Aljabar Linear Dan Matrix By Dede Apandi

Nama : Ekayana Suparli Kelas/jurusan : 2A/Teknik informatika NIM : A2.0800576

“SOAL” 1.Carilah solusi dari sistem persamaan berikut x + 2y + 3z = 0 2y + 2z = 0 x + 2y + 3z = 0 2.terdapat masyarakat sederhana yang terdiri dari 3 individu : petani yang menghasilkan semua makanan,pemborong yang membangun semua rumah,dan penjahit yang membuat semua baju.setiap mebghasilkan satu unit komudity selama tahun tersebut.misalkan porsi tiap komudity yang di konsumsi oleh tiap orang diberikn dalam tabel berikut: Barang yang dikonsumsi oleh

petani

petani

7

pemborong

5

penjahit

Barang yang dihasilkan oleh pemborong

6

16 1 4

1

1 1

penjahit

2

6 3

3 16 5 16 1 2

Seorang ekonom harus menentukan harga P1,P2,P3 per unit,makanan,rumah,& baju  P1    sedemikian hungga diantara mereka tidak ada yang untung dan rugi : misalkan P P 2  P3 

Makacarilah P dengan cara menyelesaikan system AP = P 3.tinjukan bahwa matrik invertible dan carilah inversnya  cos θ − sin θ 

sin θ  cos θ  

4.tunjukan bahwa jika A invertible dan simetrik maka A −1 juga simetris 5.tunjukan bahwa jika A tidak invertible dan AX = b,b mempunyai banyak solusi

≠ 0,maka AX = b juga

”JAWAB” 1. x + 2y + 3z = 0 2y + 2z = 0 x + 2y + 3z = 0 bentuk AX = b 1 0   1

2 2 2

3 1 0 2  3 1

2 2   2

| A | = 6 + 4 +0 – (6 + 4 + 0 ) = 0

Karena | A | = 0 maka solusi dari system di atas akan bernilai nol 2. 7/16 P1 + 1/2 P2 + 3/16 P3 5/16 P1 + 1/6 P2 + 5/16 P3 1/4 P1 + 1/3 P2 + 1/2 P3 Bentuk AP = P

1 3 7 7 1  1 6 2 1 6 16 2   1 5 5 1  5 16 6  1 6 6 1 6 1 1 1  1 1  4 3 2  4 3 

|A| =

73 101 28 7 ==768 768 768 192

Adjoin

1

5

16 = 1 - 1 = 3 12 48 48 1 1 3 2 5 5 16 16 = −5 - 5 = −10 − 5 = −15 K 12 = 32 64 64 64 1 1 4 2 5 1 16 6 = 5 − 1 = 5− 2 = 3 K1 3 = 1 1 4 8 2 4 4 8 48 5 4 1 3 1 2− 3 9 K21 = − 2 1 6 = − ( 1 − 3 ) = − =− 4 48 1 1 48 48 3 2 K11 =

6

7

1 1 6 2 = 7 − 3 = 1 4− 3 = 1 1 K22 = 1 1 32 64 64 64 4 3 7 1 16 2 = − 7 − 1 = 7− 6 = − 1 K 23 = − 1 1 8 8 48 48 4 3 1 3 5 3 1 5− 3 1 2 K31 = 2 1 6 = − = = =8 1 5 52 96 96 96 6 16 7 3 16 16 = − ( 35 − 15) = − 20 K 32 = 5 5 256 256 16 16 7 1 16 2 = 7 − 5 = 7 − 15 = − 8 = −12 K33 = 5 1 96 32 96 96 16 6 3 − 15 3 3 −9 8 48 48 48 48 48 − 20 11 −1 11 K = −9 KT = − 15 48 64 48 64 64 2 56 − 20 3 − 1 8 − 12 − 12 256 48 48 3 −9 63 − 56 − 21 8 48 48 9 21 6 9 2 18 192 7 − 15 −1 − 2 0 − 35 − 7 7 1 4 0 11 A =− = 64 25 6 12288 12288 49152 1 9 2 64 3 7 84 −1 − 21 − 12 48 48 9 12 6 9 2 18 192  cos θ − sin θ

sin θ  1 1 1 =| A |= = = cos θ  ad − bc cos θ . cos θ − sin θ . − sin θ cos 2 θ + sin 2 θ cos θ − sin θ adj 1 A −1 = = 2 2 cos θ | A | cos θ + sin θ sin θ cos θ −sin θ 1 cos θ −sin θ = = cos θ sin θ cos θ 1 sin θ

3. 

4.misal 2  A = 0  7

0 3 5

7 2 5 0 1 7

0 3  5 

| A | = 6-(47+50) = -191 ≠ 0

3 5 0 5 K 11 =  = 3 − 25 = −22 K 12 =    = −(0 − 35 ) = 35 5 1 7 1 0 3 K 13 =   = 0 − 21 = −21 7 5 0 7  2 7 K 21 = − = −(0 − 35 ) = 35 K 22 =    = 2 − 49 = −47 5 1  7 1 2 0 K 23 = −  = −(10 − 0) = −10 7 5 0 7  2 7  K 31 =  K 32 = −  = 0 − 21 = −21  = −(10 − 0) = −10 3 5   0 5 2 0 K 33 =   = 6 −0 = 6 0 3 − 23 K=   35  − 21

35 − 47 −10

− 21  −10   6  

K

T

− 23 =  35  − 21

35 − 47 −10

− 21 −10   6  

23 − 35 21   − 2 3 3 5 − 2 1  1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 47 10  A − 1 = −  3 5 − 4 7 − 1 0 =  − 3 5 1 9 1 1 9 1 1 9 1 191   − 2 1 − 1 0 6   2 1 10 −6  191 1 9 1  191

Terbukti bahwa A invertible dan simetris maka A −1 juga simetris

− 35 21   23 1 9 1 1 9 1  191 −1 47 10  A = − 3 5 1 9 1 1 9 1 1 9 1   2 11 9 1 1 01 9 1 − 61 9 1

− 35 21   23 1 9 1 1 9 1  191 −1 T 47 10  (A ) = − 3 5 1 9 1 1 9 1 1 9 1   2 11 9 1 1 01 9 1 − 61 9 1

5.Bentuk AX = b

X1 + X 2 + X 3 = 0

− 2 X 1 + 3X 2 + 2 X 3 = 1

|A|=

3X 1 − 4 X 2 + 3X 3 = 5 1 − 2   3

−1 3 −4

−1 1 2 − 2 3  3

−1  3   = 9 − 6 − 8 − ( −9 − 8 + 6) = −5 +11 = 6 − 4 

 3 2 K 11 =   = 9 + 8 = 17 − 4 3 − 2 3  K 13 =  = 8 − 9 = −1 − 4 3

− 2 K 12 = − 3

2 = −( −6 + 6) = 12 3 

 −1 −1 −1 −1 K 21 =  = −( −3 − 4) = 7 K 22 =  = 3 +3 = 6  3 − 4 3  3  1 −1  K 23 =   = −( 4 + 3) = 1 3 − 4 −1 −1 −1 1 K 31 =  = (−2 + 3) = 1 K 32 = −   = −(2 − 2) = 0 2 3 − 2 2  −1 1 K 33 =   = 3 − 2 =1 − 2 3  17 K = 7  1

−1 1  1 

12 6 0

K

T

17  = 12  −1

7 6 1

1   1 

17 7 1  1 7 7 1  6 6 6   1 76 7 6 1 6   0  0 7 6 5 6   2     1 A − 1 =  1 2 6 0 =  1 2 6 0  =  2 1 0   1 =  0 1 0  =  1 6 6 6   − 1 1 1  − 1 1 1   − 1 1 1   5  0 1 5   1 6 6   6 6 6  6 6 6

Bentuk transpormasi baris(matrik lengkap) 1 − 2  3 

−1

−1

3 −4

2 3

1 b13 (1)  0  0

0

0

1 0

0 1

0 b21 ( 2) 1  b ( −3)  31 5 2 1  jadi 1 

1 0  0 

−1

−1

1 −1

0 6

2 1     1  

Eselon persamaan linear : eliminasi X 1 − X 2 − X 3 = 0(1)

− 2 x1 + 3 X 2 + 2 X 3 = 1(2) 3 X 1 − 4 X 2 + 3 X 3 = 5(3)

Eliminasi persamaan 1 ke persamaan 3 .

X1 − X 2 − X 3 = 0

3X 1 − 4 X 2 + 3X 3 = 5 X 2 − 6 X 3 = 5 persamaan (4)

Eliminasi persamaan 2 dan 3 − 2 X 1 + 3X 2 + 2 X 3 = 1

3X 1 − 4 X 2 + 3X 3 = 5 X 2 + 2 X 3 = 13 persamaan (5)

Eliminasi persamaan 4 dan 5

0 b12 (1) 1  b (1)  32 5

1 0  0 

0

−1

1 0

0 6

1 1  1 1 b3 ( ) 0 6   0 6 

0 1 0

−1 1 0 1   1 1

X 2 −6X 3 = 5 X 2 +12 X 3 = 13 18 X 3 = 18 X 3 =1

X 2 +12 X 3 = 13

X1 − X 2 − X 3 = 0

X 2 = 13 −13

X 1 −1 − 1 = 0

X 2 =1

X1 = 2

HP={2,1,1}