Algebra Y Trigo Momento-2.docx

TRABAJO COLABORATRVO MOMENTO 2 ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

ANGIE TATIANA GIL BARRETO CODIGO 97042823795

TUTOR: ARMANDO PERDOMO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA PROGRAMA INGENIERA AMBIENTAL 2016

1. Determine el valor de la variable x en la siguiente ecuación y compruebe su solución. (𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟐𝒙 + 𝟓𝟔) 𝒙𝟑 + 𝟐𝟏𝟔 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕 + + − =𝟎 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟑𝟔 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 𝒙+𝟕 Solución: Factorizamos numeradores y denominadores expresando como producto. 2(𝑥 + 3)(𝑥 2 + 11𝑥 + 28) (𝑥 + 6)(𝑥 2 − 6𝑥 + 36) 𝑥(𝑥 + 5)(𝑥 − 2) (𝑥 + 7)(𝑥 − 1) + + − =0 (𝑥 + 3)(𝑥 + 4) 𝑥 2 − 6𝑥 + 36 𝑥(𝑥 + 5) 𝑥+7 Vamos cancelando los términos iguales y prosiguiendo con las factorizaciones restantes. 2(𝑥 + 4)(𝑥 + 7) + (𝑥 + 6) + (𝑥 − 2) − (𝑥 − 1) = 0 (𝑥 + 4) 2(𝑥 + 7) + (𝑥 + 6) + (𝑥 − 2) − (𝑥 − 1) = 0 2𝑥 + 14 + 𝑥 + 6 + 𝑥 − 2 − 𝑥 + 1 = 0 Sumamos variables y números 3𝑥 + 19 = 0 𝑥=− Solución arrojada por el programa Geogebra.

19 3

2. Resuelva la siguiente ecuación y compruebe su solución: 𝟕𝒄 − 𝟏𝟓 = −𝟐[𝟔(𝒄 − 𝟑) − 𝟒(𝟐 − 𝒄)] Solución: Comenzamos por eliminar paréntesis 7𝑐 − 15 = −2[6𝑐 − 18 − 8 + 4𝑐] 7𝑐 − 15 = −2[10𝑐 − 26] Luego procedemos a eliminar el corchete 7𝑐 − 15 = −20𝑐 + 52 Sumamos variables y números independientemente 27𝑐 = 67 𝑐= Solución arrojada por el programa Geogebra.

67 27

3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y compruebe su solución: 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = −𝟏 (𝟏) 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟒 (𝟐) 𝒙 − 𝟑𝒛 = −𝟓 (𝟑) Restamos las ecuaciones (2) y (3) 2𝑦 + 3𝑧 = 19 (4) Restamos las ecuaciones (1) y (2) multiplicada por 2 −7𝑦 + 2𝑧 = −29 (5) Restamos las ecuaciones (4) multiplicada por 2 y (5) multiplicada por 3 25𝑦 = 125 𝑦=5 Reemplazamos el valor de y en la ecuación (4) para hallar z 2(5) + 3𝑧 = 19 3𝑧 = 19 − 10 𝑧=3 Reemplazamos en y y z en la ecuación 1 para hallar x 2𝑥 − 3(5) + 2(3) = −1 2𝑥 = −1 + 15 − 6 𝑥=4

Solución arrojada por el programa Geogebra.

4. Un ingeniero químico desea preparar una solución resultante a partir de dos soluciones base, la primera solución denominada X, tiene una concentración al 25% de HCl, y la segunda solución denominada Y, tiene una concentración al 30% de HCL, la cantidad resultante de solución debe ser de 300 ml, con una concentración de 28% de HCl, ¿Cuántos mililitros de solución X y Y se deben mezclar? Solución: Primero debemos plantear el sistema de ecuaciones correspondiente. Sabiendo que la concentración resultante es de 28% 0.25𝑋 + 0.3𝑌 = 0.28(300) Por otro lado el volumen total es de 300 ml, es decir 𝑋 + 𝑌 = 300 Por lo que el sistema de ecuaciones quedaría 0.25𝑋 + 0.3𝑌 = 84 (1) 𝑋 + 𝑌 = 300 (2) Comenzamos a resolver, multiplicamos por 4 la ecuación (1) 𝑋 + 1.2𝑌 = 336 Y la restamos a la ecuación (2) 0.2𝑌 = 36 𝑌 = 180 Reemplazamos Y en la ecuación (2) 𝑋 + 180 = 300 𝑋 = 120 Las cantidades a agregar para la solución serían: 120 ml de la solución X y 180 ml de la solución Y.

5. Resuelva la siguiente ecuación con radicales y compruebe su solución: √𝟒𝒙 + 𝟏 − √𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟖 Solución: Despejamos uno de los radicales √4𝑥 + 1 = 8 + √2𝑥 − 3 Elevamos ambos lados al cuadrado 2

2

(√4𝑥 + 1) = (8 + √2𝑥 − 3)

4𝑥 + 1 = 64 + 16√2𝑥 − 3 + 2𝑥 − 3 2𝑥 − 60 = 16√2𝑥 − 3 Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado 2

(2𝑥 − 60)2 = (16√2𝑥 − 3)

4𝑥 2 − 240𝑥 + 3600 = 256(2𝑥 − 3) 4𝑥 2 − 752𝑥 + 4368 = 0 Dividimos entre 4 𝑥 2 − 188𝑥 + 1092 = 0 Factorizando (𝑥 − 6)(𝑥 − 182) = 0 𝑥 = 182

Solución arrojada por el programa Geogebra.

6. Resuelva la siguiente inecuación y compruebe su solución. 𝟒𝒙 + 𝟏 ≤𝟓 𝟑𝒙 − 𝟓 Solución: Igualamos la inecuación a cero 4𝑥 + 1 −5 ≤ 0 3𝑥 − 5 Resolvemos la resta 4𝑥 + 1 − 15𝑥 + 25 ≤0 3𝑥 − 5 −11𝑥 + 26 ≤0 3𝑥 − 5 Igualamos a cero el numerador y el denominador para encontrar los puntos críticos −11𝑥 + 26 = 0, 3𝑥 − 5 = 0,

𝑥= 𝑥=

26 11

5 3

El punto crítico del denominador es siempre abierto, y el del numerador como es menor igual entonces es cerrado. Para valores menores a 5/3 (p.ej. 1) la inecuación es negativa Para valores entre 5/3 y 26/11 (p.ej. 2) la inecuación es positiva Para valores mayores de 26/11 (p.ej. 3) la inecuación es negativa Es decir que la respuesta es: 𝑥<

5 , 3

𝑥≥

26 , 11

Solución arrojada por el programa Geogebra.

5 26 (−∞, ) 𝑈 [ , ∞) 3 11

7. Resuelva la siguiente inecuación y compruebe su solución: 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟗 ≤𝟑 𝒙+𝟑 Solución: Igualamos la inecuación a cero 𝑥 2 − 3𝑥 + 9 −3≤0 𝑥+3 Resolvemos la resta 𝑥 2 − 3𝑥 + 9 − 3𝑥 − 9 ≤0 𝑥+3 𝑥 2 − 6𝑥 ≤0 𝑥+3 Igualamos a cero el numerador y el denominador para encontrar los puntos críticos 𝑥 2 − 6𝑥 = 0, 𝑥 + 3 = 0,

𝑥 = 0,

𝑥=6

𝑥 = −3

El punto crítico del denominador es siempre abierto, y los del numerador como es menor igual entonces son cerrados. Para valores menores a - 3 (p.ej. -4) la inecuación es negativa Para valores entre -3 y 0 (p.ej. -2) la inecuación es positiva Para valores entre 0 y 6 (p.ej. 1) la inecuación es negativa Para valores mayores de 6 (p.ej. 7) la inecuación es positiva Es decir que la respuesta es: 𝑥 < −3,

0≤𝑥≤6

(−∞, 3) 𝑈 [0,6] Solución arrojada por el programa Geogebra.

8. Encuentra la solución para la siguiente ecuación con valor absoluto y compruebe su solución. |𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓| = 𝟒 Solución: Podemos encontrar dos situaciones 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 4, 𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = 0,

𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = −4 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0

La segunda se le aplica trinomio cuadrado perfecto y queda (𝑥 − 3)2 = 0,

𝑥 = 3;

La primera se resuelve mediante la fórmula cuadrática 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥=

6 ± √36 − 4 2

𝑥 = 3 + √8,

𝑥 = 3 − √8

𝑥 = 3 + 2√2,

𝑥 = 3 − 2√2

Solución arrojada por el programa Geogebra.

9. Encuentre la solución para la siguiente inecuación con valor absoluto y compruebe su solución: |

𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 |≤𝟖 𝟐

Solución: Podemos encontrar dos situaciones 2𝑥 − 12 ≤ 8, 2 𝑥 − 6 ≤ 8, 𝑥 ≤ 14,

2𝑥 − 12 ≥ −8 2 𝑥 − 6 ≥ −8 𝑥 ≥ −2

[−2,14] Solución arrojada por el programa Geogebra