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UNIDAD Nº 3. AJUSTE DE CURVAS REGRESIÓN CON CUADRADOS MÍNIMOS El ajuste de curvas es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de N pares de puntos {xi, yi} (siendo x la variable independiente e y la dependiente), se determina una función matemática f(x) de tal manera que la suma de los cuadrados de la diferencia entre la imagen real y la correspondiente obtenida mediante la función ajustada en cada punto sea mínima:

a) Datos que muestran un error significativo. b) Ajuste polinomial oscilando más allá del rango de los datos. c) Resultados más satisfactorios mediante el ajuste por mínimos cuadrados. Generalmente, se escoge una función genérica f(x) en función de uno o más parámetros y se ajusta el valor de estos parámetros de la manera que se minimice el error cuadrático, ε. La forma más típica de esta función ajustada es la de un polinomio de grado M; obteniéndose para M = 1 un ajuste lineal (o regresión lineal):

para M = 2 un ajuste parabólico:

REGRESIÓN LINEAL El ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es ajutar una línea recta a un conjunto de observaciones definidas por puntos: (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn). La expresión matemática para la línea recta es y = a0 + a 1x + e donde a0 y a1 son coeficientes que representan la intersección con el eje y y la pendiente, respectivamente, e es el error, o diferencia, entre el modelo y las observaciones, el cual se representa al reordenar la ecuación como: e = y – a0 – a 1x Así, el error o residuo es la discrepancia entre el valor verdadero de y y el valor aproximado, a0 + a 1x, que predijo la ecuación lineal.

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Criterio para un “mejor” ajuste Una estrategia para ajustar una “mejor” línea a través de los datos será minimizar la suma de los errores residuales de todos los datos disponibles, como sigue:

donde n = número total de puntos.

Sin embargo, éste es un criterio inadecuado, como lo muestra en la figura, la cual presenta el ajuste de una línea recta de dos puntos. Obviamente, el mejor ajuste es la línea que une los puntos. Sin embargo, cualquier línea recta que pase a través del punto medio que une la línea (excepto una línea perfectamente vertical) da como resultado un valor mínimo de la ecuación igual a cero, debido a que los errores se cancelan.

Ejemplo de algunos criterios para “el mejor ajuste” que son inadecuados para la regresión: a) minimizar la suma de los residuos, b) minimizar la suma de los valores absolutos de los residuos y c) minimizar el error máximo de cualquier punto individual. Por lo tanto, otro criterio lógico podría ser minimizar la suma de los valores absolutos de las discrepancias:

El gráfico b muestra por qué este criterio también es inadecuado. Para los cuatro puntos dados, cualquier línea recta que esté dentro de las líneas punteadas minimizará el valor absoluto de la suma. Así, este criterio tampoco dará un único mejor ajuste. Una tercera estrategia para ajustar una mejor línea es el criterio minimax. En esta técnica, la línea se elige de manera que minimice

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la máxima distancia a que un punto se encuentra de la línea. Como se ilustra en la figura c, tal estrategia es inadecuada para la regresión, ya que da excesiva influencia a puntos fuera del conjunto; es decir, a un solo punto con un gran error. Deberá observarse que el principio minimax es, en algunas ocasiones, adecuado para ajustar una función simple a una función complicada (Carnahan, Luther y Wilkes, 1969). La estrategia que supera las deficiencias de los procedimientos mencionados consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal.

Este criterio tiene varias ventajas, entre ellas el hecho de que se obtiene una línea única para cierto conjunto de datos. Antes de analizar tales propiedades, presentaremos una técnica para determinar los valores de a0 y a1 de la ecuación. Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados Para determinar los valores de a0 y a1, la ecuación y = a0 + a 1x + e se deriva con respecto a cada uno de los coeficientes:

Observe que hemos simplificado los símbolos de la sumatoria; a menos que se indique otra cosa, todas las sumatorias van desde i = 1 hasta n. Al igualar estas derivadas a cero, se dará como resultado un Sr mínimo. Si se hace esto, las ecuaciones se expresan como:

Ahora, si observamos que ∑a0 = na0, expresamos las ecuaciones como un conjunto de dos ecuaciones lineales simultáneas, con dos incógnitas (a0 y a1):

Éstas se llaman ecuaciones normales, y se resuelven en forma simultánea

Este resultado se utiliza conjuntamente con la ecuación anterior para

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Ejemplo: Ajuste a una línea recta los valores x y y en las dos primeras columnas de la tabla:

Por lo tanto, el ajuste por mínimos cuadrados es y = 0.07142857 + 0.8392857x

REGRESIÓN POLINOMIAL El procedimiento de mínimos cuadrados se puede extender fácilmente al ajuste de datos con un polinomio de grado superior. Por ejemplo, suponga que ajustamos un polinomio de segundo grado o cuadrático:

En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es:

Al seguir el procedimiento de la sección anterior, obtenemos la derivada de la ecuación anterior con respecto a cada uno de los coeficientes desconocidos del polinomio:

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Estas ecuaciones se igualan a cero y se reordenan para desarrollar el siguiente conjunto de ecuaciones normales:

donde todas las sumatorias van desde i = 1 hasta n. Observe que las tres ecuaciones anteriores son lineales y tienen tres incógnitas: a0, a1 y a2. Los coeficientes de las incógnitas se evalúan de manera directa, a partir de los datos observados. En este caso, observamos que el problema de determinar un polinomio de segundo grado por mínimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales simultáneas:

El error estándar se formula como sigue:

Ejemplo: Ajustar a un polinomio de segundo grado los datos dados en las dos primeras columnas de la tabla:

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REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Una extensión útil de la regresión lineal es el caso en el que y es una función lineal de dos o más variables independientes. Por ejemplo, y podría ser una función lineal de x1 y x2, como en y = a0 + a 1x 1 + a 2x 2 + e En particular tal ecuación es útil cuando se ajustan datos experimentales donde la variable sujeta a estudio es una función de otras dos variables. En este caso bidimensional, la “línea” de regresión se convierte en un “plano” CALCULO NUMÉRICO

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Como en los casos anteriores, los “mejores” valores para los coeficientes se determinan al realizar la suma de los cuadrados de los residuos

y derivando con respecto a cada uno de los coeficientes desconocidos

Los coeficientes que dan la suma mínima de los cuadrados de los residuos se obtienen al igualar a cero las derivadas parciales y expresando el resultado en forma matricial:

Ejemplo: Los siguientes datos se calcularon con la ecuación y = 5 + 4x 1 – 3x2:

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Utilizando regresión múltiple obtenemos: Las sumatorias requeridas para la ecuación se calculan en la tabla. El resultado es

Que se resuelve mediante un método como el de eliminación de Gauss, obteniéndose a0 = 5 a1 = 4 a 2 = –3 Que es consistente con la ecuación original, de la cual se obtienen los datos.

INTERPOLACIÓN Con frecuencia se encontrará con que tiene que estimar valores intermedios entre datos definidos por puntos. El método más común que se usa para este propósito es la interpolación polinomial. Recuerde que la fórmula general para un polinomio de n-ésimo grado es f(x) = a0 + a 1x + a 2x2 + · · · + a nxn. Dados n + 1 puntos, hay uno y sólo un polinomio de grado n que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decir, un polinomio de primer grado) que une dos puntos (figura a). De manera similar, únicamente una parábola une un conjunto de tres puntos (figura b).

La interpolación polinomial consiste en determinar el polinomio único de n-ésimo grado que se ajuste a n + 1 puntos. Este polinomio, entonces, proporciona una fórmula para calcular valores intermedios. Aunque hay uno y sólo un polinomio de n-ésimo grado que se ajusta a n + 1 puntos, existe una gran variedad de formas matemáticas en las cuales puede expresarse este polinomio. Nosotros analizaremos dos alternativas que son muy adecuadas para implementarse en computadora: los polinomios de Newton y de Lagrange.

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS Esta es una de las formas más populares y útiles. Antes de presentar la ecuación general, estudiaremos las versiones de primero y segundo grados por su sencilla interpretación visual. Interpolación lineal La forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos con una línea recta. Dicha técnica, llamada interpolación lineal, se ilustra de manera gráfica en la figura. Utilizando triángulos semejantes: CALCULO NUMÉRICO

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Reordenando la ecuación tenemos:

Que es una fórmula de interpolación lineal. La notación f1(x) designa que éste es un polinomio de interpolación de primer grado. Observe que además de representar la pendiente de la línea que une los puntos, el término [f(x1) – f(x0)]/(x1 – x0) es una aproximación en diferencia dividida finita a la primer derivada. En generacuanto menor sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximación. Esto se debe al hecho de que, conforme el intervalo disminuye, una función continua estará mejor aproximada por una línea recta.

Ejemplo: Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación lineal. Primero, realice el cálculo por interpolación entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.791759. Después, repita el procedimiento, pero use un intervalo menor de ln 1 a ln 4 (1.386294). Observe que el valor verdadero de ln 2 es 0.6931472. Solución: Usamos la interpolación lineal para ln(2) desde x0 = 1 hasta x1 = 6 obteniendo:

Así, usando el intervalo más corto el error relativo porcentual se reduce a et = 33.3%. Ambas interpolaciones se muestran en la figura junto con la función verdadera

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Interpolación cuadrática En el ejemplo anterior el error resulta de aproximar una curva mediante una línea recta. En consecuencia, una estrategia para mejorar la estimación consiste en introducir alguna curvatura a la línea que une los puntos. Si se tienen tres puntos como datos, éstos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado (también conocido como polinomio cuadrático o parábola). Una forma particularmente conveniente para ello es:

Aplicando propiedad distributiva:

Agrupando términos:

Para encontrar b0 se evalúa con x = x0 para obtener:

Reemplazándose en la ecuación original y evaluándose en x = x1 para tener:

Por último, las ecuaciones anteriores se sustituyen en la ecuación original, después se evalúa en x = x2 y (luego de algunas manipulaciones algebraicas) se resuelve:

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Observe que, como en el caso de la interpolación lineal, b1 todavía representa la pendiente de la línea que une los puntos x0 y x1. Así, los primeros dos términos de la ecuación son equivalentes a la interpolación lineal de x0 a x1. El último término, b2(x – x0)(x – x1), determina la curvatura de segundo grado en la fórmula. Ejemplo:

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Forma general de los polinomios de interpolación de Newton El análisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio de n-ésimo grado a n + 1 datos. El polinomio de n-ésimo grado es:

Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadráticas, los puntos asociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes b0, b1,..., bn. Para un polinomio de n-ésimo grado se requieren n + 1 puntos: [x0, f(x0)], [x1, f(x1)],..., [xn, f(xn)]. Usamos estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes:

donde las evaluaciones de la función colocadas entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma general se representa como:

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas, se expresa en forma general como:

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En forma similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:

Lo cual da origen al polinomio:

que se conoce como polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas. Debe observarse que no se requiere que los datos utilizados en la ecuación estén igualmente espaciados o que los valores de la abscisa estén en orden ascendente. Ejemplo:

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Errores de la interpolación polinomial de Newton Observe que la estructura de la ecuación del polinomio de interpolación de Newton es similar a la expansión de la serie de Taylor en el sentido de que se van agregando términos en forma secuencial, para mostrar el comportamiento de orden superior de la función. Estos términos son diferencias divididas finitas y, así, representan aproximaciones de las derivadas de orden superior. En consecuencia, como ocurrió con la serie de Taylor, si la función verdadera es un polinomio de n-ésimo grado, entonces el polinomio de interpolación de n-ésimo grado basado en n + 1 puntos dará resultados exactos. También, como en el caso de la serie de Taylor, es posible obtener una formulación para el error de truncamiento. Recuerde que el error de truncamiento en la serie de Taylor se expresa en forma general como:

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POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se representa de manera concisa como:

Donde:

donde Π designa el “producto de”. Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es:

y la versión de segundo grado es:

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Ejemplo:

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