Alin Tika.pptx

Definisi 1

: Matriks Anxn disebut matriks simetri, jika memenuhi At = A

Contoh :

Definisi 2

3 1 −2

1 −2 0 5 5 4

: matriks Anxn disebut matriks ortogonal, jika memenuhi A-1 = At

Contoh : Apakah matriks-matrik dibawah ini matrik orthogonal ?

𝐴 =

1 −1

1 ,𝐵= 1

3 5 4 5

− 3 5

4 5

• Definisi: Matriks Anxn disebut dapat didiagonalisasi secara orthogonal, jika terdapat matriks P yang orthogonal, sehingga P-1 AP = PTAP merupakan matriks diagonal.

Jawab

:

Jadi, matrik A bukan matriks orthogonal,

Tetapi matriks B adalah matrik orthogonal, karena A-1 = At

Matrik orthogonal mempunyai sifat: 1.

Vector-vektor kolomnya membentuk himpunan ortonormal terhadap hasil kali dalam euclides

2.

Vector-vektor barisnya membentuk himpunan ortonormal terhadap hasil kali dalam euclides

Definisi 3

: Matriks Anxn disebut dapat didiagonalisasi secara orthogonal, jika terdapat matriks P yang orthogonal, sehingga P-1 AP = PtAP merupakan matriks diagonal.

Untuk mendapatkan syarat matrik yang dapat di diagonalisasi secara orthogonal, perhatikan uraian berikut: Misalkan Anxn dapat didiagonalisasi secara orthogonal, maka berlaku: P-1 AP = PTAP = D

Atau AP = PD Atau A=PDP-1= PDPt At = (PDPt)t = (Pt)tDtPt = PDPt = A

Atau Misal D = P-1 AP PDP-1 = A PDPt = A ( sifat: P matriks orthogonal ) [ PDPt ]t = At ( ruas kiri dan ruas kanan ditransposkan ) PtD tP = A t PDtPt = At ( matriks diagonal, D = Dt ) A = At

∴ Dapat disimpulkan bahwa suatu matriks bujursangkar dapat didiagonalisasi secara orthogonal bila matriks tersebut merupakan matriks simetri. Jadi, matrik A simetri.

Teorema

: Anxn matriks yang dapat didiagonalisasi secara orthogonal jika dan hanya jika A matriks simetri

Langkah-langkah diagonalisasi orthogonal matriks simetri Anxn :

1.

Dicari semua nilai eigen dari matriks A, misal 𝜆1, 𝜆2, ….., 𝜆k, dimana k ≤ 𝑛

2.

Ditentukan semua vector ( basis ) A yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆, misal 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … .

3.

Ditransformasikan semua vector menjadi vector ortonormal menggunakan cara Gram Schimidt

untuk tiap-tiap unsur basis, misal menjadi: 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , … . .Dalam hal ini, hasil kali dalam yang diterapkan merupakan hasil kali Euclides. 4.

Dibentuk matriks orthogonal P dengan 𝑃 = 𝑝1 ⋮ 𝑝2 ⋮. . ⋮ 𝑝𝑛 , dimana 𝑝1 , 𝑝2 , … . . , 𝑝𝑛 merupakan vector kolomnya.dan matriks diaogonal yang entri-entri diagonal utamanya adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan vector eigen pada kolom P.

Contoh soal: Tentukan matriks P orthogonal dari matriks-matriks dibawa ini: 1 2 1. 𝐴 = 2 1 2 2. 𝐵 = 0 1

3. 𝐶 =

0 1 1 0 0 2

2 2 5 2

Penyelesaian: 1.

Nilai eigen matriks A adalah akar persamaan karakteristik: 𝜆2 − 2𝜆 − 3 = 0 𝜆−3 𝜆+1 =0 𝜆1 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜆2 = −

2. Vektor eigen matriks A adalah basis dari ruang solusi SPL Homogen: 𝑥1 0 1−𝜆 2 = 0 2 1 − 𝜆 𝑥2 Yaitu : 1 −1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆1 = 3 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆2 = −1 1 1 3. Vektor-vector eigen yang ortonormal didapat dengan melakukan proses Gram Schmidt terhadap hasil kali dalam Euclides, yaitu : 1 2 1 2

dan

−1 2 1 2

1 2

−1 2

1 2

1 2

4. Sehingga P =

dan 𝑃𝑡 𝐴𝑃 =

3 0

0 −1

1 0 0 2. 𝑃𝑡 𝐴𝑃 = 0 1 0 0 0 3 3. Matriks C tidak mempunyai P matriks orthogonal, karena C bukan matriks Simetri