Alba Collado.docx

+∞

1

1 ∫ 𝛼 𝑥 0

𝛼 < 1 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

∫ 1

1 𝑥𝛼

𝛼 > 1 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

1.13

Lado de un triángulo equilátero inscrito: Teorema del coseno: 𝐿2 = 𝑅 2 + 𝑅 2 + 2 · 𝑅 · 𝑅 · cos 60º = 3𝑅 2 ⟹ 𝐿 = √3 · 𝑅 𝐵𝑎𝑠𝑒𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = √3 · 𝑅 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = Á𝑟𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 3 ·

3𝑅 2

2

√3·𝑅 ) 2

(por Pitágoras: (√3 · 𝑅) = ℎ2 + (

2

𝑏𝑎𝑠𝑒 · 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 · sin 𝛼 3 3 √3 3√3 2 = · 𝑅 · 𝑅 · sin 60º = · 𝑅 2 · = 𝑅 2 2 2 2 4

o también: Á𝑟𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

𝐵𝑎𝑠𝑒𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 · 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 √3 · 𝑅 · = = 2 2

3𝑅 2

=

3√3 2 𝑅 4

2.2 Criterio comparación paso al límite con 1/𝑥 2 que converge, puesto que límite sale > 0 la integral dada converge. Su valor es

4𝜋 3√3

La primera es inmediata, la segunda es tipo log-arctg.

La primera es inmediata y la segunda ha de convertirse en una arctg

Que ya es arctg. Así:

2.3.1

Vale -1 tras hacer L’Hopital una vez

dentro de 𝑓(𝑥))

(puede usarse cambio Vale 0 2.3.2

2.4.2 √𝑥 √𝑥

Al usar comparación por paso al límite con 4 , que converge, el límite da 0, luego la integral dada también diverge 2.5.1 𝑒𝑥 +1)2

Integración por partes 𝑢 = 𝑥 (𝑑𝑢 = 1) y 𝑑𝑣 = (𝑒 𝑥

1 ) 𝑒 𝑥 +1

. La segunda integral se hace mediante 𝑡 = 𝑒 𝑥 y sale

Sale 1 ∫ 𝑡(𝑡+1)

(𝑣 = −

𝑑𝑡

A partir de aquí se aplica el método de descomposición en suma de fracciones simples. Resulta:

o 2.5.3 ln 2 2.6 tgh(𝑥) =

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥

La integral es inmediata haciendo el cambio 𝑡 = 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 , luego la primitiva es:

Su valor es ln 2 2.7.1 0<𝑝<1 2.7.2 𝑝>

1 3

2.7.3 1 <𝑝<1 3 2.7.4

Que es la integral de la arcotangente. Deshaciendo el cambio de variable queda: Solución: 𝜋

2.7.5 Se separa en: 0

+∞ 1 1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝑝 3·𝑝 𝑝 𝑥 + 𝑥 3·𝑝 −∞ 𝑥 + 𝑥 0

∫

1

La segunda converge si 3 < 𝑝 < 1

2.9

4.1

4.3

4.4

4.7

4.12