Aljabar Linear 3

Fika Hastarita R, ST Ahmad Sahru R, S.Kom

Aljabar Linear Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)

Pembahasan  -

Perkalian Cross (Cross Product) Model cross product Sifat cross product

Scalar Triple Product - Model Scalar Triple Product - Representasi Geometrik Scalar Triple Product 

Pendahuluan 





Selain dot product ada fungsi perkalian product lain dalam vektor yaitu cross product yang menghasilkan suatu vektor , dan scalar triple product untuk perkalian tiga buah vektor yang menghasilkan nilai scalar Tiap model perkalian vektor memiliki tujuan yang berbeda-beda, tergantung kebutuhan Dan tiap perkalian vektor dapat digunakan oleh vektor 2 dimensi maupun 3 dimensi

Perkalian Cross (CROSS PRODUCT)

Pengertian : …… 

Cross product dari 2 buah vektor adala suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor



Hasilkali titik dua buah vektor menghasilkan skalar, sedangkan hasilkali silang atau cross product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.

Kegunaan 

Secara geometris, hasil perkalian silang antara dua buah vektor merupakan luas dari bangun segiempat yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Sifat ini dapat diturunkan dari persamaan lagrange.



Untuk itu, kita dapat menghitung luas bangun segi banyak yang terletak di ruang , dengan menggunakan perkalian silang antara dua vektor.

Visualisasi Cross Product

Sifat – sifat Cross Product

Rumus Umum v = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol

Rumus Komponen Jika diketahui 2 buah vektor : a = [a1,a2,a3] dan b = [b1,b2,b3], maka persilangan antar keduanya v = a x b, menghasilkan v = [v1,v2,v3] dimana: v1=a2.b3 - a3.b2 v2=a3.b1 – a1.b3 v3 = a1b2 – a2.b1

Formulasi Lain 

Dalam formulasi yang lain, hasil kal silang dapat diformulasikan dengan formulasi berikut:

Contoh soal 

Diketahui a = [4,0,-1] dan b = [-2,1,3] dengan menggunakan koordinat tangan kanan, hitunglah v = a x b !

Jawab:





Contoh soal 2: Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A ( 2, -3, 1 ), B ( -1,4,-1 ) dan C (2,0,3 ). Hitung luas segitiga tersebut. Jawab : Misal u dan v berturut-turut merupakan vektor posisi dari ruas garis AB dan AC.

SCALAR TRIPLE PRODUCT

Scalar Triple Product Scalar triple product dari tiga vektor a = [a1 , a2 , a3 ], b = [b1 , b2 , b3 ], c = [c1 , c2 , c3 ] ditulis (a b c) didefiniskan sebagai (a b c) = a • (b × c)

andaikan b × c = v = [v1 , v 2 , v 3 ]

a • (b × c) = a • v = a1v1, a2 v2 , a3v3  b3 b1  b1 b2  + a3 = a1 − a2  −  c2 c3 c1 c2  c3 c1  Ini mrpk ekspansi determinan orde 3 mnrt brs pertama, shg b2

b3

b1 b2

b3

(a b c) = a • (b × c) = b1 b2

b3

c1 c2

c3

Scalar Triple Product Geometric representation 

bxc



a β

h

c



a,b,c vektor β sudut antara (bxc) dan a h tinggi parallelogram

b

Besar a • (b × c) | a • (b × c) |=| a || b × c | cos β | a | cos β = height h jajaran genjang alas dg sisi b dan c mempunyai luas area | b × c |

Sifat Hasil Kali Triple Scalar

Hasil Kali Lainnya

Latihan (1) 1. Diketahui a = (2,1,-3) , b = (3,1,1), c = (0,2,-2) . Tentukan ( bila terdefinisi /mungkin ) : a. a x (b - 2 c) c. a x b x c b. a·b x c 2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bila a. u = (-1,2,-3) dan v = (0,2,4) b. u = (4,-2,1) dan v = (0,2,-1) . 3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya. a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 ) b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )

Summary 

Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah tangan kanan

Tugas 1. Diketahui u = (4,-2,1) , v = (0,2,-1) dan w = (3,0,-2). Tentukan vektor proyeksi dan normnya bila vektor u diproyeksikan secara orthogonal terhadap sebuah vektor yang tegaklurus terhadap vektor v dan w. 2. Diketahui segitiga ABC , A ( 1,2,3 ) , B( -1,2,-3 ) dan C( 1,1,1 ) . a. Hitung luas ABC b.Tentukan panjang proyeksi dari sisi AB pada sisi AC. c. Hitung besar sudut ACB.

Daftar Pustaka Advanced Engineering Mathematic, chapter 8 Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear