Alexandre

EXERCÍCIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Funções de várias variáveis Nos exercícios de 01 a 05, ache os valores da função: x y a) f(3, 2) b) f(–1, 4) c) f(30, 5) d) f(5, t)

01) f ( x, y ) =

04) V (r , h) = π .r 2 .h a) V(3,10) b) V(5, 2)

y

05) f ( x, y ) = ∫ (2t − 3)dt

02) f ( x, y, z ) = x + y + z

x

a) f(0, 5, 4) b) f(6, 8, –3)

a) f (1, 2) b) f (1, 4)

03) f ( x, y ) = x.e y a) f(5, 0) b) f(3, 2) c) f(2, –1) 6) Descreva a região R do plano xy que corresponde ao domínio da função e ache a imagem desta. a) f ( x, y ) = 16 − x 2 − y 2 b) f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 1 x

c) f ( x, y ) = e y d) f ( x, y ) = ln( x + y ) 07) Associe o gráfico de cada superfície a um dos mapas de nível: a)

b)

c)

d)

(

(

)

)

(

)

(

)

8) Para cada função abaixo, encontre as derivadas parciais primeiras em relação a x e em relação a y: a) f(x, y) = 2x–3y+5 b) f ( x, y ) = 5 x − 6 y 2 c) z = x2e2y 2 2 d) h( x, y ) = e − ( x + y ) x− y e) z = ln ( x + y) 2 9) Sejam f ( x, y ) = 3 x 2 ye x − y e g ( x, y ) = 3 xy 2 e y − x . Ache as derivadas seguintes: a) fx (x, y) b) gx (x, y) c) fx (1, 1)

d) fy (x, y) e) gy (x, y) f) gx (-2, -2)

10) Considerando a função w = x 2 + y 2 + z 2 , calcule wx, wy e wz no ponto (2,–1,2). 11) Ache a inclinação da superfície z = x 2 − 9 y 2 no ponto (3,1,0) na direção de x e na direção de y. 12) Dada a função z = x 2 − 2 xy + 3 y 2 , mostre que

∂2z ∂2z = . ∂x∂y ∂y∂x

∂2z ∂2z ∂2z ∂2z e . 13) Para cada uma das funções abaixo, calcule 2 , 2 , ∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x a) b) c) d)

z = x3 − 4 y 2 z = 3x 2 − xy + 2 y 3 z = x 4 − 3x 2 y 2 + y 4 2

z = x.e − y x e) z = x+ y