Algebra 2

Algebra 2 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 . 11 . 12 . 13 . 14 . 15 . 16 . 17 . 18 . 19 . 20 . 21 . 22 . 23 .

Fie V spatial vectorial peste corpul numerelor reale al polinoamelor de grad mai mic sau egal cu 3 cu coeficienti reali.Sistemul S={X,x+2,X3=3} este sistem liniar independent si nu este system de generatori?

by muniv- Tm. este sistem liniar independent si nu este system de generatori

Fie spatial vectorial R3 peste corpul numerelor reale si vectorii a=(1,1,0), b=(2,0,1) si d=(3,k,2), k pentru care vectorul d apartine subspatiului generat de a si b este… Fie spatial vectorial R3 peste corpul numerelor reale si subspatiul vectorial w={(x,y,z)/3x+2y+z=0}.Dimensiunea lui W este… Fie f:R4→R2,f(x,y)=(2x+y,3x+y).Suma elementelor metricii lui f in baza canonica este... Fie f:R4→R2,f(x,y,z,t)=(2x-y-z,x+3y+t).Suma elementelor metricii lui f in baza canonica este... Fie f:R4→R2,f(x,y,z,t)=(2x-y-z,x+3y+t).Cate elemente are o baza a subspatiului vectorial Kerf? Fie f:R4→R2,f(x,y,z,t)=(2x-y-z,x+3y+t).Cate elemente are o baza a subspatiului vectorial Im f? Fie f:R3→R3,f(x,y,z,t)=(x-y+z,y+z,x-z).Suma elementelor metricii lui f in baza canonica este... Fie matricea 2231-10-12a,a∈R∙a pentru care rangul matricii A este 2 este...

0,75

Sa se rezolve ecuatia matriciala X-1223-X2-1-11=1-1-10

1001

Suma solutiilor sistemului x-2y+z+t=1x-2y+z-t=-1x-2y+z+5t=6 este... Suma solutiilor sistemului x+y=3x+2y=52x+y=42x+3y=1 este... Suma solutiilor sistemului x-7y+8z+t=16a3x+5y-3z+2t=14a3x-y+8z+t=30ax+4y6z+2t=a este... Suma solutiilor sistemului x+y+z=1x-y+3z=-1 este... Solutiile sistemului x+y+z=1x-y+3z=-1 sunt... Sa se afle valorile lui a, pentru care sistemul urmator are solutii nenule x+4y+z-2t=02x-5y-4z+2t=05x+3y-3z+4t=02x+ay-2z=0 Rangul matricei b12 41a2 312a2 4 este 2 pentru a=... , b=...

-1 3 7 5 2 2 3

sistemul este incompatibil sistemul este incompatibil 11a, a∈R 1 x=2a,y=a+1,z=a,a∈ R 23 a=12,b=1

Fie polinomulf=X5+15X4+20X3-40X+35.Polinomul are radacini rationale?

NU

Fie polinomulf=X3-X+1.Polinomul are radacini intregi?

NU

Fie matricea A=1224.Suma valorilor proprii asociate matricei A este...

=5

Fie matricea A=100000221.Suma valorilor proprii asociate matricei A este...

=2

Fie f,gЄZ5,f=3X5+X3+2X+4,g=2X3+3X2+1.Restul impartirii polinomului f la polinomul g este...

3X+2

Fie matricea A=1500.Suma valorilor proprii asociate matricei A este...

=1

24 . 25 . 26 . 27 . 28 . 29 . 30 . 31 . 32 . 33 . 34 . 35 . 36 . 37 . 38 . 39 . 40 . 41 . 42 .

43 .

44 . 45 .

Fie matricea A=2-1-1-12-1-1-12.Suma valorilor proprii asociate matricei A este...

=6

Fie matricea A=11-1-1.Suma elementelor matricei Jordan asociate matricei A este...

=0

Fie sistemul x+y+z+t=1x+z+t=0z+t=0 si A matricea sistemului.Suma elementelor matricei I3A este... Fie matricile A=100010000 si B=010000100.Notam cu n cel mai mic numar natural nenul pentru care (AB)n=03.Atunci n este... Fie matricile A=100010000 si B=010000100.Notam cu p cel mai mic numar natural nenul pentru care (AB)n=03.Atunci p este...

=9 =2 =3

Fie matricea A=321642963.Rangul matricei este...

=1

Fie matricea A=321642963,X=123,Y=3,2,1.Suma elementelor matricei S=A-XY este...

=0

Suma solutiilor sistemului x+2y=16x-8y=15x+2y=3 este... Fie matricea A=0-aa0,a≠0. Suma valorilor proprii asociate matricei A este... Fie matricea A=0-aa0,a≠0. Valorile proprii asociate matricei A sunt... Fie matricea A=0-aa0,a≠0. Vectorii proprii asociati valorilor proprii ale matricei A sunt... Suma solutiilor sistemului x+y-z=2x-y+z=12x+y-3z=0 este... Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1) xЄR3 in baza canonica din spatiul R3. Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1) xЄR3 in baza B={V1=(2,-2,-1),V2=(2,1,2),V3=(-1,2,2)} din spatiul R3. Fie vectorii v1,v2ЄR2 v1=(1,2) si v2=(3,4).Sa se scrie vectorul v=(4,2) ca o combinatie liniara a vectorilor v1,v2. Fie vectorii v1,v2ЄR2 v1=(1,2) si v2=(3,4).Sa se scrie vectorul v=(5,8) ca o combinatie liniara a vectorilor v1,v2. Fie vectorii b1=(2,4,5),b2=(-1,1,0),b3=(-2,0,2) si B={b1,b2,b3} baza in R3.Sa se exprime vectorul v=(2,1,3) ca o combinatie liniara in baza B={b1,b2,b3} Fie vectorii din spatiul R3: v1=(1,4,2);v2=(-1,2,0);v3=(3,2,5).Stabiliti daca vectorii sunt liniari dependenti Stabiliti daca “(1,2) este combinatie liniara de (1,1) si (1,0) pentru ca pentru orice numere reale a,b avem ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)”?

Stabiliti daca”(1,2) si (1,0) formeaza un sistem liniar independent pentru ca exista numere reale a,b asa ca (0,0)= a(1,1)+b(1,0)”? Cat este 2(1,1)+3(0,1)? Valorile proprii ale matricii 5335 sunt...

=0,75 =0 A1=ai , A2=-ai Alt rspuns =5,5 =1,1,1 =1/3,1/3,1/3 v=-5v1 +3v2 v=2v1 +v2 v=611b1- 13 11b2+ 322b3 vectorii sunt liniar independenti =exista numere reale a,b asa ca(1,2)=a(1,1)+b (1,0) = daca (0,0)=a(1,1)+b(1, 0) pentru doua numere reale a,b atunci a=b=0 25 A1=2 , A2=8

46 . 47 . 48 . 49 . 50 . 51 . 52 . 53 . 54 . 55 . 56 . 57 . 58 . 59 . 60 . 61 . 62 . 63 . 64 . 65 . 66 . 67 . 68 . 69 . 70 .

Valorile proprii ale matricii 2102 sunt... Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este 123001000.Atunci valorile proprii ale transformarii liniare sunt... Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este 123021000.Atunci valorile proprii ale transformarii liniare sunt... Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este 123021004.Atunci valorile proprii ale transformarii liniare sunt... Matricea asociata unei transformari in baza canonica este 3113.Atunci polinomul caracteristic al acestei transformari este... Matricea asociata unei transformari in baza canonica este 3223.Atunci polinomul caracteristic al acestei transformari este... Matricea asociata unei transformari in baza canonica este 3443.Atunci polinomul caracteristic al acestei transformari este... Matricea asociata unei transformari in baza canonica este 30,523.Atunci polinomul caracteristic al acestei transformari este... Matricea asociata unei transformari in baza canonica este 30,543.Atunci polinomul caracteristic al acestei transformari este... Sa se rezolve ecuatia matriciala X∙123234341=698016 In spatiul vectorilor coloana □3 vectorii u1,u2,u3 , u1=111,u2=110,u3=100, formeaza o baza.Daca AЄM3(□), A=2-11-3210-12 si B=( u1,u2,u3), atunci fA(u1)=... In spatiul vectorilor coloana □3 vectorii u1,u2,u3 , u1=111,u2=110,u3=100, formeaza o baza.Daca AЄM3(□), A=2-11-3210-12 si B=( u1,u2,u3), atunci fA(u2)=... In spatiul vectorilor coloana □3 vectorii u1,u2,u3 , u1=111,u2=110,u3=100, formeaza o baza.Daca AЄM3(□), A=2-11-3210-12 si B=( u1,u2,u3), atunci fA(u3)=... Fie T:R3→R3,T(x)=(x1-x2,x3,-x3), atunci kerT=...

A1=2 , A2=2 A1=1 , A2=0, A3=0 A1=1 , A2=2, A3=0 A1=1 , A2=4, A3=2 P(A)=(4-A)(2-A) P(A)=(5-A)(1-A) P(λ)= (-1-λ)(7-λ) P(λ)=(4-A)(2-A) P(λ)=λ2-6λ+8 11111-1 fA(u1)= 201 fA(u2)= 1-1-1 fA(u3)= 2-30 kerT={(a,a,0)/aЄ R}

Fie T:R3→R3,T(x)=(x1-x2,x3,-x3), atunci dimkerT=...

dimkerT=1

Fie T:R3→R3,T(x)=(x1-x2,x3,-x3), atunci dim ImT=...

dimImT=2

Fie T:R3→R3,T(x)=(x1-x2,x3,-x3), atunci ImT=... Fie T:R3→R3,T(x)=(x1-x2,x3,-x3), atunci o baza pentru ImT o constitue... Fie spatiul vectorial V={(a1,a2,...an)/a1=an}.Determinati dimK’V

alt raspuns {e2=(1,0,0),e3=(0 ,1,-1)} n-1

Fie spatiul vectorial V={AЄM2(R)/TrA=0}.O baza a acestui spatiu este...

?

Fie spatiul vectorial V={fЄR[T]/f(T)=f(-T)}.O baza a acestui spatiu este...

{1,T2,T4...T2k}k≤ n2

Fie spatiul vectorial V={fЄR[T]/f(T)= - f(-T)}.O baza a acestui spatiu este...

{T,T3,T5,...T2k+1}

Fie spatiul vectorial Vn=multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi.Determinati dimcVn Fie spatiul vectorial Vn=multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi.O baza a acestui spatiu vectorial este... Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f:V→V o aplicatie liniara astfel incat fof=f, iar functia g=lv-f(unde lv e functia identitate).Atunci gog=

=n {1,x-a,(xa)2,...(x-a)n} gog=g

71 . 72 .

Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f:V→V o aplicatie liniara astfel incat fof=f, iar functia g=lv-f(unde lv e functia identitate).Atunci fog=

73 . 74 . 75 . 76 . 77 . 78 .

Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f:V→V o aplicatie liniara astfel incat fof=f, iar functia g=lv-f(unde lv e functia identitate).Atunci gof= In R-spatiul vectorial R3 se considera vectorii (m,2,1),(0,n,1),(m,1,3),m si n numere reale.Pentru ce valori ale lui m si n cei trei vectori sunt liniar independenti?

79 .

80 . 81 . 82 . 83 . 84 . 85 . 86 . 87 . 88 . 89 . 90 . 91 . 92

Se considera functiile f(x)=eax,g(x)=ebx,h(x)=ecx.Aceste functii sunt liniar independente in R-spatiul vectorial V={f/f:R→R} daca:a,b,c sunt...

Fie L=a,b,c,d,eЄR5/a+b+e=0a-c+d+e=02a-e=03a-c+d=0 .Dimensiunea lui L este... Fie L={(a,b,c,d)ЄR4/a+2b+2c+5d=0} si S={(a,b,c,d)ЄR4/-a+b-2d=0} subspatii vectoriale ale lui R4.Atunci dimR(L ∩ S) este egala cu... Fie L={(a,b,c,d)ЄR4/a+2b+2c+5d=0} si S={(a,b,c,d)ЄR4/-a+b-2d=0} subspatii vectoriale ale lui R4.Atunci dimR(L+ S) este egala cu... Se considera C- spatiul vectorial M2(C) al matricilor patratice cu 2 linii si 2 coloane, avand elemente numere complexe(spatiul vectorial in raport cu adunarea maricilor si inmultirea cu scalari numere complexe).Atunci dimcM2(C) este egala cu... Se considera R- spatiul vectorial L={(z-w wz)/z,wЄC}⊂M2(C)( unde M2(C) este spatiul vectorial al matricilor patratice cu 2 linii si 2 coloane, avand elemente numere complexe in raport cu adunarea maricilor si inmultirea cu scalari numere reale).Atunci dimRL este egal cu... Se considera doua subspatii vectoriale L si S ale spatiului vectorial V peste corpul K.Suma lui L si S este directa daca... Se considera vectorii u=(2,-3,1),v=(1,-1,0),w=(3,0,1),z=(-7,3,0) din R3.Alegeti afirmatia adevarata:”vectorii sunt liniar independenti; o baza pentru R3e formata cu vectorii v,w,z; nu se poate extrage o baza pentru R3 din cei patru vectori” Fie L={(a,b,c)ЄR3/a+2b-xc=0} si S={(a,b,c)ЄR3/-a+3b=02a+xb+3c=0} doua subspatii vectoriale ale lui R3.Sa se afle xЄR astfel incat suma L+S sa fie directa. Se considera un spatiu vectorial V de dimensiune n si o multime de m vectori liniar independenti din V.Atunci relatia intre m si n care sa exprime toate situatiile posibile este... Determinati xЄR astfel icat sistemul de mai jos sa fie compatibil: a+b+3c+d=43a+b-4c-d=3a-b-4c-3d=x Valoarea determinantului 1112xy3z4x2y29z2 este... Valoarea determinantului x+y2y+z2z+x2x2+y3y2+z3z2+x3x3+y4y3+z4z3+x4 este... Solutia sistemului de mai jos cu coeficienti in Z5 este: 2a+3b+c=22a+b+3c=1a+3b+2c=3 Rezolvati ecuatia 1-x0x01-2x0x01-3x=0

fog=OV(functia nula pe V) a,b,c sunt diferite doua cate doua gof= OV(functia nula pe V) m=0;m=-1 =2 =2 =4 =4

=4

dimK(L∩S)=0 o baza pentru R3 e formata cu vectorii v,w,z x este orice nr. real m≤n x=7 (2x-y)(y-3z)(3z2x) xyz(x-y)(y-z)(z-x) a=3,b=1,c=3 x1=1/2;x2=1+ 22;x3=1- 22

Ecuatia 1xxx1xxx1=0 are solutiile...

x1=x2=1; x3=-1/2;

Ecuatia 1xxx1xxx1=0 are solutiile...

x1=x2=1; x3=-1/2;

Determinati parametrii a si b astfel incat matricea de mai jos sa aiba rangul 2 : a1241b2312b24 Care dintre urmatoarele valori pentru parametrii a si b reali fac ca matricea de mai

a=1,b=1/2 a=1,b=1/2

jos sa nu aiba rangul 3: a1241b2312b24 93 Determinati a real astfel incat matricea de mai jos sa nu fie inversabila: . 2-10a13102 94 . 95 . 96 . 97 . 98 . 99 . 10 0. 10 1.

Care este rangul matricii:-12102-24220-3-5612322644

=3

Care este rangul matricii:1303 80012169114331221-1-251766 5

=3

Fie A,B,C matrice astfel incat AB=AC.Stabiliti “B=C daca A e inversabila”

B=C totdeauna

Solutia X a ecuatiei matriceale 1-133-225-40∙X=432 este...

ecuatia nu are solutii

Solutia X a ecuatiei matriceale 2112∙X-X1-111=111-1 este...

157-1-3-1

Care valoare a parametrului real λ face ca sistemul de mai jos sa aiba solutii nenule? x+y+z+t=0x+(1+λ)y+z+t=0x+y+(2+λ)z+t=0x+y+z+(3+λ)t=0 Se considera sistemul: x+y=3x+2y=52x+y=42x+3y=1. Atunci sistemul este compatibil cu solutia x=1,y=2? Se considera sistemul: ma+b+c=4a+2mb+c=4a+b+mc=3. Atunci solutia lui, in cazul in care este compatibil determinat,este:

10 2.

a=-1/2

λ=-2 sistemul este incompatibil a=4m-3(2m-1)2m1(m2+m-1), b=4m-32(m2+m1), c=6m212m+52m1(m2+m-1)

Fie AЄMn(C) o matrice.Daca x este un vector propriu, atunci i se considera afirmatiile: 1. x e vector propriu al matricii A-1(daca exista) 2. x e vector propriu al matricii A2 3. x e vector propriu al matricii Ak,k numar natural.

?

Stabiliti valorile de adevar ale afirmatiilor anterioare. 10 3. 10 4. 10 5. 10 6.

Fie matricea A=899-3-2534-3.Matricea Jordan JA astfel incat A≈JA este... Fie matricea A=899-3-2534-3.Polinomul caracteristic a lui A este...

-100021002. X2-3X+4

Fie A=-402010513ЄM3(C). Matricea Jordan JA asemenea cu A este...

-200011001

Fie A=2-1-1-12-1-1-12ЄM3(C). Matricea Jordan JA ,A≈JA este...

000030003

II 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Fie f:R3→R3,f(x,y,z)=(x-y+z,y+z,x-z) si baza B={u,v,w} unde u=(1,1,1),v=(0,1,1),w=(0,0,1).Suma elementelor matricii lui f in baza B este... Fie A=2231-10-12a,aЄR.a pentru care matricea este inversabila este Fie matricea A=1i-i0.Suma elementelor matricei A* este Fie matricea A=a0b1.Daca A* este matricea adjuncta a matricei A, sa se arate ca (A∙A*)n=(A*∙A)n=An(A*)n=(A*)nAn,nЄN Fie matricea A=84-40.Suma elementelor matricei Jordan asociata matricei A este... Fie A=120020-2-2-1.Suma elementelor matricei Jordan asociata matricei A este... Sa se afle AЄZ, astfel incat polinomul X6+aX+5ЄZ7[X] sa fie ireductibil

=-2 =0.75 =1 n (A∙A*) =(A*∙A)n=An( A*)n=(A*)nAn,nЄN =9 =2 Nu exista

8. 9. 10 . 11 . 12 . 13 . 14 . 15 . 16 . 17 . 18 . 19 . 20 . 21 . 22 . 23 . 24 . 25 .

Suma valorilor proprii asociate matricei A=a2abacabb2bcacbcc2,a,b,cЄR,a2+b2+c2=1 este Fie matricea 460-3-50-3-61.Suma elementelor matricei Jordan asociata matricei A este... Fie matricea 460-3-50-3-61.Matricei jordan asociata matricei A este... Fie matricea 922-6-1-40316-5.Suma elementelor matricei Jordan asociata matricei A este Fie matricea 1-123-362-24.Suma elementelor matricei Jordan asociata matricei A este Fie matricea 3083-16-20-5.Determinati PA(λ)

=1 =0 -200010001 =0 =2 (λ+1)3

Fie matricea 3083-16-20-5.Determinati matricea Jordan

-1000-1000-1

Cate subspatii vectoriale are R2?

= o infinitate

Cate subspatii vectoriale are R3?

= o infinitate

Se considera sistemul mx+y+z=4x+2my+z=4x+y+mz=3,mЄR.Sistemul este compatibil determinat pentru m=...

m≠1,m≠-1±52

Suma solutiilor sistemului x+y+z+t=1y+z+t=0z+t=0este.. Fie sistemul x+y+z+t=1y+z+t=0z+t=0 si A matricea sistemului.Cate solutii are ecuatia AX=I3? Fie sistemul x+y+z+t=1y+z+t=0z+t=0 si A matricea sistemului.Cate solutii are ecuatia XA=I3?

=1 =o infinitate =niciuna

Fie matricea A= 1001-10001.Determinantul matricei X=A+A2+...+A2004 este

=0

Fie matricea A= 1001-10001.Suma elementelor matricei A-1 este

=2

Fie matricea A=21-3-1. Determinantul matricei X=A+A2+...+A2003 este

=1

Fie matricea A=22-2-2 si nЄN*,n>1.Atunci det(I2+An) este

=1

Fie matricea A=1122 si matricea X=A+A2+...+A2004-A2005.Care din urmatoarele X are toate afirmatii este adevarata? elementele strict “Xare si elemente strict pozitive si elemente strict negative;X are toate elementele negative strict negative;X are toate elementele strict pozitive” 26 Fie V=M2(R) si AЄv o matrice fixata.Fie functia f:V→V,f(X)=AX-XA.Atunci f este f este morfism de . spatii vectoriale morfism de spatii vectoriale? 27 . 28 .

Cate solutii are sistemul 2a+b-c-d+e=1a-b+c+d-2e=03a+3b-3c-3d+4e=2

Fie spatiul vectorial real R3 si bazele B1={(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)},B2={(1,2,3),(1,1,1),(1,0,1)}.Suma elementelor matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este 29 Fie spatiul vectorial real R3 si bazele . B1={(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)},B2={(1,2,3),(1,1,1),(1,0,1)}.linia 1 a matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este 30 Fie spatiul vectorial real R3 si bazele . B1={(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)},B2={(1,2,3),(1,1,1),(1,0,1)}.linia 2 a matricei de trecere

o infinitate de solutii =-1

12,0,12 2,0,-1

de la baza B1 la baza B2 este 31 Fie spatiul vectorial real R3 si bazele . B1={(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)},B2={(1,2,3),(1,1,1),(1,0,1)}.linia 3 a matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este 32 . 33 . 34 . 35 . 36 .

Fie matricea X=xy-yx,x,yЄR astfel incat X2-4X+13I2=02.Valoarea sumei x+y este Fie matricia A=111011001.Suma elementelor matricei A10 este Suma solutiilor sistemului x+y+2z=12x+2y+z=-1 x+y-z=-2este...

Fie MX=abc00da=b+c,a,b,cЄR=.Stabiliti daca M formeaza un spatiu vectorial peste R, fata de operatiile de adunare a matricilor si de inmultire cu scalari. Fie L multimea functiilor f[a,b] cu proprietatea ca ∃k>0 astfel incat fx-f(y)≤ kIxyI,x,yЄ[a,b].Stabiliti daca L formeaza subspatiu liniar in spatiul functiilor definite pe [a,b] 37 Care din urmatoarele multimi ale lui R3 formeaza un subspatiu al sau?

. 38 .

-12,0,12 =5 =78 =0

? ?

c. {e x1+ex2=9}

?

Fie A=1501, B=3001,stabiliti daca matricile A,B sunt elementare si daca sunt, stabiliti tipul acestora.

?

a. b.

{2x1-x2+x3=0}.x=(x1,x2,x3)⊂R3 {x12+x22=16}

III 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Fie f:R2→R2,f(x,y)=(2x+ay,bx+y),a,bЄN si cЄR astfel fof=cf.Suma a+b+c este Fie A o matrice cu coeficienti complecsi.Aratati ca, daca exista k≥2 astfel incat Ak=0 atunci matricea este inversabila si avem (I-A)-1= Se considera sistemul ax+ay+2z=1ax+(2a-1)y+3z=1 ax+ay+a+3z=2a1aЄR.Sistemul este incompatibil pentru a= Fie matricea A=x-pqrrx-pqqrx-p,p,q,rЄR.Suma patratelor radacinilor ecuatiei det(A)=0 este Fie matricea A=a1b0,a,bЄR.Calculati a2+b2 astfel incat (A-I2)2=02

Fie matricea urmatoare, de ordin n, α100000α2000.0.0...00αneste inversabila daca... 7. 8.

9.

10 . 11 . 12 . 13

Fie V un spatiu vectorial real si f,g:V→V morfisme de spatii vectoriale.Atunci relatiafog-gof=1, este posibila numai daca dimV=... Orice matrice AЄMn(C) se numeste involutiva daca An=In.o matrice BЄMn(C) se numeste idempotenta daca B2=B.Sa se arate ca daca B este o matrice idempotenta, atunci matricea 2B-In este... Orice matrice AЄMn(C) se numeste involutiva daca An=In.o matrice BЄMn(C) se numeste idempotenta daca B2=B.Sa se arate ca daca A este o matrice idempotenta, atunci matricea 12(A-In) este... Fie En matricea patratica de ordinul n ale carei elemente sunt toate egale cu 1.Sa se arate ca In-En este inversabila si avem(In-En)-1=..(unde In este matricea unitate de ordin n) Dca A este o matrice cu 3 linii si trei coloane cu toate elementele egale cu 1 sau -1, iar D=det(A),D este divizibil cu... Fie matricea A=abcbcacab unde a.b.c sunt radacinile ecuatiei X32X2+2X+17=0.Determinantul matricei A este Fie matricea A=abcbcacab unde a.b.c sunt radacinile ecuatiei mX3+X2+(m-

=6 (I-A)1 =i+A+A2+...+Ak-1 aЄ{-1,0} 6qr+3p2 =5 αi≠0,i=1,n

dimV<∞ involutiva

idempotenta

(In-En)-1=In- 1n-1En D este divizibil cu 4 =4 -3

1)X+3=0,mЄR*.Notam D(m) determinantul matricei A.Atunci limn→∞md(m ) este 14 Fie V=M2(R) si AЄV o matrice fixata.Fie functia f:V→V,f(X)=ATX-XTA.Atunci f . este morfism de spatii vectoriale? 15 . 16 . 17 . 18 . 19 . 20 . 21 . 22 . 23 .

f este morfism de spatii vectoriale

Fie matricea A=x110x14a2-5a4x,aЄR.Cate radacini reale are ecuatia det(A)=0?

=1

Consideram expresiile f(X)=1+cosx,g(X)=1+sinx,h(X)= 1-sinx, elementele a,b,cЄR si matricea A=f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)f(c)g(c)h(c).Determinantil matricei A este egal cu

=0

Fie matricea A=abcd,a,b,c,dЄR.Valoarea expresiei A2-(a+d)A+(ad-bc)I2 este

=0

Fie matricea A=a0a000a0a,aЄR* si a este un numar real nenul.Sa se determine a astfel incat egalitatea An=A sa aiba loc pentru un anumit numar natural n.

a=12, daca n ЄN* si in plus a=-12, daca n este impar

Fie matricea A=12-1 12∝1 -1023 2ЄM3,2(Z5).Rangul matricei A este 2 daca α=...

∝=1

Fie matricea A=12-1 12∝1 -1023 2ЄM3,2(Z5).Rangul matricei A este 3 daca α=...

∝≠1

Fie matricea A=20∝ 1 1 0 0∝1 ЄM3(Z3).Sa se determine αЄZ3 astfel incat matricea sa fie inversabila

∝=0

Suma solutiilor sistemului a+2b+c+2d=12a+2c+d=0a+2b+d=02a+b+2c+d=-1 este...

=0

Fie sistemul a-2b-2c-2d-e=0a-b-c-3d+e=1a+b-5c-d+7e=2.Sistemul este incompatibil?

sistemul are o infinitate de solutii