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Benemérito Instituto Normal del Estado “Gral. Juan Crisóstomo Bonilla” Licenciatura en Educación Primaria Curso: Algebra su aprendizaje y enseñanza Actividades que se sugiere para el futuro docente: Bloque 7 Nombre: Nadia Cecilia Méndez Torres 2°C N.L 14

¿PARA QUÉ TIPO DE FUNCIONES EXISTE SU FUNCIÓN INVERSA? Una función es invertible solo cuando cada valor de entrada tiene un valor de salida único. Es decir, cada valor de salida corresponde a exactamente un valor de entrada. No todas las funciones tienen una función inversa, ya que si un elemento del codominio no es imagen de un elemento del dominio, cuando se aplique su función inversa, esta no será función. Por lo tanto, para que una función inversa exista, la función original tiene que ser biyectiva, lo que obliga que a todos los elementos de B llegue solo una flecha desde A (inyectiva y sobreyectiva a la vez), así, cuando la función inversa actúe a cada elemento de B se le asigna uno y solo uno de los elementos de A. En otras palabras, si una función tiene inversa, entonces es uno a uno y viceversa, si una función es uno a uno, entonces tiene inversa. EJEMPLO: Para una función f: A à B definida por el siguiente diagrama sagital;

Como se puede ver en este caso, la función f es biyectiva, ya que todos los elementos de B son imagen de solo un elemento de A. Entonces, f-1 es función, ya que cada elemento de B tiene una única imagen en A. Las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas también son uno a uno y por tanto, tienen inversa. ¿QUÉ UTILIDAD TIENE SABER ENCONTRAR LA FUNCION INVERSA DE UNA FUNCION DADA? Más que nada porque no toda función tiene su inversa, nos serviría para no confundirnos. La función inversa tiene como uso principal la soluciones de ecuaciones, por ejemplo, x+3=2; para encontrar el valor de x se necesita realizar la función inversa de la suma, en este caso la resta, cada función tiene su inversa, derivada- integral, suma- resta, logarítmica- exponencial, etc. Las relaciones entre dos variables que mantienen una constante son conocidas como funciones de proporcionalidad inversa, y éstas pueden presentarse en la vida cotidiana de distintas maneras, un

ejemplo de ello es: Cuando se pretende determinar el caudal de un grifo necesario para llenar un depósito en un cierto tiempo. La función inversa y su representación gráfica son muy útiles, pues a partir de ellas podemos conocer la proporcionalidad existente en distintos fenómenos y observarlos de manera detenida, precisar qué factores influyen y cómo su interacción en el suceso alteran la reacción y el producto en él. ¿CÓMO SE DETERMINA LA FUNCION INVERSA DE UNA FUNCION LINEAL? 

Encontrar la función inversa de

¿CÓMO SE DETERMINA LA FUNCION INVERSA DE UNA FUNCION CUADRÁTICA? Para una función tenga función inversa, la función debe ser inyectiva. Una función cuadrática no es inyectiva, porque para un mismo valor de “y” tenemos dos valore de x (menos en el vértice):

Por lo tanto, una función cuadrática no tiene función inversa, si consideramos todo su dominio. Sin embargo, si sólo tomamos la mitad de la función a partir del vértice, en esa parte del dominio, sí es inyectiva y por tanto sí tiene función inversa. Por tanto, se calcular la función inversa de una función cuadrática en la parte del dominio donde la función es inyectiva. Así que, siempre hay que indicar para qué parte del dominio se calcula esa función inversa. Por ejemplo:

Se cambia f(x) por “y”: Ahora se despeja la x. Para ello, se deja sólo el término con x²: Y después se pasa el cuadrado al término contrario como raíz: Se intercambia la x por la “y”:

Y por último, a la “y” la llamamos f -1(x): Esta es la función inversa de la función cuadrática anterior, pero sólo para la parte que se queda a la derecha del vértice. El vértice de una función cuadrática es:

Que en este caso sería:

Por lo que esa función inversa es válida para los valores de x mayores que 0. Para los valores de x menores o iguales que 0, la función inversa sería la correspondiente a la parte negativa de la raíz cuadrada:

Cómo calcular al función inversa de una función cuadrática completa: Empezamos cambiando f(x) por “y”: Ahora tenemos que obtener un producto notable con los dos primeros términos de la función cuadrática. El primer término corresponde al cuadrado del primero, donde sabemos que el primero es x. El segundo término debe ser el resultado de multiplicar el doble del primero por el segundo. Para ello, dividimos el número entre 2 (en este caso 6/2=3) y el resultado lo dejamos multiplicado por 2 para no variar el resultado:

Es decir, seguimos teniendo 6x, pero expresado como el doble del primero por el segundo, de donde deducimos que el segundo es 3, ya que ya sabíamos que el primero es x. Por tanto, le añadimos el cuadrado del segundo y como se lo añadimos nosotros, también se lo restamos, para no variar la función. Nos queda: Ahora, los 3 primeros términos corresponden a un producto notable, en este caso concretamente, al cuadrado de una resta, luego lo expresamos así y operamos los dos términos restantes:

Hemos hecho todo esto para que nos quede sólo una x que podremos despejar con facilidad. Empezamos dejando sólo el paréntesis: Pasamos el cuadrado al miembro contrario como raíz:

Y finalmente despejamos la x pasando el 3 sumando al otro miembro: Intercambiamos la x por al “y”:

Y a la “y” la llamamos f -1(x): Igual que en el ejemplo anterior, esta función inversa es válida para la parte de la función que queda a la derecha del vértice.

En este caso el vértice es: Por lo que la función inversa es válida para los valores de x mayores que 3. Para los valores de x menores o iguales que 3, la función inversa sería la correspondiente a la parte negativa de la raíz cuadrada:

REFERENCIAS: https://ekuatio.com/calculo-de-la-funcion-inversa-ejercicios-resueltos-paso-apaso/#Calculo_de_la_funcion_inversa_en_funciones_cuadraticas} https://www.ecured.cu/Funci%C3%B3n_Inversa https://www.portaleducativo.net/cuarto-medio/6/funcion-inversa https://es.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/invertible-functions/a/intro-toinvertible-function