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ALGEBRA LINEAL

ACTIVIDAD COLABORATIVA

TUTOR(A): SANDRA PATRICIA BARRIOS RODRIGUEZ

ESTUDIANTE: YURGEN LIBARDO LIZARAZO

GRUPO: 100408_118

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA MARZO 2019

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se desarrolla una serie de ejercicios, tratando temas como vectores en R2 y R3 , operaciones con vectores, operaciones con matrices, aplicación de problemas, determinantes y sus propiedades. Para el desarrollo del trabajo fue necesario realizar los ejercicios de manera individual y después se hizo un análisis de los aportes y se estructuró el trabajo unificando el trabajo en un aporte colaborativo.

b. Vectores en R2 y R3: Algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial.

DESARROLLO DEL TRABAJO EJERCICIO 2 a) Dados los vectores representados en el siguiente gráfico, realizar los siguientes pasos:



Magnitud y dirección: Vector A: |𝐴⃗| = √32 + 52 = √9 + 25 = √34 = 5.83 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑏

tan 𝜃 = 𝑎 ,

𝑏

𝜃 = tan−1 (𝑎)

5 𝜃 = tan−1 ( ) = 59° 3 Gráfica vector A:

Vector B: ⃗⃗ | = √−42 + 12 = √17 = 4.12 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 |𝐵 𝜃 = tan−1 (

1 ) = −14 −4

Cómo está en el segundo cuadrante: 180° − 14° = 166° Gráfica vector B:



Ángulo entre los vectores 𝐴⃗ = (3,5)

⃗⃗ = (−4,1) 𝐵

𝐴∙𝐵

cos 𝜃 = |𝐴||𝐵| 𝐴 ∙ 𝐵 = 3(−4) + 5(1) = −12 + 5 = −7 |𝐴⃗| = 5.83 cos 𝜃 =

⃗⃗ | = 4.12 |𝐵

−7 24

𝜃 = cos −1

−7 24

= 107°

Gráfica de ángulo entre vectores:



Suma de los vectores ⃗⃗ = (3 + (−4), 5 + 1) = (−1,6) Vector resultante 𝐶⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵 |𝐶⃗| = √−12 + 62 = √37 = 6.08 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

6 ) = −80.53 −1 Cómo está en el segundo cuadrante: 𝜃 = tan−1 (

180° − 80.53° = 99.47° Gráfica vector resultante C:



Área del paralelogramo 𝐴⃗ = (3,5) 𝐴̂ = (3,5,0)

⃗⃗ = (−4,1) 𝐵 𝐵̂ = (−4,1,0)

𝑖̂ 𝑗̂ ⃗⃗ = 3 5 𝐴⃗𝑥𝐵 −4 1

𝑘̂ 0 0

⃗⃗ = [𝑖̂[(5)(0) − (1)(0)] − 𝑗̂[(3)(0) − (−4)(0)] − 𝑘̂[(3)(1) − (−4)(5)]] 𝐴⃗𝑥𝐵 ⃗⃗ = |𝑘̂(23)| = √232 = 23 𝐴⃗𝑥𝐵 Gráfica área del paralelogramo:

B. b) Dados los vectores 𝑣⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘



𝑤 ⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 calcular:

−3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ −3𝑣⃗ = −3(3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘 ) = −9𝑖 + 12𝑗 − 6𝑘 2𝑤 ⃗⃗⃗ = 2(2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘) = 4𝑖 + 10𝑗 + 8𝑘 −3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ = −9𝑖 + 12𝑗 − 6𝑘 + 4𝑖 + 10𝑗 + 8𝑘 −3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ = −5𝑖 + 22𝑗 + 2𝑘



6(𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗) 6(𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗) = 6((3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘) ∙ (2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 ))

6(𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗) = 6(6 − 20 + 8) 6(𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗) = −36

Resultado de la operación en Geogebra:

•

Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores.

Cosenos directores del vector V 𝑣⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘

cos 𝛼 =

cos 𝛼 =

𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3 √32 + (−4)2 + 22

𝛼 = cos −1 cos 𝛽 =

cos 𝛽 =

cos 𝛾 =

√29

𝟑 √𝟐𝟗

= 56.16° 𝑦

√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −4 √32 + (−4)2 + 22

𝛽 = cos −1 cos 𝛾 =

3

=

=

−𝟒 √𝟐𝟗

−4

= 137.97° √29 𝑧

√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 2 √32 + (−4)2 + 22

=

𝟐 √𝟐𝟗

𝛾 = cos −1

2

= 68.19°

√29

Comprobación: 3

2

2

−4

2

2

9 16 4 ( ) +( ) +( ) = + + =1 29 29 29 √29 √29 √29

Gráfica correspondiente a vector V:

Cosenos directores del vector W 𝑤 ⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 cos 𝛼 =

cos 𝛼 =

𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 2 √22 + 52 + 42

𝛼 = cos −1 cos 𝛽 =

cos 𝛽 =

√45

𝟐 √𝟒𝟓

= 72.65° 𝑦

√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 5 √22 + 52 + 42

𝛽 = cos −1 cos 𝛾 =

2

=

5

=

= 41.81° √45 𝑧

√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

𝟓 √𝟒𝟓

cos 𝛾 =

4 √22 + 52 + 42

𝛾 = cos −1

4 √45

=

𝟒 √𝟒𝟓

= 53.39°

Comprobación: 2

2

5

2

4

2

4 25 16 ( ) +( ) +( ) = + + =1 45 45 45 √45 √45 √45

Gráfica correspondiente a vector W:

•

Producto cruz

𝑣⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘 𝑖̂ 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = 3 2

𝑤 ⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘

𝑗̂ 𝑘̂ −4 2 5 4

𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = [(−4)(4) − (2)(5)]𝑖̂ − [(3)(4) − (2)(2)]𝑗̂ + [(3)(5) − (−4)(2)]𝑘̂ 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = [−16 − 10]𝑖̂ − [12 − 4]𝑗̂ + [15 + 8]𝑘̂ 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = −26𝑖̂ − 8𝑗̂ + 23𝑘̂

Gráfica vector resultante producto cruz:



Producto punto.

𝑣⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘

𝑤 ⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘

𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = (3 ∙ 2) + ((−4) ∙ 5) + (2 ∙ 4) 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = (6) + (−20) + (8) 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = −6 Resultado Producto punto en Geogebra: