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ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 1 TAREA 1- VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

COLABORATIVO

CAMILO ANDRÉS COVILLA No. 1065.882.958 MAIRA CAMILA CLAROS No.

ALGEBRA LINEAL -100408A_611

TUTOR RUBERNEY RAMOS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA LINEAL 2019

Introducción.

La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología. Es por eso, como estudiantes Unadista, en la materia Algebra lineal, se incluya el tema solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss Jordán, por las ventajas que este ofrece. Ahora bien, Recordemos que en las últimas décadas él. Algebra Lineal se ha convertido en una parte muy importante de las matemáticas, aportando significativamente al desarrollo con sus aportes a las ciencias informáticas, ya que todo gira actualmente en torno a los sistemas computacionales. Por otra parte, estas herramientas de aprendizaje se convierten en un referente muy valioso, que brindan un acompañamiento muy interesante en este tipo de educación autónomo como un gran método de estudio. La presente actividad está relacionada con la realización de diferentes ejercicios presentados en el Algebra Lineal, tales como Sistemas de Ecuaciones Lineales, a través de la utilización de los diferentes métodos: de gauss, de eliminación gaussiana, regla de cramer, empleando la factorización y la matriz inversa.

Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes. Luego de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual en el foro, un Mentefacto conceptual que ilustre alguno de los contenidos de la unidad 1, utilizando para su construcción Cmaptools, GoConqr, PowerPoint o cualquier otra herramienta de desarrollo de esquemas mentales. Se recomienda subirlo en formato de imagen (*.jpg, *.bmp, etc). Previamente, se debe informar en el foro sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero. Deben escoger uno de los siguientes temas: Descripción del ejercicio:

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Para el desarrollo de los ejercicios 2 y 3, debe revisar los siguientes contenidos ubicados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 1.

Descripción del ejercicio 2

a) Dados los vectores representados en el siguiente gráfico, realizar los siguientes pasos:

Nombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud y dirección de los mismos. ⃗⃗ 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴⃗ 𝑦 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵

𝑴𝒂𝒈𝒏𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 ⃗𝑨⃗ 2

2 (|𝐴⃗|) = (𝐴𝑥 )2 + (𝐴𝑦 )

= 32 + 52 = 34 |𝐴⃗| = √34 ⃗⃗| = 𝟓, 𝟖𝟑𝟏 |𝑨 ⃗⃗ 𝑴𝒂𝒈𝒏𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 ⃗𝑩 2

⃗⃗|) = (𝐵𝑥 )2 + (𝐵𝑦 )2 (|𝐵 = (−4)2 + (1)2 = 17 ⃗⃗| = √17 |𝐵 ⃗⃗⃗|𝟒, 𝟏𝟐𝟑 |𝑩

⃗⃗ 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝐴⃗ 𝑦 𝐵

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐴⃗ =

𝑇𝑎𝑛 ø = 𝑇𝑎𝑛 ø =

𝑦 𝑥

5 3

5 ø = 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) 3 ø = 𝟓𝟗𝟎 ⃗⃗ = 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐵 𝑇𝑎𝑛 ø =

𝑦 𝑥

𝑇𝑎𝑛 ø =

1 −4

1 ø = 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) + 1800 −4 ø = 𝟏𝟔𝟔𝟎

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐴⃗

⃗⃗ 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐵

Encontrar el ángulo entre los vectores. ⃗⃗ = (−4,1) 𝐴⃗ = (3,5) , 𝐵 cos ø =

cos ø =

𝐴∗𝐵 |𝐴| |𝐵|

−6 5,831 ∗ 4,123

cos ø = −0,2496 ø = 𝑐𝑜𝑠 −1 (−0,2496) ø = 104,450 𝐴 ∗ 𝐵 = 3 ∗ (−4) + 5 ∗ 1 𝐴 ∗ 𝐵 = −12 + 6 𝐴 ∗ 𝐵 = −6 ⃗⃗ 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴⃗ 𝑦 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵

Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante. ⃗⃗ = |𝐶⃗| 𝐴⃗ + 𝐵 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝐶⃗ 2

2 (|𝐶⃗|) = (𝐶𝑥 )2 + (𝐶𝑦 )

= 12 + 62 |𝐶⃗| = √37 ⃗⃗| ≈ 𝟔, 𝟎𝟖 |𝑪

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐶⃗ 𝑇𝑎𝑛 ø =

𝑥 𝑦

𝑇𝑎𝑛 ø =

1 6

1 ø = 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) + 900 6 ø = 𝟗𝟗, 𝟒𝟔𝟎

𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝐶⃗

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐶⃗

Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores representados, con teoría vectorial. ⃗⃗ = | 3 5| = (3 ∗ 1) − (5 ∗ (−4)) = 3 + 20 = 23 𝐴⃗ ∗ 𝐵 −4 1 𝐴(𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜) = |23|

|23| = √232 |23| = 23

⃗⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟒𝒋 + 𝟐𝒌 b) Dados los vectores 𝒗

⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝒊 + 𝟓𝒋 + 𝟒𝒌 𝒘

calcular:

⃗⃗ + 𝟐𝒘 −𝟑𝒗 ⃗⃗⃗⃗ −3𝑣⃗ = (−3 ∙ 3𝑖) − (−3 ∙ 4𝑗) + (−3 ∙ 2𝑘) −3𝑣⃗ = −9𝑖 + 12𝑗 − 6𝑘 2𝑤 ⃗⃗⃗ = (2 ∙ 2𝑖) + (2 ∙ 5𝑗) + (2 ∙ 4𝑘) 2𝑤 ⃗⃗⃗ = 4𝑖 + 10𝑗 + 8𝑘 −3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ = (−9𝑖 + 4𝑖) + (12𝑗 + 10𝑗) + (−6𝑘 + 8𝑘) −3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ = −5𝑖 + 22𝑗 + 2𝑘

⃗⃗ ∙ 𝒘 𝟔(𝒗 ⃗⃗⃗⃗) 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = (3 ∙ 2) + (−4 ∙ 5) + (2 ∙ 4) 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = 6 − 20 + 8 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = −6

6(𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗) = −36

Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores. ⃗⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟒𝒋 + 𝟐𝒌 𝒗 |𝑣⃗| = √𝑎𝑖 2 + 𝑎𝑗 2 + 𝑎𝑘 2 |𝑣⃗| = √(3)2 + (−4)2 + (2)2 |𝑣⃗| = √29 ≈ 5,39 𝐿𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛: cos ∝ = ∝= cos −1 (

3

) = 56,15° √29

cos 𝛽 = 𝛽 = cos −1 (

𝑎𝑖 3 = 𝑎 √29

𝑎𝑗 −4 = 𝑎 √29

−4

) = 137,97° √29

cos ∅ = ∅ = cos −1 (

𝑎𝑘 2 = 𝑎 √29 2

) = 68,2° √29

⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝒊 + 𝟓𝒋 + 𝟒𝒌 𝒘 |𝑤 ⃗⃗⃗| = √𝑎𝑖 2 + 𝑎𝑗 2 + 𝑎𝑘 2 |𝑤 ⃗⃗⃗| = √(2)2 + (5)2 + (4)2 |𝑤 ⃗⃗⃗| = √45 ≈ 6,71 𝐿𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛: cos ∝ = ∝= cos −1 (

𝑎𝑖 2 = 𝑎 √45 2

) = 72,65° √45

cos 𝛽 =

𝑎𝑗 5 = 𝑎 √45

5 𝛽 = cos −1 ( ) = 41,81° √45 cos ∅ =

𝑎𝑘 4 = 𝑎 √45

4 ∅ = cos−1 ( ) = 53,40° √45

Calcular el producto cruz y el producto punto. 𝑣⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘

𝑤 ⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 ⃗⃗ ∙ 𝒘 𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒄𝒓𝒖𝒛 = 𝒗 ⃗⃗⃗⃗ 𝑖 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ |3 2 −4 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ | 5

𝑗 𝑘 −4 2| 5 4

2 3 −4 ⃗⃗ 3 2 | 𝑖⃗ − | | 𝑗⃗ + | |𝑘 4 2 5 2 4

⃗⃗ 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = [(−4 ∙ 4) − (2 ∙ 5)]𝑖⃗ − [(3 ∙ 4) − (2 ∙ 2)]𝑗⃗ + [(3 ∙ 5) − (−4 ∙ 2)]𝑘 ⃗⃗ 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = [−16 − 10]𝑖⃗ − [12 − 4]𝑗⃗ + [15 + 8]𝑘 ⃗⃗ 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = −26𝑖⃗ − 8𝑗⃗ + 23𝑘

⃗⃗ ∙ 𝒘 𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 = 𝒗 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = (3 ∙ 2) + (−4 ∙ 5) + (2 ∙ 4) 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = 6 − 20 + 8

𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = −6

Producto cruz

Producto punto

Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3

La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor 𝑉1 = (5, −3)𝑚/𝑠 al instante 𝑡1 = 25. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad ha cambiado al valor 𝑉2 = (−4, 8)𝑚/𝑠. ¿Cuánto vale el cambio de velocidad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 ? ∆𝐕 = 𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 = (𝟓, 𝟑) − (−𝟒, 𝟖) = (−𝟗, 𝟏𝟏)𝒎/𝒔

¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo?

(−9, 11) ∆𝑉 3 −11 = =( , ) 𝑚/𝑠 2 ∆𝑡 (4𝑠 − 25) 7 21 Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector. Dados: 𝑎⃗ = (5,12) 𝑦 𝑏⃗⃗ = (1, 𝑘), Donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la medida 𝜋 en radianes del ángulo 𝑏⃗⃗ 𝑦 𝑎⃗ sea 3 . 𝑎 ∙ 𝑏 = (5,12) ∗ (1, 𝑘) = 5 + 12𝑘 𝑎 ∙ 𝑏 = |𝑎| ∗ |𝑏| ∗ cos 𝛼 |𝑎| = √52 + 122 = 13 |𝒃| = √𝟏𝟐 + 𝒌𝟐

5 + 12𝑘 = 13 ∗ √1 + 𝑘 2 ∗ cos 5 + 12𝑘 = 13 ∗ √1 + 𝑘 2 ∗

𝜋 3

1 2 2

(10 + 24𝑘)2 = (13√1 + 𝑘 2 )

100 + 480𝑘 + 576𝑘 2 = 169 ∗ (1 + 𝑘 2 ) 100 + 480𝑘 + 576𝑘 2 = 169 + 169𝑘 2 407𝑘 2 + 480𝑘 − 69 = 0 𝑘 = 0,129 𝒌 = 𝟏, 𝟑𝟎𝟖

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones. Sean las matrices: 1 𝐴 = [−2 1 5

0 2 5 6 0 3 2 −3

9 −5 6 6] 𝐵 = [1 3 0 −1 3 5 7 −5

3 3] 8 0

0 𝐷 = [3 1

0 −2 3 5 𝐶=[ 4 3 5 4] −1 0 −9 8

3𝑥 2 𝑦2 0

−2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

Realizar las siguientes operaciones, si es posible: 𝒂) 𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪 1 −2 A∙B =( 1 5

9 + 0 + 0 + 15 = 24

0 2 5 6 0 3 2 −3

9 −5 6 3 6) 3 ) ∙ (1 3 0 −1 3 8 5 7 −5 0

−5 + 0 + (−2) + 21 = 14

−18 + 5 + 0 + 15 = 2

10 + 15 + (−6) + 21 = 40

9 + 0 + 0 + 40 = 49

−5 + 0 + (−3) + 56 = 48

45 + 2 + 0 + 0 = 47

−25 + 6 + 3 + 0 = −16

6 + 0 + 6 + (−15) = −3 (−12) + 30 + 18 + (−15) = 21 6 + 0 + 9 + (−40) = −25 30 + 2 + (−9) + 0 = 33

24 14 −3 0 −2 3 5 2 40 21 ) ∙ ( 4 (A ∙ B) ∙ C = ( 3 5 4) 49 48 −25 −1 0 −9 8 47 −16 33

0 + 56 + 3 = 59

(−48) + 42 + 0 = −6

0 + 160 + (−21) = 139

(−4) + 120 + 0 = 116

0 + 192 + 25 = 217

(−98) + 144 + 0 = 46

0 + (−64) + (−33) = −97

(−94) + (−48) + 0 = −142

72 + 70 + 27 = 169

120 + 56 + (−24) = 152

6 + 200 + (−189) = 17

10 + 160 + 168 = 338

147 + 240 + 225 = 612

245 + 192 + (−200) = 237

141 + (−80) + (−297) = −236

235 + (−64) + 264 = 435

59 −6 169 139 116 17 𝐴∙𝐵∙𝐶 =( 612 217 46 −97 −142 −236

152 338 ) 237 435

𝒄)𝟑𝑪 ∙ (−𝟕𝑩)

−63 35 −42 −7𝐵 = ( −7 −21 −42) 0 7 −21 −35 −49 35

0 −6 9 15 3C = ( 12 9 15 12 ) −3 0 −27 24

3𝐶 ∙ (−7𝐵) =

−63 35 −42 0 −6 9 15 −7 −21 −42) ( 12 9 15 12 ) ∙ ( 0 7 −21 −3 0 −27 24 −35 −49 35

0 + 42 + 0 + (−525) = −483 (−756) + (−63) + 0 + (−420) = −1239 189 + 0 + 0 + (−840) = −651

0 + 252 + (−189) + 525 = 588 (−504) + (−378) + (−315) + 420 = −777 (−126) + 0 + 567 + 840 = 1533

−483 −546 588 3𝐶 ∙ (−7𝐵) = (−1239 −252 −777) −651 −1470 1533

0 + 126 + 63 + (−735) = −546 420 + (−189) + 105 + (−588) = −252 (−105) + 0 + (−189) + (−1176) = 1470

𝒅)𝑫𝟐

𝐷2 = 𝐷 ∙ 𝐷 0 3𝑥 2 (3 𝑦 2 1 0

−2 0 3𝑥 2 3 ) . (3 𝑦 2 (𝑥 + 𝑦) 1 0

−2 3 ) (𝑥 + 𝑦)

0 + 9𝑥 2 − 2 = 9𝑥 2 − 2 0 + 3𝑥 2 𝑦 2 + 0 = 3𝑥 2 𝑦 2 0 + 9𝑥 2 + (−2(𝑥 + 𝑦)) = 9𝑥 2 − 2(𝑥 + 𝑦)

0 + 3𝑦 2 + 3 = 3𝑦 2 + 3 9𝑥 2 + 𝑦 4 + 0 = 𝑦 4 + 9𝑥 2 (−6) + 3𝑦 2 + 3(𝑥 + 𝑦) = 3𝑦 2 + 3(𝑥 + 𝑦) − 6

0 + 0 + (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 3𝑥 2 + 0 + 0 = 3𝑥 2 (−2) + 0 + (𝑥 + 𝑦)2 = (𝑥 + 𝑦)2 − 2

9𝑥 2 − 2 3𝑥 2 𝑦 2 2 𝐷 = (3𝑦 + 3 𝑦 4 + 9𝑥 2 𝑥+𝑦 3𝑥 2 2

9𝑥 2 − 2(𝑥 + 𝑦) 3𝑦 2 + 3(𝑥 + 𝑦) − 6) (𝑥 + 𝑦)2 − 2

𝒆)𝑫 ∙ 𝑪 0 𝐷 ∙ 𝐶 = (3 1

3𝑥 2 𝑦2 0

−2 0 −2 3 5 3 ) ∙ (4 3 5 4) −1 0 −9 8 (𝑥 + 𝑦)

0 + 12𝑥 2 + 2 = (12𝑥 2 + 2)

0 + 9𝑥 2 + 0 = 9𝑥 2

0 + 4𝑦 2 + (−3) = (4𝑦 2 − 3)

(−6) + 3𝑦 2 + 0 = (3𝑦 2 − 6)

0 + 0 + (−(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦)

(−2) + 0 + 0 = −2

0 + 15𝑥 2 + 18 = (15𝑥 2 + 18)

0 + 12𝑥 2 + (−6) = (12𝑥 2 − 16)

9 + 5𝑦 2 + (−27) = (5𝑦 2 − 18)

15 + 4𝑦 2 + 24 = (4𝑦 2 + 39)

3 + 0 + (−9(𝑥 + 𝑦)) = ((−9(𝑥 + 𝑦)) + 3)

5 + 0 + (8(𝑥 + 𝑦)) = ((8(𝑥 + 𝑦)) + 5)

(12𝑥 2 ) 9𝑥 2 2 2 𝐷 ∙ 𝐶 = ((4𝑦 − 3) 3𝑦 − 6 −(𝑥 + 𝑦) −2

(15𝑥 2 + 18) (12𝑥 2 − 16) (5𝑦 2 − 18) 4𝑦 2 + 39

) ((−9(𝑥 + 𝑦)) + 3) ((8(𝑥 + 𝑦)) + 5)

𝒇)𝑪𝑻 ∙ 𝑫

0 𝐶 𝑇 = (−2 3 5

4 −1 3 0) 5 −9 4 8

0 𝐶 𝑇 ∙ 𝐷 = (−2 3 5

4 −1 0 3𝑥 2 3 0 ) ∙ (3 𝑦 2 5 −9 1 0 4 8

−2 3 ) (𝑥 + 𝑦)

0 + 12 + (−1) = 11

0 + 4𝑦 2 + 0 = 4𝑦 2

0+9+0=9

(−6𝑥 2 ) + 3𝑦 2 + 0 = (3𝑦 2 − 6𝑥 2 )

0 + 15 + (−9) = 6

9𝑥 2 + 5𝑥 2 + 0 = (9𝑥 2 + 5𝑦 2 )

0 + 12 + (8) = 20

15𝑥 2 + 4𝑦 2 + 0 = (15𝑥 2 + 4𝑦 2 )

0 + 12 + (−(𝑥 + 𝑦)) = (12 − (𝑥 + 𝑦)) 4 + 9 + 0 = 13 (−6) + 15 + (−9(𝑥 + 𝑦)) = (9 − 9(𝑥 + 𝑦)) (−10) + 12 + 8(𝑥 + 𝑦) = (2 + 8(𝑥 + 𝑦))

𝐶𝑇 ∙ 𝐷 =

11 9 6 20 (

4𝑦 2 (12 − (𝑥 + 𝑦)) 2 2 (3𝑦 − 6𝑥 ) 13 2 2 (9𝑥 + 5𝑦 ) (9 − 9(𝑥 + 𝑦)) (15𝑥 2 + 4𝑦 2 ) (2 + 8(𝑥 + 𝑦)))

𝒉)𝑫𝒆𝒕(𝑫) =

(𝑦 2 (𝑥 + 𝑦) − 0) ∙ 0 ((3𝑥 + 3𝑦) − 3) ∙ 3𝑥 2 (0 − 𝑦 2 ) ∙ (−2)

𝐷𝑒𝑡(𝐷) =

0 − ((3𝑥 + 3𝑦 − 3) ∙ 3𝑥 2 ) + (−𝑦 2 ∙ (−2)) −((9𝑥 3 + 9𝑥 2 𝑦 − 9𝑥 2 ) + 2𝑦 2 ) −9𝑥 3 − 9𝑥 2 𝑦 + 9𝑥 2 + 2𝑦 2 → 𝐷𝑒𝑡(𝐷)

𝑻

𝒊)(𝑩𝑻 − 𝑪)

9 1 0 5 𝐵𝑇 = (−5 3 −1 7) 6 6 3 −5

𝐵𝑇 − 𝐶 =

(9 − 0) (0 − 3) (5 − 5) (1 − (−2)) (−5 − 4) (3 − 3) (−1 − 5) (7 − 4) (6 − 0) (6 − (−1)) (3 − (−9)) (−5 − 8)

9 3 −3 0 (𝐵𝑇 − 𝐶) = (−9 0 −6 3 ) 7 6 12 −13

(𝐵𝑇

9 −9 7 3 0 6 ) − 𝐶) = ( −3 −6 12 0 3 −13 𝑇

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 5

Sea el siguiente sistema de coordenadas tridimensional. En él se pueden hacer tres rotaciones: Rotación 𝑶𝑿, Rotación en 𝑶𝒀, Rotación en 𝑶𝒁.

Haciendo la rotación, tomando al eje 𝒚 como eje de giro, la matriz de rotación 𝑹(𝒚, 𝝋) que se obtiene es:

Teniendo en cuenta que:

𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 𝜙) ∙ 𝑃𝑢𝑣𝑤

𝟏

a) Encontrar el vector 𝑷𝒙𝒚𝒛, cuando el punto 𝑷𝒖𝒗𝒘 = [𝟏], con 𝝓 = 𝟗𝟎°, con 𝟐

respecto al eje 𝑶𝒀. 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [

𝑐𝑜𝑠 90 0 0 1 − 𝑠𝑖𝑛 90 0

𝑠𝑖𝑛 90 1 0 ] [1] 𝑐𝑜𝑠 90 2

2𝑠𝑒𝑛(90) + 𝑐𝑜𝑠(90) =[ 1 ] 2 𝑐𝑜𝑠(90) − 𝑠𝑒𝑛(90) =[

2𝑠𝑒𝑛(90) + 0 1 ] 0 − 𝑠𝑒𝑛(90) 2 =[ 1 ] −1

𝟏

b) Encontrar el vector 𝑷𝒙𝒚𝒛, cuando el punto 𝑷𝒖𝒗𝒘 = [𝟐] , con 𝝓 = 𝟒𝟓°, con 𝟑

respecto a eje 𝑶𝒀. 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [

𝑐𝑜𝑠 45 0 0 1 − 𝑠𝑖𝑛 45 0

𝑠𝑖𝑛 45 1 0 ] [1] 𝑐𝑜𝑠 45 2

2𝑠𝑒𝑛(45) + 𝑐𝑜𝑠(45) =[ 1 ] 2 𝑐𝑜𝑠(45) − 𝑠𝑒𝑛(45)

3√2 2 = 1 √2 [ 2 ]

Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices

Descripción del ejercicio 6

Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones. Un nutricionista desarrolla una dieta para pacientes con bajo nivel de peso basándose en 3 materias primas cuyos contenidos se relacionan a continuación:

Figura 1. Tabla ejercicio 6.

Cuánto deberán mezclar de cada una de las tres (3) materias primas si se desea minimizar el costo de preparar un (1) kg de alimento cuyo contenido de azúcar no sea menor al 10%, su contenido de grasa no se mayor del 9.5% este valor se corrige por que la suma de los porcentajes no puede ser mayor a 100% y su contenido de proteínas no sea menor al 52%. Primero se define las variable x1, x2, x3 son lo que se debe agregar para preparar un kg de alimento con los porcentajes requeridos. Armando un sistema de ecuaciones con los % de las materias primas tenemos. 12𝑋1 + 10𝑋2 + 8𝑋3 = 10 10𝑋1 + 10𝑋2 + 50𝑋3 = 9.5 8𝑋1 + 6𝑋2 + 44𝑋3 = 52

12 (10 8

10 10 6

8 10 50 | 9.5) 44 52

La solución final es x1=17.425, x2=-20.5642, x3=0.8178. Como se observa el valor de x2 es negativo esto no tiene sentido pues todas deben dar negativo esto se puede deber a los datos del ejercicio planteado. Ahora la función objetivo es la siguiente 𝑓(𝑋1, 𝑋2, 𝑋3) = 2.35 ∗ 𝑋1 + 2 ∗ 𝑋2 + 1.7 ∗ 𝑋3 = 1.21

Calcular la inversa de la matriz aumentada por el método de la Adjunta. fórmula 1 𝐴−1 = ∗ 𝐴𝑑𝑗(𝐴) (1) 𝐷𝑒𝑡(𝐴)

Primero se calcula el determinante

Ahora se calcula el adjunto de la matriz A

La matriz de cofactores queda como sigue: Ahora la inversa

Finalmente, la adjunta es:

Segundo se calcula el determinante de A:

Comprobar que la inversa de la matriz calculada en el inciso anterior multiplicada por la matriz aumentada (inicial u original) es igual a la matriz identidad de la matriz identidad.

Compruebe todas las respuestas en Geogebra. Ahora vamos a comprobar si la matriz inversa está bien calculada mediante Geogebra. En la figura siguiente se puede ver que las inversa es igual a la calculada en pasos anteriores

Ahora confirmamos si la matriz inversa por la original nos da como resultado la matriz idéntica.

Ejercicio 7. Usos del algebra lineal herramienta Prezi

https://prezi.com/hzl9ymfgococ/?utm_campaign=share&utm_medium=copy

Conclusiones.

Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y ejercicios de la Unidad 1, cuyo contenido puntual es la solución de matrices, vectores y determinantes. Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que, a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en determinadas situaciones. Con la herramienta Prezi logramos identificar los conceptos básicos y como lo vamos aplicar a nuestra vida cotidiana, donde esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que, a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en determinadas situaciones.

Bibliografías.

Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 5 a la 18. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?ppg=13&docID= 3200976&tm=1512079046521

Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 5 a la 11. Recuperado de : http://hdl.handle.net/10596/7081 Vargas, J. (2015). Coordenadas polares. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7196

Vargas, J. Operaciones entre vectores y ángulo entre ellos. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7108 Alvarez, V. (2017). Vectores en R2. [Video].Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11517

Gutiérrez, M. (2015). Matriz Escalonada. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7189

Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 88 a 103. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584265 &p00=algebra+lineal

Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 31 a 55. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=46&docID= 11013215&tm=1468965818462