Algebra Liniara

MATEMATICA Silviu CRĂCIUNAŞ

Ramona Anamaria VASIU

ALGEBRĂ LINIARĂ

ISBN 973-7998-25-1

Cuprins Capitolul 1. Spat¸ii vectoriale 1. Definit¸ii. Exemple 2. Subspat¸iu vectorial 3. Combinat¸ie liniar˘ a de vectori 4. Suma a dou˘ a subspat¸ii vectoriale 5. Exercit¸ii rezolvate

3 3 7 9 22 25

Capitolul 2. Baze. Rangul unui sistem de vectori 1. Baze. Spat¸ii vectoriale finit dimensionale 2. Rangul unui sistem de vectori 3. Exercit¸ii rezolvate

33 33 52 58

Capitolul 3. Spat¸ii vectoriale izomorfe

63

Capitolul 4. Operatori liniari pe spat¸ii vectoriale 1. Definit¸ii. Propriet˘ a¸ti 2. Caracterizarea operatorilor liniari prin matrici 3. Exercit¸ii rezolvate

71 71 78 84

Capitolul 5. Valori ¸si vectori proprii ale unui operator liniar 1. Vectori proprii. Subspat¸ii proprii 2. Propriet˘ a¸ti ale vectorilor proprii. Baze de vectori proprii, diagonalizare. 3. Exercit¸ii rezolvate

87 88 101 110

Capitolul 6. Forme liniare. Forme biliniare. Forme p˘ atratice. 1. Forme liniare 2. Forme biliniare 3. Forme p˘ atratice 4. Exercit¸ii rezolvate

113 113 118 120 126

Capitolul 7. Spat¸ii euclidiene 1. Produs scalar. Norm˘ a 2. Exercit¸ii rezolvate

131 131 139

1

CAPITOLUL 1

Spat¸ii vectoriale

1. Definit¸ii. Exemple

3

Definit ¸ ia 1.1. Fie V o mult¸ime nevid˘a pe care este definit˘a o operat¸ie intern˘a notat˘a aditiv + [ + : V × V → V ] ¸si o operat¸ie extern˘a notat˘a multiplicativ · [ · : K × V → V ], unde K = R sau K = C. Spunem c˘a (V, +, ·) este un spat¸iu vectorial peste K dac˘a: • (V, +) e grup abelian, adic˘a sunt verificate propriet˘a¸tile: (G1) asociativitatea: (∀) v1, v2, v3 ∈ V avem v1 + (v2 + v3) = (v1 + v2) + v3. (G2) comutativitatea: (∀) v1, v2 ∈ V avem v1 + v2 = v2 + v1. (G3) element neutru: (∃) 0 ∈ V, astfel ˆıncˆat pentru orice v ∈ V s˘a avem v + 0 = 0 + v = v. (G4) element simetrizabil: (∀) v ∈ V, (∃) − v ∈ V astfel ˆıncˆat v + −v = −v + v = 0.

4

sunt verificate egalit˘a¸tile: a) α · (β · v) = (αβ) · v, (∀) α, β ∈ K ¸si v ∈ V b) (α + β) · v = α · v + β · v, (∀) α, β ∈ K ¸si v ∈ V c) α · (v1 + v2) = α · v1 + α · v2, (∀) α ∈ K d) 1 · v = v, (∀) v ∈ V Elementele mult¸imii K se numesc scalari, iar elementele → mult¸imii V se numesc vectori ¸si le not˘am generic prin − v. Pentru a desemna un spat¸iu vectorial V peste corpul K folosim notat¸ia (V, K). Propozit ¸ ia 1.1. Fie V un spat¸iu vectorial peste K. Au loc propriet˘a¸tile: − → → → v = 0 pentru orice − v ∈V 1. 0 · − − → → − 2. α · 0 = 0 pentru orice α ∈ K −→ → → 3. (−1) · − v = −v pentru orice − v ∈ V. Exemplul 1.1. R2 = {z = (x, y); x, y ∈ R} este un spat¸iu vectorial fat¸˘a de operat¸iile uzuale. (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), α · (x, y) = (αx, αy).

5

Demonstrat¸ie: 1. Din egalitatea → → → (α + 0) · − v =α·− v +0·− v → − → avem α · − v = α·→ v +0·− v . Aceast˘a proprietate este adev˘arat˘a ˆıntr-un grup numai pentru vectorul zero, deci 0 · − → − → v = 0. 2. Fie relat¸ia → − − → → → α · (− v + 0)=α·− v +α· 0. − → − → − → → → Deci α · − v =α·− v + α · 0 a¸sadar α · 0 = 0 . 3. Consider˘am egalitatea → → → → − (1 + (−1)) · − v =1·− v + (−1) · − v =− v + (−1) · → v. − → → → De aici − v +(−1)·− v = 0 ¸siˆıntrucˆat aceast˘a proprietate este −→ → adev˘arat˘a numai pentru vectorul −v, avem c˘a (−1) · − v = − → −v.

6

2. Subspat¸iu vectorial Definit ¸ ia 1.2. Fie (V, K) un spat¸iu vectorial ¸si V1 ⊂ V, V1 o mult¸ime nevid˘a. Spunem c˘a V1 este un subspat¸iu vectorial al lui V dac˘a au loc propriet˘a¸tile → → → → a) (∀) − u ,− v ∈ V1 =⇒ − u +− v ∈ V1 . − → − b) (∀) α ∈ K ¸si u ∈ V1 =⇒ α · → u ∈ V1 . Observat ¸ ia 1.1. Condit¸iile precedente sunt echivalente cu condit¸ia → → − → (∀) − u ,− v ∈ V1 ¸si (∀) α, β ∈ K =⇒ α · → u +β·− v ∈ V1 . Observat ¸ ia 1.2. Orice subspat¸iu vectorial cont¸ine vectorul nul. Exemplul 1.2. C = {(x, y)/x + y = 0} este subspat¸iu vectorial al lui R2.

7

Demonstrat¸ie: → → Fie V1 subspat¸iu vectorial, exist˘a − v ∈ V1 deci 0 · − v ∈ V1 − → adic˘a 0 ∈ V1. Teorema 1.1. Intersect¸ia a dou˘a subspat¸ii vectoriale este un subspat¸iu vectorial. Demonstrat¸ie: Fie a subspat¸ii vectoriale ale lui (V, K) ¸si V0 = T V1, V2 dou˘ − → → → → V1 V2. Dac˘a u , − v ∈ V0 ¸si α, β ∈ K rezult˘a − u ,− v ∈ V1 − → − → − → − → − → → ¸si u , v ∈ V2. ˆIn consecint¸a˘ α u +β v ∈ V1 ¸si α u +β − v ∈ − → − → V2, deci α u + β v ∈ V0.

8

3. Combinat¸ie liniar˘ a de vectori Definit ¸ ia 1.3. Fie (V, K) un spat¸iu vectorial ¸si S = − → − → → { v1 , v2 , . . . , − vp } un sistem finit de vectori. Numim combinat¸ie liniar˘ a de vectori ai lui S vectorul → → → α1 · − v1 + α2 · − v 2 + . . . + αp · − vp unde α1, α2, . . . , αp ∈ K arbitrari. Observat ¸ ia 1.3. combinat¸ia liniar˘a nul˘a: − → → 0·→ v1 + 0 · − v2 + . . . + 0 · − vp , − → → → → α1 · − v1 + α2 · − v 2 + . . . + αp · − vp = 0 Definit ¸ ia 1.4. Fie (V, K) un spat¸iu vectorial ¸si S = − → − → → { v1 , v2 , . . . , − vp }. Numim acoperire liniar˘ a a lui S mult¸imea → → → − − [S] = {− v / (∃)α1, α2, . . . , αp ∈ K, − v = α1·− v1 +α2·→ v2 +. . .+αp·→ vp }. Propozit ¸ ia 1.2. [S] este un subspat¸iu vectorial al lui V . [S] se nume¸ste subspat¸iu vectorial generat de vectorii lui S, iar S se nume¸ste sistem de generatori al subspat¸iului vectorial.

9

→ → → v1 , − v2 , . . . , − vp } este Definit ¸ ia 1.5. Spunem c˘a S = {− un sistem de vectori liniar dependent¸i dac˘a exist˘a cel put¸in o combinat¸ie liniar˘a nul˘a − → → → → α ·− v +α ·− v + ... + α · − v = 0 1

1

2

2

p

p

ˆın care nu tot¸i scalarii sunt nuli. → → → Mai spunem c˘a vectorii − v1 , − v2 , . . . , − vp sunt liniar dependent¸i . → → → Un sistem de vectori S = {− v1 , − v2 , . . . , − vp } se nume¸ste sistem de vectori liniar independent¸i dac˘a egalitatea − → → → → α ·− v +α ·− v + ... + α · − v = 0 1

1

2

2

p

p

este verificat˘a doar pentru α1 = 0, α2 = 0, . . . , αp = 0. → → − Mai spunem c˘a − v1 , − v2 , . . . , → vp sunt independent¸i liniar. Exercit ¸ iul 1.1. S˘a se determine combinat¸ii liniare nule de vectorii z1 = (−1, 1) ¸si z2 = (−3, 3). − → 0 · z1 + 0 · z2 = 0 . −3 · z1 + z2 = −3(−1, 1) + (−3, 3) = (3, −3) + (−3, 3) = (0, 0).

10

Definit ¸ ia 1.6. Fie (V, K) un spat¸iu vectorial ¸si S = − → − → → { v1 , v2 , . . . , − vp }. Numim acoperire liniar˘ a a lui S mult¸imea → → → → → [S] = {− v / (∃)α1, α2, . . . , αp ∈ K cu− v = α1·− v1 +α2·− v2 +. . .+αp·− vp }. Propozit ¸ ia 1.3. [S] este un subspat¸iu vectorial al lui V . [S] se nume¸ste subspat¸iu vectorial generat de vectorii lui S, iar S se nume¸ste sistem de generatori al subspat¸iului vectorial.

11

Demonstrat¸ie: → → → → Fie − u ,− v ∈ [S]. Demonstr˘am c˘a − u +− v ∈ [S]. Avem − → → − → u = α1 · − v1 + α2 · → v 2 + . . . + αp · − vp − → → → → v = β1 · − v1 + β2 · − v2 + . . . + βp · − vp − → → − − → − → → u + v = (α1 + β1) · v1 + (α2 + β2) · v2 + . . . + (αp + βp) · − vp . − → Rezult˘a → u +− v ∈ [S]. − → → Dac˘a u ∈ [S] ¸si α ∈ K rezult˘a imediat α · − u ∈ [S].

12

Exemplul 1.3. R2 = {z = (x, y); x, y ∈ R} este un spat¸iu vectorial fat¸˘a de operat¸iile uzuale. Solut¸ie: Operat¸iile considerate sunt: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) α · (x, y) = (αx, αy), α ∈ R.

13

I. (R2, +) - grup abelian a) (∀) (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈ R2 avem [(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] (x1 +x2, y1 +y2)+(x3, y3) = (x1, y1)+(x2 +x3, y2 +y3) ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3) = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)). b) (∀) (x1, y1), (x2, y2) ∈ R2 (x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1) (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1). c) ∃ (0, 0) ∈ R2 astfel ˆıncˆat (x, y) + (0, 0) = (0, 0) + (x, y) = (x, y). d) (∀) (x, y) ∈ R2 ∃ (−x, −y) ∈ R2 astfel ˆıncˆat (x, y) + (−x, −y) = (−x, −y) + (x, y) = (0, 0). II. 1) (α + β) · (x, y) = α · (x, y) + β · (x, y) ((α + β) · x, (α + β) · y) = (αx, αy) + (βx, βy) = (αx + βy, αy + βy). 2) α[(x1, y1) + (x2, y2)] = α(x1, y1) + α(x2, y2). 3) α(β(x, y)) = (αβ)(x, y). 4) 1 · (x, y) = (x, y). Egalit˘a¸tile anterioare sunt adev˘arate reducˆandu-se la propriet˘a¸ti similare din R. Exemplul 1.4. A = {(x, 0)/x ∈ R} este un subspat¸iu vectorial al lui R2. Solut¸ie: → → → → 1. Pentru orice − z1 , − z2 ∈ A ⇒ − z1 + − z2 ∈ A. Fie z1 = (x1, 0) , z2 = (x2, 0). Atunci z1 + z2 = (x1 + x2, 0) ∈ A. 2. Pentru orice λ ∈ R ¸si z ∈ A ⇒ λz ∈ A. Fie z = (x, 0). Atunci λ(x, 0) = (λx, 0) ∈ A. Exemplul 1.5. B = {(0, y)/y ∈ R} este subspatT ¸iu vectorial al lui R2. Determinat¸i subspat¸iul vectorial A B. 14

Solut¸ie: T Fie z ∈ A B. Rezult˘a c˘a z ∈ A ¸si z ∈ B. Din z ∈ A ⇒ z = (x, 0), iar din z ∈ B ⇒ z = (0, y), deci (x, 0) = (0, y)Tsau x = 0, y = 0 ⇒ z = (0, 0). A¸sadar A B = {(0, 0)}.

15

Exemplul 1.6. C = {(x, y)/x + y = 0} este subspat¸iu vectorial al lui R2.

16

C.

Solut¸ie: Pentru orice z1, z2 ∈ C ¸si α, β ∈ R ar˘at˘am c˘a αz1 +βz2 ∈

Fie z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) ∈ C cu x1 + y1 = 0, x2 + y2 = 0. Avem αz1 + βz2 = (αx1 + βx2, αy1 + βy2). Vectorul αz1 + βz2 ∈ C dac˘a suma componentelor sale este zero. ˆIntr-adev˘ar avem (αx1+βx2)+(αy1+βy2) = α(x1+y1)+β(x2+y2) = α·0+β·0 = 0. Exercit ¸ iul 1.2. S˘a se determine sisteme de vectori care genereaz˘a subspat¸iile vectoriale A, B ¸si C. Solut¸ie: A = {(x, 0)/x ∈ R}. Trebuie s˘a ar˘at˘am ca exist˘a SA cu [SA] = A. Fie z ∈ A cu z = (α, 0). Atunci (α, 0) = α · (1, 0). Deci putem considera SA = {(1, 0)}. Fie z ∈ C , z = (x, y) cu x + y = 0. Rezult˘a z = (x, −x) = x(1, −1). Deci putem considera SC = {(1, −1)}. Pentru B obt¸inem analog SB = {(0, 1)}.

17

Exercit ¸ iul 1.3. S˘a se determine combinat¸ii liniare nule de vectorii z1 = (−1, 1) ¸si z2 = (−3, 3). Solut¸ie: − → Avem ˆıntotdeauna 0 · z1 + 0 · z2 = 0 . ˆIn plus, −3 · z1 + z2 = −3(−1, 1) + (−3, 3) = (3, −3) + (−3, 3) = (0, 0).

18

Observat ¸ ia 1.4. Orice sistem de vectori care cont¸ine vectorul nul este liniar dependent. Observat ¸ ia 1.5. Un sistem format dintr-un vector nenul este ˆıntot-deauna liniar independent.

19

Exemplul 1.7. Fie spat¸iul vectorial M2,3(R) cu operat¸iile de adunare a matricelor ¸si ˆınmult¸ire a unei matrici cu un scalar n³ ¸si sistemul ´ ³ ´o 1 0 0 1 2 0 . Ar˘atat¸i c˘a sistemul S S = 0 1 0 ; 0 1 0 este liniar independent. Solut¸ie: Consider˘am o combinat¸ie liniar˘a nul˘a de vectori din S. ³ ´ ³ ´ ³ ´ 1 0 0 1 2 0 0 0 0 α· 0 1 0 +β· 0 1 0 = 0 0 0 ³ ´ ³ ´ ³ ´ α 0 0 β 2β 0 0 0 0 0 α 0 + 0 β 0 = 0 0 0 ³ ´ ³ ´ α + β 2β 0 0 0 0 0 α+β 0 = 0 0 0 Deci α + β = 0 ¸si 2β = 0. A¸sadar β = 0 ¸si α = 0. Rezult˘a c˘a sistemul S este liniar independent. n³ ´ o α 0 β Exercit ¸ iul 1.4. Fie A = α + β 0 0 , α, β ∈ R . a) Studiat¸i dac˘a aceast˘a mult¸ime este subspat¸iu vectorial. b) Determinat¸i un sistem de generatori pentru acest subspat¸iu vectorial. Solut¸ie: a) Trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a (∀) M1, M2 ∈ A ⇒ M1 + M2 ∈ A. ³ ´ ³ ´ α1 0 β1 α2 0 β2 Avem M1 = α + β 0 0 ¸si M2 = α + β 0 0 . 1 ³ 1 2 2 ´ α +α 0 β +β Atunci M1 + M2 = α + α1 + β2 + β 0 1 0 2 ∈ A. 1 2 1 2 Deasemenea, 20

³

´ ³ ´ α 0 β kα 0 kβ k α + β 0 0 = kα + kβ 0 0 ∈ A, deci mult¸imea dat˘a este un spat¸iu vectorial. b) Avem ³ ´ ³ ´ α 0 β α+0 0+0 0+β α+β 0 0 = α+β 0+0 0+0 = ³ ´ ³ ´ α 0 0 0 0 β = α 0 0 + β 0 0 = ³ ´ ³ ´ 1 0 0 0 0 1 =α 1 0 0 +β 1 0 0 . hn³ ´ ³ ´oi 1 0 0 0 0 1 Deci A = este un sistem de 1 0 0 , 1 0 0 vectori generatori ai subspat¸iului. ³ ´ ³ ´ 1 0 1 0 −1 0 Exercit ¸ iul 1.5. Fie M1 = 0 1 0 , M2 = 1 0 1 ¸si ³ ´ 1 −1 1 M3 = 1 1 1 . S˘a se determine a) acoperirea liniar˘a a sistemului S = {M1, M2, M3} b) subspat¸iul vectorial generat de M1, M2, M3. Solut¸ie: Acoperirea liniar˘a a lui S este format˘a din vectori de³forma: ´ ³ ´ ³ ´ 1 0 1 0 −1 0 1 −1 1 α· 0 1 0 +β· 1 0 1 +γ· 1 1 1 = ³ ´ α + γ −β − γ α + γ = β+γ α+γ β+γ Pe de alt˘a parte, ³ ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´ − → 1 0 1 0 −1 0 1 −1 1 0 0 0 + − = = 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 deci vectorii sunt liniar dependent¸i, adic˘a M3 = M1 + M2. Atunci avem αM1 + βM2 + γM3 = αM1 + βM2 + γ(M1 + M2) = 21

= (α + γ)M1 + (β + γ)M2 = α0M1 + β 0M2. Rezult˘a [M1, M2, M3] = [M1, M2]. 4. Suma a dou˘ a subspat¸ii vectoriale Definit ¸ ia 1.7. Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si A, B dou˘a subspa-t¸ii vectoriale ale lui V . Numim sum˘ a a celor dou˘ a subspat S¸ii ¸si not˘am A + B subspat¸iul vectorial generat de A B, [ A + B = [A B]. Propozit ¸ ia 1.4. Avem egalitatea → → → → → → A + B = {− v ∈ V /− v =− u1 + − u2 ; − u1 ∈ A ¸si − u2 ∈ B}. Demonstrat S¸ie: − → Fie v ∈ [A B]. Exist˘a − → → → e1 , − e2 , . . . , − ep ∈ A , α 1 , α 2 , . . . , α p ∈ K ¸si

− → − → − → f1 , f2 , . . . , fq ∈ B, β1, β2, . . . , βp ∈ K

a¸sa ˆıncˆat − → − → − → − → → − → v = α1 − e1 + α 2 → e2 + . . . + α p − ep + β1 f1 + β2 f2 + · · · + βq fq . A, B fiind subspat¸ii vectoriale rezult˘a − → → → → u1 = α1− e 1 + α2 − e2 + . . . + α p − ep ∈ A ¸si − → − → − → − → u2 = β1 f1 + β2 f2 + · · · + βq fq ∈ B. → → → → → Atunci avem − v =− u1 + − u2 cu − u1 ∈ A ¸si − u2 ∈ B. Reciproc, presupunem c˘a − → → → → → v =− u1 + − u2 , − u1 ∈ A ¸si − u2 ∈ B. 22

S → → u1 , − u2 ∈ A B, deci Avem evident − [ − → → − − → v = 1 · u1 + 1 · u2 ∈ [A B]. Definit ¸ ia 1.8. Spunem c˘a suma a dou˘a subspat¸ii vectoriale a direct˘ a ¸si not˘am ˆın acest caz L A ¸si B este T sum˘ − → A B dac˘a A B = { 0 }. Propozit ¸ ia 1.5. Suma a dou˘a subspat¸ii vectoriale A → ¸si B este sum˘a direct˘a dac˘a ¸si numai dac˘a orice − v ∈ A + B se poate scrie − → → → → → v =− u1 + − u2 , − u1 ∈ A ¸si − u2 ∈ B ¸si aceast˘a scriere este unic˘a. Demonstrat¸ie: L L − Presupunem c˘a avem A B. Fie → v ∈ A B. Conform propozit¸iei precedente − → → → → → v =− u1 + − u2 , − u1 ∈ A ¸si − u2 ∈ B. → → Ar˘at˘am c˘a − u1 , − u2 sunt unici cu aceast˘a proprietate. Pre− → − → − → − → → supunem c˘a ar exista u01 ∈ A, u02 ∈ B cu − v = u01 + u02 . Atunci − → − → − → − → → − → − → → → − 0 =→ v −− v =− u +− u − ( u0 + u0 ) sau → u − u0 = u0 − − u . 1

2

1

2

1

1

2

2

ˆIntrucˆat A ¸si B sunt subspat¸ii vectoriale rezult˘a din egaliT T − → − → → → tatea precedent˘a c˘a − u1 − u01 = u02 −− u2 ∈ A B. Dar A B − → − → → − → → cont¸ine numai vectorul nul, deci − u1 − u01 = u02 − − u2 = 0 , − → → − → → adic˘a − u1 = u01 , u02 = − u2 . → Reciproc, presupunem c˘a orice − v ∈ A + B se scrie ˆın mod unic sub forma − → → → → → v =− u1 + − u2 , − u1 ∈ A, − u2 ∈ B. T − → Demonstr˘am c˘a suma este direct˘a, adic˘a A B = { 0 }. 23

T → → v ∈ A B deci putem considera scrierile lui − v: Fie − − → → − → − → → v =− v + 0, − v ∈ A, 0 ∈ B respectiv − → → − → − → → v = 0 +− v , 0 ∈ A, − v ∈ B. − → → ˆIntrucˆat scrierea este unic˘a, avem − v = 0. Exemplul 1.8. Fie R3, subspat¸iile A = {(a, b, 0), a, b ∈ R} ¸si B = {(0, 0, c), c ∈ R}. S˘a se determine dac˘a A+B este sau nu sum˘a direct˘a. Solut¸ie: Determin˘am subspat¸iul A+B ¸si verific˘am dac˘a suma este sau nu direct˘a. Avem → → → → → − A + B = {− v /− v =− u1 + − u2 , − u1 ∈ A ¸si → u2 ∈ B}. Deci − → v = (a, b, 0) + (0, 0, c) = (a, b, c). → − Fie − v ∈ R3, atunci → v = (a, b, c) = (a, b, 0) + (0, 0, c). Rezult˘a A + B = R3 . T → → → Avem A B = {− v /− v ∈ A ¸si − v ∈ B}. − → − → → → Dac˘a v ∈ A ⇒ v = (a, b, 0), iar din − v ∈B⇒− v = − → → (0, 0, c), deci a = 0, b = 0, c = 0, adic˘a − v = 0. T − → Prin urmare A B = { 0 } ¸si deci A + B este sum˘a direct˘a. Exemplul 1.9. Fie subspat¸iile A ¸si C, A = {(a, b, 0), a, b ∈ R} ¸si C = {(0, b0, c0), b0 + c0 = 0}. Calculat¸i A + C ¸si verificat¸i dac˘a A + C e sum˘a direct˘a. Solut¸ie: Avem → → → → → − A + C = {− v /− v =− u1 + − u2 , − u1 ∈ A ¸si → u2 ∈ C}. 24

Deci − → v = (a, b, 0) + (0, b0, c0) = (a, b + b0, c0) cu b0 + c0 = 0. → Fie − v ∈ R3, cu − → v = (x, y, z) = (a, b, 0)+(0, b0, c0) = (x, y+z, 0)+(0, −z, z), −z + z = 0. Rezult˘a A + C = R3 deoarece (x, y + z, 0) ∈ A ¸si (0, −z, z) ∈ C. Dar \ → → → A C = {− v /− v ∈ A ¸si − v ∈ C}. → → → → Din − v ∈A⇒− v = (a, b, 0), iar din − v ∈C ⇒− v = 0 0 0 0 0 0 0 (0, b , c ) cu b + c = 0, deci a = 0, b = b , c = 0, b + c0 = − → → 0 ⇒ b0 = 0, c0 = 0 ⇒ − v = 0 ¸si avem \ − → A C = { 0 }, prin urmare A + C este sum˘a direct˘a. 5. Exercit¸ii rezolvate 1. S˘a se stabileasc˘a care din urm˘atoarele perechi de operat¸ii define¸ste pe R2 o structur˘a de spat¸iu vectorial. a) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, 0) k · (x1, x2) = (kx1, kx2), k ∈ R. b) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, y2) k · (x1, x2) = (kx1, kx2), k ∈ R. c) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) k · (x1, x2) = (0, kx2), k ∈ R. Solut¸ie: a) Pentru ca operat¸ia s˘a defineasc˘a o structur˘a de spat¸iu vectorial trebuie ca (R2, +) s˘a formeze un grup abelian. 25

Fie x1, x2, y1, y2, z1, z2 ∈ R atunci avem [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2) = (x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)]. Pe de o parte avem: [(x1, x2)+(y1, y2)]+(z1, z2) = (x1+y1, 0)+(z1, z2) = (x1+y1+z1, 0), iar pe de alt˘a parte avem: (x1, x2)+[(y1, y2)+(z1, z2)] = (x1, x2)+(y1+z1, 0) = (x1+y1+z1, 0). Deci adunarea este asociativ˘a. Verific˘am ˆın continuare comutativitatea: (x1, x2)+(y1, y2) = (y1, y2)+(x1, x2), oricare ar fi x1, x2, y1, y2 ∈ R. Avem (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, 0), iar (y1, y2) + (x1, x2) = (y1 + x1, 0). Cum adunarea numerelor reale este comutativ˘a rezult˘a c˘a ¸si aceast˘a operat¸ie este comutativ˘a. Vom verifica ˆın continuare dac˘a aceast˘a operat¸ie are element neutru: (∀)(x1, x2) ∈ R2, ∃(e1, e2) ∈ R2 cu x1, x2, e1, e2 ∈ R astfel ˆıncˆat (x1, x2) + (e1, e2) = (e1, e2) + (x1, x2) = (x1, x2). Cum adunarea este comutativ˘a atunci vom ar˘ata doar o parte a acestei egalit˘a¸ti. Avem (x1, x2)+(e1, e2) = (x1, x2) ⇔ (x1+e1, 0) = (x1, x2) ⇔ e1 = 0, e2 ∈ R, dar cum elementul neutru trebuie sa fie unic, atunci rezult˘a c˘a nu avem element neutru ¸si prin urmare nu avem grup abelian, deci nici structur˘a de spat¸iu vectorial. b) ¸si c) se rezolv˘a analog. 2. Se d˘a Pn(x), spat¸iul vectorial al funct¸iilor polinomiale reale care au cel mult gradul n. S˘a se cerceteze care din urm˘atoarele submult¸imi sunt subspat¸ii vectoriale: 26

a) A = {p(x)/ p(0) = h, h ∈ R} b) B = {p(x)/ 3p(0) − 2p(1) = 0} c) C = {p(x)/ p(1) + . . . + p(k) = 0}. Solut¸ie: a) Fie p(x) = h + a1x + a2x2 + . . . + anxn cu an 6= 0 ¸si

q(x) = h + b1x + b2x2 + . . . + bnxn cu bn 6= 0

atunci

p(x) + q(x) ∈ A.

Avem p(x) + q(x) = 2h + (a1 + b1)x + . . . + (an + bn)xn. Dar p(0) = h ¸si q(0) = h, deci (p + q)(0) = 2h 6= h rezult˘a c˘a (p + q)(x) 6∈ A. Prin urmare A nu este subspat¸iu vectorial al lui Pn(x). b) Fie p(x) = h + a1x + a2x2 + . . . + anxn ¸si

q(x) = h + b1x + b2x2 + . . . + bnxn.

½ Avem ½ 3p(0) − 2p(1) = 0 3a0 − 2(a0 + a1 + . . . + an) = 0 ⇔ 3q(0) − 2q(1) = 0 3a0 − 2(b0 + b1 + . . . + bn) = 0 ½ a − 2(a + . . . + a ) = 0 ⇔ a0 − 2(b 1 + . . . + b n) = 0 , 0

1

n

27

deci (p+q)(x) = p(x)+q(x) = a0+b0+(a1+b1)x+. . .+(an+bn)xn ∈ Pn(x). ˆIn plus avem

3(p+q)(0)−2(p+q)(1) = 0 ⇔ 3(a0+b0)−2[(a0+b0)+. . .+(an+bn)] = 0 ⇔ a0 − 2(a1 + . . . + an) + b0 − 2(b1 + . . . + bn) = 0 ⇔ 0 = 0. Rezult˘a p + q ∈ B. Oricare ar fi k ∈ R, p(x) ∈ B ⇒ kp(x) ∈ B. S¸tim c˘a kp(x) = k(a0 + a1x + . . . + anxn). ˆIn plus avem 3kp(0)−2kp(1) = 3ka0−2k(a0+. . .+an) = k[a0−2(a1+. . .+an)] = k·0 = rezult˘a kp(x) ∈ B. Deci B este subspat¸iu vectorial al lui Pn(x). c) analog a) ¸si b). 3. Fie spat¸iul vectorial R3[x] = {p/ p = a0 +a1x+a2x2 + a3x3} ¸si mult¸imile A = {p/ p ∈ R3[x], a0 + a1 + a2 = 0} ¸si B = {p/ p ∈ R3[x], a0 + a2 = 0, a1 + a3 = 0}. a) S˘a se arate c˘a A ¸si B sunt subspat T ¸ii vectoriale. b) S˘a se determine mult¸imea A B. Solut¸ie: a) Analog T exercit¸iul anterior. b) A B = {p/Tp ∈ R3[x], a0 + a2 = 0, a1 + a3 = 0}. Deci vectorii din A B au forma p = a0 +a1x−a0x2 −a1x3. 4. S˘a se studieze dependent¸a ¸si independent¸a liniar˘a pentru urm˘atorii vectori: 28

a) v1 = 7t3 − 3t2 + 5t + 3, v2 = t3 − t2 + 8t + 2, v3 = 2t3 − 4t2 + 9t + 5. b) u = t3 + 4t2 − 2t + 3, v = t3 + 6t2 − t + 4, w = 3t3 + 8t2 − 8t + 7. c) v1 = (2, 1, −3), v2 = (−1, −2, 3), v3 = (7, 8, −15). Solut¸ie: a) αv1 + βv2 + γv3 = 0 ⇔ t3(7α+β+2γ)+t2(−3α−β−4γ)+t(5α+8β+9γ)+α+2β+5γ = 0   7α + β + 2γ = 0 −3α − β − 4γ = 0 ⇔  5α + 8β + 9γ = 0 α + 2β + 5γ = 0 ⇒ α = β = γ = 0, deci sistemul este liniar independent. b) se obt¸ine sistem liniar independent; ( 2α − β + 7γ = 0 α − 2β + 8γ = 0 c) αv1 + βv2 + γv3 = 0 ⇔ −3α + 3β − 15γ = 0 ⇒ α = −2γ, β = 3γ, deci sistemul este liniar dependent. 5. Ar˘atat¸i care din urm˘atoarele sisteme de vectori sunt sisteme de generatori pentru spat¸iile vectoriale corespunz˘atoare: L1 = {v1 = (1, 2, 3), v2 = (−1, −3, −2), v3 = (−1, −5, 10)},

L2 = {f1(x) = 2x2+x+2, f2(x) = −x2−3x+2, f3(x) = x2+4x−3}, L3 = {u1 = (1, −1, −2), u2 = (−1, 2, −3), u3 = (4, −6, 2), u4 = (−3, 5, − Solut¸ie: L1 este un sistem de generatori pentru R3 dac˘a pentru → orice v ∈ R3 exist˘a α, β, γ ∈ R cu − v = α(1, 2, 3) + → β(−1, −3, −2) + γ(−1, −5, 10). Luˆand − v = (a, b, c) se 29

obt ( ¸ine sistemul α−β−γ =a 3α − 3β − 5γ = b . 3α − 2β + 10γ = c Sistemul este compatibil, deci L1 genereaz˘a R3. Similar pentru L2 ¸si L3. Sistemele de vectori date sunt sisteme de generatori pentru spat¸iile vectoriale corespunz˘atoare dac˘a orice element din spat¸iul vectorial se poate scrie ca o combinat¸ie liniar˘a din sistem. 6. Fie U ¸si W subspat¸ii ale lui R3, U = {(a, b, c)/ a = 3 b = L c} ¸si W = {(0, b, c)/ b, c ∈ R}. Ar˘atat¸i c˘a R = U W. Solut¸ie: Pentru ca R3 s˘a fie sum˘a direct˘a de U ¸si W trebuie s˘a avem U + W = R3 ¸si U

\

W = {0}.

Fie u ∈ R3 cu u = (a, b, c). Avem u = (a, a, a) + (0, b − a, c − a) cu (a, a, a) ∈ U ¸si (0, b − a, c − a) ∈ W , deci U + W = R3T . Fie v ∈ U W ⇒ v = (a, a, a) ¸si v = (0, b, c) ⇒ a = 0 ¸si a = b = c, deci v = (0,T0, 0). Prin urmare {0} = U W . Vom avea M 3 R =U W. 30

7. Fie Mn(R) spat¸iul vectorial al matricelor p˘atrate de ordin n peste R ¸si Msn(R) ¸si Man(R) subspat¸ii de matrici L asis metrice respectiv antisimetrice. Ar˘atat¸i c˘a Mn(R) Mn(R) = Mn(R). Solut¸ie: Avem Msn(R) = {A = kaij k / aij = aji, (∀)i, j, AT = A} ¸si Man(R) = {A = kaij k / aij = −aji, (∀)i, j, AT = −A}. Fie A ∈ Mn(R), A = kaij k, i, j = 1, n. aij + aji aij − aji B = kbij k, bij = , ¸si C = kcij k, cij = . 2 2 aji − aij Calcul˘am cji = = −cij deci C ∈ Man(R). 2 aji + aij = bij deci B ∈ Msn(R). La fel bji = 2 Dar bij + cij = aij ⇒ A = B + C. A¸sadar Mn(R) = Msn(R) + Man(R). T a s Fie A ∈ Mn(R) Mn(R), A = kaij k ⇒ aij = aji ¸si aij = −aji T ⇒ aij = 0, (∀)i, j ⇒ A L = 0. Deci Msn(R) Man(R) = {0} ⇒ Mn(R) = Msn(R) Man(R).

31

CAPITOLUL 2

Baze. Rangul unui sistem de vectori

1. Baze. Spat¸ii vectoriale finit dimensionale

33

Definit ¸ ia 2.1. Spunem c˘a un sistem S de vectori este liniar independent dac˘a orice parte finit˘a a sa este un sistem de vectori liniar independent¸i. Definit ¸ ia 2.2. Un sistem de vectori liniar independent, B, este maximal ca sistem de vectori liniar indeS − → − → pendent dac˘a pentru orice v 6∈ B sistemul B { v } nu mai este liniar independent. Definit ¸ ia 2.3. Numim baz˘ a ˆıntr-un spat¸iu vectorial orice sistem B de vectori care este liniar independent ¸si maximal cu aceast˘a proprietate. Definit ¸ ia 2.4. Spunem c˘a un spat¸iu vectorial este finit dimensional dac˘a admite o baz˘a format˘a dintr-un num˘ar finit de vectori. ˆ Propozit ¸ ia 2.1. Intr-un spat¸iu vectorial finit dimensional un sistem B de vectori este o baz˘a dac˘a ¸si numai dac˘a - B este un sistem liniar independent - B este sistem de generatori pentru V ([B] = V ).

34

Demonstrat¸ie: → → → Presupunem c˘a B = {− e1 , − e2 , . . . , − en } este o baz˘a ˆın V . Deci B este un sistem liniar independent, maximal cu aceast˘a proprietate. − → Ar˘at˘am c˘a oricare ar fi → v ∈V,− v se scrie ca o combinat¸ie liniar˘a− de vectorii lui B. → Dac˘a v ∈ B rezult˘a c˘a − → → → → → → − → v =− ep = 0 · − e1 + 0 · − e2 + . . . + 1 · − ep + 0 · − e− p+1 + . . . + 0 · en ; S → → Dac˘a − v 6∈ B rezult˘a c˘a B {− v } este liniar dependent. Deci exist˘a o combinat¸ie liniar˘a nul˘a − → → → → → α ·− e +α ·− e + ... + α · − e +α·− v = 0 1

1

2

2

n

n

ˆın care nu tot¸i scalarii sunt nuli. Scalarul α nu poate fi egal cu zero, deoarece α = 0 implic˘a − → → → → α ·− e +α ·− e +. . .+α ·− e = 0 ⇒ α = α = . . . = α = 0. 1

1

2

2

n

n

1

Deci

2

n

α1 → α2 − αn → − → v =− − e1 − → e2 − . . . − − en , α α α adic˘a B este un sistem de generatori pentru V . Reciproc, presupunem c˘a B verific˘a cele dou˘a condit¸ii din propozit¸ie, adic˘a este un sistem liniar independent ¸si → formeaz˘a un sistem de generatori pentru V . Fie − v 6∈ B. Exist˘a scalarii α1, α2, . . . , αn cu − → → → → v = α1 − e1 + α2− e2 + . . . + α n − en . De aici − → → → → → α1 − e1 + α2− e2 + . . . + α n − en + (−1)− v = 0, S − adic˘a B {→ v } este un sistem liniar dependent. Deci B este o baz˘a a spat¸iului vectorial V , fiind un sistem de vectori independent¸i liniar, maximal cu aceast˘a proprietate.

35

Propozit ¸ ia 2.2. Un sistem B de vectori este o baz˘a ˆıntr-un spat¸iu vectorial finit dimensional dac˘a ¸si numai → dac˘a orice vector − v se scrie ˆın mod unic ca o combinat¸ie liniar˘a de vectorii lui B.

36

Demonstrat¸ie: → → − Fie B = {− e1 , − e2 , . . . , → en } o baz˘a ˆın V . Atunci pentru − → orice v ∈ V , − → → → → v = α1 · − e1 + +α2 · − e2 + . . . + α n · − en . → Presupunem c˘a scrierea lui − v nu este unic˘a, deci − → → → → v = α10 · − e1 + α20 · − e2 + . . . + αn0 · − en . Avem − → → → → 0 = (α1 − α10 ) · − e1 + (α2 − α20 ) · − e2 + . . . + (αn − αn0 ) · − en . Dar B este un sistem liniar independent de vectori, deci α1 − α10 = 0; α2 − α20 = 0; . . . ; αn − αn0 = 0, adic˘a α1 = α10 ; α2 = α20 ; . . . ; αn = αn0 . → Reciproc, presupunem c˘a orice vector − v se scrie ˆın mod unic ca o combinat¸ie liniar˘a de vectorii lui B. Deci B este un sistem de generatori pentru V . Ar˘at˘am c˘a el este ¸si un sistem de vectori liniari independent¸i. ˆIntr-adev˘ar dac˘a consider˘am combinat¸ia liniar˘a − → → → α− e + ... + α − e = 0, 1 1

n n

avˆand ˆın vedere c˘a − → → → → 0 = 0− e1 + 0− e2 + . . . + 0− en ¸si c˘a scrierea este unic˘a, rezult˘a α1 = α2 = . . . = αn = 0.

37

Exemplul 2.1. Fie spat¸iul vectorial M2(R). S˘a se determine o baz˘a a acestui spat¸iu vectorial. ³

´ ³ ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´ 0 0 a b a 0 0 0 0 b c d = 0 0 + 0 0 + c 0 + 0 d = ³ ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´ 1 0 0 1 0 0 0 0 =a· 0 0 +b· 0 0 +c· 1 0 +d· 0 1 . ³ ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´ 1 0 0 1 0 0 0 0 E11 = 0 0 , E12 = 0 0 , E21 = 1 0 , E22 = 0 1 . ³ ´ a b c d = a · E11 + b · E12 + c · E21 + d · E22. Ar˘at˘am c˘a el este ¸si liniar independent. Fie ´ ³ ³ ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 α· 0 0 +β· 0 0 +γ· 1 0 +δ· 0 1 = 0 0 Rezult˘a ³ ´ ³ ´ α β 0 0 γ δ = 0 0 deci α = 0, β = 0, γ = 0, δ = 0, a¸sadar B este o baz˘a pentru M2(R).

38

ˆ Propozit ¸ ia 2.3. Intr-un spat¸iu vectorial finit dimensional orice baz˘a are acela¸si num˘ar de vectori. Definit ¸ ia 2.5. Num˘arul de vectori ai unei baze dintrun spat¸iu vectorial finit dimensional se nume¸ste dimensiunea spat¸iului. Dimensiunea unui spat¸iu vectorial V se noteaz˘a dim V. Definit ¸ ia 2.6. Num˘arul de vectori ai unei baze dintrun spat¸iu vectorial finit dimensional se nume¸ste dimensiunea spat¸iului. Dimensiunea unui spat¸iu vectorial V se noteaz˘a dim V. Observat ¸ ia 2.1. Dac˘a un spat¸iu vectorial V are dimensiunea n, atunci orice sistem de n vectori liniar independent¸i este o baz˘a a spat¸iului. → → → e1 , − e2 , . . . , − en } Definit ¸ ia 2.7. Fiind dat˘a o baz˘a B = {− ˆıntr-un spat¸iu vectorial, scalarii din expresia unui vector − → v scris˘a ˆın raport cu baza B, respectiv − → → → → v = α1 · − e1 + +α2 · − e2 + . . . + α n · − en , → se numesc coordonate ale vectorului − v ˆın baza B.

39

Demonstrat¸ie: − → − → − → → → → Fie B = {− e1 , − e2 , . . . , − en } ¸si B 0 = { f1 , f2 , . . . , fp } → → → dou˘a baze ˆın V . B = {− e1 , − e2 , . . . , − en } este o baz˘a ˆın V deci este un sistem de vectori liniar independent¸i, maximal cu aceast˘a proprietate. S − → A¸sadar B { f1 } este un sistem de vectori liniari dependent¸i ¸si − → → → → f1 = λ11− e1 + λ21− e2 + . . . + λn1 − en , − → unde nu tot¸i λi1 sunt nuli ( f1 6= 0). Analog putem scrie − → → → → f2 = λ21− e1 + λ22− e2 + . . . + λn2 − en ... − → → → → f = λ1 − e + λ2 − e + . . . + λn− e . p

p 1

p 2

p n

Fie combinat¸ia liniar˘a nul˘a − → − → → − − → α1 f1 + α2 f2 + . . . + αp fp = 0 . → − → → − ˆInlocuind vectorii − f1 , f2 , . . . , fp ¸si reordonˆand rezult˘a → → (α1λ11+α2λ12+. . .+αpλ1p)− e1 +(α1λ21+α2λ22+. . .+αpλ2p)− e2 +. . . + − → − +(α λn + α λn + . . . + α λn)→ e = 0. 1 1

2 2

p p

n

Din faptul c˘a vectorii lui B sunt independent¸i liniar avem c˘a tot¸i scalarii sunt nuli ¸si obt¸inem sistemul liniar omogen  1 1 1 λ α + λ α + . . . + λ 1 2  1 2 p αp = 0  2 2 2 λ1α1 + λ2α2 + . . . + λpαp = 0 ...   n n λ1 α1 + λ2 α2 + . . . + λnpαp = 0 → − → → − ˆIntrucˆat ¸si vectorii − f1 , f2 , . . . , fp sunt independent¸i liniar, acest sistem poate avea doar solut¸ia nul˘a, a¸sadar num˘arul de ecuat¸ii este mai mare sau egal decˆat num˘arul de necunoscute, adic˘a n ≥ p. 40

Rat¸ionˆand similar, dar pornind de la B 0 rezult˘a ¸si inegalitatea contrarie p ≤ n. A¸sadar p = n.

41

Definit ¸ ia 2.8. Num˘arul de vectori ai unei baze dintrun spat¸iu vectorial finit dimensional se nume¸ste dimensiunea spat¸iului. Dimensiunea unui spat¸iu vectorial V se noteaz˘a dim V. Observat ¸ ia 2.2. Dac˘a un spat¸iu vectorial V are dimensiunea n, atunci orice sistem de n vectori liniar independent¸i este o baz˘a a spat¸iului.

42

Demonstrat¸ie: → → → Fie S = {− v1 , − v2 , . . . , − vn } un sistem de vectori liniar − → → → → → 0 independent¸i ¸si S = { v1 , − v2 , . . . , − vn , − v } unde − v ∈ V este arbitrar. ˆIntrucˆat ˆın V nu pot exista sisteme formate din mai mult de n vectori liniar independent¸i rezult˘a c˘a S este ¸si maximal cu aceast˘a proprietate, deci este o baz˘a.

43

→ → → e1 , − e2 , . . . , − en } Definit ¸ ia 2.9. Fiind dat˘a o baz˘a B = {− ˆıntr-un spat¸iu vectorial, scalarii din expresia unui vector − → v scris˘a ˆın raport cu baza B, respectiv − → → → → v = α1 · − e1 + +α2 · − e2 + . . . + α n · − en , → se numesc coordonate ale vectorului − v ˆın aceast˘a baz˘a B.

44

→ v se scriu sub forma unei maCoordonatele unui vector − trici coloan˘a:   α1 α  → [− v ]B =  ..2  . . αn Teorema 2.1. Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si − → − → − → → → → B = {− e1 , − e2 , . . . , − en }, B 0 = { f1 , f2 , . . . , fn } dou˘a − baze ˆın V . Pentru orice vector → v avem relat¸ia: → → [− v ]B = SBB 0 · [− v ]B 0 unde SBB 0 este o matrice p˘atrat˘a de ordinul n care are pe coloane coordonatele vectorilor din baza B 0 ˆın raport cu baza B. Observat ¸ ia 2.3. Matricea SBB 0 este inversabil˘a (nesingular˘a adic˘a are determinantul diferit de zero) ¸si inversa sa este SB 0B , unde SBB 0 este matricea de trecere de la B la B 0.

45

→ v = (x, y), x, y ∈ R} Exemplul 2.2. Fie ˆın R2 = {− mult¸imile − → − → → → B = {− e1 = (1, 0), − e2 = (0, 1)} ¸si B 0 = { f1 = (1, 0), f2 = (1, 1)}. a) S˘a se arate c˘a B ¸si B 0 sunt baze ˆın R2. − b) S˘a se scrie coordonatele vectorului → v = (−3, 7) ˆın cele dou˘a baze. Solut¸ie: a) Pentru a justifica c˘a B este o baz˘a trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a B este un sistem liniar independent ¸si un sistem de generatori. Fie v ∈ R2. Avem − → v = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1). Deci B este un sistem de generatori pentru R2. Pentru a fi un sistem liniar independent ar˘at˘am c˘a α · − → − → → e1 + β · − e2 = 0 va implica α = 0, β = 0. Deci α · (1, 0) + β · (0, 1) = (0, 0) ⇔ (α, 0) + (β, 0) = (0, 0) ⇔ (α, β) = (0, 0) ⇒ α = 0, β = 0. Pentru B 0 se procedeaz˘a la fel ¸si se obt¸ine c˘a ¸si B 0 este o baz˘a a lui R2. b) Putem scrie c˘a − → → → v = (−3, 7) = (−3, 0)+(0, 7) = −3(1, 0)+7(0, 1) = −3− e +7− e . 1

Deci

´ −3 7 . → Pentru a determina coordonatele lui − v ˆın baza B avem echivalent¸ele → − − → → − v = α · f + β · f ⇔ (−3, 7) = α · (1, 0) + β · (1, 1) → [− v ]B =

1

³

2

⇔ (−3, 7) = (α + β, β) ⇒ α + β = −3, β = 7. 46

2

ˆIn concluzie α = −10 ¸si β = 7, adic˘a ´ ³ −10 − → [ v ]B 0 = 7 . → → → Propozit ¸ ia 2.4. Fie B = {− e1 , − e2 , . . . , − en } o baz˘a ˆın − → − → → → − spat¸iul vectorialL V ¸si V1 = [{ e1 , . . . , ei0 }], V2 = [{− e− i0 +1 , . . . , en }]. Atunci E = V1 V2. Ar˘at˘am mai ˆıntˆai T c] suma dintre cele dou˘a subspat¸ii este − → direct˘a. Fie v ∈ V1 V2. Avem c˘a − → → → −−→ − → v = α1 − e1 + α 2 − e2 + . . . + α i 0 − e→ i0 = βi0 +1 ei0 +1 + . . . + βn en . De aici → → → −−→ − → − α1 − e1 + α 2 − e2 + . . . + αi0 − e→ i0 − βi0 +1 ei0 +1 − . . . − βn en = 0 ¸si ˆıntrucˆat vectorii sunt independent¸i liniar rezult˘a c˘a tot¸i − → → scalarii sunt nuli, deci − v = 0. → Fie ˆın continuare − v ∈ E. Atunci, B fiind o baz˘a, putem scrie − → → −−→ − → → − − → v = α1 − e1 + . . . + αi0 − e→ i0 + αi0 +1 ei0 +1 + . . . + αn en = u1 + u2 unde → − → u1 = α1− e1 + . . . + αi0 − e→ i0 ∈ V1 , − → → − → u2 = αi0+1− e− i0 +1 + . . . + αn en ∈ V2 . Deci E = V1 + V2. Teorema 2.2. Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si − → − → − → → → → B = {− e1 , − e2 , . . . , − en }, B 0 = { f1 , f2 , . . . , fn } dou˘a − baze ˆın V . Pentru orice vector → v avem relat¸ia: → → v ]B 0 [− v ]B = SBB 0 · [− unde SBB 0 este o matrice p˘atrat˘a de ordinul n care are pe coloane coordonatele vectorilor din baza B 0 ˆın raport cu baza B. 47

¸si

Demonstrat¸ie: Fie → → → B = {− e1 , − e2 , . . . , − en } → − − → − → B 0 = { f1 , f2 , . . . , fn }

dou˘a baze ˆın V .− Pentru orice → v ∈V avem   0  x1 x1  x2  −  x02  → − → [ v ]B =  ..  , [ v ]B 0 =  ..  . . . 0 xn xn ˆIn particular, − → → → → f1 = s11− e1 + s12− e2 + . . . + s1n− en − → → → → f2 = s12− e1 + s22− e2 + . . . + s2n− en ... − → → → → fn = sn1− e1 + sn2− e2 + . . . + snn− en Avem − → → → → v = x1 − e1 + x2− e2 + . . . + x n − en − → − → − → − → v = x01 f1 + x02 f2 + . . . + x0n fn . ˆInlocuind, − → → → → → → → v = x01(s11− e1 +s21− e2 +. . .+sn1− en )+x02(s12− e1 +s22− e2 +. . .+sn2− en )+ → → → + . . . + x0n(s1n− e1 + s2n− e2 + . . . + snn− en ) = → → 0 0 0 − 0 0 = (s11x1+s12x2+. . .+s1nxn) e1 +(s21x1+s22x2+. . .+s2nx0n)− e2 + → + . . . + (sn1x01 + sn2x02 + snnx0n)− en . Deci,  0 0 0   x1 = s11x10 + s12x20 + . . . + s1nxn0 x2 = s21x1 + s22x2 + . . . + s2nxn . ⇒ ...   0 0 xn = sn1x1 + sn2x2 + . . . + snnx0n 48

Prin urmare avem    x1 s11 s12 x  2   s21 s22  ...  = . . . . . . sn1 sn2 xn → [− v] =S B

  x0  . . . s1n 1 x . . . s2n   02  . . . . . . ·  ...  . . . snn x0n − → 0 · [ v ] 0.

BB

B

Observat ¸ ia 2.4. Matricea SBB 0 este inversabil˘a (nesingular˘a adic˘a are determinantul diferit de zero) ¸si inversa sa este SB 0B , unde SBB 0 este matricea de trecere de la B la B 0. Prin simetrie avem → → [− v ]B 0 = SB 0B · [− v ]B . Deci → → → [− v ]B = SBB 0 · [− v ]B 0 = SBB 0 · (SB 0B · [− v ]B ) → → [− v ] = (S 0 · S 0 ) · [− v] B

BB

BB

B

a¸sadar

SBB 0 · SB 0B = In unde In este matricea identic˘a,   1 0 ... 0 0 1 ... 0 In =  . . . . . . . . . . . .  . 0 0 ... 1 Exemplul 2.3. Fie ˆın R3 mult¸imile → → → B = {− e1 = (1, 0, 0), − e2 = (0, 1, 0), − e3 = (0, 0, 1)} ¸si

− → − → − → B 0 = { f1 = (1, 0, 1), f2 = (1, 1, 0), f3 = (0, 1, 1)}. Demonstrat¸i c˘a B, B 0 sunt baze ¸si determinat¸i co− ordonatele vectorului → v = (3, −3, 2) ˆın cele dou˘a baze. 49

Verificat¸i teorema de trecere de la o baz˘a la alt˘a baz˘a → pentru vectorul − v. Solut¸ie: Afirmat¸ia c˘a B este o baz˘a se demonstreaz˘a la fel ca ˆın exercit¸iul precedent. à ! 3 − ˆIn plus [→ v ]B = −3 . 2 Sistemul B 0 este liniar independent deoarece dac˘a − → − → → − − → α1 f1 + α2 f2 + α3 f3 = 0 , atunci ( α1 + α2 = 0 α1(1, 0, 1)+α2(1, 1, 0)+α3(0, 1, 1) = (0, 0, 0) ⇔ α2 + α3 = 0 α1 + α3 = 0 ⇒ α1 = α2 = α3 = 0. → → Fie − v ∈ R3 cu − v = (a, b, c). Ar˘at˘am c˘a exist˘a α, β, γ ∈ R cu − → → − − → − → v = α f1 + β f2 + γ f3 . ( α+β =a ˆInlocuind ¸si egalˆand componentele obt¸inem sistemul β + γ = b , α+γ =c − → − care are solut¸ie unic˘a. Pentru coordonatele lui → v = α f1 + − → − → β f2 + γ f3 avem ( α+β =3 (3, −3, 2) = α(1, 0, 1)+β(1, 1, 0)+γ(0, 1, 1) ⇔ β + γ = −3 α+γ =2 adic˘a α = 4, β = −1, γÃ= −2.! 4 − → Prin urmare [ v ]B 0 = −1 . −2 50

ˆInlocuind ˆın formula de trecere de la o baz˘a la alta se obt¸ine à ! à ! à ! 3 1 1 0 4 −3 = 0 1 1 · −1 , 2 1 0 1 −2 relat¸ie adev˘arat˘a.

51

2. Rangul unui sistem de vectori → → → Definit ¸ ia 2.10. Fie S = {− v1 , − v2 , . . . , − vp } un sistem finit de vectori dintr-un spat¸iu vectorial. Numim rangul sistemului S, not˘am rang S, dimensiunea subspat¸iului vectorial generat de S (rang S = dim [S]). Propozit ¸ ia 2.5. Rangul unui sistem de vectori S este dat de num˘arul maxim de vectori liniar independent¸i ce se g˘asesc ˆın S. Propozit ¸ ia 2.6. Rangul unui sistem de vectori este dat de rangul matricei format˘a cu coordonatele vectorilor din sistem. → → → → → Exemplul 2.4. Fie sistemul S = {− v1 , − v2 , − v3 , − v4 , − v5 } cu, − → → → v1 = (1, 0, 1); − v2 = (0, 1, 1); − v3 = (1, 1, 0); − → − → → → → → v4 = (2, 2, 2); v5 = (3, 1, 2). Avem − v4 = − v1 + − v2 + − v3 ¸si − → − → − → v5 = 2 v1 + v3 . Matricea corespunz˘atoare sistemului de vectori este à ! 1 0 1 2 3 0 1 1 2 1 . 1 1 0 2 2 Deci rangS = 3.

52

Demonstrat¸ie: Fie sistemul de vectori → − → S = {− v1 , → v2 , . . . , − vp } ¸si subspat¸iul vectorial generat → → → → → [S] = {− v / (∃) α1, . . . , αp ∈ K cu − v = α1− v1 +α2− v2 +. . .+αp− vp }. 1. Dac˘a vectorii sistemului S sunt liniar independent¸i , ei formeaz˘a ¸si un sistem de generatori, deci S este o baz˘a pentru subspat¸iul vectorial [S]. A¸sadar rang S = p. 2. Dac˘a vectorii lui S sunt liniar dependent¸i, atunci exist˘a o combinat¸ie liniar˘a nul˘a − → → → → λ1− v1 + λ2− v2 + . . . + λp− vp = 0 ˆın care nu tot¸i scalarii sunt nuli. Presupunem λi0 6= 0, i0 ∈ {1, 2, . . . , p}. ˆIn consecint¸a˘ λ1 − λi0−1 −−→ λi0+1 −−→ λp − − → → v→ = − v − . . . − v − v − . . . − vp i0 1 i0 −1 i0 +1 λi0 λi0 λi0 λi0 → ¸si ˆınlocuind ˆın expresia lui − v ∈ [S], pe − v→ a i0 va rezulta c˘ − → v se scrie ca o combinat¸ie liniar˘a de vectorii sistemului → → −−→ − → S 0 = {− v1 , . . . , − v− sadar [S] = [S 0]. i0 −1 , vi0 +1 , . . . , vp }. A¸ 3. Repetˆand etapele 1. ¸si 2. pentru S 0 se va ajunge dup˘a un num˘ar finit de pa¸si la un sistem de vectori Se de forma → → → e Se = {− u1 , − u2 , . . . , − uk } independent¸i linar. A¸sadar [S] = [S] e = k, k fiind num˘arul maxim ¸si rang S = dim [S]= dim[S] de vectori liniar independent¸i din S.

53

Propozit ¸ ia 2.7. Rangul unui sistem de vectori este dat de rangul matricei format˘a cu coordonatele vectorilor din sistem.

54

Demonstrat¸ie: Scriem, de preferint¸˘a, coordonatele vectorilor pe coloanele unei matrice. Operat¸iile efectuate ˆın demonstrat¸ia anterioar˘a coincid cu ad˘augarea la o coloan˘a a matricei (coloana i0) a unei combinat¸ii formate cu celelalte coloane ¸si obt¸inerea de zerouri pe coloana i0. Evident rangul matricei va coincide cu numarul de coloane nenule, deci cu num˘arul de vectori liniar independent¸i. → → → → → − → v1 , − v2 , − v3 , − v4 , − v5 }, → v1 = (1, 0, 1); − v2 = Exemplul 2.5. S = {− (0, 1, 1); − → → → − → → v3 = (1, 1, 0); − v4 = (2, 2, 2); − v5 = (3, 1, 2). → v4 = − v1 + − v2 + − → − → − → − → v3 ¸si v5 = 2 v1 + v3 . Matricea corespunz˘atoare sistemului de vectori este à ! 1 0 1 2 3 0 1 1 2 1 . 1 1 0 2 2 Deci rangS = 3. Observat ¸ ia 2.5. Un sistem de vectori este liniar independent dac˘a rangul matricei formate cu coordonatele vectorilor este egal cu num˘arul de vectori din sistem. ˆ Propozit ¸ ia 2.8. Intr-un spat¸iu vectorial finit dimensional orice subspat¸iu vectorial are dimensiunea mai mic˘a sau egal˘a cu dimensiunea spat¸iului. Prin convent¸ie subspat¸iul vectorial format numai cu vectorul nul are dimensiunea zero. Demonstrat¸ie: Fie A un subspat¸iu vectorial al lui V cu dimA = p. → − → − → − → − → − → ˆIn A avem o baz˘a {− f1 , f2 , . . . , fp }. A ⊂ V deci f1 , f2 , . . . , fp ∈ V ¸si sunt liniari independent¸i ˆın V . Din dimV = n rezult˘a c˘a ˆın V exist˘a o baz˘a format˘a din n vectori, adic˘a ˆın V exist˘a un sistem maximal de n vectori liniar independent¸i, a¸sadar nu putem avea decˆat p ≤ n. 55

Consecint ¸ a 2.1. Dac˘a A este un subspat¸iu vectorial al lui V ¸si dimA = dimV , atunci A = V .

56

→ → → e1 , − e2 , . . . , − en } o baz˘a ˆın Teorema 2.3. Fie B = {− − → → spat¸iul vectorial V ¸si vectorul nenul v cu − v ∈ / B. Atunci exist˘a un vector ˆın B care poate fi ˆınlocuit cu → vectorul − v astfel ˆıncˆat noul sistem de vectori s˘a r˘amˆan˘a o baz˘a a spat¸iului vectorial V .

57

Demonstrat¸ie: → Fie − v ∈ V nenul. Avem c˘a − → → → → v = α1 − e1 + α2− e2 + . . . + α n − en , unde cel put¸in un scalar αi 6= 0. Presupunem, pentru a u¸sura scrierea, c˘a α1 6= 0. − − → Lu˘am B 0 = {→ v ,→ e2 , . . . , − en } ¸si demonstr˘am c˘a B 0 este o baz˘a a spat¸iului vectorial, adic˘a este un sistem liniar independent. Fie combinat¸ia liniar˘a nul˘a → − → → → β− v +β − e + ... + β − e = 0. 1

2 2

n n

→ ˆInlocuind pe − v ¸si regrupˆand obt¸inem → − → → → α1β1− e1 + (α2β1 + β2)− e2 + . . . + (αnβ1 + βn)− en = 0 , deci    α1β1 = 0 α2β1 + β2 = 0 . ...   αnβ1 + βn = 0 ˆIntrucˆat α1 6= 0 rezult˘a c˘a β1 = 0 ¸si ˆınlocuind ˆın relat¸iile urm˘atoare obt¸inem c˘a β2 = β3 = . . . = βn = 0, deci B 0 este un sistem liniar independent de vectori din V . 3. Exercit¸ii rezolvate ( à ! ) 0 0 x 1. Fie A = A/ A = y 0 0 , x = y + z, x, y, z, u ∈ R . u z 0 Ar˘atat¸Ãi c˘a M, N, P constituie lui A unde ! Ão baz˘a a ! à ! 0 0 −3 0 0 1 0 0 −1 M = −2 0 0 , N = 1 0 0 , P = −1 0 0 . 1 −1 0 3 0 0 3 0 0 58

Solut¸ie: {M, N, P } constituie o baz˘a dac˘a este un sistem liniar independent ¸si formeaz˘a un sistem de generatori pentru mult¸imea A. Ca s˘a fie sistem liniar independent trebuie s˘a indeplineasc˘a urm˘atoarea condit¸ie: ∀ k1, k2, k3 ∈ R, k1M +k2N +k3P = 0 ⇒ k1 = k2 = k3 = 0. Avem à ! à ! 0 0 −3k1 + k2 − k3 0 0 0 −2k1 + k2 − k3 0 0 = 0 0 0 0 0 0 k1 + 3k2 + 3k3 −k1 0   −3k1 + k2 − k3 = 0 −2k1 + k2 − k3 = 0 ⇒ ⇒ k1 = k2 = k3 = 0.  k1 + 3k2 + 3k3 = 0 −k1 = 0 Deci {M, N, P } este un sistem liniar independent. Mai avem de ar˘atat ca este un sistem de generatori. Pentru orice A ∈ A avem A = aM + bN + cP, unde a, b, c sunt coordonatele lui A ˆın baza {M, N, P }. Prin urmare avem à ! à ! 0 0 −3a + b + c 0 0 x y 0 0 = −2a + b − c 0 0 , u z 0 a + 3b + c −a 0   x = −3a + b + c y = −2a + b − c =⇒ u = a + 3b + c  z = −a rezult˘a −3y + 7z + u 3y + u − 5z , c= . a = −z, b = 6 6 59

Avem 1 1 A = −zM + (3y + u − 5z)N + (−3y + 7z + u)P. 6 6 Am ar˘atat c˘a {M, N, P } este si un sistem de generatori pentru A deci constituie o baz˘a. → → → 2. S˘a se arate c˘a mult¸imea B = {− v1 , − v2 , − v3 } formeaz˘a − → − → → 3 ˆın R o baz˘a, unde v1 = (1, −1, 2), v2 = (1, 0, 2), − v3 = (0, 1, −1) . Solut¸ie: Pentru a ar˘ata c˘a mult¸imea B este baz˘a trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a B formeaz˘a un sistem de vectori liniar independent ¸si un sistem de generatori pentru mult¸imea R3. Prin urmare pentru liniar independent¸a˘ avem − → → → − α− v + β− v + γ→ v = 0 ⇒ α = β = γ = 0. 1

Deci

(

2

3

α+β =0 −α + +γ = 0 ⇒ α = β = γ = 0, 2α + 2β − γ = 0

mult¸imea B formeaz˘a un sistem liniar independent. B este un sistem de generatori pentru mult¸imea R3 dac˘a orice vector din R3 se poate scrie ca o combinat¸ie de vectori din B, adic˘a (x, y, z) = αv1+βv2+γv3 = α(1, −1, 2)+β(1, 0, 2)+γ(0, 1, −1) = (α + β, −α + γ, 2α + 2β − γ). ⇒ α = 2x − y − z, β = −x + y + z, γ = 2x − z ⇒ (x, y, z) = (2x − y − z)v1 + (−x + y + z)v2 + (2x − z)v3, rezult˘a B este sistem de generatori pentru spat¸iul vectorial R3 . 60

− → − → − → 3. S˘a se arate c˘a mult¸imea B 0 = { f1 , fµ2 , f3 } ¶ formeaz˘a − → − → − → 1 5 1 ˆın R3 o baz˘a, unde f1 = (1, −1, 2), f2 = , , , f3 = 6 6 3 µ ¶ 2 1 , 0, − . 5 5 Solut¸ie: Liniar independent¸a vectorilor mult¸imii B 0 se arat˘a ca la exercit¸iul anterior, la fel ¸si faptul c˘a este un sistem de generatori.

61

CAPITOLUL 3

Spat¸ii vectoriale izomorfe

Definit ¸ ia 3.1. Spunem c˘a dou˘a spat¸ii vectoriale E, F definite pe acela¸si corp K sunt izomorfe dac˘a exist˘a o aplicat¸ie f : E → F cu propriet˘a¸tile: 1. f este bijectiv˘a. 2. f este liniar˘a, adic˘a → → → → → → v2 ) = αf (− v1 )+βf (− v2 ), (∀) α, β ∈ K ¸si − v1 , − v2 ∈ E. f (α− v1 +β − Funct¸ia f se nume¸ste izomorfism ˆıntre spat¸iile vectoriale E ¸si F . − → − → Observat ¸ ia 3.1. f (0E ) = 0F . Propozit ¸ ia 3.1. Dac˘a f : E → F este un izomorfism − → − → → ¸si S = { e1 , e2 , . . . , − en } este un sistem de vectori din E, avˆand rangul p, atunci sistemul − → → S 0 = {f (→ e1 ), f (− e2 ), . . . , f (− en )} are deasemenea rangul p. Teorema 3.1. Dou˘a spat¸ii vectoriale finit dimensionale E ¸si F peste acela¸si corp K sunt izomorfe dac˘a ¸si numai dac˘a au aceea¸si dimensiune.

63

Demonstrat¸ie: → − → → → ˆIntr-adev˘ar, f (− 0E ) = f (0 · − v ) = 0 · f (− v ) = 0F .

64

Propozit ¸ ia 3.2. Dac˘a f : E → F este un izomorfism − → − → → ¸si S = { e1 , e2 , . . . , − en } este un sistem de vectori din E, avˆand rangul p, atunci sistemul − → → S 0 = {f (→ e1 ), f (− e2 ), . . . , f (− en )} are deasemenea rangul p. Teorema 3.2. Dou˘a spat¸ii vectoriale finit dimensionale E ¸si F peste acela¸si corp K sunt izomorfe dac˘a ¸si numai dac˘a au aceea¸si dimensiune.

65

Demonstrat¸ie: → → → → − → Fie S = {− e1 , − e2 , . . . , − ep , − e− p+1 , . . . , en } cu rang S = p. → → → Putem presupune c˘a {− e1 , − e2 , . . . , − ep } este un sistem de vectori liniar independent¸i ¸si pentru orice i0 > p sistemul → → → e2 , . . . , − ep , − e→ de vectori {− e1 , − i0 } este un sistem de vectori dependent¸i liniar . Vom demonstra afirmat¸iile: → → → 1. Sistemul de vectori {f (− e1 ), f (− e2 ), . . . , f (− ep )} este un sistem de vectori liniar independent¸i . → → − 2. Pentru orice i0 > p sistemul {f (− e1 ), f (− e2 ), . . . , f (→ ep ), f (− e→ i0 )} este un sistem de vectori dependent¸i liniar. Aceste afirmat¸ii sunt echivalente cu rang S 0 = p. 1. Fie combinat¸ia liniar˘a nul˘a − → → → → α f (− e ) + α f (− e ) + . . . + α f (− e )=0 . 1

1

2

2

p

p

F

Din liniaritatea lui f rezult˘a − → → → → f (α1− e1 + α 2 − e2 + . . . + α p − ep ) = 0 F . → − → ˆIntrucˆat f este injectiv˘a ¸si f (− 0E ) = 0F , rezult˘a c˘a − → → → α1 − e1 + . . . + α p − ep = 0 → → → ¸si deoarece {− e1 , − e2 , . . . , − ep } este un sistem de vectori liniar indepen-dent¸i, rezult˘a c˘a α1 = α2 = . . . = αp = 0. 2. Fie pentru i0 > p combinat¸ia liniar˘a nul˘a − → → → → α f (− e ) + α f (− e ) + . . . + α f (− e ) + α f (− e→) = 0 . 1

1

2

2

p

p

i0

i0

F

Urmˆand rat¸ionamentele din demonstrat¸ia anterioar˘a, rezult˘a c˘a − → → − → α1 − e1 + α 2 → e2 + . . . + α p − ep + αi0 − e→ = 0 i0 E ¸si vectorii fiind liniar dependent¸i rezult˘a c˘a exist˘a cel put¸in un αi 6= 0. A¸sadar un izomorfismˆıntre dou˘a spat¸ii vectoriale p˘astreaz˘a rangul unui sistem de vectori. 66

Teorema 3.3. Dou˘a spat¸ii vectoriale finit dimensionale E ¸si F peste acela¸si corp K sunt izomorfe dac˘a ¸si numai dac˘a au aceea¸si dimensiune.

67

Demonstrat¸ie: Presupunem c˘a E ¸si F sunt izomorfe, rezult˘a c˘a exist˘a f : E → F cu f bijectiv˘a (f injectiv˘a si surjectiv˘a) ¸si f liniar˘a. Not˘a− m dimE =− n. → − → → → → → Fie B = { e1 , e2 , . . . , en } o baz˘a ˆın E ¸si B 0 = {f (− e1 ), f (− e2 ), . . . , f (− en ) sistemul de vectori corespunz˘ator din F . Avem rangB = n = rangB 0, deci tot¸i vectorii din B 0 sunt liniar independent¸i. → Fie − w ∈ F . Funct¸ia f fiind bijectiv˘a exist˘a un singur − → → − v ∈ E cu f (− v)=→ w . Deci − → → → → − → → w = f (− v ) = f (α1− e1 +α2− e2 +. . .+αn→ en ) = α 1 f ( − e1 )+α2f (− e2 )+. . .+αnf A¸sadar B 0 este ¸si un sistem de generatori pentru E, deci o baz˘a ¸si dim F = n. Presupunem c˘a E ¸si F au aceea¸si dimensiune, dim E = dim F = n. Ar˘at˘am c˘a exist˘a un izomorfism ˆıntre E ¸si F . Fie → → − B = {− e ,− e ,...,→ e } 1

baz˘a ˆın E ¸si

2

n

→ → → B 0 = {− ε1 , − ε2 , . . . , − εn }

baz˘a ˆın F . Fie − → → → → → v ∈ E, − v = α1− e1 + α 2 − e2 + . . . + α n − en . Definim → → → → f (− v ) = α1− ε 1 + α2 − ε2 + . . . + αn− εn . Dac˘a − → → → → → v =− e1 = 1 · − e1 + 0 · − e2 + · · · + 0 · − en atunci → → − → − f (− e1 ) = 1 · − ε1 + 0 · → ε2 + · · · + 0 · − εn = → ε1 , → → → − ¸si analog f (− e2 ) = − ε2 , . . . , f ( − en ) = → εn . − → → Trebuie s˘a arat˘am c˘a f (α · v ) = α · f (− v ). Avem → → → → f (α− v ) = f (αα1− e1 +αα2− e2 +. . .+ααn− en ) = (αα1)ε1+(αα2)ε2+. . .+(αα 68

¸si → → → → → → → α·f (− v ) = α·f (α1− e1 +α2− e2 +. . .+αn− en ) = α·(α1− ε1 +α2− ε2 +. . .+αn− εn ). Fie − → → → → → → v1 = α1− e1 + . . . + α n − en , − v2 = β1− e1 + . . . + βn− en . Demonstr˘am c˘a → → → → f (− v1 + − v2 ) = f ( − v1 ) + f (− v2 ). Avem − → − → → → v1 + → v2 = (α1 + β1)− e1 + (α2 + β2)− e2 + . . . + (αn + βn)− en . Deci → → → → f (− v1 ) = α1− ε 1 + α2 − ε2 + . . . + αn− εn → → → → f (− v2 ) = β1− ε1 + β2− ε2 + . . . + βn− εn → → → → → → → f (− v1 +− v2 ) = (α1+β1)− ε1 +(α2+β2)− ε2 +. . .+(αn+βn)− εn = f (− v1 )+f (− v2 ). Demonstr˘am ˆın continuare c˘a f este bijectiv˘a, adic˘a injectiv˘a ¸si surjectiv˘a. → Fie − w ∈ F cu − → → → → w = α1 − ε1 + α2− ε 2 + . . . + αn − εn . → Dac˘a lu˘am pentru − v ∈ E vectorul − → → → → v = α1 − e1 + α2− e2 + . . . + α n − en , → − avem din definit¸ia lui f c˘a f (− v)=→ w , deci f este surjectiv˘a. − → − → − → − → v1 , v2 ∈ E cu f ( v1 ) = f ( v2 ). Dac˘a − → → → → v =α − e +α − e + ... + α − e 1

¸si atunci ¸si

1 1

2 2

n n

→ − → → − v2 = β1− e1 + β2− e2 + . . . + βn→ en , → → → → f (− v1 ) = α1− ε 1 + α2 − ε2 + . . . + αn− εn → → → → f (− v2 ) = β1− ε1 + β2− ε2 + . . . + βn− εn 69

iar din unicitatea reprezent˘arii unui vector ˆıntr-o baz˘a dat˘a → → rezult˘a c˘a α1 = β1, . . . , αn = βn, a¸sadar − v1 = − v2 , deci f este ¸si injectiv˘a.

70

CAPITOLUL 4

Operatori liniari pe spat¸ii vectoriale

1. Definit¸ii. Propriet˘ a¸ti Definit ¸ ia 4.1. Fie E ¸si F dou˘a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K. Numim form˘ a liniar˘ a ˆıntre E ¸si F sau operator liniar o aplicat¸ie T : E → F care are propriet˘a¸tile: → → → → 1. T (− v1 + − v2 ) = T ( − v1 ) + T (− v2 ) − → − → 2. T (α · v ) = α · T ( v ), → → → pentru orice − v ,− v1 , − v2 ∈ E, α ∈ K. Propozit ¸ ia 4.1. Dac˘a T : E → F este un operator − → − → liniar˘a atunci T (0E ) = 0F .

71

Demonstrat¸ie: − → − → → → T (0E ) = T (0 · − v ) = 0 · T (− v ) = 0F .

72

Definit ¸ ia 4.2. Dac˘a T : E → F este liniar, numim nucleul lui T mult¸imea − → → → Ker(T ) = {− v ∈ E/ T (− v ) = 0 }. F

Numim imaginea lui T mult¸imea − → → → → → Im(T ) = {T (→ v )/ − v ∈ E} = {− w ∈ F/ ∃ − v ∈ E cu T (− v)=− w }. Propozit ¸ ia 4.2. Mult¸imile Ker(T ) ¸si Im(T ) sunt subspat¸ii vectoriale ale spat¸iilor vectoriale E respectiv F . Definit ¸ ia 4.3. Dimensiunea nucleului lui T se nume¸ste defectul lui T , iar dimensiunea imaginii lui T se nume¸ste rangul lui T . Not˘am def T = dimKer(T ) ¸si rangT = dimIm(T ). Propozit ¸ ia 4.3. Suma defectului ¸si a rangului unui operator liniar este constant˘a, respectiv, def T + rangT = dimE.

73

Demonstrat¸ie: → → Fie − v1 ¸si − v2 ∈ Ker(T ). Avem − → − → − → → → → → T (− v +− v ) = T (− v ) + T (− v )=0 +0 =0 1

2

1

2

F

F

F

rezult˘a

− → − v1 + → v2 ∈ Ker(T ). → Fie − v ∈ Ker(T ) ¸si α ∈ K. Avem − → − → → − T (α · − v ) = α · T (→ v)=α·0 =0 F

F

→ rezult˘a α · − v ∈ Ker(T ). Deci Ker(T ) este un subspat¸iu vectorial al lui E. →, − → Fie − w a 1 w2 ∈ Im(T ). Exist˘ → − − → v ∈ E cu T (→ v )=− w 1

¸si

1

1

− → → →. v2 ∈ E cu T (− v2 ) = − w 2 Avem

− →+− → = T (− → → → → w w v1 ) + T (− v2 ) = T (− v1 + − v2 ) 1 2 →+− → ∈ Im(T ). rezult˘a − w w 1 2 − → → → Fie w ∈ Im(T ) ¸si α ∈ K. Exist˘a − v ∈ E cu T (− v)= − → w . Avem → → → α·− w = α · T (− v ) = T (α · − v) → a¸sadar α · − w ∈ Im(T ). Definit ¸ ia 4.4. Dimensiunea nucleului lui T se nume¸ste defectul lui T , iar dimensiunea imaginii lui T se nume¸ste rangul lui T . Not˘am def T = dimKer(T ) ¸si rangT = dimIm(T ). Propozit ¸ ia 4.4. Suma defectului ¸si a rangului unui operator liniar este constant˘a, respectiv, def T + rangT = dimE. 74

Demonstrat¸ie: Fie dimE = n, dimKer(T ) = p, p ≤ n. Lu˘am → → − B = {− e1 , − e2 , . . . , → en } baz˘a ˆın E ¸si − → − → − → B1 = { f1 , f2 , . . . , fp } baz˘a ˆın Ker(T ). Fie − → − → → − −→ → B0 = { f , f , . . . , f , − e ,...,− e }. 1

2

p

p+1

n

Sistemul de vectori B 0 este − o baz˘a ˆın E. − − → → Fie B2 = {T (ep+1), . . . , T ( en )}, ar˘at˘am c˘a B2 formeaz˘a o baz˘a ˆın Im(T ). Pentru a ar˘ata c˘a este o baz˘a trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a este un sistem de generatori ¸si un sistem liniar independent. 1. B2 este un sistem de generatori. → → → → Fie − w ∈ Im(T ). Exist˘a − v ∈ E cu − w = T (− v ). Atunci → − − → − → − → → w = T (α f +α f +. . .+α f +α − e−→ +. . .+α − e )= 1 1

2 2

p p

p+1 p+1

n n

− → − → → − → − → = α1T ( f1 )+α2T ( f2 )+. . .+αpT ( fp )+αp+1T (− e− p+1 )+. . .+αn T ( en ), dar − → − → T ( fi ) = 0F , i = 1, p. Rezult˘a c˘a − → → − → w = αp+1T (− e− p+1 ) + . . . + αn T ( en ). 2. B2 est un sistem liniar independent. Fie combinat¸ia liniar˘a nul˘a − → → β T (− e−→) + . . . + β T (− e )=0 . p+1

De aici deci

p+1

n

n

F

− → → + ... + β − → T (βp+1− e− e ) = 0 p+1 n n F, → − → βp+1− e− p+1 + . . . + βn en ∈ Ker(T ). 75

ˆIn plus → − → −−→ − → βp+1− e− p+1 + . . . + βn en ∈ [{ep+1 , . . . , en }]. ˆIntrucˆat \ − → → Ker(T ) [{− e−→, . . . , − e }] = {0 } p+1

rezult˘a c˘a

n

E

− → → + ... + β − → βp+1− e− e = 0 p+1 n n E − − →), T (− → − → ¸si de aici βp+1 = . . . = βn = 0 a¸sadar {T (ep+1 e− p+2 ), . . . , T ( en )} este un sistem de vectori liniar independent¸i. Observat ¸ ia 4.1. Dac˘a operatorul T este injectiv atunci Ker(T ) este format numai din vectorul nul ¸si deci def T = 0. Exemplul 4.1. Fie T : R3 → R3 definit astfel T (x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2). a) S˘a se arate ca T este operator liniar. b) S˘a se determine Ker(T ), Im(T ), def T ¸si rangT . Solut¸ie: a) → → → → T (− v1 + − v2 ) = T (− v1 ) + T (− v2 ). → → Lu˘am − v1 = (x1, x2, x3) ¸si − v2 = (y1, y2, y3) rezult˘a c˘a −−−−→ v1 + v2 = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3). Dar → T (− v1 ) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2) ¸si → T (− v2 ) = (y2 + y3, y1 + y3, y1 + y2) de unde → → T (− v1 )+T (− v2 ) = (x2+x3+y2+y3, x1+x3+y1+y3, x1+x2+y1+y2), dar, → − T (− v1 +→ v2 ) = (x2+y2+x3+y3, x1+y1+x3+y3, x1+y1+x2+y2), 76

→ → v ) = α · T (− v ). T (α · − Lu˘am

→ α·− v = (αx1, αx2, αx3)

¸si vom avea → T (α · − v ) = (αx2 + αx3, αx1 + αx3, αx1 + αx2), iar → α · T (− v ) = (α(x2 + x3), α(x1 + x3), α(x1 + x2)) deci T este operator liniar. − → − → b) Ker(T ) = {→ v /T (− v ) = 0 }. − → − Avem → v = (x1, x2, x3) ¸si T (x1, x2, x3) = 0 prin urmare ( x2 + x3 = 0 (x2+x3, x1+x3, x1+x2) = (0, 0, 0) ⇒ x1 + x3 = 0 ⇒ x1 = x2 = x3 = x1 + x2 = 0 − → deci Ker(T ) = { 0 } ⇒ def T = 0. Calculˆand rangul sistemului g˘asim rangT = 3 deci dimIm(T ) = 3 ⇒ Im(T ) = R3 . Definit ¸ ia 4.5. Dimensiunea nucleului lui T se nume¸ste defectul lui T , iar dimensiunea imaginii lui T se nume¸ste rangul lui T . Not˘am def T = dimKer(T ) ¸si rangT = dimIm(T ). Propozit ¸ ia 4.5. Suma defectului ¸si a rangului unui operator liniar este constant˘a, respectiv, def T + rangT = dimE.

77

2. Caracterizarea operatorilor liniari prin matrici Fie T : E → F, dimE = n, dimF = m, → → − B = {− e1 , − e2 , . . . , → en } o baz˘a ˆın E ¸si − → − → − → − → B 0 = { f1 , f2 , . . . , f3 , fm } o baz˘a ˆın F . Avem − → → → → → v ∈E⇒− v = α1 − e1 + α 2 − e2 + . . . + α n − en . → Ne punem problema determin˘arii expresiei lui T (− v ) cu ajutorul operat¸iilor cu matrici. Avem − → − → − → → → T (− v ) ∈ F ⇒ T (− v ) = y f + y f + ... + y f . 1 1

78

2 2

m m

Dar,

→ − → → T (− v ) = T (α1→ e1 + α 2 − e2 + . . . + α n − en ) = − → → = α1T (→ e1 ) + α2T (− e2 + . . . + αnT (− en ) = − → − → − → = α1(a11 f1 + a21 f2 + . . . + am1fm)+ − → − → − → +α2(a12 f1 + a22 f2 + . . . + am2fm)+ +...+ − → − → − → +αn(a1n f1 + a2n f2 + . . . + amnfm) = − → − → = (a11α1+a12α2+. . .+a1nαn) f1 +(a21α1+a22α2+. . .+a2nαn) f2 + +...+ − → +(am1α1 + am2α2 + . . . + amnαn)fm.

79

Identificˆand coordonatele obt¸inem sistemul   a11α1 + a12α2 + . . . + a1nαn = y1 a21α1 + a22α2 + . . . + a2nαn = y2 ...  am1α1 + am2α2 + . . . + amnαn = ym Sistemul poate fi scris matriceal sub forma       a11 a12 . . . a1n α1 y1  a21 a22 . . . a2n   α2   y2   a31 a32 . . . a3n  ·  α3  =  y3  .  ...   ...   ...  am1 am2 . . . amn αn ym

80

Avem

→ → [T ]B 0B · [− v ] = [T (− v )]B 0 unde [T ]B 0B se nume¸ste matricea asociat˘a operatorului T ˆın bazele B ¸si B 0 ¸si are pe coloane coordonatele imaginilor prin T 0 ale vectorilor din B. A¸sadar, fixˆand bazele, un operator liniar este caracterizat ˆıntotdeauna printr-o matrice. Exemplul 4.2. Fie T : R3 → R3 definit astfel T (x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2). S˘a se scrie matricea lui T ˆın → → → baza {− e1 = (1, 0, 0), − e2 = (0, 1, 0), − e3 = (0, 0, 1)} ¸si s˘a se determine T (−1, 2, −2). → T (− e1 ) = T (1, 0, 0) = (0, 1, 1) − → T ( e2 ) = T (0, 1, 0) = (1, 0, 1) → T (− e3 ) = Ã T (0, 0, 1) ! = (1, 1, 0) 0 1 1 [T ]BB 0 = 1 0 1 . 1 1 0

81

Fie T : E → F cu T (−1, 2, −2) = (0, −3, 1). Avem à ! à ! à ! 0 1 1 −1 0 2 = −3 . T (−1, 2, −2) = 1 0 1 · 1 1 0 −2 1 a se determine n ¸si m dac˘a T : Exemplul 4.3. S˘ m R  → R are matricea (ˆın bazele canonice) [T ]BB 0 = 1 0  0 −1 . S˘a se determine expresia lui T . 1 2 1 1 Solut¸ie: Rezult˘a din datele problemei c˘a n = 2 ¸si m = 4. T : R2 → R4 cu T (x1, x2) = (y1, y2, y3, y4). Avem      y1 1 0 ³ x1 ´ y 0 −1 x −x2 → → [T (− v )]B 0 = [T ]B 0B ·[− v ] ⇒  y2  =  1 2 · x1 =  x + 2x 3 2 1 2 y3 1 1 x1 + x2 A¸sadar T (x1, x2) = (x1, −x2, x1 + 2x2, x1 + x2). Fie T : R3 → R3 definit astfel T (x1, x2, x3) = (x2 +x3, x1 + x3, x1 + x2). n

82

Propozit ¸ ia 4.6. Fie T : E → F un operator liniar ¸si [T ]B 0B matricea lui T relativ la dou˘a baze date B ¸si B 0 ˆın E, respectiv F . Dac˘a schimb˘am bazele ˆın E ¸si F prin B1 respectiv B10 , atunci avem [T ]B10 B1 = SB10 B 0 · [T ]B 0B · SBB1 , unde SBB1 este matricea de trecere din E respectiv SB10 B 0 matricea de trecere din F . Observat ¸ ia 4.2. Dca˘a E = F ¸si B = B 0 atunci avem [T ]B 0B = SB−10B · [T ]BB 0 · SBB 0 sau mai scurt [T ]B 0 = SB−10B · [T ]B · SBB 0 .

83

Demonstrat¸ie: Avem − → → → [T (→ v )]B 0 = [T ]B 0B · [− v ]B , [− v ]B = SBB1 · [− v ] B1 , unde B este baza din E ¸si B 0 baza din F . Analog avem → → → → [T (− v )]B10 = [T ]B10 B1 · [− v ]B1 , [T (− v )]B10 = SB10 B 0 · [T (− v )]B 0 . A¸sadar, putem scrie → − [T (− v )]B 0 = [T ]B 0B · SBB1 · [→ v ]B1 . Pe de alt˘a parte, → → → [T (− v )]B 0 = SB 0B10 · [T (− v )]B10 = SB 0B10 · [T ]B10 B1 · [− v ] B1 . Deci, → → [T ]B 0B · SBB1 · [− v ]B1 = SB 0B10 · [T ]B10 B1 · [− v ]B1 de unde,

[T ]B10 B1 = SB−10B 0 · [T ]B 0B · SBB1 , 1

relat¸ie echivalent˘a cu cea din enunt¸ul propozit¸iei. Observat ¸ ia 4.3. Dca˘a E = F ¸si B = B 0 atunci avem [T ]B 0B = SB−10B · [T ]BB 0 · SBB 0 sau mai scurt [T ]B 0 = SB−10B · [T ]B · SBB 0 . 3. Exercit¸ii rezolvate 1. Se d˘a operatorul T : R3 → R4 cu T (x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 − x3, x1 + x2 + x3, x3). Se cere: a) Ar˘atat¸i c˘a T e liniar. b) S˘a se determine Ker(T ), Im(T ), def T, rangT . c) S˘a se verifice dimR3 = def T + rangT . Solut¸ie: a) Pentru a ar˘ata c˘a T este liniar trebuie ar˘atat c˘a T verific˘a urm˘atoarele dou˘a condit¸ii: → → − → T (− v1 + − v2 ) = T (→ v1 ) + T (− v2 ) 84

→ → − − → T (α− v ) = αT (− v ), (∀) → v1 , → v2 , − v ∈ R3 . Fie

− → → v1 = (x1, x2, x3) ¸si − v2 = (y1, y2, y3),

vom avea → → T (− v1 + − v2 ) = T (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) = = (x1+y1−x2−y2, x2+y2−x3−y3, x1+y1+x2+y2+x3+y3, x3+y3). Dar, → → T (− v1 ) + T ( − v2 ) = = (x1−x2, x2−x3, x1+x2+x3, x3)+(y1−y2, y2−y3, y1+y2+y3, y3) = (x1−x2+y1−y2, x2−x3+y2−y3, x1+x2+x3+y1+y2+y3, x3+y3). Deci, operatorul T ˆındepline¸ste prima condit¸ie. Calcul˘am ˆın continuare → T (α− v ) = T (αx1, αx2, αx3) = (αx1−αx2, αx2−αx3, αx1+αx2+αx3, αx Dar, → αT (− v ) = α(x1 − x2, x2 − x3, x1 + x2 + x3, x3) = (αx1 − αx2, αx2 − αx3, αx1 + αx2 + αx3, αx3). Deci, operatorul T este liniar. b) − → → → Ker(T ) = {− v ∈ R3/T (− v ) = 0 }. → T (− v ) = T (x1, x2, x3) = (x1 −x2, x2 −x3, x1 +x2 +x3, x3) = (0, 0, 0,  0) =0  x1 − x2 x2 − x3 = 0 rezult˘a ⇔ x1 = x2 = x3 = 0, deci  x1 + x2 + x3 = 0 x3 = 0 − → Ker(T ) = { 0 }. ⇒ dimKer(T ) = def T = 0. Din definit¸ie → → Im(T ) = {T (− v ), − v ∈ R3}, 85

a¸sadar, Im(T ) = {T (x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 − x3, x1 + x2 + x3, x3)/(x1, x2, x3) ∈ R3} ⇒ dimIm(T ) = rangT = 3. c) dimR3 = rangT + def T = 3 + 0 = 3. Prin urmare relat¸ia este satisf˘acut˘a. 2. Fie T : P3(x) → P2(x) definit prin T (p) = p0. Se cere: a) Ar˘atat¸i c˘a T e liniar. b) S˘a se determine Ker(T ), Im(T ), def T, rangT . Solut¸ie: a) Liniaritatea se arat˘a ca la exercit¸iul anterior. b) Ker(T ) = {0}, unde 0 este polinomul nul. dimKer(T ) = 0 ⇒ def T = 0. ³ ´ 1 2 −1 3. Fie A = 3 1 0 ¸si T : Rn → Rm. a) S˘a se determine n ¸si m astefl ˆıncˆat A s˘a fie matricea lui T ˆın bazele canonice. b) S˘a se determine expresia analitic˘a a lui T . c) Ar˘atat¸i c˘a T e liniar. d) S˘a se determine Ker(T ), Im(T ), def T, rangT . Solut¸ie: a) n = 3, m = 2. b) T : R3 −→ R2, T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, 3x1 + x2). c) Liniaritatea rezult˘ ½µ a imediat. ¶¾ 1 3 d) Ker(T ) = − x3, x3, x3 ⇒ dimKer(T ) = 5 5 def T = 1. dimIm(T ) = rangT = 2.

86

CAPITOLUL 5

Valori ¸si vectori proprii ale unui operator liniar

87

1. Vectori proprii. Subspat¸ii proprii Definit ¸ ia 5.1. Fie T : E → E un operator liniar unde E este un spat¸iu vectorial peste K. Spunem c˘a λ ∈ K este valoare proprie pentru operatorul T dac˘a − → − exist˘a un vector → v 6= 0 a¸sa ˆıncˆat → → T (− v)=λ·− v. − Vectorul → v corespunz˘ator se nume¸ste vector propriu al operatorului T . Propozit ¸ ia 5.1. Dac˘a λ este valoarea proprie pentru operatorul liniar T atunci mult¸imea → → → Sλ = {− v / T (− v)=λ·− v} este un subspat¸iu vectorial al lui E numit subspat¸iu propriu.

88

Demonstrat¸ie: Pentru orice demonstr˘am c˘a

− → → v1 , − v2 ∈ Sλ − → → v1 + − v2 ∈ S λ .

ˆIntr-adev˘ar, → → → → → → → → T (− v1 + − v2 ) = T (− v1 ) + T (− v2 ) = λ · − v1 + λ · − v2 = λ · ( − v1 + − v2 ) → → deci − v1 + − v2 este un vector propriu pentru valoarea proprieλ. Fie ˆın continuare → α ∈ K ¸si − v ∈ Sλ. Demonstr˘am c˘a → α·− v ∈ Sλ. Avem → → → → T (α · − v ) = α · T (− v ) = α · (λ · − v ) = λ · (α · − v) → deci α · − v este un vector propriu pentru valoarea proprie λ. Observ˘am c˘a Sλ cont¸ine, pe lˆang˘a vectorii proprii corespunz˘a-tori lui λ, ¸si vectorul nul.

89

Teorema 5.1. Fie T : E → E un operator liniar unde E este un spat¸iu vectorial peste K ¸si → → − B = {− e1 , − e2 , . . . , → en } o baz˘a ˆın E. Valorile proprii ale operatorului T sunt solut¸iile din K ale ecuat¸iei polinomiale de gradul n ˆın λ det([T ]B − λIn) = 0 unde [T ]B este matricea asociat˘a operatorului T ˆın baza B iar In este matricea unitate de ordinul n. Vectorii proprii corespunz˘atori unei valori proprii λ0 au drept coordonate solut¸iile nenule ale sistemului    (a11 − λ0)x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0 a21x1 + (a22 − λ0)x2 + . . . + a2nxn = 0 ···   an1x1 + an2x2 + . . . + (ann − λ0)xn = 0

90

Demonstrat¸ie: Fie





a11 . . . a1n  a . . . a2n  [T ]B =  ..21  . an1 . . . ann matricea operatorului T ˆın baza B. → → Dac˘a not˘am prin I : E 7→ E, cu I(− v)=− v operatorul identitate, atunci din → → T (− v)=λ·− v avem − → → → T (− v)−λ·− v = 0 sau − → → → T (− v ) − λ · I(− v)= 0 ¸si avˆand ˆın vedere operat¸iile cu funct¸ii, − → → (T − λI) · − v = 0. Operatorul T −λI este liniar ¸si putem determina matricea acestui operator ˆın baza B. Avem → → → → → → → (T −λI)(− e1 ) = T ( − e1 )−λ·I(− e1 ) = a11− e1 +a21− e2 +. . .+an1− en −λ− e1 = → → → = (a11 − λ)− e1 + a21− e2 + . . . + an1− en , → → → → → → → (T −λI)(− e2 ) = T ( − e2 )−λ·I(− e2 ) = a12− e1 +a22− e2 +. . .+an2− en −λ− e2 = → → → = a12− e1 + (a22 − λ)− e2 + . . . + an2− en . Analog pentru → → T (− e3 ), . . . , T (− en ), deci   a11 − λ a12 . . . a1n a22 − λ . . . a2n a  [T − λI]B =  .. 21 . . an1 an2 . . . ann − λ 91

− → → Ecuat¸ia (T − λI)(− v ) = 0 se scrie matricial sub forma: − → → [T − λI]B · [− v ]B = [ 0 ] B sau ˆınc˘a       a11 − λ a12 . . . a1n 0 x1 a22 − λ . . . a2n  a21   x2   0   ...  ·  ...  =  ...  . 0 xn an1 an2 . . . ann − λ Efectuˆand operat¸iile, rezult˘a sistemul liniar omogen    (a11 − λ)x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0 a21x1 + (a22 − λ)x2 + . . . + a2nxn = 0 ···   an1x1 + an2x2 + . . . + (ann − λ)xn = 0 Pentru ca acest sistem liniar s˘a admit˘a o solut¸ie nenul˘a, → corespunz˘atoare coordonatelor unui vector propriu − v (vector nenul) este necesar s˘a existe cel put¸in o necunoscut˘a secundar˘a. A¸sadar rangul sistemului trebuie s˘a fie mai mic strict decˆat n, deci ¯ ¯ ¯ ¯ a11 − λ a12 . . . a1n ¯ ¯ a22 − λ . . . a2n ¯ a21 ¯ ¯ ... ¯ = 0. ¯ ¯ ¯ an1 an2 . . . ann − λ ¯ ˆIn consecint¸a˘, λ este valoare proprie dac˘a verific˘a aceast˘a egalitate. Prin dezvoltarea determinantului rezult˘a o ecuat¸ie polinomial˘a de grad n numit˘a ecuat¸ie caracteristic˘ a. Vectorii proprii corespunz˘atori unei valori proprii λ0, r˘ad˘acin˘a a ecuat¸iei caracteristice, au drept coordonate solut¸iile nenule 92

ale sistemului    (a11 − λ0)x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0 a21x1 + (a22 − λ0)x2 + . . . + a2nxn = 0 ···   an1x1 + an2x2 + . . . + (ann − λ0)xn = 0

93

Exemplul 5.1. Fie T : R3 → R3, T (x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2) un operator liniar ¸si B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} o baz˘a ˆın R3. S˘a se g˘aseasc˘a valorile ¸si vectorii proprii ai acestui operator ˆın baza dat˘a. Solut¸ie: Avem à ! 0 1 1 [T ]B = 1 0 1 1 1 0 ¸si à ! −λ 1 1 1 −λ 1 . [T − λI]B = 1 1 −λ

94

Lu˘am

det[T − λI] = 0

¸si avem ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −λ 1 1 ¯ ¯ 2 − λ 2 − λ 2 − λ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −λ 1¯= ¯ 1 −λ 1 ¯ = ¯ ¯ 1 1 −λ ¯ ¯ 1 1 −λ ¯ ¯ ¯ ¯1 1 1¯ ¯ ¯ = (2 − λ) ¯ 1 −λ 1 ¯ = (2 − λ)(λ2 + 2λ + 1) = 0. ¯ 1 1 −λ ¯ Rezult˘a λ1 = 2, λ2 = λ3 = −1.

95

Pentru λ = 2 g˘asim vectorii proprii corespunz˘atori. Avem à ! à ! à ! −2 1 1 x1 0 1 −2 1 · x2 = 0 1 1 −2 x3 0 de unde rezult˘a sistemul ( −2x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 − 2x3 = 0 x1 − 2x2 + x3 = 0 cu solut¸ia ( x1 = α x2 = α , α ∈ R. x3 = α − → v = (α, α, α), α ∈ R∗. → → S = {− v/− v = (α, α, α), α ∈ R}. 2

96

Dac˘a dorim s˘a verific˘am, utiliz˘am expresia analitic˘a a operatorului T ¸si obt¸inem T (α, α, α) = (2α, 2α, 2α) = 2(α, α, α). A¸sadar, → → S2 = {− v/− v = (α, α, α), α ∈ R}.

97

Pentru λ = −1 avem à ! à ! à ! x1 0 1 1 1 1 1 1 · x2 = 0 x3 0 1 1 1 ( ( x1 + x2 + x3 = 0 x1 = α − β x1 + x2 + x3 = 0 ⇒ x1 = −x2−x3 ⇒ x2 = α , α, β ∈ R. x1 + x2 + x3 = 0 x3 = β − → v = (−α − β, α, β) − → − → S−1 = { v / v = (−α − β, α, β), α, β ∈ R}.

98

Mult¸imea S−1 este un subspat¸iu vectorial a c˘arui baz˘a o putem determina. Avem ! Ã ! Ã ! Ã ! Ã −α − β −α − β −α −β α+0 = α + 0 = α = 0 β 0+β β Ã ! Ã ! −1 −1 1 +β 0 α 0 1 → → B2 = {− u1 = (−1, 1, 0), − u2 = (−1, 0, 1)}, Propozit ¸ ia 5.2. Valorile proprii ¸si vectorii proprii ale unui operator liniar nu se schimb˘a dac˘a schimb˘am baza spat¸iului vectorial cu o alt˘a baz˘a.

99

Demonstrat¸ie: Fie dou˘a baze B ¸si B1 ale spat¸iului vectorial E ¸si T : E 7→ E un operator liniar. Valorile proprii ale operatorului T relativ la cele dou˘a baze sunt solut¸ii ale ecuat¸iilor det[T − λI]B = 0, det[T − λI]B1 = 0. Vectorii proprii verific˘a ecuat¸iile matriciale − → → [T − λI] · [− v] =[0] , B

respectiv,

B

B

− → → [T − λI]B1 · [− v ] B1 = [ 0 ] B1 . este matricea de trecere de la baza B la baza

Dac˘a SBB1 B1, obt¸inem −1 [T − λI]B1 = SBB · [T − λI]B · SBB1 . 1 Deci −1 det[T − λI]B1 = det(SBB · [T − λI]B · SBB1 ) 1 sau −1 det[T −λI]B1 = detSBB ·det[T −λI]B ·detSBB1 = det[T −λI]B , 1 −1 deoarece detSBB · detSBB1 = 1. 1 Evident valorile proprii fiind acelea¸si, rezult˘a c˘a obt¸inem aceia¸si vectori proprii, dar cu coordonate diferite corespunz˘atoare bazelor B, respectiv B1.

100

2. Propriet˘ a¸ti ale vectorilor proprii. Baze de vectori proprii, diagonalizare. Propozit ¸ ia 5.3. Fie T : E → E un operator liniar care admite λ1, λ2, . . . , λk valori proprii distincte ˆıntre → → → ele. Dac˘a − v1 , − v2 , . . . , − vk sunt vectori proprii corespunz˘atori acestor valori proprii atunci ei sunt liniar independent¸i. Propozit ¸ ia 5.4. Dac˘a λ1, λ2 sunt dou˘a valori proprii distincte ale unui operator liniar, atunci \ − → Sλ1 Sλ2 = { 0 } ¸si dac˘ ˆın Sλ1 , repectiv Sλ2 atunci S a B1, B2 sunt baze L B1 B2 este o baz˘ a ˆın Sλ1 Sλ2. a Propozit ¸ ia 5.5. Dac˘a λ0 este o valoare proprie, r˘ad˘acin˘ multipl˘a de ordinul k a ecuat¸iei caracteristice, atunci dimensiunea lui Sλ0 este mai mic˘a sau egal˘a cu k (Sλ0 ≤ k).

101

Demonstrat¸ie: Not˘am cu P (k) propozit¸ia − → → → v1 , − v2 , . . . , − vk sunt vectori liniar independent¸i; ¸si o demonstr˘am prin induct¸ie. Etapa I-a: Propozit¸ia este adev˘arat˘a pentru k = 1. → Avem P (1) : − v1 liniar independent. → Afirmat¸ia este adev˘arat˘a deoarece − v1 este un vector nenul ¸si ˆın consecint¸˘a este liniar independent . Etapa a II-a: Presupunem propozit¸ia P (k) adev˘arat˘a ¸si ar˘at˘am c˘a ¸si P (k + 1) este adev˘arat˘a. → → → Adic˘a, dac˘a − v1 , − v2 , . . . , − vk sunt liniar independent¸i rezult˘a − → − → − → − − → c˘a v1 , v2 , . . . , vk , vk+1 sunt liniar independent¸i. Fie combinat¸ia liniar˘a nul˘a − → → α− v + ... + α − v−→ = 0 . 1 1

k+1 k+1

Aplicˆand operatorul T , obt¸inem − → → → → → → T (α1− v 1 + α2 − v2 + α3− v 3 + . . . + αk − vk + αk+1− v− k+1 ) = 0E sau, − → → → → → α T (− v )+α T (− v )+α T (− v )+. . .+α T (− v )+α T (− v−→) = 0 , 1

1

2

2

3

3

k

k

k+1

k+1

adic˘a → → → → − → − α1λ1− v1 +α2λ2− v2 +α3λ3− v3 +. . .+αk λk → vk +αk+1λk+1− v− k+1 = 0 . ˆIn continuare consider˘am relat¸iile anterioare, respectiv → → → → → →=− α1 − v1 +α2− v2 +α3− v3 +. . .+αk − vk +αk+1− v− 0 |·(−λk+1) k+1 → → → → − → − α1λ1− v1 +α2λ2− v2 +α3λ3− v3 +. . .+αk λk → vk +αk+1λk+1− v− k+1 = 0 . ˆInmult¸ind prima relat¸ie cu −λk+1 ¸si adunˆand-o la relat¸ia urm˘atoare se obt¸ine → − → − → (α λ −α λ )− v +(α λ −α λ )→ v +. . .+(α λ −α λ )− v = 0, 1 1

1 k+1

1

2 2

2 k+1

102

2

k k

k k+1

k

care este o combinat¸ie liniar˘a nul˘a de vectori liniar independent¸i, deci tot¸i coeficient¸ii scalari sunt nuli ¸si obt¸inem implicat¸iile    α1(λ1 − λk+1) = 0 ⇒ α1 = 0 α2(λ2 − λk+1) = 0 ⇒ α2 = 0 , ...   αk (λk − λk+1) = 0 ⇒ αk = 0 deoarece scalarii λi sunt diferit¸i ˆıntre ei. ˆInlocuind ˆın relat¸ia init¸ial˘a rezult˘a − → α − v−→ = 0 , k+1 k+1

deci ¸si αk+1 = 0. Propozit ¸ ia 5.6. Dac˘a λ1, λ2 sunt dou˘a valori proprii distincte ale unui operator liniar, atunci \ − → Sλ1 Sλ2 = { 0 } ¸si dac˘ ˆın Sλ1 , repectiv Sλ2 atunci S a B1, B2 sunt baze L B1 B2 este o baz˘ a ˆın Sλ1 Sλ2. Demonstrat¸ie: Fie

\

− → u ∈ Sλ1

Sλ2 .

Avem

→ → → → T (− u ) = λ1− u , T (− u ) = λ2− u ¸si sc˘azˆand cele dou˘a relat¸ii obt¸inem − → → (λ1 − λ2)− u = 0 − → → deci − u = 0 (λ1 6= λ2). Fie → → → → → → B1 = {− u1 , − u2 , . . . , − up }, B2 = {− v1 , − v2 , . . . , − vk } dou˘a baze ˆın Sλ1 , respectiv Sλ2 ¸si → → − − → → B = {− u ,− u ,...,→ u ,→ v ,− v ,...,− v }. 1

2

p

103

1

2

k

ˆIntrucˆat dimSλ L Sλ = p + k, este suficient s˘a ar˘at˘am 1 2 c˘a B este un sistem de vectori liniar independent¸i. Fie o combinat¸ie liniar˘a nul˘a de vectorii lui B. Adic˘a, − → → → → → α− u + ... + α − u +β − v + ... + β − v = 0. 1 1

p p

1 1

k k

De aici avem, − → → → α1 → u1 + . . . + αp− up = −β1− v1 − . . . − β k − vk , deci vectorul rezultat din expresia anterioar˘a apart¸ine subspat¸iuT lui Sλ1 Sλ2 ¸si avem ˆın consecint¸a˘ − → → → α1 − u1 + . . . + αp− up = 0 , − → → → β1− v1 + . . . + βk − vk = 0 . Vectorii fiind liniar independent¸i rezult˘a c˘a tot¸i scalarii sunt nuli. Propozit ¸ ia 5.7. Dac˘a λ0 este o valoare proprie, r˘ad˘acin˘ a multipl˘a de ordinul k a ecuat¸iei caracteristice, atunci dimensiunea lui Sλ0 este mai mic˘a sau egal˘a cu k (Sλ0 ≤ k). Demonstrat¸ie: Fie λ0 o r˘ad˘acin˘a multipl˘a de ordinul k a ecuat¸iei caracteristice ¸si presupunem c˘a dimSλ0 = p. Fie → → → B1 = {− u1 , − u2 , . . . , − up } o baz˘a ˆın Sλ0 . Avem  − → T (→ u1 ) = λ0 · − u1   − → − → T ( u2 ) = λ0 · u2 ...   − → T (→ up ) = λ0 · − up Vectorii din B1 sunt liniar independent¸i ˆın spat¸iul vectorial, deci sistemul poate fi completat pentru a obt¸ine o baz˘a → → − − B = {− u ,− u ,...,→ u ,− v−→, . . . , → v } 1

2

p

104

p+1

n

a acestuia. Avem → → − → [T − λI](− u1 ) = T (− u1 ) − λ→ u1 = (λ0 − λ)− u1 → → − → [T − λI](− u2 ) = T (− u2 ) − λ→ u2 = (λ0 − λ)− u2 ... → → − → [T − λI](− up ) = T (− up ) − λ→ up = (λ0 − λ)− up − − → − − → − − → [T − λI](vp+1) = T (vp+1) − λvp+1 = . . . ... Relativ la aceast˘a baz˘a ecuat¸ia carcteristic˘a se obt¸ine calculˆand   λ0 − λ 0 ... 0 ... λ0 − λ . . . 0 ...  0 det[T − λI]B = det  ..  . 0 0 . . . λ0 − λ . . . ¸si are forma (λ0 − λ)p · g(λ) = 0 cu r˘ad˘acinile λ1 = λ2 = . . . = λp = λ0 ¸si alte eventuale r˘ad˘acini ale ecuat¸iei g(λ) = 0. Evident p ≤ k avˆand ˆın vedere c˘a λ0 este r˘ad˘acin˘a multipl˘a de ordinul k.

105

Consecint ¸ a 5.1. Dac˘a λ = λ0 este r˘ad˘acin˘a simpl˘a a ecuat¸iei caracteristice atunci dimensiunea subspat¸iului propriu corespunz˘ator este 1. Teorema 5.2. Dac˘a ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a operatorului liniar T are n r˘ad˘acini din corpul K distincte ˆıntre ele atunci exist˘a o baz˘a format˘a din vectori proprii corespunz˘atori ˆın care matricea lui T este matrice diagonal˘a. Teorema 5.3. Condit¸ia necesar˘a ¸si suficient˘a ca s˘a existe ˆıntr-un spat¸iu vectorial o baz˘a ˆın care matricea unui operator liniar T s˘a fie matrice diagonal˘a este ca ecuat¸ia caracteristic˘a a operatorului s˘a aib˘a toate r˘ad˘acinile din corpul K ¸si pentru orice r˘ad˘acin˘a multipl˘a dimensiunea subspat¸iului corespunz˘ator s˘a coincid˘a cu ordinul de multiplicitate al r˘ad˘acinii. Baza c˘autat˘a este format˘a prin reuniunea bazelor din fiecare subspat¸iu propriu, iar pe diagonala matricei operatorului se reg˘asesc valorile proprii ale operatorului.

106

Demonstrat¸ie: Fie E un spat¸iu vectorial de dimensiune n ¸si T : E 7→ E un operator liniar. Din ipotez˘a rezult˘a c˘a ecuat¸ia caracteristic˘a are n r˘ad˘acini distincte λ1, λ2, . . . , λn din K. Din propriet˘a¸tile anterioare rezult˘a c˘a sistemul format prin considerarea a cˆate unui vector propriu corespunz˘ator fiec˘arei valoare proprie, notat → → − B = {− u ,− u ,...,→ u } 1

2

n

este un sistem de vectori liniar independent¸i deci formeaz˘a o baz˘a a spat¸iului vectorial E. ˆIn plus din → − → → → T (U ) = λ − u = 0→ u + 0− u + ... + λ − u + . . . + 0− u i

i i

1

2

i i

n

rezult˘a c˘a matricea operatorului T ˆın aceast˘a baz˘a are forma   λ1 0 0 . . . 0  0 λ2 0 . . . 0   0 0 λ3 . . . 0   ..  . 0 0 0 . . . λn adic˘a o form˘a diagonal˘a. Teorema 5.4. Condit¸ia necesar˘a ¸si suficient˘a ca s˘a existe ˆıntr-un spat¸iu vectorial o baz˘a ˆın care matricea unui operator liniar T s˘a fie matrice diagonal˘a este ca ecuat¸ia caracteristic˘a a operatorului s˘a aib˘a toate r˘ad˘acinile din corpul K ¸si pentru orice r˘ad˘acin˘a multipl˘a dimensiunea subspat¸iului corespunz˘ator s˘a coincid˘a cu ordinul de multiplicitate al r˘ad˘acinii. Baza c˘autat˘a este format˘a prin reuniunea bazelor din fiecare subspat¸iu propriu, iar pe diagonala matricei operatorului se reg˘asesc valorile proprii ale operatorului. Demonstrat¸ie: 107

Fie E un spat¸iu vectorial de dimensiune n ¸si T : E 7→ E un operator liniar. Presupunem c˘a exist˘a o baz˘a → → − B = {− u1 , − u2 , . . . , → un } ˆın care matricea operatorului T este diagonal˘a, adic˘a are forma   λ1 0 0 . . . 0  0 λ2 0 . . . 0  0 0 λ3 . . . 0  . [T ]B =   ..  . 0 0 0 . . . λn Avˆand ˆın vedere c˘a coloana i din matricea [T ]B reprezint˘a → coordonatele vectorului T (− ui ), rezult˘a c˘a → → T (− ui ) = λi− ui → deci λi este valoare proprie iar − ui este unul din vectorii proprii cores-punz˘atori. ˆIn plus, ecuat¸ia caracteristic˘a a operatorului relativ la aceast˘a baz˘a este (λ1 − λ)(λ2 − λ) . . . (λn − λ) = 0 deci ecuat¸ia are toate r˘ad˘acinile din K. Dac˘a avem o r˘ad˘acin˘a multipl˘a de ordinul k, adic˘a λi1 = λi2 = . . . = λik = λ0, ¸si vectorii − − → − → u→ i1 , ui2 , . . . , uik ∈ Sλ0 sunt liniar independent¸i. Deoarece dimSλ0 ≤ k rezult˘a egalitatea dintre ordinul de multiplicitate al r˘ad˘acinii λ0 ¸si dimensiunea subspat¸iului propriu corespunz˘ator. Reciproc, s˘a presupunem c˘a operatorul T adminte n valori proprii din K ¸si dac˘a una din valorile proprii este o r˘adacin˘a multipl˘a de ordinul k a ecuat¸iei caracteristice atunci dimSλ0 = k. Vom demonstra c˘a exist˘a ˆın E o baz˘a ˆın care matricea lui T este o matrice diagonal˘a. 108

Avem implicat¸iile λ = λ1 r˘ad˘acin˘a multipl˘a de ordinul k1 ⇒ dimSλ1 = k1, λ = λ2 r˘ad˘acin˘a multipl˘a de ordinul k2 ⇒ dimSλ2 = k2, ... λ = λp r˘ad˘acin˘a multipl˘a de ordinul kp ⇒ dimSλp = kp unde k1 + k2 + . . . + kp = n. Consider˘am cˆate o baz˘a Bi a fiec˘arui subspat¸iu propriu Sλi , mai precis − →1 − →1 − →1 − → B1 = { u1 , u2 , u3 , . . . , u1k1 } baz˘a ˆın Sλ1 , − → − → − → − → B2 = { u21 , u22 , u23 , . . . , u2k2 } baz˘a ˆın Sλ2 , ... − → − → − → − → Bp = { up1 , up2 , up3 , . . . , upkp } baz˘a ˆın Sλp . Aplicˆand Propozit¸ia 5.6 avem c˘a [ [ [ B = B1 B2 . . . Bp formeaz˘a o baz˘a a spat¸iului vectorial E ¸si din − →j − →j → −j − →1 − → T ( ui ) = λj ui = 0 u1 + . . . + λj ui + . . . + 0upkp rezult˘a c˘a matricea asociat˘a operatorului T felativ la aceast˘a baz˘a este o matrice diagonal˘a avˆand pe diagonal˘a chiar valorile proprii, respectiv   λ1 0 0 . . . 0  0 λ1 0 . . . 0  0 0 λ1 . . . 0  . [T ]B =   ..  . 0 0 0 . . . λp 109

3. Exercit¸ii rezolvate à ! 3 −1 1 1. Se d˘a matricea A = 2 0 1 . Determinat¸i valo1 −1 2 rile proprii ¸si vectorii proprii ai acestei matrici. Solut¸ie: Matricea A are polinomul caracteristic P (λ) = det(A − λI). Valorile proprii se afl˘a din P (λ) = 0, rezult˘a λ1 = 1, λ2 = λ3 = 2. Pentru a obt¸ine vectorii proprii avem sistemul (A−λI)x = 0. Pentru λ = 1 avem ( 2x1 − x2 + x3 = 0 2x1 − x2 + x3 = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = x3 ∈ R. x1 − x2 + x3 = 0 Lu˘am x2 = a ¸si obt¸inem x =t [0, a, a] = at[0, 1, 1]. Rezult˘ Ãa c˘a!vectorul propriu corespunz˘ator lui λ = 1 este 0 v1 = 1 , iar S1 = {(0, α, α), α ∈ R}. 1 Pentru λ =Ã2 obt !¸inem, prin acela¸si rat¸ionament, vectorul 1 propriu v2 = 1 ¸si S2 = {(α, α, 0), α ∈ R}. 0 à ! 4 0 0 2. Se d˘a matricea A = 0 0 1 . Determinat¸i va0 −1 2 lorile proprii ¸si vectorii proprii ai acestei matrici. Este matricea A diagonalizabil˘a? Solut¸ie:

110

Prin aceea¸si metod˘a ca la exercit¸iul anterior obt¸inem valorile proprii λ1 =Ã4, λ!2 = λ3 = 1 ¸si vectorii propriiÃcore! 1 0 0 1 spunz˘atori v1 = (pentru λ = 4) ¸si v2 = 0 1 (pentru λ = 1). A¸sadar S4 = {(α, 0, 0), α ∈ R} ¸si S1 = {(0, α, α), α ∈ R}. Observ˘am c˘a λ = 1 este r˘ad˘acin˘a multipl˘a de ordinul 2, iar S1 are dimensiunea 1, deci matricea A nu este diagonalizabil˘a. Ã ! −3 −7 −5 2 4 3 . Este matricea 3. Se d˘a matricea A = 1 2 2 A diagonalizabil˘a? Solut¸ie: Se obt¸ine λ1 = λ2 = λ3 = 1, ¸si rangul matricei rezultate prin considerarea λ = 1 este 2, deci matricea nu este diagonalizabil˘a. 4. Fie A : R4 → R4, cu A = (x1 + x4, x2, x3 − 2x4, x1 − 2x3 + 5x4), unde x = (x1, x2, x3, x4). a) S˘a se determine matricea lui A ˆın baza canonic˘a. b) S˘a se determine matricea lui Aˆın baza B = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}. c) S˘a se determine valorile proprii ˆın baza canonic˘a ¸si ˆın baza B. d) Este diagonalizabil operatorul liniar? Solut¸ie: a) ˆIn raport cu baza canonic˘a a lui R4 matricea lui A este 

1 0 A=0 1

 0 0 1 1 0 0 0 1 −2 . 0 −2 5 111

b) Matricea lui Aˆın baza B se determin˘a dup˘a urm˘atoarea formul˘a [A]Bc = SB−1cB · [A]B · SBcB ,   1 1 1 1 0 1 1 1 unde SBcB =  0 0 1 1 . 0 0 0 1 c) Valorile proprii ale matricii A ˆın baza canonic˘a sunt λ1 = 0, λ2 = λ3 = 1, λ4 = 6 ¸si condit¸ia ca operatorul s˘a fie diagonalizabil este ca dimS1 = 2. Avem c˘a S1 = {(α, 0, 0, β), α, β ∈ R}, deci r˘aspunsul este afirmativ.

112

CAPITOLUL 6

Forme liniare. Forme biliniare. Forme p˘ atratice.

1. Forme liniare Definit ¸ ia 6.1. Numim form˘ a liniar˘ a (funct¸ional˘ a liniar˘ a) peste corpul K orice aplicat¸ie f : V → K care verific˘a propriet˘a¸tile: − → → → 1) f (→ u +− v ) = f (− u ) + f (− v) − → − → → − 2) f (α · u ) = α · f ( u ) unde − u, → v ∈ V ¸si α ∈ K. Corpul K poate fi considerat ca un spat¸iu vectorial peste K deci o form˘a liniar˘a este un caz particular de operator liniar. A¸sadar toate propriet˘a¸tile operatorilor liniari sunt valabile ¸si pentru formele liniare. → → − Consider˘am spat¸iul V cu baza B = {− e1 , − e2 , . . . , → en } ¸si 0 spat¸iul K cu baza B = {1}. Matricea asociat˘a operatorului liniar f relativ la bazele B ¸si B 0 este → → − [f ] = (f (− e1 ), f (− e2 ), . . . , f (→ en )) = (a1, a2, . . . , an), unde → → → a1 = f ( − e1 ), a2 = f (− e2 ), . . . , an = f (− en ). Fie − → v = (x1, x2, . . . , xn) un vector din E exprimat ˆın ˆın baza B. Avem → → → → f (− v ) = f (x1, x2, . . . , xn) = f (x1·− e1 +x2·− e2 +. . .+xn·− en ) = → → → = x1·f (− e1 )+x2·f (− e2 )+. . .+xn·f (− en ) = x1·a1+x2·a2+. . .+xn·an, numit˘a expresia analitic˘ a a formei liniare f ˆın baza dat˘a. 113

Exemplul 6.1. Fie A = ( 1 −1 2 3 ) matricea asociat˘a unei forme liniare f : Rn → R relativ la baza → → B = {− e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , − en = (0, . . . , 1)} din Rn. a) S˘a se determine n. b) S˘a se determine expresia analitic˘a a lui f . c) S˘a se determine f (−1, 2, 3, −1). Solut¸ie: a) Evident n = 4. b) Avem → → [f (− v )]B 0 = [f ] · [− v ]B deci



 x1 x → f (− v ) = f (x1, x2, x3, x4) = ( 1 −1 2 3 )· x2  = x1−x2+2x3+3x4. 3 x4 c) Din expresia anlitic˘a a formei liniare f obt¸inem f (−1, 2, 3 − 1) = −1 − 2 + 6 − 3 = 0. Fie E un spat¸iu vectorial peste K cu dimE = n. Numim spat¸iu conjugat al spat¸iului E, spat¸iul notat prin E ∗ = {f / f : E → K; f funct¸ional˘a liniar˘a}. Propozit ¸ ia 6.1. Spat¸iul E ∗ este un spat¸iu vectorial fat¸˘a de operat¸iile obi¸snuite cu funct¸ii. Demonstrat¸ie: 1. Suma a dou˘a funct¸ionale liniare este tot o funct¸ional˘a liniar˘a, adic˘a f, g ∈ E ∗ ⇒ f + g ∈ E ∗. 114

ˆIntr-adev˘ar, → → → → → → (f + g)(α− u + β− v ) = f (α− u + β− v ) + g(α− u + β− v)= → → → → = αf (− u ) + βf (− v ) + αg(− u ) + βg(− v)= − → → → → → = α(f (→ u +g(− u ))+β(f (− v )+g(− v )) = α(f +g)(− u )+β(f +g)(− v ), deci f + g este o funct¸ional˘a liniar˘a. 2. Produsul cu un scalar a unei funct¸ionale liniare este tot o funct¸ional˘a liniar˘a, adic˘a λ ∈ K, f ∈ E ∗ ⇒ λ · f ∈ E ∗. Avem → − → → (λf )(α− u + β→ v ) = λ(f (α− u + β− v )) = → → → → = λαf (− u ) + λβf (− v ) = α(λf )(− u ) + β(λf )− v. Propozit ¸ ia 6.2. Dac˘a E este un spat¸iu vectorial cu dimE = n, atunci spat¸iul vectorial conjugat E ∗ are deasemenea dimensiunea n. Demonstrat¸ie: Fie → → − B = {− e ,− e ,...,→ e } 1

2

n

o baz˘a ˆın E. Definim funct¸ia → f1 : E → K prin f1(− v ) = f (x1, x2, . . . , xn) = x1. Ar˘at˘am c˘a f1 este o funct¸ional˘a liniar˘a, adic˘a f1 ∈ E ∗. Avem → → f1(α− u +β − v ) = f1(α(x1, x2, . . . , xn)+β(y1, y2, . . . , yn)) = = f1(αx1 + βy1, αx2 + βy2, . . . , αxn + βyn) = → → = αx1+βy1 = αf1(x1, x2, . . . , xn)+βf1(y1, y2, . . . , yn) = αf1(− u )+βf1(− Analog definim funct¸ionalele liniare → f2 : E → K prin f2(− v ) = f2(x1, x2, . . . , xn) = x2 ... → fn : E → K prin fn(− v ) = fn(x1, x2, . . . , xn) = xn. 115

Calcul˘am

→ fi(− ej ) = fi(0, . . . , 1, . . . , 0) = δij

unde

δi,j = 1 dac˘a i = j, δi,j = 0 dac˘a i 6= j. Demonstr˘am c˘a {f1, f2, . . . , fn} formeaz˘a un sistem de gene-ratori pentru E ∗. Avem echivalent¸a f = α1f1 + α2f2 + . . . + αnfn m → → → f (− v ) = (α1f1 + α2f2 + . . . + αnfn)− v , ∀− v ∈ E. Dar − → → → → f ( v ) = f (x1, x2, . . . , xn) = f (x1·− e1 +x2·− e2 +. . .+xn·− en ) = → → → = x1 f ( − e1 )+x2f (− e2 )+. . .+xnf (− en ) = a1x1+a2x2+. . .+anxn = → → → → = a1 f1 ( − v )+a2f2(− v )+. . .+anfn(− v ) = (a1f1+a2f2+. . .+anfn)(− v ), deci f = a1f1 + a2f2 + . . . + anfn. ˆIn continuare ar˘at˘am c˘a {f1, f2, . . . , fn} este un sistem independent liniar de vectori. Fie α1f1 + α2f2 + . . . + αnfn = θ, unde θ este funct¸ionala liniar˘a nul˘a. Rezult˘a c˘a → → (α1f1 + α2f2 + . . . + αnfn)(− v ) = θ(− v) → pentru orice − v ∈ E sau → → → α1f1(− v ) + α2f2(− v ) + . . . + αnfn(− v)=0 → → → pentru orice − v ∈ E. Particularizˆand, pentru − v = − e1 avem → → → α1f1(− e1 ) + α2f2(− e1 ) + . . . + αnfn(− e1 ) = 0 de unde rezult˘a c˘a α1 = 0. 116

Similar,

− → → v =− e2 ⇒ α2 = 0, ...

→ − → v =− en ⇒ αn = 0, deci sistemul este independent liniar ¸si formeaz˘a o baz˘a a spat¸iului E ∗. Evident dimE ∗ = n. Sistemul B ∗ = {f1, f2, . . . , fn} se nume¸ste baza dual˘ a a lui B. Exemplul 6.2. Fie f : R4 → R definit˘a prin f (x1, x2, x3, x4) = x1 − x2 + 2x3 + 3x4. S˘a se determine care sunt coordonatele lui f ˆın B ∗ unde → → → → B = {− e = (1, 0, 0, 0), − e = (0, 1, 0, 0), − e = (0, 0, 1, 0), − e = (0, 0, 0, 1)} 1

2

3

4

este o baz˘a ˆın R4. Avem → → → f1(x1, x2, x3, x4) = x1, f2(− v ) = x2, f3(− v ) = x3, f4(− v ) = x4 deci → → → → → → f (− v ) = f1 ( − v )−f2(− v )+2f3(− v )+3f4(− v ) = (f1−f2+2f3+3f4)(− v) sau f = f1 − f2 + 2f3 + 3f4, prin urmare



 1 −1 [f ]∗B =  2  . 3 117

2. Forme biliniare a biliniar˘ a o aplicat¸ie Definit ¸ ia 6.2. Numim form˘ f : E × E → K ce verific˘a propriet˘a¸tile: → → → → → → → 1. F (α− u1 + β − u2 , − v ) = αF (− u1 , − v ) + βF (− u2 , − v) − → − → − → − → − → − → − → 2. F ( u , α v1 + β v2 ) = αF ( u , v1 ) + βF ( u , v2 ) → → → → → → pentru orice − u1 , − u2 , − v1 , − v2 , − u ,− v ∈ E ¸si α, β ∈ K. La fel ca ˆın cazul operatorilor, vom ata¸sa o matrice unei forme biliniare relativ la o baz˘a a spat¸iului. Fie dimE = n → → − ¸si B = {− e1 , − e2 , . . . , → en } o baz˘a ˆın E. Atunci pentru − → − → → u = x1 → e1 + x 2 − e2 + /ldots + xn− en , − → → → → v = y1 − e1 + y2− e2 + . . . + y n − en doi vectori arbitrari, avem → → → → → − → → F (− u ,− v ) = F (x1− e1 +x2− e2 +. . .+xn− en , y 1 → e1 +y2− e2 +. . .+yn− en ) = → − → → = x1 F ( − e1 , y 1 → e1 + y 2 − e2 + . . . + yn− en )+ → − → → +x2F (− e2 , y 1 → e1 + y 2 − e2 + . . . + yn− en )+ +...+ → − − → → → +xnF ( en , y1 e1 + y2− e2 + . . . + y n − en ) = → − − → − → − → → → = x1(y1F ( e1 , e1 ) + y2F ( e1 , e2 ) + . . . + ynF (− e1 , − en ))+ − − → → → → +x2(y1F (→ e2 , → e1 ) + y2F (− e2 , − e2 ) + . . . + y n F ( − e2 , − en ))+ +...+ − → − → → → → → +xn(y1F ( en , e1 ) + y2F (− en , − e2 ) + . . . + y n F ( − en , − en )). Matricial, expresia anterioar˘a reprezint˘a produsul matricelor    − → − → − → − → − → − → y1 F ( e1 , e 1 ) F ( e 1 , e 2 ) . . . F ( e1 , en ) − → − → − → − → − → − → y   ( x1 x2 . . . xn )· F ( e2., e1 ) F ( e2., e2 ) . ... F ( e2., en ) · ..2  . . − → − → − → − → − → − → yn F ( en , e 1 ) F ( en , e 2 ) . . . F ( en , en ) Produsul anterior se mai scrie sub forma → [u]tB · [F ]B · [− v ]B 118

unde a formei biliniare, [F ]Bse nume¸ste matricea asociat˘ x1 x  iar  ..2  = [u]tB . Deci avem relat¸ia . xn → → − → F (− u ,− v ) = [→ u ]tB · [F ]B · [− v ]B . Definit ¸ ia 6.3. Spunem c˘a o form˘a biliniar˘a este simetric˘ a dac˘a → → → → → → F (− u ,− v ) = F (− v ,− u ), (∀) − u ,− v ∈ E. Propozit ¸ ia 6.3. Condit¸ia necesar˘a ¸si suficient˘a ca o form˘a biliniar˘a s˘a fie simetric˘a este ca matricea corespunz˘atoare ˆıntr-o baz˘a dat˘a s˘a fie simetric˘a. Demonstrat¸ie: Presupunem c˘a F este o form˘a liniar˘a simetric˘a, deci → → → → → → F (− u ,− v ) = F (− v ,− u ), (∀) − u ,− v ∈ E. Particularizˆand pentru − → → → → u =− ei , − v =− ej avem

→ → → → F (− ei , − ej ) = F (− ej , − ei ),

deci aij = aji ˆın matricea asociat˘a formei biliniare relativ la baza B, a¸sadar matricea este simetric˘a. Reciproc, dac˘a matricea asociat˘a unei forme biliniare F relativ la o baz˘a B este simetric˘a atunci prin calcul direct avem → → → → → → → → F (− u ,− v ) = [− u ]t ·[F ] ·[− v ] = [− v ]t ·[F ] ·[− u ] = F (− v ,− u ), B

B

B

avˆand ˆın vedere c˘a [F ]B = [F ]tB . 119

B

B

B

3. Forme p˘ atratice a p˘ atratic˘ a pe spat¸iul Definit ¸ ia 6.4. Numim form˘ vectorial E o funct¸ie f : E → K pentru care exist˘a o form˘a biliniar˘a simetric˘a F , F : E × E → K a¸sa ˆıncˆat → → → f (− u ) = F (− u ,− u ). Forma biliniar˘a F se nume¸ste polara lui f . Ne propunem s˘a determin˘am forma analitic˘a a unei forme p˘atratice relativ la o baz˘a → → − B = {− e1 , − e2 , . . . , → en }. Avem    a11 a12 . . . a1n y1  a a . . . a2n   y2  → → F (− u ,− v ) = ( x1 x2 . . . xn )· ..21 22 · ...  . an1 an2 . . . ann yn cu − → → u = (x1, x2, . . . , xn) ¸si − v = (y1, y2, . . . , yn). Dac˘a − → → u =− v = (x1, x2, . . . , xn) atunci avem    a11 a12 . . . a1n x1  a21 a22 . . . a2n   x2  → → → f (− u ) = F (− u ,− u ) = ( x1 x2 . . . xn )· .. · ...  . xn an1 an2 . . . ann   a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn  a x + a22x2 + . . . + a2nxn  = ( x1 x2 . . . x3 ) ·  21 1 ... = an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = x1(a11x1+a12x2+. . .+a1nxn)+x2(a21x1+a22x2+. . .+a2nxn)+ + . . . + xn(an1x1 + an2x2 + . . . + annxn) = = a11x21 + a22x22 + . . . + annx2n+ 120

+2a12x1x2+. . .+2a1nx1xn+2a23x2x3+. . .+2a2nx2xn+. . .+2an−1,nxn−1xn Mai putem scrie expresia analitic˘a a formei p˘atratice sub forma n n X X − → 2 f ( u ) = f (x1, x2, . . . , xn) = aiixi + 2 aij xixj . i=1

i,j=1;i<j

Propozit ¸ ia 6.4. Dac˘a f : E 7→ K este o form˘a p˘atratic˘a atunci forma biliniar˘a F , polara formei p˘atratice, este dat˘a de 1 − − → → → → F (− u ,− v ) = (f (→ u +→ v ) − f (− u ) − f (− v )). 2 Demonstrat¸ie: Avem → → → → → → f (− u +− v ) = F (− u +− v ,− u +− v)= → → → → → − → → = F (− u ,− u ) + F (− u ,− v ) + F (− v ,→ u ) + F (− v ,− v)= → → → → = f (− u ) + f (− v ) + 2F (− u ,− v) de unde rezult˘a relat¸ia din enunt¸ dintre o form˘a p˘atratic˘a ¸si forma polar˘a. Teorema 6.1. (Gauss) Pentru orice form˘a p˘atratic˘a exist˘a o baz˘a ˆın care matricea formei p˘atratice este o matrice diagonal˘a. Fat¸˘a de aceast˘a baz˘a expresia analitic˘a a formei p˘atratice are forma n X → f (− u)= aiix2i i=1

¸si spunem c˘a am adus forma p˘atratic˘a la expresia canonic˘ a. Demonstrat¸ie: Fie E un spat¸iu vectorial avˆand dimensiunea n ¸si o baz˘a → → − B = {− e ,− e ,...,→ e } 1

2

121

n

o baz˘a ˆın E fat¸a˘ de care expresia analitic˘a a formei p˘atratice f : E 7→ K este → f (− u ) = f (x1, x2, . . . , xn) =

n X

n X

aiix2i + 2

i=1

aij xixj .

i,j=1;i<j

ˆIn demonstrat¸ie vom utiliza calcule algebrice care necesit˘a ca cel put¸in pentru un i s˘a avem aii 6= 0, urmˆand ca, ˆın final, s˘a consider˘am ¸si cazul aii = 0 pentru orice i. Prin schimbarea corespunz˘atoare a ordinii vectorilor din baz˘a putem presupune c˘a a11 6= 0. ˆIn acest caz, prin considerarea tuturor termenilor cont¸inˆand pe x1, putem rescrie forma p˘atratic˘a ca o funct¸ie de gradul 2 ˆın x1, respectiv a12 a13 a1n f (x1, x2, . . . , xn) = a11[x21+2x1( x2+ x3+. . .+ xn)]+g(x2, x3, . . a11 a11 a11 unde g(x2, x3, . . . , xn) =

n X

n X

aiix2i + 2

i=2

aij xixj

i,j=2;i<j

este o form˘a p˘atratic˘a de n − 1 variabile. Putem completa prima parantez˘a pentru a obt¸ine un p˘atrat perfect. Avem · µ ¶ a12 a13 a1n f (x1, x2, . . . , xn) = a11 x21 + 2x1 x2 + x3 + . . . + xn + a11 a11 a11 µ ¶2 # a12 a13 a1n − + x2 + x3 + . . . + xn a11 a11 a11 µ −a11

a12 a13 a1n x2 + x3 + . . . + xn a11 a11 a11 122

¶2 + g(x2, x3, . . . , xn),

sau

µ

¶2 a12 a13 a1n f (x1, x2, . . . , xn) = a11 x1 + x2 + x3 + . . . + xn + a11 a11 a11 +g1(x2, x3, . . . , xn), unde µ ¶2 a12 a13 a1n g1(x2, x3, . . . , xn) = −a11 x2 + x3 + . . . + xn + a11 a11 a11 +g(x2, x3, . . . , xn). Facem schimbarea de variabil˘a dat˘a de sistemul liniar  0 a13 a1n x1 = x1 + aa12 x + x + . . . + 2 3  a a11 xn 11 11  0 x2 = x2 ..  .0 xn = xn sau rezolvˆand obt¸inem sistemul  a13 0 a1n 0 0 x − x − . . . − x1 = x01 − aa12 2 3  a a11 xn 11 11  0 x2 = x2 ..  . xn = x0n Dac˘a consider˘am x01, x02, . . . , x0n ca fiind noile coordonate → → ale unui vector arbitrar − v ˆın baza B 0, − v = (x01, x02, . . . , x0n), atunci sistemul liniar anterior poate fi identificat cu sitemul matricial    a1n   0  . . . − 1 − aa12 x1 x1 a11 11  x2   0 1 . . . 0   x02   ·  ...  ,  ...  =  .. . xn 0 0 ... 1 x0n relat¸ie corespunz˘atoare formulei de trecere de la o baz˘a la alt˘a baz˘a. Deoarece matricea de trecere de la baza B la baza B 0 are pe coloane coordonatele vectorilor din baza B 0 ˆın baza B 123

putem identifica vectorii bazei B 0, baz˘a fat¸˘a de care expresia analitic˘a a lui f este → f (− v ) = f (x0 , x0 , . . . , x0 ) = a (x0 )2 + g (x0 , . . . , x0 ). 1

2

11

n

1

1

2

n

Continuˆand procesul anterior pentru g1, dup˘a un num˘ar finit de pa¸si, se ajunge la expresia canonic˘a a formei p˘atratice f. Vom considera ˆın continuare cazul aii = 0 pentru orice i, deci expresia formei p˘atratice f este n X → f (− v ) = f (x1, x2, . . . , xn) = 2 aij xixj , i,j=1;i<j

unde evident cel put¸in un aij 6= 0. Putem presupune c˘a a12 6= 0. F˘acˆand schimbarea de variabil˘a dat˘a de sistemul liniar  x1 = x01 + x02     x2 = x01 − x02 x3 = x03 ...     xn = x0n forma p˘atratic˘a devine → f (− u ) = f (x01, x02, . . . , x0n) = 2a12(x01)2−2a12(x02)2+2

n X i,j=1;i+1<j

expresie care se ˆıncadreaz˘a ˆın condit¸iile demonstrat¸iei pentru cazul ˆın care a11 6= 0. Ã ! 1 2 0 Exemplul 6.3. Fie A = 2 −1 1 . 0 1 1 a) S˘a se scrie forma analitic˘a a formei p˘atratice determinate de aceast˘a matrice. 124

aij xixj ,

b) S˘a se determine expresia canonic˘a a formei p˘atratice ¸si baza cores-punz˘atoare. Solut¸ie: a)Avem f : R3 → R, deci f (x1, x2, x3) = x21 − x22 + x23 + 4x1x2 + 2x2x3, reprezentˆand expresia analitic˘a a formei p˘atratice ˆın baza na-tural˘a a spat¸iului R3. b) Pentru acest punct refacem rat¸ionamentul din demonstra¸tia teoremei anterioare ¸si vom avea

f (x1, x2, x3) = x21−x22+x23+4x1x2+2x2x3 = x21+4x1x2−x22+x23+2x2x3 =

= x21+2x12x2+4x22−x22+x23+2x2x3−4x22 = (x1+2x2)2−5x22+x23+2x2x3 = = (x1+2x2)2+x23+2x2x3−5x22 = (x1+2x2)2+(x3+x2)2−6x22 = = (x1 + 2x2)2 − 6x22 + (x2 + x3)2. ( 0 x1 = x1 + 2x2 forma p˘atratic˘a Prin schimbarea de variabil˘a x02 = x2 0 x3 = x2 + x3 f are expresia canonic˘a f (x01, x02, x03) = (x01)2 − 6(x02)2 + (x03)2 Pentru a determina baza B 0 ˆın care obt¸inem expresia analitic˘a anterioar˘a, rezolv˘am sistemul de mai sus obt¸inˆand ( x1 = x01 − 2x02 x2 = x02 x3 = −x02 + x03 125

Ã

x1 x2 x3

!

Ã

1 −2 0 0 1 0 0 −1 1

!

care sub form˘a matriceal˘a se scrie = · à 0 ! x1 x02 . x03 Considerˆand formula de schimbare a bazei ˆıntr-un spat¸iu vectorial, → → [− u ]B = SBB 0 · [− u ]B 0 obt¸inem matricea de trecere de la baza B la baza B 0, respectiv à ! 1 −2 0 SBB 0 = 0 1 0 , 0 −1 1 prin urmare avem B 0 = {f1 = (1, 0, 0), f2 = (−2, 1, −1), f3 = (0, 0, 1)}.

4. Exercit¸ii rezolvate 1. Fie A = ( 7 −1 2 8 ) o matrice asociat˘a unei forme liniare f : Rn → R. a) S˘a se determine n. b) S˘a se determine expresia analitic˘a a lui f . c) S˘a se calculeze f (−1, 2, 3, −1). Solut¸ie: a) n = 4. b) Expresia analitic˘a a lui f se determin˘a dup˘a urm˘atoarea formul˘a: → → v ]B . [T (− v )]B 0 = [T ] · [− 126

Prin urmare avem 

 x1 x → f (− v ) = f (x1, x2, x3, x4) = ( 7 −1 2 8 ) ·  x2  = 3 x4 = 7x1 − x2 + 2x3 + 8x4. c) f (−1, 2, 3, −1) = −7 − 2 + 6 − 8 = −11. Ã ! 9 6 −5 6 6 −1 . 2. Fie A = −5 −1 6 a) S˘a se scrie forma analitic˘a a formei p˘atratice f : R3 → R, corespunz˘atoare matricei A. b) S˘a se determine forma canonic˘a a acestei forme p˘atratice ¸si baza corespunz˘atoare. Solut¸ie: a) f (x) = 9x21 + 6x22 + 6x23 + 12x1x2 − 10x1x3 − 2x2x3. b) f (x) = 9x21 + 6x22 + 6x23 + 12x1x2 − 10x1x3 − 2x2x3 = 36 25 1 = (9x1 + 6x2 − 5x3)2 − x22 − x23 + 6x22 + 6x23 − 2x2x3 6 9 9 1 29 = (9x1 + 6x2 − 5x3)2 + 2x22 − 2x2x3 + x23 6 9 1 1 1 29 = (9x1 + 6x2 − 5x3)2 + (2x2 − x3)2 − x23 + x23 6 2 2 9 1 1 49 = (9x1 + 6x2 − 5x3)2 + (2x2 − x3)2 + x23. 6 2 18 127

à → → Avem [− u ]B = SBB 0 · [− u ]B 0 ⇒ unde

(

x1 x2 x3

!

à = SBB 0 ·

y1 y2 y3

! ,

y1 = 9x1 + 6x2 − 5x3 y2 = 2x2 − x3 . y3 = x3

   1 3 2 3 2 1  à !  −  x1 = 9 y1 − 9 y2 + 9 y3 x1 9 9 9 1 1 1 1 ⇒ ⇒ x2 =  ·   x = y + y 0  2 2 3 x3   2 2 2 2 x = y 0 0 1 3 3 à ! y1 y2 . y3 1 Prin urmare avem forma canonic˘a f (y1, y2, y3) = y12 + 9 1 2 49 2 y + y ¸si baza corespunz˘atoare ei 2 2 18 3 ½ µ ¶ µ ¶ µ ¶¾ 1 3 1 2 1 B = f1 = , 0, 0 ; f2 = − , , 0 ; f3 = , ,1 . 9 9 2 9 2 3. Fie A : R2 × R2 → R definit prin A(x, y) = x1y2 − x2 y1 . a) Ar˘atat¸i c˘a A este o form˘a biliniar˘a. b) S˘a se determine matricea corespunz˘atoare formei ˆın raport cu baza B, unde baza este B = {f1 = (1, 0), f2 = (0, 1)}. Solut¸ie: a) Pentru ca A s˘a fie o form˘a biliniar˘a trebuie ˆındeplinite condit¸iile: A(kx + ly, z) = kA(x, z) + lA(y, z), 128

A(x, ky + lz) = kA(x, y) + lA(x, z). Avem A(kx + ly, z) = (kx1 + ly1)z2 − (kx2 + ly2)z1, kA(x, z) = k(x1z2 − x2z1), lA(y, z) = l(y1z2 − y2z1), deci prima relat¸ie este adev˘arat˘a. A doua relat¸ie se arat˘a analog ¸si deci A este o form˘a biliniar˘a. b) Avem µ ¶ A(f , f ) A(f , f ) A(x, y) =t XAY = ( x1 x2 ) · A(f1, f1) A(f1, f2) · 2 1 2 2 ³ ´ y1 y2 . A(f1, f1) = 0, A(f1, f2) = 1, A(f2, f1) = −1, A(f2, f2) = 0, deci matricea atoare formei ˆın raport cu baza ³ corespunz˘ ´ 0 1 B este A = −1 0 .

129

CAPITOLUL 7

Spat¸ii euclidiene

1. Produs scalar. Norm˘ a Definit ¸ ia 7.1. Fie E un spat¸iu vectorial peste K. Numim produs scalar peste E o aplicat¸ie notat˘a h., .i, h., .i : E × E → K care are propriet˘a¸tile: → → → → − 1. h− x ,− x i ≥ 0; h− x ,− xi=0⇔→ x = 0; − → − → − → − → 2. hα x , y i = αh x , y i; → → → − → → → 3. h− x +− y ,− z i = h→ x ,− z i + h− y ,− zi → → → → 4. h− x ,− y i = h− y ,− xi → → → pentru orice − x ,− y ,− z ∈ E ¸si α ∈ K. Propozit ¸ ia 7.1. Produsul scalar are urm˘atoarele propriet˘a¸ti: − → → − 1. h 0 , − x i = 0, ∀ → x ∈E − → − → − → → 2. h x , α y i = αh x , − yi − → − → − → → − → → → 3. h x , y + z i = h x , − y i + h− x ,− zi Demonstrat¸ie: 1. Avem − → → → → → → h 0 ,− x i = h0 · − x ,− x i = 0 · h− x ,− x i = 0. → → 2. Pentru orice − x ,− y ¸si α putem scrie → − → → → → → → → → h− x , α→ y i = hα− y ,− x i = α · h− y ,− x i = α·h− y ,− x i = α·h− x ,− y i. 3. Similar, → → − → → → → → → − h− x ,− y +→ z i = h− y +− z ,− x i = h− y ,− x i + h− z ,→ xi= → → − → → → → → = h− y ,− x i + h→ z ,− x i = h− x ,− y i + h− x ,− z i. 131

→ → x ¸si − y sunt ortogonali Definit ¸ ia 7.2. Spunem c˘a − − → − → − → − → ¸si not˘am x ⊥ y dac˘a h x , y i = 0. Propozit ¸ ia 7.2. a) Vectorul nul este ortogonal pe orice vector. → → → b) Dac˘a − x1 , − x2 , . . . , − xn sunt ortogonali doi cˆate doi atunci sunt liniar independent¸i. Demonstrat¸ie: − → → − a) h 0 , − x i = 0 pentru orice → x. − → → → → b) Fie α1− x 1 + α2 − x 2 + . . . + αn − xn = 0 ¸si ˆınmult¸ind relat¸ia − cu → x1 obt¸inem − → → → → → → hα − x +α − x + ... + α − x ,− x i = h 0 ,− x i 1 1

2 2

n n

1

1

apoi aplicˆand propriet˘a¸tile 2 ¸si 3 obt¸inem → → → → → → α h− x ,− x i + α h− x ,− x i + . . . + α h− x ,− x i = 0. 1

1

1

2

2

1

n

n

1

Cum vectorii sunt ortogonali doi cˆate doi, deci produsele scalare dintre ei sunt zero avem c˘a → − → → α1h− x1 , → x1 i = 0 ⇒ α1 = 0, α2h− x2 , − x2 i = 0 ⇒ α2 = 0, . . . , αn = 0. Definit ¸ ia 7.3. Un spat¸iu vectorial de dimensiune finit˘a pe care s-a definit un produs scalar se nume¸ste spat¸iu euclidian. → Exemplul 7.1. Fie E = R3 = {− v = (x, y, z)/ x, y, z ∈ R} ¸si → → → B = {− e1 = (1, 0, 0), − e2 = (0, 1, 0), − e3 = (0, 0, 1)}. Se de− → − → fine¸ste aplicat¸ia h v1 , v2 i = x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2, unde − → − v1 = (x1, y1, z1) ¸si → v2 = (x2, y2, z2). Vom ar˘ata c˘a E este spat¸iu euclidian. Solut¸ie: Pentru a ar˘ata c˘a E este spat¸iu euclidian trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a E este spat¸iu vectorial finit ¸si c˘a aplicat¸ia h., .i este produs scalar. 132

Se ¸stie c˘a spat¸iul E = R3 este spat¸iu vectorial de dimensiune finit˘a (dimR = 3). Vom verifica ˆın continuare propriet˘atile produsului scalar. Pentru 1, → → → → h− v ,− v i ≥ 0 ⇐⇒ h− v ,− v i = x2 + y 2 + z 2 ≥ 0. → → → h− v ,− v i = 0 ⇐⇒ x2+y 2+z 2 = 0 ⇐⇒ x = y = z = 0 ⇐⇒ − v = 0. Pentru 2,

→ − → → hα− v ,→ u i = αh− v ,− u i ⇐⇒ ⇐⇒ α(x)x0 + α(y)y 0 + α(z)z 0 = α(xx0 + yy 0 + zz 0), → → unde − v = (x, y, z) ¸si − u = (x0, y 0, z 0). Pentru 3, → → → → → → − h− u +− v ,− w i = h− u ,− w i + h− v ,→ w i ⇐⇒ ⇐⇒ (x+x0)x00+(y+y 0)y 00+(z+z 0)z 00 = (xx00+yy 00+zz 00)+(x0x00+y 0y 00+z 0z S¸i pentru 4, → − → → h− v1 , → v2 i = h− v2 , − v1 i ⇐⇒ → → → → → → → → → → → → ⇐⇒ h− x1 , − x2 i+h− y1 , − y2 i+h− z1 , − z2 i = h− x2 , − x1 i+h− y2 , − y1 i+h− z2 , − z1 i. Teorema 7.1. Orice spat¸iu vectorial real (K = R) de dimensiune finit˘a este un spat¸iu euclidian. Demonstrat¸ie: Fie E un spat¸iu vectorial real de dimensiune finit˘a n ¸si → → → B = {− e1 , − e2 , . . . , − en } o baz˘a ˆın E. − → − → Dac˘a u , v ∈ E cu − → → → → u = x1 − e1 + x2− e2 + . . . + x n − en − → → → → v = y1 − e1 + y2− e2 + . . . + y n − en definim aplicat¸ia → → h− u ,− v i = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn. Propriet˘a¸tile 1, 2, 3, 4 se demonstreaz˘a ca ¸si ˆın cazul E = R3 din Exemplul 7.1. 133

Introducem urm˘atoarea propozit¸ie: Propozit ¸ ia 7.3. (Inegalitatea Cauchy-Scwartz-Buniakovski) ˆ Intr-un spat¸iu euclidian are loc inegalitatea: hx, yi2 ≤ hx, xi · hy, yi Demonstrat¸ie: → → Fie − x ,− y ∈ E ¸si λ ∈ K cu λ 6= 0. Avem hx + λy, x + λyi ≥ 0 ⇐⇒ hx, xi + 2λhx, yi + λ2hy, yi ≥ 0 oricare ar fi λ, deci considerˆand expresia de mai sus ca o inecuat¸ie de gradul II ˆın λ, trebuie s˘a avem ∆ = hx, yi2 − hx, xihy, yi < 0 sau hx, yi2 ≤ hx, xi · hy, yi. Definit ¸ ia 7.4. Numim norm˘ a sau m˘ arime a unui vector, orice aplicat¸ie notat˘a k.k, cu k.k : E → R care are propriet˘a¸tile: − → → → → 1. k− v k ≥ 0, k− vk=0⇔− v = 0. → → 2. kα− v k = |α| · k− v k. − → − → − → → 3. k v + u k = k v k + k− uk → → ∀ α ∈ K ¸si − v ,− u ∈ R. ˆ spat¸iu euclidian aplicat¸ia definit˘a Teorema 7.2. Intr-un prin p→ − → k− v k = h− v ,→ v i este o norm˘a pe E. Demonstrat¸ie: Pentru condit¸ia 1, → → h− v ,− v i ≥ 0 ⇐⇒ 134

q

→ → h− v ,− v i ≥ 0,

p− → ˆ adev˘arat. In plus din h→ v ,− v i = 0 rezult˘a c˘a radicalul − → exist˘a pentru orice v . q − → → → → → → k v k = 0 ⇐⇒ h− v ,− v i = 0 ⇐⇒ h− v ,− v i ⇐⇒ − v = 0.

Pentru 2, q q q q − → → − − → − → − → − → − → → → kα v k = hα v , α v i = ααh v , v i = |α|2h v , v i = |α| h− v ,− v Pentru 3, folosind inegalitatea Cauchy-Scwartz-Buniakovski, → → → → → → → − → → → → k− x +− y k2 = h − x +− y ,− x +− y i = h− x ,→ x i+2h− x ,− y i+h− y ,− yi≤ q q → → → → → → − − ≤ h− x ,− x i + 2 h− x ,− x i h− y ,− y i + h→ y ,→ yi= → → → → → → = k− x k2 + 2k− x kk− y k + k− y k2 = (k− x k + k− y k)2 Definit ¸ ia 7.5. Spunem c˘a o baz˘a ˆıntr-un spat¸iu vectorial este baz˘ a ortogonal˘ a dac˘a tot¸i vectorii bazei sunt ortogonali ˆıntre ei. Spunem c˘a o baz˘a ˆıntr-un spat¸iu euclidian este ortonormat˘ a dac˘a tot¸i vectorii bazei sunt ortogonali ˆıntre ei ¸si au m˘arimea 1. Propozit ¸ ia 7.4. Din orice baz˘a ortogonal˘a putem obt¸ine o baz˘a ortonormat˘a. Demonstrat¸ie: → − → − − → Fie B = { f1 , f2 , . . . , fn } baz˘a ortogonal˘a, adic˘a avem − → − → h fi , fj i = 0 pentru i 6= j. Lu˘am − → − − → − → 1 1 1 − → → − → e1 = − · f , e = · f , . . . , e = · 1 2 2 n → − → − → fn . k f1 k k f2 k k fn k Avem c˘a pentru i 6= j → → → − → 1 − 1 − 1 1 − → → h− ei , − ej i = − · f + · f = · h f , 1 2 1 f2 i = 0, → − → − → → − k f1 k k f2 k k f1 k k f2 k 135

→ → ei , − ej ortogonali ¸si ˆın plus keik = 1. rezult˘a − Teorema 7.3. Orice baz˘a dintr-un spat¸iu euclidian genereaz˘a o baz˘a ortogonal˘a. Demonstrat¸ie: Fie → → − B = {− v1 , − v2 , . . . , → vn } o baz˘a ˆın spat¸iul euclidian E. Construim o baz˘a ortogonal˘a B 0 corespunz˘atoare lui B, iterativ, dup˘a cum urmeaz˘a (procedeul Gramm-Schmidt de ortogonalizare): → − → 1. f1 = − v1 ; → − − − → → 2. f2 = v2 + α11 f1 , unde α11 se determin˘a a¸sa ˆıncˆat − → − → h f2 , f1 i = 0. Deci − → − → → − → − h v , f1 i 2 → h− v2 + α11 f1 , f1 = 0 ⇐⇒ α11 = − − → − → h f1 , f1 i − → → − → − → 3. f3 = − v3 + α21 f1 + α22 f2 , unde α21, α22 se determin˘a a¸sa ˆıncˆat − → − → − → − → h f3 , f1 i = 0, h f3 , f2 i = 0. Avem − → − → − → − → − → → h f , f i = h− v + α1 f + α2 f , f i = 3

1

3

2 1

2 2

1

− → → − → − − → − → → = h− v3 , f1 i + α21h f1 , f1 i + α22h f2 , f1 i = − → − → → − → = h− v , f i + α1h f , f i = 0, 3

de unde

1

2

1

1

− → − → h v , 3 f1 i α21 = − − → − → . h f1 , f1 i 136

Similar se obt¸ine − → − → h v , f2 i 3 α22 = − − → − → . h f2 , f2 i − → − → − → Dup˘a primii trei pa¸si se obt¸in vectorii f1 , f2 , f3 ortogonali doi cˆate doi. Continuˆand prodedeul, obt¸inem pentru ultima iterat¸ie −→ − → − − → − → n−1 − fn−1, fn = → vn + α1n−1 f1 + α2n−1 f2 + . . . + αn−1 n−1 unde scalarii α1n−1, α2n−1, . . . , αn−1 se determin˘a a¸sa ˆıncˆat − → − → −−→ fn s˘a fie ortogonal pe f1 , . . . , fn−1. Se obt¸ine − → −−→ − → → − h v , f i h v , n 1 n fn−1 i n−1 α1n−1 = − − , . . . , α = − n−1 → − → −−→ −−→ . h f1 , f1 i hfn−1, fn−1i − → − → Evident { f1 , . . . , fn } este o baz˘a ˆın E format˘a din n vectori ortogonali doi cˆate doi, deci liniar independent¸i. → → → Exemplul 7.2. Fie R3 ¸si B = {− v1 , − v2 , − v3 }, unde − → v1 = (1, −1, 2), − → → v2 = (1, 0, 2), − v3 = (0, 1, −1). S˘a se arate c˘a aceast˘a mult¸ime formeaz˘a o baz˘a ¸si s˘a se ortonormeze aceast˘a baz˘a.

Solut¸ie:

Ã

Avem c˘a dimR3 = 3 ¸si rangB = rangul matricei 3, deci B formeaz˘a o baz˘a. − → → Lu˘am f1 = − v1 = (1, −1, 2). 137

1 1 0 −1 0 1 2 2 −1

! =

− → − − → f2 = → v2 + α f1 , α ∈ K. Determin˘am α astfel ˆıncˆat s˘a − → − → obt¸inem h f2 , f1 i = 0. Deci − → − → − → − → − → → → h− v2 + α f1 , f1 i = 0 ⇔ h− v2 , f1 i + αh f1 , f1 i = 0

− → → 1+4 5 h− v2 , f 1 i = − = − . ⇒α=− − → − → 1 + 1 + 4 6 h f1 , f1 i µ ¶ − → 1 5 2 5 , , . A¸sadar f2 = (1, 0, 2) − (1, −1, 2) = 6 6 6 6 − → − → − → → Lu˘am f3 = − v3 + α f1 + β f2 ¸si determin˘am α, β astfel − → − → − → − → ˆ( ıncˆat s˘a obt¸inem h f3 , f1 i = 0 ¸si h f(3 , f2 i = 0. Avem − → − → → − − → − → − → − → − → → → h− v3 + α f1 + β f2 , f1 i = 0 h− v3 , f1 i + αh f1 , f1 i + βh f2 , f1 i = ⇔ − → − → → − − → − → − → − → − → − → − → h v + α f + β f , f i = 0 h v , f i + αh f , f i + βh f , 1 2 2 3 2 1 2 2 f2 i =  3 → − − →   h v ,  3 f1 i    → → −  α=1 α=− − h f1 , f1 i ⇒ 2 , − → − → 3   h v3 , f 2 i β=−    → − → 5 β=− − h f1 , f2 i µ ¶ µ ¶ − → 1 3 1 5 2 2 1 deci f3 = (0, 1, −1)+ (1, −1, 2)− , , = , 0, − . 2 5 6 6µ 6 5 5 ¶ → − − → − → 1 5 2 Prin urmare f1 = (1, −1, 2), f2 = , , , f3 = 6 6 6 µ ¶ 2 1 sunt ortogonali ˆıntre ei ¸si evident formeaz˘a o , 0, − 5 5 baz˘a ˆın R3. Calcul˘am √ √ − → k f1 k = 1 + 1 + 4 = 6 138

r

√ − → 1 30 25 4 k f2 k = + + = 36 36 36 6 r √ − → 4 1 5 + = . k f3 k = 25 25 5 → → − Baza ortonormat˘a este B 0 = {− e1 , − e2 , → e3 }, unde µ ¶ µ ¶ µ 1 1 2 1 2 5 2 1 − → → → √ ,√ ,√ e1 = √ , − √ , √ , − e2 = ,− e3 = √ , 0, − √ 6 6 6 6 30 30 30 5 2. Exercit¸ii rezolvate 1. S˘a se transforme ˆıntr-o baz˘a ortonormat˘a folosind procedeul Gramm-Schmidt urm˘atoarea baz˘a a lui R3, → − → B = {− v1 = (1, 1, −1), → v2 = (1, 0, 2), − v3 = (0, 2, 1)}. Solut¸ie: − → → − → → − → Lu˘am f1 = − v1 = (1, 1, −1) ¸si f2 = − v2 + α f1 , α ∈ K. → − → ˆIl vom determina pe α astfel ˆıncˆat h− f2 , f1 i = 0. − → − → − → − → − → − → − → → → h f2 , f1 i = h− v2 + α f1 , f1 i = 0 ⇔ h− v2 , f1 i + αh f1 , f1 i = 0 µ ¶ − → → − → h− v2 , f 1 i 1 4 1 5 Deci α = − − → − → = 3 . Prin urmare f2 = 3 , 3 , 3 . h f1 , f1 i ˆIn continuare, − → − − → − → f3 = → v3 + α f1 + β f2 , cu α ¸si β determinat¸i din condit¸iile: − → − → − → − → h f3 , f1 i = 0, h f3 , f2 i = 0. 139

A¸sadar, − → − → − → − → − → − → − → − → → − − → → → h f3 , f1 i = h− v3 +α f1 +β f2 , f1 i = h− v3 , f1 i+αh f1 , f1 i+βh f2 , f1 i = 0, − → − → hv3, f1i 1 =− . cum h f2 , f1 i = 0 ⇒ α = − hf1, f1i 3 Similar, − → − → − → − → − → − → − → − → → − − → → → h f , f i = h− v +α f +β f , f i = h− v , f i+αh f , f i+βh f , f i = 0, 3

2

3

1

2

2

3

2

1

2

2

2

− → − → hv3, f2i 1 cum h f1 , f2 i = 0 ⇒ β = − =− . 2 µ ¶ hf2, f2i − → 3 1 Deci f3 = −1, , . 2 2 − → − → − → f1 , f2 , f3 astfel aflat¸ir sunt vectori ortogonali ˆıntre ei. r √ − → − → → 42 − 14 k f1 k = 3, k f2 k = , k f3 k = . 9 4 µ ¶ 1 1 1 → − → → Baza ortonormat˘a este B 0 = {− e1 , → e2 , − e3 }, − e1 = √ , √ , − √ , 3 µ ¶ µ ¶3 3 4 2 1 5 3 1 − → → e2 = √ , √ , √ ¸si − e3 = − √ , √ , √ . 42 42 42 14 14 14 2. S˘a se transforme ˆıntr-o baz˘a ortonormat˘a folosind pro→ cedeul Gramm-Schmidt urm˘atoarea baz˘a a lui R3, {− v1 = (1, 1, 1), − → → v2 = (0, 1, 1), − v3 = (0, 0, 1)}. Solut¸ie: Se obt¸in urm˘atorii vectori ortogonali folosind metoda µ ¶ din → = (1, 1, 1), − → = −2, 1, 1 , − →= exercit¸iul precedent − w w w 1 2 3 3 3 3 µ ¶ 1 1 0, − , . 2 2 140

√ − − → →k = vectorilor obt¸inem kw1k = 3, kw 2 √ Calculˆand normele √ 6 − →k = 2 . , kw 3 3 2 Rezult˘a c˘a baza ortonormat˘a este B 0 = {u1, u2, u3}, unde µ ¶ µ ¶ 1 1 1 2 1 1 u1 = √ , √ , √ , u2 = − √ , √ , √ ¸si u3 = 3 ¶3 3 6 6 6 µ 1 1 0, − √ , √ . 2 2

141