Alfaro 2.docx

Ejemplo 37. Construir el diagrama de los momentos (lectores en la viga continua de la fig. 308, a. Seccionamos el voladizo izquierdo y sustituimos el empotramiento por el tramo infinitesimal 0 (fig. 308, 6). Adoptamos 𝐽0 = = J . Las longitudes reducidas de los tramos son:

λ1 = l1 = 10 𝑚

8𝐽

λ2 = 0.8𝐽 = 10 𝑚

Las ecuaciones de los tres momentos son:ω

λ1 M0 + 2(λ1 + λ2 )M1 + λ2 M2 + 6𝐽 (

ω1 a1 ω2 b2 + )=0 ; l1 𝐽 l2 0.8𝐽

ω2 a2

λ2 M1 + 2(λ2 + λ3 )M2 + λ3 M3 + 6𝐽 ( l

2 0.8𝐽

+

ω 3 b3 l3 𝐽

)=0

Los diagramas de los momentos (lectores en una viga simplemente apoyada están representados en la fig. 308, e. Hallamos que: ω1 = 12 ∗

8(10−8) 2

= 96 𝑡𝑓𝑚2

1

a1 = 3 (0 + 8 + 10) = 6 𝑚 1

b1 = 3 (0 + 10 + 2) = 4 𝑚 ω2 =

𝑞𝑙3 24

=

6∗83 24

8

64

7

56

= 128 𝑡𝑓𝑚2

a2 = 15 8 = 15 𝑚 b2 = 15 8 = 15 𝑚 Ahora podemos escribir las ecuaciones de los tres momentos, con los coeficientes numéricos, para M0 = —2 tfm.

96∗6

-10*2 + 2(10+10) M1 + 10M2 + 6 (

10

64

56

128

+ 15 )= 0; 8∗0.8

128

10M1 + 2(10 + 0 )M2 + 0 + 6 (15 )=0 8∗0.8

40M1 + 10M2 + 6(57,6 + 74,67 ) − 20 = 0

10M1 + 20M2 + 6( 85,33 + 0) = 0 de donde obtenemos que

M2 = −18,205 𝑡𝑓𝑚

M1 = −14,789 𝑡𝑓𝑚

Efectuamos la construcción del diagrama de momentos flectores por la fórmula (14.18). Al principio, trazamos en cada tramo una línea punteada que represente al diagrama de los momentos flectores debidos a los momentos de apoyo hallados (fig. 308, d) y, luego, a esta recta le «colgamos» el diagrama de los momentos flectores debidos a la carga dada en este tramo, como en una viga sobre dos apoyos.

METODO DE LOS PUNTOS FOCALES DE LOS MOMENTOS. Representémonos una viga continua de varios tramos, cargada en todos o en algunos de los tramos situados a la derecha del examinado (fig. 309, a). Seccionemos la viga a la distancia d𝑧 , a la derecha del i-ésimo apoyo, y sustituyamos la acción de la parte derecha eliminada sobre la izquierda que queda, por la fuerza transversal Q (𝑖+1)0 (y el momento flector Mi (fig. 309, b). Los momentos flectores sobre todos los tramos izquierdos los origina sólo el momento M¡, y la fuerza transversal Q (𝑖+1)0 es recibida por el i-ésimo apoyo extremo sin originar flexión. El diagrama de los momentos flectores en los tramos izquierdos está representado en la fig. 309, b. En cada tramo izquierdo el diagrama de momentos flectores corta a la viga en un punto determinado, señalado en la figura con una estrellita. La posición de estos puntos no depende de la magnitud del momento M𝑡 y, por consiguiente, tampoco de la carga de cualesquiera de los otros tramos a la derecha del i-ésimo tramo.

A tales puntos se los denomina puntos focales izquierdos o focos de momento izquierdos, por cuanto en ellos, al cargar todos o algunos de los tramos de la viga continua a la derecha del examinado, los momentos flectores son iguales a cero. Al cargar todos o algunos de los tramos de la viga continua a la izquierda del examinado, los puntos focales derechos so determinan análogamente. Así pues, cada tramo de viga continua posee dos focos de momento, el izquierdo y el derecho (fig. 309, c), la posición de los cuales no depende de la carga, sino, solamente, de las dimensiones y rigidez de la viga. El punto focal izquierdo es el punto, en el cual, si la carga está ubicada a la derecha del tramo examinado, el momento flector es igual a cero y, el punto focal derecho es el punto, en el cual, si la carga está ubicada a la izquierda del tramo examinado, el momento flector es igual a cero, tales casos, en los focos la linca elástica tiene el pinito de inflexión. Las relaciones entre el mayor, en valor absoluto, momento de apoyo del tramo no cargado y el menor, tomadas con el signo contrario, se llaman relaciones focales.

Relación focal izquierda

M𝑖

k1 = − M

𝑖−1

(15.12)

Relación focal derecha

k1 = −

M𝑖−1 M𝑖

(15.13)

Las relaciones focales permiten establecer con medios simples la posición de los focos y determinar uno de los momentos de apoyo si es conocido el otro. Representemos ahora una viga cargada sólo en un tramo (fig. 309, d). Supongamos que se conocen los momentos de apoyo de este tramo cargado y las relaciones focales para toda la viga.

Lntonces, los momentos de apoyo de los tramos izquierdos y derechos no cargados se determinan por las expresiones: para los tramos izquierdos no cargados

M𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 = −

M𝑑𝑒𝑟 𝑘

(15.14)

para los tramos derechos no cargados

M𝑑𝑒𝑟 = −

M𝑖𝑧𝑞 𝑘′

(15.15)

Donde M𝑖𝑧𝑞 y M𝑑𝑒𝑟 son *os momentos izquierdo y derecho del tramo no cargado. Por cuanto en los tramos no cargados de la viga el diagrama de momentos es rectilíneo, entonces él, en cada tramo, se construye por los momentos de apoyo calculados.

El i-ésimo tramo cargado se puede examinar como una viga simple, de doble apoyo, bajo la carga dada y los momentos de apoyo M𝑖−1 y M𝑖 . Por eso, al construir los diagramas do momentos en este tramo, es necesario «colgarla» (aplicarle) a la línea punteada de los momentos de apoyo el diagrama de los momentos de la viga simplemente apoyada, debidos a la carga dada. Si la viga se calcula cargada en varios tramos, entonces, es indispensable examinar la carga de cada tramo por separado y, luego, sobre la base del principio de independencia de acción de las fuerzas, sumar todos los diagramas. Como se ve de lo dicho, para el cálculo por el método do los focos, es

necesario conocer las relaciones focales y el valor de los momentos de apoyo del tramo cargado. 1. DETERMINACION DE LAS RELACIONES FOCALES Examinemos dos tramos adyacentes i e i-1, suponiendo que la carga está aplicada a la derecha de éstos (fig. 310). Escribamos para

estos tramos la ecuación de los tres momentos

λ𝑖−1 M𝑖−2 + 2(λ𝑖−1 + λ𝑖 )M𝑖−1 + λ𝑖 M𝑖 = 0 Dividiéndola porM𝑖−1 , hallamos, que

M

M𝑖

λ𝑖−1 M𝑖−2 + 2(λ𝑖−1 + λ𝑖 ) + λ𝑖 M 𝑖−1

𝑖−1

=0

Sustituyendo las relaciones de los momentos flectores por la.t relaciones focales, obtenemos

λ

− k𝑖−1 + 2(λ𝑖−1 + λ𝑖 ) + λ𝑖 k 𝑖 = 0 𝑖−1

De donde obtenemos la fórmula de la relación focal siguiente, expresada por medio de la anterior

k𝑖 = 2 +

λ𝑖+1 λ𝑖

(2 − k

1 𝑖−1

)

(15.16)

Análogamente, la fórmula para las relaciones focales derechas, tiene la forma:

k𝑖 = 2 +

λ𝑖+1 λ𝑖

(2 − k

1 𝑖−1

)

(15.17)

Para la determinación de las relaciones focales izquierdas es necesario conocer la relación focal izquierda del primer tramo y, para las derechas, la derecha del último. Mostremos cómo determinarlas, según el tipo de los apoyos extremos. Efectuaremos los razonamientos para las relaciones focales izquierdas del primer tramo y, los resultados, los empleamos también

para las derechas del último. Si el apoyo izquierdo del primer tramo (fig. 311, a) es articulado, entonces, la relación focal izquierda será k 𝑖 = −

M𝑖 0

= ∞ . Si el apoyo

izquierdo del primer tramo es un empotramiento (fig. 311, b), entonces, sustituyéndolo por un tramo infinitesimal (fig. 311, c), tendremos que para él, k 0 = λ

M0 M−1

=∞

1

Después de esto, por (15.16) hallamos que k1 = 2 + λ0 ∗ ( 2 − ∞) = 2 , dado que λ0 1

= 0. Por consiguiente, para un apoyo articulado en el extremo del primer (último) tramo, la relación focal izquierda (derecha) es igual al infinito, pero, para un empotramiento en él, la relación focal izquierda (derecha), es igual a dos. Cada tramo de viga continua puede ser examinado como elásticamente empotrado es decir, que ocupa una posición intermedia entre una viga con apoyos articulados y otra, con apoyos empotrados. Por esta razón las relaciones focales satisfacen a las desigualdades 2 < k < ∞.

2. DETERMINACION DE LOS MOMENTOS FLECTORES DE UN TRAMO CARGADO (FIG. 312) Escribamos la ecuación de los tres momentos, al principio para los tramos i — 1 e i y, luego, para los i e i+1: λ𝑖−1 M𝑖−2 + 2(λ𝑖−1 + λ𝑖 )M𝑖−1 + λ𝑖 M𝑖 + 6𝐸J0 ∆(𝑖−1)𝑃 = 0 λ𝑖−1 M𝑖−1 + 2(λ𝑖 + λ𝑖+1 )M𝑖 + λ𝑖+1 M𝑖+1 + 6𝐸J0 ∆𝑖𝑃 = 0 En estas ecuaciones hay cuatro momentos de apoyo incógnitosM𝑖−2 , M𝑖−1 , M𝑖 , M𝑖+1. Por medio de las relaciones focales, dos

de ellos, M𝑖−2 y M𝑖+1 pueden ser expresados a través de los otros dos M𝑖−2 𝑦 M𝑖 : M𝑖−1 = −k 𝑖−1 M𝑖−2

M𝑖 = −k 𝑖+1 M𝑖+1 Después de esto, las ecuaciones adquieren la forma: −

λ𝑖−1 k𝑖−1

M𝑖−1 + 2(λ𝑖−1 + λ𝑖 )M𝑖−1 + λ𝑖 M𝑖 + 6𝐸J0 ∆(𝑖−1)𝑃 = 0

λ𝑖 M𝑖−1 + 2(λ𝑖 + λ𝑖+1 )M𝑖 −

M𝑖 λ k𝑖+1 𝑖+1

+ 6𝐸J0 ∆𝑖𝑃 = 0

o bien M𝑖−1 [2 +

λ𝑖−1 1 ∆𝑖−1 𝑃 (2 − )] + M𝑖 + 6𝐸J0 =0 k𝑖 k 𝑖−1 λ𝑖

M𝑖−1 + M𝑖 [2 +

λ𝑖+1 1 ∆𝑖 𝑃 (2 − )] + 6𝐸J0 =0 λ𝑖 k 𝑖+1 λ𝑖

Teniendo en cuenta (15.16) y (15.17), tendremos definitivamente:

M𝑖−1 k 𝑖 + M𝑖 = − 6𝐸J0

∆𝑖−1 𝑃 λ𝑖

M𝑖−1 + M𝑖 k 𝑖 = − 6𝐸J0

∆𝑖 𝑃 λ𝑖

De aqui : M𝑖−1 = −

6𝐸J0 ∆(𝑖−1)𝑝 k 𝑖 − ∆𝑖 𝑃 ∗ λ𝑖 k𝑖 k𝑖 ′ − 1

Los desplazamientos ∆𝑖𝑃 y ∆(𝑖−1)𝑃 se expresan así: a) habiendo carga, por (15.5)

∆(𝑖−1)𝑝 =

ω 𝑖 b𝑖 l𝑖 EJ𝑖

, ∆𝑖𝑝 =

ω𝑖 a𝑖

(15.19)

l𝑖 EJ𝑖

b) en el caso de dislocamiento de los apoyos, por (15.6)

∆(𝑖−1)∆ = ∆𝑖∆ =

∆𝑖 − ∆𝑖−1 l𝑖 ∆𝑖−1 − ∆𝑖

(15.20)

l𝑖

Las fórmulas de los momentos de apoyos habiendo carga son

𝑀(𝑖−1) = −

6ω𝑖 l𝑖

∗

b𝑖 k′𝑖 − a𝑖 k𝑖 k′𝑖 −1

𝑀𝑖 = −

6ω𝑖 l𝑖

∗

a𝑖 k′𝑖 − b𝑖 k𝑖 k′𝑖 −1

Si los apoyos extremos de una viga continua son articulados y, por consiguiente, las relaciones focales para los tramos extremos son iguales al infinito, entonces, una de las expresiones de (15.21) contendrá una indeterminación. Desarrollándola, obtenemos:

Si los apoyos extremos de una viga continua son articulados y, por consiguiente, las relaciones focales para los tramos extremos son iguales al infinito, entonces, una de las expresiones de (15.21) contendrá una indeterminación. Desarrollándola, obtenemos: a) el momento de apoyo derecho del primer tramo 𝑀1 = −

6ω𝑖 a𝑖 ∗ l𝑖 k𝑖

b) el momento de apoyo izquierdo del último m-ésimo tramo

𝑀𝑚−1 = −

6ω𝑚 b𝑚 ∗ l𝑚 k 𝑚

Las fórmulas (15.21)—(15.23) son válidas, también, para las vigas de sección constante, varían sólo los valores de las relaciones focales (15.16)—(15.17):

𝑘1 = 2 +

l𝑖−1 l𝑖

(2 − k

1 𝑖−1

)

(15.24)

𝑘1 ′ = 2 +

l𝑖+1 l𝑖

(2 − k

1 𝑖+1

)

(15.25)

De este modo, el cálculo deberá efectuarse en el siguiente orden: 1) por las fórmulas (15.16) y (15.17) o por las (15.24)—(15.25) se determinan las relaciones focales 2) por las fórmulas (15.18)—(15.23) se determinan los momentos de apoyo del tramo cargado; 3) por las fórmulas (15.14) y (15.15) se calculan los momentos de apoyo de los tramos no cargados Ejemplo 38. Construir los momentos flectorcs en la viga de la fig. 313, a por el método de los puntos focales. Para 𝐽0 = J, las longitudes reducidas de

los tramos son 12𝐽

λ1 = 8 m , λ2 = 1.5𝐽 = 8 𝑚 , λ3 = 8 m , λ4 = 8 m

Determinamos las relaciones focales por las fórmulas (15.10) y (15.17) 8

1

k1 =∞ , k 2 = 2 + 8 (2 − ∞) = 4 8 1 15 k 3 = 2 + (2 − ) = 8 4 4 8 4 56 k 4 = 2 + (2 − ) = 8 15 15 Las relaciones focales derechas se determinan de las condiciones de simetría:

𝑘1′ =

56 15

, 𝑘2′ =

15 4

, 𝑘3′ = 4 , 𝑘4′ = ∞

Los momentos de apoyo del tramo cargado se determinan por las fórmulas (15.21):

𝑞𝑙 3 𝜔3 = = 144𝑞 ; 𝑎3 = 𝑏3 = 6 𝑚 12 𝑀3 = −

6 ∗ 144𝑞 (6 ∗ 4 − 6) ∗ = −7.714𝑞 𝑡𝑓𝑚 15 122 4 − 1 4

15 6 ∗ 144𝑞 (6 ∗ 4 − 6) 𝑀3 = − ∗ = −7.072𝑞 𝑡𝑓𝑚 15 122 4 − 1 4

Los momentos de apoyo de los tramos no cargados se determinan por las fórmulas (15.14) y (15.15): 𝑀1 = −

𝑀2 7.714𝑞 𝑀1 = = 1.928𝑞 ; 𝑀0 = − =0 𝐾2 4 𝐾1

𝑀4 = −

𝑀3 =0 𝑘4′

El diagrama de momentos se expone en la fig. 313, b. Ejemplo 38. Determinar los momentos de apoyo en una viga continua de tres tramos iguales, debidos a que el primer apoyo intermedio se lia asentado d cm Las relaciones focales por (15.24) son: . El asentamiento del primer tramo por (15.20) es:

k1 =∞ ; k 2 =4 ; k 3 =

15 4

El asentamiento del primer tramo por (15.20) es: ∆0∆ =

∆𝑡 − ∆0 𝑑 = 𝑙 𝑙

∆1∆ =

∆1 − ∆0 𝑑 =− 𝑙 𝑙

Los momentos de apoyo por (15.18) son: ∆0∆ 𝑑 6𝐸𝐽 ∆1∆ − k1 6𝐸𝐽 (− 𝑙 ) 6𝐸𝐽𝑑 M0 = − =− = 1.6 2 15 𝑙 𝑘′ − 1 𝑙 𝑙 1 k1 4

M2 = −

M1 6𝐸𝐽𝑑 = 0.64 2 k2 𝑙

El asentamiento del segundo tramo es: ∆1∆ =

0−𝑑 𝑑 =− 𝑙 𝑙

∆2∆ =

0−𝑑 𝑑 =− 𝑙 𝑙

Los momentos de apoyo son

𝑑 𝑑 6𝐸𝐽 (− 𝑙 4 − 𝑙 ) 2𝐸𝐽𝑑 M1 = − = 2 𝑙 4∗4−1 𝑙

𝑑 𝑑 6𝐸𝐽 ( 𝑙 4 + 𝑙 ) 2𝐸𝐽𝑑 M2 = − =− 2 𝑙 4∗4−1 𝑙 Los momentos de apoyo totales son:

M1 = 1.6

𝐸𝐽𝑑 𝐸𝐽𝑑 𝐸𝐽𝑑 + 2 2 = 3.6 2 2 𝑙 𝑙 𝑙

M2 = −0.4

𝐸𝐽𝑑 𝐸𝐽𝑑 𝐸𝐽𝑑 − 2 = −2.40 𝑙2 𝑙2 𝑙2

CALCULO DE VIGAS CONTINUAS SOBRE APOYOS ELASTICOS. Se llaman vigas continuas sobre apoyos elásticos a aquéllas, cuyos puntos de apoyo, bajo carga, pueden desplazarse perpendicularmente al eje de la viga. Como ejemplo puede servir una viga continua sobre puntales largos (fig. 314, a). Consideraremos como apoyos elásticos a los capaces de deformarse linealmente.

para los cuales, los desplazamientos de los puntos de apoyo de la viga son proporcionales a las reacciones de dichos apoyos y𝑚 = c𝑚 R 𝑚

(15.26)

Donde c𝑚 es el coeficiente de compresibilidad del m-ésimo apoyo en cm/kg.

Tal viga puede ser representada esquemáticamente con los apoyos en forma de muelles (fig. 314, b). El sistema básico se elige con las articulaciones sobre los apoyos (fig. 314, c). En el caso general, las ecuaciones canónicas para una viga continua sobre apoyos elásticos serán de cinco miembros y no de tres, como para la viga sobre apoyos rígidos. Esto es fácil de comprender, por cuanto, debido a la elasticidad de los apoyos, los desplazamientos originados por los momentos de apoyo M𝑖 , ahora, se extienden sobro dos tramos a la derecha y sobre otros dos a la izquierda del apoyo i (fig. 315, a). La ecuación canónica de los desplazamientos, por la dirección del momento de apoyo del medio M𝑖 tiene la forma:

δ𝑖(𝑖−2) M𝑖−2 + δ𝑖(𝑖−1) M𝑖−1 + δ𝑖𝑖 M𝑖 + δ𝑖(𝑖+1) M𝑖+1 + δ𝑖(𝑖+2) M𝑖+2 + ∆𝑖P =0

(15.27 )

Esta ecuación so llama ecuación de los cinco momentos. Sus coeficientes y miembros libres se determinan por las fórmulas:

donde: M𝑖 son los momentos en la viga, debidos a M𝑖 = 1 ; Mℎ los momentos en la viga, debidos a Mℎ = 1 ; M𝑃 , los momentos debidos a la carga dada; R 𝑚𝑖 es la reacción del apoyo m debida a M𝑖 = 1 ; R 𝑚ℎ , la reacción del apoyo m debida a Mℎ = 1 ; R 𝑚𝑝 la

reacción del apoyo m debida a la carga; c𝑚 el coeficiente de compresibilidad del apoyo m. Por ejemplo, según (15.28), el desplazamiento δ𝑖(𝑖−2) es igual a (fig. 315, b)

Δ𝑖(𝑖−2) = 0 + c𝑖−1

1

1

l𝑖−1 l𝑖

150. DIAGRAMAS ENVOLVENTES TEORICOS DE LOS MOMENTOS FLECTORES. Al elegir las secciones transversales de las vigas continuas, como también, de otras cualesquiera, las medidas de las secciones se determinan, principalmente, por los momentos flectores. De ahí la necesidad de calcular sus valores máximos. Si la viga continua se calcula sólo bajo una carga, para una sola posición de ésta, y si en el estado límite la viga se encuentra en la fase elástica, entonces, el diagrama de momentos debido a esta carga, construido por la ecuación de los tres o cinco momentos o por el método de los focos será el diagrama de cálculo, por el cual se efectúa la elección de las secciones de la viga o la verificación de su resistencia. Pero, si además de la carga permanente, como corrientemente sucede, sobre la viga van a actuar diferentes cargas accidentales, las cuales pueden encontrarse sobre ella, tanto juntas como separadas, en diferentes combinaciones, entonces, es imprescindible elegir,

para cada sección de la viga, tal combinación de cargas, para la cual, en esta sección, apareciera el mayor momento flector. Esta cuestión se resuelve de la manera más completa y exacta con la construcción de las líneas de influencia de los momentos flectores en algunas secciones de la viga. Pero tal vía es, también, bastante complicada. Si se considera que la carga accidental, deutro de los límites de cada tramo, es fija y que actúa simultáneamente a lo largo de todo el tramo, entonces, esta cuestión se puede resolver, de una manera más simple, por medio de la determinación de los mayores valores teóricos de los momentos flectores en cada seJ0 cción, cargando, por separado, cada tramo de la viga continua. Memente repartidas, la permanente q y la accidental p, siendo que la última se reparte a todo lo largo del tramo y se dispone sobre uno o varios tramos simultáneamente. Construimos el diagram de los momentos flectores debidos a las cargas dadas, permanente y accidental, ubicando esla \iltima, sucesivamente, en cada tramo de la viga. Luego, componemos las expresiones de los valores más altos, en valor absoluto, de los momentos flectores positivos y negativos, por las fórmulas:

+ M𝑐𝑎𝑙𝑐 = M𝑞 + Σ ( +M𝑃 )

− M𝑐𝑎𝑙𝑐 = M𝑞 + Σ ( - M𝑃 ) donde: M𝑞 es el momento flector debido a la carga permanente

en la sección dada. M𝑃 son los momentos flectores debidos a las cargas accidentales que originan en la sección un momento positivo. —M𝑃 los momentos flectores debidos a las cargas accidentales que originan en la sección un momento negativo.

El aspecto aproximado del diagrama de cálculo de los momentos flectores se muestra en la fig. 316. Tal diagrama envolvente de los momentos de cálculo es particularmente cómodo al diseñar vigas de sección variable, por ejemplo, vigas soldadas o roblonadas con las chapas de las tablas cortadas. En este caso, no se debe olvidar que si el diagrama envolvente fue construido sin tener en cuenta lavariación de las secciones de la viga, entonces, él refleja al diagram real para la viga de sección variable, sólo aproximadamente. Por eso, si es necesario tener un cálculo preciso, entonces, este diagram deberá ser reconstruido, teniendo en cuenta la variabilidad de la sección de la viga.

151. METODO ESTATICO DE CONSTRUCCION DE LAS LINEAS DE INFLUENCIA DE LOS MOMENTOS DE APOYO.

EMPLEO DE LOS COEFICIENTES DE INFLUENCIA Presentamos la ecuacion de los tres momentos, para P = 1, en la forma canonica

δ𝑖(𝑖−1) M𝑖−1 + δ𝑖𝑖 M𝑖 + δ𝑖(𝑖+1) M𝑖+1 + δ𝑖𝑃 = 0

(15.31)

Donde δ𝑖(𝑖−1) = λ𝑖 ; δ𝑖𝑖 = 2(λ𝑖 + λ𝑖+1 ) ; δ𝑖(𝑖+1) = λ𝑖+1 ; λ𝑖 =

l𝑖 J0 J𝑖

ωa

𝑖 𝑖 δ𝑖𝑃 = 6𝐸J0 δ𝑖𝑃 = 6𝐸J0 (l 𝐸J ) con el peso del tramo i; 𝑖

𝑖

ω𝑖+1 b𝑖+1

δ𝑖𝑃 = 6𝐸J0 δ𝑖𝑃 = 6𝐸J0 ( l

𝑖+1 𝐸J𝑖+1

) con el peso del tramo i+1 ;

Las ecuaciones de las lineas de influencia de los momentos de apoyo se expresan, por medio de los coeficientes de influencia, de la siguiente manera:

1.i de 𝑀1 = 𝛽11 δ1𝑃 + 𝛽12 δ2𝑃 + ⋯ 𝛽1𝑛 δ𝑛𝑃 1.i de 𝑀ℎ = 𝛽ℎ1 δ1𝑃 + 𝛽ℎ2 δ2𝑃 + ⋯ 𝛽ℎ𝑛 δ𝑛𝑃

(15.32)

1.i de 𝑀𝑛 = 𝛽𝑛1 δ1𝑃 + 𝛽𝑛2 δ2𝑃 + ⋯ 𝛽𝑛𝑛 δ𝑛𝑃

Los coeficientes de influencia pueden ser hallados por medio de los determinantes por la formula (14.49) o, por el procedimiento de Gauss, por las (14.59) y (14.(50) o, por el procedimiento de los momentos focales por la formula 𝛽ℎ1 = − λ

𝑀ℎ𝑖 𝑘𝑖 𝑖

(𝑘𝑖 𝑘1′ −1)

(15.33)

donde 𝑀ℎ𝑖 son los momentos de apoyo debidos a 𝑀𝑖𝑖 = 0 (fig. 317); 𝑘𝑖 𝑦 𝑘1′ las relaciones focales en el tramo i; k = 1, 2, 3...:

λ𝑖 =

l𝑖 J0 J𝑖

El diagrama de los momentos flectores debidos a 𝑀𝑖𝑖 = 1 (fig. 317) se debe construir por el metodo de los focos de momentos.

Los coeficientes de influencia se verifican por la expresion (14.47). Para la determinacion de δ𝑖(𝑖−1)𝑃 y δ𝑖𝑃 , examinemos el tramo i cargado con la fuerza P = 1 (fig. 318).

En este caso: ω𝑖 =

𝑧(l𝑖 −𝑧) 2

1

1

a𝑖 = 3 (l𝑖 + 𝑧 ) b𝑖 = 3 (2l𝑖 + 𝑧 )

Segun (15.31): δ𝑖(𝑖−1)𝑃 =

δ𝑖𝑃 =

ω𝑖 b𝑖 𝑧(l𝑖 − 𝑧)(2l𝑖 − 𝑧) = l𝑖 𝐸J𝑖 6l𝑖 𝐸J𝑖

ω𝑖 a𝑖 𝑧(l𝑖 − 𝑧)(l𝑖 + 𝑧) = l𝑖 𝐸J𝑖 6l𝑖 𝐸J𝑖

Por consiguiente:

J

δ𝑖(𝑖−1)𝑃 = 6𝐸J0 δ(𝑖−1)𝑃 = 𝑙𝑖2 J0 f1 (𝑢)

(15.34)

𝑖

J

δ𝑖𝑃 = 6𝐸J0 δ𝑖𝑃 = 𝑙𝑖2 0 f2 (𝑢)

(15.35)

J𝑖

Donde

f1 (𝑢) = 𝑢(1 − 𝑢)(2 − 𝑢) 𝑢=

; f2 (𝑢) = 𝑢(1 − 𝑢2 ) 𝑧 l𝑖

Los valores de estas funciones se dan en la tabla 7. Tomando en (15.34) y (15.35) los diferentes valores del índice i = 1 , 2 , . . ., obtenemos los miembros libres de las ecuaciones (15.31) en dependencia do la posicion del peso en uno u otro tramo.Colocandolos en las ecuaciones (15.32), obtenemos las ecuaciones de las lineas de influencia de los momentos de apoyo para la posición del peso en el tramo correspondiente. Por ejemplo, cuando el peso se halla en el primer tramo δ∗𝑖𝑃 = l∗𝑖

J0 f (𝑢) J𝑖 2

Cuando el peso se encuentra en el primer tramo, las ecuaciones de las lineas de influencia, segun (15.32), seran:

𝑀1 = 𝛽11 l12

J0 f (𝑢) J𝑖 2

𝑀ℎ = 𝛽ℎ1 l12

J0 f (𝑢) J𝑖 2

𝑀𝑛 = 𝛽𝑛1 l12

J0 f (𝑢) J𝑖 2

Si la viga tiene en el apoyo izquierdo, un voladizo de longitud c,entonces, las lineas de influencia de los momentos de apoyo, sobre la parte voladiza se representan tangentes a las lineas de influencia del apoyo izquierdo. Esto desprende del metodo cinematico de construccion de las lineas de influencia, por el cual, la forma de estas se determina por el diagrama de los desplazamientos verticales de la linea de carga. El diagrama de los desplazamientos verticales del voladizo es una recta, tangente al diagrama de los desplazamientos del apoyo extremo. Para calcular las ordenadas de las lineas de influencia en elextremo del voladizo es necesario emplear la formula

𝑑𝑀

𝑑𝑀𝑖 𝑑𝑢

𝑀𝑖 = −𝑒 ( 𝑑 𝑖 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 = −𝑒 ( 𝑑 𝑧

𝑢

𝑑𝑧

) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢 = 0

(15.36)