Algebra Alfabetic

Algebra II A B C D

Probleme grele Probleme medii Probleme uşoare True / False

D 36

λ = 3 este una din valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y)=(3x+y, x+3y).

F

(1,1) si (1,0) formeaza un sistem liniar independent pentru că C 43

a. b. c. d.

pentru orice numere reale a,b avem ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0) exista numere reale a,b asa ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0) daca (0,0)=a(1,1)+b(1,0) pentru doua numere reale a,b atunci a=b=0 nu exista numere reale a,b asa ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0)

c

(1,2) este combinatie liniara de (1,1) si (1,0) pentru ca C 42

a. b. c. d.

pentru orice numere reale a,b avem ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0) exista numere reale a,b asa ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0) daca (1,2)=a(1,1)+b(1,0) atunci a=b =0 nu exista numere reale a,b asa ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)

D 35

1, 2 si 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(3x, 2x-y, x-y+z).

F

D 34

1, 2 şi 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(2x, x+3y, 3x+y+z).

T

3

Aflati coordonatele vectorului x = (1,1,1) , x ∈ ℜ in baza canonica din spatiul ℜ

b

3

C 36

a a. 1,1,1 b. 1,2,2

c. d.

2,2,2 1,0,1 3

Aflati coordonatele vectorului x = (1,1,1) , x ∈ ℜ in baza C 37

B = {ν 1 = ( 2, 2, −1) ,ν 2 = ( 2, −1, 2 ) ,ν 3 = ( −1, 2, 2 )} din spatiul ℜ3 a. -1/3,-1/3,-1/3 b. 1/3,1/3,1/3

c. d.

b

2/3,1/3,2/3 -1/6,1/3,1/3

Care dintre urmatoarele valori pentru parametrii a si b reali fac ca matricea de mai jos sa nu aiba rangul 3:

 a 1 2 4    1 b 2 3  1 2b 2 4   

C 92 a.

a = 1, b = 0

c.

a = b =1

b.

a = 1, b =

1 2

d.

a = 0, b = 1

1/29

b

Care este rangul matricii:

 −1 2   −2 4  −3 6   −5 12

C 94

a. 1

b.

1 0 2  2 2 0 3 2 2  6 4 4

2

c.

c d

3

d.

4

e.

5

Care este rangul matricii:

1 3 0 3 8     0 0 12 16 9   1 3 2 1 −1    1 3 −2 5 17   4 12 6 6 5   

C 95

a. 1

b.

2

c.

c

3

d.

4

e.

5

Care valoare a parametrului real λ face ca sistemul de mai jos sa aiba solutii nenule:

x + y + z + t = 0   x + (1 + λ ) y + z + t = 0  x + y + (2 + λ ) z + t = 0  x + y + z + (3 + λ ) t = 0 

C 99

a. λ = 2

b.

λ=1

c.

λ = −2

c

d.

λ = −3

Cat este 2(1,1)+3(0,1)? C 44

a. (2,4) b. (3,4)

c. d.

(2,5) (3,5)

c

2

Câte subspaţii vectoriale are R ? B 15

a. 1 b. 2

c. d.

niciunul o infinitate

d

3

Câte subspaţii vectoriale are R ? B 16

a. 1 b. 3

c. d.

niciunul o infinitate

d

Considerăm expresiile f ( x ) = 1 + cos x , g ( x ) = 1 + sin x , h ( x ) = 1 − sin x , elementele

A 17

 f (a) g (a) h (a)   a, b, c ∈ R şi matricea A =  f ( b ) g ( b ) h ( b )  . Determinantul matricei A este egal cu  f (c) g (c) h (c)    a. -1 b. 0

c. d. 4

D 26

b

1 10

2

Daca f :
→
, f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( 2 x1 − x2 − x3 , x1 + 3 x2 + x4 ) , atunci f este o aplicatie liniara de
– spatii vectoriale.

2/29

T

D 22

D 13 D 18

 z w    z , w ∈   ⊂ M 2 (  ) , atunci nu este un
– subspatiu al M 2 (  ) .  − w z  

Daca N = 

F

K − spaţiu vectorial, aplicaţia identică, 1V : V → V ,1V ( x ) = x nu este transformare

Dacă V este un liniară.

Dacă V este un K – spaţiu vectorial de dimensiune n ≥ 1 , atunci V  K . n

F T

Dacă V şi V ′ sunt două spaţii vectoriale peste corpul K , aplicaţia

0 : V → V ′, 0 ( x ) = θ ′, ∀x ∈ V ,

D 12 unde

θ ′ este vectorul zero a lui V ′

F

nu este transformare liniară de la V la V ′ .

Dacă A este o matrice cu 3 linii şi trei coloane cu toate elementele egale cu 1 sau -1 , iar D=det(A) care din următoarele afirmaţii este adevărată? b

A 12 a. D este divizibil cu 3 b. D este divizibil cu 4

c. d.

D este divizibil cu 5 D este divizibil cu 6

Determinati a real astfel încât matricea de mai jos sa nu fie inversabila:

 2 −1 0     a 1 3  1 0 2  

C 93

a.

a=

1 2

b.

a=

3 4

d a c.

a=

2 3

d.

a=−

1 2

Determinati parametrii a si b reali astfel încât matricea de mai jos sa aiba rangul 2:

 a 1 2 4    1 b 2 3  1 2b 2 4   

C 91

1 2 b. a = 1, b = 1 a.

a = 1, b =

c.

a = 0, b = 1

d.

a=b=0

a

Determinati x ∈ R astfel încât sistemul de mai jos sa fie compatibil:

a + b + 3c + d = 4  3a + b − 4c − d = 3 a − b − 4c − 3d = x 

C 84

a.

x=0 1

b.

x

x = −3

E

c.

x=5

x = −5

d.

e.

x=7

x

1 x = 0 are solutiile x x 1

Ecuatia x C 89 a.

x1 = x2 = x3 = 1

c.

x1 = x2 = 1, x3 = −

b.

1 x1 = 1, x2 = , x3 = 2 2

d.

x1 = x2 = 1, x3 =

3/29

1 2

1 2

c

1

x

x

Ecuatia x

1

x = 0 are solutiile

x C 90

x 1

a.

x1 = x2 = x3 = 1

c.

x1 = x2 = 1, x3 = −

b.

1 x1 = 1, x2 = , x3 = 2 2

d.

x1 = x2 = 1, x3 =

c

1 2

1 2

 2 a + b + c + 2 d + 2e = 2  compatibil? D 40 Este sistemul  a + 2b + c − d + e = 4 2a + 2b + c + 3d + e = −2  3

C

8

Fie f : R → R canonică este

3

, f ( x, y, z ) = ( x − y + z, y + z, x − z ) . Suma elementelor matricii lui f în baza c

a. 1 b. 2

c. d. 4

T

3 4

2

Fie f : R → R , f ( x, y , z , t ) = ( 2 x − y − z , x + 3 y + t ) .Câte elemente are o bază a subspaţiului C

6

vectorial Kerf ? a. 1 b. 2

b c. d.

4

3 4

2

Fie f : R → R , f ( x, y , z , t ) = ( 2 x − y − z , x + 3 y + t ) .Câte elemente are o bază a subspaţiului C

7

vectorial Im f ? a. 1 b. 2

b c. d.

   5 D 37 Fie L = ( a, b, c, d , e ) ∈
   Fie D

8

{

T

}

{

}

Y = f ∈ V f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈
. Atunci X si Y sunt subspaţii vectoriale ale
− spaţiului

T

V =

si V = X ⊕ Y .

Fie V şi V ′ două K – spaţii vectoriale şi f : V → V ′ o transformare liniară. Avem:

f (θ ) = θ ′, f ( − x ) = − f ( x ) , oricare ar fi x ∈ V . Fie V şi V ′ două

D 15

 a+b+e = 0    a − c + d + e = 0  5   Atunci L este subspatiu vectorial al lui
2 a − e = 0    3a − c + d = o 

V =

= { f f :
→
} , X = f ∈ V f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈
si

vectorial D 14

3 4

def

{

T

K – spaţii vectoriale şi f : V → V ′ o transformare liniară. Avem: def

}

Ker ( f ) = x ∈ V f ( x ) = θ ′ nu este subspaţiu al lui V , iar Im ( f ) = { f ( x ) x ∈ V } este

F

subspaţiu al lui V. D 17

Fie V şi V ′ două K – spaţii vectoriale şi f : V → V ′ o transformare liniară de la V la V ′ . Dacă ,

dim K V = n < ∞ , atunci dim K ( Ker ( f ) ) + dim K ( Im ( f ) ) = n = dim K V . 4/29

T

D 16

K – spaţii vectoriale şi f : V → V ′ o transformare liniară. Avem: f este aplicaţie injectivă dacă şi numai dacă Ker ( f ) = O = {θ } .

Fie V şi V ′ două

{

6

}

Fie V =
şi N = x ∈
x = ( x1 ,..., xn −1 , 0 ) . Atunci N este un subspaţiu vectorial al n

D

T

n

T

n


– spaţiului vectorial V =
. D 10

Fie V un spaţiu vectorial nenul de dimensiune finită şi u1 , u2 ,..., un un sistem finit de generatori pentru

V . Atunci există o bază B a lui V astfel incat B ⊆ {u1 , u2 ,..., un } .

{

n

D

7

}

Fie V =
, n ≥ 2 şi N = x ∈
x = ( x1 , x2 ,..., xn ) , 2 x1 = x2 . Atunci N este subspaţiu n

T

T

n

vectorial al lui
. 3

3

Fie T :
→
, T ( x ) = ( x1 − x2 , x3 , − x3 ) , atunci C 59

a.

ker T = {( a, a, 0 ) a ∈
}

c.

ker T = {( a, a, a ) a ∈
}

b.

ker T = {(1, a, 0 ) a ∈
}

d.

ker T = {( a,1, 0 ) a ∈
}

3

a

3

Fie T :
→
, T ( x ) = ( x1 − x2 , x3 , − x3 ) , atunci C 60

a. dim ker T = 1 b. dim ker T = 2 3

c. d.

a

dim ker T = 3 alt raspuns

3

Fie T :
→
, T ( x ) = ( x1 − x2 , x3 , − x3 ) , atunci C 61

a. dim Im T = 1 b. dim Im T = 2 3

c. d.

b

dim Im T = 3 alt raspuns

3

Fie T :
→
, T ( x ) = ( x1 − x2 , x3 , − x3 ) , atunci C 62

a.

Im T = {( a, b, −b ) a, b ∈
}

c.

Im T = {( −a, b, −b ) a, b ∈
}

b.

Im T = {( a, b, b ) a, b ∈
}

d.

alt raspuns

3

a

3

Fie T :
→
, T ( x ) = ( x1 − x2 , x3 , − x3 ) , atunci o baza pentru ImT o constituie C 63

a. b.

{e = (1, 0, 0 ) , e = ( 0,1, −1)} {e = (1, 0, 0 ) , e = ( 0,1,1)} 2

3

c.

{e = (1, 0, 0 ) , e = ( 0,1, 0 )}

2

3

d.

alt raspuns

2

2

2

Fie f : R → R , f ( x, y ) = ( 2 x + ay, bx + y ) , a, b ∈  , şi c ∈ R astfel încat f A

1

a + b + c este a. 2 b. 4

a

3

 f = cf . Suma c

c. d.

6 8

5/29

   5 Fie L = ( a, b, c, d , e ) ∈ R   C 75 

a + b + e = 0    a − c + d + e = 0   .  2a − e = 0  3a − c + d = 0  

a. Dimensiunea lui L este 1 b. Dimensiunea lui L este 2

d. e.

b Dimensiunea lui L este 4 L nu e subspatiu vectorial al lui R5

c. Dimensiunea lui L este 3 D 23

Fie L =

{( x, y ) ∈


2

x = y} . Atunci L este subspatiu vectorial al spatiului (
2 , +,.) peste corpul



D 24

T

numerelor reale.

 a b  , b + d = 0, a, b, c, d ∈
 . Atunci L este subspatiu vectorial al c d 

Fie L =  A ∈ M 2 (
) A = 



(

T

)

spatiului M 2 (
) , +,. peste corpul numerelor reale. D 25 D 20

3

2

Fie f :
→
, f ( x, y, z ) = ( 2 x + y − z ,3 x + 2 y + 4 z ) . Atunci f nu este aplicatie liniara.

{

[ ]

Fie V = f ∈
X

}

f = a + bX + cX 2 cu a, b, c ∈
. Atunci V nu este spaţiu vectorial în raport

cu operaţia de adunare a polinoamelor şi de înmulţire a polinoamelor cu scalari 3

D

4

Fie ν 1 ,ν 2 ,ν 3 ∈
,

F F

α ∈
.

ν 1 = (1,1, 0 ) , ν 2 = ( 0,1,1) , ν 3 = (1, 0,1) . Avem ind K (ν 1 ,ν 2 ,ν 3 ) în
- spatiul

3

T

vectorial
.

 −4 0 2    Fie A = 0 1 0 ∈ M 3 (  ) . Matricea Jordan J A asemenea cu A este:    5 1 3   C 105

b

 −1 0 0    a.  0 2 1  0 0 2  

b.

 −2 0 0     0 1 1  0 0 1  

c.

 −1 0 0     0 1 1  0 0 1  

 2 −1 −1    Fie A = −1 2 −1 ∈ M 3 (  ) . Matricea Jordan J A , A ≈ J A este:    −1 −1 2    C 106

a

0 0 0   a. 0 3 0 0 0 3  

b.

1 0 0   0 3 0 0 0 3  

c.

3 0 0   0 1 0 0 0 1  

ˆ X + X + 2ˆ X + 4, ˆ g = 2ˆ X + 3ˆ X + 1ˆ . Restul împărţirii polinomului Fie f , g ∈ Z 5 X , f = 3 5

[ ]

C 22

3

3

2

polinomul g este a.

2ˆ

f la c

b.

ˆ 3X

c.

6/29

3ˆ X + 2ˆ

4

2

Fie f : R → R , f ( x, y , z , t ) = ( 2 x − y − z , x + 3 y + t ) . Suma elementelor matricii lui f în baza C

5

canonică este

b

a. 2 b. 5

c. d. 2

6 8

2

Fie f : R → R , f ( x, y ) = ( 2 x + y ,3 x + y ) . Suma elementelor matricii lui C

f în baza canonică este

4

d a. 1 b. 3

c. d.

5 7

Fie A o matrice cu coeficienti complecsi. Aratati ca, daca exista k ≥ 2 astfel incat A = 0 , atunci matricea este inversabila si avem k

A

2

a. b.

−1

( I − A) = I + A + A2 + ... + Ak −1 −1 ( I − A) = I + A2 + ... + Ak −1

−1

c.

( I − A)

d.

alt raspuns

= A + A2 + ... + Ak −1

a

Fie A, B, C matrice astfel încât AB = AC. Se considera afirmatiile: C 96

b

a. B = C daca A e inversabila b. B = C totdeauna c. B nu este egala cu C niciodata Fie L = {(a,b,c,d) ∈ R4 | a+2b+2c+5d = 0} si S = {(a,b,c,d) ∈ R4 | -a+b-2d = 0} subspatii vectoriale ale lui R4. Atunci dimR(L ∩ S) este egala cu:

C 76

b a. 1 b. 2

c. d.

3 4

Fie L = {(a,b,c,d) ∈ R4 | a+2b+2c+5d = 0} si S = {(a,b,c,d) ∈ R4 | -a+b-2d = 0} subspatii vectoriale ale lui R4. Atunci dimR(L + S) este egala cu: C 77

d a. 1 b. 2

c. d.

 x  Fie maticea A = 1   4a 2 A 16  a. 1 b. 2

 x −y

B 32

1

1  x 1  , a ∈ R . Câte rădăcini reale are ecuaţia det ( A ) = 0 ? −5a 4 x  c. d.

Fie matricea X = 

9

c. d.

c. d.

c

5 6

 2 2 3   Fie matricea A = 1 −1 0 , a ∈ R . a pentru care rangul matricii A este 2 este    −1 2 a    a. 0,25 b. 0,5

a?

3 4

y 2  , x, y ∈ R+ astfel încât X − 4 X + 13I 2 = 02 . Valoarea sumei x + y este x

a. 3 b. 4

C

3 4

0,75 1

7/29

c

B

2

 2 2 3   Fie matricea A = 1 −1 0 , a ∈ R . a pentru care matricea este inversabilă este    −1 2 a    a. 0 b. 0,5

c. d.

c

0,75 1

a 1 2 2 2  , a, b ∈ R . Calculaţi a + b astfel încât ( A − I 2 ) = 02  b 0

Fie matricea A =  A

d

5 a. 2

c.

4

b. 3

d.

5

Fie matricea

B

4

a. b. c.

 a 0 * A=  . Daca A este matricea adjuncta a matricei A, sa se arate ca b 1

* n

*

n

= An ( A* ) = ( A* ) An , n ∈ 

* n

*

n

= An −1 ( A* ) = ( A* ) An −1 , n ∈ 

* n

*

n

= An ( A* )

( A ⋅ A ) = ( A ⋅ A) ( A ⋅ A ) = ( A ⋅ A) ( A ⋅ A ) = ( A ⋅ A)

Fie matricea B 23 a. 0 b. 1

n

n

n

n +1

n

= ( A* )

n +1

An , n ∈ 

2 1 2 2003 A=  . Determinantul matricei X = A + A + ... + A este − 3 − 1   c. d.

c. d.

( λ + 1)

3

a

2004 2007

 3 0 8   Fie matricea 3 −1 6 . Determinati PA ( λ )    −2 0 −5    B 13 3 2 a. − ( λ + 1) c. − ( λ + 1) b.

b

2003 2007

1 0 0   2 2004 Fie matricea A = 1 −1 0 . Determinantul matricei X = A + A + ... + A este   B 21 0 0 1   a. 0 b. 1

a

d.

− ( λ − 1)

3

8/29

a?

 3 0 8   Fie matricea 3 −1 6 . Determinati matricea Jordan    −2 0 −5   

B 14

 −1 0 0    a.  0 −1 0   0 1 −1  

 −1 0 0    b.  0 −1 0   0 0 −1  

c.

 −1 0 0     0 −1 0   0 0 0  

d.

0 0 0     0 −1 0   0 1 −1  

b

8 9 9   Fie matricea A = −3 −2 5 . Matricea Jordan J A astfel încât A ≈ J A este:    3 4 −3    C 103

a

 −1 0 0    a.  0 2 1  0 0 2  

b.

 −2 0 0     0 2 1  0 0 2  

c.

 4 6 0   Fie matricea −3 −5 0 . Matricei Jordan asociată matricei A este    −3 −6 1     −2 0 0   −2 1 1      c. B 10 a.  0 1 0   0 1 0  0 0 1  1 0 1      −2 1 0    b.  0 1 0  1 0 1  

C 104

d.

 −1 0 0     0 1 1  0 0 1  

a

 −2 0 0     1 1 0  1 1 1  

8 9 9   Fie matricea A = −3 −2 5 . Polinomul caracteristic al lui A este:    3 4 −3    a.

X 3 − 6X + 4

c.

X 3 − 3X 2 + 4

b.

X 3 − 6X 2 + 4

d.

X 3 − 6 X 2 + 3X + 4

9/29

c

 1ˆ 2ˆ  ˆ αˆ Fie matricea A =  2  A 20  0ˆ 2ˆ  a.

α = 1ˆ

−1ˆ 1ˆ   1ˆ −1ˆ  ∈ M 3,2 ( Z 5 ) . Rangul matricei A este 2 daca  3ˆ 2ˆ  b.

 1ˆ 2ˆ  ˆ αˆ Fie matricea A =  2 ˆ ˆ A 21 0 2  a.

α ≠ 1ˆ

α = 0ˆ

c.

α = 3ˆ

−1ˆ 1ˆ   1ˆ −1ˆ  ∈ M 3,2 ( Z 5 ) . Rangul matricei A este 3 daca  3ˆ 2ˆ  b.

α ≠ 0ˆ

c.

c. d.

a

α ≠ 3ˆ

3 2 1   Fie matricea A = 6 4 2 . Rangul matricei este   9 6 3 C 29   a. 0 b. 1

b?

b

2 3

 2ˆ 0ˆ αˆ    ˆ  ∈ M ( Z ) . Sa se determine α ∈ Z astfel incat matricea A sa fie Fie matricea A =  1ˆ 1ˆ 0 3 3 3 ˆ   0 αˆ 1ˆ  A 22  

b

inversabila a.

α = 1ˆ

b.

α = 0ˆ

c.

α = 2ˆ

 1 1 1   10 Fie matricea A = 0 1 1 . Suma elementelor matricei A este    0 0 1 B 33   a. 0 b. 18

c. d.

78 98

1 i *  . Suma elementelor matricei A este − i 0  

Fie matricea A =  B

3 a. 0 b. 1

c

c. d.

b

i -i

 8 4  . Suma elementelor matricei Jordan asociată matricei A este  −4 0 

Fie matricea A =  B

5 a. 8 b. 11

c. d.

9 14

10/29

c

B

6

1 2 0   Fie matricea A = 0 2 0  . Suma elementelor matricei Jordan asociată matricei A este   −2 −2 −1   a. 2 b. 9

B

9

c. d.

7 11

 4 6 0   Fie matricea −3 −5 0 . Suma elementelor matricei Jordan asociată matricei A este    −3 −6 1    a. 0 b. 4

c. d.

c. d.

c. d.

d

7 0

 1 −1 2    Fie matricea 3 −3 6 . Suma elementelor matricei Jordan asociată matricei A este   B 12  2 −2 4    a. 2 b. 6

a

-4 8

 9 22 −6    Fie matricea −1 −4 1 . Suma elementelor matricei Jordan asociată matricei A este   B 11  8 16 −5    a. 6 b. 8

a

a

7 8

1 1  . Suma elementelor matricei Jordan asociată matricei A este  −1 −1

Fie matricea A =  C 25 a. -2 b. 0

A

4

c. d.

x− p  Fie matricea A =  r  q  det ( A ) = 0 este

c

1 2

q x− p r

r   q  , p, q, r ∈ R . Suma pătratelor radacinilor ecuaţiei x − p  a

a.

6qr + 3 p 2

c.

0

b.

3 pq

d.

p+q

1 2  . Suma valorilor proprii asociate matricei A este  2 4

Fie matricea A =  C 20 a. 2 b. 3

c. d.

4 5

11/29

d

1 0 0   Fie matricea A = 0 0 0 . Suma valorilor proprii asociate matricei A este   2 2 1 C 21   a. -1 b. 0

c. d.

d

1 2

1 5  . Suma valorilor proprii asociate matricei A este 0 0

Fie matricea A =  C 23 a. -1 b. 0

c. d.

1 2

 2 −1 −1   Fie matricea A = −1 2 −1 . Suma valorilor proprii asociate matricei A este    −1 −1 2  C 24   a. 0 b. 1

c. d.

d? c

d

2 6

 0 −a   , a ≠ 0 . Suma valorilor proprii asociate matricei A este a 0 

Fie matricea A =  C 32 a. 0 b. 4

c. d.

a

5 7

a b 2  , a, b, c, d ∈ R . Valoarea expresiei A − ( a + d ) A + ( ad − bc ) I 2 este c d  

Fie matricea A =  A 18 a. -1 b. 0

c. d.

b

1 3

 0 −a   , a ≠ 0 . Valorile proprii asociate matricei A sunt a 0 

Fie matricea A =  C 33

a a.

λ1 = ai, λ2 = −ai

c.

λ1 = ai, λ2 = −a

b.

λ1 = ai, λ2 = ai

d.

alt raspuns

 0 −a   , a ≠ 0 . Vectorii proprii asociati valorilor proprii ale matricei A sunt a 0 

Fie matricea A = 

C 34

a.

λ1 = −ai,ν = (α , iα ) , α ≠ 0

c.

λ2 = ai, nu are vectori proprii b.

λ1 = ai,ν = ( −α , −iα ) , α ≠ 0

λ2 = −ai, nu are vectori proprii

λ1 = ai,ν = ( −α , iα ) , α ≠ 0

d.

λ2 = −ai, nu are vectori proprii

12/29

alt raspuns

d

1 0 0   −1 Fie matricea A = 1 −1 0 .Suma elementelor matricei A este   B 22 0 0 1   a. 0 b. 1

c. d.

d a

-1 2

Fie En matricea patratica de ordinul n ale carei elemente sunt toate egale cu 1. Sa se arate ca I n − En este inversabila si avem (unde In este matricea unitate de ordinul n) A 11

1 En n −1 1 −1 En b. ( I n − En ) = I n + n −1

a.

( I n − En )

−1

= In −

c.

( I n − En )

d.

alt raspuns

−1

= In −

1 En 2n + 1

 2 2 * n  şi n ∈ N , n > 1 . Atunci det ( I 2 + A ) este  −2 −2 

Fie matricea A =  B 24 a. 0 b. 1

c. d.

a

b

-1 10

a 0 a   * Fie matricea A = 0 0 0 , a ∈ R şi a este un numar real nenul. Sa se determine a astfel incat   a 0 a   n egalitatea A = A sa aiba loc pentru un anumit numar natural n. a. A 19

b.

1 a = , daca n ∈ * si in plus 2 1 a = − , daca n este impar 2

c.

a = −1, daca n ∈ * si in plus

c? a

a = 1, daca n este impar

a = 1, daca n ∈ * si in plus 1 a = − , daca n este impar 2 1 1 2 2004 2005  şi matricea X = A + A + ... + A − A . Care din următoarele afirmaţii 2 2  

Fie matricea A =  este adevărată ? B 25

a. X are si elementestrict pozitive si

c.

X are toate elementele strict negative

c

elemente strict negative b. X are toate elementele strict pozitive

a b c   Fie matricea A = b c a unde a,b,c sunt rădăcinile ecuaţiei   c a b   A 13 3 2 X − 2 X + 2 X + 17 = 0 . Determinantul matricei A este a. 4 b. -4

c. d.

3 -3

13/29

a

a b c   Fie matricea A = b c a unde a,b,c sunt rădăcinile ecuaţiei   c a b   3 2 mX + X + ( m − 1) X + 3 = 0, m ∈ R* . A 14 Notăm D ( m ) determinantul matricei A. Atunci lim mD ( m ) este

c

m →∞

a. -1 b. 1

A

A

6

7

c. d.

-3 3

 α1 0 0 0 0    0 α2 0 0 0   Fie matricea urmatoare, de ordin n, este inversabila daca          0 0 0 0 αn  a.

α i ≠ 0, i = 1, n

c.

α i ≠ 1, i = 1, n

b.

α i = 0, i = 1, n

d.

alt raspuns

 0 0 0 0 α1    0 0 0 α2 0   este inversabila daca Fie matricea urmatoare, de ordin n,         αn 0 0 0 0  a.

α i ≠ 0, i = 1, n

c.

α i ≠ 1, i = 1, n

b.

α i = 0, i = 1, n

d.

alt raspuns

3 2 1 1     Fie matricile A = 6 4 2 , X = 2 , Y = ( 3, 2,1) . Suma elementelor matricei S = A − XY este     9 6 3  3 C 30     a. 0 b. 1

C 27

c. d.

n

care ( AB ) = 03 . Atunci n este c. d.

a

a

-1 2

1 0 0 0 1 0     Fie matricile A = 0 1 0 şi B = 0 0 0 . Notăm cu n cel mai mic număr natural nenul pentru     0 0 0 1 0 0    

a. 2 b. 3

a

4 5

14/29

a

C 28

1 0 0 0 1 0     Fie matricile A = 0 1 0 şi B = 0 0 0 . Notăm cu p cel mai mic număr natural nenul pentru     0 0 0 1 0 0     care

( BA)

n

= 03 . Atunci p este

a. 2 b. 3

c. d.

b

4 5

Fie A∈ M n (  ) o matrice. Daca x este un vector propriu, atunci se considera afirmatiile: 1. x e vector propriu al matricii A-1 (daca exista) 2. x e vector propriu al matricii A2 3. x e vector propriu al matricii Ak , k numar natural. C 102 Alegeti varianta corecta: a. 1 e adevarata, 2 si 3 sunt false b. 2 si 3 sunt adevarate, 1 e falsa c. 1 si 2 sunt adevarate, 3 e falsa 5

4

E d. e.

1, 2 si 3 sunt false 1, 2 si 3 sunt adevarate

3

Fie polinomul f = X + 15 X + 20 X − 40 X + 35 . Care din următoarele afirmaţii este adevarată? C 18

a. polinomul are rădăcini întregi

c.

c

polinomul nu are rădăcini raţionale

b. polinomul are rădăcini raţionale 3

Fie polinomul f = X − X + 1 . Care din următoarele afirmaţii este adevarată? C 19

a. polinomul are rădăcini întregi

c.

b

polinomul are radăcini raţionale

b. polinomul nu are rădăcini întregi Fie V = M 2 ( R ) si A ∈ V o matrice fixată. Fie fucnţia f : V → V , f ( X ) = A X − X A . Care din T

T

următoarele afirmaţii este adevărată? a

A 15 a.

f este morfism de spatii vectoriale

b.

f nu este morfism de spatii vectoriale

f este izomorfism de spatii vectoriale pentru orice matrice A

− a + 3b = 0   a + 2b − xc = 0} si S = ( a, b, c ) ∈ R 3   doua subspatii 2a + xb + 3c = 0   vectoriale ale lui R3. Sa se afle x ∈ R astfel incat suma L + S sa fie directa. Fie L =

C 82

c.

{( a, b, c ) ∈ R

3

a. nu exista nici un x care sa verifice cerinta b. x este orice numar real

c. d.

doar x=1 verifica conditia doar x ∈ {1,2,3} verifica conditia

x + y + z + t = 1  Fie sistemul  y + z + t = 0 şi A matricea sistemului. Suma elementelor matricei I 3 A este z + t = 0 C 26  a. 1 b. 3

c. d.

9 12

15/29

b

c

x + y + z + t = 1  Fie sistemul  y + z + t = 0 şi A matricea sitemului. Câte soluţii are ecuaţia AX = I 3 ? B 19 z + t = 0  a. una b. douã

A 24

c. d.

d a

niciuna o infinitate

a − 2b − 2c − 2d − e = 0  . Care din următoarele afirmaţii este adevărată ? Fie sistemul  a − b − c − 3d + e = 1 a + b − 5c − d + 7e = 2  a. sistemul este incompatibil

c.

c

sistemul are o infinitate de soluţii

b. sistemul are o soluţie unică

x + y + z + t = 1  şi A matricea sistemului. Câte soluţii are ecuaţia XA = I 3 ? Fie sistemul  y + z + t = 0 B 20 z + t = 0  a. una b. douã

c. d.

niciuna o infinitate

{( a , a ,..., a ) a

Fie spatiul vectorial V =

1

2

n

1

= an } . Determinati dim K n V

C 64

? a. n-1 b. n

c. d.

Fie spatiul vectorial

C 65

n+1 n-2

V = { A ∈ M 2 (
) TrA = 0} . O baza a acestui spatiu este

a.

 1 0   1 1  1 0    , ,   0 −1  0 0  1 0  

c.

 1 0   1 −1 1 0    , ,   0 −1  0 0  1 0  

b.

 1 0   −1 −1  1 0    , ,  0 − 1 0 0     1 0   

d.

 1 0   1 1   −1 0    , ,  0 − 1 0 0      −1 0   

Fie spatiul vectorial

C 66

c

a.

{1, T

b.

{1, T , T

2

{

}

V = f ∈ R [T ] f (T ) = f ( −T ) . O baza a acestui spatiu este

, T 4 ,..., T 2 k } , k ≤ 3

?

,..., T k } , k ≤

{

n 2

n 2

c.

{T , T

d.

{1, T , T

2

, T 4 ,..., T 2 k } , k ≤ 5

,..., T k +1} , k ≤

n 2

a

n 2

[ ] f (T ) = − f ( −T )} . O baza a acestui spatiu este

Fie spatiul vectorial V = f ∈ R T C 67

a. b.

{T , T , T ,..., T } {1, T , T ,..., T } 3

5

3

2 k +1

k

c. d.

16/29

{T , T , T ,..., T } {1, T , T ,..., T } 2

4

5

2k

k +1

a

Fie spatiul vectorial Vn = multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi. Determinati dim  Vn C 68

a. n+1 b. n

c. d.

a?

n-1 n+2

Fie spatiul vectorial Vn = multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi. O baza a acestui spatiu vectorial este C 69

a. b.

{1, X − a, ( X − a ) ,..., ( X − a ) } { X − a, ( X − a ) ,..., ( X − a ) } 2

n

2

c.

n

d.

{1, X − a, ( X − a ) ,..., ( X − a ) } { X − a, ( X − a ) ,..., ( X − a ) } 2

3

2n

a

n +3

3

Fie spaţiul vectorial R peste corpul numerelor reale şi subspaţiul vectorial C

3

W = {( x, y, z ) 3x + 2 y + z = 0} . Dimensiunea lui W este a. 1 b. 2

c. d.

b

3 infinit

3

Fie spaţiul vectorial R peste corpul numerelor reale şi vectorii a = (1,1, 0 ) , b = ( 2, 0,1) şi C

2

d = ( 3, k , 2 ) . k pentru care vectorul d aparţine subspaţiului generat de a şi b este a. 0 b. -1

c. d.

b

nu existã oricare element real

3

Fie spaţiul vectorial real R şi bazele

B1 = {(1,1, 0 ) , (1, 0,1) , ( 0, 0,1)} , B2 = {(1, 2,3) , (1,1,1) , (1, 0,1)} . Linia 2 a matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este a

B 30 a.

2, 0, −1

c.

−1, 0, −1

b.

1 1 , 0, 2 2

d.

−1,1,

1 2

3

Fie spaţiul vectorial real R şi bazele

B1 = {(1,1, 0 ) , (1, 0,1) , ( 0, 0,1)} , B2 = {(1, 2,3) , (1,1,1) , (1, 0,1)} . Linia 3 a matricei de trecere de la baza B la baza B2 este c?

B 31 a.

2, 0, −1

c.

−1, 0, −1

b.

1 1 − ,1, 2 2

d.

−1,1,

1 2

3

Fie spaţiul vectorial real R şi bazele

B1 = {(1,1, 0 ) , (1, 0,1) , ( 0, 0,1)} , B2 = {(1, 2,3) , (1,1,1) , (1, 0,1)} . Linia 1 a matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este B 29

1 1 a. − , 0, 2 2 1 1 , 0, b. 2 2

c. d.

1 1 − , 0, − 2 2 1 1 − ,1, 2 2 17/29

b

3

Fie spaţiul vectorial real R şi bazele

B1 = {(1,1, 0 ) , (1, 0,1) , ( 0, 0,1)} , B2 = {(1, 2,3) , (1,1,1) , (1, 0,1)} . Suma elementelor matricei de B 28

trecere de la baza B1 la baza B2 este a. -1 b. 0

c. d. 3

a 1 2

3

Fie f : R → R , f ( x, y , z ) = ( x − y + z , y + z , x − z ) şi baza B = {u , v, w} unde B

1

u = (1,1,1) , v = ( 0,1,1) , w = ( 0, 0,1) . Suma elementelor matricii lui f în baza B este a. -2 b. 0

c. d.

c

1 2

Fie V = M 2 ( R ) şi A ∈ V o matrice fixată. Fie funcţia f : V → V , f ( X ) = AX − XA . Care din următoarele afirmaţii este adevărată? a

B 26 a. f este morfism de spaţii vectoriale

c.

f este izomorfism de spaţii vectoriale pentru orice matrice A

b. f nu este morfism de spaţii vectoriale D 11

K – spaţiu vectorial de dimensiune n ∈ * şi v ∈ V , v ≠ θ . Există o bază B a lui V astfel încât v ∈ B s. Fie V un

T

Fie V spaţiul vectorial peste corpul numerelor reale al polinoamelor de grad mai mic sau egal cu 3 cu coeficienţi reali. Sistemul C

1

S = { X , x + 2, X 3 + 3} este a

a. sistem liniar independent si nu este sistem de generatori b. sistem de generatori si nu este sistem liniar independent c. baza pentru spatiul vectorial V d. nici unul din raspunsurile anterioare Fie V un K - spaţiu vectorial. Atunci

T

D

2

( −a ) x = a ( − x ) = −ax şi ( −a )( − x ) = ax , oricare ar fi a ∈ K

D

1

Fie V un K - spaţiu vectorial. Atunci 0x = aθ = θ , oricare ar fi a ∈ K şi x ∈ V .

T

D

3

Fie V un K - spaţiu vectorial. Dacă ax = θ , atunci a = 0 sau x = θ .

T

şi x ∈ V .

Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f : V → V o aplicatie liniara astfel incat f o f = f, iar functia g = 1V - f (unde 1V e functia identitate). Atunci C 70

b a. g o g = 1V b. g o g = g

c. d.

gog=f g o g = OV (functia nula pe V)

Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f : V → V o aplicatie liniara astfel incat f o f = f, iar functia g = 1V - f (unde 1V e functia identitate). Atunci C 71

d a. f o g = f b. f o g = g

c. d.

f o g = 1V f o g = OV (functia nula pe V)

Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f : V → V o aplicatie liniara astfel incat f o f = f, iar functia g = 1V - f (unde 1V e functia identitate). Atunci C 73

a a. g o f = OV (functia nula in V) b. g o f = 1V

c. d.

18/29

gof=g gof=f

Fie V un spaţiu vectorial real şi

f , g : V → V morfisme de spaţii vectoriale. Atunci relaţia

f  g − g  f = 1V este posibilă numai dacă A

b

8

dimV = ∞ b. dim V = 1 a.

c. d.

dim V = 3 dimV < ∞

2

Fie vectorii ν 1 ,ν 2 ∈ R , ν 1 = (1, 2 ) si ν 2 = ( 3, 4 ) . Să se scrie vectorul ν = ( 4, 2 ) ca o combinaţie liniară a valorilor ν 1 ,ν 2 . C 38

a a.

ν = −5ν 1 + 3ν 2

c.

ν = 3ν 1 + 5ν 2

b.

ν = 5ν 1 + 3ν 2

d.

ν = −5ν 1 − 3ν 2

2

Fie vectorii ν 1 ,ν 2 ∈ R , ν 1 = (1, 2 ) si ν 2 = ( 3, 4 ) . Să se scrie vectorul ν = ( 5,8 ) ca o combinaţie C 39

D 27

liniară a valorilor ν 1 ,ν 2 . a.

ν = 2ν 1 +ν 2

c.

ν = −2ν 1 +ν 2

b.

ν = 2ν 1 −ν 2

d.

ν = −ν 1 +ν 2

Fie vectorii b1 = ( 2,

c a?

4, 5 ) , b2 = ( −1, 1, 0 ) , b3 = ( −2, 0, 2 ) . B = {b1 , b2 , b3 } formeaza o

3

T

baza in
. 3

Fie vectorii din spatiul R :ν 1 = (1, 4, 2 ) ;ν 2 = ( −1, 2, 0 ) ;ν 3 = ( 3, 2,5 ) . Stabiliti daca C 41

a. vectorii sunt liniari dependenti

c.

vectorii sunt liniari independenti

b. multimea B = {ν 1 ,ν 2 } formeaza

d.

alt raspuns

o baza a spatiului R

c

3 3

Fie vectorii b1 = ( 2, 4,5 ) , b2 = ( −1,1, 0 ) , b3 = ( −2, 0, 2 ) şi B = {b1 , b2 , b3 } in bază R . Să se exprime vectorul ν = ( 2,1,3) ca o combinatie liniara în baza B = {b1 , b2 , b3 } C 40

3 13 3 b1 − b2 + b3 11 11 22 3 13 3 b. ν = b1 − b2 + b3 11 11 22

a.

ν =−

c. d.

6 13 3 b1 − b2 + b3 11 11 22 −6 13 3 ν = b1 − b2 + b3 11 11 22

ν=

c

In R-spatiul vectorial R3 se considera vectorii (m,2,1), (0,n,1), (m,1,3), m si n numere reale. Pentru ce valori ale lui m si n cei trei vecori sunt liniar independenti? C 74

? a. m = 0, n = 1 b. m = 1, n = 0

c. d.

m = 0, n = -1 m = -1, n = -1

19/29

3

În spaţiul vectorilor coloană
vectorii u1 , u2 , u3 ,

 1 1 1       u1 =  1 , u2 =  1  , u3 =  0  ,  1  0 0        2 −1 1    formează o bază. Dacă A ∈ M 3 (
), A = −3 2 1 şi B = ( u1 , u2 , u3 ) , atunci    0 −1 2    C 56 3

a.

b.

 2   f A ( u1 ) =  0  1   1   f A ( u1 ) =  0  1  

c.

d.

a

 2   f A ( u1 ) =  0   2   2   f A ( u1 ) =  0   −1  

3

În spaţiul vectorilor coloană
vectorii u1 , u2 , u3 ,

 1 1 1       u1 =  1 , u2 =  1  , u3 =  0  ,  1       0 0  2 −1 1    3 formează o bază. Dacă A ∈ M 3 (
), A = −3 2 1 şi B = ( u1 , u2 , u3 ) , atunci    0 −1 2    C 58

a.

b.

2   f A ( u3 ) =  −3  0   1   f A ( u3 ) =  0  1  

c.

d.

 2   f A ( u3 ) =  0   2   2   f A ( u3 ) =  0   −1  

20/29

a

3

În spaţiul vectorilor coloană
vectorii u1 , u2 , u3 ,

 1 1 1       u1 =  1 , u2 =  1  , u3 =  0  ,  1  0 0       D 19

 2 −1 1    formează o bază. Dacă A ∈ M 3 (
) , A = −3 2 1 şi B = ( u1 , u2 , u3 ) , atunci    0 −1 2     1 −1 0    M B ( f A ) =  −1 0 −3  2 2 5  

T

3

În spaţiul vectorilor coloană
vectorii , u1 , u2 , u3 ,

 1 1 1       u1 =  1 , u2 =  1  , u3 =  0  ,  1       0 0  2 −1 1    formeaza o bază. Dacă A ∈ M 3 (
), şi A = −3 2 1 si B = ( u1 , u2 , u3 ) , atunci    0 −1 2    C 57 3

a.

b.

1   f A ( u2 ) =  −1  −1   1   f A ( u2 ) =  0  1  

c.

d.

a

 2   f A ( u2 ) =  0   2   2   f A ( u2 ) =  0   −1   

3 1  . Atunci polinomul caracteristic al acestei 1 3

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este  C 50

transformari este

a

a.

P ( λ ) = ( 4 − λ )( 2 − λ )

c.

P ( λ ) = ( 5 − λ )( 2 − λ )

b.

P ( λ ) = ( 2 − λ )( 3 − λ )

d.

P ( λ ) = ( 4 − λ )( 7 − λ )

 3 2  . Atunci polinomul caracteristic al  2 3

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este  C 51

acestei transformari este

b

a.

P ( λ ) = ( 4 − λ )( 2 − λ )

c.

P ( λ ) = ( 5 − λ )( 2 − λ )

b.

P ( λ ) = ( 5 − λ )(1 − λ )

d.

P ( λ ) = ( 4 − λ )( 7 − λ )

21/29

 3 4  . Atunci polinomul caracteristic al  4 3

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este  C 52

acestei transformari este

b

a.

P ( λ ) = ( 4 − λ )( 2 − λ )

c.

P ( λ ) = ( 5 − λ )( 2 − λ )

b.

P ( λ ) = ( −1 − λ )( 7 − λ )

d.

P ( λ ) = ( 4 − λ )( 7 − λ )

 3 0,5   . Atunci polinomul caracteristic al 2 3 

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este  C 53

acestei transformari este

c

a.

P ( λ ) = λ 2 − 2λ + 6

c.

P ( λ ) = λ 2 − 6λ + 8

b.

P ( λ ) = λ 2 − 6λ + 6

d.

P ( λ ) = λ 2 − 6λ + 7

 3 0,5   . Atunci polinomul caracteristic al 2 3 

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este  C 54

acestei transformari este

a

a.

P ( λ ) = λ 2 − 6λ + 7

c.

P ( λ ) = λ 2 − 6λ + 8

b.

P ( λ ) = λ 2 − 6λ + 6

d.

P ( λ ) = λ 2 − 6λ + 3

D 38

Numerele 1,

3

2, 3 sunt liniar independente peste  ?

D 39

Numerele 1,

3

2,

3

F

22 sunt liniar independente peste  ?

O matrice A ∈ M n (  ) se numeste involutiva daca

T

A2 = I n . O matrice B ∈ M n (  ) se numeste

2

A

9

idempotenta daca B = B . Sa se arate ca daca B este o matrice idempotenta, atunci matricea 2 B − I n este a. involutiva

b.

idempotenta

c.

a

alt raspuns

2

O matrice A ∈ M n (  ) se numeste involutiva daca A = I n . O matrice B ∈ M n (  ) se numeste idempotenta daca A 10

1 ( A + I n ) este 2 a. involutiva

D

9

B 2 = B . Sa se arate ca daca A este o matrice involutiva, atunci matricea b

b.

idempotenta

c.

alt raspuns

Orice spaţiu vectorial V finit generat, diferit de spaţiul nul, admite cel puţin o bază. Toate bazele sale sunt finite şi au acelaşi număr de vectori.

T

Polinoamele f1 = ( X − b )( X − c ) , f 2 = ( X − a )( X − c ) , f 3 = ( X − a )( X − b ) , ( a, b, c ∈
) , D 21

formează o bază pentru spatiul vectorial V , unde

{

T

}

2

V = f ∈
[ X ] f = a + bX + cX cu a, b, c ∈
, dacă şi numai dacă ( a − b )( b − c )( c − a ) ≠ 0

22/29

b 1 2 4   Rangul matricei 1 a 2 3 este 2 pentru    1 2a 2 4    C 17 1 c. a = 1, b = 1 a. a = , b = 1 2 b. a = 2, b = 1 d. alt raspuns

1− x Rezolvati ecuatia:

0 x

0

a

x

1− 2x 0 =0 0 1 − 3x

C 88 a.

x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1

b.

x1 =

1 1 , x2 = , x3 = 0 2 2

c.

1 2 2 x1 = , x2 = 1 + , x3 = 1 − 2 2 2

d.

x1 =

c

2 2 2 , x2 = 1 + , x3 = 1 − 2 2 2

Sa se afle valorile lui a , pentru care sistemul urmator are solutii nenule

 x + 4 y + z − 2t = 0  2 x − 5 y − 4 z + 2t = 0   5 x + 3 y − 3z + 4t = 0  2 x − ay − 2 z = 0

C 16

a. 2/3 b. 1

c. d.

a

1/3 2

1 2  2 −1  1 −1 ⋅ X ⋅ =   2 3  −1 1   −1 0 

Sa se rezolve ecuatia matriciala X − 

C 10

a.

1 0   0 1

c.

 1 1    0 1

1 0   1 1 

d.

1 1   1 1

b. 

a

1 2 3   6 9 8 Sa se rezolve ecuatia matriciala X ⋅ 2 3 4 =      3 4 1 0 1 6   C 55

1 a.  1 1 b.  1

1 1  1 −1  1 1  1 1

c. d.

1  1 1  1

23/29

1 1 1 1

−1   −1  1  0

a

ˆ ∈ Z X să fie ireductibil Să se afle astfel a ∈ Z 7 încât polinomul X + aX + 5 7 6

B

[ ]

a

7 a.

C 78

a = 2ˆ

b.

a = 3ˆ

c.

a = 5ˆ

d.

nu exista

Se considera C - spatiul vectorial M2(C) al matricilor patratice cu 2 linii si 2 coloane, avand elemente numere complexe (spatiu vectorial in raport cu adunarea matricilor si inmultirea cu scalari numere complexe). Atunci dimCM2(C) este egala cu: a. 2 b. 4

c. d.

b

8 infinit

Se considera doua subspatii vectoriale L si S ale spatiului vectorial V peste corpul K. Suma lui L si S este directa daca: C 80

b? a. dimK(L+S) = dimKL+dimKS b. dimK(L ∩ S) = 0

c.

raspunsurile precedente sunt corecte

Se considera functiile f ( x ) = e , g ( x ) = e , h ( x ) = e . Aceste functii sunt liniar independente in Rax

C 72

bx

cx

spatiul vectorial V = {f | f : R → R} daca: a. a = b b. b = c

c. d.

d

a=c a, b, c sunt diferite doua cate doua

 z w    z , w ∈ C  ⊂ M 2 ( C ) (unde M 2 ( C ) este spatiul  − w z  

Se considera R - subspatiul vectorial L =  C 79

vectorial al matricilor patratice cu 2 linii si 2 coloane, având elemente numere complexe, in rapot cu adunarea matricilor si inmultirea cu scalari numere reale). Atunci dimRL este egala cu: a. 2 b. 4

c. d.

b

8 infinit

Se considera sistemul:

C 100

x + y = 3 x + 2 y = 5   2 x + y = 4 2 x + 3 y = 1

a? c

Atunci afirmatia corecta este: a. sistemul e compatibil determinat cu solutia x=1, y=2 b. sistemul e compatibil nedeterminat c. sistemul e incompatibil

24/29

Se considera sistemul:

 ma + b + c = 4   a + 2mb + c = 4  a + b + mc = 3  Atunci solutia lui, in cazul in care este compatibil determinat, este:

a=

( 4m − 3)( 2m − 1) , b = m − 2 , c = 6m2 − 12m + 5 2 ( m − 1) ( m 2 + m − 1) ( m2 + m − 1) 2 ( m − 1) ( m2 + m − 1)

b.

a=

( 2m − 3)( 2m − 1) , b = 4m − 3 , c = 6m2 − 12m + 5 2 ( m − 1) ( m 2 + m − 1) 2 ( m 2 + m − 1) 2 ( m − 1) ( m 2 + m − 1)

c.

a=

( 4m − 3)( 2m − 1) , b = 4m − 3 , c = 6m2 − 12m + 5 2 ( m − 1) ( m 2 + m − 1) 2 ( m 2 + m − 1) 2 ( m − 1) ( m 2 + m − 1)

a. C 101

c

Se considera un spatiu vectorial V de dimensiune n si o multime de m vectori liniar independenti din V. Atunci relatia intre m si n care sa exprime toate situatiile posibile este: a

C 83 a. m ≤ n b. m ≥ n

c. d.

mn

Se considera vectorii u = (2,-3,1), v = (1,-1,0), w = (3,0,1), z = (-7,3,0) din R3. Alegeti afirmatia adevarata:

C 81

a. vectorii sunt liniar independenti

c.

o baza pentru R3 e formata cu vectorii v,w,z

c

b. nu se poate extrage o baza pentru R3 din cei patru vectori

mx + y + z = 4  Se consideră sistemul  x + 2my + z = 4, m ∈
. Sistemul este compatibil determinat pentru  x + y + mz = 3  B 17

−1 ± 5 a. m ≠ 1, m ≠ 2

c.

−1 ± 5 m ≠ 1, m ≠ 4

−1 ± 5 2

d.

m ≠ −1, m ≠

b.

A

3

m ≠ 2, m ≠

−1 ± 2 5 2

ax + ay + 2 z = 1  Se consideră sistemul  ax + ( 2a − 1) y + 3 z = 1 , a ∈ R . Sistemul este incompatibil pentru  ax + ay + ( a + 3) z = 2a − 1 a. a ∈ {−1,1} c. a ∈ {−1, 0} b.

a ∈ {−1, −2}

d.

a ∈ {0,1}

25/29

a

d? a

Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este

C 47

1 2 3    0 0 1  . Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt 0 0 0   a. b.

λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = 2 λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = 1

c. d.

c

λ1 = 1, λ2 = 0, λ3 = 0 λ1 = 1, λ2 = 5, λ3 = 2

Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este

C 48

1 2 3    0 2 1  . Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt 0 0 0   a. b.

λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = 2 λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = 1

c. d.

c

λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 0 λ1 = 1, λ2 = 5, λ3 = 2

Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este

C 49

1 2 3    0 2 1  . Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt 0 0 4   a. b.

λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = 2 λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = 1

c. d.

λ1 = 1, λ2 = 4, λ3 = 2 λ1 = 1, λ2 = 5, λ3 = 2

 2a + b − c − d + e = 1  Sistemul  a − b + c + d − 2e = 0 are  3a + 3b − 3c − 3d + 4e = 2 B 27 a. nici o solutie

c

c.

a c o infinitate de solutii

b. o solutie unica Solutia sistemului de mai jos cu coeficienti in  5 este:

2ˆ a + 3ˆ b + c = 2ˆ  2ˆ a + b + 3ˆ c = 1ˆ  ˆ ˆ ˆ a + 3b + 2c = 3

C 87

a.

ˆ b = 1, ˆ c = 3ˆ a = 1,

c.

ˆ b = 3, ˆ c = 1ˆ a = 1,

b.

ˆ b = 1, ˆ c = 3ˆ a = 3,

d.

sistemul nu este compatibil

26/29

b

2 1  1 −1   1 1  X −X =  1 2 1 1  1 −1

Solutia X a ecuatiei matriceale este: 

C 98

1  7 −1  a.   5  −3 −1

b.

1  5 −1   5  −3 0 

c.

1  7 −1    3  −3 −1

d.

1  7 −3    5  −1 −1 

a E

e. ecuatia nu are solutii Solutia X a ecuatiei matriceale:

 2 −1 3   4      3 −2 2  ⋅ X =  3  este  5 −4 0   2    

C 97

1   a.  2 1  

b.

3    −1  5  

c.

c

ecuatia nu are solutii

x + y + z = 1 sunt  x − y + 3 z = −1

Solutiile sistemului  C 15

a a.

x = −2a, y = a + 1, z = a, a ∈


c.

x = −2a, y = 2a + 1, z = a, a ∈


b.

x = a, y = a + 1, z = a, a ∈


d.

x = a, y = 2a + 1, z = 2a, a ∈


a + 2b + c + 2d = 1 2a + 2c + d = 0  Suma soluţiilor sistemului  este a + 2 b + d = 0  A 23 2a + b + 2c + d = −1 a. -1 b. 0

c. d.

1 4

x + y + z + t = 1  Suma soluţiilor sistemului  y + z + t = 0 este z + t = 0 B 18  a. 0 b. 1

c. d.

c. d.

b

-1 -2

x + y + 2z = 1  Suma soluţiilor sistemului  2 x + 2 y + z = −1 este  x + y − z = −2 B 34  a. -1 b. 0

b

1 -2

27/29

b

x − 2 y + z + t = 1  Suma soluţiilor sistemului  x − 2 y + z − t = −1 este  x − 2 y + z + 5t = 6 C 11  a. 0 b. -1

c. d.

3 sistemul este incompatibil

 x − 7 y + 8 z + t = 16a 3x + 5 y − 3 z + 2t = 14a  Suma soluţiilor sistemului  este 3x − y + 8 z + t = 30a C 13  x + 4 y − 6 z + 2t = a

3a, a ∈ R b. 11a, a ∈ R a.

c. d.

d

b

a, a ∈ R 8a, a ∈ R

x + y + z = 1 este  x − y + 3 z = −1

Suma soluţiilor sistemului  C 14 a. 12 b. 1

c. d.

-1 2

x + 2 y = 1  Suma soluţiilor sistemului 6 x − 8 y = 1 este 5 x + 2 y = 3 C 31  a. 0 b. 0,25

c. d.

c

0,75 1

x + y − z = 2  Suma soluţiilor sistemului  x − y + z = 1 este 2 x + y − 3z = 0 C 35  a. -0,5 b. -5,5

c. d.

c. d.

d

0,5 5,5

x + y = 3 x + 2 y = 5  Suma soluţiilor sistemului  este 2 x + y = 4 C 12 2 x + 3 y = 1 a. 0 b. -1

b

d

3 sistemul este incompatibil

Suma valorilor proprii asociate matricei

B

8

 a 2 ab ac    A =  ab b 2 bc  , a, b, c ∈ R, a 2 + b 2 + c 2 = 1 este  ac bc c 2    a. a+b+c b. abc

c. d.

0 1

28/29

d

1

1

1

Valoarea determinantului 2 x

y

3 z este:

2

2

4x C 85

y

9z2

a.

xyz

d.

( 2 x − y )( y − z )( z − 2 x )

b.

( 4 x − y )( y − 3z )( 3z − 4 x )

e.

( 2 x − y )( y − 3z )( 3z − 2 x )

c.

6 ( x − y )( y − z )( z − x )

x + y2 2

Valoarea determinantului x + y

3

x3 + y 4

y + z2

z + x2

y2 + z3 y3 + z 4

z 2 + x 3 este: z3 + x4

C 86

E

a a.

xyz ( x − y )( y − z )( z − x )

c.

(1 + x

b.

x 2 y 2 z 2 ( x − y )( y − z )( z − x )

d.

(1 + xyz )( x − y )( y − z )( z − x )

2

y 2 z 2 ) ( x − y )( y − z )( z − x )

 5 3  sunt  3 5

Valorile proprii ale matricii  C 45

a. b.

λ1 = 1, λ2 = 1 λ1 = 1, λ2 = 2

c. d.

λ1 = 2, λ2 = 8 λ1 = 1, λ2 = 3

2 1  sunt  0 2

c

Valorile proprii ale matricii  C 46

a. b.

λ1 = 0, λ2 = 1 λ1 = 2, λ2 = 2

c. d.

λ1 = 0, λ2 = 3 λ1 = 1, λ2 = 3

b d

D 32

Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 0 şi 1.

F

D 33

Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 3 şi 5.

T

D 31

Vectorii (1, 2, -1), (3, 2, 5) sunt liniar independenţi în


D 28

Vectorii (1,5) si (2, -9) sunt liniar independenti.

D 29

Vectorii (2, -1) si (3, 4) formeaza o baza a spatiului vectorial
.

D

5

D 30

3

Vectorii ν 1 ,ν 2 ,ν 3 ∈
,

3

F T 2

T

ν 1 = (1, −1,1) , ν 2 = ( 2, −1,1) , ν 3 = ( 5, −3,3) sunt liniar dependenţi.

T

Vectorul (1, 10) este o combinatie liniara a vectorilor (1, 3) si (2,-1) deoarece 3(1,3)-(2,-1)=(1,10).

29/29

T