Algebra 2
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Algebra 2 as PDF for free.
More details
- Words: 6,790
- Pages: 18
i
Algebra II. doc. Libor Polk
zpracoval Ale Kenek 11. kvtna 1995
Obsah 1 Idely a faktorov okruhy 2 Rozen tles 3 Teorie svaz
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Dvoj de nice : : Mor smy : : : : Nerovnosti : : : : Modul rn svazy : Booleovy svazy :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
Pojem -algebry, kongruence : Podalgebry : : : : : : : : : : Homomor smy : : : : : : : : Souiny : : : : : : : : : : : : Termy a identity : : : : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
4 Univerzln algebra 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
5 Voln algebry
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
1 2 3
3 4 5 5 7
9
9 11 12 13 16
17
1
1 Idely a faktorov okruhy Denice 1.1
Nech R = (R + :) je okruh, 6= I R nazveme idelem, plat -li a b 2 I =) a + b 2 I a 2 I r 2 R =) ra ar 2 I Ide l je zejmna norm ln podgrupa (R +), nejmen a nejvt ide ly jsou tzv. nevlastn f0g a R. Prnik libovolnho nepr zdnho systmu ide l je opt ide l meme hovoit o generov n . Um me utvoit faktorgrupu (R=I +) = fa + I j a 2 Rg, s t n de nujeme (a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I . Podobn de nujeme n soben (a + I )(b + I ) = (ab) + I . Je nutn ovit korektnost nez vislost na volb reprezentanta.
Lemma 1.2
R=I = (R=I + :) je okruh. Zobrazen : a 7! a + I je surjektivn homomor smus R ! R=I. 2
Denice 1.3
R=I se nazv faktorov okruh okruhu R podle ide lu I . Zabvejme se d le strukturou Rx]=(f ), kde R je tleso, f 2 Rx] nekonstantn polynom. De nujeme Rx]=(f ) = fg + (f ) j g 2 Rx]g Klademe g + (f ) = h + (f ), plat -li f j g ; h, tedy g h d vaj po dlen polynomem f stejn zbytek. Ozname n = deg f . Lze ps t Rx]=(f ) = fg + (f ) j g 2 Rx] deg g < ng kde u je kad prvek zastoupen pr v jednou. Zobrazen an;1xn;1 + + a1 x + a0 + (f ) 7! (a0 : : : an;1) je zejm bijekce Rx]=(f ) ! Rn. De nujeme operace s t n a n soben (a0 : : : an;1) + (b0 : : : bn;1 ) = (a0 + b0 : : : an;1 + bn;1) (a0 : : : an;1)(b0 : : : bn;1 ) = (c0 : : : cn;1) kde cn;1xn;1 + + c1x + c0 je zbytek po dlen polynomu (an;1 xn;1 + + a1x + a0 )(bn;1xn;1 + + b1 x + b0 ) polynomem f . Zobrazen : a 7! a + (f ) je prost homomor smus R ! Rx]=(f ), budeme ztotoovat R a (R). R lze potom povaovat za podtleso okruhu Rx]=(f ).
Vta 1.4
Polynom f m koen x + (f ) v Rx]=(f ). Dkaz: Polynom f 2 Rx] ch peme jako polynom nad Rx]=(f ) s koe cienty a0 + (f ) : : : an;1 + (f ). P mm dosazen m dost v me = f + (f ) = 0. 2
Vta 1.5
Rx]=(f ) je tleso pr v tehdy, kdy f je ireducibiln . Dkaz: Zprava doleva plyne z Bezoutovy rovnosti, zleva doprava vedeme nep mo, faktory f jsou dlitel nuly. 2
2
2. ROZEN TLES
2 Rozen tles Denice 2.1
Okruh R se nazv podtlesem tlesa T, je-li podokruhem a pro kad 0 6= a 2 R plat a;1 2 R (inverzn prvek ch pan v T). Jinak k me, e T je roz enm R, p eme T=R.
Denice 2.2
Nech T je roz en m R. Prvek a 2 T se nazv algebraick prvek nad R, je-li koenem nenulovho polynomu nad R, v opanm p pad transcedentn.
Vta 2.3
Nech T je roz en m R, a 2 T algebraick. Pak existuje jedin normovan ireducibiln polynom f 2 Rx], ktar m a za koen.
Dkaz: Existence. Nech f 2 Rx] je nejmen ho stupn mezi normovanmi s koenem a. Kdyby nebyl ireducibiln , dost v me spor s minimalitou stupn. Jednonanost. Nech g 2 Rx], g(a) = 0. Dlen m dost v me g = qf + r, deg r < deg f . Z g(a) = f (a) = 0 a minimality stupn f plyne u r = 0. Uvame njak jin f . Mus platit f jf podle pedchoz ho a z rove f jf . Odtud f = f , protoe oba jsou normovan. 2
Poznmka 2.4
Konen tlesa
1. Pro prvo slo p a n 2 N existuje tleso o pn prvc ch. 2. Libovoln konen tleso m pn prvk. 3. Libovoln dv konen tlesa o stejnm potu prvk jsou isomorfn .
Denice 2.5
Pro tleso R p eme zkr cen Rx1 : : : xn] = ( ((Rx1 ])x2 ]) ). Polynom f se nazv symetrick, nemn -li se pi libovoln permutaci promnnch.
2
Rx1 : : : xn]
Uvame tzv. elementrn symetrick polynomy 1 = x1 + + xn 2 = x1 x2 + + x1 xn + x2 x3 + + xn;1 xn ... X k = xi1 : : : xik 1i1 <
... n = x1 : : : x n
Vta 2.6
Kad symetrick polynom lze vyj dit pr v jedn m zpsobem jako polynom v element rn ch symetrickch polynomech. 2
3
3 Teorie svaz
3.1 Dvoj denice Denice 3.1
Nech A = (A ) je uspo dan mnoina. A se nazv sup-polosvaz (spojov, horn ), existuje-li supA fa bg pro libovoln a b 2 A. Analogisky de nujeme inf -polosvaz (prsekov, doln ). A je svaz, existuje-li souasn supA fa bg i inf Afa bg. Svaz je pln, existuje-li sup X i inf X pro libovolnou X A.
Vta 3.2
Je-li A uspo dan a pro vechny X A existuje inf X . Pak A je pln. Dkaz: Vezmeme a = inf Y = inf fy 2 A j y x 8x 2 X g. Je to horn z vora X a kad jin je prvkem Y , a je tedy sup X . 2
Denice 3.3
Bin rn operace na mnoin A se nazv idempotentn, plat -li a a = a pro kad a 2 A.
Denice 3.4
S = (S :) se nazv algebraicky de novan polosvaz, je-li operace asociativn , komutativn a idempotentn . L = (L ^ _) je algebraicky de novan svaz, jsou-li (L ^) a (L _) algebraicky de novan polosvazy a plat tzv. absorbn zkony a ^ (a _ b) = a a _ (a ^ b) = a Operace ^ _ se bn nazvaj prsek a spojen. Ozname korespondenci mezi dvoj de nic polosvazu A = (A ) 7! As = (A :) ab := supfa bg Ss = (S ) S = (S :) a b , ab = b
Vta 3.5
1. Pro sup-polosvaz A je As algebraicky de novan polosvaz. 2. Pro algebraicky de novan polosvaz S je Ss sup-polosvaz a supSs fa bg = ab pro vechna a b 2 S . 3. Pro sup-polosvaz A plat (As)s = A. 4. Pro algebraicky de novan polosvaz S plat (Ss)s = S.
Vta 3.6
Nech A = (A ) je svaz. De nujeme Ai = (A ^) a ^ b := inf fa bg As = (A _) a _ b := supfa bg Takto de novan ^ _ jsou v z ny absorbn mi z kony. Naopak nech L = (L ^ _) je algebraicky de novan svaz. De nujeme uspo d n a i b () a ^ b = a a s b () a _ b = b Uspo d n i s jsou stejn , tedy (L ) je svaz. 2
4
3. TEORIE SVAZ
3.2 Morsmy Denice 3.7
Nech A = (A ) B = (B ) jsou uspo dan mnoiny. Zobrazen : A ! B se nav isotonn, plat -li pro vechna a a0 2 A a a0 =) (a) (a0). Isotonn zobrazen je vno en, pokud nav c plat (a) (a0) =) a a0. Konen isomor smus (uspo danch mnoin) je surjektivn vnoen .
Denice 3.8
Nech A B jsou svazy, zobrazen : A ! B se nazv _-homomor smus (spojov), pokud (a _ a0 ) = (a) _ (a0). Analogicky de nujeme ^-homomor smus (prsekov). Zobrazen je homor smus je-li souasn _- i ^-homomor smus. Konen isomor smus (svaz) je bijektivn homomor smus.
Lemma 3.9
Nech A B jsou svazy, : A ! B zobrazen . Potom 1. je _-homomor smus znamen , e je isotonn . 2. je isomor smus uspo danch mnoin pr v tehdy, kdy je isomor smus svaz.
Vta 3.10
2
Slab
Pro libovolnou uspo danou mnoinu A existuje pln svaz B = (B ) a vnoen : A ! B . Dkaz: De nujme (a] := fx 2 A j x ag. Potom zobrazen : a 7! (a] je hledan vnoen do svazu (2A ). 2
Denice 3.11
Nech A = (A ) je uspo dan mnoina. Mnoinu 6= J A nazv me ide l, plat -li 1. Jestlie a 2 J x 2 A x a, potom x 2 J (analogie n soben ). 2. Pro vechna i 2 I je ai 2 J . Potom existuje supfai j i 2 I g (analogie s t n ).
Vta 3.12
Lep
Pro libovolnou uspo danou mnoinu A existuje pln svaz B = (B ) a vnoen : A ! B zachov vaj c vechna existuj c in ma a suprema. Dkaz: Pedpokl dejme, e A m nejmen prvek (pokud ne, pid me takov). Struktura J(A) = (J(A) ) je pln svaz vech ide l v A. Zobrazen : a 7! (a] je hledan vnoen A ! J (A).
2
Ide ly mohou reprezentovat re ln sla. Pid me k racion ln m slm nejmen prvek ;1, potom nevlastn ide ly jsou f;1g a Q f;1g, vlastn jsou ffx 2 Q f;1g j x ag j a 2 R g a ty odpov daj pesn re lnm slm.
Vta 3.13
O pevnm bodu
Nech L = (L ) je pln svaz, : L ! L isotonn zobrazen . Pak existuje a 2 L takov, e (a) = a. Dkaz: Uvaujme X = fx 2 L j (x) xg a ozname a = sup X . Z vlastnost suprema a isotonie se uk e, e (a) je horn z vora X , tedy plat a (a). Odtud (a) ((a)), tedy (a) 2 X a plat tak (a) a. 2
3.3 Nerovnosti
5
3.3 Nerovnosti Vta 3.14
V libovolnm svazu L = (L ^ _) plat pro a b c 2 L a ^ (b _ c) (a ^ b) _ (a ^ c) distributivn nerovnosti a _ (b ^ c) (a _ b) ^ (a _ c) a c =) a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c modul rn nerovnost (a ^ b) _ (a ^ c) _ (b ^ c) (a _ b) ^ (a _ c) ^ (b _ c) medi ln nerovnost
2
Denice 3.15
Svaz L = (L ^ _) se nazv modulrn, plat -li pro a b c 2 L a c =) a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ c distributivn, plat -li a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ (a _ c)
Lemma 3.16
Kad distributivn svaz je modul rn .
2
3.4 Modulrn svazy Lemma 3.17
Svaz je modul rn pr v tehdy, kdy plat a _ (b ^ (c _ a)) = (a _ b) ^ (c _ a).
2
Vta 3.18
Svaz L = (L ^ _) je modul rn pr v tehdy, kdy plat pro vechna a b c 2 L a b a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c =) a = b
Dkaz: Zleva doprava plyne z absorbn ch z kon a modul rn rovnosti, sta rozepsat a = a _ (a ^ c). Obr cen vezmeme x y z 2 L x z a chceme pro n splnit modul rn rovnost. Do tvrzen vty sta dosadit a = x _ (y ^ z), b = (x _ y) ^ z a c = y. 2
Denice 3.19
Svaz L = (L ^L _L) nazv me podsvazem svazu K = (K ^K _K ) je-li L K a pro kad a b 2 L plat a ^L b = a ^K b a _L b = a _K b Modul rn a distributivn svazy lze charakterizovat podle toho, jestli nkter ze svaz z obr zku 1 je jejich podsvazem. N5 nen modul rn , M5 modul rn je, ale nen distributivn .
Vta 3.20
Svaz L = (L ^ _) je modul rn pr v tehdy, kdy neobsahuje podsvaz isomorfn s N5 . Dkaz: Zleva doprva je tvrzen zejm. Pokud L nen modul rn , mus podle pedchoz vty existovat a b c 2 L takov, e a < b a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c. Tedy c mus bt s a b nesrovnateln, dost v me u N5 . 2
6
3. TEORIE SVAZ 1
1
a
c
b
a
b
c
0
N5
0
M5 Obr zek 1: Zlobiv svazy
Lemma 3.21
Svaz L = (L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy pro kad a b c 2 L plat a ^ (b _ c) = (a ^ b) _ (a ^ c). 2
Vta 3.22
Svaz L = (L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy plat pro vechna a b c 2 L a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c =) a = b
Vta 3.23
2
Svaz L = (L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy neobsahuje podsvaz isomorfn s N5 nebo M5.
Denice 3.24
2
Nech A = (A ) je uspo dan mnoina. Mnoina X A se nazv ddin, plat -li pro vechna x 2 X a 2 A a x =) a 2 X Zna me H A mnoinu vech ddinch podmnoin mnoiny A, podobn HA = (H A ).
Denice 3.25
Nech L = (L ^ _) je svaz. Prvek a 2 L se nazv spojov ireducibiln, plat -li pro vechna b c 2 L a = b _ c =) a = b nebo a = c Oznaujeme J L mnoinu vech spojov ireducibiln ch prvk svazu L s vyj mkou nejmen ho (pokud existuje) a J L = (J L ^ _).
Vta 3.26
Nech L = (L ^ _) je konen distributivn . Pak plat L = H(J L). Dkaz: Hledanm isomor smem je zobrazen : a 7! fx 2 J L j x ag. Pomrn snadno se uk e, e je to bijekce a zachov v operace ^ _. 2
3.5 Booleovy svazy
7
Denice 3.27
Okruhem mnoin nad njakou mnoinou A je libovoln systm jej ch podmnoin uzaven na operace \ .
D sledek 3.28
Libovoln okruh mnoin je isomorfn H(J (L ^ _)) pro vhodn konen svaz (L ^ _).
Dkaz: Libovoln okruh mnoin je distributivn svaz.
2
3.5 Booleovy svazy Denice 3.29
Svaz L = (L ^ _) se nazv omezen, pokud m nejmen a nejvt prvek. Standardn je zna me 0,1. D le nech a b 2 L jsou prvky omezenho svazu. k me, e b je komplement prvku a, plat -li a ^ b = 0 a _ b = 1. Prvek omezenho svazu me m t dn, jeden i v ce komplement (viz M5). 1 je vdy komplement 0 a naopak.
Denice 3.30
Komplementrn svaz je omezen svaz, ve kterm m kad prvek pr v jeden komplement. Boolev svaz je distributivn komplement rn svaz.
Vta 3.31
Nech L = (L ^ _) je distributivn svaz. 1. Kad a 2 L m nejve jeden komplement. 2. Nech a x b a x m komplement. Potom m x komplement i v intervalu a b] = fy L j a y bg.
2
Dkaz: (1) plyne z vlastnost komplementu, absorbn ch z kon a distributivity. (2) nech y je komplement x ve svazu L. Ozna me z = (y _ a) ^ b. Potom z je komplement x v intervalu a b] uk eme x ^ z = a x _ z = b. 2
Denice 3.32
Booleova algebra je estice B = (B ^ _ 0 1 0), kde (B ^ _) je Boolev svaz a pro kad a 2 B plat
a_0=a a^1=1
a _ a0 = 1 a ^ a0 = 0
Lemma 3.33
V libovoln Booleov algebe plat (a _ b)0 = a0 ^ b0 (a ^ b)0 = a0 _ b0
2
8
3. TEORIE SVAZ
Denice 3.34
Pole mnoin nad mnoinou A je okruh mnoin nad A uzaven na operaci rozd lu.
Vta 3.35
Libovoln konen Booleova algebra B je isomorfn (2A \ A {) pro vhodnou konenou A, pitom operaci komplementu de nujeme X { = A n X . Dkaz: De nujeme relaci pokrvn
a ; b
() 8a b c 2 Aa c > b ) a = c
Prvky a ; 0 nazv me atomy. Snadno se uk e (vta 3.31), e prvky J B jsou pr v atomy. Tedy J B je protietzec, kad jeho podmnoina je ddin . Sta vz t A = J B, potom 2A = H(J B) a tvrzen plyne z pedchoz ch vt. 2
D sledek 3.36
Libovoln Booleova algebra je isomorfn vhodnmu poli mnoin.
2
9 Struktura typ op. symboly svaz (2 2) (^ _) grupa (2) ( ) grupa s 1 a inverz (2 0 1) ( 1 ;1) vekt. prost. nad R (2 (1)r2R) (+ ( r )r2R) Tabulka 1: Jazyky konkrtn ch struktur
4 Univerzln algebra
4.1 Pojem -algebry, kongruence Denice 4.1
Systm (n )2 nez pornch celch sel nazveme typem, mnoinu ch peme jako mnoinu index. S kadm typem uvaujeme systm operan ch symbol (f )2. Jazykem nazv me uspo danou dvojici ; (n )2 (f )2 Algebra typu ( -algebra) je potom uspo dan dvojice
;
A = A (fA)2
kde A je mnoina a pro kad 2 je fA n - rn operace na A, kde n- rn operace znamen zobrazen An ! A, vetn A0 = fg d vaj c vbr prvku. Jazyky pro konkrtn algebraick struktury ukazuje tabulka 1. Operace r znamen n soben skal rem r 2 R. Je-li tleso R nekonen, je nekonen i dan jazyk.
Denice 4.2
Nech A = (A (fA)2 ) je -algebra. Relace na mnoin A se nazv kongruence -algebry A, plat -li pro kad 2 a1 b1 : : : an bn 2 A
a1 b1 : : : an bn =) fA (a1 : : : an ) fA(b1 : : : bn ) Potom je mon de novat faktorovou algebru algebry A podle kongruence
;
A= := A= (fA=)2
kde fA= (a1] : : : an ]) := fA (a1 : : : an )
Korektnost takov de nice je zaruena poadavkem na kongruenci. V grup ch kongruence odpov daj norm ln m podgrup m, faktorizovat podle kongruence znamen tot, jako podle norm ln podgrupy. V okruz ch hraj stejnou roli ide ly. Zna me Con A mnoinu vech kongruenc algebry A a E (A) mnoinu vech ekvivalenc na mnoin A.
Vta 4.3
(Con A ) je pln podsvaz svazu (E (A) ).
10
4. UNIVERZ LN ALGEBRA
Dkaz: DA := fa a] j a 2 Ag je nejmen , T A A nejvt prvek (Con A ). Uvaujme libovoln systm i 2 Con A pro i 2 I 6= . Zejm i2I 2 Con A. D le plat sup f i j i 2 I g sup f i j i 2 I g Con A
E (A)
S
Ozname pravou stranu . Sta uk zat, e je to kongruence. je tranzitivn obal i2I i. Uvame libovoln 2 a ozname n := n . Vezmme libovoln a1 : : : an b1 : : : bn 2 A takov , e a1 b1 : : : an bn . Chceme uk zat fA(a1 : : : an) fA(b1 : : : bn) Z konstrukce plyne a1 = c11 i11 c12 i12 c13 i1m1 ;1 c1m1 = b1 a2 = c21 i21 c22 i22 c23 i2m2 ;1 c2m2 = b2 ... ... an = cn1 in1 cn2 in2 cn3 in mn;1 c2m2 = b2 kde m1 : : : mn 2 N c 2 A i 2 I . Z prvn ho dku dost v me fA (a1 : : : an) i11 fA(c12 : : : an) =) fA(a1 : : : an) fA (c12 : : : an) =) fA (a1 : : : an ) fA (b1 : : : an ) Z druhho dku analogicky fA (a1 : : : an) fA(b1 b2 : : : an) atd. 2
Poznmka 4.4
Uvaujme-li typ (1), dostaneme tzv. 1-un rn algebry A = (A f ), kde f : A pomrn pehledn zn zornit diagramem (obr zek 2).
Poznmka 4.5
!
A. Ty leze
V p pad svaz plat n sleduj c tvrzen : Nech L = (L ^ _) je svaz. Potom 2 Con L pr v tehdy, kdy je to ekvivalence a pro vechna a b c 2 L plat (a ^ c) (b ^ c) (1) (a _ c) (b _ c) (2) v a
c
d
e f b u
Obr zek 2: 1-un rn algebra
x
y
4.2 Podalgebry
11
Dkaz: P mo z de nice kongruence 2 Con L pr v tehdy, kdy je to ekvivalence a pro vechna a b c d 2 L plat a b c d =) ((aa ^_ cc)) ((bb ^_ dd))
Odsud dosazen m d := c plyne tvrzen . Naopak pedpokl dejme a b c d. Na z klad platnosti (1) a komutativity ^ je mon ps t (a ^ c) (b ^ c) = (c ^ b) (d ^ b) = (b ^ d)
2
Dkaz pro _ se vede analogicky.
Poznmka 4.6
Podobn lze dok zat n sleduj c vlastnosti
a b =) (a ^ b) (a _ b) a b c a c =) a b
4.2 Podalgebry Denice 4.7 ;
;
Nech A = A (fA)2 je -algebra. Algebru B = B (fB)2 nazveme podalgebrou algebry A, jestlie B A a pro vechna 2 b1 : : : bn 2 B plat
fA(b1 : : : bn ) = fB(b1 : : : bn ) P eme B A a fB = fAjB n (tj. fA na B n dopadne stejn, jako fB, restrikce funkce) Lze ovem j t i z druh strany
Denice 4.8
Mnoina B A se nazv nosi podalgebry algebry A, plat -li pro kad 2 b1 : : : bn 2 B
fA(b1 : : : bn ) 2 B P eme B A.
;
Je-li B A, potom zejm B A. Naopak, je-li B A, potom B (fA jB n )2
A
Vta 4.9
Mnoina vech podalgeber algebry A je vzhledem k pln svaz.
Dkaz je p moar.
Poznmka 4.10
2
Zaneme-li uvaovat podalgebry, pln se projev form ln rozd l mezi nap. Booleovskmi svazy a Booleovskmi algebrami.
12
4. UNIVERZ LN ALGEBRA
4.3 Homomorsmy Denice 4.11
Zobrazen : A ! B se nazv homomor smus -algebry A = (A (fA )2 ) do algebry B = (B (fB)2 ) plat -li pro kad 2 a1 : : : an 2 A
;
;
fA(a1 : : : an ) = fB (a1) : : : (an ) Implicitn pedpokl d me, e ob algebry jsou tho typu. Homomor smus zna me : A ! B. Izomor smem rozum me bijektivn homomor smus, o dvou algebr ch ekneme, e jsou izomorfn, pokud mezi nimi existuje izomor smus.
Poznmka 4.12
Pro libovolnou kongruenci 2 Con A zav d me oznaen nat pro zobrazen A ! A= takov, e a 7! a]. Jedn se o surjektivn homomor smus A na A= .
Poznmka 4.13
Pokud B A, zna me standardn : b 7! b vnoen algebry B do A. Je to prost homomor smus.
Lemma 4.14
Relace ker := f(a a0) 2 A A j (a) = (a0)g je kongruence na algebe A.
Dkaz: Z de nice ker je zejm, e se jedn o ekvivalenci. Uvame libovoln 2 a pime n = n . Vezmme libovoln a1 : : : an b1 : : : bn tak, e a1 b1 : : : an bn. Potom (a1) = (b1 ) : : : (an) = (bn). Protoe je homomor smus, lze ps t
;
;
fA (A1 : : : an) = fB (a1) : : : (an) = ; ; fB (b1 ) : : : (bn) = fA(b1 : : : bn)
2
Vta 4.15
O homomorfismu
Nech : A ! B je homomor smus. Ozname : A ker ! (A) takov, e a]ker 7! (a). Potom (A) B (je to nosi podalgebry), je izomor smus A=ker na (A) a plat = nat ker , viz diagram. Nav c, pokud je surjektivn , B je izomorfn s A=ker .
A
?? nat ker y
;;;!
B
x? ?
A=ker ;;; ! (A) Dkaz: Z pedchoz ho dkazu je zejm, e m smysl uvaovat ker je to kongruence. Dokame d le: Mno ina (A) je nosi podalgebry. Vezmme libovoln 2 b1 : : : bn 2 (A). Potom existuj jejich vzory a1 : : : an 2 A. Plat ; ; fB(b1 : : : bn) = fB (a1) : : : (an) = fA(a1 : : : an) 2 (A)
4.4 Sou iny
13
Zobrazen je bijekce. Zejm je surjektivn a pro libovoln a b 2 A plat (a) = (b) =) a]ker = b]ker . Zobrazen je homomorsmus. Ozname := ker . Pro libovoln 2 a1 : : : an 2 A pime
;
fA= a1 ] : : : an] ; ; = fA(a1 : : : an) = fB (a1) : : : (an) ; = f(A) (a1 ]) : : : (an] ) Zobrazen je slo en nat ker . Pro kad a 2 A ( nat ker )(a) = ( )(a]ker ) = ((a)) = (a)
2
Denice 4.16
Algebra B je homomorfn obraz algebry A, existuje-li surjektivn homomor smus A ! B.
D sledek 4.17
Libovoln homomorfn obraz (A) je izomorfn s faktoralgebrou A=ker .
4.4 Sou iny Denice 4.18
Nech Ai = (Ai (fAi )2 ) je -algebra pro i de nujeme pro 2 n - rn operaci fA takto
;
2
I (i nespoetnou). Na mnoin A :=
;
fA (a1i )i2I : : : (ani )i2I := fAi (a1i : : : ani )
Algebru A =
Q A i2I i
i2I
Q A = (A (f A) ) nazveme souinem systmu algeber A . i 2 i2I i
Poznmka 4.19
Zobrazen i : A ! Ai takov, e (aj )j2I 7! ai je surjektivn homomor smus A na Ai pirozen i-t projekce. Dkaz pro obecnou mnoinu I vyaduje axiom vbru.
Denice 4.20
Q
Nech (Ai)i2I je systm -algeber. Algebra B i2I Ai se nazv podp m souin systmu (Ai )i2I , je-li pro kad i 2 I projekce ijB ( i z en na B ) surjektivn . Viz obr zek 3 p klad na svazech.
Vta 4.21
Nech B je podp mm souinem systmu (Ai )i2I , I 6= . Pak relace na A).
T
T ker( jB ) = (diagon ln i A i2I
Dkaz: Nech ((aj )j 2I (bj )j 2I ) 2 i2I ker( i jB ). Pro kad i 2 I plat ((aj )j2I (bj )j 2I ) 2 ker( i jB ). Tedy i ((aj )j2I ) = i((bj )j2I ), tj. ai = bi. 2
14
4. UNIVERZ LN ALGEBRA
A1
a
b
c
A2
A1 A2 (c ) (c ) (c ) (c )
(a ) (b )
Obr zek 3: Podp m souin
Vta 4.22
Nech A = (A : : : ) je -algebra, ( i) 2I I 6= systm kongruenc takov, e A je izomorfn s podp mm souinem systmu (A= i )i2I . Dkaz: Hledanm izomor smem je
T = . Pak A i2I i
Q
: A ! i2I A= i a 7! (a]i )i2I Jedn se zejm o surjekci, dok eme d le ve potebn. Zobrazen je prost. Nech (a]i )i2I = (b]i )i2I . Pro kad i 2 I plat a]i = b]i , tedy (a b) 2 i, T to znamen (a b) 2 i2I i = A. Zobrazen je homomorsmus. Uvame tradin 2 n = n a1 : : : an 2 A. Potom podle de nic zobrazen , operace na souinu a faktoralgebe meme ps t
;
A= ; i
f i2I A=i (a1) : : : (an) = f (a1 ]i )i2I : : : (an]i )i2I = f
;
a1 ]i : : : an]i
i2I
= fA(a1 : : : an)
i i2I
To u je, opt podle de nice , fA(a1 : : : an) . Mno ina (A) je podpm sou in. M me uk zat, e zobrazen
i j(A):
Y j 2I
A= j ! A= i
je surjektivn . Vezmme libovoln prvek A= i , tj. a]i pro vhodn a 2 A. To u je ale obrazem (a).
2
Denice 4.23
Algebra A = (A (fAi )2 ) se nazv podp mo rozloiteln , existuje-li systm kongruenc ( i)i2I , I 6= takov, e \ i = A a z rove i 6= A pro kad i 2 I i2I
4.4 Sou iny
15
Nap klad na obr zku 3 je podp m souin t - a typrvkovho line rn ho svazu, t prvkov line rn svaz je podp mm souinem dvou dvouprvkovch. Oproti tomu M5 je podp mo nerozloiteln. Vta 4.24 (AC) Kad netrivi ln 1 -algebra A je izomorfn podp mmu souinu vhodnho nepr zdnho systmu (A)i2I podp mo nerozloitelnch -algeber. Pitom kad Ai je faktoralgebrou A.
Lemma 4.25
Zornovo
Nec A = (A ) je takov uspo dan mnoina, e kad etzec v A m horn z voru. Potom pro libovoln a 2 A existuje maxim ln prvek a v A takov, e a a . Toto lemma je ekvivalentn axiomu vbru. Dkaz vty je ponkud okliv, oznaen jako nepovinn. Vyu v pr v Zornovo lemma.
Vta 4.26
Libovoln netrivi ln podp mo nerozloiteln svaz je izomorfn .
Dkaz: Svaz je zejm podp mo nerozloiteln. Jin dvouprvkov neexistuje. Uvame tedy jLj 3. Existuje a 2 L, kter nen ani nejvt , ani nejmen . Pro x y 2 L de nujme relace def x y () x^a=y^a def z y () x_a=y_a Jsou to kongruence. Nech x y z 2 L, x y. Chceme uk zat (x ^ z) (y ^ z) a (x _ z) (y _ z). V me, e x ^ a = y ^ a. Tvrzen x ^ z ^ a = y ^ z ^ a je zejm z vlastnost svaz. Z distributivity plyne (x _ z) ^ a = (x ^ a) _ (z ^ a) = (y ^ a) _ (z ^ a) = (y _ z) ^ a Relace je de nov na pomoc rovnosti, je tedy zejm ekvivalenc . Du ln se dok e, e je kongruence. Zejm plat \ = L, pitom 6= L, protoe existuj b < a < c, odkud a c, a b. Tedy L je podp mo rozloiteln podle vty 4.22, co je spor. 2
D sledek 4.27
Z vty 4.24 a pedchoz ho plyne, e kad netrivi ln distributivn svaz je izomorfn K podp Q mmu souinu systmu i2I
Vta 4.28 (AC)
Libovoln distributivn svaz je izomorfn okruhu mnoin. Dkaz: Hledanm izomor smem je
;
u : K ! 2I \ (ai)i2I 7! fi 2 I j ai = 1g Zobrazen u je bijekce d ky tomu, e K je podp m souin, operace ^ _ v K odpov daj zejm \ v 2I . 2 1 alespo
dvouprvkov
16
4. UNIVERZ LN ALGEBRA
Vta 4.29 (AC)
Libovoln Boolev svaz je izomorfn poli mnoin.
Dkaz: Nech (ai )i2I je nejmen prvek B. Pipustme, e existuje i 2 I tak, e ai = 1. Potom libovoln prvek v B m na i-t sloce 1 nejedn se o podp m souin, co je spor. Tedy (0)i2I 2 B , analogicky (1)i2I 2 B . 2
4.5 Termy a identity Denice 4.30
Nech =; (n )2 je typ, (f )2 systm operan ch symbol a M libovoln mnoina. Jazykem L rozum me (f )2 . Induktivn de nujeme mnoinu FL (M ) 1. M FL(M ) 2. Pro 2 w1 : : : wn 2 FL(M ) je f (w1 : : : wn ) 2 FL(M ) 3. Do FL(M ) pat pr v to, co vzniklo v konenm potu krok z 1. a 2. Prvky FL (M ) nazv me slova nad M . De nujme d le
fFL(M ) (w1 : : : wn ) := f (w1 : : : wn ) Algebru
;
FL(M ) = FL(M ) fFL (M ) 2 nazv me algebrou L-slov, resp absolutn volnou -algebrou. Uvame d le X = fx1 x2 : : : g mnoinu tzv. promnnch. Prvky FL(X ) nazv me termy jazyka L, prvky FL(fx1 : : : xng) n-rnmi termy. Uvame nap klad jazyk 1-un rn ch algeber s p lunm fukn m symbolem f . Potom n- rn termy budou jednak x1 : : : xn podle 1. a obecn fm (xi) pro m 2 N a i 2 f1 : : : ng podle 2.
Denice 4.31
Nech A je mnoina. De nujme eAn i (a1 : : : an ) := ai pro libvoln n i 2 f1 : : : ng jako i-tou n-rn projekci na mnoinu A.
2
N , a : : : an 2 A a 1
Denice 4.32
Nech f 2 AAm g1 : : : gm 2 AAn . De nujeme n- rn operaci, tzv. kompozici f (g1 : : : gm) 2 AAn takto ; (f (g1 : : : gm)) (a1 : : : an) := f g1(a1 : : : an) : : : gm(a1 : : : an)
Denice 4.33 ;
Nech A = A (fA)2 je -algebra, p indukovan termem p jako
pAn
(
2
FL(Nn). De nujeme pAn
eAi n p = xi := A An f q1 : : : qnAn p = f (q1 : : : qn )
2
AAn polynom na A
17
Denice 4.34
Uspo danou dvojici term (p q) z FL(n) nazveme identitou (p eme p l q). ekneme, e algebra A spluje identitu p l q (p eme A j= p l q), plat -li pAn = qAn . Dkaz korektnosti se vede indukc , znamen uk zat, e pro m n plat pAm (a1 : : : am ) = pAn (a1 : : : an).
Denice 4.35
Identitu tvaru f k (xi) l f k+d(xj ) nazv me regulrn, pokud i = j .
Denice 4.36
Nec je mnoina identit. T du vech -algeber spluj c ch vechny identity z ozna me Mod . Varieta -algeber k me t d tvaru Mod pro njak . Nap klad nebo
Mod f ki (x) l f ki +di (x) j i 2 I = Mod f k (x) l f k+d (x) j i 2 I
Mod f ki (x) l f ki (y ) j i 2 I = Mod f k (x) l f k (y ) j i 2 I kde k := minfki j i 2 I g a d := GCD fdi j i 2 I g.
5 Voln algebry Tato kapitola je asi to nejzaj mavj , co v algebe vbec bylo. Bohuel nest h m, ke st tn c m to poteba nen , take to snad dopln m v ervnu.
Algebra II. doc. Libor Polk
zpracoval Ale Kenek 11. kvtna 1995
Obsah 1 Idely a faktorov okruhy 2 Rozen tles 3 Teorie svaz
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Dvoj de nice : : Mor smy : : : : Nerovnosti : : : : Modul rn svazy : Booleovy svazy :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
Pojem -algebry, kongruence : Podalgebry : : : : : : : : : : Homomor smy : : : : : : : : Souiny : : : : : : : : : : : : Termy a identity : : : : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
4 Univerzln algebra 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
5 Voln algebry
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
: : : : :
1 2 3
3 4 5 5 7
9
9 11 12 13 16
17
1
1 Idely a faktorov okruhy Denice 1.1
Nech R = (R + :) je okruh, 6= I R nazveme idelem, plat -li a b 2 I =) a + b 2 I a 2 I r 2 R =) ra ar 2 I Ide l je zejmna norm ln podgrupa (R +), nejmen a nejvt ide ly jsou tzv. nevlastn f0g a R. Prnik libovolnho nepr zdnho systmu ide l je opt ide l meme hovoit o generov n . Um me utvoit faktorgrupu (R=I +) = fa + I j a 2 Rg, s t n de nujeme (a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I . Podobn de nujeme n soben (a + I )(b + I ) = (ab) + I . Je nutn ovit korektnost nez vislost na volb reprezentanta.
Lemma 1.2
R=I = (R=I + :) je okruh. Zobrazen : a 7! a + I je surjektivn homomor smus R ! R=I. 2
Denice 1.3
R=I se nazv faktorov okruh okruhu R podle ide lu I . Zabvejme se d le strukturou Rx]=(f ), kde R je tleso, f 2 Rx] nekonstantn polynom. De nujeme Rx]=(f ) = fg + (f ) j g 2 Rx]g Klademe g + (f ) = h + (f ), plat -li f j g ; h, tedy g h d vaj po dlen polynomem f stejn zbytek. Ozname n = deg f . Lze ps t Rx]=(f ) = fg + (f ) j g 2 Rx] deg g < ng kde u je kad prvek zastoupen pr v jednou. Zobrazen an;1xn;1 + + a1 x + a0 + (f ) 7! (a0 : : : an;1) je zejm bijekce Rx]=(f ) ! Rn. De nujeme operace s t n a n soben (a0 : : : an;1) + (b0 : : : bn;1 ) = (a0 + b0 : : : an;1 + bn;1) (a0 : : : an;1)(b0 : : : bn;1 ) = (c0 : : : cn;1) kde cn;1xn;1 + + c1x + c0 je zbytek po dlen polynomu (an;1 xn;1 + + a1x + a0 )(bn;1xn;1 + + b1 x + b0 ) polynomem f . Zobrazen : a 7! a + (f ) je prost homomor smus R ! Rx]=(f ), budeme ztotoovat R a (R). R lze potom povaovat za podtleso okruhu Rx]=(f ).
Vta 1.4
Polynom f m koen x + (f ) v Rx]=(f ). Dkaz: Polynom f 2 Rx] ch peme jako polynom nad Rx]=(f ) s koe cienty a0 + (f ) : : : an;1 + (f ). P mm dosazen m dost v me = f + (f ) = 0. 2
Vta 1.5
Rx]=(f ) je tleso pr v tehdy, kdy f je ireducibiln . Dkaz: Zprava doleva plyne z Bezoutovy rovnosti, zleva doprava vedeme nep mo, faktory f jsou dlitel nuly. 2
2
2. ROZEN TLES
2 Rozen tles Denice 2.1
Okruh R se nazv podtlesem tlesa T, je-li podokruhem a pro kad 0 6= a 2 R plat a;1 2 R (inverzn prvek ch pan v T). Jinak k me, e T je roz enm R, p eme T=R.
Denice 2.2
Nech T je roz en m R. Prvek a 2 T se nazv algebraick prvek nad R, je-li koenem nenulovho polynomu nad R, v opanm p pad transcedentn.
Vta 2.3
Nech T je roz en m R, a 2 T algebraick. Pak existuje jedin normovan ireducibiln polynom f 2 Rx], ktar m a za koen.
Dkaz: Existence. Nech f 2 Rx] je nejmen ho stupn mezi normovanmi s koenem a. Kdyby nebyl ireducibiln , dost v me spor s minimalitou stupn. Jednonanost. Nech g 2 Rx], g(a) = 0. Dlen m dost v me g = qf + r, deg r < deg f . Z g(a) = f (a) = 0 a minimality stupn f plyne u r = 0. Uvame njak jin f . Mus platit f jf podle pedchoz ho a z rove f jf . Odtud f = f , protoe oba jsou normovan. 2
Poznmka 2.4
Konen tlesa
1. Pro prvo slo p a n 2 N existuje tleso o pn prvc ch. 2. Libovoln konen tleso m pn prvk. 3. Libovoln dv konen tlesa o stejnm potu prvk jsou isomorfn .
Denice 2.5
Pro tleso R p eme zkr cen Rx1 : : : xn] = ( ((Rx1 ])x2 ]) ). Polynom f se nazv symetrick, nemn -li se pi libovoln permutaci promnnch.
2
Rx1 : : : xn]
Uvame tzv. elementrn symetrick polynomy 1 = x1 + + xn 2 = x1 x2 + + x1 xn + x2 x3 + + xn;1 xn ... X k = xi1 : : : xik 1i1 <
... n = x1 : : : x n
Vta 2.6
Kad symetrick polynom lze vyj dit pr v jedn m zpsobem jako polynom v element rn ch symetrickch polynomech. 2
3
3 Teorie svaz
3.1 Dvoj denice Denice 3.1
Nech A = (A ) je uspo dan mnoina. A se nazv sup-polosvaz (spojov, horn ), existuje-li supA fa bg pro libovoln a b 2 A. Analogisky de nujeme inf -polosvaz (prsekov, doln ). A je svaz, existuje-li souasn supA fa bg i inf Afa bg. Svaz je pln, existuje-li sup X i inf X pro libovolnou X A.
Vta 3.2
Je-li A uspo dan a pro vechny X A existuje inf X . Pak A je pln. Dkaz: Vezmeme a = inf Y = inf fy 2 A j y x 8x 2 X g. Je to horn z vora X a kad jin je prvkem Y , a je tedy sup X . 2
Denice 3.3
Bin rn operace na mnoin A se nazv idempotentn, plat -li a a = a pro kad a 2 A.
Denice 3.4
S = (S :) se nazv algebraicky de novan polosvaz, je-li operace asociativn , komutativn a idempotentn . L = (L ^ _) je algebraicky de novan svaz, jsou-li (L ^) a (L _) algebraicky de novan polosvazy a plat tzv. absorbn zkony a ^ (a _ b) = a a _ (a ^ b) = a Operace ^ _ se bn nazvaj prsek a spojen. Ozname korespondenci mezi dvoj de nic polosvazu A = (A ) 7! As = (A :) ab := supfa bg Ss = (S ) S = (S :) a b , ab = b
Vta 3.5
1. Pro sup-polosvaz A je As algebraicky de novan polosvaz. 2. Pro algebraicky de novan polosvaz S je Ss sup-polosvaz a supSs fa bg = ab pro vechna a b 2 S . 3. Pro sup-polosvaz A plat (As)s = A. 4. Pro algebraicky de novan polosvaz S plat (Ss)s = S.
Vta 3.6
Nech A = (A ) je svaz. De nujeme Ai = (A ^) a ^ b := inf fa bg As = (A _) a _ b := supfa bg Takto de novan ^ _ jsou v z ny absorbn mi z kony. Naopak nech L = (L ^ _) je algebraicky de novan svaz. De nujeme uspo d n a i b () a ^ b = a a s b () a _ b = b Uspo d n i s jsou stejn , tedy (L ) je svaz. 2
4
3. TEORIE SVAZ
3.2 Morsmy Denice 3.7
Nech A = (A ) B = (B ) jsou uspo dan mnoiny. Zobrazen : A ! B se nav isotonn, plat -li pro vechna a a0 2 A a a0 =) (a) (a0). Isotonn zobrazen je vno en, pokud nav c plat (a) (a0) =) a a0. Konen isomor smus (uspo danch mnoin) je surjektivn vnoen .
Denice 3.8
Nech A B jsou svazy, zobrazen : A ! B se nazv _-homomor smus (spojov), pokud (a _ a0 ) = (a) _ (a0). Analogicky de nujeme ^-homomor smus (prsekov). Zobrazen je homor smus je-li souasn _- i ^-homomor smus. Konen isomor smus (svaz) je bijektivn homomor smus.
Lemma 3.9
Nech A B jsou svazy, : A ! B zobrazen . Potom 1. je _-homomor smus znamen , e je isotonn . 2. je isomor smus uspo danch mnoin pr v tehdy, kdy je isomor smus svaz.
Vta 3.10
2
Slab
Pro libovolnou uspo danou mnoinu A existuje pln svaz B = (B ) a vnoen : A ! B . Dkaz: De nujme (a] := fx 2 A j x ag. Potom zobrazen : a 7! (a] je hledan vnoen do svazu (2A ). 2
Denice 3.11
Nech A = (A ) je uspo dan mnoina. Mnoinu 6= J A nazv me ide l, plat -li 1. Jestlie a 2 J x 2 A x a, potom x 2 J (analogie n soben ). 2. Pro vechna i 2 I je ai 2 J . Potom existuje supfai j i 2 I g (analogie s t n ).
Vta 3.12
Lep
Pro libovolnou uspo danou mnoinu A existuje pln svaz B = (B ) a vnoen : A ! B zachov vaj c vechna existuj c in ma a suprema. Dkaz: Pedpokl dejme, e A m nejmen prvek (pokud ne, pid me takov). Struktura J(A) = (J(A) ) je pln svaz vech ide l v A. Zobrazen : a 7! (a] je hledan vnoen A ! J (A).
2
Ide ly mohou reprezentovat re ln sla. Pid me k racion ln m slm nejmen prvek ;1, potom nevlastn ide ly jsou f;1g a Q f;1g, vlastn jsou ffx 2 Q f;1g j x ag j a 2 R g a ty odpov daj pesn re lnm slm.
Vta 3.13
O pevnm bodu
Nech L = (L ) je pln svaz, : L ! L isotonn zobrazen . Pak existuje a 2 L takov, e (a) = a. Dkaz: Uvaujme X = fx 2 L j (x) xg a ozname a = sup X . Z vlastnost suprema a isotonie se uk e, e (a) je horn z vora X , tedy plat a (a). Odtud (a) ((a)), tedy (a) 2 X a plat tak (a) a. 2
3.3 Nerovnosti
5
3.3 Nerovnosti Vta 3.14
V libovolnm svazu L = (L ^ _) plat pro a b c 2 L a ^ (b _ c) (a ^ b) _ (a ^ c) distributivn nerovnosti a _ (b ^ c) (a _ b) ^ (a _ c) a c =) a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c modul rn nerovnost (a ^ b) _ (a ^ c) _ (b ^ c) (a _ b) ^ (a _ c) ^ (b _ c) medi ln nerovnost
2
Denice 3.15
Svaz L = (L ^ _) se nazv modulrn, plat -li pro a b c 2 L a c =) a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ c distributivn, plat -li a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ (a _ c)
Lemma 3.16
Kad distributivn svaz je modul rn .
2
3.4 Modulrn svazy Lemma 3.17
Svaz je modul rn pr v tehdy, kdy plat a _ (b ^ (c _ a)) = (a _ b) ^ (c _ a).
2
Vta 3.18
Svaz L = (L ^ _) je modul rn pr v tehdy, kdy plat pro vechna a b c 2 L a b a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c =) a = b
Dkaz: Zleva doprava plyne z absorbn ch z kon a modul rn rovnosti, sta rozepsat a = a _ (a ^ c). Obr cen vezmeme x y z 2 L x z a chceme pro n splnit modul rn rovnost. Do tvrzen vty sta dosadit a = x _ (y ^ z), b = (x _ y) ^ z a c = y. 2
Denice 3.19
Svaz L = (L ^L _L) nazv me podsvazem svazu K = (K ^K _K ) je-li L K a pro kad a b 2 L plat a ^L b = a ^K b a _L b = a _K b Modul rn a distributivn svazy lze charakterizovat podle toho, jestli nkter ze svaz z obr zku 1 je jejich podsvazem. N5 nen modul rn , M5 modul rn je, ale nen distributivn .
Vta 3.20
Svaz L = (L ^ _) je modul rn pr v tehdy, kdy neobsahuje podsvaz isomorfn s N5 . Dkaz: Zleva doprva je tvrzen zejm. Pokud L nen modul rn , mus podle pedchoz vty existovat a b c 2 L takov, e a < b a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c. Tedy c mus bt s a b nesrovnateln, dost v me u N5 . 2
6
3. TEORIE SVAZ 1
1
a
c
b
a
b
c
0
N5
0
M5 Obr zek 1: Zlobiv svazy
Lemma 3.21
Svaz L = (L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy pro kad a b c 2 L plat a ^ (b _ c) = (a ^ b) _ (a ^ c). 2
Vta 3.22
Svaz L = (L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy plat pro vechna a b c 2 L a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c =) a = b
Vta 3.23
2
Svaz L = (L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy neobsahuje podsvaz isomorfn s N5 nebo M5.
Denice 3.24
2
Nech A = (A ) je uspo dan mnoina. Mnoina X A se nazv ddin, plat -li pro vechna x 2 X a 2 A a x =) a 2 X Zna me H A mnoinu vech ddinch podmnoin mnoiny A, podobn HA = (H A ).
Denice 3.25
Nech L = (L ^ _) je svaz. Prvek a 2 L se nazv spojov ireducibiln, plat -li pro vechna b c 2 L a = b _ c =) a = b nebo a = c Oznaujeme J L mnoinu vech spojov ireducibiln ch prvk svazu L s vyj mkou nejmen ho (pokud existuje) a J L = (J L ^ _).
Vta 3.26
Nech L = (L ^ _) je konen distributivn . Pak plat L = H(J L). Dkaz: Hledanm isomor smem je zobrazen : a 7! fx 2 J L j x ag. Pomrn snadno se uk e, e je to bijekce a zachov v operace ^ _. 2
3.5 Booleovy svazy
7
Denice 3.27
Okruhem mnoin nad njakou mnoinou A je libovoln systm jej ch podmnoin uzaven na operace \ .
D sledek 3.28
Libovoln okruh mnoin je isomorfn H(J (L ^ _)) pro vhodn konen svaz (L ^ _).
Dkaz: Libovoln okruh mnoin je distributivn svaz.
2
3.5 Booleovy svazy Denice 3.29
Svaz L = (L ^ _) se nazv omezen, pokud m nejmen a nejvt prvek. Standardn je zna me 0,1. D le nech a b 2 L jsou prvky omezenho svazu. k me, e b je komplement prvku a, plat -li a ^ b = 0 a _ b = 1. Prvek omezenho svazu me m t dn, jeden i v ce komplement (viz M5). 1 je vdy komplement 0 a naopak.
Denice 3.30
Komplementrn svaz je omezen svaz, ve kterm m kad prvek pr v jeden komplement. Boolev svaz je distributivn komplement rn svaz.
Vta 3.31
Nech L = (L ^ _) je distributivn svaz. 1. Kad a 2 L m nejve jeden komplement. 2. Nech a x b a x m komplement. Potom m x komplement i v intervalu a b] = fy L j a y bg.
2
Dkaz: (1) plyne z vlastnost komplementu, absorbn ch z kon a distributivity. (2) nech y je komplement x ve svazu L. Ozna me z = (y _ a) ^ b. Potom z je komplement x v intervalu a b] uk eme x ^ z = a x _ z = b. 2
Denice 3.32
Booleova algebra je estice B = (B ^ _ 0 1 0), kde (B ^ _) je Boolev svaz a pro kad a 2 B plat
a_0=a a^1=1
a _ a0 = 1 a ^ a0 = 0
Lemma 3.33
V libovoln Booleov algebe plat (a _ b)0 = a0 ^ b0 (a ^ b)0 = a0 _ b0
2
8
3. TEORIE SVAZ
Denice 3.34
Pole mnoin nad mnoinou A je okruh mnoin nad A uzaven na operaci rozd lu.
Vta 3.35
Libovoln konen Booleova algebra B je isomorfn (2A \ A {) pro vhodnou konenou A, pitom operaci komplementu de nujeme X { = A n X . Dkaz: De nujeme relaci pokrvn
a ; b
() 8a b c 2 Aa c > b ) a = c
Prvky a ; 0 nazv me atomy. Snadno se uk e (vta 3.31), e prvky J B jsou pr v atomy. Tedy J B je protietzec, kad jeho podmnoina je ddin . Sta vz t A = J B, potom 2A = H(J B) a tvrzen plyne z pedchoz ch vt. 2
D sledek 3.36
Libovoln Booleova algebra je isomorfn vhodnmu poli mnoin.
2
9 Struktura typ op. symboly svaz (2 2) (^ _) grupa (2) ( ) grupa s 1 a inverz (2 0 1) ( 1 ;1) vekt. prost. nad R (2 (1)r2R) (+ ( r )r2R) Tabulka 1: Jazyky konkrtn ch struktur
4 Univerzln algebra
4.1 Pojem -algebry, kongruence Denice 4.1
Systm (n )2 nez pornch celch sel nazveme typem, mnoinu ch peme jako mnoinu index. S kadm typem uvaujeme systm operan ch symbol (f )2. Jazykem nazv me uspo danou dvojici ; (n )2 (f )2 Algebra typu ( -algebra) je potom uspo dan dvojice
;
A = A (fA)2
kde A je mnoina a pro kad 2 je fA n - rn operace na A, kde n- rn operace znamen zobrazen An ! A, vetn A0 = fg d vaj c vbr prvku. Jazyky pro konkrtn algebraick struktury ukazuje tabulka 1. Operace r znamen n soben skal rem r 2 R. Je-li tleso R nekonen, je nekonen i dan jazyk.
Denice 4.2
Nech A = (A (fA)2 ) je -algebra. Relace na mnoin A se nazv kongruence -algebry A, plat -li pro kad 2 a1 b1 : : : an bn 2 A
a1 b1 : : : an bn =) fA (a1 : : : an ) fA(b1 : : : bn ) Potom je mon de novat faktorovou algebru algebry A podle kongruence
;
A= := A= (fA=)2
kde fA= (a1] : : : an ]) := fA (a1 : : : an )
Korektnost takov de nice je zaruena poadavkem na kongruenci. V grup ch kongruence odpov daj norm ln m podgrup m, faktorizovat podle kongruence znamen tot, jako podle norm ln podgrupy. V okruz ch hraj stejnou roli ide ly. Zna me Con A mnoinu vech kongruenc algebry A a E (A) mnoinu vech ekvivalenc na mnoin A.
Vta 4.3
(Con A ) je pln podsvaz svazu (E (A) ).
10
4. UNIVERZ LN ALGEBRA
Dkaz: DA := fa a] j a 2 Ag je nejmen , T A A nejvt prvek (Con A ). Uvaujme libovoln systm i 2 Con A pro i 2 I 6= . Zejm i2I 2 Con A. D le plat sup f i j i 2 I g sup f i j i 2 I g Con A
E (A)
S
Ozname pravou stranu . Sta uk zat, e je to kongruence. je tranzitivn obal i2I i. Uvame libovoln 2 a ozname n := n . Vezmme libovoln a1 : : : an b1 : : : bn 2 A takov , e a1 b1 : : : an bn . Chceme uk zat fA(a1 : : : an) fA(b1 : : : bn) Z konstrukce plyne a1 = c11 i11 c12 i12 c13 i1m1 ;1 c1m1 = b1 a2 = c21 i21 c22 i22 c23 i2m2 ;1 c2m2 = b2 ... ... an = cn1 in1 cn2 in2 cn3 in mn;1 c2m2 = b2 kde m1 : : : mn 2 N c 2 A i 2 I . Z prvn ho dku dost v me fA (a1 : : : an) i11 fA(c12 : : : an) =) fA(a1 : : : an) fA (c12 : : : an) =) fA (a1 : : : an ) fA (b1 : : : an ) Z druhho dku analogicky fA (a1 : : : an) fA(b1 b2 : : : an) atd. 2
Poznmka 4.4
Uvaujme-li typ (1), dostaneme tzv. 1-un rn algebry A = (A f ), kde f : A pomrn pehledn zn zornit diagramem (obr zek 2).
Poznmka 4.5
!
A. Ty leze
V p pad svaz plat n sleduj c tvrzen : Nech L = (L ^ _) je svaz. Potom 2 Con L pr v tehdy, kdy je to ekvivalence a pro vechna a b c 2 L plat (a ^ c) (b ^ c) (1) (a _ c) (b _ c) (2) v a
c
d
e f b u
Obr zek 2: 1-un rn algebra
x
y
4.2 Podalgebry
11
Dkaz: P mo z de nice kongruence 2 Con L pr v tehdy, kdy je to ekvivalence a pro vechna a b c d 2 L plat a b c d =) ((aa ^_ cc)) ((bb ^_ dd))
Odsud dosazen m d := c plyne tvrzen . Naopak pedpokl dejme a b c d. Na z klad platnosti (1) a komutativity ^ je mon ps t (a ^ c) (b ^ c) = (c ^ b) (d ^ b) = (b ^ d)
2
Dkaz pro _ se vede analogicky.
Poznmka 4.6
Podobn lze dok zat n sleduj c vlastnosti
a b =) (a ^ b) (a _ b) a b c a c =) a b
4.2 Podalgebry Denice 4.7 ;
;
Nech A = A (fA)2 je -algebra. Algebru B = B (fB)2 nazveme podalgebrou algebry A, jestlie B A a pro vechna 2 b1 : : : bn 2 B plat
fA(b1 : : : bn ) = fB(b1 : : : bn ) P eme B A a fB = fAjB n (tj. fA na B n dopadne stejn, jako fB, restrikce funkce) Lze ovem j t i z druh strany
Denice 4.8
Mnoina B A se nazv nosi podalgebry algebry A, plat -li pro kad 2 b1 : : : bn 2 B
fA(b1 : : : bn ) 2 B P eme B A.
;
Je-li B A, potom zejm B A. Naopak, je-li B A, potom B (fA jB n )2
A
Vta 4.9
Mnoina vech podalgeber algebry A je vzhledem k pln svaz.
Dkaz je p moar.
Poznmka 4.10
2
Zaneme-li uvaovat podalgebry, pln se projev form ln rozd l mezi nap. Booleovskmi svazy a Booleovskmi algebrami.
12
4. UNIVERZ LN ALGEBRA
4.3 Homomorsmy Denice 4.11
Zobrazen : A ! B se nazv homomor smus -algebry A = (A (fA )2 ) do algebry B = (B (fB)2 ) plat -li pro kad 2 a1 : : : an 2 A
;
;
fA(a1 : : : an ) = fB (a1) : : : (an ) Implicitn pedpokl d me, e ob algebry jsou tho typu. Homomor smus zna me : A ! B. Izomor smem rozum me bijektivn homomor smus, o dvou algebr ch ekneme, e jsou izomorfn, pokud mezi nimi existuje izomor smus.
Poznmka 4.12
Pro libovolnou kongruenci 2 Con A zav d me oznaen nat pro zobrazen A ! A= takov, e a 7! a]. Jedn se o surjektivn homomor smus A na A= .
Poznmka 4.13
Pokud B A, zna me standardn : b 7! b vnoen algebry B do A. Je to prost homomor smus.
Lemma 4.14
Relace ker := f(a a0) 2 A A j (a) = (a0)g je kongruence na algebe A.
Dkaz: Z de nice ker je zejm, e se jedn o ekvivalenci. Uvame libovoln 2 a pime n = n . Vezmme libovoln a1 : : : an b1 : : : bn tak, e a1 b1 : : : an bn. Potom (a1) = (b1 ) : : : (an) = (bn). Protoe je homomor smus, lze ps t
;
;
fA (A1 : : : an) = fB (a1) : : : (an) = ; ; fB (b1 ) : : : (bn) = fA(b1 : : : bn)
2
Vta 4.15
O homomorfismu
Nech : A ! B je homomor smus. Ozname : A ker ! (A) takov, e a]ker 7! (a). Potom (A) B (je to nosi podalgebry), je izomor smus A=ker na (A) a plat = nat ker , viz diagram. Nav c, pokud je surjektivn , B je izomorfn s A=ker .
A
?? nat ker y
;;;!
B
x? ?
A=ker ;;; ! (A) Dkaz: Z pedchoz ho dkazu je zejm, e m smysl uvaovat ker je to kongruence. Dokame d le: Mno ina (A) je nosi podalgebry. Vezmme libovoln 2 b1 : : : bn 2 (A). Potom existuj jejich vzory a1 : : : an 2 A. Plat ; ; fB(b1 : : : bn) = fB (a1) : : : (an) = fA(a1 : : : an) 2 (A)
4.4 Sou iny
13
Zobrazen je bijekce. Zejm je surjektivn a pro libovoln a b 2 A plat (a) = (b) =) a]ker = b]ker . Zobrazen je homomorsmus. Ozname := ker . Pro libovoln 2 a1 : : : an 2 A pime
;
fA= a1 ] : : : an] ; ; = fA(a1 : : : an) = fB (a1) : : : (an) ; = f(A) (a1 ]) : : : (an] ) Zobrazen je slo en nat ker . Pro kad a 2 A ( nat ker )(a) = ( )(a]ker ) = ((a)) = (a)
2
Denice 4.16
Algebra B je homomorfn obraz algebry A, existuje-li surjektivn homomor smus A ! B.
D sledek 4.17
Libovoln homomorfn obraz (A) je izomorfn s faktoralgebrou A=ker .
4.4 Sou iny Denice 4.18
Nech Ai = (Ai (fAi )2 ) je -algebra pro i de nujeme pro 2 n - rn operaci fA takto
;
2
I (i nespoetnou). Na mnoin A :=
;
fA (a1i )i2I : : : (ani )i2I := fAi (a1i : : : ani )
Algebru A =
Q A i2I i
i2I
Q A = (A (f A) ) nazveme souinem systmu algeber A . i 2 i2I i
Poznmka 4.19
Zobrazen i : A ! Ai takov, e (aj )j2I 7! ai je surjektivn homomor smus A na Ai pirozen i-t projekce. Dkaz pro obecnou mnoinu I vyaduje axiom vbru.
Denice 4.20
Q
Nech (Ai)i2I je systm -algeber. Algebra B i2I Ai se nazv podp m souin systmu (Ai )i2I , je-li pro kad i 2 I projekce ijB ( i z en na B ) surjektivn . Viz obr zek 3 p klad na svazech.
Vta 4.21
Nech B je podp mm souinem systmu (Ai )i2I , I 6= . Pak relace na A).
T
T ker( jB ) = (diagon ln i A i2I
Dkaz: Nech ((aj )j 2I (bj )j 2I ) 2 i2I ker( i jB ). Pro kad i 2 I plat ((aj )j2I (bj )j 2I ) 2 ker( i jB ). Tedy i ((aj )j2I ) = i((bj )j2I ), tj. ai = bi. 2
14
4. UNIVERZ LN ALGEBRA
A1
a
b
c
A2
A1 A2 (c ) (c ) (c ) (c )
(a ) (b )
Obr zek 3: Podp m souin
Vta 4.22
Nech A = (A : : : ) je -algebra, ( i) 2I I 6= systm kongruenc takov, e A je izomorfn s podp mm souinem systmu (A= i )i2I . Dkaz: Hledanm izomor smem je
T = . Pak A i2I i
Q
: A ! i2I A= i a 7! (a]i )i2I Jedn se zejm o surjekci, dok eme d le ve potebn. Zobrazen je prost. Nech (a]i )i2I = (b]i )i2I . Pro kad i 2 I plat a]i = b]i , tedy (a b) 2 i, T to znamen (a b) 2 i2I i = A. Zobrazen je homomorsmus. Uvame tradin 2 n = n a1 : : : an 2 A. Potom podle de nic zobrazen , operace na souinu a faktoralgebe meme ps t
;
A= ; i
f i2I A=i (a1) : : : (an) = f (a1 ]i )i2I : : : (an]i )i2I = f
;
a1 ]i : : : an]i
i2I
= fA(a1 : : : an)
i i2I
To u je, opt podle de nice , fA(a1 : : : an) . Mno ina (A) je podpm sou in. M me uk zat, e zobrazen
i j(A):
Y j 2I
A= j ! A= i
je surjektivn . Vezmme libovoln prvek A= i , tj. a]i pro vhodn a 2 A. To u je ale obrazem (a).
2
Denice 4.23
Algebra A = (A (fAi )2 ) se nazv podp mo rozloiteln , existuje-li systm kongruenc ( i)i2I , I 6= takov, e \ i = A a z rove i 6= A pro kad i 2 I i2I
4.4 Sou iny
15
Nap klad na obr zku 3 je podp m souin t - a typrvkovho line rn ho svazu, t prvkov line rn svaz je podp mm souinem dvou dvouprvkovch. Oproti tomu M5 je podp mo nerozloiteln. Vta 4.24 (AC) Kad netrivi ln 1 -algebra A je izomorfn podp mmu souinu vhodnho nepr zdnho systmu (A)i2I podp mo nerozloitelnch -algeber. Pitom kad Ai je faktoralgebrou A.
Lemma 4.25
Zornovo
Nec A = (A ) je takov uspo dan mnoina, e kad etzec v A m horn z voru. Potom pro libovoln a 2 A existuje maxim ln prvek a v A takov, e a a . Toto lemma je ekvivalentn axiomu vbru. Dkaz vty je ponkud okliv, oznaen jako nepovinn. Vyu v pr v Zornovo lemma.
Vta 4.26
Libovoln netrivi ln podp mo nerozloiteln svaz je izomorfn .
Dkaz: Svaz je zejm podp mo nerozloiteln. Jin dvouprvkov neexistuje. Uvame tedy jLj 3. Existuje a 2 L, kter nen ani nejvt , ani nejmen . Pro x y 2 L de nujme relace def x y () x^a=y^a def z y () x_a=y_a Jsou to kongruence. Nech x y z 2 L, x y. Chceme uk zat (x ^ z) (y ^ z) a (x _ z) (y _ z). V me, e x ^ a = y ^ a. Tvrzen x ^ z ^ a = y ^ z ^ a je zejm z vlastnost svaz. Z distributivity plyne (x _ z) ^ a = (x ^ a) _ (z ^ a) = (y ^ a) _ (z ^ a) = (y _ z) ^ a Relace je de nov na pomoc rovnosti, je tedy zejm ekvivalenc . Du ln se dok e, e je kongruence. Zejm plat \ = L, pitom 6= L, protoe existuj b < a < c, odkud a c, a b. Tedy L je podp mo rozloiteln podle vty 4.22, co je spor. 2
D sledek 4.27
Z vty 4.24 a pedchoz ho plyne, e kad netrivi ln distributivn svaz je izomorfn K podp Q mmu souinu systmu i2I
Vta 4.28 (AC)
Libovoln distributivn svaz je izomorfn okruhu mnoin. Dkaz: Hledanm izomor smem je
;
u : K ! 2I \ (ai)i2I 7! fi 2 I j ai = 1g Zobrazen u je bijekce d ky tomu, e K je podp m souin, operace ^ _ v K odpov daj zejm \ v 2I . 2 1 alespo
dvouprvkov
16
4. UNIVERZ LN ALGEBRA
Vta 4.29 (AC)
Libovoln Boolev svaz je izomorfn poli mnoin.
Dkaz: Nech (ai )i2I je nejmen prvek B. Pipustme, e existuje i 2 I tak, e ai = 1. Potom libovoln prvek v B m na i-t sloce 1 nejedn se o podp m souin, co je spor. Tedy (0)i2I 2 B , analogicky (1)i2I 2 B . 2
4.5 Termy a identity Denice 4.30
Nech =; (n )2 je typ, (f )2 systm operan ch symbol a M libovoln mnoina. Jazykem L rozum me (f )2 . Induktivn de nujeme mnoinu FL (M ) 1. M FL(M ) 2. Pro 2 w1 : : : wn 2 FL(M ) je f (w1 : : : wn ) 2 FL(M ) 3. Do FL(M ) pat pr v to, co vzniklo v konenm potu krok z 1. a 2. Prvky FL (M ) nazv me slova nad M . De nujme d le
fFL(M ) (w1 : : : wn ) := f (w1 : : : wn ) Algebru
;
FL(M ) = FL(M ) fFL (M ) 2 nazv me algebrou L-slov, resp absolutn volnou -algebrou. Uvame d le X = fx1 x2 : : : g mnoinu tzv. promnnch. Prvky FL(X ) nazv me termy jazyka L, prvky FL(fx1 : : : xng) n-rnmi termy. Uvame nap klad jazyk 1-un rn ch algeber s p lunm fukn m symbolem f . Potom n- rn termy budou jednak x1 : : : xn podle 1. a obecn fm (xi) pro m 2 N a i 2 f1 : : : ng podle 2.
Denice 4.31
Nech A je mnoina. De nujme eAn i (a1 : : : an ) := ai pro libvoln n i 2 f1 : : : ng jako i-tou n-rn projekci na mnoinu A.
2
N , a : : : an 2 A a 1
Denice 4.32
Nech f 2 AAm g1 : : : gm 2 AAn . De nujeme n- rn operaci, tzv. kompozici f (g1 : : : gm) 2 AAn takto ; (f (g1 : : : gm)) (a1 : : : an) := f g1(a1 : : : an) : : : gm(a1 : : : an)
Denice 4.33 ;
Nech A = A (fA)2 je -algebra, p indukovan termem p jako
pAn
(
2
FL(Nn). De nujeme pAn
eAi n p = xi := A An f q1 : : : qnAn p = f (q1 : : : qn )
2
AAn polynom na A
17
Denice 4.34
Uspo danou dvojici term (p q) z FL(n) nazveme identitou (p eme p l q). ekneme, e algebra A spluje identitu p l q (p eme A j= p l q), plat -li pAn = qAn . Dkaz korektnosti se vede indukc , znamen uk zat, e pro m n plat pAm (a1 : : : am ) = pAn (a1 : : : an).
Denice 4.35
Identitu tvaru f k (xi) l f k+d(xj ) nazv me regulrn, pokud i = j .
Denice 4.36
Nec je mnoina identit. T du vech -algeber spluj c ch vechny identity z ozna me Mod . Varieta -algeber k me t d tvaru Mod pro njak . Nap klad nebo
Mod f ki (x) l f ki +di (x) j i 2 I = Mod f k (x) l f k+d (x) j i 2 I
Mod f ki (x) l f ki (y ) j i 2 I = Mod f k (x) l f k (y ) j i 2 I kde k := minfki j i 2 I g a d := GCD fdi j i 2 I g.
5 Voln algebry Tato kapitola je asi to nejzaj mavj , co v algebe vbec bylo. Bohuel nest h m, ke st tn c m to poteba nen , take to snad dopln m v ervnu.
