1, b3) = b3 = 15 se haşurează restul de celule din coloana lui b3 şi se recalculează a1 care devine a1' = 65 − 15 = 50 a1 a2 a3

b1 153 151 103 40 25

b2 352 ///3 ////4 35

b3 151 ///2 ////1 15

b4 ////4 /////2 103 10

65, 50, 15 15 20

Pasul 2 căutăm min cij = c21 = 1 deci x21 = min (a2, b1) = a2 = 15 1 ≤ i ≤3 j = 1, 2, 4 şi haşurăm celulele liniei doi. Recalculăm b, care devine b1' = b1 − 15 = 25 min cij = c12 deci x 12 = min(a 1' , b 2 ) = b 2 = 35 i=1, 3 j = 1, 2, 4 Haşurăm coloana lui b2 şi avem a 1'' = a 1' − 35 = 50 − 35 = 15 Pasul 4 min cij = c11 (sau c31 = c34) luăm i=1, 3 j=1, 4 x11 = min( a 1'' , b1' ) = b1' = 15 şi b1' devine b1'' = b1' − 15 = 10

Pasul 3

Este evident acum că x13 =10 şi x34 = 10 Avem f = 215 pentru x11 = 15, x12 = 35, x13 = 15, x21 = 15, x31 = 10, x34 = 10 x14 = x22 = x23 = x24 = x32 = x33 = 0 Metoda costurile minime dă în general o soluţie iniţială de bază mai bună decât metoda diagonalei, realizând o valoare a cheltuielilor de transport mai mică. Acest lucru e util deoarece numărul iteraţiilor necesare pentru atingerea optimului va fi mai mic. Pentru determinarea soluţiei optime a unei probleme de transport se utilizează algoritmul bazat pe adoptarea metodei simplex la condiţiile particulare ale problemei de transport. 83

3. Determinarea soluţiei optime Fiecărei variabile xkh îi corespunde A un vector coloană m+n dimensional a kl . Dacă dispunem de o bază B formată din n+m–1 vectorii a kl sunt liniar independenţi. orice vector nebazic se scrie în această bază a ij = x ijkl a kl (2.9.6.)

∑

a kl ∈B

cu x ijkl = −1, 0 sau 1 Problema de transport este un program liniar de minim, deci o soluţie este optimă dacă toţi cij − z ij ≥ 0 , adică

c ij − c B z ij ≥ 0 , i = 1, ... , m; j = 1, ... , n.

(2.9.7.)

având aici suma algebrică a costului cij cu o parte din costurile asociate componentelor bazice ale soluţiei. Dacă condiţiile (2.9.7.) nu sunt îndeplinite soluţia poate fi îmbunătăţită prin modificarea bazei introducând un vector nebazic a ij şi anume pe acela pentru care diferenţa cij–zij<0 este minimă. Această modificare se face atribuind componentei noi, o valoare nenulă θ a cărei mărime se va determina provocând un transport al lui θ în ciclul componentelor xkl corespunzătoare coeficienţilor nenuli din (2.9.6.) scăzând şi adunând succesiv această valoare din componentele bazice aşa fel încât suma totală să rămână invariantă, noua soluţie rămânând o soluţie posibilă (cu componente ≥ 0). Procedeul se repetă până la verificarea testului de optimalitate. Mecanismul de calcul îl vom explicita pe exemplul următor: Reluăm exemplul (9.1.) având costurile înscrise în colţul din dreapta al fiecărei căsuţe şi ţinem seama de faptul că prin metoda diagonalei am determinat pentru funcţia obiectiv valoarea f = 250 deci pornim cu soluţia de bază determinată la (9.1) 403 252 ///1 ///4 65 ///1 103 52 ////2 15 3 4 1 /// /// 10 103 20 40 35 15 10 Pentru verificarea optimalităţii soluţiei asociem fiecărei celule libere un ciclu care începe şi se termină în celula respectivă şi ale cărei noduri sunt în mod obligatoriu celule corespunzătoare componentelor 84

bazice. Vom alcătui un tablou ajutător în care vom trece în celulele corespunzătoare lui xij valorile δ ij = c ij − x ij egală cu suma costurilor cu semn alternat care apar în ciclul (i, j) începând cu +cij Avem:

δ13 = c13 − c 23 + c 22 − c12 = 1 − 2 + 3 − 2 = 0

δ14 = c14 − c 34 + c 33 − c 23 + c 22 − c12 = 4 − 3 + 1 − 2 + 3 − 2 = 1 δ 21 = c 21 − c 22 + c12 − c11 = 1 − 3 + 2 − 3 = −3 şi analog δ 31 = 0; δ 32 = 3; δ 24 = 2; δ 42 = 2 ///3 -31 03

///2 ///3 24

01 ///2 ///1

14 22 ///3

Cea mai mică diferenţă negativă este δ 21 = −3 deci vom introduce în bază vectorul a 21 . În ciclul corespunzător celulei (2,1) punem în celula (2,1) valoarea θ iar la celelalte componente bazice adăugăm şi scădem θ până la echilibrarea sumei totale şi anume: 40 – θ ← 25 + θ ↓ ↑ θ → 10 – θ Cea mai mare valoare a lui θ aşa încât toate celelalte valori va fi ≥0 este θ = 10. Deci tabloul problemei va fi: 303 101 ///3 40

352 ///3 ///4 35

///1 52 101 15

///4 ///2 103 10

65 15 20

Noua soluţie a problemei de transport este f1 = 30 · 3 + 35 · 2 + 10 · 1 + 5 · 2 + 10 · 1 + 10 ·3 = 220 Soluţia nu este optimă deoarece aplicând testul de optimalitate avem: /// /// 3

/// /// 5

-1 //// ////

0 -2 ///// 85

δ13 = −1, δ14 = 0; δ 22 = 2; δ 24 = −2; δ 31 = 3; δ 32 = 5 Avem δ 24 = −2 deci soluţia nu este optimă Repetând raţionamentul punând θ în căsuţa (2, 4) avem ciclul 5–θ → θ ↑ ↓ 10 + θ ← 10 – θ, cu θ = 5 Soluţia problemei va fi 352 ///1 ///4 65 303 1 3 2 10 /// /// 52 15 ///3 ///4 151 53 20 40 35 15 10 cu f2 = 210 Testul de optimalitate ne dă: /// /// 4

/// 3 4

1 2 ///

2 /// ///

Toate valorile δ ij ≥ 0 deci relaţia f2 este optimă. pentru x11 = 30; x12 = 35; x21 = 10; x24= 5; x33 = 15; x34 = 5 toate celelalte valori fiind nule. Să se rezolve următoarele probleme de programare liniară

86

⎧3 x1 + x3 - x3 = 3 ⎪ x + x - 3x = - 12 ⎪ 1 2 4 2.1.⎨ ⎪ x 2 + x3 + x5 = 4 ⎪⎩ xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 5 [max] f = 3 x1 + 2 x 2 + x3 − x 4 + 5 x5 43 7 , x 2 = 0, x3 = 0, x 4 = , x5 = 4) 8 3 ⎧ x1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ ⎪7x + 5x + 3x + 2x ≤ 1 ⎪ 1 2 3 4 2.2.⎨ 3x 4x 10x 15x + + + 2 3 4 ≤1 ⎪ 1 ⎪⎩ xi ≥ 0 1≤i ≤5

( R = x1 =

[max] f = 60 x1 + 60 x 2 + 90 x3 + 90 x 4 Să se rezolve şi programul dual. (R: x1 = x2 = x3 = x4 = 0, x5 =15; x6 = 1, x7 =1) Pentru programul dual: y1=0, y2=

330 450 , y3 = 61 61

⎧ x 1 − x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = −2 ⎪3x − x + x 4 ≤ 5 ⎪ 3 2 .3 . ⎨ 1 ⎪ 2 x 1 − 3x 3 + 5 x 4 ≤ 3 ⎪⎩ x i ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 4 [max]f = 2 x 1 + 5x 3 − x 4 ( R : Probleme cu optimi inifinit) ⎧ x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 1 ⎪- x + 3x + 2x = 1 ⎪ 1 2 3 2.4. ⎨ ⎪2x 1 + x 2 + x 3 = -2 ⎪⎩ x i ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 3 [max]f = 3x 1 + 2 x 2 + x 3 87

(R: problema nu au soluţii de bază)

⎧ 2 x1 + 5 x 2 − x 3 + 2 x 4 ≥ 3 ⎪ x − 2 x − x = −5 ⎪ 1 2 3 2.5.⎨ ⎪ 2 x1 − x 2 + x 4 = − 2 ⎪⎩ x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 oarecare, x4 ≤ 0 [max] f = 3 x1 − 6 x 2 + x 4 Să se rezolve următoarele probleme de transport. 2.6. B1 B2 B3 B4 Disponibil A1 8 3 5 2 10 A2 4 1 6 7 15 A3 1 9 4 3 25 Necesar 5 10 20 15 (R:f=150) 2.7. B1 B2 B3 Disponibil A1 2 1 3 7 A2 5 3 1 8 A3 2 4 3 5 Necesar 6 7 7 (R:f=28) 2.8. A1 A2 A3 Necesar (R:f=220)

88

B1 3 1 3 50

B2 2 2 2 25

B3 2 3 2 15

B4 4 4 1 10

Disponibil 70 10 20

3. ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR 3.1. Introducere. Definiţii

Prima referire la teoria grafurilor a fost făcută în 1736 de către Euler în lucrarea numită: problema podurilor din Königsberg. În 1847 Kirchoff a abordat teoria reţelelor electrice prin metoda grafurilor. În 1956 Ford şi Fulkerson au aplicat teoria grafurilor în reţelele de transport. Astfel, după această perioadă teoria grafurilor a fost utilizată pentru rezolvarea unor probleme cu caracter economic, pentru proiectarea reţelelor electrice, de canalizare, de gaze sau a reţelelor de tehnică de calcul, ori în medicină. Definiţia 1. Un graf G este o pereche de forma G = (X,Γ) unde: X este este o mulţime finită numită mulţimea vârfurilor (sau a nodurilor); orice element x∈X se numeşte vârf Γ este o submulţime a lui X x X, numită mulţimea perechilor ordonate (xi, xj) i = 1, n ,

j = 1, u , i≠j numite arce. Pentru un arc (xi, xj) ∈ Γ vârful xi se numeşte extremitate iniţială (sursă), iar vârful xj extremitate finală (destinaţie). Graful G admite o reprezentare geometrică în plan, obţinută astfel: - vârfurile se plasează în plan în poziţii distincte oarecare. - fiecare arc (xi, xj) ∈Γ se reprezintă printr-o linie ce uneşte cele 2 extremităţi şi pe care se află sensul de la xi la xj. Exemplu: Fie graful G = (X, Γ) date de X = {x1, x2, x3, x4, x5} iar Γ = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x4), (x3, x2), (x3, x4), (x4, x1), (x4, x5)}. Cu reprezentarea geometrică:

Fig. 1 88

Se observă că Γ poate fi definită ca o aplicaţie multivocă Γ: X → P(x) Adică, Γ(x) este mulţimea tuturor nodurilor finale ale arcelor ce au ca nod iniţial pe x. Astfel, graful din exemplul de mai sus poate fi scris ca X = {x1, x2, x3, x4, x5}. Γ(x3) = {x2, x4} Γ(x1) = {x2, x3} Γ(x2) = {x4} Γ(x4) = {x1, x4, x5} Γ(x5) = Ø Dacă xi ∈ Γ(xi), arcul (xi, xi) ∈ Γ se numeşte buclă. În exemplul anterior arcul (x4, x4) buclă. Dacă graful G conţine arcul (xi, xj) vom spune că vârfurile xi şi xj sunt adiacente în G şi amândouă sunt incidente cu arcul (xi, xj). • Definiţia 3.1.2.: O succesiune de arce în care vârful terminal al unuia este origine pentru următorul se numeşte drum. • Definiţia 3.1.3.: Un drum este simplu dacă foloseşte un arc o singură dată. • Definiţia 3.1.5.: Un drum este elementar dacă nu trece de două ori prin acelaşi vârf. • Definiţia 3.1.6.: Un drum elementar care cuprinde toate vârfurile grafului se numeşte hamiltonian • Definiţia 6: Numărul arcelor care compun un drum se numeşte lungimea acelui drum. Exemplu în graful din fig.1 Un drum elementar poate fi: d1: {x1, x2, x4, x5} sau d2: {x1, x2, x4, x5} lungimea drumului d1: este 3, iar a drumului d2 tot 3. Într-un graf G, se numeşte muchie o pereche de vârfuri [xi, xj] de vârfuri pentru care avem proprietatea că (xi, xj) ∈ Γ sau (xj, xi) ∈ Γ: muchiile unui graf reprezentat geometric se prezintă ca nişte segmente neorientate. • Definiţia 3.1.7.: Se numeşte lanţ un şir de arce l = {( x1, x2), (x3, x4), ... (xp, xp+1)} cu proprietatea că oricare arce vecine (xi, xi+I) (xi+I, xI+j) au o extremitate comună pentru orice i = 1, 2, ... p-1. • Definiţia 3.1.8.: Un lanţ care nu-şi repetă vârfurile se numeşte lanţ elementar, iar un lanţ care nu-şi repetă muchiile se numeşte un lanţ simplu. Numărul de muchii care formează un lanţ se numeşte lungimea lanţului. Exemplu: 89

Fig.2 În graful de mai sus următoarele şiruri de arce sunt lanţuri: l1: (x1, x2), (x2, x4), (x4, x3) l4 : (x1, x4), (x4, x3), (x3, x2) l2 : (x1, x2), (x2, x4) l3 : (x1, x3), (x3, x2), (x2, x4) Definiţia 3.9.: Se spune că un graf este conex dacă între oricare două vârfuri ale sale există cel puţin un lanţ care să le lege. În caz contrar graful este neconex. Un graf se numeşte tare conex dacă între oricare două vârfuri ale sale există cel puţin un drum. Exemplu: Graful este conex

Fig. 3a iar graful nu este conex

Fig. 3b 90

• Definiţia 3.1.10.: Gradul unui vârf să se notează g(x) şi reprezintă numărul de arce incidente cu x. Gradul interior al unui vârf x se notează cu g-1(x) este numărul arcelor de forma (y, x) ∈ X, cu y ∈ X • De exemplu în graful din fig.1 g-(x2) = 2 existând 2 arce (x1, x3), (x3, x2) cu destinaţia x2 g+(x2) = 1 pentru că Γ(x2) = {x4} Deci g(x2) = 3 • Definiţia 3.1.11. Se numeşte subgraf G’ (X’, Γ’) al grafului G(X, Γ) un graf obţinut din G prin suprimarea anumitor vârfuri şi a tuturor arcelor incidente cu acestea. Vom spune că subgraful G’ este indus sau generat de mulţimea de vârfuri X’ • Dacă X’ = X subgraful se numeşte graf parţial al lui G - adică graful parţial se obţine din graful G, având aceleaşi vârfuri, dar numai cu o parte din arcelor acestuia. Exemplu: Fie graful

Fig. 4a în Fig. 4 b este prezentat subgraful G’ generat de nodurile {x1, x2, x3, x5}

Fig. 4b iar în Fig. 4c este prezentat graful parţial G” fără arcele (x2, x3), (x3, x5) 91

Fig. 4c • Definiţia 3.1.12. Un graf orientat este complet dacă oricare două vârfuri sunt adiacente 3.2. Matrici asociate unui graf. Proprietăţi ale grafurilor În problemele ce pot fi rezolvate cu ajutorul grafurilor apar anumite matrici ce conţin informaţii asupra arcelor, drumurilor sau altor elemente legate de grafuri. 3.2.1. Matricea conexiunilor directe Fie un graf G = (X, Γ) cu x = {x1, x2, ... xn}. Asociem acestui graf o matrice pătratică C numită booleană, ale cărui elemente sunt: C = (c ij ) i =1,n . j=1, n

⎧⎪1 dacă (x i , x j )∈ Γ Matricea C poartă numele de matricea c ij = ⎨ ⎪⎩0 dacă (x i , x j ) ∉ Γ arcelor, matricea conexiunilor directe sau matricea de adiacenţă pentru graful G

Fig. 5 92

Exemplu: Pentru graful din fig. de mai sus scriem matricea conexiunilor directe:

C:

x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 0 0 0 0

x2 1 0 0 1 1

x3 1 1 0 0 0

x4 1 0 1 0 0

x5 0 0 1 1 0

Observaţii: 1. Numărul de cifre 1 de pe linia xi reprezintă numărul de conexiuni directe ale lui xi, iar numărul de cifre 1 de pe coloana xj reprezintă numărul conexiunilor directe cu xj. De exemplu: dacă nodurile grafului de mai sus reprezintă 5 bănci, iar arcele corespunzătoare reprezintă relaţiile de colaborare interbancare, atunci cifrele de 1 de pe linia xi ar putea reprezenta posibilităţile la care banca i face plasamente, iar cifrele de 1 de pe coloana xj ar putea reprezenta posibilităţile de la care banca xj ar putea face împrumuturi. 2. Dacă 2 grafuri au aceeaşi matrice a conexiunilor directe (şi aceeaşi mulţime de vârfuri) atunci cele 2 grafuri coincid. 3. Gradul exterior al vârfului şi se obţine adunând elementele de pe linia i a matricei C, iar gradul interior al aceluiaşi vârf se obţine adunând elementele de pe coloana i a matricei C. n

g (x i ) = ∑ c ij +

n

g (x i ) = ∑ c ki −

j=1 +

Exemplu: g (x3) = 2

–

k =1

g (x3) = 1

3.2.2. Matricea drumurilor Din matricea conexiunilor directe, prin anumite operaţii se poate o matrice D = (d ij ) i =1,n numită matricea drumurilor sau matricea j=1, n

conexiunilor totale în care dij = ⎧⎪⎨ 1, dacă există drum de la xi la xj ⎪ 0, dacă nu există drum de la xi la xj ⎩

93

Definiţie Puterea de atingere p(xi) a vârfului xi ∈X în graful G=(X, Γ) este egală cu numărul de vârfuri la care se poate ajunge din xi, adică egală cu numărul de elemente de „1” de pe linia „i” din matricea D. Observaţii: 1. Matricea D = (d ij ) i, j=1,n a drumurilor grafului G poate indica absenţa sau prezenţa circuitelor în graful G astfel: • dacă dii=0 (∀) = 1, n atunci graful G nu are circuite; • dacă există un indice i, i = 1, n pentru care dii=1 atunci există în graful G un circuit care are ca vârf iniţial şi final pe xi. 2. Dacă p(xi)=0, atunci din vârful xi nu se ajunge nicăieri şi se numeşte ieşire din reţea. 3. Dacă matricea D are toate elementele egale cu 1 atunci graful este tare conex. Dacă cel puţin un element este egal cu 0 în D, graful nu este tare conex. Pentru elaborarea unui algoritm de determinare a matricii drumurilor introducem o operaţie adecvată pe mulţimea formată din elementele 0 şi 1, numită operaţie de „adunare booleană” cu regulile

+ 0 1 următoare: 0

0 1 1 0 1

Astfel algoritmul de determinare al matricii drumurilor unui graf pornind de la matricea conexiunilor directe, este: 1. Pentru construirea liniei „i” din matricea D i = 1, u urmărim elementele egale cu „1” de pe linia „i” din matricea C:

(

c iα = 1 c iβ = 1 dacă M c iγ = 1

)

d iα = 1 d iβ = 1 atunci M d iγ = 1

2. Folosind adunarea booleană, se adună liniile α, β, γ din matricea C la linia „i”; noile valori „1” apărute se trec în linia „i” a matricei D; fie k, l, ... m poziţiile ocupate de aceste noi valori în cadrul liniei. 94

3. Adunăm (boolean) liniile k, l, ..., m din C la linia „i” trecând noile valori de „1” apărute în linia „i” a matricii D, continuând procesul până la apariţia uneia din situaţiile: a) sau toate elementele d ij (j = 1, n ) devin egale cu „1”. b) sau nu mai apare nici un element egal cu „1”, caz în care locurile rămase libere se completează cu zerouri şi se trece la linia „i+1”, pentru care se repetă procedeul. Exemplu: Pentru graful din fig.5 cu matricea conexiunilor directe C asociată, determinăm matricea drumurilor D. 1. Construim linia 1 a matricii D pornind de la linia 1 a matricii C. Observăm că C12=1 şi C13= 1, C14= 1, restul elementelor fiind egale cu zero. Atunci boolean linia 1 din C cu liniile l2, l3, l4 ale matricii C

l1 : l2 : l3 : l4 : l1(2)

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 1 0 0 1

1 0 1 0 1

0 0 1 1 1

Observăm că linia l1(2) diferă de l1 prin elementul generat pe (2) poziţia C15 = 1 . Trecem la Pasul 3o din algoritm şi adunăm boolean

linia l1(2) cu linia l4 din C.

l1(2) l4

0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1

Observăm că nu s-au generat alte elemente în plus faţă de cele obţinute în l1(2) , deci, l1 a matricii D va fi l1(D) : 0 1 1 1 1 2. Pentru linia 2 a matricii D Observăm că c23 = 1 restul elementelor fiind egale cu zero. Adunăm boolean l2 din C cu l3 95

l2 :

0 0 1 0 0

l3 : 0 0 0 1 1 l (2) 0 1 1 1 2 : 0 diferă de l2 prin elementele generate de Observăm că linia l (2) 2 (2) (2) poziţiile c 24 = 1 şi c 25 = 1 . Adunăm boolean l (2) 2 cu l4 şi l5. l (2) 2 l4 l5 l (3) 2

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 1 0 1

diferă de l (2) prin elementul generat pe Observăm că linia l (3) 2 2 (3) poziţia c (3) 22 = 1 . Adunăm boolean l 2 cu l2

l (3) 2 l2 l (4) 2 l

(3) 2

0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1

Observăm că nu s-au generat elemente noi de „1” faţă de linia deci linia l2 din D va fi l (D) 2 :0 1 1 1 1 1 Similar pentru liniile 3, 4, 5 şi obţinem matricea D

D : x1 x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 x5 0

x2 1 1 1 1 1

x3 1 1 1 1 1

x4 1 1 1 1 1

x5 1 1 1 1 1

Observaţii: 1. graful G are circuite, căci există i astfel încât dii=1 (ex.d22=1) 2. puterile de atingere ale vârfurilor p(x1) = p(x2) = p(x3) = p(x4) = p(x5) = 4 96

3. algoritmul prezentat anterior de determinare a matricii drumurilor este destul de lent în ce priveşte aplicarea pe calculator, având complexitatea O(n2), dar este util în aplicaţii efecte manual pe grafuri de dimensiuni reduse. 3.2.3. Determinarea drumurilor hamiltoniene în grafuri fără circuite Dacă graful G nu are circuite, vom scrie matricea D a drumurilor grafului, ordonând în prealabil vârfurile grafului în ordinea descrescătoare a puterilor de atingere – astfel toate valorile de „1” din matrice vor apare deasupra diagonalei principale. Deoarece - dacă în graful G există un drum de la xi la xj atunci p(xj) < p(xi), deoarece orice vârf atins din xj poate fi atins şi din xi, printr-un drum obţinut în cadrul operaţiei de conectare. - dacă ar mai fi posibil ca dij = 1 cu i > j atunci p(xi) > p(xj) ceea ce conform rearanjării liniilor şi coloanelor nu mai este posibil. Acest procedeu se numeşte „triangularizare” matricea D se va numi „formă triungularizată superior”. Este evident că dacă ordinea {x1, x2, ... xn} a vîrfurilor grafului conducere la o matrice triangularizată atunci p(x1) ≥ p(x2) ≥ ... ≥ p(xn). Această formă are proprietatea că fiecare element egal cu „1” de pe fiecare linie a matricii drumului corespunde unui drum format dintr-un singur arc. Într-adevăr, presupunem că, pe linia vârfului xi constatăm că:

⎧d ik = 0 ⎨ ⎩d ij = 1

k = 1, j − 1 j〉 i

Să presupunem că există un drum de la xi la xj format din mai multe arce, de exemplu drumul. { (xi, xα), (xα, xj)}. Atunci avem: diα = 1 dαj = 1 → p(xα) > p(xj), deci xα este înaintea lui xj şi deci valoarea diα = 1 ar fi anterioară lui dij, pe linia vârfului xi, ceea ce am presupus că nu se întâmplă. Exemplu: Fie matricea D a drumurilor unui graf

97

D : x1 x1 0 x2 0 x3 1 x4 0

x2 1 0 1 0

x3 0 0 0 0

x4 1 1 1 0

p(x i ) 2 1 3 0

Pentru a triangulariza matricea D ne folosim de relaţiile p(x3) > p(x1) > p(x2) > p(x4) , vom scrie vârfurile în ordinea {x3, x1, x2, x4} în loc de ordinea { x1, x2, x3, x4}. Avem:

D1 : x 3 x3 0 x1 0 x2 0 x4 0

x1 1 0 0 0

x2 1 1 0 0

x4 1 1 1 0

care este matricea triangularizată

a drumurilor. Aceste consideraţii permit elaborarea algoritmului de determinare a drumurilor hamiltoniene în grafurile fără circuite, astfel: Teoremă (Y. CHEN.) Un graf fără circuite, care are „n” vârfuri, conţine un drum hamiltonian, dacă şi numai dacă avem: n

∑ p(x ) = i =1

i

n(n − 1) 2

Demonstraţie: Fie d = {x1, x2, ... xn} drumul hamiltonian în G, atunci: - dacă i > j din xj nu se poate atinge vârful xi, deoarece în caz contrar în G ar exista circuite - din vârful xi (i = 1, n − 1 ) se pot atinge vârfurile x i −1 , x 1− 2 ,...x n deci p(xi) = n-i - din vârful xn nu se poate atinge nici un vârf. În total avem: n

n

i =1

i =1

∑ p(x i ) = ∑ n − i = 98

n(n − 1) 2

Reciproc, presupunem că

n

∑ p(x ) = i =1

i

n(n − 1) 2

atunci în matricea D se găsesc n(n − 1) elemente de „1”. 2 Triangularizând superior această matrice, aceste elemente vor ocupa toate locurile disponibile de deasupra diagonalei; în final drumul hamiltonian însuşi este dat de succesiunea vârfurilor corespunzătoare matricii triangularizată superior. Observaţie: într-un graf fără circuite, există cel mult un drum hamiltonian. (2) Dacă ar exista 2 drumuri hamiltoniene d (1) H şi d H atunci în cele 2 drumuri ar exista cel puţin 2 vârfuri xi, xj aşezate în ordine inversă, ceea ce ar face să apară un circuit între xi şi xj. Algoritmul de determinare a drumului hamiltonian. Etapa 1 Se scrie matricea D = (d ij )i, j=1,n a drumurilor Dacă există un indice „i” pentru care dii = 1, atunci graful are circuite şi algoritmul Y.Chen nu se poate aplica. Etapa 2 n(n − 1) elemente de „1” În caz contrar, dacă în matrice există 2 graful admite drum hamiltonian şi se trece la Etapa3. Iar dacă numărul de elemente „1” este mai mic decât

n(n − 1) 2

graful nu are drum hamiltonian. Etapa 3: Ordinea vârfurilor în cadrul drumului hamiltonian este dată de ordinea descrescătoare a puterilor de atingere. Exemplu: Să determinăm drumul hamiltonian pentru matricea drumurilor din exemplul precedent. Avem p(x1) = 2; p(x2) =1; p(x3) = 3; p(x4) = 0 4

∑ p(x ) = 6 i =1

i

99

iar pentru n = 4 ⇒

n(n − 1) =6 2

Deci, se poate aplica teorema lui Chen, în G există un drum hamiltonian, iar acesta este dH:{x3, x1, x2, x4} 3.2.4. Determinarea drumului hamiltonian în graf cu circuite Algoritmul de determinare a matricii drumurilor are un caracter prea sintetic, în sensul că prezenţa unei valori de „1” în matricea drumurilor nu dă informaţii asupra vârfurilor din care se compun drumurile corespunzătoare, bineînţeles că nici asupra numărului de drumuri între vârfurile care corespund acelor valori de „1”. Ca un exemplu de algoritm capabil să răspundă acestor deziderate, prezentăm algoritmul fundamental datorat lui A.Kaufmann (1963) numit al „înmulţirii latine”. Introducem ca punct de plecare, o matrice M(1), care în locul valorilor de „1” utilizate în matricea obişnuită a arcelor, utilizează însuşi arcul respectiv, reprezentat prin vârfurile care îl compun.

( )

M (1) = m (1) ij

i, j=1, n

⎧x i x j

(1) , unde m ij = ⎨

⎩0

dacă există arc de la xi

la xj în rest. Prin suprimarea primei litere în matricea M(1) în rest se obţine o ~ matrice M (1) numită „a destinaţiilor posibile”. Se compun matricele ~ ~ M(1) şi M (1) prin operaţia de „înmulţire latină”. M(1) L M (1) astfel: - înmulţirea latină a matricilor se face formal ca şi înmulţirea a 2 matrici, fără însumare şi fără înmulţire efectivă ţinând cont că: - produsul latin a două componente participante la calcul este nul dacă cel puţin una din ele este nulă. - produsul latin a două componente participante este nul dacă au vârf comun. - rezultatul compunerii constă în scrierea în continuare a vârfurilor componente ale simbolurilor participante. Prin definiţia produsului latin avem: ~ ~ M (2) = M (1) (L )M (1) , M (3) = M (2) (L )M (1) ,... , algoritmul continuă până la obţinerea matricii M(n-1), deoarece într-un graf cu n vârfuri un drum hamiltonian are n-1 arce. 100

În matricea Mn-1 citim, conform modului de scriere de mai sus toate drumurile hamiltoniene ale grafului. Dacă toate elementele lui Mn-1 sunt zerouri, (Mn-1 = 0), graful nu admite drum hamiltonian. Observaţie: Procedeul este aplicabil pentru orice tip de graf orientat (cu sau fără circuit), dar pentru grafurile fără circuite se recomandă algoritmul lui Chen, întrucât pentru grafuri de dimensiuni mari, algoritmul înmulţirii latine este greoi (dar sigur). Exemplu: Să se determine drumurile hamiltoniene pentru graful din fig. 5. Rezolvare: Cum ştim că, graful are circuite, vom folosi metoda înmulţirii latine. ~ Matricele M(1) şi M (1) vor fi:

M

(1)

~ M (1)

M

(2)

⎛0 ⎜ ⎜0 = ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ ⎛0 ⎜ ⎜0 = ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

x1x 2

x1x 3

x1x 4

0 0

x1x 3 0

0 x x4

x4x2 x5x 2

0 0

0 0

x2 0 0 x2

x3 x3 0 0

x4 0 x4 0

x2

0

0

0⎞ ⎟ 0⎟ x5 ⎟ ⎟ x5 ⎟ 0 ⎟⎠

~ = M (L)M (1) (1)

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ x 3x 5 ⎟ ⎟ x4x5 ⎟ 0 ⎟⎠

⎛ ⎜ 0 x1x 4 x 2 x1x 2 x 3 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ =⎜ ⎧x 3 x 4 x 2 ⎫ 0 ⎨ 0 ⎬ ⎜ ⎩x 3 x 5 x 2 ⎭ ⎜0 x x x x4x2x3 4 5 2 ⎜ ⎜0 0 x5x 2x3 ⎝

x1x 3 x 4 x 2x 3x 4 0 0 0

⎧x 1 x 3 x 5 ⎫ ⎞ ⎨ ⎬⎟ ⎩x 1 x 4 x 5 ⎭ ⎟ x 2x 3x5 ⎟ ⎟ x3x 4x5 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠ 101

M (3) = M (2) (L )M (1)

⎛ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ = ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0

~ M (4) = M (3) (L )M (1)

⎧x 1 x 3 x 4 x 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨x 1 x 3 x 5 x 2 ⎬ x 1 x 4 x 2 x 3 ⎪x x x x ⎪ ⎩ 1 4 5 2⎭ 0 0

x1x 2 x 3 x 4 0

x 3x 4x5x 2

0

0

0

x4x5x2x3

0

0

0

x5x 2x3x 4

⎛ ⎜ 0 x1x 3 x 4 x 5 x 2 ⎜ ⎜0 0 =⎜ 0 ⎜0 ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎝

x1x 4 x 5 x 2 x 3 0 0 0 0

⎞ ⎧x 1 x 2 x 3 x 5 ⎫ ⎟ ⎨ ⎬⎟ ⎩x 1 x 3 x 4 x 5 ⎭ ⎟ ⎟ x 2x3x 4x5 ⎟ ⎟ 0 ⎟ x 4x 2x3x5 ⎟ ⎟ 0 ⎠

⎧x 1 x 4 x 2 x 3 x 5 ⎫ ⎞ 0 ⎨ ⎬⎟ ⎩x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ⎭ ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠

În graful dat există 4 drumuri hamiltoniene În cazul în care există mai multe drumuri hamiltoniene prezintă interes şi noţiunea de „cel mai bun” drum hamiltonian ceea ce conduce la ideea de drumuri optime într-un graf. 3.2.5. Drumuri de valoare într-un graf ; algoritmul Bellman-Kalaba Fie G = (X, Γ) un graf, vom introduce o funcţie v: Γ → R ce asociază fiecărui arc din Γ o valoare reală. Notăm: vij = v(xi, xj) şi Gv = (X, Γ, v) graful valuat. În cazurile reale valuarea poate reprezenta: - distanţa dintre 2 puncte (localizate) - timpi sau costuri într-o reţea de transport etc. Pentru un drum d ={xi1, xi2, ... xik} în graful G vom numi „valoare a drumului”, suma valorilor arcelor componente, adică: k -1

p(d) = ∑ p i k i h +1 h =1

Vrem să determinăm drumul „d” de la un vârf oarecare xi la vârful xn, pentru care valoarea lui p(d) să fie minimă. Pentru aceasta introducem „matricea extinsă a valorilor arcelor” V = (v ij ) i, j=1,n , dată de 102

⎧0 i = j ⎪ v ij = ⎨v ij dacă există arcul (x i , x j ) ∈ Γ ⎪ ⎩∞ dacă i ≠ j şi (x i , x j ) ∉ Γ şi notăm cu m ik valoarea minimă a drumului d de la xi la xn în graful dat, considerat în mulţimea drumurilor de cel mult k arce, cu mi valoarea minimă a drumului de la xi la xn, considerată în mulţimea tuturor drumurilor (indiferent de numărul de arce componente). Algoritmul de construire a vectorilor (mi)i=1,n se bazează pe următoarele propoziţii: PROPOZIŢIA 1

Pentru orice k∈N* avem

{

m i(k +1) = minim v ij + m (k) j

}

j = 1, n Demonstraţie: Este evident că un drum de cel mult k+1 arce cu destinaţia xn se poate obţine dintr-un drum de cel mult k arce cu destinaţia xn, prin adăugarea unui arc la începutul său. Deci:

{

m i(k +1) = minim{v ij + minim p(d k )} = minim v ij + m (k) j j = 1, n

(d k )

}

j = 1, n

PROPOZIŢIA 2

Dacă există k∈N* pentru care m i(k) = m i(k +1) , pentru orice

i = 1, n , atunci: a) m i(k) = m i(s) ∀ i = 1, n , ∀s ≥ k + 1 b) m ik = m i

∀i = 1, n

Demonstraţie: a) demonstrăm prin inducţie după s: pentru s = k+1 proprietatea este adevărată conform enunţului Presupunând proprietatea adevărată pentru o valoare s ≤ h avem: 103

{

}

{

}

m i(h +1) = minim v ij + m i(h) = minim v ij + m i(k) = m i(k +1) j = 1, n

j = 1, n

b) rezultă în mod evident, pentru că prin adăugarea de arce noi nu obţinem drumuri de valoare mai mică. • Algoritmul de determinare a drumului minim este: Etapa 1 Se consideră graful valuat Gv= (X, Γ, V) x = {x1, x2, ... xn} se construieşte matricea estinsă a valorilor arcelor V = (vij ) i, j=1,n . Etapa 2 Se adaugă matricii V, liniile suplimentare m i(1) , m i(2) ,...., astfel: a) linia m i(1) coincide cu transpusa coloanei n a matricii V,

(

)(

)

( )

(v )

T

jn j=1,n

(

(k) b) presupunând completată linia m i

(m )

(k +1 i i =1, n

i =1,n

se completează linia

conform propoziţiei 1.

c) se continuă aplicarea fazei (b) până la obţinerea a 2 linii şi m i(k +1) identice

(m ) ( k i

)

)

Etapa 3 Se determină regresiv drumul minim de la xi la xn astfel: - se adună linia „i” din V cu linia m i(k +1) urmărindu-se rezultatul minim ce se poate obţine. Să presupunem că:

(

)

m i(k +1) = v ij + m i(k +1) atunci primul arc din drumul minim de la xi la xn este arcul (xi, xj) - se adaugă linia „j” din V cu m i(k +1 reţinând valoare minimă, aflată de exemplu pe coloana „k”, atunci al doilea arc va fi (xj, xk), ş.a.m.d. Ultimul succesor determinat va fi xn. • Algoritmul de determinare a drumului maxim Etapa 1 se construieşte matricea V a valorilor arcelor astfel:

(

104

)

⎧0 dacă i = j (v ij ) = ⎪⎨- ∞ dacă (x i , x j )∉ Γ ⎪ ⎩v ij dacă (x i , x j ) ∈ Γ Etapa 2 Similar cu etapa 2 din algoritmul anterior, dar la pasul 2b) linia

(m )

(k +1 i i =1, n

se completează astfel:

{

m i(k +1) = maxim v ij + m (k) j

}

j = 1, n

Etapa 3 Determinarea drumului maxim se determină la fel ca la etapa 3 anterioară. Vom prezenta două exemple de determinare a drumului minim, respectiv maxim cu ajutorul algoritmului Bellman-Kalaba. Exemplu: Vârfurile x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 reprezintă întreprinderi, iar pe arce este marcată durata executării controlului în punctul xj după efectuarea lui în punctul xi în unitatea de timp corespunzătoare. Să se determine timpul minim de control, dintre x1 şi x7.

Fig. 6 Rezolvare: Etapa 1 Construim matricea V a valorilor arcelor, V:

105

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

(m (m (m (m (v )

(1) i (2) i (3) i (4) i

) ) ) )

x1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

x2 2 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

x3 6 4 0 ∞ ∞ ∞ ∞

x4 11 3 1 0 6 4 ∞

x5 ∞ 9 ∞ ∞ 0 ∞ ∞

x6 ∞ ∞ 11 ∞ 14 0 ∞

x7 ∞ ∞ ∞ 9 19 13 0

∞

∞

∞

9

19

13

0

20

12

10

9

15

13

0

14

12

10

9

15

13

0

14

12

10

9

15

13

0

Etapa 2 a) adăugăm m i(1) la matricea V, care este transpusă coloanei

j7 j=1, n

b) completăm matricea V cu liniile m i(2) , m i(3) , m i(4) ştiind că

{

m i(k +1) = min v ij + m (k) j

}

j = 1,7 Aşadar pentru linia m i(2) , primul element m i(2) se determină adunând elementele liniei 1 a matricii V cu cele ale liniei m i(1) , cea mai mică fiind elementul căutat.

(

)

m1(2) = min v1j + m (1) = j j = 1,7 = min(0 + ∞, ∞ + 2, ∞ + 6, 11 + 9, 19 + ∞, 13 + ∞, 0 + ∞) = 20

(

)

(1) = m (2) 2 = min v 2j + m j j = 1,7

= min(∞ + ∞, ∞ + 0, ∞ + 4, 9 + 3, 9 + 19, 13 + ∞, ∞ + 0) = 12 106

(

)

m 3(2) = min v 3j + m (1) = j i = 1,7

= min( ∞ + ∞ , ∞ + ∞ , ∞ + 0, 9 + 1, 19 + ∞ , 13 + 11, 0 + ∞ ) = 10

(

)

(1) m (2) = 4 = min v 4j + m j j = 1,7

= min( ∞ + ∞, ∞ + ∞ , ∞ + ∞ , 9 + ∞ , 19 + ∞ , 11 + 13, ∞ + 0) = 9

(

)

m 5(2) = min v 5j + m (1) = j j = 1,5

= min( ∞ + ∞, ∞ + ∞ , ∞ + ∞ , 9 + 6, 19 + 0, 14 + 13, 19 + 0) = 15

(

)

(1) m (2) = 6 = min v 6j + m j j = 1,7

= min( ∞ + ∞, ∞ + ∞ , ∞ + ∞, 9 + 4, 19 + ∞ , 13 + 0, 13 + 0) = 13

(

)

(1) m (2) = 7 = min v 7j + m j j = 1,7

= min( ∞ + ∞, ∞ + ∞ , ∞ + ∞, 9 + ∞ , ∞ + 19, ∞ + 13, 0 + 0) = 0 Pentru linia m i(3) vom avea:

m

(3) 1

m i(3) = min{v ij + m (2) j } j = 1,7

= min(20 + 0, 12 + 2, 10 + 6, 9 + 11, 15 + ∞, 13 + ∞, 0 + ∞ ) = 14

m (3) 2 = min(20 + ∞ , 12 + 0, 10 + 4, 9 + 3, 9 + 15, 13 + ∞ , ∞ + 0) = 12 m 3(3) = min(20 + ∞, 12 + ∞, 10 + 0, 9 + 1, 15 + ∞, 13 + 11, 0 + ∞ ) = 10 m (3) 4 = min(20 + ∞ , 12 + ∞ , 10 + ∞ , 9 + 0, 15 + ∞ , ∞ + 13, 0 + 9) = 9 m 5(3) = min(20 + ∞, 12 + ∞, 10 + ∞, 9 + 6, 15 + 0, 13 + 14, 0 + 19 ) = 15 m (3) 6 = min(20 + ∞ , 12 + ∞ , 10 + ∞ , 9 + 4, 15 + ∞ , 13 + 0, 0 + 13) = 13 m (7) 6 = min(20 + ∞ , 12 + ∞ , 10 + ∞ , 9 + ∞ , 15 + ∞ , 13 + ∞ , 0 + 0 ) = 0

107

Pentru linia m i(4) vom avea:

m i(4) = min{v ij + m (3) j } j = 1,5

m

(4) 1

= min(14 + 0, 12 + 2, 10 + 6, 9 + 11, 15 + ∞ , 13 + ∞ , 0 + ∞ ) = 14

m

(4) 2

= min(14 + ∞ , 12 + 0, 10 + 4, 9 + 3, 15 + 9, 13 + ∞ , ∞ + 0 ) = 12

m

(4) 3

= min(14 + ∞ , 12 + ∞ , 10 + 0, 9 + 1, 15 + ∞ , 13 + 11, ∞ + 0 ) = 10

m

(4) 4

= min(14 + ∞ , 12 + ∞ , 10 + ∞ , 9 + 0, 15 + ∞ , 13 + ∞ , 0 + 9 ) = 9

m

(4) 5

= min( 14 + ∞ , 12 + ∞ , 10 + ∞ , 9 + 6, 15 + 0, 13 + 14 , 0 + 19 ) = 15

m

(4) 6

= min(14 + ∞ , 12 + ∞ , 10 + ∞ , 9 + 4, 15 + ∞ , 13 + 0, 0 + 13 ) = 13

m

(4) 7

= min(14 + ∞ , 12 + ∞ , 10 + ∞ , 9 + ∞ , 15 + ∞ , 13 + ∞ , 0 + 0 ) = 0

Observăm că liniile m i(3) şi m i(4) coincid, iteraţiile se opresc. Elementele lui m i(4) reprezintă valoarea minimă a fiecărei drum care ajunge în x7. Etapa 3 Se adună linia 1 din V cu m i(4) urmărindu-se rezultatul minim, care este 14 primul arc va fi (x1, x2). Se adună linia 2 din V cu m i(4) , rezultatul fiind 12 al doilea arc va fi (x2, x4). Se adună linia 4 din V m i(4) , rezultatul minim fiind 9, arcul corespunzător va fi (x4, x7). Deci: drumul minim de la x1 la x7 va fi {x1, x2, x4, x7} cu p(d) = 17 Exemplu: Se consideră graful din fig. 7, să se determine valoarea maximă a dreptei de la x1 la x6.

108

Fig. 7 Rezolvare – aplicăm algoritmul Bellman – Kalaba. Calculele vor fi sistematizate în tabelul următor. V: x1 x2 x3 x4 x5 x6

x1 0 -∞ -∞ -∞ -∞ -∞

m(i 1)

-∞

x2 5 0 -∞ -∞ -∞ -∞

x3 8 6 0 -∞ -∞ -∞

x4 18 10 9 0 -∞ -∞

x5 -∞ 12 11 8 0 -∞

x6 -∞ 21 23 16 9 0

21 23 16 9 0 max (-∞+ max (-∞+ max (-∞+ max (-∞ max (-∞+0, max (-∞ (-∞); 0+21, (-∞); 21+ (-∞); -∞;-∞+21; 5+21, -∞;-∞+21; 6+23, (-∞); 0+23; -∞+21; -∞+23; -∞+23, m i(2) 8+23, 10+16, 9+16; 0+23; -∞+16, 18+16, -∞ -∞+16; 12+9, 11+9; 0+16¸8+9, 0+9, +9, -∞+0) -∞+9; 0+0) 21+0)=29 23+0) =25 16+0)=17 0+9)=9 max (34+0, max max max max (-∞ max 29+5, (-∞+34, (-∞+34, (-∞+34; +34; -∞+ (-∞+34, -∞+29, 29-∞; -∞+29; -∞ 29; -∞+25; m i(3) 8+25, 0+29,6+25, 18+17, 0+25,9+17, -∞+25, +25; -∞+ -∞+17; 10+17,12+ -∞+9, 11+9; 0+17;8+9¸1 17, 0+9; -∞+9; 9,21+0)=31 -∞+0)=35 23+0)=26 6+0)=17 9+0)=9 0+0)=0 max (+035; max (-∞+ max (-∞ max (-∞ max (-∞ max (-∞ 5+31; 35; 0+31; + 35; -∞ +35; -∞ +35; +35; -∞ 6+26; + 31; 0+26; +31; -∞+ ∞+31; +31; -∞ m i(4) 8+26; 18+17; 10+17; 9+17; 26; 0+17; ∞+26; +26; -∞ -∞+9; 12+9; 11+9; 8+9; ∞+17; 0+9; +17; -∞+9; ∞+0)=35 21+0)=32 23+0)= 26 16+0)= 17 9+0)=9 0+0)= 0 max (-∞ max (-∞ max (-∞ max (-∞ max (-∞ max (36+0; +36; 0+32; +36; -∞ +36; -∞ +36; -∞ +36, -∞ 5+32; (5) 6+26; +32; 0+26; +32; -∞ +32; -∞ +32; -∞ m i 8+26; 18+ 10+17; 9+17; +26; 0+17; +26; -∞ +26; -∞ 17; -∞+9; 12+9; 11+9; 8+9;16+0) +17; 0+9; +17; -∞+9; -∞+0) =37 21+0)= 32 23+0)=26 = 17 9+0)= 9 0+0)=0 max (37+0; max (-∞ max (-∞ max (-∞ max (-∞ max (-∞ 5+32; +37; 0+32; +37; -∞ +37; -∞ +34; -∞ +37; -∞ 6+26; +32; 0+26; +32; -∞ +32; -∞ +32; -∞+26 m i(6) 8+26; 18+17; 10+17; 9+17; +26; 0+17; +26; -∞ -∞+17; -∞+9; 12+9; 11+9; 8+9; +17; 0+9; -∞+9; -∞+0)= 37 21+0)= 32 23+0)= 26 16+0)= 17 9+6)= 9 0+0)=0 109

Iteraţiile se opresc aici, căci am obţinut liniile m i(s) = m i(6) . Lungimea maximă a drumului de la x1 la x6 este 37 Etapa 3 Determinăm succesiunea arcelor în drumul maxim astfel obţinut. 1) Adunăm linia m i(6) cu linia (1) din V, valoarea maximă 5

⎯ x2 . obţinută este 37, corespunzător ei arcul x1 ⎯→ 2) Adunăm linia m i(6) cu linia 2 din V, valoarea maximă 6

⎯→ x 3. obţinută este 32, arcul va fi x 2 ⎯ 3) Adunăm linia m i(6) cu lina 3 din V, valoarea maximă obţinută 9

⎯→ x 4 . va fi 26, arcul va fi x 3 ⎯ 4) Adunăm linia m i(6) cu linia 4 din V valoarea maximă 17, 8

⎯ x5 . arcul corespunzător x 4 ⎯→ 5) Adunăm linia m i(6) cu linia 5 din V, valoarea maximă va fi 9, 9

⎯→ x 6 . iar arcul x5 ⎯ Drumul corespunzător va fi, deci: 5 6 9 8 9 x1 ⎯ ⎯→ x2 ⎯ ⎯→ x3 ⎯ ⎯→ x4 ⎯ ⎯→ x5 ⎯ ⎯→ x6

Dacă doream să determinăm drumul minim de la x1 la x6 procedăm analog. Etapele 1 şi 2 sunt sistematizate în tabelul de mai jos: x1 x2 x3 x4 x5 x6

x1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

x2 5 0 ∞ ∞ ∞ ∞

x3 8 6 0 ∞ ∞ ∞

x4 18 10 9 0 ∞ ∞

x5 ∞ 12 11 8 0 ∞

x6 ∞ 21 23 16 9 0

m i(2) min (∞+0; min (∞+∞; min (∞+∞; min (∞+∞; min (∞+∞; min (∞+∞; 5+21¸8+23; 0+21; 6

110

∞+21; 0

∞+21; ∞

∞+21; ∞+ ∞+21; ∞+

18+16; +23; 10 +23; 9+16; +23; +016; 23; ∞+16; 0 23; ∞+16; ∞+9; +16; 12+9; 11+9; 8+9; 16+0) +9; 9+0)= 9 ∞+9; 0+0) ∞+0;)= 26 21+0) = 21 23+0) =20 =16 =0 min (26+0; min (∞+26; min (∞+26; min (26+∞; min (∞+26; min (∞+∞; 5+21; 8+ 0+21; 6+ ∞+21; 0+ ∞+21; ∞+ ∞+21; ∞+ ∞+21; ∞+ m i(3) 20; 18+ 16; 20; 10+16; 20; 9+16; 20; 0+16; 20; ∞+16; 20; ∞+16; ∞+9; 12+9; 11+9; 8+9; 9+0) 0+9; 9+0) ∞+9; =9 =9 V+0)= 26 21+0)= 21 23+0)= 20 ∞+0)= 0

Iteraţiile se opresc, căci am obţinut m i(3) = m i(2) Etapa 3 Determinăm succesiunea drumului minim de la x1 la x6. 1) Adunăm linia m i( ) cu linia 1, valoarea minimă este 26, arcul 5 ⎯ x 2 şi se obţină pe coloana lui x2 va fi x1 ⎯→ 2) Adunăm linia m i(3) cu linia 2, valoarea minimă este 21, arcul 21 corespunzător va fi x 2 ⎯⎯→ x 6 şi se obţine pe coloana lui x6. 5

21

⎯ x2 ⎯ ⎯→ x 6 . Deci, drumul minim va fi x1 ⎯→

3.3. Flux maxim într-o reţea de transport Definiţia 1: Un graf orientat valuat G=(X, Γ, p) fără circuite, se numeşte „reţea de transport” dacă îndeplineşte următoarele condiţii: 1. Dacă x={x1, x2, ... xn} atunci ∀i = i, u avem (xi, xi) ∈ Γ 2. există un vârf unic x1 ∈X în care nu intră nici un arc, numit sursa reţelei. 3. vârful x eX n există unic din care nu iese nici un arc numit destinaţia reţelei. 4. G este conex şi există drumuri de la x1 la xn. 5. S-a definit o funcţie c: Γ → R ai c(u) ≥ 0 pentru orice arc u∈ Γ; numărul c(u) se numeşte capacitatea reţelei. Definiţia 2. Fiind dată o submulţime Y∈X, se numeşte tăietură de suport Y mulţimea de arce co–(Y)={(xi, xj) ∈ Γ / xi ∈ Y, xj ∈ Y} ∈ Γ

co+(Y)={(xi, xj) ∈ Γ / xi ∈ Y, xj ∈ Y} ∈ Γ. 111

Cantitatea c[co-(y)] =

∑p

este capacitatea tăieturii co–(y)

ij (x i , x j )∈ co − (y)

Definiţia 3. Un arc (xi, xj) ∈ Γ se numeşte „arc saturat”, dacă în raport cu φ are loc relaţia ϕ x i , x j = p ij .

(

)

Definiţia 4. O funcţie φ: Γ →R+ se numeşte flux pe reţeaua de transport G = (X, Γ, p) dacă îndeplineşte următoarele condiţii: 1. Condiţia de mărginire a fluxului ∀ x i , x j ∈ Γ avem 0 ≤ φ (xi, xj) ≤ pij 2. Condiţia de conservare

(

)

∀x i ∈ X avem

n

∑ ϕ (x k , x j ) =

k =1 (x k , x j )∈Γ

n

∑ ϕ (x , x

h =1 (x j , x h )∈Γ

j

h

)

Observaţia 1: Condiţia 2) afirmă că putem pentru orice vârf x cu x ≠ x1, şi x ≠ xn, suma fluxurilor de pe arcele care intră în x este egală cu suma fluxurilor pe arcele care ies din x. Observaţia 2. Funcţia φ nu este unică, de exemplu φ(u) = 0 ∈ arcul u ∈ Γ satisface condiţiile impuse. Se pune problema determinării funcţiei φ astfel încât suma fluxurilor pe arcele ce intră în xn să fie maximă, aşa numita problemă a „fluxului maxim”. Adică, dintre toate fluxurile φ: Γ→R+ posibile în reţeaua G=(X, Γ, p) se urmăreşte să se determine fluxul ϕ pentru care n

∑

h =1 (x h , x n )∈Γ

ϕˆ (x h , x n ) ≥

∑ ϕ (x

h =1, u (x h , x u )∈Γ

h

, xn )

PROPOZIŢIA 1: Fie G=(X, Γ, p) o reţea de transport având sursa x1 şi destinaţia xn şi φ: Γ→R+ un flux oarecare în reţeaua G atunci: n

∑

i =1 (x1 , x i )∈Γ

ϕ (x 1 , x i ) =

∑ ϕ (x , x ) n

j=1 (x j , x n )∈Γ

j

n

(1)

Demonstraţie Relaţia (1) exprimă faptul că fluxul care iese din x1 ajunge în xn. 112

Avem co–(x1) = co+(xn) = 0 şi se deduce că:

⎡

ϕ(x i , x j ) −

∑⎢ ∑

− ⎣⎢(x i , x j )∈co ( x i ) = ∑ ϕ(x j , x n ) −

j∈x

(x j , x n )∈co − ( x n )

⎤

∑ ϕ(x , x )⎥ =

(x j , x n )∈co − (x j )

n

∑ ϕ(x , x ) = 0

( x1 , x i )∈co − ( x1 )

1

∑ ϕ(x , x ) =

( x1 , x n )∈co − ( x n )

i

n

⎦⎥

i

ceea ce demonstrează afirmaţia. Valoarea φ =

j

∑ ϕ(x , x )

(x1 , x j )∈co + ( x1 )

1

j

se numeşte „valoarea totală” a fluxului φ: Γ→R+ PROPOZIŢIA 2

Fie G = (X, Γ, p) o reţea de transport, şi fie Y∈X o submulţime cu proprietăţile: - pentru sursa x1 a lui G avem x1∈Y - pentru destinaţia xn ∈Y. Atunci pentru orice flux φ: Γ→R+ avem

φ=

∑ ϕ(x , x ) − ∑ ϕ(x , x ) ≤ C(co

(x i , x j )∈co − ( y )

i

j

(x i , x j )∈co + ( y )

i

j

−

( y) ) (2)

Demonstraţie: Avem: ∑ ϕ x i , x j − ∑ ϕ+ x i , x j = (x i , x j )∈co − ( y ) (x i , x j )∈co ( y )

(

)

(

)

⎡ ⎤ = ∑⎢ ϕ(x i , x k ) − ϕ(x k , x j )⎥ = ∑ ∑ x∈X ⎢ ⎥⎦ ( x i , x k )∈co + ( x k ) ⎣( x i , x k )∈co − ( x k ) =

⎡

∑⎢

∑

ϕ(x i , x k ) −

∑ ϕ(x

k

⎤ , x j )⎥ − ⎦⎥

− (x k , x j )∈co + ( x1 ) ⎣⎢( x i , x k )∈co ( x k ) ⎡ ⎤ − ∑ ⎢ ϕ(x i , x h ) − ϕ(x h , x i )⎥ = ∑ ∑ ∑ ϕ(x 1 , x i ) = φ x k ∈X \ Y ⎣ ⎢(x i , x h )∈co − (x h ) ( x h , x i )∈co + ( x h ) ⎦⎥ (x1 , x i )∈co + (x1 )

x k ∈Y

ceea ce demonstrează egalitatea, căci: 113

φ= ≤

∑ ϕ(x , x ) − ∑ ϕ(x , x ) ≤

(x i , x j )∈co − ( y )

i

j

∑ ϕ(x , x ) ≤

(x i , x j )∈co − ( y )

i

j

(x i , x j )∈co + ( y )

i

j

∑ p(x , x ) = C(co (y)) −

(x i , x j )∈co − ( y )

i

j

În continuare vom considera că toate capacităţile sunt numere raţionale sau întrucât numărul total de arce este finit, chiar numere naturale. Pe baze consideraţiilor precedente se deduce următorul algoritm FORD-FULKERSON pentru determinarea fluxului maxim într-o reţea de transport. • Pasul 1 Se construieşte un flux iniţial φo, care verifică condiţiile de conservare în fiecare vârf şi de mărginire pe fiecare arc, de exemplu chiar fluxul având componente nule pe fiecare arc al reţelei, φo(xi, xj)=0 ∈ (xi, xj) ∈ Γ • Pasul 2 Folosind operaţiile de marcare ce vor fi prezentate mai jos, se cercetează dacă fluxul iniţial φo este maxim; operaţiunile de marcare constau în următoarele: a) se marchează sursa reţelei x1 cu semnul „+”. b) vârfurile xj ∈ co+(x1) vor fi marcate cu „+x1” dacă arcul (x1, xj) este nesaturat. c) dacă vârful xj este deja marcat şi dacă pentru un vârf xk ∈co+(xj) arcul (xj, xk) este nesaturat, atunci marcăm vârful xk prin „+xj” d) dacă vârful xj este deja marcat şi dacă pentru un vârf xk ∈ co(xj) arcul (xk, xj) are fluxul nenul, marcăm vârful xk prin „-xj”. În urma terminării operaţiei de marcare, putem întâlni următoarele situaţii: 1. Dacă destinaţia xn a reţelei nu s-a marcat, atunci fluxul este maxim şi algoritmul se termină 2. Dacă destinaţia xn s-a putut marca atunci fluxul nu este maxim şi poate fi măsurat astfel: a) se alege un drum de la x1 la xn b) pe arcele drumului marcat cu „+” fluxul se majorează cu cantitate θ de flux (de exemplu θ=1) c) pe arcele drumului marcat cu „-“ fluxul se micşorează cu aceeaşi cantitate θ. d) fluxul arcelor nemarcate nu se schimbă e) se revine la Pasul 2) Algoritmul are un număr finit de paşi, iar fluxul maxim se atinge când nu mai poate fi marcată destinaţia xn a reţelei. 114

Observaţie: Mărimea fluxului se poate face cu mai mult decât o unitate, evitându-se astfel prea multe operaţii de marcare, astfel: se consideră un drum v format din drumuri marcate cu „+” sau „–“ ce uneşte x1 cu xn, uşor de găsit urmărind vârfurile marcate în sensul xn către xo. Notăm v+ mulţimea arcelor (x, y) unde y este marcat cu „+” şi v– mulţimea arcelor unde y este marcat cu „–“. Calculăm:

θ1 = min(c(u) − ϕ (u)) u∈V

+

θ 2 = minϕ (u) u∈V

–

şi θ = min(θ1, θ2. Observăm că θ > 0 şi este număr întreg. Mărim cu θ pe fiecare arc u ∈V+ şi micşorăm cu θ pe fiecare arc u ∈V-, obţinând la ieşire un flux mărit cu θ. Se repetă etapa a doua cu fluxul obţinut. Valoarea fluxului maxim se găseşte realizând o tăietură prin separarea cu o linie a vârfurilor marcate de cele nemarcate şi capacitatea acestei tăieturi reprezintă fluxul maxim, sau adunând fluxurile arcelor incidente interior lui xn. Exemplu: Fie reţeaua

Fig. 8.1 vârful x1 este sursa reţelei, vârful x5 este destinaţia şi se verifică următoarele:

ω − (x 1 ) = θ ω + (x 1 ) = {(x 1 , x 2 ), (x 1 , x 3 ); (x 1 , x 4 )}

115

ω − (x ) = {(x 2 , x 5 ); (x 4 , x 5 )}

ω + (x 5 ) = φ

Pentru reţeaua din figură vrem să determinăm fluxul maxim. Considerăm fluxul iniţial φo(xi, xj) = 0, ∈ (xi, xj) ∈ Γ. Pasul 2 1) Observăm prin procedeul de marcaj am putut marca destinaţia x5 a reţelei. Atunci fluxul nu este maxim şi poate fi mărit. Alegem un drum de la x1 la x5 d1: {x1, x2, x5} Fluxul se majorează cu cantitatea θ= min(c(u) – φ(u)) u∈V+

θ = min (2-0; 8-0) = 2 θ=2 (arcul (x1, x2) se va satura). Fluxul va avea valoarea φ1 = φo + 2 ∈ φ1 = 2

2)

Fig. 8.2 Am putut marca destinaţia x a reţelei, fluxul nu este maxim şi poate fi mărit. Fie drumul d2: {x2, x4, x5}, mărim fluxul cu θ = 3 (arcul (x1, x4) se va satura) Noul flux va avea valoarea φ2= φ1+3 ∈ φ2 = 5

3)

Fig. 8.3 116

Prin repetarea procedeului de marcaj am putut marca din nou destinaţia, deci fluxul nu este maxim. Pe drumul d3={x1; x3, x4, x5} θ = min (c(u) – φ(u))= min (5-0; 4-0; 5-3) = 2. u∈V+

Cu cantitatea θ = 2 vom mări fluxul ∈ φ3 = φ2+2 φ3 =7

4)

Fig. 8.4 Destinaţia a fost marcată, alegem drumul d4 = {x1, x3, x2, x5} θ = min (5-2; 5-0; 8-2) =3 Fluxul va fi mărit cu cantitatea θ = 3 şi obţinem φ4 = φ3 +3 ∈ φ4 = 10 Exemplul 2 Pentru a transporta în 6 localităţi produsele sale o firmă poate opta pentru variantele din reţeaua de mai jos, ştiind că numerele din afara parantezelor reprezintă capacităţile arcelor, iar numerele din interior, valorile unui flux iniţial ce nu saturează nici un arc, se datoreşte găsirea fluxului maxim de transport

Fig. 9 117

adică

Rezolvare verificăm dacă flux iniţial constituie un flux realizabil φ: Γ→R+ 1) îndeplineşte condiţia de mărginire a fluxului ∈ (xi, xj) ∈ Γ avem 0 ≤ φ(x1, xj) ≤ pij ∈ i,j ∈ {1, 2, ... 6} 0 < φ(x1, x2) = 2 < p12 = 3 0 < φ(x1, x3) = 5 < p13 = 8 0 < φ(x1, x4) = 2 < p14 = 7 0 < φ(x2, x6) = 1 < p26 = 4 0 < φ(x3, x2) = 1 < p32 = 5 0 < φ(x3, x4) = 2 < p34 = 5 0 < φ(x3, x5) = 2 < p35 = 6 0 < φ(x4, x6) = 5 < p46 = 10 0 < φ(x5, x4) = 1 < p54 = 3 0 < φ(x5, x6) = 3 < p56 = 5 Alegem drumul d2 : {x1, x4, x6} θ = min (7-2, 10-5) = 5

Fig. 10 φ2 = 11 + 5 = 16 Arcele (x1, x4), (x4, x6) s-au saturat. 2) Destinaţia x6 a putut fi marcată alegem drumul d3: {x1, x2, x6} θ = min (3-2, 4-1) =1 Arcul (x1, x2) s-a saturat φ3 = φ2 + 1 =16 118

Fig. 11 3) Destinaţia x6 s-a marcat (fig.5), fluxul poate fi mărit d4 = {x1, x3, x2, x6} θ = min (8-7, 5-1, 4-2) = 1 φ4 = φ3 + 1 =17 Arcul (x1, x3) s-a saturat 2) Condiţia de conservare

∑ ϕ (x k , x j ) =

∑ ϕ (x , x )

6

∀x i ∈ X avem

k =2 x k , x j ∈Γ

(

)

6

h =1 x j , x h ∈Γ

(

Flux care intră în vârful xi 3 5 5 4

Vârfuri x2 x3 x4 x5

j

h

)

Flux care iese în vârful xi 3 5 5 4

Se observă că şi Propoziţia 1 este verificată, adică

∑ ϕ (x 1 x i ) = ∑ ϕ (x j , x 6 ) = 9 4

5

i=2

j= 2

Deci fluxul iniţial este φo = 9 Trecem la Pasul 2 din algoritmul Ford Fulkerson 1) Observăm că destinaţia x6 s-a putu marca. Fluxul φo poate fi mărit cu cantitatea θ = min (8-5, 6-2, 5-3) =2 alegând drumul d1: {x1, x3, x5, x6} φ1= φo+2=11 Arcul (x5, x6) s-a saturat 119

Fig. 12 2) Marcând din nou (fig.2) se observă că distincţia s-a marcat deci fluxul poate fi mărit.

Fig. 13 Observăm că destinaţia nu s-a mai putut marca. Deci fluxul este maxim φ = 17. Probleme propuse:

1. Matricea arcelor unui graf G este:

x1 x2 x3 x4 120

x1 0 0 0 0

x2 1 1 1 0

x3 1 0 0 0

x4 1 1 1 0

a) determinaţi şi alte exprimări ale grafului G b) să se calculeze gradele g+(x3); g-(x2) c) scrieţi matricea drumurilor şi proprietăţile ce decurg din descrierea ei d) determinaţi drumul hamiltonian 2. O firmă are filiale în cinci localităţi şi încearcă folosirea posibilităţilor de transport reprezentate prin arce în graful de mai jos:

Fig. 1 Să se arate dacă este posibilă trecerea prin toate cele 5 localităţi câte o singură dată, în caz afirmativ indicându-se din ce localitate trebuie pornit, şi în ce ordine trebuie parcurse celelalte localităţi. 3. Un anumit control financiar, ce presupune verificarea a 7 servicii ale unei firme, într-o anumită ordine, indicată în graful de mai jos, fără a verifica un serviciu de 2 ori, dar verificându-le pe toate. Să se determine dacă acest control poate fi efectuat în mod unic şi în ce ordine.

Fig. 2 4. Fie graful G = (X, Γ) Γ= {(x1, x2); (x1, x3); (x1, x5); (x2, x3); (x2, x4); (x2, x5); (x3, x4); (x3, x5); (x3, x4); (x3, x5); (x4, x5)} Se cer: a) Prezentaţi modelul şi sub alte forme de reprezentare echivalente ce cea dată. b) Cercetaţi existenţa drumului hamiltonian şi justificaţi modul de identificare a acestuia. c) Dacă acest model este asociat următoarei probleme practice: 121

Prin parcurgerea următoarelor etape din procesul de fabricaţie al unui produs se obţin beneficii în fiecare etapă. Ştiind că arcele (xi, xj) sunt asociate unei prelucrări, iar ponderea arcului (xi, xj) reprezintă beneficiul suplimentar realizat prin parcurgerea etapei xj după ce a fost realizată etapa xi şi că beneficiile din fiecare etapă se pot cumula, să se determine beneficiul total maxim. (Prima etapă fiind x1 şi ultima x5). de la

la x1 x2 x3 x4 x5

x1

x2

x3

x4

x5

-

5 -

3 10 -

12 7 -

15 9 4 8

5. Să se determine drumul minim existent între următoarele puncte de desfacere a unei întreprinderi

Fig. 3 6. Fie reţeaua de transport cu capacităţile limitate:

Fig. 4 a) Să se determine valoarea fluxului maxim în reţea b) Dacă se cunosc costurile de transport 122

c12 = 2; c13 = 5; c23 = 34; c24 = 6; c34 = 9 să se deducă fluxul maxim cu cost minim în reţeaua dată. 7. Se dă modelul din figura următoare

Fig. 5 a) să se arate că graful este o reţea b) să se determine fluxul maxim în reţeaua de mai sus. 8. Fie graful valuat din figura:

Fig. 6 a) să se scrie matricea conexiunilor directe şi matricea drumurilor şi să se specifice proprietăţile grafului care rezultă din aceste matrici. b) asociem modelul unui proiect de activitate, unde duratele activităţilor se măsoară în luni, determinaţi durata minimă şi durata maximă a acestui proiect.

123

9. Se doreşte instalarea unei reţele de cablu între 5 blocuri. Legăturile între ele sunt prezentate în graful din figura următoare.

Fig. 7 Să se verifice dacă există posibilitatea realizării unei sute care să treacă o singură dată pe la fiecare bloc, în caz afirmativ indicându-se de la ce bloc trebuie pornit şi în ce ordine trebuiesc montate cablurile între cele 5 blocuri.

124

4. ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 4.1. Funcţii vectoriale

Se spune că f este o funcţie vectorială de variabilă vectorială dacă f: E → Rm unde E⊂ Rn şi f o funcţie oarecare. Dată funcţia vectorială f: E →Rm se vor considera următoarele funcţii reale: fi : E → R, i,..., m unde fi (x) = yi ,iar f(x) = (y1, ..., ym) ∈ Rm. Se adoptă notaţia: f = (f1, ..., fm) funcţiile f1, ..., fm se numesc componentele reale ale lui f. În mod canonic se introduc operaţiile cu funcţii vectoriale: (f+g)(x)=f(x)+g(x), x∈E (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x), x∈E (λf)(x)= λf(x) , x∈E, λ∈R Mulţimea funcţiilor vectoriale f: E →Rm formează un spaţiu vectorial. De asemenea se introduce produsul scalar şi norma pentru aceste funcţii vectoriale: (f, g)(x)=(f(x), g(x)), x∈E f (x ) = f (x ) , x∈E Dacă f = (f1, ..., fm) şi g = (g1, ..., gm) atunci: m

(f , g )( x ) = (f ( x ), g( x ) ) = ∑ f i ( x )g i ( x ) i =1

adică m

(f , g ) = ∑ f i g i

(produsul scalar).

i =1

De asemenea f =

(f , f ) =

m

∑f i =1

2 i

(norma).

Fie mulţimea E⊂Rn, F⊂Rm şi funcţiile f: E → F, g: F →Rp. Se consideră funcţia compusă: h=g o f: F →Rp. h(x) = g(f(x)), x∈E. 125

TEOREMA 1

În condiţiile de mai sus, dacă f = (f1, ..., fm), g = (g1, ..., gm) şi h = (h1, ..., hm) atunci: h1(x) = g1(f(x)), ..., hp(x) = gp(f(x)) şi h(x1, ..., xn) = g(f1(x1, ..., xn),..., fm(x1,..., xn)) Definiţia 1 Funcţia f: E →Rm este mărginită dacă mulţimea f(E) este mărginită. TEOREMA 2

Funcţia f: E →Rm este mărginită dacă şi numai dacă există un număr M astfel încât f ( x ) ≤ M pentru orice x∈E. TEOREMA 3

Funcţia f = (f1, ..., fm) este mărginită dacă şi numai dacă f1, ..., fm sunt mărginite. Definiţia limitei unei funcţii reale se extinde şi pentru funcţii vectoriale. Fie mulţimea E⊂Rm, x0 un punct de acumulare pentru E şi funcţia vectorială f: E →Rm. Definiţia 2 Un vector l ∈ Rm este limita funcţiei f în punctul x0, dacă pentru orice vecinătate U a lui l (în Rm) există o vecinătate V a lui x0 (în Rn) astfel încât oricare ar fi x ∈ V ∩ E, x ≠ x0, atunci f(x) ∈U. Se scrie: l = lim f(x) (sau f(x) → l când x → x 0 ) . x →x 0

Propoziţiile următoare dau definiţii echivalente ale limitei. Demonstraţia lor se face la fel ca şi în cazul funcţiilor reale de o singură variabilă. PROPOZIŢIA 1

lim f ( x ) = l, dacă şi numai dacă, pentru orice şir

x →x 0

xk → x0 , xk ∈ E, xk ≠ x0 , atunci f(xk) → l. PROPOZIŢIA 2

lim f ( x ) = l , dacă şi numai dacă, pentru orice număr ε 〉 0 ,

x →x 0

126

există un număr δ(ε ) 〉 0 , astfel încât, oricare ar fi x ≠ x0, din E, cu

x − x 0 〈 δ (ε ) atunci: f (x ) − l 〈 ε .

PROPOZIŢIA 3

lim f (x ) = l , dacă şi numai dacă pentru orice număr ε 〉 0 ,

x →x 0

există o vecinătate V a lui x0(V depinde de ε) astfel încât condiţiile x ∈ V ∩ E şi x ≠ x0 implică f (x ) − l 〈 ε PROPOZIŢIA 4

lim f (x ) = l , dacă şi numai dacă, pentru orice vecinătate U a lui

x →x 0

l, există un număr δ 〉 0 , (care depinde U) astfel încât condiţiile x∈E, x≠x0 şi x − x 0 〈 δ implică f(x) ∈ U. Dacă xp= (x1p, x2p, ..., xnp) şi a = (a1, a2, ..., an) condiţia este echivalentă cu

xp ⎯ ⎯→ a p

x 1p ⎯ ⎯→ a 1 , x 2p ⎯ ⎯→ a 2 ,..., x np ⎯ ⎯→ an . p p p

De aceea, în loc de lim f (x ) , limita se mai notează şi astfel: x→ a

lim f (x 1 , x 2 ,..., x n )

x1 → a1 M x n →a n

Astfel pentru o funcţie de două variabile f(x, y), limita sa în punctul (x0, y0) se scrie: lim f ( x , y) . x →x 0 y→ y0

Se spune că aceasta este limita funcţiei f când x şi y tind independent (dar simultan) către x0 şi respectiv, y0. În acest caz, propoziţia 2 se poate transcrie astfel: lim f ( x , y) = l , dacă şi numai dacă, pentru orice ε>0, există un x →x 0 y→ y0

număr δ(ε ) 〉 0 , a. î. oricare ar fi (x, y) ≠ (x0, y0) din E cu

x − x 0 〈 δ(ε ) şi y − y 0 〈 δ(ε ) atunci:

127

f ( x , y) − l 〈 ε . Se defineşte limita funcţiei f: E ⊂ Rn → Rm relativ la o mulţime A ⊂ E, într-un punct de acumulare a lui A, la fel ca şi pentru funcţii reale de o singură variabilă. Un vector l ∈ Rm este limita funcţiei f în punctul a relativ la submulţimea A, dacă pentru orice şir xp → a, xp ∈ A, xp ≠ a, avem f(xp) → l. Se notează: l = lim f ( x ) . x →a x∈A

Dacă lim f ( x ) există, atunci şi lim f ( x ) există şi cele două x →a x∈A

x→ a

limite sunt egale. Dacă însă există lim f ( x ) nu rezultă neapărat că x →a x∈A

există lim f ( x ) . x→ a

În particular, dacă A este intersecţia mulţimii E cu o dreaptă, care trece prin a, atunci lim f ( x ) se numeşte limita funcţiei f după o direcţie. x →a x∈A

De exemplu, în cazul unei funcţii f(x, y) de două variante reale, lim f ( x, y) . Se dacă ecuaţia dreptei este y = h(x), limita se scrie x→x 0 y → y 0 , y = h(x)

zice că aceasta este limita funcţiei f când x şi y tind simultan dar dependent, pe dreapta y = h(x), respectiv către x0 şi y0. În fapt aceasta este o limită a funcţiei compuse de o singură variabilă f(x),h(x)).

lim f ( x , y) = lim f ( x , h(x))

x →x 0 y→ y0

x→x 0

Toate proprietăţile limitelor de funcţii reale, care nu implică relaţia de ordine şi produsul, se păstrează şi pentru funcţiile vectoriale şi demonstraţiile sunt aceleaşi. 1) Limita unei funcţii vectoriale într-un punct, dacă există, este unică. 2) Dacă lim f ( x ) = l , atunci lim f ( x ) = l . x →x 0

x→x 0

3) lim f ( x ) = l dacă şi numai dacă lim (f ( x ) − l ) = 0 adică x →x 0

x →x 0

dacă şi numai dacă lim f ( x ) − l = 0 . x →x 0

128

4) Dacă

lim f ( x ) ≠ 0 , atunci există o vecinătate V a lui x0,

x →x 0

astfel încât f(x) ≠0 oricare ar fi x ≠ x0 din V ∩ E. 5) Funcţia f are limita în x0 dacă şi numai dacă, pentru orice număr ε>0, există o vecinătate V a lui x0, astfel încât oricare ar fi x′, x″∈V∩E, x0, x″≠x0,atunci:

f (x ′) − f (x ′′) 〈ε Criteriu. Dacă f: E →Rm şi h: E →R, dacă lim h ( x ) = 0 şi x →x 0

dacă există un vector l ∈R şi o vecinătate V a lui x0, astfel încât : m

f (x) − l ≤ h(x) pentru orice x ≠ x0 din V ∩ E, atunci: lim f ( x ) = l . x →x 0

7) Dacă f: E →Rm şi g: E →Rm au limite în x0, atunci funcţiile f+g, fg: E →Rm au limită în x0 şi

lim [ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x),

x → x0

x → x0

x → x0

lim [ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x).

x → x0

x → x0

x → x0

8) Dacă f: E →Rm şi φ: E →R au limită în x0, atunci funcţia φ f: E →Rm are limită în x0 şi lim ϕ( x )f ( x ) = lim ϕ( x ) lim f ( x ) . x →x 0

x →x 0

x →x 0

În particular pentru φ(x) = α, se deduce: lim α( x ) = α lim f ( x ) . x →x 0

x →x 0

PROPOZIŢIA 5

Fie funcţia f: E ⊂ Rn →Rm şi f1, f2, ..., fm : E→R componentele sale reale: f = (f1, f2, ..., fm). Atunci:

lim f ( x ) = l dacă şi numai dacă:

x →x 0

lim f i ( x ) = 1i , i = 1, 2, ..., m , unde l = (11, 12, ..., 1m) ∈ Rm.

x →x 0

129

4.2. Limite iterate Fie f(x1, x2, ..., xn) o funcţie vectorială de n variabile, f: E⊂Rn →R . Din această funcţie se poate obţine funcţia vectorială de o singură variabilă şi anume, funcţiile sale parţiale: f1:x1 → f(x1, x2, ..., xn) f2:x2 → f(x1, x2, ..., xn) ∶ fn:xn → f(x1, x2, ..., xn) Se pot considera atunci limitele acestor funcţii de o singură variabilă: lim f i ( xi ) = lim f ( xi ,..., x n ) i=1, 2, ..., n n

xi →ai

xi →ai

{

}

dacă ai este punct de acumulare al mulţimii Ei = xi xi ∈R, (x1, x2 ,...,xn ) ∈E . Limita funcţiei fi este un număr care depinde de celelalte (n-1) variabile reale, diferite de xi. Se pot considera apoi: lim lim f (x 1 ,..., x n ) , i ≠ j. x j →a j x i →a i

Această limită este un număr care depinde de celelalte n-2 variabile diferite de xi şi xj. Se poate considera limita iterată a acestei funcţii în raport cu toate variabilele pe rând. Această limită este un număr care nu mai depinde de nici una din variabile. Aceasta se numeşte limita iterată a funcţiei f. De exemplu, pentru funcţiile de două variabile f(x, y) se pot considera limite iterate: lim lim f (x, y ) şi lim lim f (x, y ) x →x 0 y→ y0

y→ y0 x → x 0

Se spune că acestea sunt limitele funcţiei f(x, y) când x şi y tind succesiv respectiv către x0 şi y0. Legătura dintre limite şi limitele iterate este dată de: PROPOZIŢIA 1

Dacă există limita funcţiei într-un punct şi una din limitele iterate în acest punct, atunci aceste limite sunt egale.

130

4.3. Continuitatea funcţiilor vectoriale Definiţia continuităţii funcţiilor reale de o singură variabilă se extinde şi pentru funcţii vectoriale. E ⊂ Rn → Rm Definiţia 1 Fie funcţia f: şi un punct x0 ∈E. Funcţia f este continuă în x0 dacă pentru orice vecinătate U a lui f(x0) există o vecinătate V a lui x0 astfel încât oricare ar fi x ∈V ∩ E atunci f(x) ∈V. Următoarele propoziţii dau definiţii echivalente ale continuităţii: PROPOZIŢIA 1

Funcţia f este continuă în punctul x0, dacă şi numai dacă, pentru ⎯→ x 0 , x p ∈ E , atunci f x p ⎯ ⎯→ f (x 0 ) . orice şir x p ⎯ p p

( )

PROPOZIŢIA 2

Funcţia f este continuă în x0, dacă şi numai dacă, pentru orice număr ε>0, există un număr δ(ε ) 〉 0 , astfel încât oricare ar fi x ∈ E cu

x − x 0 〈 δ(ε ) atunci: f ( x ) − f ( x 0 ) 〈 ε . PROPOZIŢIA 3

Funcţia f este continuă în x0 dacă şi numai dacă pentru orice număr ε>0, există o vecinătate V a lui x0, (V depinde de ε) astfel încât, oricare ar fi x ∈ E ∩ V să atunci f ( x ) − f ( x 0 ) 〈 ε . PROPOZIŢIA 4

Funcţia f este continuă în punctul x0. dacă şi numai dacă, pentru orice vecinătate U a lui f(x0) există un număr δ > 0 (care depinde de U) astfel încât oricare ar fi x ∈ E cu x − x 0 〈 δ să avem f(x) ∈ U. PROPOZIŢIA 5

Funcţia f este continuă în punctul x0 dacă şi numai dacă : lim f ( x ) − f ( x 0 ) = 0 . x →x 0

Se spune că funcţia f este continuă pe mulţimea E dacă este continuă în fiecare punct din E. Proprietăţile funcţiilor reale continue care nu implică relaţia de ordine, rămân variabile şi pentru funcţiile vectoriale continue: 131

1) Dacă funcţia f(x) este continuă în punctul x0 (sau pe E) atunci funcţia f (x ) este continuă în x0 (respectiv pe E). PROPOZIŢIA 6

Funcţia vectorială f: E ⊂ Rn → Rm este continuă într-un punct x0 ∈ E, dacă şi numai dacă fiecare din componentele sale reale f1, f2, ..., fm : E → R este continuă în x0. Propoziţia rezultă din inegalităţile m

f i (x ) − f i (x 0 ) ≤ f ( x ) − f ( x 0 ) ≤ ∑ f i ( x ) − f i ( x 0 ) i =1

aplicând de exemplu, definiţia continuităţii cu ε şi δ. 4.4. Continuitatea parţială Definiţia 1 Fie funcţia f: E ⊂ Rn → Rm şi a = (a1, a2, ..., an) un punct din E. Se consideră funcţia parţială ( de o singură variabilă): fi: xi → f (a1, a2, ..., ai-1, xi, ai+1, ..., an) definită pe mulţimea

E i = {x i / x i ∈ R , (a 1 , a 2 ,..., a i −1 , x i , a i +1 ,..., a n ) ∈ E}

dacă funcţia parţială f este continuă în punctul ai ∈ E, se spune că funcţia f este continuă (parţial) în raport cu vartiabila xi în punctul a = (a1, a2, ..., an). A spune că funcţia f(x1, ..., xn) este continuă parţial în raport cu xi în punctul a, înseamnă că, pentru orice număr ε>0 există un număr δ (ε)>0, astfel încât oricare ar fi xi ∈ Ei cu x i − a i 〈 δ(ε ) să avem

f i ( x i ) − f i (a i ) 〈 ε , adică

f (a1 ,..., xi ,..., a n ) − f (a1 ,..., ai ,..., a n ) 〈 ε .

Dacă funcţia f este continuă în punctul a = (a1, a2, ..., an) se spune adesea că este continuă în acest punct în raport cu ansamblul variabilelor pentru a deosebi de continuitatea parţială în raport cu câte o variabilă. Observaţie. Dacă funcţia f este continuă într-un punct în raport cu fiecare variabilă în parte, nu rezultă că ea este continuă în acest punct în raport cu ansamblul variabilelor. 132

4.5. Derivate parţiale Fie f(x, y) o funcţie reală de două variabile, definită pe o mulţime E ⊂ R2 şi (x0, y0) un punct interior lui E. Definiţia 1 Funcţia f are în punctele (x0, y0) derivată parţială în raport cu variabila x dacă există şi este finită:

f (x, y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) . x →x 0 x − x0 lim

Limita se numeşte derivata parţială în raport cu x a lui f în (x0, y0) şi se notează:

f x′ (x 0 , y 0 ) =

∂f (x 0 , y 0 ) = D x f (x 0 , y 0 ) ∂x ∂f (x , y )

0 0 Asemănător se defineşte ∂ y Se spune că f are derivată parţială în raport cu x pe E dacă ea are derivată parţială în raport cu x în fiecare punct, (x, y) ∈ A.

∂f :E → R ∂x ∂f(x, y) se numeşte derivata parţială a lui definită de (x, y) → ∂x ∂f f pe E. Analog se defineşte :E →R ∂y ∂f Notaţie: f x′ = D x f = ∂x În acest caz funcţia :

Practic derivata f′x se calculează considerând pe y constant şi derivând ca o funcţie de o singură variabilă x. Derivata parţială în raport cu y se obţine considerând pe x constant şi derivând ca pe o funcţie de y. PROPOZIŢIA 1

Dacă derivata parţială f′x (respectiv f′y) există în (x0, y0) atunci f este continuă în x0 în raport cu x (respectiv y). Demonstraţie. Funcţia φ(x) = f(x, y0) de o singură variabilă în x0, deci continuă.

133

PROPOZIŢIA 2

Fie (x0, y0) un punct interior al lui E. Dacă derivatele parţiale f′x şi f′y există pe o vecinătate V a lui (x0, y0) atunci pentru orice punct (x, y) ∈ V există un număr ξ cuprins între x0 şi x şi un număr η cuprins între y0 şi y astfel încât: f(x, y) – f(x0, y0) = f′x(ξ, y)(x-x0) - f′y(x0, η)(y-y0). Demonstraţie Se alege un punct arbitrar (x, y) ∈V şi se menţine fix. Atunci: f(x, y) – F(x0, y0)= – f(x0, y) + f(x0, y) – f(x0, y0) + f(x, y) Se notează: φ(t) = f(t, y), φ(t)= f(x0, t), (t, y) ∈ V, (x0, t) ∈ V Funcţiile de o singură variabilă φ(t) şi ψ(t) sunt derivabile şi φ′ (t)= f′x(t, y), φ′ (t)= f′y(x0, t). Aplicând teorema creşterilor finite pentru φ(t) şi ψ(t) atunci: φ(x) – φ(x0) = φ′x(ξ)(x-x0), x0 ≤ ξ≤ x ψ(y) – ψ (y0) = ψ′y(η)(y-y0) , y0 ≤ η ≤ y adică f(x, y) – f(x0, y) = f′x(ξ, y)(x-x0) f(x0, y) – f(x0, y0) = f′y(x0, η)(y-y0) Atunci, prin adunarea relaţiilor, f(x, y) – f(x0, y0) = f′x(ξ, y)(x-x0)+ f′y(x0, η)(y-y0). Observaţie. Această egalitate se numeşte formula lui Lagrange pentru funcţii de două variabile. PROPOZIŢIA 3 Fie (x0, y0) un punct interior al lui E. Dacă funcţia f admite derivate parţiale mărginite într-o vecinătate V a lui (x0, y0), atunci ea este continuă în (x0, y0) (în raport cu ansamblul variabilelor). COROLARUL 1

Dacă f′x şi f′y există pe o vecinătate a lui (x0, y0) şi sunt continue în (x0, y0), atunci funcţia f este continuă în (x0, y0). Demonstraţie Dacă f′x şi f′y sunt continue în (x0, y0) există o vecinătate V a lui (x0, y0) pe care aceste funcţii sunt mărginite. COROLARUL 2. Dacă derivatele parţiale f′x şi f′y există pe E şi sunt continue sau sunt mărginite, atunci funcţia f este continuă pe E. 134

4.6. Interpretarea economică a derivatelor parţiale Derivata parţială în raport cu variabila xi indică variaţia funcţiei f la o variaţie (creştere sau descreştere) foarte mică Δxi a variabilei xi. În cazul funcţiilor de producţie y=f(x1,…,xn), unde x1,…,xn sunt factorii utilizaţi în procesul de producţie, derivatele parţiale f'xi măsoară eficienţa utilizării unei unităţi suplimentare din factorul xi când ceilalţi factori rămân neschimbaţi şi se numesc randamente marginale sau produse marginale. Pentru modelarea matematică a proceselor de producţie se folosesc diferite expresii matematice a funcţiilor de producţie . Cele mai des folosite sunt următoarele funcţii de producţie: - de tip Cobb-Douglas: y= AKαLβ; - de tip Sato: y=AK2L2/(αK3 +βL3 ), A>0, α>0, β>0; - de tip Allen: y= A(2δΚL-αK2-βL2)1/2 ,A>0, α,β>0, şi δ2>αβ; - de tip CES: y= A(αK-ρ + βL-ρ)-1/ρ, unde K reprezintă volumul capitalului fix(mil. lei), L reprezintă volumul forţei de muncă ( mii de persoane), A este un scalar care se determină experimental, iar y este volumul producţiei (mil.lei); α, β, δ, ρ se determină experimental. Propunem ca exerciţiu calcularea derivatelor parţiale pentru fiecare funcţie în raport cu K şi L. 4.7. Diferenţiabilitatea funcţiilor de mai multe variabile Fie f(x,y) o funcţie de două variabile definită pe o mulţime E ⊂ R2 şi (a,b) un punct interior al lui E. Definiţia 1 Se spune că funcţia f(x,y) este diferenţiabilă în punctul (a,b) dacă există două numere reale λ şi μ şi o funcţie ω (x,y) definită pe E, continuă în (a,b) şi nulă în acest punct: lim ω (x, y ) = ω(a, b ) = 0

x →a y→b

astfel încât în orice punct (x,y) ∈ E f(x,y) –f(a,b) =λ (x-a) + μ (y-b)+ ω (x,y)

(x − a )2 + (y − b )2 . 135

Dacă E este o mulţime deschisă se spune că f este diferenţiabilă pe E dacă este diferenţiabilă în orice punct din E. Se va nota ρ = ρ (x, y ) =

(x − a )2 + (y − b )2

deci egalitatea de mai sus se scrie: f(x,y) –f(a,b) = λ(x-a) + μ(y-b) + ω(x,y) ρ unde lim ρ(x, y ) = 0 x →a y→b

LEMA 1

Dacă funcţia ω (x,y) definită pe E, are limita 0 în (a,b), atunci există două funcţii ω1 şi ω2 definite pe E astfel încât au limita 0 în (a,b) şi ω(x,y) ρ = ω1(x,y) (x-a) + ω2 (x,y) (y-b), (x,y) ∈ E. Reciproc: dacă funcţiile ω1 şi ω2 definite pe E, au limita 0 în punctul (a,b) atunci există o funcţie ω(x,y) cu limita 0 în (a,b) care să verifice egalitatea precedentă. Folosind această lemă, rezultă imediat: PROPOZIŢIA 3

Funcţia f este diferenţiabilă în punctul (a,b) dacă şi numai dacă există două numere reale λ şi μ şi două funcţii ω1 şi ω2 definite pe E, continue în (a,b) şi nule în acest punct: lim ω i (x , y ) = ω i (a , b ) = 0, i = 1,2,

x →a y→ b

astfel încât pentru orice (x,y) ∈ E: f(x,y) – f(a,b) = λ (x-a) + μ (y-b) + ω1(x,y) (x,y) (x-a) + ω2 (x.y) (y-b) Această egalitate se mai scrie f (x , y ) − f (a , b ) = [λ + ω1 (x, y )] (x - a ) + [μ + ω 2 (x , y )](y − b ) .

PROPOZIŢIA 4

Dacă funcţia f este diferenţiabilă în (a,b), atunci ea are derivate parţiale în (a.b) şi f x′ (a, b ) = λ, f y′ (a ⋅ b ) = μ

Egalitatea de definiţie a diferenţiabilităţii se scrie atunci astfel: f (x, y ) − f (a , b ) = f x′ (a , b )(x - a ) + f y′ (a, b )(y - b ) + ω (x, y ) ⋅ ρ

136

Demonstraţie: Dacă în f (x , y ) − f (a , b ) = λ(x − a ) + μ(y − b ) + ω(x.y )

(x - y )2 + (y − b )2

se consideră y = b atunci:

f ( x, b ) − f (a, b ) = λ ( x − a ) + ω (x, b ) ⋅ x − a . Pentru x ≠ a se deduce: x −a f (x , b ) − f (a , b ) . = λ + ω(x, b ) x −a x −a

Dar ω(x , b )

x -a x -a

= ω (x, b ) şi lim ω(x, b ) = ω(a , b ) = 0 . x →a

Deci lim

x →a

f (x , b ) − f (a , b ) =λ, x−a

adică f x′ (a , b ) = λ .

În mod analog se demonstrează f y′ (a , b ) = μ . Corolar. Dacă f este diferenţiabilă pe E, atunci ea are derivate parţiale f x′ şi f y′ pe E. PROPOZIŢIA 5

Dacă f este diferenţiabilă în punctul (a,b), atunci ea este continuă în acest punct. Demonstraţie: Toţi termenii din dreapta ai egalităţii

f ( x, y ) − f (a, b ) = λ ( x − a ) + μ ( y − b ) + ω ( x, y ) ⋅ ρ au limita 0 în (a,b), deci lim [f (x , y ) − f (a , b )] = 0

x →a y→ b

de unde 137

lim f (x, y ) = f (a, b )

x →a y→b

adică f este continuă în (a,b). Corolar: Dacă f este diferenţiabilă pe E atunci ea este continuă pe E. Ultimele două propoziţii arată că existenţa unei derivate parţiale şi continuitatea unei funcţii sunt condiţii necesare (dar nu suficiente) pentru diferenţiabilitatea sa. Propoziţia următoare dă condiţii suficiente de diferenţiabilitate. PROPOZIŢIA 6

Dacă f are derivate parţiale f x′ şi f y′ într-o vecinătate V a lui (a,b) şi dacă aceste derivate parţiale sunt continue în (a,b), atunci funcţia f este diferenţiabilă în (a,b). Reciproca propoziţiei nu este adevărată. Exemplu.

(

)

1

Fie f (x , y ) = x 2 + y 2 sin

dacă (x,y) ≠ 0 şi f(0, 0) = 0

x2 + y2

Să arătăm că funcţia este diferenţiabilă în origine. Pentru (x,y) ≠ (0,0):

(

)

f (x , y ) − f (0,0 ) = x 2 + y 2 sin

1 x + y2 2

1

= 0 (x − 0 ) + 0(y − 0 ) + x 2 + y 2 sin

lim x 2 + y 2 = 0 deci

x →0 y →0

x +y

x +y

2

x + y2

1 2

2

1

Notând ω(x , y ) = x 2 + y 2 sin

ω(x , y ) = x 2 + y 2 sin

=

2

2

(x − 0)2 + (y − 0)2

atunci:

≤ x 2 + y 2 şi

lim ω(x, y ) = 0

x →0 y→0

Aşadar funcţia f este diferenţiabilă în origine. Rezultă în particular 138

f x′ (0,0) = 0 şi f y′ (0,0) = 0

Să calculăm derivatele parţiale în punctele (x,y) ≠ (0,0) f x′ (x , y ) = 2 x sin f y′ (x , y ) = 2 y sin

1 x 2 + y2 1 x 2 + y2

−

−

x x2 + y2 y x2 + y2

1

cos

cos

x 2 + y2 1 x 2 + y2

.

Aceste derivate parţiale nu au limită în origine şi cu atât mai mult nu sunt continue în origine, deoarece funcţiile sin şi cos

1 x 2 + y2

1 2

x + y2

nu au limită în origine.

Fie f(x,y) o funcţie reală definită pe E ⊂ R2 şi diferenţiabilă în (a,b) ∈ E. Cum ω are limita 0 în (a,b) avem aproximativ: f (x, y ) − f (a, b ) ≈ f x′ (a, b )(x − a ) + f y′ (a , b )(y - b )

Definiţia 2 Funcţia de două variabile d f (a, b )(x, y ) = f x′ (a , b )(x - a ) + f y′ (a, b )(y - b )

se numeşte diferenţiala lui f(x,y) în (a,b). Fie funcţiile φ: E → R, φ: E → R date de φ(x,y) = x φ(x,y) = y atunci ϕ ′x (x , y ) ≡ 1

ϕ ′x (x , y ) ≡ 0

ϕ′y (x , y ) ≡ 0 ϕ′y (x , y ) ≡ 1

deci dϕ(x, y )(u, v ) ≡ u şi d ϕ (x, y )(u, v ) ≡ v

139

Notând x-a = u şi y-b = v, vom avea df (x, y ) = f x′ (x, z ) dx + f y′ (x ⋅ y ) dy

sau df = f x′ dx + f y′ dy =

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

Pentru o funcţie de n variabile f (x1,x2,...,xn) diferenţiala este ∂f dx i ∂ i =1 x i n

df = ∑

unde dxi este diferenţiala funcţiei φi (x1, ..., xn) = xi 4.8. Derivate parţiale de ordin superior Fie f (x,y) o funcţie reală definită pe E ⊂ R2. Se presupune că funcţiile f x′ şi f y′ sunt definite pe E şi că au derivate parţiale pe E. Atunci există următoarele derivate parţiale de ordinul II: ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ 2 f f x′′2 = (f x′ )′ x = ⎜ ⎟= ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x 2

∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ 2 f ′′ = (f x′ )′ y = f xy ⎜ ⎟= ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y∂x ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ 2 f ′′ = f y′ ′ x = ⎜ ⎟= f yx ∂x ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂x∂y

( )

∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ 2 f ⎜ ⎟= f y′′2 = f y′ ′ y = ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂y 2

( )

′′ , f yx ′′ se numesc derivate mixte de ordinul II. Funcţiile f xy O funcţie de n variabile f(x1, x2,..., xn) poate avea n2 derivate parţiale de ordinul doi. f x′′i y

140

i

i, j = 1,..., n

Enunţăm următoarele teoreme: Criteriul lui Schwartz Dacă funcţia f(x,y) are derivate parţiale mixte de ordinul doi ′′ şi f yx ′′ ′′ şi f yx ′′ într-o vecinătate V a unui punct (a, b) ∈ E şi dacă f xy f xy sunt continue în (a,b) atunci ′′ (a , b ) . ′′ (a, b ) = f yx f xy

Criteriul lui Young Dacă funcţia f are derivate parţiale de ordinul întâi f x′ şi f y′ într-o vecinătate V a lui (a,b) şi dacă f x′ şi f y′ sunt diferenţiabile în (a, b), atunci derivatele parţiale mixte de ordinul doi în (a, b) există şi sunt egale în acest punct: ′′ (a, b ) = f yx ′′ (a , b ) . f xy

Definiţia 1 Fie f(x, y) o funcţie reală de două variabile definită pe o mulţime E ⊂ R2 şi (a, b) un punct interior lui E. Se spune că f este diferenţiabilă de n ori în punctul (b, b) dacă toate derivatele de ordinul n-1 ale lui f există într-o vecinătate V a lui (a, b) şi sunt diferenţiabile în (a, b). Diferenţiala de ordinul n în punctul (a, b) se defineşte prin egalitatea:

⎛ ∂ ⎞ ∂ d n f ( x, y )(a, b ) = ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x

n

f (a, b ) ,

unde exponentul n înseamnă că se dezvoltă suma din paranteză după regula binomului lui Newton şi apoi se înmulţeşte formal cu f(a, b). Diferenţiala de ordinul n pentru o funcţie de m variabile va fi:

(

d f (x 1 ,...x m ) = f x′ 1 dx 1 + ... + f x′ dx m n

)

n

n

⎛m ∂ ⎞ dx k ⎟ f =⎜∑ ⎜ k =1 ∂ x ⎟ k ⎝ ⎠

Exemple: 10. Să se calculeze diferenţiala de ordinul n pentru: f(x, y) = eax+by definită pe R2. f x′ = ae ax + by , f x′′2 = a 2 e ax + by ,..., f xnn = a m e ax + by 141

f y′ = be ax+by , f y′′2 = b 2 e ax+ by ,..., f (n2 ) = b 2 e ax+ by y

f xf n′ −k yk = a n −k b k e ax+by dnf =

deci:

n

∑ c kn a n − k b k e ax + by dx n − k dy k

k =0

20, Să se calculeze diferenţiala de ordinul II a funcţiei: f (x,y,z) =1n (x+y+z)(x+y+z). f x′ = f y′ = f z′ = 1 + 1n (x + y + z )

′′ = f yz ′′ = f xz ′′ = f x′ 2 = f y′′2 = f z′′2 = f xy d 2 f (x, y, z ) =

d 2f =

1 x+y+z

(

1 dx 2 + dy 2 + dz 2 + 2dxdy + 2dxdz + 2dydz x+y+z

)

1 (dx + dy + dz )2 x+y+z

4.9. Formula lui Taylor 2

Fie f: E ⊂ R → R şi (a,b) ∈E. Să presupune că f admite derivate parţiale de ordinul n şi derivatele parţiale mixte nu depind de ordinea variabilelor în raport cu care se derivează. Oricărui punct (x,y) ∈ E i se poate asocia polinomul: Tn (x, y) = f (a, b) + =

[

[

]

n

1 n l =0 l! k =0

∑ ∑ C lk f x(ll −) k yk (a, b)(x - a )

l −k

(y − b ) k

Operatorul Tn (x,y) se scrie:

Tn (x, y ) = f (a , b ) + +

142

]

1 1 ′′ (x − a )(y - b) + f y′′2 (y − b)2 + ... = f x′ (x − a ) + f y′ (y − b) + f x′′2 (x − a )2 + 2f xy 1! 2!

′ ⎤ ∂ 1⎡∂ ( ) ( ) − + − x a y b ⎢ ⎥ f (a , b ) + ... + ∂y 1! ⎣ ∂x ⎦

1⎡∂ ∂ (y − b )⎤⎥ ⎢ (x − a ) + n! ⎣ ∂x ∂y ⎦

(n )

f (a , b )

Polinomul Tn (x,y)se numeşte polinomul lui Taylor de ordinul n asociat funcţiei f(x,y) în punctul (a,b). Pentru fiecare punct (x.y) ∈ E avem formula lui Taylor de ordinul n f(x,y) = Tn (x,y) + Rn (x,y) din care obţinem restul de ordinul n al dezvoltării în serie Taylor: Rn (x,y) = f (x,y) – Tn (x,y) Observaţie: Dacă funcţia f este diferenţiabilă de n+1 ori într-o vecinătate V a lui (a,b), pentru orice punct (x,y) ∈ V, există un punct (ξ, η) ∈ V situat pe segmentul care uneşte punctul (a,b) cu punctul (x,y), aşa că: ⎤ 1 ⎡ ∂ R n (x, y ) = (x − a ) + ∂ (y − b )⎥ ⎢ ∂y (n + 1)! ⎣⎢ ∂ x ⎦⎥

n +1

f (ζ, η)

Este clar că: lim

(x , y )→(a , b )

R n (x, y ) = 0

4.10. Extremele funcţiilor de mai multe variabile Definiţia 1 Un punct (a, b) ∈ E se numeşte punct de maxim local (respectiv de minim local) al funcţiei f: E ⊂ R2, dacă există o vecinătate V a lui (a,b) astfel încât, pentru orice (x,y) ∈ ∀ ∩ E să avem f (x,y) ≤ f (a,b) (respectiv f(x,y) ≥ f (a,b)). Aceste puncte se numesc puncte de extrem (local) ale funcţiei. Valoarea f (a,b) a funcţiei într-un punct de maxim (minim) local o

se numeşte maximul (minimul) local al funcţiei. Vom nota prin E , interiorul mulţimii E. PROPOZIŢIA 1

Dacă funcţia f are derivate parţiale într-un punct de extrem (a,b) ∈,

o

E atunci derivatele parţiale se anulează în acest punct:

f x′ (a , b ) = 0, f y′ (a , b ) = 0

143

Demonstraţie Într-adevăr, funcţia parţială f1(x) = f (x,b) definită pe E b = {x x ∈ R, (x, b ) ∈ E este derivabilă în punctul a, o

f 1′ (a ) = f x′ (a , b ) iar a ∈ E este un punct de extrem al funcţiei, deci, conform teoremei lui Fermat, avem f 1′ (a ) = 0 adică f x′ (a , b ) = 0. La fel se arată că f y′ (a, b ) = 0 (generalizare a teoremei lui Fermat pentru funcţii de două variabile). Definiţia 2 Un punct (a,b) ∈ E, se numeşte punct staţionar al funcţiei f (x,y), dacă funcţia f (x,y) este diferenţiabilă în (a,b) şi dacă diferenţiala sa este nulă în acest punct, df (a, b ) = f x′ (a , b ) dx + f y′ (a , b ) dy = 0 . Dar df(a, b) = 0 ⇔ f′x (a, b) = f′y(a, b) = 0. Aşadar, (a, b) este un punct staţionar (critic) al funcţiei f(x, y), când funcţia e diferenţiabilă în punctul (a, b) şi are derivatele parţiale nule în acest punct. PROPOZIŢIA 2

Orice punct de extrem local din interiorul mulţimii E în care funcţia f(x, y) este diferenţiabilă este punct staţionar al funcţiei, reciproca nu este adevărată. Demonstraţie. Într-adevăr, conform propoziţiei 1: f′x (a, b) = 0 şi f′b (a, b) = 0 deci (a, b) este un punct staţionar al funcţiei. Exemplu: f(x, y)= x2 – y2 definită pe R2. f′x=2x; f′y = –2y; f′y (0, 0)= 0 = f′y (0, 0) Funcţia este diferenţiabilă în origine, deoarece derivatele parţiale sunt continue, deci (0, 0) este un punct staţionar al funcţiei, dar (0,0) nu este punct de extrem. Într-adevăr pentru punctele de forma (x, 0) de pe axa Ox: f(x, 0) = x2 ≥ f(0, 0) iar pentru punctele de forma (0, y), de pe axa Oy: f(0, y) = – y2 ≤ 0 = f(0,0) 144

astfel încât, în (0,0) funcţia nu are nici minim, nici maxim local, situaţie similară funcţiilor de o singură variabilă, când se anulează derivata I fără schimbare de semn (puncte de inflexiune). Punctele staţionare ale funcţiei f(x,y) care nu sunt puncte de extrem ale sale se numesc puncte şa ale lui f(x,y). Interpretare geometrică. Graficul funcţiei f(x,y) este o suprafaţă S a cărei ecuaţie este z=f(x,y) şi are în punctul şa un plan tangent, a cărui ecuaţie este: z – f(a, b) = f′x(a,b)(x-a)+ f′y(a,b)(y-b). Dacă (a.b) e punct staţionar (f′x(a,b) = f′y(a,b) = 0), planul tangent z = f(a, b) este paralel cu planul x0y. În concluzie dacă f(x, y) este diferenţiabilă pe o mulţime deschisă E, punctele staţionare ale lui f sunt toate soluţiile (x, y) ale sistemului:

⎧f x′ ( x , y) = 0 . ⎨ ′ ⎩f y (x, y) = 0

Cum orice punct de extrem local este punct staţionar, rezultă că punctele de extrem local se află printre soluţiile sistemului de mai sus (dar nu toate soluţiile sistemului sunt puncte de extrem). Ca şi la funcţii de o singură variabilă unde pentru a identifica un punct de extrem analizăm semnul derivatei a doua în acel punct, pentru a identifica printre punctele staţionare unele puncte de extrem (dar nu neapărat toate punctele de extrem) va trebui să recurgem la derivatele parţiale de ordinul doi. TEOREMĂ

Dacă (a, b) este un punct staţionar al funcţiei f(x, y) şi dacă f(x,y) are derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate V a lui (a,b) atunci

[

]

′′ (a , b) 〉 0 , atunci (a,b) este un 1) Dacă f x′′2 (a , b)f y′′2 (a , b) − f xy 2

punct de extrem local al funcţiei f(x,y) şi anume: dacă f x′′2 (a , b) 〉 0 , (a,b) este un punct de minim; dacă f x′′2 (a , b) 〈 0 , (a,b) este un punct de maxim.

[

]

′′ (a , b) 〈 0 , atunci (a,b) nu este 2) Dacă f x′′2 (a , b)f y′′2 (a , b) − f xy 2

un punct de extrem al funcţiei f(x,y). 145

Demonstraţie. Într-adevăr (a,b) este punct staţionar şi atunci: f′x (a, b) = 0 şi f′y (a, b) = 0. Deoarece f(x,y) are derivate parţiale de ordinul doi continue pe o vecinătate V a lui (a,b), putem scrie formula lui Taylor de ordinul doi pentru (x,y) ∈ V: f ( x, y) = f (a , b) + f x′ (a , b)( x − a ) + f y′ (a , b)( y − b) + +

[

]

1 1 ′′ (a , b)( x − a )( y − b) + f y′′2 (a , b)( y − b 2 ) + ω( xy) × f ′′2 (a , b)( x − a ) 2 + 2f xy 2! x 2

× ⎛⎜ ⎝

(x − a )2 + (y − b )2 ⎞⎟

2

⎠

şi lim ω( x , y) = 0 . x →a y→b

Ţinând seama că f′x(a,b)= f′y(a,b)=0 şi trecând f(a,b) în membrul I

[

]

1 f ′′2 ( x − a ) 2 + 2 f xy′′ ( x − a )( y − b) + f y′′2 ( y − b) 2 + ω ( x, y )ϕ 2 = 2 x 2 2 ⎤ ⎛ x − a ⎞⎛ y − b ⎞ ⎛ y −b⎞ ϕ2 ⎡ ⎛ x−a⎞ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f 2 f f = + xy ⎜ + y2 ⎜ +ω⎥ ⎢ x2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎢ ⎝ ϕ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ϕ ⎠⎝ ϕ ⎠ ⎝ ϕ ⎠ ⎣ f ( x, y ) − f ( a , b ) =

2

⎛y−b⎞ ⎟⎟ se Dar lim ω(x , y ) = 0 deci dacă se dă factor comun ⎜⎜ x →a ϕ ⎝ ⎠ y→b obţine:

⎛ y−b⎞ f ( x , y) − f (a , b) = ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ şi pentru că raportul

2

⎡ ⎛ x − a ⎞2 ⎤ ⎛x−a⎞ ′′ ⎜⎜ ⎟⎟ + 2f xy ⎟⎟ + f y′′2 ⎥ ⎢f x′′2 ⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ y − b ⎠ ⎥⎦ ⎝ y−b⎠

x−a poate lua orice valoare pozitivă sau y−b

negativă când x→a, y→b, în mod independent unul de altul, urmează că expresia din membrul doi păstrează semn constant în vecinătatea

( )

′′ lui (a, b) numai când discriminantul Δ = f xy

2

− f x′′2 ⋅ f y′′2 〈 0 , prin

urmare din discuţia semnului trinomului de gradul II: 146

1) f(x,y) – f(a,b) >0 adică un minim local (a,b) pentru f(x,y) dacă: ′′ (a , b) 2 − f x′′2 (a , b)f x′′2 (a , b) 〈 0 , f xy

[

]

f x′′2 (a , b) 〉 0 .

dacă:

2) F(x,y) – f(a, b) < 0 adică un maxim local în (a, b) pentru f(x, y)

[f ′′ (a, b)]

2

xy

− f x′′2 (a , b)f y′′2 (a , b) 〈 0 ,

f x′′2 (a , b) 〈 0 . 3) Dacă

[(f ′′ )

2

xy

]

− f x′′2 f y′′2 〉 0 , f(x,y) – f(a, b) nu păstrează semn

constant în vecinătatea punctului (a, b), care nu va mai fi un punct de extrem, numindu-se punct şa. 4) Dacă ∆ = 0 semnul expresiei f(x,y) – f(a, b) depinde de valorile derivatelor parţiale de ordin superior lui doi. Exemplu. f(x,y)=x2+y4 f′x=2x f′y=4y3 x=y=0 e punct staţionar.

( )

′′ ′′ = 0 , Δ = f xy f x′′2 (0,0) = 2 , f y′′2 = 2 , f xy

2

− f x′′2 f y′′2 = 0

dar f(x,y) – f(0,0) > 0 oricare ar fi x şi y, deci (0,0) e un punct de minim. Dacă f(x,y) =x2+y3 acelaşi (0, 0) nu este punct de extrem, deoarece pentru f(0, y) = y3<0 dacă y<0 şi f(0, y) = y3 > 0, dacă y>0. Fie f: E ⊂ Rn → R, a = (a1, ..., an) este un punct de minim (maxim) local dacă f(x) – f(a) > 0 (f(x) < f(a)). Dacă a ∈ E este un punct staţionar atunci: f x′ i (a ) = 0 , i =1, ..., n. Punctul a este staţionar dacă f este diferenţiabilă în a şi dacă df(a) = 0 şi se obţine din rezolvarea sistemului derivatelor parţiale. TEOREMĂ

Fie a punct staţionar al lui f(x1, ..., xn). Să presupunem că funcţia f(x1, ..., xn) are derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate V a lui a.

147

n

1) Dacă forma pătratică ϕ =

∑ f ′′

i , j=1

x ix

j

α iα

j

este definită,

atunci a este un punct de extrem şi anume un punct de maxim sau de minim după cum φ < 0 sau φ >0. 2) Dacă forma pătratică φ este nedefinită, atunci a nu este punct de extrem al funcţiei. 4.11. Funcţii implicite Fie ecuaţia F(x, y) = 0 cu F: E ⊂ R2 → R şi A ⊂ E x = {∃ y ∈ R , cu (x, y) ∈ E} . O funcţie f(x): A →R se numeşte soluţie (în raport cu y) a ecuaţiei F(x, y) =0 pe mulţimea A, dacă F(x, f(x)) ≡ 0 pentru x ∈ A. Ecuaţia F(x,y) = 0 poate să nu aibă soluţii, ca în cazul cercului imaginar, x2 + y2 + 1 = 0, în raport cu nici o variabilă. Poate avea o singură soluţie ca în cazul primei bisectoare x – y = 0 şi anume y = x sau poate avea mai multe soluţii pe mulţime A ca în cazul ecuaţiei F(x,y) = x – y2 = 0.Această ecuaţie, în raport cu y, are o infinitate de soluţii pe mulţimea [0, +∞). De exemplu:

⎧⎪ x pentru x ∈ [0, a) y=⎨ ⎪⎩- x pentru x ∈ [a, + ∞) unde a este arbitrar între 0 şi ∞. Fie F(x1, ... , xn, y) =0 unde F: E ⊂ Rn+1 → R, y= f(x1, ... , xn): A ⊂ Rn → R este o soluţie în raport cu y a acestei ecuaţii pe mulţimea A, dacă F(x1, ... , xn, f(x1, ... , xn)) ≡ 0 pentru orice punct (x1, ... , xn) ∈A unde x = (x1, ... , xn) este o variabilă reală sau vectorială. Dacă există o singură funcţie f(x) A ⊂ Rn → R care să verifice ecuaţia F(x,y) = 0, eventual, şi alte condiţii suplimentare, se spune că funcţia f(x) este definită implicit de ecuaţia F(x,y) = 0. Rezolvând ecuaţia F(x,y)=0 în raport cu y (explicitând-o) se obţine funcţia explicită y = f(x). 148

Funcţiile definite cu ajutorul ecuaţiilor se numesc funcţii definite implicit (funcţii definite implicit (funcţii implicite). TEOREMA 1

0

Fie A⊂ Rn, n ≥ 1; B ⊂ R, x0, y0 ∈ A , funcţia reală F(x,y) definită pe A x B. Dacă: 1) F(x0, y0) = 0; 2) F(x1, ... , xn,y) are Fx′1 ,..., Fx′n , Fy′ continue pe o vecinătate E × V a lui (x0, y0); 3) Fy′ (x 0 , y 0 ) = 0 . Atunci: a) există o vecinătate U0 a lui x0 şi o vecinătate V0 a lui y0 şi o funcţie unică y = f(x): U0 → V0 astfel ca: f(x0) = y0 şi F(x f(x)) ≡ 0 pentru x ∈ U0; b) funcţia f(x1, ..., xk) are derivate parţiale f x′1 ,..., f n′ continue pe U0, şi pentru fiecare i atunci:

f x′i ( x ) = −

Fx′i (x , f ( x ) ) Fy′ (x , f ( x ) )

, x ∈ U0 ;

c) dacă F are derivate parţiale de ordinul k continue pe U × V, atunci f are derivate parţiale de ordinul k continue pe U0. Fie funcţia de două variabile F(x, y) = 0. Dacă se diferenţiază formal se obţine:

Fx′ dx + Fy′ dy = 0

dy = y′ se obţine: dx F′ F x′ + y ′ = 0 , adică y ′ = − x . Fy′ F y′

Împărţind prin Fy′ dx şi notând

4.12. Extreme condiţionate (legate) Fie f(x) = f(x1, ..., xn) o funcţie reală definită pe o mulţime E ⊂ Rn şi A ⊂ E. Funcţia f are în a ∈A un extrem relativ, la A dacă restricţia lui f la A are în a un extrem obişnuit. 149

În a este un maxim (minim) la A dacă există o vecinătate V a lui a astfel încât: f(x) ≥ f(a) respectiv f(x) ≤ f(a) pentru orice punct x ∈ V ∩ A. Extremele funcţiei f(x) relative la submulţime A ⊂ E se numesc extreme condiţionate (legate). Fie F1(x),..., Fk(x), k < n funcţii reale care definesc mulţimea A prin mulţimea soluţiilor sistemului restricţiilor. (1) Fi(x1, ..., xn) = 0 i=1, ..., k Aşadar A={x∈E: Fi(x) = 0, i =1, ..., k}. În acest caz extremele funcţiei f(x) relative la A se numesc extreme condiţionate de sistemul (1). Aceasta arată că cele n variabile x1, ..., xn sunt legate între ele prin cele k relaţii ale sistemului (1), de aceea le mai numim şi extreme legate. TEOREMĂ

Fie a o soluţie a sistemului (1). Să presupunem că funcţiile f(x), F1(x), ..., Fk(x) au derivate parţiale, continue într-o vecinătate V a lui a şi matricea funcţională f j′ are în punctul a rangul k. Dacă a este un punct de extrem al funcţiei f(x) condiţionat de sistemul (1) atunci există k numere l1, ..., lk (multiplicatorii lui Lagrange) astfel încât: ⎧ ∂f (a ) k ∂Fi (a ) ⎪ ∂x + ∑ l i ∂x = 0 j = 1,..., n j = 1, ..., n (2) i =1 ⎨ j j ⎪F (a ) = F (a ) = ... = F (a ) = 0 2 k ⎩ 1 Orice soluţie a = (a1, ..., an) a sistemului (2) se numeşte punct staţionar al funcţiei f(x). orice punct de extrem condiţionat este un punct staţionar condiţionat, reciproca nu este adevărată. Etape de calcul ale extremelor legate: a) Se formează funcţia auxiliară (ajutătoare): F(x1, ..., xk, l1,..., lk)= f(x) + l1F1(x)+ ... + lkFk(x) cu coeficienţii l1, ..., lk nedeterminanţi. 2) Se formează sistemul celor n+k ecuaţii:

⎧Fx′1 = Fx′ 2 = ... = Fx′ n = 0 ⎨ ⎩F1 = F2 = ... = Fk = 0 cu n+k necunoscute x1, ..., xn, l1,..., lk şi se caută soluţiile acestui sistem care sunt puncte critice (staţionare). 150

3) Dacă x1, ..., xk, l1,..., lk este o soluţie a acestui sistem, atunci punctul (x1, ..., xn) este punct staţionar condiţionat al funcţiei f(x). Printre punctele staţionare condiţionate astfel obţinute se află şi punctele extrem condiţionat. Vom căuta condiţii suficiente care să permită să se identifice dintre punctele staţionare punctele de extrem condiţionat. Fie punctul staţionar a, deci Fi(a) = 0, i=1,..., k şi k numere l1, l2, ..., lk astfel ca să fie satisfăcut sistemul (2). Pentru a vedea dacă a este sau nu punct de extrem condiţionat de sistemul (1), se va studia semnul diferenţei f(x1, ..., xn) – f(a1, ..., an) pentru punctele (x1, ..., xn) care verifică sistemul (1), (F1(x)=0 ⇒ F(x)=f(x) deci f(x) – f(a) = F(x) – F(a)), se reduce la studiul semnului diferenţei F(x) – F(a). Punctul a verificând sistemul (2) este punct staţionar pentru F(x), deci derivatele sale parţiale de ordinul I se anulează în A. Pe de altă parte, funcţia F(x) are derivate parţiale continue într-o vecinătate a lui a, deci se poate scrie formula lui Taylor de ordinul doi:

F( x ) − F(a ) =

1 1 1 1 Fx′′i , x j (a )dx i dx j + ω(x )ϕ 2 = d 2 F + ωϕ 2 ∑ 2 2 2 2

unde lim ω(x ) = 0, x →a

ϕ=

n

∑ (x i =1

− a i ) şi 2

i

dxi = xi – ai, i = 1, ..., n. n

După cum forma patratică

∑ F′′

i , j=1

xi ,x j

(a )dx i dx j păstrează în jurul

lui a acelaşi semn sau nu păstrează acelaşi semn, punctul a este sau nu punct de extrem condiţionat. 4.13. Funcţii omogene de mai multe variabile Funcţia f(x1, ..., xn) se numeşte omogenă de gradul k în raport cu variabilele xi, i = 1, ..., n dacă pentru un t oarecare este adevărată relaţia: (1) f(tx1, ..., txn) = tkf(x1, ..., xn) Teorema lui Euler O funcţie omogenă satisface relaţia: 151

(2)

x1 f x′1 + ...x n f x′n = k f ( x1 ,..., x n )

Exemplu: Fie f(x, y) = xy – y2 a) f(tx, ty) = (tx)(ty) – (ty)2=t2(xy-y2)=t2f(x, y) 2 b) xf x′ + yf y′ = x ⋅ y + y( x − 2 y) = 2( xy − y ) . 4.14. Funcţii omogene în economie Fie z=f(x,y) o funcţie omogenă de gradul întâi, de două variabile. 1)Funcţia poate fi scrisă sub oricare din formele:

⎛ x⎞ ⎛ y⎞ z = xϕ ⎜ ⎟ = yψ ⎜⎜ ⎟⎟ unde ϕ şi ψ sunt funcţii de o singură variabilă. ⎝x⎠ ⎝ y⎠ x ∂z ∂z 2) Derivatele parţiale şi sunt funcţii de . ∂x ∂y y 3) Teorema lui Euler: x

∂z ∂z +y =z ∂x ∂y

Întrucât teorema lui Euler a fost demonstrată în cazul general, se vor demonstra numai primele două proprietăţi: Deoarece f(λx, λy) = λf(x,y) pentru orice λ, atunci:

1 ⎛ y⎞ 1 f ⎜1, ⎟ = f (x , y ) pentru λ = , x ⎝ x⎠ x adică:

⎛y⎞ ⎛ y⎞ z = xf ⎜1, ⎟ = xϕ⎜ ⎟ ⎝x⎠ ⎝ x⎠ y ⎛ y⎞ deoarece f ⎜1, ⎟ este funcţie numai de x ⎝ x⎠ 1 Tot astfel, dacă λ = , atunci: y ⎛x ⎞ ⎛x⎞ z = yf ⎜⎜ ,1⎟⎟ = yψ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝y ⎠ ⎝ y⎠ 152

⎛y⎞ ⎟ în raport cu x este: ⎝x⎠

Derivata parţială a lui z = xϕ⎜

∂z ⎛y⎞ y ⎛y⎞ ⎛y⎞ ∂ ⎛y⎞ ⎛y⎞ = ϕ⎜ ⎟ + xϕ′⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ϕ⎜ ⎟ − ϕ′⎜ ⎟ , ∂x ⎝x⎠ x ⎝x⎠ ⎝ x ⎠ ∂x ⎝ x ⎠ ⎝x⎠ ⎛y⎞ ⎛y⎞ ⎟ este derivata funcţiei de o singură variabilă ϕ⎜ ⎟ ⎝x⎠ ⎝x⎠ y ∂z ⎛y⎞ ⎛y⎞ ∂ ⎛y⎞ în raport cu . Tot astfel: = xϕ′⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ϕ′⎜ ⎟ . x ∂y ⎝x⎠ ⎝ x ⎠ ∂y ⎝ x ⎠ ∂z y ∂z cât şi sunt funcţii numai de raportul . Deci, atât ∂x ∂y x unde ϕ′⎜

Este interesant cazul când funcţia de producţie a unei mărfi X este omogenă de grad întâi în raport cu factorii variabilei A1, A2, ..., An. Pornind de la definiţie şi de la proprietăţile 1) şi 2) de mai sus, acest caz este caracterizat de aceea că o creştere relativă dată tuturor factorilor duce la o aceeaşi creştere relativă a rezultatului, fără a modifica produsul mediu sau produsul marginal al oricărui factor. Acesta este cazul „veniturilor constante la scară”, când numai cantităţile relative folosite de fiecare factor sunt importante, nu şi scara la care se face producţia. Dacă există doi factori, A şi B şi venituri constante la scară, suprafaţa producţiei este riglată de drepte care trec prin origine şi orice secţiune prin Ox este o dreaptă. Curbele producţiei constante din planul Oab se obţin una din alta prin proiecţii radiale, iar dimensiunile lor variază în raportul producţiilor constante care le definesc. În particular, orice rază care trece prin O intersectează curbele în puncte în care tangentele sunt paralele. 4.15. Ecuaţii diferenţiale Sunt multe probleme economice care se reduc la rezolvarea unor ecuaţii, numite ecuaţii diferenţiale ordinare sau, mai scurt, ecuaţii diferenţiale, care leagă între ele o variabilă independentă x, o funcţie

153

necunoscută de x, pe care o notăm y, şi primele ei n derivate

y′, y′′,..., y n Fie F o funcţie definită pe un domeniu D, din Rn+2, cu valori reale, continuă în acest domeniu. Definiţia 1 O relaţie de forma F(x, y, y’,...x(n))=0 (1) se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n. Fie φ: (a, b) → R o funcţie derivabilă de n ori în orice punct al intervalului (a, b), unde a poate fi –∞ , iar b poate fi +∞. Se spune că funcţia φ este soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1), dacă înlocuind în ecuaţia diferenţială (1), funcţia y cu φ(x), se obţine o identitate, oricare ar fi x∈(a,b) adică: F x , ϕ(x ), ϕ′(x )...., ϕ (n ) (x ) ≡ 0 . Dacă în sistemul de coordonate x = y, se reprezintă grafic funcţia φ, se obţine o curbă de ecuaţie y = φ(x), care se numeşte curbă integrală a ecuaţiei (1). În unele cazuri, în locul soluţiilor y = φ(x), se găsesc soluţii de forma G(x,y) = 0, care definesc soluţiile y = φ(x) ca funcţii de x. De obicei se spune şi despre aceste relaţii că sunt soluţii, iar curbele pe care se definesc se numesc curbe integrale. Dacă funcţia F, ce intră în definiţia ecuaţiei diferenţiale (1), îndeplineşte condiţii suficiente pentru a putea scoate din ecuaţia F(x, y, y’, ..., y(n)) = 0 pe y(n) ca funcţie de celelalte variabile, adică: y(n) = f(x, y, y, ..., y(n-1)) (2) unde f: D ⊆ Rn+1 → R, este o funcţie de n+1 variabile, definită pe domeniu D, cu valori reale şi continuă în acest domeniu. Ecuaţia se numeşte tot ecuaţie diferenţială de ordinul n, dar este de o formă mai particulară faţă de (1), fiindcă conţine pe y(n), explicitat în raport cu x, y, y, ... , y(n-1). Problema lui Cauchy, pentru ecuaţia diferenţială de ordinul n, de forma (2) constă în determinarea soluţiei ecuaţiei, care satisfac condiţiile iniţiale. y(x0) = y0, y’(x0) = y0, ..., y(n-1)(x0)= y0(n-1) unde (x0, y0, y’0, ..., y0(n-1) ∈D ⊆ Rn+1 este un punct constant. Se poate demonstra că atunci când funcţia f satisface anumite condiţii, pentru orice punct (x0, y0, y’0, ..., y0(n-1)) ∈ D, există o unică soluţie a ecuaţiei diferenţiale (2), care satisface condiţiile lui Cauchy (rezolva problema lui Cauchy) în acel punct.

(

154

)

Definiţia 2 Prin soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (2) se înţelege o soluţie y = φ(x, c1, c2, ..., cn) a ei, ce depinde şi de n constante c1, c2, ..., cn, considerate ca parametri reali şi cu ajutorul căreia se poate rezolva o problemă a lui Cauchy pentru orice punct din domeniul D. 4.16. Ecuaţii diferenţiale care nu conţin variabile independente Acest tip de ecuaţii care nu conţin variabila independentă şi sunt de ordinul întâi, au următoarea formă generală y’ = f(y), sau

dy = f (y) dx

(4)

cu f continuă şi diferită de zero pe intervalul (a, b) unde a poate fi –∞, iar b poate +∞. În locul acestei ecuaţii se rezolvă ecuaţia echivalentă:

dx 1 , pentru f(y) ≠ 0 = dy f (y) a cărei soluţie generală este: y dy x = x0 + ∫ f ( y) y0 În această relaţie, x – x0, este o funcţie continuă şi strict monotonă de y. Deci există funcţia inversă y = φ(x-x0) care este soluţia generală a ecuaţiei considerate. Exemplu: y’ = y cu y ∈ (0, +∞). Se rezolvă ecuaţia dx = 1 , care are soluţia generală : dy

x = x 0 + 1n

y

y , cu y 0 〉 0 y0

de unde: y = e x −x0 , y = y 0 e x−x0 . y0 Trebuie observat că ecuaţia y’=f(y), are sens şi pentru f(y) = 0. Funcţiile y = y0, cu f(y0) = 0, sunt evident, soluţii care nu se obţin prin metoda de mai sus. Ele sunt numite soluţii singulare. 155

4.17. Ecuaţii cu variabile separabile Aceste ecuaţii sunt de forma

y′ =

f (x) g ( y)

(5)

Funcţia f, o presupunem şi continuă pe un interval (a, b) şi y, definită, continuă şi diferită de zero pe un interval (c,d). Ecuaţia (5) se mai poate scrie f(x)dx – f(y)dy = 0 Dacă F(x) este o primitivă a funcţiei f(x) şi G(y) o primitivă a funcţiei g(y), soluţia generală a ecuaţiei (5), este dată sub forma implicită de relaţia F(x) – G(y) = C, unde C este o constantă arbitrară. 4.18. Ecuaţii omogene Sunt ecuaţii de forma

dy = f ( x , y) dx

(6)

unde f(x, y), este o funcţie omogenă de gradul zero, adică satisface condiţia f(tx, ty) = f(x, y), oricare ar fi t, astfel încât (tx, ty) să fie de domeniul de definiţie al funcţiei f. Punând t = 1/x, se obţine: f(x, y) = f(1, y/x) = φ(y/x) de unde rezultă că ecuaţia diferenţială (6) este de forma

dy ⎛y⎞ = ϕ⎜ ⎟ dx ⎝x⎠

(7)

Prin schimbarea de funcţie u =

y sau y = ux, derivând se x

obţine:

dy du =u+x dx dx

şi deci ecuaţia (7) se transformă în:

u+x

du = ϕ(u ) dx

ecuaţia cu variabile separabile. 156

Presupunând

funcţia φ, continuă şi φ(u)-u ≠0; notând cu

du F(u ) = , soluţia generală a ecuaţiei (7) este : ϕ(u ) − u ⎛ y⎞ F⎜ ⎟ = 1nx + 1nc , obţinută prin integrarea membru cu ⎝x⎠ membru. În membrul al doilea, constanta reală care trebuie adăugată la 1n x, pentru a se obţine primitivele funcţiei 1/x s-a considerat 1n c, unde c > 0. 4.19. Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene Se vor considera ecuaţii de forma:

⎛ ax + by + c ⎞ dy ⎟⎟ , (8) = f ⎜⎜ dx ⎝ ax + by + c ⎠ unde a, b, c, a ′, b ′, c ′ ∈ R sunt constante. a b Dacă = 0 ecuaţia se reduce la o ecuaţie cu variabile separate. a b a b 1 Într-adevăr, atunci = = , de unde rezultă a b α a ′ = aα, b ′ = bα , deci a ′x + b ′y = α (ax + by), şi făcând schimbarea de funcţie u = ax+by, de unde du = a dx + b dy,se obţine ecuaţia:

1 ⎛ du − adx ⎞ ⎛ u+c ⎞ ⎜ ⎟ = f⎜ ⎟ , sau b ⎝ dx ⎠ ⎝ αu + c ⎠ 1 du du ⎛ u+c ⎞ a ⋅ = f⎜ ϕ( u ) . ⎟ + sau b dx dx ⎝ αu + c ⎠ b Dacă:

a b ≠ 0 , sistemul de ecuaţii: a b ax+by+c = 0 157

a ′x + b ′y + c ′ = 0 , are o soluţie unică x0, y0. Făcând schimbarea de variabilă şi de funcţie: x = x0 + t y = y0 + u de unde dx = dt, dy = du şi ecuaţia (8), devine

⎛ a ( x 0 + t ) + b( y 0 + u ) + c ⎞ du ⎟⎟ , însă = f ⎜⎜ dt ⎝ a ′( x 0 + t ) + b′(y 0 + u ) + c′ ⎠ ax0 + bx0 + c = 0 şi a ′x 0 + b ′y + c = 0 , deci ea devine: du ⎛ at + bu ⎞ = f⎜ ⎟ , adică o ecuaţie omogenă pentru că funcţia f dt ⎝ at + bu ⎠

este omogenă de gradul zero în variabilele ei t şi u. 4.20. Ecuaţii liniare de ordinul întâi Forma generală a acestor ecuaţii este: A(x)y’ + B(x)y + C(x) = 0 (9) Presupunând că funcţiile A, B, C sunt definite şi continue pe un interval (a, b) şi că (A(x) ≠ 0, în orice punct al acestui interval, se împarte prin A(x) şi ecuaţia (9), devine: x + P(x)y = Q(x), (10) unde P( x ) =

B( x ) C(x) , iar Q(x) = . A( x ) A(x)

Ecuaţia y’ + P(x)y = 0 (11) se numeşte ecuaţie liniară fără membrul al doilea, sau ecuaţia liniară omogenă. Observaţie. Mai sus este vorba de omogenă în alt sens decât cel întâlnit la punctul 5. Ecuaţia (11) este o ecuaţie cu variabile separate deci se poate rezolva. dy dy = −P( x ) y, sau = −P( x )dx . Integrând fiecare membru: dx y

1n y + 1nc1 = − ∫ P( x )dx , sau 1n y c1 = − ∫ P( x )dx . Notând ± 158

− P ( x ) dx 1 . = c , soluţia generală este: y = ce ∫ c1

Pentru ecuaţia (10), se caută o soluţie de forma (12), unde c este considerat o funcţie de x. Această metodă este cunoscută sub numele de metoda variaţiei constantei. Derivând în (12), se obţine: − P ( x ) dx − P ( x ) dx + c′(x )e ∫ y = − c( x ) P ( x )e ∫

şi înlocuind în (10), rezultă: − P ( x ) dx − P ( x ) dx − c( x ) P ( x ) e ∫ + c′( x )c( x )e ∫ = Q( x ) . De unde P ( x )dx dc şi apoi = Q( x )e ∫ dx P ( x ) dx ⎞ c( x ) = ∫ ⎛⎜ Q(x )e ∫ ⎟dx + c1 şi soluţia generală a ecuaţiei ⎝ ⎠

(10) este

y = e∫

P ( x ) dx

⎛ c + Q( x )e ∫ P ( x ) dx dx ⎞ se observă că soluţia gene⎜ 1 ∫ ⎟ ⎝ ⎠

rală a ecuaţiei neomogene este egală, cu soluţia generală a ecuaţiei omogene, la care se adaugă o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Această soluţie se obţine din relaţia generală pentru c1 = 0. Soluţia particulară a ecuaţiei neomogene poate fi înlocuită cu oricare alta. Într-adevăr, să presupunem cunoscută o soluţie particulară y1 a ecuaţiei (10). Făcând schimbarea de funcţie y = y1 + z, ecuaţia neomogenă (10) devine:

dy1 dz dy + + py1 + pz = Q , însă ţinând seama că + Py = Q , dx dx dx ne rămâne

dz + Pz = 0 , deci z este soluţia generală a ecuaţiei omogene. dx

4.21. Unele aplicaţii în economie a ecuaţiilor diferenţiale Funcţia cererii unui produs pe piaţă. Considerăm cazul când cantitatea x, dintr-un anumit produs X, depinde de preţul curent al acestui produs şi de venitul consumatorilor. În realitate, pe lângă aceşti doi factori fundamentali mai există factori cu influenţe mai reduse sau indirecte ca de exemplu: preţurile celorlalte mărfuri pe care 159

le cumpără consumatorul, oferta produselor, factori social-economici şi demografici, sistemul de vânzări cu plata în rate etc. Această formulare a condiţiilor pieţei poate fi tradusă în simboluri matematice. Fie p preţul pentru produsul X în unităţi date, V venitul mediu al unui consumator, şi x cantitatea de produs X, cerută pe piaţă în unităţi date. Atunci X este o funcţie univocă de p şi v, care poate fi scrisă în felul următor: x = f(p, v) Variabilele independente p, v şi variabila independentă x le considerăm că iau numai valori pozitive. Pentru un preţ constant p0, sau un venit constant v0, cererea x, poate fi considerată ca o funcţie f1 sau f2, depinzând numai de v, sau numai de p, adică x = f(p0, v) = f1(v) sau x = f(p, v0) = f2(p) Funcţia cheltuielilor de producţie, pentru un anumit produs X, într-o primă aproximaţie o putem considera ca depinzând numai de cantitatea x, realizată din acest produs şi anume cp = f(x) Pentru această funcţie şi pentru altele care descriu fenomene economice, au semnificaţie şi importanţă economică noţiunile de: valoare medie, valoare marginală, viteză relativă de rotaţie şi viteza variaţiei relative a funcţiei în raport cu variaţia relativă a variabilei, care se numeşte elasticitatea funcţiei. Fie f o asemenea funcţie de variabilă x. Valoarea medie este

f (x ) . Valoarea marginală a funcţiei f în punctul x este f'(x), adică x valoarea derivatei funcţiei în punctul x. Viteza variaţiei relative a

1 df ( x ) ⋅ , iar elasticitatea în punctul x f ( x ) dx x df ( x ) Ef ( x ) şi se notează sau E x (f (x )) deci, este f ( x ) dx Ex Ef ( x ) x df ( x ) = ⋅ . Ex f ( x ) dx funcţiei în punctul x este

Folosind noţiunile introduse anterior să rezolvăm următoarele probleme: 160

1. Dacă elasticitatea unei legi a cererii x = f(p) este constatată, adică

Ef = -a, a > 0, să se găsească această lege. Ep Soluţie Din

p df = = −a , care este o ecuaţie diferenţială de ordinul f dp

întâi cu variabile separate, se obţine:

df adp , integrând rezultă: =− f p ln f = 1n p-a + 1nb, unde b > 0, sau ln f = 1n b · p-a, deci x = f(p) = bp-a. Dacă s-ar cunoaşte cererea x0, pentru un anumit preţ p0, atunci cererea este perfect determinată. Pentru aceasta se rezolvă problema lui Cauchy şi anume impunând condiţia f(p0) = x0, adică bp 0− a = x 0 , rezultă:

⎛ p ⎞ x = f (p) = x 0 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ p0 ⎠

−a

2. Care este legea cererii dacă viteza relativă de variaţie este constantă, adică

1 df ⋅ = −a , a > 0 . f dp

Soluţie 1 df df Din ⋅ = −a, rezultă = −adp , integrând: 1n f = –ap + 1n f dp f b, unde b este o constantă arbitrară strict pozitivă; de unde x = f(p) = be-ap. Dacă se cere legea cererii care verifică condiţia f(p0) = x0, de unde b =

x0 şi legea devine e −ap0

x = f (p) = x 0 e

⎛ p −a ⎜⎜ ⎝ p0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

3. Care este legea cheltuielilor de producţie cp = f(x), pentru care valoarea medie este egală cu valoarea marginală. 161

Soluţie Din

Cp x

=

dC p dx

, rezultă

dC p Cp

=

dx şi integrând: 1n Cp = 1n x x

+ 1n a, unde a > 0, şi deci Cp = f(x) = ax. Impunând condiţia C = f ( x 0 ) ,rezultă: ax0 = 0 p

C , a= 0 p

C 0p x0

, şi

legea este determinată: C p = f ( x ) = C 0p ⋅

x x0

Se observă că valoarea de producţie este constantă cu x, pentru că: x C 0p 0 C p f (x) x 0 Cp (constantă) = = = x x x x0 4. Se ştie că elasticitatea unei legi a cererii în funcţie de preţ este forma

Ef = (a − bp ) , unde a şi b sunt constante. Care este această Ep

lege a cererii? Soluţie: p df ⋅ = a − bp f dp df a − bp = ⋅ dp , f p

sau integrând, atunci:

1n f = 1n pa – bp + 1n c, unde c > 0 sau 1n x = f(p) = c · pa · e-bp. Impunând condiţia f(p0) = x0, rezultă: a − bp 0 0

cp e

x 0 e bp0 = x0 ,c = şi legea cererii devine: p a0 a

⎛ p ⎞ x = f (p) = x 0 ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ e b (p0 − p ) . ⎝ p0 ⎠ 162

f = −bp de unde c ⋅ pa

5. ELEMENTE DE MATEMATICI FINANCIARE 5.1. Dobânda simplă

Noţiunea de bază a matematicilor financiare este dobânda. Dobânda este suma de bani care se plăteşte de către debitor creditorului pentru un împrumut bănesc. Dobânda unitară este suma dată de o unitate monetară pe timp de un an, este notată, i. Dobânda dată de 100 de unităţi monetare pe timp de un an se numeşte procent, notat p. Deci p ≡ 100 i. Pentru S unităţi monetare (u.m.) pe timp de un an se obţine dobânda: D = Si = Sp/100 Pentru S u.m. pe timp de t-ani dobânda, numită dobânda simplă este: D = S.i.t. = Sp.t/100 (5.1.1.) Se observă că dobânda este direct proporţională cu suma depusă, cu procentul sau dobânda unitară şi cu durată. Dacă anul este împărţit în k părţi egale şi tk este un număr de astfel de părţi pentru care se calculează dobânda atunci (5.1.1.) devine: D=

Spt k Sit k = k 100k

De exemplu dacă k=2 atunci dobânda pentru t2-semestru este

Spt 2 Spt 4 D= ; dacă k=4 atunci dobânda pentru t4- trimestru este D = şi 200 400 Spt 12 dacă k=12 atunci D = 1200 Observaţie. În finanţe anul comercial are 360 zile şi fiecare lună are 30 de zile. Dacă So – este suma depusă iniţial pe perioada t cu dobândă unitară i atunci suma finală sau valoarea finală este: St = S0 + D = S0 + S0 it = S0 (1+it) (5.1.2.) Scadenţă comună sau scadenţă medie Fie sumele S1, S2, ..., Sn plasate cu acelaşi procent p pe duratele t1, t2, ...., tn. 163

Suma dobânzilor aduse de cele n sume pe cele n durate o vom înlocui cu dobânda adusă de o sumă S pe o perioadă t. Atunci S1pt 1 S2 pt 2 S pt Spt + + ..... + n n = 100 100 100 100 Dacă se cunoaşte S atunci durata t va fi: t = S1t1 + S2 t 2 + .... + Sn t n (5.1.3.) S se va numi scadenţă comună. Dacă S = S1 + S2 + .......+ Sn atunci durata t va fi: t = S1 t 1 + S2 t 2 + ....... + S n t n (5.1.4.) S1 + S 2 + .... + S n se va numi scadenţa medie. Aplicaţie. Să se determine scadenţa unei sume de 25.000 u.m. care produce o dobândă egală cu suma dobânzilor produse de 3.500 u.m. pe timp de 72 zile; 4.500 u.m. pe timp de 105 zile; 6.000 u.m. pe timp de 124 zile şi 5.000 lei pe timp de 150 zile. Observăm că 25.000 ≠ 3.500 + 6.000 + 5.000 = 19.000 atunci scadenţa comună este: t = 3500.72 + 4500.105 + 6000.124 + 5000.150 = 887,4 zile. 25.000 3. Procent mediu de depunere –p pentru care sumele S1, S2,...., Sn sunt plasate pe perioadele t1, t2, ...., tn cu procente p1, p2, ...., pn astfel încât să avem aceeaşi dobândă totală va fi obţinut din egalitatea:

S pt S p t S pt S1p1t1 S2 p2 t 2 + + .... + n n n = 1 1 + ..... + n n 100 100 100 100 100

de unde S p t + S2 p 2 t 2 + ..... + Sn p n t n p= 1 1 1 S1 t1 + S2 t 2 + ...... + Sn t n

(5.1.5.)

5.2. Dobânda compusă O sumă de bani este plasată cu dobândă compusă dacă la sfârşitul primei perioade, dobânda simplă a acestei perioade este adăugată la sumă pentru a produce la rândul ei dobândă în perioada următoare: Fie S0 – sumă iniţială; p – procentul; i = 164

p dobânda 100

unitară; t – durata de plasament a sumei S0 – număr întreg şi St – suma finală după t perioade, atunci: Anii Suma plasată la Dobânda produsă în Suma obţinută la începutul anului timpul anului sfârşitul anului 1 S0 S 0i S1 = S0+S0i=S0(1+i) 2 S1 = S0 (1+i) S1i = S0 (1+i)i S2 = S1+S1i=S0(1+i)2 : t St = S0 (t+i) t-1 St-1· i = S0 (1+i )t-1 i St=St-1 + St-1 i = S0 (1+i)t Dacă 1+i = u va fi un factor de fructificare găsit în tabele financiare pentru t= 1,2,3,....pentru diferite procente atunci suma finală va fi: St = S0 (1+i)t = S0ut (5.2.1.) Dobânda compusă va fi pentru t- întreg D = St – S0 = S0(1+i)t – S0 = S0 (ut-1) (5.2.2.) Suma iniţială depusă va fi: S0 = S ⋅ 1 =S ⋅ vt t (1+i)t n unde

(5.2.3.)

1 = v factor de actualizare. 1+ i

Deci

0

t

S0

St

Formula de actualizare S0 = S 1 = S v t t (1 + i) t Formula de fructificare St=S0(1+i)n=S0ut

v = 1 factor de actualizare u = 1+i factor de fructificare 1+ i

Factorii u şi v se găsesc în tabele financiare pentru diferite procente şi diferitele perioade întregi. Procentul p = 100 i se poate obţine din (5.2.1.) (1+i)t =

St S0

(5.2.4.) 165

Timpul se poate obţine din (5.2.3.) prin interpolare. Aplicaţii: 1. Ce sumă trebuie să depunem azi ca să încasăm peste 3 ani, suma de 10.000 lei ştiind că dobânda unitară este de 2,5%. Din (8) S0 = S ⋅ t

1 1 10.000 = 9285,9 lei t (1 + i) 1,0253

2. Cu ce procent suma de 3450 lei depusă timp de 8 ani devine 5324,45 lei ? S 5324,45 Din (5.2.4.) (1+i)t = t = = 1,543318 S0 3450 În tabel avem: 1,48028........4% 1,54331........4,43% 1,55296 ........4,5% Deci cu procent 4,43% Dacă durata de plasament a sumei S0 (-t) nu este un număr întreg ci este de forma: t = n+

h avem două soluţii. k

a) Soluţia raţională porneşte de la forma (5.2.1.) pentru partea întreagă de n ani valoarea finală obţinută pentru plasarea sumei iniţială S0 va fi: Sn = S0 (1+i)n. Această sumă Sn în timpul fracţiunii h a anului, cu dobândă k

unitară i, va aduce o abordare simplă: Sni

S

h h = So(1+i)ni atunci k k

h n+ k

= S0 (1+i)n + S0(1 + i)ni

Deci St =

S

h n+ k

h k

= S0(1+i)n (1+i h )

(5.2.5.)

k

(5.2.5.) reprezintă soluţia raţională de calcul a sumei finale când se plasează o sumă S0 pe o durată t = n+ h în regim de dobândă k

compusă. b. Soluţia comercială pentru suma S0 plasată pe o perioadă t = n+ h . k

166

Se observă că: 1 leu plasat cu procent anual i devine la sfârşitul anului (1+i) şi 1 leu plasat cu procentul semestrial is devine la sfârşitul anului (1+is)2. Procentele i şi is devin echivalente dacă valorile finale la sfârşitul anului sunt legale adică: 1+i=(1+is)2 Similar 1+i = (1+i4)4 pentru procent semestrial i4 şi aşa mai departe 1+i=(1+i12)12 Rezultă că: (1+i2)=(1+i)1/2 (1+i4)=(1+i)1/4 (1+i12) =(1+i)1/12 şi în general 1+ik=(1+i)1/k Deci pe durata t=n+

h suma iniţială plasată S0 în regim de k

dobândă compusă va deveni:

h

h

St = S0(1+i)n+ k =S0(1+i)n(1+ik)h=S0(1+i)n(1+i)h/k=S0(1+i)n+ k St =

S

h

h n+ k

= S0(1+i)n+ k (5.2.6.)

(5.2.6.) reprezintă soluţia comercială de calcul a sumei finale când se plasează o sumă So pe o durată t=n+

h în regim de dobândă compusă. k

Exemplu. Să se calculeze valoarea finală a sumei de 10.000 unităţi monetare plasate timp de 8 ani şi 5 luni cu procent anual 5%. Deci p=5% i=0,05. Soluţia raţională S

8+

5 12

= 10.000 ⋅ 1,05 ⋅ (1 + 0,05

5 ) = 10.000 12

⋅ 1,058 ⋅ 1,020833 = 15082,35 u.m. Soluţia comercială S 5 =10.000 8+

12

⋅ 1,05 ⋅ 1,05 5 / 12 = 10.000 ⋅ 1,477455 ⋅ 1,020537 = 15077,97 u.m. Observaţii 8

167

1. Cele două soluţii nu sunt identice. 2. Soluţia comercială este mai des utilizată deoarece factorul fructificare 1+i=u este în tabele financiare atât pentru puteri întregi cât şi fracţionare. 3. Valorile finale ale unei sume S0 depuse în regim de dobândă simplă sau în regim de dobândă compusă diferă în funcţie de durată t. S0 – plasată pe o durată de t –ani în regim de dobândă simplă devine: St = S0 (1+it) (2) funcţie liniară, în regim de dobândă compusă devine

St

= S0(1+i)t (5.2.1.) funcţie exponenţială cu baza supraunitară. Dacă t = 1 an ⇒ S1=S0(1+i) în regim de dobândă simplă cu (5.1.2.) şi S1=S0(1+i)1 în regim de dobândă compusă (5.2.1.). Dacă 0< t< 1 De exemplu t = S1/2 =S0 (1 + i

1 atunci cu (5.1.2.) 2

1 ) 2

S1/2 = S0(1+i)1/2 sau S1/2 = S02 (1+i) se vede că ridicând la pătrat S21/2=S02 (1+ i +

i2 ) de unde S1/2> S1/2 4

Dacă t >1 atunci St=S0(1+it) şi

St = S0 (1+it)t = S0(1+ti+

t (t − 1) 2 i + ....) > St 2

Grafic cele două dobânzi evoluează astfel:

Fig. 168

5.3. Plăţi eşalonate (rente) Prin plăţi eşalonate înţelegem sumele de bani plătite la intervale de timp egale. Intervalul de timp ce separă plata a două sume se numeşte perioadă şi poate fi anul, semestrul, trimestrul, luna. Deci plăţile eşalonate se vor numi: anuităţi dacă se plătesc anual, semestrialităţi dacă se plătesc semestrial, trimestrialităţi dacă se plătesc trimestrial şi mensualităţi dacă se plătesc lunar. În funcţie de scopul urmărit plăţile eşalonate pot fi: - de plasament sau de fructificare dacă se urmăreşte constituirea unei sume şi plăţi eşalonate de amortizare sau de rambursare dacă scopul este de a rambursa, returna o datorie. În funcţie momentul când se fac aceste plăţi avem: - plăţi eşalo-nate la începutul perioadei care se vor numi plăţi eşalonate anticipate şi – plăţi eşalonate la sfârşitul perioadei şi care se vor numi plăţi eşalonate posticipate. Plăţile eşalonate mai pot fi: temporare dacă numărul de plăţi este finit, perpetue dacă numărul plăţilor este nelimitat şi viagere dacă plata se va face atât timp cât persoana este în viaţă. Plăţile eşalonate pot fi constante sau variabile după cum sumele depuse periodic sunt constante sau nu. Plăţile eşalonate pot fi imediate sau amânate după cum prima plată este imediată sau amânată după un număr de ani convenit contractual. 5.3.1. Anuităţi constante posticipate Plata eşalonată (renta) la sfârşitul fiecărui an în sumă constantă se numeşte anuitate posticipate constante. Fie: T – valoarea anuităţii constante; n – numărul de ani; i – dobânda unitară anuală. Sn – suma finală a unui şir de anuităţi la momentul n (momentul plăţii ultimei anuităţi). Sn se compune din suma valorilor finale a fiecărui anuităţi la momentul n. Suma T depusă la sfârşitul primului an devine după n au suma T (1+i)n-1; suma T depusă la sfârşitul celui de al doilea an devine T (1+i)n-2, şi aşa mai departe. Sn = T(1+i)n-1 + T(1+i)n-2 + ......+ T(1+i) + T n = T [(1+i)n-1 + T(1 + i)n-2 +.....+ (1+i) + 1] = T (1 + i ) − 1 (1 + i ) − 1

169

deci Sn = T

(1 + i ) n − 1 i

Deci: Sn=T+T(1+i)+T(1+i)2+.......+T(1+i)n-1

un −1 (1 + i ) n − 1 (1 + i )n − 1 =T =T =T i i 1+ i −1 Dacă T=1 valoarea anuităţii participate de 1 leu atunci valoarea finală a şirului de anuităţi participate este: sn=1+(1+i)+......+(1+i)n-1=

un −1 (5.3.1.) calculată în tabele i

financiare şi Sn=Tsn (5.3.2.) Exemplu. Care este valoarea finală a unui şir de 12 anuităţi participate a 7000 u.m. la momentul plăţii ultimei anuităţi. Procentul este 5,5%. Sn=T

un −1 1,055 n − 1 = 7000 = 114700u.m. i 0,055

Ce sumă Ak trebuie depusă în momentul de faţă pentru ca după k ani să devină T. Avem Ak (1+i)k=T∈Ak=

T (1 + i ) k

Deci dacă peste k ani se plăteşte suma T aceasta echivalează cu plata sumei Ak=

T în momentul de faţă. De aceea suma Ak se (1 + i ) k

numeşte valoarea actuală a plăţii T efectuată peste un nr. k de ani. Fie An - suma actuală a şirului de anuităţi la momentul semnării contractului adică cu o perioadă înaintea primei plăţi. An= T + T + ....... + T = T [1 + 1 + ..... + 1 ] = T ⋅ 1 − (1 + i) = −n

1 + i (1 + i) (1 + i) 1 + i 1+ i T (1 + i) n − 1 1 + i (1 + i) n − 1 1 = ⋅ ⋅ =T ⋅ 1 + i (1 + i) n i i (1 + i) n 2

n

1− vn 1− v An = Tv =T 1− v i 170

(1 + i)

n −1

1 + i 1 − (1 + i) −1

Dacă T=1 valoarea anuităţilor participate de 1 leu atunci valoarea actuală a şirului de anuităţi participante este: n an = 1 − v (5.3.1.) care este calculată în tabelul financiar şi An = Tan (5.3.4.). i

Între valoarea actuală An a şirului de anuităţi participante şi valoarea finală Sn a şirului de anuităţi participante există relaţia: An = T (1 + i) n − 1 ⋅ 1 = S 1 (1 + i) n

i

An = Sn

1 (1 + i) n

n

(1 + i) n

(5.3.4.)

Aplicaţie. Ce sumă unică depusă imediat poate să înlocuiască plata a 12 anuităţi participate a 1250 u.m. fiecare, cu procentul 5%? A12 = T 1 − v = 1250 n

i

1 1,0512 = 1250 ⋅ 9,6633 = 12079,17u.m. 0,05

1−

Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante participate, perpetue, imediate notată a∞ = 1 − (1 + i ) i

−∞

=

1 iar dacă rata este T, i

avem A∞=Ta∞. Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante participate, temporare, amânate. Presupunem că prima plată se face după r ani, participat, adică la momentul r+1, timp de n-r ani. T T T T 1 1 + + ..... + = + .... + [1 + ]= r +1 r +2 n r +1 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 1+ i (1 + i) n −r −1 T 1 − (1 + i) −( n −r ) T 1 − (1 + i) −( n −r ) = ⋅ = ⋅ −1 r +1 r (1 + i) 1 + (1 + i) (1 + i) i

rA n =

rAn=Tvr 1 − v i

n− r

sau rAn=Tvr an-r

Valoarea finală a unui şir de anuităţi constante participate, temporare, amânate. Adică prima plată se face după r ani, participat, adică la momentul r+1 iar ultima plată la momentul n, timp, de n-r ani. rSn=T(1+i)n-r-1+T(1+i)n-r-2+.......+T(1+i)+T=T (1 + i)

n−r

−1

i

rSn=T sn-r 171

Între valoarea actuală An a şirului de anuităţi constante participate, temporare, amânate după r ani şi valoarea finală corespunzătoare există relaţia: n −r r −n rAn=T V n ⋅ 1 − v = Tv n +r −r v − 1 = rS v n i

i

n

5.3.2. Anuităţi constante anticipate Anuităţile anticipate se fac la începutul anului adică la momentele 0,1,2,..... n-1. Suma finală este evaluată la un an după ultima plată o vom nota San.

San = T(1+ i) + T(1+ i)2 +....+ T(1+ i)n = T(1 + i) [1+ (1+ i) +....+ (1+ i) ] = n n = T(1+ i) (1 + i) − 1 = Tu u − 1 i i Pentru T=1 valoarea finală a unui şir de anuităţi anticipate de 1 n-1

n u.m. este san= (1 + i) − 1 (1 + i ) .

i

Atunci San=Tsan Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante, anticipate, imediate, temporare este suma necesară în momentul iniţial pentru a putea plăti la fiecare scadenţă suma fixă T.

Aan =

T T T T ⎡ 1 1 ⎤ 1+ + + ...... + + ..... + n −1 = 2 ⎢ 1 + i (1 + i) (1 + i) 1 + i ⎣ 1 + i (1 + i) n−2 ⎥⎦

Aan = T(1+i) 1 − (1 + i)

−n

i

A = Ta a n

a n

Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante, anticipate, perpetue, imediate este a∞ = 1 + i cu A∞ = Ta∞ i

Valoarea actuală a unui şir de anuităţi anticipate constante, temporare, amânate. 172

rAan=T(1+i)-r+T(1+i)-(r+1)+..+T(1+i)-(n-1) = T(1+i)-(n-1) 1 − (1 + i) − (n −r) = Tv r −1 ⋅ a a n −r i

5.3.3. Plăţi eşalonate fracţionate Se numeşte plată eşalonată fracţionată constanta, plata eşalonată în care rata anuală T este împărţită în k părţi egale fiecare cu rk=

T k

care se plătesc fie la sfârşitul perioadei fie la începutul perioadei. Dacă plata eşalonată este limitată la n ani atunci plata fracţionată de k ani pe ani va fi în număr de kn. Valoarea finală a unui şir de plăţi eşalonate temporare imediate, fracţionate de k ori pe ani este: n jk ⎞ ⎛ n −1 ⎜1 + ⎟ − 1 j ⎞ T T⎛ j ⎞ T T⎛ k⎠ = Sk n = + ⎜1 + k ⎟ + ...... + ⎜1 + k ⎟ = ⎝ jk k⎠ k k⎝ k⎠ k k⎝ k n jk ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ − 1 k⎠ =T⎝ jk Dar ştim că j (1 + i) n − 1 i i 1 + i = (1 + k ) k şi deci S k n = T ⋅ = Ts n sau k ik jk jk i (1 + i) n − 1 i Sk n = T ⋅ = Ts n jk i jk k

k

k

Aplicaţie. De ce sumă de bani va dispune o persoană care depune timp de 15 ani câte 200 u.m. la sfârşitul fiecărei luni cu procent 5%? T=12x200=2.400 u.m. la sfârşitul unui an

S 1215 = 2400

(1,05)15 − 1 0,05 ⋅ = 2400 ⋅ 21,578 ⋅ 1,022 = 52964,93u.m. 0,05 12

Valoarea actuală a plăţilor eşalonate participate, temporare, imediate, fracţionate de k ori pe an. 173

Ak n = T

i 1 ⋅ j k (1 + i ) − n

sn = T

i an jk

Plăţile eşalonate perpetue participate imediate, fracţionate de k ani pe an.

Ak ∞ = T

i i 1 T ⋅ a∞ = T ⋅ = jk jk i jk

Plăţile eşalonate temporare participate amânate, fracţionate de k ori pe an.

rS

k

n

(1 + i ) n − r − 1 i i =T ⋅ =T ⋅ s n−r i jk jk 5.4. Împrumuturi

Se numeşte împrumut o operaţie financiară prin care un partener P1 (individual sau grupat) plasează o sumă de bani, pe o perioadă de timp, în anumite condiţii unui alt partener P2 (individual sau grupat). Partenerul P1 se numeşte creditor iar P2 se numeşte debitor. Operaţiunea prin care P2 restituie lui P1 suma de care a beneficiat se numeşte rambursare sau amortizare a împrumutului. Un împrumut care nu se mai înapoiază se numeşte împrumutul nerambursabil. Sumele rambursate anual care au rolul de a amortiza treptat suma împrumutată se numesc amortismente. 5.4.1. Amortizarea unui împrumut prin anuităţi constante posticipate Fie: V0 – suma împrumutată la momentul iniţial T1,...Tn – anuităţile (rate) succesive. Prima anuitate fiind plătită la sfârşitul primului an. n – durata în ani a rambursării a1,....,an – amortismentele succesive conţinute în prima, a doua, şi a n-anuitate i – dobânda unitară a împrumutului. Cu aceste date se poate întocmi tabelul: 174

Momente Amortizări Dobânda 0 1 Q1 d1=V0i 2 Q2 d2=V1i : p Qp dp=V p-1i : n Qn dn=Vn-1 i

Anuităţi Suma rămasă de plată V0 T1=Q1+d1 V1=V0-Q1 T2=Q2+d2 V2=V1-Q2 Tp=Qp+dp

Vp=Vp-1-Qp

Tn=Qn+dn

Vn=Vn-1-Qn=0

Observaţii: 1. Tabelul este valabil pentru orice lege a anuităţilor pentru care nu s-a formulat încă nici o ipoteză. 2. Din condiţia ca după n ani să se ramburseze suma împrumutată reiese: Vn=0 → Vn-1 = Qn (17) ⇒ Calculăm ultima anuitate Tn= Qn+dn= Qn+Vn-1 i (5.4.1.) Qn + Qni (5.4.2.) → Tn=Qn(1+i) Deci (5.4.2.) ultima anuitate este egală cu ultimul amortisment la care se adaugă dobânda corespunzătoare. Relaţia între suma împrumutată V0 şi amortismente se obţine sumând membru cu membru ultima coloană. V0+V1+V2+....+Vn=V0+ V1+....+Vn-1– (Q1+Q2+......+Qn) Vn=V0-(Q1+....+Qn) Vn= 0 ⇒ V0=Q1+Q2+......+Qn (5.4.3.) Suma împrumutată este egală cu suma amortismentelor Relaţie între anuităţi şi amortismente. Se calculează: T p+1-Tp=Q p+1+Vp i-Qp-V p-1 i= Q p+1-Q p+i(Vp-V p-1)=Qp+1-Qp-i Qp Dar din tabel Vp-V p-1=-Qp Tp+1 – Tp = Q p+1-Qp(1+i) (5.4.4.) Relaţie adecvată pentru orice lege a anuităţilor. Se disting următoarele situaţii: 5.4.2. Împrumuturi cu anuităţi (rate) constante, plătibile la sfârşitul anului (posticipat) Deci T1=T2=......=Tn=T⇒ din (20) T p+1-Tp=0 Q p+1=Q p(1+i) (21) sau Q p+1=Q1(1+i)p

(5.4.5.) 175

Dacă anuităţile sunt constante amortismentele succesive formează o progresie geometrică crescătoare cu raţia (1+i) Din (19) Vo=Q1+Q2+......+Qn=Q1+Q1(1+i)+......+Q1(1+i) n-1 → V0=Q1

(1 + i) n − 1 (1 + i ) − 1

(1 + i ) n − 1 i i sau Q1= V0 (1 + i ) n − 1

deci V0=Q1

(5.4.6.) (5.4.7.)

Pentru calculul anuităţii plecăm de la (5.4.2.) Tn=Qn(1+i) →T=Qn(1+i) →Qn=

T T , Q n -1 = 1+ i (1 + i) 2

Deci V0 = Q1 + Q2 + ...... + Qn = T = ⋅ 1+ i

T T T T 1 + + ...... + = ⋅( + .... + 1) = 1 + i 1 + i 1 + i ) n −1 (1 + i ) n (1 + i ) n −1

1 T 1 − (1 + i ) −n (1 + i ) n = ⋅ i 1 1+ i 1− 1+ i 1+ i

1−

V0=T 1 − (1 + i) sau T = V0

−n

i

i 1 − (1 + i) −n

(5.4.8.) (5.4.9.)

Calculul dobânzii în această situaţie devine: T1= Q1+d1 = T→ d1 = T–Q1 T2= Q2+d2 = T→ d2 = T–Q2 Tn= Qn+dn = T→ dn = T–Qn Calculând d1-d2=Q2-Q1=Q1(1+i)-Q1=Q1i d2-d3=Q3-Q2= Q1(1+i)2-Q1(1+i)=Q1i (1+i) Deci diferenţele succesive ale dobânzilor urmează o progresie geometrică crescătoare cu primul termen Q1i şi raţia (1+i). 176

Tabelul de amortizare a unei sume prin anuităţi constante posticipate va fi: Suma datorată Suma datorată Amortisla începutul Dobânda Anuitatea la sfârşitul menul perioadei perioadei 1 V0 d1=V0i Q1 T=d1+Q1 V1=V0-Q1 2 V1 d2=V1i Q2 T=d2+Q2 V2=V1-Q2 : : : : : : T=dn-1+Q n-1 Vn-2 d n-1=Vn-2 i Qn-1 Vn-1=Vn-2-Q n-1

Anii

n

Vn-1

dn=V n-1 i

Qn

n-1

T=dn+Qn

Vn=0

Aplicaţie. Un împrumut de 10.000 $ urmează a fi rambursat în 4 ani prin rate (anuităţi) constante participate cu 5%. Care este tabloul de amortizare? d 1 = V0 i = 10.000·0,0 5 = 500 $

Anuitatea constantă T din (5.4.6.) va fi: 0,05 i T=V0 = 10.000 = 2820,12 1 − (1 + i ) −n

1 − 1,05 − 4

Primul amortisment din (5.4.7.) i 0,05 Q1=V0 = 10.000 = 2320,12 (1 + i ) n − 1

1,05 4 − 1

sau Q1=T-d1=2820,12-500=2320,12 Amortismente: Q2=Q1(1+i)=2320,12·1,05=2436,13 $ Q3=Q2(1+i)=2436,13·1,05=2557,92 $ Q4=Q3(1+i)=2557,92·1,05=2685,83 $ Sumele rămase de plată la sfârşitul anului sunt: V1=V0-Q1=10.000-2320,12=7679,88 V2=V1-Q2=7679,88-2436,13=5243,75 V3=V2-Q3=5243,75-2557,92=2685,83 V4=0 Dobânzile vor fi: d1=V0i=10.000·0,05=500 $ d2=V1i=7679,88·0,05=383,99 d3=V2i=5243,75·0,05=262,20 d4=V3i=2685,83·0,05=134,29

177

Tabelul de amortizare este Ani

Amortismente

Dobânzi

Anuităţi

1 2 3 4

2320,12 2436,13 2557,92 2685,87

500 383,99 262,20 134,29

2820,12 2820,12 2820,12 2820,12

Suma rămasă de plată la sfârşitul anului 7679,88 5243,75 2685,83 0

Observăm că: Q1+Q2+Q3+Q4=10.009,04 ~ 10.000 d1+d2+d3+d4=1280,48 4

4

∑Q + ∑d i=1

i

i =i

4

i

= 11280,48 = ∑ Ti = 11280,48 i =1

Suma rambursată după plata a p-anuităţi este Rp. Rp=Q1+Q2+....+Qp=Q1+Q1(1+i)+Q1(1+i)2+.....+Q1(1+i) p-1 p Rp=Q1 (1 + i) − 1 Din (20) putem scoate Q1 şi ⇒ i

(1 + i ) p − 1 (1 + i ) p − 1 (5.4.10.) i ⋅ ⇒ R p = V0 n i (1 + i ) − 1 (1 + i ) n − 1 Suma rămasă de plată după plata a p anuităţii este:

Rp=Vo

V p = V 0 − R p = V0 − V0

(1 + i ) p − 1 (1 + i ) n − 1 − (1 + i ) p + 1 = V 0 (1 + i ) n − 1 (1 + i ) n − 1

de unde:

/(1 + i ) n − (1 + i ) p V p = V0 (1 + i ) n − 1

(5.4.11.)

5.4.3. Împrumuturi cu anuităţi (rate) constante cu dobândă plătită la începutul anului (anticipat) La semnarea contractului se plăteşte dobânda pentru primul an şi deci suma reală plătită nu este V0 ci V0-V0i. Pentru fiecare din anii următori, dobânda se calculează asupra sumei rămase de plătit şi se plăteşte odată cu amortismentul. Tabelul pentru împrumuturi cu anuităţi plătite la începutul anului este: 178

Anii 0 1 2 : p : n

Amortismentele -

Q1 Q2 : Qp : Qn

Dobânzi

Anuităţi

d0=V0i d1=V1i d2=V2i : dp=Vpi

T1=Q1+V1i T2=Q2+V2i : Tp=Qp+Vpi

Suma rămasă de plată la sfârşitul anului V0-V0i V1=V0-Q1 V2=V1-Q2 : Vp=Vp-1-Qp

dn=Vni

Tn=Qn+Vni

Vn=Vn-1-Qn=0

Dacă Vn= 0 atunci Tn= Qn Calculând diferenţa a două anuităţi succesive Tp+1-Tp= Qp+1+V p+1 i-Qp-Vpi = Qp+1+(Vp-Qp+1)i-Qp-Vpi = = Qp+1-Q p+1 i-Qp = Q p+1(1-i)-Qp Dacă anuităţile sunt constante, adică T1=T2=......=Tn=T atunci Qp+1(1-i)-Qp= 0 atunci Q p+1=

Qp 1− i

=

Q1 (5.4.12.) (1 − i ) p

Suma efectiv împrumutată egală este cu suma amortismentelor, atunci: V0=Q1+Q2+......+Qn=Q1

Q1 Q1 Q1 + + ..... + 2 1 − i (1 − i ) (1 − i ) n −1

r n −1 1 unde r este raţia seriei r = sau r −1 1− i 1 − (1 − i ) n 1 − i ⋅ (5.4.13.) sau V0=Q1 i (1 − i ) n V0=Q1

i (1 − i ) n Q1 = V0 (5.4.14.) (1 − i )[1 − (1 − i ) n ] Aplicaţie. Un împrumut de 40.000 u.m. este rambursabil cu cinci ani prin anuităţi constante cu dobândă plătibilă la începutul anului cu procent de 5%. Care este tabloul de amortizare? Se calculează: Q1 = V0

0,05 ⋅ 0,95 5 0,05 ⋅ 0,77378 i (1 − i ) 4 = 40.000 = 40.000 = 7201 n 0,95 ⋅ 0,2262192 (1 − i )[1 − (1 − i ) ] 0,95[1 − 0,95 5 ]

179

Q1 1− i Q Q3 = 2 1− i Q Q4 = 3 1− i Q Q5 = 4 1− i Q2 =

7201 = 7580 0,95 7580 = = 7979 0,95 7979 = = 8399 0,95 8399 = = 8841 0,95 =

Sumele rămase de plată V1=V0-Q1=40.000-7201=32799 V2=V1-Q2=32799-7580=25219 V3=V2-Q3=25219-7979=17240 V4=V3-Q4=17240-8399=8841 V5=V4-Q5=8841-8841=0 Dobânzile: d1=V1i=32799·0,05=1640 d2=V2i2519·0,05=1261 d3=V3i=17240·0,05=862 d4=V4i=8841·0,05=442 Se poate verifica că anuitatea constantă T = Q5 = Q1+ d1 = Q2 + d2 = Q3+ d3 = Q4+ d4 = 8841 Tabloul de amortizare este: Anii Amortisment 0 1 2 3 4 5

7201 7580 7979 8399 8841

Dobânzi

Anuităţi

2000 1640 1261 862 442 -

8841 8841 8841 8841 8841

Suma rămasă de plată la sfârşitul anului 38.000 32.799 25219 17240 8841 0

5.4.4. Împrumuturi rambursabile o singură dată a. O persoană care a făcut împrumutul V0 plăteşte anual dobânzile asupra sumei împrumutate V0 urmând ca suma împrumutată 180

să fie plătită după n ani o dată cu dobânda ultimului an. Dobânzile sunt calculate cu dobândă unitară i. 1. T1 = V0i=d1 2. T2 = V0i=d2 : : n. Tn = V0i+V0=dn+V0 Acest mod de rambursare a unui împrumut este utilizat dacă suma V0 nu este foarte mare. b. Dacă persoana sau întreprinderea care a primit împrumutul caută să-şi creeze suma V0 prin depuneri periodice la o bancă pe baza dobânzilor unitare i1, la sfârşitul celor n ani. Atunci: Presupunem că anuităţile T sunt constante prima fiind depusă la sfârşitul primului an. Anuitatea T se va obţine din relaţia: 1. T1=T’+V0i 2. T2=T’+V0i : n. Tn=T’+V0i Acest mod de rambursare este cunoscut sub denumirea de sistem american. Deci persoana sau întreprinderea care a făcut împrumutul plăteşte atât suma împrumutată cât şi dobânzile după n ani. Suma ce urmează să fie rambursată după n ani este: V0+V0; Qn=V0(1+i)n Pentru pregătirea acestei sume, persoana va plasa la sfârşitul fiecărui an la o bancă o anuitate constanta conform formulei: (23)

T ' = V0

i' i' i' = V0 (1 + i ' ) n = Qn −n n 1 − (1 + i ' ) (1 + i ' ) − 1 (1 + i ' ) n − 1

Aplicaţie. O persoană împrumută suma de 10.000 $ pe care urmează să o ramburseze peste 5 ani împreună cu dobânda calculată cu procent de 4%. Pentru a constitui această sumă persoana depune la sfârşitul fiecărui an o sumă de bani cu procent de 5%. Care este suma pe care o depune? T ' = V0 (1 + i ' ) n

i' 0,05 = 10.000 ⋅ 1,055 = 10.000 ⋅ 1,276 ⋅ 0,185 = 2360,6 $ 1,055 − 1 (1 + i ' ) n − 1

La sfârşitul a 5 ani a depus suma de 11803 $ 5.4.5. Împrumuturi cu amortismente egale Dacă Q1= Q2 =.....= Qn= Q din egalitatea V0= Q1+ Q2 +....+ Qn (5.4.15.) 181

Q=

V0 n

Anuităţile care verifică: Tp+1-Tp=Qp+1-Qp(1+i) (5.4.15.’)

Tp +1 − Tp = şi deci:

T p +1 = T p -

V0 V0 V − (1 + i) = − 0 i n n n

V0 i = T p − Qi n

(5.4.16.)

Tabloul de amortizare a unui împrumut cu amortismente egale este:

d1=V0i d2=V1i : dp=Vp-1i

T1=Q+d1 T2=Q+d2 : Tp=Q+dp

Suma rămasă de plată la sfârşitul anului V1=V0-Q V2=V1-Q : Vp=Vp-1-Q

dn=Vn-1i

Tn=Q+dn

Vn=0

Anii Amortismentele Dobânzi 1 2 : p : n

Q Q : Q : Q

Anuităţi

Aplicaţie. O persoană a împrumutat suma de 25.000$ pe care urmează să o ramburseze în 4 ani cu procentul de 5% prin anuităţi participate cu amortismente egale. Care este tabloul de amortizare? V0=25.000 n=4 ⇒ Q= V1=V0-Q=18750 V2=V1-Q=12500 V3=V2-Q=6250 V4=V3-Q=0 d1=V0i=1250 d2=V1i=875 d3=V2i=625 d4=V3i=425

V0 25.000 = = 6250 n 4

T1=Q+d1=6250+1250=7500 T2=Q+d2=6250+875=7125 T3=Q+d3=6250+518,7=6768,7 T4=Q+d4=6250+180,3=6430,3 182

Tabloul de amortizare va fi: Anii 1 2 3 4

Amortizare Dobânda 6250 6250 6250 6250

1250 875 625 425

Anuitatea 7500 7125 6768,7 6430,3

Suma rămasă de plată la sfârşitul anului 18750 12500 6250 0

Deci Q=V3

183

Probleme propuse Elemente de matematici financiare 1. Un capital de 900.000 u.m. este plasat într-un cont cu rata anuală de 8%. Care este capitalul disponibil peste 4 zile? Dar peste 3 luni? Dar peste 1 semestru? R.

S = 908.000 u.m.;

S = 918.000 u.m.;

S = 936.000 u.m.

2. Ce sumă va ridica o persoană peste 5 ani cu dobândă compusă dacă astăzi depune 500.000 u.m. cu 4%? Care este dobânda obţinută? R. S5 = 608326,4 u.m.

D = 108326,4 u.m.

3. O persoană plasează 150.000 u.m. la fiecare 1 ianuarie începând cu 1 ianuarie 1994, cu rata 5%. De ce sumă dispune la 1 ianuarie 2000, data ultimului vărsământ? R. S7 = 1653960 u.m. 4. Ce sumă va trebui să achite astăzi o persoană pentru a putea scăpa de plata a 10 anuităţi anticipate a 5000 u.m. fiecare cu 3%. R. A10 = 43929,53 u.m. 5. Să considerăm următoarele 3 operaţiuni pe care partenerul P1 le poate face cu partenerul P2: 6.000 u.m. pe 30 zile cu procentul 7% 1000 u.m. pe 60 zile cu procentul 12% 15000 u.m. pe 90 zile cu procentul 8% Presupunem că partenerul P1 ar dori ca: a) cele 3 plasamente să se facă la scadenţele menţionate, dar cu acelaşi procent mediu înlocuitor. b) sumele menţionate să fie plasate cu procentele cuvenite, dar până la o aceeaşi dată, sau scadenţă t. c) dobânda fiecărei operaţiuni şi dobânda totală. d) scadenţa sumei de 10.000 u.m. ce produce o dobândă egală cu suma dobânzilor produse de cele 3 operaţiuni. 184

e) care este suma pe care P1 ar avea-o de plătit dar ar plăti în fiecare an partenerului P2 10.000 cu un procent anual de 5%, timp de 15 ani, dar dacă ar avea de plătit această datorie acum, cât ar fi ea? a) p = 8, 16% b) t = 72, 27 zile c) D1 = 35 u.m.; D2 = 20 u.m.; D3 = 300 u.m. S1 = 6035 u.m. S2 = 1020 u.m. S3 = 15300 u.m. St = 22355 u.m. d) t = 159 zile e) S15 = 215785,6 u.m. A15 = 103796,6 u.m. 6. Care este valoarea finală a sumei de 100.000 u.m. plasată cu dobândă compusă timp de 4 ani şi 5 luni cu rata anuală de 5%? R. Soluţia comercială 124045,42 u.m. Soluţia raţională 124o81,88 u.m. 7. Un împrumut în valoare de 1.000.000 u.m. trebuie rambursat în 5 ani prin anuităţi participate, cu procentul anual de 5%. Să se întocmească tabelul de amortizare în catul în care amortismentele sunt egale. R. Anii

Suma de Dobânda Amortisment Anuitatea Suma rămasă de la începutul anului plată 1.000.000 50.000 200.000 250.000 800.000 800.000 40.000 200.000 240.000 600.000 600.000 30.000 200.000 230.000 400.000 400.000 20.000 200.000 220.000 200.000 200.000 10.000 200.000 210.000 0

1 2 3 4 5

8. Să se întocmească tabelul de amortizare în cazul împrumutului din problema anterioară dacă rambursarea se face prin anuităţi egale. R.

185

Anii 1 2 3 4 5

Suma de la Dobânda Amortisment Anuitatea Suma începutul anului rămasă de plată 1.000.000 50.000 180.975 230.975 819.025 819.025 40.951 190.024 230.975 629.002 629.002 31.450 199.525 230.975 429.477 429.477 21.474 209.501 230.975 219.976 219.976 10.999 219.976 230.975 0

9. O persoană a împrumutat suma de 2.000.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze în 6 ani cu procentul de 7% prin anuităţi participate comportând amortismente egale. Să se întocmească tabelul de amortizare corespunzător. R. Anii 1 2 3 4 5 6

Suma de la Dobânda Amortisment Anuitatea Suma începutul anului rămasă de plată 2.000.000 140.000 333.333 473.333 1.666.667 1.666.667 116.667 333.333 450.000 1.333.333 1.333.333 93.333 333.333 426.667 1.000.000 1.000.000 70.000 333.333 403.333 666.667 666.667 46.667 333.333 380.000 333.333 333.333 23.333 333.333 356.667 0

10. Un împrumut de 2.300.000 este rambursabil în 4 ani prin anuităţi constante cu dobânzile plătibile la începutul anului, procentul fiind de 7%. Să se întocmească tabelul de amortizare corespunzător. Anii 0 1 2 3 4

186

Suma de Dobânda Amortisment Anuitatea la începutul anului 2.300.000 0 161.000 0 2.300.000 514.001 125.020 639.021 1.785.999 552.689 86.332 639.021 1.233.310 594.289 31.951 639.021 639.021 639.021 0 639.021

Suma rămasă de plată 0 1.785.999 1.233.310 639.021 0

BIBLIOGRAFIE

1. Allen, R.G.D. – Analiză matematică pentru economişti, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1972 2. Duda, I. – Analiză matematică, partea I, Ed. Fundaţiei România de Mâine,Bucureşti, 1999 3. Duda, I., Trandafir, R. – Analiză matematică - culegere de probleme, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 1997 4. Duda, I. – Elemente de algebră pentru economişti, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 1999 5. Kaufman, V. – Metode şi modele ale cercetării operaţionale, vol. I şi II, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1967 6. Mihoc, Gh., Nădejde, I. – Programare matematică, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti 7. Mihoc, Gh., Ştefănescu, A. – Programare matematică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973 8. Mihăilă, N., Popescu, O. – Matematici speciale aplicate în economie, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978 9. Oprescu, Gh. – Matematici pentru economişti, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 1996 10. Purceru, I. – Matematici financiare şi decizii în afaceri, Ed. Economică, 1996 11. Popescu, P şi colaboratori – Matematici aplicate în economie, vol. I şi II, Ed. Didactică şi Pedagogică, R.A., Bucureşti, 1996 12. Vladimirescu, I., Vraciu, Gh. – Algebră şi programare liniară, Poligrafia Universităţii Craiova

187

Tehnoredactor: Jeanina DRĂGAN Coperta: Emilia Maria DUDA Bun de tipar: 04.01.2001; Coli tipar: 11,75 Format: 16/70 x 100 Editura şi Tipografia Fundaţiei România de Mâine Splaiul Independenţei nr. 313, Bucureşti, Sector 6, Oficiul Poştal 78 Telefon: 410 43 80; Fax: 411 33 84 www.SpiruHaret.ro 188