Alturas Y Ortocentro

Problema de Geometría Analítica Encontrar las ecuaciones de las alturas y el ortocentro de un triángulo acutángulo cuyos vértices son: A (-1,-4); B (3,2) y C (-5,6).

Solución Analítica Primero se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice A (-1,-4). Se necesita calcular la pendiente de la recta que une los puntos B (3,2) y C (-5,6). m BC=

1 6-2 4 = =2 -5-3 -8

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos B (3,2) y C (-5,6) es: m 1= 2 Conocido el punto A (-1,-4) y la pendiente m 1= 2 se obtiene una ecuación de la altura. y + 4 = 2 (x + 1) y + 4 = 2x + 2 2x -y -2 = 0

Primera ecuación de altura

Segundo se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice B (3,2). Se necesita calcular la pendiente de la recta que une los puntos A (-1,-4) y C (-5,6). m AC=

5 6 + 4 10 = =2 - 5 +1 - 4

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos A (-1,-4) y C (-5,6) es: m 2=

2 5

Conocido el punto B (3,2) y la pendiente m 2= 2 5

y–2=

2 se obtiene una ecuación de la altura. 5

( ) x -3

5(y – 2) = 2(x -3) 5y - 10 = 2x - 6 2x - 5y + 4 = 0

Segunda ecuación de altura

Tercero se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice C (-5,6). Se necesita calcular la pendiente de la recta que une los puntos A (-1,-4) y B (3,2). m AB=

2+4 6 3 = = 3 +1 4 2

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos A (-1,-4) y B (3,2) es: m 3= -

2 3

Conocido el punto C (-5,6) y la pendiente m 3= -

y –6= -

2 3

2 se obtiene una ecuación de la altura. 3

( ) x +5

-3(y –6) = 2(x +5) -3y+18 = 2x + 10 2x + 3y - 8 = 0

Tercera ecuación de altura

Se tiene un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, lo resolvemos para obtener el ortocentro. De la primera ecuación de altura y = 2x – 2 se despeja “y”. Se reemplaza el valor de y = 2x – 2 en la segunda ecuación para obtener “x”: 2x – 5y + 4 = 0 2x – 5(2x – 2) + 4 = 0 2x – 10x + 10 + 4 = 0 -8x + 14 = 0 -8x = -14 x=

7 4

7 calcular el valor de “y” reemplazando en tercera ecuación de altura 4 para obtener el ortocentro:

Conocido el valor de x = 2x + 3y - 8 = 0

2

() 7 4

+ 3y – 8 = 0

7 + 3y – 8 = 0 2

3y = 8 3y = y=

7 2

9 2

3 2

El ortocentro se encuentra en el punto

( ) 7 3 , 4 2

.

Problema de Geometría Analítica Encontrar las ecuaciones de las alturas y el ortocentro de un triángulo obtusángulo cuyos vértices son: G (-4,3); H

( ) (- ) 1 ,3 2

12 9 , 5 2

y J

Solución Analítica Primero se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice G (-4,3). Se necesita calcular la pendiente de la recta que une los puntos H

( ) (- ) 1 ,3 2

y J

12 9 , 5 2

.

9 3 -3 30 15 m HJ= 2 = 2 ==12 1 29 58 29 5 2 10

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos H

( ) (- ) 1 ,3 2

y J

12 9 , 5 2

es: m 1=

29 15

Conocido el punto G (-4,3) y la pendiente m 1= y–3=

29 se obtiene una ecuación de la altura. 15

29 (x + 4) 15

15(y – 3) = 29(x + 4) 15y – 45 = 29x + 116 29x -15y + 161 = 0

Primera ecuación de altura

Segundo se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice H

la pendiente de la recta que une los puntos G (-4,3) y J

(-

( ) )

12 9 , 5 2

1 ,3 2

.

. Se necesita calcular

3 9 -3 15 m GJ= 2 = 2 = 12 8 16 +4 5 5

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos G (-4,3) y J m 2= -

(- ) 12 9 , 5 2

es:

16 15

( ) ( ) ( ) 1 ,3 2

Conocido el punto H

y–3= -

16 15

x-

y la pendiente m 2= -

16 se obtiene una ecuación de la altura. 15

1 2

-15(y – 3) = 16 x -

1 2

-15y + 45 = 16x - 8 16x + 15y - 53 = 0

Segunda ecuación de altura

(- ) ( ) 12 9 , 5 2

Tercero se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice J

la pendiente de la recta que une los puntos G (-4,3) y H m GH=

1 ,3 2

.

3-3 0 = =0 1 9 +4 2 2

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos G (-4,3) y H m 3= -

. Se necesita calcular

( ) 1 ,3 2

es:

1 0

Conocido el punto J

(- ) 12 9 , 5 2

y la pendiente m 3= -

1 se obtiene una ecuación de la altura. 0

( ) ( ) ( )

y–

9 1 =2 0

0

y–

9 2

0 = -x x=-

x+

12 5

= -1 x +

12 5

12 5

12 5

Tercera ecuación de altura

12 calcular el valor de “y” reemplazando en la primera o en la 5 segunda ecuación de altura para obtener el ortocentro:

Conocido el valor de x = 16x + 15y - 53 = 0

( )

16 -

12 5

+ 15y – 53 = 0

192 + 15y – 53 = 0 5

15y = y=

457 5

457 75

El ortocentro se encuentra en el punto

(

-

12 457 , 5 75

)

.

Problema de Geometría Analítica Encontrar las ecuaciones de las alturas y el ortocentro de un triángulo rectángulo cuyos vértices son: D (-4,2); E

( ) 13 ,2 3

y F (-1,6).

Solución Analítica Primero se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice D (-4,2). Se necesita calcular la pendiente de la recta que une los puntos E

( ) 13 ,2 3

y F (-1,6).

4 12 3 6-2 4 m EF= = =- 1 ==13 16 16 16 4 - 13 3 3

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos E m 1=

( ) 13 ,2 3

y F (-1,6) es:

4 3

Conocido el punto D (-4,2) y la pendiente m 1= y–2=

4 (x + 4) 3

3(y – 2) = 4(x + 4) 3y – 6 = 4x + 16 4x -3y + 22 = 0

Primera ecuación de altura

4 se obtiene una ecuación de la altura. 3

Segundo se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice E

( ) 13 ,2 3

. Se necesita calcular

la pendiente de la recta que une los puntos D (-4,2) y F (-1,6). m DF=

6-2 4 = - 1+ 4 3

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos D (-4,2) y F (-1,6)es: m 2= -

3 4

( ) ( ) ( )

Conocido el punto E

y–2= -

3 4

x-

13 ,2 3

y la pendiente m 2= -

3 se obtiene una ecuación de la altura. 4

13 3

-4(y – 2) = 3 x -

13 3

-4y + 8 = 3x -13 3x + 4y - 21 = 0

Segunda ecuación de altura

Tercero se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice F (-1,6). Se necesita calcular la pendiente de la recta que une los puntos D (-4,2) y E m DE=

( ) 13 ,2 3

.

2-2 0 = =0 13 25 +4 3 2

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos D (-4,2) y E m 3= -

( ) 13 ,2 3

es:

1 0

Conocido el punto F (-1,6) y la pendiente m 3= -

y – 6= -

1 0

( ) x+1

1 se obtiene una ecuación de la altura. 0

0(y –6 ) = -1(x +1) 0 = -x - 1 x = -1

Tercera ecuación de altura

Conocido el valor de x = -1 calcular el valor de “y” reemplazando en la primera o en la segunda ecuación de altura para obtener el ortocentro: 3x + 4y - 21 = 0 3(-1) + 4y – 21 = 0 -3 + 4y – 21 = 0 4y = 24 y=6 El ortocentro se encuentra en el punto (-1,6).