Amortizacija Zajma

UNIVERZITET U SARAJEVU EKONOMSKI FAKULTET U SARAJEVU

SEMINARSKI RAD TEMA: AMORTIZACIJA ZAJMA

Mentor: prof.dr. Željko Šain Mr. Jasmina Selimović

Studenti: Arslan Kurtović, br.indeksa 63663 Šadi El Tahhan, br.indeksa 56919

Sarajevo, novembar 2009.

S A D R Ž A J

S A D R Ž A J................................................................................................................2 UVOD..................................................................................................................................3 2. AMORTIZACIJA ZAJMA SA PRIMARNO DATIM OTPLATAMA..........................4 2.1. Konstantno jednake otplate, anuitetski i obračunski periodi jednaki...........................4 2.2. Konstantno jednake otplate, kamata se obračunava češće a efektivno plaća sa otplatom...............................................................................................................................7 2.3. Otplate rastu/opadaju po aritmetičkoj progresiji...........................................................8 2.4. Otplate rastu/opadaju po geometrijskoj progresiji........................................................9 2.5. Kamatna stopa promjenjiva, otplate jednake..............................................................10 3. AMORTIZACIJA ZAJMA PRIMARNO DATIM ANUITETIMA.............................11 3.1. Konstantno jednaki anuiteti, anuiteti se plaćaju dekurzivno......................................11 3.2. Kvantitativni odnosi elemenata amortizacionog plana...............................................12 3.2.1. Izražavanje anuiteta procentom...........................................................................13 3.2.2. Kamatna stopa ne nalazi se u tablicama složenih kamata....................................13 3.3. Konstantno jednaki anuiteti, anuiteti se plaćaju anticipativno....................................14 3.4. Zaokrugljeni anuiteti..................................................................................................15 3.5. Anuiteti konstantno rastu/opadaju po aritmetičkoj progresiji.....................................17 3.6. Anuiteti konstantno rastu/opadaju po geometrijskoj progresiji..................................18 3.6.1. Dekurzivni kamatni faktor i količnik nisu jednaki............................................18 3.6.2. Dekurzivni kamatni faktor i količnik su jednaki..................................................19 3.7. Polugodišnji naizmjenično jednaki anuiteti s polugodišnjim obračunavanjem kamate ............................................................................................................................................19 3.7.1. Zajam se amortizuje sa 2n polugodišnjih naizmjenično jednakih anuiteta.........20 3.7.2. Zajam se amortizuje sa 2n+1 polugodišnjih naizmjenično jednakih anuiteta.....21 3.8. Anuiteti konstantno jednaki; anuitetski period kraći od perioda efektivnog plaćanja kamate................................................................................................................................21 3.9. Anuiteti konstantno jednaki; obračunski period kraći od otplatnog, kamata se efektivno plaća s otplatom.................................................................................................23 L I T E R A T U R A.........................................................................................................25

2

UVOD Finansijska sredstva potrebna za investicije se mogu pribaviti na različite načine. Jedan od njih, veoma karakterističan ne samo za našu privredu, posudba je od ovlaštenih institucija, to jest uzimanje zajma. Kreditni odnosi se uspostavljaju između dužnika i povjerioca, a nastaju kada dužnik, pod ogređenim ugovornim uslovima, od povjerioca uzima određenu sumu novca na zajam. Ovu sumu sa pripadajućom kamatom dužnik povjeriocu vraća u ugovorenom roku kroz određen broj rata. Ugovorne strane odlučuju o tome koje će se odredbe unijeti u ugovor, ali nužno je da se utvrdi sljedeće: • Iznos zajma, • Kada će i na koji način davatelj zajma izvršiti svoje obaveze, • Kamatna stopa za redovnu i zateznu kamatu, i mjere osiguranja od inflacije, • Počet (grace period), odnosno razdoblje nakon kojeg počinje redovno plaćanje zajma, • Način vraćanja i • Rok vraćanja zajma. Kada je ugovor zaključen, kreditor isplaćuje ugovoreni iznos korisniku zajma odjednom ili u obrocima (ratama). Uobičajeno je da se ugovara vraćanje zajma kroz određeni broj godišnjih ili mjesečnih rata čije iznose nazivamo anuitetima. Anuiteti mogu ali ne moraju biti isti u svim otplatnim periodima. Kamata se najčešće otplaćuje zajedno sa glavnicom, ali može se ugovarati i drugačije vraćanje kredita. Vraćanje zajma – kredita, obično se naziva amortizacijom zajma, može se realizovati na više načina. Zajam se može amortizovati jednakim ili nejednakim anuitetima. Dogovorom između dužnika i povjerioca određuje se ne samo broj već i vrsta anuiteta.

3

2. AMORTIZACIJA ZAJMA SA PRIMARNO DATIM OTPLATAMA

2.1. Konstantno jednake otplate, anuitetski i obračunski periodi jednaki Jedan od često korištenih modela otplate zajma promjenjivim anuitetima jest model otplate kod kojeg su otplatne kvote jednake. Navedeni model se zasniva na sljedećim pretpostavkama: 1. obračun kamata je složen i dekurzivan, 2. otplatne kvote su (nominalno) jednake, a anuiteti dospjevaju u jednakim vremenskim jedinicama krajem razdoblja, 3. dužina razdoblja ukamaćivanja jednaka je dužini vremenskog dospjeća između dva sukcesivna anuiteta i iznosi 1, 4. kamatnjak je nepromijenjiv (fiksan) u cijelom razodblju otplate zajma. Budući da se pri amortizaciji zajma osnovni dug K otplaćuje pomoću otplatnih kvota, to znači da ako se primjenjuje model nominalno jednakih otplatnih kvota mora biti:

K = nb

(1)

Na osnovu njega b=

K n

(2)

U slučaju kada se anuitetu polažu dekurzivno, pored otplate koja je ista za svaki period treba izračunati i ostatak duga (R), kamatu (I) i anuitet (a). Ostatak duga je dio duga koji nije isplaćen. Prema tome, prvi ostatak duga (R1), računa se po formuli:

R1 = K − b

(3)

a bilo koji poslije njega (Rm) po formuli:

Rm = Rm − 1 − b

(4)

Kamata se računa od ostatka duga na kraju prethodnog perioda po formuli:

4

Im =

Rm − 1 p = Rm − 1 * i 100

(5)

Na bazi izračunate otplate i izračunate kamate za svaki obračunski period anuitet se računa po formuli:

am = b + Im

(6)

Primjer 1. Zajam od 200 000 n.j. treba amortizovati u toku 4 godine jednakim godišnjim a) dekurzivnim i b) anticipativnim otplatama. Kamata se obračunava po 8% (d) uz godišnji obračun. Treba izraditi amortizacioni plan. a) b =

200000 4

b = 50000 I1 =

Kp 200000 * 8 = = 16000 100 100

a1 = b1 + I 1 = 50000 + 16000 a1 = 66000

R1 = K − b = 200000 − 50000 = 150000 Analogno prethodnom, računamo i elemente za drugu, treću i četvrtu godinu amortizacije. Amortizacioni plan Na kraju godine 0 1. 2. 3. 4. Suma

Dug i ostatak Kamata duga

Otplata

Anuitet

200000 150000 100000 50 000 500 000

5 000 5 000 5 000 5 000 200 000

66 000 62 000 58 000 54 000 240 000

16 000 12 000 8 000 4 000 40 000

5

b) b=

K 200000 = n 4

b = 50000 Prema tome, veličina otplate je ista bez obzira da li se plaća na početku ili na kraju perioda. Međutim, razlika će biti kod računanja kamate u odnosu na slučaj dekurzivnih otplata. Naime u slučaju anticipativnih otplata, prva otplata se plaća u trenutku doznake zajma, pa se prva kamata obračunava na zajma umanjen za prvu otplatu. 1.godina:

R1 = K − b1 R1 = 150000 2.godina (na kraju prve):

I1 =

R1 * p 100

I1 =

150000 100

*

8

I 1 = 12000

a2 = I 1 + b a 2 = 62000 Na analogan način računamo i ostale elemente amortizacionog plana. Amortizacioni plan u KM Na početku Ostatak duga perioda 1. 150 000 2. 100 000 3. 50 000 4. Suma 300 000

Kamata

Otplata

Anuitet

12 000 8 000 4 000 24 000

50 000 50 000 50 000 50 000 200 000

50 000 62 000 58 000 54 000 224 000

6

Iz amortizacionog plana pod a) i b) vidimo da je u slučaju plaćanja otplata na početku perioda dužnik efektivno dobio manji iznos zajma (150 000 u odnosu na 200 000) pa je zato i platio manji iznos ukupne kamate. (24 000 u odnosu na 40 000). Za konačnu kontrolu izrade amortizacionog plana koriste se sljedeća pravila: 1. 2. 3. 4.

zbir otplata mora biti jednak iznosu zajma (Σb=K) posljednji ostatak duga mora biti jednak otplati, (Rn-1=b), zbir anuiteta mora biti jednak zbiru otplata I kamata (Σa=Σb+ΣI), iznos kamate na zbir ostatka duga mora biti jednak iznosu ukupne kamate (ΣR*p/100=ΣI).

2.2. Konstantno jednake otplate, kamata se obračunava češće a efektivno plaća sa otplatom Korisnik i davalac zajma mogu ugovoriti da se u jednom anuitetskom periodu kamata obračunama m puta, ali da se efektivno plati zajedno sa otplatom. Zahvaljujući računjanju kamata na kamatu, obračunski period izjednačava se sa anuitetskim periodom. Tada je anuitet zbir otplate, redovne i kamate na kamatu koja se u ovom slučaju naziva interkalarnom kamatom. Ovaj način amortizacije zajma pogodan je za korisnike čija je djelatnost sezonskog karaktera. Primjer : Zajam od 500 000 treba otplatiti u toku 4 godine jednakim godišnjim dekurzivnim otplatama. Godišnja kamatna stopa je 8%(d). Kamata se obračunama polugodišnje a efektivno plaća godišnje. Izraditi amortizacioni plan. K=500 000 n=4 m=2 p=8%(d) prvo računamo otplatu, b=

K 500000 = n 4

b = 125000 A zatim stopu za interkalarnu kamatu po formuli:

7

ps =

p (1 + III m

m −1 p/m

− m)

(7)

ps = 4(1 + III 41 − 2) = 0,16 Amortizacioni plan u KM Na kraju godine 0 1 2 3 4 K.k.

Dug i ostatak duga 500000 375000 250000 125000 1251000

Redovna

Kamata 8%(d) Interkalarna Ukupno

Otplata

Anuitet

40000 30000 20000 10000

800 600 400 200

40800 30600 20400 10200

125000 125000 125000 125000

165800 155600 145400 125200

100000

2000

102000

500000

602000

Konačna kontrola: a) zbir otplata jednak je iznosu zajma , b) posljednji ostatak duga jednak je otplati, c) kamata na zbir ostatka duga jednaka je zbiru kamata: redovna 12 500*8=100 000 interkalarna 12 500*0,16=2 000 ukupna 12 500*8,16=102000 d) zbir anuiteta jednak je zbiru otplata uvećan za ukupnu kamatu: 500 000 + 102 000 = 600 000. e) zbir redovnih i interkalarnih kamata jednak je ukupnoj kamati 100 000 + 2000 = 102 000.

2.3. Otplate rastu/opadaju po aritmetičkoj progresiji Otplate rastu/opadaju po aritmetičkoj progresiji kada razlika između dvije vremenski sukcesivne otplate neprekidno ostaju iste. Zasnivajući kvantitativne odnose na ovoj razlici, koju ćemo obilježiti sa d, svaka se otplata može izraziti pomoću prve ili posljednje.

b1 = b1

b 2 = b1 + − d b3 = b1 + − 2d

= bn − + ( n − 1) d

= bn − + ( n − 2)d = bn − + ( n − 3) d

... 8

bn − 2 = b1 + − (n − 3)d = bn − + 2d bn − 1 = b1 + − (n − 2)d = bn − + d bn = b1 + − (n − 1)d = bn Kako je zajam zbir svih otplata, na osnovu ovih elemenata možemo postaviti dvije jednačine za K, njihovim sabiranjem dobijamo: K=

n (b1 + bn ) 2

Kako je K=

(8)

bn = b1 + − (n − 1)d , smjenom dobijamo,

n (2b1 + − (n −1) d 2

(9)

što je jednačina kojom možemo izračunati iznos zajma. Postupnim rješavanjem ove jednačine po b1, dobijamo jednačinu za računanje prve otplate b1 b1 =

K n

−

+

( n −1) d 2

(10)

2.4. Otplate rastu/opadaju po geometrijskoj progresiji Može se govoriti da se zajam amortizuje otplatama koje rastu/opadaju po geometrijskoj progresiji ako u toku amortizacije količnik između dvije vremenski sukcesivne otplate ostaje isti. Ako se količnik obilježava sa q onda je b2=b1*q, b3=b2*q ...bm=bm-1*q. Jednačina pomoću koje se može izračunati iznos zajma: q>1 K = b1 * (

q n −1 ) q −1

(11)

1 − qn ) 1 −q

(12)

q<1 K = b1 * (

9

Kada je rast otplata izražen stopom koja se nalazi u tablicama složenih kamata, tada se iznos zajma i prva otplata mogu računati pomoću tablica složenih kamata. Ako se stopa obilježi sa s, za otplate koje rastu važi jednačina: K = b1 + b1 * I s1 + b1 * I s2 + ... + b1 I sn −1

Zahvaljujući tome što je tada q = 1 +

K = b1 * (1 + I I snI− 1 )

s dobijamo formulu: 100

(13)

Međutim kada otplate opadaju treba računati sa drugom tablicom složenih kamata i sa stopom s anticipativno (sa), pa je u tom slučaju: q =1 −

s 100

na osnovu toga dobijamo formulu:

K = b1 * (1 + I Vsna− 1 )

(14)

2.5. Kamatna stopa promjenjiva, otplate jednake U ugovoru o zajmu može se predvidjeti promjenjiva kamatna stopa. Ona može biti konstantno promjenjiva ili promjenjiva u serijama anuitetskih perioda. Ugovaranje promjenjive stope može se objašnjavati željom ugovornih strana da se dužniku olakšaju obaveze primjenom niže stope za određeno vrijeme ili njihovom spremnošću da se kamatna stopa prilagođava prilikama na tržištu. Promjena fiksno utvrđenih stopa može se izvesti prema nekom matematičkom zakonu ili na neki drugi način. Ako se očekuju češće promjene stopa na tržištu može se ugovoriti samo način na koji će se formirati stopa za konkretni obračunski period. Jasno je da se tada ne može izraditi potpun plan amortizacije zajma.

10

3. AMORTIZACIJA ZAJMA PRIMARNO DATIM ANUITETIMA Zajednička karakteristika ovih modela amortizacije je u tome što se izrada amortizacionog plana počinje izračunavanjem anuiteta. Na ovom se mjestu obrađuje amortizacija zajma na koji se kamata plaća dekurzivno. Međutim, anuiteti se mogu plaćati dekurzivno ili anticipativno.

3.1. Konstantno jednaki anuiteti, anuiteti se plaćaju dekurzivno O konstantno jednakim anuitetima može se govoriti ako su svi anuiteti u amortizacionom periodu jednaki. To znači da je a1=a2=...=an=a. Algebarski obrazac za izračunavanje iznosa zajma: K =a

r n −1 r n ( r − 1)

(15)

Ili preko tablica složenih kamata: K = a * IV pn

(16)

Na osnovu jednačine (15), rješavanjem po a dobijamo algebarski izraz za izračunavanje anuiteta:

r n (r − 1) a=K n r −1

(17)

Obrazac za računanje anuiteta zasnovan na tablicama složenih kamata može se izvesti i iz obrasca (16):

K = a * IVnp a =K

*

1 IV pn

a = K * V pn

(18)

Ovaj se odnos svodi na izmjenu pravnog statusa ugovornih strana. Ako banka na primjer primi uplatu za rentu, ona je, kao dužnik, obavezna da isplati primljeni iznos, zajedno sa kamatom, u obliku renti, a ako odobri zajam, ona će, kao povjerilac, primiti 11

zajam, zajedno sa kamatom, u obliku anuiteta. U ovom su slučaju anuiteti iste veličine suprotnog pravca kretanja.

3.2. Kvantitativni odnosi elemenata amortizacionog plana Utvrđivanjem kvantitativnih elemenata plana dobijamo opšta rješenja koja možemo koristiti u tekućoj kontroli i za direktno utvrđivanje stanja određenog roka ne koristeći plan. Budući da je zajam diskontovana vrijednost svih anuiteta na dan doznake zajma (period O) ostatak duga (Rm) je diskontovana vrijednost na njegov rok. Kada se utvrđuje ostatak duga na dan uplate m-te otplate, odnosno na dan uplate m-tog anuiteta, onda su to ovi anuiteti: m+1, m+2, m+3,...n-2, n-1, n (gdje je m
r n −m −1 r n −m ( r −1)

(19)

Ili preko tablica složenih kamata: Rm = a * IV pn −m

(20)

Suma položenih otplata, odnosno iznosa otplaćenog duga, u trenutku uplate m-te otplate (Om) može se predstaviti jednačinom: Om= K - Rm Ili Om = a * IV pn − a * IV pn −m Om = a * ( IV pn − IV pn −m )

(21)

Otplatu možemo dobiti na osnovu jednačine:

bm = b1 * r m − 1 bm = b1 * I pm −1

(22) (22a)

Zato što je posljednja otplata (bn) jednaka posljednjem ostatku duga, kamata za posljednji period je: 12

I n = Rn −1 * i = bn * i

Anuitet možemo izraziti relacijom:

ili

a = b1 * r n

(23)

a = b1 * I pn

(24)

3.2.1. Izražavanje anuiteta procentom Anuitet se može izraziti procentom od iznosa zajma. Pošto se u tom slučaju zajam uzima kao osnovni iznos (G), anuitet je procentni iznos (P).

p * rn p` = n r −1 `

(25)

kada ovaj razlomak skratimo sa rn dobijamo: p`=

p 1−

1 r`

(26)

Odnosno: p`=

p 1 − II pn

(27)

3.2.2. Kamatna stopa ne nalazi se u tablicama složenih kamata Iako se može konstatovati da su tablice složenih kamata, po pravilu, izrađene za normalne potrebe prakse, ipak se ne može isključiti iz razmatranja ni pretpostavka da davalac i korisnik zajma mogu zaključiti ugovor po stopi koje nema u tablicama. U tom slučaju može se raditi na više načina: 1. pomoću algebarske formule i logaritama 13

2. pomoću prethodno izračunatog faktora prema algebarskom izrazu tablice i 3. linearnom interpolacijom. Kada se koristi algebarska formula i logaritmi, na rad nema nikakvog uticaja činjenica da konkretne stope nema u tablicama složenih kamata. No, ne treba zaboraviti da će manji broj cifara u logaritamskim tablicama imati uticaja na stepen tačnosti rezultata. Pošto se linearnom interpolacijom dobija, također, približno tačan rezultat, najkorektnije će se postupiti ako se radi pomoću pripremljenog faktora. Primjer: Zajam od 100000 KM treba amortizovati za 10 godina jednakim godišnjim anuitetima. Anuitet se plaća krajem godine. Kamata se obračunava i plaća godišnje po stopi 6,75%(d). Koliki je anuitet? Anuitet se računa po obrascu:

a = K * Vnp r n ( r − 1) r n −1 1,0675 10 (1,0675 − 1) = 1,0675 10 − 1 = 0,1407366154

V pn = V610, 75 V610, 75

a = 100000 * 0,1407367 = 14073 ,66154

3.3. Konstantno jednaki anuiteti, anuiteti se plaćaju anticipativno Kada se anuiteti plaćaju anticipativno pri dekurzivnom računanju kamate, prvi anuitet se plaća u momentu doznake zajma i upotrebljava isključivo za otplatu. Dakle, zajam je zbir prvog i diskontovane vrijednosti ostalih anuiteta. To se može izraziti jednačinom:

14

K = a + av + av 2 + av 3 + ... + av n −2 + av n −1 odnosno K = a (1 + v + v + v + ... + v 2

3

n −2

+v

n −1

(28)

)

r ( r n − 1) K =a n r ( r − 1)

(29)

Ako ovu jednačinu izrazimo preko druge tablice složenih kamata i izvučemo faktor a dobijamo jednačinu: K = a (1 + II 1p + II p2 + II p3 + ... + II pn −2 + II pn−1 )

a to je: K = a (1 + IV pn −1 )

(30)

Rješavanjem jednačina (29) i (30) po a, dobija se: a=K

r n ( r − 1) r ( r n − 1)

(31)

odnosno a=

K 1 + IV pn −1

(32)

3.4. Zaokrugljeni anuiteti Zajmovi se amortizuju anuitetima u zaokrugljenom iznosu. Stepen zaokrugljivanja zavisi, u prvom redu, od vrijednosti valutne jedinice. Zaokrugljivanje anuiteta nalažu razlozi administracije zajma kako bi se što jednostavnije vršili obračuni i plaćanje ili, pak, razlozi finansijske prirode kada korisnik zajma ističe koliki anuitet može prihvatiti. Taj se cilj može ostvariti na više načina: • Anuitet se izražava postotkom kojim se obezbjeđuje željeni stepen zaokrugljivanja, • Neposrednim isticanjem iznosa anuiteta i • Ugovaranjem kako treba zaokrugliti anuitet koji se dobije primjenom V tablice složenih kamata. 15

Zbog karakteristike anuiteta u ovom modelu amortizacije, jednačina za K ima oblik:

K = av + av 2 + av 3 + ... + av n −2 +av n−1 + a1v n Na osnovu koje je K preko tablica složenih kamata: K = aIV pn −1 + a1 II pn

(33)

Anuitetni ostatak možemo računati pomoću obrasca: a1 = KI pn − aIII

n −1 p

(34)

Otplatu iz posljednjeg amortizacionog plana možemo računati pomoću obrasca: bm =b1 I pm −1

(35)

a iznos otplaćenog duga u trenutku uplate anuiteta po obrascu: Om = b1 (1 + III

m −1 p

)

(36)

Zahvaljujući tome, iznos zajma se može izraziti preko otplata b, jednačinom: K = b1 (1 + III pn −2 ) + bn

(37)

Ako je: Rn −1 = bn

Anuitetni ostatak, kao zbir posljedne otplate i kamate na posljednji ostatak duga, mora biti: a1 = bn + bn i = bn (1 + i ) a1 = bn r = bn I 1p

Prema tome, ako je poznat anuitetni ostatak, onda je: bn = a1 II 1p

Ako u jednačinu (37) uvrstimo bn na osnovu posljednje jednačine, dobijamo: K = b1 (1 + III pn −2 ) + a1 II 1p

(38) 16

Utvrđeno je da se ostatak duga kod knstantno jednakih anuiteta može izračunati po obrascu: Rm = aIV pn −m

(39)

U amortizaciji zaokrugljenim anuitetima treba uvažiti dvije činjenice: • Da je broj jednakih anuiteta n-1 i • Da postoji anuitetni ostatak koji ulazi u ostatak duga sadržanom otplatom. Zato je ostatak duga kada se zajam amortizuje zaokrugljenim anuitetima: Rm = aIV pn −m −1 + a1 II pn −m

(40)

3.5. Anuiteti konstantno rastu/opadaju po aritmetičkoj progresiji Zajam se amortizuje anuitetima koji konstantno rastu/opadaju po aritmetičkoj progresiji ako je razlika između dva vremenski sukcesivna anuiteta neprekidno ista. Iznos zajma koji se amortizuje dekurzivnim anuitetima može se izračunati iz jednačine: K = a1 IV pn

+

100 d ( IV pn − nII pn ) p

(41)

Iz ove jednačine može se računati: a1 = KV pn

+

100 d p

p   1 − n(V pn − )  100   

(42)

Ukupan broj anuiteta obilježen je sa n. Ako se broj plaćenih anuiteta obilježi sa m, onda je n – m broj anuiteta kojim treba amortizovati ostatak duga po uplati m-tog anuiteta (am). Od tih anuiteta prvi je po redu dospijevanja anuitet m + 1 (a m+1). Iz izloženog pregleda kretanja anuiteta se vidi da je:

am+ 1 = a1 + m d a +md

Zamjenom u jednačini K veličine a1 sa am+1, odnosno sa ( 1 ), a veličine n sa n–m, dobiće se jednačina pomoću koje se računa ostatak duga (Rm), a i ostale veličine, jer je ostatak duga, u stvari, dug koji se amortizuje sa n – m anuiteta koji rastu/opadaji po aritmetičkoj progresiji:

17

Rm = (a1 + md ) IV pn −m

+

100 d [IV pn−m − (n − m) II pn−m ] p

(43)

3.6. Anuiteti konstantno rastu/opadaju po geometrijskoj progresiji Amortizacija zajma anuitetima koji konstantno rastu/opadaju po geometrijskoj progresiji je model amortizacije karakterističan po tome što je količnik (q) dva vremenski sukcesivna anuiteta neprekidno isti. Pogodan način izražavanja rasta anuiteta jeste izražavanje procentnom stopom (s). Tada je: q =1 +

s 100

Svaki anuitet (am) može se izraziti pomoću prethodnog i faktora q po obrascu: a m = a m −1 q

(44)

ili pomoću prvog anuiteta (a1) i ovog faktora po obrascu:

a m = a1 q m −1

(45)

Kamatna stopa i stopa rasta mogu biti različite ili jednake. Kada su stope jednake (s% = p%), jednaki su, za anuitete koji rastu, dekurzivni kamatni faktor i količnik (r = q). Zbog toga ove slučajeve treba posebno posmatrati.

3.6.1. Dekurzivni kamatni faktor i količnik nisu jednaki Zamjenjujući R1 sa a1, može se direktno dati obrazac za izračunavanje iznosa zajma: r n − qn K = a1 n za r > q i r (r − q) K = a1

qn − r n za r < q r n (q − r )

(46)

Pomoću ovog obrasca mogu se računati i druge veličine: r n (r − q) a1 = K n za r > q i r − qn

18

a1 = K

r n (q − r ) za r < q qn − r n

(47)

Ostatak duga se može računati po obrascu: Rm = a1 q m

r n −m − q n −m za r > q i r n −m ( r − q )

Rm = a1 q m

q n −m − r n −m za r < q r n −m (q − r )

(48)

3.6.2. Dekurzivni kamatni faktor i količnik su jednaki Poslije zamjene veličine R1 sa a1 dobija se obrazac za izračunavanje iznosa zajma: K = n * a1 II 1p

(49)

a iz ovog, obrazac za izračunavanje prvog anuiteta: a1 =

K 1 Ip n

(50)

Ostatak duga se može računati po obrascu: Rm = ( n − m)a1 * q m II 1p

(51)

3.7. Polugodišnji naizmjenično jednaki anuiteti s polugodišnjim obračunavanjem kamate Statistički podaci o kretanju ukupnog prihoda po polugodištima pokazuju da je veoma veliki broj osnovnih organizacija udruženog rada, i to ne samo onih čija je djelatnost sezonskog karaktera, koje imaju osjetno neujednačen prihod po polugodištima. Za ove radne organizacije bio bi prihvatljiv model amortizacije zajma naizmjenično jednakim polugodišnjim anuitetima. Njegova je suština u tome da se javlja u svakoj godini jedan anuitet od a i jedan od aq valutnih jedinica. Podešavanjem faktora q, koji može biti veći ili manji od 1, prema finansijskim mogućnostima korisnika zajma postiglo bi se da njegove obaveze za njega budu snošljive. Odnos anuiteta može biti izražen i tako da je prvi anuitet a, a drugi a = d jedinica. Ovu mogućnost ne moramo posebno proučavati. Može se jedino imati na umu da je moguće izvršiti transformaciju pomoću jednačine: a = d = aq

19

iz koje je

a+d q= a Zajam se može amortizovati sa 2 n ili sa 2 n + 1 anuiteta. U prvom se slučaju amortizacija izvršava sa n anuiteta po aq, a u drugom sa n + 1 anuiteta po a i n anuiteta po aq jedinica. Ova se činjenica odražava na matematička rješenja zbog čega ćemo svaku varijantu posebno raspraviti.

3.7.1. Zajam se amortizuje sa 2n polugodišnjih naizmjenično jednakih anuiteta Pošto je zajam zbir diskontovanih vrijednosti svih anuiteta, sada je moguće postaviti jednačinu: K = a (v + v 3 + v 5 + ... + v 2 n −5 + v 2 n −3 + v 2 n −1 ) + aq (v 2 + v 4 + ... + v 2 n −4 + v 2 n −2 + v 2 n )

ili K = aS 1 + aqS 2

Gdje je:

S1 =

v(1 − v 2 n ) 1 − v2

v 2 (1 − v 2 n ) S2 = 1 − v2 Tako da je: v(1 − v 2 n ) v 2 (1 − v 2 n ) K =a + aq 1 − v2 1 − v2

(53)

ili K =a

r 2n −1 (r + q ) r 2 n ( r 2 − 1)

(54)

Algebarski obrazac se može transformisati u obrazac zasnovan na tablicama složenih kamata. Za ostvarinanje tog cilja dovoljno je razlomak proširiti sa r – 1 i poslije toga izvršiti svrsishodnu pregrupaciju: 20

K=a

r 2n − 1 r − 1 * (r + q) r 2 n (r 2 − 1) r − 1

K=a

r 2n − 1 r − 1 * (r + q) r 2 n (r − 1) r 2 − 1

K = aIV p2/n2 (V p2/ 2 − i )( r + q )

(55)

Iz ove jednačine dobijamo jednačinu za a: K 2n 1 K 2n Vp / 2 * 2n = V p / 2 (1 + III 1p ) r+q Vp / 2 − i r + q odnosno: a=

a =KV

2n p/2

*

r −1 r +q

(56)

3.7.2. Zajam se amortizuje sa 2n+1 polugodišnjih naizmjenično jednakih anuiteta Pošto je zajam diskontovana vrijednost anuiteta imamo jednačinu:

 r (r 2 n+ 2 − 1) r 2n − 1  K = a  2 n −2 2 + q 2n 2 r (r − 1)   r (r − 1)

(57)

ili K = a (V p2/ 2 − i )( rIV p2/n2+2 + qIV p2/n2 )

(58)

Rješavanjem jednačine po a, dobija se: a = K (1 + r )( rIV p2/n2+2 + qIV p2/n2 )

(59)

3.8. Anuiteti konstantno jednaki; anuitetski period kraći od perioda efektivnog plaćanja kamate Ovaj model amortizacije podrazumijeva da anuitetski period i period efektivnog plaćanja kamate nisu jednaki. U toku perioda efektivnog plaćanja kamate polažu se dva 21

ili više anuiteta. Zbog ove osobine ovakvi anuiteti se često u literaturi nazivaju ispodgodišnjim ili parcijalnim anuitetima. Nepodudarnost perioda se može neutralisati primjenom ekvivalentne kamatne stope. Pošto se kamata efektivno plaća rijeđe, samo se posljednji anuitet iz jednog perioda plaćanja kamate koristi za otplatu i kamatu, dok se svi ostali koriste za otplatu. Ovaj model je pogodan za amortizaciju zajmova za stambenu izgradnju koji se otplaćuju mjesečno iz ličnog dohotka dužnika. Pošto se lični dohodak prima na kraju mjeseca, za dužnika je povoljniji dekurzivni anuitet. Obrazac za izračunavanje iznosa zajma koji se amortizuje dekurzivnim anuitetima glasi: p( m − 1)  n  K = a m + IV p 200  

(60)

m – broj anuiteta u periodu efektivnog plaćanja kamate, n – broj perioda u toku kojih se plaća kamata. Obrazac za izračunavanje anuiteta: KV pn a= p (m − 1)   m + 200 

(61)

Primjer: Zajam od 300 000 KM treba amortizovati za 3 godine jednakim tromjesečnim anuitetima koji dospjevaju krajem tromjesečja. Godišnja kamatna stopa je 6%(d). Kamata se računa tromjesečno pomoću relativne stope, a dospijeva za plaćanje na kraju godine. Izraditi plan amortizacije. K=300 000KM n=3 m=4 p=6%:4=1,5% a=

a=

KV pn p (m − 1)   m + 200  300000 * V63 = 27440 ,818 6*3 (4 + ) 200

Amortizacioni plan

22

0

1

2

3 K.K.

Na kraju perioda n m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Dug i ostatak duga 300 000,00 272 559,18 245 118,36 217 677,54 205 767,05 178 326,23 150 885,41 123 444,59 105 880,12 78 439,30 50 998,48 23 557,66 1 653,92

952

Kamata, 1,5% Tromjesečna Godišnja 4 500,00 4 088,39 3 676,78 3 265,16 3 086,51 2 674,89 2 263,28 1 851,67 1 588,20 1 176,59 764,98 353,39

15 530,33

9 876,35

3 883,16 29 289,84

a=27 440,82 Otplata 27 440,82 27 440,82 27 440,82 11 910,49 27 440,82 27 440,82 27 440,82 17 564,47 27 440,82 27 440,82 27 440,82 23 557,66 300 000,00

3.9. Anuiteti konstantno jednaki; obračunski period kraći od otplatnog, kamata se efektivno plaća s otplatom Zajam se amortizuje sa n otplata koje sa kamatom formiraju n jednakih dekurzivnih anuiteta. U toku jednog otplatnog perioda kamata se obračunava i dospijeva m puta, što znači da je broj obračunskih perioda u amortizacionom ciklusu mn. U ovom modelu amortizacije svaka se kamata ne plaća o svom roku. Kamate se plaćaju na dan roka otplate, tako da se jedino m-ta kamata plaća na dan svog dospijeća. Na dospijele a neisplaćene kamate plaća se kamata, pa zbog toga se u anuitetu pojavljuje, pored otplate i proste kamate, i interkalarna kamata. Ovaj model odgovara jednakoj dekurzivnoj renti čije su isplate rijeđe od obračunavanja kamate. Zbog ove osobine, obrazac za izračunavanje iznosa zajma: K =a

r mn − 1 r mn ( r m − 1)

(62)

ili pomoću tablica složenih kamata: K = aIV pmn/ m (V pm/ m −

i ) m

(63)

23

Algebarski obrazac za izračunavanje anuiteta dobija se riješavanjem prethodnih jednačina po a:

a=K

r mn (r m − 1) r mn − 1

(64)

ili pomoću tablica složenih kamata: a=

K i ) m

(65)

a = KV pmn/ m (1 + III pm/−m1 )

(66)

IV pmn/ m (V pm/ m −

ili

Kamata se može računati pomoću efektivne kamatne stope za anuitetski period koja se može računati po sljedećem obrascu: ps =

p (1 + III m

m −1 p/m

)

(67)

Interkalarna kamata se računa po sljedećem obrascu: pi =

p (1 + III pm/−m1 − m) m

(68)

Ostatak duga (Rk), kao diskontovana vrijednost nedospjelih anuiteta, može se izračunati po obrascu: Rk = aIV pmn/ m−km (V pm/ m −

i ) m

(69)

Primjer: Zajam od 400 000 KM treba amortizovati za 4 godine dekurzivno jednakim godišnjim anuitetima. Godišnja kamatna stopa je 8%(d). Kamata se obračunava polugodišnje pomoću relativne polugodišnje stope, a efektivno plaća na kraju godine. Izraditi amortizacioni plan. K=400 000KM, n=4, m=2, p=8%:2=4%(d) a = KV pmn/ m (1 + III pm/−m1 ) a = 400000 V48 (1 + III 41 ) = 121198 ,71

Amortizacioni plan a=121198,71 KM 24

Na kraju godine

Dug i ostatak duga

0 1 2 3 4 K.K.

400 000,00 311 441,29 215 656,19 112 055,03

a) b) c) d) e) f)

1 039 152,51

Kamata Redovna 8% 32 000,00 24 915,30 17 252,50 8 964,40 83 132,20

Otplata Interkalarna 2%

Ukupno

640,00 498,31 345,05 179,28 1662,64

32 640,00 25 413,61 17 597,55 9 143,68 84 794,84

88 558,71 95 785,10 103 601,16 112 055,03 400 000,00

zbir otplata jednak iznosu zajma, posljednja otplata jednaka posljednjem ostatku duga, zbir redovne kamate jednak kamati na zbir ostataka duga, zbir interkalarne kamate jednak kamati na zbir redovne kamate, zbir redovne i interkalarne kamate jednak zbiru ukupne kamate, zbir ukupne kamate i otplata jednak proizvodu anuiteta i broja anuiteta.

LITERATURA

Branko Trklja, Finansijska matematika, treće izdanje, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Izdavačka djelatnost, 2008. Adnan Rovčanin, Upravljanje finansijama, treće izdanje, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Izdavačka djelatnost, 2006.

25