Algebra 2

Algebra 2 1.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Fie V spatial vectorial peste corpul numerelor reale al polinoamelor de grad mai mic sau egal cu 3 cu coeficienti reali.Sistemul S={X,x+2,X3=3} este sistem liniar independent si nu este system de generatori? Fie spatial vectorial R3 peste corpul numerelor reale si vectorii a=(1,1,0), b=(2,0,1) si d=(3,k,2), k pentru care vectorul d apartine subspatiului generat de a si b este… Fie spatial vectorial R3 peste corpul numerelor reale si subspatiul vectorial w={(x,y,z)/3x+2y+z=0}.Dimensiunea lui W este… Fie f:R4 R2,f(x,y)=(2x+y,3x+y).Suma elementelor metricii lui f in baza canonica este... Fie f:R4 R2,f(x,y,z,t)=(2x-y-z,x+3y+t).Suma elementelor metricii lui f in baza canonica este... Fie f:R4 R2,f(x,y,z,t)=(2x-y-z,x+3y+t).Cate elemente are o baza a subspatiului vectorial Kerf? Fie f:R4 R2,f(x,y,z,t)=(2x-y-z,x+3y+t).Cate elemente are o baza a subspatiului vectorial Im f? Fie f:R3 R3,f(x,y,z,t)=(x-y+z,y+z,x-z).Suma elementelor metricii lui f in baza canonica este... Fie matricea

,a R∙a pentru care rangul matricii A este 2

by muniv- Tm. este sistem liniar independent si nu este system de generatori -1 3 7 5 2 2 3 0,75

este... 10 . 11 . 12 .

13 .

14 . 15 . 16 .

17 . 18 . 19

Sa se rezolve ecuatia matriciala X-

-X

Suma solutiilor sistemului

Suma solutiilor sistemului

= este...

este...

Suma solutiilor sistemului Solutiile sistemului

sistemul este incompatibil

este...

Suma solutiilor sistemului

sistemul este incompatibil

este... sunt...

11a, a 1 x=2a,y=a+1,z=a,a

Sa se afle valorile lui a, pentru care sistemul urmator are solutii nenule

Rangul matricei

este 2 pentru a=... , b=...

a= ,b=1

Fie polinomulf=X5+15X4+20X3-40X+35.Polinomul are radacini rationale?

NU

Fie polinomulf=X3-X+1.Polinomul are radacini intregi?

NU

20 . 21 .

22 . 23 . 24 .

Fie matricea A=

.Suma valorilor proprii asociate matricei A este...

Fie matricea A=

.Suma valorilor proprii asociate matricei A

=5 =2

este... Fie f,gЄZ5,f= X5+X3+ X+ ,g= X3+ X2+ .Restul impartirii polinomului f la polinomul g este... Fie matricea A=

+

.Suma valorilor proprii asociate matricei A este...

Fie matricea A=

=1

.Suma valorilor proprii asociate matricei A

=6

este... 25 . 26 .

Fie matricea A=

.Suma elementelor matricei Jordan asociate

=0

matricei A este... Fie sistemul

si A matricea sistemului.Suma elementelor

=9

matricei I3A este... 27 .

Fie matricile A=

si B=

.Notam cu n cel mai mic numar

=2

natural nenul pentru care (AB)n=03.Atunci n este... 28 .

Fie matricile A=

si B=

.Notam cu p cel mai mic numar

=3

natural nenul pentru care (AB)n=03.Atunci p este... 29 .

Fie matricea A=

.Rangul matricei este...

30 .

Fie matricea A=

,X=

=1

Suma elementelor matricei

=0

S=A-XY este... 31 . 32 . 33 . 34 . 35 . 36 . 37 .

Suma solutiilor sistemului Fie matricea A=

este...

=0,75

,a≠0. Suma valorilor proprii asociate matricei A

=0

este... Fie matricea A=

,a≠0. Valorile proprii asociate matricei A sunt...

Fie matricea A=

,a≠0. Vectorii proprii asociati valorilor proprii ale

matricei A sunt... Suma solutiilor sistemului

este...

Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1) xЄ 3 . Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1) xЄ 1),V2=(2,-1,2),V3=(-1,2,2)} din spatiul 3.

3

3

in baza canonica din spatiul in baza B={V1=(2,-2,-

=ai ,

1

=-ai

2

Alt rspuns =5,5 =1,1,1 =1/3,1/3,1/3

38 . 39 . 40 . 41 . 42 .

43 .

44 . 45 . 46 . 47 .

Fie vectorii v1,v2ЄR2 v1=(1,2) si v2=(3,4).Sa se scrie vectorul v=(4,2) ca o combinatie liniara a vectorilor v1,v2. Fie vectorii v1,v2ЄR2 v1=(1,2) si v2=(3,4).Sa se scrie vectorul v=(5,8) ca o combinatie liniara a vectorilor v1,v2. Fie vectorii b1=(2,4,5),b2=(-1,1,0),b3=(-2,0,2) si B={b1,b2,b3} baza in R3.Sa se exprime vectorul v=(2,1,3) ca o combinatie liniara in baza B={b1,b2,b3} Fie vectorii din spatiul R3: v1=(1,4,2);v2=(-1,2,0);v3=(3,2,5).Stabiliti daca vectorii sunt liniari dependenti Stabiliti daca “(1,2) este combinatie liniara de (1,1) si (1,0) pentru ca pentru orice numere reale a,b avem ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)”?

Stabiliti daca”(1,2) si (1,0) formeaza un sistem liniar independent pentru ca exista numere reale a,b asa ca (0,0)= a(1,1)+b(1,0)”?

v=2v1 +v2 v= b1-

b2+

b3

vectorii sunt liniar independenti =exista numere reale a,b asa ca(1,2)=a(1,1)+b (1,0) = daca (0,0)=a(1,1)+b(1, 0) pentru doua numere reale a,b atunci a=b=0

Cat este 2(1,1)+3(0,1)?

25

Valorile proprii ale matricii

sunt...

1

Valorile proprii ale matricii

sunt...

1

=2 ,

2

=8

=2 ,

2

=2

Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este

.Atunci valorile proprii ale transformarii liniare sunt...

48 .

Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica

49 .

Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica

50 .

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

51 .

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

52 .

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

53 .

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

54 .

Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

55 .

v=-5v1 +3v2

este

este

.Atunci valorile proprii ale transformarii liniare sunt...

.Atunci valorile proprii ale transformarii liniare sunt... .Atunci

polinomul caracteristic al acestei transformari este... .Atunci

polinomul caracteristic al acestei transformari este... .Atunci

polinomul caracteristic al acestei transformari este... .Atunci

polinomul caracteristic al acestei transformari este... polinomul caracteristic al acestei transformari este... Sa se rezolve ecuatia matriciala X∙

=

.Atunci

=1 ,

2

=1 ,

2

=1 ,

2

1

1

1

=0,

3

=0

=2,

3

=4,

3

=0

=2

P( )=(4- )(2- ) P( )=(5- )(1- ) P(λ)= (-1-λ)(7-λ) P(

4- )(2- )

P(λ)=λ2-6λ+8

56 .

In spatiul vectorilor coloana

3

vectorii u1,u2,u3 , u1=

formeaza o baza.Daca AЄM3(□), A=

,u2=

u3=

,

si B=( u1,u2,u3), atunci

fA(u1)=

fA(u1)=... 57 .

In spatiul vectorilor coloana

3

vectorii u1,u2,u3 , u1=

formeaza o baza.Daca AЄM3(□), A=

,u2=

u3=

,

si B=( u1,u2,u3), atunci

fA(u2)=

fA(u2)=... 58 .

In spatiul vectorilor coloana

3

vectorii u1,u2,u3 , u1=

formeaza o baza.Daca AЄM3(□), A=

,u2=

u3=

,

si B=( u1,u2,u3), atunci

fA(u3)=

fA(u3)=... 59 . 60 . 61 . 62 . 63 . 64 . 65 . 66 . 67 . 68 . 69 . 70 . 71 . 72 . 73 . 74 .

Fie T:R3 R3,T(x)=(x1-x2,x3,-x3), atunci kerT=...

kerT={(a,a,0)/aЄ R}

Fie T:R3 R3,T(x)=(x1-x2,x3,-x3), atunci dimkerT=...

dimkerT=1

Fie T:R3 R3,T(x)=(x1-x2,x3,-x3), atunci dim ImT=...

dimImT=2

Fie T:R3 R3,T(x)=(x1-x2,x3,-x3), atunci ImT=... Fie T:R3 R3,T(x)=(x1-x2,x3,-x3), atunci o baza pentru ImT o constitue... Fie spatiul vectorial V={(a1,a2,...an)/a1=an}.Determinati dimK’V Fie spatiul vectorial V={AЄM2(R)/TrA=0}.O baza a acestui spatiu este... Fie spatiul vectorial V={fЄR[T]/f(T)=f(-T)}.O baza a acestui spatiu este... Fie spatiul vectorial V={fЄR[T]/f(T)= - f(-T)}.O baza a acestui spatiu este... Fie spatiul vectorial Vn=multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi.Determinati dimcVn Fie spatiul vectorial Vn=multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi.O baza a acestui spatiu vectorial este... Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f:V V o aplicatie liniara astfel incat fof=f, iar functia g=lv-f(unde lv e functia identitate).Atunci gog= Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f:V V o aplicatie liniara astfel incat fof=f, iar functia g=lv-f(unde lv e functia identitate).Atunci fog= Se considera functiile f(x)=eax,g(x)=ebx,h(x)=ecx.Aceste functii sunt liniar independente in R-spatiul vectorial V={f/f:R→R} daca:a,b,c sunt... Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f:V V o aplicatie liniara astfel incat fof=f, iar functia g=lv-f(unde lv e functia identitate).Atunci gof= In R-spatiul vectorial R3 se considera vectorii (m,2,1),(0,n,1),(m,1,3),m si n numere reale.Pentru ce valori ale lui m si n cei trei vectori sunt liniar independenti?

alt raspuns {e2=(1,0,0),e3=(0 ,1,-1)} n-1 ? {1,T2,T4...T2k}k≤ {T,T3,T5,...T2k+1} =n {1,x-a,(x-a)2,...(xa)n} gog=g fog=OV(functia nula pe V) a,b,c sunt diferite doua cate doua gof= OV(functia nula pe V) m=0;m=-1

75 . 76 . 77 . 78 .

79 .

80 . 81 .

82 .

83 . 84 .

Fie L=

.Dimensiunea lui L este...

Fie L={(a,b,c,d)ЄR4/a+2b+2c+5d=0} si S={(a,b,c,d)ЄR4/-a+b-2d=0} subspatii vectoriale ale lui R4.Atunci dimR(L S) este egala cu... Fie L={(a,b,c,d)ЄR4/a+2b+2c+5d=0} si S={(a,b,c,d)ЄR4/-a+b-2d=0} subspatii vectoriale ale lui R4.Atunci dimR(L S) este egala cu... Se considera C- spatiul vectorial M2(C) al matricilor patratice cu 2 linii si 2 coloane, avand elemente numere complexe(spatiul vectorial in raport cu adunarea maricilor si inmultirea cu scalari numere complexe).Atunci dimcM2(C) este egala cu... Se considera R- spatiul vectorial L={( )/z,wЄC} M2(C)( unde M2(C) este spatiul vectorial al matricilor patratice cu 2 linii si 2 coloane, avand elemente numere complexe in raport cu adunarea maricilor si inmultirea cu scalari numere reale).Atunci dimRL este egal cu... Se considera doua subspatii vectoriale L si S ale spatiului vectorial V peste corpul K.Suma lui L si S este directa daca... Se considera vectorii u=(2,-3,1),v=(1,-1,0),w=(3,0,1),z=(-7,3,0) din R3.Alegeti afirmatia adevarata:”vectorii sunt liniar independenti; o baza pentru R3 e formata cu vectorii v,w,z; nu se poate extrage o baza pentru R3 din cei patru vectori” Fie L={(a,b,c)ЄR3/a+2b-xc=0} si S={(a,b,c)ЄR3/

=2 =4 =4

=4

dimK(L S)=0 o baza pentru R3 e formata cu vectorii v,w,z x este orice nr. real m≤n

x=7

Valoarea determinantului

86 .

Valoarea determinantului

88 .

} doua

subspatii vectoriale ale lui R3.Sa se afle xЄR astfel incat suma L+S sa fie directa. Se considera un spatiu vectorial V de dimensiune n si o multime de m vectori liniar independenti din V.Atunci relatia intre m si n care sa exprime toate situatiile posibile este... Determinati xЄR astfel icat sistemul de mai jos sa fie compatibil:

85 .

87 .

=2

(2x-y)(y-3z)(3z2x)

este...

este...

xyz(x-y)(y-z)(z-x)

Solutia sistemului de mai jos cu coeficienti in Z5 este: a=

Rezolvati ecuatia

=0

,c=

x1=1/2;x2=1+

;

x3=1-

89 .

Ecuatia

=0 are solutiile...

x1=x2=1; x3=-1/2;

90 .

Ecuatia

=0 are solutiile...

x1=x2=1; x3=-1/2;

91

Determinati parametrii a si b astfel incat matricea de mai jos sa aiba

a=1,b=1/2

rangul 2 : 92 .

Care dintre urmatoarele valori pentru parametrii a si b reali fac ca

93 .

Determinati a real astfel incat matricea de mai jos sa nu fie inversabila:

94 .

a=1,b=1/2

matricea de mai jos sa nu aiba rangul 3:

a=-1/2

Care este rangul matricii:

=3

Care este rangul matricii:

=3

95 .

96 . 97 . 98 . 99 .

Fie A,B,C matrice astfel incat AB=AC.Stabiliti “B=C daca A e inversabila”

B=C totdeauna

Solutia X a ecuatiei matriceale

ecuatia nu are solutii

Solutia X a ecuatiei matriceale

este... este...

Care valoare a parametrului real λ face ca sistemul de mai jos sa aiba λ=-2

solutii nenule? 10 0.

Se considera sistemul:

. Atunci sistemul este compatibil cu

sistemul este incompatibil

solutia x=1,y=2? 10 1.

Se considera sistemul:

. Atunci solutia lui, in cazul in care

a=

,

b=

, c=

este compatibil determinat,este: 10 2.

Fie AЄMn(C) o matrice.Daca x este un vector propriu, atunci i se considera afirmatiile: 1. x e vector propriu al matricii A-1(daca exista) 2. x e vector propriu al matricii A2 3. x e vector propriu al matricii Ak,k numar natural. Stabiliti valorile de adevar ale afirmatiilor anterioare.

10 3.

Fie matricea A=

.Matricea Jordan JA astfel incat A≈JA este...

10 4.

Fie matricea A=

.Polinomul caracteristic a lui A este...

?

. X2-3X+4

10 5.

Fie A=

10 6.

Fie A=

ЄM3(C). Matricea Jordan JA asemenea cu A este... ЄM3(C). Matricea Jordan JA ,A≈JA este...

II 1.

2.

Fie f:R3 R3,f(x,y,z)=(x-y+z,y+z,x-z) si baza B={u,v,w} unde u=(1,1,1),v=(0,1,1),w=(0,0,1).Suma elementelor matricii lui f in baza B este... Fie A=

3.

Fie matricea A=

4.

Fie matricea A=

,aЄR.a pentru care matricea este inversabila este .Suma elementelor matricei A* este .Daca A* este matricea adjuncta a matricei A, sa

se arate ca (A∙A*)n=(A*∙A)n=An(A*)n=(A*)nAn,nЄN 5.

Fie matricea A=

.Suma elementelor matricei Jordan asociata

matricei A este... 6.

7.

Fie A=

.Suma elementelor matricei Jordan asociata matricei

A este... Sa se afle AЄZ, astfel incat polinomul X6+aX+ ЄZ7[X] sa fie ireductibil

=-2 =0.75 =1 (A∙A*)n=(A*∙A)n=An( A*)n=(A*)nAn,nЄN =9

=2 Nu exista

8.

Suma valorilor proprii asociate matricei A=

=1

,a,b,cЄR,a2+b2+c2=1 este 9.

Fie matricea

.Suma elementelor matricei Jordan asociata

=0

matricei A este... 10 .

Fie matricea

11 .

Fie matricea

.Matricei jordan asociata matricei A este... .Suma elementelor matricei Jordan asociata

=0

matricei A este 12 .

Fie matricea

.Suma elementelor matricei Jordan asociata

=2

matricei A este 13 .

Fie matricea

.Determinati PA(λ)

14 .

Fie matricea

.Determinati matricea Jordan

15 .

Cate subspatii vectoriale are R2?

= o infinitate

16 . 17 .

Cate subspatii vectoriale are R3? Se considera sistemul

= o infinitate ,mЄR.Sistemul este compatibil

m≠1,m≠

determinat pentru m=... 18 .

Suma solutiilor sistemului

19 .

Fie sistemul

este.. si A matricea sistemului.Cate solutii are

=1

=o infinitate

ecuatia AX=I3? 20 .

Fie sistemul

si A matricea sistemului.Cate solutii are

=niciuna

ecuatia XA=I3? 21 .

.Determinantul matricei X=A+A2+...+A2004

Fie matricea A=

=0

este 22 . 23 . 24 . 25 .

.Suma elementelor matricei A-1 este

Fie matricea A=

. Determinantul matricei X=A+A2+...+A2003 este

Fie matricea A=

si nЄN*,n>1.Atunci det(I2+An) este

Fie matricea A= Fie matricea A=

si matricea X=A+A2+...+A2004-A2005.Care din

26 .

urmatoarele afirmatii este adevarata? “X are si elemente strict pozitive si elemente strict negative;X are toate elementele strict negative;X are toate elementele strict pozitive” Fie V=M2(R) si AЄv o matrice fixata.Fie functia f:V V,f(X)=AX-XA.Atunci f este morfism de spatii vectoriale?

27 .

Cate solutii are sistemul

28 . 29 . 30 . 31 . 32 . 33 .

,x,yЄR astfel incat X2-4X+13I2=02.Valoarea sumei

x+y este Fie matricia A=

=1 =1 X are toate elementele strict negative f este morfism de spatii vectoriale o infinitate de solutii

Fie spatiul vectorial real R3 si bazele B1={(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)},B2={(1,2,3),(1,1,1),(1,0,1)}.Suma elementelor matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este Fie spatiul vectorial real R3 si bazele B1={(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)},B2={(1,2,3),(1,1,1),(1,0,1)}.linia 1 a matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este Fie spatiul vectorial real R3 si bazele B1={(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)},B2={(1,2,3),(1,1,1),(1,0,1)}.linia 2 a matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este Fie spatiul vectorial real R3 si bazele B1={(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)},B2={(1,2,3),(1,1,1),(1,0,1)}.linia 3 a matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este Fie matricea X=

=2

.Suma elementelor matricei A10 este

=-1

2,0,-1

=5 =78

34 .

Suma solutiilor sistemului

35 .

Fie M

36 . 37 . 38 .

este...

=0

=.Stabiliti daca M formeaza un spatiu

vectorial peste R, fata de operatiile de adunare a matricilor si de inmultire cu scalari. Fie L multimea functiilor f[a,b] cu proprietatea ca k>0 astfel incat kIx-yI,x,yЄ[a,b].Stabiliti daca L formeaza subspatiu liniar in spatiul functiilor definite pe [a,b] Care din urmatoarele multimi ale lui R3 formeaza un subspatiu al sau? a. {2x1-x2+x3=0}.x=(x1,x2,x3) R3 c. {ex1+ex2=9} b. {x12+x22=16} Fie A=

, B=

,stabiliti daca matricile A,B sunt elementare si

daca sunt, stabiliti tipul acestora.

?

? ? ?

III 1. 2.

Fie f:R2 R2,f(x,y)=(2x+ay,bx+y),a,bЄN si cЄR astfel fof=cf.Suma a+b+c este Fie A o matrice cu coeficienti complecsi.Aratati ca, daca exista k≥2 astfel incat Ak=0 atunci matricea este inversabila si avem (I-A)-1=

=6 (I-A)1 =i+A+A2+...+Ak-1

3.

Se considera sistemul

aЄR.Sistemul este

aЄ{-1,0}

incompatibil pentru a= 4.

Fie matricea A=

p,q,rЄR.Suma patratelor radacinilor

6qr+3p2

ecuatiei det(A)=0 este 5.

Fie matricea A=

,a,bЄR.Calculati a2+b2 astfel incat (A-I2)2=02

=5

6.

Fie matricea urmatoare, de ordin n,

7. 8.

9.

10 . 11 . 12 .

este inversabila

daca... Fie V un spatiu vectorial real si f,g: morfisme de spatii vectoriale.Atunci relatiafog-gof=1, este posibila numai daca dimV=... Orice matrice AЄMn(C) se numeste involutiva daca An=In.o matrice BЄMn(C) se numeste idempotenta daca B2=B.Sa se arate ca daca B este o matrice idempotenta, atunci matricea 2B-In este... Orice matrice AЄMn(C) se numeste involutiva daca An=In.o matrice BЄMn(C) se numeste idempotenta daca B2=B.Sa se arate ca daca A este o matrice idempotenta, atunci matricea (A-In) este... Fie En matricea patratica de ordinul n ale carei elemente sunt toate egale cu 1.Sa se arate ca In-En este inversabila si avem(In-En)-1=..(unde In este matricea unitate de ordin n) Dca A este o matrice cu 3 linii si trei coloane cu toate elementele egale cu 1 sau -1, iar D=det(A),D este divizibil cu... Fie matricea A=

unde a.b.c sunt radacinile ecuatiei X3-

0,i=

dimV< involutiva

idempotenta

(In-En)-1=In-

n

D este divizibil cu 4 =4

2X2+2X+17=0.Determinantul matricei A este 13 .

Fie matricea A=

unde a.b.c sunt radacinile ecuatiei -3

mX3+X2+(m-1)X+3=0,mЄR*.Notam D(m) determinantul matricei A.Atunci 14 .

Fie V=M2(R) si AЄV o matrice fixata.Fie functia f:V V,f(X)=ATX-XTA.Atunci f este morfism de spatii vectoriale?

15 .

Fie matricea A=

16 .

f este morfism de spatii vectoriale

,aЄR.Cate radacini reale are ecuatia

det(A)=0? Consideram expresiile f(X)=

=

elementele a,b,cЄR si matricea A=

,h(X)=

=1 , =0

.Determinantil

matricei A este egal cu 17 . 18 .

Fie matricea A=

,a,b,c,dЄR.Valoarea expresiei A2-(a+d)A+(ad-bc)I2

Fie matricea A=

,aЄR* si a este un numar real nenul.Sa se

determine a astfel incat egalitatea An=A sa aiba loc pentru un anumit numar natural n. 19 .

=0

este

Fie matricea A=

ЄM3,2(Z5).Rangul matricei A este 2 daca

ЄN* si in

= plus =

daca n

este impar =

α=... 20 .

Fie matricea A=

ЄM3,2(Z5).Rangul matricei A este 3 daca

α=... 21 .

Fie matricea A=

ЄM3(Z3).Sa se determine αЄZ3 astfel incat

=

matricea sa fie inversabila 22 .

23 .

Suma solutiilor sistemului

Fie sistemul

este...

.Sistemul este incompatibil?

=0 sistemul are o infinitate de solutii