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Algebra de Vectores y Matrices

Nombre: Luis Castillo

cedula: 8-945-1201

4-2-19

Definición: La matriz es un arreglo bidimensional o tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse entre sí. Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras), en columnas y filas, de forma rectangular. Ejemplo:

Tamaño: El tamaño de una matriz se define por el número de filas y columnas que contiene. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m × n o matriz m-por-n, mientras que m y n se denominan dimensiones. Ejemplo:

Propiedades:     

Propiedad conmutativa de la suma. {A}+{B}={B}+{A}A+B=B+A Propiedad asociativa de la suma. {A}+({B}+{C})=({A}+{B})+{C}A+(B+C)=(A+B)+C Propiedad de la identidad aditiva: Para cualquier matriz AA, hay una única matriz OO tal que A+O=AA+O=A. Propiedad del inverso aditivo: Para cada AA, hay una única matriz -A−A tal que A+(A)=OA+(−A)=O. Propiedad de cerradura de la suma: A+BA+B es una matriz de las mismas dimensiones que AA y BB

Clases: se denominan vectores de fila, y las que tienen una sola columna se denominan vectores de columna. Una matriz con el mismo número de filas y columnas se denomina matriz cuadrada. Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica cuando los elementos a ambos lados de la diagonal principal son iguales. Matriz antisimétrica: matriz cuadrada en la que los elementos a ambos lados de la diagonal principal son opuestos (iguales, pero con distinto signo). Matriz diagonal: matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son cero. Matriz escalar: matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son cero y los elementos de la diagonal principal son iguales . Ejemplo:

Traspuesta: La matriz traspuesta de una matriz A se denota por At y se obtiene cambiando sus filas por columnas (o viceversa). Ejemplo:

Inversas: una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que: A*A-1= A-1 *A=IN, donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Ejemplo:

Escalar: es aquella matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal tienen el mismo valor. Ejemplo:

Suma: Proceso de combinar dos o más matrices en una matriz equivalente, representado por el símbolo +. La suma de matrices sólo se puede efectuar entre matrices con la misma dimensión, es decir, las que tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas. La matriz resultante tiene las mismas dimensiones, cada uno de cuyos elementos es la suma aritmética de los elementos en las posiciones correspondientes en las matrices originales. Ejemplo:

Resta: Para restar dos matrices, por lo tanto, se deben restar entre sí aquellos componentes que se sitúan en la misma posición. Tomemos el ejemplo de esta primera imagen, con sus dos matrices. En este caso, siguiendo con la definición que dimos líneas arriba, deberíamos completar los siguientes pasos para resolver la operación. Ejemplo:

Producto: Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. Ejemplo:

Potencia: Sea n un número natural (entero positivo), entonces la potencia n-ésima de la matriz A es igual al producto de sí misma n veces. Ejemplo: