Alter Nee

Les s´eries num´eriques S´eries altern´ees- th´eor`eme d’ABEL Quelques exercices corrig´es Jean-Luc EVENO 9 septembre 2005 Exercice 1 : Z

(n+1)π

e−x sin x dx est une s´ erie altern´ ee

1. Montrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral un = nπ

En puisant dans vos souvenirs de calcul int´egral, on effectue un changement de variables. du Lequel ? Celui ci est tr`es simple : u = x − nπ, et alors = 1, et nous avons : dx Z (n+1)π Z π −x un = e sin x dx = e−(u+nπ) sin (u + nπ) du nπ

0

n

Or, sin (u + nπ) = (−1) sin u et e−(u+nπ) = e−nπ e−u , de telle sorte que Z π n un = (−1) e−nπ e−u sin u du 0

Comme e−nπ > 0 et que, pour 0 6 u 6 π, sin u > 0, nous avons bien un qui est le terme g´en´eral d’une s´erie altern´ee. 2. Exprimer un en fonction de u0 Z π n −nπ La question ci-dessus montre que un = (−1) e u0 , o` u u0 = e−x sin x dx 0 X 3. En d´ eduire un Clairement,

n>0 X X un est une s´erie g´eom´etrique ; sa somme est donc : un = n>0

n>0

u0 ; il faut donc 1 + e−π

calculer u0 , et comment le calculons nous ? En effectuant une classique int´egration par parties.  u = e−x u0 = −e−x 0 v = sin x v = − cos x D’o` u  π u0 = − cos xe−x 0 −

Z

π

e−x cos x dx = 1 + e−π −

0

Z

π

e−x cos x dx

0

Nous faisons une seconde int´egration par parties :  u = e−x u0 = −e−x v 0 = cos x v = sin x D’o` u, Z

π −x

e 0

 π cos x dx = e−x sin x 0 +

Z

π

e−x sin x dx = u0

0

de telle sorte que : u0 = 1 + e−π − u0 , et on trouve que u0 =

X 1 + e−π 1 un = ; ainsi, 2 2 n>0

1

Exercice 2 : Etudier les s´ eries suivantes ; Sont-elles altern´ ees ? Convergent-elles absolument ?   +∞ X 1 n (−1) tan 1. n n=1 (a) Est-ce une s´erie altern´ee ? π 1 Il faut remarquer que si n ≥ 1, alors, 0 < 6 1 < , et donc tan n 2 bien affaire ` a une s´erie altern´ee.

  1 > 0 ; nous avons donc n

(b) Est-ce une s´erie altern´ee convergente ? i πh 1 1 La fonction tan x est croissante sur l’intervalle 0 ; ainsi, comme < , nous avons n+1 n  2   1 1 1 < tan ; ce qui montre que la suite tan est d´ecroissante. tan n+1 n n n∈N   1 = 0 D’apr`es le crit`ere de convergence des s´eries altern´ees, la s´erie De plus, lim tan n→+∞ n   +∞ X 1 n (−1) tan converge simplement. n n=1 (c) Cette s´erieX converge-t-elle absolument ? X Une s´erie un est dite absolument convergente, si la s´erie des valeurs absolues |un |converge. n∈N

n∈N

n Ici, (−1) tan

1 n


= tan

1 n




, et, en +∞, tan

1 n




X1 1 ' ; or, la s´erie diverge ; nous en n n n≥1

  X (−1)n tan 1 diverge. concluons donc que n n∈N

La s´erie n’est donc pas absolument convergente 2.

+∞ X n=1

n

(−1)

√ n

n sin

1 n

(a) Est-ce une s´erie altern´ee ? √ 1 La premi`ere id´ee consiste ` a regarder le signe de n n sin ; or, n √ √ ln n – n n = e n , et donc n n > 0   1 π 1 – D’autre part, si n ≥ 1, alors, 0 < 6 1 < , et donc sin > 0; n 2 n √ 1 – En synth`ese, nous avons n n sin > 0 n nous avons donc bien affaire ` a une s´erie altern´ee. (b) Est-ce une s´erie altern´ee convergente ? Il faut v´erifier que le terme g´en´eral v´erifie le crit`ere des s´eries altern´ees. ln n ln n – D’une part, lim e n = 1, et d’autre part lim sin n1 = 0, et donc lim e n sin n1 = 0 n→+∞ n→+∞ n→+∞   √ 1 n – Il faut maintenant montrer que la suite n sin est d´ecroissante. Comme tout `a n n∈N i πh 1 1 l’heure, La fonction sin x est croissante sur l’intervalle 0 ; ainsi, comme < , n+1 n  2   1 1 1 nous avons sin < sin ; ce qui montre que la suite sin est d´ecroissante. n+1 n n n∈N  ln n  Il faut maintenant montrer que la suite e n est elle aussi d´ecroissante. On consid`ere n∈N ln x

la fonction associ´ee f (x) = e x d´efinie pour x > 0. Calculons la d´eriv´ee f 0 ; nous avons :  ln n  1 − ln x ln x f 0 (x) = e x qui est n´egative si x > e, ce qui montre que la suite e n est 2 x n∈N

2

 d´ecroissante si n ≥ 3 ; ainsi, la suite

√ n

1 n sin n

 d´ecroit d`es quen ≥ 3 n∈N

On vient de montrer que, d’apr`es le crit`ere des s´eries altern´ees, la s´erie

+∞ X n=1

n

(−1)

√ n

n sin

1 n

converge simplement (c) Cette s´erie converge-t-elle absolument ? +∞ X √ 1 1 1 n √ n Il faut donc regarder le terme n sin qui est ´equivalent, en +∞ `a ; la s´erie (−1) n n sin n n n n=1 ne converge pas absolument.

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