Algebra Primero.docx

RAZONAMIENTO MATEMATICO 1°

ELEMENTOS ALGEBRAICOS

Ahora te toca a ti: En la siguiente tabla multiplica las constantes y las variables para formar términos algebraicos. CONSTANTES

VARIABLES

3

x

-2

Y

12

xw

-14

xyz

20

x2

32

X2z

-7

x3z2

TÉRMINO ALGEBRAICO

a) Completa la siguiente tabla: b) TÉRMINO PARTE ALGEBRAICO CONSTANTE

PARTE VARIABLE

Recuerda

5x -4wz

Los exponentes de las variables siempre deben ser números.

14ywz -45x2w 34x3z5 -16x12y7w10 12wz3yx24 -

1 2 3 x yz 2

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Copia en tu cuaderno y reduce las siguientes expresiones. 1.

3x  5x  4 x

2.

b  2b  4b 2 2

2 2

2 2

3.

 x y  2x y  3x y

4.

a  8a  11a  15a  2a

1

3

3

3

3

3

5.

y y y y y

6.

2x  xy  12  3x  46  3xy  12

7.

3a  b  2b  4a  b  2a  4a  b

2

2

RAZONAMIENTO MATEMATICO 1° 2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

8.

xy  x y  2xy  3x y  x y  3xy

20. 2x  5y  6z  8x  y  13z  x  6y  z

9.

2x  3y  2z  4  2y  3x  12  4z

21. ab  8bc  7ac  bc  12ab  7bc  5ac  11ab

3

2

2

2

3

2 2

3

2 2

3

11. a b  a b  ab  2a b  3a b  2ab a

b

c

a

b

2

22. 9k  2r  7r  5k  r  3r  2r  5k

10. x  x  2xy  3x  4x  3xy 3

2

2

12. 2x  3y  4z  x  2y  3z

23. 3mn  m  n  4mn  2m  5n  m  2n  mn

3

2 2

2 3

3 2

2 3

3 2

24. p q  4p q  2p q  4p q  5p q

c

13. x  y  4  3y  12x  12

3 2 1 5 2 2 2 3 1 2 1 2 25.  a  ab  b  a  ab  b  b  2ab 4 2 6 3 4 6 3

14. 0,2x  0,4y  0,3z  2,1y  3,2x  4,8z

26. 0,3a  0,4b  0,5c  0,6a  0,7b  0,9c  3a  3b  3c

a

b

2

b

2

a

2

15. 4xy  2x y  5x y  5xy

5 2

2

16. 3x  4xz  3y  6y  3yz 2

2

2

4

2

3

5 2

2 5

5 2

2

2

2

28.  7p  9q t  5tq  8p  3q t  4tq 2

2

17. 14x y  8xy  7xy  8  5x y  xy  3 3

2 5

27. 12x y  6x y  x y  3x y  10x y

2

4

3

18. 7x  6xy  4x  2xy  9x  5xy

2

2

2

29. xyz  x y  6x y  4xyz  5x y  x y

4

2

2

2

30. 4x  8x  5  3x  x  2x  3x  10

19. 8a  7b  2b  a  5b  3a  10b

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

3b1

a) 3 d) 6 2.

b) 4 e) 7

a) 6 d) 64

son 6.

c) 5

b1

A

5

b) 12 e) 15

continuación

semejantes: 2x 2

se

n2

c) 28 muestran

4

; 6x ;  7x

1m

7.

términos

. ¿Qué valor

2

asume: m  n ? a) 10 d) 17 4.

b) 13 e) 20

8.

Si M y N son términos semejantes, halle: "2a + 3a 12

3b". M( x; y)  3x y a) 4 d) –11 5.

c) 15

6 a  2b

c) 60

La cantidad de meses de un año. ( Los colores del semáforo. ( Días de la semana. ( Las vocales. (

) 7 ) 5 ) 12 ) 3

Se tiene las siguientes constantes y variables: -3, x, 7, y. Determina cuántos términos algebraicos se pueden formar multiplicando solo uno de los dos números con solo una de las dos letras. Indícalos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Representa mediante términos algebraicos las siguientes proposiciones:

; N( x; y)  2x y

b) 15 e) 7

a) La edad de una persona. b) El doble del número de personas en el mundo. c) El triple del número de pasajeros que suben a un autobús. d) Menos el doble de la altura de un árbol.

c) 19

Si: P y Q son términos semejantes, halle la suma de sus coeficientes. 2 4m1 6

P( x; y)  m x

b) 8 e) 68

Relaciona las siguientes proposiciones con su respectiva constante: a) b) c) d)

a2

Si: son a 1x ; b  2x y abx , términos semejantes, halle la suma de coeficientes. a) 11 d) 40

3.

11

Si los términos 4xy ;  7xy semejantes, calcule el valor de "b".

3 7 n2

y ; Q( x; y)  n x y

9.

2

Completa el siguiente cuadro:

COLEGIO “PORTAL DE BELEN” Término Algebraico 3x x 5x3 -2x2y x3yz2

Parte Constante

siempre sea parte de los términos a formar. Determinar el número máximo de estos.

Parte Variable

a) 2 d) 4

b) 5 e) 3

c) 6

14. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un término algebraico? ¿Por qué?

10. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) Los números son constantes. II) Las variables se representan con números. III) 5 es una variable. a) Sólo I y III d) Sólo III

b) Sólo II e) Ninguna

c) Sólo I

11. Luego de hallar el área de las siguientes figuras indica cuál de los resultados son constantes y cuáles son variables. I)

II)

4 4 III)

ALGEBRA 1°

b a

2

a) Constante: III b) Variable: I, II c) Constante: I Variable: II, III d) Constante: I, III Variable: II e) Todas son constantes f) Todas son variables 12. Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones. a) Dos veces el número de postulantes a la universidad. b) Cinco veces el dinero que gaste. c) Menos tres veces el número de colegios del Perú. d) Menos ocho veces el área de un cuadrado. 13. Se quiere formar términos algebraicos multiplicando las siguientes constantes y variables: 7, x2, w. Con la condición que 7

a) 7x-2 c) 24799x2y5

b) –xywabpq d) 5

e) –x-1

15. Completa la siguiente tabla: Término Algebraico 5x-9y2 4x-1wz3 -25x3y8w-4 -14x-4w5z3

Parte Constante

Parte Variable

Exponentes

1 mn4 3 -2,8a2b5 16. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son falsas: I) -3 es un término algebraico. II) En un término algebraico las variables pueden tener exponentes negativos. III) Un término algebraico tiene tres partes: parte constante, parte variable y exponentes. a) I y III d) I y III

b) Sólo I e) Todas

c) Sólo II

17. Con las siguientes constantes y variables: 4, x5, z3. ¿Cuántos términos algebraicos como máximo se pueden obtener? Indícalos. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

¡Esfuérzate ! Tú puedes

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

1.

ALGEBRA 1°

Relaciona las siguientes proposiciones con su respectiva constante: a) El número de días del mes de Agosto. ( b) El número de estaciones del año. ( c) La cantidad de campanadas de un reloj al medio día. ( d) La cantidad de sentidos en el ser humano. (

a) El área de III es un término algebraico. b) Las áreas de I y II son términos algebraicos. c) Sólo el área de II es un término algebraico. d) Las áreas de I y III son términos algebraicos. e) Todas las áreas son términos algebraicos.

) 12 ) 5 )

4

) 31 7.

2.

Toma solo uno de los siguientes números: 2; 5; 4 y solo una de las siguientes letras: w; z; multiplícalos. ¿Cuántos términos algebraicos como máximo se formaran? a) 5 d) 3

3.

8.

Se tiene los siguientes conjuntos:

A

B

w2 xy3 z2y5 xw

3 -4 7

Completa el siguiente cuadro: Parte Constante

Tomando un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B. ¿Cuántos términos algebraicos se pueden formar?

Parte Variable

a) 2 d) 4 9.

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son Falsas? I) 3 es un término algebraico. II) 3x2yw es un término algebraico. III) x es un término algebraico. a) Sólo I d) I y III

6.

términos

El dinero de una persona. El quíntuple de la temperatura ambiental. Siete veces la distancia Tierra – Sol. Menos cuatro veces el tiempo transcurrido.

Término Algebraico -4x -x 8x5y2z 325x2wa 5.

a) Menos cuatro veces el área de un rectángulo. b) Menos el doble del área de un triángulo. c) Menos tres veces el área de un círculo. d) El cuádruple del área de un cuadrado.

c) 6

Representa con ayuda de algebraicos las siguientes frases: a) b) c) d)

4.

b) 4 e) 7

Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones.

b) Sólo II e) I y II

c) Sólo III

Halla el área de las siguientes figuras: I)

x3 II) 5

III)

3

2 x2y

Según los resultados se puede afirmar que:

b) 5 e) 3

c) 6

¿Cuál de las siguientes expresiones es un término algebraico? I. -35 II. -2x-3 III. z2wx

a) Sólo I b) II y III d) I y III e) Todas 10. Completa la siguiente tabla:

c) Sólo II

Término Algebraic o 4x5y-1 -x-1 -3x-2 -xy2 5xy2z3w4

Exponente s

Parte Constant e

Parte Variabl e

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

ALGEBRA 1°

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Ejercicios: En cada caso elimina los signos de agrupación y resuelve: 1)

+{2 + x} =

13)

6n   x   x  2x  n  x

2)

+(3y - 4) =

14)

3p  q  2p ´p 2p  3q  p

3)

+[2 + x + w] =

4)

+ (x – 2y) =

15)

5)

5x + [2y – w + z] =

3 5   19 1   1 a   b  a   a  b 4 2 6 12 2    

6)

+{x + y} – 4 + [z + w] =

16)

2p  3  3p  4q 2q  3p  q  p

7)

7x – (2x – 3) + (3x – 4)

17)

x  2x  3  4x  2   3x  1  5  2x  3x  2

8)

 5a   a  2   a  4

18)

 2b  5a  a  a  3b  a  b 12a

9)

 x  2y    2x  y  3x 

10)

 3a  b  2a  b  5a  b

19)

2  2 2 2    3x  5y   3x  y   6  x     x  y           

11)

3x  2y  z  2x  2y  z  x  3y

20)

   x    x    y  z     z 

12)

p  3p  8p  3  p  3p  5

Algo con más dificultad: Reduce. 1)

 8y   7y  3y  7x   2y  8x  5x

2)

  3a  b   a  2a  b   a  b 3b 4a

3)

2 2 2 2 2 4x    x  xy     3y  2xy     3x  y        

4)

 x   x  y    x  y  z    x  y  y

6)

  17m   m  7  2m  (m  6)  (4  3m)

7)

3 x  y  2 x  x  ( 3y  2 x )  ( x  y )

8)

x   2x  y    x  y  z  x  z

9)

2a   3a   a  7  2a  7  

5)

5xy  2xy   4xy  2  5  3xy





10) 13x   2x  (3x   x  y  2y)  3y 11)



3x  x  y  2x  y



13)

    3m   m  (n  m  4  (m  n)  (2n  3)

14)

2x  x  2y  (5x  2y)  x  y

12)

  a   a  (a  b)  a  b  c   (a)  b

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

ALGEBRA 1° Expresión por reducir Expresión reducida

1.

¿Cuáles de los siguientes signos son de agrupación? I)

II)(

) III)

w

c) 4w – [2w + w]

(

)

4w

d) – {4w - w} + 3w

(

)

5w

3x + {8x2 – 3x} – [-2x + 8x2] Señala la expresión que se obtiene:

iii.

b) Sólo I y II

a) -2x d) x

e)

Si (+) antecede a un signo de agrupación, la expresión interna cambia. Si (-) antecede a un signo de agrupación, la expresión interna no cambia. Si (+) precede a un signo de agrupación, este no se puede suprimir. Si (-) precede a un signo de agrupación, la expresión interna cambia de signo. Ninguna de las anteriores.

Elimina los signos de agrupación en cada caso: I) -(x - y) II) w + {z - y} III) -[-z + w] - y Luego indica la expresión que tiene más términos negativos. a) III d) I y II

6.

)

8.

ii.

5.

(

¿Cuál de los siguientes signos no es de agrupación? I) ( ) II) { } III) [ ]

i.

4.

b) (5w + 3y) – 3y

En los siguientes problemas suprime los signos de agrupación y luego simplifica:

Señala lo correcto: respecto a la supresión de signos de agrupación:

v.

0

}

9.

iv.

)

7.

a) Sólo I d) Todos Ninguno c) Sólo II y III 3.

(

b) Sólo I e)

a) Sólo II d) Sólo III Ninguna c) Sólo II y III 2.

{

a) 2w + [3w - w]

b) II e) Todas

c) I

Luego de eliminar los signos de agrupación reduce: 5x – (2x – 3x) Señala la expresión resultante: a) 2x b) 6x c) 4x d) 0 e) 3x Relaciona correctamente:

b) 2x e) -x

c) 0

-7x2 – (3x + w) + [7x2 + w] Indica la expresión obtenida: a) -3x d) 7x2

b) 3x e) -2w

c) -w

10. –(4x - 5) + [3x - 13] – {-5x – 8 + w} – {5x w} Señale la parte constante del término que se obtiene: a) 1 d) -1 11.

b) -2 e) 3

c) 2

–{5w – 7 + y} + [-3 + 4x + y] – {2 + 2w} + {14w – 2 – 4x}

Indique la parte constante del término algebraico resultante. a) 3 d) -7

b) 7 e) -3

c) 2

12. 3y – {2y – (3w + 5x) + [-5w + 3y] + 10w} Señala la suma de las partes constantes a) -9 d) -3

b) -7 e) 7

c) 9

13. {(3y – 7 - w) + 4 – [-2y – 3x - 3] – 5y} + 10x Dar por respuesta la suma de las partes constantes. a) 3 d) 7

b) 5 e) 9

c) 8

14. -3x + {5w – [5z – 3x – (-5w + 4z)]} + z a) –z d) –x

b) x e) 0

c) –w

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

ALGEBRA 1° a) Solo I d) Solo II

15. 4w – {-8x – [8y – 4w + (8x – 8y)]} – 9x a) 0 d) 3w

b) 7x e) -7y

c) 7y

5.

16. 3x + {9xw – {2x – 4xw – (5xy2 – 4 – 7x) + [3x + 13xw – (-3x + 4)]} + 10xy2} a) 12x – b) 15x – 12xy2 c) 15x + 12xy2 15xy2

d) -12x + e) -12x – 15xy2

6.

1.

¿Cuáles de los siguientes signos son de agrupación? I) | | II) III) [

4.

b) Sólo II e) Todos

Expresión

a) 2w2 – w – (2w2 - w

( )

7z

b) 3w + z – [-6z + 3w]

( )

-7w

d) {4z – 12w} – (-5w + 4z)

( )

0 13w

En los siguientes problemas suprime los signos de agrupación y luego simplifica:

b) VVV c) VFF e) FVF

Señala lo correcto: I) -(x + w) = - x – w II) +{z - w} = z – w III) -[y - z] = -y – z

7.

-7x – {-5x2 + 7x} + (2x – 5x2) Indica la expresión que se obtiene: a) 12x b) -12x c) x d) –x e) 0

8.

7w2 + [-3y - z] – {-3y – 4z + 7w2} a) 3z b) 2z c) –x d) 3y e) 4x

9.

(3x + 2) – [9x + 4 - w] + {-7x – 5 - w} – (7w – 13x - 7)

c) Sólo III

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. Si suprimimos un signo de agrupación precedido por (+) la expresión interna no cambia. b. Si suprimimos un signo de agrupación precedido por (-) la expresión interna cambia de signo. c. Los principales signos de agrupación son 3: ( ) , [ ] , { } a) VFV d) VVF

Relaciona correctamente:

c) –[3z – 5w] + 3w – [-5w – 3z] ( )

d) Todos e) Ninguno

¿Cuál de los siguientes signos no es de agrupación? I) { } II) ( ) III) [ ] IV) ¡ ! a) Sólo I d) Sólo IV

3.

c) 3w

]

a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo III 2.

b) -19 w e) 19w

Expresión por reducir reducida

TAREA DOMICILIARIA

c) Solo I y II

Luego de suprimir los signos de agrupación simplifica: - 8w – {-4w + 11w} Señala la expresión resultante: a) 0 d) -15w

15xy2

b) Solo I y III e) Solo III

Señala la parte constante del término algebraico que se obtiene: a) 8 b) 6 c) -6 d) -7 e) 7 10.

(4w – y + 3) - (8y – 3 – 7w) + [-4 – 9w + 9y] – {-2w + 2}

Indica la parte constante del resultado: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. -4z + {-2w + (7y – 3w) – [3y – 4z] - y} Señala la suma de las partes constantes. a) -2 b) 3 c) 4 d) -5 e) -7 12. {-(-4x – 2 + y) – 7 + [3x – 4w + 5] – 7x} + 12w Dar por respuesta la suma de las partes constantes. a) 4 b) 3 c) 7 d) 5 e) 2

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

ALGEBRA 1°

13. -7w – {-3z – [-8y + 7w + (-3z + 11y)]} – 3y a) w b) z c) 0 d) y e) –z

d) 0

e) -w

14. -3y – {-8w – [-7z + 3y – (-w – 7z)]} – 9w a) y b) z c) w EVALUACION DE EXPRESIONES A cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna un determinado valor numérico.

Ejemplo: Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión: 3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b = 33 - 22 -53+42-63+32 = 9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14 Ahora tú: Si a = -2 ; b = 4 ; c = -1 1. 12a - 8a + 10a + 3a - 18a + 5a =

encuentra el valor de cada expresión 2. 7ª - 8c + 4b + 6c - 4b + 3a =

Veamos ahora un ejemplo con números racionales: Si a = 3a

- 2b

- 5a

+ 4b

- 6a

+ 3b

2 1 y b = , evaluemos la expresión: 3 2

=

1 2 2 2 1 1 - 2 - 5 + 4 - 6 + 3 = 3 3 2 3 2 2  10 17 5 2- 1 + 2 - 4 + =  2 6 6 3 3

3

2

Ahora te toca a ti : Si

1 a= ; 2



b=

2 1 ; c= 3 4

encuentra el valor de cada expresión

2 a +5a= 3 2 1 4. -1 a + 5 b - 3 c + 2 a - 4 c + 7 b = 2 3 4 1 5. -5 c + 3 b - (-4 a) + 4 c + (-5 b) - 0,6 c = 2 5 3. 2 a - 8 a + 10 a + 3 a -

EJERCICIOS: pone en práctica lo anterior 1) En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego reemplaza en cada caso por a = -2 y b = 7, para valorar la expresión. a) 3ab – b + 2ab + 3b

b) 3a2b – 8 a2b – 7a2b + 3a2b

d) ab2 – b2a + 3ab2

e)

3 4 5 7 a b a b 2 5 4 10

3 2 a b–1 2 2 1 2 1 2 b f)  b  b  b  7 5 14 c) 2a2b –

2) Calcula el valor numérico de las siguientes E. A., considera para cada caso a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0 a) 5a2 – 2bc – 3d d) d4 – d3 – d2 + d – 1

b) 7a2c – 8d3 e) 3(a – b) + 2(c – d)

c) 2a2 – b3 – c3 – d5

f)

cd ab  2 7

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

g)

3 2 1 7 a c b f 4 5 2 8

h) b  c 

ALGEBRA 1° a

i)

a  b  c



( 2 a 3 d ) f

ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS Para resolver paréntesis se debe seguir por las siguientes reglas:

a) si el paréntesis está precedido por signo positivo, se consideran los términos por sus respectivos signos, b) si el paréntesis está precedido por signo negativo, debes Sumar su opuesto, es decir, cambiar el signo de los términos que están dentro del paréntesis que vas a eliminar.

15) 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) = 16) 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) = 17) -( x - 2y ) -  { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) } = 18) 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) = 19) 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } = 20) 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =

1 3 3 3 y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x + y + z ) = 2 4 4 5   1  1  1  22) 9x + 3 y - 9z - 7x   y  2z   5 x  9 y  5z  3z    3  2  2   21) 8x - ( 1

Solucionar:

3   1 1   1 1  a) 3 p   p  q    2 p  1 q    1 q  p  2      4 2 4 4

3   2    3 1    b)  2a  b  3a   5b  a    b  a     4   3   4 2  3   1  1   c) 3a   a  b     7a  1 b    a  b   4   4  4  

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

ALGEBRA 1°

1   2    3 1    n  mn   d)  2mn  m   3n    5mn  m    4   3   4 2   

POLINOMIOS 1.

TÉRMINO ALGEBRAICO Unión de constantes y variables, unidas solo mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Partes del término algebraico:

T(x, y) = -7x7 y4 parte literal

 Las bases (x, y)  Los exponentes (7 y 4)

coeficiente (parte numérica) CARACTERÍSTICAS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO: 1.

Los exponentes variables :

no

pueden

ser

T(x, y, z) = 7xyz  no es T.A. T(x, y) = 8x2 y3  si es T.A

2.

Los exponentes no pueden ser expresiones numéricas racionales : T(x, y) = 24 x

2

y3  no es T.A.

T(x, y) = 5x7/9  si es T.A.

En un término algebraico los exponentes de las variables deben ser números y no letras.

2.

MONOMIOS Término algebraico donde los exponentes de la parte literal son numéricos enteros positivos, incluido el cero.

Ejemplo:

-5x3 y5 z6 = T(x, y, z)

Donde: -5 : parte constante (coeficientes) ; x3 y5 z6 : parte literal CARACTERÍSTICAS DE UN MONOMIO: 1.

2.

Al expresar M(x, y) indicamos un monomio de 2 variables. Todo monomio posee 2 grados : a.

Grado Absoluto (G.A.)

b.

Grado Relativo (G.R.) : se refiere a una de sus variables

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

ALGEBRA 1°

7 7 3 2 x y z  3

Ejemplo: M(x, y, z) =

a. b. c. d.

tiene 3 variables

3.

Grado Relativo a x : Grado Relativo a y : Grado Relativo a z : Grado Absoluto :

GRx GRy GRz GA

= = = =

4 3 2 9

POLINOMIO Suma algebraica limitada de monomios no semejantes.

Ejemplo: 

5x2 y3 + 7x2 y3 + 12x2 y3 - 24x2 y3 = P(x, y) Tiene igual parte literal  son monomios semejantes. NO ES POLINOMIO.



P(x, y) = 8x2 y7 + 32xy - 12x3 y + 18xy7

SI ES POLINOMIO (de 4 monomios)

Los términos semejantes son como los integrantes de una familia. Tienen los mismos apellidos (igual parte variable). Ejemplo:

Integrantes de una familia

Juan Torres Salas Pedro Torres Salas 7x2y5 -2x2y5

Igual parte variable entonces son términos semejantes

CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO: 1. Al expresar P(x, y) indicamos un polinomio de 2 variables “x” e “y”.

El grado es la característica principal de un monomio de un polinomio. 3

5x Tiene grado 3

2. Todo polinomio posee 2 grados : a. Grado Absoluto (G.A.): Dado el monomio de mayor grado.

10

; 7x

Tiene grado 10 es más importante

Ejemplo:  P(x, y) = 7x2 y3 - 12x3 y8 - 24x2 y7 + 2xy 7x2 y3 - 12x3 y8 - 24x2 y7 + 2xy 5º

11º

9º

2º

 P(x, y) = -5x9 y8 + 13 x2 y7 + 10x12 y5 – 3x 7

¿Cuál es mayor?  11º es el mayor entonces G.A.: 11

¿Cuál es mayor?

COLEGIO “PORTAL DE BELEN” -5x9 y8 + 13 x2 y7 + 10x12 y5 – 3x 7

17º

9º

17º

ALGEBRA 1° 

17º es el mayor entonces G.A.: 17

1º

b. Grado Relativo (G.R.): Dado por el mayor exponente de la variable referida

Ejemplo:  P(x, y) = xy + 11x2 y7 – 19xy3 + 3x – 32y9 GR1x = 1 GR1y = 1

GR2x = 2 GR2y = 7

GR3x = 1 GR3y = 7

GR4x = 1 GR4y = 0

GR5x = 0 GR5y = 9

¿Cuál es el mayor GR de x?  2 entones GRx = 2 ¿Cuál es el mayor GR de y?  9 entones GRx = 9  P(x, y) = 2x2 y3 – 24xy12 + 12x3 y4 – 7xy GR1x = 2 GR1y = 3

GR2x = 1 GR2y = 12

GR3x = 3 GR3y = 4

GR4x = 1 GR4y = 1

¿Cuál es el mayor GR de x?  3 entones GRx = 3 ¿Cuál es el mayor GR de y?  12 entones GRx = 12

1. Escribe SI o NO según corresponda en cada paréntesis Expresión Algebraica a) b) c)

3

6x  2x  8x  1 5 2

6m n  2m n  2mn 3

2

ax  bx  cx  d 2 6 3

4 2

d)

3 a b  3a b  2b

e)

2x

g) h)

1/ 3

2q

x x

i) j) k)

1/ 3

63 x 3 3 3 4 2 5 n m n m 4 5

f)

 2p q  10

4

2

2



x x

2

 8x  12 3

4x  x  7x  1 1 1   2x  5y x y 3

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3

1

x

3

2

2

 9x  6

(

)

¿Es un polinomio?

2

3

6

x x

l)

5x  5 y  3xy  y

4

( ( (

) ) )

2. Calcule el grado relativo y el grado absoluto de los términos siguientes: a) 15 b) 3a 2

c)

 6a b

d)

8x y

e)

 xyz

f)

2 x y z

g)

 5x y

h)

x y

i)

9 x y

j)

 5m

k)

Q(a; b; c)  3a b c

l)

F( x; y; z)  6 x

5 6

5

3 10 3 2 4 3

a 2a m m 2m 8m

z

a1 a2 a3

n

p

2 5 4

2 mn mn m2n

y

z

COLEGIO “PORTAL DE BELEN” 12a 3a 8a

m) H(m; n; p)  15m

n p

3. En los polinomios dados, calcule el grado relativo y el grado absoluto. 3

x x x

b)

5a  3a  4a  6

c)

a b  a b  ab  b

2

4

3

2 2

3

5

4 3

2 4

4

6

d)

x  6x y  x y  3y

e)

a  a  ab

f)

6a b  4a b  ab  5a b

g)

m n  mn  mn  m  n  m

2

4 7

4

6

3 8

4

3 2

8

15

11

4 3 2

h)

3x y z  x y z  16

i)

11x

a1 a1

 7x

y

6

a2 a3

 2x

y

4

a3 a2

y

P( x)  3x  5x  x  2

k)

R( x)  2x  5x  7x  12

l)

Q( x; y)  5x y  2x y  7xy

3

6

2 4

3 5

2

3

3 2

4. Ordene en forma decreciente respecto a la variable "x" cada polinomio siguiente: 3

6x  2x  4 x  5x  x  1

b)

5ax  4x  2ab  7ax  9 2 3 6 5 3 1 3 8 2 xy z  x yz  xy z  x 7 5

c)

2

3

5

3

2 2

5

4

d)

3x yz  2x y z  x yz  12

e)

0,3xy  6x y  0,8x y  8x y  6

f)

2xy  3x y  5x y  5 1 2 6 5 2 3 x  x  7x  x  4 x  2 5 3

g) h)

2

3 6

3

6

2 4

4 6

2 4

4 3

2 4

5

xy  3x y  x y  x y  y  6

5. Dados los siguientes polinomios, ordénelos en forma creciente y complételos respecto a "y". a)

4

2

5x y  6x y  2x  8

d)

2xy  3x y  x y  6x  3 1 2 5 2 2 3 3 6xy z  x y z  y z  6 3

4

2 3

4 2

2 3

4

2 6

2

4

3

4 3

f)

 6xy  5x y  3x y  6y  8

g)

0,6xy  0,8x y  13

h)

4x y  5y  7x y  9y  2

3

5

3y  5y  6y  y  2

a) 7 d) 0

3 3

6

3 2

b) 6 e) 8

c) 10

7. Halle el valor del coeficiente si sabemos que el monomio es de GRx = 3. M(x, y) = -3nxn-3 y

a) 4 d) 7

b) 15 e) -9

c) –18

b) 10 e) 0

c) 5

9. Calcular “n” si el monomio : M(x, y) = 44 x3n y2 es de GA = 11 a) 3 d) –9

4

a)

3

3

8. Halle el valor de “n” en el siguiente monomio : M(x, y) = 11xn y7 si sabemos que GA = 12

m) P( x; y)  6ax y  9axy  5x y

2

6

c)

a) 18 d) 12

2

j)

5

5

 y  8y  5y  4y  6

6. El siguiente monomio es de GA = 12. Hallar “n” : M(x, y) = 2xn-2 y6

3

2

4 2

2

b)

e)

2

a)

3

ALGEBRA 1°

b) 2 e) 5/3

c) 9

10. Hallar el coeficiente si GA = 14. M(x, y) = (n + 2)xn+5 y2n a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6 11. Halle el coeficiente si GRx = 2; GRy = 3 en : M(x, y) = (a + b - 5)xa+1 yb-3 a) 7 d) 5

b) 6 e) 12

c) 2

12. Calcule el GRx si GRy = 12 en : M(x, y) = 12xn-2 yn+4 a) 8 d) 10

b) 7 e) 4

c) 6

13. En el monomio M(x, y) = 4xn-3 y4n. Calcule GRy si GRx = 4

COLEGIO “PORTAL DE BELEN” a) 21 d) 24

b) 28 e) 18

c) 3 a) 5 d) 6

14. En el siguiente polinomio: P(x) = 2xa-2 – 7xa + 12xa+4. Calcule el valor de “a” si GA = 12 a) 8 d) 11

b) 14 e) 10

c) 12

15. En el polinomio: P(x,y) = x2a+4y – 7xay2 – 8xa-3y2. Calcular el valor de a si GRx = 8 a) 11 d) 7

b) 8 e) 4

ALGEBRA 1°

b) 10 e) 8

c) 12

17. Calcule la suma de coeficientes si GRx = 3. P(x) = xa+1 – axa+2 + xa+3 a) 2 d) –3

b) 3 e) -2

c) 4

18. Halle “a” en P(x) = ax22+a – 12x2 + 27x3 si la suma de coeficientes es cero. a) –15 d) –27

b) 15 e) 18

c) 12

c) 2 19. ¿Cuál es el GRx en el problema anterior?

16. Calcule el valor de “a” si GA = 14 en : P(x) = 7x2 ya+2 – 12xa+1 ya+3 + 18xa+2

a) 15 d) 7

b) 3 e) 5

c) 2

b) 10 e) 12

c) 6

TAREA DOMICILIARIA Nº 3

1. En los siguientes monomios de el valor de los GR de cada variable :

a) 5 d) 8

a. M(x, y) = 7x2 y9 b. M(x, y) = 8xy9 5. Halle “b” si GA = 24 en : M(x, y) = 24xb+2 y2b+1 a) 5 b) 10 d) 21/2 e) -7

c. M(x, y) = -12x3 y6 d. M(x, y) = 24xy

c) 7

e. M(x, y) = -72xy6 2. Hallar el valor de “n” si GA = 12 en : M(x, y) = 3xn+2 yn a) 5 d) 8

b) 6 e) 4

c) 7

3. Hallar el coeficiente si sabemos que el monomio tiene GRy = 13. M(x, y) = (2n + 3)x4 yn+3 a) 22 d) 20

b) 13 e) 19

c) 23

4. Halle el valor de “n” en el siguiente monomio : M(x, y) = 25xn yn+2 si GA = 12.

6. Calcule el coeficiente si GA = 11. M(x, y) = (a + 4)xa+2 y2a a) 7 d) 2

b) 9 e) 4

c) 3

7. Calcule el coeficiente si GRx = 12 y GRy = 9. M(x, y) = (a + b + 24)xb+15 y9+a a) 22 b) 24 c) 21 d) 12 e) 9 8. En el siguiente polinomio : P(x) = 2x4 + 4x5 + 6x2 – 3. ¿Cuál es el GA? a) 4 d) 5

b) 2 e) 0

c) 3

COLEGIO “PORTAL DE BELEN” 9. Calcule la suma de coeficientes si GRx = 2. P(x) = 2axa – axa-1 + 3xa-2 a) 6 d) 5

a) 7 d) 14

c) 8

13. Del problema 11, ¿cuánto vale GRz?

10. Calcule el valor de “a” si GA = 10 en : P(x) = -2xya + 7x2 ya – 3x2 y7 b) 8 e) 2

a) 16 d) 14

b) 7 e) 6

b) 7 e) 13

c) 9

14. Halle el valor de “n” en : M(x, y) = 2x2 yn – 2yn+2 + 3xn-3 y; si : GA = 12

c) 10

11. Calcule el valor de “a” si GRx = 11 en : P(x, y, z) = -2x2+ayz2 + 2ya+5 – 3xyza+4 a) 9 d) 1

b) 16 e) 13

c) –2

b) 4 e) 3

a) 7 d) –3

ALGEBRA 1°

a) 10 d) 15

c) 2

b) 5 e) 12

c) 8

15. Del problema anterior, ¿cuánto vale el GRy? a) 10 d) 12

12. En el problema anterior halle GRy :

b) 6 e) 2

c) 8

OPERACIONES CON POLINOMIOS 1. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Para sumar o restar Monomios estos deben ser semejantes, es decir, tener la misma parte variable.

Ejemplo: 

3x + 2x

Se pueden sumar porque tienen la misma parte variable.



5x + 3x2

No se pueden sumar pues sus partes variables no son iguales.



4w – 5x

No se pueden restar porque las partes variables son diferentes.

Y… ¿Cómo se suman o restan los Monomios?

¡

Fácil

!

Para sumar o restar Monomios solo se trabaja con las partes constantes y al resultado se le agrega la parte variable común.

Ejemplo: 5x – 7x Nos olvidamos de la parte variable, así:

¡Qué fácil es sumar o restar monomios!

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

ALGEBRA 1°

(5 – 7) x Hallamos el resultado, así:

5 – 7 = -2 Resultado Al resultado le agregamos la parte variable común: así:

5x - 7x

=

-2x

Parte Variable Común

¿Sabías que? El prefijo MONO significa UNO, es decir, Monomio significa un solo término.

Más ejemplos: 

3w + 7w



9w2 - 5w2 = 4w2

= 10w



-4xy + 2xy = -2xy



-7xz3 – 2xz3 = -9xz3

Ahora Te Toca a ti: 

4w + 7w

= ……………………



9zy4 – 7zy4

= ………………



5y3 - 8y3 = …………………….



-8wzx – 3wzx

= ....…………..

I. Halla el resultado en cada operación: 1.

2x + 5x =

2.

3w + (-5w) =

3.

8z + (-4z) =

11. 3x2 + 4x2 + 7x2 =

4.

(-7y) + 3y =

12. 4w3 + 2w3 – 8w3 =

5.

(-2x) + 5x =

13. 5z4 + 7z4 – 2z4 =

6.

(-8w) + (-3w) =

14. -12y5 + 3y5 + 2y5 =

7.

2z – 7z =

15. -5x7 + 7x7 + 2x7 =

8.

5y – 3y =

16. -3w2 – 2w2 – 4w2 =

9.

(-8x) – (-5x) =

17. 3z3 – 2z3 – 4z3 =

10. (-4w) – 3w =

II. Reduce en cada caso:

18. 10y4 – 4y4 – 3y4 =

COLEGIO “PORTAL DE BELEN” 19. 9xw + 2xw + 4xw =

ALGEBRA 1° j)

20. -12xy – 3xy – xy =

 2 2 2 3  Reste   x  y  xy  de 4   5 2 3 2 1  x  xy  y  2 4 

V. Dados los polinomios. III. Dados los siguientes polinomios: 3

2

P( x)  3x  x  4x  6 ; 3

2

3

2

Q( x)  7x  10x  5 ;

2

3

2

C  7x  5x a)

R( x)  x  4x  x  4  S( x)  8  6x  x  9x

4

3

2

A  3x  2x  6x  8 ;

b) c) d) e)

3

B  7x  4x  11 ;

 D  x 2  4x 4  1 . Halle:

A  B  D B  C  D B  D  A A  B  C  D A  C  B  D

Calcule: a) b) c) d) e) f)

P( x)  Q( x) R( x)  S( x)

1.

P( x)  R( x) Q( x)  S( x)

a)

De (2x + y) reste (2x – y)

b)

De (4a – 2b) reste (3a + b)

c)

2 2 De  2x  2xy  reste  x  xy     

d)

De (2a – 3b + c) reste (a – 2b + 2c)

e)

 1 2 3   3 2 2  De   a  a  1 reste   a  a  8  4 10 4 5    

f)

4 3 3 2 Reste  2a  2a  3a  de  3a  2a     

g)

3 3 4 2 2 Reste  2x  3x  4 x  de  x  2x  3x  5     

h)

4 3 2 Reste   3ab  2a b  de  

 2a 3 b 2  a 2 b 3  ab 4    2 2 Reste  5b  3b  6  de  4b  11b  3     

Si: ax2 + bx2 = 7x2 Hallar: a + b

P( x)  R(x) S(x) R( x)  P( x)  Q( x)

IV. Efectúe las siguientes sustracciones:

i)

VI. Resuelve:

a) 7 d) 2 2.

b) 5 e) 4

Si: mxn + pxn = 10x3 Hallar: m + n + p a) 10 b) 13 d) 14

3.

c) 12

e) 11

Si: 3x2y – 10x2y + 5x2y = axmyn Hallar: a + m + n a) 4 b) 3 d) 2

4.

c) 6

Si:

-7w3z2

c) 1

e) -2 +

mw3z2

– 2w3z2 = 3w3z2

Hallar: m a) 9 d) 12 5.

b) -9 e) 5

c) -12

Si: 3x5zm – 7x5zn + 5xpzm = axpz3 Hallar: n + p a) 1

m +a b) 5

d) -3

e) 2

c) 3

COLEGIO “PORTAL DE BELEN” 6.

ALGEBRA 1° 3

¿Qué expresión hay que restarle a 16x 3  4x 2  9  para que sea  

igual a 7.

2

3

2

Al

3

3

2

3

2

2

6x  Nx  5x  3

restar

Mx  5x  2x  4

 12x 3  6x  8  ?   3

2

e) 4x  4x  6x  1

se

de

obtiene:

2x  3x  3x  1 Calcule "M – N".

a) 4x  6x  x  3

3

2

3

2

b) 4 x  3x  6x

c) 4x  6x  x  3

a) 4 d) 10

d) 4 x  4 x  6x  1

b) 6 e) 12

c) 8

TAREA DOMICILIARIA 11. -4zw2 + 8zw2 – 3zw2 =

I. Simplifica cada caso: 1. 9x + 2x =

12. -8x5y3 – 3x5y3 – 4x5y3 =

2. 3w + (-8w) =

13. 4xzw + xzw – 8xzw =

3. 5z + (-3z) =

14. Si: 3xw + 8xw = axw

4. (-4y) + y = 5. 8x - 10x =

Hallar: a a) 3

b) 11

d) 7

e) 4

c) 8

6. 12w - 3w = 15. Si: 5x2 – 3xn = mx2

7. (-7z) – (-3z) =

Hallar: m + n a) 2 d) 16

8. (-3y) – 9y = 9. 5x2 + 10x2 + x2 =

b) 4 e) -1

c) 8

10. -2w3 - 3w3 + 4w = 2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Para sumar o restar polinomios debemos recordar que:

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN Cuando un signo (+) precede a un signo de colección la expresión interior no cambia de signo. Cuando un signo (-) precede a un signo de colección la expresión interior cambia de signo. Ejemplos:  (3x + 2) + (2x + 5) =

polinomio

3x + 2

polinomio

 (8x + 4) - (5x + 2)

+

2x + 5

=

5x + 7

términos semejantes =

8x + 4 - 5x - 2

=

3x + 2

¿Sabías que? El prefijo poli significa varios, es decir,

polinomio significa varios monomios.

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

ALGEBRA 1°

términos semejantes  (2x + 3)

-

(5x - 1)

=

 (-5xy + 3) - (5xy – 1 – x2) =

2x + 3

-

5x + 1

=

-3x + 4

-5xy + 3 - 5xy + 1 + x2 = x2 + 4

¡Ahora te toca a ti!

I.



(4x + 5) + (3x + 2) = ………………………………………..



(5x - 5) + (4x - 7) = …………………………………………



(3w - 7) – (w - 1) = …………………………………………



(x2 + 5x) – (x2 – 4x) =………………………………………



(2x + 3x3y) + (4x + 2x2 y + y3) =………………………………….



(3x2 + xy + z4) – (-3x2 + 4xy – z4) = ……………………………….

2)

(5x2 – 4x) + (2x2 – 3x)

3)

(3w2 + w - 4) + (-2w2 – 4w + 2) =

4)

(4z3 – 4z + 3) + (-3z + 2) =

3) (4x2 + 2) + (5x2 + 3) =

5)

(8y4 + 3y) + (4y2 – 8y4 – 2y) =

4) (5z2 + 4z) + (2z2 + 3z) =

6)

(3x2 + 4x) – (2x2 - x) =

5) (9y3 + y) + (3y3 + y) =

7)

(4w2 – 5w) – (3w2 – 2w) =

6) (3x + 2) – (x + 1) =

8)

(5z2 – 3z + 8) – (-3z2 – 3z - 4) =

9)

(9y5 – 3y2 + 4y) – (3y2 + 9y5) =

Opera (suma o resta) los siguientes polinomios 1) (x + 2) + (2x + 1) = 2) (3w + 5) + (4w + 4) =

7) (5w + 4) – (2w + 2) = 8) (8z2 + 5) – (4z2 + 2) =

10) (-10x2 - 4) – (-3x2 + 4x - 4) =

9) (7y3 + 9y) – (2y3 + 4y) = III. 10)

II.

(10x4

+ 3x) –

(5x4

+ 2x) =

Opera los siguientes polinomios: 1)

(2x2 + 3x) + (3x2 - x) =

Si:

A = -8x2y + 3xy – 3y3 B = 4y3 – 7x2y + 2xy

Hallar: 2A – 3B a) 5x2y + 18y3 b) 5x2y – 18y2 c) 5xy2 – 18y3

d) 5x2y – 18y3 e) 5xy – 18y3

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

IV.

Si:

ALGEBRA 1° a) 4 d) 8

(mx + n) – (-3x - 2) = 10x – 2

b) 5 e) 3

c) 7

a) -1

b) 1

c) 0

d) 5

e) 4

Hallar: m + n

TAREA DOMICILIARIA

I.

Opera los siguientes polinomios 1. (2x + 4) + (3x + 7) =

15. Si:

B = 4x2 – 3x + 2

2. (4w + 3) + (2w + 1) = 3. (5z2 + 4) + (4z2 + 2) =

Hallar: 3A - 2B

4. (7y4 + 3y) + (8y4 + 4y) =

a) -8x2 - 19

d) 8x2 + 19 e) -8x - 19

5. (3x + 4) – (2x + 1) =

b) -8x2 + 19 c) 8x2 – 19

6. (4w + 8) – (3w + 2) =

V.

7. (10z2 + 3) – (5z2 + 2) =

Resuelve los siguientes problemas 16. Si:

9. (3x2 + 4x) + (2x2 – 2x) = 10. (5w2 – 3w) + (w2 - w) = 11. (-3z3 + z - 1) – (2z3 – 2z - 1) =

Hallar: A + B – C a) 6x2 – 7x - 16 d) 6x2 – 7x b) 6x2 – 7x – 15 e) 6x2 + 7x - 16 c) 6x2 – 7x + 16 17. Si:

12.

(8y3

+ 2y + 4) –

(-7y3

A = 3x2 + x – 7 B = 8x2 – 5x – 10 C = 5x2 + 3x – 1

8. (9y3 + 4y) – (8y3 + 2y) =

II.

A = -2x – 5

– 2y) =

A = w3 – 8w + 4 B = 2w2 – 4w

13. (-5x4 – x2) – (2x4 – x2 + 4) =

Hallar: A – 2B

Resuelve los siguientes problemas

a) w3 + 4w2 - 4 d) w3 – 4w2 – 2 3 2 3 b) w – 4w + 4 e) w + 4w2 + 4 c) w3 – 4w2 – 4

14. Si:

(2x + 4) + (3x - 8) = mx + n

Hallar: m + n

18. Si:

(3x + 4) + (5x - 2) = mx + n

COLEGIO “PORTAL DE BELEN”

ALGEBRA 1° d) 7

e) 5

Hallar: m – n a) 9

b) 8

c) 6

¡Estudiemos en equipos!