Algebra Ex

Algebra MULTIPLE CHOICE 1. Fie functia f : A → B cu proprietatea:

∀ ( x1 , x2 ) ∈ A × A , x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) .

Care din următoarele afirmatii este adevărată? a. f este surjectivă b. f este injectivă c. f este bijectivă 2. Fie f :

→

, f ( x ) = 2 x + 1 . Care din afirmatiile următoare este adevărată?

a. f este bijectivă b. f este surjectivă c. f este injectivă 3. Fie f :

→

, f ( x ) = 2 x + 1 . Care din afirmatiile următoare este adevărată?

a. f este bijectivă b. f nu este bijectivă 4. Fie f : A → B , si g : B → C două functii injective. Care din afirmatiile următoare este adevărată? a. b.

g o f este injectivă g o f nu este injectivă

5. Fie A = {0,1, 2, 3, 4} . Care din afirmatiile următoare este adevărată? a.

∀x ∈ , ∃a ∈ A astfel încât x = a ( mod 5 )

b.

∃x ∈

astfel încât ∀a ∈ A , x ≠ a ( mod 5 )

6. Constanta a ∈

este astfel încât legea de compozitie ‘*’ definită prin

∀ ( x, y ) ∈

2

: x * y = xy + ax + ay

este asociativă. Care din afirmatiile următoare este adevărată?

a.

a ∈ {2,5}

b.

a ∈ {0,1}

c.

a=3

7. Fie grupul simetric

(grupul permutarilor de ordinul 3). Atunci numărul subgrupurilor lui S3

este: a. 6 b. 4 c. 3 8. Fie grupul simetric

(grupul permutarilor de ordinul 3). Atunci numărul subgrupurilor normale

ale lui S3 este: a. 1 b. 3 c. 4 9. Fie permutarea σ ∈ S6 ,

1 2 3 4 5 6   σ =   3 1 5 2 6 4 Atunci numărul inversiunilor permutării σ este: a. 7 b. 5 c. 3 10. Fie permutarea σ ∈ S6 ,

1 2 3 4 5 6   σ =   3 2 4 1 6 5 Atunci ordinul lui σ în S6 este: a. 3 b. 5 c. 6

11. Fie f : a. b. c.

→

*

, f ( k ) = cos

2 kπ 2 kπ + i sin , unde n ∈ n n

*

. Atunci ∀ ( h, k ) ∈

f ( h + k ) = f ( h) + f ( k ) f ( h + k ) = f ( h) f ( k ) f ( hk ) = f ( h ) f ( k )

12. Fie morfismul de grupuri f : a. 1 + i ∈ Im ( f

)

→

*

, f ( k ) = cos

2 kπ 2 kπ + i sin . Atunci: 5 5

2

:

b. c.

13. Fie

card ( Im ( f ) ) = 6

Ker ( f ) = 5 = {5q q ∈

( 2 ) = {a + b

2 a, b ∈

}

} . Atunci ( ( 2 ) , +, ) este:

a. corp comutativ b. inel comutativ cu divizori ai lui zero 14. Fie K un subcorp al corpului a. b. c.

≠ K si IK = ⊆K

⊂ K

15. Fie f = 3ˆ + 2ˆ X ∈ a.

∀g ( X ) ∈

b.

∃g ( X ) ∈

c.

∃g ( X ) ∈

4

[ X ] . Atunci:

[ X ] , f ( X ) g ( X ) ≠ 1ˆ ˆ ˆ 4 [ X ] , g ( X ) ≠ 0 astfel încât f ( X ) g ( X ) = 0 ˆ 4 [ X ] astfel încât f ( X ) g ( X ) = 1 4

2π   cos n ), A =  sin 2π  n 

16. Fie A, B ∈ M 2 (

a. b. c.

. Atunci:

2π n 2π cos n

− sin

  1 0  , B= , n∈   0 −1   

*

. Atunci:

AB = BA AB = BAn −1 An −1 = I 2

17. Una din afirmatiile următoare este adevărată: a. b. c.

∀aˆ , bˆ ∈ ∃aˆ , bˆ ∈

5 5

(

, ˆa + ˆb

)

5

= ˆa 5 + ˆb 5

(

astfel încât ˆa + ˆb

∃f ( X ) , g ( X ) ∈

5

)

5

≠ ˆa 5 + ˆb 5

[ X ] astfel încât ( f (X) + g (X) )5 ≠

f 5 (X) + g 5 (X)

 1ˆ aˆ bˆ    18. Fie G =  0ˆ 1ˆ cˆ  aˆ , bˆ, cˆ ∈  ˆ ˆ ˆ   0 0 1  a. b.

A3 = A A3 = I 3

c.

A3 = A2

  3  . Atunci ∀A ∈ G :  

19. Fie σ ∈ Sn , n = 3 , cu proprietatea ∀π ∈ Sn : σ o π = π o σ . Atunci:

σ = (1, 2 ) b. σ = e =permutarea identică c. σ = (1, 2,3 ) a.

20. Fie G un grup cu proprietatea ∀x ∈ G : x 2 = e . Atunci grupul G este: a. izomorf cu

(

6

, +)

b. Comutativ c. izomorf cu ( S , o ) 3

 aˆ bˆ   aˆ, bˆ ∈  −bˆ aˆ   

21. Fie K = 

 3  . Atunci ( K , +, 

) este:

a. corp comutativ cu 9 elemente b. inel cu divizori ai lui zero c. corp necomutativ cu 9 elemente

x 22. Fie d = y + z y2 + z2 a. b. c.

y x+z x2 + z 2

z x + y , unde x, y, z ∈ R . Avem x2 + y 2

d = ( z − x )( z − y )( y − x )( x − y − z )

d = ( z − x )( z − y )( y − x )( x + y + z ) d = ( z − x )( z − y )( y − x )( x − y + z )

( )

−1 daca i ≤ j . Avem 1 daca i > j

23. Fie matricea A ∈ M n ( R ) , A = aij , unde aij =  a.

det A = 0

b. c.

det A = 2n + 1 n det A = ( −1) 2n −1

 1 −1 1  24. Fie matricele A si A , A =  1 1 β  2 −1 1  Daca rang A = rang A = 2 , atunci a. α = −1, β = −1 , γ = 1 b. β = γ c. α = −2 , β = 2 , γ = 1

α

 1 −1 1   1  , A = 1 1 β  2 −1 1 −1 

25. Fie sistemul ( S ) ,

(S )

x + y + z = 0  ( β + γ ) x + (α + γ ) y + (α + β ) z = 0 , α , β , γ ∈ R .  βγ x + αγ y + αβ z = 0 

Daca sistemul ( S ) are solutie unica, atunci a. α = β = 1 , γ = 2 b. α = β = γ = 3 c. (α − β )( β − γ )( γ − α ) ≠ 0

 2ˆ 3ˆ aˆ    26. Fie matricea A =  1ˆ bˆ 2ˆ  ∈ M 3 ( Z 6 ) . Atunci ˆ ˆ ˆ 4 1 2   a. A este inversabila daca aˆ = 2ˆ si bˆ = 1ˆ b. A este inversabila daca aˆ = 1ˆ si bˆ = 2ˆ c. A este inversabila daca aˆ = 3ˆ si bˆ = 2ˆ 27. Fie sistemul ( S ) cu coeficienti in corpul Z 5 ,

 2ˆ x1 + 3ˆ x2 + x3 + 2ˆ x4 = 2ˆ  ( S )  x1 + 4ˆ x2 + 3ˆ x3 + x4 = 1ˆ . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 3 x4 = 3 Atunci a. sistemul ( S ) are solutie unica

b. sistemul ( S ) are exact 25 de solutii

c. sistemul ( S ) are o infinitate de solutii

α

γ 

 1 −1 , unde α , β , γ ∈ R . −1 1 

 1 −3 m 1    28. Fie matricea A =  m 1 −1 0  , unde m ∈ C . Atunci  0 1 2 m   a. exista m ∈ C astfel incat rang A = 2 b. exista m ∈ C astfel incat rang A = 1 c. rang A = 3 oricare ar fi m ∈ C

λ

−1

0

λ

0 L −1 L

29. Fie a0 , a1 ,..., an −1 , λ ∈ R si d = M

M 0 a1

M O M 0 L λ a2 L an − 2

0 a0

0 0

0 0 M . Atunci −1 λ + an −1

d = a0 + a1λ + a2 λ 2 + ... + an −1λ n −1 + λ n b. d = 0 c. d = λ n + a a ...a 0 1 n −1

a.

x+ y  y 30. Fie A ∈ M n ( R ) , A =   M   y a.

d = ( nx + y )

y   y  si d = det A . Atunci O M   L x+ y

y L x+ y L M y

n −1

b.

d = ( x + ny ) x n−1

c.

d = xn + yn

ANS: B

 2 0 −1  x1  0       3 31. Fie A =  1 1 −1 , λ ∈ R si x =  x2  ∈ R , x ≠  0  , astfel incat Ax = λ x . Atunci 0 1 0  x  0    3   a. b. c.

α  32. Fie A =  1 1 

1

β 2β

a. α = 2 , β = −1 b. α = 0 , β = 3

2 4  2 3  cu α , β ∈ R . Daca rang A = 2 , atunci 2 4 

c.

α =1, β =

33. Fie

1 2

un grup de ordin 7 si

, unde e este elementul neutru. Avem

a. b.

c.

34. Fie

. Avem

a. b.

c.

,

35. Fie

.

Avem a.

b.

36. Fie a. b.

astfel incat

37. Fie a.

astfel incat

. Atunci: c.

. Atunci: c.

b.

38. Fie a.

astfel incat

si

. Atunci: c.

b.

39. Fie p un numar prim si n numarul de subgrupurilor grupului a. b.

40. Fie n numarul de subgrupurilor grupului a.

c.

. Atunci c.

. Atunci

b. 41. Fie G un grup, si aplicatia a. astfel incat

. Atunci: c.

astfel incat

b.

42. Fie

. Avem

a. I nu este ideal la stanga al inelului b. I este ideal bilateral al inelului

c. I nu este ideal la dreapta al inelului

43. Fie polinomul a. astfel incat b.

. Atunci: c.

astfel incat

44. Fie

. Atunci:

a.

c.

b.

45. Fie ecuatia

, unde

,

. Atunci: c.

a.

b.

46. Fie ecuatia a.

b.

, unde

,

. Atunci: c.

47. Fie U multimea elementelor inversabile ale inelului a. c.

. Avem:

b.

48. Fie cu

,

,

. Daca

avem

a. b.

c.

49.

Sa se afle valorile lui a, pentru care sistemul urmator are solutii nenule

a.

c.

b. 1

d. 2

50. Sa se rezolve ecuatia matriciala

a.

c.

b.

d.

 2 2 3   51. Fie matricea A =  1 −1 0  , a ∈ R . a pentru care rangul matricii A este 2 este  −1 2 a    a. 0,25 b. 0,5

c. 0,75 d. 1

52. Sa se rezolve ecuatia matriciala

a.

c.

b.

d.

x − 2 y + z + t = 1  53. Suma solutiilor sistemului  x − 2 y + z − t = −1 este  x − 2 y + z + 5t = 6  a. 0 b. -1

c. 3 d. sistemul este incompatibil

54. Suma solutiilor sistemului

este

a. b.

c. d.

1 0 0 0 1 0     55. Fie matricile A =  0 1 0  si B =  0 0 0  . Notam cu n cel mai mic numar natural 0 0 0 1 0 0     nenul pentru care ( AB ) = 03 . Atunci n este n

a. 2 b. 3

c. 4 d. 5

56. Determinati a real astfel încat matricea de mai jos sa nu fie inversabila:

 2 −1 0    a 1 3  1 0 2   a. b. c. d.

a = 1/2 a = 3/4 a = 2/3 a = -1/2

57. Care este rangul matricii:

 −1 2  − 2 4 −3 6   − 5 12  a. b. c. d. e.

1 0 2  2 2 0 3 2 2  6 4 4 

1 2 3 4 5

 2 1 1 − 1 1 1   X − X   =   este:  1 2 1 1  1 − 1

58. Solutia X a ecuatiei matriceale 

1 7  5  − 3 b. 1  5  5  − 3 c. 1  7  3  − 3 d. 1  7  5  − 1

a.

− 1  − 1 − 1  0  − 1  − 1 − 3  − 1 

e. ecuatia nu are solutii 59. Care valoare a parametrului real λ face ca sistemul de mai jos sa aiba solutii nenule:

 x+ y + z +t = 0  x + (1 + λ ) y + z + t = 0    x + y + (2 + λ ) z + t = 0  x + y + z + (3 + λ )t = 0

a. b. c. d.

λ=2 λ=1 λ = −2 λ = −3

60. Fie matricea

a.

. Daca A* este matricea adjuncta a matricei A, sa se arate ca

c.

b.