Algebra En La Escuela Primaria

ÁLGEBRA

habilidades aritméticas para dividir 1.39

Para mucha gente álgebra parece extraño.

Así que esto que acabamos de hacer es

Casi siempre usa letras como a, b, c en

álgebra.

entre 3 y luego multiplicarlo por 12.

lugar de números. Ahora veamos un problema que usa letras Lo que esta gente no se da cuenta es que

en lugar de números.

esas letras simplemente representan cantidades desconocidas. Esas cantidades desconocidas pueden ser edades de gente, cuanto tiempo se tarda alguien en terminar un trabajo, o cualquier otro numero.

Álgebra no es

Si

b = 10 y

es

7a 2 + 5b2 1) 2) 3) 4) 5)

a = 0 evalúe cuanto

100 250 500 1000 5000 Si eligió

realmente tan extraño como parece.

3 como la correcta,

usted sustituyo correctamente en la Usted puede alegrarse de que el siguiente

ecuación. Este problema es simplemente

problema es un problema de álgebra:

uno de sustituir;

usted sustituye el

numero por una letra y luego usa SI 3 PANES DE CANELA CUESTAN

aritmética

Q1.39, CUAL ES EL VALOR DE UNA

respuesta.

básica

para

encontrar

la

Si alguien le hubiera preguntado

DOCENA?

hace unos momentos si conoce álgebra lo 1) 4.17

mas seguro es que le habría contestado

2) 4.46

que no;

3) 5.26

correctamente en el problema anterior

4) 5.46

podemos decir que ya tiene una idea de lo

5) 5.56

que se trata.

Si eligió 5 como la respuesta correcta usted

probablemente

utilizó

sus

pero si usted sustituyó

Aquí tiene otro problema de álgebra que usa letras para representar una cantidad desconocida.

Álgebra a (a + b) = a² + ab

S equivale a la edad de Sergio. padre,

Su

(el de Sergio) tiene 7 años más

que la edad de Sergio multiplicada por 3. Cual

de

las

siguientes

Introducción No. 2

expresiones

representa la edad del padre de Sergio? 1) 3s

No hay nada misterioso acerca del álgebra. Es simplemente otra forma de

2) 3s + 7

manejar las herramientas matemáticas.

3) 3 (s + 7) 4) S + 7 3

La belleza del álgebra es que le proveerá

5) 3S – 7

de una forma rápida y fácil de resolver

Se fijo que este problema ni siguiera le

problemas

que

lo

dejaron

mudo

requiere sumar, restar, multiplicar o

anteriormente.

Le proveerá también de

dividir?

una nueva forma de ver los números.

Todo lo que debe usar es la lógica. Eligió usted el número 2?

Si usted lo

hizo entonces comprende lo básico de las

Hace 50 años estudiar álgebra no era tan

expresiones algebraicas.

importante como ahora, en estos tiempos

Utilizando el sentido común, lógica y sus nuevas habilidades de álgebra usted estará

modernos el álgebra tiene aplicaciones

en capacidad de resolver problemas que

diversas en la ingeniería,

quizá nunca se imaginó.

arquitectura,

estadística,

economía, exploración

espacial y todas las ciencias físicas.

Aunque el álgebra no es realmente difícil de aprender si requiere que usted tenga la voluntad de aprenderla.

Nuevas

palabras y métodos vienen a su léxico.

Para mucha gente el álgebra parece extraña.

Muy a menudo utiliza letras

como a, s, b, y otras en lugar de Recuerde que álgebra utiliza letras para

números. Lo que muchas veces no nos

identificar cantidades que no conocemos.

damos

cuenta es

representan

que

cantidades

estas

letras

desconocidas.

Ejemplo:

Esas cantidades desconocidas pueden ser

La suma de cinco veces un número y dos

edades, distancias o cualquier cantidad

veces el mismo número es igual a siete

imaginable, el álgebra no es tan extraña

veces ese mismo número.

como parece.

Todo eso se puede reducir a unas cuantas

Usted ya ha trabajado ciertas técnicas

simples letras. Representemos el número

algebraicas en las lecciones anteriores si

del que estamos hablando pero que no

eso le pone mas tranquilo.

sabemos exactamente su cantidad con la letra n.

Para este ejemplo que viene primero

En álgebra, un numero o letra al lado de

realice la operación y después lea la

otro sin ningún signo en medio de ellos

explicación de la respuesta.

significa que debe multiplicarse.

Ejemplo:

5n + 2n = 7n Ve como cambia la situación?

Si 3 panecillos de canela cuestan

correctamente en la ecuación. Este es un

Q1.39, cual es el costo de una

simple problema de sustituir,

docena de esos panecillos?

sustituye las letras por los números y

Respuestas:

usted

luego realiza una operación aritmética.

1) 4.17

2) 4.46

4) 5.46

5) 5.56

3) 5.26 Si alguien le hubiera preguntado ayer si

Si usted escogió la

respuesta

(5)

sabe álgebra seguramente hubiera dicho

probablemente utilizó sus conocimientos

“ni soñar”, pero si este problema pudo

matemáticos para primero dividir 1.39

ser resuelto por usted de por hecho que

entre 3

ya tiene la idea de lo que álgebra es.

y descubrir el costo de cada

panecillo, luego multiplicó esa cantidad por doce y así consiguió la respuesta

He aquí otro ejemplo más antes de

correcta.

ingresar de lleno a las lecciones: S es la edad de Sergio.

Su padre es 7

Veamos otro ejemplo usando la siguiente

años más viejo que tres veces la edad de

formula:

a = 0.

Sergio.

trate de resolver

expresiones representa la edad del padre

b = 10 y

Usando esa formula

Cual de las siguientes

esta suma:

de Sergio?

7a² + 5b² =

1) 3S

Respuestas:

4) (S + 7) 3

1) 100

2) 250

4) 1,000

5) 5,000

Si

entonces

3) 3 (S + ) 5) 3S –7

3) 500 Ya se fijó que este problema no requiere

usted escogió 3 como la respuesta

correcta

2) 3S + 7

sustituyó

que usted sume o reste?

Todo lo que

tiene que usar es la lógica. Si usted

escogió

2) como la respuesta correcta

entonces realmente

LECCIÓN 43

va por el camino

adecuado del álgebra.

Posiblemente

EXPRESIONES NUMÉRICAS Está usted ingresando ahora al

usted ni pensó que el álgebra es así de fácil. Un estudio completo de álgebra tomaría mucho mas espacio que las pocas paginas de este libro, de todas formas

mundo del álgebra. Lo pone nervioso? No lo este. Cualquiera que sabe álgebra aprendió esto paso a paso. también lo hará. Antes de usar álgebra para

este texto le enseña lo suficiente como para aprender lo básico del álgebra que permitirá avanzar en su estudio ya sea en la universidad o en otro lado.

Usted

resolver problemas necesita aprender las reglas del juego.

Esta lección trata

acerca de esas reglas.

Que es una expresión: Los

números

pueden

ser

combinados en muchas y diferentes formas. Se pueden escribir con signos positivos y negativos, paréntesis, signos de

suma,

resta,

multiplicación,

división y exponentes. En matemáticas estas combinaciones de números signos

se

numéricas. Definición:

les

llama

y

expresiones

Un grupo de números combinados

signo (+ , - ó ÷) puede dejarse fuera

con signos de operación, (suma, resta,

como

multiplicación y división)

con

multiplicación puede ser reemplazado

Una expresión numérica

por el paréntesis. En esta expresión 2(3

exponentes.

o

este,

solo

puede contener también paréntesis.

+ 4) es lo mismo que

Ejemplo:

2 X (3 + 4).

el

signo

de

Analice esta expresión: 5² - 2 (3 + 4)

Orden de operaciones

Hay muchas cosas acerca de esta

Cuando usted tiene muchos números con

expresión.

signos de sumar y restar,

El numero 5 ha sido elevado

multiplicar,

al cuadrado. El 3 se debe sumar al 4.

dividir, paréntesis y exponentes debe

Incluso hay otro número que debe

haber cierto orden para hacer los

restarse.

cálculos.

Ya localizó que el 2 está fuera pero al lado del paréntesis? método

muy

multiplicaciones

peculiar que

de

de

Este es un

usted debe hacer mas de una operación.

escribir

Por eso debe hacer las operaciones en

ahora

adelante verá muy a menudo.

en

Usted

puede usar los paréntesis y dejar fuera el signo de multiplicación

En la mayoría de operaciones de álgebra

Esto quiere

decir que cuando vea un número escrito

cierto orden.

Cual operación hacer

primero? Primer Paso: Realice

las

en

paréntesis.

al lado de un set de paréntesis debe

Segundo Paso:

multiplicar ese número por lo que sea

Realice

que esté en el paréntesis.

exponentes.

Ningún otro

operaciones

las

operaciones

con

Tercer Paso:

Cuando

usted

simplifica

Multiplique y divida de izquierda

expresión, usted encuentra el resultado

a derecha de la misma forma

después de hacer las operaciones.

como lee la expresión.

otras palabras,

Cuarto Paso:

simplificar es efectuar

hasta que no pueda hacerlo más.

derecha. Para simplificar 5² - 2 (3 + 4) Hay unas letras que le ayudarán a

Utilice la regla PEMDSR

recordarse de lo que debe hacer:

Primer Paso:

Paréntesis

Paréntesis: (3 + 4)

Exponentes

Piense 3 + 4 = 7

Multiplicar

Escriba

5² - 2 (7)

Dividir Sumar

Segundo paso:

Restar

PEMDSR Esto se llama acrónimo, tenga en cuenta acrónimo

para

operaciones matemáticas.

resolver

Exponentes:

5²

Piense:

5² = 25

Escriba:

25 - 2(7)

las Tercer paso: Multiplique y divida

Ejemplo:

En

las operaciones para hallar el resultado,

Sume y reste de izquierda a

este

una

Piense:

2(7) = 14

Escriba:

25 – 14

Cuarto paso:

Sume y reste

Multiplique 6(-3) + 8

Piense:

25 – 14 = 11

Escriba:

11

-18 + 8 Cuarto Paso: Sume. Resultado:

Hágalo usted: Simplifique la expresión: 6(8 - 11) + 2³

- 10

Si no tomó estos pasos exactamente en orden debe repetir el ejercicio.

Escriba cada operación paso a paso. No trate de ir más de un paso a la

Para el ejercicio siguiente utilice la regla

P E M D S R, escriba cada una de las

vez.

operaciones.

6 (8 - 11) + 2³

Ejercicio 1

Primer paso:

1)

(13 –7) + 2²

Recuerde que si a 8 le quita 11 no

2)

-5 + 17

se puede,

3) 6² - 7(3 – 4)

Paréntesis:

6(-3) + 2³

por lo tanto el

resultado es un número negativo.

4) 3 + 14 - 5(6) + 7

–3 Si tiene dudas puede ir a la

5) 4° - 2(6 – 2)

lección

26

para revisar la

lección de números positivos y negativos. Segundo paso: Exponentes: 6(-3) + 2³ 6(-3) + 8 Tercer Paso:

Respuestas: 1)

Respuesta: 14

P

Piense 13 – 7 = 6

Escriba (6) + 2²

2³ = 8

6 + 8

6 + 8 = 14

14

E M D S R

Para los siguientes ejercicios las 2) Respuesta: 12 Piense P E M D S R

respuestas no estarán tan explicadas Escriba

como

esta

pero

usted

se

irá

acostumbrando y haciendo la mayoría de las operaciones de manera mental. -5 + 17 = 12

12 EJERCICIO 1A

3) Respuesta: 43 Piense P E M D S R

3 – 4 = -1 6² = 36 7 x –1 = -7

1) Simplifique la expresión: Escriba 6² - 7(-1) 36 - 7(-1) 36 - -7

8 + (5 –2)2 a) 9

b) 17

c) 121

2) Cual de los siguientes NO es un 36 – (-7) = 43

43

paso para simplificar 72 – 4(18 – 6) + 9?

4) Respuesta: -6

a) 49 – 4(18 – 6) + 9 P E M D S R

b) 1 + 9 (3) 49 – 48 + 9 5 (6) = 30

c) 49 – 4(12) + 9

3 + 14 - 30 + 7 3 + 14 = 17 – 30 = -13 -13 + 7 = -6

d) 45(12) + 9 Respuestas:

5) Respuesta: -7 P E M D S R

6–2=4 4° = 1 2x4=8 1 – 8 = -7

1) 2 2) 1

EJERCICIO 1B

Leyes

1) Cual es el valor de

numéricas:

32 – 28 + 41 – 19 + 56?

Hay tres leyes que hacen fácil el trabajo

1) 25

2) 47

4) 82

5) 106

3) 63

para simplificar expresiones

de simplificar expresiones. Si las conoce y las aplica adecuadamente no será muy difícil hacer su trabajo.

2) Cual es el valor de 93 – (48 + 23) + (47 – 25) 1) 23

2) 44

4) 90

5) 106

Ley Conmutativa: 3) 67

Otros la llaman la Ley del Orden, esta ley dice que usted puede cambiar el orden de los números en una suma o

3) Cual es el valor de

multiplicación

62 - (25 – 23 ) + (16 ÷ 4)?

misma respuesta.

(1) 23

(2) 35

(4) 56

(5) 64

(3) 48

y todavía obtener la

Ejemplo: 2+3=5 3+2=5

RESPUESTAS: 1) 4

[82]

2) 2

[44}

3) 1

[23]

Ambas respuestas dan 5 no importa cual cidra va primero o después. Usted puede conmutar (cambiar) el

orden

de

cualquier

suma

o

multiplicación sin cambiar nunca el resultado pero no puede hacerlo jamás con restas o divisiones.

3 –5

no es lo mismo que 5 - 3 al

igual que que

3 ÷ 5 tampoco es lo mismo

5 ÷ 3.

Ley Asociativa:

Pruebe a efectuar las

Otros llaman a esta ley la ley de

operaciones y vera que el resultado es

agrupamiento.

Esta ley dice que si

distinto.

usted está sumando tres o mas números o multiplicando tres o más números usted

Hágalo usted:

puede agrupar los números en diferentes

Cual de estas tres cifras demuestra la

formas y aun obtener la misma respuesta.

orden conmutativa?

Ejemplo:

1) 3 + 4 = 4 + 3

(4 + 5) + 3

2) 6 + 5 = 11

(5 + 3 ) + 4

3) 0 (5) = 5 (0)

Si se fija bien verá que no importa de que

Si eligió 1 y 3 está en lo correcto.

manera se ordenen los números la respuesta siempre será la misma.

Lo

Ahora llene usted mismo los espacios en

mismo pasa con la multiplicación.

blanco usando la ley conmutativa.

Ejemplo:

8+9

_________ + __________

(4 x 5) x 3

(6 + 7) __(____________)5

Si realiza ambas operaciones verá que el

5

=

(5 x 3) x 4

Si lleno

9 + 8 y (6 + 7)5 hizo lo

resultado siempre es 12 y no importa

correcto,

me alega porque va en el

como agrupe lo números, siempre será lo

camino adecuado. hermosa entenderla.

cuando

El álgebra es comenzamos

a

mismo. Hágalo usted:

Cual

de

las

siguientes

expresiones

Si comprendió exactamente el significado

demuestra la ley de agrupación?

de esta ley debió escoger únicamente la

1)

7 + (5 +2)

tercera opción.

2)

8 x (6 x 3)

=

(7 + 5) + 2

= (3 x 6)

Si respondió afirmativamente a ambas

Ejercicio 1C

expresiones

Si la afirmación es verdadera escriba V y

vamos

por

el

camino

correcto.

si no lo es escriba F.

Ley Distributiva: Esta

ley

dice

que

si

usted

está

1) 27(4 + 16)

= 27(4) + 27(16)

multiplicando un número por la suma de

_________________________________

dos

2)

o

más

números

usted

puede

4 ÷ 98

=

98 ÷ 4

multiplicar el primer número por cada

________________________________

uno de los otros y luego sumar para

3) 6 + (87 x (-2))

obtener la respuesta.

_________________________________

Ejemplo:

4)

2(3 + 4)

= 2x3 + 2x4

de

5) -17 + (4 x 5) = (4 x 5) + (-17)

las

siguientes

expresiones

demuestra la ley distributiva? 1) 3 + 4

= 4+3

2) 6 x (4 x 7) 3) 9 (1 + 7)

= 3(36) – 4(36)

_________________________________

Hágalo usted: Cual

4(36) – 3(36)

= (6 + 87) + (-2)

=

(6 + 4) x 7

= 9(1) + 9( 7)

_________________________________ Respuestas: 1.

V

2.

F

3.

V

4.

F

5.

V

Ejercicio 1D

Una secretaria de medio tiempo trabaja 2

1) Cual de las siguientes expresiones es

días una semana y 4 días la otra. Cada

igual a: 89 * 3 + 89 * 7?

día ella ganó Q50.00

(1) 3 + 89 x 7

expresión que muestre cuanto ganó en las

(2) 89(3 + 7)

Escriba una

(3) 7 * (89 + 3)

dos semanas.

2) Cual de las siguientes expresiones

In la sección de aritmética de este

equivale a:

3 + (4 + 9)

programa usted trabajo con cientos de

(1) (3 + 4) + 9

problemas de este tipo. Posiblemente ya

(2) 3 (4) + 3 (9)

calculó en su mente que la secretaria

(3) 3 * (4 + 3 (9)

ganó Q300.00.

En esta sección de

álgebra no se le está preguntando cuanto RSPUESTAS:

ganó sino se le está pidiendo que escriba

1) 2

una expresión algebraica que muestre

2) 1

como encontrar la respuesta. Si se recuerda de la lección 1 verá que los pasos para resolver un problema son

Escribiendo Expresiones Numéricas

los siguientes:

Algunas veces usted tiene que escribir

1) Leer cuidadosamente.

expresiones numéricas para situaciones

2) Decidir que tiene que encontrar

prácticas.

3) Decidir que operaciones usar 4) Escribir la operación

Ejemplo:

5) Computar la respuesta 6) Chequear la respuesta

7) Analizar si la respuesta tiene sentido.

sumado al costo de la novela rustica + 2.95.

La expresión inicialmente

En álgebra usted solo tiene que llegar

quedaría así: 2 (2.29) + 2.95.

hasta el paso 4. La secretaria trabajó 2

Para mostrar cuanto pagó Alicia debió

+ 4 días y ganó Q50.00 por cada día. La

haber hecho lo siguiente:

expresión que muestra cuanto ganó

2 (2.29) + 2.95.

puede ser la siguiente:

2

50(2 + 4)

Esto es el total de arriba dividido por el denominador.

Hágalo Usted:

Otra forma puede ser esta:

Escriba una expresión matemática para

2 (2.29) + 2.95 ÷ 2

esta situación: En una tienda de descuentos Alicia y su hermana compraron

2 botellas de

shampoo a Q2.29 cada una y una novela

Ejercicio 2

rustica en Q2.95. Ellas se dividieron el

Escriba

costo de los dos artículos. Escriba una

situación:

expresión que muestre cuanto pagó Alicia

una

expresión

par

cada

1) El precio de un bote de dulces si

en quetzales y centavos.

tres de los mismos botes cuestan

Si comenzó por mostrar el total del costo

Q0.98 juntos.

de los artículos, empezó bien. El costo

2) El costo de 3 fotocopiados de 15

de las dos botellas de shampoo puede ser

páginas cada uno cuando cada

mostrado así 2(2.29 )

copia individual cuesta Q0.10

Esto debe ser

3) El promedio mensual de gastos de energía eléctrica si la cantidad

expresiones muestra la cantidad de dinero que ella gastó? (1) 3 (Q1.50)

anual de kilovatios hora es de 4, 632 y el costo es Q0.62 por

(2) Q1.50 3 RESPUESTAS:

kilovatio hora.

1) 3 Respuestas:

2) 1

1) 0.98 3 2) 0.10(3)(15)

ó 0.10 (3 x 15)

3) 4, 632 x 0.062 12

EJERCICIO 2A 1)

Cuatro estudiantes de la clase de

álgebra obtuvieron como nota final punteos de 90, 85, 80 y 75. ¿Qué expresión puede demostrar su promedio total? (1)

4

.

90 + 85 + 80 + 75 (2) 4 (90 + 85 + 80 + 75) (3) 90 + 85 + 80 + 75 4 2)

+ Q0.20

Jennifer compró 3 aguacates por

Q0.50

cada uno y una manzana por

Q0.20.

¿Cuál de las siguientes