Algebra P3 - Teoria 2 - Factorizacion.docx

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

Nombre: ______________________________________________________________________________ Grupo: Competencia genérica a desarrollar

B

C

E

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Atributo: Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüistas, matemáticas o gráficas.

Competencia disciplinaria de matemáticas

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

FACTORIZACIÓN Es la operación que tiene por finalidad transformar una expresión algebraica racional y entera en otra equivalente, que sea igual al producto de sus factores primos racionales y enteros. En general, factorizar o factorar significa convertir una suma algebraica en un producto de factores. Factorar, factorizar y descomponer son sinónimos. FACTORIZACIÓN 2   x  2 x  2 x 4

3x 2  10 xy  8 y 2



3x  3 y



2ax  6a



3x  2 y  x  4 y  3 x  y  2a  x  3

27 x12  54 x8 y 3  36 x 4 y 6  8 y 6



 3x

10b  30ab 2

 DESARROLLO

4

 2 y3



3

10b 1  3ab 

Los métodos de factorización que se abordarán en este texto son: A. FACTOR COMÚN De dos o más expresiones algebraicas, es la parte numérica y/o literal que esté repetida en dichas expresiones. El factor común puede ser de tres tipos: 1. Factor común monomio 2. Factor común polinomio 3. Factor común por agrupación B. MÉTODO DE IDENTIDADES 4. Diferencia de cuadrados 5. Trinomio cuadrado perfecto 6. Suma o diferencia de cubos 7. Cubo perfecto de binomios C. MÉTODO PARA TRINOMIOS 8. Trinomios de la forma x2+bx+c 9. Trinomios de la forma ax2+bx+c

1. FACTOR

COMÚN MONOMIO

Factor común: Es la expresión común que tienen todos los términos de una expresión algebraica. Ejemplo 1. Factorizar: x 6  x5  x 2 Para encontrar el factor común se toma la letra que se repite y de menor 1

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

exponente (X2), después cada uno de los términos de la expresión algebraica se divide entre el factor común:

x6  x4 x2



x2 1 x2

x5  x3 x2

Los resultados se expresan de la siguiente manera:

x 6  x5  x 2  x 2  x 4  x3  1

.

Ejemplo 2. Factorizar: 16a 6b7 c  12a 5b 2c3  20a 3b10 Se busca el factor común de los coeficientes, que es el máximo común divisor de ellos y también se busca el factor común de las literales:

MCD 16,12, 20  4

Factor común literal  a 3b 2

Se realizan las divisiones término a término y el resultado de la factorización es:

12a5b 2c3  3a 2c3 3 2 4a b

16a 6b7 c  4a3b5c 3 2 4a b

20a3b10  5b8 3 2 4a b

Los resultados se expresan de la siguiente manera:

16a 6b7 c  12a 5b 2c 3  20a 3b10  4a 3b 2  4a 3b5c  3a 2c 3  5b8 

.

Ejemplo 3. Obtener la factorización de la expresión: 18 x 2  12 x  54 El máximo común divisor de los coeficientes es 6 y no existe un factor común literal, por tanto, la expresión tiene sólo un factor común numérico y se expresa como:

18 x 2  12 x  54  6  3x 2  2 x  9 

.

Ejemplo 4. Factorizar la expresión: 6 x3  18 x 2 Se tiene que 6 y 18 tienen como máximo factor común a 6, mientras que x3 y x2 tienen como máximo factor común a x2 así que se escribe:

6 x3  18x2  6 x2  x  3

.

Ejemplo 5. Factorizar la expresión: 6 x3 y 2  8x 2 y 3  2 xy 4 Se tiene que 6, 8 y 2 tienen como máximo factor común a 2, mientras que x3 y 2 , x 2 y3 y xy 4 tienen como máximo factor común a xy 2 ; por lo tanto, se escribe:

6 x3 y 2  8 x 2 y 3  2 xy 4  2 xy 2  3x 2  4 xy  y 2 

.

Ejemplo 6. Factorizar la expresión: 72 x 2 a yb  48x a 1 y b1  24 x a y 2b a

b

El factor común es 24 x y , de esta manera:

72 x 2 a y b  48 x a 1 y b 1  24 x a y 2b  24 x a y b  3x a  2 xy  y b 

.

Ejemplo 7. Factorar la expresión: 6 xy3  9nx2 y3  12nx3 y3  3n2 x4 y3 3

El factor común es 3xy , de esta manera:

6 xy 3  9nx 2 y 3  12nx3 y 3  3n 2 x 4 y 3  3xy 3  2  3nx  4nx 2  n 2 x 3 

.

Ejercicios propuestos – Factorar o descomponer en dos factores 2 2 2 1. a  ab 2. b  b 3. x  x 2

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

4.

3a 3  a 2

5.

x3  4 x 4

6.

5m 2  15m3

7.

ab  bc

8.

x2 y  x2 z

9.

2a 2 x  6ax 2

10.

8m 2  12mn

11.

9a 3 x 2  18ax3

12.

15c3d 2  60c 2 d 3

13.

35m2 n3  70m3

14.

abc  abc 2

15.

24a 2 xy 2  36 x 2 y 4

16.

a3  a 2  a

17.

4 x2  8x  2

18.

15 y3  20 y 2  5 y

19.

a3  a 2 x  ax 2

20.

20a 2 x  2ax 2  3ax

21.

x3  x5  x 7

22.

14 x2 y 2  28x3  56 x 4

23.

34ax2  51a 2 y  68ay 2

24.

96  48mn2  144n3

25.

a 2b 2 c 2  a 2 c 2 x 2  a 2 c 2 y 2

26.

55m2 n3 x  110m2 n3 x 2  220m2 y 3

27.

93a3 x 2  62a 2 x3 y 2  124a 2 x

28.

x  x 2  x3  x 4

29.

a 6  3a 4  8a3  4a 2

30.

25 x 7  10 x5  15 x3  5 x 2

31.

x15  x12  2 x9  3x 6

32.

9a 2  12ab  15a 3b 2  24ab3

33.

16 x3 y 2  8x 2 y  24 x 4 y 2  40 x 2 y 3

34.

12m2 n  24m3n 2  36m4 n3  48m5 n 4

35.

100a 2b3c  150ab 2c 2  50ab3c3  200abc 2

36.

x5  x 4  x3  x 2  x

37.

a 2  2a3  3a 4  4a5  6a 6

38.

3a 2b  6ab  5a3b 2  8a 2bx  4ab 2 m

39.

a 20  a16  a12  a8  a 4  a 2

Verificar resultados en la sección de soluciones correspondientes

PRUEBA

GENERAL DE LOS FACTORES

En cualquiera de los casos de factorizaciones, la prueba consiste en multiplicar los factores que se obtienen, y su producto tiene que ser igual a la expresión que se factoró.

2. FACTOR

COMÚN POLINOMIO

Ejemplo 1. Descomponer: x  a  b   m  a  b  Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio

x a  b x a  b

m a  b m a  b

 a  b  como

Se escribe

 a  b

coeficiente de un paréntesis y

dentro del paréntesis se escriben los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común

 a  b

x  a  b   m  a  b    a  b  x  m .

Ejemplo 2. Descomponer: 2 x  a 1  y  a 1 Factor común común.

 a  b .

Se dividen ambos términos de la expresión dada entre el factor

2 x  a  1  2x  a  1

 y  a  1  y  a  1

2 x  a 1  y  a 1   a 1 2x  y  3

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

.

Ejemplo 3. Descomponer: m  x  2  x  2 Esta expresión puede escribirse:

m  x  2   x  2  m  x  2  1 x  2 .

 x  2 . m  x  2   x  2  m  x  2  1 x  2   m  1 x  2

Factor común

.

Ejemplo 4. Descomponer: a  x  1  x  1 Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo – se tiene:.

a  x  1  x 1  a  x  1   x  1  a  x  1  1 x  1   a  1 x  1

.

Ejemplo 5. Factorar: 2x  x  y  z   x  y  z Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo – se tiene:.

2 x  x  y  z   x  y  z  2x  x  y  z    x  y  z    2x  1 x  y  z 

.

Ejemplo 6. Factorar: .

Factor común

 y  2 .

 x  a  y  2  b  y  2 Se dividen ambos términos de la expresión dada entre el factor

común.

 x  a  y  2   x  a  y  2  x  a  y  2  b  y  2   y  2 x  a  b 

Ejemplo 7. Descomponer: .

Factor común

 x 1 .

b  y  2 b  y  2

 x  2 x 1   x 1 x  3

Se dividen ambos términos de la expresión dada entre el factor

común.

  x  3 x  1  x  2  x  1  x  2    x  3   x  3  x  1  x  1  x  2  x  1   x  1 x  3   x  1  x  2    x  3   x  1  x  2  x  3  x  2  x  1   x  1 x  3   x  1 5  5  x  1

Ejemplo 8. Factorar: x  a 1  y  a 1  a  1 .

Factor común

 a 1 .

Se introduce los dos últimos términos entre paréntesis

precedidos por el signo negativo.

x  a  1  y  a  1  a  1  x  a  1  y  a  1   a  1  x  a  1  y  a  1  1 a  1 x  a  1  y  a  1  a  1   a  1 x  y  1

Ejemplo 9. Factorar: .

 2a  3b   5a  7b    2a  3b   5a  7b  2

3

3

2

En esta expresión el factor común está compuesto por binomios, por consiguiente, se toma de cada uno de ellos el de menor exponente y se realiza la factorización de la siguiente manera:

 2a  3b  5a  7b    2a  3b  5a  7b    2a  3b  5a  7b  5a  7b    2a  3b  2

3

3

2

2

4

2

Álgebra – 3er parcial .

Tema – Factorización

Se reducen los términos semejantes del último factor:

 2a  3b   5a  7b    2a  3b   5a  7b    2a  3b   5a  7b  5a  7b  2a  3b  2 3 3 2 2 2  2a  3b   5a  7b    2a  3b   5a  7b    2a  3b   5a  7b   3a  4b  2

.

3

3

2

2

2

Finalmente, el resultado de la factorización es:

 2a  3b   5a  7b    2a  3b   5a  7b  2

3

3

2

  2a  3b   5a  7b   3a  4b  2

2

 a  1   a  1  a  1 El factor común es  a  1  a  1  a  1  a  1   a  1  a  1   a  1  a  1  a  1   a

Ejemplo 10. Factorar: .

 a  1 5

7

.

10

2

5

2

7

2

10

5

2

11

10

2

11

5

10

2

2

2

 1 

Efectuando:

a  a  1  a  a  1

.

7

2

7

2

 1   a  1  a 2  1   a  1  a 2  1 a 2  2a  1  a 2  1 10

5

11

10

5

 1   a  1  a 2  1   a  1  a 2  1 10

5

11

10

5

 2a 

El resultado final es:

 a  1

7

a

2

 1   a  1  a 2  1  2a  a  1  a 2  1 10

5

11

10

5

Ejemplo 11. Factorar: a  a  b   5  b  a 

 a  b  y  b  a  son binomios diferentes Obsérvese que  b  a    a  b     a  b  Se reescribe  b  a  como   a  b  de modo a  a  b   5  b  a   a  a  b   5    a  b   a  a  b   5 b  a   a  a  b   5  a  b 

. . .

.

que los términos tengan un factor común.

El resultado final es:

a  a  b   5 b  a    a  5 a  b 

Ejemplo 12. Factorar: 2 x  x  5  y  5  x 

 x  5 y  5  x  son binomios diferentes Obsérvese que  5  x     x  5    x  5 Se reescribe  5  x  como   x  5 de modo 2 x  x  5  y  5  x   2 x  x  5   y    x  5   2 x  x  5  y  5  x   2 x  x  5  y  x  5

. . .

.

que los términos tengan un factor común.

El resultado final es:

2 x  x  5  y  5  x    x  5 2 x  y 

Ejercicios propuestos – Factorar o descomponer en dos polinomios 1. a  x  1  b  x  1 2. x  a  1  3  a  1 3. 2  x  1  y  x  1 4.

m  a  b  n  a  b

5.

2x  n 1  3 y  n 1

5

6.

a  n  2  n  2

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

a 2  1  b  a 2  1

7.

x  a  1  a 1

8.

10.

1  x  2a 1  x 

11.

4x  m  n   n  m

12.

m  n  x  m  n 

13.

a3  a  b  1  b2  a  b  1

14.

4m  a 2  x  1  3n  x  1  a 2 

15.

x  2a  b  c   2a  b  c

16.

 x  y  n  1  3 n  1

17.

 x  1 x  2  3 y  x  2

18.

 a  3 a  1  4  a 1

19.

x

20.

a  x 1   a  2 x 1

21.

5 x  a 2  1   x  1  a 2  1

2

 2  m  n   2  m  n 

9.

3x  x  2   2 y  x  2 

25.

 m  n a  2   m  n a  2  x  3 x  4   x  3 x  4

 a  b  1  a 2  1  a 2  1

27.

 a  b  c  x  3  b  c  a  x  3

28.

3x  x 1  2 y  x 1  z  x 1

29.

a  n  1  b  n  1  n 1

30.

x  a  2  a  2  3  a  2

31.

1  3a  x 1  2a  x 1  3 x 1

32.

3x  2 x  y  z   3x  2   x  y 13x  2

24.

 a  b a  b   a  b a  b   x  m x  1   x  1 x  n 

26.

22.

23.

Verificar resultados en la sección de soluciones correspondientes

3. FACTOR

COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Cuando no hay un factor común a todos los términos del polinomio, se agrupan los términos que tengan algún factor en común, de tal modo que la expresión restante pueda factorizarse. Dicho factor común es un factor del polinomio dado y el otro factor resulta del agrupamiento de términos. Al formar el conjunto de términos, no importa el orden en que se agrupen, ya que de acuerdo con la ley asociativa, siempre se llega al mismo resultado. Ejemplo 1. Descomponer: x3  2 x 2  3x  6 3 2 Al parecer, un polinomio como x  2 x  3x  6 no tiene un factor común, pero si se utiliza la propiedad asociativa y despúes la distributiva, se verá que sí es posible factorizar.

x3  2 x 2  3x  6   x3  2 x 2    3x  6 

Propiedad asociativa

x3  2x2  3x  6  x2  x  2  3  x  2

Factor común en cada binomio

x 3  2 x 2  3x  6   x  2   x 2  3

Propiedad distributiva factor común

con

el

máximo

el

máximo

.

Ejemplo 2. Descomponer: 6 x2  2 xy  9 xy  3 y 2

6 x 2  2 xy  9 xy  3 y 2   6 x 2  2 xy    9 xy  3 y 2 

Propiedad asociativa

6x2  2xy  9xy  3 y 2  2x 3x  y   3 y 3x  y 

Factor común en cada binomio

6 x2  2 xy  9 xy  3 y 2  3x  y  2 x  3 y 

Propiedad distributiva factor común

Ejemplo 3. Descomponer: am  bm  a 2  ab am  bm  a 2  ab   am  bm   a 2  ab





Propiedad asociativa

6

con

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

am  bm  a2  ab  m  a  b   a  a  b 

Factor común en cada binomio

am  bm  a2  ab   a  b  m  a 

Propiedad distributiva factor común

con

el

máximo

el

máximo

el

máximo

.

Ejemplo 4. Descomponer: ax  bx  ay  by

ax  bx  ay  by   ax  bx    ay  by 

Propiedad asociativa

ax  bx  ay  by  x  a  b   y  a  b 

Factor común en cada binomio

ax  bx  ay  by   a  b  x  y 

Propiedad distributiva factor común

con

.

Ejemplo 5. Descomponer: 3m 2  6mn  4m  8n 3m 2  6mn  4m  8n  3m 2  6mn   4m  8n 





Propiedad asociativa

3m2  6mn  4m  8n  3m  m  2n   4  m  2n 

Factor común en cada binomio

3m2  6mn  4m  8n   m  2n 3m  4

Propiedad distributiva factor común

con

.

Ejemplo 6. Descomponer: 2 x2  3xy  4 x  6 y Forma 1

Forma 2

2 x 2  3xy  4 x  6 y   2 x 2  4 x    3xy  6 y 

2 x  3xy  4 x  6 y   2 x  3xy    4 x  6 y  2

2

2 x2  3xy  4 x  6 y  x  2 x  3 y   2  2 x  3 y 

2x2  3xy  4x  6 y  2x  x  2  3 y  x  2

2x2  3xy  4x  6 y   2x  3 y  x  2

2x2  3xy  4x  6 y   x  2 2x  3 y 

.

Ejemplo 7. Descomponer: x  z 2  2ax  2az 2 Forma 1

x  z  2ax  2az   x  z    2ax  2az 2

2

2

2

x  z 2  2ax  2az 2   x  z 2   2a  x  z 2 

Forma 2

x  z 2  2ax  2az 2   x  2ax    z 2  2az 2 



x  z 2  2ax  2az 2  x 1  2a   z 2 1  2a 

x  z 2  2ax  2az 2   x  z 2  1  2a 

x  z 2  2ax  2az 2  1  2a   x  z 2 

.

Ejemplo 8. Descomponer: 3ax  3x  4 y  4ay Forma 1

Forma 2

3ax  3x  4 y  4ay   3ax  3x    4 y  4ay 

3ax  3x  4 y  4ay  3ax  4ay   3x  4 y

3ax  3x  4 y  4ay  3x  a 1  4 y 1  a 

3ax  3x  4 y  4ay   3ax  4ay   3x  4 y 

3ax  3x  4 y  4ay  3x  a 1  4 y  a 1

3ax  3x  4 y  4ay  a 3x  4 y   3x  4 y 

3ax  3x  4 y  4ay   a 13x  4 y 

3ax  3x  4 y  4ay   a 13x  4 y 

Obsérvese que en la segunda línea de la forma 1 los binomios

1  a  tienen

 a 1 y

signos distintos; para hacerlos iguales cambiamos los

signos al binomio

1  a  convirtiéndolo

en

 a 1 ,

pero para que el

producto 4 y 1  a  no variara de signo le cambiamos el signo al otro factor 4 y convirtiéndolo en 4 y . De este modo, como hemos cambiado los signos a un número par de factores, el signo del producto no varía. 7

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

.

Ejemplo 9. Descomponer: ax  ay  az  x  y  z Forma 1

ax  ay  az  x  y  z   ax  ay  az    x  y  z 

Propiedad asociativa

ax  ay  az  x  y  z  a  x  y  z    x  y  z 

Factor común en cada trinomio

ax  ay  az  x  y  z   a  1 x  y  z 

Propiedad distributiva con el máximo factor común

.

Ejemplo 10. Factorar: a 2 x  ax 2 2a 2 y  2axy  x 3 2 x 2 y Forma 1

a 2 x  ax 2 2a 2 y  2axy  x 3 2 x 2 y   a 2 x  2a 2 y    ax 2 2axy    x 3 2 x 2 y 

 x  2 y   ax  x  2 y   x  x  2 y  a 2 x  ax 2 2a 2 y  2axy  x 3 2 x 2 y   a 2 ax  x 2   x  2 y  a 2 x  ax 2 2a 2 y  2axy  x 3 2 x 2 y  a

2

2

Propiedad asociativa Factor común Propiedad distributiva MFC

Forma 2

a 2 x  ax 2 2a 2 y  2axy  x 3 2 x 2 y   a 2 x  ax 2  x 3    2a 2 y  2axy  2 x 2 y  a 2 x  ax 2 2a 2 y  2axy  x 3 2 x 2 y  x  a 2 ax  x 2   2 y  a 2 ax  x 2 

a 2 x  ax 2 2a 2 y  2axy  x 3 2 x 2 y   a 2 ax  x 2   x  2 y 

Propiedad asociativa Factor común Propiedad distributiva MFC

.

Ejercicios propuestos – Factorización por agrupamiento Factorar o descomponer en dos polinomios 2 1. a  ab  ax  bx 2. am  bm  an  bn 3.

ax  2bx  2ay  4by

4.

a 2 x 2  3bx 2  a 2 y 2  3by 2

5.

3m  2n  2nx 4  3mx 4

6.

x2  a2  x  a2 x

7.

4a 3  1  a 2  4a

8.

x  x 2  xy 2  y 2

9.

3abx2  2 y 2  2 x2  3aby 2

10.

3a  b 2  2b 2 x  6ax

11.

4a 3 x  4a 2b  3bm  3amx

12.

6ax  3a 1  2x

13.

3x3  9ax 2  x  3a

14.

2a 2 x  5a 2 y  15by  6bx

15.

2 x2 y  2 xz 2  y 2 z 2  xy3

16.

6m  9n  21nx 14mx

17.

n2 x  5a 2 y 2  n2 y 2  5a 2 x

18.

1  a  3ab  3b

19.

4am3  12amn  m2  3n

20.

20ax  5bx  2by  8ay

21.

3  x 2  2abx 2  6ab

22.

a3  a 2  a  1

24.

2am  2an  2a  m  n 1

26.

a3  a  a 2  1  x 2  a 2 x 2

3a 2  7b 2 x  3ax  7ab 2 25. 3ax  2by  2bx  6a  3ay  4b 23.

27.

3a3  3a 2b  9ab2  a 2  ab  3b2

28.

2 x3  nx2  2 xz 2  nz 2  3ny 2  6 xy 2

29.

3x3  2axy  2ay 2  3xy 2  2ax2  3x2 y

30.

a 2b3  n 4  a 2b3 x 2  n4 x 2  3a 2b3 x  3n4 x

Verificar resultados en la sección de soluciones correspondientes

8

Álgebra – 3er parcial

FACTORIZAR ESTRATEGIA

Tema – Factorización

COMPLETAMENTE GENERAL DE FACTORIZACIÓN

Cuando se factorice completamente un polinomio, se plantean las siguientes preguntas acerca del mismo. 1. ¿Los términos tienen un factor común? De ser así, factorizar el término común. 2. ¿El polinomio es una diferencia de cuadrados? De ser así, factorizar. 3. ¿El polinomio es un trinomio cuadrado perfecto? De ser así, factorizar. 4. ¿El polinomio es un trinomio que es el producto de dos binomios? De ser así, factorizar. 5. ¿El polinomio contiene cuatro términos? De ser así, intentar factorizar por agrupamiento de términos. 6. ¿Cada factor no se factoriza con números enteros? De no ser así, factorizar.

4. DIFERENCIA

DE CUADRADOS

Es una diferencia de dos cuadrados perfectos. Para factorizar, se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas. La diferencia de cuadrados es de la forma a 2 m  b 2 n y su factorización es: a 2m  b2n  a m  bn a m  bn







Lo que da como resultado el producto de binomios conjugados. Ejemplo 1. Factorizar: 1  a 2 La raiz cuadrada de 1 es 1; la raiz cuadrada de

1  a  1  a2  1  a 1  a 

estas raíces

por su diferencia

1  a 

a 2 es a . Multiplica la suma de

y se tendrá:

.

Ejemplo 2. Descomponer: 16 x 2  25 y 4

25 y 4  5 y 2

16 x2  4 x

16 x 2  25 y 4   4 x  5 y 2  4 x  5 y 2  .

Ejemplo 3. Factorar: 49x 2 y 6 z10  a12

49 x 2 y 6 z10  7 xy 3 z 5

a12  a6

49 x 2 y 6 z10  a12   7 xy 3 z 5  a 6  7 xy 3 z 5  a 6  .

a 2 b4  4 9 a2 a  4 2

Ejemplo 4. Factorar:

b4 b2  9 3

9

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

a 2 b4  a b2  a b2         4 9  2 3  2 3  .

Ejemplo 5. Factorar: a 2 n  9b 4 m

a 2 n  9b 4 m

9b4m  3b2m

a2n  an   a n  3b 2 m  a n  3b 2 m 

.

16 2 1 x  9 25 16 2 4 x  x 9 3 16 2 1  4 1  4 1 x    x   x   9 25  3 5  3 5

Ejemplo 6. Factorar:

1 1  25 5

.

Ejemplo 7. Descomponer: am 2  an 2 am2  an2  a m2  n 2





Se saca el factor común a

am2  an2  a  m  n  m  n 

El segundo factor es una diferencia de cuadrados.

.

Ejemplo 8. Descomponer: 3 x 4  3 Se saca el factor común 3. El segundo factor es una 3x 4  3  3 x 4  1 diferencia de cuadrados, por lo que se factoriza.

3x 4 3x 4

  3  3 x  3  3 x

2

2

  1 x  1  1  x  1 x  1

El segundo factor es una suma de cuadrados, el cual no se factoriza; el tercer factor es una diferencia de cuadrados, el cual sí se factoriza.

2

El resultado final factorizado completamente.

.

Ejemplo 9. ¿Cuál es el resultado de factorizar x 2 a 4  y 6b ?

x 2a 4  x 2 a 2  x a 2

y 6 b  y 3b

x 2 a 4  y 6b   x a 2  y 3b  x a 2  y 3b  .

Ejemplo 10. ¿Cuál es el resultado de factorizar

 2 x  3   x  1 2

2

?

 2 x  3  2 x  3  x  1  x  1 2 2  2x  3   x 1   2x  3   x 1  2x  3   x 1 2 2 reducen los términos semejantes  2 x  3   x  1   2 x  3  x  1 2 x  3  x  1 Se cada uno de los factores 2 2 Resultado final  2 x  3   x  1  3x  2 x  4 2

2

.

Ejercicios propuestos – Diferencia de cuadrados Factorar o descomponer en dos factores 2 2 2 1. x  y 2. a  1 4.

9  b2

5.

1  4m2

10

3.

a2  4

6.

16  n 2

de

Álgebra – 3er parcial 7.

Tema – Factorización

a 2  25

8.

1 y2

9.

4a 2  9

10.

25  36x 4

11.

1  49a 2b 2

12.

4 x 2  81y 4

13.

a 2b8  c 2

14.

100  x2 y 6

15.

a10  49b12

16.

25 x 2 y 4  121

17.

100m2 n4  169 y 6

18.

a 2 m 4 n 6  144

19.

196 x 2 y 4  225z12

20.

256a12  289b 2 m10

21.

1  9a 2b 4 c 6 d 8

22.

361a14  1

23.

1  9a 2 4

24.

1

25.

1 4 x2  16 49

26.

a 2 x6  36 25

27.

x2 y 2 z 4  100 81

29.

100m 2 n 4 

30.

a 2n  b2n

32.

a 4 n  225b 4

33.

16 x 6 m 

b12 x 81

35.

a 2 nb 4 n 

1 25

36.

1  x2n 100

 a2

38.

4   a  1

 16

41.

 x  y

44.

 x  2a 

47.

 x  1

50.

 2a  c    a  c 

x 6 4a10  28. 49 121 1 9

31.

4 x2n 

34.

49a10 n 

1 8 x 16

a2 25

y 2n 49

Factorar o descomponer en dos factores y simplificar, si es posible. 37.

 x  y

40.

m  n

43.

1  x  2 y

46.

a  b  c  d 

49.

 a  2b    x  y 

2

2

2

2

2

2

2

 4z2

2

2

2

2

 4x2

 16 x 2 2

2

39.

9  m  n

42.

 a  2b 

45.

a  b  c  d 

48.

64m 2   m  2n 

51.

 x  1

2

2

1

2

2

2

2

 4 x2

Verificar resultados en la sección de soluciones correspondientes

5. TRINOMIO

CUADRADO PERFECTO

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales. Así, a 2  2ab  b 2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a  b .

 a  b

2

  a  b  a  b  

a2 Cuadrado del primer término

11



2ab Dos veces el producto de los dos términos



b2 Cuadrado del segundo término

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

Pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto 2 a 2  2ab  b 2   a  b  1. Para factorizar esta expresión, se debe verificar que los términos se encuentren ordenados con respecto a los exponentes de mayor a menor o viceversa. 2. Se extraen las raíces cuadradas de los términos extremos (primer y último términos).

b2  b

a2  a

3. Para comprobar que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, se

realiza el doble producto de las raíces: Comprobación  2ab 4. Si el resultado del producto es igual al segundo término del trinomio, entonces éste es cuadrado perfecto y su factorización es igual al cuadrado de una suma o diferencia de las raíces cuadradas de los términos extremos. 2 a 2  2ab  b 2   a  b  .

Así, 9a 2  30ab  25b 2 es cuadrado perfecto porque

9a2  3a

25b2  5b

2  3a  5b   30ab

Así, 36 x2  18xy 4  4 y8 no es cuadrado perfecto porque 18xy 4 no es el doble producto de las raíces. 2  6 x  2 y 4  24 xy 4 4 y8  2 y 4 36 x2  6 x



Ejemplo 1. Factorizar: m2  2m  1

1 1

m2  m m2  2m  1   m  1



2  m1  2m

2

.

Ejemplo 2. Descomponer: 4 x 2  25 y 2  20 xy

4 x2  20 xy  25 y 2

25 y 2  5 y

4 x2  2 x 4 x 2  20 xy  25 y 2   2 x  5 y 

Se ordena el trinomio

2  2x  5 y   20xy

2

IMPORTANTE: Cualquiera de las dos raíces puede ponerse de minuendo. Así, en el ejemplo se tendrá también: 12

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

4 x 2  20 xy  25 y 2   5 y  2 x 

2

Se desarrollan ambos binomios para comprobar

5 y  2x 

 2x  5 y 

2

2

4 x 2  20 xy  25 y 2 Son expresiones idénticas porque tienen las mismas cantidades con los mismos signos

25 y 2  20 xy  4 x 2

25 y 2  20 xy  4 x2  4 x2  20 xy  25 y 2 .

Ejemplo 3. Factorizar: 1  16ax 2  64a 2 x 4

1 1 1  16ax 2  64a 2 x 4  1  8ax 2   8ax 2  1 2

64a2 x4  8ax2

2 1  8ax 2   16ax 2

b2 b  4 2

b 2  x     bx 2

b2 b  9 3

 1  b  b 2      2  3  3

9 3  x2 x

 1  3  3 2      2  x  x

2

.

b2 Ejemplo 4. Factorizar: x  bx  4 2

x2  x b2  b x  bx    x   4  2

2

2

.

Ejemplo 5. Factorizar:

1 b b2   4 3 9

1 1  4 2 2

1 b b2  1 b   b 1          4 3 9 2 3 3 2

2

.

Ejemplo 6. Factorizar:

1 3 9   4 x x2

1 1  4 2 2

1 3 9 1 3 3 1         4 x x2  2 x   x 2 

2

.

Ejemplo 7. Factorizar: a 2  2a  a  b    a  b 

 a  b

a2  a

2

2

2  a  a  b   2a  a  b 

  a  b

a 2  2a  a  b    a  b   a   a  b    a  a  b    2a  b  2

2

2

2

.

Ejemplo 8. Factorizar:

 x  y

2

  x  y

 x  y

2

 2  x  y  a  x    a  x 

 a  x

2

13

 a  x

2

2  x  y  a  x 

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

 x  y   2  x  y  a  x    a  x    x  y    a  x  2 2 2 2  x  y   2  x  y  a  x    a  x    y  a    a  y  2

2

2

  x  y  a  x

2

.

1

1

Ejemplo 9. Factorizar: x 4  4 x 8  4 1 4

x x

1 8

4 2

 1  x  4x  4   x8  2    1 8

1 4

1  18  2  2  x   4x 8  

2

.

Ejercicios propuestos – Factorar trinomio cuadrado perfecto 2 2 2 2 1. a  2ab  b 2. a  2ab  b 3.

x2  2 x  1

4.

y4 1 2 y2

5.

a 2  10a  25

6.

9  6x  x 2

7.

16  40 x 2  25 x 4

8.

1  49a 2  14a

9.

36  12m2  m4

10.

1  2a 3  a 6

11.

a8  18a 4  81

12.

a 6  2a 3b3  b6

13.

4 x2  12 xy  9 y 2

14.

9b2  30a 2b  25a 4

15.

1  14 x2 y  49 x 4 y 2

16.

1  a10  2a 5

17.

49m6  70am3n 2  25a 2 n 4

18.

100 x10  60a 4 x5 y 6  9a8 y12

19.

121  198 x 6  81x12

20.

a 2  2am2 x 2  144m4 x 4

21.

16  104 x 2  169 x 4

22.

400 x10  40 x5  1

2b b 2  24. 1  3 9

a2  ab  b 2 23. 4 25.

a 4  a 2b 2 

b4 4

26.

n2  2mn  9m2 28. 9

y4 27. 16 x  2 x y  16 6

3

2

29.

a 2  2a  a  b    a  b 

31.

4m 2  4m  n  m    n  m 

33.

a  x

2

1 25 x 4 x 2   25 36 3

2

2

 2  a  x  x  y    x  y 

2

Verificar resultados en la sección de soluciones correspondientes

14

30.

4  4 1  a   1  a 

32.

 m  n

2

 6  m  n  9

34.

 m  n

2

 2  a  m  m  n    a  m 

2

2

Álgebra – 3er parcial

6. SUMA

Tema – Factorización

O DIFERENCIA DE CUBOS

Se caracterizan por tener 2 cubos perfectos. Para factorizar se recuerda el producto notable, así:

a 3m  b3n   a m  b n  a 2 m  a mb n  b 2 n  a 3m  b3n   a m  b n  a 2 m  a mb n  b 2 n  Regla 1 La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. El primer factor es la suma de la raíz cúbica de cada término de la suma de cubos. 2. El segundo factor es el cuadrado de la raíz cúbica del primer término, menos el producto de las dos raíces cúbicas de los teérminos, más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término. a 3 m  b3 n  a m  b n a 2 m  a mb n  b 2 n







.

Regla 2 La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. El primer factor es la diferencia de la raíz cúbica de cada término de la diferencia de cubos. 2. El segundo factor es el cuadrado de la raíz cúbica del primer término, más el producto de las dos raíces cúbicas de los teérminos, más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término. a 3m  b3n  a m  b n a 2 m  a mb n  b 2 n







.

Ejemplo 1. Factorizar: x 3  1 3 3 1 1 x3  x 3 2 2 x  1   x  1  x  x 1  1   x  1  x  x  1

3

Se utiliza la regla 1

.

Ejemplo 2. Factorizar: a 3  8 3 3 a3  a 8 2 2 a3  8   a  2 a2  a  2   2    a  2   a2  2a  4    3

Regla 2

Ejemplo 3. Factorizar: 8 x 3  125 3 125  5 8 x3  2 x 2 2 8x3 125   2 x  5  2 x   2 x  5  5    2 x  5  4 x2  10 x  25  

3

Regla 2

.

Ejemplo 4. Factorizar: 27m6  64n9 Regla 1 64n9  4n3 2 2 27m6  64n9   3m 2  4n3   3m 2   3m 2  4n3    4n3     3m 2  4n3  9m 4  12m 2 n3  16n6    3

27m6  3m2

3

.

Ejemplo 5. Factorizar: x3 y 3  z 3

15

Álgebra – 3er parcial 3

Tema – Factorización

x3 y 3  xy

3

z3  z

Regla 1

2 2 x3 y3  z 3   xy  z   xy   xy  z    z     xy  z   x 2 y 2  xyz  z 2    .

Ejemplo 6. Factorizar: 5  40c 3 5  40c3  5 1  8c3





Se saca el factor común 5. El segundo factor es una suma de cubos.

1 1

c3  c 2 2 5  40c3  5 1  8c3   5 1  2c  1  1 2c    2c    5 1  2c  1  2c  4c2    3

3

Regla 1

.

Ejemplo 7. Factorizar: 125m3   x  y  3

125m3  5m

3

3

 x  y

3

  x  y

Regla 2

3 2 2 125m3   x  y   5m   x  y   5m  5m  x  y    x  y     3 3 2 2 125m   x  y    5m  x  y  25m  5mx  5my  x  2xy  y 2  .

Ejemplo 8. Factorizar: 3

 a  3

 a  3   a  5  3

  a  3

3

3

3

 a  5

3

  a  5

Regla 1

 a  3   a  5

2 2   a  3   a  5  a  3   a  3 a  5   a  5    3 3 2 2 2  a  3   a  5   a  3  a  5  a  6a  9    a  2a  15   a  10a  25 3 3  a  3   a  5  2a  2 a2  6a  9  a2  2a  15  a2 10a  25 3

3

 a  3   a  5 3

3

 2  a 1  a 2  2a  49

.

3 2

Ejemplo 9. Descomponer: 8a  27b 3

3 2

8a  2a

3 2 3

 2a

1 2

6 5 3

6 5

27b  3b

6 5 3

 3b 2 2 6 2  3  12   12   12   52   52   5 5  2 8a  27b  2a  3b   2a    2a   3b    3b             6 2 4 3 1 2  1   8a 2  27b 5  2a 2  3b 5  4a  6a 2 b 5  3b 5    

2 5

Regla 1

.

Ejercicios propuestos – Suma o diferencia de cubos Factorar o descomponer en dos factores 6 3 3 3 1. 27a  b 2. 64  a 3. a  125 4.

1  216m3

5.

8a 3  27b 6

6.

x 6  b9

7.

8 x3  27 y 3

8.

1  343n3

9.

64a3  729

10.

a 3b3  x 6

11.

512  27a 9

12.

16

x 6  8 y12

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

13.

1  729x 6

14.

27 m3  64n9

15.

343x3  512 y 6

16.

x3 y 6  216 y 9

17.

a 3b3 x3  1

18.

x9  y 9

19.

1000 x3  1

20.

a 6  125b12

21.

x12  y12

22.

1   2a  b 

23.

a 3   a  1

24.

8a 3   a  1

25.

25x3   x  y 

26.

 a  1   a  3

27.

 a  1   a  3

28.

 a  1   a  3

29.

 x  1   x  2 

30.

 x  y   x  y

31.

 m  2    m  3

32.

 2 x  y    3x  y 

33.

8a  b  a  b

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Verificar resultados en la sección de soluciones correspondientes

7. CUBO

PERFECTO DE BINOMIOS

En los productos notables se vio que el binomio al cubo es: 3  a  b   a3  3a 2b  3ab2  b3

 a  b

 a3  3a 2b  3ab 2  b3 A la expresión resultante se le conoce como cubo perfecto. 3

Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir con las siguientes condiciones: 1. Tener cuatro términos 2. Que el primero y último términos sean cubos perfectos. 3. Que el segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. 4. Que el tercer término sea más el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último. 3 a3  3a 2b  3ab2  b3  a  b Cubo del primer término

Triple del cuadrado del primer término por el segundo

Triple del primer término por el cuadrado del segundo

Cubo del segundo término

a b al cubo

.

Si todos los términos de la expresión son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primero y último término. Si los términos son alternativamente positivos y negativos la expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces. 3 a 3  3a 2b  3ab 2  b3   a  b 

a3  3a 2b  3ab 2  b3   a  b 

3

Ejemplo 1. Hallar si 8 x3  12 x 2  6 x  1 es el cubo de un binomio. 1º

4º

2º

3a b  3  2 x  1 2

2

3

8x  2 x 3

3

1 1 3

3º

3ab  3  2 x 1 2

2

3a 2b  3  4 x 2  1  12 x 2 3ab2  6 x Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la 17

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

 2x  1 ,

expresión dada es el cubo de cúbica de la expresión. 3 8 x3  12 x 2  6 x  1   2 x  1

o de otro modo,

 2x  1 es

la raíz

.

Ejemplo 2. Hallar si 8x6  54 x2 y 6  27 y9  36 x 4 y3 es el cubo de un binomio. Se ordena la expresión y se tiene: 1º

4º

8x6  36 x4 y3  54 x 2 y 6  27 y9 2º

3a b  3  2 x 2

3

8 x6  2 x 2

27 y 9  3 y 3

3

3º

3ab  3  2 x 2  3 y 3 

 3 y 

2 2

2

3

3  4 x 4  3 y 3   36 x 4 y 3

2

3  2 x 2  9 y 6   54 x 2 y 6 Cumple las condiciones, y como todos sus términos son alternativamente positivos y negativos, la expresión dada es el cubo de  2 x 2  3 y 3  . 2

8 x6  36 x 4 y 3  54 x 2 y 6  27 y 9   2 x 2  3 y 3 

3

.

Ejemplo 3. Factorar 1  12a  48a 2  64a 3 1º

4º

2º

3º

3ab  3 1 4a 

3a 2b  3 1  4a 

2

2

3

1 1

3

64a3  4a

2

3 16a 2   48a 2 12a Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión dada es el cubo de 1  4a  . 1  12a  48a 2  64a 3  1  4a 

3

.

Ejemplo 4. Factorar a 9  18a 6b5  108a 3b10  216b15 Se ordena la expresión y se tiene: 8x6  36 x4 y3  54 x 2 y 6  27 y 9 1º 3

4º

a9  a3

3

2º

3a 2b  3  a

216b15  6b5

3º

  6b 

3 2

3ab 2  3  a 3  6b5 

5

2

3  a 6  6b5   18a 6b5 3a 3  36b10   108a 3b10 Cumple las condiciones, y como todos sus términos son alternativamente positivos y negativos, la expresión dada es el cubo de  a 3  6b5  . a9  18a 6b5  108a3b10  216b15   a3  6b5 

3

.

Ejercicios propuestos – Cubo perfecto Factorar, si es posible, las expresiones siguientes, ordenándolas previamente. 3 2 2 3 1. a  3a  3a  1 2. 27  27 x  9 x  x 3. m  3m n  3mn  n 3

2

2

5. 8  12a  6a  a 2

4

4. 1  3a  3a  a 2

3

3

6. 125 x  1  75 x  15 x 3

6

18

2

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

7. 8a  36a b  54ab  27b 3

2

2

8. 27 m  108m n  144mn  64n 3

3

2

2

11. 125a  150a b  60ab  8b 3

2

2

13. 8  12a  6a  a 2

15.

4

2

2

3

14. a  3a b  3a b  b 6

6

17. 216  756a  882a  343a 4

6

4 3

2 6

9

16.

64 x3  240 x 2 y  300 xy 2  125 y 3

18.

125x12  600 x8 y 5  960 x 4 y10  512 y15

18. m  3am n  3a mn  a n

19. 3a  1  3a  a 6

3

3 3

12. 8  36 x  54 x  27 x

3

x9  9 x6 y 4  27 x3 y8  27 y12

12

2

10. 1  12a b  6ab  8a b

9. x  3 x  3 x  1 3

2

3

18

2

2

2

3 3

Verificar resultados en la sección de soluciones correspondientes

7. TRINOMIOS

DE LA FORMA

x2+bx+c

Los trinomios de la forma x2+bx+c, donde b y c son números enteros, se presentan a continuación:

x 2  9 x  14 b  9 c  14

x 2  x  12 b  1 c  12

Algunos trinomios expresados como el producto de binomios se presentan a la derecha en forma factorizada.

x 2  2 x  15 b  2 c  15

Trinomio

Forma factorizada

x  9x  14   x  2 x  7  2

x2  x 12   x  3 x  4 x2  2 x 15   x  3 x  5

El método por el cual se determinan los factores de un trinomio se basa en el método PEIU. Considérense los siguientes productos de binomios tomando en cuenta la relación entre los términos constantes de los binomios y los términos de los trinomios.

19

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

Puntos que deben recordarse al factorizar x2+bx+c 1. En el trinomio, el coeficiente de x es la suma de los términos constantes de los binomios. 2. En el trinomio, el término constante es el producto de los términos constantes de los binomios. 3. Cuando el término constante del trinomio es positivo, los términos constantes de los binomios tienen el mismo signo que el coeficiente de x en el trinomio. 4. Cuando el término constante del trinomio es negativo, los términos constantes de los binomios tienen signos opuestos. El éxito de factorizar un trinomio depende de recordar estos cuatro puntos. Ejemplo 1. Factorar x 2  2 x  24 Para factorizar, se deben encontrar los dos números cuya suma sea -2 y cuyo producto sea -24 (puntos 1 y 2). Como el término constante del trinomio es negativo (-24), los números tendrán signos opuestos (punto 4). Un método sistemático para encontrar factores correctos de xx implica elaborar una lista de los factores del término constante del trinomio y la suma de dichos factores. Factores de -24 Suma de factores 1, -24 1 + (-24) = -23 4 y -6 son dos números cuya suma -1, 24 -1 + 24 = 23 es -2 y su producto es -24. 2, -12 2 - 12 = -10 Ahora se escriben los factores -2, 12 -2 + 12 =10 del trinomio. 3, -8 3 – 8 = -5 -3, 8 -3 + 8 = 5 x2  2 x  24   x  4 x  6 4, -6 4 – 6 = -2 -4, 6 -4 + 6 = 2 2 2 Comprobación:  x  4 x  6  x  6 x  4 x  24  x  2 x  24 Ejemplo 2. Factorar x 2  18 x  32 Intentar sólo con factores positivos (punto 3) En cuanto se encuentre el par correcto, no hay que probar ya con los demás factores.

Factores de 32 1, 32 2, 16 4,8

Suma de factores 33 18 12

x2  18x  32   x  2 x  16

Comprobación:

 x  2 x  16  x2  16x  2x  32  x2  18x  32

Ejemplo 3. Factorar x 2  18  7 x Se ordenan los términos en forma descendente con respecto exponentes y se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático

x2  7 x 18   x

a los

 x 

En el primer factor se coloca el signo del término lineal (-7x) y en el segundo se coloca el signo que resulta de multiplicar los signos del término lineal (-7x) y el independiente (-18) 20

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

x2  7 x 18   x 

 x 



Se buscan dos números cuyo producto sea igual a 18 y cuya resta sea 7. En este caso, los números que cumplen esta condición son 9 y 2; es importante señalar que el número mayor va en el primer factor y el menor en el segundo.

x2  7 x 18   x  9 x  2

Ejemplo 4. Factorar x 4  x 2  6 Se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático x4  x2  6  x2 x2







Cuando el término constante del trinomio es negativo, los términos constantes de los binomios tienen signos opuestos (regla 4) x4  x2  6  x2  x2 







Se buscan dos números cuyo producto sea igual a 6 y cuya resta sea 1. En este caso, los números que cumplen esta condición son 2 y 3; es importante señalar que el número mayor va en el factor con signo negativo y el menor en el factor con signo positivo. x 4  x 2  6  x 2 +2 x 2  3







Ejemplo 5. Factorar 6a 2  48a  120 Se obtiene el factor común: 6a 2  48a  120  6 a 2  8a  20





Se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático 6a 2  48a  120  6 a 2  8a  20  6  a  a 





Cuando el término constante del trinomio es negativo, los términos constantes de los binomios tienen signos opuestos (regla 4) 6a 2  48a  120  6 a 2  8a  20  6  a   a  





Se buscan dos números cuyo producto sea igual a -20 y cuya resta sea -8. En este caso, los números que cumplen esta condición son 10 y 2; es importante señalar que el número mayor va en el factor con signo negativo y el menor en el factor con signo positivo. 6a 2  48a  120  6 a 2  8a  20  6  a  2  a  10 





Ejemplo 6. Factorar x 4  x 2  12 Se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático x 4  x 2  12  x 2 x2







Cuando el término constante del trinomio es negativo, los términos constantes de los binomios tienen signos opuestos (regla 4) x 4  x 2  12  x 2  x2 







Se buscan dos números cuyo producto sea igual a 12 y cuya resta sea 1. En este caso, los números que cumplen esta condición son 3 y 4; es importante señalar que el número menor va en el factor con signo negativo y el mayor en el factor con signo positivo. x4  x2  6  x2  4 x2  3







21

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

Ejemplo 7. Factorar 21  4x  x 2 Se ordena el trinomio y se factoriza el signo del término cuadrático 21  4 x  x 2   x 2  4 x  21   x 2  4 x  21





Se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático  x 2  4 x  21    x  x 





Cuando el término constante del trinomio es negativo, los términos constantes de los binomios tienen signos opuestos (regla 4)  x 2  4 x  21    x   x  





Se buscan dos números cuyo producto sea igual a 21 y cuya suma sea 4. En este caso, los números que cumplen esta condición son 7 y 3; es importante señalar que el número menor va en el factor con signo negativo y el mayor en el factor con signo positivo.  x 2  4 x  21    x  7  x  3





Se multiplica el segundo por el signo negativo y se ordena para que el resultado sea:  x 2  4 x  21    x  7  x  3   x  7  3  x 





Ejemplo 8. Factorar  2 x  3  3  2 x  3  28 Se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático 2

 2 x  32  3  2 x  3  28   2 x  3   

  2 x  3



Cuando el término constante del trinomio es negativo, los términos constantes de los binomios tienen signos opuestos (regla 4)

 2 x  32  3  2 x  3  28   2 x  3    

  2 x  3 



Se buscan dos números cuyo producto sea igual a 28 y cuya suma sea 3. En este caso, los números que cumplen esta condición son 7 y 4; es importante señalar que el número menor va en el factor con signo negativo y el mayor en el factor con signo positivo.

 2 x  32  3  2 x  3  28   2 x  3  7   2 x  3  4      2  2 x  3  3  2 x  3  28   2 x  3  7  2 x  3  4    2 x  32  3  2 x  3  28   2 x  4 2 x  7     2 x  32  3  2 x  3  28  2  x  2  2 x  7    Ejercicios propuestos – Trinomios de la forma x2+bx+c Factorar o descomponer las siguientes expresiones 2 2 2 1. x  3 x  2 2. m  11m  30 3. n 7 n  12 4.

y 2  15 y  56

5.

x2  7 x  6

6.

x 2  7 x  12

7.

a 2  10a  24

8.

b 2  7b  10

9.

m 2  9m  20

10.

y2  4 y  3

11.

x2  5x  4

12.

n 2  6n  8

13.

a 2  16a  36

14.

y 2  y  30

15.

x 2  18  7 x

22

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

16.

x 2  18xy  80 y 2

17.

19.

x2  xy  56 y 2

22.

n4  20n2  64

18.

m2  7mn  30n 2

20. m  3m  4

21.

y4  6 y2  8

23. a  37a  36

24. x  x  90

4

2

4

25. a b  ab  12 2 2

26.

28. m  4mn  21n 2

31.

a 2  5ab  50b 2

5 y 

2

 13  5 y   42

29. 5  4b  b

2

y 4  7 xy 2  60 x2

32.

4

2

 a  b

2

27.

2

y 6  5 y 3  14

30. z

 5  a  b   24

2

10

 z 5  20

33.

x4 y 4  2 x2 y 2  99 y 2  3 y  550

34. m n  m n  132

35. n  34n  288

36.

37. c  22c  968

38. a  33a  252

39. x  44 x  363

40. t  99t  2430

41. 24  5x  x

42. 12  x  x

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Verificar resultados en la sección de soluciones correspondientes

7. TRINOMIOS

DE LA FORMA

ax2+bx+c

Los trinomios de la forma ax2+bx+c, donde a, b y c son números enteros, y a que es el coeficiente del término cuadrático es diferente de uno. 15x 2  17 xy  4 y 2 5 x 2  11x  36 3x 2  14 x  8

a  15

b9

c  14

a 5

b  11

Algunos trinomios expresados como el producto de binomios se presentan a la derecha en forma factorizada.

c  36

a 3

Trinomio

b  14

c 8

Forma factorizada

3x  14 x  8   3x  2 x  4 2

5x2 11x  36   5x  9 x  4 15x2  17 xy  4 y 2   5x  y  3x  4 y 

Ejemplo 1. Descomponer el trinomio: 6 x 2  13 x  5 Se multiplica el coeficiente del primer término por el término independiente Se buscan dos números que multiplicados den 30 y sumados 13, en este caso los números son 10 y 3, por tanto, el segundo término del trinomio se expresa como: Se procede a factorizar por agrupamiento 6 x 2  13x  5  6 x 2  10 x  3x  5 6 x 2  13x  5  6 x 2  10 x   3x  5 



 65  30 13x  10x  3x



6 x  13x  5  2 x  3x  5  13x  5 2

6 x2  13x  5  3x  5 2 x  1 Ejemplo 2. Descomponer el trinomio: 8 x 4  19 x 2  6 Se multiplica el coeficiente del primer término por el término independiente Se buscan dos números que multiplicados den 48 y sumados -19, en este caso los números son -16 y -3, por tanto, el segundo término del trinomio se 23

 68  48 19x  16x  3x

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

expresa como: Se procede a factorizar por agrupamiento 8 x 4  19 x 2  6  8 x 4  16 x 2  3x 2  6 8 x 4  19 x 2  6  8 x 4  16 x 2  3x 2  6



8 x 4  19 x 2 8 x 4  19 x 2

   6  8x  x  2  3  x  6   8 x  3 x  2  2

2

2

2

  2

2

Ejemplo 3. Descomponer el trinomio: 15 x 2  2 xy  8 y 2 Se multiplica el coeficiente del primer término por el término independiente Se buscan dos números que multiplicados den -120 y sumados -2, en este caso los números son -12 y 10, por tanto, el segundo término del trinomio se expresa como: Se procede a factorizar por agrupamiento

15 8  120 2 xy  12 xy  10 xy

15x2  2 xy  8 y 2  15x2  12 xy  10 xy  8 y 2

15 x 2  2 xy  8 y 2  15 x 2  12 xy   10 xy  8 y 2 

15x2  2xy  8 y 2  3x 5x  4 y   2 y 5x  4 y  15x2  2xy  8 y 2  3x  2 y 5x  4 y  Ejemplo 4. Descomponer el trinomio: 18 x5  15 x 4 z  75 x3 z 2 Se obtiene el factor común 18 x5  15 x 4 z  75 x3 z 2  3x 3  6 x 2  5 xz  25 z 2  Se multiplica el coeficiente del primer término por el término independiente Se buscan dos números que multiplicados den -150 y sumados 5, en este caso los números son 15 y -10, por tanto, el segundo término del trinomio se expresa como: Se procede a factorizar por agrupamiento 18 x5  15 x 4 z  75 x3 z 2  3x3  6 x 2  15 xz  10 xz  25 z 2 

 6 25  150 5xz  15xz 10xz

18x5  15x 4 z  75x3 z 2  3x3  6 x 2  15xz   10 xz  25z 2 

18 x5  15 x 4 z  75 x3 z 2  3x 3 3x  2 x  5 z   5 z  2 x  5 z  

18 x5  15 x 4 z  75 x3 z 2  3x3  3x  5 z  2 x  5 z    3x 3  3x  5 z  2 x  5 z  Ejemplo 5. Descomponer el trinomio: 5  11x  12 x 2 Se ordena el trinomio 12 x 2  11x  5 Se saca el signo negativo  12 x 2  11x  25 Se multiplica el coeficiente del primer término por el término independiente Se buscan dos números que multiplicados den -25 y 24

12 5  60 11x  15x  4x

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

sumados -11, en este caso los números son -15 y 4, por tanto, el segundo término del trinomio se expresa como: Se procede a factorizar por agrupamiento 12 x 2  11x  5   12 x 2  4 x  15 x  5





12 x 2  11x  5   12 x 2  4 x   15 x  5 

12 x 2  11x  5    4 x  3x  1  5  3x  1  12 x 2  11x  5    4 x  5  3x  1 

12 x2  11x  5    4 x  53x  1

Las respuestas en rojo y en azul son equivalentes porque el signo negativo se integró a uno de los factores.

12x2  11x  5   4 x  51  3x    5  4 x  3x  1

Ejercicios propuestos – Trinomios de la forma ax2+bx+c Factorar o descomponer las siguientes expresiones. En ocasiones es necesario encontrar un factor común. 2 2 2 1. 5m  13m  6 2. 3a  5a  2 3. 6 y 7 y  2 4.

2 x 2  3x  2

5.

4n 2  15n  9

6.

20 x 2  x  1

7.

7a 2  44a  35

8.

2 y2  5 y  2

9.

20 x 2  13x  2

10.

15m2  8m  12

11.

44 z  20 z 2  15

12.

2b 2  29b  90

13.

6 y4  5 y2  6

14.

14m4  45m2  14

15.

6a 2b 2  5ab  25

16.

15 y 2  by  2b2

17.

6n 2  13mn  15m2

18.

30  13x  3 x 2

19.

15  8b4  2b2

20.

30 x 2  17 xy  21y 2

21.

10a8  29a 4  10

22.

6a 2  43ab  15b 2

23. 6  5 x  6 x

25. 6m  11mn  4n 2

28.

2

2

26.

4 x 2 y 2  3xy  10

24. 30 x  91x  30 10

4

6a 2 x 2  11axy  35 y 2

29. 5a b  13a bc  6c 4 2

2

27.

5

24a 2  5ab  14b 2

30. 2m  9mn  110n

2

2

2

Verificar resultados en la sección de soluciones correspondientes

APLICACIÓN

DE FACTORIZACIÓN

Ejemplo 1. El área de un cuadrado es

9x

2



 6 xy  y 2 metros

cuadrados. Calcular el lado del cuadrado en términos de la variable x . El área de un cuadrado es un cuadrado perfecto. Tenemos un trinomio como área del cuadrado, se Estrategia debe comprobar que es un trinomio cuadrado perfecto. Solución 9 x 2  6 xy  y 2

y2  y

9 x 2  3x

9 x 2  6 xy  y 2   3x  y 

2

25

2  3x  y   6 xy

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

Por lo tanto, el lado del cuadrado es 3x  y Ejemplo 2. El volumen de un cubo es 27m3  108m2 n  144mn 2  64n3 metros cúbicos. Calcular el lado del cubo en términos de la variable m . El volumen de un cubo es un cubo perfecto. Tenemos Estrategia un polinomio de cuatro términos, se debe comprobar que es un cubo perfecto. Solución 27m3  108m 2 n  144mn 2  64n3 1º 4º

2º

3º

3ab  3  3m  4n  2

3

27m3  3m

3

64n3  4n

3a 2b  3  3m   4n   108m 2 n 2

2

9m 16n2   144mn2 Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión dada es el cubo de 1  4a  . 27m3  108m 2 n  144mn 2  64n3   3m  4n 

3

Por lo tanto, el lado del cubo es 3m  4n Ejemplo 3. El área de un rectángulo es m2  2mn  n 2  3m  3n metros cuadrados. Calcular los lados del rectángulo en términos de las variables m y n. El área de un rectángulo se obtiene del producto de la base por la altura. Tenemos un polinomio de cinco términos. Estrategia Se observa un trinomio cuadrado perfecto en los primeros tres términos y un factor común en los últimos dos. Solución A  m 2  2mn  n 2  3m  3n

m2  2mn  n2  3m  3n Trinomio cuadrado perfecto

m  n

2

Binomio al cuadrado

Factor común

 3 m  n Factor común

Se puede observar que tenemos un factor común polinomio

 m  n

2

 3  m  n    m  n   m  n   3   m  n  m  n  3

Como se obtienen dos factores, el resultado es:

26

 m  n

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

Ejercicios propuestos – Aplicación de factorización Del libro de texto 1. Tres ejercicios de la página 61. 2. Seis ejercicios de las páginas 65 y 66.

SOLUCIONES Factor común monomio 1.

a  a  b

2.

b 1  b 

3.

x  x  1

4.

a2  3a 1

5.

x3 1  4x 

6.

5m2 1  3m

7.

b a  c

8.

x2  y  z 

9.

2ax  a  3x 

10.

4m  2m  3n 

11.

9ax 2  a 2  2 x 

12.

15c2d 2  c  4d 

13.

35m2  n3  2m 

14.

abc 1  c 

15.

12 xy 2  2a 2  3xy 2 

16.

a  a 2  a  1

17.

2  2 x 2  4 x  1

18.

5 y  3 y 2  4 y  1

19.

a  a 2  ax  x 2 

20.

ax  20a  2 x  3

21.

x3 1  x 2  x 4 

22.

14 x 2  y 2  2 x  4 x 2 

23.

17a  2 x 2  3ay  4 y 2 

24.

48  2  mn 2  3n3 

25.

a 2c 2  b2  x 2  y 2 

26.

55m 2  n3 x  2n3 x 2  4 y 3 

27.

31a 2 x  3ax  62 x 2 y 2  4 

28.

x 1  x  x 2  x3 

29.

a 2  a 4  3a 2  8a  4 

30.

5 x 2  5 x5  2 x3  3x  1

31.

x 6  x 9  x 6  2 x 3  3

32.

3a  3a  4b  5a 2b 2  8b3 

33.

8 x 2 y  2 xy  1  3x 2 y  5 y 2 

34.

12m2 n 1  2mn  3m2 n 2  4m3n3 

35.

50abc  2ab 2  3bc  b 2 c 2  4c 

36.

x  x 4  x3  x 2  x  1

37.

a 2 1  2a  3a 2  4a 3  6a 4 

38.

ab  3a  6  5a 2b  8ax  4bm 

39.

a 2  a18  a14  a10  a 6  a 2  1

Factor común polinomio 1.  a  b  x  1 4.

 a  b  m  n 

5.

 a  1 x  3  n 1 2x  3 y 

7.

 a  1 x 1

8.

a

10.

1  2a 1  x 

11.

 m  n 4x 1

12.

 m  n x 1

13.

a

14.

a

15.

 x 1 2a  b  c 

3

 b 2   a  b  1

2.

2

2

 1 1  b   x  1  4m  3n  27

6.

 x 1 2  y   a  1 n  2

9.

3x  2 y  x  2

3.

Álgebra – 3er parcial

Tema – Factorización

16.

 n  1 x  y  3

17.

 x  3 y  1 x  2

18.

 a 1 a  1

19.

 m  n   x2  4

20.

2  x  1

21.

a

22.

2b  a  b 

23.

2m  a  2

24.

 m  n x  1

25.

2 x  x  3

26.

 a  b  2   a 2  1

27.

2a  x  3

29.

 a  b 1 n  1

30.

 a  2 x  2

28. 31.

 x 13x  2 y  z   a  4 x  1

 1  6 x  1

 z  3x  2 

32.

Factor común agrupamiento

2

1.

 a  b a  x 

2.

 a  b  m  n 

3.

 a  2b x  2 y 

4.

a

5.

 3m  2n  1  x 4 

6.

x

7.

 4a  1  a 2  1

8.

 x  1  x  y 2 

9.

 3ab  2   x 2  y 2 

2

 3b  x 2  y 2 

16.

 2m  3n3  7 x 

 4a  3m   ax  b  14.  a  3b   2 x  5 y  17.  5a  n  x  y 

19.

 4am  1  m2  3n 

20.

22.

a

23.

25.

3a  2b x  y  2

28.

 2x  n   x2  3 y 2  z 2 

 3a  b  1  2 x  13.  3 x  1  x  3a  2

10.

2

2

2

2

 1  a  1

7.

4

8.

4

2

2

6

2. 5.

2

2

 4a  b5x  2 y  2

2

2

2

 5  6 x  5  6 x  13.  ab  c  ab  c  16.  5 xy  11 5 xy  11 19. 14 xy  15 z 14 xy  15 z  2

2

2

3  b3  b  a  5 a  5

10.

2

3a  7b   a  x  26.  a  1 a  x  1 29.  2a  3 x   x  xy  y 

Diferencia de cuadrados 1.  x  y  x  y  4.

2

11.

6

11.

2

6

3

3

5

28

3a 1 2x 1

15.

 2x  y  xy  z 

18.

 a  13b 1

21.

1  2ab   3  x 2 

24.

 2a 1 m  n  1

27.

 3a  1  a 2  ab  3b2 

30.

a b

2

2 3

2

 n 4  x 2  3x  1

 2 x  9 y  2 x  9 y  15.  a  7b  a  7b  18.  am n  12  am n  12  21. 1  3ab c d 1  3ab c d  2

12.

10  xy 10  xy  17. 10mn  13 y 10mn  13 y  20. 16a  17bm 16a  17bm  2

12.

3.

1  7ab1  7ab 3

 a 2   x  1

 a  2 a  2 6.  4  n  4  n  9.  2a  3 2a  3

 a  1 a 1 1  2m1  2m 1  y 1  y 

14.

2

2

6

3

5

5

6

2

5

2 3

6

2 3

2 3

4

2 3

4

Álgebra – 3er parcial

22.

19a

7

 119a 7  1

 1 2 x  1 2 x  25.       4 7  4 7 

 x3 2a5  x3 2a5   28.      7 11  7 11 

Tema – Factorización

23.

1  1    3a   3a  2  2 

 a x3  a x3  26.       6 5  6 5  29.

1 4  1 4  2 2 10mn  x 10mn  x  4  4  

 n 1  n 1  31.  2 x   2 x   3  3 

32.  a

 5n b6 x  5n b6 x  34.  7a   7a   9  9  

35.

37. 40. 43. 46. 49.

 x  y  a  x  y  a   m  n  4 m  n  4 1  x  2 y 1  x  2 y   a  b  c  d  a  b  c  d   a  2b  x  y  a  2b  x  y 

38. 41. 44. 47. 50.

 15b 2  a 2 n  15b 2 

2n

 n 2 n 1  n 2 n 1   a b   a b   5  5 

 a  31  a   x  y  2z  x  y  2z   2a  3x  2a  x  5x  1 3x  1 3a  a  2c 

Trinomio cuadrado perfecto 2 2 1.  a  b  2.  a  b 

 y  1 7.  5 x  4  10.  a  1 4.

2

2

2

3

13.

2

2

 2x  3y  5

 a  5

8.

 7a  1

2

2

 2 b2  25.  a   2  n  28.   3m  3 

2

2

4

2

2

2 2

2

2

2 2 2

a  23.   b  2 

2

 1 5x2  26.    5 6 

2

29.

 2a  b 

 a  a  1  1    5  5 

 x yz 2  x yz 2   27.      10 9  10 9  30.

a

 b n  a n  b n 

n

 3m y n  3m y n  33.  4 x   4 x   7  7   36. 39. 42. 45. 48. 51.

1 n  1 n   x   x   10  10 

3  m  n 3  m  n   a  2b 1 a  2b 1  a  b  c  d  a  b  c  d  9m  2n 7m  2n  3x 1 x 1

3.

 x  1

6.

 x  3

2

2

 m  6 12.  a  b  15.  7 x y  1 18. 10 x  3a y  21.  4  13x  9.

3

6 2

5 22.  20 x  1

2

 a  9 14.  5a  3b  17.  7m  5an  20.  a  12m x  11.

 a  1 19. 11  9x  16.

5.

24.

2

2

3 2

3

2

2

5

2 2

 b 24.  1    3 2

2

 3 y2  27.  4 x   4  

2

30.

29

6 2

4

1  a 

2

2

Álgebra – 3er parcial

31.

 3m  n 

34.

 2m  n  a 

2

Tema – Factorización

32.

 m  n  3

2

33.

a  y

3.

a 3  125

2

2

Suma o diferencia de cubos 3 6 3 1. 27a  b 2. 64  a 4.

1  216m3

5.

8a 3  27b 6

6.

x 6  b9

7.

8 x3  27 y 3

8.

1  343n3

9.

64a3  729

10.

a 3b3  x 6

11.

512  27a 9

12.

x 6  8 y12

13.

1  729x 6

14.

27 m3  64n9

15.

343x3  512 y 6

16.

x3 y 6  216 y 9

17.

a 3b3 x3  1

18.

x9  y 9

19.

1000 x3  1

20.

a 6  125b12

21.

x12  y12

22.

1   2a  b 

23.

a 3   a  1

24.

8a 3   a  1

25.

25x3   x  y 

26.

 a  1   a  3

27.

 a  1   a  3

28.

 a  1   a  3

29.

 x  1   x  2 

30.

 x  y   x  y

31.

 m  2    m  3

32.

 2 x  y    3x  y 

33.

8a  b  a  b

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Verificar resultados en la sección de soluciones correspondientes

30

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3