Algebra Lineal Tarea 3 Willyt.docx

ALGEBRA LINEAL (E-LEARNING) 208046A_471

Fase 5 – Post-tarea

Tutor:

CARLOS ANDRES VEGA CARDENAS

Yeison Vargas Mendoza Fabián Enrique Niño Wilson Hernando Largo Johan Javier Triana

Grupo: 208046_190

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS. INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL

Actividades a desarrollar

1.

Dados:

X = < 1,3,5 >; Y = < 2,4,5>; Z= <1,0,2> vectores que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 2 denominado Ley conmutativa de la suma de vectores.

Solución:

𝒙(𝟏, 𝟑, 𝟓) + 𝒚(𝟐, 𝟒, 𝟓) + 𝒛(𝟏, 𝟎, 𝟐)

(𝟏, 𝟑, 𝟓) + (𝟐, 𝟒, 𝟓)

= (𝟏 + 𝟐 𝟑 + 𝟒 𝟓 + 𝟓)

= (𝟑, 𝟕, 𝟏𝟎)

= (𝟑, 𝟕, 𝟏𝟎) + (𝟏, 𝟎, 𝟐)

= (𝟒, 𝟕, 𝟏𝟐)

Sumar los elementos en las posiciones que coincidan

= (𝟑 + 𝟏 𝟕 + 𝟎 𝟏𝟎 + 𝟐)

= (𝟒, 𝟕, 𝟏𝟐)

1.1

Siendo α y β variables escalares, demuestre el séptimo y octavo axioma para espacios vectoriales usando los vectores del espacio vectorial V del punto anterior. Use valores de 3 y 4 para α y β respectivamente. α (X + Y + Z) = α X + α Y+ α Z (Primera ley distributiva) (α + β) X = α X + β X (Segunda ley distributiva) sta es una respuesta certificada × Las respuestas certificadas contienen información fiable, avalada por un equipo de expertos cuidadosamente seleccionados. En Brainly hay millones de respuestas de alta calidad, que han sido moderadas por los miembros más destacados de nuestra comunidad. Pero las respuestas certificadas son las mejores de las mejores. Dados:

α= 3 β=4 X= x+3y+5z Y = 2x+4y+5z Z= x+2z

Demostrar el séptimo y octavo axioma para los espacios vectoriales:

Séptimo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar con respecto a la suma de vectores: si α es cualquier numero real y X y Y son vectores V, entonces: α(x+y) = αx + αy

α(X + Y + Z) = α X + α Y+ α Z 3(x+3y+5z + 2x+4y+5z + x+2z) = 3(x+3y+5z) +3 (2x+4y+5z) + 3 ( x+2z) 3x+ 9y +15z +6x +12y + 15z +3x + 6z =3x+9y+15z+6x+12y+15z+3x+6z 12x +21y+36z = 2x+21y+36z

Octavo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: si α y β son cualquiera par de escalares y X es cualquier vector V, entonces (α + β)*X = α*X + β*X.

(α + β)*X = α*X + β*X ( 3 + 4) (x+3y+5z) = 3(x+3y+5z) + 4 (x+3y+5z) 7x+21y+35z = 3x+9y+15z+4x+12y+20z 7x+21y+35z = 7x+21y+35z 5.0

2.

Dado el conjunto

donde Demostrar que

genera a

Solución:

S/: Un conjunto dado, S en este ejercicio, genera un espacio vectorial si todos los elementos del espacio vectorial pueden ser expresados como una combinación lineal del conjunto. Adicionalmente, es necesario que todos los elementos del conjunto sean parte del espacio vectorial. Para demostrar que el conjunto 𝑆 puede generar 𝑅 2 se intentará demostrar que 𝑆 puede ser expresado como una combinación lineal de los vectores 𝑈1 y 𝑈2 . Nótese que dichos vectores, expresado en términos de coordenadas, pertenecen a 𝑅 2 , de manera que ya se cumple una de las condiciones. Ahora bien, si 𝑈1 y 𝑈2 generan 𝑅 2 un vector arbitrario 𝑏, con coordenadas i y j, debe poder expresarse como combinación lineal de 𝑈1 y 𝑈2 : 𝒃 = 𝑘1 𝑼𝟏 + 𝑘2 𝑼𝟐 Expresado en términos de componentes, (𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 ) = 𝑘1 (𝟓, 𝟏) + 𝑘2 (−𝟑, −𝟐) O bien,

(𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 ) = (𝟓𝑘1 , 𝑘1 ) + (−𝟑𝑘2 , −𝟐𝑘2 ) (𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 ) = (𝟓𝑘1 − 𝟑𝑘2 , 𝑘1 − 𝟐𝑘2 ) Esto puede ser expresado en un sistema de ecuaciones: 𝟓𝑘1 − 𝟑𝑘2 = 𝒃𝟏 𝑘1 − 𝟐𝑘2 = 𝒃𝟐 El problema ahora se reduce a determinar si el sistema es consistente para los valores de 𝒃𝟏 y 𝒃𝟐 . Para ello la matriz de coeficientes, del sistema de ecuaciones propuesto, debe ser invertible y por tanto su determinante diferente de cero. Sea la matriz de coeficientes A, 𝐴=(

5 −3 ) 1 −2

5 −3 𝐷𝑒𝑡𝐴 = | | = (5 ∗ −2) − (1 ∗ −3) = −10 + 3 = −7 1 −2 Puesto que el determinante de A existe, existe un conjunto de valores 𝒃𝟏 y 𝒃𝟐 que satisfacen el sistema de ecuaciones, y por tanto existen valores de 𝑘1 y 𝑘2 , que permiten expresar el conjunto 𝑆 como una combinación lineal de 𝑈1 , 𝑈2 . Por tanto, los vectores 𝑈1 , 𝑈2 generan al espacio vectorial 𝑅 2 .

2.1

Expresar el polinomio

como una combinación lineal de los polinomios

y .

2.2

Dados los vectores

correcto afirmar que el vector y

3.

y

¿es es una combinación lineal de

? Justificar la respuesta.

De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio

vectorial, calcule

a)

Determinante

Solución:

4 −1 3 −1 3 = 7 ∗ 𝑑𝑒𝑡 ( ) − (−9)𝑑𝑒𝑡 ( ) − 11 ∗ 𝑑𝑒𝑡 ( −13 −10 4 −10 4

4 −1 𝑑𝑒𝑡 ( ) = −53 −13 −10 3 𝑑𝑒𝑡 ( 4

−1 ) = −26 −10

3 𝑑𝑒𝑡 ( 4

4 ) = −55 −13

7(−53) − (−9)(−26) − 11(55)

=0 Es una matriz independiente linealmente

b)

Rango

Solución:

7 (3 4

−9 −11 4 −1 ) −13 −10

4 ) −13

7

−9 −11 55 26 ) 7 7 −13 −10

= (3 4

7 −9 −11 55 26 3 = 7 7 55 26 4 − ( 7 7)

7 −9 −11 55 26 = (3 ) 7 7 0 0 0 Reducir matriz en su forma escalonada por renglones 7 −9 −11 26 = (3 1 ) 55 0 0 0 7 0 =

3 1 (0 0

=

371 55 26 55 0 )

−

53 55 26 55 0 )

1

0 −

0

1

(0

0

=𝟐 Es una matriz linealmente dependiente

c)

Matriz escalonada usando Gauss Jordán

Solución:

7 (3 4

−9 −11 4 −1 ) −13 −10

7 = (0 4

−9 −11 55 26 ) 7 7 −13 −10

7

−9 −11 55 26 3 = 7 7 55 26 0 − − ( 7 7)

7 −9 −11 55 26 = (0 ) 7 7 0 0 0

Es una matriz linealmente dependiente

4.

Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores.

a.

V1= (0,2,2). V2= (3,3,3). V3= (0,0,4).

Solución: Reescribimos la ecuación vectorial en la forma de matriz y la resolvemos por el método de Gauss 0 2 2

3 3 3

0 0 4

cambiemos de lugares 1-ésimo y 2-ésimo 2 0 2

3 3 3

0 0 4

Dividamos 1-ésimo por 2 1 0 2

1.5 3 3

0 0 4

de 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 2 1 0 0

1.5 3 0

0 0 4

Dividamos 2-ésimo por 3 1 0 0

1.5 1 0

0 0 4

de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 1.5 1 0 0

0 1 0

0 0 4

Dividamos 3-ésimo por 4 1 0 0

0 1 0

0 0 1

Resultado: El sistema de vectores dado (el sistema de vectores linealmente independiente), así que todas

xi = 0 b.

V1= (6,-2, 8). V2= (1/2, 4, 0). V3= (-10, 6, 2). V4= (2,1,4).

Reescribimos la ecuación vectorial en la forma de matriz y la resolvemos por el método de Gauss 6 -2 8 0

1/2 4 0 0

-10 6 2 0

2 1 4 0

Dividamos 1-ésimo por 6 1 -2 8 0

1/12 4 0 0

-5/3 6 2 0

1/3 1 4 0

de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por -2; 8 1 0 0 0

1/12 25/6 -2/3 0

-5/3 8/3 46/3 0

1/3 5/3 4/3 0

Dividamos 2-ésimo por 25/6 1 0 0 0

1/12 1 -2/3 0

-5/3 16/25 46/3 0

1/3 2/5 4/3 0

de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 1/12; -2/3 1 0 0 0

0 1 0 0

-43/25 16/25 394/25 0

3/10 2/5 8/5 0

Dividamos 3-ésimo por 394/25 1

0

-43/25

3/10

0 0

1 0

16/25 1

2/5 20/197

0

0

0

0

de 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por -43/25; 16/25 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

187/394 66/197 20/197 0

Resultado: El sistema de vectores dado no es una base (el sistema de vectores linealmente dependiente), así que existen

xi ≠ 0

5. Usando el siguiente par de vectores, compruebe porque no son base generadora de U=

V=