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UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA Es la operación que tiene como objetivo determinar una expresión algebraica llamada producto, dadas otras expresiones algebraicas llamadas multiplicando y multiplicador, la igualdad obtenida es una identidad. Ejemplo: (x + 2) (2x + 1) = 2x2 + 5x +2

Multiplicando y multiplicador

Producto

1. BINOMIO AL CUADRADO  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2  (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Nota: (a – b)2 = (b – a)2 en general: (a – b)2m = (b – a)2m; (m ϵ Z) 2. BINOMIO AL CUBO  (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3o (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)  (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3o

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

OTROS PRODUCTOS NOTABLES O IDENTIDADES ALGEBRAICAS  DIFERENCIA DE CUADRADOS  (a + b) (a – b)= a2 – b2  SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS  (a + b)(a2 – ab + b2) = (a3 + b3)  (a – b)(a2+ ab + b2) = (a3 – b3)

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UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT EJERCICIOS 1. Reducir: E= (√2 + a)(√2 − a)(2 + a2 ) – 4 Solución: E = (√2 + a)(√2 − a)(2 + a2 ) – 4 2

E = (√2 − a2)(2 + a2 ) – 4 E = (2 − a2 )(2 + a2 ) – 4 E = (22 − a4 ) – 4 E= 4 – a4– 4 E = – a4 2. Efectuar: (x+4)2 – (x+1)2 – 6x SOLUCIÓN: Utilizando las fórmulas: E = x2 + 2(x)(4) + 42 – [ x2 + 2(x)(1) +12 ] – 6x E = x2 + 8x + 16 – [ x2 + 2x + 1] – 6x E = x2 + 8x + 16 – x2 – 2x – 1 – 6x E = 15 3. Reducir: 8

E= √1 + 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) SOLUCIÓN: 8

E= √1 + 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) 8

E= √1 + (22 − 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) 8

E= √1 + (24 − 1)(24 + 1)(28 + 1) 8

E= √1 + (28 − 1)(28 + 1) 8

E= √1 + 216 − 1 8

E= √216 E = 22 E=4

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UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT 4. Hallar el equivalente: A = (x – 2)2 + (x – 3)2 + (x – 4)2 + 18x – 29 SOLUCIÓN. A = (x – 2)2 + (x – 3)2 + (x – 4)2 + 18x – 29 A = x2 – 2(x)(2) + 22 + x2 – 2(x)(3) + 32 + x2 – 2(x)(4) + 42 + 18x – 29 A = x2 – 4x + 4 + x2 – 6x + 9 + x2 – 8x + 16 + 18x – 29 A = 3x2 – 18x + 29 + 18x – 29 A = 3x2 5. Efectuar: R = (b – 1)3 + (b – 2)3– 15b +9 SOLUCIÓN R = (b – 1)3 + (b – 2)3 + 12b +9 R = b3 – 3(b2)(1) + 3(b)(12) – 13 + b3 – 3(b2)(2) + 3(b)(22) – 23– 15b + 9 R = b3 – 3b2 + 3b – 1 + b3 – 6b2 + 12b – 8 – 15b + 9 R = 2b3 – 9b2 + 15b – 9– 15b + 9 R =2b3 – 9b2 6. Reducir: E = (3x+2)3 + (2x+3)2– (2x – 3)3– (3x – 2)2– 19x3 + 6 SOLUCIÓN E = (3x)3 + 3(3x)2(2) + 3(3x)(2)2 + 23 + (2x)2+ 2(2x)(3) +32– [(2x)3 + 3(2x)2(3) +3(2x)(3)2 + 33] – [(3x)2 + 2(3x)(2) + 22] – 19x3+ 6 E = 27x3 + 54x2+ 36x + 8 + 4x2 + 12x + 9– 8x3 – 36x2 – 54x – 27 – 9x2 + 12x + 4 – 19x3 +6 E = 13x2+6x

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UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT 7. Efectuar: E = (x+3)(x – 3) + (x+5)(x – 5) + (2 – x)(x+2) + (6 – x)(x+6) SOLUCIÓN E = (x+3)(x – 3) + (x+5)(x – 5) + (2 – x)(x+2) + (6 – x)(x+6) E = (x2 – 32) + (x2 – 52) + (22 – x2) + (62 – x2) E = x2 – 9 + x2 – 25 + 4 – x2 + 36 – x2 E=6 8. Reducir: A = (x+1)(x+5) + (x+3)(x+7) – 2(x+4)2 SOLUCIÓN A = (x+1)(x+5) + (x+3)(x+7) – 2(x+4)2 A = x2 + 6x + 5 + x2 + 10x + 21– 2x2 – (2)2(x) (4) – (2)42 A = 5 + 21 – 32 A=–6 9. Si se cumple: m + n =√17; mn = 2 Calcular: m2 + n2 + m – n SOLUCIÓN m + n =√17… (1);mn = 2…(2)⇒ Ha (1) le elevamos al cuadrado a ambas igualdades

– 2mn = – 4 y a (2) le multiplicamos por – 2 a ambas igualdades

2 2 2 (m + n)2 =(√17) m – 2mn + n = 13 – 4 m2 +2mn + n2 = 17 (m – n)2 = 9 √(m − n)2 = √9 Como mn = 2 m – n = 3… (4) ⇒m2 +2(2) + n2 = 17

m2 + n2 = 17 – 4 m2 + n2 = 13… (3)

∴m 2 + n 2 + m – n 13

+

3 16

10. Reducir: E = (√3 + b) (√3 − b) (3 + b2 ) – 9 Solución: E = (√3 + b) (√3 − b) (3 + b2 ) –9 2

E = (√3 − b2)(3 + b2 ) –9 E = (3 − b2 )(3 + b2 ) –9 E = (32 − b4 ) –9 E = 9 – b4 – 9 E = – b4

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ECUACION: Es una igualdad en la que hay una o más cantidades literales desconocidas llamadas incógnitas. Ejemplos: a) 12 + x = 20

b) 3x + 5y = 6

c) 4x + 3y + 2z = 12

d) x3 + 2y2 = 18

Las incógnitas, en general, se representan por las letras minúsculas: x; y; z; w; etc. El grado de una ecuación con una incógnita está determinado por el mayor exponente de dicha incógnita. Ejemplos: Ecuación 7x – 6 = 5x+4 5y2+2y = 10 2z3– 4z2+6z + 6

Incógnita

Grado de la Ecuación

X Y Z

1er. Grado 2do. Grado 3er. Grado

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Llamada también ecuación lineal Forma General: ax + b = 0

a≠0

Dónde: a y b: parámetros x: incógnita Despejamos:

x=−

b a

COMO RESOLVER UNA ECUACION DE PRIMER GRADO Para esto aplicamos el siguiente procedimiento: 1. Suprimimos signos de colección o agrupación. 2. Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro. 3. Hacemos transposición de términos, escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la ecuación. 4. Volvemos a reducir términos semejantes. 5. Despejamos la incógnita. Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 7x – (2x–6) = (x+1) – (3x+2) Solución:

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UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT PASO 1.- Suprimimos signos de colección: 7x – 2x + 6 = x + 1 – 3x – 2 PASÓ 2.- Reducimos términos semejantes en cada miembro: 5x+6 = –2x – 1 PASO 3.- Por transposición de términos: 5x + 2x = –6 –1 PASÓ 4.- Volvemos a reducir términos semejantes en cada miembro: 7x = –7 PASO 5.- Despejamos “x” Respuesta:

x =-

7 7

x = –1 EJERCICIOS

I.- Resolver las siguientes ecuaciones: 1) 7 = 3x – 2 SOLUCIÓN 7 = 3x – 2 7 + 2 = 3x 3x = 9 X=3 2) 3 + x – (5 – 2x) – 1 = 3 SOLUCIÓN 3 + x – (5 – 2x) – 1 = 3 3 + x – 5 + 2x – 1 = 3 3x – 3 = 3 3x = 6 x=2 3) 5 + 3(3x+1) = 17 SOLUCIÓN 5 + 3(3x+1) = 17 5 + 9x+ 3 = 17 9x= 17 – 8 9x = 9 x=1

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UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT 4) 7(x+3) = 35 SOLUCIÓN 7(x+3) = 35 7x + 21 = 35 7x = 35 – 21 7x = 14 x=2 5) (x+5)(x – 3) + 7 = (4+x)2 – 12 SOLUCIÓN (x+5)(x – 3) + 7 = (4+x)2 – 12 x2 + 2x – 15 + 7 = 42 + 2(4) (x) + x2 – 12 x2 + 2x – 15 + 7 = 16 + 8x + x2 – 12 2x – 8x = 16 – 12 + 15 – 7 – 6x = 12 x=–2 6) (x-1)2 – (x2 – 1) = 4(1 – x) SOLUCIÓN (x – 1)2 – (x2 – 1) = 4(1 –x) x2 – 2(x) (1) + 12 – x2 + 1 = 4 – 4x x2 – 2x + 1 – x2 + 1 = 4 – 4x – 2x + 4x = 4 – 2 2x = 2 x=1 7) 5 + 4x2 + 3x = (2x+1)2 SOLUCIÓN 5 + 4x2 + 3x = (2x + 1)2 5 + 4x2 + 3x = (2x)2 + 2(2x) (1) + 12 5 + 4x2 + 3x = 4x2 + 4x + 1 3x – 4x = 1 – 5 –x=–4 x=4

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UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT 8) (3x – 2)2 = (4+3x)2 SOLUCIÓN (3x – 2)2 = (4 + 3x)2 (3x)2 – 2(3x)(2) + 22 = 42 + 2(4)(3x) + (3x)2 9x2– 12x + 4 = 16 + 24x + 9x2 – 12x – 24x = 16 – 4 – 36x = 12 x=1–3 9) (5+x)(3+x) = (5 – x)(3 – x) – 32 SOLUCIÓN (5+x)(3+x) = (5 – x)(3 – x) – 32 15 + 8x + x2 = 15 – 8x + x2– 32 8x + 8x = – 32 16x = – 32 x=–2 10) 7x + 5 – 2x = 8 + 4x – 2 SOLUCIÓN 7x + 5 – 2x = 8 + 4x – 2 5x + 5 = 6 + 4x 5x – 4x = 6 – 5 x=1

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Es aquel conjunto formado por dos o más ecuaciones en el cual su conjunto solución verifica cada una de las ecuaciones dadas. SISTEMA DE “2” ECUACIONES CON “2” INCÓGNITAS Forma general: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Dónde:x e y son variables a1, b1, c1, a2, b2, c2 son coeficientes MÉTODOS DE SOLUCIÓN También se podrá resolver problemas con (3) variables empleando los mismos métodos de solución. I. MÉTODO DE REDUCCIÓN Cuando nos referimos a este método, la idea es eliminar una de las variables (la que seamás simple para eliminar). En algunos casos la reducción no es sencilla; se multiplicará por una cantidad a una u otra ecuación y luego se procederá a reducirla. Ejemplo: Resolver: 2x + y = 7…. (1) 6x - y = 9…. (2) SOLUCIÓN: Sumando la ecuación (1) y (2):  2x + y + 6x - y = 16 8x = 16 4+y=7 Reemplazando “x”en (1):   

2(2) + y = 7 4 + y =7 y=3 

x=2

;

y=3

II. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Cuando nos referimos a este método, la idea es despejar una de las incógnitas de una ecuación y reemplazarla en la otra:

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UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT Ejemplo: Resolver: x = -5y…. (1) 3y + x = 2…. (2) Solución: Sustituimos “x” por(– 5y) en la ecuación (2)  3y – 5y = 2  – 2y = 2 y = – 1 Reemplazando “y” en (1) x = – 5(– 1) x = 5  III.

x=5

;

y = -1

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Cuando nos referimos a este método, la idea es despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones y luego igualarlas. Ejemplo: Resolver: 4x + y = 14…. (1) x – 3y = 10…. (2) Solución: Despejando “x” de la ecuación (1) y (2): i) 4x = 14 - y 14  y 4

ii)

x=

iii)

x = 10 + 3y

Como (ii) es igual (iii): 

14  y 4

= 10 + 3y

 14 – y = 40 + 12y 14 – 40 = 12y + y 13y = – 26 y = – 2 Reemplazando “y”en (2):   

x – 3(– 2) = 10 x + 6 = 10 x=4 x=4

;

y=–2

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UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT EJERCICIOS Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquier método 01.-

2x + y = 4… (1) x – y = 5… (2)

SOLUCIÓN Sumando (1) y (2) reemplazando (3) en (1) 2x + y = 4 2x + y = 4 x–y=5 2(3) + y = 4 3x = 9 y=4–6 x = 3… (3) y=–2

∴ 02.-

x=3

y=–2

;

2x –3y = 1… (1) y – 4x = 5… (2)

SOLUCIÓN Ordenando y multiplicando por (– 3) la ecuación (2) 2x – 3y = 1… (1) –12x + 3y = – 9 … (3) Sumando (1) y (3) 2x – 3y = 1 –12x + 3y = – 9

reemplazando (4) en (2) y–4x = 3 8 y–4( ) = 3 10

16 y = 3+ 5 15+16 y= 5

– 10x = – 8 x=

8

… (4)

10

y= 03.-

∴

x=

8 10

;

y=

31 5

31 5

3x +2y = 3… (1) 5x – 3y = 5… (2) SOLUCIÓN Multiplicando por 3 la ecuación (1) y por 2 a la ecuación (2) 9x + 6y = 9… (3) 10x – 6y = 10… (4) Sumando (3) y (4)

reemplazando (5) en (1)

9x + 6y = 9 3x+2y = 3 10x –6y = 10 3(1) + 2y = 3 19x = 19 2y = 3 – 3 x = 1… (5)

2y = 0 y=0

∴

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x = 1; y = 0

UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT 04.-

5x + y = 9… (1) x – y = 3… (2) SOLUCIÓN Sumando (1) y (2)

reemplazando (3) en (1)

5x + y = 9 2x + y = 4 x–y=3 2(2) + y = 4

05.-

∴

y=4–4 y=0

6x = 12 x = 2… (3)

x = 2;

y=0

4x +3y = – 1… (1) – 2x+y = 3… (2) SOLUCIÓN Multiplicando por – 3 la ecuación (2) 4x + 3y = – 1… (1) 6x – 3y = – 9… (3) Sumando (3) y (1)

reemplazando (4) en (1)

4x + 3y = – 1 4x + 3y = – 1 6x – 3y = – 9 4(– 1) + 3y = – 1 10x = – 10 3y = – 1 +4

∴

x = – 1… (4)

06.-

x = – 1; y = 1

3y = 3 y=1

x +4y = 17… (1) 3x –y = 12… (2) SOLUCIÓN Multiplicando por – 3 la ecuación (1) – 3x – 12y = – 51… (3) 3x – y = 12… (2) Sumando (3) y (2)

reemplazando (4) en (1)

– 3x – 12y = – 51 x + 4y = 17 39 3x – y = 12 ( ) + 4y = 17 11 – 11y = – 39 39 x = … (4) 11

4y = 17– y=

37

39 11

11

∴ ALONZO RODRÍGUEZ ROSA YAQUELINMATEMÁTICA

x=

39

;y =

11

37 11

UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT 07.-

3 x +2y = 19… (1) 2x – y = – 1… (2) SOLUCIÓN Multiplicando por 2 la ecuación (2)

3x +2y = 19… (1) 4x – 2y = – 2… (3) Sumando (1) y (3)

reemplazando (4) en (1)

3x +2y = 19

3x +2y = 19 17 4x – 2y = – 2 3( ) + 2y = 19 7 51 7x = 17 2y = 19 – 7 17 41 x = … (4) y= 7 7

∴ 08.-

x=

17 7

;

y=

41 7

x –8y = 0… (1) 2y+3x = 13… (2) SOLUCIÓN Ordenando y multiplicando por (4) la ecuación (2) x – 8y = 0… (1) 12x + 8y = 52… (3) Sumando (1) y (3)

reemplazando (4) en (1)

x – 8y = 0 x –8y = 0 12x + 8y = 52 4 –8y = 0 13x = 52 x =4… (4)

09.-

x – y = 2… (1) 3x + y = – 14… (2)

– 8y = 0 – 4 1 y= 2

∴

x=4 ;

y=

1 2

SOLUCIÓN Sumando (1) y (2) x–y=2 3x + y = – 14 4x = – 12 x = – 3… (3)

reemplazando (3) en (2) 3x + y = – 14 3(– 3) + y = – 14 y = – 14 + 9 y=–5

∴ ALONZO RODRÍGUEZ ROSA YAQUELINMATEMÁTICA

x=–3

;

y=–5

UNIVERSIDAD MARCELINO CHAMPAGNAT 10.-

8x +9y = 17… (1) – 3x + 2y = – 1… (2) Multiplicando por 3 a (1) y por 8 a (2)

24x +27y = 51… (3) – 24x + 16y = – 8… (4) Sumando (3) y (4)

reemplazando (5) en (1)

24x +27y = 518x +9y = 17 – 24x + 16y = – 8 8(1) +9y = 17 43y = 43 9y = 17 – 8 x = 1… (5) y=1

∴

ALONZO RODRÍGUEZ ROSA YAQUELINMATEMÁTICA

x = 1;

y=1